Графоаналитическое определение аналогов скоростей и ускорений звеньев и характерных точек механизма

ЛЕКЦИЯ 3. ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛОГОВ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ЗВЕНЬЕВ И ХАРАКТЕРНЫХ ТОЧЕК МЕХАНИЗМА Целью лекции является определении аналогов скоростей и ускорений звеньев, а также характерных точек механизма графо-аналитически методом. Отметим, что алгоритм построений отличается универсальностью и простотой, а результат позволяет получать не только величины, но и направления скоростей и ускорений заданных точек звеньев механизма. Теоретические основания построения планов скоростей и ускорений были изложены О. Мором в 1870 г. 2.1. Порядок построения планов скоростей и ускорений звеньев механизма Планами скоростей и ускорений механизма называют векторные изображения этих кинематических параметров, соответствующие заданному положению механизма, т. е. совокупности плоских пучков, лучи которого изображают абсолютные скорости или ускорения точек звеньев, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости или ускорения соответствующих точек звеньев при данном положении механизма. Векторы абсолютных скоростей или ускорений на каждом плане откладываются от одной точки – полюса, обозначаемого на плане скоростей р, на плане ускорений π. При кинематическом исследовании механизма расчет и построения планов скоростей и ускорений начинают от ведущего звена, угловую скорость которого обычно принимают постоянной, по группам Ассура в порядке их присоединения. Итак, известны положения звеньев механизма с указанием их размеров, задана угловая скорость начального звена 1, требуется найти для каждого звена механизма аналог его угловой или линейной скорости, а также проекции аналогов скоростей центров масс звеньев. Решение задачи начинаем с определения величины аналога абсолютной линейной скорости кинематической пары А, начального звена – кривошипа 1, вокруг О1: м. (1) Напомним, что в системе СИ единица угловой скорости обозначается как рад/с или с–1, так как радиан есть безразмерная величина. Если задано число оборотов ведущего звена в минуту, т. е. частота вращения n, то для определения угловой скорости используется соотношение ω1=πn1/30. Поскольку вектор линейной скорости кинематической пары, вращающейся вокруг неподвижного или мгновенного центра, сонаправлен с угловой скоростью звена, которому принадлежит пара, и перпендикулярен положению данного звена, то вектор скорости VAO1 перпендикулярен кривошипу занимающему пятое положение, а значит, образует с осью ОХ угол, равный λ=φ13+90º=117.77º. Масштабный коэффициент плана аналогов скоростей механизма есть отношение аналога линейной скорости кинематической пары начального звена к отрезку, изображающему эту скорость на плане в миллиметрах. Изобразим скорость VAO1 вектором (рис. 1), отложенным из некоторой точки р5, называемой полюсом плана скоростей. Числовой индекс 5 полюса, указывающий номер положения механизма, для которого строится план скоростей, в дальнейшем опустим. Произвольно зададимся чертежным размером VAO1, обозначенным ра = 100 мм, и вычислим масштабный коэффициент плана аналогов скоростей: , (2) . Для определения аналога скорости элемента кулисы 3, образующего кинематическую пару А3 с элементом кинематической пары камня 2, составим векторное выражение вида , (3) где относительным движением считаем поступательное движение кулисы вдоль камня со скоростью. Вращательное движение кулисы вокруг О2 отображаем на плане вектором аналога линейной скорости А3, , выстраиваемым из полюса плана аналога скоростей. Векторное уравнение равносильно двум скалярным уравнениям: его можно заменить двумя уравнениями проекций векторов на координатные оси, лежащие в плоскости векторов. Следовательно, найдем неизвестные величины: и . Рис. 1. План аналогов скоростей звеньев механизма в положении № 5 Пересечение прямых, построенных через полюс плана скоростей р перпендикулярно кулисе и через вершину вектора а параллельно кулисе, обозначим а3. Из плана скоростей, замеряя полученные векторы, определим м; ; (4) и . Векторы аналогов скоростей выстраиваемого плана и имеют направления к точке плана скоростей, стоящей первой в буквенной последовательности обозначений, в частности к А3. Поступательное движение камня 2 по кулисе 3 характеризуется скоростью , где . Для определения скоростей кинематических пар сложных звеньев, обладающих тремя и более вершинами, используем теорему подобия: отрезки прямых линий, соединяющих точки одного и того же звена на плане механизма, и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. Фигура на плане скоростей повернута относительно фигуры на плане механизма на 90°. Теорема подобия дает возможность определения любой скорости звена, если известны скорости двух точек этого звена. Конструкция механизма такова, что кинематические пары А3 и С базисного звена 3 находятся по разные стороны от центра вращения О2 и при этом α=180°. А так как аналог угловой скорости любой точки звена 3 в любом положении имеет определенное и одинаковое значение, векторы аналогов линейных скоростей кинематических пар А3 и С противоположны, а их величины представлены отрезками, пропорциональными длинам сторон звена l2 и l3. Таким образом, чертежный размер вектора скорости кинематической пары С относительно О2 найдем из пропорции , (5) откуда , . Аналог линейной скорости ползуна 5 относительно стойки F определим из векторного уравнения , где VDF׀׀l5 , а . (6) Векторы и проводим через полюс р и координату с плана скоростей соответственно до пересечения в точке d. Аналоги линейной скорости ползуна, его центра масс S5, а также угловой скорости шатуна 4 найдены из выражений , ; (7) и . Так как центр масс шатуна S4 расположен на середине звена, его скорость . (8) Рис. 2. План аналогов ускорений звеньев механизма в положении № 5 Проекции вектора аналога скорости центра масс шатуна S4 принадлежат третьей координатной четверти, следовательно, они имеют отрицательные значения м, м, (9) где (pS4X), (pS4Y) – проекции скорости на координатные оси, определяемые из плана скоростей. Так же определяем проекции аналога скорости центра масс S3 кулисы. Для определения знака аналога угловой скорости звена перенесем на звено вектор его скорости из плана, который покажет движение звена относительно центра его вращения. Так, после переноса на шатун 4 установим, что относительно мгновенного центра вращения С звено движется против хода часовой стрелки и, следовательно, значение аналога угловой скорости будет положительным. Задача об определении аналогов ускорений может быть решена графоаналитически, путем построения плана ускорений (рис. 2). Уравнения, которые используются при построении плана ускорений механизма, отличаются от уравнений для плана скоростей только разложением полных ускорений на отдельные, взаимно перпендикулярные парные составляющие: нормальные – n и касательные – , кориолисовы – k (поворотные) и относительные – r (релятивные) ускорения. Полное ускорение кинематической пары А есть геометрическая сумма двух составляющих: нормального и касательного аналогов ускорений: , (10) где нормальное , или центростремительное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению при криволинейном движении, а тангенциальное или касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по модулю. Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании скорости и в противоположную – при убывании скорости. Нормальное ускорение направлено по линии (АО1) к центру вращения звена, а его модуль определяется из выражения , (11) . По условию начальное звено имеет перманентное движение (φ'1=const, φ''1=0), поэтому модуль аналога касательного ускорения начального звена , (12) . Примем точку π за полюс плана ускорений и отложим вектор, изображающий нормальное ускорение точки А в виде отрезка (πа) = 100 мм. Тогда масштабный коэффициент плана аналогов ускорений найдем из соотношения , (13) . Векторные выражения аналога полного ускорения кинематической пары А3 относительно О1 и О2 имеют вид , (14) . (15) Модуль аналога нормального ускорения элемента кинематической пары А3 кулисы относительно стойки О2 вычислим следующим образом: , (16) . На луче, параллельном положению кулисы 3, проходящем через полюс плана ускорений π и направленном к центру вращения кулисы, отложим отрезок , (17) . Отметим, что только в кулисных механизмах кориолисово ускорение возникает на камне или на кулисе, когда они образуют поступательную кинематическую пару с качающимся ползуном 3 (рис. 3). В механизмах с качающимся ползуном кориолисово ускорение откладывается из полюса π плана аналогов ускорений звеньев механизма. Рис. 3. Рычажный механизм с качающимся ползуном 3 Французским ученым Густавом Гаспаром Кориолисом в 1831 г. установлено существование вектора ускорения при любом движении тела во вращающейся системе, перпендикулярного оси вращения и скорости данного тела. Ученым было установлено, что кориолисово ускорение не зависит от положения тела [6]. В плоских механизмах вектор кориолисова ускорения расположен в плоскости действия векторов ускорений других звеньев. При графическом определении аналогов скоростей направление вектора скорости соответствует движению кулисы относительно мгновенного центра – камня (рис. 4, а). В действительности камень перемешается по кулисе, а не наоборот, и направление его движения (рис. 4, б) относительно кулисы будет противоположным тому, как это показано на плане скоростей. Поэтому в исследуемом положении механизма при построении планов ускорений направление кориолисова ускорения по отношению к вектору нормального ускорения кривошипа будет встречным (см. рис. 2 и 4, д). Подробно рассмотрим процедуру определения направления, модуля и масштаба кориолисова ускорения камня в пятом положении механизма. Известно, что направление кориолисова ускорения определяется поворотом относительной скорости камня на 90° по направлению переносной угловой скорости ω2 кулисы вокруг опоры О2 (рис. 4, в). Однако значения указанных скоростей на данном этапе исследования не известны и потому определить действующее на звено кориолисово ускорение не представляется возможным. а б в г д Рис. 4. Определение кориолисова ускорения камня Известно, что направление кориолисова ускорения и определяемого его аналога совпадают, так как совпадают направления скоростей звеньев и ускорений с направлениями соответствующих им аналогов скоростей и ускорений в любых конкретных положениях механизма. Затем определим модуль аналога кориолисова ускорения, для чего значение аналога относительной скорости камня , равное аналогу скорости кулисы (рис. 4, а, б) или l'2, но противоположное ему по направлению, умножим на удвоенное значение аналога переносной угловой скорости звена, на котором находится камень, т. е. на φ'2. Таким образом, полученный вектор аналога кориолисова ускорения, как указывалось выше, будет направлен навстречу вектору нормального ускорения кривошипа, и его значение определяется по формуле , (18) . Проведем через точку а плана ускорений линию, перпендикулярную положению кулисы, и отложим на ней масштаб кориолисова ускорения (рис. 2): , (19) . Через точки k и n2 плана ускорений проводим прямые, перпендикулярные векторам кориолисова ускорения и нормального соответственно. Место пересечения этих прямых определит положение а3 – окончание вектора искомого ускорения кинематической пары А3. Модули аналогов углового ускорения кулисы и аналога линейного ускорения камня находим по формулам , , (20) , . Если аналог полного ускорения кинематической пары А3 кулисы 3, расположенной на размере l2 от центра вращения О2, пропорционален отрезку (πа3), то отрезок, пропорциональный аналогу полного ускорения вершины кулисы С, найдем по теореме подобия: , откуда , (21) . Известно, что плечи кулисы (А3О2) и (СО2) образуют угол α=180º, поэтому вектор аналога полного ускорения длиной (πс) откладываем от полюса плана ускорений в противоположную сторону так, чтобы данные ускорения образовывали угол, равный α. Найдем значение аналога нормального ускорения шатуна 4: , (22) Вектор аналога нормального ускорения шатуна 4, параллельный положению звена, примыкает к точке с плана ускорений и направлен к мгновенному центру вращения кинематической паре С. Изображающий его на плане отрезок , (23) . При построении планов аналогов ускорений показать векторы малых размеров не представляется возможным. Поэтому считаем, что координаты с и п4 на плане совпадают. Через п4 проводим прямую тангенциального ускорения шатуна 4 перпендикулярно построенной линии положения аналога нормального ускорения , а через полюс π – вертикальную прямую положения полного аналога ускорения ползуна 5. Точка d пересечения прямых определяет масштабы ускорений и , а затем модули искомых величин: , (24) , , (25) , откуда аналоги углового ускорения звена 4 и линейного ускорения ползуна 5 равны , . (26) Для того чтобы определить проекции аналога ускорения центра масс звена, необходимо знать его координаты на звене. По условию центр масс S3 кулисы расположен на расстоянии lO2S3 = 0.1 м от центра вращения О2. Для определения положения центра масс на плане ускорений составим пропорцию , . (27) На плане S3 принадлежит вектору ускорения . Найдем проекции аналога ускорения центра масс звена 3 на координатные оси. Для этого измерим линейкой на плане ускорений соответствующие проекции вектора S''3, а затем умножим полученные величины на масштабный коэффициент плана аналога ускорения и поделим на квадрат обобщенной координаты механизма: , , (28) где (πS3)X и (πS3)Y – проекции S''3 аналога ускорения центра масс звена 3 на оси координатной системы с центром, совпадающим с полюсом π5. Так как вектор аналога скорости принадлежит третьей четверти координатной системы, его проекции отрицательны и, следовательно, S''3X<0 и S''3Y<0. Составим таблицу значений величин кинематических параметров, найденных аналитически и графически, и убедимся в том, что отклонение между ними удовлетворяет рекомендуемому условию. Таблица 2. Результаты расчета аналогов скоростей и ускорений звеньев Величина , м , м , м , м Аналитически Графически Отклонение В заключение построим план аналогов скоростей (рис. 5) звеньев механизма с качающимся ползуном 3 (рис. 3), в котором кулиса 2 механизма вращается со скоростью относительно одноподвижной кинематической пары А и движется поступательно относительно опоры С или О со скоростью . Отметим, что мгновенный центр вращения кулисы А перемещается вокруг центра О со скоростью , масштаб ра которой выбирается произвольно. Рис. 5. План аналогов скоростей механизма с качающимся ползуном Аналог угловой и линейной скоростей звена 2 определим графо-аналитически из выражений , м, (29) что позволит далее определить модуль кориолисова ускорения. В механизмах с качающимся ползуном вектор , обозначенный на плане отрезком (πk), откладывается от полюса плана π, и его направление совпадает с направлением вектора аналога скорости –– (pb), который повернут на 90° в сторону углового перемещения φ'2 звена 2. Укажем, что направление вращения относительно полюса р (рис. 5) определено направлением вектора – (ab), т. е. в рассматриваемом положении поворот следует провести против движения часовой стрелки. Местоположение b на плане аналогов ускорений (рис. 6) определено пересечением векторов и , входящих в выражения суммы векторов и . (30) Рис. 6. План аналогов ускорений механизма с качающимся ползуном Найденный масштаб векторов тангенциального ускорения , равный (n2b), и относительного , равный (kb), позволит определить аналоги углового и линейного ускорений кулисы соответственно: , м. (31) Для закрепления изложенного выше материала представим алгоритм определения кинематических параметров синусного механизма (рис. 7) и механизма с ведущей кулисой. Обе схемы механизмов включают две поступательных С, D и вращательных О, В пары. При построении планов аналогов ускорений звеньев синусного механизма, в состав которого входит группа Ассура пятого вида, следует учесть то, что звено 2 механизма, структурно классифицируемое камнем, движется вдоль ползуна 3, совершающего поступательное гармоническое движение относительно опоры D. В таком случае на звено 2 не действует кориолисово (поворотное) ускорение, поскольку оно при описанных условиях движения звеньев 2 и 3 не возникает. Рис. 7. Синусный механизм a), план аналогов скоростей b), ускорений звеньев c) На рис. 8 показан механизм с ведущей кулисой 1 с присоединенной к ней группой Ассура четвертого вида. План аналогов скоростей звеньев механизма удовлетворяет выражению . (32) Воспользуемся найденными графически значениями аналогов скоростей м, м (33) и построим план аналогов ускорений, удовлетворяющий выражению , (34) где (мм). Рис. 8. Механизм с ведущей кулисой а), план аналогов скоростей b) ускорений c) Аналоги ускорения камня 2 и ползуна 3 вычисляются по формулам м, м. Одним из результатов исследований является определение силы Кориолиса Fк, действующей на тело i, , (35) где mi – масса тела, движущегося во вращающейся системе; – ускорение Кориолиса. Несмотря на то, что действующая на Земле сила Кориолиса очень мала, она приводит к целому ряду весьма важных эффектов. Ее присутствие объясняет закон Бэра: у рек в северном полушарии, несущих свои воды к северному полюсу Земли, правый берег более крутой и подмытый, чем левый, а в южном полушарии – наоборот. В этом случае сила Кориолиса прижимает воду к берегу в направлении вращения Земли, т. е. к правому – в северном полушарии и к левому – в южном. Сила Кориолиса приводит и к отклонению падающих тел к востоку. Этот эффект послужил одним их экспериментальных доказательств теории Кориолиса. В 1833 г. в Фрейбурской шахте немецкий физик Ф. Райх провел эксперименты, показавшие, что при свободном падении тел с высоты 158 м их отклонение в среднем, по проведенным 106 опытам, составляет 28,3 мм.