Характеристические функции

Лекция 16. Характеристические функции 16.1 Определение и свойства характеристической функции Метод характеристических функций является одним из основных средств аналитического аппарата теории вероятностей. Наиболее ярко это будет продемонстрировано при доказательстве центральной предельной теоремы. Определение 1 Характеристической функцией случайной величины ξ называется комплекснозначная функция ϕξ (t) = M eitξ , определенная для всех действительных значений t. Из определения следует, что для дискретной случайной величины с рядом распределения ξ p x1 p1 x2 p2 ... ... xk pk ... ... характеристическая функция будет определяться формулой ϕξ (t) = ∞ X eitxk pk , k=1 а для непрерывной случайной величины Z∞ ϕξ (t) = eitx f (x)dx. −∞ Рассмотрим свойства характеристических функций. Свойство 1. ϕξ (0) = 1 для любой случайной величины ξ. Доказательство ϕξ (0) = M ei0ξ = M e0 = M · 1 = 1. Свойство 2. |ϕξ (t)| ≤ 1 для всех t ∈ R. Доказательство |ϕξ (t)| = |M eitξ | ≤ M |eitξ | = M | cos(tξ) + i sin(tξ)| = q = M cos2 (tξ) + sin2 (tξ) = M (1) = 1. Свойство 3. Для любых a, b ∈ R ϕaξ+b (t) = eibt ϕξ (at). 1 2 Кустицкая Т.А. Теория вероятностей, мат. статистика и случайные процессы. Лекции Доказательство ϕaξ+b (t) = M eit(aξ+b) = M (eitaξ eitb ) = eibt ϕξ (at). Свойство 4. Пусть случайные величины ξ1 , ξ2 , ..., ξn независимы, тогда n Q ϕξk . ϕξ1 +···+ξn = k=1 Доказательство Учитывая независимость случайных величин, имеем, что ϕξ1 +···+ξn (t) = M ( n Q M eitξk = n Q eitξk ) = k=1 n Q ϕξk (t). k=1 k=1 Свойство 5. Пусть случайная величина имеет абсолютный момент k-го порядка. Тогда (k) ϕξ (0) = ik M ξ k , (16.1) (k) где ϕξ (0) — производная k-го порядка функции ϕ(t). Доказательство Используя формулу дифференцирования показательной функции, получим, что dk dk dk itξ itξ ϕ (t) = M (e ) = M ( e ) = M (ik ξ k eitξ ) = ik M (ξ k eitξ ). ξ dtk dtk dtk Если t = 0, то ϕkξ (0) = ik M (ξ k ei0ξ ) = ik M (ξ k · 1) = ik M ξ k . (Внесение дифференцирования под знак математического ожидания возможно, так как математическое ожидание — это либо сумма, либо интеграл.) Значит, разложение в ряд характеn P (it)k ристической функции, если M |ξ|k < ∞, имеет вид ϕ(t) = 1 + M ξ k + o(|tn |). k! k=1 Замечание 1 Формулу (16.1) можно использовать для непосредственного вычисления математического ожидания и дисперсии случайной величины. Также можно находить эти моменты с использованием семиинварианта. Определение 2 Производная k-го порядка логарифма характеристической функции в точке 0, умноженная на ik , называется семиинвариантом k-го порядка случайной величины: Пусть ψ(t) = ln φξ (t), тогда ik ψ 0 (0) - семиинвариант. При этом M ξ = −iψ 0 (0), Dξ = −ψ 00 (0). Пример 16.1 Найти характеристическую функцию нормального распределения величины ξ. Решение Случайная величина имеет функцию плотности вероятности 1 ϕξ (t) = √ 2πσ Z∞ −∞ eitx e (x−a)2 − 2σ 2 1 dx = √ 2πσ Z∞ −∞ eitx− √ 1 e− 2πσ (x−a)2 2σ 2 (x−a)2 2σ 2 dx. , поэтому Кустицкая Т.А. Теория вероятностей, мат. статистика и случайные процессы. Лекции Сделаем замену переменной z = поэтому x−a σ 2 2 iat− σ 2t ϕ(t) = e Известно, что ∞−i+σ R z2 e− 2 dz = √ 3 − itσ. Тогда x = σz + itσ 2 + a, dx = σdz, 1 ·√ 2π ∞−itσ Z z2 e− 2 dz. −∞−itσ 2π, значит, ϕ(t) = eiat− σ 2 t2 2 . −∞−i+σ Замечание. Для стандартной нормальной величины (a = 0, σ = 1) характериt2 стическая функция ϕ(t) = e− 2 . Если задана функция распределения случайной величины ξ, то ее характеристическая функция находится однозначно. Но оказывается, что по характеристической функции можно также однозначно задать закон распределения случайной величины. 16.2 Наиболее важные теоремы о характеристических функциях Теорема 16.1 Теорема обращения. (без доказательства) Справедливы следующие утверждения: 1.Пусть ϕξ (t) - характеристическая функция случайной величины с функцией распределения F = F (x). Тогда для любых двух точек a и b (a < b), в которых функция F (x) непрерывна Z c −ita 1 e − e−itb ϕξ (t)dt. (16.2) F (b) − F (a) = lim c→∞ 2π −c it 2. Для целочисленной случайной величины ξ 1 pk = P (ξ = k) = 2π Zπ e−itk ϕ(t)dt, k = 0, ±1, ±2, . . . . (16.3) −π 3. Если характеристическая функция ϕ(t) случайной величины ξ абсолютно интегрируема, то существует плотность распределения f (x), определяемая формулой Z∞ 1 e−itx ϕ(t)dt. (16.4) f (x) = 2π −∞ Теорема 16.2 (Теорема единственности). Характеристическая функция случайной величины однозначно определяет ее функцию распределения. Доказательство Доказательство следует из формулы обращения (16.2) и из того, что разности F (b) − F (a) однозначно определяют F (x). Для этого достаточно в формуле (16.2) положить b = x и устремить a к −∞ c учетом lim F (a) = 0. a→−∞ Кустицкая Т.А. Теория вероятностей, мат. статистика и случайные процессы. Лекции 4 Пример 16.2 Найти закон распределения случайной величины ξ с характеристической функцией ϕ(t) = cos t. Решение Характеристическая функция ϕ(t) = cos t не является абсолютно интегрируемой на всей прямой, поэтому предполагаем, что ξ — дискретная случайная величина. Тогда характеристическая функция имеет вид ϕ(t) = ∞ X k=1 e itxk pk = ∞ X k=1 pk cos txk + i ∞ X pk sin txk . k=1 Так как ϕ(t) = cos t, то ясно, что ξ может принимать только два значения: 1 и −1 с равными вероятностями, т. е. p1 = P (ξ = −1) = 1/2, p2 = P (ξ = 1) = 1/2.