Гидростатическое давление и его свойства

Л е к ц и я 2. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ И ЕГО СВОЙСТВА В общем случае поверхностная сила R, действующая на площадку S, направлена под некоторым углом к ней и ее можно разложить на нормальную F и тангенциальную T составляющие (рис. 2.1). Первая называется силой давления, а вторая - силой трения. Рис. 2.1. Разложение поверхностной силы на две составляющие Покоящаяся жидкость находится в равновесии, следовательно силы трения отсутствуют, Т = 0 и на поверхность действует только сила гидростатического давления F, направленная к поверхности по внутренней нормали. Если бы эта сила была направлена по внешней нормали, то возникли бы растягивающие усилия и жидкость пришла бы в движение, что не соответствует условию равновесия жидкости. Следовательно, сила гидростатического давления всегда сжимающая, т. е. направлена по внутренней нормали. Таким образом, первое свойство можно сформулировать так: в любой точке жидкости гидростатическое давление перпендикулярно площадке, касательной к выделенному объему, и действует внутрь рассматриваемого объема жидкости. Для доказательства второго свойства выделим внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, элементарный объем в форме тетраэдра с ребрами, параллельными координатным осям OX, OY, OZ и соответственно равными dx, dy, dz (рис. 2.2). На грани тетраэдра действует гидростатическое давление. Обозначим гидростатическое давление, действующее на грань, нормальную к оси OX, рх, давление на грань, нормальную к оси OY, - ру, давление на грань, нор17 мальную к оси OZ, - pz, давление на наклонную грань - рп, а площадь наклонной грани - dS. Все силы гидростатического давления направлены по нормалям к соответствующим площадкам внутрь объема жидкости. Внутри выделенного объема на жидкость действует единичная массовая сила, составляющие которой равны X, Y и Z. Единичная массовая сила - это сила инерции, отнесенная к единице массы, т. е. ускорение. Масса жидкости в тетраэдре равна произведению плотности на ее объем: dxdvdz Рис. 2.2. Схема для доказательства свойства гидростатического давления Составим уравнение равновесия выделенного объема жидкости в направлении оси OX. Проекция сил давления на ось OX равна рх - pndS cos(п А х). Массовая сила, действующая на тетраэдр вдоль оси OX, будет равна pXdxdydz Тогда уравнение равновесия тетраэдра запишется в виде dydz рх— pndS cos(nAx) + р 18 Xdxdydz = 0. (2.1) Площадь проекции наклонной грани ds на плоскость YOZ равна площади грани тетраэдра, нормальной к оси OX, т. е. _ = ds cos (n A x). dydz , pXdx _ n Разделив уравнение (2.1) на площадь ——, получим рх — рп +—— = 0. При стремлении размеров тетраэдра к нулю последний член уравнения, содержащий множитель dx, также стремится к нулю, поэтому можно записать Рх-Рп = 0 или Рх = Рп. Аналогично составляя уравнение равновесия вдоль осей OY и OZ, находим Ру = Рп, Pz = Рп или Рх = Ру = Pz = Рп . Так как размеры тетраэдра dx, dy, dz взяты произвольно, то и наклон площадки ds произволен, следовательно в пределе при стягивании тетраэдра в точку давление в этой точке по всем направлениям будет одинаково. Следовательно, второе свойство можно сформулировать следующим образом: гидростатическое давление в точке одинаково по всем направлениям. Очевидно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться и третье свойство гидростатического давления может быть записано в виде р =f (Х ^ z X т. е. гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЙЛЕРА Одной из основных теоретических задач гидростатики является вопрос о характере распределения давления в объеме жидкости, которая в самом общем случае может находиться в абсолютном или относительном покое. 19 Если жидкость находится в покое (скорость движения жидкости равна нулю) относительно системы координат, жестко связанной с Землей, то покой называется абсолютным. Например, нефть или нефтепродукты находятся в резервуаре на нефтеперекачивающей станции или на нефтебазе. Если жидкость находится в покое относительно системы координат, которая движется относительно Земли, то покой называется относительным. Например, нефть или нефтепродукты находятся в движущейся железнодорожной или автомобильной цистерне. При этом движение может быть равноускоренным (при горизонтальном движении) или с постоянной скоростью (при вращении). Для определения закона распределения давления выделим в объеме покоящейся жидкости элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям и равными dx, dy, dz (рис. 2.3). Р Рис. 2.3. Схема для вывода дифференциальных уравнений равновесия Эйлера В общем случае на жидкость действуют поверхностные и массовые силы. Так как жидкость находится в покое (абсолютном или относительном), то поверхностные силы определяются только гидростатическим давлением, действующим на все три грани параллелепипеда одинаково согласно второму свойству гидростатического давления. 20 На левую грань параллелепипеда действует давление р, а на противоположную правую грань - давление р + ^ dx, где ^ - градиент давления в направлении оси ОХ. Следовательно, на левую грань параллелепипеда действует сила давления, равная р dydz, а на правую - сила противодавления (р + dydz. Тогда результирующая поверхностная сила, дей- ствующая вдоль оси OX, будет равна — — dxdydz. По аналогии поверхностные силы, действующие на грани параллелепипеда в направлении осей OY и OZ, равны соответственно — dxdydz и ^dxdydz. Массовыми силами являются силы инерции. Сила инерции, отнесенная к единице массы, - это ускорение. Обозначим проекции ускорения на оси координат X, Y и Z. Тогда массовые силы, действующие на выделенный элементарный объем в направлении координатных осей, будут равны: pX dxdydz, pY dxdydz, pZ dxdydz. Для жидкости, находящейся в покое, равнодействующая всех сил равна нулю, поэтому уравнения равновесия параллелепипеда в проекциях на координатные оси имеют вид: dp pXdxdydz — — dxdydz = 0; dp pFdxdydz — — dxdydz = 0; dp pZdxdydz — — dxdydz = 0. Сокращая на массу pdxdydz, получим 1 dz dp л *y —"TT p dx == оо —p"TT dy 1 dp Z —— = 0 p dz 21 (2.2) Уравнения (2.2), описывающие условия равновесия жидкости, называются дифференциальными уравнениями Эйлера. Если жидкость находится в абсолютном покое, то силы инерции представлены одной единственной силой - силой тяжести, которая действует в вертикальном направлении против направления оси OZ. В этом случае единичные массовые силы X = 0, Y = 0, Z = - g и дифференциальные уравнения Эйлера принимают следующий вид: dp дх dp ду - др T z - q ' q ' OS =0. Следовательно, давление в каждой точке горизонтальной плоскости XOY постоянно и зависит только от положения точки по вертикали, т. е. от глубины погружения точки z. Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня. Поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости, и свободная поверхность одна из них. ОСНОВНОЙ ЗАКОН ГИДРОСТАТИКИ Вместо системы уравнений (2.2) можно получить одно эквивалентное им уравнение, не содержащее частных производных. Для этого умножим первое из уравнений системы (2.2) на dx, второе - на dy, третье - на dz и, сложив эти уравнения, получим Xdx + Ydy + Zdz--[ 1 (д р др —dx + —dy+ др \ — dz) = 0. (2.3) Трехчлен, заключенный в скобки, представляет собой полный дифференциал давления. Тогда уравнение (2.3) можно записать в виде Xdx + Y dy + Z dz 22 = 0 или dp = p(Xdx + Ydy + Zdz). (2.4) Уравнение (2.4) в гидравлике получило название основного уравнения гидростатики. Из основного дифференциального уравнения гидростатики (2.4) можно получить уравнение поверхности уровня. Так как на поверхности уровня давление p = const в любой ее точке, то dp = 0, следовательно правая часть уравнения тоже равна нулю. Плотность жидкости не равна нулю, поэтому уравнение поверхности уровня имеет вид Xdx + Ydy + Zdz = 0. (2.5) Когда жидкость находится в абсолютном покое и массовые силы представлены только силой тяжести, единичные массовые силы X = 0, Y = 0, Z = - g и уравнение (2.4) принимает вид dp = —pgdz. (2.6) После интегрирования (2.6) будем иметь р = -pgz + С. (2.7) Для определения постоянной интегрирования C рассмотрим резервуар, наполненный жидкостью со свободной поверхностью (рис. 2.4). Рис. 2.4. Схема для вывода основного уравнения гидростатики 23 Для точки, лежащей на свободной поверхности, z = z0, р = р0. Подставив эти значения в уравнение (2.7), получим С = р0 + pgz0. Тогда уравнение (2.7) запишется в виде р = -pgz + ро + pgz0 или р = Ро + (Zo- z)pg. (2.8) Разность уровней z0 — z = h определяет глубину погружения точки. По уравнению (2.8) определяется абсолютное гидростатическое давление в любой точке, расположенной под свободной поверхностью уровня на глубине h. При этом р0 - это давление над свободной поверхностью уровня, а pg (z0 — z) = pgh = pизб - определяет избыточное гидростатическое давление на глубине h. Согласно уравнению (2.8) давление в любой точке покоящейся жидкости складывается из двух величин: давления р0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости. Величина р0 является одинаковой для всех точек объема жидкости, поэтому, учитывая свойство гидростатического давления, можно сказать, что давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости и по всем направлениям одинаково - закон Паскаля. Давление жидкости, как видно из формулы (2.8), возрастает с увеличением глубины по линейному закону и на данной глубине есть величина постоянная (рис. 2.5). Второй член уравнения (2.9) определяет потенциальную энергию гидростатического давления в каждой точке объема жидкости, а первый потенциальную энергию положения данной точки, причем величина энергии является ее удельным значением, так как отнесена к единице массы. Поскольку жидкость неподвижна, то ее кинетическая энергия равна нулю, следовательно потенциальная энергия жидкости в каждой точке неподвижного объема является величиной постоянной и ее значение определяется только положением точки по вертикали. 24 б Рис. 2.5. Распределение давления по глубине: а - абсолютного гидростатического давления; б - избыточного гидростатического давления Уравнение (2.8) можно переписать в виде z+ V Ро = z0 + = const. Pg Pg (2.9) В таком виде основной закон гидростатики представляет собой частный случай выражения основного закона сохранения энергии: сумма потенциальной и кинетической энергии есть величина постоянная. Величины z и ^ в гидростатике называют соответственно геометрир ческой и пьезометрической высотой. Сумма z + g называется гидростатическим напором. Из уравнения (2.9) видно, что гидростатический напор есть величина постоянная для всего объема неподвижной жидкости. В заключение следует отметить, что основной закон гидростатики и закон Паскаля на практике используют для расчета сил давления на дно и стенки сосудов. 25 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)