Гидромеханика

ГИДРОМЕХАНИКА Лекция № 1 1. Цели и задачи курса. 2. Предмет гидравлики и гидропривода. 3. История развития гидравлики. 4. Основные физические свойства жидкостей и газов. 1. В созданных и конструируемых горных машинах и агрегатах широко применяют гидравлические системы, гидравлические приводы, основными особенностями которых являются: - 1. развиваемые большие мощности и усилия при малых габаритах, 2. податливость, 3. простота и тонкость регулирования, 4. защита от перегрузок, 5. высокая надежность. Гидромеханика – техническая механика жидкости, изучающая законы равновесия и движения жидкости, а также способы применения этих законов к решению инженерных задач. В горной практике приходится иметь дело как с капельными жидкостями (водой, маслами), так и с газами (воздухом, метаном). Поэтому изучим законы, выведенные для капельных жидкостей и газов. Гидропривод и пневмопривод представляют собой комплексы, предназначенные для приведения в движение машин и механизмов с помощью гидравлической и пневматической энергии. Первые фактические знания по гидравлике и опыт практического применения были у древних народов Египта, Китая, Греции. Об этом свидетельствует строительство водоподъемных колес, каналов, кораблей, плотин. Остатки гидротехнических сооружений сохранились в ряде стран до наших дней. Одним из первых трудов, относящихся к гидравлике, является закон Архимеда (250 г. до н.э.). Последующие работы по гидравлике появились лишь в XVI-XVII веках. Наиболее крупные из них: Леонардо да Винчи (1452 – 1519) – в области плавления тел, движение жидкости по трубам и открытым руслам. Стевина (1548 – 1620) – законы давление жидкости на дно и стенки сосуда. Г.Галилея (1564 – 1642) – равновесие и движение тел в жидкости. Горичелли (1608 – 1647) – истечение жидкости через отверстия. Паскаля (1623 – 1662) – о передаче давления жидкости (закон Паскаля). Ньютона (91642 – 1727) – о внутреннем трении в жидкости (закон Ньютона) и сопротивление тел при движении в жидкости. Гидромеханика (гидравлика) как наука сформировалась в 18 веке. В Российской Академии наук работали Бернулли, Эйлер, Ломоносов. М.В. Ломоносов открыл закон сохранения вещества в движении, который является физической основой уравнений движения жидкости. Эйлер составил известные дифференциальные уравнения относительно равновесия и движения жидкости (ур-ние Эйлера). Д. Бернулли получил уравнение запаса удельной энергии в невязкой жидкости при установившемся движении (ур-ние Бернулли), являются основным в гидравлике. (геометр, пьезометр, скоростной) Значительное развитие гидравлика, как прикладная наука получила в 19 веке в работах многих ученых и инженеров европейских стран:  Изобретение Пито прибора для измерения скорости движения жидкости (трубка Пито)  Шези – установил зависимость для определения потерь напора каналах и трубах (формула Шези). Экспериментальные работы Базена, Маннинга, Куттера по определению параметров, входящих в формулу потерь напора; составления эмпирических формул (Пуазейль, Дарси, Вейсбах). Важное значение в гидравлике имело открытие Рейнольдсом двух режимов движения жидкости. В конце 19 века, начале 20 вклад в развитие гидравлике внесли русские ученые и инженеры: Н.П. Петров – разработал гидродинамическую теорию смазки. Н.Е. Жуковский – создал теорию гидравлического удара (в трубопроводах, разрушение). Хотя отдельные элементы гидропривода были известны еще до нашей эры, использование гидропривода в современном понятии началось сравнительно недавно. Гидравлика. Общие сведения о жидкости. Жидкостью называется непрерывная среда, обладающая свойством текучести. Жидкости можно разделить на две группы: Капельные – практически несжимаемые (вода, спирт, ртуть, масла). Газообразные – легко сжимаемые (воздух и др. газы). Характерным различием этих жидкостей является наличие у капельных и отсутствие у газов поверхности раздела между жидкостью и газообразной средой. Плотность – масса однородного вещества в единице объема. Удельный вес – физическая величина, характеризующая распределение силы тяжести по объему. Относительная плотность – безразмерная величина, представляет собой отношение плотности рассматриваемого вещества к плотности стандартного вещества в определенных физических условиях. В качестве стандартного вещества принимают: для твердых тел и капельных жидкостей – дистиллированную воду при t = 277 K (4) С и давлении 101325 Па, имеющую плотность ст. = 1000 кг/м3; Для газов – атмосферный воздух при стандартных условиях: t = 293 K (20С), давление 101325 Па и относительной влажности 50 %, имеющей плотность ст. = 1,2 кг/м3. Для измерения плотности капельной жидкости применяется прибор, ареометр. Сжимаемость – св-во жидкости изменять свою плотность при изменении давления и температуры. Плотность капельных жидкостей при температуре и давлении, отличных от начальных находится по формуле: 0 – плотность жидкости при начальных t и P. t;  - коэффициент температурного расширения и объемного сжатия. t; p – приращение температуры и давления. В отличие от капельных жидкостей плотность газов зависит от t и P. Рассмотрим ур-ние Клайперона – Менделеева p – абсолютное давление V – объем m – масса  - молярная масса R - универсальная газовая постоянная R = 8,314 Дж/ (мольК) T – абсолютная t  удельный объем  газовая постоянная  для воздуха; для метана  Из этих уравнений можно установить зависимость , 0 – плотности газа при новых давлениях P и температуре T и начальных параметрах P0; T0. Оценить сжимаемость жидкостей можно и другим образом. Так, в состоянии покоя характерным параметром сжимаемости жидкости является скорость распространения в ней звуковых колебаний (скорость звука) p – приращение давления.  - приращение плотности жидкости. Чем больше скорость звука, тем меньше сжимаемость данной жидкости и наоборот. Для оценки сжимаемости движущейся жидкости пользуются обычно не абсолютным значением скорости звука, а отношением скорости потока () к скорости звука () в данной жидкости, которое называется числом Max  , если число Max  M  1, то капельную жидкость (или газ) считают практически несжимаемой. При повышении t и снижении P, когда давление (P) станет меньше или равно давлению насыщенных паров этой жидкости, внутри жидкости образовываются пузырьки и даже целые плоскости, заполненные парами этой жидкости, растворенными в ней газами, которые нарушают сплошность капельной жидкости. Таким образом, законы, установленные для сплошных сред, в этих случаях неприменимы. При наличии в жидкости свободной поверхности эти пузырьки всплывают и выходят из нее, т.е. жидкость кипит. Если свободной поверхности нет, то эти пузырьки, перемещаясь в массе жидкости, попадают в область с более низкой t или более высоким давлением, почти мгновенно (за несколько миллисекунд) смыкаются. Т.к. пары конденсируются, а газы снова растворяются в жидкости и в образовавшейся пустоты с большими скоростями устремляются частицы жидкости, что приводит к резкому повышению давления в этих местах, а также к местному повышению t , это явление называется кавитацией. Кавитация в трубопроводах и гидравлических машинах является крайне вредной, т.к. многократное повышение давления сопровождается ударами частиц жидкости о стенки труб и проточных элементов гидромашин, что приводит к их эрозии. Капиллярность – способность капельной жидкости в трубах малого диаметра подниматься выше свободной поверхности в резервуаре, образуя вогнутый мениск (если жидкость смачивает стенки трубки), или опускаться ниже свободной поверхности, образуя выпуклый мениск (если жидкость не смачивает стенки трубки). Эта способность обусловлена поверхностным натяжением жидкости и молекулярными силами взаимодействия между жидкостью и стенками трубки. Высота поднятия или опускания жидкости ;   поверхностное натяжение   плотность жидкости d – диаметр трубки dU/dy = tg   - динамическая; - кинематическая Вязкость – св-во жидкости оказывать сопротивление движению частиц жидкости. При движении реальной жидкости вследствие ее вязкости между слоями жидкости, а также жидкостью и стенками русла возникают силы внутреннего трения и вызванные ими касательные напряжения, направленные в сторону, противоположную движению, что приводит к различию скоростей частиц в разных слоях потока и их деформации (сдвигу). Если представить поток состоящим из отдельных слоев бесконечно малой толщины dy. Скорости этих слоев будут изменяться по некоторому закону от нуля (у стенки) до максимума (в центре потока). Пусть скорости соседних слоев будут U и U+dU. В прямолинейном движении dU можно рассматривать как скорость деформации, а градиент , как условную скорость деформации. Согласно гипотезе Ньютона, сила внутреннего трения T, возникающая между двумя слоями движущейся прямолинейно жидкости. Прямо пропорциональна поверхности соприкасающихся слоев F, градиент скорости . Зависит от рода жидкости и температуры и не зависит от давления. (1)  - динамическая вязкость. Жидкости, в которых силы внутреннего трения не подчиняются ур-нию (1), называются аномальными или ньютоновскими. К ним относятся некоторые масла при отрицательных температурах, коллоиды, парафинистые нефтепродукты при низких t. Вода, воздух, спирт, ртуть, большинство масел применяемых в гидроприводах, относятся к обычным ньютоновским жидкостям. Разделив обе части ур-ния (1) на F, получим касательное напряжение (напряжение силы трения) , т.к.  и  - всегда положительны, то в ур-ниях (1 и 2) должен быть знак (+), если - положительно, а (-), если - отрицательно. Из ур-ния (2) следует, что динамическая вязкость численно равна касательному напряжению  при градиенте скорости , равном единице, т.е. имеет вполне определенный физический смысл и полностью характеризуют вязкость жидкости. Размерность При расчетах в гидравлике применяется кинематическая вязкость Для определения вязкости жидкости используют приборы – вискозиметры. Два сосуда пространство, между которыми заполнено водой для поддержания требуемой температуры. К сферическому дну внутреннего сосуда прикреплена трубочка с внутренним диаметром около 3 мм отверстие, которая закрыта клапаном. Во внутренний сосуд до определенного уровня наливается жидкость (испытуемая) и с помощью нагревательного устройства температура доводится до нужной (фиксируется термометром) после чего клапан открывается, и с помощью секундомера измеряют время истечения 200 см3 этой жидкости. Такой же опыт проводят с дистиллированной водой при t = 20 С. Отношение измеренного времени истечения испытуемой жидкости Tи.ж ко времени истечения дистиллированной воды Tд.в. – число градусов условной вязкости. Для перевода условной вязкости в единице СИ используется число Уббеладе. Вязкость зависит от рода жидкости, ее температуры и давления. С увеличением температуры вязкость капельных жидкостей уменьшается, а газообразных – увеличивается. При выполнении расчетов можно воспользоваться зависимостями: для воздуха для воды для масел при t = 30-150 t, 50 – кинематическая вязкость при соответствующей температуре. n – зависит от ВУ (условной вязкости) Вязкость минеральных масел в пределах давлений 0-50 МПа вычисляется: , где p и 0 =  кинематическая вязкость при давлении P и атмосферном kp – опытный коэффициент 0,03 P – давление при котором определяется вязкость, МПа. I. Закон Архимеда: На погруженное в жидкость тело, действует Архимедова сила, направленная вертикально вверх и равная силе тяжести жидкости в объеме погруженной части тела (250 г. до н.э.).   qVТ II. Леонардо да Винчи (1452-1519) В области плавления тел, движения жидкости по трубам и открытым руслам (создание плавательных аппаратов, РА). III. Стевина (1548-1620) – закон о давлении жидкости на дно и стенки сосуда: Различные по форме сосуды, имеющие одинаковую площадь доньев и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно независимо от формы сосуда. IV. Г.Галилей (1564-1642) В области равновесия и движения тел в жидкости. V. Торричелли (1608-1647) Истечение жидкости через отверстие. Истечение жидкости через отверстия разной формы и размеров будет различным при постоянном напоре, при переменном. VI. Паскаль (1623-1662) (Закон II) – о передаче давления жидкости. Внешнее давление на жидкость, заключенную в замкнутом сосуде, передается всем его частям без изменения (гидравлические прессы, подъемники, гидрадвигатели). VII. Ньютона (1642-1727) О внутреннем трении в жидкости (закон Ньютона) и сопротивлении тел при движении в жидкости. Лекция № 2 Силы, действующие на жидкость. Понятие об идеальной жидкости. Действующие в жидкости силы можно разделить на две группы: поверхностные и массовые. Поверхностными: называют силы, действующие на поверхности рассматриваемых объемов жидкости с соответствующим распределением по этим поверхностям. К ним относятся: силы давления, поверхностного натяжения, внутреннего трения (последние имеют место только при движении жидкости). Массовыми: называют силы, действующие на каждую частицу рассматриваемого объема жидкости и пропорциональные массе частиц. К ним относятся: силы тяжести, силы инерции. Проекция результирующих сил на координаты обозначаются (X; Y; Z). Для упрощения расчетов в ряде случаев прибегают к понятию идеальной жидкости, т.е. воображаемая жидкость, при которой отсутствуют силы внутреннего трения. Понятие об идеальной жидкости. При аналитических исследованиях часто пользуются понятием идеальная жидкость. Идеальная жидкость – воображаемая жидкость, которая характеризуется: 1. абсолютной несжимаемостью. 2. абсолютным несопротивлением разрыву. 3. абсолютной текучестью, т.е. полным отсутствием вязкости. 4. плотность не зависит от давления и температуры. Идеальная жидкость в отличие от реальной в природе нет. Гидростатика. Гидростатика – раздел гидравлики, изучающий законы равновесия жидкостей и их взаимодействия с твердыми телами. Поскольку жидкости обладают весьма малым сопротивлением разрыву, то покоящейся жидкости возможен лишь один вид напряжений – напряжения сжатия, т.е. гидростатическое давление. Гидростатическое давление и его свойства. Гидростатическое давление имеет следующие два свойства. I свойство. На внешней поверхности давление всегда направлено по нормам внутрь рассматриваемого объема жидкости. Под внешней поверхностью понимаем плоскость раздела жидких и газообразных сред, твердые стенки, а также поверхности элементарных объемов, мысленно выделяемых из общего объема жидкости. Выделим вокруг точки А, находящейся внутри покоящейся жидкости, элементарный объем жидкости V и рассечем его на две части произвольной плоскостью, проходящей через точку А. Отбросим одну из частей этого объема, а для того, чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии, заменим действие отброшенной части на площадку F распределенными по элементарной поверхности силами. Предположим, что равнодействующая этих элементарных сил R, действующие в данном направлении. Разложим R на составляющие  - лежащую в плоскости сечения,  - нормальную к этой плоскости. В покоящейся жидкости  = 0, иначе она вызвала бы сдвиг частиц вдоль плоскости раздела.  направлена по внутренней нормами к плоскости раздела, она сжимает жидкость, но на встречу ей противодействует сила , благодаря чему жидкость остается в покое. Значение среднего напряжения сжатия или среднего давления жидкости на элементарную площадку F будет равно . Уменьшая площадку F вокруг точки A так, чтобы ее величина стремилась к 0, получим давление в точке покоящейся жидкости или гидростатическое давление. Т.о. элементарная сила давления, действующая на бесконечно малую площадку, dF будет равна dP = pdF. Размерность н/м2, (Па) I свойство. Давление в точке покоящейся жидкости всегда нормально к поверхности (площадке), воспринимающей это давление. Это св-во не требует доказательства, т.к. нон очевидно из сказанного выше о силе . II свойство. Давление в точке покоящейся жидкости во всех направлениях одинаково по величине, т.е. является скаляром. Для доказательства этого свойства возьмем в жидкости, находящейся в равновесии, т.A и выделим вокруг нее бесконечно малый объем жидкости dV в виде треугольной призмы с ребрами dx, dz, dy, dn, причем угол наклона  ребра dn к ребру dz взят произвольным. Отбросим мысленно всю окружающую призму жидкость, а для сохранения равновесия приложим к каждой грани соответствующие элементарные силы гидростатического давления , которые действуют нормально к граням и направлены внутрь рассматриваемого объема. Кроме этих поверхностных сил на жидкость, которая находятся внутри призмы, действуют массовые силы, результирующая которых приложена в центре тяжести объема и равна , где j – результирующее ускорение массовых сил, проекции которого на координатные оси составляем Спроектируем действующие силы на координатные оси ОХ поскольку , то после сокращения на dydz получим x = n аналогично получим: y = n; z = n Поскольку x, z порознь равны n, то они равны и между собой, а так как угол  был выбран произвольно, то во всех остальных направлениях значение гидростатического давления будет одинаково. Px = Py = Pz = Pn = P Дифференциальное уравнение равновесия жидкости (Эйлера) Для выяснения закона распределения гидростатического давления в покоящейся жидкости рассмотрим общий случай равновесия жидкости в относительном покое. Выделим вокруг т.A, находящейся внутри покоящейся жидкости элементарный объем в виде параллелепипеда с ребрами dx; dy; dz, параллельными осями координат (x, y, z). Отбросим мысленно жидкость, заменив ее действие на грани соответствующими силами гидростатического давления. Пусть давление в т.A будет равно p, тогда давление на грани dy dz будет: на левую ; на правую где - приращение давления вдоль оси ОХ на расстоянии dx/2. dy dz – элементарные силы давления на грани будут соответственно равны: Аналогичным образом можно найти элементарные силы, действующие на остальные четыре грани (мы рассмотрим только давление, действующее вдоль оси ОХ). Кроме поверхностных сил на выделенный объем действуют также массовые силы, результирующая которых в общем случае будет: Спроектируем все действующие на элементарный объем силы на ось ОХ и приравняем сумму этих проекций к нулю. После приведения подобия и сокращения, оставшихся слагаемых на dx dy dz получим: Спроектировав остальные силы на оси Oy, Oz и сделав аналогичные преобразования, получим: ; ; (1) Из которых видно, что приращение гидростатического давления в направлении координатной оси возможно только при наличии ускорения в этом направлении и происходит за счет массовых сил. Это ур-ние представляет собой общие условия равновесия жидкости в дифференциальной форме, выведенной в 1755 году Эйлером. Для приведения уравнений Эйлера к виду, удобному для интегрирования, умножим каждое из уравнений (1) соответственно на dx, dy, dz и сложим почленно: В этом ур-нии левая часть представляет собой полный дифференциал давления dp, поэтому (2) Полученное ур-ние выражает функциональную зависимость давления от рода жидкости и координат точки в пространстве и позволяет определить значение давления в любой точке жидкости, находящейся в равновесии. Это уравнение справедливо: для капельных жидкостей, для газов. Поверхности равного давления Из ур-ния(2) можно получить ур-ние поверхности равного давления. Поверхность равного давления – пов-сть, давление во всех точках которой одинаково. (p = const) Уравнение такой пов-сти: dp =  (xdx + ydy + zdz) Предложение: при p = const; dp = 0, т.к.   0 Тогда  (xdx + ydy + zdz) = 0 Следовательно, xdx + ydy + zdz = 0 (2) Таким образом: все частицы жидкости, расположенные на пов-сти равного давления, обладают одинаковой удельной потенциальной энергией, соответствующей массовым силам. Одной из пов-стей равного давления является свободная пов-сть жидкости, т.е. поверхность жидкости, граничащая с газовой средой, т.к. во всех ее точках давление равно внешнему давлению p0. Уравнение пов-сти равного давлений можно рассматривать как ур-ние работы массовых сил при элементарном перемещении по поверхности равного давления. Из равенства нулю этой работы следует: Ускорение массовых сил, действующих на жидкость, находящегося в относительном покое, в любой точке жидкости направлено по нормам к пов-сти равного давления, проходящей через эту точку. Массовые силы, действующие на единицу массы жидкости (т.е. точку) равны: M = m  a (разделим на m), получим M = a – равнодействующая массовых сил равна и пропорциональна ускорению массовых сил.  Жидкость находится в равновесии в резервуаре в поле действия только силы тяжести. В этом случае проекции результирующей единичных массовых будут: x = 0; y = 0; z = q = 0 Подставляя это значение в ур-ние (2) получим: qdz = 0, после интегрирования получим: qz = const Это ур-ние горизонтальной плоскости. Следовательно, в покоящейся однородной жидкости (p = const) любая горизонтальная плоскость является плоскостью равного давления. Лекция № 3 Относительный покой жидкости. Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то не частицы жидкости кроме собственного веса действует еще силы инерции. Под действием этих сил жидкость занимает новое положение равновесия. Этот случай равновесия наз. относительным покоем. Свойства: 1. При относительном покое свободная пов-сть жидкости может существенно отличаться от пов-сти жидкости в неподвижном сосуде. 2. При относительном покое частицы жидкости не перемещаются относительно друг друга и стенок сосуда. Рассмотрим несколько примеров и установим, какой вид будет иметь пов-сть равного давления. При определении положений свободной поверхности и поверхностей равного давления следует руководствоваться следующим основным свойством поверхности: а) равнодействующая массовых сил всегда действует нормально к поверхности уровня.  Пример 1. Жидкость находится в покое в резервуаре, движущемся горизонтально с некоторым ускорением а. В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорения a и q, следовательно, проекции результирующей единичных Маловых сил будут: X = jx = a; Y = jy = 0; Z = jz = q Подставим значения в ур-ние Эйлера: Xdx + Ydy + Zdz = 0 Получим: adx + 0 – qdz = 0 Проинтегрируем: Jadx + Jqdz = 0 ax + qz = const (c), Ax + qz = const Откуда Это ур-ние наклонной плоскости. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой плоскости, наклонные к осям Ox и Oz параллельные оси Oy. Угол наклона плоскости к горизонту может быть найден из выражения: , т.к. Равномерное вращение сосуда с жидкостью.  Пример 2. Жидкость находится в равновесии в цилиндрическом резервуаре, вращаемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . В этом случае любая частица жидкости находится под действием ускорения, а силы тяжести q и центробежной силы инерции 2r, следовательно, проекции результирующей единичных массовых сил будут: X = jx = 2x; Y = jy = 2y; Z = jz = q Подставим эти значения в ур-ние: Xdx + Ydy + Zdz = 0 Получим: 2xdx + 2ydy  qdz = 0 Проинтегрируем: или , т.к. x2 + y2 = z2 (из треугольника) Теорема Пифагора Тогда: Это ур-ние параболоида вращения. Следовательно, в данном случае поверхности равного давления представляют собой семейство параболоидов вращения вокруг вертикальной оси. При сечении их вертикальной плоскостью получится семейство парабол с вершинами на оси Oz, а при сечении горизонтальной плоскостью – семейство концентрических окружностей с центром на оси Oz. В этих примерах рассмотрены случаи так называемого относительного покоя жидкости, когда она находится в резервуарах, движущихся тем или иным образом с постоянным ускорением, но частицы жидкости не перемещаются друг относительно друга и относительно стенок резервуара. Основное уравнение гидростатики. Основное ур-ние гидростатики позволяет находить величину гидростатического давления в любой точке жидкости в том случае, когда на нее действует только одна массовая сила – сила тяжести. Рассмотрим жидкость, заключенную в неподвижном сосуде и находящуюся в поле действия силы тяжести. Оси координат расположим т.о., чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх, т.е. линии действия силы тяжести. Внутри рассматриваемого объема жидкости выделим т. А, находящуюся на расстоянии Z от горизонтальной плоскости xoy или на глубине h от свободной пов-сти жидкости. Проекции единичных массовых сил на координатные оси в данном случае будут: x = 0; y = 0; z = -q. Подставим эти значения в ур-ние равновесия жидкости, получим: dp =  (xdx + ydy + zdz) dp =  (0 + 0  zdz) интегрируем: p =  qz + c (c – постоянное интегрирование) Для определения постоянной интегрирования задаемся начальными условиями: т. А лежит на свободной пов-сти жидкости, т.е. при z = z0 (или h = 0). Давление P = P0, следовательно, P0 = qz0 + C, откуда C = P0 + qz0 Подставим найденное значение C в полученное выражение после интегрирования: C = P0 + qz0 P = qz + P0 + qz; P = P0 + q (z0 – z) или (z0 – z) = h (чертеж) Основное ур-ние гидростатики выражает зависимость давления в данной точке покоящейся жидкости от рода жидкости и расстояния точки от свободной пов-сти. В этом ур-нии величина P – абсолютное давление в данной точке жидкости; P0 – абсолютное давление окружающей среды (внешнее давление на свободную пов-сть жидкости), qh = P  P0 – избыточное давление (давление столба жидкости) в данной точке. Виды гидростатического давления. В открытых сосудах, водоемах абсолютным давлением окружающей среды являются атмосферное давление Pa. Для этих случаев основное ур-ние гидростатики имеет вид: (1) Если абсолютное давление в данной точке жидкости больше атмосферного, т.е. (P  Pa), то последний член ур-ния определяет манометрическое давление. PH = qh = P  Pa (2) Манометрическое давление представляет собой избыточное давление в данной точке над атмосферным. Из ур-ния (2) можно определить пределы изменения манометрического давления: при P = Pa PМ = 0 p   PМ   т.е. значение манометрического давления может измениться от 0 до . Если абсолютное давление в данной точке жидкости меньше атмосферного (P  Pa), то последний член ур-ния (1) определяет вакуум, или разряжение Pb = qh = P  Pa (3) Вакуум – недостаток давления в данной точке до атмосферного. Пределы изменения вакуума могут быть установлены из ур-ния (3) При P  0; Pb  Pa P = Pa; Pb = 0 Значение вакуума меняется от 0 до Pa Графическое изображение Представим плоскость, во всех точках которой абсолютное давление P = 0.След этой пл-сти изображен на рисунке горизонтальной линией 00. AA – след плоскости, абсолютное давление во всех точках которой равно атмосферному P = Pa. Т.о. линия 00 является базой для отсчета абсолютного давления, а линия AA – базой для отсчета манометрического давления и вакуума. Расстояние от т. C до линии 00 – абсолютное давление в этой точке Pc , а расстояние от т. C до линии AA – манометрическое давление в этой же точке PMC. Аналогично для т. D до 00 – абсолютное давление PD; до AA – вакуумное PвД. Для изменения давлений применяются приборы: 1) Абсолютное – барометры 2) Манометрическое – манометры 3) Вакуумметрическое – вакуумметры. Единицы измерения давлений В технических расчетах давление жидкости может быть выражено: 1) Отношением единицы силы к единице площади н/м2; кгс/м2 2) Высотой столба жидкости мм вод. ст.; мм.рт.ст.; м. вод. ст. 3) Технические единицы 1 тех. атмосфера: 1 ат = 1 кг/см2 = 10,004 м. вод. ст. = 735,6 мм.рт.ст. 1 физическая атмосфера: 1 атм = 760 мм.рт.ст. 1 бар = 105 н/м2 В системе CU: 1 н/м2 = 10,2  10-6ат = 102  10-6м. вод. ст. = 10-5 бар = 7,5  10-3мм.рт.ст. ата – абсолютное давление ати – избыточное (манометрическое) давление. Эпюры давлений. Эпюра давления – графическое изображение распределения давления вдоль какого-либо контура или поверхности. При построении эпюр руководствуются основным ур-нием гидростатики P = P0 + qh. Проанализируем изменение давления жидкости вдоль контуров вертикальной и наклонной стенок сосуда, заполненного на высоту H жидкостью с плотностью . Выделим в жидкости около стенок ряд точек на разных глубинах A, A; B, B и подсчитаем в них давление. В соответствии с уравнением P = P0 + qh в точках A и A. Абсолютное давление будет равно (P0) в т. B и B абсолютное давление будет – P0 + qH, а в остальных точках, расположенных между ними, будут иметь промежуточное давление между P0 и P0 + qH значение. Отложим в масштабе  к поверхности значения давлений в выбранных точках и соединим концы этих отрезков линиями. Полученные фигуры представляют собой эпюры давлений на боковые стенки сосуда: Трапеции ABCD и ABCD - эпюры абсолютного давления.  ABED и ABED - эпюры внешнего давления.  ECD и ECD - эпюры избыточного давления. Если P0 = Pa – внешнее давление при расчетах обычно не учитывают, т.к. оно с одинаковой силой воспринимается обеими сторонами стенки, и расчет ведут по избыточному давлению, т.е. давлению самой жидкости. Это эпюры избыточного давления жидкости на боковые стенки и дно сосуда. Закон Паскаля. Поместим на свободную поверхность жидкости, находящейся в равновесии в резервуаре поршень и приложим к нему силу P0, в результате чего со стороны поршня на жидкость возникает давление P0. В соответствии с основным ур-нием гидростатики: P = P0 + qh (внешнее + гидростатическое). Абсолютное давление в произвольно выбранных точках жидкости A, B, C будут равны: PA = P0 + qhА; PB = P0 + qhB; PC = P0 + qhC Из анализа полученных уравнений видно, что абсолютное давление в точках жидкости, находящихся на разной глубине, будут различные, днока внешнее давление на жидкость, заключенную в замкнутом сосуде, передается всем частицам ее без изменения. В этом суть закона Паскаля. Внешнее давление, производимое на жидкость, заключенную в замкнутый объем, передается жидкостью во все точки без изменения, т.е. Pp  const. Этот закон используется в основе гидравлических машин (прессы, домкраты, стойки, насосы и т.д.). Сила давления жидкости на плоскую стенку. Чтобы определить силу давления на плоскую стенку, возьмем наклонную стенку и выделим на плоской боковой стенке сосуда, наклонной в общем случае к горизонту под углом , произвольную фигуру площадью F. Определим действующую на нее со стороны жидкости силу давления P. Для наглядности совместим рассматриваемую стенку с плоскостью чертежа (т.е. повернем ее на угол 90  вокруг оси y). Так как давление жидкости в различных по высоте точках площади F разное, то выделим на этой площади элементарную площадку, находящуюся на расстоянии h от свободной пов-сти жидкости или от оси x; h = y Sin . Для такой бесконечно малой площадки давление во всех ее точках одинаково и равно: P = qh = q y Sin  Следовательно, сила давления жидкости на элементарную площадку будет: dp = pdF = q y Sin dF Сила давления на всю рассматриваемую площадь F: выражение - Sx статический момент рассматриваемой площади относительно оси x, который равен произведению площади этой фигуры F на расстояние от ее центра тяжести до оси x, т.е. yc  F. Т.о. P = q Sin   yc  F или заменяя yc Sin  = hc Получим: (1) Из уравнения (1) видно, что сила давления жидкости на плоскую стенку P равна произведению смоченной жидкостью площади стенки F на гидростатическое давление в ее центре тяжести: 2) Если на свободную поверхность жидкости действует давление, отличное от атмосферного, то силу давления на стенку найти по формулам: P = (q hc + PM)  F = (Pс + PM) F P = (q hc  Pb)  F = (PсPb) F, где PM и Pb – манометрическое давление и вакуум на свободной поверхности. В ряде случаев, кроме значения силы давления жидкости на стенку, необходимо знать координаты точки ее приложения – центра давления. Предположим, что сила давления P приложена в т.D, находящейся на расстоянии yD от оси x. В соответствии с теоремой Вариньона о моменте равнодействующей (момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси). или Заменив в последнем выражении P и dP их значениями, получим: dP = Pd F Вынесем постоянные за знак интеграла и сократим их с аналогичными величинами в левой части ур-ния: Выражение представляет собой момент инерции площади фигуры относительно оси x – Yx, который может быть выражен через момент инерции Yс относительно центральной оси,  оси x, следующим образом Тогда: Откуда: (2) Из ур-ния (2) видно, что центр давления для плоской стенки находится всегда ниже ее центра тяжести, т.к.  0. Горизонтальная координата центра давления xD находится на оси симметрии площади фигуры. В частом случае, когда  = 0, т.е. для горизонтального дна сосуда, расположение от свободной пов-сти до центра тяжести площади hc будет равно высоте жидкости в сосуде H, поэтому сила давления жидкости на дно сосуда: P = q H F Из этого выражения видно, что различные по форме сосуда, имеющие одинаковые площади доньев и затопленные одинаковой жидкостью на одну и туже высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости (гидростатический парадокс). 1 = 2 = 3 Из ур-ния P = qh F при h = const, видно, что P1 = P2 = P3, независимо от формы сосуда и количества находящейся в них жидкостей. Лекция № 4 Сила давления жидкости на криволинейную стенку. При криволинейной стенке определить значение, направление и точку приложения силы давления жидкости сложно. Т.к. в данном случае силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления. Чтобы избежать интегрирования по криволинейной пов-сти приходится определить составляющие силы давления по заданным направлениям. Для упрощения приходится определить составляющие силы давления по заданным направлениям. - результат. Определим силу давления жидкости P на криволинейную стенку цилиндрической формы, след которой изображен линией MN. Выделим на стенке элементарную площадку dF (ее след mn), находящуюся на расстоянии z от свободной поверхности. Сила давления жидкости на элементарную площадку: dp = pdF = qz d F Разложим dp на две взаимно  составляющие: горизонтальную dPx = dP Cos  = qz dF Cos . и вертикальную dPz = dP Sin  = qz dF Sin . И просуммируем отдельно, все горизонтальные и все вертикальные составляющие. Ввиду малости элементарной площадки примем ее за плоскую и спроектируем на горизонтальную и вертикальную плоскости. Проекции dF будут: dFx = dF Sin  и dFz = dF Cos . Найдем горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку Px, которая представляет сумму всех элементарных горизонтально составляющих dPx, т.к. dPx = dP Cos  = qz dF Cos  = qz dFz, то , где - статический момент площади вертикальной проекции криволинейной стенки относительно оси x, проходящей по свободной поверхности жидкости; Fz – площадь вертикальной проекции соченной жидкостью криволинейной стенки; hc  расстояние центра тяжести Fz от свободной поверхности жидкости. Тогда Px = qhc Fz Т.о. горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию Px = qhc Fz. Найдем вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку Pz, которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляющих dPz. Т.к. dPz = dP Sin  = qz dF Sin  = qz dFx = q dV, где dV = z  dFx – элементарный объем жидкости, основанием которого является площадка dFx, а высотой – расстояние от этой площадки до свободной пов-сти жидкости z, то, проинтегрировав dPx по всему объему V, получим: Т.о., вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V, называемом телом давления. Результирующая сила давления жидкости на криволинейную стенку цилиндрической формы P равна геометрической сумме составляющих: и направлена под  к горизонту: Тело давления Для нахождения тела давления можно воспользоваться следующим определением: Тело давления – это объем, ограниченный рассматриваемой криволинейной стенкой смоченной жидкостью, вертикальной цилиндрической поверхностью, проведенной через контур этой стенки и горизонтальной плоскостью, поведенной по свободной пов-сти жидкости. Реальные Тело давления Фиктивные 1. реальные – объем, прилегающий к стенке, затоплен жидкостью, составляющая Pz – направлена вниз. 2. Фиктивные – объем, прилегающий к стенке, не заполнен жидкостью; Pz – направлена вверх. Закон Архимеда Рассмотрим погруженное в покоящуюся жидкость твердое тело произвольной формы Pz = qV, объем которого V. В соответствии с уравнением: результирующая сила давления (1) на пов-сть этого тела со стороны жидкости действует сила P. Если рассечь тело вертикальными плоскостями xoz и yoz, таким образом, чтобы площади сечений получились max, то нетрудно показать, что горизонтальные составляющие Px и Py равны 0, т.к. на каждую из частей будут действовать равные и противоположно направленные силы: и , Откуда и Откуда Вертикальная составляющая силы давления жидкости на тело: где V  объем A B C D E A V  объем A F C D E A V = V  V  результирующий объем тела давления. Он равен объему погруженному в жидкость тела (ABCFA) и являющийся фиктивным. Подставляя в ур-ние (1) значение сил давления Px, Py, Pz получим: На погруженное в жидкость тело действует архимедова сила, направленная вертикально вверх и равная силе тяжести жидкости в объеме погруженной части тела (закон Архимеда), открыт в 250 г до н.э. P – архимедова сила; V – объемное водоизмещение (объем вытесненной телом жидкости); V – водоизмещение (масса вытесненной телом жидкости). Тело, погруженное в покоящуюся жидкость, находятся под действием двух сил: силы тяжести G = T  q  V, приложенной в центре тяжести тела, и архимедовой силы PA = ж  q  V, водоизмещения. В этих формулах: T – плотность тела, ж – плотность жидкости. При погружении тела в жидкость может быть три характерных случая: 1. G  P, т.е. сила тяжести тела больше архимедовой силы; в этом случае их результирующая R = G – P будет направлена вниз, следовательно, тело тонет. 2. G = P, т.е. сила тяжести тела равна архимедовой силе; в этом случае их результирующая R = G – P = 0, следовательно, тело будет находиться в жидкости в состоянии безразличного равновесия (подводное плавание). 3. G  P, т.е. сила тяжести тела меньше архимедовой силы; в этом случае их результирующая R = G – P будет направлена вверх, следовательно, тело всплывает. В последнем случае при выходе части тела из жидкости архимедова сила уменьшается и в определенный момент наступит равновесие G = P, где P = ж  q  V (надводное плавание). Объем погруженной части плавающего на поверхности жидкости тела может быть найден по формуле: G = T  q  V, Для равновесия тела при подводном или надводном плавании помимо равенства сил (G = P или G = P) необходимо еще равенство нулю суммарного момента. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной плоскости с центром водоизмещения. Закон Архимеда широко используется при расчете и проектировании судов и других плавающих средств. Лекция № 5 Основы кинематики жидкости. Кинематика жидкости, является частью гидравлики, описывает движение жидкости не зависимо от того, какие динамические условия вызывают или поддерживают данное движение. Способы описания движения Движущаяся жидкость представляет сплошную среду совокупности частиц, которые перемещаются с различными параметрами, изменяющиеся в зависимости от координат и времени. Частица сплошной среды – (элементарный объем), который можно считать точечным. В кинематике жидкость возможны 2 способа описания движения – Лагранжа и Эйлера. По способу Лагранжа: движение и жидкости задается путем указания зависимости координат определенной (намеченной) частицы жидкости от времени. На рисунке показана траектория движения частицы A в неподвижной системе координат, где за определенное время координаты частицы изменились с x0, z0 на x1, z1 за время t1; x2, z2 за время t2 и т.д. Таким образом, при описании движения частицы переменными являются скорость, ускорение и координаты частиц. Способ Лагранжа применяется при описании переноса жидкостью мелких частиц твердых (ила). По способу Эйлера: заключается в том, что движение определяются полем скоростей жидкости в пространстве в каждый момент времени, т.е. описывается движение различных частиц, проходящих через намеченные точки пространства, заполненного жидкостью. При этом переменным являются: Скорость частиц, а координаты точки пространства, через которые проходят частицы, остаются постоянными (известными). На рис. показаны зафиксированные точки 1, 2, 3 в пространстве, через которые в разное время t1, t2 проходят частицы со скоростью U1 (t1), U1 (t2); U2 (t1), U2 (t2); U3 (t1), U3 (t2). При решении инженерных задач необходимо знать, с какими скоростями различные частицы жидкости проходят через определенные элементы конструкций или инженерных сооружений или подходят к ним. Виды движения Существует два вида движения: установившееся и неустановившиеся. 1) Если основные параметры движения жидкости зависят от времени, то движение будет неустановившееся. 2) Если параметры движения жидкости не зависят от времени, то движение наз. установившемся. Пример неустановившегося: Движение – истечение жидкости из резервуара при переменном ее уровне (опоражнивание резервуара). Примером неустановившегося движения является истечение жидкости из резервуара при постоянном уровне – приток равен расходу. Установившиеся движение – основной вид движения для гидравлических расчетов, поэтому в данном курсе будут изучаться закономерности изменения параметров при этом движении жидкости. В зависимости от хар-ра изменения скорости по длине потока движение может быть: 1. Равномерное  = const 2. Неравномерное – скорость изменяется по величине и направлению 4. Плавно изменяющиеся – изменение скорости происходит плавно. Элементы и струйная модель потока. В общем случае движение элементарного объема жидкости – сума поступательного, вращательного и деформационного движения. Деформационное обусловлено изменением формы объема жидкости. В гидравлике в основном рассматривают два вида движения: поступательное и вращательное (вихревое). Вихревое движение. Движению частиц часто сопутствуют вихревое движение (оно вызвано вращением элементарного объема). Угловая скорость вращения  элементарного объема жидкости наз. вихрем, а линия, касательная к векторам вихря – вихревой линией. Пов-сть, образованная вихревыми линиями наз. вихревой трубкой. Жидкость, заключенная внутри вихревой трубки – вихревая нить – шнур. В поступательном движении существуют понятия: Линия тока – линия в каждой точке, которой в данный момент времени вектор скорости жидкости совпадает с касательной к этой линии. В установившемся движении линии тока является траекторией частицы жидкости. Трубка тока – поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данный момент времени через все точки бесконечно малого замкнутого контура. Элементарная струйка – часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока бесконечно малого сечения. Свойство элементарной струйки. 1. Частицы жидкости не выходят и не входят в нее через боковую поверхность; это объясняется тем, что боковая поверхность струйки образована линиями тока, а, следовательно, в любой точке векторы скоростей направлены по касательным. 2. Скорость частиц во всех точках одного и того же поперечного сечения струйки одинакова, что объясняется малостью поперечного сечения. 3. При установившемся движении форма струйки остается неизменной во времени. Виды потоков. Гидравлические элементы потоков. Поток жидкости – совокупность элементарных струек. Такое представление о потоке является струйной моделью потока. Различают следующие виды потоков: Напорные – наз. поток, ограниченный со всех сторон твердыми стенками. Примером такого потока является движущаяся вода в водопроводе, шахтный водоотлив, масло в маслопроводе, воздух в выработках шахты и т.д. Безнапорный – поток, ограниченный твердыми стенками не со всех сторон и имеющий по всей длине свободную пов-сть. Примером является вода в реке, водоотливная канавка шахты. Струя – поток жидкости, ограниченный поверхностью разрыва скоростей ABCD. Примером служит струя воды из пожарного брандспойта или гидромонитора. Живое сечение    поверхность поперечного сечения потока, которая в каждой точке перпендикулярна вектору скорости. При равномерном движении – живое сечение плоское. Размерность – м2. Периметр смачивания – длина контура живого сечения по твердым стенкам русла. x = D (м) x = ABCD (м) Гидравлический радиус – отношение площади живого сечения к смоченному периметру. (м) Расход жидкости. Средняя скорость Расход – количество жидкости, проходящее через данное живое сечение в единицу времени. Массовый Qm (кг/сек) QM =    Расход Объемный Q (м3/сек) Рассмотрим элементарную струйку жидкости с сечением d и скоростью в этом сечении u. За время dt через это сечение пройдет элементарный объем dV на расстоянии dS. dV = dS  d : dt получим ; или dQ = Ud Для полного потока жидкости: Для большинства потоков это очень сложная закономерность, поэтому Q (или Qm) подсчитывают по ур-нию расхода. Q =   ; QM =      где   средняя скорость потока. Отсюда: Средняя скорость частное от деления расхода на живое сечение – м/с; Уравнение неразрывности потока. Ур-ние неразрывности (сплошности) является математическим выражение закона сохранения массы в гидромеханике. В движущейся жидкости выделим параллелепипед объема dV с бесконечно малыми ребрами dx, dy, dz. За время dt в него входит масса m1 и выходит m2, приращение массы в направлении оси OX. mx = mx1 – mx2 где mx1 = x  Ux dy dz dt mx2 = x  Ux dy dz dt + dx dy dz dt по аналогии приращение массы в параллелепипеде (1) Изменение массы в объеме dV за время dt может быть только за счет изменения плотности, следовательно (2) Приравняв выражения (1 и 2) получим: после преобразования и сокращение получим уравнение неразрывности в форме Эйлера: Для установившегося движения , тогда уравнение примет вид: Если жидкость несжимаемая, то  = const и ур-ние неразрывности будет Уравнение неразрывности для потока. Выделим в потоке объем жидкости ab dc весьма малой длины, при которой можно считать живые сечения входа ac и выхода bd одинаковыми и равными . т.к. средняя скорость   оси x, то x = ; y = 0; z = 0 используя уравнение неразрывности, для установившегося движения получим: Следовательно,  = const, а поскольку живое сечение  = const, то и произведение этих величин  = const и основное условие неразрывности (постоянства массового расхода) примет вид Qm =    = const Если жидкость несжимаемая ( = const), то по ур-нию ,  = const, а, следовательно, условие неразрывности выразится формулой: Q =   = const Если живое изменение потока изменяется рис. (б), то при  = const Q = 11 = 22 = 33 Из этого соотношения ясно, что скорости изменяются обратно пропорционально живым сечениям. Если плотность изменяется по длине, то Q = 111 = 222 = 333 Последнее справедливо для газов, если скорость меньше скорости звука, и для капельной жидкости при отсутствии кавитации. Лекция № 6 Основы гидродинамики Гидродинамика – наука о движении жидкости под действием внешних сил и о механическом взаимодействии между жидкостью и соприкасающимся с ней телами при относительном движении. Дифференциальное уравнение движения и баланса энергии для невязкой жидкости. В невязкой жидкости отсутствуют силы внутреннего трения, поэтому не наблюдается рассеивание энергии при движении. При движении в жидкости действуют поверхностные силы, и массовые силы инерции. По принципу Даламбера для единицы массы жидкости ур-ние движения имеет вид: 1. проекция массовых сил 2. поверхностные 3. с обратным знаком проекции сил инерции т.к. j = Pu/m – проекция сил инерции, отнесенная к массе. Зная, что При установившемся движении: Подставив значение jx; jy; jz получим уравнение движения Эйлера: (1) Мерой движения жидкости являются энергия, которая измеряется работой. Эту работу совершает жидкость при торможении (кинетическая энергия) и работа, совершаемая массовыми и поверхностными силами (потенциальная энергия) при переходе от рассматриваемого положения в пространстве к нулевому (для последнего потенциальная энергия условно считается равной 0). Для получения ур-ния энергии необходимо найти работу, которую совершат силы при перемещении массы на отрезок по линии тока. Умножив члены ур-ния (1) на массу m и проекцию на ось x, получим дифференциальное ур-ние энергии в проекциях на ось x. (2) Выразим в последнем слагаемом (2) проекцию перемещения dx через скорость и время dx = Uxdt и сделаем преобразования (в скобках) тогда: Аналогично для других осей: Сложив почленно эти ур-ния, получим выражение для полной энергии. Выражение в скобках являются полными дифференциалами то окончательное уравнение будет иметь вид: (3) можно записать в таком виде: размерность энергии Дж = Нм В ур-ние (3) входит величина перемещающейся массы (m), которая может быть различной. Удельная энергия – энергия относится к единице массы. Для получения такой энергии разделим ур-ние (3) на m. (4) Размерность уд.энергии Исследуя движение газов, при котором  = const, пользуются энергией, отнесенной к единице объема. Ур-ние (3) делим на объем - плотность, тогда ур-ние примет вид. (5) Это выражение называется давлением, измеряется P - Па В гидравлике наиболее широко при движении капельной жидкости, пользуются энергией, отнесенной к единице силы тяжести, для этого ур-ние (3) разделим на mg, тогда (6) Эта величина называется напором Напор выражается высотой в метрах столбах движущейся жидкости. Ур-ние Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости. Рассмотрим элементарную струйку жидкости при установившемся режиме, происходящем в поле потенциальных сил (тяжести, давления), можно проинтегрировать ур-ния В прямоугольной системе координат ориентируем плоскость xoy горизонтально  к ускорению силы тяжести q. В этих условиях проекции единичных массовых сил будут: X = 0; Y = 0; Z =  q Подставим эти значения в ур-ние (4,5,6) и, учитывая, что во всех точках живого сечения элементарной струйки частицы двигаются с одинаковой скоростью (U) получим: (7) Проинтегрировать это выражение, получим: (8) - удельная энергия (ед. массы) (9) - давление (ед. массы) (10) - напор (ед. силы тяжести) Эти ур-ние – математическое выражение закона сохранения энергии вдоль элементарной струйки. Энергетический и гидравлический смысл ур-ния Бернулли. Члены ур-ния Бернулли выражают запас энергии, которой обладает единица массы (8), объема (9), силы тяжести (10) относительно произвольно принятой горизонтальной плоскости xoy. Плоскость, относительно которой составляется ур-ние Бернулли, называют плоскостью сравнения. Сумма членов ур-ния Бернулли дает полный запас энергии, которым обладает: Единица массы Объема PП Силы тяжести H относительно принятой плоскости сравнения. Члены - выражают кинетическую энергию. Суммы членов: - потенциальную энергию, где qz; qz; z – потенциальная энергия давления, единицы массы, объема силы тяжести. Размерность всех членов Наиболее удобно этим видом ур-ния пользоваться при исследовании движения газов с переменной плоскостью, например, в рудничных пневмосетях, компрессорах, пневмоприводах. Если при движении газа давление изменяется незначительно и t - const, то в этом случае  = const, то ур-ние имеет вид: По этой формуле рассчитывают движение воздуха в шахтных вентиляционных установках, вентиляторах. При движении капельной жидкости (воды, нефти), плотность которой постоянная  = const используют формулу: (11) Это ур-ние используют при расчете водопроводов, водоотливных труб, насосов. Если взять три сечения вдоль элементарной струйки невязкой жидкости, то ур-ние (11) можно записать в виде: (12)  скоростной напор, определяющий кинетическую энергию.  статистический напор, определяющий потенциальную энергию. Вводя эти понятия ур-ние (12) можно записать в таком виде: Статический напор – сумма геометрического и пьезометрического напоров. Геометрический напор – Нг = z – вертикальное расстояние от центра тяжести живого сечения до плоскости отсчета. Пьезометрический напор – измеряется пьезометрической трубкой – пьезометром, ее начальное сечение расположено  к вектору скорости. Он определяется: Высота подъема жидкости в трубке Пито соответствует сумме пьезометрического и скоростного напоров в точке измерения , зная, что находим скорость: Скоростной напор измеряют, как разность уровней в трубке Пито, начальный участок которой направлен против вектора скорости и в пьезометре. Рассмотренные трубки широко применяются для определения скорости капельных жидкостей и газов. В первом случае для жидкости – гидрометрические трубки, для газов – пневмометрические. Линия, соединяющая уровни жидкости в скоростных трубках наз. линией полного напора. Уровни в пьезометрических трубках – линией статического или пьезометрического напора. Линия полного напора имеет вид прямой  плоскости сравнения, т.к. величина полного напора Н – постоянна (скоростные и статические напоры разные, но сумма их const см. рис.). Уравнение Бернулли для газов При движении газа с переменной плотностью при выводе ур-ния Бернулли учитывается соответствующий термодинамический процесс. Рассмотрим 2 процесса: адиабатный и изотермический. При адиабатном процессе, характеризующимся постоянным кол-вом тепла в 1кг газа, справедливо выражение (13) где k = Ср/С  показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении Ср к теплоемкости газа при постоянном объеме С (для воздуха k = 1,4). Подставляя в выражение интеграла значение (13) получим: Зная, что , окончательно имеем и ур-ние Бернулли примет вид Так как (где R – газовая постоянная, T – абсолютная температура), последнее уравнение будет: (14) Уравнение (14) можно представить в виде: Следовательно, при значительных перепадах по длине струйки давления и температуры, полная удельная энергия определяется суммой кинетической, потенциальной и тепловой энергии. При движении газов по трубопроводу изменение скоростей незначительно, поэтому с учетом теплообмена между газом и внешней средой можно считать, что по длине потока температура остается const, т.е. процесс – изотермический. При расчете газопроводов и воздухопроводов обычно применяют изотермический процесс. При изотермическом процессе Т = const и справедливо отношение , следовательно Постоянное отношение принимают для определенных начальных условий, при которых давление P = P0 и плотность газа при данном давлении и температуре Т0 равна 0. Тогда и ур-ние примет вид: Для двух сечений элементарной струйки невязкого газа: для воздуха 0 = 0,10313 МПа – атмосферное давление на уровне моря. Т = 293 К, ей соответствует плотность 0 = 1,2 кг/м3 и, следовательно,  84438 м2/с2 Уравнение Бернулли для элементарной струйки и потока вязкой жидкости. Полный напор в любом сечении струйки вязкой жидкости определяется теми же составляющими, что и для невязкой жидкости. Однако значение полного напора в сечениях будет разное, т.к. часть энергии в вязкой жидкости расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений (трение частиц друг о друга, о стенки). При этом часть энергии преобразуется в тепловую или механическую (колебание трубопровода) и рассеивается во внешнюю среду. Следовательно, напор в сечении II-II будет меньше, чем в сечении I-I на величину потерь напора Отсюда, если  = const, то получим ур-ние Бернулли для вязкой жидкости: (15) (16) Поправочный коэффициент к скоростному напору. Основное различие ур-ния Бернулли для потока и элементарной струйки заключается в определении скоростного напора в живом сечении. Скорость частиц жидкости в различных точках живого сечения неодинакова. Поэтому при определении кинетической энергии через среднюю скорость допускается неточность, которую нужно учесть. Кинетическая энергия жидкости в сечении элементарной струйки где dV – элементарный объем жидкости, проходящий через живое сечение струйки за время t; , тогда Для потока запас кинетической энергии будет: И скоростной напор Скоростной напор, выраженный через среднюю скорость   = Q не равен действительному значению. Отношение действительного скоростного напора к подсчитанному по средней скорости наз. коэф. Кориолиса. Для равномерного турбулентного потока  = 1  1,13 Для равномерного ламинарного потока  = 2 Если в ур-ния (15 и 16) вместо местной скорости и подставим среднюю скорость , введя поправку к скоростному напору , то получим ур-ние Бернулли для потока (17) Левые части ур-ния – полный напор, полное давление потока в сечении I-I относительно принятой плоскости сравнения. Гидравлический уклон – отношение потерь напора к длине потока (трубопровода). Гидравлический уклон – величина безразмерная, характеризует потерю напора на единицу длины. Для горизонтального равномерного потока: 1= 2; 2 = 1; z1 = z2 потери напора согласно ур-ния 17 определяются изменением пьезометрического напора (рис.) и поэтому гидравлический уклон будет: Потери напора в общем виде обычно выражают как ф-цию скоростного напора где с – коэф. сопротивления гидравлической системы. Мощность потока. При решении интегральных задач необходимо знать мощность потока. Удельная энергия представляет работу, которую может выполнить единица массы, объема или веса жидкости. Мощность равна работе в единицу времени всей массы, объема или веса. Поэтому для нахождения мощности необходимы полные напоры. В результате получим: Размерность Дж/с = Вт. Лекция № 7 Гидравлические сопротивления. При движении потока реальной жидкости происходят потери напора, т.к. часть энергии затрачивается на преодоление различных гидравлических сопротивлений. Количественное определение потерь напора Нпот является одной из важнейших задач гидродинамики, без решения которой невозможно применение ур-ния Бернулли в практических целях. Гидравлические сопротивления (соответственно потери напора) делятся на два вида: Сопротивления по длине – возникают, при движении жидкости по сей длине равномерного потока, и зависят от его длины. Местные сопротивления – возникают при неравномерном движении жидкости в отдельных местах потока – различных фасонных уч-ках трубопровода или русла (коленах, тройниках, задвижках, внезапных сужениях или расширениях потока) и практически не зависят от длины. Для определения потерь напора по длине потока НДл в круглой цилиндрической трубе применяется формула Дарси-Вейсбаха: где  – коэффициент Дарси, характеризующий сопротивление по длине трубопровода. – длина трубы  – средняя скорость потока d – внутренний диаметр трубы q – ускорение свободного падения Эту формулу можно использовать при расчете трубопроводов и открытых русел с любой формулой живого в ней диаметр гидравлическим радиусом: Кроме этой широкое применении находит формула Шези: учитывая, что гидравлический уклон: отсюда получим: , где – коэффициент Шези. Для определения коэффициента  и C существует много формул. О некоторых из них мы будем говорить при рассмотрении ламинарного и турбулентного режимов движения жидкости. Определение потерь напора в местных сопротивлениях Нм производится по формуле Вейсбаха:  - коэффициент местного сопротивления, который для различных местных сопротивлений находятся опытным путем, а при расчетах принимается из справочников. Общие потери напора трубопроводе или открытом русле определяются путем суммирования потерь напора на прямолинейных уч-ках и в местных сопротивлениях. Нпот = НДл + Нм В зависимости от факторов, вызывающих потери напора в местных сопротивлениях различают: потери трения и вихревые потери. 1. Потери трения – вызываются торможением потока стенками, которое приводит к неравномерному распределению скоростей по сечению потока и к появлению напряжений трения между смещающимися струйками жидкости. 2. Вихревые потери – связаны с отрывами потока от стенок, происходящими при резких изменениях конфигурации каналов. Возникающие при этом интенсивные вихревые образования приводят к сильному возрастанию местной потери напора (давления). Поэтому для уменьшения потерь напора в трубопроводе местные сопротивления должны выполняться без острых, выступающих в потто частей, переходы от одного сечения к другому – плавные, повороты должны быть закругленные. Режимы движения жидкости. В первой половине 19 века многие ученные обратили внимание на то, что различных условиях хар-р структура потока жидкости могут быть разные. В 1883 г английский физик Рейнольдс обосновал теоретически и на простых опытах доказал существование двух принципиально различных режимов движения жидкости. Экспериментальная установка Рейнольдса состоит из резервуара 2 с испытываемой жидкостью, к которому присоединена прозрачная труба 4 и 5. Для регулирования скорости движения жидкости, а также бачка 1 с жидкой краской, имеющей ту же плотность, что и испытуемая жидкость. Из бачка краска по тонкой трубе 3 подводилась к входу в трубу 4. Рейнольдс провел на этой установке многочисленные опыты, меняя скорость движения жидкости и ее t , диаметр трубы, высоту уровня жидкости резервуаре, род жидкости и другие параметры. При этом наблюдалась картина, приведенная на рис. б). Краска, попав в поток жидкости, виде тонкой струйки продолжала на всем протяжении потока двигаться стройкой. Это свидетельствует о том, что и частицы испытываемой жидкости движутся также струйчато слоисто– такой режим был назван ламинарным. В других случаях наблюдалась картина рис. в. Струйки краски, войдя в поток, быстро разрушались, разбиваясь на отдельные части, которые двигались дальше по искривленным траекториям. Это свидетельствует о наличии кроме движения вдоль оси потока также и поперечное перемещение частиц. Такой режим движения был назван турбулентным. Рейнольдс установил, что критерием режима движения жидкости является безразмерная величина, представляющая собой отношение произведения характерной скорости потока  на характерный линейный размер к кинематической вязкости жидкости . Эта величина была названа числом Рейнольдса. Для круглого сечения Экспериментально установлено, что критическими числами Рейнольдса является 2320   13800 при  2320 – наблюдается устойчивое ламинарное движение.  2320 – устойчивое турбулентное движение. Режим движения жидкости оказывает существенное влияние на гидравлические сопротивления и потери напора, поэтому при решении задач, связанных с движением жидкости, следует вначале установить режим движения жидкости. Обычно это делают расчетным путем. ) определить режим движения воды в шахтном водоотливном трубопроводе, если диаметр трубы d = 100 мм, расход воды по трубопроводу Q = 34 м3/г, кинематическая вязкость  = 10-6 м2/с. Средняя скорость движения воды по трубопроводу: Число  турбулентный. Ламинарный режим движения жидкости. Ламинарный режим движения жидкости хар-ся параллельным струйным упорядоченным движением частиц жидкости. Закон распределения скоростей по сечению. Для установления закона распределения скоростей по сечению при ламинарном движении рассмотрим поток жидкости в горизонтальной круглой трубе радиусом r, находящейся в установившемся равномерном движения. Выделим в этом потоке вокруг его оси объем жидкости виде цилиндра длиной и радиусом y и спроектируем все действующие на него силы на ось потока. При установившемся равномерном движении сумма проекции этих сил равна 0. Px – Tx – Gx = 0 Px = Px1 – Px2 где Px – проекция равнодействующей сил давления на торцевые пов-сти цилиндра, направленной в сторону движения. Tx – проекция силы трения, действующей на боковую пов-сть цилиндра и направленной в сторону, противоположную движению. Gx – проекция силы тяжести Т.к. линия действия P и T параллельны, а G  оси потока, то Px = P; Tx = T; Gx = 0, поэтому P = T 1 Как видно из рисунка P = P1 – P2 = P1 – P2 y2, где P1 и P2 – давление в сечениях - и -, заменив P1 – P2 его значение qi получим: P = qiy2 (2) В соответствии с уравнением где  - динамическая вязкость жидкости, которая определяется  = /; F = 2y – боковая пов-сть цилиндра. Знак  принят потому, что с увеличением расстояния от оси потока скорость частиц жидкости U уменьшается. Следовательно: (3) Подставим значения P и T из ур-ний 2 и 3 в ур-ние 1 Получим: Сделаем преобразование и получим: , Проинтегрируем: (4) Для определения постоянной интегрирования C задаемся начальными условиями: при y = r, т.е. стенки трубы, вследствие прилипания частиц жидкости U = 0, тогда Подставим значение C в ур-ние , получим закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном режиме движения, установленный английским ученым Стоксом. (5) При y = 0 на оси трубы U = Umax Т.к. это уравнение параболоида вращения с вершиной, лежащей на оси трубы, то при ламинарном движении эпюра скоростей по сечению будет иметь форму квадратичной параболы. Подставим в ур-ние значение , установим закон распределения касательных напряжений вдоль радиуса: (6) из этого ур-ния видно, что при ламинарном режиме движения изменения  вдоль радиуса происходит по линейному закону, причем max = будет при y = r, т.е. у стенки трубы; max = 0 будет при y = 0, т.е. на оси трубы. Лекция № 8 Турбулентный режим движения жидкости и его закономерности. Турбулентное движение жидкости – наиболее распространено в природе и технике. Оно представляет собой одно из сложнейших гидравлических явлений. При изучении ламинарного режима движения жидкости R  R кр., т.е. имеет место, упорядоченное параллельное струйное движение частиц. С возрастанием R и приближении его к критическому (т.е. увеличивается сила инерции или уменьшаются силы вязкости) снижается устойчивость ламинарного движения, струйки жидкости становится известным, колеблющимися. В потоке помимо продольных составляющих частиц возникают поперечные составляющие, хотя и значительно меньших размеров. При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса (R = R кр) ламинарное движение теряет устойчивость, значительно возрастают поперечные составляющие скоростей частиц. Частицы начинают переходить с одной струйки в другую, что приводит к перемешиванию жидкости, образованию завихрений в потоке, т.е. движение становится турбулентным. Так как при ламинарном режиме движения касательные напряжения, зависят только от вязкости жидкости и на оси потока равны нулю. Если в потоке внесены возмущения, то именно здесь (на оси) в первую очередь наступает потеря устойчивости ламинарного движения. Если стенки трубы сильно шероховаты, то образование вихрей может начинаться и у стенок. В результате наличия вихрей и интенсивного перемешивания частиц жидкости в любой точке турбулентного потока в данный момент времени имеет место своя по значению и направлению мгновенная местная скорость (U), а траектория частиц, проходящих через эту точку, имеют различный вид (занимают разное положение в пространстве и имеют различную форму). Такое колебание во время мгновенной местной скорости называется пульсацией скорости. Тоже происходит и с давлением. Т.о. турбулентное движение – неустановившееся. Для упрощения расчетов турбулентных потоков вводится понятие усредненной местной скорости Ū – фиктивной средней скорости в данной точке потока за достаточно длинный промежуток времени, остается практически постоянной по значению и  оси потока: Такая замена скорости U и давление p дает возможность применять уравнения гидродинамики для расчета. Турбулентный поток составит из двух областей: ламинарного подслоя и турбулентного ядра потока, между которыми существует еще одна область – переходный слоя в гидродинамике наз. пограничным слоем. Ламинарный подслой, расположенный непосредственно у стенок трубы, имеет весьма малую толщину , которая может быть определена по формуле: В переходном слое ламинарное течение уже нарушается поперечным перемещением частиц, причем, чем дальше расположена точка от стенки трубы, тем выше интенсивность перемешивания частиц. Толщина этого слоя невелика, но четкую границу установить трудно. Основную часть потока занимает ядро потока, в котором наблюдается интенсивное перемешивание частиц, поэтому именно оно характеризует турбулентное движение потока в целом. Касательные напряжения и эпюра скоростей. Природа касательных напряжений, возникающих в турбулентном потоке, более сложная, чем в ламинарном. Кроме напряжений, вызванных вязкостью жидкости , здесь имеются еще напряжения, вызываемые поперечными перемешиванием частиц , поэтому касательные напряжения представляют собой: где A – турбулентная вязкость, имеющая ту же размерность, что и динамическая вязкость , но она не является свойством жидкости, а хар-ет интенсивность перемешивания частиц. По мере увеличения числа R пульсации скорости возрастают, возрастает и интенсивность турбулентного перемешивания, а влияние вязкости уменьшается, поэтому A становится значительно больше , а   . Если рассмотрим отдельные области турбулентного потока, то можно отметить: 1) В ламинарном подслое практически отсутствуют пульсации и движение формируется за счет сил вязкости, поэтому    и здесь происходит резкое наращивание скорости (эпюра) от 0 у стенки (т. а) до некоторого значения Uл на границе подслоя (т. б). 2) В переходном слое значения  и  имеют одинаковый порядок, поэтому эпюра скоростей имеет в переходном слое небольшую кривизну (уч.  в). 3) В ядре потока благодаря значительной пульсации скорости и интенсивному перемешиванию частиц скорости по сечению выравниваются, а  становится значительно больше , поэтому . Выразив турбулентную вязкость A через (где - длина пути перемешивания, характеризующая средний путь пробега частиц, обусловленный турбулентными пульсациями). И сделав ряд допущений, Прандтль и Карман получили уравнения. Понятие о гидравлически гладких и шероховатых трубах. Пов-сть стенок труб, каналов, лотков имеют ту или иную шероховатость. Обозначим высоту выступов шероховатости буквой  - абсолютная шероховатость. Отношение - относительная шероховатость. Величина, обратная относительной шероховатости - относительная гладкость. Высота выступов шероховатости вдоль стенки не остается постоянной, а сами выступы имеют различную форму, поэтому для расчетов вводят понятие эквивалентной шероховатости э. В зависимости от соотношения толщины ламинарного подслоя  и высоты выступов шероховатости  различают гидравлически гладкие и шероховатые трубы. Если ламинарный подслой полностью покрывает все выступы на стенках трубы, т.е.    (рис. а) – трубы считаются гидравлически гладкими. При    (рис. б) – трубы считаются гидравлически шероховатыми. Т.к. значение б зависит от R, то одна и та же труба с одним значением  может быть гидравлически гладкой (при малых R), а в других – шероховатой (при больших R). Для определения шероховатости используется понятие коэффициент шероховатости . Для ламинарного движения: для турбулентного: Снижение потерь напора на трение. В связи с развитием трубопроводного транспорта, резким ростом скоростей движения водного и воздушного транспорта актуальной становится задача снижения потерь напора на трении. При движении жидкости в трубопроводах, открытых руслах, а также тел в жидкости. К местным сопротивлением относятся различные фасонные уч-ки трубопровода или русла (колена, тройники, задвижки и др.), в которых наблюдается неравномерное движение жидкости. В местах резкого изменения живого сечения или направления потока происходит отрыв потока от стенок, и образуются так называемые застойные зоны, что является основанным источником потерь напора. Потери напора в местных сопротивлениях определяются: значение коэффициента  в общем случае зависит от конфигурации проточной части местного сопротивления и числа R: кв – коэффициент местного сопротивления, табличный, при квадратичном законе сопротивления. A – поправочный коэффициент, зависит от рода местного сопротивления. Для уменьшения потерь напора местные сопротивления должны выполняться без острых выступающих частей, переходы от одного сечения к другому должны осуществляться плавно, без уступов; повороты потока – иметь закругления. При вычислении общих потерь напора используют принцип (наложения) сложения потерь, т.е. суммируются потери напора на всех прямолинейных уч-ках и в местных сопротивлениях. Этот метод справедлив, если местные сопротивления расположены на достаточном расстоянии друг от друга (  (20  50) d), т.е. между ними имеется прямолинейный уч-ок, на котором нарушенный после выхода из одного местного сопротивления поток успевает принять перед следующим такой же вид как перед первым. Если местные сопротивления расположены близко друг к другу, то пользоваться этим принципом нельзя. Рассмотрим различные схемы соединения трубопроводов и значения коэффициента местного сопротивления. 1) 2) 3) 4) к общ = 2к, общ = 3к, общ = 4к Из рисунков видно, что в одних и тех же 2 коленах при разном соединении без наличия прямолинейного уч-ка потери напора при одинаковой скорости движения будут различны. Поэтому такие фасонные части трубопровода должны рассматриваться как одно местное сопротивление, имеющие свой собственный коэффициент. общ взаимное влияние различных фасонных частей еще недостаточно изучено, поэтому в справочнике нельзя найти величину общ. При расчетах пользуются принципом наложения потерь.  Это имеет место при определении потерь напора в шахтном водоотливном трубопроводе, расположенном в насосной камере, где на коротком промежутке имеется целый ряд фасонных частей (задвижки, тройники, колена). Лекция № 9 Движение жидкости в трубопроводах и открытых руслах. Все трубопроводы можно разделить на простые и сложные. Простым называют трубопровод, состоящий из пути одинакового диаметра и не имеющий по пути ответвлений (например, шахтный водоотливной трубопровод). Сложным – наз. все остальные трубопроводы, состоящие из ряда простых, соединенных тем или иным способом (шахтный пневматический трубопровод). Различают: короткие и длинные трубопроводы. Коротким – наз. трубопроводы, потери напора, в местных сопротивлениях которых составляют более 5-10 % от потерь напора в прямых уч-ках трубопровода. К ним относятся всасывающие трубопроводы насосных установок, гидролинии гидроприводов. Длинным называются трубопроводы, в которых потери напора по длине настолько превышают местные потери напора, что последними для точности можно пренебречь, либо принять их равными 5-10 % от потерь напора по длине. Рассмотрим простой трубопровод, состоящий из прямолинейных участков и местных сопротивлений, и подсчитаем в нем потери напора, для чего воспользуемся принципом сложения потерь: (1) Из полученного выражения видно, что вычисление потерь напора этим методом громоздко и занимает много времени, если трубопровод состоит из нескольких уч-ков. Заменим в этом выражении скорость расходом и приведем подобные или Обозначим выражение в скобках, буквой «а» и получим Нпот = aQ2 Величина «а» наз. сопротивлением трубопровода и зависит от его длины, диаметра, местных сопротивлений, причем в последнем случае для данного трубопровода a = const. Обозначим дроби, стоящие в скобках: ; назовем: AДл – единичное местное сопротивление по длине (сопротивление 1 м прямой трубы) AМ – сопротивление единичное (сопротивление фасонной детали, у которой  = 1). Тогда Нпот = (АДл+ АМ)Q2 Величины АДл и АМ носят название обобщенных параметров. При расчетах значение АДл и АМ берут из таблиц. Иногда при расчетах пользуются обобщенным параметром другого вида. Заменим в ур-нии потери на эквивалентной длине скорость расходом. величину и назовем расходной характеристикой трубопровода, тогда (2) K2 – берется из таблиц. Заменяя в ур-нии (2) и учитывая, что , получим формулу проф. Бахметьева . Потери напора в длинных трубопроводах могут быть вычислены проще: Нпот = АДл LQ2 или Напорные хар-ки трубопроводов. Рассмотрим простой трубопроводов насосной установки. Для определения напора, необходимого на перемещение жидкости в этом трубопроводе, воспользуемся ур-нием Бернулли. Проведем плоскость сравнения 0-0 и сечения I-I; II-II; III-III; IV-IV. Обозначим абсолютные давления на входе в трубопровод PH и выходе из трубопровода Pк. Расстояние от пл-ти сравнения до пов-сти жидкости в нижем резервуаре HBC (геометрическая высота всасывания). Расстояние до пов-сти жидкости в верхнем резервуаре Нн (геометрическая высота нагнетания). Сумма этих двух высот Нг (геометрическая высота) Нг = HBC + Нн. Геометрическая высота – это сумма отметок уровней жидкости в местах входа и выхода ее из трубопровода. Полный напор, необходимый для перемещения жидкости по трубопроводу (подъема ее и преодоления противодавления и сопротивлений в трубопроводе), создается в данном случае насосом и может быть выражен разностью полных напоров в сечениях III-III и II-II трубопровода (на входе и выходе в насос) Н = Н3 – Н2 (а) Составим ур-ние Бернулли для сечений II-II; I-I; III-III; IV-IV трубопровода. Н2 = Н1 – Нпот 1-2 (1) Н3 = Н4 – Нпот 3-4 (2) Однако (3) (4) Подставим уравнение (3) в уравнение (1) и уравнение (4) в уравнение (2) Подставим (1), (2) в уравнение (а): Учитывая, что (геом. высота) Нпот 1-2 + Нпот3-4 = Нпот = aQ2 – общие потери напора в трубопроводе. Получим уравнение напорной хар-ки трубопровода: (5) Из уравнения видно, что полный напор расходуется в трубопроводе на преодоление статического противодавления , подъем жидкости на высоту НГ и преодоление сопротивления Нпот = aQ2. Рассмотрим различные случаи соединения На рис. (а) приведена схема шахтного водоотливного трубопровода, по которому выдается насосом на пов-сть. Так как при PH  PK = Pa, то уравнение примет вид: Н = НГ + aQ2 (6) б) схема горизонтального трубопровода, по которому насос подает воду из открытого резервуара в паровой котел; избыточное давление пара в котле PM. В этом случае НГ = 0, а (7) Следовательно, уравнение (6) будет иметь вид: (8) в) схема шахтного пожарно-оросительного трубопровода, по которому вода с поверхности подается в шахту. Так как PK  PH = Pa, а НГ =  Нт, то уравнение примет вид: Н =  Нт + aQ2 (9) г) схема трубопровода, по которому вода подается насосом в батареи отопительной системы, а затем в бак, расположенный в верхней части здания; из бака вода снова поступает в насос. В этом случае НГ = 0, т.к. HBC =  h, а HH = + h, PK = PH = P0, уравнение примет вид: Н = aQ2 (10) д) такой же вид будет иметь уравнение и для сифонного трубопровода, только здесь напор H, создается разностью уровней в резервуарах. Сифон – самотечный трубопровод, часть которого расположена выше питающего его резервуара. Особенности такого трубопровода: давление по всей восходящей линии и по части исходящей линии меньше атмосферного; для того, чтобы по нему началось движение жидкости, необходимо весь его объем заполнить жидкостью; давление в верхней точке сифона не должно быть меньше давления (упругости) насыщенных паров жидкости при данной температуре, т.к. в противном случае в этом месте может возникнуть кавитация и разрыв оплошности, в результате чего движение жидкости по сифону прекратится. Зная уравнение трубопровода, можно построить его напорную хар-ку, т.е. графически зав-сть между расходом и напором в трубопроводе. Из формул (5 и 10) видно, что в координатах Q – H напорная хар-ка трубопровода представляет собой квадратичную параболу с вершиной, лежащей на оси ординат. Сложные трубопроводы. Последовательное соединение трубопроводов. Рассмотрим сложный трубопровод, который состоит из нескольких простых, соединенных последовательно и имеет сопротивления a1, a2 и a3. На основании ур-ния неразрывности потока расход жидкости по каждому из этих уч-ков трубопровода будет одинаков и равен Q, а потери напора будут: Нпот 1 = a1Q2; Нпот 2 = a2Q2; Нпот 3 = a3Q2; Общие потери напора в трубопроводе будут определяться в соответствии с принципом наложения. Нпот = Нпот 1 + Нпот 2 + Нпот 3 = Q2(a1 + a2 + a3) Т.о. сопротивление сложного трубопровода при последовательном соединении труб увеличивается и составим: Характеристика такого трубопровода может быть построена по ур-нию трубопровода: , где или графическим путем суммирования ординат напорных характеристик определенных уч-ков трубопровода при одинаковых Q. Параллельное соединение трубопровода. Рассмотрим сложный трубопровод, который состоит из простых соединенных . Пусть сопротивления трубопроводов равных a1, a2, a3, а расходы жидкости Q1, Q2, Q3. в соответствии с ур-нием неразрывности потока общий расход жидкости по такому трубопроводу будет: Q = Q1 + Q2 + Q3 Потери напора определяет: Нпот 1 = a1 Нпот 2 = a2 (а) Нпот 3 = a3 Потери напора в сложном трубопроводе равные разности полных напоров в сечениях A и B: HA – HB = Нпот 1 = Нпот 2 = Нпот 3 = Нпот Из ур-ний (а) видно, что: ;; Найдем из ур-ний (а) значение расходов в каждом простом трубопроводе и подставим в ур-ние расхода: Отсюда потери напора при  соединении: Т.о. сопротивление сложного трубопровода при  соединении уменьшается и составляет: Хар-ка такого трубопровода может быть построена по ур-нию трубопровода: , где или графически путем суммирования абсцисс напорных хар-к отдельных простых трубопроводов при одинаковых Н. Лекция № 10 Истечение жидкости через отверстия В инженерной практике часто приходится иметь дело с истечением жидкости через отверстия различных размеров и формы, через насадки, водосливы и т.д. Истечение жидкости может происходить как в атмосферу (не затопленные отверстия), так и под уровень (затопленные отверстия). 1. Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре. Малым называется отверстие, вертикальный размер которого значительно (в 10 и более раз) меньше напора перед отверстием, что во всех точках этого отверстия практически одинаковым. При истечении жидкости через малое отверстие площадью 0 в тонкой стенке (  0,2 d0) в результате инерции частиц, они движутся по криволинейным траекториям (б). На небольшом расстоянии от отверстия (для круглого =  половине его диаметра) образуется сжатое сечение, имеющее min площадь с и практически параллельноструйное движение частиц. Обозначим - коэффициент сжатия струи. Для отверстий круглой и квадратной формы  = 0,6  0,64 Чтобы определить скорость 1 истечения и расход Q жидкости через малое отверстие в тонкой боковой стенке резервуара (а) при постоянном уровне жидкости в резервуаре H = const, т.е. когда через отверстие имеет место установившиеся движение жидкости. Проведем два сечения: I-I – по пов-сти жидкости в резервуаре. II-II – по струе (в сжатом ее сечении) и плоскость сравнения 0-0. Затем ур-ние Бернулли для этих сечений: Пусть давление окружающей среды на резервуар PH, а на выходе – Pk, тогда P1 = PH; P2 = Pк (в том случае, когда истечение струи происходит в атмосферу в любом сечении струи давления Pa). В связи с большим поперечным сечением резервуара скоростью в нем можно пренебречь, поэтому 1  0 и потери напора на трение о стенки резервуара НДл  0, тогда , где Нм – местные потери напора  - коэффициент местного сопротивления (отверстия) Обозначим 2 через  - скорость истечения через отверстие. Тогда H = z1 (высота от пл-ти равнения до свободной пов-сти) Найдем отсюда скорость : (1) Обозначим: - приведенный напор перед отверстием. - коэффициент скорости. Тогда (2) Если пренебречь гидравлическим сопротивлением и неравномерностью распределения скоростей по струе, т.е. принять  = 0;  = 1, что характерно для идеальной жидкости, то  = 1 и получим известную формулу Торричелли: (3) (теоретическая) Вследствие того, что   1, действительная скорость истечения  будет всегда меньше теоретической Т. при истечении воды и воздуха, когда имеет место турбулентное движение, можно принимать:   0,97  0,98 и   0,06 Расход жидкости через отверстие будет равен: Q = c Заменим, что c = 0, а  - из ур-ния (2) Или  =  - коэффициент расхода отверстия. При значениях  и  значение      - для отверстий круглой и квадратной формы. Эти значения:     0,98 имеют место при больших числах Рейнольдса (105 и более)  = 0,6  0,64  = 0,6  0,63 Если пространство, куда вытекает жидкость, заполнено жидкостью (рис. в), то такое истечение называется истечением под уровень или истечением через затопленное отверстие. Принимая, как и в предыдущем случае, что давление на поверхности жидкости в резервуарах равны PH и PK, а расстояния от поверхностей до отверстия – Н1 и Н2. Составляя ур-ние Бернулли получим для определения  и Q, только Н0 будет равно (приведенный напор) Коэффициенты ; ;  для малого затопленного отверстия в тонкой стенке практически будут такими же, как для не затопленного. 3. Истечение жидкости через насадки. Насадки – короткие трубы различной формы, приставленные к отверстию в стенке резервуара или к концу трубы с целью получения более компактной и дальнобойной струи, а в ряде случаев для увеличения расхода жидкости через отверстие. Для определения скорости истечения жидкости и расхода применяют формулы, что и для малого отверстия в тонкой стенке: Только коэффициент , ,  - будут иметь другие значения (в зав-сти от формы насадка). Рассмотрим истечение жидкости из резервуара, когда к отверстию в боковой стенке приставлен цилиндрический насадок. При входе в насадок струя жидкости сначала сжимается, как при истечении через отверстие, а затем расширяется, заполняя все сечение насадка, т.е. на выходе с = 0 и  = 1. Вокруг сжатого сечения, как и в местном сопротивлении при внезапном сужении потока, образуются водоворотные (застойные) зоны с пониженным давлением. В результате этого происходит подсасывание жидкости из резервуара, и скорость движения жидкости в сжатом сечении увеличивается. Поэтому при одинаковом напоре жидкости расход через насадок будет больше, чем через отверстие. Насадки не должны быть короткими (б), т.к. в этом случае струя будет отжата от стенок насадка и истечение жидкости будет аналогично истечению через отверстие. Если насадок слишком длинный (в) увеличивается коэффициент потерь , следовательно, уменьшаются коэффициенты  и  (при большой длине насадка его  может стать даже меньше, чем  отверстие). Оптимальная длина насадка = (3  4)d. Для того, чтобы обеспечить сплошность потока, происходящего через насадок, необходимо чтобы абсолютное давление в жатом сечении было больше давления насыщенных паров жидкости, иначе в области сжатого сечения происходит интенсивное парообразование (кавитация), в водоворотной зоне накапливаются пары жидкости, отжимающие струю от стенок насадка, сюда устремляется атмосферный воздух и происходит срыв вакуума. Насадки бывают: Цилиндрические насадки устанавливаются в теле дамб для прохода ливневой и шальной воды; В небольших плотинах – для водосброса или промывки осадков, скопившихся перед плотиной. Конически сходящиеся (конфузоры) коноидальные – для преобразования потенциальной энергии в кинетическую, когда при данном полном напоре нужно увеличить скорость истечения, дальность полета струи, силу ее удара (брандспойт max, гидромониторах, вентиляторы и др.). Конически расходящиеся насадки – (диффузоры) применяются для преобразования кинетической энергию в потенциальную (т.е. нужно уменьшить скорость выхода жидкости или увеличить давление насосы, вентиляторы). 4. Истечение жидкости через боковое отверстие. Большим наз.отверстие, вертикальный размер которого превышает одну десятую напора перед отверстие. При истечении жидкости через такое отверстие нельзя считать, что напоры по высоте одинаковы, поэтому полученная для малого формула: в данном случае не приемлема. Рассмотрим резервуар, имеющий в боковой стенке большое отверстие, расстояние верхней и нижней кромки которого от поверхности жидкости равны H1 –const; H2 – const. давление на поверхности жидкости и месте выхода струи одинаковы, т.е. имеет место установившееся движение. Выделим в отверстие на произвольной глубине z от поверхности элементарную площадку d, шириной x и высотой dz, для всех точек которой можно считать напор постоянным и равным H0 = z. Элементарный расход жидкости через такую площадку можно подсчитать: А расход жидкости через отверстие: Решить этот интеграл можно, если известен закон изменения ширины отверстия по высоте x =  (z). Например:  Для круглого сечения, радиусом R при погружении отверстия на глубину Н:  Для прямоугольного сечения, шириной b = const: где – коэф. расхода большого бокового отверстия, значение которого зависит от формы и размеров отверстия и величины напора перед отверстие. 5. Водосливы. Частным случаем истечения жидкости через большое боковое отверстие является водослив – преграда, установленная на пути потока, через которую вода переливается. Водосливы имеют широкое применение в технике как в качестве одного из основных элементов речных гидротехнических сооружений (водосливные плотины, водосбросы). Рассмотрим измерительные водосливы: Для измерения расхода жидкости применяют незатопленные водосливы с тонким вертикальным порогом, установленным нормально к направлению потока и имеющим прямоугольное и треугольное отверстие. Этот водослив можно рассматривать как частный случай истечения жидкости через большое боковое отверстие, когда Н1 = 0, а Н2 = Н – высоте жидкости над порогом водослива. m0 – коэф. расхода водослива с учетом скорости подхода жидкости к порогу. Для измерения расходов, меняющихся в широком диапазоне (например, при проведении испытания насоса и т.п.) удобнее применять водослив с треугольным порогом, т.к. даже при малых расходах высоты воды Н (над порогом) будет иметь значительную величину, и погрешность измерения будет небольшой. Для водослива при  = 90 b = 2H при Н = 0,05  0,55 м Q = 1,343 H2,47 ЛЕКЦИЯ 11 Обтекание тел жидкостью. При движении твердого тела в неподвижной жидкости или, наоборот, при обтекании его возникают гидроаэродинамические силы взаимодействия между телом и жидкостью. В обоих случаях зависимости, определяющие значения силы, будут одни и те же, если одинаковы относительные скорости между телом и жидкостью. Рассмотрим свободное падение твердого тела под действием силы тяжести  архимедовой силы. Под действием силы тяжести GT = T  q  VT тело будет опускаться вниз Если GT  PA, то и под действием Архимедовой силы тело движется вниз. PA = qVT При появлении относительной скорости между телом и жидкостью возникает сила сопротивления . Опущенное тело движется с ускорением . Тогда ур-ние движется можно записать в виде: GT – PA – R – mT = 0 Подставим значение этих сил в ур-ние движения: T  q  VT – qVT –  mT = 0 где  и T – плотность жидкости и тела. VT – объем тела, погруженного в жидкость. S – площадь проекции поверхности тела на нормаль к вектору скорости (миделево сечение) C – коэффициент сопротивления (зависит от режима движения жидкости, шероховатости).  - скорость тела относительно жидкости. m – масса тела. Преобразуем ур-ние движения: Из этого ур-ния видно, что падающее в жидкости тело вначале движется ускоренно, затем с возрастанием скорости величина ускорения уменьшается, и когда скорость достигнет определенной величины, ускорение станет равным 0. Скорость, при которой = 0, называется критической скоростью к. Она может быть определена из ур-ния движения: Эта критическая скорость равномерного движения тела наз. скоростью свободного падения или гидравлической крупностью. Эта величина наиболее характеризует движение твердого тела в жидкости. Если поместить тело в вертикальный поток движущейся жидкости со скорости к, то оно будет находиться в покое относительно стенок сосуда. Эту скорость называют еще скоростью витания. При скоростях потока больших к, тело будет двигаться вверх. Режим обтекания жидкостью тела, факторы, влияющие на коэффициент сопротивления (C) и критическую скорость (к) могут быть различными. Основным критериям, определяющим режим движения, являются число Рейнольдса: Где   относительная скорость обтекания;  характерный линейный размер; ,   кинематическая и динамическая вязкости;   плотность жидкости. Эксперименты показали, что для большинства частиц при R  1 режим обтекания – ламинарный. Этот режим возможен при обтекании тел с малыми скоростями или при свободном падении мельчайших частиц (d  1 мм). Для этих условий на основании исследований Стокса для шара: R = 6 r (сила сопротивления)   динамическая вязкость r  радиус тел   скорость Приравнивая силы сопротивления, получим значение коэффициента сопротивления «c»: Подставив значение «c» в формулу: И сделав преобразования, получим формулу для определения гидравлической крупности для мелких частиц: d  эквивалентный диаметр частиц. T  плотность тела   плотность жидкости   кинематическая вязкость жидкости. Возникновение турбулентного режима обтекания наблюдается у тел разной формы с различной шероховатостью, при разных R. При развитом турбулентном движении критическая скорость определяется по формуле: C – коэффициент шероховатости находят из таблиц. Лекция № 12 Подъемная сила и сила лобового сопротивления. При несимметричном обтекании твердого тела потоком жидкости направление силы, действующей на тело со стороны жидкости, не совпадает с направлением скорости невозмущенного потока ∞ (скорости на бесконечно большом расстоянии от тела). В этом случае силу R можно разложить на составляющие: подъемную силу Ry = R  cons ,  направлена потоку силу лобового сопротивления Rx = R  sin , эта сила совпадает с направление вектора ∞. Тело, при обтекании которого потоком жидкости создается подъемная сила Ry значительно больше, чем сила лобового сопротивления, называют крылом. Впервые рациональную форму крыла предложил Н.Е. Жуковский, у которого Ry/Rx = 50  70. Выразив Ry и Rx через формулу для определения силы сопротивления, получим: где Cy и Cx – коэффициенты подъемной силы и силы лобового сопротивления. S = b  - площадь крыла (b – ширина; – длина или размах крыла постоянной ширины). Коэффициенты Cy и Cx зависят: формы профиля крыла, шероховатости его пов-сти, угла атаки . В результате продувки крыльев в аэродинамических трубах получают зависимости: и (рис.b), которые определяют аэродинамическую хар-ку профиля крыла. Подъемную силу можно получить при обтекании симметричного профиля, например, вращающегося цилиндрического тела (потока) или вихря. Вследствие вязкости жидкости вокруг ротора создается циркуляционное движение жидкости со скоростью Cu. Это движение накладывается на основное со скоростью, в результате чего под ротором происходит уменьшение результирующей скорости ∞  Cu, а над ротором увеличение ∞ + Cu. Если полный напор в сечении потока одинаков, то вследствие разности суммарных скоростей над и под ротором согласно ур-нию Бернулли давление p1 станет больше p2. В итоге возникает подъемная сила Ry = (p1 – p2) S. Это явление называется эффектом Магнуса. Т.о. при обтекании ротора происходит явление, подобно тому, которое возникает при обтекании крыла. Кинематической характеристикой поля, возникающего вокруг ротора или крыла, является циркуляция скорости. Н.Е. Жуковский доказал, что источником подъемной силы крыла является циркуляционное движение жидкости вокруг его профиля, и установил зависимость между подъемной силой Ry и циркуляцией скорости: (рис. а). Направление подъемное силы определяется поворотом вектора скорости ∞ на прямой угол в сторону, противоположную направлению циркуляционного движения. Приравнивая правые части ур-ний: получим значение циркуляции Г вокруг профиля: Это выражение устанавливает связь между опытной величиной Cy и расчетной Гu, таким образом, объединяет теоретическую аэрогидродинамику с экспериментальной. Рассмотренные положения о подъемной силе и силе лобового сопротивления используются в теории летательных аппаратов, лопастные гидравлических машин, гидротранспорта твердого материала и др.