Индексы

7. Индексы 7.1. Понятие индексов и их классификация Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям статистики. Индекс – это относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления во времени в пространстве или по сравнению с любым эталоном (нормативом, планом, прогнозом и т.д.). Основные задачи индексного метода: • Оценка динамики обобщающих показателей, характеризующих сложные, непосредственно несоизмеримые совокупности • Анализ влияния отдельных факторов на изменение результативных обобщающих показателей • Анализ влияния структурных сдвигов на изменение средних показателей однородной совокупности • Оценка территориальных, в том числе международных, сравнений Индексный метод широко применяется в статистике развитых стран для анализа рынка ценных бумаг. Одним из самых известных обобщенных показателей рынка ценных бумаг является сводный индекс Доу-Джонса, который рассчитывается по акциям 30 крупнейших промышленных корпораций, 20 транспортных и 15 коммунальных. Классификация индексов 1. По степени охвата 1. Индивидуальные. Служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления, например изменения объема производства отдельных видов продукции. 2. Общие (сводные). Служат для измерения динамики сложного явления, составные части которого непосредственно несоизмеримы 2. По базе сравнения 1.Динамические • цепные • базисные 2. Индексы выполнения плана 3. Территориальные 3. По виду весов 1. С постоянными весами • Отчетного периода • Базисного периода 2. С переменными весами 4. По форме построения 1. Агрегатные 2. Средние взвешенные • гармонические • арифметические 5. По составу явлений 1. Переменного состава 2. Постоянного (фиксированного) состава 3. Структурных сдвигов 6. В зависимости от индексируемого показателя 1. Количественных (объемных) показателей. К индексам количественных показателей относят показатели, характеризующие физические размеры явления, например, производство продукции в натуральном выражении, численность работающих, объем промышленно-производственных фондов. 2. Качественных показателей 7. В зависимости от объекта исследования • себестоимости • физического объема • цен • производительности труда и т.д. Условные обозначения, используемые в теории индексного метода Условное обозначение Расшифровка Цена за единицу товара (услуги) Количество (объем) какого – либо продукта (товара) в натуральном выражении (физический объем) Общая стоимость продукции данного вида (товарооборот) Себестоимость единицы продукции (изделия) Общая себестоимость продукции данного вида (денежные затраты на ее производство) Общие затраты времени на производство продукции или общая численность работников или Производство продукции данного вида за единицу времени (выработка продукции на одного работника), т.е. производительность труда в натуральном или стоимостном выражении Подстрочный символ показателя текущего (отчетного) периода Подстрочный символ показателя предшествующего (базисного) периода 7.2.Индивидуальные и общие индексы. Агрегатный индекс как основная форма общего индекса Индивидуальный индекс ( i ) характеризует изменение только одного элемента совокупности. В общем виде индивидуальный индекс можно представить формулой: , где a1 и a0 – анализируемый показатель соответственно в отчетном и базисном периоде. Формулы вычисления индивидуальных индексов Индекс Формула Индекс физического объема (количества) продукции Индекс цен Индекс стоимости продукции Индекс себестоимости единицы продукции Индекс затрат на производство продукции Индекс производительности труда (по количеству или стоимости продукции, произведенной в единицу времени) Индекс общих затрат времени или общей численности работников Взаимосвязь индексов Общий индекс ( I ) характеризует изменение всех единиц, образующих статистическую совокупность. Формы общих индексов: 1. Агрегатные 2. Средние взвешенные • гармонические • арифметические Исходной формой выражения сводного индекса агрегатная форма. Основные функции агрегатных индексов: • Синтетическая. В индексе обобщаются (агрегируются) непосредственно несоизмеримые явления. • Аналитическая. Посредством индексного метода измеряется влияние отдельных факторов на совокупное изменение изучаемого показателя. Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Индексируемая величина – признак, изменение которого характеризует индекс. Вес индекса – величина, тесно связанная с индексируемой величиной и служащая для целей соизмерения индексируемых величин. При выборе весов руководствуются следующим правилом – умножая индексируемую величину на вес индекса необходимо получить показатель, имеющий экономический смысл, характеризующий общие размеры исследуемого явления. Например, если индексируемая величина - цена (p), то в качестве веса индекса следует выбрать количество продукции (q), т.к. произведение этих величин (pq) представляет собой стоимость продукции. Выбор периода фиксации веса зависит от характера объекта исследования. Общий агрегатный индекс количественных показателей взвешивается по весам базисного периода. Количественные показатели характеризуют объем явления. Например, к ним относятся: q – количество какого-либо товара в натуральном выражении (физический объем), T – общие затраты времени на производство продукции или общая численность работников, S – посевная площадь. В общем виде агрегатный индекс количественного показателя можно представить формулой: , где b0 – вес индекса в базисном периоде. Общий агрегатный индекс качественных показателей взвешивается по весам отчетного периода. Качественные показатели характеризуют уровень явления в расчете на единицу совокупности. Например, к ним относятся: p – цена за единицу товара, z – себестоимость единицы продукции, w – производительность труда в единицу времени. В общем виде агрегатный индекс качественного показателя можно представить формулой: , где b1 – вес индекса в отчетном периоде. Основные формулы вычисления общих индексов Индекс Формула расчета Что показывает индекс Что показывает разность числителя и знаменателя Индекс физического объема продукции , где – условная величина, показывающая какой была бы стоимость продукции в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне; – стоимость продукции предшествующего периода. Во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения физического объема ее производства На сколько денежных единиц изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) ее физического объема, т.е. изменения объема производства продукции Индекс цен Пааше (по отчетным весам) , где – стоимость продукции отчетного периода. Влияние цен на стоимость товаров, произведенных в отчетном периоде (во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения цен). На сколько денежных единиц изменилась стоимость продукции в результате роста (снижения) цен или на сколько товары в отчетном периоде стали дороже (дешевле), чем в базисном периоде. Индекс цен Ласпейреса (по базисным весам) , где – условная величина, показывающая, какой была бы стоимость продукции предшествующего периода при условии цен на уровне отчетного. Влияние, изменения цен на стоимость количества товаров произведенных в базисном периоде. На сколько денежных единиц товары в базисном периоде стали дороже (дешевле) из за изменения цен на них в отчетном периоде. Индекс цен Фишера Индекс стоимости продукции или Во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом за счет изменения цен на товары и объемов их производства или реализации. На сколько денежных единиц увеличилась (уменьшилась) стоимость продукции в текущем периоде по сравнению с базисным периодом за счет изменения цен на товары и объемов их производства или реализации. Индекс себестоимости продукции , где – затраты на производство продукции (издержки производства) отчетного периода; – затраты на производство той же продукции при условии, что себестоимость продукции остается на уровне базисного периода. Во сколько раз изменились издержки производства продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения себестоимости продукции. На сколько денежных единиц изменились издержки производства в результате роста (уменьшения) себестоимости продукции. Индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости продукции , где – затраты на производство продукции (издержки производства) базисного периода. Во сколько раз изменились издержки производства продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате роста (уменьшения) объема ее производства. На сколько денежных единиц изменились издержки производства продукции в результате роста (уменьшения) объема ее производства. Индекс издержек производства (затрат на производство) или Во сколько раз возросли (уменьшились) издержки производства продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом в результате изменения себестоимости продукции и объема ее производства. На сколько денежных единиц увеличились (уменьшились) издержки производства продукции в текущем периоде по сравнению с базисным периодом за счет изменения себестоимости и объема ее производства. 7.3. Средние индексы Средний индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Средний взвешенный индекс получают путем преобразования агрегатного индекса и должен быть тождественен ему. При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая. Схема вычисления средних индексов Индекс Индивидуальный индекс Агрегатный индекс Производные индивидуальных индексов Средний индекс Цен Пааше: Арифметический: Гармонический: Лайспереса: Арифметический: Гармонический: Физического объема Арифметический: Гармонический: Себестоимости Арифметический: Гармонический: Производительности труда Арифметический: Гармонический: 7.4. Индексы переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов Если любой качественный индексируемый показатель (себестоимость, цену, производительность труда и т.д.) обозначить через a, а его веса – через b, то динамику среднего показателя (средней себестоимости, средней цены, средней производительности труда и т.д.) можно отразить как за счет изменения обоих факторов (a и b), так и за счет каждого фактора в отдельности. Например, средняя производительность труда на предприятии может возрасти за счет ее повышения у рабочих отдельных специальностей и увеличения удельного веса рабочих с более высокой производительностью труда в общей численности рабочих. Совместное действие указанных факторов на общее изменение динамики среднего уровня явления, а также роль каждого фактора в отдельности в общей динамике средней выявляются в статистике при помощи системы взаимосвязанных индексов: индекса переменного состава, индекса постоянного (фиксированного) состава и индекса структурных сдвигов. Индекс переменного состава - это индекс, выражающий соотношение средних уровней изучаемого явления, относящихся к разным периодам времени Индекс переменного состава разбивается на два индекса-сомножителя: индекс постоянного (фиксированного) состава и индекс структурных сдвигов. Индекс переменного состава характеризует изменение среднего уровня признака за счет одновременного влияния двух факторов. Индекс переменного состава отражает изменение не только индексируемой величины (a), но структуры совокупности (весов) - b): . Динамику средней величины за счет изменения только самой индексируемой величины при одной и той же фиксированной структуре совокупности характеризует индекс постоянного (фиксированного) состава: . Индекс фиксированного состава аналогичен агрегатному индексу. Влияние только структурных изменений, под которыми понимается изменение доли отдельных единиц совокупности в общей их численности при неизменном уровне индексируемой величины характеризует индекс структурных сдвигов: . Если в индексах средних уровней в качестве весов используются удельные веса единиц совокупности в общей численности совокупности (показатели доли ), то система индексов может быть записана в следующем виде: ; ; . Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности за счет всех факторов находится как разность числителя и знаменателя индекса переменного состава: или . Абсолютный прирост (уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности за счет отдельных факторов рассчитывается как разность числителей и знаменателей индексов постоянного состава и структурных сдвигов: 1. За счет изменения значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности: или . 2. За счет структурных изменений: или . В общем виде: 7.5. Цепные и базисные индексы В ряде случаев для анализа социально-экономических явлений применяется система индексов. Если показатели каждого периода последовательно сравниваются с показателями одного периода, принятого за базу сравнения, то индексы, с помощью которых происходит такое сравнение, называются базисными. Если показатели каждого периода последовательно сравниваются с показателями непосредственно предшествующего периода, то индексы называются цепными. Цепные и базисные индексы могут быть как индивидуальными, так и общими. Различают общие базисные и цепные индексы с постоянными и переменными весами. Система индексов Индекс Базисные индексы Цепные индексы Индивидуальные индексы Индекс физического объема и т.д. и т.д. Индекс цен и т.д. и т.д. Цепные индексы получаются из базисных путем деления данного базисного индекса на предыдущий: . Произведение последовательных цепных индексов дает базисный индекс последнего периода: . Общие индексы с постоянными весами Индекс физического объема и т.д. и т.д. Индекс цен и т.д. и т.д. Отношение базисного индекса отчетного периода к базисному индексу предшествующего периода дает цепной индекс отчетного периода: . Базисные индексы можно получить, перемножив последовательно цепные индексы, начиная с первого: . Общие индексы с переменными весами Индекс физического объема и т.д. и т.д. Индекс цен и т.д. и т.д. Для индексов с переменными весами переход от цепных индексов к базисным (и наоборот) невозможен. Задачи по теме 1. По условным данным о затратах на производство продукции определить: 1. Общие индексы: а) суммы затрат на производство, б) себестоимости единицы продукции, в) физического объема; 2. Абсолютное изменение общих затрат на производство в текущем периоде по сравнению с плановым в целом, а также за счет изменения: а) себестоимости единицы, б) объема ее производства. Показать взаимосвязь показателей. Изделие Изменение себестоимости единицы продукции, % Общие затраты на производство, тыс. руб. по плану фактически 1 –3 30 34 2 –5 45 39 3 +1 13 19 --- 88 92 Решение: 1. а) Индекс затрат на производство: б) Индекс себестоимости продукции: . Т.к. по условию не известна себестоимость единицы продукции по плану - , но дано изменение себестоимости единицы продукции (зная которое можно определить индивидуальный индекс), воспользуемся формулой среднего гармонического индекса: . в) Индекс физического объема продукции, взвешенный по себестоимости продукции: . Общее увеличение затрат на производство составило 4,5% в результате изменения как себестоимости продукции, так и объема ее производства. В результате изменения себестоимости продукции издержки производства в отчетном периоде по сравнению с плановым снизились на 3,2%. В результате изменения объема производства общие затраты в отчетном периоде по сравнению с плановым увеличились на 8,0%. Взаимосвязь индексов: . 2. Разность числителя и знаменателя индекса затрат на производство показывает, на сколько денежных единиц изменились издержки производства продукции в текущем периоде по сравнению с плановым за счет изменения и себестоимости продукции, и объема ее производства. а) Разность числителя и знаменателя индекса себестоимости продукции показывает, на сколько денежных единиц изменились издержки производства в результате изменения только себестоимости продукции. б) Разность числителя и знаменателя индекса физического объема продукции показывает на сколько денежных единиц изменились общие издержки производства в результате изменения только объема производства. Общее изменение затрат можно определить также как сумму влияния отдельных факторов: 2. По условным данным о производстве продукции определить: 1. Индивидуальные индексы цен. 2. Общие индексы цен: а) агрегатный, б) среднегармонический, в) переменного, фиксированного состава, структурных сдвигов. 3. Абсолютное изменение средней цены в целом по совокупности за счет влияния отдельных факторов. Показать взаимосвязь показателей. Изделие Цена за единицу продукции, тыс.руб. Стоимость продукции, тыс.руб. базисный период отчетный период базисный период отчетный период 1 4,0 5,0 800 1200 2 6,0 5,0 360 250 3 1,4 1,2 1120 780 --- --- 2280 2230 Решение: Для проведения расчетов составим дополнительную таблицу. Изделие Количество продукции, шт. Стоимость продукции, реализованной в отчетном периоде по базисным ценам, тыс.руб. Индивидуальный индекс цен, % базисный период отчетный период 1 200 240 960 125,0 2 60 50 300 83,3 3 800 650 910 85,7 1060 940 2170 --- 1. Индивидуальный индекс цен рассчитывается по каждому виду продукции. Данные расчетов занесены в таблицу. Цены по первому виду продукции возросли на 25%, по второму и третьему снизились соответственно на 16,7% и 14,3%. 2. Общие индексы цен: а) Агрегатный индекс определим по формуле Паше: . б) Среднегармонический индекс получен преображением агрегатного, поэтому равен с ним количественно и совпадает по смыслу: . в) Индекс переменного состава: . Индекс фиксированного состава аналогичен агрегатному индексу: . Индекс структурных сдвигов: . Взаимосвязь индексов: . 3. Абсолютное изменение средней цены находится как разность числителя и знаменателя индекса переменного состава: тыс.руб. Это изменение складывается под влиянием двух факторов: а) Изменения цен на отдельные товары (разность числителя и знаменателя индекса фиксированного состава): тыс.руб. б) Изменения структуры продукции (разность числителя и знаменателя индекса структурных сдвигов): тыс.руб. Общее абсолютное изменение средней цены можно определить также как сумму влияния отдельных факторов: тыс.руб. Средний уровень цен по группе товаров увеличился на 222 рубля (10,3%) за счет одновременного влияния двух факторов – цен на отдельные виды продукции и структуры продаваемых изделий. Средняя цена увеличилась на 64 рубля (2,8%) за счет изменения только самой индексируемой величины – цены при одной и той же фиксированной структуре продукции. Влияние только структурных изменений, под которыми понимается изменение доли отдельных видов продукции в общей их численности при неизменном уровне цен на эти виды продукции привело к росту средней цены на 158 рублей (7,3%). 3. Определить индекс физического объема производства, если общие затраты времени на производство продукции снизились на 8%, а выработка продукции увеличилась на 2%. Решение: Из формулы выработки выразим физический объем производства . Индекс физического объема равен произведению индексов составляющих его показателей . Физический объем производства снизился на 6,2%.