Индуктивно − связанные цепи

ИНДУКТИВНО − СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ 4.1. Краткие теоретические сведения 4.1.1. Основные понятия и определения Открытое Фарадеем в 1831 году явление электромагнитной индукции лежит в основе закона электромагнитной индукции, являющимся одним из фундаментальных законов теории электромагнитных явлений. Суть его заключается в том, что при любом изменении магнитного поля, пронизывающего какой-либо контур, в нем возникает электродвижущая сила. Поскольку возникновение ЭДС связано с появлением электрического поля, можно сделать вывод о том, что оба эти поля − магнитное и электрическое − являются двумя сторонами единого электромагнитного поля. Рассмотрим контур 1, по которому течет ток i1 (рис. 4.1,а). Магнитный поток Ф1 , сцепленный с контуром, определяется током i1. Этот поток называется потоком самоиндукции. а) б) Рис. 4.1. Индуктивная связь между контурами: а) первый контур с током; б) второй контур в магнитном поле первого Контур может представлять собой катушку с числом витков w1. Поток самоиндукции сцепляется со всеми витками. Поэтому вводят понятие потокосцепления самоиндукции Ψ1, которое определяется как произведение магнитного потока самоиндукции Ф1 на число витков w1: Ψ1 = w1 Ф1 . Связь потокосцепления самоиндукции Ψ1 с вызвавшим его током i1 определяется выражением Ψ1 =L1i1 , (4.1) где L1 − собственная индуктивность или просто индуктивность контура, зависящая от его геометрических размеров, числа витков и свойств среды, в которой он расположен. Если по каким-то причинам происходит изменение потокосцепления Ψ1 (за счет изменения тока, геометрии контура, числа витков или свойств среды), то в соответствии с законом электромагнитной индукции в витках катушки возникает ЭДС самоиндукции eL1, величина которой пропорциональна скорости изменения потокосцепления: Для линейных цепей, рассматривающихся в настоящем разделе, L1 =const, и ЭДС самоиндукции определяется лишь скоростью изменения тока: Знак минус означает, что в системе контуров с электрическими токами существует тенденция к сохранению неизменными магнитных потоков, сцепленных с ними. При всякой попытке изменить эти потоки в контурах возникают электродвижущие силы, вызывающие токи, стремящиеся воспрепятствовать этому изменению. ЭДС самоиндукции соответствует равное по величине, но противоположное по направлению напряжение самоиндукции uL1 : (4.2) Расположим рядом с первым контур 2 (рис. 4.1,б). Силовые линии магнитного поля первого контура сцепляются со вторым. При этом не весь магнитный поток Ф1 пронизывает второй контур. Часть потока первого контура, сцепляющаяся со вторым контуром, называется потоком взаимной индукции и обозначается Ф21. Соответственно потокосцепление взаимной индукции Ψ21 со вторым контуром пропорционально току первого контура: Ψ21=w2 Ф21 = Mi1, (4.3) где w2 − число витков второго контура; M − взаимная индуктивность между контурами, зависящая от геометрических размеров контуров, их взаимного расположения, числа витков и свойств среды, в которой они находятся. Разность между потоками самоиндукции Ф1 и взаимоиндукции Ф21 называется потоком рассеяния и обозначается ФS1. При изменении потокосцепления взаимной индукции Ψ21 во втором контуре в соответствии с законом электромагнитной индукции возникает ЭДС взаимной индукции e21, равная и соответствующее этой ЭДС напряжение взаимной индукции u21: (4.4) Аналогичные рассуждения справедливы и в случае протекания тока i2 во втором контуре. Току i2 второго контура соответствует поток Ф2 и потокосцепление самоиндукции Ψ2 (на рис.4.1 не обозначены): Ψ2 = w2 Ф2 = L2i2, (4.5) где L2 − индуктивность второго контура. Соответственно, во втором контуре возникает напряжение самоиндукции uL2 : (4.6) Часть Ф12 потока Ф2 второго контура (поток взаимной индукции) сцепляется с первым контуром. Тогда потокосцепление первого контура от потока Ф12 равно: Ψ12= w1 Ф12= Mi2. (4.7) При этом в первом контуре возникает напряжение взаимной индукции u12 (4.8) Таким образом, поток каждого контура складывается из собственного потока самоиндукции и потока взаимной индукции, созданного током в другом контуре. Если в электрической цепи имеется несколько пар индуктивно-связанных контуров, то взаимной индуктивности М также присваиваются два индекса, например, М12 и М13. Двойные индексы в обозначениях величин взаимной индукции обозначают следующее: первый индекс указывает, с какой цепью сцепляется поток взаимной индукции, а второй указывает на ток, создающий поток взаимной индукции. В линейных цепях для индуктивно-связанных катушек справедливо равенство М12= М21= М. Степень магнитной связи контуров (или индуктивных катушек) принято оценивать коэффициентом связи k, который характеризует долю потокосцеплений взаимной индукции в потоках каждой катушки и с учетом выражений (4.1), (4.3), (4.5), (4.7) равен : Магнитный поток самоиндукции катушки и поток взаимоиндукции от индуктивно связанной с ней другой катушки могут совпадать по направлению, а могут быть направлены навстречу друг другу. В первом случае говорят, что контуры включены согласно, а во втором - встречно. При согласном включении в каждом контуре напряжения само- и взаимоиндукции имеют одинаковое направление, при встречном − противоположное. Следует заметить, что направление магнитного потока, создаваемого током катушки, зависит не только от направления тока, но и от того, как намотаны витки: по или против часовой стрелки. Поэтому при рассмотрении схем с индуктивно-связанными контурами возникает двойственность при определении направления напряжений взаимоиндукции. Для того, чтобы однозначно определять способ включения катушек, вводят понятие одноименных зажимов, которые обозначаются звездочкой. Если на электрической схеме токи в индуктивно-связанных катушках ориентированы относительно звездочек одинаково, то считают, что катушки включены согласно. В противном случае − встречно. Соответственно, и напряжения само- и взаимоиндукции в согласно включенных катушках ориентированы относительно одноименных зажимов одинаково. Для иллюстрации на рис.4.2 показаны направления токов и напряжений в согласно (а) и встречно (б) включенных катушках. а) б) Рис. 4.2. Напряжения само- и взаимоиндукции в индуктивно-связанных катушках: а) согласное включение; б) встречное включение Направление падения напряжения самоиндукции, например, uL1 совпадает с направлением тока i1 в катушке. Падение напряжения взаимоиндукции u12 в первой катушке направлено относительно одноименного зажима так же, как направлен ток i2 относительно одноименного зажима второй катушки. Аналогично определяются направления остальных падений напряжения на рис. 4.2. Очевидно, что общее падение напряжения на каждой катушке равно алгебраической сумме падений напряжения само- и взаимоиндукции. В случае гармонических токов комплексы действующих значений напряжений само- и взаимоиндукции, например, для катушек рис. 4.2,а имеют вид: (4.9) где ω − угловая частоты гармонического тока; комплексы действующих значений токов в катушках. 4.1.2. Расчет электрических цепей при наличии взаимной индукции Рассмотрим порядок расчета цепей со взаимной индукцией на примере последовательного соединения индуктивно-связанных катушек. Расчетная схема цепи приведена на рис. 4.3. Звездочка в скобках означает расположение одноименного зажима второй катушки при встречном включении. Поскольку катушки индуктивности 1 и 2 как устройства намотаны проводом с конечным активным сопротивлением, то они на схеме представлены в виде последовательно соединенных активного сопротивления и индуктивности. На расчетной схеме показаны положительные направления тока , входного напряжения и падений напряжения на катушках Рис. 4.3. Расчетная схема цепи с последовательным соединением катушек Составим уравнения ЗНК для контура цепи, обойдя его по часовой стрелке. С учетом направлений падений напряжений на индуктивных элементах в соответствии с рис. 4.2 и соотношениями (4.9) получим: (4.10) где RЭ= R1+ R2; XЭ1=ω (L1 ± M), XЭ2=ω (L2 ± M) − эквивалентные реактивные сопротивления индуктивностей; XЭ=ω(L1+L2±2M) − реактивное сопротивление всей цепи; комплекс входного сопротивления цепи. Знак плюс в (4.10) относится к согласному включению, минус − к встречному. Из (4.10) находим ток в цепи Как видно из полученных выражений, при согласном включении эквивалентное индуктивное сопротивление катушек больше, чем при встречном. Данный факт дает простой способ маркировки одноименных зажимов катушек. Комплексное входное сопротивление можно выразить через комплексные сопротивления катушек следующим образом: гдекомплексные сопротивления катушек без учета индуктивной связи; комплексное сопротивление взаимной индукции. Полезно напомнить, что при измеренных входном напряжении U, токе I в цепи и измеренной активной мощности P входное сопротивление полностью определено следующими соотношениями: (4.11) На рис. 4.4 построена векторная диаграмма для согласного включения катушек. Рис. 4.4. Векторная диаграмма для последовательного согласного включения катушек Построение диаграммы начинается с изображения вектора тока Затем последовательно изображаются векторы падений напряжения на активном и индуктивных сопротивлениях катушек с одновременным векторным суммированием в соответствии с уравнением (4.10). Вектор соответствует падению напряжения на первой катушке, которое равно сумме падений напряжения на активном сопротивлении R1 и индуктивных сопротивлениях само- и взаимоиндукции. Вектор соответствует падению напряжения на второй катушке. Сумма векторов представляет собой вектор входного напряжения. Для встречного включения катушек студентам предлагается построить векторную диаграмму самостоятельно. 4.1.3. Определение одноименных зажимов индуктивно-связанных катушек Рассмотрим три способа маркировки одноименных зажимов индуктивно-связанных катушек. 1. Последовательное соединение катушек В разделе 4.1.2 при расчете цепи с последовательным соединением катушек указывалось, что в случае согласного включения катушек ток в последовательной цепи меньше, чем ток при встречном включении (при одном и том же входном напряжении). Поэтому для маркировки зажимов сначала условно присваивают концам катушек индексы "1","2" и "3","4", соединяют катушки по схеме рис. 4.3 последовательно (рис.4.5,а) и измеряют величину тока I1. а) б) Рис. 4.5. Последовательное соединение катушек После этого меняют местами зажимы одной из катушек (например, катушки 2 на рис. 4.5,б) и при том же входном напряжении измеряют ток I2. Сравнивая значения измеренных токов определяют одноименные зажимы катушек. Для наглядности выбора одноименных зажимов приведена табл. 4.1. Маркировка зажимов катушек Таблица 4.1 Соотношение между токами Одноименные зажимы I1˂ I2 1,3 или 2,4 I2˂ I1 1,4 или 2,3 2. Метод трех вольтметров Для маркировки зажимов катушек методом трех вольтметров используют схему, представленную на рис. 4.6. Рис. 4.6. Схема маркировки зажимов катушек методом трех вольтметров Первую катушку подключают к источнику напряжения U. Концы катушек 2 и 4 для гальванической связи соединяют перемычкой. Подключают вольтметры в соответствии со схемой. Примем положительные направления падений напряжения на первой катушке U1 и напряжения U3, измеряемых вольтметрами V1 и V3, такие, как на рис. 4.6. Предположим, что направление напряжения U2 взаимной индукции во второй катушке такое, как обозначено на рисунке. Тогда, обходя контур против часовой стрелки, в соответствии с ЗНК запишем: U1− U2− U3=0. (4.12) Третий вольтметр покажет напряжение U3= U1− U2. Если наше предположение по поводу направления напряжения U2 верно, то показание вольтметра V3 будет равно разности показаний вольтметров V1 и V2. А это, в свою очередь, означает, что напряжение взаимоиндукции U2 во второй обмотке направлено так же, как и напряжение самоиндукции U1 (и ток) первой обмотки. Тогда одноименными зажимами являются 1,3 или 2,4. Если показание вольтметра V3 окажется равной сумме показаний вольтметров V1 и V2, то наше предположение о направлении напряжения взаимоиндукции U2 оказалось неверным, и оно направлено в сторону, противоположную указанному направлению на рис. 4.6. Тогда в уравнении (4.12) напряжение U2 должно быть записано с другим знаком. В этом случае одноименными зажимами являются 1,4 или 2,3. Для наглядности также сведем результаты опыта в табл. 4.2. Маркировка зажимов катушек Таблица 4.2 Показание вольтметра V3 Одноименные зажимы Разность показаний 1,3 или 2,4 Сумма показаний V1 + V2 1,4 или 2,3 Следует отметить, что в таблице разность берется как абсолютная величина (модуль) разности показаний вольтметров. Это объясняется тем, что при числе витков второй катушки, большем числа витков первой, величина напряжения U2 больше величины напряжения U1. Тогда их разность отрицательна. А поскольку вольтметры показывают действующие значения без учета знака (направления) падения напряжения, следует оперировать с модулем разности показаний вольтметров. 2.Метод маркировки зажимов катушек на постоянном токе На практике часто применяют еще один способ определения одноименных зажимов с использованием источника и вольтметра постоянного тока. Индуктивно-связанные катушки включают по схеме рис. 4.7,а. а) б) Рис. 4.7. Схема опыта маркировки зажимов на постоянном токе. а) схема включения катушки и вольтметра; б) условное изображение панели вольтметра постоянного тока Зажимам катушки присваивают индексы 1...4 и подключают вольтметр в соответствии с принятой на рис. 4,8,а полярностью. При замыкании ключа К в катушке, подключенной к источнику Е постоянного тока, возникает напряжение самоиндукции U1. Если одноименными зажимами являются 1,3 или 2,4, то во второй катушке возникает напряжение взаимоиндукции U2 с полярностью (направлением), указанном на рис. 4.7,а. В этом случае стрелка вольтметра отклонится в направлении, указанном на рис. 4,7,б. Если стрелка прибора отклонится в момент замыкания ключа К в противоположном направлении, это значит, что направление напряжения взаимоиндукции противоположно принятому нами, и одноименными являются зажимы 1,4 или 2,3. Данный способ удобен в тех случаях, когда отсутствуют источники переменного тока низкого напряжения, а монтаж устройства следует произвести с учетом маркировки зажимов катушек. Например, при подключении трехфазных асинхронных машин к сети переменного тока необходимо знать, какие из зажимов трехфазной обмотки являются одноименными, чтобы правильно организовать последовательность фаз в трехфазной системе. Если зажимы обмоток не промаркированы, данный способ позволяет быстро и просто это сделать. 4.1.4. Экспериментальное определение взаимной индуктивности М Экспериментально определить величину взаимной индуктивности М можно из опытов холостого хода и последовательного соединения катушек. Рассмотрим их. 1. Опыт холостого хода На зажимы первой катушки подается напряжение U1 (рис. 4.8). По ней протекает ток I1, величину которого измеряем амперметром А. Рис. 4.8. Схема опыта холостого хода Во второй катушке возникает напряжение взаимоиндукции U21 , которое измеряется вольтметром V. В соответствии с (4.9) напряжение взаимоиндукции второй катушки равно: Переходя к действующим значениям, запишем U21=ωMI1, откуда находим искомое значение взаимной индуктивности 2. Опыт последовательного соединения катушек Измерения проводят для согласного и встречного включения катушек (рис. 4.3 и 4.5). При этом измеряют ток I, мощность P и входное напряжение U. По измеренным данным вычисляют величину эквивалентной индуктивности цепи LЭ при согласном LЭС и встречном LЭВ включении по формулам (4.11): (4.13) Учитывая, что LЭС= L1+L2+2M и LЭВ= L1+L2−2M, находим искомое значение взаимной индуктивности (4.14)