Гидромеханика: гидростатика и гидродинамика

Ф е д е р а л ь н о е а г е н т с т в о п о о б р а з о в а н и ю Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Теоретические основы теплотехники и гидромеханика» Курс лекций по предмету «Гидравлика» Самара 2020 1. Определение науки «Гидромеханика». В гидромеханике изучаются законы движения и равновесия жидкостей и газов. Гидромеханика разделяется на гидростатику и гидродинамику, включающую кинематику жидкости. Кинематика жидкости – раздел гидромеханики, в котором рассматриваются виды и формы движения жидкостей, не выясняя причин этого движения (поступательное, деформационное и вихревое движение). В гидростатике изучаются условия равновесия жидкостей и газов. В гидродинамике изучаются законы движения жидкостей и газов и устанавливаются зависимости для основных факторов движения. Внешние силы, действующие на тело, считаются известными. Требуется определить давление и скорость движения среды. 1.1 Реальные и идеальные жидкости. Жидкостями называют физические тела, легко изменяющие свою форму под действием самых небольших сил. При скоростях движения жидкостей и газов, значительно меньших скорости звука, для изучения характеристик движения с некоторыми допущениями можно использовать одни и те же законы движения. В связи с чем, под термином «жидкость» в дальнейшем будем подразумевать и газы, считая капельные жидкости несжимаемыми жидкостями, а газы – сжимаемыми жидкостями. Термин «несжимаемая жидкость» для капельных жидкостей связан с тем, что эти жидкости практически не изменяют свой объем с изменением давления. Основными свойствами жидкостей являются сплошность и текучесть. Условие сплошности для жидкости выполняется в случае, если размеры рассматриваемых объемов жидкости значительно превосходят характеристики молекул и их движения (размеры, длина свободного пробега и проч.). Текучесть – это свойство жидкости, при котором она принимает форму той емкости, где находится. Для оценки способности жидкости сопротивляться деформациям сдвига вводится понятие вязкости. Текучесть – это величина, обратная вязкости. Учет внутреннего трения (вязкости) значительно усложняет изучение законов движения жидкости. В связи с чем в гидромеханике вводится понятие идеальной (невязкой) жидкости. Идеальная жидкость характеризуется абсолютной подвижностью (отсутствием сил взаимодействия между молекулами) и абсолютной неизменяемостью в объеме при изменении температуры или под действием каких-либо сил. Таким образом, в идеальной жидкости отсутствуют касательные напряжения при ее движении, т.е. она не сопротивляется сдвигающим усилиям. 1.2 Основные физико-механические свойства жидкости. Рассмотрим основные физико-механические свойства жидкости: плотность, удельный вес и удельный объем. Плотность – это масса единицы объема . Если тело однородно, то удельный вес – это вес единицы объема ; так как , то или , т.е. удельный вес прямо пропорционален плотности. Единица измерения удельного веса в системе СИ - Н/м3= кг/(м2с2). Единица измерения плотности в СИ - нс2/м4 = кг/м3. Удельный объем - объем единицы массы - есть величина, обратная плотности . Опыт показывает, что плотности капельных жидкостей с ростом давления изменяются очень мало. Например, при увеличении давления от 1 до 100 атм первоначальный объем воды уменьшается на 0,5% и, следовательно, плотность увеличивается на 0,5%. Плотность газов с ростом давления значительно растет. Плотность капельных жидкостей с ростом температуры изменяется, как правило, незначительно. Для нефти и нефтепродуктов по формуле Менделеева имеем , где 15 - плотность при t = 15 0С;  - коэффициент объемного расширения. При увеличении t от 15 0C до 100 0С плотность нефти уменьшается примерно на 7%. Плотность газов значительно меняется с температурой. Так, для идеальных газов имеет место уравнение Клапейрона или , откуда , т.е. плотность газов находится в обратно пропорциональной зависимости от температуры. 1.3 Вязкость. Закон Ньютона для внутреннего трения в жидкости. Вязкостью называется способность жидкости оказывать сопротивление сдвигающим усилиям. Это свойство жидкости проявляется лишь при ее движении. Допустим, что некоторое количество жидкости заключено между двумя плоскими неограниченными параллельными пластинами (рис. 1.1). Расстояние между ними обозначим через n. Пусть верхняя пластина движется относительно нижней с некоторой скоростью . Чтобы перемещать одну пластину относительно другой, необходимо приложить к движущейся пластине некоторую силу T, равную силе сопротивления жидкости в результате внутреннего трения. Ньютон установил, что эта сила пропорциональна относительной скорости , поверхности соприкосновения S и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами n, т.е. , где  - коэффициент пропорциональности. Для большего уточнения этой зависимости ее следует отнести к бесконечно малому расстоянию между слоями жидкости, тогда , где   - относительная скорость движения соседних слоев; n - расстояние между ними. Или в пределе . Последнее выражение носит название закона Ньютона для внутреннего трения. Знак плюс или минус принимается в зависимости от знака градиента скорости . Так как - есть касательное напряжение сдвига, то закону Ньютона можно придать более удобный вид . Касательное напряжение, возникающее в жидкости, пропорционально градиенту скорости в направлении, перпендикулярном вектору скорости, и к площадке, по которой оно действует. Коэффициент пропорциональности  характеризует физические свойства жидкости и называется динамическим коэффициентом вязкости. Из формулы Ньютона следует . Из этого выражения вытекает физический смысл коэффициента μ: если , то . В гидродинамике вводят в рассмотрение величину [м2/с], называемую кинематическим коэффициентом вязкости. Динамический коэффициент вязкости  с ростом температуры уменьшается, а с увеличением давления увеличивается. Однако влияние давления для капельных жидкостей незначительно. Динамический коэффициент вязкости газов с увеличением температуры возрастает, а от давления изменяется незначительно. Жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона, называются ньютоновскими жидкостями. Однако существуют жидкости, которые не подчиняются этому закону (аномальные жидкости). К их числу относятся различного вида эмульсии, коллоидные растворы, представляющие собой неоднородные тела, состоящие из двух фаз (твердой и жидкой). 1.4 Вискозиметры. Вязкость капельной жидкости в значительной степени зависит от температуры и в меньшей степени – от давления жидкости. Зависимостью вязкости от давления в большинстве случаев пренебрегают. При атмосферном давлении вязкость воды в зависимости от температуры определяется по формуле Пуазейля. где - кинематический коэффициент вязкости; - динамический коэффициент вязкости; - плотность воды при данной температуре; - температура воды. Вязкость жидкости определяют при помощи приборов, называемых вискозиметрами. Для жидкостей, более вязких, чем вода, применяют вискозиметр Энглера. Этот прибор состоит из емкости с отверстием, через которое при температуре 20 °С определяют время слива дистиллированной воды Т0 и жидкости Т, вязкость которой требуется определить. Отношение величин Т и Т0 составляет число условных градусов Энглера . После определения вязкости жидкости в условных градусах Энглера кинематический коэффициент вязкости находится по следующей эмпирической формуле , см2/с. Полученные по этой формуле значения хорошо согласуются с опытными данными. 2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ. При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц. Второй метод, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость. В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера, благодаря его простоте. По методу Лагранжа в начальный момент времени t0 отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t0 определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями (2.1) где х, у, z - координаты частицы; t - время. Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц. Например, точка М (рис. 2.1) в момент времени t = 0 имеет координаты а, b, с. Соотношения (2.1) с учетом а, b, с примут вид (2.2) В соотношениях (2.2) начальные координаты а, b, с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты x, y, z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а, b, с, t, которые называются переменными Лагранжа. При известных соотношениях (2.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени) ; ; (2.3) . Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 2.5). Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (2.1) путем нахождения координат x, y, z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени. По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) в исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой. Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины. Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями (2.4) т.е. скорость является функцией координат и времени. Переменные x, y, z, t называются переменными Эйлера. Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (2.4). Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt , в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (2.3). Из (2.2) следует, что координаты x, y, z являются функциями времени. Тогда будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь ; ; (2.5) , где – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси. Так как для движущейся частицы , , , то ; ; . Частные производные , , называются проекциями локального (местного) ускорения. Суммы вида называется проекциями конвективного ускорения. Полные производные , , называются еще субстанциональными или индивидуальными производными. Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую. 3. ГИДРОСТАТИКА. 3.1 Силы, действующие в жидкости. Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкости, а также равновесие твердых тел, полностью или частично погруженных в жидкость. Массовыми называются силы, величина которых пропорциональна массе жидкости. К массовым силам относятся силы тяжести и силы инерции. Поверхностными называются силы, величина которых пропорциональна площади поверхности выделенного объема жидкости. Это те силы, которые действуют на поверхность рассматриваемого объема со стороны окружающей его жидкости или твердых тел. По отношению к рассматриваемому объему поверхностные силы являются внешними. В гидромеханике поверхностные силы принято относить к единице площади поверхности. Поверхностная сила, отнесенная к единице площади поверхности, называется напряжением. В соответствии с разделением поверхностных сил на нормальные и касательные разделяют также и напряжения на нормальное напряжение (давление) и касательное напряжение. Напряжением в точке называется предел, к которому стремится среднее напряжение, когда величина площадки  при стягивании ее вокруг данной точки стремится к нулю. Так как силы сопротивления разрыву в жидкости ничтожно малы, то в гидравлике обычно считают, что растягивающие усилия в жидкости отсутствуют. Отсюда следует принять, что нормальные напряжения - всегда сжимающие напряжения, т.е. направлены по внутренним нормалям к поверхности. Касательные напряжения обусловлены силами трения, возникающими в жидкости при ее движении. Гидростатическое давление есть напряжение, возникающее в жидкости, находящейся в равновесии. Единица измерения давления в системе СИ: Па=Н/м2. Гидростатическое давление обладает следующими двумя основными свойствами. 1. Направление гидростатического давления всегда совпадает с направлением внутренней нормали к площадке, на которую оно действует. 2. Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от ориентировки площадки, на которую это давление действует, то есть от углов её наклона по отношению к координатным осям. 3.2 Основное уравнение гидростатики. Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда покоящаяся жидкость заключена в сосуде и находится под воздействием только силы тяжести (рис. 3.1). В выражении ; ; . Тогда или . Рис. 3.1. Эпюра гидростатического давления Интегрируя, получим . (3.1) Для освобождения от произвольной постоянной C примем дополнительные условия. При , , тогда . (3.2) Выражая C из (3.2) и подставляя в (3.1), получим , где - глубина погружения точки А. Отсюда получаем формулу для определения гидростатического давления в точке на глубине h под свободной поверхностью (формула гидростатического давления) . (3.3) 3.3 Методы и приборы для измерения давления. Приборы, применяемые для измерения давления, можно разделить на две основные группы: жидкостные и металлические. Принцип действия жидкостных приборов основан на уравновешивании измеряемого давления высотой столба жидкости (рис. 3.2). Простейшим представителем приборов жидкостного типа является пьезометр. Давление в точке A у основания пьезометрической трубки определяется по формуле гидростатического давления (3.3) . Отсюда . Высота жидкости в пьезометре характеризует избыток давления в точке А над атмосферным или барометрическим. Давление в сосуде pA принято называть абсолютным давлением. Разницу называют избыточным давлением. или . Если абсолютное давление в сосуде меньше атмосферного, то для измерения его применяются вакуумметры. Если для измерения вакуума применяются жидкостные приборы, то они обычно выполняются в виде так называемого U-образного манометра (рис. 3.3). В точках C и B давление одинаково и равно барометрическому B. Тогда по формуле гидростатического давления будем иметь . Учитывая, что , получим . Отсюда . Разность называется вакуумом. То есть вакуумом называется разность между атмосферным давлением и абсолютным в том случае, когда абсолютное давление меньше атмосферного. Рис. 3.3 Рис. 3.4 Рассмотрим еще случай измерения давления газа с помощью U‑образного ртутного манометра. На основании формулы гидростатического давления (3.3) можно записать (рис.3.4) ; . Давления в точках B и C равны, так как они находятся на поверхности равного давления в жидкости (ртуть). Тогда . Отсюда . Из металлических приборов наиболее распространенным на практике является пружинный манометр (рис.3.5), принцип действия которого следующий. Под действием давления жидкости полая пружина 1 частично распрямляется и посредством зубчатого механизма 2 приводит в движение стрелку 3, перемещающуюся относительно шкалы 4. Принцип действия пружинного манометра основан на уравновешивании силы давления жидкости упругой силой пружины. Пружинный манометр также показывает избыточное давление. 3.4 Энергетический закон для жидкости, находящейся в равновесии. При выводе основного уравнения гидростатики было получено дифференциальное уравнение вида . Прежде чем интегрировать это уравнение, представим его в следующем виде или . Проинтегрировав, получим . Величина представляет ту высоту, на которую поднялась бы жидкость в пьезометре, если бы верхний конец его находился под нулевым давлением p = 0 (рис. 3.6). Таким образом, это есть высота, соответствующая абсолютному давлению в жидкости. Она называется приведенной (высота h2). Рис. 3.6 - геометрическая высота выбранной точки над условной плоскостью сравнения 0 - 0. Отсюда . (3.4) Уравнение (3.4) показывает, что сумма двух высот и для любой точки жидкости остается постоянной. Эта сумма называется абсолютным (полным) гидростатическим напором. Если конец пьезометра соединить с атмосферой при давлении B, то уравнение (3.4) примет вид . (3.5) Сумма и называется гидростатическим напором, а величина - пьезометрическим напором. Горизонтальная плоскость, проведенная на высоте , называется плоскостью гидростатического или пьезометрического напора, а - плоскостью абсолютного (полного) напора. Очевидно, что . 3.5 Относительный покой жидкости. Пусть жидкость находится в емкости, которая движется прямолинейно и равноускоренно по горизонтальной плоскости с ускорением а (рис. 3.13). Необходимо определить давление в любой точке жидкости при движении емкости с ускорением и угол наклона жидкости. Масса жидкости при движении находится под действием массовой силы тяжести и силы инерции от горизонтального перемещения. (3.6) Соответствующие проекции массовых сил будут равны . Уравнение (3.6), учитывая массовые силы, примет вид . Переменные в уравнении разделены. Интегрируя его, получим , (3.7) где C - постоянная интегрирования, определяемая из граничных условий, которые в данном случае имеют вид при x=0 и z=0. Отсюда . (3.8) Подставляя (3.8) в (3.7), найдем . (3.9) Таким образом, найдено уравнение давления для любой точки жидкости. Далее находим форму поверхности. Рис. 3.7 Уравнение (3.9) для свободной поверхности, где p = p0, примет вид . Отсюда . (3.10) Так как a/g является константой, то уравнение (3.10) будет уравнением прямой линии. Это означает, что плоскость, проведенная через оси x и z , будет пересекать наружную поверхность жидкости по линии AB. Отношение a/g представляет тангенс угла наклона прямой AB к горизонтальной плоскости . Отсюда . Проведем исследование этого решения. Найдем давление в некоторой точке М Запишем уравнение (3.9) для точки M в виде или . (3.11) Согласно (3.10) первый член в правой части уравнения (3.11) будет ,так как точка M находится на поверхности. Отсюда, учитывая, что , а получим или . (3.12) Уравнение (3.12) представляет формулу гидростатического давления (3.3). Таким образом, давление в любой точке жидкости, движущейся вместе с емкостью прямолинейно и равноускоренно, определяется по формуле гидростатического давления, где h - глубина погружения точки под поверхностью жидкости. Например, давление в точке D будет . 3.6 Закон Архимеда. Закон Архимеда формулируется в виде следующего утверждения - на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила называется поддерживающей. Она является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в нем тело. Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы (рис. 3.8). 1. Сила тяжести - вес тела . 2. Поддерживающая (выталкивающая) сила , где 1 - удельный вес тела; 2 - удельный вес жидкости. При этом могут иметь место следующие основные случаи: 1. Удельный вес тела и жидкости одинаковы . В этом случае , равнодействующая , и тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.е. будучи погружено на любую глубину, оно не будет ни всплывать, ни тонуть. 2. При 1> 2 , . Равнодействующая направлена вниз, и тело будет тонуть. 3. При 1< 2 . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности. 4. ДИНАМИКА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ. 4.1 Траектории частиц и линии тока. Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение. При установившемся движении, когда уровень жидкости в емкости не изменяется (рис. 4.1), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (рис. 4.2) траектории частиц и линии тока не совпадают. Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства не меняются во времени (рис. 4.2). Рис.4.1 Рис.4.2 4.2 Струйчатая модель движения жидкости. Рассмотрим линию тока 1-2 (рис. 4.3). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную к вектору скорости 1. Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l, охватывающий площадку d. Рис. 4.3 Рис. 4.4 Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки d, составляет элементарную струйку. В гидравлике применяется струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек. Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рис.4.4. Объемным расходом жидкости через какую-либо поверхность называется объем жидкости, протекающий в единицу времени через данную поверхность. Поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых перпендикулярны к соответствующим элементам этой поверхности, называется живым сечением потока и обозначается . Если расход жидкости Q поделить на живое сечение потока, то получим среднюю скорость движения жидкости . Средняя скорость в сечении потока - это такая, одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой происходит тот же расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях, различных для разных точек сечения. 4.3 Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. В технической гидромеханике уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью и давлением в различных сечениях одной и той же элементарной струйки. Для двух различных точек линии тока или для двух различных сечений элементарной струйки можно написать . Таким образом, для всех частиц, расположенных на одной и той же линии тока, сумма трех величин и сохраняет постоянное значение. 4.4 Физический и геометрический смысл уравнения Бернулли. С физической точки зрения уравнение Бернулли есть выражение закона сохранения энергии для движущейся жидкости. Действительно, рассмотрим величину . Эта сумма 3-х слагаемых называется полным напором жидкости или гидродинамическим напором. С физической точки зрения напор есть механическая энергия жидкости, отнесенная к единице веса жидкости. , т.е. z - есть удельная потенциальная энергия положения частицы жидкости. Потенциальная энергия давления, отнесенная к единице веса, будет , т.е. - есть удельная потенциальная энергия давления частицы жидкости – энергия, отнесенная к единице веса жидкости. Кинетическая энергия, отнесенная к единице веса, будет . Таким образом, физическое истолкование уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в том, что для любых сечений 1 и 2 полная удельная энергия остается неизменной: или . Если сечение струйки увеличивается, то скорость падает, а давление возрастает, т.е. энергия, сохраняясь в целом, переходит из одного вида в другой (кинетическая энергия переходит в потенциальную и наоборот). Уравнению Бернулли можно дать наглядное геометрическое истолкование. Для этого снова рассмотрим отдельные члены суммы , где z – геометрическая высота данной частицы жидкости над условной плоскостью сравнения. - пьезометрическая высота – высота, на которую поднимется жидкость в пьезометре. - скоростная высота - высота, на которую поднимется жидкость, имея начальную скорость . Таким образом, с геометрической точки зрения уравнение Бернулли в любом сечении элементарной струйки идеальной жидкости представляет собой сумму 3-х высот: геометрической, пьезометрической и скоростной, которая остается неизменной. График уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости представлен на рис. 4.18. 4.5 Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости. Благодаря вязкости в реальной жидкости происходят потери механической энергии потока на трение внутри жидкости и о стенки канала. Энергия, потерянная на трение, превращается в теплоту и идет на пополнение запаса внутренней энергии жидкости, а часть ее отводится в виде тепла через стенки канала. Внутренняя энергия жидкости не может быть непосредственно использована для приведения жидкости в движение и поэтому в гидравлике рассматривается как потеря механической энергии (потеря напора). Для реальной жидкости равенство нарушается, и вместо него имеем , где – потеря напора для элементарной струйки на участке 1-2. Тогда для элементарной струйки реальной жидкости уравнение Бернулли примет вид . Таким образом, полный напор вдоль струйки реальной жидкости уменьшается. 4.6 Уравнения Бернулли для потока реальной жидкости. Уравнение Бернулли для потока имеет вид . где - потеря напора для всех элементарных струек потока на участке 1-2. Коэффициент  носит название коэффициента кинетической энергии потока или коэффициента Кориолиса и характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Для ламинарного режима  ≈ 2, для турбулентного режима   1,05 - 1,1. Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают  = 1, и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид . 4.7 Графическая иллюстрация уравнения Бернулли для потока реальной жидкости. Рассмотрим распределение напоров в трубопроводе, имеющем сужение в средней его части (рис. 4.6). Выделим три характерных сечения, в которых расположим пьезометры и скоростные трубки. На рис.4.6 при течении жидкости в трубопроводе могут быть выделены следующие характерные линии: I - линия геометрических напоров; II - пьезометрическая линия; III - линия полного напора. h1-2, h1-3 - потеря напора соответственно во втором и третьем сечениях. На рис. 4.6 отмечены все члены уравнения Бернулли. В частности, видно, что пьезометрический напор в узком сечении уменьшается, а скоростной напор - возрастает. Максимальная потеря напора имеет место в третьем сечении (). Применительно к рис. 4.6 уравнение Бернулли запишется в виде . 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПОДОБИЯ. Теория подобия является учением о методах обобщения данных опыта. В ней решается задача нахождения научно обоснованного метода обобщения данных опыта. Класс явлений это система дифференциальных уравнений, описывающих физическое явление. Единичное явление это система дифференциальных уравнений с наложенными на нее условиями однозначности. Группа явлений это система дифференциальных уравнений с наложенными на нее подобными условиями однозначности. Основная идея теории подобия заключается в выделении внутри класса явлений более узких групп. Подобными явлениями называются такие, у которых отношение характеризующих их переменных есть постоянное число. Существуют следующие виды подобия. 1. геометрическое подобие - отношение длин сходственных отрезков образца и модели должно быть одинаковым 2. динамическое подобие означает, что все силы, вызывающие рассматриваемые движения в модели, должны быть изменены с аналогичными силами в образце в одно и то же число раз. Сила F определяется в виде произведения массы m на ускорение a, т.е. . Так как размерность массы m = ρl3, а ускорения a = l/t2, то размерность силы будет . Отсюда следует, что для динамического подобия необходимо соблюдение соотношения , где ; ; Cf – константа динамического подобия (масштаб сил). Данное условие является математическим выражением общего закона динамического подобия, которое впервые сформулировано Ньютоном. В теории подобия доказывается, что при выполнении геометрического и динамического подобия будет соблюдаться также и кинематическое подобие. Следовательно, скорости, ускорения и перемещения частиц в модели будут изменяться в одних и тех же отношениях по сравнению с образцами, т.е. ; ; . Таким образом, для двух подобных явлений должны существовать соотношения типа ; ; ; и т.д., где Cl , Cf , Cv , Ca сохраняют постоянные значения в соответственных точках подобных систем. Эти величины поэтому называются константами подобия. 6. ТЕОРИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ. Если все динамические и термодинамические величины потока являются функциями только одной координаты и времени, то такой поток называется одномерным. Одной из важнейших задач гидравлики является определение потерь напора в трубопроводах. Общую потерю напора на каком-либо участке трубопровода принято в гидравлике разделять на 2 вида потерь. 1. Потери напора по длине трубопровода или линейные потери напора. 2. Потери напора в местных сопротивлениях или местные потери напора. Линейные потери напора - это потери напора на трение на прямых участках трубопровода. Потери напора по длине для трубопроводов, находящихся под напором, принято определять по формуле Дарси-Вейсбаха (в м ст.), где l- длина участка трубопровода, м; d- внутренний диаметр трубопровода, м; - коэффициент гидравлического сопротивления (коэффициент трения)- безразмерная величина. Местные потери напора возникают в результате деформации потока и потерь энергии на вихреобразование в тех местах, где происходит изменение конфигурации канала. Они наблюдаются в местах поворота, резкого расширения или сужения потока, в различного рода запорных и регулирующих устройствах. Местные потери напора принято определять по формуле , где  - коэффициент местных потерь (безразмерная величина). 6.1 Два режима движения жидкости. Критерием, указывающим на режим движения жидкости, как показывает теория подобия, должен быть критерий подобия, а именно, определяющий критерий Рейнольдса . Опыты подтвердили, что критическое число Re при переходе турбулентного режима в ламинарный имеет всегда одно и то же значение при любом диаметре трубы, скорости движения жидкости и при любой жидкости и оно равно Reкр = 2320. Таким образом, условие существования различных режимов для потоков в трубах могут быть сформулированы в следующем виде. 1. Ламинарный режим существует при числе Рейнольдса, меньшем критического числа . 2. Турбулентный режим существует при числе Рейнольдса, большем критического числа . 6.2 Ламинарное движение жидкости. Ламинарное течение имеет слоистый характер без перемешивания частиц. При этом имеют место только направления потока, параллельные оси трубы при полном отсутствии поперечных движений жидкости. Скорость в слое, непосредственно соприкасающемся со стенками, вследствие прилипания жидкости к стенке (из-за вязкости жидкости) равна нулю. Максимального значения скорость достигает в слое, движущемся по оси трубы. Рассмотрим ламинарный равномерный поток жидкости в трубе круглого сечения (рис. 6.1). Рис. 6.1 Скорость в поперечном сечении потока изменяется по закону параболы . (6.1) Максимальная скорость имеет место на оси трубы при . . Формула для касательных напряжений имеет вид Рис. 6.2 Из этой формулы следует, что касательное напряжение является линейной функцией текущего радиуса трубы r. Максимального значения  принимает на стенке трубы, минимального () - в ее центре. Эпюра касательного напряжения представлена на рис.6.2. 6.3 Расход жидкости. Найдем расход жидкости, протекающей через данное сечение ламинарного потока. Средняя по сечению скорость будет . (6.2) Отношение средней скорости к максимальной будет . откуда . Формулы для гидравлического уклона J будут . (6.3) . (6.4) Формулы (6.3) и (6.4) называются формулами Гагена - Пуазейля. Из формулы (6.3) видно, что при одном и том же расходе гидравлический уклон обратно пропорционален диаметру в 4-й степени. А из формулы (6.4) следует, что гидравлический уклон прямо пропорционален средней скорости . 6.4 Коэффициент линейных потерь при ламинарном движении жидкости. Зная закон распределения скорости в поперечном сечении, можно вывести теоретические формулы для определения расхода жидкости, потери напора на трение, а также коэффициент линейных потерь  при ламинарном режиме течения. Средняя по сечению скорость согласно формуле (6.2) равна . Учитывая, что и , получим . Отсюда или . После некоторых преобразований найдём . Отсюда получим . Сравнивая с формулой Дарси - Вейсбаха , находим . Последнее соотношение представляет формулу Пуазейля для определения коэффициента трения  (коэффициента линейных потерь). 6.5 Турбулентное движение жидкости. Так как при Re = 2320 происходит смена ламинарного режима на турбулентный, то можно сделать вывод, что закономерности турбулентного движения отличны от закономерностей ламинарного режима. За осредненную скорость в данной точке принимается такая постоянная за период осреднения T скорость, при которой через элементарную площадку d за период T проходит объем жидкости, равный истинному ее объему, проходящему через d за время T, т.е. . Отсюда . Аналогично ; . Осредненную во времени скорость следует отличать от средней скорости по сечению . 6.6 Структура турбулентного потока. Рассмотрим турбулентный поток в трубе круглого сечения (рис 6.3). Рис. 6.3 Турбулентный поток в трубе можно представить схематично состоящий, по меньшей мере, из двух составляющих (двухслойная модель турбулентного потока). 1. Ядро потока с турбулентным движением (турбулентное ядро); 2. Ламинарный гидродинамический пограничный слой (ламинарная пленка), имеющий толщину л. В пределах ламинарной пленки скорость существенно меняется от 0 до значения на границе с турбулентным ядром. Далее из-за перемешивания жидкости скорость меняется более медленно. 6.7 Местные сопротивления. При движении реальных жидкостей кроме потерь на трение по длине потока, возникающих из-за вязкости жидкости, могут возникать и местные потери напора. Причиной последних являются местные сопротивления (краны, задвижки, сужения, расширения, повороты трубопроводов, и прочее), которые вызывают изменение скорости движения или направления потока. Потери напора в местных сопротивлениях определяются по формуле , (6.5) где  - коэффициент местных потерь; - cкоростной напор;  - средняя скорость. Коэффициентом местных потерь  называется отношение потери напора в данном местном сопротивлении к скоростному напору . В некоторых случаях удобно определять местные сопротивления через так называемую эквивалентную длину местного сопротивления. Эквивалентная длина местного сопротивления – это такая длина прямого трубопровода, на которой происходит такая же потеря напора hм, как и в данном местном сопротивлении. Эквивалентную длину lэ можно определить из равенства ; , (6.6) где k - коэффициент, определяемый опытным путем. Отсюда Понятие эквивалентной длины позволяет ввести понятие о приведенной длине трубопровода где l - действительная длина трубопровода. Коэффициент местных потерь  в общем случае зависит от формы местного сопротивления, от числа Re, от шероховатости поверхности, а для запорных устройств Типы местных сопротивлений. 1. Внезапное расширение потока (см. рис. 6.4). Уравнение неразрывности потока для несжимаемой жидкости имеет вид (6.7) Отсюда . (6.8) Подставляя (6.8) во второе выражение из (6.6), получим (6.9) Сравнивая (6.9) с (6.5), найдём (6.10) Выразим из (6.7) 1 . (6.11) Подставляя (6.11) во второе выражение из (6.6), получим (6.12) Сравнивая (6.12) с (6.5), найдём . Таким образом, по формулам (6.9), (6.12) можно определить потери напора в местном сопротивлении в случае известных скоростей 1 или 2. Для приближенных расчётов коэффициент k можно принять равным 1. Рис. 6.5 Рис. 6.6 2. Выход из трубы в резервуар больших размеров (рис. 6.5). В данном случае площадь сечения резервуара ω2 >> ω1 и поэтому .  1. 3. Внезапное сужение потока (рис. 6.6). В данном случае происходит внезапное увеличение скорости. На некотором расстоянии ниже по течению происходит сжатие струи (сечение с–с), а затем переход от сжатого сечения к нормальному. Потери напора при внезапном сужении значительно меньше потерь напора при внезапном расширении. 4. Постепенное расширение потока (диффузор) (рис. 6.7). Рис. 6.7 При малых углах   4-50. Течение в диффузоре происходит безотрывно. При углах   4-50 происходит отрыв потока от стенки. Безотрывное течение в диффузоре происходит практически без потерь, течение с отрывом сопровождается значительными потерями энергии на вихреобразование. При угле 2  700 коэффициент потерь достигает максимума. 6.8 Зависимость коэффициента местных потерь от числа Рейнольдса. В зависимости от влияния числа Re на коэффициент  режимы движения жидкости могут быть разделены на следующие зоны. 1. Движение в местном сопротивлении и в трубопроводе ламинарное. Коэффициент местных сопротивлений в этом случае определяется по формуле , (6.13) где А – коэффициент, зависящий от типа местного сопротивления. Так как , (6.14) то, учитывая (6.13), будем иметь , где . Следовательно, потери напора пропорциональны первой степени скорости. 2. Движение в трубопроводе без местного сопротивления ламинарное, а с местным сопротивлением турбулентное. В этом случае , где В – коэффициент, зависящий от типа местного сопротивления. Потери напора в данном случае определяются по формуле , где . 3. Движение в трубопроводе без местного сопротивления и при наличии его турбулентное при небольших числах Re>2300. , где С – коэффициент, зависящий от типа местного сопротивления. Подставляя последнее соотношение в (6.14), получим , где . 4. Развитое турбулентное течение при больших числах Рейнольдса. Коэффициент  здесь не зависит от числа Рейнольдса и местные потери напора пропорциональны квадрату скорости (квадратичная зона) , где . Коэффициенты A, B, C, для различных типов местных сопротивлений приводятся в учебниках по гидравлике и гидравлических справочниках. 6.9 Принцип наложения потерь напора. Принцип наложения потерь напора: суммарная потеря напора в трубопроводе равна сумме отдельных потерь. Если имеется трубопровод с постоянным диаметром d=const, то скорость в различных сечениях будет постоянной (= const) и суммарная потеря напора будет , где c - коэффициент сопротивления системы. Если трубопровод имеет участки с различным диаметром (рис.6.27), то суммарная потеря напора определяется по формуле . Рис. 6.8 Так как , то . Принцип наложения потерь не всегда справедлив и его нельзя механически использовать во всех случаях расчета. Для того чтобы был справедлив принцип наложения потерь, местные сопротивления должны отстоять друг от друга на расстоянии, большем расстояния стабилизации потока, равном 2050d. Применимость этого принципа особенно нужно иметь в виду при проектировании насосных станций, где трубопроводы насыщены множеством местных сопротивлений. 6.10 Основы диффузионного массопереноса. Диффузия заключается в распространении одного вещества (включения) в другое (носитель). Диффузия одного газа в другом (например, распространение запаха в воздухе) благодаря интенсивному молекулярному движению приводит к быстрому проникновению запаха в самые удаленные уголки помещения. Наоборот, диффузия жидкости в жидкости из-за слабой миграции центральных молекул, связывающих группы молекул, происходит значительно медленнее. Примером может служить исторический опыт Рейнольдса, вводившего в спокойно движущийся (ламинарный) поток воды сквозь цилиндрическую трубу тонкую струйку красящего вещества. Струйка вдоль почти всего рабочего участка трубы не меняла заметно свою толщину, что говорит о медленной молекулярной диффузии, присущей ламинарному движению воды. При переходе к турбулентному режиму течения, когда молекулярный механизм диффузии заменяется турбулентным перемешиванием конечных макрообъемов жидкости, возникает интенсивная турбулентная диффузия, и красящее вещество быстро заполняет весь поток. Заметим, что явление диффузии, хотя значительно более слабое, чем в жидкостях, имеет место и в твердых телах. Два плотно притертых друг к другу образца из разных металлов спустя длительное время обнаруживают взаимное проникновение молекул. 7. НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ 7.1 Общие понятия и классификация неньютоновских жидкостей. Неньютоновскими или аномальными называют жидкости, которые не подчиняются основному закону внутреннего трения Ньютона. Основной характеристикой неньютоновских жидкостей являются кривые течения, или реологические кривые (реограммы), изображающие графически зависимость между градиентом скорости течения жидкости и возникающим в ней касательным напряжением. Кривые течения неньютоновских жидкостей в общем случае не являются линейными. Расположение этих кривых на графике и их форма (рис. 7.1) определяют класс неньютоновской жидкости и характеризуют особенности ее течения. Кривая 1 на рис. 7.2 представляет дилатантные жидкости; 2 — обычную ньютоновскую жидкость; 3 — псевдопластичные жидкости; 4 — вязко-пластичные жидкости. У псевдопластичных жидкостей эффективная вязкость с увеличением или уменьшается. Эти жидкости при течении как бы разжижаются. У дилатантных жидкостей, наоборот, при возрастании или вязкость увеличивается, жидкости при течении загустевают. Тиксотропные жидкости при деформировании с постоянной скоростью сдвига достигают через некоторое время (обычно длительное) состояния стационарного течения, причем их эффективная вязкость при этом уменьшается. У жидкостей реопектических при таком деформировании, наоборот, наблюдается увеличение вязкости. Тиксотропия является обратимым процессом, и после прекращения деформирования структура жидкости и ее реологические свойства постепенно восстанавливаются. 7.2 Вязко-пластичные жидкости и их свойства Ограничимся рассмотрением лишь одного, наиболее важного и интересного для нефтяной промышленности класса неньютоновских жидкостей - вязко-пластичных. Подобные жидкости известным образом совмещают в себе свойства как вязкой ньютоновской жидкости, так и твердого пластичного тела. В идеально пластичном теле при малых действующих нагрузках и, следовательно, незначительных напряжениях возникают упругие деформации. После снятия нагрузки эти деформации исчезают и тело восстанавливает свою первоначальную форму. Когда напряжение достигает некоторого предельного значения , называемого пределом текучести, или начальным напряжением сдвига, пластичное тело начинает течь. Кривая течения подобного идеального пластичного тела представляет прямую, параллельную оси ординат и отстоящую от нее на расстоянии . Течение вязко-пластичной жидкости, как и идеального пластичного тела, начинается при напряжении, равном начальному напряжению сдвига , и продолжается при напряжениях, изменяющихся по линейному закону, как у обычных ньютоновских жидкостей. В честь американского ученого Бингама, установившего в 1916 г. эту зависимость и описавшего свойства вязко-пластичной жидкости, ее обычно называют бингамовской жидкостью. Реологические свойства бингамовской жидкости характеризуются двумя основными параметрами: - начальным напряжением сдвига (на реограмме – отрезок оси абсцисс, отсекаемый кривой течения от начала координат); - бингамовской или пластической вязкостью, определяемой по углу наклона кривой течения к той же оси. При гидравлических расчетах используется также понятие эффективной (кажущейся) вязкости, которая в этом случае определяется выражением Механизм поведения бингамовских жидкостей можно объяснить образованием в покоящейся жидкости жесткой пространственной решетки (например, у парафинистых нефтей из кристаллов парафина), заполненной жидкой фазой (нефтью). Жесткость этой решетки (структуры) такова, что она приводит к полной потере подвижности и достаточна, чтобы сопротивляться любому напряжению, не превосходящему . Если напряжение превышает то, структура разрушается и система ведет себя как обычная ньютоновская жидкость при напряжениях сдвига . Когда напряжение сдвига становится меньше то, структура снова восстанавливается. Отметим также, что, если подвергнуть вязко-пластичную жидкость вибрационному воздействию, ее начальное напряжение сдвига можно свести к нулю. Кривая течения при этом сдвинется влево и пройдет через начало координат, т.е. примет форму кривых течения ньютоновских жидкостей. 7.3 Статика вязко-пластичных жидкостей. Касательные напряжения (напряжения сдвига) существуют и в покоящейся вязко-пластичной жидкости, что приводит к ряду, на первый взгляд, несколько необычных явлений, отличающих статику этих жидкостей от статики жидкостей ньютоновских. В связи с этим представляется интересным рассмотреть некоторые задачи статики вязко-пластичных жидкостей, имеющие не только теоретическое, но и известное практическое значение. Сообщающиеся сосуды. Предположим (рис. 7.3), что стеклянная U-образная трубка внутренним диаметром d заполняется через правое колено вязко-пластичной жидкостью, плотность которой , а начальное напряжение сдвига . В некоторый момент времени в этой трубке установится равновесие, причем уровни жидкости в обоих ее коленах будут различными: высота стояния жидкости в правом колене будет больше, чем в левом, на некоторую величину H. Вес столба жидкости высотой Н уравновешивается касательной силой сдвига, возникающей на поверхности соприкосновения всего объема жидкости, заполняющей трубку, с ее стенками. Наклонная плоскость. Предположим, что на наклонной плоскости, шарнирно соединенной с неподвижной горизонтальной плоскостью, находится слой вязко-пластичной жидкости (рис. 7.4). Толщина этого слоя пусть будет Н, плотность жидкости . При малых значениях угла наклона жидкость на плоскости будет находиться в покое. Изменяя этот угол, рассмотрим такое предельное положение плоскости, при котором жидкость начнет двигаться, «поползет». Очевидно, это произойдет тогда, когда касательные напряжения в нижней части слоя станут равными (или превзойдут) начальное напряжение сдвига жидкости. 7.4 Движение вязко-пластичных жидкостей по трубам Движение неньютоновских жидкостей по трубам и лоткам характеризуется рядом особенностей по сравнению с движением обычных ньютоновских жидкостей. Как показывает опыт, для начала движения неньютоновской жидкости необходимо создать некоторую определенную разность напоров, соответствующую равенству возникающего в жидкости касательного напряжения и ее начального напряжения сдвига . При этом вся масса жидкости отрывается от стенок трубы или лотка и движется первоначально как одно целое (как твердое тело) с одинаковыми скоростями для всех частиц. По мере увеличения разности напоров возрастает и скорость движения жидкости. В ближайших к стенкам трубы частях потока развивается ламинарный режим, а в центральной части (так называемом центральном ядре) жидкость по-прежнему продолжает двигаться как твердое тело. Такой режим движения, характеризующийся наличием центрального ядра, называется структурным. При дальнейшем возрастании разности напоров область ламинарного режима будет расширяться, размеры же центрального ядра — соответственно уменьшаться. Повышая разность напоров, можно достичь того, что структурный режим полностью перейдет в ламинарный. В дальнейшем в трубопроводе будет развиваться турбулентный режим, наиболее часто встречающийся на практике.