Интегральные оценки качества переходного процесса

10 Оценка качества регулирования Как уже было отмечено, каждая система автоматического регулирования характеризуется: • устойчивостью, • точностью в установившихся режимах (в том числе в режиме "вынужденного" движения), • качеством переходных характеристик (быстродействие системы). Точность в установившихся режимах и качество переходных характеристик - качество регулирования. Точность характеризуется наличием рассогласования в различных установившихся режимах (или его отсутствием) и коэффициентами ошибки. Для оценки качества переходных характеристик используют прямые оценки переходного процесса, вызываемого (чаще всего) единичным ступенчатым воздействием. Применяются и приближенные косвенные оценки качества: частотные, интегральные, корневые. Качество систем, внешние воздействия которых есть случайные функции времени, принято оценивать среднеквадратичным значением рассогласования, другими статистическими функциями. 10.1 Показатели качества САУ по переходной характеристике Важное значение имеет переходный процесс, возникающий при быстром (мгновенном) изменении задающего воздействия или возмущения от одного значения до другого. Чем с большей скоростью и плавностью протекает такой процесс, тем меньше его продолжительность и значение рассогласования. Одной из оценок качества регулирования служит оценка переходной характеристики системы относительно задающего воздействия. Имеется ввиду, что чем лучше переходная характеристика, тем лучше система будет отрабатывать произвольное задающее воздействие. Переходные характеристики бывают монотонными и колебательными. (На рисунке приведена колебательная переходная характеристика). В колебательной характеристике имеют место переходы через установившееся значение - перерегулирования. Основные показатели качества: перерегулирование , время регулирования (время процесса) , время первого согласования . Перерегулирование (определяется величиной первого выброса) - отношение разности максимального значения переходной характеристики и ее установившегося значения к величине установившегося значения. Измеряется обычно в процентах. . Время регулирования - длительность переходного процесса. Правда, в идеальной системе переходный процесс бесконечен. Поэтому временем регулирования считают тот интервал времени, по истечении которого отклонения переходной характеристики от установившегося значения не превышают . Значения  обычно принимают 5%, 2%, а иногда и 1%. Но такой выбор всегда оговаривается. Существенным показателем служит Колебательность N, определяемая числом полных колебаний (число максимумов характеристики) за время переходного процесса. Обычно при = 5% N = 1 ... 2 (желательно). Чем меньше эта величина, тем лучше. Логарифмический декремент затухания характеризует скорость затухания колебательного процесса. . В системе кроме качества воспроизведения задающих воздействий анализируется подавление влияния возмущений. Таким образом, рассматривается переходная характеристика системы по возмущению . Особенность данной характеристики в том, что ее установившееся значение должно быть весьма малым в статической системе и равно нулю в астатической системе (об этом позднее). Понятие перерегулирования для характеристики по возмущению не имеет смысла, и данные характеристики оценивают непосредственно максимальным значением . 10.2 Интегральные оценки качества Отклонение регулируемой величины от установившегося значения переходного процесса и время этого процесса можно охарактеризовать одним числом. Для этого применяются интегральные оценки качества переходного процесса. Применяются интегральные оценки качества относительно задающего воздействия и относительно возмущения. Линейная интегральная оценка Численно она равна площади, ограниченной кривой отклонения x(t) и выражается через изображение по Лапласу X(s) отклонения x(t). x(t)=y0+y(t). . Линейная интегральная оценка применяется только при монотонном переходном процессе. При колебательном процессе суммарная площадь, ограниченная кривой x(t) , не оценивает качество процесса. Применяются также линейные интегральные оценки более общего вида . Может быть применена интегральная оценка . Квадратичная интегральная оценка . Может применяться для оценки как монотонных, так и колебательных переходных процессов. Если выбирать параметры системы исходя из минимума квадратичной интегральной оценки , то переходный процесс может оказаться сильно колебательным. Данный факт ограничивает использование квадратичных интегральных оценок при анализе и синтезе систем автоматического управления. Улучшенная квадратичная интегральная оценка . Здесь Т- некоторая постоянная. Данная формула учитывает и изменение ошибки. Чем меньше значение , тем меньше отклонение переходной характеристики от экспоненты с постоянной времени Т, называемой экстремалью: При инженерных расчетах применяют и еще более сложные интегральные оценки, например , Интегральная оценка характеризует приближение переходной характеристики системы к экстремали, определяемой дифференциальным уравнением , где и . Существуют специальные методики выбора параметров системы исходя из минимума интегральной оценки. Решение данной задачи возможно с помощью численных методов параметрической оптимизации. 10.3 Оценка качества переходного процесса по расположению нулей и полюсов передаточной функции Переходная характеристика системы зависит от значения нулей и полюсов ее передаточной функции. Эту зависимость можно использовать для оценки качества переходной характеристики. В простейшем случае передаточная функция имеет вид ; . В этом случае переходная характеристика зависит только от полюсов передаточной функции. Корень, ближайший к мнимой оси - доминирующий корень. Может быть и пара доминирующих корней (если они комплексные сопряженные). Расстояние доминирующих корней до мнимой оси - 0, - степень устойчивости системы. Степень устойчивости позволяет определить приближенно время переходного процесса. Время переходного процесса (при = 5 % ) . Степень устойчивости не следует путать с запасом устойчивости. Второй параметр, который определяется по плоскости корней - степень колебательности. . По величине степени колебательности можно приближенно определить значение перерегулирования переходной характеристики (когда комплексные корни являются доминирующими) . Степень колебательности связана также с затуханием переходной характеристики и логарифмическим декрементом затухания следующими формулами: ; ; . Для оценки влияния нулей (числителя передаточной функции) на качество переходной характеристики передаточную функцию приведем к виду: . Тогда при ступенчатом входном сигнале имеем . а ℒ-1(y(s))=  ℒ-1(yi(s))= . Если (на данную составляющую нули передаточной функции не влияют), тогда ℒ-1ℒ-1. Для получения остальных составляющих переходной характеристики необходимо продифференцировать необходимое количество раз и сложить с соответствующими коэффициентами. Влияние расположения нулей и полюсов на переходную характеристику 1. Близко расположенные нуль и полюс взаимно компенсируются. 2. Уменьшение амплитуды колебательной составляющей, создаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте экспоненциальной составляющей, создаваемой вещественным полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль вещественного полюса. 3. Время регулирования зависит в основном от абсолютного значения вещественной части доминирующих полюсов. 4. Перерегулирование зависит от отношения мнимой части доминирующих комплексных полюсов к вещественной. 5. Близкие к началу координат нули, если они не компенсируются полюсами, и удаленные от него, но не доминирующие полюса, увеличивают время регулирования и перерегулирования. 10.4 Запас устойчивости Факт обнаружения устойчивости САУ по ее математической модели не дает уверенности в работоспособности реальной системы. Возможны неточности (погрешности), так как: • математическое описание системы идеализировано; • часто бывает произведена линеаризация звеньев; • неточность определения параметров; • изменение условий работы. Следовательно, необходимо иметь запас устойчивости. При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора: Если - запас устойчивости отсутствует; - запас имеется. Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости. Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы. Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L() и (), применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста. Рекомендуемые запасы устойчивости μ ≈ (30 - 40)о, ΔL ≈ (6 - 8) дБ.