Группы. Основные определения. Подгруппы
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Группы. Основные определения.
Определение. Множество объектов произвольной природы G ≠ ∅, где операция *,
называется группой, если:
1. Замкнутость: ∀ a, b ∈ G, a*b ∈ G
2. Ассоциативность: ∀ a, b, c ∈ G, a*(b*c) = (a*b)*c
3. Существование единичного элемента: ∃ e ∈ G: ∀ a ∈ G, a*e = e*a = a
4. ∀a ∈ G ∃ a-1 ∈ G: a*a-1 = a-1*a = e
Определение. Группа абелева, если выполняется свойство коммутативности: a*b =
b*a (эти элементы коммуцируют/они перестановочны, b – централизатор элемента
a)
Теорема 1. Единичный элемент единственен
Теорема 2. ∀a ∈ G ∃! a-1 ∈ G
– мультипликативная группа (G*)
– аддитивная группа (G+; -a – противоположный элемент)
Определение. Аддитивная абелева группа – модуль.
Примеры групп:
1) R – кольцо ⇒ R- – абелева группа
2) Mn(k) – множество матриц n×n, с элементами из поля k, e = E, ∃ A-1 ⇔ det A =
0 – множество обратимых матриц GLn(k).
Таблицы умножения:
G = {e}
G = {e, a}: a*a = e, a-1 = a
e
a
e
e
a
a
a
e
G = {e, a, b}: b = a-1
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Определение. G, называется полугруппой, если:
1. Замкнутость: ∀ a, b ∈ G, a*b ∈ G
2. Ассоциативность: ∀ a, b, c ∈ G, a*(b*c) = (a*b)*c
Определение. Моноид – это полугруппа, в которую добавлен единичный элемент.
Примеры полугрупп:
1) – полугруппа
– моноид, e = 1
2) P(M) – множество всех подмножеств в множестве M
– моноид, единичный элемент – пустое множество
– моноид, единичный элемент – M
Определение. Если a*b=b*a, то они коммутируют (или перестановочны)
C(a) = {b∈G: a*b=b*a} – централизатор элемента а.
Z(G) = {b∈G: a*b=b*a, ∀a ∈ G} – это центр группы G.
Определение. Если у группы число элементов является натуральным числом, то
она конечная. Иначе – бесконечная.
#G – порядок группы
Подгруппы
Определение. Подгруппа – это подмножество H ≠ ∅ группы G, которое само тоже
группа:
1. Замкнутость: ∀ a, b ∈ H, a*b ∈ H
2. ∀a ∈ H ∃ a-1 ∈ H
Примеры:
1. G = Z, H = 2Z … H = nZ
2. G = R* = R\{0}, H = {1, -1}
Определение. H = G или {e} – несобственные подгруппы, остальные –
собственные.
Утверждение. Пересечение любого числа подгрупп является подгруппой.
Определение. Пусть G – группа, M, N ⊆ (является подмножеством) G
M*N = {m*n | m ∈ M, n ∈ N} – действие группы на множестве
M-1 = {m-1 | m ∈ M}
∀ M, N, K ⊆ G:
1. (MN)K = M(NK)
2. (MN)-1 = M-1N-1
3. (M ∪ N)K=MK ∪ NK
4. (M ∪ N)-1 = M-1 ∪ N-1
5. (M-1)-1 = M
6. M ⊆ N ⇒ MK ⊆ NK, KM ⊆ KN
Теорема. G – группа, H ⊆ G, H ≠ ∅, H – подгруппа ⇔ любое из условий
выполняется:
1. HH ⊆ H, H-1 ⊆ H
2. HH = H, H-1 = H
3. HH-1 ⊆ H или H-1H ⊆ H
4. HH-1 = H или H-1H = H
Порождающие системы. Циклические группы.
Теорема. G – группа, S ⊆ G – подмножество
1) S ⊆ H
2) ∀ H’: S ⊆ H’ ⇒ H ⊆ H’
Определение. Подгруппа H порождена множеством S, а S – порождающая
система (множество) для группы H. H = .
Пример:
G = Z, S = {8, 12}
8 ∈ Z, 2Z, 4Z, 8Z
12 ∈ Z, 2Z, 3Z, 4Z, 6Z, 12Z
S ⊆ Z, 2Z, 4Z (Hi в теореме)
4Z ⊆ 2Z ⊆ Z (H’ в теореме)
H = 4Z
4Z = {…, -8, -4, 0, 4, 8, …} – <4> (циклическая группа)
Определение. Группа, порожденная одним элементом – циклическая группа.
= {…, a-1, a0(e), a, a2, a3, …}, a – образующая группы ;
Циклическая группа всегда Абелева:
ak*am = a *…* a * a *… * a = am*ak
k
m
2
{e, a, a , …} =
{e, a, a2, …, ak-1, ak = e} =
# = k, k – порядок элемента a (порядок группы)
Смежные классы
Определение. G – группа, Н – подгруппа
g ∈ G, gH(Hg) = {gh (hg) | h ∈ H} – левый (правый) смежный класс группы G по
подгруппе Н.
Теорема. Любые два смежных класса либо не пересекаются g1H ⋂ g2H ≠ ∅, либо
совпадают g1H = g2H;
Утверждение. Между двумя смежными классами ∃ биекция φ: X→Y:
1) Инъекция: x1≠x2 ⇒ φ(x1) ≠ φ(x2)
2) Сюръекция: ∀ y ∈ Y ∃ x(прообраз) ∈ X: φ(x) = y
Биекция – это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и
инъективным.
Сюръекция – отображение множества X на множество Y, при котором каждый
элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X.
Инъекция – отображение множества X в множество Y, при котором разные
элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y, то есть, если
два образа при отображении совпадают, то и прообразы совпадают.
Определение. Индекс подгруппы H в группе G обычно обозначается [G:H] –
число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы G
по этой подгруппе H.
Теорема Лагранжа. Порядок группы делится на порядок подгруппы. Порядок
любого элемента является делителем порядка группы. Любой элемент в степени
порядка группы равен единичному.
Пример:
1) G = Z, H = 18Z (смежный класс = классу вычетов по модулю 18)
0+H
…
3 + H = 3 + 18Z = {…, -15, 3, 21, 39, 57, ….} = -33 + 18Z
4 + H = 4 + 18Z = {…, -14, 4, 22, 40, …}
…
17 + H = …
̅̅̅, 0̅}
̅̅̅, ̅15
2) G = Z/18Z, H = <3̅> = {3̅, 6̅, 9̅, ̅12
̅̅̅, ̅13
̅̅̅, ̅16
̅̅̅, 1̅}
1 + H = {4̅, 7̅, ̅10
̅̅̅, ̅14
̅̅̅, ̅17
̅̅̅, 2̅}
2 + H = {5̅, 8̅, ̅11
3+H=H
# G = 18, #H = 6 ⇒ [G:H] = 3
Если G – абелева группа ⇒ gh = hg ∀ g ∈ G, h ∈ H (h ∈ G).
Определение. H – нормальная подгруппа H ◁ G, если gH = Hg (совпадают) ∀ g ∈
G (сравниваем множества).
Определение. Множество смежных классов образует группу G/H = {gH} –
факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H.
Факторгруппа – множество смежных классов группы по её нормальной
подгруппе, само являющееся группой: G/H.
Утверждение. H ◁ G ⇔ ∀ g ∈ G, h ∈ H
g-1hg ∈ H
Определение. h, h1 – сопряженные элементы, если ∃ g ∈ G: h1 = g-1hg.
Утверждение. Подгруппа является нормальной, если она вместе с каждым своим
элементом содержит все с ним сопряженные. Свойства отношения
сопряженности:
1. Рефлексивность ∀ h ∈ H h = e-1he
2. Симметричность h1 = g-1hg ⇒ (g-1) -1h1g-1 = h
3. Транзитивность hRb и bRz ⇒ aRz
Значит оно является отношением эквивалентности.
Утверждение. Два любых класса сопряженности либо не пересекаются, либо
совпадают.
Утверждение. Единичный элемент: e = g-1eg
Определение. Группа кручения Tors(G) – группа, образованная элементами
конечного порядка, которые принадлежат группе бесконечного порядка. Иначе –
группа без кручения.
Группа подстановок.
Определение. M- множество, φ: M → M, φ – биекция ⇒ φ – преобразование.
φ, ψ – преобразования множества M: φ∘ψ(m) = φ(ψ(m)).
1. φ∘ψ – преобразование (биективно и сюръективно)
2. Ассоциатиыность
φ, ψ, χ – преобразования множества M
φ∘(ψ∘χ)(m) = φ∘(ψ(χ(m)))= φ∘ψ∘(χ(m)) = (φ∘ψ)∘χ(m)
3. Единичный элемент
ε(m) = m, ∀ m ∈ M;
φ∘ε(m) = φ(ε(m)) = φ(m)
ε∘φ(m) = ε(φ(m)) = φ(m)
4. Обратный элемент
∀ m ∈ M ∃! ψ(m):
φ(ψ(m)) = m
Множество преобразований – группа.
M = {1, 2, …, n}
1 2
φ = φ(1) φ(2)
… n
… φ(n) – подстановка (перестнавка)
Sn – группа подстановок (симметрическая группа порядка n)
#Sn = n!
Пример (φ∘ψ):
1 2
2 4
3 4
1 3
1 2
4 1
3 4
1 2
=
3 2
3 2
3 4
1 4
Перемножаем перестановки из одинакового числа элементов.
ε=
1 2
1 2
3 4
3 4
Умножение некоммутативно:
φ-1 =
1 2 3
2 4 1
4
3
=
2
1
4
2
1
3
3
1
=
4
3
2 3 4
1 4 2
Определение. Транспозиция φ: M → M, φ(i)=j, φ(j)=i, φ(k)=k, ∀ k≠i, j;
Лемма. Для транспозиции φ: φ-1 = φ, φ2 = e
Теорема 1. Всякая подстановка может быть представлена в виде произведения
транспозиций (n⩾2).
Определение. Инверсия – нарушение порядка в нижней строке подстановки, если
числа верхней строки расположены в их естественном порядке.
Пример (φ∘ψ):
1 2
2 4
3 4
1 3
3 инверсии: (2, 1), (4, 1), (4,3)
Если число инверсий четное, то подстановка – четная, иначе – нечетная.
Теорема. Умножение на транспозицию меняет четность подстановки.
Теорема. Четные подстановки образуют подгруппы симметрической группы Sn.
Определение. φ ∈ Sn, ai ∈ {1, 2, …, n}, i = (1, 2, …, k): φ(a1)=a2, φ(a2)=a3, …,
φ(ak)=a1; φ(b)=b ∀ b≠ai;
Множество a1, a2, …, ak называется цикл.
φ = (a1 a2 … ak) (b1)(b2)…(bl)
цикл
неподвижные
элементы
Циклы (a1 a2 … ak) (b1 b2 … bl) называются независимыми, если bj≠ai;
Любую подстановку можно представить в виде произведения независимых циклов.
1 2
2 4
3
1
4 5 6
6 5 7
7 8 9 10
= (1 2 4 6 7 3) (5) (8 10) (9)
3 10 9 8
Независимые циклы можно располагать в любой последовательности. Сумма длин
этих циклов = n;
Разбиение на независимые циклы является отношением эквивалентности.
Определение. Каноническая запись (5) (9) (8 10) (1 2 4 6 7 3) – цикловая
структура подстановки.
Свойство. Если подстановка разложена в k независимых циклов длин r1, r2, …, rk,
(r1 - 1) + (r2 - 1) +…+ (rk - 1) – декремент подстановки, если он четный, то
подстановка тоже четная, иначе – нечетная.
Любой цикл можно разложить в произведение транспозиций.
Если подстановка разбивается на циклы длины r1, r2, …, rk, то подстановка,
полученная возведением исходной подстановки в степень НОК (r1, r2, …, rk) дает
тождественную («единичную») подстановку.
Порядок группы #Sn = n!, а каждого элемента в ней НОК (k, l, …, m) – порядок φ
как элемента группы Sn.
Теорема. Пусть φ = (a1 a2 … ak) (b1 b2 … bl) … (c1 c2 … cm) ∈ Sn ⇒ ∀ σ ∈ Sn, σ-1φσ =
(σ-1(a1) σ-1(a2) … σ-1(ak)) (σ-1(b1) σ-1(b2) … σ-1(bl)) … (σ-1(c1)σ-1(c2) … σ-1(cm))
Теорема. Подстановки φ, τ ∈ Sn сопряжены (τ = x-1φx – уравнение Коши) ⇔ они
имеют одинаковую цикловую структуру.
Матрица перестановок (подстановок):
φ ∈ Sn можно задать единичной матрицей A:
i → φ(i), A = {ai, φ(i)=1}, остальное = 0.
Пример:
φ=
1
2
2
3
3 4
→ 0
4 1
1
1
1
1
Тождественная подстановка задается матрицей E.
Гомоморфизмы групп
Пусть G и F — группы с операциями и соответственно.
Отображение
: G → F
называется
гомоморфизмом,
если
(g1 g2) = (g1) (g2) для любых g1, g2 G. Часто операции в группах G
и F полагают очевидными и гомоморфизм определяют как
(ab) = (a)(b).
Пример 1. Гомоморфизмы.
1. Гомоморфизм мультипликативной группы (R>0)* положительных
вещественных чисел в аддитивную группу R+ вещественных чисел можно
задать следующим образом:
log: (R>0)* → R +,
log(xy) = log x + log y, x, y R>0.
2. Гомоморфизм аддитивной группы R+ вещественных чисел в
мультипликативную группу (R >0)* положительных вещественных чисел
exp: R + → (R>0)*,
ex+y = ex ey, x, y R+.
◼
Лемма 1. Если : G → F — гомоморфизм групп, то 1) (eG) = eF;
2) (g−1) = ((g))−1 для любого элемента g G.
Доказательство. Из того, что eG = eG eG и свойства гомоморфизма
имеем (eG) = (eG eG) = (eG) (eG). Умножим крайние части этого
равенства на ((eG))−1 (в группе F). Получим
eF =((eG))−1 (eG) = ((eG))−1 ((eG) (eG)) =
= (((eG))−1 (eG)) (eG) = eF (eG) = (eG).
Для доказательства второго утверждения запишем:
(g) (g−1) = (g g−1) = (eG) = eF,
(g−1) (g) = (g−1 g) = (eG) = eF.
Эти равенства и означают, что (g−1) = ((g))−1.
◼
2
Как и отображения, гомоморфизмы бывают инъективными,
сюръективными, биективными.
Если — инъективный гомоморфизм, то называется
мономорфизмом.
Если — сюръективный гомоморфизм, то называется
эпиморфизмом.
Биективный гомоморфизм : G → F называется изоморфизмом
групп G и F. Если существует гомоморфизм : G → F, то группы G и F
называются изоморфными; обозначается G F.
Гомоморфизм : G → G называется эндоморфизмом.
Изоморфизм : G → G называется автоморфизмом.
C каждым гомоморфизмом : G → F связаны две подгруппы.
Ядром гомоморфизма называется множество Ker() элементов
группы G, переходящих под действием гомоморфизма в единичный
элемент группы F:
Ker() = {g G | (g) = eF}.
Образом гомоморфизма называется множество Im() элементов
группы F, в которые отображается хотя бы один элемент группы G:
Im() = {f F | g G : (g) = f}.
Лемма 2. Гомоморфный образ группы является группой.
Доказательство. Пусть f1, f2 Im(), то есть существуют элементы
g1, g2 G, такие что (g1) = f1, (g2) = f2.
Для того чтобы непустое подмножество H группы G было группой
необходимо и достаточно, чтобы g−1h H для любых g, h H.
Действительно, из теоремы о подгруппах следует, что
{g−1h H | g, h H} = H−1H = H.
Тогда достаточно доказать, что f1−1 f 2 Im( ) . Действительно,
f1−1 f 2 = (( g1 )) ( g2 ) = ( g1 )( g2 ) = ( g1 g2 ) Im( ).
−1
−1
−1
◼
Лемма 3. Ядро Ker() гомоморфизма : G → F является нормальной
подгруппой группы G.
3
Доказательство. По определению ядра, если g1, g2 Ker(), то
(g1) = (g2) = eF. Тогда
( g1 g2 ) = ( g1 )( g2 ) = (( g1 )) ( g2 ) = (eF )−1 eF = eF ,
−1
−1
−1
то есть g1−1 g2 Ker() и Ker() — подгруппа группы G.
Покажем, что Ker вместе с каждым элементом содержит все с ним
сопряженные. Пусть g G, h Ker . Тогда
( g −1hg ) = ( g −1 )( h )( g ) = ( g −1 ) eF ( g ) =
= ( g −1 ) ( g ) = (( g )) −1 ( g ) = eF ,
то есть g−1hg Ker и Ker — нормальная подгруппа.
◼
Лемма 4. Гомоморфизм : G → F является мономорфизмом тогда и
только тогда, когда Ker = {eG}.
Доказательство. Пусть g Ker(), то есть (g) = eF. При этом по
теореме 1 справедливо равенство (eG) = eF. Но — мономорфизм, то есть
отображение инъективно, значит, g = eG и Ker() = {eG}.
Обратно, пусть Ker() = {eG}. Покажем, что инъективно. Пусть
элементы g1, g2 G таковы, что (g1) = (g2). Тогда
( g1 g2 ) = ( g1 )( g2 ) = (( g1 )) ( g1 ) = eF ,
−1
−1
−1
−1
то есть g1 g2 Ker() = {eG}. Значит, g1−1 g2 = eG и g1 = g2.
◼
Лемма 5. Гомоморфизм : G → F является эпиморфизмом тогда и
только тогда, когда Im() = F.
◼
Пусть G — группа, H — ее нормальная подгруппа. Построим
факторгруппу G/H и зададим отображение : G → G/H, сопоставляющее
каждому элементу g G левый смежный класс gH G/H. Покажем, что
— гомоморфизм.
Действительно, для любых g1, g2 G имеем
(g1)(g2) = (g1H)(g2H) = g1(Hg2)H = g1(g2H)H =
= (g1g2)(HH) = (g1g2)H = (g1g2).
4
Кроме того, если g G/H, то найдется элемент g G, такой что
g = gH = (g) Im(), то есть — эпиморфизм.
Вычислим ядро отображения . Пусть g Ker(). Тогда
(g) = eG/H = H, то есть gH = H и g H. Таким образом, Ker() = H.
Гомоморфизм
: G → G/H
называется
каноническим
гомоморфизмом группы G на факторгруппу G/H. Следовательно, всякая
нормальная подгруппа является ядром гомоморфизма.
Теорема 1 (о гомоморфизмах групп). Пусть : G → F —
гомоморфизм групп. Тогда Im() G/Ker() (гомоморфный образ группы
изоморфен факторгруппе по ядру гомоморфизма).
Пусть H = Ker(). Для доказательства теоремы воспользуемся
следующей леммой.
Лемма 6. Существует единственное отображение : G/H → F, такое
что g G выполняется (g) = ((g)).
Согласно лемме 6, диаграмма
G
G/H
F
коммутативна (из одной точки в другую можно попасть по любому пути).
Доказательство леммы 6. Пусть g G/H, то есть найдется элемент
g G, такой что g = gH. Положим (g ) = (g). Такое определение
корректно, поскольку если g = g1H (рассмотреть смежный класс g как
порожденный элементом g1, а не g), то g1 = g1eG gH, то есть найдется
элемент h H, такой что g1 = gh, тогда (g1) = (gh) = (g)(h) =
= (g)eF = (g).
Условие (g) = ((g)) выполняется, поскольку для любого элемента
g G имеем ((g)) = (gH) = (g).
Единственность. Если предположить, что существует еще одно
отображение : G/H → F, такое что (g) = ((g)), то для любого
смежного класса g G/H найдется элемент g G, такой что
5
g = gH = (g). Таким образом, (g ) = ((g)) = (g) и отображение
единственно.
◼
Доказательство теоремы 1. Покажем теперь, что — изоморфизм
на группу F.
1) Для любых смежных классов g1, g2 G/H существуют такие
элементы g1, g2 G, что g1 = (g1), g2 = (g2), поскольку отображение
— эпиморфизм.
Имеем: (g1g2) = ((g1)(g2)) = так как — гомоморфизм
= ((g1g2)) = по определению отображения = (g1g2) = так как —
гомоморфизм = (g1)(g2) = ((g1))((g2)) = (g1)(g2). Таким образом,
— гомоморфизм.
2) Для любого g G/H по определению отображения имеем
(g) Im(). Рассмотрим диаграмму
1
2
G H ⎯⎯→
Im( ) ⎯⎯→
F.
Здесь 1(g) = (g) Im() F.
Убедимся, что Im(1) = Im(), то есть что образ отображения 1 —
это множество Im(). Действительно, для любого элемента f Im()
найдется прообраз g G, такой что
f = (g) = ((g)) = 1((g)) Im(1),
то есть 1 — эпиморфизм.
Осталось показать, что 1 — мономорфизм, то есть, согласно лемме
4, что Ker(1) состоит только из единичного элемента.
Пусть g Ker(1) = Ker(). Это означает, что (g) = eF. По
определению канонического гомоморфизма найдется элемент g G,
такой что g = (g). Имеем (равносильные переходы):
(g) = ((g)) = eF,
(g) = eF,
то есть g Ker() = H. Тогда g = (g) = gH = H = eG/H,
Ker(1) = {eG/H} и 1 — мономорфизм.
то
есть
◼
6
Пример 2. Изоморфизмы.
1. Пусть G = GLn(k), F = k* (мультипликативная группа поля k).
Отображение : G → F, при котором (A) = det A для любой матрицы
A GLn(k), — гомоморфизм.
Ker() = {A GLn(k) | det A = 1} = SLn(k), Im() = k*. По теореме о
гомоморфизмах SLn(k) — нормальная подгруппа в GLn(k) и
GLn(k)/SLn(k) k* (в одном смежном классе лежат матрицы с одинаковым
определителем, каждому смежному классу взаимно однозначно
сопоставлен этот определитель).
2. Рассмотрим отображение : C* → R*, которое каждому
комплексному числу сопоставляет его модуль: () = ||. Это
гомоморфизм, так как || = || ||.
Ker() = { C* : || = 1} = C1, Im() = (R>0)* R*. По теореме о
гомоморфизмах C*/C1 (R>0)* (в одном смежном классе лежат
комплексные числа одинакового радиуса, каждому смежному классу
взаимно однозначно сопоставлен этот радиус).
3.
Отображение
: (R>0)* → C*,
каждому
вещественному
положительному числу сопоставляющее комплексное число
() = cos(2) + isin(2), является гомоморфизмом. Здесь Ker() = Z,
Im() = C1, (R>0)*/Z C1.
4. Пусть G — циклическая группа, G = g. Отображение : Z → G,
(i) = gi — гомоморфизм. Действительно, (i + j) = gi gj = (i)(j).
Im() — подгруппа группы G, кроме того, (1) = g Im(), поэтому
Im() g = G. По теореме о гомоморфизмах G Z/Ker(), где Ker() —
нормальная подгруппа группы Z. Какие бывают подгруппы в Z?
Лемма 7. Всякая подгруппа группы Z имеет вид nZ, где n Z, n 0.
Теорема 2. Всякая циклическая группа изоморфна либо группе Z,
либо Z/nZ (n > 0). Обратно, все эти группы циклические.
Доказательство. Z = 1, так как всякое целое число получается
сложением нескольких единиц, Z — группа бесконечного порядка.
Z/nZ = 1 + nZ, порядок группы Z/nZ равен n.
◼
Коммутатор и коммутант
Пусть G — группа, x, y G. Коммутатор элементов x и y — элемент [x, y] = xyx−1y−1 G.
Коммутатор [x, y] переставляет элементы x и y: [x, y]yx = xy.
Если
элементы
x
и
y
перестановочны,
= (zx)y(x−1z−1)y−1 = zyxx−1z−1y−1 = zyz−1y−1 = [z, y]
и
то
[x, y] = e,
[x, zy] = x(zy)x−1(y−1z−1) =
при
этом
[zx, y] =
= xzx−1yy−1z−1 = [x, z]
для
любого элемента z G.
Коммутант группы G — подгруппа [G, G] группы G, порожденная всеми коммутаторами.
Лемма 1. Обратный к коммутатору — тоже коммутатор.
Доказательство. [x, y]−1 = (xyx−1y−1)−1 = (y−1)−1(x−1)−1y−1x−1 = yx1y−1x−1 = = [y, x].
◼
Лемма 2. Элемент, сопряженный с коммутатором, тоже является коммутатором: для любых
элементов x, y, g G выполняется равенство g−1[x, y]g = [g−1xg, g−1yg].
Доказательство.
g−1[x, y]g = g−1xyx−1y−1g = (g−1xg)(g−1yg)(g−1x−1g)(g−1y−1g) =
= (g−1xg)(g−1yg)(g−1xg)−1(g−1yg)−1 =[g−1xg, g−1yg].
◼
Теорема. Справедливы следующие утверждения.
1. Коммутант — нормальная подгруппа группы G.
2. Факторгруппа G/[G, G] — абелева.
3. Если H1 — нормальная подгруппа группы G и факторгруппа G/H1 — абелева, то [G, G] H1.
Доказательство. Если элемент z [G, G], то найдутся такое целое n и элементы x1, …, xn,
y1, …, yn G, что z = [x1, y1][x2, y2]…[xn, yn].
Покажем, что для любого элемента g G выполняется g−1zg [G, G]. Действительно,
g−1zg = g−1[x1, y1][x2, y2]…[xn, yn]g = g−1[x1, y1]gg−1[x2, y2]g…g−1[xn, yn]g =
= [g−1x1g, g−1y1g]…[g−1xng, g−1yng] [G, G].
Первое утверждение доказано.
Обозначим H = [G, G]. Покажем, что для элементов факторгруппы G/[G, G] выполняется
равенство g1Hg2H = g2Hg1H для любых g1, g2 G.
Коммутант — нормальная подгруппа, поэтому g1Hg2H = g1g2H.
Запишем единичный элемент e = g2g1g1−1g2−1, тогда
g1g2H = (g2g1g1−1g2−1)g1g2H = g2g1(g1−1g2−1g1g2)H = g2g1[g1−1, g2−1]H = g2g1H = g2Hg1H.
Значит, факторгруппа G/[G, G] — абелева.
Второе утверждение доказано.
Пусть H1 — нормальная подгруппа группы G и факторгруппа G/H1 — абелева. Для
доказательства утверждения 3 достаточно показать, что [x, y] H1 для любых x, y G.
Рассмотрим канонический гомоморфизм : G → G/H1, (g) = gH1 для любого g G.
Для x, y G вычислим
([x, y]) = (xyx−1y−1) = (x)(y)(x−1)(y−1) G/H1.
Группа G/H1 абелева, поэтому
(x)(y)(x−1)(y−1) = (x)(x−1)(y)(y−1) = (xx−1)(yy−1) =
= (e)(e) = 𝑒𝐺⁄𝐻1 𝑒𝐺⁄𝐻1 = 𝑒𝐺⁄𝐻1 ,
то есть [x, y] Ker . Но Ker = H1, то есть [G, G] H1.
◼
Группа автоморфизмов
Эндоморфизм — гомоморфизм : G → G.
Если и — эндоморфизмы, то — эндоморфизм. Эндоморфизмы группы образуют моноид
End(G), единичный элемент — тождественное отображение.
Автоморфизм — изоморфизм : G → G.
Если и — автоморфизмы, то — автоморфизм. Автоморфизмы группы образуют группу
автоморфизмов Aut(G), единичный элемент — тождественное отображение.
Отображения вида g: G → G, g(x) = gxg−1 для g G, образуют подгруппу Inn(G) группы Aut(G):
1) g(x)g(y) = gxg−1gyg−1 = g(xy)g−1 = g(xy) — гомоморфизм;
2) e — единичный элемент;
3) (g)−1 = σ𝑔−1 .
Автоморфизмы
из
называются внешними.
группы
Inn(G)
называются
внутренними,
остальные
автоморфизмы
Группа внутренних автоморфизмов Inn(G) является нормальной подгруппой группы Aut(G).
Действительно, для g G и α Aut(G) имеем
(α−1 ∘ 𝜎𝑔 ∘ α)(𝑥) = α−1 (𝑔α(𝑥)𝑔−1 ) = α−1 (𝑔)α−1 (α(𝑥))α(𝑔)−1 = α−1 (𝑔)𝑥α(𝑔)−1 = 𝜎α(𝑔) .
Связь коммутаторов с элементами группы Inn(G):
1. [g, h]h = ghg−1h−1h = ghg−1 = g(h), аналогично g−1[g, h] = h(g).
2. g([g−1, h]) = [h, g], так как g[g−1, h]g−1 = gg−1hgh−1g−1 = [h, g].
3. [gf, h] = g([f, h])[g, h], так как [gf, h] = gfhf −1g−1h−1, g([f, h])[g, h] = gfhf −1h−1g−1ghg−1h−1 = gfhf −1g−1h−1.
4. [g, fh] = [g, f]f([g, h]), [g, fh] = gfhg−1h−1f −1, [g, f]f([g, h]) = gfg−1f −1fghg−1h−1f −1 = gfhg−1h−1f −1.
Прямое произведение групп
Пусть G1, G2, …, Gn — группы. Декартово произведение G1 G2 … Gn = {(g1, g2, …, gn) | gs Gs}
с операцией умножения:
(g1, g2, …, gn)(h1, h2, …, hn) = (g1h1, g2h2, …, gnhn)
является группой — прямым произведением групп G1, G2, …, Gn. (ассоциативность, единичный
элемент (e1, e2, …, en), для (g1, g2, …, gn) обратным является (g1−1, g2−1, …, gn−1)).
Каноническое вложение группы Gs в прямое произведение G1 G2 … Gn — это мономорфизм
is : Gs → G1 G2 … Gn, согласно которому
is(gs) = (e1, …, es−1, gs, es+1, …, en).
Каноническая проекция прямого произведения G1 G2 … Gn на s-й сомножитель — это
эпиморфизм ps : G1 G2 … Gn → Gs, согласно которому
ps((g1, …, gs, …, gn)) = gs Gs.
Группа G раскладывается в прямое произведение своих подгрупп G1, G2, …, Gn, если существует
изоморфизм α : G → G1 G2 … Gn, такой что для любого s = 1, 2, …, n ограничение отображения α
на подгруппу Gs есть каноническое вложение: α|𝐺𝑠 = is : Gs → G1 G2 … Gn.
1
Теорема. Группа G — прямое произведение своих подгрупп G1, G2, …, Gn тогда и только тогда,
когда:
1. Для любых gs Gs, gt Gt, 1 s t n выполняется gsgt = gtgs.
2. Любой элемент g G можно представить в виде g = g1g2…gn, где gs Gs.
3. Представление из п. 2 единственно.
Доказательство.
1. Пусть G — прямое произведение подгрупп G1, G2, …, Gn, то есть найдется изоморфизм
α : G → G1 G2 … Gn с нужными свойствами.
Пусть s t, gs Gs, gt Gt. Тогда
α(gs) = is(gs) = (e1, …, gs, …, et, …, en),
α(gt) = it(gt) = (e1, …, es, …, gt, …, en),
α(gsgt) = α(gs) α(gt) = (e1, …, gs, …, et, …, en)(e1, …, es, …, gt, …, en) =
= (e1, …, gs, …, gt, …, en) = (e1, …, es, …, gt, …, en)(e1, …, gs, …, et, …, en) = α(gt) α(gs) = α(gtgs).
Из того, что α — мономорфизм, следует, что gsgt = gtgs.
2. Пусть g G, тогда α(g) = (g1, g2, …, gn) = (g1, e2, …, en)(e1, g2, …, en)…(e1, e2, …, gn) =
= i1(g1)i2(g2)…in(gn) = α(g1) α(g2)… α(gn) = α(g1g2…gn).
Из того, что α — мономорфизм, следует, что g = g1g2…gn.
2
3. Пусть есть два представления g = g1g2…gn = h1h2…hn, где gs, hs Gs. Тогда
α(g1g2…gn) = α(g1) α(g2)… α(gn) =
= i1(g1)i2(g2)…in(gn) = (g1, e2, …, en)(e1, g2, …, en)…(e1, e2, …, gn) = (g1, g2, …, gn).
Аналогично, α(h1h2…hn) = (h1, h2, …, hn).
Следовательно, α(g1g2…gn) = α(h1h2…hn), (g1, g2, …, gn) = (h1, h2, …, hn) и gs = hs для всех s = 1, …, n.
Обратно, пусть теперь G1, G2, …, Gn — подгруппы группы G. Поскольку выполнены условия 1–3,
любой элемент g G можно единственным образом представить в виде g = g1g2…gn, где g1 G1,
g2 G2, …, gn Gn.
Зададим отображение α(g) = (g1, g2, …, gn) и покажем, что α — изоморфизм.
а) α — гомоморфизм. Действительно, из свойства 1 для любых элементов gs, hs Gs, 1 s n,
получаем
g1g2…gnh1h2…hn = g1g2…h1gnh2…hn = … = g1g2h1…gnh2…hn =
= (g1h1)g2…gnh2…hn = … = (g1h1)(g2h2)…(gnhn).
Тогда
α(g1g2…gnh1h2…hn) = α((g1h1)(g2h2)…(gnhn)) = по определению отображения α
по определению прямого произведения
= (g1h1, g2h2, …, gnhn) =
= (g1, g2, …, gn)(h1, h2, …, hn) = α(g1g2…gn) α(h1h2…hn).
3
б) α — мономорфизм. Предположим, что α(g) = (e1, e2, …, en). Из свойства 2: найдутся такие
элементы gs Gs, 1 s n, что g = g1g2…gn. Тогда α(g) = (g1, g2, …, gn) и при этом α(g) = (e1, e2, …, en),
значит, gs = es, 1 s n, и g = e1e2…en = eG. Следовательно, Ker α = {eG} и α — мономорфизм.
в) α — эпиморфизм, так как для всякого элемента (g1, g2, …, gn) G1 G2 … Gn выполняется
равенство (g1, g2, …, gn) = α(g1g2…gn) Im α.
Осталось
записать
элемент
gs Gs,
1 s n,
в
виде
gs = e … gs …e,
α(gs) = (e, …, gs, …, e) = is(gs), то есть α — каноническое вложение: α|𝐺𝑠 = is : Gs → G1 G2 … Gn.
тогда
◼
Следствие. Группа G является прямым произведением своих подгрупп G1 и G2 тогда и только
тогда, когда:
1. g1g2 = g2g1 для любых g1 G1, g2 G2.
2. G = G1G2.
3. G1 G2 = {eG}.
Доказательство. Пусть G = G1 G2, то есть для любого элемента g G найдется единственная
пара g1 G1, g2 G2, такая что g = g1g2.
Если g G1 G2, то с одной стороны, g = g eG, где g G1, eG G2, с другой стороны, g = eG g,
где eG G1, g G2. В силу единственности представления получаем, что g = eG и G1 G2 = {eG}.
4
Обратно, пусть G1 G2 = {eG}. Допустим, что нашлись g1, g1 G1, g2, g2 G2, такие что
g = g1g2 = g1g2. Тогда
(g1)−1g1g2(g2)−1 = (g1)−1g1g2(g2)−1,
(g1)−1g1g2(g2)−1 = eGeG = eG,
то есть
(g1)−1g1 = g2g2−1 G1 G2 = {eG},
(g1)−1g1 = eG, g2g2−1 = eG,
g1 = g1, g2 = g2.
◼
Пример 1. Прямые произведения групп.
1.
Для
мультипликативной
группы
комплексных
C*
чисел
рассмотрим
подгруппы
С1 = {z C : |z| = 1} и R*>0. Любое число z C* можно записать в виде z = r (cos + i sin ), где r R*>0,
cos + i sin С1, то есть C* = R*>0 С1. Группы С1 и R*>0 перестановочны, R*>0 С1 = {1}. Таким
образом, C* = R*>0 С1.
2. Мультипликативную группу R* вещественных чисел можно представить в виде прямого
произведения R*>0 {−1, 1}.
Теорема. Любую конечную абелеву группу можно представить в виде прямого произведения
циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.
Если группа аддитивная, то говорят о прямой сумме групп.
5
Пример 2. Прямая сумма групп.
1. Группы Z/6Z Z/36Z и Z/12Z Z/18Z изоморфны. Действительно,
Z/6Z = {0, 3} {0, 2, 4},
Z/36Z = {0, 9, 18, 27} {0, 4, 8, …, 32},
Z/6Z Z/36Z {0, 3} {0, 2, 4} {0, 9, 18, 27} {0, 4, 8, …, 32};
Z/12Z = {0, 4, 8} {0, 3, 6, 9},
Z/18Z = {0, 9} {0, 2, 4, …, 16},
Z/12Z Z/18Z {0, 9} {0, 4, 8} {0, 3, 6, 9} {0, 2, 4, …, 16}.
Таким образом, группы Z/6Z Z/36Z и Z/12Z Z/18Z имеют одинаковую цикловую структуру и
поэтому изоморфны.
2. Группы Z/6Z Z/36Z и Z/9Z Z/24Z неизоморфны. Действительно,
Z/9Z = {0, 1, …, 8},
Z/24Z = {0, 8, 16} {0, 3, 6, …, 21},
Z/9Z Z/24Z {0, 8, 16} {0, 1, …, 8} {0, 3, 6, …, 21}
— цикловая структура отличается от цикловой структуры группы Z/6Z Z/36Z.
6
Кольца. Основные определения
Кольцо — множество R , с бинарными операциями «+» (сложение) и (умножение):
1) R — абелева группа по сложению с нулевым элементом 0: для любого a R
a + 0 = 0 + a = a;
2) умножение дистрибутивно относительно сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc для любых a, b, c R.
Нулевой элемент — поглощающий элемент кольца:
a 0 = a (a +(−a)) = a a + a (−a) = a a + (−(a a)) = 0;
0 a = (a +(−a)) a = a a + (−a) a = a a + (−(a a)) = 0.
2
Если (ab)c = a(bc) для любых a, b, c R, то кольцо R — ассоциативное.
Если ab = ba для любых a, b R, то кольцо R — коммутативное.
Если существует единичный элемент e R (для любого a R выполняется e a = a e = a),
кольцо R — кольцо с единицей.
Пример 1. Кольца.
1. Z — ассоциативное, коммутативное, с единицей 1.
2. mZ — ассоциативное, коммутативное, без единицы при m > 1.
3. Кольцо квадратных матриц с целыми элементами с обычными операциями сложения и
умножения матриц — ассоциативное, некоммутативное, с единицей.
4. Кольцо симметрических (aik = aki) квадратных матриц с рациональными элементами с
1
обычной операцией сложения матриц и операцией йорданова1 умножения: 𝐴 ⋅ 𝐵 = 2 (𝐴𝐵 + 𝐵𝐴)
— неассоциативное, коммутативное, с единицей.
1
Эрнст Йордан (1902−1980) — немецкий физик, развивал методы матричной механики.
3
5. Кольцо подмножеств некоторого множества A с операциями симметрической разности
(«сложение») и пересечения («умножение») — ассоциативное, коммутативное, с единицей A.◼
Характеристика кольца R — наименьшее натуральное n, такое что na = 0 при любом
a R, если такое n существует R — кольцо положительной характеристики char R.
Если такого n не существует, то R — кольцо характеристики нуль.
Пример 4. Характеристики колец.
char Z = char Q = char R = char C.
char Z/nZ = n.
4
Элемент a R — левый (правый) делитель нуля, если a 0 и существует ненулевой
элемент b R такой, что a b = 0 (соответственно, b a = 0).
Пример 3. Кольца с делителями нуля.
1. Кольцо классов вычетов по модулю 35: для a = 10, b = 21 имеем ab = 210 0 (mod 35).
2. Кольцо булевых функций с операциями сложения по модулю 2 и умножения
(конъюнкции): f 2 = f (идемпотентна), поэтому f 2 + f = f(f + 1) = 0, то есть каждый отличный от
константы элемент этого кольца является делителем нуля.
3. Кольцо верхних треугольных матриц над некоторым полем. Делителями нуля являются
матрицы, у которых на диагонали есть хотя бы один нулевой элемент.
4. Кольцо R, элементами которого являются пары целых чисел. Операции сложения и
умножения: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b)(c, d) = (ac, bd). Нулевой элемент — пара (0, 0),
делители нуля — пары вида (a, 0) и (0, b), поскольку (a, 0)(0, b) = (0, 0).
◼
Ассоциативное коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля — целостное (или
область целостности).
5
Элемент a R, для которого существует a−1 R такой, что a a−1 = a−1 a = e, —
обратимый элемент кольца.
R* = {a R : a−1 R} — мультипликативная группа кольца R.
Пример 4. Обратимые элементы.
1. В кольце Z — 1 и −1.
2. В кольце Z/mZ — такие элементы a, для которых разрешимо сравнение ax 1 (mod m).
3. В кольце верхних треугольных матриц над полем — матрицы, главные диагонали
которых содержат только ненулевые элементы.
4. В кольце Z[√2] — ±1 + √2 и произвольные степени этих чисел.
Поле — целостное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым.
◼
Подкольцо и идеал
Пусть R — кольцо. Непустое подмножество S R — подкольцо кольца R, если оно
замкнуто по сложению и умножению и вместе с каждым элементом содержит
противоположный.
Пример 1. Подкольца.
Поле Q рациональных чисел является кольцом и содержит в себе следующие подкольца:
– кольцо Z целых чисел;
– кольцо nZ;
– кольцо {0};
– кольцо рациональных чисел вида
𝑚𝑝
𝑛
, где n не делится на p.
◼
2
Непустое подмножество I R — левый (правый) идеал, если:
1) I является подгруппой аддитивной группы кольца R;
2) для любых r R и a I выполняется ra I (соответственно, ar I), то есть RI I
(соответственно, IR I).
Идеал является подкольцом, но обратное неверно.
Если идеал является одновременно левым и правым, то его называют двусторонним
идеалом или просто идеалом. Двусторонний идеал — нормальная подгруппа аддитивной
группы кольца.
3
Для любого подмножества X R можно определить идеал, порожденный множеством X
как пересечение всех идеалов, содержащих X.
Главный идеал — идеал, порожденный одним элементом a: (a) = {ra + na: r R, n Z}.
Идеал (a1, …, an), порожденный элементами a1, …, an, состоит из сумм вида ∑ 𝑟𝑖 𝑎𝑖 +
∑ 𝑛𝑖 𝑎𝑖 , где ri R, ni Z. Элементы a1, …, an — базис идеала.
Пример 2. Идеалы.
1. (0) — нулевой идеал.
2. Пусть R — кольцо с единицей e. Тогда (e) = R.
3. R = Z, I = (39, 48) = ?
4. R = Z[x], I = (x, 3) = ?
Гомоморфизмы колец. Основные свойства
Отображение : R → R — гомоморфизм колец R и R , если
(a + b) = (a) (b),
(a b) = (a) (b),
для любых a, b R.
(0R) = 0R, (−a) = ⊖(a).
Ker = {a R : (a) = 0R}, Im = {r R | r R : (r) = r}.
2
Теорема 1. Im — кольцо. Если R — коммутативное кольцо, то Im — коммутативное
кольцо.
Доказательство. Пусть R — кольцо, : R → R — гомоморфизм, a, b, c R.
1. Ассоциативность сложения.
(a + b) + c = a + (b + c),
((a) + (b)) + (c) = (a + b) + (c) = ((a + b) + c) =
= (a + (b + c)) = (a) + (b + c) = (a) + ((b) + (c)).
2. Коммутативность сложения — аналогично.
3. Нулевой элемент: a = a + 0, тогда (a) = (a + 0) = (a) + (0).
4. Противоположный элемент. (0) = (a + (−a)) = (a) + (−a), то есть (−a) = −(a).
3
5. Дистрибутивность.
a(b + c) = ab + ac,
(a(b + c)) = (ab + ac),
(a(b + c)) = (a)((b + c)) = (a)((b) + (c)),
(ab + ac) = (ab) + (ac) = (a)(b) + (a)(c).
Дистрибутивность справа — аналогично.
6. Коммутативность умножения. Если ab = ba, то (a)(b) = (b)(a).
Изоморфизм колец — биективный гомоморфизм колец.
Эндоморфизм — гомоморфизм кольца в себя.
Автоморфизм — изоморфизм кольца в себя.
◼
Факторкольцо. Теорема о гомоморфизмах колец
Пусть R — кольцо, I — идеал кольца R. I — нормальная подгруппа аддитивной группы
кольца R, тогда r + I — смежные классы, или классы вычетов по идеалу I, где r R.
Если I — двусторонний идеал, то множество смежных классов R/I — факторкольцо.
Умножение классов вычетов: (r + I)(s + I) = rs + I.
Корректность умножения. Пусть r1 + I = r + I, s1 + I = s + I. Найдутся такие a, b I, что
r1 = r + a, s1 = s + b. Тогда
(r1 + I)(s1 + I) = (r + a + I)(s + b + I) = (r + I)(s + I) = rs + I.
Пример. Факторкольца.
1. R = Z, I = nZ R/I = Z/nZ.
2. R = Z[x], I = (x, 3) R/I = Z[x]/(x, 3) = {0 + (x, 3), 1 + (x, 3), 2 + (x, 3)}.
◼
2
Канонический гомоморфизм : R → R/I, (r) = r + I для любого r R.
Лемма 1. — гомоморфизм колец.
Доказательство. Пусть r1, r2 R, тогда
(r1r2) = r1r2 + I,
(r1)(r2) = (r1 + I)(r2 + I) = r1r2 + I.
◼
Лемма 2. Если : R → R — гомоморфизм колец, то Ker — двусторонний идеал в R.
Доказательство. Для любых a, b Ker
(a) = (b) = 0,
(−b) = −(b) = 0,
(a + (−b)) = (a) + (−b) = 0,
то есть Ker — подгруппа аддитивной группы кольца R .
Если a Ker и r R, то (ar) = (a)(r) = 0, (ra) = (r)(a) = 0, то есть ar, ra Ker . ◼
3
Теорема (о гомоморфизмах колец). Если : R → R — гомоморфизм колец, то
Im R/Ker .
Доказательство. Кольца R и R — аддитивные группы. Обозначим I = Ker .
По теореме о гомоморфизмах групп существует изоморфизм : R/I → Im , для которого
коммутативна диаграмма
R/I
R
Im
R
Покажем, что — гомоморфизм колец.
— эпиморфизм колец: для любых , R/I найдутся a, b R : (a) = , (b) = , тогда
()() = ((a))((b)) = так как диаграмма коммутативна = (a)(b) =
= (ab) = ((ab)) = ((a)(b)) = ().
◼
Поле частных целостного кольца
𝑎
Пусть 𝑅 — целостное кольцо. Дробь (или частное) — отношение 𝑏, где 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏 ≠ 0.
Действия над частными:
𝑎
𝑐
1) сложение: 𝑏 + 𝑑 =
𝑎
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑐
𝑏𝑑
. Здесь 𝑏𝑑 ≠ 0, так как 𝑏 ≠ 0, 𝑑 ≠ 0 и в 𝑅 нет делителей нуля;
𝑎𝑐
2) умножение: 𝑏 ⋅ 𝑑 = 𝑏𝑑.
Бинарное отношение на частных:
𝑎
𝑎
𝑐
⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 — отношение эквивалентности:
~
𝑏 𝑑
𝑎
1. Рефлексивность: 𝑏 ~ 𝑏, поскольку 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (так как 𝑅 коммутативно).
𝑎
𝑐
2. Симметричность: 𝑏 ~ 𝑑
𝑎
𝑎
⇔ 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐, а так как 𝑅 коммутативно, 𝑐𝑏 = 𝑑𝑎 ⇔
3. Транзитивность: 𝑏 ~ 𝑏1 ⇔ 𝑎𝑏1 = 𝑏𝑎1 ,
1
𝑎1
𝑏1
𝑎
~ 𝑏2 ⇔ 𝑎1 𝑏2 = 𝑏1 𝑎2 .
2
𝑐
𝑎
~ .
𝑑 𝑏
𝑎𝑏1 = 𝑏𝑎1 | ∙ 𝑏2 ,
𝑏1 (𝑎𝑏2 ) = (𝑎𝑏1 )𝑏2 = 𝑏(𝑎1 𝑏2 ) = 𝑏(𝑏1 𝑎2 ) = 𝑏1 (𝑏𝑎2 ),
𝑏1 (𝑎𝑏2 ) − 𝑏1 (𝑏𝑎2 ) = 𝑏1 (𝑎𝑏2 − 𝑏𝑎2 ) = 0,
𝑎
𝑎
Действия над эквивалентными частными: 𝑏 ~ 𝑏1 ,
1
1. Суммы эквивалентных частных эквивалентны:
𝑎
𝑎𝑏2 − 𝑏𝑎2 = 0 ⇔
𝑐
𝑎
𝑎
2
~
.
𝑏
𝑏
2
𝑐
1
~
𝑑 𝑑
1
𝑐
𝑎
𝑐
1
1
+
~
+
.
𝑏
𝑑
𝑏
𝑑
1
𝑎𝑐
1
𝑎 𝑐
2. Произведения эквивалентных частных эквивалентны: 𝑏𝑑 ~ 𝑏 1𝑑1 , так как
1 1
𝑎𝑏1 = 𝑏𝑎1 , 𝑐𝑑1 = 𝑑𝑐1 ⇒ 𝑎𝑐𝑏1 𝑑1 = (𝑎𝑏1 )(𝑐𝑑1 ) = (𝑏𝑎1 )(𝑑𝑐1 ) = (𝑏𝑑)(𝑎1 𝑐1 ).
Пусть 𝐾 — множество классов эквивалентности частных.
Операции на классах эквивалентности частных:
𝑎
Пусть 𝑏 ∈ 𝛼,
𝑎
𝑐
𝑐
𝑑
∈ 𝛽, где 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐾. Тогда 𝛼 + 𝛽 (соответственно, 𝛼𝛽) — класс, содержащий
𝑎
𝑐
частное 𝑏 + 𝑑 (соответственно, 𝑏 ⋅ 𝑑).
2
Теорема. 𝐾 — поле.
Для доказательства необходимо проверить свойства:
1) 𝛼 + 𝛽 = 𝛽 + 𝛼;
2) (𝛼 + 𝛽) + 𝛾 = 𝛼 + (𝛽 + 𝛾);
3) ∃ 0 ∈ 𝐾;
4) ∀𝛼 ∈ 𝐾 ∃ − 𝛼 ∈ 𝐾;
5) (𝛼 + 𝛽)𝛾 = 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾, 𝛼(𝛽 + 𝛾) = 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾;
6) 𝛼𝛽 = 𝛽𝛼;
7) (𝛼𝛽)𝛾 = 𝛼(𝛽𝛾);
8) ∃ 1 ∈ 𝐾;
9) ∀𝛼 ∈ 𝐾, 𝛼 ≠ 0, ∃𝛼 −1 ∈ 𝐾.
3
𝑎
Cвойство 2:
𝑎
𝑐
+𝑑 =
𝑏
𝑐
𝑑
𝑏
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
𝑓
𝑐𝑔+𝑑𝑓
𝑔
𝑑𝑔
+ =
∈ 𝛼,
𝑎
𝑐
𝑑
∈ 𝛽,
𝑐
𝑓
𝑔
𝑓
, (𝑏 + 𝑑 ) + 𝑔 =
𝑎
𝑐
𝑓
∈ 𝛾, тогда
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
𝑎
, +( + )= +
𝑏
𝑑
𝑔
𝑏
𝑓
+𝑔 =
𝑐𝑔+𝑑𝑓
𝑑𝑔
=
𝑎𝑑𝑔+𝑏𝑐𝑔+𝑏𝑑𝑓
𝑏𝑑𝑔
,
𝑎𝑑𝑔+𝑏𝑐𝑔+𝑏𝑑𝑓
𝑏𝑑𝑔
𝑎
Свойство 3: 0 ∈ 𝐾 — класс, содержащий частное 1. Тогда 𝑏 + 1 =
𝑎
Свойство 4: Если 𝑏 ∈ 𝛼, то −𝛼 — класс, содержащий
Свойства 8, 9: Пусть 𝛼 ≠ 0,
𝑎
𝑏
𝑎𝑏
1
𝑎
𝑏
𝑎
−𝑎
𝑎
. Тогда 𝑏 +
𝑏
𝑎⋅1+𝑏⋅0
𝑏⋅1
−𝑎
𝑏
=
𝑎
= 𝑏.
𝑎⋅𝑏+𝑏⋅(−𝑎)
𝑏⋅𝑏
= 𝑏 2 ~ 1.
𝑏
∈ 𝛼. Тогда 𝑏 ~̸ 1, то есть 𝑎 ⋅ 1 ≠ 𝑏 ⋅ 0, 𝑎 ≠ 0 и ∃ 𝑎.
𝑎
𝑏
Тогда 𝑏 ⋅ 𝑎 = 𝑏𝑎 ~ 1 и для 𝛼, содержащего 𝑏, обратным будет класс 𝛼 −1 , содержащий 𝑎. ◼
𝐾 — поле частных (или поле отношений) целостного кольца 𝑅.
Пример. а) 𝑅 = ℤ ⟹ 𝐾 = ℚ; б) 𝑅 = 𝑘[𝑥] ⟹ 𝐾 = 𝑘(𝑥).
4
Операции над идеалами
Пусть I и J — идеалы коммутативного кольца R.
Сумма идеалов — I + J — подмножество кольца R, образованное суммами вида a + b, где
a I, b J.
Теорема 1. I + J — наименьший идеал, содержащий идеалы I и J.
Доказательство.
1.
a, a I и b, b J: (a + b) + (a + b) = (a + a) + (b + b) I + J.
r R:
r(a + b) = ra + rb I + J, (a + b)r =ar + br I + J.
Поэтому I + J — идеал в R.
Если H — идеал, I H, J H, то a I, b J
a + b H, то есть I + J H.
Следствие. Если I = (a1, …, ar), J = (b1, …, bs), то I + J = (a1, …, ar, b1, …, bs).
◼
Пример 1. (6) + (9) = {…, −9, …, −6, …, 0, …, −6 + 9 = 3, …, 6, …, 9, …, 6 + 9 = 15, …} = (3).
Другое обозначение: I + J = (I, J) — наибольший общий делитель идеалов.
Операция сложения идеалов:
а) коммутативна: I1 + I2 = I2 + I1;
б) ассоциативна: (I1 + I2) + I3 = I1 + (I2 + I3) = I1 + I2 + I3;
в) I + (0) = (0) + I = I.
Таким образом, идеалы образуют коммутативный моноид по сложению.
Пересечение (наименьшее общее кратное) идеалов I и J кольца R — множество элементов
кольца, принадлежащих как I, так и J.
Пример 2. (6) (9) = {…, −18, 0, 18, …} = (18).
2
Теорема 2. Если I и J — идеалы кольца R, то I J — идеал кольца R.
Доказательство. Идеал — подгруппа аддитивной группы кольца, поэтому I J —
подгруппа аддитивной группы кольца R.
Если r R и c I J, то rc I, rc J, поэтому rc I J (аналогично, cr I J).
◼
Объединение идеалов — не всегда идеал.
Пример 3. (6) (9) = {…, −9, −6, 0, 6, 9, 12, …} — не идеал (так как не содержит число 3).
Упражнение. Доказать, что I + J = I J тогда и только тогда, когда I J или J I.
3
Пусть I и J — идеалы коммутативного ассоциативного кольца R с единицей.
Произведение идеалов — IJ — идеал, порожденный элементами asbt, где as I, bt J.
Операция умножения идеалов:
а) коммутативна: I1I2 = I2I1;
б) ассоциативна: I1(I2I3) = (I1I2)I3;
в) (e) = R.
Таким образом, идеалы образуют коммутативный моноид по умножению.
Теорема 3. Если I = (a1, …, as), J = (b1, …, bt), то IJ = (a1b1, a1b2, …, asbt).
Доказательство. По определению произведения идеалов IJ (a1b1, a1b2, …, asbt).
Обратно, h IJ h = fg , где f I, g J, при этом f = ri ai , g = s j b j , где ri, sj R.
Поэтому h = fg = ∑ 𝑢𝑖𝑗 𝑎𝑖 𝑏𝑗 , где uij R.
◼
Пример 4. (6)(9) = {…, 69, …} = (54).
4
Идеалы I, J — взаимно простые, если I + J = R = (e).
Если I, J взаимно простые, то I J = IJ.
Элементы a, b R сравнимы по идеалу I (или по модулю I), если a + (−b) I.
Сравнение — a b (mod I) или a b (I). Если I = (c), то пишут a b (mod c).
Если a I, то a + (−0) = a + 0 = a I, то есть a 0 (mod I).
Если a b (mod I), то a + c b + c (mod I), ac bc (mod I), ca cb (mod I) c R.
Если a b (mod I) и a b (mod I), то a + a b + a b + b (mod I), aa ba bb (mod I).
5
Теорема 4 (китайская теорема об остатках). Пусть R — коммутативное ассоциативное
кольцо с единицей e и I1, …, In — идеалы кольца R такие, что Is + It = R для всех s t. Тогда
a1, …, an, где as R/Is, x R : x as (mod Is) s, 1 s n.
Доказательство по индукции.
Для n = 2: если I1 + I2 = R, то b1 I1, b2 I2 : b1 + b2 = e.
b1 + b2 + (−(e + b1)) = e + −(e + b1),
b2 + (−e) = −b1 I1,
то есть b2 e (mod I1). При этом b2 0 (mod I2). Аналогично, b1 e (mod I2) и b1 0 (mod I1).
Тогда x = a1b2 + a2b1.
6
Пусть доказано для n − 1 идеалов со свойством Is + It = R для всех 2 s t n.
Из равенства I1 + Is = R имеем: пары xs I1 и bs Is, 2 s n, такие, что xs + bs = e.
В левой части равенства ∏𝑛𝑠=2(𝑥𝑠 + 𝑏𝑠 ) = 𝑒:
b2…bn J, где J = ∏𝑛𝑘=2 𝐼𝑘 ,
остальные слагаемые I1 (рассматриваем сомножитель xs как элемент идеала I1, остальные
сомножители — как принадлежащие кольцу).
Тогда e I1 + J, то есть I1 и J взаимно просты.
Из базы индукции: b1 I1, b2 J : b1 + b2 = e, где b2 e (mod I1), b2 0 (mod J) и найдется
y = a1b2 + a2b1.
Точно так же найдутся ys R такие, что ys e (mod Is) и ys 0 (mod ∏𝑡≠𝑠 𝐼𝑡 ).
Требуемый элемент x R имеет вид x = a1y1 + … + anyn.
◼
7
Другая формулировка к.т.о. Пусть R, R1, …, Rn — ассоциативные коммутативные кольца
с единицами, s : R → Rs — сюръективные гомоморфизмы, для которых Ker s + Ker t = R для
всех 1 s t n. Тогда гомоморфизм
: R → ∏𝑛𝑠=1 𝑅𝑠 ,
(r) = (1(r), …, n(r)),
является сюръективным и 𝑅 ⁄⋂𝑛𝑠=1 𝐾𝑒𝑟 φ𝑠 ≅ ∏𝑛𝑠=1 𝑅𝑠 .
8
Делимость идеалов. Простые и максимальные идеалы
Пусть J — идеал ассоциативного, коммутативного кольца R с единицей.
Если a J, то a 0 (mod J) и a делится на идеал J. Если каждый элемент из идеала I
делится на идеал J, то I делится на J, или что J делит I (обозначается J | I).
Это означает, что I J. Например, (a, b, c) | (a, b).
Пример 1. I = (6), J = (3).
Если I J, то J — собственный делитель идеала I, а I — собственное кратное идеала J.
Для главных идеалов I = (a), J = (b) запись (a) 0 (mod (b)) означает, что a = rb для
некоторого r R, и делимость главных идеалов соответствует делимости элементов.
Идеал P R — простой, если факторкольцо R/P целостное.
Если a, b R/P, то из равенства для классов вычетов ab = 0 следует, что a = 0 или b = 0.
Другими словами, из ab 0 (mod P) следует a 0 (mod P) или b 0 (mod P) для любых a, b R
— произведение двух элементов делится на простой идеал тогда и только тогда, когда на этот
идеал делится один из сомножителей.
Пример 2. Простые идеалы.
1. Для кольца Z простым идеалом является идеал (p), образованный простым числом p.
2. Поскольку R R/(0), идеал (0) является простым только для целостного кольца.
3. Единичный идеал (e) = R всегда простой, поскольку для любого элемента a R
выполняется сравнение a 0 (mod (e)).
4. В кольце Z[x] идеалы {(x), (3), (x, 3)} — простые, при этом (x) и (3) делятся на (x, 3).
2
5.
Кольцо
с
делителями
нуля
Z/35Z
содержит
простой
идеал
(5) =
{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30}.
6. В кольце 𝐙[√−2] простыми являются идеалы (√−2), (1 + √−2),(1 − √−2)
◼
Теорема 1. Если : R → R — гомоморфизм колец, то прообраз идеала — идеал в R;
прообраз простого идеала — простой идеал.
Доказательство. Гомоморфный образ кольца — кольцо, поэтому можно считать, что
R = Im . Обозначим I = Ker . По теореме о гомоморфизмах колец из −1(0R) I следует, что
(I) = (0R) и между идеалами J (0R) кольца R и идеалами J I кольца R существует биекция.
При этом если J H I в R, то J H (0R) в R . Таким образом, прообраз идеала при
гомоморфизме колец является идеалом, содержащим ядро гомоморфизма.
Пусть P R — простой идеал и P = -1(P) R — его прообраз.
3
Если I = (0R), то R R и P — простой идеал. Пусть I (0R). Тогда P I и P состоит из
смежных классов по ядру, элементы смежных классов полностью определяются идеалом P. Из
изоморфизма R R/I, следует R /P R/P. Поскольку кольцо R /P целостное, то и R/P тоже
целостное, то есть идеал P простой.
◼
Например, прообраз идеала (5) Z/35Z при гомоморфизме Z → Z/35Z равен 5Z и
является простым идеалом.
Совокупность всех простых идеалов кольца R — спектр кольца R, обозначается Spec R.
4
Пусть R — коммутативное, ассоциативное кольцо с единицей. Идеал M R —
максимальный (или не имеющий делителей), если он не содержится строго ни в каком другом
идеале, кроме самого кольца R.
Теорема 2. Максимальный идеал M является простым тогда и только тогда, когда кольцо
классов вычетов R/M является полем.
Доказательство. Пусть M — максимальный идеал в R. Кольцо R/M является полем, если
в нем разрешимо уравнение 𝑎𝑥 = 𝑏 при 𝑎 ≠ 0. Это равносильно разрешимости сравнения
ax b (mod M) при a M. Поскольку a M, то M (M, a). Но M — максимальный идеал, то
есть (M, a) = R. Значит, произвольный элемент b кольца R можно представить в виде b = m + ar,
где m M, r R. Гомоморфизм из кольца R в кольцо R/M переводит это равенство в равенство
𝑏 = 𝑎𝑟, то есть 𝑟 — решение уравнения 𝑎 𝑥 = 𝑏. Таким образом, кольцо R/M — поле. В поле
нет делителей нуля, поэтому идеал M является простым.
5
Обратно, если R/M — поле и пусть M содержится в каком-то идеале I, то есть M делится
на I.
Рассмотрим a I, a M. Так как R/M — поле, сравнение ax b (mod M) однозначно
разрешимо при любом b.
Пусть r — решение, то есть ar b (mod M), ar + (−b) M, ar + (−b) I, ar b (mod I).
Но из a 0 (mod I) получаем b 0 (mod I), то есть R I и I = R.
◼
Пример 3. Максимальные идеалы.
1. Максимальными в C[x] являются идеалы вида (p(x)), где p(x) — полином первой
степени.
2. Максимальными в R[x] являются идеалы вида (p(x)), где p(x) — полином первой
степени или полином второй степени, не имеющий вещественных корней.
6
Любой максимальный идеал является простым. Обратное, вообще говоря, неверно.
Прообраз максимального идеала при гомоморфизме колец может быть не максимальным,
а простым. Например, при инъективном гомоморфизме колец Z → Q идеал (0) в Q максимален
в силу изоморфизма Q Q/(0). Однако его прообраз в Z не максимальный, а простой, так как
Z/(0) Z не является полем.
7
Факториальные кольца
Согласно основной теореме арифметики в кольце 𝐙 существует однозначное разложение
на простые множители. Однако это имеет место не во всех целостных кольцах.
Пример 1. Отсутствие однозначного разложения на множители.
В кольце 𝐙[√−5] = {𝑎 + 𝑏√−5|𝑎, 𝑏 ∈ 𝐙} число 6 можно разложить на множители разными
способами:
6 = 2 ∙ 3 = (1 + √−5)(1 − √−5).
Сомножители 2, 3, 1 + √−5, 1 − √−5 разложить нельзя: из записи
2 = (𝑎 + 𝑏√−5)(𝑐 + 𝑑√−5),
где
𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐙,
получаем
= (𝑎 + 𝑏√−5)(𝑎 − 𝑏√−5) = 𝑎2 + 5𝑏2 ,
где
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐙,
что
невозможно. Аналогично для числа 3.
Если
1 + √−5 = (𝑎 + 𝑏√−5)(𝑐 + 𝑑√−5),
где 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐙, то
1 − √−5 = (𝑎 − 𝑏√−5)(𝑐 − 𝑑√−5).
Тогда
6 = (𝑎2 + 5𝑏2 )(𝑐 2 + 5𝑑 2 ).
Из неразложимости 2 и 3 получаем 𝑎2 + 5𝑏2 = 1, 𝑐 2 + 5𝑑 2 = 6, откуда 𝑎 = ±1, 𝑏 = 0,
𝑐 = ±1, 𝑑 = ±1, то есть числа 1 + √−5, 1 − √−5 тоже на множители не раскладываются.
◼
2
Пусть R — целостное кольцо, в котором определено отношение делимости: 𝑎 ⋮ 𝑏, если
существует элемент c R такой, что a = bc.
Элемент R — делитель единицы (или просто единица), если 𝑒 ⋮ 𝜀, то есть если
обратим в R. Обратимые элементы образуют мультипликативную группу R* кольца R.
Ненулевой необратимый элемент p целостного кольца — простой, если из p | ab следует
p | a или p | b.
Элемент r R — неразложимый, если r 0, r R* и из того, что r = r1r2, где r1, r2 R,
следует, что r1 R* или r2 R*.
3
Лемма 1. В целостном кольце всякий простой элемент неразложим.
Доказательство. Пусть элемент p простой и пусть p = p1p2, где p1 R*, p2 R*. Тогда,
p1p2⋮p и, из определения простого элемента, p1⋮p или p2⋮p. Предположим, что p1⋮p, то есть
найдется элемент q R такой, что p1 = pq. Таким образом, p = p1p2 = pqp2. Поскольку в R нет
делителей нуля, имеем e = qp2, то есть e⋮ p2, но p2 R*. Противоречие.
Обратное
неверно:
в
кольце
𝐙[√−5]
выполняется
6 = 2 ⋅ 3 ⋮ (1 + √−5),
◼
но
2 ⋮̸ (1 + √−5) и 3 ⋮̸ (1 + √−5), то есть элемент 1 + √−5 неразложимый, но не простой.
Элементы a и b = a, где R*, — ассоциированные, обозначается a b. Каждый из них
является делителем другого. Поэтому (a) (b), (b) (a) и, значит, (a) = (b) — ассоциированные
элементы порождают один и тот же идеал. Отношение ассоциированности является
эквивалентностью и разбивает множество элементов кольца на классы. Класс неразложимых
ассоциированных элементов можно представить одним неразложимым элементом.
4
Целостное кольцо называется факториальным, если каждый его ненулевой элемент a
можно представить в виде a = p1…pr, где R*, p1, …, pr — неразложимые элементы, и это
разложение единственно с точностью до порядка сомножителей и ассоциируемости: если
a = p1…pm = q1…qn, где , R*, p1, …, pm, q1, …, qn — неразложимые элементы, то должно
выполняться m = n и можно так перенумеровать ql, что pl = lql, где l R*, = 1…n.
В кольце R обрываются возрастающие цепочки главных идеалов (a1) (a2) (a3) …,
если найдется такое n, что (an) = (an+1) = (an+2) = … (нётерово отношение главных идеалов).
Иначе, условие обрыва цепочек делителей: если элементы a1, a2, a3 R таковы, что
a1⋮ a2⋮ a3⋮…, то найдется номер n такой, что an an+1 an+2… (начиная с некоторого места
цепочка стабилизируется).
5
Теорема 1. Для того чтобы целостное кольцо R было факториальным необходимо и
достаточно, чтобы:
1) в R обрывались все возрастающие цепочки главных идеалов (цепочки делителей);
2) всякий неразложимый элемент в R был простым.
Доказательство.
Необходимость условий.
Лемма 2. Пусть R факториальное кольцо, для элемента a R, a = p1…pn определим
l(a) = n. Если a⋮ b и при этом b не ассоциирован с a, то l(a) > l(b).
Доказательство. Пусть найдется элемент c R, c R* такой, что a = bc. Кольцо R
факториальное, поэтому b = 1q1…qs, c = 2r1…rt, где 1, 2 R*, q1, …, qs, r1, …rt неразложимые.
Тогда a = 12q1…qsr1…rt, l(a) = s + t > l(b) = s.
◼
6
Условие 1. Бесконечной цепочке a1⋮ a2⋮ a3⋮…, соответствовала бы бесконечная
последовательность неотрицательных целых чисел l(a1) > l(a2) > l(a3) > …
Условие 2. Пусть p — неразложимый элемент кольца R. Докажем, что он простой. Пусть
a, b — такие ненулевые элементы кольца R, что ab⋮ p, то есть найдется c R такой, что ab = pc.
Кольцо R факториальное, поэтому a = 1p1…ps, b = 2ps+1…pt, c = 3q1…qn. Тогда
12p1…pt = 3pq1…qn.
Из единственности разложения следует, что pi p для некоторого i. При i s выполняется
a⋮ p, при i > s — b⋮ p.
7
Достаточность условий.
Сначала докажем, что любой элемент кольца можно разложить в произведение
неразложимых.
Лемма 3. Пусть a R, a 0, a R*. Тогда неразложимый элемент p такой, что a⋮p.
Доказательство. Если элемент a неразложимый, то лемма доказана, a⋮ p.
Если элемент a разложимый, то найдутся элементы a1, b1 (не делители единицы) такие, что
a = a1b1, то есть a⋮ a1, элементы a и a1 не ассоциированы. Если элемент a1 неразложимый, то
лемма доказана, если разложимый, то найдется элемент a2 (не делитель единицы) такой, что
a1⋮a2 и т.д.
Таким образом, либо дойдем до неразложимого делителя an, либо получим бесконечную
цепочку a⋮ a1⋮a2⋮…, где ни один ai не ассоциирован с a.
◼
8
Возьмем произвольный ненулевой элемент a R. Если a R*, то число сомножителей в
разложении a равно нулю. Пусть a — не делитель единицы. Тогда по лемме 3 найдется
неразложимый элемент p1 такой, что a⋮ p1, то есть существует a1 R такой, что a = p1a1.
Если a1 — делитель единицы, то построение окончено, если нет, то найдется
неразложимый элемент p2 такой, что a1 = p2a2 и т.д.
Получаем цепочку делителей a⋮ a1⋮a2⋮…, причем ai~̸a, так как все pi — не делители
единицы. И по условию 1 такая цепочка обрывается, то есть найдется индекс n такой, что an =
(делитель единицы).
Получаем нужную последовательность: a = p1a1, a1 = p2a2, …, an−1 = pnan, an = . Отсюда
a = p1p2…pn — произведение неразложимых элементов.
9
Теперь покажем, что такое представление единственно. Пусть есть два представления:
a = 1p1p2…pn = 2q1q2…qm, пусть m n. Доказательство — индукцией по m. Поскольку
1p1p2…pn ⋮ q1 и все неразложимые элементы по условию 2 являются простыми, найдется такой
индекс i, что pi ⋮ q1, то есть pi = q1, где — делитель единицы (так как pi — неразложимый).
Перенумеруем pi так, чтобы p1 ⋮ q1. Получим 1q1p2…pn = 2q1q2…qm. Так как R —
целостное кольцо, это равносильно тому, что 1p2…pn = 2q2…qm. По индукционному
предположению, число неразложимых сомножителей в левой и в правой части равенства
одинаково. Теорема доказана.
◼
10
Кольца главных идеалов
Если в целостном кольце 𝑅 каждый идеал является главным, то 𝑅 — кольцо главных
идеалов (КГИ).
Лемма 1. 𝐙 — КГИ.
Доказательство. Пусть 𝐼 — произвольный идеал кольца 𝐙. Если 𝐼 = (0), то 𝐼 главный.
Если 𝑐 ∈ 𝐙\{0}, 𝑐 ∈ 𝐼, то −𝑐 ∈ 𝐼. Одно из этих чисел положительное. Пусть 𝑎 — наименьшее
положительное число в 𝐼. Тогда любое 𝑏 ∈ 𝐼 можно записать в виде 𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑟. Отсюда
𝑟 = 𝑏 + (−𝑞𝑎) ∈ 𝐼. Так как 0 ≤ 𝑟 < 𝑎, то 𝑟 = 0. Следовательно, 𝑏 = 𝑞𝑎 и 𝐼 = (𝑎).
◼
Лемма 2. Если 𝐾 — поле, то 𝐾[𝑥] — КГИ.
Доказательство. Если 𝐼 = (0), то 𝐼 главный. Пусть 𝐼 ≠ (0) — идеал и 𝑎 ∈ 𝐼 — полином
наименьшей степени. Тогда любой полином 𝑏 ∈ 𝐼 можно записать в виде 𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑟, где 𝑟 ∈ 𝐼
и 𝑑𝑒𝑔(𝑟) < 𝑑𝑒𝑔(𝑎). Поэтому 𝑟 = 0. Следовательно, 𝑏 = 𝑞𝑎 и 𝐼 = (𝑎).
◼
Любое поле — КГИ, так как если 𝐼 ≠ (0) — идеал поля, то ∀𝑎 ∈ 𝐼 имеем 𝑎−1 𝑎 = 𝑒 ∈ 𝐼, то
есть 𝐼 = (𝑒).
Теорема 1. Если 𝑅 — КГИ, то 𝑅 — факториальное.
Доказательство. 1) Докажем, что цепочки делителей обрываются. Пусть 𝑎1 ⋮ 𝑎2 ⋮ 𝑎3 ⋮ …
— бесконечная цепочка ненулевых неассоциированных элементов кольца 𝑅. Соответствующая
цепочка главных идеалов: (𝑎1 ) ⊂ (𝑎2 ) ⊂ (𝑎3 ) ⊂ …
Пусть 𝐼 = ⋃∞
𝑖=1(𝑎𝑖 ). Если 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼, то ∃𝑖, 𝑗 ∶ 𝑎 ∈ (𝑎𝑖 ), 𝑏 ∈ (𝑎𝑗 ). Если 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥(𝑖, 𝑗), то
𝑎, 𝑏 ∈ (𝑎𝑘 ). Поэтому 𝑎 ± 𝑏 ∈ (𝑎𝑘 ) ⊂ ⋃∞
𝑖=1(𝑎𝑖 ) = 𝐼.
Если 𝑎 ∈ 𝐼 и 𝑟 ∈ 𝑅, то ∃𝑖 ∶ 𝑎 ∈ (𝑎𝑖 ), поэтому 𝑟𝑎 ∈ (𝑎𝑖 ) ⊂ ⋃∞
𝑖=1(𝑎𝑖 ) = 𝐼.
Таким образом, 𝐼 — идеал, а так как 𝑅 — КГИ, то ∃𝑎 ∈ 𝑅: 𝐼 = (𝑎).
Так как 𝑎 ∈ 𝐼 = ⋃∞
𝑖=1(𝑎𝑖 ), то ∃𝑠 ∶ 𝑎 ∈ (𝑎𝑠 ), поэтому 𝐼 = (𝑎) ⊂ (𝑎𝑠 ).
2
Покажем, что (𝑎𝑗 ) = 𝐼 для любого 𝑗 ≥ 𝑠. C одной стороны, (𝑎𝑗 ) ⊂ ⋃∞
𝑖=1(𝑎𝑖 ) = 𝐼. С другой
стороны, 𝐼 ⊂ (𝑎𝑠 ) ⊂ (𝑎𝑗 ). Итак, 𝐼 = (𝑎𝑗 ) и (𝑎𝑠 ) = (𝑎𝑠+1 ) = (𝑎𝑠+2 ) =… — цепочки обрываются.
𝑠≤𝑗
2) Докажем, что всякий неразложимый элемент является простым.
Пусть 𝑝 ∈ 𝑅 — неразложимый, 𝑎𝑏 ⋮ 𝑝. Покажем, что 𝑎 ⋮ 𝑝 или 𝑏 ⋮ 𝑝.
Пусть 𝑎 ⋮̸ 𝑝. Построим 𝐼 = (𝑎, 𝑝). Поскольку 𝑅 — КГИ, то ∃𝑑 ∈ 𝑅, такой что 𝐼 = (𝑑).
Можно записать 𝑝 = 0 ∙ 𝑎 + 𝑒 ∙ 𝑝 ∈ 𝐼, поэтому 𝑝 ⋮ 𝑑; кроме того, 𝑎 = 𝑒 ∙ 𝑎 + 0 ∙ 𝑝 ∈ 𝐼,
поэтому 𝑎 ⋮ 𝑑.
При этом 𝑑 ⋮̸ 𝑝 (иначе выполнялось бы 𝑎 ⋮ 𝑑 ⋮ 𝑝, а предположили, что 𝑎 ⋮̸ 𝑝).
Следовательно, 𝑑 ≁ 𝑝. Но 𝑝 неразложимый, то есть из 𝑝 = 𝑑 ∙ 𝑐 имеем 𝑐~𝑝, 𝑑 ∈ 𝑅∗ .
Итак, 𝐼 = (𝑑) = (𝑒) = 𝑅 и ∃𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅: 𝑒 = 𝑥𝑎 + 𝑦𝑝.
Тогда 𝑏 = 𝑥𝑎𝑏 + 𝑦𝑝𝑏 и, так как 𝑎𝑏 ⋮ 𝑝, получаем, что 𝑏 ⋮ 𝑝 и 𝑝 — простой элемент.
◼
3
Евклидовы кольца
Пусть 𝑅 — целостное кольцо.
Пусть 𝑁: 𝑅\{0} → 𝐙≥0 такая функция, что
1) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0 справедливо 𝑁(𝑎𝑏) ≥ 𝑁(𝑎);
2) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑏 ≠ 0, найдутся 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅 такие, что 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, причем 𝑟 = 0 или 𝑁(𝑟) < 𝑁(𝑏).
Тогда 𝑅 — евклидово кольцо.
Пример 1. Для 𝐙 — 𝑁(𝑎) = |𝑎|; для 𝐾[𝑥] — 𝑁(𝑓(𝑥)) = 𝑑𝑒𝑔𝑓(𝑥).
Теорема 2. Если 𝑅 — евклидово кольцо, то 𝑅 — КГИ.
Доказательство. Пусть 𝐼 — идеал в 𝑅. Если 𝐼 = (0), то 𝐼 — главный идеал.
Пусть 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑏 ≠ 0, при этом значение 𝑁(𝑏) — наименьшее для всех 𝑏 ∈ 𝐼, 𝑏 ≠ 0. Докажем,
что 𝐼 = (𝑏).
Так как 𝑏 ∈ 𝐼, то и (𝑏) ⊆ 𝐼.
4
Обратно, пусть 𝑎 ∈ 𝐼. Поскольку 𝑅 — евклидово, найдутся 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅 такие, что 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟.
Запишем 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞 ∈ 𝐼. Если 𝑟 ≠ 0, то 𝑁(𝑟) < 𝑁(𝑏) — противоречие. Значит, 𝑟 = 0,
◼
𝑎 = 𝑏𝑞 ∈ (𝑏) и 𝐼 ⊆ (𝑏).
Если 𝑅 — евклидово кольцо, то ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0
(𝑎, 𝑏) = {𝑥𝑎 + 𝑦𝑏} = (𝑑)
для некоторого 𝑑 ∈ 𝑅, то есть 𝑑 = 𝑥𝑎 + 𝑦𝑏, 𝑎 = 𝑎1 𝑑, 𝑏 = 𝑏1 𝑑 для некоторых 𝑎1 , 𝑏1 ∈ 𝑅.
Значит, 𝑑 = НОД(𝑎, 𝑏).
Пример 2.
Кольцо целых гауссовых чисел 𝐙[𝑖] = {𝑎 + 𝑏𝑖| 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐙} — целостное. Докажем, что
кольцо 𝐙[𝑖] евклидово. Пусть 𝑁(𝑎 + 𝑏𝑖) = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 + 𝑏2 ∈ 𝐙≥0 .
Если 𝑐 + 𝑑𝑖 ⋮ 𝑎 + 𝑏𝑖, то найдутся 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐙 ∶ 𝑐 + 𝑑𝑖 = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖). Тогда
5
𝑐 2 + 𝑑 2 = |𝑐 + 𝑑𝑖|2 = (|𝑎 + 𝑏𝑖||𝑥 + 𝑦𝑖|)2 = (𝑎2 + 𝑏2 )(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ≥ 𝑎2 + 𝑏2 ,
то есть 𝑞 = 𝑥 + 𝑦𝑖, 𝑟 = 0.
𝑐+𝑑𝑖
Пусть ненулевые 𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐙[𝑖], 𝑐 + 𝑑𝑖 ∈ 𝐙[𝑖]. Разделим: 𝑎+𝑏𝑖 = 𝑥1 + 𝑦1 𝑖, где 𝑥1 , 𝑦1 ∈ 𝐐.
Пусть 𝑥 = x — ближайшее целое к 𝑥1 , 𝑦 — ближайшее целое к 𝑦1 , тогда
1
1
|𝑥 − 𝑥1 | ≤ , |𝑦 − 𝑦1 | ≤ .
2
2
Положим 𝑞 = 𝑥 + 𝑦𝑖 ∈ 𝐙[𝑖]. Тогда
𝑟 = 𝑐 + 𝑑𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = 𝑐 + 𝑑𝑖 − (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥1 + 𝑦1 𝑖) + (𝑎 + 𝑏𝑖)((𝑥 − 𝑥1 ) + (𝑦 − 𝑦1 )𝑖) =
= (𝑎 + 𝑏𝑖)((𝑥 − 𝑥1 ) + (𝑦 − 𝑦1 )𝑖).
При этом
2
2
2
2
2
1 2
1 2
𝑁(𝑟) = |𝑟| = |𝑎 + 𝑏𝑖| |(𝑥 − 𝑥1 ) + (𝑦 − 𝑦1 )𝑖| ≤ (𝑎 + 𝑏 ) ((2) + (2) ) =
Значит, 𝐙[𝑖] — евклидово кольцо.
1
2
2
2
2
(𝑎
+
𝑏
)
<
𝑎
+
𝑏
.
2
◼
6
Полиномы одной переменной
Пусть 𝑅— кольцо, 𝑥 ∉ 𝑅. Выражение 𝑓(𝑥) = ∑𝑖≥0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 , в котором 𝑎𝑖 ∈ 𝑅 и сумма
содержит конечное число слагаемых, — полином над кольцом 𝑅, символ 𝑥 — переменная,
элементы 𝑎𝑖 — коэффициенты; наибольшее 𝑖, для которого 𝑎𝑖 ≠ 0, — степень 𝑑𝑒𝑔(𝑓)
полинома 𝑓; в слагаемом 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 множитель 𝑥 𝑖 — моном.
Полином с единичным старшим коэффициентом — приведенный, или нормированный.
Полиномы можно складывать и умножать (при этом символ 𝑥 перестановочен с любым
элементом из 𝑅)
∑𝑖≥0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 + ∑𝑖≥0 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 = ∑𝑖≥0 𝑐𝑖 𝑥 𝑖 ,
∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 ⋅ ∑ 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 = ∑ 𝑐𝑖 𝑥 𝑖 ,
𝑖≥0
𝑖≥0
𝑖≥0
Таким образом, полиномы образуют кольцо 𝑅[𝑥].
𝑐𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ;
𝑐𝑖 = ∑ 𝑎𝑗 𝑏𝑘 .
𝑗+𝑘=𝑖
Если 𝑎 ∈ 𝑅, то 𝑓(𝑎) — значение полинома 𝑓(𝑥).
Если 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑟(𝑥), 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑠(𝑥), то 𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑎) = 𝑟(𝑎), 𝑓(𝑎)𝑔(𝑎) = 𝑟(𝑎), то
есть отображение 𝑅[𝑥] ⟶ 𝑅, при котором 𝑓(𝑥) ⟼ 𝑓(𝑎), — гомоморфизм колец.
Утверждение 1. Если 𝑅 — целостное кольцо с полем частных 𝐾, то 𝑅[𝑥] — целостное
𝑓(𝑥)
кольцо с полем частных 𝐾(𝑥) = {𝑔(𝑥)| 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥], 𝑔(𝑥) ≠ 0} (поле рациональных
функций).
◼
Деление (с остатком): если 𝑓(𝑥) = ∑𝑖≥0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑔(𝑥) = ∑𝑖≥0 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑑𝑒𝑔(𝑓) = 𝑛, 𝑑𝑒𝑔(𝑔) =
𝑚, 𝑛 ≥ 𝑚, 𝑏𝑚 = 𝑒, то можно записать 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥), где 𝑑𝑒𝑔(𝑟) < 𝑑𝑒𝑔(𝑔).
Утверждение 2. Если 𝑅 — факториальное кольцо, то 𝑅[𝑥] — факториальное кольцо.
◼
𝑓(𝑥) — неприводимый в кольце 𝑅[𝑥] или неприводимым над кольцом 𝑅, если 𝑑𝑒𝑔(𝑓) > 0
и любой его делитель либо ассоциирован с ним, либо является делителем единицы.
2
Производная и кратные корни
Пусть 𝐾 — поле, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], 𝑑𝑒𝑔(𝑓) = 𝑛.
Присоединим к 𝐾[𝑥] новую переменную 𝑡. Тогда 𝑓(𝑥 + 𝑡) ∈ 𝐾[𝑥, 𝑡] и
𝑓(𝑥 + 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑓1 (𝑥)𝑡 + … + 𝑓𝑛 (𝑥)𝑡 𝑛 .
Коэффициент 𝑓1 (𝑥) — производная полинома 𝑓(𝑥), обозначается 𝑓′(𝑥):
𝑓(𝑥 + 𝑡) − 𝑓(𝑥) ≡ 𝑡𝑓′(𝑥) (𝑚𝑜𝑑 𝑡 2 ).
При 𝐾 = 𝐑 это определение производной совпадает с определением производной в
дифференциальном исчислении.
Cвойства производной:
1. (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥).
2. (𝑎𝑓(𝑥))′ = 𝑎𝑓′(𝑥) для любого 𝑎 ∈ 𝐾.
3. (𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥).
3
4. (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1 .
5.
(∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 )′
=
∑𝑛𝑖=1 𝑖𝑎𝑖 𝑥 𝑖−1 ,
𝑛 (𝑘)
(𝑥 )
𝑛(𝑛 − 1) … (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑥 𝑛−𝑘 ,
={
0,
𝑘 ≤ 𝑛,
𝑘 > 𝑛.
6. (𝑓(𝑔(𝑥)))′ = 𝑓′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥).
Доказательство. Пусть ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), тогда
ℎ(𝑥 + 𝑡) − ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥 + 𝑡)) − 𝑓(𝑔(𝑥)) =
с учетом 𝑔(𝑥 + 𝑡) ≡ 𝑔(𝑥) + 𝑡𝑔′(𝑥) (𝑚𝑜𝑑 𝑡 2 )
𝑛
𝑛
≡ 𝑓(𝑔(𝑥) + 𝑡𝑔′(𝑥)) − 𝑓(𝑔(𝑥)) = ∑ 𝑎𝑖 (𝑔 + 𝑡𝑔′)𝑖 − ∑ 𝑎𝑖 𝑔𝑖 =
𝑖=0
𝑛
𝑛
𝑖=0
𝑛
= ∑ 𝑎𝑖 (𝑔𝑖 + 𝑖𝑔𝑖−1 𝑡𝑔′ + … ) − ∑ 𝑎𝑖 𝑔𝑖 ≡ 𝑡 (∑ 𝑎𝑖 𝑖𝑔(𝑥)𝑖−1 ) 𝑔′(𝑥) = 𝑡 ∙ ℎ′(𝑥) (𝑚𝑜𝑑 𝑡 2 ).
𝑖=0
𝑓(𝑥) ′
7. (𝑔(𝑥)) =
𝑖=0
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
𝑔2 (𝑥)
.
𝑖=0
◼
4
Распишем с учетом свойства 5:
𝑛
(𝑥 + 𝑡) =
∑𝑛𝑘=0 𝐶𝑛𝑘 𝑥 𝑛−𝑘 𝑡 𝑘
=
𝑛(𝑛−1)…(𝑛−𝑘+1)𝑥
∑𝑛𝑘=0
𝑘!
𝑛−𝑘
𝑘
𝑡 =
(𝑥 𝑛 )(𝑘) 𝑘
𝑛
∑𝑘=0
𝑡 .
𝑘!
Если 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + … + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 , то
𝑓(𝑥 + 𝑡) =
∑𝑛𝑠=0 𝑎𝑠 (𝑥
𝑠
+ 𝑡) =
∑𝑛𝑠=0 𝑎𝑠
𝑠 (𝑖)
𝑠 (𝑥 )
𝑖
∑𝑖=0
𝑡
𝑖!
=
(поменяем порядок суммирования)
=
(𝑎𝑠 𝑥 𝑠 )(𝑖)
𝑛
𝑛
𝑖
∑𝑖=0 (∑𝑠=0
𝑡
)
𝑖!
=
(𝑖)
𝑛 𝑓 (𝑥) 𝑖
∑𝑖=0
𝑡.
𝑖!
Перепишем крайние части равенства, выполнив замену 𝑥 ↦ 𝑎, 𝑡 ↦ 𝑥 − 𝑎:
𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑖=0
𝑓(𝑖) (𝑎)
𝑖!
(𝑥 − 𝑎)𝑖
— формула Тейлора.
5
Элемент 𝑎 ∈ 𝐾 — корень полинома 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], если 𝑓(𝑎) = 0.
Поделим 𝑓(𝑥) на 𝑥 − 𝑎:
𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑎) + 𝑟,
где 𝑟 ∈ 𝐾.
При 𝑥 = 𝑎 получаем 𝑟 = 0, то есть 𝑓(𝑥) ⋮ (𝑥 − 𝑎).
По индукции: если 𝑎1 , … , 𝑎𝑠 — различные корни полинома 𝑓(𝑥), то 𝑓(𝑥) делится на
произведение (𝑥 − 𝑎1 ) … (𝑥 − 𝑎𝑠 ).
Полином степени 𝑛 над полем (и даже над целостным кольцом) имеет не более 𝑛 корней.
В кольце с делителями нуля число корней может быть больше 𝑛: например, в 𝐙⁄15𝐙 корнями
уравнения 𝑥 2 = 1 являются 1, 4, 11, 14.
Если 𝑓(𝑥) ⋮ (𝑥 − 𝑎)𝑘 , но 𝑓(𝑥) ⋮̸ (𝑥 − 𝑎)𝑘+1 , то 𝑎 — корень кратности 𝑘 полинома 𝑓(𝑥).
Если 𝑘 ≥ 2, то 𝑎 — кратный корень, при 𝑘 = 1 — простой корень.
6
Теорема. Пусть поле 𝐾 содержит поле 𝐐 рациональных чисел, то есть для любого 𝑖 ≥ 0
определено значение
1
𝑖!
(то есть (𝑖!)−1 ∈ 𝐾). Для того чтобы элемент 𝑎 ∈ 𝐾 был корнем
кратности 𝑘 полинома 𝑓(𝑥) необходимо и достаточно, чтобы
𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎) = … = 𝑓 (𝑘−1) (𝑎) = 0, 𝑓 (𝑘) (𝑎) ≠ 0.
Доказательство. Запишем
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + … +
𝑓(𝑘−1) (𝑎)
(𝑘−1)!
𝑘−1
(𝑥 − 𝑎)
+
𝑓(𝑘) (𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎)𝑘 + (𝑥 − 𝑎)𝑘+1 𝑔(𝑥).
Условие 𝑓(𝑥) ⋮ (𝑥 − 𝑎)𝑘 равносильно тому, что 𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎) = … = 𝑓 (𝑘−1) (𝑎) = 0.
Тогда
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑘) (𝑎)
𝑘!
(𝑥 − 𝑎)𝑘 + (𝑥 − 𝑎)𝑘+1 𝑔(𝑥).
Условие 𝑓(𝑥) ⋮̸ (𝑥 − 𝑎)𝑘+1 равносильно тому, что 𝑓 (𝑘) (𝑎) ≠ 0.
◼
7
Следствие 1. Элемент 𝑎 ∈ 𝐾 — кратный корень тогда и только тогда, когда
𝑓(𝑎) = 𝑓′(𝑎) = 0.
Следствие 2. Множество кратных корней в поле 𝐾 полинома 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] совпадает с
множеством всех корней полинома 𝑑(𝑥) = НОД(𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥)).
Пример. Кратный корень.
Рассмотрим 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 𝑥 2 + 4 над полем 𝐙⁄5𝐙. Вычисляем производную:
𝑓′(𝑥) = 4𝑥 3 + 𝑥 2 + 2𝑥. Находим алгоритмом Евклида НОД(𝑓(𝑥), 𝑓′(𝑥)):
𝑓(𝑥) = (4𝑥 + 2)𝑓′(𝑥) + 𝑥 2 + 𝑥 + 4, 𝑓′(𝑥) = (4𝑥 + 2)(𝑥 2 + 𝑥 + 4) + 4𝑥 + 2,
𝑥 2 + 𝑥 + 4 = (4𝑥 + 2)2 = (𝑥 − 2)2 .
Таким образом, 2 — корень кратности 2 для 𝑓(𝑥). Выполняя деление, получаем
𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 (𝑥 2 + 𝑥 + 1).
Полином 𝑥 2 + 𝑥 + 1 в кольце 𝐙⁄5𝐙 [𝑥] на множители не раскладывается.
8
Полиномы от нескольких переменных
Пусть 𝑅 — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей 𝑒.
Если 𝑥1 ∉ 𝑅 , то 𝑅[𝑥1 ] — ассоциативное коммутативное кольцо с единицей 𝑒𝑥10 .
Если 𝑥2 ∉ 𝑅[𝑥1 ] , то (𝑅[𝑥1 ])[𝑥2 ] = 𝑅[𝑥1 , 𝑥2 ] — ассоциативное коммутативное кольцо с
единицей 𝑒𝑥10 𝑥20 .
…
𝑖
𝑖
𝑅[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] — кольцо полиномов ∑ 𝑎𝑖1 …𝑖𝑛 𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 от переменных 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ,
𝑎𝑖1 …𝑖𝑛 ∈ 𝑅;
𝑖
𝑖
𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 — моном; наибольшая сумма показателей 𝑖1 + … + 𝑖𝑛 — степень
полинома.
𝑅[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] = 𝑅[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛−1 ][𝑥𝑛 ].
Если 𝑅 — целостное кольцо, то 𝑅[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ] — целостное кольцо.
𝑖
𝑖
Полином 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑ 𝑎𝑖1 …𝑖𝑛 𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 — однородный, если все его мономы имеют
одинаковую степень.
Теорема 1. Полином 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑑𝑒𝑔(𝑓) = 𝑑, — однородный тогда и только тогда, когда
для любого 𝑢 ∈ 𝑅 выполняется 𝑓(𝑢𝑥1 , … , 𝑢𝑥𝑛 ) = 𝑢𝑑 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ).
𝑖
𝑖
Доказательство. Необходимость следует из равенства 𝑎(𝑢𝑥1 )𝑖1 . . . (𝑢𝑥𝑛 )𝑖𝑛 = 𝑎𝑢𝑑 𝑥11 . . . 𝑥𝑛𝑛
для каждого слагаемого. Достаточность доказывается построением гомоморфизма из
𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] в 𝑅, для каждого слагаемого выполняется равенство 𝑖1 + … + 𝑖𝑛 = 𝑑.
◼
2
𝑖
𝑖
𝑗
𝑗
Упорядочение мономов вида 𝑎𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 , 𝑏𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 задается упорядочением наборов
неотрицательных целых чисел i = (𝑖1 , … , 𝑖𝑛 ), j = (𝑗1 , … , 𝑗𝑛 ).
1. Словарное (лексикографическое) упорядочение: i > j, если либо 𝑏 = 0, либо в векторе
i − j = (𝑖1 − 𝑗1 , … , 𝑖𝑛 −𝑗𝑛 ) первый ненулевой элемент положителен: 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 3 > 𝑥 2 𝑦 4 𝑧 3.
2. Градуированное словарное упорядочение: i > j, если либо 𝑏 = 0, либо ∑ 𝑖𝑘 > ∑ 𝑗𝑘 , либо
при ∑ 𝑖𝑘 = ∑ 𝑗𝑘 в векторе i − j первый ненулевой элемент положителен: 𝑥 2 𝑦 4 𝑧 3 > 𝑥 3 𝑦 2 𝑧 3.
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
Мономы вида 𝑎𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 , 𝑏𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 — подобные.
Мультистепень — 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑑𝑒𝑔(𝑓) — максимальный вектор степеней его мономов
относительно выбранного упорядочения, старший моном (leading monomial) — 𝐿𝑀(𝑓) —
моном с максимальной степенью.
Пример 1. 𝑓 = 4𝑥𝑦 2 𝑧 + 4𝑧 2 − 5𝑥 3 + 7𝑥 2 𝑧 2 , 𝑥 > 𝑦 > 𝑧. Тогда 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑑𝑒𝑔(𝑓) = (3,0,0).
3
Симметрические полиномы
Пусть
𝑅—
целостное
1
2
…
𝜋=(
𝜋(1) 𝜋(2) …
кольцо,
𝑆𝑛
—
симметрическая
группа
степени
n,
𝑛
𝑖
𝑖
) ∈ 𝑆𝑛 , 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑ 𝑎𝑖1 …𝑖𝑛 𝑥11 … 𝑥𝑛𝑛 ∈ 𝑅[𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ].
𝜋(𝑛)
Теорема 2. Отображение 𝜋̂: 𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] ⟶ 𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ],
𝜋̂(𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )) = 𝑓(𝑥𝜋(1) , … , 𝑥𝜋(𝑛) ),
— автоморфизм кольца 𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ].
◼
Доказательство: из правил сложения и умножения полиномов.
Полином 𝑓(𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) инвариантен относительно подстановки 𝜋 ∈ 𝑆𝑛 , если 𝜋̂(𝑓) = 𝑓.
Множество
𝐼(𝑇) ⊂ 𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ]
полиномов,
инвариантных
относительно
каждой
подстановки из 𝑇 ⊆ 𝑆𝑛 , — подкольцо кольца 𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ]. Будем рассматривать 𝑇 = 𝑆𝑛 .
4
Полином 𝑓 ∈ 𝑅[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] — симметрический, если он инвариантен относительно любой
подстановки 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 . Подкольцо 𝐼(𝑆𝑛 ) — подкольцо симметрических полиномов от 𝑛
переменных.
Пусть 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) , тогда 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 − 𝜎1 𝑥 𝑛−1 + … + (−1)𝑛 𝜎𝑛 , где
𝜎1 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥1 + … + 𝑥𝑛 ,
𝜎2 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥3 + … + 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 ,
…
𝜎𝑛 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛
— элементарные симметрические функции.
Теорема 3. Симметрический полином может быть единственным образом представлен в
◼
виде полинома от элементарных симметрических функций.
𝑚
𝑚𝑛
В полиноме 𝐹(𝜎1 , … , 𝜎𝑛 ) ∈ 𝑅[𝜎1 , … , 𝜎𝑛 ] слагаемое вида 𝑐𝜎1 1 … 𝜎𝑛
имеет вес 𝑚1 + 2𝑚2 +
… + 𝑛𝑚𝑛 .
5
Дискриминант и результант
Дискриминант полинома 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … 𝑎0 ∈ 𝑅[𝑥]:
𝐷(𝑓) = 𝑎𝑛2𝑛−2 ∏𝑖<𝑗(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )2 ,
где 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 — корни полинома 𝑓(𝑥).
Если кольцо 𝑅 целостное, то 𝐷(𝑓) = 0 у полинома 𝑓(𝑥) есть хотя бы один кратный корень.
𝑖
Пусть 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 , 𝑔(𝑥) = ∑𝑚
𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥 ∈ 𝑅[𝑥]. Результант этих полиномов
𝑛 ∏𝑚,𝑛
𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, 𝑔) = 𝑎𝑛𝑚 𝑏𝑚
𝑖,𝑗=1(𝑥𝑖 − 𝑦𝑗 ),
где 𝑥𝑖 — корни полинома 𝑓(𝑥), 𝑦𝑗 — корни полинома 𝑔(𝑥).
Если кольцо 𝑅 целостное, то
𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, 𝑔) = 0 НОД(𝑓, 𝑔) ∉ 𝑅∗ ∃𝐴, 𝐵 ∈ 𝑅[𝑥]: 𝐴𝑓 + 𝐵𝑔 = 0,
где 𝑑𝑒𝑔(𝐴) < 𝑑𝑒𝑔(𝑔), 𝑑𝑒𝑔(𝐵) < 𝑑𝑒𝑔(𝑓).
6
Вычисление результанта:
𝑎𝑛
|…
𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, 𝑔) = |𝑏𝑚
|0
…
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
…
𝑏𝑚−1
𝑏𝑚
…
𝑎𝑛−2
𝑎𝑛−1
…
𝑏𝑚−2
𝑏𝑚−1
𝑏𝑚
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
𝑎1
𝑎2
…
…
𝑏0
𝑏1
𝑏2
…
…
𝑎0
𝑎1
…
…
𝑏0
𝑏1
…
…
𝑎0
…
…
𝑏0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…|
𝑎0
0 |.
0|
…
𝑏0
При этом:
𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, 𝑔) = (−1)𝑚𝑛 𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑔, 𝑓),
𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓𝑔, ℎ) = 𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, ℎ) 𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑔, ℎ), 𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, 𝑔) = 𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓 + 𝑔, 𝑔).
Связь дискриминанта и результанта:
1
𝐷(𝑓) = 𝑎 (−1)
𝑛
𝑛(𝑛−1)
2
𝑅𝑒𝑠𝑥 ( 𝑓, 𝑓′).
7
Деление полиномов от нескольких переменных
Пусть 𝑓, 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ∈ 𝐾[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ]. Пусть 𝐿𝑀(𝑓) — старший моном полинома 𝑓, 𝐿𝑇(𝑓) —
старшее слагаемое (leading term) полинома 𝑓.
Разделить 𝑓 на 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 — найти 𝑎1 , … , 𝑎𝑠 , 𝑟 ∈ 𝐾[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ], такие что
𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + … + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 + 𝑟,
где либо 𝑟 = 0, либо ни одно из слагаемых полинома 𝑟 не делится ни на одно из 𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 ).
Шаг
1.
Если
𝐿𝑇( 𝑔1 )| 𝐿𝑇( 𝑓),
то
получим
представление
𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + ℎ1 ,
где
𝐿𝑇(𝑓)
𝑎1 = 𝐿𝑇(𝑔 ) ∈ 𝐾[𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ]. Если 𝐿𝑇( 𝑔1 )| 𝐿𝑇( ℎ1 ), то повторяем деление, пока не получим
1
𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + 𝑓1 , где 𝐿𝑇( 𝑔1 )|̸ 𝐿𝑇( 𝑓1 ). Затем делим 𝑓1 на 𝑔2 и т.д., пока не получим
𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + … + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 + 𝑟1 .
Шаг 2. Запишем 𝑟1 = 𝐿𝑇(𝑟1 ) + 𝑟2 и повторяем шаг 1, заменив 𝑓 на 𝑟2 . Получим
𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + … + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 + 𝐿𝑇(𝑟2 ) + 𝑟3 . Далее, 𝑟3 = 𝐿𝑇(𝑟3 ) + 𝑟4 и повторяем шаг 1, заменив 𝑓 на
𝑟4 , и т.д., пока не получим требуемое представление.
8
Пример 2. Деление полиномов с остатком.
Пусть 𝑓 = 𝑥𝑦 2 − 𝑥, 𝑔1 = 𝑥𝑦 + 1, 𝑔2 = 𝑦 2 − 1.
Деление (для словарного упорядочения) сначала на 𝑔1 , затем на 𝑔2 :
𝑓 = 𝑦 ∙ 𝑔1 + 0 ∙ 𝑔2 + (−𝑥 − 𝑦).
Деление сначала на 𝑔2 , затем на 𝑔1 :
𝑓 = 𝑥 ∙ 𝑔2 + 0 ∙ 𝑔1 + 0.
◼
Если 𝑟 = 0, то 𝑓 ∈ (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ).
Задача: найти такой базис идеала, для которого условие 𝑟 = 0 является необходимым и
достаточным для определения принадлежности полинома идеалу при любой упорядоченности
полиномов идеала. Этому требованию отвечают базисы Грёбнера.
9
Мономиальные идеалы
Идеал 𝐼 ⊂ 𝐾[𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ] — мономиальный, если существует такое множество векторов
показателей 𝐴 = {𝛂1 , … , 𝛂𝑠 , … }, что идеал порождается мономами вида (𝒙𝜶1 , … , 𝒙𝜶𝑠 , … ). Для
𝑎
𝑎
𝛂 = (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ), 𝐱 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) запись 𝐱 𝛂 означает 𝑥1 1 . . . 𝑥𝑛 𝑛 .
Пример 3. 𝐼 = (𝑥 4 𝑦 2 , 𝑥 3 𝑦 4 , 𝑥 2 𝑦 5 ) ⊂ 𝐾[𝑥, 𝑦].
Из каких мономов состоит мономиальный идеал?
Теорема 4. Пусть идеал 𝐼 ⊂ 𝐾[𝐱] мономиальный, A — множество векторов 𝛂, для которых
𝐱 𝛂 ∈ 𝐼. Моном 𝐱 𝛃 ∈ 𝐼 тогда и только тогда, когда 𝐱 𝛃 делится на некоторый моном 𝐱 𝛂 для 𝛂 ∈ 𝐴.
Доказательство. Если 𝐱 𝛃 делится на некоторый 𝐱 𝛂 для 𝛂 ∈ 𝐴, то по определению идеала
𝐱 𝛃 ∈ 𝐼. Обратно, если 𝐱 𝛃 ∈ 𝐼, то 𝐱 𝛃 = ∑ ℎ𝑖 𝐱 𝛂(𝑖) , где ℎ𝑖 ∈ 𝐾[𝐱], 𝛂(𝑖) ∈ 𝐴. Рассмотрим каждый ℎ𝑖
как линейную комбинацию мономов, тогда каждое слагаемое ℎ𝑖 𝐱 𝛂(𝑖) делится на какой-то 𝐱 𝛂(𝑖) .
Значит, и левая часть (моном 𝐱 𝛃 ) должна делиться на какой-то 𝐱 𝛂(𝑖) , так как 𝐱 𝛃 содержится хотя
бы в одном ℎ𝑖 𝐱 𝛂(𝑖) .
◼
10
Пример 4. Если 𝐼 = (𝑥 4 𝑦 2 , 𝑥 3 𝑦 4 , 𝑥 2 𝑦 5 ) ⊂ 𝐾[𝑥, 𝑦], то 𝐴 = {(4, 2), (3, 4), (2, 5)}. Моном
𝐱 𝛃 = 𝑥 3 𝑦 5 ∈ 𝐼, так как 𝐱 𝛃 = 𝑥 3 𝑦 5 = ℎ1 𝑥 4 𝑦 2 + ℎ2 𝑥 3 𝑦 4 + ℎ3 𝑥 2 𝑦 5 , где ℎ1 = ℎ3 = 0, ℎ2 = 𝑦.
Таким
биекция
образом,
между
существует
множеством
мономиальных
идеалов
подмножествами
𝐴
из
и
условия
теоремы 4.
Полином
𝑓 ∈ 𝐾[𝐱]
лежит
в
мономиальном идеале 𝐼 тогда и
только тогда, когда каждое слагаемое
полинома 𝑓 лежит в 𝐼.
11
Лемма (Диксон, L. Dickson). Пусть 𝐼 — мономиальный идеал, соответствующий
множеству векторных показателей 𝐴. Тогда 𝐼 конечно порожден, то есть 𝐼 = (𝐱 𝛂1 , … , 𝐱 𝛂𝑠 ) для
некоторых 𝛂1 , … , 𝛂𝑠 ∈ 𝐴.
Доказательство: индукцией по числу переменных.
◼
Пусть 𝐼 = (𝑓1 , … , 𝑓𝑟 ) — произвольный ненулевой идеал кольца 𝐾[𝐱].
Множество старших слагаемых элементов идеала 𝐼:
𝐿𝑇(𝐼) = {𝑎𝐱 𝛂 | ∃𝑓 ∈ 𝐼: 𝐿𝑇(𝑓) = 𝑎𝐱 𝛂 }.
Идеал (𝐿𝑇(𝐼)), порожденный элементами множества 𝐿𝑇(𝐼), — является мономиальным и
по лемме Диксона конечно порожден, то есть ∃ 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ∈ 𝐼: (𝐿𝑇(𝐼)) = (𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 )).
12
Теорема 5 (теорема Гильберта о базисе). Каждый идеал 𝐼 ∈ 𝐾[𝐱] конечно порожден, то
есть ∃ 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 : 𝐼 = (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ).
Доказательство. Если 𝐼 = {0}, то 𝑠 = 1, 𝑔1 = 0, то есть 𝐼 = (0).
Пусть 𝐼 ≠ {0}. Знаем, что (𝐿𝑇(𝐼)) = (𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 )) для некоторых 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ∈ 𝐼.
Докажем, что 𝐼 = (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ).
Из 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ∈ 𝐼 получаем, что (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ) ⊆ 𝐼.
Разделим произвольный 𝑓 ∈ 𝐼 на 𝑔1 , … , 𝑔𝑠 :
𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + … + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 + 𝑟,
где ни одно из слагаемых полинома 𝑟 не делится ни на одно из 𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 ). Запишем
𝑟 = 𝑓 − 𝑎1 𝑔1 − … − 𝑎𝑠 𝑔𝑠 ∈ 𝐼,
Если 𝑟 ≠ 0, то 𝐿𝑇(𝑟) ∈ (𝐿𝑇(𝐼)) = (𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 )). Значит, по теореме 4, 𝐿𝑇(𝑟) должен
делиться хотя бы на одно слагаемое 𝐿𝑇(𝑔𝑖 ). Противоречие.
Таким образом, 𝑟 = 0 и 𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + … + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 ∈ (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ), то есть 𝐼 ⊆ (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ).
◼
13
Базисы Грёбнера
Пусть 𝐼 — идеал, 𝐺 = {𝑔1 , … , 𝑔𝑠 } ⊆ 𝐼. Если (𝐿𝑇(𝐼)) = (𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 )), то 𝐺 —
базис Грёбнера.
Теорема 6. Для каждого ненулевого идеала 𝐼 ⊂ 𝐾[𝐱] существует базис Грёбнера. При этом
𝑓 ∈ 𝐼 тогда и только тогда, когда остаток от деления 𝑓 на элементы базиса равен нулю.
Доказательство. Пусть 𝐼 ≠ {0} и построим множество 𝐺 = {𝑔1 , … , 𝑔𝑠 } по теореме 5, тогда
𝐺 — базис Гребнера.
Если для некоторого 𝑓 ∈ 𝐾[𝐱] нашлось два представления 𝑓 = ∑𝑖 𝑎𝑖 𝑔𝑖 + 𝑟 = ∑𝑖 𝑎𝑖 ′ 𝑔𝑖 + 𝑟 ′ ,
то 𝑟 − 𝑟 ′ = ∑𝑖 𝑎𝑖 𝑔𝑖 − ∑𝑖 𝑎𝑖 ′ 𝑔𝑖 ∈ 𝐼.
Если
предположить,
что
𝑟 ≠ 𝑟′,
то
𝐿𝑇(𝑟 − 𝑟 ′ ) ∈ (𝐿𝑇(𝑔1 ), … , 𝐿𝑇(𝑔𝑠 )),
∃𝑖: 𝐿𝑇(𝑔𝑖 )| 𝐿𝑇(𝑟 − 𝑟 ′ ). Противоречие с определением остатка.
то
есть
◼
14
Построение базиса Грёбнера
Пусть 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐾[𝐱], 𝐿𝑀(𝑓) = 𝐱 𝛂 , 𝐿𝑀(𝑔) = 𝐱 𝛃 , где 𝛂 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ), 𝛃 = (𝛽1 , … , 𝛽𝑛 ).
Моном 𝐱 𝛄 , где 𝛄 = (𝑚𝑎𝑥(𝛼1 , 𝛽1 ), … , 𝑚𝑎𝑥(𝛼𝑛 , 𝛽𝑛 )), — наименьшее общее кратное
мономов 𝐿𝑀(𝑓) и 𝐿𝑀(𝑔), 𝐱 𝛄 = НОК(𝐿𝑀(𝑓), 𝐿𝑀(𝑔)).
𝐱𝛄
𝐱𝛄
S-полином (сизигия) для 𝑓 и 𝑔: 𝑆(𝑓, 𝑔) = 𝐿𝑇(𝑓) 𝑓 − 𝐿𝑇(𝑔) 𝑔.
Пример 5. 𝑓 = 2𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 1, 𝑔 = 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2. Для словарного упорядочения 𝑥 > 𝑦:
𝐿𝑀(𝑓) = 𝑥 2 , 𝐿𝑇( 𝑓) = 2𝑥 2 , 𝐿𝑀(𝑔) = 𝑥𝑦, 𝐿𝑇( 𝑔) = 3𝑥𝑦, 𝛄 = 𝑥 2 𝑦,
𝑥 2𝑦
𝑥 2𝑦
2
𝑆(𝑓, 𝑔) = 2 (2𝑥 + 𝑥𝑦 + 1) −
(3𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 2) =
2𝑥
3𝑥𝑦
1
1
1
2
1
2
1
= 𝑥 2 𝑦 + 2 𝑥𝑦 2 + 2 𝑦 − 𝑥 2 𝑦 − 3 𝑥𝑦 2 − 3 𝑥 = 6 𝑥𝑦 2 − 3 𝑥 + 2 𝑦.
Можно рассматривать 𝐱 𝛄 = НОК(𝐿𝑇(𝑓), 𝐿𝑇(𝑔)). Тогда
𝐱 𝛄 = 6𝑥 2 𝑦 , 𝑆(𝑓, 𝑔) = 𝑥𝑦 2 − 4𝑥 + 3𝑦.
◼
15
Теорема 7 (критерий Бухбергера). Базис 𝐺 = (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ) идеала 𝐼 ⊂ 𝐾[𝐱] является
базисом Грёбнера тогда и только тогда, когда 𝑆(𝑔𝑖 , 𝑔𝑗 ) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐺) ∀𝑖 ≠ 𝑗.
◼
Пример 6. Базис Грёбнера.
Пусть 𝐼 = (𝑥 − 𝑧 2 , 𝑦 − 𝑧 3 ). Для 𝑥 > 𝑦 > 𝑧:
𝑆(𝑥 − 𝑧 2 , 𝑦 − 𝑧 3 ) = 𝑦(𝑥 − 𝑧 2 ) − 𝑥(𝑦 − 𝑧 3 ) = 𝑥𝑧 3 − 𝑦𝑧 2 .
По критерию Бухбергера:
𝑆(𝑥 − 𝑧 2 , 𝑦 − 𝑧 3 ) = 𝑥𝑧 3 − 𝑦𝑧 2 = 𝑧 3 (𝑥 − 𝑧 2 ) − 𝑧 2 (𝑦 − 𝑧 3 ) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐼).
◼
Построение базиса Грёбнера. Пусть 𝐹 = (𝑓1 , 𝑓2 ) — ненулевой идеал. Вычислить 𝑆(𝑓1 , 𝑓2 ).
Если 𝑆(𝑓1 , 𝑓2 ) = 𝑓3 ≠ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐹), то положить 𝐹 = (𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 ) и вычислить 𝑆(𝑓1 , 𝑓3 ) (𝑚𝑜𝑑 𝐹),
𝑆(𝑓2 , 𝑓3 ) (𝑚𝑜𝑑 𝐹) и т.д.
В общем случае базис Гребнера определен неоднозначно.
16
Базис Грёбнера 𝐺 = (𝑔1 , … , 𝑔𝑠 ) называется приведенным, если ∀𝑖 = 1, … , 𝑠 выполняется:
1)
𝐿𝐶(𝑔𝑖 ) = 1 (leading coefficient);
2)
ни один из мономов полинома 𝑔𝑖 не лежит в идеале (𝐿𝑀(𝑔1 ), … , 𝐿𝑀(𝑔𝑠 )).
Исключение лишних элементов из базиса:
Теорема 8. Пусть 𝐺 — базис Грёбнера идеала 𝐼 ⊂ 𝐾[𝐱]. Если для 𝑔 ∈ 𝐺 выполняется
𝐿𝑇(𝑔) ∈ (𝐿𝑇(𝐺\{𝑔})), то 𝐺\{𝑔} — тоже базис Грёбнера идеала 𝐼.
Доказательство. 𝐺 — базис идеала 𝐼, поэтому (𝐿𝑇(𝐺)) = (𝐿𝑇(𝐼)). Если 𝐿𝑇(𝑔) ∈
(𝐿𝑇(𝐺\{𝑔})), то (𝐿𝑇(𝐺)) = (𝐿𝑇(𝐺\{𝑔})). Тогда 𝐺\{𝑔} по определению является базисом
Грёбнера.
◼
17
Пример 7. Приведенный базис Грёбнера.
Пусть 𝐼 = (𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 1). Для словарного упорядочения 𝑥 > 𝑦:
𝐹 = (𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 1),
𝑆(𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 1) = 𝑥(𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) − 𝑦(𝑥 2 + 1) = 𝑥𝑦 2 − 𝑦 ≡ −𝑦 3 − 𝑦 (𝑚𝑜𝑑 𝐹);
𝐹 = (𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 1, −𝑦 3 − 𝑦),
𝑆(𝑥𝑦 + 𝑦 2 , −𝑦 3 − 𝑦) = −𝑦 2 (𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) − 𝑥(−𝑦 3 − 𝑦) = 𝑥𝑦−𝑦 4 =
= 1 ∙ (𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) + 𝑦(−𝑦 3 − 𝑦) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐹),
𝑆(𝑥 2 + 1, −𝑦 3 − 𝑦) = −𝑦 3 (𝑥 2 + 1) − 𝑥 2 (−𝑦 3 − 𝑦) = 𝑥 2 𝑦−𝑦 3 =
= 𝑦(𝑥 2 + 1) + 1 ∙ (−𝑦 3 − 𝑦) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐹).
Приведенный базис Грёбнера: 𝐺 = (𝑥𝑦 + 𝑦 2 , 𝑥 2 + 1, 𝑦 3 + 𝑦).
◼
На практике если число переменных велико, то число S-полиномов оказывается большим,
и построение приведенного базиса Грёбнера становится затруднительным.
18
Теорема 9. Пусть 𝐺
― конечное множество из 𝐾[𝐱], 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐺, при этом
НОД(𝐿𝑀(𝑓), 𝐿𝑀(𝑔)) = 1. Тогда 𝑆(𝑓, 𝑔) ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐺).
Доказательство. Пусть 𝐿𝐶(𝑓) = 𝐿𝐶(𝑔) = 1, тогда можно записать
𝑓 = 𝐿𝑀(𝑓) + 𝑝, 𝑔 = 𝐿𝑀(𝑔) + 𝑞
и
𝑆(𝑓, 𝑔) = 𝐿𝑀(𝑔)𝑓 − 𝐿𝑀(𝑓)𝑔 = (𝑔 − 𝑞)𝑓 − (𝑓 − 𝑝)𝑔 = 𝑝𝑔 − 𝑞𝑓 ≡ 0 (𝑚𝑜𝑑 𝐺),
поскольку для мультистепеней выполняется равенство
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑑𝑒𝑔𝑆(𝑓, 𝑔) = 𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑑𝑒𝑔(𝑝𝑔), 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑑𝑒𝑔(𝑞𝑓)),
и из НОД(𝐿𝑀(𝑓), 𝐿𝑀(𝑔)) = 1 следует, что 𝐿𝑀(𝑝𝑔), 𝐿𝑀(𝑞𝑓) не могут сократиться.
◼
Таким образом, достаточно рассматривать S-полиномы только для тех пар полиномов,
у которых старшие мономы не взаимно просты (см. пример 7).
19
Поле. Подполе. Простое поле
Поле — целостное кольцо 𝐾 (при этом 𝑒 ≠ 0), в котором каждый ненулевой элемент имеет
обратный.
В
поле
все
ненулевые
элементы
образуют
абелеву
группу
по
умножению
(мультипликативную группу поля): 𝐾 ∗ = 𝐾\{0}.
Поле 𝐾 не содержит идеалов, кроме (0) и (𝑒).
Пример 1. Поля.
1. 𝐐 — поле частных колец: 𝐙, 2𝐙, … , 𝑛𝐙.
2. Если 𝐾 — поле, то 𝐾(𝑥) — поле частных кольца полиномов 𝐾[𝑥].
3. Если 𝑝 — простое число, 𝐙⁄(𝑝) — поле.
4. Если 𝑝(𝑥) ∈ 𝐑[𝑥] — неприводимый полином, 𝑑𝑒𝑔(𝑝) = 1 или 𝑑𝑒𝑔(𝑝) = 2,
то 𝐑[𝑥] ⁄(𝑝(𝑥)) — поле.
◼
Подполе поля 𝐾 — подмножество 𝑘 ⊆ 𝐾, которое само является полем относительно
операций в 𝐾. Если 𝑘 ⊂ 𝐾, то 𝑘 — собственное подполе поля 𝐾.
Простым называется поле, не содержащее собственных подполей.
В каждом поле ровно одно простое подполе, так как пересечение всех подполей поля —
является подполем и не имеет собственных подполей. Если предположить, что существуют два
различных простых подполя, то их пересечение было бы собственным подполем в каждом из
них.
Типы простых полей
Пусть 𝐿 — поле, 𝐾 — его простое подполе, пусть 𝑒 — единица поля 𝐾.
𝑃 = {𝑛𝑒 = 𝑒 + … + 𝑒| 𝑛 ∈ 𝐙} с операциями сложения: 𝑛𝑒 + 𝑚𝑒 = (𝑛 + 𝑚)𝑒 и умножения
(𝑛𝑒)(𝑚𝑒) = 𝑛𝑚𝑒 2 = 𝑛𝑚𝑒 = (𝑚𝑒)(𝑛𝑒) — коммутативное кольцо.
2
Отображение 𝜑: 𝐙 → 𝑃, 𝜑(𝑛) = 𝑛𝑒, — эпиморфизм.
По теореме о гомоморфизмах колец: 𝑃 ≅ 𝐙⁄𝐾𝑒𝑟𝜑, где 𝐾𝑒𝑟𝜑 = {𝑛 ∈ 𝐙 | 𝑛𝑒 = 0}.
𝐾 — целостное кольцо ⇒ 𝑃 — целостное кольцо ⇒ 𝐙⁄𝐾𝑒𝑟𝜑 — целостное кольцо.
𝐙 — КГИ ⇒ 𝐾𝑒𝑟𝜑 — главный идеал, то есть ∃ 𝑧 ∈ 𝐙 ∶ 𝐾𝑒𝑟𝜑 = (𝑧).
Если 𝑧 = 1, то 𝐾𝑒𝑟𝜑 = (1) = 𝐙 и ∀𝑛 ∈ 𝐙 𝜑(𝑛) = 𝑛𝑒 = 0, в том числе 𝜑(1) = 1 ∙ 𝑒 = 0.
Если 𝑧 — составное, то в 𝐙⁄(𝑧) есть делители нуля.
1. 𝐾𝑒𝑟𝜑 = (0), то есть 𝑃 ≅ 𝐙. Простое поле 𝐾 является полем частных кольца 𝑃, и 𝐾 ≅ 𝐐.
2. 𝐾𝑒𝑟𝜑 = (𝑝), где 𝑝 — простое число, при этом 𝑝 — наименьшее положительное, для
которого 𝑝𝑒 = 0. Поэтому 𝑃 ≅ 𝐙⁄𝑝𝐙 — поле и 𝐾 ≅ 𝐙⁄𝑝𝐙.
3
Характеристика поля равна 0 (в первом случае) или является простым числом 𝑝 (во
втором случае).
Все поля, содержащиеся в 𝐂, и поля функций, содержащие 𝐐, имеют характеристику 0.
Теорема 1. В поле 𝐾 характеристики 𝑝 для любых 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾
(𝑎 ± 𝑏)𝑝 = 𝑎 𝑝 ± 𝑏𝑝 .
Доказательство:
𝑝−1
(𝑎 + 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 + 𝐶𝑝1 𝑎𝑝−1 𝑏 + 𝐶𝑝2 𝑎𝑝−2 𝑏2 + ⋯ + 𝐶𝑝
𝑝!
где ∀𝑛 𝐶𝑝𝑟 = 𝑟!(𝑝−𝑟)! ⋮ 𝑝.
𝑎𝑏𝑝−1 + 𝑏𝑝 ,
◼
4
Расширения полей
Пусть 𝐿 — поле, 𝐾 — его подполе, тогда 𝐿 — расширение поля 𝐾, обозначается 𝐿⁄𝐾.
Если 𝐿 — расширение поля 𝐾 и 𝑆 ⊂ 𝐿, то существует поле, содержащее множество 𝐾 ∪ 𝑆.
Наименьшее из таких полей обозначается 𝐾(𝑆), при этом 𝐾 ⊆ 𝐾(𝑆) ⊆ 𝐿.
Поле 𝐾(𝑆) содержит поле 𝐾, множество 𝑆, а также все элементы, полученные при
∑𝑎 𝑠
сложении (вычитании) и умножении (делении), то есть 𝐾(𝑆) = {∑ 𝑏 𝑖 𝑡𝑖 |𝑎𝑖 , 𝑏𝑗 ∈ 𝐾, 𝑠𝑖 , 𝑡𝑗 ∈ 𝑆 },.
𝑗 𝑗
Если 𝑆 = {𝑡}, то 𝐾(𝑡) — простое расширение поля 𝐾, 𝑡 — примитивный элемент
расширения 𝐾(𝑡).
5
Типы простых расширений
В поле 𝐾(𝑡) содержится кольцо 𝐾[𝑡] = {∑ 𝑎𝑖 𝑡 𝑖 | 𝑎 ∈ 𝐾}.
Отображение 𝜑: 𝐾[𝑥] → 𝐾[𝑡], 𝜑(∑ 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 ) = ∑ 𝑎𝑖 𝑡 𝑖 , — гомоморфизм колец.
По теореме о гомоморфизмах колец 𝐾[𝑡] ≅ 𝐾[𝑥]⁄𝐾𝑒𝑟𝜑, причем идеал 𝐾𝑒𝑟𝜑 простой.
1. 𝐾𝑒𝑟𝜑 = (0) ⇒ 𝐾[𝑡] ≅ 𝐾[𝑥]. Поле 𝐾(𝑡) — поле частных кольца 𝐾[𝑡] — является
простым трансцендентным расширением поля 𝐾, при этом 𝐾(𝑡) ≅ 𝐾(𝑥). Элемент 𝑡 —
трансцендентный над 𝐾.
Пример 2. Трансцендентные расширения.
1. Если 𝐾 = 𝐑, то
𝑓(𝑥)
𝐑(𝑥) = {𝑔(𝑥)| 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐑[𝑥], 𝑔(𝑥) ≠ 0}.
2. Если 𝐾 = {0, 1}, то трансцендентное расширение — поле рациональных функций с
коэффициентами из 𝐾.
◼
6
2. 𝐾𝑒𝑟𝜑 ⊃ (0) ⇒ 𝐾𝑒𝑟𝜑 = {𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] | 𝑓(𝑡) = 0}. При этом 𝐾𝑒𝑟𝜑 ≠ (𝑒) (иначе все
элементы кольца 𝐾[𝑥] отображались бы в 0).
𝐾[𝑥] — КГИ, тогда из 𝐾𝑒𝑟𝜑 ≠ (0), 𝐾𝑒𝑟𝜑 ≠ (𝑒) следует, что 𝐾𝑒𝑟𝜑 = (𝑝(𝑥)), где 𝑝(𝑥) —
неприводимый над 𝐾 полином, 𝑝(𝑡) = 0.
Идеал (𝑝(𝑥)) максимальный, кольцо 𝐾[𝑡] ≅ 𝐾[𝑥]⁄(𝑝(𝑥)) является полем и совпадает с
𝐾(𝑡). Обратно, если 𝐾[𝑥]⁄(𝑝(𝑥)) — поле, то идеал (𝑝(𝑥)) максимален и полином 𝑝(𝑥)
неприводим. Таким образом, 𝐾(𝑡) = 𝐾[𝑡] — простое алгебраическое расширение поля 𝐾.
Полином 𝑝(𝑥) с корнем 𝑡 — полином, задающий поле 𝐾(𝑡), 𝑡 — алгебраический элемент
степени 𝑑𝑒𝑔(𝑝(𝑥)). Если 𝑑𝑒𝑔(𝑝(𝑥)) = 1, то 𝑡 ∈ 𝐾 и 𝐾[𝑡] ≅ 𝐾.
Если 𝐾 ⊂ 𝐿, то 𝑤 ∈ 𝐿 — алгебраический над 𝐾, если он является корнем некоторого
полинома 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥].
7
Пример 3. Алгебраические расширения.
1. Если 𝐾 = 𝐑, то его алгебраическое расширение — поле 𝐂 — получается
присоединением корня 𝑖 неприводимого над 𝐑 полинома 𝑥 2 + 1.
2. Пусть 𝐾 = {0, 1}. Построим его алгебраическое расширение степени 3. Неприводимый
полином степени 3 — 𝑝(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1. Если 𝑡 — корень полинома 𝑝(𝑥), то
𝐾(𝑡) = 𝐾[𝑡] ≅ 𝐾[𝑥]⁄(𝑝(𝑥)) и
〈𝑡〉 = {𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 = 𝑡 + 1,
𝑡 4 = 𝑡 2 + 𝑡,
𝑡 5 = 𝑡 3 + 𝑡 2 = 𝑡 2 + 𝑡 + 1,
𝑡 6 = 𝑡 3 + 𝑡 2 + 𝑡 = 𝑡 2 + 1,
𝑡 7 = 𝑡 3 + 𝑡 = 1}.
8
3. Пусть 𝐾 = 𝐙[𝑖]⁄(3) — поле классов вычетов — состоит из сумм вида 𝑎 + 𝑏𝑖, где 𝑎, 𝑏 ∈
𝐙⁄(3), включает в себя поле 𝐙⁄(3) в качестве простого подполя и
𝐾 = {0,1,2, 𝑖, 𝑖 + 1, 𝑖 + 2, 2𝑖, 2𝑖 + 1,2𝑖 + 2}
— алгебраическое расширение поля 𝐙⁄(3), задаваемое полиномом 𝑥 2 + 1.
◼
Любой элемент алгебраического расширения поля 𝐾 является алгебраическим над 𝐾.
Действительно, пусть расширение строится присоединением к полю 𝐾 корня 𝑡 полинома
𝑝(𝑥) = 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + . . . +𝑎0 .
Пусть 𝑦(𝑡) = 𝑏𝑛−1 𝑡 𝑛−1 + . . . +𝑏0 ∈ 𝐾[𝑡]. Тогда, учитывая, что 𝑝(𝑡) = 0,
то есть
𝑡 𝑛 = −𝑎𝑛−1 𝑡 𝑛−1 − . . . −𝑎0 ,
можно выразить 𝑦 2 (𝑡), 𝑦 3 (𝑡), … , 𝑦 𝑛 (𝑡) как полиномы от 𝑡 степени не более 𝑛 − 1.
9
Поэтому ∃𝑐0 , … , 𝑐𝑛−1 ∈ 𝐾: 𝑔(𝑦) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑦 + … + 𝑐𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + 𝑦 𝑛 = 0.
𝐾[𝑦] — факториальное кольцо ⇒ 𝑔(𝑦) раскладывается на простые множители (или является
неприводимым), и 𝑦 — корень в точности одного простого делителя (неприводимого полинома)
полинома 𝑔(𝑦). Такой неприводимый полином — минимальный (или канонический) полином
для 𝑦.
Пример 4. Минимальный полином.
Пусть 𝑦 = 𝑡 2 + 𝑡 — элемент поля 𝐾(𝑡) из примера 3.2. Тогда
𝑦 2 = 𝑡 4 + 𝑡 2 = 𝑡,
𝑦4 = 𝑡 2 = 𝑦 + 𝑡 = 𝑦 + 𝑦2,
𝑦 4 + 𝑦 2 + 𝑦 = 0,
𝑦(𝑦 3 + 𝑦 + 1) = 0
и 𝑦 3 + 𝑦 + 1 — минимальный полином для 𝑦.
◼
10
Изоморфизм полей сохраняет неподвижными 0 и 𝑒 и, следовательно, всё простое подполе.
Расширения 𝐿 и 𝐿′ поля 𝐾 изоморфны над 𝐾, если существует изоморфизм, оставляющий
неподвижными элементы поля 𝐾.
Поле 𝐿 — алгебраически замкнутое, если каждый полином из 𝐿[𝑥] раскладывается на
линейные множители (пример: поле 𝐂). Алгебраически замкнутое поле не допускает
дальнейших алгебраических расширений.
Для каждого поля 𝐾
∃! с точностью до изоморфизма алгебраически замкнутое
алгебраическое расширение — алгебраическое замыкание поля 𝐾 (пример: поле 𝐂 —
алгебраическое замыкание поля 𝐑, но не поля 𝐐, в 𝐂 есть элементы, не являющиеся
алгебраическими над 𝐐, например, число 𝜋; поле является поле 𝐀 алгебраических чисел
(корней ненулевых полиномов из 𝐐[𝑥] — алгебраическое замыкание поля 𝐐).
11
Конечные расширения полей
Поле L — конечное расширение поля K, если оно является конечномерным векторным
пространством над K.
Все элементы из L — линейные комбинации элементов u1, …, un (базис) с
коэффициентами из K. Число элементов базиса — (L:K) — степень расширения L над K.
Пример 1. Если к полю K присоединяется корень t неприводимого над K полинома p(x),
deg(p) = n, то элементы t0 = 1, t, t2, …, tn−1 — стандартный (или полиномиальный) базис поля
L над K и (L:K) = n.
Утверждение 1. Если L конечно над K и K конечно над k, то L конечно над k и
(L:k) = (L:K)(K:k).
Утверждение 2. Каждое конечное расширение L поля K получается присоединением к K
конечного числа алгебраических над K элементов. Каждое расширение, полученное
присоединением конечного числа алгебраических элементов, конечно.
Поле разложения
Пусть K — поле. Присоединив к K все корни полинома f(x) K[x], получим поле
разложения полинома f(x).
Пример 2. Поле разложения.
1. C — поле разложения для f(x) = x2 + 1 R[x].
2. Если p — простое число, то Z/pZ — поле разложения для f(x) = x p − x:
x p − x = x (x − 1)…(x − (p − 1)).
3
3. Пусть 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2 ∈ 𝑸. После линейной над K замены переменной 𝑥 ← 𝑧 √−2:
−1 + √−3
−1 − √−3
𝑓(𝑥) ⟹ 𝑧 − 1 = (𝑧 − 1)(𝑧 + 𝑧 + 1) = (𝑧 − 1) (𝑧 −
) (𝑧 −
).
2
2
3
2
3
3
Следовательно, над 𝐂: 𝑓(𝑥) = (𝑥 − √−2) (𝑥 + √−2
1+√−3
2
3
) (𝑥 + √−2
1−√−3
2
).
Для получения поля разложения к исходному полю 𝑸 необходимо присоединить два
3
3
элемента: √−2 и √−3, то есть 𝐾 = 𝑸[ √−2, √−3], при этом (𝐾: 𝑸) = 6.
◼
2
Нормальное расширение
Расширение L поля K — нормальное над K, если оно алгебраическое над K и каждый
неприводимый в K[x] полином, обладающий хотя бы одним корнем в L, раскладывается в L[x]
на линейные множители. Расширение L поля K, полученное присоединением всех корней
одного, нескольких или бесконечного числа полиномов из K[x], является нормальным.
Пример 3. Нормальные расширения.
1. Если K — поле, char K 2, то нормальное расширение получается присоединением √𝐷,
где 𝐷 — дискриминант неприводимого полинома f(x) K[x], deg(f) = 2.
2. Поле разложения является нормальным расширением.
3. Алгебраическое замыкание поля Q, полученное присоединением всех корней всех
неприводимых полиномов, является нормальным расширением поля Q.
◼
3
Сепарабельные расширения
Пусть 𝐾 — поле, char 𝐾 = 𝑝.
Теорема. Неприводимый полином 𝑓(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] имеет кратные корни, если он является
полиномом от 𝑥 𝑝 . В поле разложения полинома 𝑓(𝑥) каждый корень имеет кратность 𝑝.
Доказательство. У полинома 𝑓(𝑥) есть кратные корни НОД(𝑓, 𝑓′) ∉ 𝐾 𝑓′ = 0, так как 𝑓(𝑥)
неприводим.
Если
𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 ,
то
𝑓′(𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑖𝑎𝑖 𝑥 𝑖−1 = 0
𝑖𝑎𝑖 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝),
то
есть
при 𝑎𝑖 ≠ 0(𝑚𝑜𝑑 𝑝) должно быть 𝑖 ⋮ 𝑝 и 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑠), где 𝑠 = 𝑥 𝑝 . Если 𝑔 — полином от 𝑠 𝑝 , то процедура
повторяется. Пусть 𝑔(𝑠) не является полиномом от 𝑠 𝑝 . Если его разложить на множители в некотором
расширении поля 𝐾, то он будет иметь только простые корни, и если 𝑡 — корень полинома 𝑔, то элемент
𝑢 такой, что 𝑢𝑝 = 𝑡, будет корнем кратности 𝑝 полинома 𝑓.
◼
Пусть 𝐾 — поле, 𝑓(𝑥) неприводим над 𝐾 и имеет только простые корни. Тогда 𝐾[𝑡] —
сепарабельное расширение поля 𝐾.
Пример 4. Сепарабельное расширение.
Полином 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 + 1 неприводим над 𝐅3 . Поле 𝐅27 ≅ 𝐅3 [𝑥]⁄(𝑥 3 + 2𝑥 + 1) —
сепарабельное расширение поля 𝐅3 , так как НОД(𝑓, 𝑓′) = НОД(𝑥 3 + 2𝑥 + 1, 2) = 1.
◼
4
Конечные поля
Поле K называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов.
Поле из q элементов обозначается 𝑭𝑞 .
𝑭𝑞 — конечное поле char 𝑭𝑞 0 char 𝑭𝑞 = 𝑝, где 𝑝 — простое число
𝑭𝑞 — конечное сепарабельное расширение некоторого простого поля 𝑭𝑝 , то есть
конечномерное
векторное
пространство
размерности
n
над
𝑭𝑝
каждый элемент поля 𝑭𝑞 может быть единственным образом представлен в виде линейной
комбинации 𝑎1 𝑢1 + … + 𝑎𝑛 𝑢𝑛 , где 𝑎𝑖 ∈ 𝑭𝑝 , и 𝑞 = 𝑝𝑛 .
Теорема 1. ∀𝑥 ∈ 𝑭𝑞 выполняется 𝑥 𝑞 − 𝑥 = 0.
Доказательство. Из #𝐅𝑞∗ = 𝑞 − 1 имеем 𝑥 𝑞−1 = 𝑒, где 𝑥 ∈ 𝑭𝑞 , 𝑥 ≠ 0 𝑥 𝑞 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ 𝑭𝑞 .
◼
Теорема 2. 𝑥 𝑞 − 𝑥 = ∏𝑎∈𝑭𝑞(𝑥 − 𝑎), то есть 𝑭𝑞 — поле разложения полинома 𝑥 𝑞 − 𝑥.
Доказательство. Каждый элемент поля 𝑭𝑞 — корень полинома 𝑥 𝑞 − 𝑥, а число
◼
сомножителей в правой части равно 𝑞.
Теорема 3. ∀ 𝑞 = 𝑝𝑛 ∃! 𝑭𝑞 .
Доказательство. Пусть 𝑛 > 1. Построим расширение поля 𝑭𝑝 , в котором 𝑥 𝑞 − 𝑥
раскладывается на линейные множители. Множество корней полинома 𝑥 𝑞 − 𝑥 — поле:
𝑥 𝑞
𝑥𝑞
𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝑦 , (𝑥 ± 𝑦) = 𝑥 ± 𝑦 , (𝑥𝑦) = 𝑥 𝑦 и (𝑦) = 𝑦 𝑞 при 𝑦 ≠ 0.
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞
𝑞 𝑞
Полином 𝑥 𝑞 − 𝑥 имеет в построенном расширении только простые корни, так как его
производная 𝑞𝑥 𝑞−1 − 𝑒 = −𝑒 не имеет корней получили поле из q элементов.
◼
2
Теорема 4. Если 𝑑𝑒𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑑 и 𝑓(𝑥)| (𝑥 𝑞 − 𝑥), то у 𝑓(𝑥) ровно 𝑑 различных корней
◼
в поле 𝑭𝑞 .
Таким образом, поле 𝑭𝑞 является нормальным расширением поля Fp.
Теорема 5. 𝐅𝑞∗ — циклическая группа.
Доказательство. #𝐅𝑞∗ = 𝑞 − 1 = ∏𝑘𝑖=1 𝑝𝑖 𝑎𝑖 = ∏𝑘𝑖=1 𝑟𝑖 , где все 𝑟𝑖 попарно взаимно просты.
Для всех 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘 полином 𝑥
Пусть 𝑏𝑖 = 𝑎𝑖
(𝑞−1)
𝑟𝑖
(𝑞−1)
𝑝𝑖
− 𝑒 имеет
(𝑞−1)
𝑝𝑖
корней, тогда ∃𝑎𝑖 ∈
#𝐅𝑞∗ :
𝑎𝑖
(𝑞−1)
𝑝𝑖
≠ 𝑒.
, тогда #〈𝑏𝑖 〉 = 𝑟𝑖 .
Для 𝑐 = ∏𝑘𝑖=1 𝑏𝑖 имеем #〈𝑐 〉 = НОК(#〈𝑏𝑖 〉) = ∏𝑘𝑖=1 𝑟𝑖 = 𝑞 − 1.
◼
Следствие. Число образующих группы 𝐅𝑞∗ равно 𝜑(𝑞 − 1).
3
Автоморфизмы конечных полей
В поле Fq, q = pn, рассмотрим отображение : x → x p.
— эндоморфизм: (ab) p = a pb p, (a + b) p = a p + b p;
— мономорфизм: (a) = (b) a p = b p 0 = (a p − b p) = (a – b) p a = b;
(Fq) = Fq —автоморфизм.
Все автоморфизмы поля Fq сохраняют неподвижными элементы из поля Fp.
Теорема 1. # = n.
Доказательство. Рассмотрим как элемент из Sq. Тогда {, 2, 3, …} — циклическая
группа. При этом n(x) = xq = x для всех x Fq. Следовательно, порядок d 1 группы
d
автоморфизмов (d(x) = x) делит n. Тогда любой x Fq удовлетворяет x p − x = 0. Но это
уравнение имеет не более pd корней. Значит, d = n.
◼
След и норма
Пусть L — расширение степени n поля K = Fp.
След элемента x L в поле K —
n−1
Tr(x) = 0(x) + (x) + … + n−1(x) = x + x p + … + x p .
Теорема 2. След — эпиморфизм аддитивных групп L → K.
Доказательство.
1. Покажем, что x L Tr(x) K. Вычислим
n−1
2
n
(Tr(x)) p = (x + x p + … + x p ) p = x p + x p + … + x p .
n
Из x p = x имеем (Tr(x)) p = Tr(x). Поскольку в K = Fp выполняется x p = x x, то Tr(x) K.
2. Проверим, что Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y) — следует из равенства
k
k
k
(x + y) p = x p + y p
для 0 k n − 1 в поле характеристики p.
2
3. Проверим, что для a K справедливо Tr(ax) = aTr(x). Элементы поля K удовлетворяют
k
равенству a p = a для 0 k n − 1. Поэтому
𝑘
𝑘
𝑘
𝑝 𝑝
𝑝
Tr( 𝑎𝑥) = ∑𝑛−1
= 𝑎 ∑𝑛−1
= 𝑎 Tr( 𝑥).
𝑘=0 𝑎 𝑥
𝑘=0 𝑥
4. Покажем, что b K существует прообраз в L.
n−1
Полином Tr(x) = x + x p + … + x p
имеет не более pn−1 корней в K. Поле L содержит
pn > pn−1 элементов. Следовательно, x L : Tr(x) = c 0, c K. Тогда для b K:
Tr(bc−1x) = bc−1Tr(x) = bc−1c = b.
Если b пробегает все поле K, то след Tr(bc−1x) тоже пробегает все поле K.
◼
3
Норма элемента x L в поле K —
n−1
N(x) = 0(x) (x) … n−1(x) = x x p … x p .
Теорема 3. Норма — эпиморфизм мультипликативных групп L* → K*.
Доказательство.
1) x L N(x) K;
2) N(xy) = N(x)N(y);
3) a K N(ax) = a nN(x)$
4) b K* существует прообраз в L* (следует из # L*/ Ker N = p − 1).
◼
4
Пусть f(x) = xn + an−1xn−1 + … + a0 — минимальный полином для x L и t L: f(t) = 0.
Выразим норму и след элемента x через коэффициенты полинома f(x).
Преобразование базиса e, x, x2, …, x n−1 поля L, соответствующее умножению на x, с учетом
x n = −an−1x n−1 − … − a1x − a0, задается матрицей
…
𝑇=
(−𝑎0
1
…
−𝑎1
1
…
−𝑎2
…
…
…
…
…
…
.
1
−𝑎𝑛−1 )
След матрицы T — Tr(x) = −an−1. Определитель матрицы T — N(x) = (−1)n−1(−a0) = (−1)na0.
В поле L: f(x) = (x − t1)(x − t2)…(x − tn). Тогда для t L
Tr(t) = −an−1 = t1 + t2 + … + tn,
N(t) = (−1)na0 = t1t2…tn
— симметрические функции; все n корней полинома f(x) имеют одинаковую норму и след.
5
Автоморфизмы конечных полей
В поле 𝐅𝑞 , 𝑞 = 𝑝𝑛 , рассмотрим отображение 𝜎: 𝑥 → 𝑥 𝑝 .
𝜎 — эндоморфизм: (𝑎𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 𝑏𝑝 , (𝑎 + 𝑏)𝑝 = 𝑎𝑝 + 𝑏𝑝 ;
𝜎 — мономорфизм: 𝜎(𝑎) = 𝜎(𝑏) 𝑎𝑝 = 𝑏𝑝 0 = 𝑎𝑝 − 𝑏𝑝 = (𝑎 − 𝑏)𝑝 𝑎 = 𝑏;
𝜎(𝐅𝑞 ) = 𝐅𝑞 𝜎 — автоморфизм.
Все автоморфизмы поля 𝐅𝑞 сохраняют неподвижными элементы из поля 𝐅𝑝 .
Теорема 1. #〈𝜎〉 = 𝑛.
Доказательство. Рассмотрим 𝜎 как элемент из 𝑆𝑞 . Тогда {𝜎, 𝜎 2 , … } — циклическая группа.
При этом 𝜎 𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑞 = 𝑥 для всех 𝑥 ∈ 𝐅𝑞 . Следовательно, порядок 𝑑 ≥ 1 группы
𝑑
автоморфизмов (𝜎 𝑑 (𝑥) = 𝑥) делит 𝑛. Тогда любой 𝑥 ∈ 𝐅𝑞 удовлетворяет равенству 𝑥 𝑝 − 𝑥 = 0.
Но это уравнение имеет не более 𝑝𝑑 корней. Значит, 𝑑 = 𝑛.
◼
Других автоморфизмов поля 𝐅𝑞 нет: любой автоморфизм — замена одного корня
неприводимого полинома другим все автоморфизмы поля 𝐅𝑞 являются степенями
автоморфизма 𝜎: 𝑥 → 𝑥 𝑝 — автоморфизма Фробениуса.
Теорема 2. Если 𝑛 = 𝑟𝑠, то в поле 𝐅𝑝𝑛 содержится поле 𝐅𝑝𝑟 . Автоморфизмы поля 𝐅𝑝𝑛 ,
оставляющие неподвижными элементы поля 𝐅𝑝𝑟 , образуют циклическую группу 〈𝜎 𝑟 〉.
Доказательство. Поля 𝐅𝑝𝑛 и 𝐅𝑝𝑟 — конечные расширения поля 𝐅𝑝 𝐅𝑝𝑛 — конечное
расширение поля 𝐅𝑝𝑟 .
#〈𝜎〉 = 𝑛 ∃ 〈𝜎 𝑟 〉, при этом #〈𝜎 𝑟 〉 = 𝑠. Любой элемент 𝑎 поля 𝐅𝑝𝑟 удовлетворяет
𝑟
равенству 𝑎𝑝 = 𝑎. Следовательно, 𝜎 𝑟 оставляет неподвижными элементы поля 𝐅𝑝𝑟 .
◼
Таким образом, для конечного поля существуют автоморфизмы, оставляющие
неподвижными элементы любого его подполя.
2
𝑛
Теорема 3. Если 𝑓(𝑥) — неприводимый над 𝐅𝑝 полином степени 𝑑, то 𝑥 𝑝 − 𝑥 делится на
𝑓(𝑥) тогда и только тогда, когда 𝑑|𝑛.
𝑛
Доказательство. Корни полинома 𝑥 𝑝 − 𝑥 — простые и образуют поле 𝐅𝑝𝑛 .
𝑛
𝑛
Если 𝑓(𝑥)|𝑥 𝑝 − 𝑥, то {корни полинома 𝑓(𝑥)} {корни полинома 𝑥 𝑝 − 𝑥}. Поэтому поле
разложения полинома 𝑓(𝑥) 𝐅𝑝𝑛 и 𝑑|𝑛.
Обратно, если 𝑛 = 𝑚𝑑, то 𝐅𝑝𝑛 — расширение степени 𝑚 поля 𝐅𝑝𝑑 . Все поля из одинакового
числа элементов изоморфны 𝐅𝑝𝑑 ≅ полю разложения полинома 𝑓(𝑥). Значит, 𝐅𝑝𝑛 содержит
𝑛
все корни полинома 𝑓(𝑥), то есть 𝑥 𝑝 − 𝑥 делится на 𝑓(𝑥).
◼
Следовательно, произведение всех неприводимых полиномов из 𝐅𝑝 [𝑥] степени, делящей 𝑛,
𝑛
равно 𝑥 𝑝 − 𝑥.
Теорема 3 позволяет оценить число неприводимых над 𝐅𝑝 полиномов степени 𝑛.
3
𝑛
1) 𝑛 — простое, тогда 𝑥 𝑝 − 𝑥 делится только на линейные полиномы и на неприводимые
полиномы степени 𝑛. В любом расширении поля 𝐅𝑝 степени менее 𝑛 ни один из неприводимых
полиномов степени 𝑛 не раскладывается на множители, а в расширении степени 𝑛 каждый
такой полином раскладывается на линейные множители.
𝑛
Множество корней полинома 𝑥 𝑝 − 𝑥 образует поле из 𝑝𝑛 элементов, которое содержит
простое поле 𝐅𝑝 . Элементы поля 𝐅𝑝 соответствуют неприводимым линейным полиномам
(𝑝 штук), а остальные элементы соответствуют корням неприводимых полиномов степени 𝑛,
каждый полином имеет 𝑛 корней. Следовательно, число приведенных неприводимых
полиномов степени 𝑛 для простого 𝑛 равно
𝑝𝑛 −𝑝
𝑛
.
4
Пример 1.
2
1. 𝑛 = 2, 𝑝 = 2. Множество корней полинома 𝑥 2 − 𝑥 образует поле из 22 элементов,
𝑥 4 − 𝑥 = 𝑥(𝑥 3 − 1 ) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1).
Если 𝑡 — корень полинома 𝑥 2 + 𝑥 + 1, то 𝑡 2 = 𝑡 + 1 — тоже корень.
2
Для полинома 𝑥 2 − 𝑥: 0, 1 — корни из 𝐅2 ; 𝑡, 𝑡 + 1 — корни из 𝐅22 .
3
2. 𝑛 = 3, 𝑝 = 2. Множество корней полинома 𝑥 2 − 𝑥 образует поле из 23 элементов.
𝑥 8 − 𝑥 = 𝑥(𝑥 7 − 1 ) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 6 + 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1) =
= 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 3 + 𝑥 2 + 1)(𝑥 3 + 𝑥 + 1).
◼
5
𝑛
2) 𝑛 — составное, тогда полином 𝑥 𝑝 − 𝑥 делится на все линейные полиномы, а также на
все неприводимые полиномы, степень которых делится на 𝑛. Поэтому, например, для 𝑛 = 𝑟𝑠,
где 𝑟, 𝑠 — различные простые числа, число неприводимых полиномов степени 𝑛 равно
(𝑝𝑛 −𝑝)−(𝑝𝑟 −𝑝)−(𝑝𝑠 −𝑝)
𝑛
=
𝑝𝑛 −𝑝𝑟 −𝑝𝑠 +𝑝
𝑛
.
Пример 2.
𝑛 = 6, 𝑝 = 2 число неприводимых полиномов равно
26 −23 −22 +2
6
= 9:
x6 + x + 1, x6 + x3 + 1, x6 + x5 + 1, x6 + x4 + x2 + x + 1, x6 + x5 + x2 + x + 1, x6 + x4 + x3 + x + 1,
x6 + x5 + x3 + x + 1, x6 + x5 + x4 + x + 1, x6 + x5 + x4 + x2 + 1.
◼
Все конечные поля из 𝑞 = 𝑝𝑛 элементов изоморфны как векторные пространства над 𝐅𝑝
одинаковой размерности 𝑛. Переход от одного поля к другому осуществляется заменой базиса.
Поэтому вид неприводимого полинома, задающего поле классов вычетов, непринципиален.
6
Алгебраическое расширение 𝐿 степени 𝑛 конечного поля 𝐾 — 𝑛-мерное векторное
пространство над 𝐾.
Если 𝐿 получено присоединением корня 𝑡 неприводимого над 𝐾 полинома 𝑓(𝑥) степени 𝑛,
то
𝐿 ≅ 𝐾[𝑥]⁄(𝑓(𝑥)).
Базисы 𝐿 над 𝐾:
− стандартный (или полиномиальный): {1, 𝑡, 𝑡 2 , … , 𝑡 𝑛−1 };
− нормальный: представляет собой 𝑛 значений автоморфизмов поля 𝐿 для некоторого
𝑔 ∈ 𝐿∗ , {𝑔, 𝜎(𝑔), … , 𝜎 𝑛−1 (𝑔)}.
Автоморфизмы расширений степени 𝑛 можно задавать матрицами. Тогда 𝜎(𝐱) = 𝐿𝐱.
7
Пример 3. Задание автоморфизма матрицей.
1. Автоморфизмы поля 𝐅24 над 𝐅2 . Если поле 𝐅24 задано полиномом 𝑥 4 + 𝑥 + 1, а его базис
1
{1, 𝑡, 𝑡 2 , 𝑡 3 }, то матрица, соответствующая автоморфизму 𝜎(𝑥) = 𝑥 2 , равна 𝐿 = (0
1
1
1
).
1
1
Здесь первый столбец соответствует элементу 1, второй — элементу 𝑡 2 , третий —
элементу 𝑡 4 = 𝑡 + 1, четвертый — элементу 𝑡 6 = 𝑡 3 + 𝑡 2 .
2. Автоморфизмы поля 𝐅53 над 𝐅5 . Если поле 𝐅53 задано полиномом 𝑥 3 + 𝑥 + 1, а его базис
1 1 3
{1, 𝑡, 𝑡 , то матрица, соответствующая автоморфизму 𝜎(𝑥) = 𝑥 , равна 𝐿 = (0 1 3).
0 4 3
2}
5
Здесь первый столбец соответствует элементу 1, второй — элементу 𝑡 5 = 1 + 𝑡 + 4𝑡 2 ,
третий — элементу 𝑡 10 = 3 + 3𝑡 + 3𝑡 2 .
◼
8
