Гидростатика

Л 2. ГИДРОСТАТИКА. 2.1. Уравнения Эйлера 2.1.1. Вывод уравнений Эйлера для покоящейся жидкости. В покоящейся жидкости в виде параллелепипеда на рис. 1 выделен малый жидкий объем dW  dx dy dz , где dx, dz, dy — размеры его ребер, направленных, соответственно, по осям x, z и y (ось y направлена ортогонально плоскости рисунка) [1]. В соответствии с определениями, сделанными в Л1, на жидкий объем по оси x действуют силы давления Px  pS x , образующиеся на элементарных площадках dS x  dydz граней 1 и 2, ортогональных данной оси, где p  p  x, y, z  — гидростатическое давление, зависящее от координат x, y, z . Изменение dPx этой силы по оси x на расстоянии dx между этими гранями соответствует изменению давления p  p dx и с точностью до второго порядка малости равно: dPx   p d S x  dx  dxdS x x x x — см. рис. 1. Суммарная сила давления, действующая на выделенный объем, равна данному изменению dPx. В соответствии с определениями, сделанными в Л1, проекция на ось x массовой силы df , действующей на выделенный объем, равна: df x  FxρdW , где Fx — проекция вектора плотности массовых сил на ось x. В соответствии с первым законом Ньютона из условия равновесия сил, действующих на выделенный объем, в проекции на ось x получим: p (1)  dxdS x  ρdW Fx  0 . x z 2 Px  dPx 1 Px p    p  dx  x   p dSx y df dz dx dSx x Рис. 1. Силы в покоящейся жидкости С учетом равенства dxdS x  dxdydz  dW имеем дифференциальное уравнение: 1 p (2) Fx   0. ρ x Аналогично из условия равновесия сил, действующих на выделенный объем, в проекции на оси y и z получим: 1 p (3) Fy   0; ρ y 1 p (4) Fz   0. ρ z Соотношения (2), (3) и (4) называются дифференциальными уравнениями Эйлера для покоящейся жидкости. Их первые слагаемые определяют действие массовых сил, вторые — действие сил давления, приходящееся на единицу массы жидкости. Слагаемые имеют размерность ускорения. Умножим данные уравнения на орты i , j , k , соответственно, и сложим между собой. Получим следующее уравнение Эйлера в векторной форме: 1 (5) F  grad p  0 . ρ Физический смысл уравнений заключается в следующем: давление в покоящейся жидкости распределено таким образом, что его градиент уравновешивает действие массовых сил. 2.1.2. Уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости. При движении идеальной жидкости к удельным силам, входящим в соотношение (5), добавляется сила инерции, приходящаяся на единицу массы  du  жидкости, то есть ускорение    жидкой частицы с обратным знаком, где t —  dt  время. В результате получим следующее уравнение, называемое уравнением Эйлера в векторной форме: 1 du . (6) F  grad p  ρ dt Физический смысл данного уравнения определяется вторым законом Ньютона: сумма сил, деленная на массу, равна ускорению этой массы. Примечание. При движении вязкой жидкости к сумме сил, действующих на жидкую частицу, следует добавить силы вязкости. Результирующее уравнение, называемое уравнением Навье-Стокса, имеет следующий вид: 1 du , F  grad p  Fμ  ρ dt (7) где F — сила вязкости, приходящаяся на единицу массы, для несжимаемой жидкости она равна: Fμ  ν 2u , где      i  j  k — оператор Лапласа. x y z В проекции на ось x данное уравнение записывается следующим образом:   2u x  2u x  2u x  du x 1 . Fx  grad p  ν  2    2 2   x ρ d t y z   (8) Аналогична запись с заменой ux на uy и uz в проекции на оси y и z, соответственно. 2.2. Интеграл уравнений Эйлера для покоящейся несжимаемой жидкости в поле сил тяжести и его составляющие. В поле сил тяжести, как отмечалось в Л1, F  g . Для координат, приведенных на рис. 1, получим: Fx  0; Fy  0; Fz   g . Уравнения Эйлера (2) и (3) запишутся в виде: p p  0 . Следовательно, в поле сил тяжести в любой горизонтальной плоскости  0; y x гидростатическое давление постоянно. Оно зависит только от вертикальной координаты z. Частная производная в уравнении (4) может быть заменена на полную: 1 dp (9) g   0. ρ dz dp Перепишем данное выражение в виде dz   и проинтегрируем при  = const. ρg В результате получим искомый интеграл [2]: p (10) z  H гс  const . ρg где Hгс — произвольная постоянная, которая постоянна для всего объема однородной жидкости и называется гидростатическим напором [1, 2]. Формула (10) выражает гидростатический закон распределения давления, заключающийся в том, что в поле сил тяжести давление несжимаемой покоящейся жидкости линейно зависит от вертикальной координаты. Гидростатический напор зависит как от величины давления, так и от начала отсчета координаты z. Горизонтальная плоскость, от которой отсчитывается вертикальная координата z, называется плоскостью сравнения (координатная плоскость x0y на рис.1). Часто она обозначается линией 0 — 0, как показано на рис. 2. Положение плоскости сравнения может быть произвольным. Гидростатический напор является расстоянием от плоскости сравнения до горизонтальной плоскости, в которой давление равно нулю и которая, иногда, называется плоскостью гидростатического напора — см. рис. 2. Если запаянную с одного конца достаточно длинную трубку заполнить жидкостью и опустить открытым концом в сосуд с жидкостью, то часть жидкости вытечет из трубки, а освободившийся объем заполнится насыщенными парами этой жидкости с давлением pн.п. При достаточно низкой температуре этим давлением часто пренебрегают и считают, что плоскость гидростатического напора расположена по границе жидкости и паров, как показано на рис. 2. .. ... pн.п Пл. гидрост. напора . z pаб = 0 pат ст. ж. ПС z .p p Hгс .. . .. . . с.п . . h .1 . h . . . .. . p.0 . z0 p и, м p0и ρg hпр ПП Hп p hп pи = 0 2 pаб, м ст. ж. С.П — свободная поверхность; ПС — плоскость сравнения; ПП — пьезометрическая плоскость. Рис. 2. — Гидростатический и пьезометрический напоры Расстояние от какой-либо точки в жидкости до горизонтальной плоскости с нулевым давлением называется приведенной высотой (hпр). Без учета влияния давления насыщенных паров это та высота, на которую поднимется жидкость в упомянутой запаянной трубке относительно рассматриваемой точки (точки с давлением p на рис. 2). Как видно из рисунка, справедливо равенство: hпр  H гс  z , где z — координата рассматриваемой точки. Подставив в него формулу (10), получим алгебраический эквивалент определения приведенной высоты: p . (11) hпр  ρg 2.3. Основная формула гидростатики. Свободной поверхностью называется граница раздела между жидкостью и воздухом (газом). Давление на свободной поверхности называется внешним (p0 на рис. 2). Запишем интеграл уравнения Эйлера (10) для произвольной точки на p свободной поверхности: z 0  0  H гс , где z0 — координата свободной поверхности. ρg Подставив данное выражение в уравнение (10), после умножения на g получим следующую формулу, называемую основной формулой гидростатики [2]. p  p0  ρg  z0  z   p0  ρgh , (12) где h  z 0  z — заглубление точки с координатой z и искомым давлением p под свободную поверхность; слагаемое ρgh называется весовой составляющей давления p — см. рис. 2 [2]. В качестве внешнего можно использовать давление (p1) в какой либо точке жидкости, например, в точке 1 на рис. 2 (как правило, выбирается точка с известным давлением). Тогда для другой произвольной точки, например точки 2 на рис. 2, формула (12) запишется в следующем виде: (13) p2  p1  ρgh , где h — расстояние между горизонтальными поверхностями, проходящими через рассматриваемые точки (см. рис. 2); знак минус ставится, если точка 2 расположена выше точки 1. Отметим, что индексы в данной формуле могут быть любыми, но совпадающими с обозначениями соответствующих точек. 2.4. Абсолютное, вакуумметрическое, и избыточное давления; пьезометрическая и вакуумметрическая высоты. Пьезометрический напор. Относительный покой жидкости. 2.4.1. Абсолютное и избыточное давления. Избыток гидростатического давления (гидродинамического для потока вязкой жидкости) над атмосферным (pат) называется избыточным (pи) или манометрическим (M) давлением. Наиболее распространенным прибором для измерения давлений является манометр. Он измеряет избыточное (манометрическое) давление. Поэтому в технических расчетах для несжимаемой жидкости чаще используется понятие избыточного давления с обозначением символом p (таким же, как и для гидростатического давления), а гидростатическое и гидродинамическое давления часто называют абсолютным давлением. Для дополнительной идентификации последнего иногда будем использовать обозначение pаб. Отметим также, что в технической литературе слова «избыточное», «абсолютное» и т. д. часто опускаются. Алгебраическим эквивалентом определения избыточного давления с учетом указанных обозначений служит равенство: (14) pи  pаб  pат . На практике по измеренному избыточному давлению определяют абсолютное: pаб  p  pат . Отняв из левой и правой частей формулы (12) или (13) атмосферное давление pат, получим запись основной формулы гидростатики для избыточных давлений, которая в принятых обозначениях может не отличаться от предыдущей. Таким образом, основная формула гидростатики одинаковым образом может быть использована для расчета как абсолютного, так и избыточного давлений. Важно учитывать, что в правой и в левой частях формулы следует использовать одинаковые типы давления — либо абсолютное, либо избыточное. 2.4.2. Пьезометрическая плоскость и пьезометрический напор. Пьезометром называется трубка из прозрачного материала, один конец которой соединен с отверстием в стенке сосуда, содержащего жидкость, или с отверстием в стенке канала, по которому течет жидкость, а другой открыт в атмосферу, то есть находится под атмосферным давлением — см. рис. 2 [2]. Отмеченное отверстие называется дренажом. Подсоединение осуществляется с помощью специального штуцера. Горизонтальная плоскость, давление жидкости на уровне которой равно атмосферному, называется пьезометрической плоскостью [2]. Жидкость, поднимаясь под давлением по пьезометру, устанавливается, приблизительно, на уровне пьезометрической плоскости — см. рис. 2. Отклонение, которым, как правило, пренебрегают, может быть вызвано, так называемым, капиллярным эффектом, связанным с силами поверхностного натяжения на границе раздела жидкости и воздуха, а также с силой адгезии жидкости к поверхности пьезометра. Причем, чем больше диаметр пьезометра, тем меньше данное отклонение. Из левой и правой частей интеграла Эйлера (10) отнимем величину pат ρg . С учетом определения (14) получим закон распределения избыточного давления в покоящейся жидкости: p p (15) z  и  H гс  ат  H п , ρg ρg где Hп — произвольная постоянная, которая одинакова для всего объема однородной жидкости и называется пьезометрическим напором. В соответствии с определением (14) избыточное давление на уровне пьезометрической плоскости равно нулю. Поэтому из формулы (15) следует, что пьезометрический напор равен координате z пьезометрической плоскости и его можно определить как превышение пьезометрической плоскости над плоскостью сравнения (см. рис. 2). 2.4.3. Пьезометрическая высота. Заглубление произвольной точки жидкости под пьезометрическую плоскость называется пьезометрической высотой в этой точке (hп) [2]. Как видно из рис. (2), справедливо: hп  H п  z . Сравнивая с интегралом Эйлера (15), получим алгебраический эквивалент определения пьезометрической высоты, справедливый также для потока жидкости: hп  pи . ρg (16) В частности, пьезометрическая высота на свободной поверхности равна p0.и ρg . Пьезометрическая плоскость отстоит от свободной поверхности на расстоянии p0.и ρg — см. рис. 2. Отметим также, что на плоскости сравнения (z = 0) по формуле (15) справедливо hп  H п . В соответствии с физическим смыслом слагаемых уравнения Эйлера и его интеграла (15) координата z отражает действие сил тяжести, а пьезометрическая высота — действие сил давления. Пьезометрический напор отражает равновесие этих сил по всему объему жидкости. Приведенная и пьезометрическая высоты имеют линейную размерность. Формулы (11) и (16) с постоянным коэффициентом 1 ρg пересчитывают размерность давления на эту линейную размерность. Поэтому величину давления можно определять в линейной размерности высоты столба соответствующей жидкости (м ст. ж.). Часто используются размерности «мм рт. ст» (ртутного столба — в основном для атмосферного давления), «м или см вод. ст.». Справедливо: 10 м вод. ст. = 1 кгс/см2 = 98000 Па = 735 мм рт. ст., что близко к нормальному атмосферному давлению в 760 мм рт. ст. (на уровне Москвы чаще наблюдается давление в 740 мм рт. ст.). Нестабильность атмосферного давления является еще одной причиной преимущественного использования в технических расчетах для несжимаемой жидкости избыточного давления. При расчете давления в м вод. ст. используется плотность  = 1000 кг/м3. Физический смысл рассмотренной линейной размерности и пьезометрической высоты заключается в том, что столб жидкости данной высоты, находящийся сверху под атмосферным давлением, имеет в своем основании соответствующее избыточное давление. Аналогичное положение с приведенной высотой. Только столб жидкости должен находиться сверху под нулевым абсолютным давлением, как и показано на рис. 2. Наглядным представлением гидростатического распределения абсолютного давления является его отсчет в линейной размерности по оси направленной от плоскости гидростатического напора вниз, как показано на рис. 2. Для избыточного давления отсчет по той же оси следует вести от пьезометрической плоскости, что соответствует его определению, как избытка над атмосферным давлением — см. рис. 2. Таким образом, абсолютным и избыточным являются давления отсчитываемые, соответственно, от плоскости гидростатического напора и пьезометрической плоскости. 2.4.4. Вакуумметрические давление и высота. Состояние жидкости при недостатке давления до атмосферного называется вакуумом, а величина этого недостатка называется вакуумметрическим давлением (pв) [2]. Алгебраическим эквивалентом данного определения служит равенство: (17) pв  pат  pаб . Используя определение избыточного давления ( pи  pаб  pат ), запишем: (18) pв    pаб  pат    pи . Как видно, вакуумметрическое давление есть отрицательное избыточное давление. Равенство (18) полезно в технических расчетах для перевода вакуумметрического давления в избыточное при использовании, в частности, основной формулы гидростатики. Вакуумметрическое давление измеряется с помощью вакуумметров и, иногда, обозначается буквой V. В качестве пьезометра используется U-образная трубка — см. рис. 3. Соответствующим образом определяются пьезометрическая плоскость и пьезометрический напор. .. . . . . . . . . . . . . V. . . . . с.п .p V ρg pв, м ст. ж. pат в hв z z Hп П П pв = 0 pв ПС С.П — свободная поверхность; ПС — плоскость сравнения; ПП — пьезометрическая плоскость. Рис. 3. — Вакуумметрические давление и высота. Превышение произвольной точки жидкости над пьезометрической плоскостью называется вакуумметрической высотой в этой точке (hв) [2]. Как видно из рис. (3), справедливо: hв  z  H п . Сравнивая с интегралом Эйлера (15), получим алгебраический эквивалент определения пьезометрической высоты, справедливый также для потока жидкости: pи pв (19)  ;  hв  hп  . ρg ρg Заглубление пьезометрической плоскости под свободную поверхность равно V ρg , где V — вакуумметрическое давление на свободной поверхности (см. рис. 3). hв   На пьезометрической плоскости, как следует из определения (17), pв = 0. Выше нее — вакуум, ниже нее — избыточное давление. Если последнее отсчитывается вниз от пьезометрической плоскости, то вакуумметрическое давление отсчитывается от нее вверх — см. рис. 3. В заключение делается обязательное сообщение о необходимости подготовки к выполнению на гидростатических следующей давлений» неделе (лаб. лабораторной работа №2 на работы сайте «Определение кафедры ГГМ: http://ggm.mpei.ru/stud.html). Отмечается, что перед каждой лабораторной работой проводится выборочный опрос. В данной работе опрос будет по материалам описаний на указанном сайте к работе №2 (за исключением тарировки пружинного манометра) и по основным вопросам, рассмотренным в этой лекции. В частности следует знать основную формулу гидростатики и все определения. Студенты, не отвечающие на контрольные вопросы, или не имеющие своего бланка работы, по действующим правилам к работе не допускаются. Бланки работ можно распечатать по указанному электронному адресу. Литература 1. Никитин О.Ф. Гидравлика и гидропневмопривод: учеб. пособ. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 430 с. 2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1987.