Группы в математике

Группы §1. Определение группы Пусть   произвольное непустое множество,   множество алгебраических операций на множестве . Определение. Множество с заданными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй. Алгебру будем обозначать . Множество  называется основным множеством алгебры . Например, алгебра  есть множество натуральных чисел с алгебраическими операциями сложения и умножения; алгебра  есть множество целых чисел с алгебраической операцией сложения. Рассмотрим алгебру G, где  бинарная алгебраическая операция. Определение. Алгебра G называется группой, если ее бинарная операция  удовлетворяет условиям: 1) операция  ассоциативна, то есть для любых элементов a, b, c  G ab)c=a(bc); 2) в G существует нейтральный элемент относительно операции , то есть такой элемент e, что для любого элемента a из G ae=ea=a; 3) для любого элемента a из G в G содержится симметричный элемент, то есть такой элемент a, что aa=aa=e. Группа G называется коммутативной или абелевой, если бинарная операция  коммутативна, то есть для любых a,b из G ab=ba. Определение. Порядком группы G называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G бесконечное множество, то группу G называют группой бесконечного порядка. Обычно используют мультипликативную или аддитивную форму записи алгебраической операции группы. При мультипликативной записи операцию  называют умножением и пишут a b, называя элемент a b произведением элементов a и b. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают e или 1 и называют единичным элементом или единицей группы. Элемент, симметричный a, обозначают a-1 и называют обратным элементу a. При аддитивной записи бинарную операцию  называют сложением и пишут a+ b, называя элемент a+ b суммой элементов a и b. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают 0 и называют нулевым элементом или нулем группы. Элемент, симметричный элементу a , обозначают(-a) и называют противоположным элементу a. В дальнейшем при рассмотрении теоретических вопросов используется мультипликативная форма записи операции группы. Примеры 1.1. Алгебра   абелева группа. Действительно: 1) ассоциативный закон сложения выполняется в Z; 2) нулевым элементом является число 0, так как a+0=0+a=a для любого aZ; 3) для любого a Z существует противоположный элемент (-a)Z. Кроме того, выполняется коммутативный закон сложения. Группа  называется аддитивной группой целых чисел. 1.2. Аналогично Q, R, C  абелевы группы. 1.3. Алгебра Q группой не является, так как для числа 0 обратный элемент не существует. Однако, если из множества Q исключить число 0, полученное множество обозначим Q*, то алгебра (Q*,)  абелева группа. Действительно: 1) ассоциативный закон умножения в Q* выполняется; 2) единичным элементом является число 1, так как для любого a Q* a1=a1=a; 3) для любого a  Q* существует обратный элемент a-1 Q*. Кроме того, в Q* выполняется коммутативный закон умножения. Группа (Q*,) называется мультипликативной группой рациональных чисел. 1.4. Аналогично, (R*,)(C*,) – абелевы группы. 1.5. Пусть nZ множество целых чисел, кратных данному натуральному числу n. nZ = {x x=nt, n N, t Z}. Докажем, что сложение – алгебраическая операция на множестве nZ, то есть ( x, y  nZ) (x y) nZ. Действительно: x=nt, y=nt1, где t,t1 Z, тогда x+y=nt+nt1=n(t+t1), где (t+t1) Z, значит (x+y) nZ и сложение – алгебраическая операция на множестве nZ. Рассмотрим алгебру (nZ,+): 1) на множестве nZ выполняется ассоциативный закон сложения, так как он выполняется на множестве Z, а nZ  Z; 2) 0nZ, так как 0= n0,0 Z; 3)  x nZ) (-x) nZ). Действительно: x=nt, t Z,  x  nt=n( t), где ( t) Z, значит ( x) nZ. Алгебра (nZ,+) является группой, причем абелевой. 1.6. Рассмотрим множество Z чисел вида ab, где a и b целые числа. Zx x=a+b, a,b Z. Докажем, что умножение – алгебраическая операция в Z, то есть  x,y  Z xy Z. Действительно: x=a+b, y=c+d, a,b,c,d  Z, xy=(a+b)( c+d)=(ac+2bd)+(ad+bc) , причем (ac+2bd) Z, (ad+bc) Z , значит xy Z и умножение – алгебраическая операция в Z. Рассмотрим алгебру (Z,): 1) ассоциативный закон умножения в Z выполняется, так как он выполняется в R, а ZR; 2) 1 Z, так как 1=1+0, 0,1 Z; 3)  x Z) должно выполняться: ( x-1  Z). Но для x=0 не существует x-1. Значит, алгебра (Z,) группой не является. Однако, если из множества Z исключить число 0 (такое множество обозначим (Z)*, то, очевидно, в (Z)* умножение – алгебраическая операция, свойства 1 и 2 выполняются. Рассмотрим свойство 3 в (Z)*. 3)  x  Z*) ( x-1  ), так как x0. Выясним принадлежит ли x-1 множеству Z*, x=a+b, a,b  Z, a+b 0. x-1= числа , могут не принадлежать Z , значит x-1(Z)*. Следовательно, ((Z)*,) группой не является. 1.10. Пусть Sn - совокупность всех подстановок множества M=1,2,…,n, то есть совокупность взаимно однозначных отображений множества M на себя. Произведением двух подстановок из Sn называется результат последовательного выполнения двух взаимно однозначных отображений множества M на себя. Известно, что умножение – алгебраическая операция на множестве Sn , причем операция умножения ассоциативна, тождественная подстановка является единичным элементом на множестве Sn , для любой подстановки из Sn существует в Sn обратная. Следовательно, алгебра (Sn , ) является группой. Эта группа называется симметрической группой подстановок степени n или симметрической группой степени n. Она имеет порядок n и не абелева при n. Пусть n=3, множество S3 состоит из подстановок: – тождественная подстановка. Найдем произведения подстановок Действительно, при подстановке 1 переходит в 1, но при 1 переходит в 2, при 1 переходит в 2. Далее, при подстановке 2 переходит в 3, а при подстановке 3 переходит в 1, поэтому при переходит в 1 и т.д. . Составим таблицу умножения для группы (S3,). Такую таблицу в теории групп называют таблицей Кэли. Из таблицы видим, что – единичный элемент, . Определение. Подстановка называется четной или нечетной в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий в нижней строке. Во множестве подстановки - четные, - нечетные. §2. Подгруппы Определение. Пусть (G,) – группа, H G, умножение – алгебраическая операция в H. Алгебра (H,) называется подгруппой группы (G,), если она сама является группой. Примеры 2.1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – аддитивные группы, причем ZQRC, следовательно (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) – подгруппы группы (C,+). 2.2 . - мультипликативные группы, причем , следовательно, - подгруппы группы . 2.3. (nZ,+), (Z,+) – аддитивные группы, причем nZZ, следовательно (nZ,+) – подгруппа группы (Z,+). 2.4. ,) – мультипликативная группа корней n степени из 1, , следовательно ,) – подгруппа группы,). 2.5. Пусть (C,) – произвольная группа, e – единичный элемент, а) (e, - группа, причем e G, значит (e, подгруппа группы (С,), она называется единичной подгруппой. б) GG, значит (G,) – подгруппа группы (G,). Единичная подгруппа и сама группа называются тривиальными подгруппами. Критерий группы Пусть (G,) – группа, H G, умножение – алгебраическая операция в H. Для того, чтобы алгебра (H,) была подгруппой группы (G,),необходимо и достаточно, чтобы ( a  H)  H. Известна теорема Лагранжа. Порядок любой подгруппы произвольной конечной группы является делителем порядка самой группы. Примеры 2.6. Найти все подгруппы мультипликативной группы (корней 6-ой степени из 1. , где , k=0,5. - абелева группа. Решение: Пусть (H, - подгруппа группы . По определению и критерию подгруппы, умножение – алгебраическая операция в H;eH; ( a H)  H. Кроме того, так как порядок группы равен 6, то подгруппы могут иметь порядки 1,2,3,6. 1. - единичная подгруппа. 2. следовательно, подгруппу данной группы множество H не образует. 3. Пусть Кроме того, , ,. Следовательно, умножение – алгебраическая операция в H. По критерию подгруппы, алгебра (H, - подгруппа данной группы. Легко видеть, что других подгрупп данной группы 2-го порядка нет. 4.Пусть Кроме того , ,, , , Это означает, что умножение – алгебраическая операция в H. По критерию подгруппы, алгебра (H, - подгруппа данной группы. Других подгрупп данной группы 3-го порядка нет. 5. Очевидно, что подгруппа 6-го порядка совпадает с самой группой. Вывод: Данная группа имеют 4 подгруппы: - единичная подгруппа, (подгруппа, являющаяся группой корней квадратных из 1, () – подгруппа, являющаяся группой корней кубических из 1, ( подгруппа, совпадающая с самой группой. §3. Смежные классы Пусть в группе (G,) взята произвольная подгруппа (H,, Определение. Левым смежным классом группы (G,) по подгруппе (H,, порождаемым элементом x, называется множество вида Примеры 3.1. Пусть ( мультипликативная группа корней 4-ой степени из 1. подгруппа корней квадратных из 1. Левые смежные классы, порождаемые элементом имеют вид При При При При Свойства смежных классов 1.Всякий левый смежный класс порождается любым из своих элементов, то есть если , то 2. Два любых смежных класса группы по подгруппе или совпадают, или же не имеют ни одного общего элемента. Таким образом, множество G распадается на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе . Это разложение называется левосторонним разложением группы по подгруппе . В приведенном выше примере iH i;-i H 1;-1 В построенные классы вошли все элементы группы. Классы H, iH составляют левостороннее разложение группы ( по подгруппе Аналогично определяется правый смежный класс и правостороннее разложение группы по подгруппе. В приведенном выше примере Hi i;-i H 1;-1 . Классы H, iH составляют правостороннее разложение группы ( по подгруппе Примеры 3.2. Найти левые и правые смежные классы аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных 3. Решение: По определению, левый смежный класс аддитивной группы (G,+) по подгруппе где порождаемый элементом, есть множество а правый смежный класс есть Дана группа ее подгруппа. . В качестве первого левого смежного класса возьмем множество Возьмем любой элемент из , не вошедший в первый класс, например число 1, и прибавим его к элементам подгруппы . Получим второй смежный класс Далее, возьмем элемент из , не вошедший в два построенных смежных класса, например число , и прибавим его к элементам подгруппы . Получим В построенные классы вошли все элементы группы . Классы 3Z, 1+3Z, 2+3Z есть левостороннее разложение группы (Z,+) по подгруппе Аналогично, правые смежные классы группы по подгруппе имеют вид Классы 3Z, 3Z+1, 3Z+2 есть правостороннее разложение группы (Z,+) по подгруппе §4. Нормальные делители и фактор-группы Пусть в группе взята произвольная подгруппа Определение. Подгруппа группы называется нормальным делителем этой группы, если левостороннее разложение группы по подгруппе совпадает с правосторонним. Левостороннее разложение группы по подгруппе состоит из классов H, xH, yH, …. Правостороннее – из классов H, Hx, Hy,… Отсюда видим, что определению нормального делителя можно придать такую форму: Определение. Подгруппа группы называется нормальным делителем этой группы, если Примеры Из определения следует, что все подгруппы абелевой группы являются в ней нормальными делителями. Во всякой группе и единичная подгруппа, и сама группа будут нормальными делителями: оба разложения группы по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные элементы, оба разложения группы по самой этой группе состоят из одного класса . Фактор-группы Пусть дана группа и - её нормальный делитель. Он разбивает группу на непересекающиеся левые (правые) смежные классы, причем левые и правые смежные классы можно не различать. Где x,y, … G. Множество всех смежных классов группы по подгруппе обозначим Определим на этом множестве произведение классов. Определение. Произведение классов xH и yH называется множество Теорема. Произведение любых двух смежных классов группы по подгруппе есть смежный класс, причем Из теоремы следует, что умножение есть алгебраическая операция на множестве , тогда можно доказать, что алгебра () является группой. Определение. Алгебра () называется фактор-группой группы по нормальному делителю . Примеры 4.4. Пусть аддитивная группа целых чисел, - подгруппа чисел, кратных 3, являющаяся нормальным делителем данной группы. Разобьем группу с помощью подгруппы на попарно непересекающиеся смежные классы. - фактор группа группы по подгруппе . Найдем, например, сумму классов и По теореме о сумме классов в аддитивной фактор-группе Аналогично находится сумма любых других классов фактор-группы . Составим таблицу сложения классов. Из таблицы видим, что операция сложения классов коммутативна. Нулевой элемент – класс . Противоположный элемент для каждого класса равен §5. Порядок элемента группы. Циклические группы Пусть - группа, e – ее единичный элемент, . Определение. Порядком элемента a группы называется наименьшее натуральное число n , такое, что Если для любого натурального числа n, то a называют элементом бесконечного порядка. Примеры 5.1. В мультипликативной группе комплексных чисел 1) порядок 1 равен 1, так как ; 2) порядок (-1) равен 2, так как 3) порядок – равен 3, так как , 4) порядок i равен 4, так как 5) порядок (-i) равен 4, так как (- 6) число 2 – элемент бесконечного порядка, так как при Циклические группы Определение. Мультипликативная группа называется циклической, если основное множество группы состоит из степеней какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы. ,где a – образующий элемент. Определение. Аддитивная группа называется циклической, если её основное множество состоит из кратных какого-либо одного элемента группы; этот элемент называется образующим элементом группы. G=где a – образующий элемент группы. Теорема 1. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой. Теорема 2. Любая подгруппа циклической группы есть циклическая группа. Примеры 5.4. - аддитивная группа целых чисел. или следовательно, - циклическая группа с образующим элементом 1 или (-1). 5.5. Аддитивная группа является циклической с образующим элементом 1 или 5. §6. Изоморфизм групп Пусть даны группы и . Определение. Группы и называются изоморфными, если существует отображение  множества G на множество H, удовлетворяющее условиям: 1)  - инъективное отображение множества G на множество H, т.е. , если , то 2) Обозначают Примеры 6.1. Докажем, что аддитивная группа целых чисел изоморфна аддитивной группе четных чисел. Решение: и - данные группы. Зададим отображение  множества Z на множество 2Z формулой: () 1) – инъективное отображение, так как для любых t и s и если то т.е. 2) По определению,  - изоморфизм группы на группу , следовательно, . 6.2. Докажите, что аддитивная группа четных чисел изоморфна мультипликативной группе целых степеней числа 3. Решение: Даны группы , , где Зададим отображение  множества 2Z на множество G формулой 1) отображение  - инъективное, так как и если , то и 2) = По определению, . Кольца §1. Понятие кольца Рассмотрим алгебру с двумя бинарными алгебраическими операциями. Операции будем называть сложением и умножением и обозначать +,. Определение. Алгебра с двумя бинарными алгебраическими операциями называется кольцом, если: 1) алгебра (K,+) есть абелева группа; 2) операция умножения ассоциативна, то есть для любых 3) операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения, то есть для любых и Если операция умножения коммутативна, то есть для любых , то кольцо называется коммутативным. Если кольцо содержит элемент e, нейтральный относительно умножения, то e называется единицей кольца, кольцо называется кольцом с единицей. Примеры 1.1. Алгебра – коммутативное кольцо с единицей. Действительно: 1) алгебра – абелева группа; 2) операция умножения ассоциативна в Z; 3) операция умножения в Z дистрибутивна относительно сложения. Кроме того, выполняется коммутативный закон умножения. Кольцо называется кольцом целых чисел. 1.2. Аналогично, алгебры , коммутативные кольца с единицей. 1.3. Пусть – множество целых чисел, кратных данному натуральному числу n. В первой части (пример 1.5) доказано, что (nZ,+) – абелева группа. Докажем, что умножение – алгебраическая операция в , то есть Действительно: где тогда , где значит, и умножение – алгебраическая операция в . Рассмотрим алгебру 1) – абелева группа; коммутативный, ассоциативный закон умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения в выполняется, так как они выполняются в Z, а Алгебра - коммутативное кольцо, которое называется кольцом целых чисел, кратных данному натуральному числу n. 1.4. Рассмотрим множество чисел вида , где a и b – целые числа. Докажем, что сложение и умножение – алгебраические операции в то есть Действительно: значит, значит . Следовательно, сложение и умножение – алгебраические операции в . Рассмотрим алгебру : а) коммутативный, ассоциативный законы сложения и умножения, дистрибутивный закон умножения относительно сложения в выполняются, так как они выполняются в R,а б) Действительно: ,значит Вывод: Алгебра - коммутативное кольцо с единицей. §2. Подкольца Определение. Пусть кольцо, , сложение и умножение – алгебраическая операция в L. Алгебра называется подкольцом кольца , если она сама является кольцом. Примеры 2.1. , - кольца, причем следовательно , - подкольца кольца . 2.2. - кольца, причем , следовательно, подкольцо кольца . 2.3. - произвольное кольцо, по определению кольца, - кольцо, причем и , значит и - подкольца кольца Критерии подкольца Пусть - кольцо, , сложение и умножение – алгебраические операции в L. Для того, чтобы алгебра была подкольцом кольца , необходимо и достаточно, чтобы Примеры 2.4. Пусть – кольцо квадратных матриц 2-го порядка с действительными элементами, L - множество всех диагональных квадратных матриц 2-го порядка, то есть множество матриц вида. Докажите, что множество L образует относительно сложения и умножения подкольцо кольца Решение: . Очевидно, Докажем, что сложение и умножение – алгебраические операции в L, то есть Действительно: Рассмотрим алгебру Действительно, , значит, . По критерию подкольца, подкольцо кольца §3. Поля Рассмотрим алгебру с двумя бинарными алгебраическими операциями. Определение. Алгебра , содержащая не менее двух элементов, называется полем, если 1) алгебра есть коммутативное кольцо; 2) в P существует единичный элемент, то есть ; 3) существует обратный элемент ,т.е. такой элемент, что Примеры 3.1. Алгебра есть поле, т.к. 1) коммутативное кольцо; 2) ; 3) для любого существует 3.2. Аналогично - поля. 3.3. Выяснить, являются ли коммутативные кольца а) () и б)( полями. Решение: а) Для коммутативного кольца () с единицей проверим выполнимость условия 3 из определения поля. . Выясним, принадлежит ли множеству . могут не принадлежать Z, значит, может не принадлежать , следовательно, кольцо () полем не является. б) В коммутативном кольце () . Аналогично предыдущему, значит,. Следовательно, кольцо ) – поле. §4. Идеалы кольца Пусть - коммутативное кольцо, Определение. Непустое подмножество J множества K называется идеалом кольца , если: 1) 2) Теорема. Если J – идеал кольца , то сложение и умножение – алгебраические операции в J, а алгебра является подкольцом кольца Примеры 4.1. Пусть - произвольное кольцо, 0 – нулевой элемент этого кольца. 1) 0-0=0, 0 2) тогда имеем По определению идеала, множество – идеал данного кольца, называемый нулевым. 4.2. Пусть - произвольное кольцо, 1) 2) По определению идеала, множество K есть идеал кольца, называемый единичным идеалом. Операции над идеалами Пусть - произвольное кольцо, I и J – идеалы данного кольца. Определение. Суммой идеалов I и J кольца называется множество I+J, определяемое равенством Определение. Произведением идеалов I и J кольца называется множество IJ, определяемое равенством – любое натуральное число. Определение. Пересечением идеалов I и J кольца называется множество Легко доказать, что сумма, произведение, пересечение идеалов кольца есть идеал этого кольца. Примеры 4.5. Найдите идеал (2): а) в ; б) в ; в) в г) в Решение: По определению главного идеала кольца , порожденного элементом 2, а) в кольце (2)= есть множество четных чисел. б) в кольце (2)= J=(2) есть множество целых гауссовых чисел с четными действительной частью и коэффициентом при мнимой части. в) в кольце = есть множество многочленов с четными коэффициентами. г) в кольце есть множество многочленов с рациональными коэффициентами, т.к. любой многочлен с рациональными коэффициентами после умножения на 2 дает многочлен того же вида. §5. Сравнение и классы вычетов по идеалу. Фактор-кольцо Пусть - коммутативное кольцо, J - идеал этого кольца, тогда алгебра - подкольцо данного кольца, а значит сама является кольцом. По определению кольца, - аддитивная абелева группа – ее подгруппа, причем, т.к. группа абелева, то - нормальный делитель этой группы. Следовательно, он определяет разбиение группы на непересекающиеся смежные классы по подгруппе . В кольце эти смежные классы называют классами вычетов по идеалу J. Множество классов вычетов кольца по идеалу J будем обозначать . Примеры 5.1. Пусть кольцо целых чисел, Видим Построим классы вычетов кольца по идеалу . – множество классов вычетов кольца по идеалу (или Определение. Элементы a и b кольца называются сравнимыми по идеалу J, если (a-b)J. Этот факт обозначают или в краткой форме, Например, в кольце для идеала Критерий сравнимости по идеалу Для того, чтобы два элемента кольца были сравнимы по идеалу J данного кольца, необходимо и достаточно, чтобы они принадлежали одному классу вычетов по идеалу J. Фактор-кольцо Рассмотрим множество классов вычетов кольца по идеалу J, т.е. множество смежных классов группы по подгруппе , где На этом множестве в I части была определена операция сложения классов и доказано , т.е. сложение есть алгебраическая операция на множестве . Определим произведение классов вычетов по идеалу J. Определение. Произведением классов x+J и y+J назовем класс, в котором лежит произведение xy, т.е. Можно доказать, что наше определение не зависит от выбора элементов в классах Это означает, что операции умножения – алгебраическая на множестве . Теорема. Алгебра является кольцом. Это кольцо называется фактор-кольцом кольца по идеалу J. Примеры 5.2. Постройте фактор-кольцо кольца по идеалу . Составьте таблицы сложения и умножения классов. Решение: Классы вычетов кольца по идеалу построены в примере 5.1 – множество классов вычетов кольца по идеалу ( – фактор-кольцо кольца по идеалу . Таблица сложения Таблица умножения Из таблицы видим: нулевой элемент – класс , противоположные элементы Единичный элемент – класс §6. Области целостности. Делители нуля Пусть - произвольное кольцо. Определение. Отличный от нуля элемент a кольца называется делителем нуля в данном кольце, если в K существует отличный от нуля элемент b, такой, что или (разумеется, в этом случае и элемент b является делителем нуля в Определение. Областью целостности называется коммутативное кольцо, содержащее не менее двух элементов, без делителей нуля. Примеры 6.1. В кольце классов вычетов по модулю 6 делителями нуля являются классы 2,3,4, т.к. 23=0, 34=0. 6.2. В кольце квадратных матриц второго порядка с действительными элементами делителями нуля являются, например, матрицы §7.Простейшие свойства делимости в коммутативном кольце Обратимые и ассоциативные элементы Пусть - коммутативное кольцо с единицей. Определение. Элемент bK называется делителем элемента a а элемент a- кратным b, если в K существует такой элемент c, что a=bc. Запись означает, что b есть делитель a, запись означает, что a делится на b, или a кратно b. Примеры. 7.1. В кольце многочленов с действительными коэффициентами многочлен делится на многочлен , так как В кольце многочлен не делится на, так как 7.2. В кольце целых гауссовых чисел В самом деле: Обратимые элементы Определение. Элемент u кольца называется обратимым или делителем единицы, если в K существует такой элемент v, что uv=e. В этом случае пишут Теорема. Пусть A – множество всех обратимых элементов коммутативного кольца . Тогда умножение- алгебраическая операция в A, алгебра (A, является абелевой группой. Примеры. 7.5. В кольце целых чисел обратимыми являются числа 1 и -1. Других обратимых элементов нет. 7.6. В кольце целых гауссовых чисел обратимыми являются числа Других обратимых элементов в этом кольце нет. Действительно, если элемент обратим, то найдется число такое, что Но тогда и Так как – целые числа и то равенство (1) возможно лишь в случае т.е. в одном из четырех случаев: Это означает, что может иметь лишь четыре значения: Ассоциированные элементы Определение. Элементы a и b кольца называются ассоциированными в , если . (Обозначают Теорема. В области целостности элементы a и b ассоциированы тогда и только тогда, когда существует такой обратимый в элемент u, что a=ub. 7.9. В кольце 7.10. В кольце а) б) 7.11. В кольце Действительно: , то есть то есть По определению, . Вычисления показывают, что причем элемент обратим в данном кольце. В самом деле: §8. Простые и составные элементы области целостности Пусть - область целостности с единицей. Всякий элемент a кольца делится на любой обратимый элемент кольца и на каждый ассоциированный с a элемент кольца. Такие делители называются тривиальными делителями элемента a. Определение. Элемент области целостности называется простым или неприводимым в , если он отличен от нуля, необратим и имеет только тривиальные делители. Определение. Элемент области целостности называется составным или приводимым в кольце , если он отличен от нуля и его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов кольца. Множество всех элементов области целостности распадается на четыре класса: 1) множество, содержащее один элемент – нуль, 2) множество всех обратимых элементов; 3) множество всех простых элементов; 4) множество всех составных элементов. Отметим, что в любом поле нет ни простых, ни составных элементов, т.е. последние два класса пустые. Примеры 8.1. В кольце указанные классы состоят из чисел: 1) 2) 3) 4) 8.2. В кольце многочленов с комплексными коэффициентами классы состоят из многочленов: 1), 3) множество многочленов 1 степени, неприводимых над полем C, 4) множество многочленов степени приводимых над полем C. Определение. Говорят, что элемент a области целостности обладает однозначным разложением на простые множители, если для любых двух разложений элемент a на простые множители имеем m=n и при соответствующей нумерации Определение. Кольцо называется факториальным, если оно есть область целостности и всякий отличительный от нуля необратимый элемент кольца обладает однозначным разложением на простые множители. Отметим, что любое поле есть факториальное кольцо, так как не имеет отличных от нуля необратимых элементов. Из теории чисел и теории многочленов известно, что кольцо целых чисел, кольцо многочленов над числовым полем P есть факториальные кольца. 8.3.Какие из чисел приводимы в кольце целых гауссовых чисел? Решение: В кольце обратимы только числа а) Допустим, что число 2 является составным в данном кольце, значит 2 представляется в виде произведения двух необратимых элементов данного кольца. – обратимые элементы, кроме того, поэтому, значит Отсюда Тогда легко найти, что полученные разложения числа 2 отличаются порядком следования сомножителей и обратимыми множителями. Число 2 составное в кольце , так как его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов. б) Аналогично для числа 3. причем Поэтому равенство возможно лишь в случае Таких целых нет. Следовательно, число 3 – простое в кольце . в) Для числа имеем тогда аналогично пункту а) причем Таких целых нет. Следовательно, число – простое в кольце . То же легко получить для числа оно также простое. г) отметим, что числа ассоциированы. Для числа аналогично пункту а) имеем причем Поэтому: 1) или 2) . Отсюда, 1) Отсюда, для числа получаем . В остальных случаях разложения числа простые множители будут отличаться порядком следования сомножителей и обратимыми множителями. Итак, доказали: число составное в кольце . Для числа ассоциированного с числом получаем Легко доказать, что числа также составные, причем