Гидромеханика

ЛЕКЦИЯ 3 Гидромеханику (Механика жидкости и газа) подразделяют на следующие разделы: • Кинематика жидкости и газа, • Динамика жидкости и газа • Статика или гидростатика - частный раздел Динамики КИНЕМАТИКА Кинема́тика (греч. κινειν — двигаться) в физике – раздел механики, изучающий движение идеализированных тел (материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальная жидкость) с геометрической точки зрения без выяснения причин, вызвавших движения (массы, сил и т. д.). Исходные понятия кинематики – пространство и время. Главной задачей кинематики является математическое определение положения и характеристик движения точек или тел в пространстве и во времени. Фундамент классической кинематики заложил итальянский ученый Галилео Галилей (1564-1642 гг.). Два метода исследования движения жидкости В кинематике рассматривают два основных метода описания движения жидкости: метод Лагранжа (1736-1813) и метод Эйлера (1707-1783). По методу Лагранжа следят за движением отдельной жидкой частицы. В некоторый (начальный) момент времени каждая из жидких частиц маркируется путем присвоения ей значений координат в данный момент времени: . В дальнейшем прослеживается движение каждой жидкой частицы индивидуально. Движение жидкой частицы будет выясненным, если в каждый момент времени известно ее местонахождение (координаты х,у,z): . Переменные a, b, c называются переменными Лагранжа. Составляющие проекций скорости рассматриваемой частицы на координатные оси декартовой прямоугольной системы координат имеют вид: , , . (1) Аналогично, составляющие ускорения на соответствующие координатные оси запишутся в виде: , , . (2) В формулах (1) и (2) при дифференцировании параметры a, b, c являются постоянными, следовательно, x,y,z и зависят только от времени. Методом Лагранжа, например, определяют в интересуемый момент времени координаты запускаемых аппаратов (метеорологические радиозонды, спутники и пр.). В гидрологии широко используется метод поплавков. По методу Эйлера следят в неподвижной точке пространства (гидрологический пост, метеостанция) за изменением характеристик движущегося потока жидкости в этой точке. Частицы жидкости, проходящие через точку (x,y,z) в последовательные моменты времени, будут обладать определенными скоростями . Поэтому в данной точке скорость есть функция времени . Но скорость неодинакова для различных точек пространства, а потому в общем случае она должна быть функцией четырех переменных . (3) Аргументы x,y,z,t называют переменными Эйлера. С другой стороны, можно поставить вопрос о нахождении ускорения именно той частицы жидкости, которая в данный момент времени проходит через точку (x,y,z) пространства. Координаты x,y,z – можно рассматривать как переменные координаты самой частицы, зависящие от времени. Следовательно, значение скорости в движущейся частице является сложной функцией времени. Тогда, дифференцируя (3), получим ускорение частицы: . Используя, обозначения имеем: (4) Проектируя (4) последовательно на координатные оси, получим формулы для компонентов ускорения жидкой частицы: (5) Все члены в (4) и (5) имеют специальные названия: - индивидуальная (субстанциональная, полная) производная, характеризующая изменение скорости с течением времени в одной и той же частице; - локальная (местная, или частная) производная, характеризующая изменение рассматриваемой величины с течением времени в данной точке пространства; - конвективная производная, которой соответствуют скалярные записи в равенствах (5): . Уравнения (5) можно записать в виде: (6) Здесь – оператор градиента (набла; оператор Гамильтона), действующий на соответствующую функцию . Аналогично, можно получить соответствующие формулы для любой скалярной величины : или (7) Из последних записей (6)-(7) видно, что конвективная производная появляется вследствие перемещения частицы жидкости в неоднородном поле рассматриваемой величины. Движение жидкости будет стационарным (установившимся), если скорости частиц жидкости явным образом не зависят от времени, т.е. или, что тоже, . В противном случае – движение нестационарное (неустановившееся). В дальнейшем будем использовать в основном метод Эйлера ПРИЛОЖЕНИЕ 3 (Вспомогательный материал) Неопределенный интеграл Задача нахождения первоначального вида функции (первообразной) по известной ее производной называется интегрированием. Так как при дифференцировании любой постоянной мы получаем нуль, то восстановить первообразную мы можем только с точностью до произвольной постоянной (С). Под буквой С подразумевается любое (как положительное, так и отрицательное постоянное число). Итак, совокупность всех первообразных функций, имеющих одну и ту же производную (дифференциал), называют неопределенным интегралом: , где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение. Неопределенный интеграл геометрически представляет бесконечное множество (семейство) кривых, отличающихся друг от друга на константу. Чтобы выделить из этого семейства вполне определенную кривую, надо задать какое-нибудь дополнительное условие, которое позволит определить константу С. Таблица основных формул интегрирования Формула интегрирования по частям: . Определенный интеграл. Принципиальное отличие неопределенного интеграла от определенного: неопределенный интеграл – это функция, производная которой равна подынтегральной функции; определенный интеграл, поскольку он является пределом интегральной суммы, есть некоторое определенное число. Геометрически определенный интеграл представляет площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и двумя ординатами концов отрезка (пределами интегрирования), на котором рассматривается интеграл. Формула Лейбница-Ньютона: .