Гидравлика

ЛЕКЦИЯ № 1. Гидростатика 1. Основные физические свойства жидкости Вряд ли кто из вас не знает, что представляют собой гидротехни ка, водное хозяйство, мелиорация. Водопроводная и канализационная система, услугами которых пользуется каждый из нас — это водное хозяйство. Бесконечные плодородные степи находятся в относительно жаркой погодной зоне, требуют орошения, то есть дополнительно го увлажнения. Это обеспечивается с помощью водного хозяйства. Гидравлика (с греческого hydor — вода; aulos — труба, желоб) — наука, изучающая законы равновесия и механического движения жидкостей, гидравлика разрабатывает также методы применения этих законов в вышеназванных отраслях. 1. Аналитический. Цель применения этого метода — устанав ливать зависимость между кинематическими и динамическими характеристиками жидкости. С этой целью пользуются уравнениями механики; в итоге по лучают уравнения движения и равновесия жидкости. Для упрощенного применения уравнений механики пользуют ся модельными жидкостями: например, сплошная жидкость. По определению, ни один параметр этого континуума (сплош ной жидкости) не может быть прерывным, в том числе его произ водное, причем в каждой точке, если нет особых условий. Такая гипотеза позволяет установить картину механического движения и равновесия жидкости в каждой точке континуума пространства. Еще одним приемом, применяемом для облегчения решения теоретических задач, является решение задачи для одномерного случая со следующим обобщением для трехмерного. Дело в том, что для таких случаев не так трудно установить среднее значение 3 исследуемого параметра. После этого можно получить другие урав нения гидравлики, наиболее часто применяемые. Однако этот метод, как и теоретическая гидромеханика, суть которой составляет строго математический подход, не всегда при водит к необходимому теоретическому механизму решения проб лемы, хотя и неплохо раскрывает ее общую природу проблемы. 2. Экспериментальный. Основным приемом, по этому методу, является использование моделей, согласно теории подобий: при этом полученные данные применяются в практических условиях и становится возможным уточнение аналитических результатов. Наилучшим вариантом является сочетание двух вышеназван ных методов. Современную гидравлику трудно себе представить без приме нения современных средств проектирования: это высокоскорост ные локальные сети, автоматизированное рабочее место кон структора и прочее. Поэтому современную гидравлику нередко называют вычис лительной гидравликой. Свойства жидкости Поскольку газ — следующее агрегатное состояние вещества, то у этих форм вещества существует свойство, общее для обоих агрегатных состояний. Это свойство текучести. Исходя из свойств текучести, рассмотрев жидкое и газообраз ное агрегатное состояние вещества, увидим, что жидкость — то состояние вещества, в котором его уже невозможно сжимать (или можно сжать бесконечно мало). Газ — такое состояние того же ве щества, в котором его можно сжать, то есть газ можно назвать сжи маемой жидкостью, точно так же, как и жидкость — несжимаемым газом. Другими словами, особых принципиальных различий, кроме сжимаемости, между газом и жидкостью не наблюдается. Несжимаемую жидкость, равновесие и движение которой изу чает гидравлика, называют также капельной жидкостью. 4 К вышеуказанному свойству следует добавить, что это такая сплошная среда, в которой нет ни разрывов, ни пустот. Отсюда и непрерывность характеристик. Плотность жидкости. Если рассмотреть произвольный объем жидкости W, то он имеет массу M. Если жидкость однородна, то есть если во всех направлениях ее свойства одинаковы, то плотность будет равна ρ= M . W (1) Если требуется узнать ρ в каждой точке А объема W, то ΔM ρA = lim ΔW → 0 ΔW . (2) где Δ — элементарность рассматриваемых характеристик в точке А. Принято в связи с плотностью говорить об удельном весе од нородной жидкости γ γ= G M = = g = ρg W W (3) где G = Mg — вес жидкости; g = 9,831 м/с2 (на полюсе), g =9,781 м/с2 (на экваторе) — уско рение свободного падения. В системе СИ единицы измерения для плотности — кг/м3; удельного веса — Н/м2. Плотность нельзя рассматривать отдельно от таких парамет ров, как объем и температура. Однако, вопреки свойствам всех жидкостей (или газов), ρ max достигается при t = 4 oС. 5 В дальнейшем с ростом температуры ρ уменьшается. С увеличением давления (при t = 4 oС) ρ также уменьшается. В нашем курсе принято, что ρ = 1000 кг/м 3. Возвращаясь к сжимаемости, следует отметить, что она характеризуется коэф фициентом объемного сжатия. 1 dW βc = ґ . W dρ (4) Из формулы видно, что речь идет о способности жидкостей уменьшать объем при единичном изменении давления: изза умень шения присутствует знак минус. Если в формуле (1) предположить М = const и взять производ ное от нее, то получим − dW dρ = . W ρ (5) С учетом формулы (5) из выражения (4) следует: βc = 1 dρ × . ρ dр (6) Получили качественно совсем другую формулу. Если в (4) единичное изменение ρ приводит к изменению объема, то в (6) — плотности. По определению Еж = 1/βс называется модулем упругости жид кости. Подставив (6) в (7) и преобразовав, получим закон Гука для жид кости: ρdp , dρ (7) dρ dp = . ρ Eж (8) 1 Eж = 6 Следует запомнить, что несжимаемость жидкости вообще и во ды в частности все же относительна. Например, при t0 = 90 oC Eж изменяется от 4,4 ґ 103 МПа у гли церина до 1,35 ґ 103 МПа у минеральных масел. У воды рост давления 9,81 МПа вызывает уменьшение объема V0 на 1/20 000 V0 . Однако это значение в 100 раз больше, чем сжи маемость стали. Этот факт говорит о том, что если взять классифи кацию веществ по сжимаемости, то воду почти наверняка можно относить к классу металлов. Если бы это было не так, то уровень Мирового океана был бы на 30 м выше, чем есть на самом деле. Это свойство при внезапном открытии или закрытии запорного устройства в трубопроводе порождает ряд гидравлических явле ний, в которых надо учитывать, что жидкость в определенных усло виях (в общем диапазоне) все же сжимаема. В противном случае ошибок не избежать. В противоположность сжимаемости, существует температур ный коэффициент объемного расширения, которым характери зуется свойство жидкости, называемое температурным расшире, нием. βг = 1 dW ґ . W dt (9) Как и коэффициент объемного сжатия, коэффициент объем ного расширения также уменьшается при росте давления (для воды уменьшается только после 50 оC; до 50 оC коэффициент еще растет). Следующее свойство жидкости — вязкость. Движение жидкости происходит как бы слоями, а между слоями, на границе их сопри косновения возникают силы внутреннего сопротивления: их назы вают также силами вязкости. Суть явления в том, что слой с меньшей скоростью «тормозит» соседний. В итоге появляется особое состояние жидкости, изза межмолекулярных связей у со седних слоев. Такое состояние называют вязкостью. 7 Если судить о касательном напряжении, которое возникает на касающихся поверхностях, то его истинное значение Г =μ dθ , dt (10) где μ — характеристика свойства вязкости и называется динами ческой вязкостью жидкости; dθ/dt — скорость деформации сдвига; θ — деформация сдвига. Установлено, что: dθ du = , dt dn (11) где du — градиент скорости; dn — толщина слоя; u — скорость слоя. Физический смысл (11) состоит в следующем: при переходе от оси к стенкам трубы, через каждый слой dn скорость жидкости уменьшается на du; знак градиента зависит от его направления, т. е. он может быть как со знаком «+», так и «–». С учетом последнего утверждения и с учетом (11), из (10) следует: τ= ± μ du . dn (12) Отношение динамической вязкости к плотности жидкости называется кинематической вязкостью. v= μ . ρ Единицы измерения вязкости в системе СИ: 8 (13) 1) для динамической вязкости — Па ґ с; 1 Па ґ с = 10 Пз = = 10 г/см ґ с, где пуаз — в честь ученого Пуазейся; 2) для кинематической вязкости — 1м2/с = 104 ст = 106 сСт, где Ст — стокс. Вязкость измеряется приборами, которые называются виско зиметрами. Из других свойств жидкости отметим свойство растворять га зы, которое характеризуется коэффициентом растворимости. Это свойство описывается формулой: Wгр1 Wжр 2 = K' p2 , p1 (14) где Wгр1, Wжр2 — объемы жидкости, соответствующие давлениям p1, p2 при температуре t; К ′ — коэффициент растворимости данного газа при той же температуре. Например, при t = 20 oC и p = 1 атм вода содержит 1,6% раст воренного воздуха. Из (14) видно, что при уменьшении давления уменьшается вязкость в жидкости изза роста выделенного газа кипения. Кипения можно добиться двумя способами: повышением тем пературы при p = const или снижением давления при t = const. При давлении, которое соответствует давлению насыщенных па ров жидкости (t = const), пар с поверхности жидкости начинает вы деляться пузырями, как при температурном (обычном) кипении, такое кипение называется холодным кипением. Сопротивление растяжения жидкостей возникает в дегазиро ванных жидкостях. Чем больше в жидкости нерастворенного газа, тем меньше мо дуль упругости жидкости. В последствиях этого явления мы убе димся при изучении движении жидкости в трубопроводах. 9 Поверхностное натяжение: изза этого свойства жидкость стре мится занимать наименьший объем, например, капли в шарооб разных формах. Это свойство порождает силы поверхностного натяжения, ко торые препятствуют растяжению жидкости на границе двух сред. Силы поверхностного натяжения направлены по касательной к поверхности. Размерность поверхностного натяжения — МТ–2, то есть из меряется в Н/м. Повышение температуры или добавление в жидкости плаваю щих веществ уменьшают силу поверхностного натяжения. Это свойство жидкостей любопытным образом проявляет се бя в капиллярах. Если стенка капилляра смачивается, то форма поверхности — вогнутая: жидкость поднимается. Если нет смачивания, то поверхность выпуклая и жидкость опускается по капилляру. Высоту подъема (или спуска) считают по формуле: hкап = 45cos θ , ρgd (15) где θ — острый угол между стенкой капилляра и касательной к сво бодной поверхности, проходящая через точку пересечения по верхности и стенкой капилляра; d — диаметр капилляра. Этим свойством воды подробно будем заниматься при изуче нии грунтовых вод. В заключение приведем краткий список свойств жидкостей, которые рассмотрены выше. 1. Текучесть. 2. Сжимаемость. 3. Плотность. 10 4. Объемное сжатие. 5. Вязкость. 6. Температурное расширение. 7. Сопротивление растяжению. 8. Свойство растворять газы. 9. Поверхностное натяжение. 2. Силы, действующие в жидкости Жидкости делятся на покоящиеся и движущиеся. Здесь же рассмотрим силы, которые действуют на жидкость и вне ее в общем случае. Сами эти силы можно разделить на две группы. 1. Силы массовые. Подругому эти силы называют силами, рас пределенными по массе: на каждую частицу с массой ΔM = ρW действует сила ΔF, в зависимости от ее массы. Пусть объем ΔW содержит в себе точку А. Тогда в точке А: ΔM , ρΔ W ΔW → 0 FA = lim (16) где FА — плотность силы в элементарном объеме. Плотность массовой силы — векторная величина, отнесена к еди ничному объему ΔW; ее можно проецировать по осям координат и получить: Fx, Fy, Fz. То есть плотность массовой силы ведет се бя, как массовая сила. Примерами этих сил можно назвать силы тяжести, инерции (ко риолисова и переносная силы инерции), электромагнитные силы. Однако в гидравлике, кроме особых случаев, электромагнит ные силы не рассматривают. 2. Поверхностные силы. Таковыми называют силы, которые действуют на элементарную поверхность Δω, которая может на ходиться как на поверхности, так и внутри жидкости; на поверх ности, произвольно проведенной внутри жидкости. 11 → Таковыми считают силы: силы давления P,которые составляют → нормаль к поверхности; силы трения T , которые являются каса тельными к поверхности. Если по аналогии (16) определить плотность этих сил, то: нормальное напряжение в точке А: → → ΔP . ΔW → 0 Δω P A = lim (17) касательное напряжение в точке А: → TA → ΔT = lim . ΔW → 0 Δω (18) И массовые, и поверхностные силы могут быть внешними, ко торые действуют извне и приложены к какойто частице или каж дому элементу жидкости; внутренними, которые являются парны ми и их сумма равна нулю. 3. Гидростатическое давление и его основные свойства Общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости — уравнения Л. Эйлера для гидростатики. Если взять цилиндр с жидкостью (покоящейся) и провести че рез него линию раздела, то получим жидкость в цилиндре из двух частей. Если теперь приложить некоторое усилие к одной части, то оно будет передаваться другой через разделяющую плоскость сечения цилиндра: обозначим эту плоскость S = w. Если саму силу обозначить как p, то взаимодействие, переда ваемое от одной части к другой через сечение Δw, и есть гидроста тическое давление. 12 Если оценить среднее значение этой силы, pcp = p p = . S w (19) А чему равна эта сила в некоторой точке А, принадлежащей сечению w? Из математики известно, что задачи такого рода решаются с по мощью предела: рассмотрев точку А как предельный случай w, оп ределяем: Δp . Δw (20) Сила p,и напряженность Δ p ,всегда направлены вдоль норма ли к площади Δw. В противном случае силу р можно было бы раз ложить на составляющие, нормальную и касательную, и послед няя изза свойства текучести жидкости привела бы ее в движение. Но мы не наблюдаем этого, например, в случае попадания каплей жидкости на горизонтальную поверхность. Как видно из этого же примера, сила Δ p , которая действует на капли, сжимающая. При чем, если жидкость в равновесном состоянии, то сила Δ p не зави сит от ориентации сечения Δw. Попробуем это показать наглядно. Возьмем небольшой объем в форме тетраэдра в равновесной жидкости и обозначим его стороны как Δx, Δy, Δz, предваритель но совместив вершину тетраэдра (точка А) с началом координат ной системы (точка О). Из геометрии известно, что объем полученной фигуры ΔW = 1 ΔxΔyΔz . 6 (21) Грани Δwx, Δwy, Δwz тетраэдра в пересчете на площадь Δw лежат в координатных плоскостях, четвертая грань Δwn наклонна к этим плоскостям и параллельна нормали n к четвертой поверхности; на этом же направлении действует сила p,. 13 Но кроме нее, в том же направлении действует на Δw массовая сила F = ρΔw. Эта сила имеет свою плотность, которая распределена по осям координат как Fx, Fy, Fz. Определим проекцию Fx: ∧ ΔPx − ΔPn cos(n, x ) + Fx ρΔW = 0, (22) ∧ где (n, x ) — угол между нормалью и осью х; Δpn — проекция силы p на одиночный нормаль n . Условие (22) представляет собой условие равновесной жидко сти с объемом Δw: сумма ее первых двух членов является эквива лентом силы массы FxρΔW, только с противоположным знаком. ∧ ΔPn cos(n, x ) — проекция силы массы на нормальное направление п; FxρΔW — ее проекция на ось х. Разделив (22) на Δwx и учитывая, что ΔW = 1 ΔxΔyΔz, 6 (23) Δw x = 1 ΔyΔz , 2 (24) а также то, что с другой стороны Δwx — площадь грани ABD, кото рая перпендикулярна оси х, после небольших преобразований по лучим: Δpx 1 1 − Fx ρ Δx = = Δ w x Δ wn 3 = Δpx Δpn 1 − Fx ρ Δx . = Δ w x Δ wn 3 (25) Если перейти к пределу, то Δw переходит в точку А. Поэтому Δpx → Δpn.В конечном результате px = pn, точно так же можно по лучить py = pn, pz = pn. 14 Следовательно, py = pn, pz = pn. (26) Мы доказали, что во всех трех направлениях (их мы выбрали произвольно) скалярное значение сил одно и то же, то есть не зави сит от ориентации сечения Δw. Вот это скалярное значение прило женных сил и есть гидростатическое давление, о котором говорили выше: именно это значение, сумма всех составляющих, передается через Δw. Другое дело, что в сумме (px + py + pz) какаято составляющая окажется равной нулю. Как мы в дальнейшем убедимся, в определенных условиях ги дростатическое давление все же может быть неодинаково в раз личных точках одной и той же покоящейся жидкости, то есть p = f(x, y, z). (27) Итак, как мы убедились выше, на выделенный объем внутри жидкости действуют поверхностные сжимающие и массовые си лы. Например, на объем dxdydz с массой ρdxdydz будут действо вать силы ρ F ΔW с проекциями на координатные оси Fx, Fy, Fz. Но как нам определить гидростатическое давление? Сперва определим проекцию давления на ось х. Для этого пред ставим себе, что из выделенного объема удалена жидкость, а ее воз действие заменено силами (это и есть сжимающие силы). Объем имеет форму параллелепипеда. Разложим давление в центре рассматриваемого объема в ряд Тейлора по приращению dx, оставив только первые два члена, по лучим выражение для значений этого давления на двух противо положных сторонах этого объема, перпендикулярных оси х: p− ∂p dx ∂p dx × ; p+ × . ∂x 2 ∂x 2 15 Точно так же можно получить выражение давления по прира щениям dy, dz. В таком случае уравнение равновесия жидкости по оси х со стоит из следующей суммы: ∂p dx ⎞ ∂p dx ⎞ ⎛ ⎛ Fx ρdxdydz + ⎜ p − ґ ґ ⎟ dz − ⎜ p + ⎟ dydz = 0. ∂x ∂x 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝ (28) После преобразования и сокращения на dxdydz получим: Fx ρ = ∂p . ∂x (29) Если получить такие же уравнения по другим приращениям dydz, то получим следующую систему уравнений: ⎛ ∂p ⎞ ⎜ = ρFx ⎟ ∂ x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂p ⎟ ⎜ = ρFy ⎟. ⎜ ∂y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂p ⎟ ⎜⎜ = ρFz ⎟⎟ ⎝ ∂z ⎠ (30) Полученная система уравнений — уравнения Эйлера. Из вышеуказанного примера следует, что легко получить урав нение равновесия жидкости в виде (29), то есть ∂p = ρFn . ∂n (31) 4. Поверхности равного давления и их свойства Мы установили, что есть гидростатическое давление, и опре делили следующие его свойства. 16 1. Гидростатическое давление всегда направлено по нормали к по верхности и его величина не зависит от ориентации поверхности. 2. Внутри покоящейся жидкости в любой точке гидростатиче ское давление направлено по внутренней нормали к площадке, проходящей через эту точку. Причем px = py = pz = pn. 3. Для любых двух точек одного и того же объема однородной несжимаемой жидкости (ρ = const) p1 + ρП1 = р2 + ρП 2, (32) где ρ — плотность жидкости; П1, П2 — значение поле массовых сил в этих точках. Получим уравнение (32). Для этого систему уравнений Эйлера (30) умножим: первое уравнение на dx, второе — на dy, третье — на dz. Сложив, получим: ∂p ∂p ∂p dx + dy + dz = ρ(Fx dx + Fy dy + Fz dz ). ∂x ∂y ∂z (33) Если бы мы взяли произвольную функцию p = f(x, y, z) и нашли от нее полный дифференциал dp, то получили бы сумму левой части (33). Поэтому запишем (33) в следующем виде: dp = ρ(Fx dx + F y dy + Fz dz ). (34) В течение всего настоящего курса гидростатики мы рассмат риваем однородную сжимаемую и несжимаемую жидкость: для та кой жидкости ρ = const. В таком случае, в правой части сумму можно рассмотреть как полный дифференциал, что значит, если принимать: Fx = ∂U ∂U ∂U ; Fy = ; Fz = , ∂x ∂y ∂z то ∂U ∂U ∂U dx + dy + dz = dU , ∂x ∂y ∂z где U(x, y, z) = f— плотность силы масс, то есть поля массовых сил. 17 С учетом вышеприведенного, из (34) следует: dp = ρdU. (35) Но, поскольку поля массовых сил характеризуется потенциаль ной энергией П(x, y, z), то (35) можно написать в виде: dp = –ρdП. (36) Если взять интеграл из (36), получим: p = –ρП + c, (37) откуда p + ρП = c, то есть для одного и того же объема: p1 + ρП1= p2 + ρП2. (38) Из уравнения (38) следует, что в жидкости существуют беско нечно малые слои, где давление одинаково для всех ее точек. Убедимся в этом. Если предположить в уравнении (34), что p = const, то dp = 0, следовательно поскольку ρ ≠ 0, то Fxdx + Fydy + Fzdz = 0, что одно и то же (35) и (36) П(x, y, z) = const. (39) Мы получили уравнение поверхности, во всех точках которой p = const, то есть одинаковы. 18 Поверхность, для любых двух точек которой давление одно и то же, называется поверхностью равного давления. Поверхность жидкости, которая находится на границе двух сред, например, с воздухом, также рассматривается как поверхность рав ного давления. В заключении лекции, возвращаясь к системе уравнений Эйле ра, следует сказать о ее физическом смысле: это уравнение опреде ляет взаимоотношение поверхностных и объемных сил в любой точке однородной несжимаемой жидкости. Причем это уравнение описывает состояние равновесия и для сжимаемой жидкости. ЛЕКЦИЯ № 2. Однородная несжимаемая жидкость 1. Равновесие однородной несжимаемой жидкости под воздействием силы тяжести Это равновесие описывается уравнением, которое называется основным уравнением гидростатики. Наша цель — получить это уравнение. Если рассмотреть сосуд с покоящейся жидкостью, то на нее действует сила атмосферного давления p и S = g M (сила ее мас сы). Что касается плотности этой силы Q, то это F = g . Выразим в декартовой системе координат: Fx = 0, Fy = 0, Fz = –g. (40) Учтя (40), в (34) получим: dp = –ρgdz. (41) Поскольку, ρ = const, и изменением g от высоты в данном случае пренебрегаем, то есть g = const, то проинтегрировав (41), получим: p = –ρgz + c. (42) где с — постоянная интегрирования. Следим, как поведет себя уравнение (42) в случае, если мы его применим к единице веса. Для этого разделим его на ρg′: z+ p = const. ρg 20 (43) Если относить уравнение (42) к единице массы, то придется раз делить ее на ρ gz + ρ = const. p (44) Если рассмотрим полученные уравнения для любых двух то чек одного и того же объема, то z1 + p1 p = z2 + 2 , ρg ρg gz1 + p1 p = gz 2 + 2 . ρ ρ (45) (46) Полученные уравнения описывают распределение давления в жидкости, которая находится в равновесном состоянии. Из них уравнение (45) является основным уравнением гидростатики. Для водоемов больших объемов или поверхности требуется уточнения: сонаправлен ли g радиусу Земли в данной точке; на сколько горизонтальна рассматриваемая поверхность. Возьмем любую точку А, высота которой z, cо значением дав ления р в этой точке, которое и нужно определить. Для этого возьмем точку В на свободной поверхности с высо той z0 и с давлением p0. Используя эту точку, определим р, причем по сравнению с атмосферным p0 < pатм, p0 > pатм, р0 = ратм. Согласно уравнению (45) z+ p p = z0 + 0 , ρg ρg (47) находим, что p = p0 + ρg (z 0 − z ). 21 (48) Очевидно, что z0 – z = h — высота, которая характеризует глу бину погружения точки А под свободную поверхность. Следова тельно, p = p0 + ρgh, (49) где ρgh — весовое давление, которое соответствует единичной высо те и единичной площади. Другими словами, давление в точке А является суммой внеш него давления (в данном случае p0) и веса столба ρgh. Нередко давление р называют абсолютным давлением pабс. Если р > pабс, то p – pатм = p0 + ρgh – pатм — его называют из, быточным давлением: pизч = p < p0, (50) если p < pатм, то говорят о разности в жидкости pвак = pатм – p, (51) называют вакуумметрическим давлением. На свободной поверхности и p0 = pатм, поэтому pизч = ρgh. (52) Что произойдет в других точках жидкости, если приложим не которое усилие Δp ? Если выбрать две точки, и приложить к одной из них усилие Δp1, то согласно формуле (45), то есть по основно му уравнению гидростатики, во второй точке давление изменится на Δp2. z1 + p1 + Δp1 p + Δp2 = z2 + 2 , ρg ρg 22 (53) откуда легко заключить, что при равности прочих слагаемых долж но быть Δp1 = Δp2. (54) Мы получили выражение закона Паскаля, который гласит: из менение давления в любой точке жидкости в равновесном со стоянии передается во все остальные точки без изменений. До сих пор мы исходили из предположения, что ρ = const. Если иметь сообщающийся сосуд, который заполнен двумя жид костями с ρ1 ≠ ρ2 , причем внешнее давление p0 = p1 = pатм, то со гласно (53): ρ1gh = ρ2gh, (55) h1 ρ1 = , h2 ρ2 (56) откуда где h1, h2 — высота от раздела поверхности до соответствующих свободных поверхностей. Единицы измерения давления Мы до сих пор не дали определения давлению: давление — фи зическая величина, которая характеризует силы, направленные по нормали к поверхности одного предмета со стороны другого. Если силы распределены нормально и равномерно, то давление p= F , S (57) где F — суммарная приложенная сила; S — поверхность, к которой приложена сила. Если силы распределены неравномерно, то говорят о среднем значении давления или считают его в отдельно взятой точке: на пример, в вязкой жидкости. 23 Для того, чтобы определить среднее значение давления нужно суммировать его проекции по осям. Давление измеряется с помощью пьезометров, манометров и вакуумметров, о которых расскажем чуть позже. Единицы измерения давления следующие: 1 Паскаль — 1H/м2 1 Бар — 105 дин/см2 кг ґ с/см2 — 1 атмосфера 1 Атм. — 760 мм рт.ст. Мм рт. ст. — высота столбца с ртутью Мм вод. ст. — высота столбца с водой. Если говорить о физическом смысле единицы Паскаль, то это сила в 1 Ньютон, приложенная к площади 1 кв. м. Преобразовав 1 паскаль = 1 Н м/м3, получим 1 Дж/м3. При измерении больших давлений используют единицу мега паскаль (МПа). Приборы для измерения давления Одним из приборов, которым измеряют давление, и о котором сказано выше, является манометр. Это Uобразная стеклянная труба диаметром 10—15 мм. Один конец трубы свободный, другой конец присоединяется к точке, в которой необходимо измерять давление. Разность давлений в концах трубки p2 – p1 может быть уравновешена противодавлением ρgh (или весовым давлением), то есть: p2 – p1 = ρgh, (58) p2 = p1 + ρgh. (59) откуда Как видно из (59), достаточно знать высоту h, поскольку p1 за дано, чтобы вычислить p2. Для определения на трубы прикрепляется специальная шкала. 24 Недостатком манометров является то, что у них небольшой диапазон измерений: 1—10 кПа. По этой причине в трубах используют жидкости, которые «уменьшают» высоту, например, ртуть. Например, если требуется измерять давление 1,5 атм (0,15 МПа), то требуется манометр, трубы у которого имеют высоту 15 мм. Ртуть же уменьшает эту высоту в 13,6 раз. Для измерения еще больших давлений пользуются пружинны ми манометрами. Следующим прибором для измерения давления является пьезо метр. Возможно, комуто из вас пришлось проделать следующий опыт: если возьмем резиновую или хлорвиниловую трубку произ вольной длины, заполним водой, затем, закрыв один конец пальцем, оставим другой конец свободным и поднимем трубку, вода не выльется. Вода не будет выливаться, даже если между жидкостью и дру гим закрытым концом будет воздушный зазор; может даже под ниматься к закрытому концу трубы. Вот это последнее зависит от атмосферного или другого, если проводится специальный экспе римент, давления. Именно по этому принципу работают пьезомет ры: на свободный конец трубы действует измеряемое давление. Это же является причиной того, почему в узкой трубе уровень жидкости выше, чем в самом сосуде. Сосуд и ответвление от него на глубине hA со свободной по верхностью, образуют систему сообщающихся сосудов. Высота свободной поверхности в узкой трубке поднимается на hH > hA потому, что атмосферное давление p1 > p2, где p1, p2 — соответствующие давления, действующие на свободные поверх ности сосуда и трубы. p1 > p2 потому, что площадь свободной по верхности у сосуда больше, чем у трубы, причем разность давлений p1 – p2 ~ hH. Высоту напора принято называть пьезометрической высотой, или напором. Рассмотрим следующие случаи. 1. Мы уже видели, что происходит при p1 > p2, hH > hA, hA — по тому что трубка соединена с сосудом на уровне точки А. 25 Для нахождения hH воспользуемся условием равновесной жидкости. В данном случае система представляет собой равновес ную систему. Согласно основному уравнению гидростатики, p1 + ρghA = p2 + ρghH, где ρ — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения. p2, как правило, задается p2 = pатм, поэтому, зная hА и hH, не трудно определить искомую величину. 2. p 1 = p 2 = p атм . Совершенно очевидно, что из ρ = const, g = const следует, что hА = hH. Этот факт называют также законом сообщающихся сосудов. 3. p1 < p2 = pатм. Между поверхностью жидкости в трубе и ее закрытым концом образуется вакуум. Такие приборы называют вакуумметры; их ис пользуют для измерения давлений, которые меньше атмосферно го. На практике вакуум в приборах устанавливается еще изгото вителем; результатом измерения является: установить, насколько изменится этот вакуум. На нижнюю оконечность трубы, что находится в жидкости в большом сосуде, действует давление pB. Тогда давление на свобод ной поверхности трубки, точнее, в самом вакуумметре, pB, и иско мое атмосферное давление pa связаны, поскольку на нижнее сече ние трубки в жидкости оказывается не только усилие pB и ρgh, но точно такое же по величине pатм = pB + ρgh. (60) Теперь несложно определить высоту, которая и является ха рактеристикой изменения вакуума: h= ратм − рВ . ρg 26 (61) Как следует из этой же формулы, ρ и g постоянные, h — харак теристика степени разреженности в приборе. pвак = pa + pB — такова разность между атмосферным давлением и давлением в трубке. Вакуум измеряется в тех же единицах, что и давление. Пьезометрический напор Вернемся к основному гидростатическому уравнению. Здесь z — координата рассматриваемой точки, которая отсчитывается от плос кости XOY. В гидравлике плоскость XOY называется плоскостью сравнения. Отсчитанную от этой плоскости координату z называют пораз ному: геометрической высотой; высотой положения; геометриче ским напором точки z. В том же основном уравнении гидростатики величина p/ρgh — также геометрическая высота, на которую поднимается жидкость в результате воздействия давления р. p/ρgh так же, как и геометрическая высота, измеряется в мет рах. В случае, если через другой конец трубы на жидкость дейст вует атмосферное давление, то жидкость в трубе поднимается на высоту pизб/ρgh, которую называют вакуумметрической высотой. Высоту, соответствующую давлению pвак, называют вакууммет, рической. В основном уравнении гидростатики сумма z + p/ρgh — гидро статический напор Н, различают также пьезометрический напор Hn, который соответствует атмосферному давлению pатм/ρgh: Hn < H. В гидравлике оперируют еще следующими понятиями: плос, кость гидростатического напора — геометрическое место концов вертикалей длиной z + p/ρgh от плоскости сравнения; плоскость пьезометрического напора — геометрическое место концов верти кали с длиной z + pизб/ρgh. 27 Плоскость пьезометрического напора может совпадать со сво бодной поверхностью, если p0 = pатм, в других случаях положение плоскости определяется в зависимости от p0 > pA или p0 < pA. 2. Гидравлический пресс Гидравлический пресс служит для совершения на коротком пу ти большей работы. Рассмотрим работу гидравлического пресса. Для этого, чтобы совершалась работа над телом, надо воздейст вовать на поршень с некоторым давлением Р. Это давление, как и Р2, создается следующим образом. Когда поднимается поршень насоса с площадью нижней по верхности S2, то он закрывает первый клапан и открывает второй. После заполнения цилиндра водой второй клапан закрывается, открывается первый. В результате вода через трубу заполняет ци линдр и давит на поршень с помощью нижнего сечения S1 с дав лением Р2. Это давление, как давление Р1, сжимает тело. Совершенно очевидно, что Р1 — это то же самое давление, что и Р2, разница только в том, что они воздействуют на разные по ве личине площади S2 и S1. Другими словами, давления: P1 = pS1 и P2 = pS2. (62) Выразив p = P2/S2 и подставив в первую формулу, получим: p1 = P2 = S1 . S2 (63) Из полученной формулы следует важный вывод: на поршень с большей площадью S1 со стороны поршня с меньшей площадью S2 передается давление во столько раз большее, во сколько раз S1 > S2. Однако на практике изза сил трения до 15% этой передавае мой энергии теряется: тратится на преодоление сопротивления сил трения. 28 И все же у гидравлических прессов коэффициент полезного действия η = 85% — достаточно высокий показатель. В гидравлике формула (63) перепишется в следующем виде: R = ηP2 ω1 . ω2 (64) где P1 обозначено как R; S1 — ω1; S2 — ω2. Гидравлический аккумулятор Гидравлический аккумулятор служит для поддержания давле ния в подключенной к нему системе постоянным. Достижение постоянства давления происходит следующим об разом: сверху на поршень, на его площадь ω, действует груз Р. Труба служит для передачи этого давления по всей системе. Если в системе (механизме, установке) жидкости в избытке, то избыток по трубе поступает в цилиндр, поршень поднимается. При недостатке жидкости поршень опускается, и создаваемое при этом давление р, по закону Паскаля, передается на все части системы. Давление во всей системе постоянно, потому что р = p/ω = const в силу постоянства веса груза ρ и площади поршня ω. ЛЕКЦИЯ № 3. Условия устойчивого равновесия и плавания тел 1. Определение силы давления покоящейся жидкости на плоские поверхности. Центр давления Для того, чтобы определить силу давления, будем рассматри вать жидкость, которая находится относительно Земли. Если вы брать в жидкости произвольную горизонтальную площадь ω, то, как мы убедились в лекции № 2, при условии, что на свободную поверхность действует ратм = р0 , на ω оказывается избыточное дав ление: Ризб = ρghω. (65) Поскольку в (65) ρghω есть не что иное, как mg, так как hω и ρV = m, избыточное давление равно весу жидкости, заключенной в объеме hω. Линия действия этой силы проходит по центру площа ди ω и направлена по нормали к горизонтальной поверхности. Формула (65) не содержит ни одной величины, которая харак теризовала бы форму сосуда. Следовательно, Ризб не зависит от формы сосуда. Поэтому из формулы (65) следует чрезвычайно важ ный вывод, так называемый гидравлический парадокс — при разных формах сосудов, если на свободную поверхность оказывается одно и тоже р0, то при равенстве плотностей ρ, площадей ω и высот h дав ление, оказываемое на горизонтальное дно, одно и то же. При наклонности плоскости дна имеет место смачивание по верхности с площадью ω. Поэтому, в отличие от предыдущего слу чая, когда дно лежало в горизонтальной плоскости, нельзя ска зать, что давление постоянно. 30 Чтобы определить его, разобьем площадь ω на элементарные площади dω, на любую из которых действует давление p . По определению силы давления, pdω = dP , (66) причем dP направлено по нормали к площадке ω. Теперь, если определить суммарную силу P , которая воздейст вует на площадь ω, то ее величина: ∫ Pабс = ( p0 + ρgh)dω = ρ0 ω + ω ∫ ρghdω. (67) ω Определив второе слагаемое в (6) найдем Рабс. Неизвестным является глубина h, выразив ее через расстояние от оси OY до элементарной площади dω, l = hsinθ, с учетом ρg = = const и θ = const получим: ∫ ρghdω = ρgsinθ∫ ldω. ω Интеграл (68) ω ∫ ldω можно рассматривать как статистический мо, ω мент площади ω относительно линии уреза (ось OY). В этом случае ι = ιц.е. называют плечом момента. Тогда с учетом вышесказанного: ∫ hdω = ∫ sinθldω = sinθl ω ц.т. ω = hц.т ω. (69) ω С учетом (69), из (67) следует: Pабс = ω(p0 + hц.е). 31 (70) Получили искомые выражения для определения давлений, дей ствующих на горизонтальную и наклонную плоскости: Ризб и Рабс. Отметим следующие положения: 1) структурное подобие формул (65) и (70) очевидно: только в (65) входит h — глубина погружения горизонтальной плоскости: в (70) входит hц.г. — глубина погружения наклоненной плоскости, точ нее, центр тяжести смоченной площади поверхности. То есть глубины погружения h и hц.г. принципиально разные; 2) линия действия силы P во втором случае, проходит через точку, которую называют центром давления, причем центры тяжести и давления не совпадают (по крайней мере, в нижнем случае). Тогда возникает естественный вопрос: каковы координаты центра давления? Рассмотрим еще одну точку С, которая принад лежит площади ω, точнее, точку центра тяжести смоченной пло щади ω. В этой точке действует сила P 0 = ρ0ω. Сила P действует в любой другой точке, которая не совпадает с точкой С. 2. Определение силы давления в расчетах гидротехнических сооружений (плотины, плоские затворы и прочее) При расчетах в гидротехнике интерес представляет сила избы точного давления Р, при: р0 = ратм, (71) где р0 — давление, приложенное к центру тяжести. Говоря о силе, будем иметь в виду силу, приложенную в цент ре давления, хотя будем подразумевать, что это — сила избыточ ного давления. Для определения P абс воспользуемся теоремой моментов, из тео ретической механики: момент равнодействующей относительно 32 произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил от носительно той же оси. Если предположить, что площадь ω имеет вертикальную ось симметрии, то центр давления будет находиться на этой оси. На наклонной плоскости, содержащей площадку ω, проекцией (то есть проекцией оси вертикальной симметрии) будет ось OL, заменяющая ось OX, а центром давления — точка D. Теперь, согласно вышеуказанной теореме о равнодействующем моменте: ∫ plц.д. = ldp. (72) Поскольку при р0 = ратм, P = ρghц.е.ω, поэтому dP = ρghdω = = ρgsinθldω, следовательно (здесь и далее для удобства не будем различать ризб и рабс), с учетом P и dP из (72) следует: ∫ ∫ ρghц.т. ρlц.д. = ρgsinθl 2dω = ρgsinθ l 2dω = ρgsinθI y , (73) где hц.т. — глубина погружения центра тяжести; lц.д. — расстояние от линии уреза до центра давления D. Теперь, выразив lц.д. из уравнения (73), получим: lц.д . = Поскольку sinθI y ωhц.е. = sinθ I y ґ . hц.т. ω (74) sinθ 1 = , то: hц.т. lц.т. lц.т = Iy ωlц.т. . (75) 2 Нами определен момент инерции центра тяжести ωlц.т..Если те перь перенесем ось момента инерции, то есть линию уреза жид 33 кости (ось OY) в центр тяжести ω, то есть в точку С, то относитель но этой оси момент инерции центра давления точки D будет J0. Поэтому выражение для центра давления (точка D) без пере носа оси момента инерции от той же линии уреза, совпадающие с осью OY, будет иметь вид: Iy = I0 + ωl 2ц.т.. (76) С учетом формулы (76) из формулы (75) получаем: lц.д . = lц.т. + I 0 / ωlц.т.. (77) Обозначив статистический момент: S = ωlц.г., (78) и подставив в формулу (77), получим окончательную формулу для определения места расположения центра давления от оси уреза жидкости: lц.д. = lц.г. + I0/S. (79) Окончательная формула для lц.д. позволяет определить центр дав ления при расчетах гидротехнических сооружений: для этого разби вают участок на составные участки, находят для каждого участка lц.д. относительно линии пересечения этого участка (можно пользо ваться продолжением этой линии) со свободной поверхностью. Центры давления каждого из участков находятся ниже центра тяжести смоченной площади по наклонной стенке, точнее по оси симметрии, на расстоянии I0/ωlц.u.. 3. Общий прием определения сил на криволинейные поверхности (давление на цилиндрические поверхности). Закон Архимеда Для выяснения действия силы на криволинейную поверхность необходимо решить следующую задачу: рассмотрев частный слу 34 чай, определив силы давления на стенки цилиндра со стороны жид кости, которая находится в равновесном состоянии, обобщить по лученный результат для его прикладного применения в общем случае, независимо от конкретной формы поверхности. Эта задача имеет большое практическое значение: в большинст ве случаев в сооружениях гидротехники встречаются именно такие нестандартные, неправильные формы поверхности, влияние ко торых нужно учитывать. Если теперь представить себе цилиндр с жидкостью в равнове сии, то в каждой точке внутренней поверхности действующая сила также направлена по нормали, но о параллельности этих сил гово рить уже не приходиться: как радиусы окружности, так и направ ленные по ним силы не могут быть параллельными и пересекаются в ее центре. 1. Разбив стенку цилиндра на элементарные площадки, предпо лагаем, что они плоские. Тогда на них оказывает воздействие эле ментарная сила давления dP = ρdω, (80) которая направлена по радиусу. Если координатную систему расположить по другому то оче видно, что: P = Р х2 + Pz2 , (81) согласно теореме Пифагора. Горизонтальная составляющая силы P Px = ρghdω, 35 (82) а вертикальная — z′ = ρghdωz′, (83) где p = ρgh. Проинтегрировав (82) и (83), получим: Px = ρghц.т.dωx, (84) где ωx — проекция всей цилиндрической поверхности на нормаль ную к оси ОХ плоскость; hц.т. — глубина центра тяжести проекции ωx над пьезометриче ской плоскостью для вертикальной составляющей: Pz = ρg ∫ zdω , (85) t ωx ∫ zdω t — объем призмы, которую называют также телом давления. ωx Чтобы получить это тело, следует проектировать его основа ние — сектор на пьезометрическую плоскость: полученная проек ция ограничивает тело сверху, в итоге получается как бы объем ный сектор. Обозначим этот объем как W Д = ∫ zdω , тогда: z ωz Pz = ρgWД , (86) Если Px проходит через центр давления ωx, то Pz проходит через центр тела призмы (тела давления); правда, это несколько сложно заключить. Если провести параллельные плоскости, содержащие Px и Pz, причем плоскость, содержащая Px, также перпендикулярна к пло щадке ωx, то очевидно, что эти плоскости перпендикулярны и рас стояние между ними равно CD; обе они перпендикулярны к пло щадке ωx. 36 Направления линий действия силы зависят от направляющих косинусов следующего вида: cos(P , OX ) = Px ; P (87) cos(P , OZ ) = Px . P (88) Таким образом, формулами (84) и (87) искомая сила давления на цилиндрическую поверхность с горизонтальной образующей пол ностью определена. В рассматриваемом случае ось OY была на правлена параллельно горизонтальной образующей. 2. Теперь рассмотрим цилиндрическую поверхность с верти кальной образующей и направим ось OZ параллельно этой обра зующей, что значит ωz = 0. Поэтому по аналогии, как и в предыдущем случае, P = Px2 + Py2 ⎫⎪ ⎪ ' Px = ρghц.т. ωx ⎬, ⎪ '' Py = ρghц.т. ρy ⎪ ⎭ (89) где h'ц.т. — глубина центра тяжести проекции под пьезометриче скую плоскость; h''ц.т. — то же самое, только для ωy. Аналогично, направление P определяется направляющими ко синусами cos(P , OX ) = Px / P ; (90) cos(P , OY ) = Py / P . Если рассмотреть цилиндрическую поверхность, точнее, объем ный сектор, с радиусом γ и высотой h, с вертикальной образую щей, то ωx = hy, h'ц.т = 0,5h. 37 3. Нам осталось обобщить полученные формулы для приклад ного применения произвольной криволинейной поверхности. Выше мы, рассмотрев частные случаи, приравняли разные состав ляющие силы к нулю, в зависимости от того, какая ось направле на по образующей. Однако в общем случае ни одна из составляющих Px, Py, Pz не равна нулю: ни вертикальная, ни горизонтальная. Следовательно, согласно формулам, полученным выше по частным случаям, Px = ρgh'ц.т.ωx ; ' Py = ρgh'ц.т. ωy ; Pz = ρgω g ; (91) P = Px2 + Py2 + Pz2 . Система уравнений (91) является логическим объединением фор мул для частных случаев, то есть формул (86) и (89). Что касается линии действия в случае пересечения составляю щих, то жидкость действует всего одной силой — силой P : как она направлена? Это направление определяется углами между P и ее составляю щими по координатным осям. Косинусы для этих углов также при дется объединить в систему: Px ; P Py cos(P , OY ) = ; P P cos(P , OZ ) = z . P cos(P , OX ) = 38 (92) 4. Закон Архимеда. Условия плавучести погруженных тел Следует выяснить условия равновесия погруженного в жид кость тела и следствия, вытекающие из этих условий. Для этого воспользуемся теми результатами, которые мы по лучили на этой лекции ранее. Если теперь погрузить в жидкость некоторое тело с объемом WТ и такой формой, что любая прямая, проходящая через тело, будет пересекать его в двух или более точках, то как поведет сила P себя в отношении погруженного тела? Эта сила будет давить на тело со всех сторон, при этом очевидно, что составляющие по горизонтали Px, Py будут взаимно уравнове шиваться, а вертикальная составляющая Pz будет уравновешена си лой тяжести GТ. В результате установится равновесное состояние погруженного тела. Разберемся с вертикальной составляющей. Снизу на тело бу дет действовать выталкивающая сила, равная по весу объему жид кости, которая содержалась бы в объеме самого тела: пусть этот объем WТ. На тело действует еще внешняя сила, которая прило жена к центру давления. Другими словами, Pz состоит из двух сил. Одна сила, обозна чим ее Pz2, направлена вверх: она равна весу жидкости, которая содержится в объеме тела W2 = W1 + WТ, то есть: Pz2 = ρgW2. (93) Если W2 охватывает не только объем тела давления, но и не входящую в этот объем часть объема Wт. погруженного тела, то в W1 входит только объем тела давления (это тело находится выше плоскости, которую и проектируем на свободную поверхность). В итоге, W2 = W1 + WТ. И очевидно, что: Pz1 = ρgW1. 39 (94) Какая же сила действует на погруженное тело? Это равнодей ствующая вертикальных составляющих Pz1, Pz2, она равна силе тя жести, которая соответствует жидкости в объеме Wт; поскольку W2 = W1 + WТ,, то WТ. = W2 – W1 . Этой же формуле соответствует взаимоотношение вертикальных составляющих, то есть: Pz1 = Pz1 – Pz2 = ρgWТ . (95) Полученное выражение характеризует силу, которую принято называть архимедовой силой. Архимедовой силой является сила, равная весу погруженного тела (или его части): эта сила приложена в центр тяжести, направ лена вверх и количественно равна весу жидкости, вытесненной погруженным телом или его частью. Мы сформулировали закон Архимеда. Теперь разберемся с основными условиями плавучести тела. 1. Объем жидкости, вытесненной телом, называется объемным водоизмещением. Центр тяжести объемного водоизмещения сов падает с центром давления: именно в центре давления приложена равнодействующая сил. 2. Если тело погружено полностью, то объем тела W совпадает с WТ, если нет, то W < WТ, то есть Pz = ρgW. 3. Тело будет плавать только в том случае, если вес тела GТ = Pz = ρgW, (96) то есть равен архимедовой силе. 4. Плавание: 1) подводное, то есть тело погружено полностью, если соглас но (35) P = Gт, что означает (при однородности тела): ρgW = = ρтgWТ, откуда W ρ = т, WT ρ 40 (97) где ρ, ρТ — плотность жидкости и тела соответственно; W — объемное водоизмещение; WТ — объем самого погруженного тела. Совершенно очевидно, что если тело погружено полностью и плавает, то W = WТ, следовательно ρТ = ρ; 2) надводное, когда тело погружено частично; при этом глуби ну погружения низшей точки смоченной поверхности тела на зывают осадкой плавающего тела. Ее можно определить, пользуясь выражениями (96) и (97). Ватерлинией называют линию пересечения погруженного тела по периметру со свободной поверхностью жидкости. Площадью ватерлинии называется площадь погруженной части тела, ограниченной ватерлинией. Линию, которая проходит через центры тяжести тела и давле ния, называют осью плавания, которая при равновесии тела вер тикальна. В том случае, если тело имеет плоскость симметрии, то она со держит ось плавания. 5. Метацентр и метацентрический радиус Способность тела восстанавливать свое первоначальное рав новесное состояние после прекращения внешнего воздействия называют остойчивостью. По характеру действия различают статистическую и динамиче, скую остойчивость. Поскольку мы находимся в рамках гидростатики, то и разбе ремся со статистической остойчивостью. Если образовавшийся после внешнего воздействия крен необра тим, то остойчивость неустойчива. В случае сохранения после прекращения внешнего воздей ствия, равновесие восстанавливается, то остойчивость устойчива. Условием статистической остойчивости является плавание. Если плавание подводное, то центр тяжести должен быть рас положен ниже центра водоизмещения на оси плавания. Тогда те 41 ло будет плавать. Если надводное, то остойчивость зависит от то го, на какой угол θ повернулось тело вокруг продольной оси. При θ < 15o, после прекращения внешнего воздействия равно весие тела восстанавливается; если θ > 15o, то крен необратим. Дело в том, что при крене центр давления (что то же самое, что водоизмещение), отходит от оси плавания: ось плавания жестко связана с равновесием плавающего тела. Получается, что архимедова сила попрежнему проходит через центр давления. Однако центр тяжести на оси плавания уже не находится на одной линии с центром давления и архимедовой си лой P . Точку пересечения архимедовой силы P с осью плавания на зывают метацентром: при этом P проходит также через центр дав ления. Метацентрическим радиусом называют радиус окружности, частью которой является дуга, по которой центр давления пере мещается в метацентр. Приняты обозначения: метацентр — M, метацентрический радиус — γм. При θ < 15о γм = I0 , W (98) где I0 — центральный момент плоскости относительно продольной оси, заключенной в ватерлинии. После введения понятия «метацентр» условия остойчивости несколько изменяются: выше говорили, что для устойчивой остой чивости центр тяжести должен находиться выше центра давления на оси плавания. Теперь предоложим, что центр тяжести не должен находиться выше метацентра. В противном случае силы P и G бу дут увеличивать крен. Как очевидно, при крене расстояние δ между центром тяжести и центром давления меняется в пределах δ < γм. 42 Это то же, что δ < 1. γм (99) При этом расстояние между центром тяжести и метацентром называют метацентрической высотой, которая при условии (99) по ложительна. Чем больше метацентрическая высота, тем меньше вероятность крена плавающего тела. Наличие остойчивости от носительно продольной оси плоскости, содержащей в себе ватер линию, является необходимым и достаточным условием остойчи вости относительно поперечной оси той же плоскости. ЛЕКЦИЯ № 4. Кинематика жидкости Гидростатика изучает жидкость в ее равновесном состоянии. Кинематика жидкости изучает жидкость в движении, не рас сматривая сил, порождавших или сопровождавших это движение. Гидродинамика также изучает движение жидкости, но в зави симости от воздействия приложенных к жидкости сил. В кинематике используется сплошная модель жидкости: некото рый ее континуум. Согласно гипотезе сплошности, рассматривае мый континуум — это жидкая частица, в которой беспрерывно дви жется огромное количество молекул; в ней нет ни разрывов, ни пустот. Любая характеристика этого континуума представляет со бой непрерывную функцию: такими же являются их частные про изводные. Если в предыдущих трех лекциях, изучая гидростатику, за мо дель для изучения жидкости в равновесии взяли сплошную среду, то здесь на примере той же модели будут изучать жидкость в дви жении, изучая движение ее частиц. Как правило, говоря о движении жидкости, имеют в виду дви жение некоторой ее частицы, а в ней изменение координат неко торой (любой) точки. 1. Методы определения движения жидкости Для описания движения частицы, а через нее и жидкости, су ществуют два способа. 1. Метод Лагранжа. Этот метод не используется при описании волновых функций. Суть метода в следующем: требуется описать движение каждой частицы. Начальному моменту времени t0 соответствуют начальные ко ординаты x0, y0, z0. 44 Однако к моменту t они уже другие. Как видно, речь идет о дви жении каждой частицы. Это движение можно считать определен ным, если возможно указать для каждой частицы координаты x, y, z в произвольной момент времени t как непрерывные функции от x0, y0, z0. x = x ( x0 , y0 , z0 , t ), y = y( x0 , y0 , z0 , t ), (100) z = z ( x0 , y0 , z 0 , t ). Системой (100) движение частицы описывается полностью. Переменные x0, y0, z0, t, называют переменными Лагранжа. Что касается проекции скоростей на координатные оси, т. е. частных производных вектора скоростей жидкой частицы u , то vx , vt vy uy = , vt vz uz = . vt ux = (101) проекциями ускорений частиц будут: ax = ay = az = v2x vt 2 v2y vt 2 v 2z vt 2 , , (102) . 2. Метод определения движения частиц по Эйлеру. Изучение движения жидкости в этом случае проводится в некоторой непо 45 движной области потока жидкости, в котором находятся части цы. В частицах произвольно выбираются точки. Момент времени t как параметр является заданным в каждом времени рассматри ваемой области, которая имеет координаты x, y, z. Рассматриваемая область, как уже известно, находится в пре делах потока и неподвижна. Скорость частицы жидкости u в этой области в каждый момент времени t называется мгновенной местной скоростью. Полем скорости называется совокупность всех мгновенных ско ростей. Изменение этого поля описывается следующей системой: ux = ux ( x, y, z, t ), y y = y y ( x, y, z, t ), (103) z z = z z ( x, y, z, t ). Переменные в (103) x, y, z, t называют переменными Эйлера. Основные понятия, используемые в кинематике жидкости Сутью вышеупомянутого поля скоростей являются векторные линии, которые часто называют линиями тока. Линия тока — такая кривая линия, для любой точки которой в выбранный момент времени вектор местной скорости направ лен по касательной (о нормальной составляющей скорости речь не идет, поскольку она равна нулю). Можно ли получить уравне ние линий тока? Попробуем: из определения линий тока следует, что направле ния касательной линии тока и вектора местной скорости должны совпадать, причем для любой точки. Это значит, что равны и направ ляющие косинусы углов с осями координат; из условия совпадения направлений вытекает равенство углов, следовательно, и косинусов этих углов: Косинусы углов для касательной к линии dx / dl, dy / dl, dz / dl, где dx, dy, dz — проекции линий тока dl на соответствующие оси координат. 46 Для вектора скорости u такими косинусами углов будут: ux / u, uy / u, uz / u. Исходя из определений линий тока получим: dx ux dy uy dz uz = ; = ; = . dl u dl u dl u (104) Преобразуем (104): dx dl dy dl dz dl = ; = ; = . ux u uy u uz u (105) С учетом (103), из (105) следует: dx dy dz = = . ux ( x, y, z, t ) uy ( x, y, z, t ) uz ( x, y, z, t ) (106) Формула (106) является дифференциальным уравнением линии тока в момент времени t. Следовательно, задав различные ti по по лученным u , где i = 1, 2, 3, …, можно построить линию тока: ею i будет огибающая ломаной линии, состоящей из u . i Линии тока, как правило, не пересекаются в силу условия u ≠ 0 или u ≠ ∞. Но все же, если эти условия нарушаются, то линии то ка пересекаются: точку пересечения называют особой (или критиче, ской). И здесь, и в гидродинамике будем рассматривать два вида движений, в зависимости от характера изменения поля скоростей (векторов) по времени. 1. Неустановившееся движение, которое так называется изза того, что местные скорости в рассматриваемых точках выбранной области по времени изменяются. Поэтому в общем случае линии тока и траектории частиц могут не совпадать: совпадение наблю дается, когда рассматривается состояние движения (поля скоростей). Такое движение полностью описывается системой уравнений (103). 47 Но если, как частный случай, направления скоростей не изме нены, а изменяются только значения u для соответствующих точек, то линии тока и траектории частиц совпадут. 2. Установившееся движение: поскольку при таком движении местные скорости не зависят от времени и постоянны, то уравне ние (103) имеет вид: ux = ux ( x, y, z ), uy = uy ( x, y, z ), (107) uz = uz ( x, y, z ). При таком движении линии тока и траектории частиц совпа дают, а дифференциальное уравнение для линии тока имеет вид: dx dy dz = = . ux ( x, y, z ) uy ( x, y, z ) uz ( x, y, z ) (108) Совокупность всех линий тока, которые проходят через каждую точку контура потока, образует поверхность, которую называют трубкой тока. Внутри этой трубки движется заключенная в ней жид кость, которую называют струйкой. Струйка считается элементарной, если рассматриваемый контур бесконечно мал, и конечной, если контур имеет конечную площадку. Сечение струйки, которое нормально в каждой своей точке к ли ниям тока, называется живым сечением струйки. В зависимости от конечности или бесконечной малости, площадь струйки принято обозначать, соответственно, ω и dω. При неустановившемся движении можно говорить только о струйке в данный момент времени, в следующий момент време ни параметры потока уже другие. Для струйки с dω местные скорости в пределах dω постоянны; для струек с ω такое постоянство не наблюдается. Некоторый объем жидкости, который проходит через живое сечение в единицу времени, называют расходом струйки Q. 48 Если в элементарной струйке скорости распределены по жи вому сечению, то: dQ = udω. (109) Если струйка является конечной, то говорят о ее средней ско рости υ по живому сечению. Q , ω (110) Q = υω. (111) υ= откуда: Потоком жидкости называют совокупность струек. 2. Вихревое и потенциальное (ламинарное) движение жидкой частицы Можно выделить следующие виды движения. Неустановившееся, по поведению скорости, давления, темпе ратуры и т. д.; установившееся, по тем же параметрам; неравномер, ное, в зависимости от поведения тех же параметров в живом сече нии с площадью; равномерное, по тем же признакам; напорное, когда движение происходит под давлением p > pатм, (например, в трубопроводах); безнапорное, когда движение жидкости проис ходит только под действием силы тяжести. Ясно, что если исходить из других параметров, то можно на зывать и другие виды движения жидкости. Однако основными видами движения, несмотря на большое ко личество их разновидностей, являются вихревое и ламинарное движения. Вихревое движение. Проведем такой опыт, чтобы воочию уви деть различие двух основных видов движения жидкости. Для опыта требуется: напорный бак, стеклянная трубка с кра ном для регулировки воды, а также мерный бак, в который проте кает вода по стеклянной трубке. 49 Пусть в наполненный водой бак втекает краска из небольшо го резервуара, который установлен над баком, и подкрашенная вода течет по стеклянной трубке. Что мы будем наблюдать? Это зависит от скорости жидкости, которая течет по стеклян ной трубке. Если скорость небольшая, то краска или подкрашен ная вода текут в трубке. Никакие обменные процессы между части цами струйки и подкрашенной жидкости не видны. Теперь увеличим скорость движения струйки: по мере увели чения скорости υ, «трубка в трубке», то есть слой подкрашенной жидкости, сперва начинает вибрировать, затем, по мере увеличе ния скорости, слой разрывается на кольцевые части (запомним этот момент в следующих лекциях, где будем рассматривать движе ние жидкости, этот опыт очень пригодится), затем вообще переме шивается со всей жидкостью. Ее движение стало как бы беспоря дочным, бурлящим. Разные слои до определенной скорости текли параллельно друг другу. При увеличении скорости «трубка в трубке» разрывалась на отдельные кольцевые части, двигаясь турбулентно, и наконец, пе ремешивается со всей остальной жидкостью. Эффект «трубка в труб ке» исчез. Движение, при котором частицы жидкости вращаются вокруг мгновенных осей, проходящих через их полюсы, называют вихре, вым движением. Это движение жидкой частицы характеризуется угловой скоростью, компонентами (составляющими), которой являются: υu y ⎞ 1 ⎛ υu ⎟; ωx = ⎜⎜ z − 2 ⎝ υy υz ⎟⎠ υu ⎞ 1 ⎛ υu ω y = ⎜⎜ x − z ⎟⎟ ; 2 ⎝ υz υx ⎠ 1 ⎛ υuy υuz ⎞ ⎟. − ωz = ⎜⎜ 2 ⎝ υx υy ⎟⎠ 50 (112) Вектор самой угловой скорости всегда перпендикулярен плос кости, в которой происходит вращение. Если определить модуль угловой скорости, то ω = ω2x + ω2y + ω2z . Удвоив проекции ω на соответствующие координаты оси ωx, ωy, ωz, получим компоненты вектора вихря θ = 2ω. (113) Его проекция будет: θ = 2ωx; θ = 2ωx; (114) θ = 2ωx. Совокупность векторов вихря называется векторным полем. По аналогии с полем скоростей и линией тока, существует и вих, ревая линия, которая характеризует векторное поле. Это такая линия, у которой для каждой точки вектор угловой скорости сонаправлен с касательной к этой линии. Линия описывается следующим дифференциальным уравне нием: υx υy υz = = , ωx ( x, y, z, t ) ω y ( x, y, z, t ) ωz ( x, y, z, t ) (115) в котором время t рассматривается как параметр. Вихревые линии во многом ведут себя так же, как и линии тока. В дальнейшем мы в основном будем изучать вихревые формы движения жидкости. Вихревое движение называют также турбулентным. Ламинарное движение Это движение, как было сказано выше, называют также потен, циальным (безвихревым) движением. 51 При таком движении отсутствует вращение частиц вокруг мгно венных осей, которые проходят через полюсы жидких частиц. По этой причине: υx = 0; υy = 0; υz = 0. (116) ωx = ωy = ωz = 0. Выше отмечалось, что при движении жидкости происходит не только изменение положения частиц в пространстве, но и их де формация по линейным параметрам. Если рассмотренное выше вихревое движение является следствием изменения пространствен ного положения жидкой частицы, то ламинарное (потенциальное, или безвихревое) движение является следствием деформационных явлений линейных параметров, например, формы и объема. Вихревое движение определялось направлением вихревого вектора θ = 2υ, где υ — угловая скорость, которая является характеристикой угло вых деформаций. Вообще говоря, любое движение жидкости является суммой вихревого и ламинарного движений и является деформационным движением. Жидкости, которые поступательно движутся, характеризируют ся скоростью I , проекции которой на координатные оси X, Y, Z есть Ix, Iy, Iz. Деформацию этого движения характеризируют де формацией этих компонентов υI x υI y υI z ; ; . υx υy υz (117) Формула (112) связывает между собой компоненты угловой υ и линейной I скоростей. Но, поскольку при ламинарном движении υx = υy = υz = 0, то согласно (112): 52 dhx υuy = , υx dy υI x υuz = , υz υx υI y υu = z. υz υy (118) Из этой формулы видно: поскольку существуют частные про изводные, связанные между собой в формуле (118), то эти част ные производные принадлежат некоторой функции. Действительно, такая функция существует и называется потен, циалом скорости ϕ. С учетом этого, компоненты ϕ выглядят следую щим образом: Iy = − υϕ υϕ υϕ ; I y = − ; Iz = − . υx υy υz (119) В знак доказательства того, что ϕ является искомой функцией, возьмем частные производные от (119): υu υI x υ2 ϕ =− = z, υz υxυz υx υI y υx =− υ2 ϕ υu = x, υyυx υy (120) υu y υI z υ2 ϕ . =− = υy υyυz υz Идентичность формул (118) и (119) очевидна: разница только в знаке «–», который является доказательством направления дви жения от бoльшего потенциала к меньшему. Следовательно, функция: ϕ = ϕ(x, y, z) существует. 53 (121) Формулой (120) описывается установившееся ламинарное движение, поскольку мы не видим в ней параметра t. Соответст венно, формулой (121) — неустановившееся. Ускорение при ламинарном движении Ускорение движения жидкой частицы имеет вид du υu υi du υi du υi du = + ґ + ґ + ґ , dt υt υx dt υy dt υz dz (122) где du/dt — полные производные по времени. dx = ix; Ускорение можно представить в таком виде, исходя из dt dy dz = iy; = iz . Составляющие искомого ускорения dt dt ⎧ dux = ⎨ ⎩ dt ⎧ du y = ⎨ ⎩ dt ⎧ duz = ⎨ ⎩ dt υu u υux ⎫ υux υu i x + x iy + x z , ⎬+ υt ⎭ υx υy υz υu y ⎫ υuy υu y υuy uz , ix + iy + ⎬+ υt ⎭ υx υy υz υuz ⎫ υuz υu υu u i x + z iy + z z . ⎬+ υt ⎭ υx υy υz (123) Формула (123) содержит в себе информацию о полном ускоре нии. Каждая составляющая этого ускорения на самом деле состоит из локального ускорения, типа υux /υt, и остальной части, напри мер, первые строки: точно так же вторая и третья строки (123) состоят, соответственно, из duy /υt, duz /υt и остальной части соот ветствующих строк. Слагаемые υux /υt, υuy /υt, υuz /υt, называют местными ускори, телями в рассматриваемой точке, которыми характеризуются за коны изменения поля скоростей. Если движение установившееся, то υux υuy υuz = = = 0. υt υt υt 54 Само поле скоростей может быть названо конвекцией. Поэто му остальные части сумм, соответствующие каждой строке (123), называют конвективными ускорениями. Точнее, проекциями кон, вективного ускорения, которое характеризует неоднородность по ля скоростей (или конвекций) в конкретный момент времени t. Само полное ускорение можно назвать некоторой субстанцией, которая является суммой проекций dux /dt, duy /dt, duz /dt, 3. Уравнение неразрывности жидкости Довольно часто при решении задач приходится определять не известные функции типа: 1) р = р (х, у, z, t) — давление; 2) nx(х, у, z, t), ny(х, у, z, t), nz(х, у, z, t) — проекции скорости на оси координат х, у, z; 3) ρ (х, у, z, t) — плотность жидкости. Эти неизвестные, всего их пять, определяют по системе урав нений Эйлера. Количество уравнений Эйлера всего три, а неизвестных, как видим, пять. Не хватает еще двух уравнений для того, чтобы опре делить эти неизвестные. Уравнение неразрывности является од ним из двух недостающих уравнений. В качестве пятого уравне ния используют уравнение состояния сплошной среды. Выделим из рассматриваемой жидкости некоторый малый объем в форме параллелепипеда и обозначим его противостоя щие грани: 1 противостоит грани 2, 3 — к 4, 5, 6; стороны граней 1 и 2 перпендикулярны оси ОХ. Обозначим грани параллелепипеда dx, dy, dt. Тогда его объем dv = dxdydt. За время Δt через грань 1 в объем dv поступает жидкость массой ρUxdydzdt, где ρ — плотность жидкости; Ux — ее линейная скорость в направлении оси ОХ. 55 (124) Поскольку среда, как предположено выше, сплошная, то все функции, описывающие ее, непрерывны, следовательно, диффе ренцируемы. Чтобы вычислить массу, вытекающую через грань 2, требуется дифференцировать выражение (70) по рассматривае мой координате и по времени. Тогда вытекающая через грань 2 жидкость по массе равна: ρUxdydzdt + ∂(ux ) dxdzdt. ∂x (125) Очевидно, что приращение массы в объеме dV есть разность масс, которые выражены по (124) и (125), то есть ∂( ρUx ) ⎤ ⎡ ρUxdydzdt – ⎢ ρUx + dx ⎥dydzdt . ∂x ⎣ ⎦ Раскрываем скобку и сокращаем одинаковые, но противопо ложные по знаку члены: ∂( ρUx ) dxdydt. ∂x (126) В выражениях (124)—(126) учтено, что дx/dt = Ux, дy/dt = 0, дz/dt = 0, поскольку движение происходит только в направлении ОХ. Не вдаваясь в подробности, точно такие же выражения можем получить по направлениям OY и OZ: − − ∂( ρUy ) dxdydt , ∂y ∂( ρUz ) dxdydt . ∂t 56 (127) (128) Определим полное приращение массы жидкости dm в объеме dV: оно равно сумме приращений со всех направлений, т. е. ⎡ ∂( ρUt ) ∂( ρUy ) ∂( ρUz ) ⎤ dm = − ⎢ + + ⎥ dxdydt . ∂y ∂z ⎦ ⎣ ∂t (129) Но если приращение массы происходит в неизменном объеме, то значит, чтото происходит с плотностью, иначе приращение не произошло бы. Действительно, плотность изменяется по закону dρ = ∂ρ dt. ∂t (130) Раз изменилась плотность, изменяется и масса, став равной dρ = ∂ρ dtdxdydz , ∂t (131) где dxdydz = dV. (131) следует из того, что dρdV = dm — прираще ние массы. Но с другой стороны, это не приращение выражено формулой (129). Поэтому, приравнивая (129) и (130), сокращая подобные члены, получим: ∂ρ ∂( ρUx ) ∂( ρUy ) ∂( ρUz ) + + + = 0. ∂t ∂x ∂y ∂z (132) Раскрыв слагаемые, кроме первого, получим ∂( ρUx ) ∂( ρUx ) ρ∂Ux = + . ∂x ∂x ∂x (133) Аналогично получают слагаемые для выражений д(ρUy)/дy и д(ρUz)/дz. С учетом (133) и (132), а так же того, что Ux = dx/dt; Uy = dy/dt; Uz = dz/dt, получим ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ = + Ux + Uy + Uz . ∂t ∂t ∂x ∂y ∂z 57 (134) Поскольку, несмотря на (76), плотность в данном случае не из менится, то, выводя ρ за скобку, получим окончательную формулу: ⎛ ∂Ux ∂ρ ∂Uy ∂Uz ⎞ ⎟ = 0. − ρ ⎜⎜ + + ∂t ∂ x ∂ y ∂z ⎟⎠ ⎝ (135) Мы получили уравнение неразрывности, то есть искомое ура внение для общего случая. В случае несжимаемости жидкости дρ/dt = 0, поскольку ρ = const, поэтому из (135) следует: ∂Ux ∂Uy ∂Uz + + = 0, ∂x ∂y ∂z (136) поскольку эти слагаемые, как известно из курса высшей матема тики, являются скоростью изменения длины единичного вектора по одному из направлений X, Y, Z. Что касается всей суммы в (136), то она выражает скорость от носительного изменения объема dV. Это объемное изменение на зывают поразному: объемным расширением, дивергенцией, рас хождением вектора скоростей. Мы остановим свой выбор на дивергенции, которая является скалярной величиной. ∂Ux ∂Uy ∂Uz + + = dU U , ∂x ∂y ∂z (137) Для общего случая уравнение неразрывности: 1 dρ ґ dU U . ρ dt (138) Когда жидкость несжимаемая, то есть ρ = const: dU U = 0. 58 (139) Возвращаясь к формуле (132) и предположив, что давление установившееся, то есть dρ/dt = 0, получим: ∂ρUx ∂ρUy ∂ρUz + + = 0. ∂x ∂y ∂z (140) Для неустановившегося давления уравнением неразрывности можно считать уравнение (132). Для струйки уравнение будет иметь вид: ∂( ρQ ) v( ρω) + = 0, ∂l ∂t (141) где Q — количество жидкости (расход); ω — угловая скорость струйки; дl — длина элементарного участка рассматриваемой струйки. Если давление установившееся или площадь живого сечения ω = const, то дω /дt = 0, т. е. согласно (141), ρдQ/дl = 0, следовательно, ∂Q = 0. ∂l (142) 4. Характеристики потока жидкости В гидравлике потоком считают такое движение массы, когда эта масса ограничена: 1) твердыми поверхностями; 2) поверхностями, которые разделяют разные жидкости; 3) свободными поверхностями. В зависимости от того, какого рода поверхностями или их со четаниями ограничена движущаяся жидкость, различают следую щие виды потоков: 1) безнапорные, когда поток ограничен сочетанием твердой и свободной поверхностей, например, река, канал, труба с не полным сечением; 2) напорные, например, труба с полным сечением; 3) гидравлические струи, которые ограничены жидкой (как мы увидим позже, такие струйки называют затопленными) или га зовой средой. 59 Живое сечение и гидравлический радиус потока. Уравнение не, разрывности в гидравлической форме Сечение потока, с которого все линии тока нормальны (т. е. пер пендикулярны), называется живым сечением. Также выше мы увидели, что область потока можно рассматри вать в виде объема dV, точнее dV = dωdl, (143) где dω — элементарные площади, на которые разбито живое сечение; dl — длина элементарного участка. Теперь живое сечение можно представить в виде: ∫ ω = dω. (144) ω Если рассмотреть периметр живого сечения, то этот периметр называют смоченным периметром, обозначают его длину как X. При напорных потоках Х равно длине периметра живого сечения, при безнапорных потоках Х составляет только часть периметра живого сечения. Чрезвычайно важное значение имеет в гидравлике понятие о гид равлическом радиусе ω R= . (145) χ Для напорного потока с круглым живым сечением, диаметром d и радиусом r0, гидравлический радиус выражается R= ω πd 2 d = = . χ 4 πd 4 (146) При выводе (146) учли 2 πd 2 ⎛r ⎞ ω = π⎜ 0 ⎟ = ; x = πd . 4 ⎝2⎠ 60 (147) Поскольку длина круга — периметр живого сечения — равна смоченному периметру, формулы (146) и (147) будут существенно облегчать наши гидравлические расчеты, когда мы завершим изу чение теоретических основ гидравлики и начнем их прикладное применение в стандартных, наиболее часто встречающихся зада чах, и не только в них. Расход жидкости в потоке. Средняя скорость Расход жидкости часто называют расходом потока. Расход по, тока — это такое количество жидкости, которое проходит через живое сечение за единицу времени. Если рассматривать поток, состоящий из элементарных струек, то расход потока ∫ ∫ Q = dQ = Udω, ω (148) ω где dQ = dω — расход элементарного потока; U — скорость жидкости в данном сечении. Еще одной характеристикой потока является средняя ско рость потока в поперечном живом сечении с площадью ω υ= Q . ω (149) Местная скорость U не то же, что средняя скорость υ: если ме стная скорость характеризует скорость потока (речь идет о вязкой жидкости) в отдельных точках живого сечения, то средняя ско рость характеризует все живое сечение. В отдельных точках может случиться, что υ = U. Местная скорость U имеет теоретическое значение. Средняя скорость υ используется для решения практических задач. В действительности нет такого потока с υ. Имеется в виду, что берется воображаемый поток со средней скоростью υ для облег чения решения практических задач, например, для расчета Q = υω. 61 (150) Разновидность движения При установившемся движении, когда местные скорости по тока со временем не изменяются, нужно охарактеризовать поток по характеру поля скоростей по той причине, что изза постоян ства местных скоростей остается исходить из поведения мгновен ных местных скоростей. Совокупность этих скоростей в самом начале этой лекции мы называли векторным полем, или полем скоростей. В зависимости от характера изменения поля скоростей разли чают следующие виды установившегося движения: 1) равномерное, когда основные характеристики потока — фор ма и площадь живого сечения, средняя скорость потока, в том числе по длине, глубине потока (если движение безнапор ное), — постоянны, не изменяются; кроме того, по всей длине потока вдоль линии тока местные скорости одинаковы, а уско рений вовсе нет; 2) неравномерное, когда ни один из перечисленных для равно мерного движения факторов не выполняется, в том числе и усло вие параллельности линий токов. Существует плавно изменяющееся движение, которое все же считают неравномерным движением; при таком движении предполагают, что линии тока примерно параллельны, и все остальные изменения происходят плавно. Поэтому, когда на правление движения и ось ОХ сонаправлены, то пренебрегают некоторыми величинами Ux ≈ U; Uy = Uz = 0. (151) Уравнение неразрывности (82) для плавно изменяющегося движения имеет вид (с учетом (97)): ∂U = 0, ∂x (152) аналогично для остальных направлений. Уравнение (152) свидетельствует о том, что вдоль линии тока (или потока) скорость U = const. Поэтому такого рода движе ние называют равномерным прямолинейным; 62 3) если движение нестационарное или неустановившееся, когда местные скорости с течением времени изменяются, то в таком движении различают следующие разновидности: быстро изменяющееся движение, медленно изменяющееся движение, или, как часто его называют, квазистационарное. В гидравлике часто приходится решать задачи графически. При этом пользуются так называемой эпюрой скоростей, которую считают объемной фигурой. Проекция эпюры скоростей на выб ранную вертикаль является плоской фигурой. Давление разделяют также, в зависимости от количества коор динат в описывающих его уравнениях, на: пространственное, когда движение трехмерное; плоское, когда движение двухмерное, т. е. Uх, Uy или Uz равна нулю; одномерное, когда движение зависит толь ко от одной из координат. В заключение отметим следующее уравнение неразрывности для струйки (87), при условии, что жидкость несжимаемая, т. е. ρ = const, для потока это уравнение имеет вид: Q = υ1ω1 = υ2ω2 = … = υi ωi = idem, (153) где υi ωi — скорость и площадь одного и того же сечения с номером i. Уравнение (153) называют уравнением неразрывности в гидрав, лической форме. ЛЕКЦИЯ № 5. Динамика невязкой жидкости Динамика, изучая невязкую жидкость и определяя закономер ности движения этой жидкости, переносит их на вязкую жидкость. В этом заключается ее ценность. Дело в том, что ни в природе, ни в технике не существует ника кой невязкой жидкости — всего лишь модель некоторой жидкости служит для получения определенных результатов. В динамике, как правило, внешние силы задаются. Задача состоит в определении: 1) сил и кинематических характеристик движения жидкости в каждой точке; 2) гидродинамических сил воздействия потока жидкости на погруженное тело. По определению в невязкой жидкости не существует сил трения. Поэтому движущуюся невязкую жидкость можно рассматривать (практически) как гидростатическую среду изза того, что воздей ствие сил на зависит от их направления, то есть значение напряже ния в невязкой среде можно рассматривать как нормаль в каждой точке. Таким образом, динамику невязкой жидкости следует рассмат ривать как промежуточный, переходный раздел для переноса полу ченных на первых четырех лекциях знаний на реальные задачи тех ники и природы, которые будем изучать в главе «Динамика вязкой жидкости» и до конца настоящего курса. 1. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера) Уравнение Эйлера служит одним из фундаментальных в гид равлике, наряду с уравнением Бернулли и некоторыми другими. Изучение гидравлики как таковой практически начинается с уравнения Эйлера, которое служит исходным пунктом для вы хода на другие выражения. 64 Попробуем вывести это уравнение. Пусть имеем бесконечно малый параллелепипед с гранями dxdydz в невязкой жидкости с плотностью ρ. Он заполнен жидкостью и движется как состав ная часть потока. Какие силы действуют на выделенный объект? Это силы массы и силы поверхностных давлений, которые дей ствуют на dV= dxdydz со стороны жидкости, в которой находится выделенный dV. Как силы массы пропорциональны массе, так и поверхностные силы пропорциональны площадям, на которые оказывается давление. Эти силы направлены к граням вовнутрь по нормали. Определим математическое выражение этих сил. Назовем, как и при получении уравнения неразрывности, гра ни параллелепипеда: 1,2 — перпендикулярные к оси ОХ и параллельные оси ОY, 3,4 — перпендикулярные к оси OY и параллельные оси ОХ, 5,6 — перпендикулярные к оси OZ и параллельные оси ОХ. Теперь нужно определить, какая сила приложена к центру масс параллелепипеда. Для этого рассматриваем произвольную точку из (x + dx, y, z): в этой точке давление есть величина, равная 130 ρ+ ∂ρ . ∂x (154) У массовых сил две составляющие: dUx , 1) ρdxdydz dt где ρdxdydz (101) — масса жидкости с плотностью в данном объеме dV, dUx/dt — ускорение центра масс (его проекция на ось Х); 2) Fxρdxdydz (102) — проекция на ось Х массовой силы, кото рая действуют на dVdxdydz, Fx — соответствующая составляю щая плотности распределения массовой силы. Исходим из того, что имеем сплошную среду, следовательно, давление в ней является непрерывной функцией относительно этой среды: ρ = ρ(х, y, z, t) или ρ = f (х, y, z, t). 65 Теперь рассмотрим из грани 2 любые две точки, таким обра зом разность давлений между ними будет ∂ρ ⎞ ∂ρ ⎛ ρ + ⎜ ρ + dx ⎟ = − dx . ∂ x ∂ x ⎝ ⎠ (155) Здесь мы предположили, что в первой точке давление — ρ; во второй, отстоящей от первой на расстоянии dх – (ρ + дρ/дx dх). Поскольку в рассматриваемых точках координаты y, z одина ковы, то хвая проекция суммарного давления из (147) может быть представлена в виде − ∂ρ dxdydz . ∂x (156) Сила, приложенная к центру массы параллелепипеда, которая и заставляет эту жидкость совершать движение, есть сумма най денных сил по (154) и (153), то есть Fxρdxdydz − ∂ρ dUx dxdydz = ρdxdydz . ∂x dt (157) Получили уравнение движения параллелепипеда с dV1 по на правлению оси Х. Делим (157) на массу ρdxdydz: ⎧ 1 ∂ρ dUx = ⎪Fx − ґ ρ ∂x dt ⎪ 1 ∂ρ dUy ⎪⎪ = . ⎨Fy − ґ ρ ∂y dt ⎪ ⎪ 1 ∂ρ dUz = ⎪Fz − ґ ⎪⎩ ρ ∂z dt 66 (158) Полученная система уравнений (158) есть искомое уравнение движения невязкой жидкости — уравнение Эйлера. К трем уравнениям (158) добавляются еще два уравнения, по скольку неизвестных пять, и решается система из пяти уравнений с пятью неизвестными: одним из двух дополнительных уравне ний является уравнение неразрывности. Еще одним уравнением является уравнение состояния. Например, для несжимаемой жид кости уравнением состояния может быть условие ρ = const. Уравнение состояния должно быть выбрано таким образом, чтобы оно содержало хотя бы одно из пяти неизвестных. Уравнение Эйлера для разных состояний имеет разные формы записи. Поскольку само уравнение (формула (158)) получено для общего случая, то рассмотрим несколько случаев: 1) движение неустановившееся: в этом случае ускорение выде ленного параллелепипеда с dV имеет вид (для хвой компоненты) dUx ∂Ux ∂Ux dx ∂Ux dy ∂Ux dz = + ґ + ґ + ґ . dt ∂t ∂t dt ∂y dt ∂z dt (159) Поскольку dx dy dz = Ux; = Uy; = Uz . dt dt dt (160) то, с учетом приведенных выражений (160), (159) и получен ного выражения в (158), имеем ⎧ ∂Ux ∂Ux 1 ∂ρ ∂Ux ∂Ux = + Ux + Uy + Uz ⎪Fx − ґ dt ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ⎪ ⎪⎪ ∂Uy ∂Uy 1 ∂ρ ∂Uy ∂Uy = + Ux + Uy + Uz ; ⎨Fy − ґ ∂x ∂y ∂z ρ ∂x dt ⎪ ⎪ ∂Uz ∂Uz 1 ∂ρ ∂Uz ∂Uz = + Ux + Uy + Uz ⎪Fz − ґ ∂x ∂y ∂z ρ ∂x dt ⎩⎪ 67 (161) 2) жидкость в покое. Следовательно, Ux = Uy = Uz = 0. В та ком случае уравнение Эйлера превращается в уравнение рав номерной жидкости. Это уравнение также дифференциальное и является системой из трех уравнений; 3) жидкость невязкая. Для такой жидкости уравнение движе ния имеет вид (исходя из (158)): Fl − 1 ∂ρ dU ґ = , ρ ∂l dt (162) где Fl — проекция плотности распределения сил массы на на правление, по которому направлена касательная к линии тока; dU/dt — ускорение частицы. Уравнение (162) можно преобразовать и привести в вид: dU dU dU dl = + ґ . dt dt dl dt (163) Для этого следует расписать dU ∂U ∂U dl = + ґ . dt ∂t ∂l dt (164) Подставив U = dl/dt в (164) и учтя, что (дU/дl)U = 1/2(дU2/дl ), получим уравнение (163). Мы привели три формы уравнения Эйлера для трех частных случаев. Но это не предел. Главное — правильно определить урав нение состояния, которое содержало хотя бы один неизвестный параметр. Уравнение Эйлера в сочетании с уравнением неразрывности может быть применено для любого случая. Уравнение состояния в общем виде: ∂Ux ∂Uy ∂Uy + + = 0. ∂x ∂y ∂z 68 (165) Таким образом, для решения многих гидродинамических задач оказывается достаточно уравнения Эйлера, уравнения неразрыв ности и уравнения состояния. С помощью пяти уравнений легко находятся пять неизвест ных: p, Ux, Uy, Uz, ρ. Невязкую жидкость можно описать и другим уравнением. 2. Форма Громеки уравнения движения невязкой жидкости Уравнения Громеки — попросту другая, несколько преобразо ванная форма записи уравнения Эйлера. Рассмотрим первое урав нение из системы уравнений (153). Fx − 1 ∂ρ ∂Ux ∂Ux ∂Ux ∂Ux ґ = + Ux + Uy + Uz . ρ ∂x dt ∂x ∂y ∂z (166) Чтобы его преобразовать, будем пользоваться уравнениями ком понентов угловой скорости для вихревого движения. Найдя из третьего уравнения той системы уравнений для: ∂Ux ∂Uy = − 2ω, ∂y ∂x из второго уравнения ∂Ux ∂Uz = + 2 ω, ∂z ∂x и, подставив их в (166), получим (сгруппировав слагаемые): Fx − 1 ∂ρ ⎛ ∂Ux ∂Ux ∂Ux ⎞ ґ =⎜ Ux + Uy + Uz ⎟⎟ + 2(Uz ω y − Uy ωz ) = ρ ∂x ⎜⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ (167) ∂Ux ∂ U 2 ω ω ґ = + + 2(Uz y −Uy z ). 2 ∂x dt где U 2 = Ux2 + Uy2 + Uz2. 69 Преобразовав точно так же yвую и zвую компоненту, окон чательно приходим к форме Громеко уравнения Эйлера: ⎧ 1 ∂ρ ∂Ux ∂ U 2 = + + 2(Uz ω y − Uy ωz ) ґ ⎪Fx − ґ ∂x 2 dt ρ ∂x ⎪ ⎪ 1 ∂ρ ∂Uy ∂ U 2 ⎪ = + + 2(Ux ωz − Uz ω x ) . ґ ⎨Fy − ґ ∂ ∂ 2 x dt y ρ ⎪ ⎪ 2 ⎪Fz − 1 ґ ∂ρ = ∂Uz + ∂ ґ U + 2(Uy ω x − Ux ω y ) ∂z 2 dt ⎪⎩ ρ ∂x (168) Уравнение Эйлера было получено российским ученым Л. Эй9 лером в 1755 г., и преобразовано в вид (168) опять же российским ученым И. С. Громекой в 1881 г. Но Громеко на этом не остановился. Существует и другая форма записи (168), правда в частном случае, если жидкость на ходится под воздействием потенциальных сил (имеются в виду силы массовые). Уравнение Громеко в этом случае имеет вид: ⎧∂ ⎛ p U 2 ⎞⎟ ∂Ux ⎪ ⎜− П − − = + 2(Uz ω y − Uy ωz ) ⎜ ⎟ 2 x dt ∂ ρ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 2 ⎪∂ ⎛ p U ⎞⎟ ∂Uy = + 2(Ux ωz − Uz ω x ) . ⎨ ⎜⎜ − П − − ρ 2 ⎟⎠ dt ⎪ ∂y ⎝ ⎪ p U 2 ⎞⎟ ∂Uz ⎪ ∂ ⎛⎜ ω ω ⎪ ∂z ⎜ − П − ρ − 2 ⎟ = dt + 2(Uy x −Ux y ) ⎠ ⎩ ⎝ (169) Сравнивая (168) и (169), видим, что у них нет принципиального различия, кроме тех, что, например, для хвой компоненты слагае мое (д/дx)(U/2)2 перенесено в левую часть, а также хвая компонен та силы Fx теперь выражена как Fx = –дП/дx, где Fx является частной производной от той самой силы масс с потенциалом П. Поскольку –dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, (170) то для компонентов Fy, Fz можно вывести те же выражения, что и для Fx, и, подставив это в (168), прийти к (169). 70 Уравнение Громеко применяется по необходимости. Однако в сов ременной гидравлике предпочитают применение наиболее фун даментального уравнения, для получения которого уравнение Гро меко служит как бы промежуточным этапом (после уравнения Эйлера). В том и состоит ценность уравнения Громеко. 3. Уравнение Бернулли Уравнение Громеки подходит для описания движения жидкости, если компоненты функции движения содержат какуюто вихре вую величину. Например, в (157) эта вихревая величина содер жится в компонентах ωx, ωy, ωz угловой скорости ω. Установившееся движение невязкой несжимаемой жидкости, на, ходящейся под воздействием потенциальных массовых сил Условием того, что движение является установившимся, яв ляется отсутствие ускорения, то есть условие равенства нулю част ных производных от всех компонентов скорости: ∂Ux ∂Uy ∂Uz = = = 0. dt dt dt (171) ∂Ux ∂Ux ∂Uy ∂Uz = 0, + + , то получим dt dt dt dt что и есть равенство ускорения. Условием невязкой несжимаемой жидкости является: 1) отсутствие трения (внутри жидкости); 2) постоянство (однородности) плотности ρ = const. С учетом (171), из (169) следует: Если теперь сложить ⎧∂ ⎛ p U 2 ⎞⎟ ⎪ ⎜− П − − = 2(Uz ω y − Uy ωz ) ⎜ ρ 2 ⎟⎠ ⎪ dx ⎝ ⎪ ⎪∂ ⎛ p U 2 ⎞⎟ = 2(Ux ωz − Uz ω x ) . ⎨ ⎜⎜ − П − − ⎟ 2 ρ dy ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ 2 p U ⎞⎟ ⎪ ∂ ⎛⎜ ω ω ⎪ dz ⎜ − П − ρ − 2 ⎟ = 2(Uy x −Ux y ) ⎠ ⎩ ⎝ 71 (172) Если проецировать перемещение на бесконечно малую вели чину dl на координатные оси, то получим: dx = Uxdt; dy = Uydt; dz = Uzdt. (173) Теперь помножим каждое уравнение (121) соответственно на dx, dy, dz, и сложим их: ∂ ⎛⎜ p U 2 ⎞⎟ −П − + dx = 2(Uz ω y − Uy ωz )dx . ⎜ ∂x ⎝ ρ 2 ⎟⎠ Получим еще два уравнения для компонент Uy, Uz. Форма за писи аналогична. Сложив полученные уравнения и учтя, что ∂ ∂ ∂ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z есть полный дифференциал от скобки на левой половине, а так же умножив уравнение (сумму) на знак минус, получим: ⎛ p U 2 ⎞⎟ = −2[(Uz ω y − Uy ωz )dx + (Ux ωz − Uz ω x )dy + d⎜П + + ⎜ ⎟ 2 ρ ⎝ ⎠ + (Uy ω x − Ux ω y )dz ]. (174) Теперь правую часть (174) можно записать как определитель: это даст нам возможность анализировать поведение левой части (174): ⎛ dxdydz ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ p U 2 ⎞⎟ d⎜П + + = −2⎜ ∂x∂y∂z ⎟ . ⎜ ρ 2 ⎟⎠ ⎜UxUyUz ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ 72 (175) Предположив, что правая часть равна нулю, а это возможно, если вторая или третья строки равны нулю, получим: ⎛ p U 2 ⎞⎟ d ⎜П + + = 0. ⎜ ρ 2 ⎟⎠ ⎝ Это равносильно тому, что ⎛ p U 2 ⎞⎟ d ⎜П + + = const. ⎜ ρ 2 ⎟⎠ ⎝ (176) Нами получено уравнение Бернулли. Анализ уравнения Бернулли Анализ будем проводить, приравняв строки или столбцы опре делителя в (175) нулю или рассмотрев случаи их пропорциональ ности. Пропорциональны строки 1 и 3, что значит dx dy dz = = . Ux Uy Uz (177) Полученное уравнение есть не что иное, как уравнение линии тока при установившемся движении. Отсюда следуют выводы: 1) если движение установившееся, то первая и третья строки в уравнении Бернулли пропорциональны. Таким образом, условие (169) справедливо на линиях тока; 2) пропорциональны строки 1 и 2, то есть dx dy dz = = . ωx ωy ωz 73 (178) Уравнение (178) является уравнением вихревой линии. Выво ды из (178) аналогичны выводам из (177), только линии тока заменяют вихревые линии. Одним словом, в этом случае усло вие (178) выполняется для вихревых линий; 3) пропорциональны соответствующие члены строк 2 и 3, т. е. ωx ωy ωz = = = const = a, Ux Uy Uz (179) где а — некоторая постоянная величина; если подставить (179) в (178), то получим уравнение линий тока (177), поскольку из (179) следует: ωx = aUx; ωy = aUy; ωz = aUz. (180) Здесь следует интересный вывод о том, что векторы линейной скорости U и угловой скорости ω сонаправлены, то есть па раллельны. В более широком понимании надо представить себе следую щее: так как рассматриваемое движение установившееся, то получается, что частицы жидкости движутся по спирали и их траектории по спирали образуют линии тока. Следовательно, линии тока и траектории частиц — одно и то же. Движение та кого рода называют винтовым. В этом, третьем случае, для того, чтобы определитель был ра вен нулю, не требуется равенство нулю координат скорости, что и утверждается условием (170): по этой причине внутри траекторииспирали в любой ее точке удельная энергия одна и та же. Такой парадокс наблюдается при винтовом движении. По этой же причине при винтовом движении уравнение Бер нулли применимо для любой точки спирали/линии тока; 4) вторая строка определителя (точнее, члены второй строки) равна нулю, т. е. ωx = ωy = ωz =0. 74 (181) Но отсутствие угловой скорости равносильно отсутствию вих ревости движения. Следовательно, движение безвихревое (ла минарное или потенциальное, что одно и то же). И в этом случае уравнение Бернулли применимо для любой точки, движущейся потенциально; 5) пусть строка 3 равна нулю, то есть Ux = Uy = Uz = 0. Но это, как нам уже известно, условие равновесия жидкости. Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи про порциональности строк, а также равенство строк нулю, кроме первой. Это происходит потому, что, если даже первая строка равна нулю, то это вовсе не значит, что определитель тоже равен нулю. Тем самым, анализ уравнения Бернулли завершен. Примеры прикладного применения уравнения Бернулли Теперь мы разберемся с вопросом: как применять уравнение Бернулли для решения практических задач? Во всех случаях требуется определить математическую форму лу потенциальной функции, которая входит в уравнение Бернул ли: но эта функция имеет разные формулы в разных ситуациях. Ее вид зависит от того, какие массовые силы действуют на рас сматриваемую жидкость. Поэтому рассмотрим две ситуации. Одна массовая сила В этом случае подразумевается сила тяжести, которая выступает в качестве единственной массовой силы. Очевидно, что в этом случае ось Z и плотность распределения Fz силы П противонаправ лены, следовательно, Fx = Fy = 0; Fz = –g. Поскольку –dП = Fxdx + Fydy + Fzdz (см. (161)), то –dП = Fzdz, окончательно dП = –gdz. 75 Интегрируем полученное выражение: П = –gz + C, (182) где С — некоторая постоянная. Подставив (182) в уравнение Бернулли (176), имеем выраже ние для случая воздействия на жидкость только одной массовой силы: gz + p U2 + = const. ρ 2 (183) Если разделить уравнение (133) на g (поскольку оно постоян ное), то z+ p U2 + = const. ρg 2 g (184) Мы получили одну из самых часто применяемых в решении гидравлических задач формул, поэтому следует ее запомнить осо бенно хорошо. Если требуется определить расположение частицы в двух раз ных положениях, то выполняется соотношение для координат Z1 и Z2, характеризующие эти положения gZ 1 + p U2 p U2 . + = gZ 2 + + ρ 2 ρ 2 (185) Можно переписать (135) в другой форме: Z1 + p U2 p U2 . + = Z2 + + ρg 2 g ρg 2 g (186) Несколько массовых сил В этом случае усложним задачу. Пусть на частицы жидкости действуют следующие силы: сила тяжести; центробежная сила 76 инерции (переносит движение от центра); кориолисовая сила инер ции, которая заставляет частицы вращаться вокруг оси Z с одновре менным поступательным движением. В этом случае мы получили возможность представить себе вин товое движение. Вращение происходит с угловой скоростью ω. Нужно представить себе криволинейный участок некоторого по тока жидкости, на этом участке поток как бы вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью. Частным случаем такого потока можно считать гидравличе скую струю. Вот и рассмотрим элементарную струйку жидкости и применим в отношении к ней уравнение Бернулли. Для этого по местим элементарную гидравлическую струю в координатную систе му XYZ таким образом, чтобы плоскость YOX вращалась вокруг оси OZ. Будем считать, что U — местная скорость жидкости во вра щающейся плоскости YOX. Пусть Fx1 = Fy1 = 0; Fz1 = –g — (187) составляющие силы тяжести (то есть ее проекции на оси коорди нат), отнесенные к единичной массе жидкости. К этой же массе приложена вторая сила — сила инерции ω2r, где r — расстояние от частицы до оси вращения ее компоненты. Fx2 = ω2x; Fy2 = ω2y; Fz2 = 0, (188) изза того, что ось OZ «не вращается». Теперь можно перейти от выражения плотности распределе ния сил к самой потенциальной силе П. Однако следует учиты вать, что, поскольку вектор кориолисовой силы находится в плос кости YOX, но она перпендикулярна к оси OZ, что и видно из (188), то в окончательном выражении проекции плотности рас 77 пределения этой силы будут отсутствовать. Выражая теперь со ставляющие массовой силы как ее полный дифференциал в виде –dП = Fxdx + Fydy + Fzdz (189) и подставляя в (189) ненулевые значения Fx, Fy, Fz, имеем: dП = ω2rdx + ω2rdy – gdz. (190) Интегрируем (190), тогда П =− ω2 ( x 2 + y 2 ) + gz + C . 2 (191) Из геометрии известно, что для окружности x2 + y2 = r2. С уче том этого, окончательно потенциальная сила будет: П = gz − ω2r 2 +C. 2 (192) Подставив (192) в (176), получим уравнение Бернулли. Для рассматриваемого случая: gz + p U 2 ω2r 2 + − = const. ρ 2 2 (193) Или, что одно и то же, после деления на g z+ p U 2 ω2r 2 + − = const. gρ 2 g 2g 78 (193' ) Если рассмотреть два сечения элементарной струйки, то, при менив вышеуказанный механизм, легко убедиться, что gz1 + p U2 p1 U 12 ω2r12 + − = gz 2 + 2 + 2 − ω2r22 , 2g ρ 2g ω 2g (194) где z1, h1, U1, V1, z2, h2, U2, V2 — параметры соответствующих се чений. Энергетический смысл уравнения Бернулли Завершим анализ уравнения Бернулли выяснением энергети ческих смыслов слагаемых, которые в нем имеются, а затем и са мого уравнения в целом. Пусть теперь имеем установившееся движение жидкости, ко торая невязкая, несжимаемая. И пусть она находится под воздействием сил тяжести и давле ния, тогда уравнение Бернулли имеет вид: z+ 2 p U + = const. ρg 2 g Теперь требуется идентифицировать каждое из слагаемых. По тенциальная энергия положения Z — это высота элементарной струйки над горизонтальной плоскостью сравнения. Жидкость с мас сой М на высоте Z от плоскости сравнения имеет некоторую по тенциальную энергию MgZ. Тогда Z = MgZ . Mg Это та же потенциальная энергия, отнесенная к единичной массе. Поэтому Z называют удельной потенциальной энергией положения. 79 Удельная работа силы давления Пусть имеем элементарную струйку с живым сечением dω, дав лением p и скоростью u. При перемещении частицы жидкости в струйке на расстояние udt за время dt сила давления pdω соверша ет работу dA, где dA = pdωudt. (195) Если соотнести эту работу с объемом вытесненной жидкости dV = dωudt, то dA pdω udt p = = . dV ρgdω udt ρg (196) Получаем второе слагаемое в уравнении Бернулли. Следова тельно, как мы только что убедились, p/ρg — это работа силы дав ления, которая отнесена к единице веса жидкости. Удельная кинематическая энергия Теперь выясним все то же самое для слагаемого U 2/2g. Движу щаяся частица с массой М и скоростью u имеет вес MG и кинема тическую энергию U 2/2g. Если соотнести кинематическую энер гию с единичной массой, то M U2 U2 . = 2 2 (197) Полученное выражение есть не что иное, как последнее, третье слагаемое в уравнении Бернулли по формуле (184). Следователь но, U 2/2 — это удельная кинетическая энергия струйки. Таким образом, общий энергетический смысл уравнения Бернулли та ков: уравнение Бернулли представляет собой сумму, содержащую в себе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке: 80 1) если полная энергия соотнесена с единичной массой, то она есть сумма gz + p/ρ+ U 2/2; 2) если полная энергия соотнесена с единичным объемом, то ρgz + p + pU 2/2; 3) если полная энергия соотнесена единичному весу, то пол ная энергия есть сумма z + p/ρg + U 2/2g. Не следует забывать, что удельная энергия определяется относительно плоскости сравнения: эта плоскость выбирается произвольно и горизон тально. Обычно выбирают такую плоскость, где dП = 0. Теперь легко формулировать наиболее важный вывод, вытекающий из уравнения Бернулли. Для любой пары точек, произвольно выб ранной из потока, в котором установившееся движение и кото рый движется потенциальновихрево, а жидкость невязконес жимаемая, суммарная и удельная энергия одинаковы, то есть распределены по потоку равномерно. Геометрический смысл уравнения Бернулли. Пьезометрические напор и уклон. Линия удельной энергии Часто применение уравнения Бернулли удобно в его геомет рической интерпретации, поскольку не всегда удается определить массовую силу П (имеется в виду — ее математическую формулу). В таких случаях геометрический смысл уравнения Бернулли позво ляет решать поставленную задачу, минуя некоторые расчеты. Основу теоретической части такой интерпретации составляет гидравлическое понятие напор, которое принято обозначать бук вой Н, где H =z+ p U2 . + ρg 2 g (188) Гидродинамический напор Н состоит из следующих разно видностей напоров, которые входят в формулу (198) как сла гаемые: 1) пьезометрический напор, если в (198) p = pизг, или гидро статический, если p ≠ pизг; 2) U 2/2g — скоростной напор. 81 Как видно из формулы (198), все слагаемые имеют линейную размерность, поэтому по аналогии с первым слагаемым z их мож но считать высотами. Назовем эти высоты: 1) z — геометрическая высота, или высота по положению; 2) p/ρ g — высота, соответствующая давлению p; 3) U 2/2g — скоростная высота, соответствующая скорости. Если взять любую из этих высот и определить геометрические места, отсчитанные от плоскости сравнения, то получим некото рую линию, состоящую из этих геометрических точек, причем полу ченные линии для разных высот (их три) могут совпадать, но могут и разниться, как часто бывает. Например, геометрическое место концов высоты Н соответствует некоторой горизонтальной линии, которую принято называть напорной линией или линией удельной энергии. Точно так же (по аналогии) геометрические места концов пьезо метрического напора принято называть пьезометрической линией. Напорная и пьезометрическая линии расположены друг от друга на расстоянии (высоте) pат /ρ g, поскольку p = pизг + pат, т. е. p p p = изг + атм . ρg ρg ρg Напор пьезометрический, если p = pизг, следовательно, линия пьезометрическая, если точки, составляющие ее, являются кон цами высоты (z + pизг /ρ g). Завершая изложение динамически не вязкой жидкости, назовем еще одну характеристику, которая бу дет использоваться нами при решении практических задач. Вопервых, отметим, что горизонтальная плоскость, содержа щая напорную линию и находящаяся над плоскостью сравнения, называется напорной плоскостью. Вовторых, следует выяснить, чем или как характеризовать эту плоскость при разных движе ниях. Эту характеристику называют пьезометрическим уклоном Jп, 82 который показывает, как изменяется на единице длины пьезомет рический напор (или пьезометрическая линия): Jп = − d ⎛ P ⎞ ⎜⎜ z + ⎟. dl ⎝ ρg ⎟⎠ (199) Пьезометрический уклон считается положительным, если он по течению струйки (или потока) уменьшается, отсюда и знак ми нус в формуле (199) перед дифференциалом. Чтобы Jп остался по ложительным, должно выполняться условие d dl ⎛ P ⎞ ⎜⎜ z + ⎟ < 0, ρ g ⎟⎠ ⎝ (200) следовательно, Jп > 0, в противном случае d dl следовательно Jп < 0. ⎛ P ⎞ ⎜⎜ z + ⎟ > 0, ρg ⎟⎠ ⎝ (201) ЛЕКЦИЯ № 6. Динамика вязкой жидкости Если жидкость невязкая, то в ней и векторы скорости, и напря жение любого другого рода в каждой точке жидкости направлены по нормали; значение этих векторов или напряжений не зависит от их направления, как и при равномерном состоянии жидкости; ни в природе, ни в технике нет такой невязкой жидкости, это все го лишь модель для установления некоторых законов гидродина мики; в вязкой жидкости нет сил трения. В противовес невязкой, в вязкой жидкости присутствуют си лы трения, следовательно, и касательные напряжения к траекто рии частицы жидкости изза сил трения, и действия напряжения зависят от их направления действия, а не только от координат движения, как при вязкой жидкости. 1. Уравнения движения вязкой жидкости Для получения уравнения движения вязкой жидкости рассмот рим такой же объем жидкости dV = dxdydz, который принадлежит вязкой жидкости (рис. 1). Грани этого объема обозначим как 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pzz + Z τ xy + ∂τ zy ∂z dz τ yz + Pyy + ∂y dy ∂Pyy ∂y dy τ yx + ∂τ zx dz ∂z H ∂τ Pyy τ xz + xz dx ∂x G ∂P Pxx + xx dx 3 ∂x τ+ 5 K ∂τ yz ∂Pzz dz ∂z E Pxx 1 A B ∂τ yx ∂y dy Dτ Pzz xy + ∂τ xy ∂x dx C O X Y Рис. 1. Силы, действующие на элементарный объем вязкой жидкости в потоке 84 Чтобы легко представить себе положение параллелепипеда (объема dV), как бы проведем линии, параллельные осям коорди нат X, Y, Z. Тогда линия 1—2 будет параллельна оси OX и перпен дикулярна оси OY, 3—4 будет параллельна оси OY и перпендику лярна оси OX, 5—6 будет параллельна оси OZ и перпендикулярна оси OX. На каждую из шести граней действуют давления Pxx, Pyy, pzz, и силы трения, точнее, касательные напряжения τxy, τxz, τyx, τyx, τzx, τxy. Мы привели напряжения, действующие на грани 1 (pxx, τxy, τxz), 3 (pyy, τyx, τyz) и 5 (pzz, τzx, τzy), выбрав наиболее близкие к на чалу координат (конечно, можно поступить подругому и вы брать и грани 1, 4, 6), причем, если первый индекс у напряжений показывает ось координат, к которой перпендикулярна рассмат риваемая грань, то второй индекс показывает, какой оси эта грань параллельна — именно по этой оси действуют напряжения. Для граней 2, 4, 6 значения напряжений будут следующими: для грани 2 нормальное напряжение — pxx + (дpxx /дx)dx, касатель ное напряжение τ xy + ∂τ xy ∂x dx; τ xz + ∂τ xz dx . ∂x (202) Соответственно, для грани 4 нормальное напряжение — pyy + + (дpyy /дy)dy, касательные τ yx + ∂τ yx ∂y dy; τ yz + ∂τ yx ∂y dy . Для грани 6 pzz + ∂z zy ∂pzz ∂z dz ; τ zx + zx dz ; τ zy + dz . ∂z ∂z ∂z 85 (203) Будем считать, что для любой точки жидкости τxy = τyx; τxz = τzx; τyz = τzy. (204) Тогда из шести касательных напряжений остается только три, поскольку попарно они равны. Поэтому для описания движения вязкой жидкости оказываются достаточными всего шесть незави симых компонентов: pxx, pyy, pzz, τxy (или τyx), τxz (τzx), τyz(τzy). Теперь для того, чтобы получить уравнение движения жидкости, требуется найти сумму проекций, действующих на dV=dxdydz сил на оси координат. Проекцией суммарной массовой силы являет ся Fxρdxdydz, где Fx — хвая компонента плотности массовых сил; ρdxdydz = dV — масса объема dV. Теперь определим хвые проекции нормальных и касательных напряжений: для грани 1 — pxxdydz; τxydxdz; τzxdxdy; для грани 2 — (pxx + (дpxx /дx)dx)dydz; ∂τ ⎛ ⎞ ⎜ τ xy + yx dy ⎟dxdz ; ⎜ ⎟ ∂y ⎝ ⎠ ∂τ zx ⎞ ⎛ ⎜⎜ τ zx + dz ⎟⎟dxdy . ∂z ⎝ ⎠ Очевидно, что сумма всех этих компонентов есть суммарная проекция всех сил, которая в данном случае является произведе нием массы ρdV на проекцию ускорения движения его центра (или полюса) dUx/dt, то есть ∂p ⎛ ⎞ Fxρdxdydx − pxx dydz + ⎜ pzz + xx dx ⎟dydz − τ yx dxdz + ∂x ⎝ ⎠ ∂ τ ⎛ ⎞ ∂τ ⎛ ⎞ yx = ⎜⎜ τ yx + dy ⎟⎟dydz − τ zx dxdy + ⎜⎜ τ zx + zx dz ⎟⎟dxdy = ∂ ∂ y z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ dUx = ρdxdydx , dt где Ux — проекция мгновенной скорости точки на ось OZ. 86 (205) Знак минус перед слагаемыми означает их противонаправлен ность с рассматриваемой осью координат. Раскрыв скобки и сокра тив подобные слагаемые, имеем: ρFx + ∂pxx ∂τ yx ∂τ zx dUx + + =ρ . ∂x ∂y ∂z dt (206) Аналогичное уравнение легко можно получить для осей OY и OZ; объединив все три уравнения в систему, получим (предвари тельно разделив на ρ): ⎧ 1 ⎛ ∂pxx ∂τ yx ∂τ zx ⎞ dUx ⎟= + + ⎪Fx ⎜⎜ ∂y ∂z ⎟⎠ dt ⎪ ρ ⎝ ∂x ⎪ ⎪ 1 ⎛⎜ ∂pyy ∂τ xy ∂τ zy ⎞⎟ dUy . + + = ⎨Fy ⎜ ∂x ∂z ⎟⎠ dt ⎪ ρ ⎝ ∂y ⎪ ⎪Fz 1 ⎛⎜ ∂pzz + ∂τ xz + ∂τ yz ⎞⎟ = dUz ⎪ ρ ⎜⎝ ∂z ∂x ∂y ⎟⎠ dt ⎩ Полученную систему называют уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях. 2. Деформация в движущейся вязкой жидкости: напряжение и скорость деформации В вязкой жидкости имеются силы трения, в силу этого при дви жении один слой тормозит другой. В итоге возникает сжатие, де формация жидкости. Изза этого свойства жидкость и называют вязкой. Если вспомнить из механики закон Гука, то по нему напряже ние, которое возникает в твердом теле, пропорционально соответ ствующей относительной деформации. Для вязкой жидкости отно сительную деформацию заменяет скорость деформации. Речь идет об угловой скорости деформации частицы жидкости dΘ/dt, которую подругому называют скоростью деформации сдвига. Еще Исааком Ньютоном установлена закономерность о пропорциональности 87 силы внутреннего трения, площади соприкосновения слоев и отно сительной скорости слоев. Также им было установлен τ= μ Θ , dt (207) коэффициент пропорциональности динамической вязкости жидко сти. Деформация возникает между двумя слоями жидкости со ско ростями U и U + dU, образуется скорость деформации сдвига dΘ/dt. dU — это толщина одного слоя жидкости: ее поверхности со време нем отстают (или опережают) друг друга на расстояние dUdt. Соглас но установленному Ньютоном закону внутреннего трения, в движу щейся вязкой жидкости между касательным напряжением τ и скоростью деформации жидких частиц установлена зависимость: τ = ±μ dU , dn (208) где dU/dn — градиент скорости по нормали к направлению дви жения; знак «±» для обеспечения положительного значения τ не зависимо от направления напряжения n. Поскольку, как видно из рисунка, sinΘ = dUdt/dn, то, согласно законам тригонометрии, при малых углах Θ sin Θ ≈ Θ = dΘ, то dΘ = dUdt/dn, dΘ dU = , dt dn (209) Подставив (209) в (208), получаем (207). Если выразить касательное напряжение через его компоненты, то ⎧ ⎛ ∂uy ∂ux ⎞ ⎟, + ⎪ τ xy = μ ⎜⎜ ∂y ⎟⎠ ⎪ ⎝ ∂x ⎪ ⎛ ∂uz ∂ux ⎞ ⎪ ⎟, + ⎨ τ xz = μ ⎜⎜ ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x ⎪ ⎪ ⎛ ∂u ⎞ ⎪ τ yz = μ ⎜ z + z ⎟ . ⎜ ∂y ⎟ ⎪⎩ ⎝ ⎠ 88 (210) Таким образом, мы установили соотношения между напряже ниями, деформацией τ со скоростью деформации dΘ/dt, а также между τ и компонентами скорости потока. А что касается нормальных напряжений (τ — это касательная составляющая деформации), которые зависимы от направления действия, то они зависят также от того, к какой площади они при ложены. Это их свойство называют инвариантностью. В качестве этих напряжений, в основном, подразумевается давление в жид кости: это давление может быть определено как сумма значений нормальных напряжений, то есть, если взять компоненты этого напряжения (давления), то p= pxx + pyy + pzz 3 . (211) Как видно из (211), p действительно зависит от направления приложения силы. Чтобы окончательно установить зависимость между pudΘ/dt через зависимость между нормальными (pxx, pyy, pzz) и касательными (τxy= τyx; τyx= τxy; τzx= τxz), представив из (211) pxx = –p + p′xx, (212) где p′xx — добавочные нормальные напряжения, которые и зависят от направления воздействия, по аналогии с формулой (210) по лучим: p' xx = 2 μ ∂uy ∂x . (213) Формулу (203) привели без вывода. Сделав то же самое для ком понентов pyy, pzz, получили следующую систему: ⎧ ∂u ⎪ pxx = − p + 2 μ ∂x ⎪ ⎪ ∂u ⎨ pyy = − p + 2 μ ∂y ⎪ ⎪ ∂u ⎪ pzz = − p + 2 μ ∂z ⎩ 89 . (214) Поскольку p направлено всегда вовнутрь объема dV, то перед ним стоит знак минус, то есть p противонаправлено осям XYZ. Объединив системы (214) и (210), то есть записав вместе, мы по лучим еще и зависимость между нормальными p и касательными напряжениями. 3. Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости Элементарная струйка при установившемся движении вязкой жидкости Уравнение для этого случая имеет вид (приводим его без вы вода, поскольку его вывод сопряжен с применением некоторых операций, приведение которых усложнило бы текст): Z1 + p U2 p1 U 12 + = Z 2 + 2 + 2 + hПp . ρg 2 g ρg 2 g (215) Схожесть уравнения (215) с уравнением (186) очевидна: разница только в присутствии в правой части (205) потери напора (или удельной энергии) hПp. Эта потеря — результат того, что часть энер гии превращается из механической в тепловую. Поскольку процесс необратим, то имеет место потеря напора. Этот процесс называется диссипацией энергии. Другими слова ми, hПp можно рассматривать как разность между удельной энер гией двух сечений, при движении жидкости от одного к другому происходит потеря напора. Удельная энергия — это энергия, кото рую содержит единичная масса. Поток с установившимся плавно изменяющемся движением. Ко, эффициент удельной кинематической энергии Х Для того, чтобы получить уравнение Бернулли в этом случае, приходится исходить из уравнения (215), то есть из струйки надо переходить в поток. Но для этого нужно определиться, что пред ставляет собой энергия потока (которая состоит из суммы потен 90 циальной и кинематической энергий) при плавно изменяющемся потоке. Разберемся с потенциальной энергией: при плавном измене нии движения, если поток установившийся, Ux ≈ U ; Uy ≈ 0; Uz ≈ 0; ∂u = 0. ∂t (216) Поэтому уравнение движения имеет вид: ⎧ ∂ 2Ux 1 ∂p ∂Ux = Ux + v , ⎪Fx − ґ ∂x ρ ∂x ∂x 2 ⎪ ⎪⎪ 1 ∂p = 0, Fy − ґ ⎨ ρ ∂y ⎪ ⎪ 1 ∂p = 0, Fz − ґ ⎪ ρ ∂z ⎩⎪ где v = μ/ρ — кинематическая вязкость жидкости. В силу идентичности последних двух уравнений, можно пред положить, что при рассматриваемом движении давление по живому сечению распределено согласно гидростатическому закону, т. е. Z+ p = const. pg Причем это верно для любой точки живого сечения. Опреде лимся теперь с удельной кинематической энергией потока. Эту энергию можно определить двумя способами: через местную или через среднюю скорость. Удельная энергия Еku, определенная че рез местную скорость, есть отношение массы жидкости, которая течет через живое сечение ω за единицу времени со скоростью u. Однако Еku вычислена по элементарным площадкам dω. 91 ∫ ω 〉 udω u2 — это числитель к весу жидкости ρgQ, т. е. 2 E ku ⎛ u2 ⎞ 〉 ud ⎜ ω ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 =ω u3d ω, = ρQg 2 gQ ∫ ∫ (217) ω где ρ — плотность жидкости; Q — расход жидкости; ρQ — масса жидкости; g — ускорение силы тяжести; U — местная скорость; ω — живое сечение потока. На первый взгляд, формула (207) проста, однако вычислить Еku по u = u(x, y, z) довольно сложно. Не всегда удается определить эту функцию. Поэтому попробуем вычислить кинематическую энергию через среднюю скорость υ = Q/ω . Из механики известно, что кинемати ческая энергия представляет собой выражение mυ 2/2. По аналогии, здесь будет m → ρQ. Но поскольку мы определяем удельную энер гию, то придется относить ее к единичной массе путем деления массы на ρQg. Тогда ρQυ2 υ2 Ek υ = 2 = . 2g ρQg (218) Если найти отношение двумя способами полученных удель ных кинематических энергий, то X = 3 E ku 1 ⎛ u ⎞ = ⎜ ⎟ dω. E kυ ω ⎝ ω ⎠ ω ∫ 92 (219) Здесь учтено, что Q = υω , точнее 1/υω = 1/Q . Из (219) следует: Еku = ХЕkυ, (220) где величину Х называют коэффициентом кинетической энергии, или коэффициентом Кориолиса. Коэффициент Х всегда больше 1. Из (220) следует: E ku = Xυ2 . 2g (221) Теперь для уравнения Бернулли найдена и кинетическая энер гия. Остается отметить, что действительной кинетической энергией является Еku. Еkυ — предполагаемая кинетическая энергия при усло вии, что Ui = υi для любой iтой точки, где i = 1, 2, 3, …, k. В силу плавности движения жидкости для любой точки живо го сечения потенциальная энергия Еп = Z + p/ρg. Удельная кине тическая Еk = Xυ2/2g. Поэтому для сечения 1–1 полная удельная энергия E1 = En + E k 1 = Z1 + p1 x1υ12 + . ρg 2g (222) Сумму правой части (222) также называют гидродинамическим напором Н. В случае невязкой жидкости U 2 = xυ2. Теперь остается учесть потери напора hпр жидкости при ее движении к сечению 2—2 (или 3—3). Например, для сечения 2—2: E2 = E2 + + p2 x2 υ22 + + hпр . ρg 2g (223) Следует отметить, что условие плавной изменяемости должно быть выполнено только в сечениях 1—1 и 2—2 (только в рассмат 93 риваемых): между этими сечениями условие плавной изменяе мости необязательно. В формуле (223) физический смысл всех величин приведен ра нее: индекс 1, 2 говорит о принадлежности этих величин к соответ ствующим сечениям 1—1 и 2—2. Таким образом, искомое уравне ние Бернулли получено: (223) является этим уравнением. В силу того, что все члены (223) имеют линейную размерность, уравнение можно интерпретировать, как и в случае с невязкой жидкостью, геометрически. В основном все так же, как и в случае с невязкой жидкостью, основная разница в том, что теперь напорная линия Е = Н = Z + + p/ρg + Xυ2/2g не параллельна к горизонтальной плоскости сравнения, поскольку имеет места потери напора. Поэтому, на пример, в сечении 2—2 напор меньше, чем в сечении 1—1. Здесь Н — гидродинамический напор. А что касается пьезометрическо го напора υ + p/ρg, то он может быть в сечении 2—2 больше или меньше, чем в сечении 1—1. 4. Гидравлический и пьезометрический уклоны Степень потери напора hпр по длине называют гидравлическим уклоном J. Если потеря напора hпр происходит равномерно, то 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ ⎜ z1 + p1 + x1υ1 ⎟ − ⎜ υ2 + p2 + x2 υ2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2g ⎠ ⎝ 2g ⎟⎠ ρg ρg hпр ⎝ . J = = l l (224) Числитель в формуле (224) можно рассматривать как прира щение напора dH на длине dl. Поэтому в общем случае J = dH d ⎛ p Xυ ⎞ ⎟. = − ⎜⎜ Z + + dl dl ⎝ ρg 2 g ⎟⎠ 94 (225) Знак минус перед dH/dl — потому, что изменение напора по его течению отрицательно. Если рассмотреть изменение пьезометрического напора Z + p/ρg, то величину (225) называют пьезометрическим уклоном. Напорная линия, она же линия удельной энергии, находится выше пьезометрической линии на высоту u2/2g: здесь то же самое, но только разница между этими линиями теперь равна xυ2/2g. Эта разница сохраняется также при безнапорном движении. Только в этом случае пьезометрическая линия совпадает со свободной поверхностью потока. В открытых руслах, если движение равномерное, то обозначают уклон дна этого русла как i. Все три вида уклонов связаны между собой простым выражением J = Jп = i = hпр l . (226) 5. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости Для того, чтобы получить уравнение Бернулли, придется опре делить его для элементарной струйки при неустановившемся дви жении вязкой жидкости, а затем распространять его на весь поток. Прежде всего, вспомним основное отличие неустановившегося движения от установившегося. Если в первом случае в любой точ ке потока местные скорости изменяются по времени, то во втором случае таких изменений нет. Приводим уравнение Бернулли для элементарной струйки без вывода: Z1 + p U2 p1 U 12 + = Z 2 + 2 + 2 + hпр = +hин . ρg 2 g ρg 2 g 95 (227) Аналогия формулы (227) с формулой (215) очевидна, только в правой части (227) присутствует дополнительное слагаемое hин, которое называют инерционным напором. Чтобы подчеркнуть, что речь идет об элементарной струйке, его обозначают как h′ин. Поскольку инерционный напор обусловлен местными ускоре ниями, то h'ин = 1 g l1 ∂u ∫ ∂t dl . (228) l2 В формуле (178) p1, p2 — давление, u1, u2 — скорости, Z1, Z2 — высоты от плоскости сравнения, hПp — потеря напора между дву мя сечениями в соответствующих индексах сечения струйки. Определим силу инерции, соответствующей единичному весу вязкой жидкости: du dt = 1 × du . g dt ρgdωdl (229) du du du dl = + ґ dt dt dl dt (230) ρdωdl Если представим и подставим вместо du/dt в правой части (229), то получим сле дующее выражение: du dt = 1 ⎛⎜ du + 1 ґ du ґ dl ρgdωdl g ⎜⎝ dt g dl dt ρdωdl 96 ⎞ ⎟⎟ . ⎠ (231) Величина, выраженная в (231), является силой инерции еди ничного веса жидкости: первое слагаемое в (231) называют локаль, ной силой инерции, второе слагаемое — конвективной силой инерции. Искомым уравнением Бернулли для элементарной струйки является уравнение (217): для струйки вязкой несжимаемой жид кости при неустановившемся движении. Для перехода к анало гичному уравнению для потока требуется: 1) чтобы характер движения остался таким же, что и у струйки; 2) несмотря на то, что скорости изменяются по времени, формы линий тока одни и те же; 3) осреднение всех членов уравнения (227) по живому сечению. Поэтому осредним инерционный напор для потока ∫ hин = h' dh'. (232) ω Умножим и разделим это выражение на ρQg и подставим h′ по (179): 1 1 h'ин ρgudω = udρ ґ ρhQ Q ∫ ∫ ω ω l2 ∂u ∫ ∂l dl , l1 где udω = dQ не зависит от длины в силу условий 2. Следовательно, количество движения у потока, если считать его по местным скоростям, (КД )u = ∫ ρudωu = ρ∫ u dω. 2 ω (233) ω Но количество движения мы можем считать и по средней ско рости υ1, если предположим, что в каждой точке живого сечения скорость равна υ. 97 (КД)υ = ρυ 2ω, (234) здесь учтено, что υω = Q; ρQ = m; mυ = (КД)υ. Так же, как и в случае с удельной кинетической энергией, счи тать (КД)υ не такто просто. Чтобы считать, нужно связать его с (КД)υ. Для этого служит коэффициент количества движения a' = 2 (КД )u 1 ⎛ u ⎞ = ⎜ ⎟ dω. (КД )υ ω ⎝ υ ⎠ ω ∫ (235) Аналогия с (219) не случайна, как a, так и a′ выражают отноше ния идентичных величин, которые получены при схожих положе ниях. Коэффициент a′ принято называть еще и коэффициентом Бу, синеска. С учетом a′, средний инерционный напор по живому сечению hин = a 1 dQ ґ ґ . g ω dt (236) Тогда, заменив в (227) U12 на x1υ12, U22 на x2υ22, переходим к урав нению Бернулли для потока, получение которого и являлось за дачей рассматриваемого вопроса. Оно имеет следующий вид: Z1 + p p1 x1υ12 + = Z 2 + 2 + hпр + hин , 2g ρg ρg (237) где hин = x1l dυ ґ . g dt 98 (238) Физический смысл всех параметров в формуле (237) тот же, что и в (227). Что касается (237), то оно получено из (236) с учетом того, что dQ = ωdυ; подставив dQ в (236) и сократив ω, приходим к (238). Отличие hин от hпр прежде всего в том, что оно не является необратимым. Если движение жидкости с ускорением, что значит dυ/t > 0, то hин > 0. Если движение замедленное, то есть dυ/t < 0, то hин < 0. Уравнение (237) связывает параметры потока только в данный момент времени. Для другого момента оно может уже оказаться не достоверным. ЛЕКЦИЯ № 7. Режимы движения жидкости. Уравнение Рейнольдса Несмотря на то, что в предыдущих лекциях, по разным поводам пришлось рассмотреть множество разновидностей движения жид кости, в действительности у жидкости всего два вида движения: ла, минарное и турбулентное. Все остальные виды движения — производные от этих двух ви дов движения, которыми (в большей степени турбулентным) мы в дальнейшем будем оперировать. Эти движения замыкают как бы некий список превращений движений жидкости, которые происходят между этими видами. Следовательно, режим движения жидкости зависит от энерге тического состояния ее частиц. Из последнего утверждения нетрудно прийти к выводу о том, что вопросы энергетические, в том числе вопрос о потере напора в движении жидкости, в дальнейшем будут в центре нашего вни мания. 1. Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса Как нетрудно было убедиться в вышеприведенном опыте, если фиксировать две скорости в прямом и обратном переходах движения в режимы ламинарное ← → турбулентное, то υ1 ≠ υ2, (239) где υ1 — скорость, при которой начинается переход из ламинар ного в турбулентный режим; υ2 — то же самое при обратном переходе. 100 Как правило, υ2 < υ1. Это можно понять из определения основ ных видов движения. Ламинарным (от лат. lamina — слой) считается такое движение, когда в жидкости нет перемешивания частиц жидкости; такие из менения в дальнейшем будем называть пульсациями. Движение жидкости турбулентное (от лат. turbulentus — беспо рядочный), если пульсация местных скоростей приводит к пере мешиванию жидкости. Скорости перехода υ1, υ2 называют: υ1 — верхней критической скоростью и обозначают как υв.кр, это скорость, при которой ламинарное движение переходит в тур булентное; υ2 — нижней критической скоростью и обозначают как υн.кр, при этой скорости происходит обратный переход от турбулентно го к ламинарному. Почему же эти скорости не одинаковы? Дело в том, что, если значение υв.кр зависит от внешних усло вий (термодинамические параметры, механические условия), то значения υн.кр не зависят от внешних условий и постоянны. Эмпирическим путем установлено, что: υн.кр = RV , d (240) где V — кинематическая вязкость жидкости; d — диаметр трубы; R — коэффициент пропорциональности. В честь исследователя вопросов гидродинамики вообще и дан ного вопроса в частности, коэффициент, соответствующий υн.кр, называется критическим числом Рейнольдса Reкр. Если изменить V и d, то Reкр не изменяется и остается по стоянным. K = υн.кр Л V = 2320 = Reкр . 101 Именно это постоянство и предопределяет неизменность υн.кр. Для общего случая это число называют числом Рейнольдса Reкр, оно задается комплексом: υl υl = , μ М (241) где υ — скорость движения жидкости; l — линейный размер живого сечения; ρ — плотность жидкости; V, μ — соответственно кинематическая и динамическая вяз кости. Очевидно, что Reкр является показателем скорости, при кото рой происходит превращение двух видов движения друг в друга. Поэтому, если Re < Reкр, то режим движения жидкости ламинар, ный, поскольку υ < υкр; если Re > Reкр, то режим движения турбу, лентный изза того, что υ > υкр. Физический смысл числа Re в вышеизложенном: другими сло вами, Re является параметром взаимоотношений сил инерцион ных и трения (вязкости). В зависимости от того, по какой характеристике потока рассмат ривается движение жидкости, различают число Рейнольдса соот ветствующее этим параметрам, для чего пишут соответствующий индекс. Например, исходя из формулы (241), в зависимости от преобла дания линейных величин можно определить Re d = υd υR υh ; ReR = ; Reh = . V V V Переход «ламинарное — турбулентное» не происходит сразу. Если гдето в потоке возник очаг турбулентности, то он уносится движением, и на его месте теперь ламинарное движение, то есть 102 в рассматриваемом сечении оба вида движения как бы чередуют ся друг с другом. Только дальнейший рост скорости приводит к полному пре вращению «ламинарное — турбулентное». Таким образом, превращение «ламинарное — турбулентное» происходит в течение определенного времени, характеристикой этого перехода является коэффициент перемежаемости β. Этот коэффициент является отношением времени, за которое форми ровалось турбулентное движение, ко всему времени наблюдения. Следовательно 0 < β < 1. При β = 0 движение ламинарное, при β = 1 — турбулентное. Переход происходит, пока 0 < β < 1. 2. Из теории турбулентного движения. Осредненные скорости. Пульсационные составляющие Несмотря на то, что при турбулентном движении частицы жид кости изза беспорядочного изменения движутся хаотично, тем не менее, в этом хаосе можно найти определенную закономерность: пульсации местных скоростей все же происходят в рамках некото рого коридора, вокруг некоторого значения. В теории турбулент ного движения очень многое связано с именем исследователя этого движения Рейнольдса. Рассматривая хаотическое турбу лентное движение, он представил мгновенные скорости, как не которые суммы. Эти суммы имеют вид: ux = ux + u' x ; u y = uy + u' y ; uz = uz + u' z ; p = τ + τ'; (242) где ux, uy, uz — мгновенные значения проекций скорости; p, τ — то же самое, но для напряжений давления и трения; черта у величин наверху означает, что параметр усреднен по времени; у величин u′x, u′y, u′z, p′, τ′ черта сверху означает, что имеется в виду пульсационная составляющая соответствую щего параметра («добавка»). 103 Осреднение параметров по времени осуществляется по следую щим формулам: p= 1 T T ∫ pdt , T (243) 1 u' i = ui dt; T ∫ w где τ = 1 T T ∫ τdt — интервал времени, в течение которого проводит ся осреднение. Из формул (242) следует, что пульсируют не только проекции скорости, но и нормальные р и касательные τ напряжения. Значе ния усредненных во времени «добавок» должны быть равны ну лю: например для хой компоненты: T u'x = 1 u' x dt = 0. T ∫ (244) Для остальных «добавок» из (242) запись формул аналогична (241) или (243), то есть осредненные во времени u ' y ,u ' z , p ', τ' имеют такие же выражения, как и в (244); только u ' x заменяет соот ветствующий параметр. Интервал времени Т определяют достаточным, чтобы при повторном осреднении значение «добавки» (пульсирующей со ставляющей) не изменилось. Турбулентное движение считается неустановившимся движе нием. Несмотря на возможное постоянство осредненных параме тров, мгновенные параметры все же пульсируют. Следует запом нить: осредненная (по времени и в конкретной точке) и средняя (в конкретном живом сечении) скорости — не одно и то же: ui ≠ υ, 104 (245) где υ = Q/w; Q — расход жидкости, которая течет со скоростью υ через w. А как оценить пульсационные составляющие («добавки») u ' i , p ', τ' ? С этой целью принят стандарт, который называется среднек, вадратическим отклонением. Для хой компоненты соответствую щее выражение этого стандарта: δux = (u ' x )2 . (246) Чтобы получить формулу для любого параметра «добавки» из формулы (242), достаточно заменить ux в (246) на искомый параметр. Среднеквадратичное отклонение можно относить к следую щим скоростям: усредненная местная скорость данной точки; средняя по вертикали; средняя по живому сечению; максималь ная скорость. Обычно максимальная и средняя по вертикали скорости не используются; используются две из вышеперечисленных харак терных скорости. Кроме них, используют также динамическую скорость. ux = gRL , (247) где R — гидравлический радиус; J — гидравлический уклон. Среднеквадратичное отклонение, отнесенное к средней ско рости, есть, например, для хой компоненты: εx = δux . υ (248) Но лучшие результаты получаются, если среднеквадратичное отклонение относить к ux, то есть динамической скорости, на пример εx = δux . ux 105 (249) Для остальных стандартов δ, выражение будет то же самое. Пример: если среднеквадратичное отклонение отнесено к сред ней скорости потока, то δυx δυy δυz ; ; . υ υ υ Определим степень (интенсивность) турбулентности, как на зывают величину ε: εx = δυy δ δυx ; εy = ; εz = υz . υ υ υ Однако лучшие результаты получаются, если за масштаб ско рости (то есть за характерную скорость) взять динамическую ско рость ux. Еще одним свойством турбулентности является частота пуль саций скорости. Речь идет о спектре этих частот при турбулент ном движении. Средняя частота пульсации в точке с радиусом r от оси потока: wr = N , T где N — половина экстремума вне кривой мгновенных скоростей; Т — период осреднения; T/N = 1/w — период пульсации. Поскольку на практике и при напорном, и при безнапорном дви жениях имеют место в основном низкочастотные пульсации, то ос вещение этого вопроса находим не столь актуальным. В случае необходимости, читатель может получить дополнительную инфор мацию из специальной литературы. 3. Распределение скоростей при равномерном установившемся движении. Ламинарная пленка Все же, несмотря на вышеперечисленные и другие особенности, о которых не сказано изза их невостребованности, основным 106 признаком турбулентного движения является перемешивание частиц жидкости. Принято об этом перемешивании с точки зрения количества говорить как о перемешивании молей жидкости. Как мы убедились выше, с ростом числа Re интенсивность турбулентности ε растет. Несмотря на это, все же, например, у внут ренней поверхности трубы (или у любой другой твердой стенки) существует некоторый слой, в пределах которого все скорости, в том числе пульсационные «добавки», равны нулю: это очень ин тересное явление. Этот слой принято называть вязким подслоем потока. Само собой на границе соприкосновения с основной массой потока этот вязкий подслой все же имеет некоторую скорость. Следовательно, все изменения в основном потоке передаются и в под вязкий слой, но их значение очень мало. Это позволяет считать движение слоя ламинарным. Ранее, считая, что эти передачи в подвязкий слой отсутствуют, слой назвали ламинарной пленкой. Теперь нетрудно убедиться, что с точки зрения современной гидравлики ламинарность дви жения в этом слое относительная (интенсивность ε в подвязком слое (ламинарной пленке) может достигать значения 0,3. Для ла минарного движения это достаточно большая величина). Подвязкий слой εв очень тонкий по сравнению с основным потоком (см. рисунок). Именно наличие этого слоя порождает потери напора (удельной энергии). Что касается толщины ламинарной пленки δв, то она обратно пропорциональна числу Re. Это более наглядно видно из следую щего сравнения толщины в зонах потока при турбулентном дви жении: Вязкий (ламинарный) слой — 0 < ua/V < 7. Переходная зона — 7 < ua/V < 70. Турбулентное ядро — ua/V < 70. В этих соотношениях u — динамическая скорость потока, а — расстояние от твердой стенки, V — кинематическая вязкость. Углубимся немного в историю теории турбулентности: эта теория включает в себя совокупность гипотез, на основании ко 107 торых были получены зависимости между основными параметра ми ui , τ турбулентного движения потока. У разных исследователей к этому вопросу были разные подхо ды. Среди них немецкий ученый Л. Прандтль, советский ученый Л. Ландау и многие другие. Если до начала XX в. ламинарный слой, по мнению ученых, представлял собой некоторый мертвый слой, в переходе к кото рому (или от которого) происходит как бы разрыв скоростей, то есть скорость меняется скачкообразно, то в современной гидрав лике совсем другая точка зрения. Поток — это «живое» явление: все переходные процессы в нем носят непрерывный характер. 4. Распределение скоростей в «живом» сечении потока Вопрос о «разрывности» скоростей на границе перехода «ядро потока — пограничный слой» бытовал до конца первой трети XX в., потому что все исследователи пытались решить проблемы турбу лентного движения методами математического анализа, который для такого сложного движения, как турбулентное, является пико вым. Пограничный слой состоит из переходного слоя и ламинарной пленки. По сложности турбулентное движение сопоставимо с кванто вой электродинамикой: только одни и те же закономерности про являют себя поразному, поскольку среды — разные. Современной гидродинамике удалось разрешить эти пробле мы, применив метод статистического анализа. Основным орудием этого метода является то, что исследователь выходит за рамки тра диционных подходов и применяет для анализа некие средние по времени характеристики потока: разумеется, они не являются истин ными, но позволяют получать закономерности, которые, в свою очередь, позволяют изложить механизм турбулентного движения и качественно, и количественно. 108 Усредненная скорость Ясно, что в любой точке живого сечения любую мгновенную скорость и можно разложить на ux, uy, uz компоненты. Требуется определить: чему же равна эта мгновенная скорость? Эта скорость, как известно, непостоянна и резко меняется по времени. Поэтому, согласно методам статистического анализа, вводится усредненная скорость u , о которой уже сказано выше. Если выделить в потоке некоторый его элемент поперечного сечения ΔF, то, считая ux соответствующей этому элементу про дольной скоростью, определим количество жидкости в объеме V, которое протекает через него за время dT, а поскольку dV = = uxΔFdt, то за время t: t ∫ V = ux ΔFdt . (250) В таком случае элементарный расход жидкости t ∫ ΔF ux dt V dQ = = t t . Видно, что речь идет как бы об усредненной скорости и по вре мени t. Значит, элементарный расход можно рассчитать и по некото рой средней по времени u x : dQ = ux ΔF . Приравняв формулы, определяем t ∫ u dt x ux = t 109 . (251) Полученную скорость можно назвать скоростью, усредненной по времени, или средней местной, эта скорость u x — фиктивно по стоянная и позволяет судить о характеристике потока. Вычислив u y , u z можно получить вектор усредненной скорости: u = ux + uy + uz . (252) Теперь легче определить пульсационные «добавки» u ' x , посколь ку усредненная скорость ux = ux + u' x . Но u ' x можно определить также аналогично методике опреде ления u x . Касательные напряжения Возвращаясь к формуле (242) τ = τ + τ' , определим и суммарное значение касательного напряжения τ. По скольку это напряжение возникает изза наличия сил внутреннего трения, то жидкость считают ньютоновой (для нее верна гипотеза И. Ньютона, то есть формула (253)). Поэтому к ее анализу приме няются ньютоновы законы для внутреннего трения в вязкой жид кости. По И. Ньютону, силы сопротивления, которые возникают в жид кости, являются результатом разности скорости скользящих отно сительно друг другу слоев и пропорциональны площади соприкос новения этих слоев. Если предположить, что площадь соприкосновения — единич ная, то сила сопротивления ⎛ d⌡ ⎞ τ = μ ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ dy ⎠ 110 (253) где μ — динамическая вязкость жидкости; dυ/dy — изменение скорости. Эту величину часто называют градиентом скорости, или скоростью сдвига. Если расстояние между рассматриваемыми слоями считать равным п, а скорость верхнего слоя — υ1, которая постоянна, то dυ υ1 = . dy n Если определить dυ/dy = f(x) как некоторую функцию f(x), то эту формулу можно применять и для неньютоновских жидкостей. Но как определить второе слагаемое в формуле τ = τ + τ' , что бы найти полное напряжение? Решение этого вопроса предложено аналогично предыдуще му, но другим ученым Буссинексом в конце XIX в.: τ' = Adυ , dy (254) где А — турбулентная вязкость, но следует помнить, что этот коэф фициент не является свойством турбулентного движения, он за висит от ε (коэффициент перемешивания, см. (250)), уменьшает ся при приближении к стенке трубы провода A = 0. В настоящее время руководствуются другим выражением, по лученным в вышеупомянутом уравнении Прандтля: ⎛ dυ ⎞ τ' = ρl 2 ⎜⎜ ⎟⎟ , ⎝ dy ⎠ где ρ — плотность жидкости; l — длина пути, на котором рассматривается движение. 111 (255) Без вывода приводим окончательную формулу для пульсацион ной «добавки» касательного напряжения: 2 ⎛ dυ ⎞ τ' = ρl 2 ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ dy ⎠ (256) Интерес представляет сравнение только что полученной фор мулы (256) с ньютоновской формулой (253): 1) если движение ламинарное, то нет никакой турбулентности, то есть перемешивания частиц; поэтому l = 0, и формула (256) превращается в (253), по которой касательное напряжение τ ~ (μ, υ) в первой степени; 2) если движение турбулентное, то есть Re значительное, то l имеет место, и ролью τ' в формуле τ = τ + τ' нельзя пренебре гать, и полное напряжение определяется формулой (256), то есть напряжение вязкости незначительно, но только при боль ших х значениях числа Re. 5. «Шероховатость» и «гладкость» стенок Рассматривая выше механизм турбулентного движения, мы убе дились: по мере удаления от оси потока к стенкам трубы скорость движения уменьшается, а у стенки вовсе равна нулю. Дело в том, что у любой поверхности имеются неровности в раз ной степени, например, на дне канала. В трубах эти неровности предопределены технологией изготовления материала, из которого делают трубы. По мере удаления от стенок к центру влияние неровностей на поток сходит на нет. Именно эти неровности порождают явление, которое принято называть гидравлическим сопротивлением, а сами неровности в гидравлике называют шероховатостью. Шероховатость может возникать и в результате естественного износа (ржавчина, отложения осадков и др.). По величине и форме различают однородную и неоднородную, регулярную и подвижную шероховатости. 112 Если у неровностей геометрия и относительное расположение одинаковое, то шероховатость однородная, в противном случае — неоднородная. Регулярность шероховатости — понятие о перио дичности расположения неровностей, об их повторяемости. Если обозначить высоту выступа неровности Δ, то отношения ε = Δ/d, Δ/h , где d — диаметр трубы, h — высота потока в откры том русле, называют относительной шероховатостью. Обратные отношения ε = d/Δ, h/Δ называют относительной гладкостью. Если рассматривается поток в открытых руслах (каналы, ре ка), то течение само может формировать шероховатость (подвиж ную) из осадков. Несмотря на все разновидности, шероховатость характеризуется в основном величиной Δ, которую называют аб солютной шероховатостью. Если сравнивать Δ с толщиной вязко го подслоя δв.с, то в зависимости от их взаимоотношения, разли чают следующие случаи: 1) Δ < δв.с; потери энергии наименьшие, вязкий подслой по крывает неровности, и основная часть потока не соприкасает ся с шероховатой стенкой; 2) Δ > δв.с; в этом случае шероховатость проникает в основную часть потока, в турбулентную область, и это приводит еще к большей потере энергии. Но поскольку сама толщина δв.с зависит от числа Re, а оно от скорости потока, то понятия о гидравлических шероховатостях и гладкостях относительны. Поэтому введены понятия относительных шероховатостей и гладкостей, о которых сказано выше. ЛЕКЦИЯ № 8. Вопросы потери напора (удельной энергии) Затрагивая вопросы о поверхностных неровностях и шерохова тостях, мы заключили, что это все приводит к появлению гидроста тических сопротивлений в потоке, в конечном счете к потере напора (то есть удельной энергии). Следовательно, потери напора требуют ся на преодоление гидравлических сопротивлений. В связи с этим принято различать два вида потерь: 1) потери по длине потока, hgl, которые прямо пропорцио нальны длине потока трубопровода; 2) местные потери напора hм, потери вблизи конструктивных устройств в потоке (резкое расширение, сужение, поворот, ар матура и пр.). Общие потери напора hmp являются суммой потерь напора по длине и потерь местных: hmp = ∑h l + ∑h . g м (257) При расчетах напора будем пользоваться методом статистиче ского анализа, точнее, эмпирическим методом, поскольку до сих пор не известен аналитический метод расчета напоров. Кратко отметим движения, которые будем рассматривать (эти движения различаются друг от друга, кроме всего прочего, по харак теру поля скоростей): 1) равномерное движение, у которого υcp по длине и эпюры этих скоростей постоянные; 2) неравномерное движение с такой же υcp, но с непостоянной по длине эпюрой скоростей; 3) неравномерное плавно изменяющееся движение; 4) неравномерное движение с местными сопротивлениями. 114 Во всех четырех случаях учитывается, что движение ламинарное или турбулентное. 1. Параметры потока, от которых зависит потеря напора. Метод размерностей. Число Эйлера Мы знаем, что для решения любой гидравлической задачи тре буется рассчитать силы сопротивления или кинематические па раметры (υ). Но какая зависимость существует между ними? Как это уста новить? Наша задача — разрешить эту проблему. Неизвестный вид за висимости определяется по методу размерностей. Для этого су ществует πтеорема: если некоторая физическая закономерность выражена уравнением, содержащим к размерных величин, причем оно содержит п величин с независимой размерностью, то это ура внение может быть преобразовано в уравнение, содержащее (к7п) независимых, но уже безразмерных комплексов. То есть уравнение с к величинами может быть преобразовано в другое уравнение, но уже связывающее (к7п) величин, которые независимы, но безразмерны. Их независимость проявляет себя в том, что они не могут быть выражены через степень функций остальных комплексов. Теперь определимся: от чего зависят потери напора при установившемся движении в поле сил тяжести. Эти параметры. 1. Геометрические размеры потока: 1) характерные размеры живого сечения l1l2; 2) длина рассматриваемого участка l; 3) углы, которыми завершается живое сечение; 4) свойства шероховатости: Δ — высота выступа и lΔ — харак тер продольного размера выступа шероховатости. 2. Физические свойства: 1) ρ — плотность; 2) μ — динамическая вязкость жидкости; 115 3) δ — сила поверхностного натяжения; 4) Еж — модуль упругости. 3. Степень интенсивности турбулентности, характеристикой ко торой является среднеквадратичное значение пульсационных со ставляющих δu. Что касается независимых параметров (они также имеют раз мерность), то в гидравлике принято в качестве базовых величин оперировать характерным размером живого сечения l1, как ли нейным размером; но в качестве характерного размера могут быть использованы также гидравлический радиус R, глубина жидкости h, диаметр трубы d и т. д.; скоростью υ; плотностью жидкости ρ. Теперь применим πтеорему. Исходя из приведенных выше параметров, у нас набирается 10 различных величин: l, l2, Δ, lΔ, Δp, μ, δ, Eж, δu, t. Кроме этих, имеем еще три независимых параметра: l1, ρ, υ. Добавим еще ускорение падения g. Всего имеем к = 14 размерных величин, три из которых неза висимы. Требуется получить (к7п) безразмерных комплексов, или, как их называют πчленов. Для этого любой параметр из 11, который не входил бы в со став независимых параметров (в данном случае l1, ρ, υ), обозна чим как Ni, теперь можно определить безразмерный комплекс, ко торый является характеристикой этого параметра Ni, то есть iтый πчлен: πi = l1x υ y ρz = L0M 0T 0 . Ni Здесь углы размерности базовых величин: [l1] = L; [ υ] = LT −1; [ ρ] = ML−3, 116 (258) общий вид зависимости для всех 14 параметров имеет вид: f (l , l1, l 2, Δ, l Δ , Δp, υ, ρ, μ, g , δ, E ж , δu , t ) = 0. (259) В качестве примера определим зависимость между Δp, μ, g, Δ, и l1, υ, ρ то есть параметры должны быть выражены через базо вые параметры Δp, μ, g, Δ. 1. Начнем с Δp. Будем определять безразмерный комплекс для перепада давления Δp. Согласно формуле (258), [l1 ]x [υ]y [ ρ]z =L0M 0T 0 . Δp Учтем в (259) размерности −1 ⎡ M ⎤ ⎡M ⎤ ⎡L ⎤ l1 = [L ]; υ = ⎢ ⎥ ; ρ = ⎢ 3 ⎥ ; Δp = ⎢ 2 ⎥ . T L ⎣T L ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ В таком случае (259) преобразуется: y −1 z ⎛L⎞ ⎛M ⎞ ⎛ M ⎞ Lx ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = L0M 0T 0 . ⎝T ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝T L ⎠ (260) У нас 4 неизвестных параметра. Составим 4 уравнения, исходя из сравнения степеней в левой и правой частях (260): по сравнению степеней L ⎛ x + y − 3z + 1 = 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ z − 1= 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − y + 2= 0 ⎟ ⎝ ⎠ 117 (261) Решив систему (261), получим искомые степени: x = 0; y = 2; z = 1. Подставив x, y, z в (19), получим: l10 υ2 ρ1 = πΔp. Окончательно: πΔp = ρυ2 (262) получим безразмерный комплекс, который называют числом Эй лера — Eu. 2. Рассуждая аналогично, получаем: πμ = l1 υρ , μ (263) но, поскольку кинематическая вязкость V = μ/ρ, то из (263) следует πμ = l1υ = Re. V (264) l1 , Δ (265) 3. Для Δ: πΔ = здесь получим формулу относительной гладкости в виде (Δ/l1)–1, что значит: на движение влияет не просто шероховатость Δ, но без размерная величина (265). 4. Для ускорения силы тяжести: πg = υ2 = Fr gl1 этот комплекс называют числом Фруда. Рассуждая аналогично, можно получить безразмерные вели чины для l2, Δ, Eж, δu, t. Можно выразить полученные комплексы в виде π' i = πi−1. 118 2. Равномерное движение и коэффициент сопротивления по длине Можно было бы этот коэффициент назвать коэффициентом потери напора. Разумеется, речь идет о ламинарном движении, при котором средняя скорость потока υ= Q gJnr02 = . w 8ρ (266) При ламинарном движении (если оно равномерное) ни живое сечение, ни средняя скорость, ни эпюра скоростей по длине не ме няются со временем. При равномерном движении пьезометрический уклон Jn = hl ; l r0 = d , 2 (267) где l1 — длина потока; hl — потери напора на длине L; r0d — соответственно радиус и диаметр трубы. С учетом (267), из (266) следует: υ= ghl d 2 , 32VL (268) чтобы ввести Re, (268) можно переписать в виде hl = 32Vl 2 d g Если обозначить λ = = lυ2 64lυ2 64 = ґ . d d 2 g Re d 2 g V (269) 64 , то Red hl = λ lυ2 . d 2g 119 (270) В формуле (270) безразмерный коэффициент λ называют коэф, фициентом гидравлического трения или коэффициентом Дарси. Поэтому λ ~ 1/Red, индекс d в Re означает, что это число опре деляется по диаметру трубы. Формула (270) в виде hl = λ υ2 l ґ d 2g называется формулой ДарсиВейсбаха, и получена ими экспери ментально. Выражение вида l l ξl = λ = λ , d 4R (271) где R — гидравлический радиус потока (R = d/4) выражает коэф фициент сопротивления по длине. 3. Равномерное движение: средняя скорость и расход потока. Формула Шези Если в (270) d заменить на гидравлический радиус, то следует υ= Введем обозначение c = 8пR hl ґ . λ l (272) h 8g , тогда с учетом того, что l = J , l λ гидравлический уклон υ = c RJ . Эту формулу называют формулой Шези. c= 8g λ называется коэффициентом Шези. 120 (273) С учетом полученных результатов формулу (270) можно упро стить: hl = υ2l c 2R . (274) Если коэффициент Дарси λ — величина безразмерная, то ко эффициент Шези с имеет размерность [c ]= L0,5T −1. Определимся с расходом потока с участием коэффициента Шези: Q = wυ = wc RJ . (275) Преобразуем формулу Шези в следующий вид: υ= Величину 8 ґ gRJ . λ (276) gRJ = u называют динамической скоростью. Из (276), с учетом u = gRJ , можем получить: υ gRJ = υ = u 8 , λ (277) для коэффициента Дарси: 2 ⎛u ⎞ λ = 8⎜ ⎟ . ⎝ υ⎠ Величина u называется динамической скоростью. 121 (278) 4. Гидравлическое подобие. Основа гидродинамического подобия Понятие о подобии. Гидродинамическое моделирование Выше мы не раз убеждались, что в гидравлике еще множество задач, перед решениями которых математический анализ бесси лен. В таких случаях выручают эмпирические исследования про блемы, применение статистических методов. Для исследования вопросов сооружения гидроэлектростан ций применяют метод гидравлических подобий, суть которого состоит в том, что в лабораторных условиях моделируются точно такие же условия, что и в натуре. Это явление называют физиче ским моделированием. В связи с тем, что в современной гидравлике ни один НИИ, ни одно КБ не работает без применения ЭВМ, имеет место и чис ленное моделирование. На основе всех видов моделирования нахо дятся общие условия механического подобия, при котором отно шение всех линейных размеров, перемещений, кинематических и динамических параметров одинаково. Ясно, что, например, чтобы два потока были подобными, требуется их: 1) геометрическое подобие, когда lн = Мl , lм (279) где индексы н, м соответственно означают «натура» и «мо дель». Аналогично будут выглядеть взаимоотношения: площадей wн = M w = M 2l , wм (280) Wн = MW = M l3 . Wм (281) объемов 122 Однако, отношение Δ = idem, R (282) что значит, относительная шероховатость в модели такая же, как и в натуре; 2) кинематическое подобие, когда траектории соответствую щих частиц, соответствующие линии тока подобны. Кроме то го, если соответствующие части прошли подобные расстояния lн, lм, то отношение соответствующих времен движения выгля дит следующим образом: Тн = Mi , Тм (283) где Mi — масштаб времени. Такое же сходство имеется для скорости (масштаб скорости) υн =M υм (284) и ускорения (масштаб ускорения) jн = M j; jм (285) 3) динамическое подобие, когда требуется, чтобы соответ ствующие силы были подобными, например, масштаб сил Рн = М р. Рм (286) Таким образом, если потоки жидкости механически подобны, то они подобны гидравлически; коэффициенты Ml, Mt, Mυ, Mp и про чие называются масштабными множителями. 123 Между масштабными множителями существует определенная связь. Возьмем, например, последнее выражение Pн / Pм = M p ; Pн = ρнWн j; (287) Pм = ρнW м j . ρ ґ Wн j Pн =M 0ρM l3M j , = Mp = н ρм ґ W м j Pм (287' ) подставляя Mj = MeMt–2, получаем (287), равную MρMl4Mt–2, вводим Mυ = MeMt–1, MρMl2Mυ2, разделив обе части на правую, имеем: MρMρ–2Ml–2Mt–2 = 1. (288) Полученное выражение называется законом подобия Ньюто на в масштабных множителях. Если в (288) множители заменить на их отношения, то Рн ρнlн2 н2 = Рм ρмl м2 2 м . (289) Формулу (289) часто пишут в виде: Neн = Рн ρнlн2 2 н = Рм ρмl м2 2 м , после всего получаем критерий Ньютона Neн = Nм. 124 (290) Критерий Ньютона является необходимым и достаточным усло вием гидродинамического подобия. Как видно, уравнение (288) очень удобно при решении определенных задач: зная отношение масштабных множителей, можно восстановить отношения между параметрами, и наоборот. Критерии гидродинамического подобия Как известно, движение жидкости происходит под воздейст вием сил тяжести, давления, трения, поверхностного напряжения, упругости. Условия гидродинамического подобия требуют равенства всех сил, но это практически не удается. По этой причине, подобие устанавливают по какойнибудь из этих сил, которая в данном случае преобладает. Кроме того, требуется выполнение условий од нозначности, которые включают в себя пограничные условия пото ка, основные физические характеристики и начальные условия. Рассмотрим два частных случая: 1) преобладает влияние сил тяжести, например, при течении через отверстия или водосливы P = ρgW. (291) Если перейти к взаимоотношению Pн и Pм и выразить его в мас штабных множителях, то Мр= Рн = М 0 М l3М g . Рм (292) Разделив (292) на (287'), после необходимого преобразова ния, следует М 2М g−1M l−1 = 1. (293) Если теперь совершить переход от масштабных множителей к са мим отношениям, то с учетом того, что l — характерный раз мер живого сечения, то υн2 ( g нlн2 ) = υ2м g мl м2 125 . (294) В (294) комплекс υ2/gl называется критерием Фруди, который формулируется так: потоки, в которых преобладают силы тя жести, геометрически подобны, если Frн = 1 или Fr = idem; Frм (295) 2) преобладает влияние сил сопротивления. Примерами этому случаю могут служить движения жидкости в реках, трубопрово дах, каналах. Силы сопротивления в общем виде могут быть представлены так: Т = τ 0 χl = ρgRJχl , (296) поскольку Rχ = w, то = ρgwJl , где τ0 — касательное напряже ние на стенках, χ — смоченный периметр, l — длина рассматри ваемого участка русла, J — гидравлический уклон. Если учтем, что Mw = Mj2, и применим формулу (287') для си лы трения, то 1 = M υM l−1M g−1M −ρ1, поскольку J = υ2 c 2R = (297) υ2 λ , то 8 gR M j = M υ2M c−2M R−1 = M υ2M λM g−1M R−1, (298) приравняв (297) и (298) по Mj, и предположив, что MR = MP (при геометрическом подобии), заключаем, что M λ = 1 или M e = 1, (299) то есть λ = idem и c = idem, тогда λн = λм и cн = cм. 126 (300) Это второе условие гидродинамического подобия. Нами получены три критерия гидродинамического подобия: 1. Критерий Ньютона (общие критерии). 2. Критерий Фруда. 3. Критерий Дарси. Отметим только: в частных случаях гидродинамическое подо бие может быть установлено также по ⎛Δ⎞ ⎛Δ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , J м = J н, ⎝ R ⎠н ⎝ R ⎠ м где Δ — абсолютная шероховатость; R — гидравлический радиус; J — гидравлический уклон. 5. Распределение касательных напряжений при равномерном движении Пусть имеем наклонную трубу, у которой r0 — ее радиус, w — площадь живого сечения, χ — смоченный периметр (рис. 2). Требуется: составить уравнение равномерного движения в этой трубе и определиться с распределением касательных напряже ний. Выделим два сечения: 1—1 и на расстоянии от него 2—2. 1 P1 2 r0 τ0 τ τ τ0 r θ τn P2 τ 1 G O z1 2 z2 τ0 τ Рис. 2. Распределение касательных напряжений сил при равномерном движении потока 127 O Какие силы действуют на массу жидкости на выделенном участ ке? Перечислим эти силы: 1) Р — равнодействующая сила давления в сечениях 1—1 и 2—2; 2) Т — равнодействующая сила трения, действующих на бо ковой поверхности отрезка; 3) G — вес жидкости в рассматриваемом объеме трубы: в дан ном случае, G = Gcosθ, поскольку труба находится в наклон ном положении к горизонту под углом θ. Поскольку движение равномерное, то сумма проекций на направление движения долж на быть равна нулю, то есть P – T + Gcosθ. (301) Перепишем (62), перейдя к численным значениям действую щих сил: (P1 − P2 )w − τ0 χl + ρgwlcosθ = 0, (302) в этой формуле P1P2 — соответствующие давления в сечениях 1—1 и 2—2, w = w1 = w2 — торцевые сечения в 1—1, 2—2 в центрах, t1t2 — высота от плоскости сравнения центров тяжести этих сечений. С учетом lcosθ = t1 – t2 разделим (302) на ρgw: после небольшо го преобразования следует t1 − t 2 + P1 − P2 τ0 χl = . ρg ρgw (303) Перегруппировав члены, ⎛ P ⎞ ⎛ P ⎞ τ χl ⎜⎜ t1 + 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ t 2 + 2 ⎟⎟ = 0 . ρg ⎠ ⎝ ρg ⎠ ρgw ⎝ (304) Но с другой стороны, при равномерном движении левая часть уравнения (304) есть потеря напора на длине lhl, таким образом: hl = τ0 χl , ρgw 128 (305) откуда τ0 = ρg w hl ґ . χ l (306) Получим искомую формулу, которую остается анализировать. Формулу (306) можно записать в других формулах, поскольку w/χ = R; hl/l = J. Поэтому (307), (308): τ0 = ρgRJ , (307) r τ0 = ρg 0 J . 2 (308) (309) равносильно (306), если (306) разделим на ρ, то получим τ0 = gRJ = u 2 , ρ (309) как следует из (277), поскольку u = gRJ , где u — динамическая скорость. Теперь остается определить, исходя из полученных результа тов для τ0, распределения касательного напряжения τ в произволь но выбранной точке выделенного объема. Например, выделим точку (любую), отстоящую от стенки на расстоянии r0 – r = t. Пусть эта точка находится на поверхности виртуального цилиндра с радиусом r(r < r0). В таком случае, пере писав (308) в виде r τ = ρg J , 2 (310) тем самым вводим касательное напряжение τ на поверхности ци линдра, действующее на точку в r0 – r = t. Из сравнений (310) и (308) следует: τ r = , τ0 r0 129 поэтому τ = τ0 r . r0 (311) Подставив r = r0 – t в (311), получим τ = τ0 r0 − t , r0 (312) Выводы: 1) при равномерном движении распределение касательного нап ряжения по радиусу трубы подчиняется линейному закону; 2) на стенке трубы касательное напряжение максимально (ког да r0 = r, т. е. t = 0 ), на оси трубы оно равно нулю (когда r0 = t). Не можем ли мы теперь рассмотреть потери напора с точки зре ния распределения касательного напряжения τ? Можем. Как видно из (309), u2 = τ0 /ρ. Подставим сюда u2 из формулы τ 1 (39). Тогда λu 2 = 0 , откуда ρ 8 τ0 = λ 2 ρu . 8 (313) Определив из (313) λ и подставив в (270) с учетом, что d = 4R, где d — диаметр трубы, R — гидравлический радиус трубы, полу чим, что hl = τ0l , ρgR (314) тем самым мы определили потери напора на длине l при заданных l, g, ρ, R через касательное напряжение. ЛЕКЦИЯ № 9. Вопросы потери напора 1. Ламинарное движение Распределение местных скоростей при ламинарном движении Как распределяются остальные скорости? Например, местные скорости? Вопервых, не мешает нам снова вспомнить о характерных свойствах ламинарного движения: главное отличие его от турбу лентного в том, что местные скорости не изменяются во времени. При равномерном движении ламинарный поток движется асимметрично, то есть поток симметричен относительно своей оси и радиус любой точки перпендикулярен оси сечения потока. Если рассматривать это движение в системе координат (χ, η), что является наиболее удобным, то u = u; ur = 0, поскольку ось OX сонаправлена с направлением движения потока. Движется как будто бесконечно концентрические, тонкие ци линдрические слои, как одна система: эти слои перемещаются в отношении друг друга. Между этими слоями, поскольку почти все жидкости ньюто новы, возникают касательные напряжения, с распределением ко торых разобрались в предыдущих лекциях. τ= −μ du , dr где μ — динамическая скорость; 131 (315) u — местная скорость; r — радиус трубы. Там же, в прошлой лекции, убедились, что по мере удаления от оси к стенке трубки, то есть с ростом r, местная скорость u умень шается, то есть градиент скорости du/dr < 0. Потомуто в форму ле (315) знак минус — чтобы τ осталась положительной, так как она — величина положительная. В формуле (310) нами получено другое выражение для каса тельной τ. После приравнения ее к (315) и после некоторых не сложных распределенийпреобразований (приводим без вывода), получим формулу для местной скорости и, которую имеет произ вольная точка живого сечения, находящегося на расстоянии r от оси потока (трубы): u= gJ 2 2 (r0 − r ), 4V (316) в которой r0 — радиус трубы; J — гидравлический уклон потока; V — кинематическая вязкость. Полученное уравнение (316) является уравнением параболы. Если оценить umax, то очевидно, что этот максимум имеет место на оси потока, где r = 0, то есть umax = gJ 2 r0 . 4V (317) Выводы: 1) при ламинарном (равномерном) движении распределение местных скоростей подчиняется параболическому закону; 2) на стенке трубы местная скорость равна нулю, она макси мальна на оси потока, когда r = 0 (для точки), то есть r02 – r 2 = r02 (r0 — радиус трубы). Как видно из сравнения выводов для распределений τ и и, речь идет о превращении энергии потока, которая тратится на преодоле 132 ние сопротивлений в жидкости, поэтому там, где τ max, имеет место umin, и наоборот. Расход потока С этим понятием мы встречались, и воспользовались им не один раз: речь идет о количестве жидкости, которое проходит че рез рассматриваемое сечение за единицу времени. Попробуем сформировать произвольное сечение и определить расход потока через это сечение. На произвольном поперечном сечении трубы выберем площадку dw в виде кольца толщиной dr на расстоянии r от оси потока: стороны этого кольца — концен трические окружности, у которых радиусы соответственно равны r и r + dr. Если оценить площадь этого элементарного слоя, то dw = 2πrdr. (318) Что касается расхода потока через это сечение, то он опреде ляется еще с местной скоростью и, то есть dQ = udw. (319) Найдем полный расход по трубе: r0 r0 ∫ ∫ Q = udw = 2 π urdr . (320) Поскольку по формулам (316) и (317) можно выразить местную скорость и через ее максимальное значение umax, то ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ u = umax ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ . ⎢ ⎝ r0 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 133 (321) Подставив (321) в (320), получим (еще учтем, что V не зависит от r): Q= 2 πumax r0 ∫ r02 (r02 − r 2 )rdr = После преобразований типа r02 = πr02 umax . 2 (322) d2 и замены umax на (317), по 4 лучим: Q= πgJ 4 d . 128V (323) Как видно из формулы, если гидравлический уклон задан, то расход потока с увеличением диаметра трубы заметен при значи тельном увеличении этого диаметра, о чем свидетельствует чет вертая степень d, то есть Q пропорциональна четвертой степени диаметра трубы. Средняя скорость Задача — найти выражение, где можно было бы выразить среднюю скорость через местную. Для этого пользуемся выра жением υ= Q . w (324) С учетом того, что w = 2πr02 (речь идет о полном поперечном сечении трубы с радиусом r0), и формулы (323) в (324), получим: υ= gJ 2 gJ 2 d = r0 . 32V 8V (325) 2 Чтобы получить формулу (85), требуется представить w = πr = 2 πd 2 ⎛d ⎞ = π⎜ ⎟ = ; после этого w и Q из (323) подставить в (324). После 4 ⎝2⎠ сокращений получается (85). 134 Из сравнений формул (325) и (317), аналогия которых очевид на, нетрудно заключить, что υ= umax , 2 (326) таким образом, в круглом сечении ламинарного потока средняя ско рость потока равна половине максимального значения местной скорости, причем градиент du/dr < 0. Изменение касательных напряжений, которые максимальны на оси потока, происходит наоборот: увеличивается на r по дви жению к стенкам трубы. Нам не только удалось определить распределение местных скоростей, но и выразить расход и среднюю скорость потока че рез максимальное значение местной скорости. Коэффициент Дарси при ламинарном напорном движении Задача следующая: выяснить, как ведет себя коэффициент Дар си λ при рассматриваемом движении и в каких отношениях поте ри напора находятся со средней и местной скоростями. Для этого достаточно найти формулу, связывающую коэффи циент Дарси (λ), потерю напора на длине l (hl), среднюю скорость потока (υ), максимальное значение местной скорости (umax). По определению, гидравлический уклон J= hl , l с другой стороны, из формулы (85) J= 32υV gd 2 . Приравнивая эти формулы, определяем, что hl = 32 υl gd 2 135 V. (327) С другой стороны, возвращаясь к формуле (271), заключаем (приравнивая (271) к (327)), что λυ2 32V = , d 2g gd 2 откуда, после сокращений подобных: λ= 64V , υd (328) где комплекс V/υd — число Рейнольдса Re, поэтому λ= 64 . Re (329) Возвращаясь к формуле (327), заключаем, что потери напора в ламинарном равномерном круглом сечении hl ~ υ (средней ско рости), причем средней скорости не в квадрате, а в первой степени. Что касается коэффициента Дарси, то он обратно пропорцио нален той же средней скорости, и тоже в первой степени. Это сле дует из формул (328) и (329): в последней υ содержится в числе Рейнольдса Re. Следует отметить, что числитель формулы (329) имеет разные значения в зависимости от формы сечения потока, поэтому формулу для коэффициента Дарси приводят в виде λ= A , Re где А — некоторый коэффициент, который определяется по табли це в зависимости от формы сечения, например, трубопровода. В заключение остается отметить, что местная скорость в виде umax содержится в средней скорости, поскольку υ = 0,5umax , согласно формулы (86). 136 2. Турбулентный равномерный режим движения потока Напомним сначала, что основная черта турбулентного движе ния — это изменение местных скоростей по времени. Поэтому раньше, когда говорили о турбулентном движении, оперировали усредненными скоростями ux , uy , uz Логарифмический закон распределения усредненных скоростей Если рассмотреть плоское движение (т. е. потенциальное дви жение, когда траектории всех частиц параллельны одной и той же плоскости и являются функцией двух координат, а если движение неустановившееся, то и времени t), одновременно являющееся равномерным турбулентным в системе координат XYZ, когда ли нии тока параллельны оси OX, то ux = ux (t ); uy = 0; ux = 0, (330) где t — расстояние данной точки по нормали к стенке. Касательное напряжение было определено нами как 2 ⎮= M du x ⎛ du ⎞ + ρl 2 ⎜ x ⎟ . dt ⎝ dt ⎠ (331) Кроме того, было подчеркнуто, что при сильной интенсивности турбулентности первым членом в (331) можно пренебречь: точно так же, когда движение стремилось к ламинарности, можно было пренебречь вторым слагаемым. Пусть теперь движение таково, что придется пренебречь первым слагаемым, то есть движение сильно турбулировано: 2 ⎛ du ⎞ τ = τтурб = ρl 2 ⎜ x ⎟ . ⎝ dt ⎠ (332) Теперь задачей является определение величины l, то есть длины пути перемешивания частиц потока при турбулентном движении. 137 Для определения l нет какойнибудь теоретической расклад ки. Поэтому, для его определения у разных исследователей сущест вуют разные точки зрения. Не углубляясь в историю, остановим выбор на формуле А. А. Сат кевича для трубы l = χz 1 − t / r0 , (333) где χ — некоторый коэффициент. Для того, чтобы получить формулу для общего случая, будем считать, что в (332) ux, в дальнейшем и, то есть 2 ⎛ du ⎞ τтурб = ρl 2 ⎜ ⎟ . ⎝ dt ⎠ (334) Подставив в (334) l по (333) с учетом (312) в виде τ = τ0(1 – t/r0), получим: 2 ⎛ du ⎞ τ0турб = ρχ2t 2 ⎜ ⎟ . ⎝ dt ⎠ (335) Однако, согласно формуле (309), τ0 /ρ = u2 (динамическая ско рость). Поэтому, u2 = χ2t2(du/dt)2, откуда u = χt(du/dt), откуда следует du = u dt ґ . χ t (336) Очевидно, что интегрирование функций вида dt/t приводит к ло гарифму, то есть, интегрируя (336), получим (поскольку u/χ не за висит от t): u= u lnt + const. χ (337) Получили искомое выражение: логарифмический закон распре деления скоростей для турбулентного движения. 138 Этот закон хорошо утверждается практикой; однако по мере удаления от оси потока его соответствие практике уменьшается в силу роста пристеночных вязких сил. Распределение осредненных скоростей и коэффициента Дарси Нам осталось рассмотреть эти вопросы вблизи подвязкого слоя и в самом слое. Для этого нам придется провести четкий во дораздел между этими слоями потока. Движение попрежнему турбулентное. Снова возвращаясь к структуре турбулентного потока, отме тим, что при напорном движении поток состоит в основном из пяти областей: 1) ламинарная: приосевая область, где местная скорость макси мальна, в этой области λлам= f(Re), где число Рейнольдса Re < 2300; 2) во второй области поток начинает переходить из ламинарно го в турбулентный, следовательно, увеличивается и число Re; 3) здесь поток полностью турбулентный; в этой области трубы называются гидравлическими гладкими (шероховатость Δ мень ше, чем толщина вязкого слоя δв, то есть Δ < δв). В случае, когда Δ > δв , труба считается «гидравлически шеро ховатой». Характерно, что если для λлам= f(Re–1), то в этом случае λгд= = f(Re–0,25); 4) эта область находится на пути перехода потока к подвязко му слою: в этой области λлам= (Re, Δ/r0). Как видно, коэффи циент Дарси уже начинает зависеть от абсолютной шерохова тости Δ; 5) эта область называется квадратичной областью (коэффи циент Дарси не зависит от числа Рейнольдса, но определяется почти полностью касательным напряжением) и является при стенной. Поэтому вклад местных скоростей в коэффициенте Дарси на столько мал, что его можно заметить, если только рассмотреть ско рость в квадрате, а не в первой степени. Эту область по той же при чине называют автомодельной, то есть не зависящей от Re. 139 В ней коэффициент Дарси уже не определяется числом Рей нольдса и является функцией только абсолютной шероховатости λкв = f(Δ, r0). Как нетрудно догадаться, продолжая излагать теорию законо мерностей турбулентного потока, мы находимся в третьей области. Гидравлически гладкая труба Само собой разумеется, мы должны получить выражения, кото рые описывали бы поведение осредненных скоростей и коэффици ента Дарси в третьей области турбулентного потока. По логарифмическому закону распределения скоростей в тур булентном потоке (ее мы вывели для общего случая) (формула (97)), u= u lnt + const. u Сначала определим константу const = c. Если применить формулу (337) к некоторой точке, которая на ходится на границе четвертой и пятой областей, то есть на внеш ней границе вязкого подслоя, в случае t = δв. Тогда местная ско рость этой точки uв = Nu, (338) где N — некоторое число; u — динамическая скорость. С учетом (338), формулу (337) представляем в виде: uв = u lnδв + c, χ (339) откуда с учетом того, что по определению δв = NV , u (340) где V — кинематическая вязкость, а также с учетом формулы (338), (99), находим константу с: 140 c = Nu − u NV ln , χ u (341) преобразуя, получим: ⎛ ⎞ u V 1 c = u⎜⎜ N − ln N ⎟⎟ − ln . χ ⎝ ⎠ χ u Подставим (341) в (339), разделив получившееся выражение на u, при χ = 0,4; N = 11,6 (такие значения существуют для глад ких труб: получены экспериментально) получим: u ut = 5,75lg + 5,5. u V (342) Для коэффициента Дарси формулу приводим в виде: λгл = 0,3164 Re 0,25 , (343) где Re = υd/V — местная скорость, u или u содержатся в средней скорости потока υ. Гидравлически шероховатая труба. Шероховатая область Рассматриваем четвертую область турбулентного потока. В этой области роль местных скоростей еще больше убывает, зато растет роль касательных напряжений. Тем не менее, между uΔ (местная скорость точки на уровне выступа шероховатости Δ) и u (динамическая скорость) сохраняется некоторая пропорцио нальность β. То есть uΔ = βu. (344) Для этой же точки уравнение (337) выглядит следующим образом: u= u u u t ln t + uΔ − ln Δ = ln + uΔ . χ χ χ Δ 141 (345) Подставим (344) в (345). Из этого следует: u= u t ln + βu. χ Δ (346) Разделив (346) на u, получим окончательную формулу для ос редненной скорости в шероховатой области, которую выразим че рез относительную местную скорость u/u: u 1 t = ln + β, u χ Δ (347) где β — коэффициент пропорциональности в (344). Можно перейти в десятичный логарифм, как в (342), при χ = 0,4, получим: u t = 5,75lg + β. u Δ (348) Относительная максимальная скорость umax/u достигается при t = r0. Что касается коэффициента Дарси, то для квадратичной области λкв = 1 ⎛ AR ⎞ a lg⎜ ⎟ ⎝ Δ ⎠ 2 , (349) где R — гидравлический радиус; А — параметр, отражающий особенности конкретного вида шероховатости, a = 2,3 / χ 8 . Для λ существуют и другие фор мулы. 3. Коэффициент Шези в «квадратичной области». Формула Павловского В общем случае, как известно, коэффициент Шези c = 8g / λ . Поэтому из всех пяти областей турбулентного потока заслуживает внимания рассмотрение его в «квадратичной области», где по 142 является особое, как убедились выше, поведение местных ско ростей и коэффициента Дарси. По этому поводу существует множество формул. Наиболее интересной из них является формула Павловского с= 1 y R , n (350) где п — коэффициент шероховатости; R — гидравлический радиус. Как найти степень у? Формула (350) получена эмпирически. По Павловскому, при 0,1 < R < 3 м y = 2,5 n − 0,13 − 0,75 R ( n − 0,1), (351) причем при R < 1 м, y ≈ 1,5 n , при R > 1 м, y ≈ 1,3 n . Существуют и другие формулы для коэффициента Шези, на пример, формула Агроскина—Штереплихта. c = c1 + B lg R, (352) где c1 = 1/n, B = 27,5 – 300n. 4. Неравномерное движение В практике очень много случаев, когда изза изменения геомет рии потока изменяются такие его кинематические параметры, как вектор средней скорости, средняя скорость и т. д. В конечном счете, изменение геометрии потока приводит к из менению такого важнейшего параметра, как площадь его сечения w, следовательно, формулы, которые мы получили для равномерного движения, уже другие, поскольку изза изменения кинематики дви жения, изза того, что движение становится неравномерным, изме няются также динамические параметры потока. 143 Это значит, что мы должны скорректировать или пересмотреть (когда требуется) ранее полученные результаты, связанные с поте рей удельной энергии для равномерного движения. Такова задача настоящей, десятой по счету лекции. Несмотря на свою кажущуюся простоту, движение потока жид кости — настолько сложное явление, что, несмотря на относитель но давнюю историю, до сих пор не изучено достаточно. Как, на пример, мы уже убедились, до сих пор не найден математический аппарат анализа многих явлений, и придется для их описания вос пользоваться методами статистического анализа. Надеемся, что ко муто из вас удастся решить хотя бы небольшую часть этих проблем теории гидравлики, например, такой вопрос: при достижении определенной степени турбулентности жидкость может «оторвать ся» от стенки трубы — как описать такое «поведение» потока мате матическим анализом. Общий подход к проблеме неравномерности потока Еще в лекции № 8, рассматривая вопросы потери напора в об щем виде, мы отметили, что при равномерном движении потери напора, как правило, выражаются формулой hnp = ξυ2 / 2g, (353) где потери напора hпр зависят от скорости потока; она постоянна, поскольку, движение равномерное. Что касается коэффициента сопротивления ξ, то его физический смысл в следующем: этот ко эффициент является показателем соответствия определенного значения hпр некоторому количеству скоростных напоров. Други ми словами, он устанавливает соответствие между hпр и υ потока. Однако потери возникают по длине hl; по местным сопротив лениям hм. Следовательно, и формула (353) имеет соответствующие формы. Действительно, если в первом случае hl = ξl υ2 , 2g 144 (354) то во втором случае hм = ξ м υ2 . 2g (355) Как видно, формулы (354) и (355) различаются только коэф фициентом сопротивления ξ. В настоящей лекции, в основном, будем заниматься экспери ментальным определением ξм; тем самым проблема неравномер ного потока для определения потери напора hпр во многом будет решена. Формула (355) называется формулой Вейсбаха. В обоих форму лах, как и в (353), коэффициент сопротивления — величина без размерная, и в практических целях определяется, как правило, по таблицам. Эти табличные данные также получены экспериментально. Допустим, перед нами прямо здесь и сейчас поставлена задача: определить коэффициент местного сопротивления ξм. Для проведения опыта по определению ξм последовательность действий следующая: 1) должен быть обеспечен ход равномерности потока в иссле дуемом конструктивном элементе: например, надо заботиться о том, чтобы исследуемый конструктивный элемент был на достаточном удалении от входа в трубопровод, а также от предшествующего другого конструктивного элемента. Другими словами, сечение, где будут устанавливаться пьезомет ры для измерения входного напора в конструктивный элемент, должны находиться в участке потока. Поэтому их установление непосредственно у входа исследуемого конструктивного эле мента приведет к искаженным результатам. Следовательно, необходимо обеспечить достаточное удаление от входа; 2) для установившегося движения вязкой несжимаемой жид кости между двумя сечениями (в нашем случае, это вход с x1υ1 и выход с x2υ2), движение в которых плавно изменяющееся, запишем уравнение Бернулли: t1 + x υ p p1 x1υ12 + = t 2 + 2 + 2 2 + hnp , 2g 2g ρg ρg 145 (356) где t1, t2 — высоты центров тяжести рассматриваемых сечений над плоскостью сравнения; p1, p2 — соответствующие сечениям давления в рассматри ваемых точках; x1, x2 — соответствующие коэффициенты кинетической энергии при скоростях: υ1 на сечении 1—1 и υ2 на сечении 2—2. По условиям получения этого уравнения требовалось, чтобы в рассматриваемых сечениях поток был плавно изменяющим ся. Между сечениями могло бы произойти что угодно. Этот момент дает нам право на его применение. Именно этим моментом продиктовано требуемое удаление пьезометров от входа в конструктивный элемент. На этом этапе определяем перепад пьезометрических напоров ΔH по формуле (356) при условии, что x1 = x2, υ1 = υ2, т. е. после прохождения через конструктивный элемент восстановился тот же поток; разумеется, сечения 1—1 и 2—2 находятся на достаточном удалении от исследуемого конструктивного эле мента: ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ΔН п = hnp = ⎜⎜ t1 + 1 ⎟⎟ − ⎜⎜ t 2 + 2 ⎟⎟. g g⎠ ρ ρ ⎝ ⎠ ⎝ (357) Поскольку суммарные потери напора hnp = hl + hм , (358) где hl, hм (см. формулы (354), (355)), то находим потери напо ра на этом же участке уже без конструктивного элемента, пу тем простого измерения напоров пьезометрическими прибо рами; 3) по формуле (358) находим, что hм = hпр – hl, после этого по формуле (355) находим искомый коэффициент сопротивления −1 ⎛υ ⎞ ξ м = hм ⎜⎜ 2 ⎟⎟ . ⎝ 2g ⎠ 146 Однако может получиться, что υ1 ≠ υ2, следовательно x1 ≠ x2. В этом случае местные потери напора hм находят по формуле (356). В заключение несколько слов о взаимоотношениях между ξм и Re — числом Рейнольдса. Все определяется геометрией потока. Как и коэффициент Дарси λ, ξм также является некоторой функ цией от Re, если Re < 5(108 ґ 104), поскольку с уменьшением Re ξм растет. При Re < 5(103 ґ 104) такой зависимости практически не существует. Еще один момент. Поскольку ξм в общемто является сложной функцией вида Δ ⎛ ⎞ ξ м = f ⎜ Re, , Ka ⎟ , d ⎝ ⎠ (359) где Δ — абсолютная шероховатость трубы; d — диаметр трубы; Ka — некоторое число, которое лучше представить как ξ м = ξ м.кв + A , Re (360) где ξм.кв — коэффициент местного сопротивления в «квадратич ной области»; А — некоторый коэффициент, который как и ξм.кв, определяет ся по табличным данным. Если число Рейнольдса достаточно большое, то изза того, что уже практически не зависит от него, ξ м.кв >> A , Re (361) поэтому, при Re < 5(103 ґ 104), слагаемым A/Re можно пренебречь. Местные сопротивления Вопервых, разберемся с тем, что происходит после того, как поток вошел с некоторым напором и скоростью в трубопровод. 147 Это зависит от вида движения: если поток ламинарный, то есть его движение описывается линейным законом, тогда его кривая — па рабола. Потери напора при таком движении достигают (0,2 ґ 0,4) ґ ґ (υ2/2g). При турбулентном движении, когда оно описывается ло гарифмической функцией, потери напора — (0,1 ґ 1,5)(υ2/2g). После таких потерь напора движение потока стабилизируется, то есть восстанавливается ламинарный или турбулентный поток, каким и был входной. Участок, на котором происходят вышеуказанные потери на пора, восстанавливается по характеру, прежнее движение назы вается начальным участком. Вовторых, теперь можем количественно оценить длину на чального участка lнач. Приведенные формулы, как и большинство формул практической гидравлики, получены экспериментально: для турбулентного движения lнач = 0,52 λ, d (362) где λ — коэффициент Дарси; d — диаметр трубы; для ламинарного движения, поскольку λ = 64/Re, lнач = 2,56 λ. d (363) Сравнивая формулы (362) и (363), нетрудно заключить: турбу лентный поток восстанавливается в 5 раз быстрее, чем ламинар ный, при одних и тех же гидравлических сопутствующих данных. В третьих, рассмотрим частный случай, когда поток не сужает ся, как рассмотрели выше, но внезапно расширяется. Почему происходят потери напора при такой геометрии потока? 148 υ1 ω1 A 1 2 D P2 1 G P2 CO2 υ2 B τ O C 2 L2 L1 O Рис. 3. Силы, возникающие в потоке при внезапном расширении Из рисунка 3 видно, что после выхода из узкой трубы, через не которое расстояние поток заполняет трубу, но уже широкую, с пло щадью сечения 2—2 w2. Однако, начиная сразу после сечения 1—1 до сечения 2—2, у стенки трубы формируется пристеночный водово рот, который к 2—2 сужается и переходит в поток. Участок потока между сечениями 1—1 и 2—2 без водоворотной области называют транзитной струей. Назовем участок потока 1—1/2—2 также на чальным участком. На этом участке на границе раздела транзитной струи с водово ротной областью касательные напряжения более значительны, чем при равномерном движении. Формирующиеся вихреобразные массы жидкости, проникая че рез границы транзитной струи в поток, гасятся в нем, поскольку об разуют внутри потоковые силы трения. Поэтому происходят поте ри напора при внезапном расширении потока hв.р. Попробуем определить коэффициенты местных сопротивле ний: к счастью, в рассматриваемом случае удается их определить аналитически. Сначала приведем уравнение Бернулли для сечений 1—1 и 2—2: hв . р = t1 − t 2 + p1 − p2 x1υ12 x2 υ22 − . + ρg 2g 2g 149 (364) Однако, здесь требуется выразить высоту центров тяжести обоих сечений t1, t2 от плоскости сравнений, а также величины ρ, p1, p2 через соответствующие скорости потока υ1, υ2. Для этого нужно применять к массе жидкости между сечения ми 1—1 с площадью w1 и 2—2 с площадью w2 теорему о количестве движения. По этой теореме, сумма проекций на ось движения внешних сил, которые действуют на движущуюся систему, есть изменение коли чества движения. Как будет выглядеть аналитическая запись этой теоремы в нашем случае? Исходя из рисунка, запишем силы, кото рые действуют на систему: 1) p1=p1w1 — действуют сразу после расширения, сила давле ния на сечении 1—1; 2) R = p1(w2 – w1) — действуют сразу после сечения 1—1; этой силой кольцевая стенка площадью w2 – w1 действует на поток; 3) R2=p2w2 — сила давления на сечении 2—2, которая направ лена против течения. Кроме этих сил, имеют место проекции сил трения на боко вые стенки трубы между 1—1 и 2—2; однако ими пренебрегают изза их незначительности, так как расстояние между 1—1 и 2—2 небольшое. Кроме вышеуказанных сил, действует еще сила тяжести G, проекция которой есть Gcosθ = ρgw2lcosθ = ρgw2 (t1 − t 2 ). (365) Если суммировать все вышеперечисленные силы, то получим выражение p1w1 + p1(w2 − w1) + p2w2 + ρgw2 (t1 − t 2 ) = = ( p1 − p2 )w2 + ρgw2 (t1 − t 2 ). (366) С другой стороны, воспользуемся выражением ∫ u dw = α' υ w, 2 2 w 150 (367) где α — коэффициент количественного движения (или коэффи циент Буссинеска); и — местная скорость; υ — средняя скорость потока; w — площадь сечения потока. Применение формулы (367) к нашей системе позволяет полу чить другое выражение для той же массы между сечениями 1—1 и 2—2, заменив w на w = ρQ, получим: ρQ( x' 2 υ2 − x'1 υ1) = ρw2 υ2 ( x' 2 υ2 − x'1 υ1), (368) здесь мы учли, что на сечении 2—2 расход потока Q = w2ρ2. Поскольку (366) и (368) есть приращение количества движе ния одной и той же массы, то приравняв их, получим: ( p1 − p2 )w2 + ρgw2 (t1 − t 2 ) = υw2 υ2 ( x' 2 υ2 − x'1 υ1 ). (369) При x'1 = x' 2 = x' , сократим w2 и делим все члены на ρg, из чего следует: p1 − p2 x' υ2 2 + (t1 − t 2 ) = ( υ − υ1). ρg g (370) Левая часть уравнения (370) есть сумма первых двух членов (364), подставив эту сумму в (364), получим: hв . р = x' υ2 ( υ2 − υ1 ) x1υ12 x2 υ22 . − + 2g 2g g (371) Приравняв x1 = x2 = x′, упростим выражение hв . р = x ( υ1 − υ2 )2 , 2g 151 (372) если принять x = 1, то hв . р = ( υ1 − υ2 )2 . 2g (373) Теперь физический смысл потери напора сразу виден. Действительно, если обозначить υ1 – υ2 = υ3, то получим hв . р = υ32 = Ek , 2 (374) что представляет собой потерянную кинетическую энергию или скорость υ3 = υ1 – υ2. Формулу (373) называют формулой Борда. Но получения (372) недостаточно: нам следует определить коэффициенты местного сопротивления. С этой целью преобразуем (132) в следующий вид: разделив и умножив на υ12 2 ⎛ υ ⎞ υ2 hв . р = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ 1 . υ1 ⎠ 2 g ⎝ (375) Определим υ2 /υ1 из уравнения неразрывности υ1w1 = υ2w2 как υ2 / υ1 = w1/w2 и подставим в (135): 2 ⎛ w ⎞ υ2 hв . р. = ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ 1 . ⎝ w2 ⎠ 2 g (376) Остается, сравнив (376) и (355), заключить, что 2 ⎛ w ⎞ ξв . р.1 = ⎜⎜1 − 1 ⎟⎟ . ⎝ w2 ⎠ 152 (377) Если бы (375) преобразовали, разделив и умножив на υ2, то по лучили бы ⎛w ⎞ ξв . р.2 = ⎜⎜ 2 − 1⎟⎟ . (378) w ⎝ 1 ⎠ Индексы показывают значение ξ в соответствующем сечении. Определим отношение: ξв . р.1 ξв . р.2 = υ22 υ12 = w12 w22 , (379) т. е. отношение местных сопротивлений обратно пропорциональ но отношению площади сечений: ξв.p1 > ξв.p2 во столько же раз, во сколько раз w12 < w22 . Задача решена: коэффициенты местных сопротивлений опре делены. Отметим только: если поток состоит из участков с разными ξм, то коэффициент сопротивления системы находят по формуле: ∑ υξ k2 , 2g (380) где k — число, показывающее количество участков. Изучение вопросов потери напора нами практически завершено. Конечно, можно было бы продолжать рассмотрение этого вопроса и рассмотреть ряд частных случаев, наиболее часто встречающихся. Но приведенные раскладки, думается, достаточны, чтобы читатель при необходимости сам мог разобраться с интересующим его во просом. Расчет трубопроводов Будем рассматривать установившееся напорное движение по тока. Сначала несколько слов о трубопроводах. По принятой в гид равлике классификации, по конструктивным особенностям раз личают трубопроводы: 1. Простые, когда трубопровод не имеет ответвлений, диаметр его постоянен по всей длине, он изготовлен из одного и того же ма териала. 153 2. Сложные, когда трубопровод состоит из разных по диаметру труб или ответвлений или параллельно соединенных с общим вхо дом и выходом. Очевидно, что в зависимости от длины или других конструк тивных особенностей, на отдельных участках трубопроводов по тери напора разные. Поэтому, в зависимости от значения и харак тера потери напора, различают: 1) длинные трубопроводы, в которых потери напора по длине незначительно больше суммы местных ∑ и скоростных напо ров xυ2/2g, вместе взятых. Поэтому суммой ∑(υ + xυ2/2g) пре небрегают, вычисляют hl, а после увеличивают полученный результат на 5—10%; 2) короткие трубопроводы, когда потери напора hl и hм сопо ставимы. Поэтому, при расчетах коротких трубопроводов учи тывают не только эти потери, но и скоростные потери напора в потоке. Задачи расчета трубопроводов Сформулируем задачи, которые нам предстоит решать: все за висит от того, какие параметры требуется определить и какова методика расчета. В зависимости от этих раскладок, различают следующие задачи: 1) требуется определить расход потока Q, при этом заданы напор Н; длина трубы l; шероховатость трубы Δπ; плотность жидкости ρ; вязкость жидкости V (кинематическая); 2) требуется определить напор Н. Заданы расход потока Q; параметры трубопровода: длина l; диаметр d; шероховатость Δ; параметры жидкости: ρ плотность; вязкость V; 3) требуется определить необходимый диаметр трубопровода d. Заданы расход потока Q; напор Н; длина трубы l; ее шерохо ватость Δ; плотность жидкости ρ; ее вязкость V. Методика решений задач одна и та же: совместное примене ние уравнений Бернулли и неразрывности. Здесь будем рассчитывать только простые трубопроводы. 154 Расчет длинного трубопровода. Основные формулы Если сжато сформулировать триединую задачу, то расчет тру бопровода сводится к определению расхода потока Q; напора в пото ке Н; диаметра трубы d. Составим уравнение Бернулли для сечений 1—1 и 2—2, со гласно рисунку. 1 H 1 2 2 O 2 H υ O O α α L 2 L Рис. 4. Проблема «двух резервуаров» O ⎛ xυ2 ⎞⎟ Поскольку hl >> ⎜ hм + , то, пренебрегая суммой, заклю ⎜ 2 g ⎟⎠ ⎝ чаем: H = hl . (381) Однако полученный результат в практике приходится увели чивать на 5—10%. По определению, гидравлический уклон J= hl , l (382) откуда hl = Jl, где l — длина исследуемого трубопровода, т. е. H = Jl, из чего сле дует J = H/l. Подставим J в формулу Шези υ = c RJ , получаем υ= c RH , l (383) где υ — средняя скорость потока. Определив из (383) напор, получим H= υ2l c 2R 155 . (384) Что касается расхода жидкости, то с учетом (383), Q = wυ = wc RJ , (385) поскольку J = H/l. Важной характеристикой трубопровода является величина, ко торая объединяет некоторые параметры трубопровода, исходя из диаметра трубы (рассматриваем простые трубы, где диаметр по всей длине l постоянен). Этот параметр k называют расходной ха, рактеристикой: k = wc R . Физическим смыслом k является то, что представляет собой расход потока при единичном гидравлическом уклоне J. Выразим расход и напор потока через модуль расхода. Из (385) следует: Q= k J , (386) из (384) следует H= Q 2l k2 . (387) Возьмем, аналогично понятию удельной энергии, понятие удельного сопротивления А, где A= 1 k 2 = 1 2 2 . (388) w c R С учетом (388), выражение для напора H = AlQ 2 . (389) Физический смысл удельного сопротивления в том, что оно яв ляется напором, который необходимо рассматривать на длине тру 156 бопровода при единичном расходе, другими словами, А показывает, какая потеря напора требуется для «прохода» единичного расхода потока на длине трубопровода l. Если подставить коэффициент Шези с = 8g / λ , то A= 8λ 2 5 gπ d υ0,83 λ d5 , (390) т. е. удельное сопротивление является функцией вида A = f(λ, d). Мы привели основные формулы, по которым ведется расчет трубопроводов. Расчет трубопровода с переменным расходом по длине Особенность данного вопроса в том, что до сих пор, решая зада чи гидродинамики с разных точек зрения, мы полагали, что расход потока постоянен. Теперь придется это положение пересмотреть на примере расчета трубопровода с переменным расходом вдоль пути. Действительно, что бы мы ни рассмотрели вокруг, везде можно встретить трубопроводы с такими элементами, которые служат для раздачи жидкости еще до конца трубопровода. Это водопроводы, система поливов в сельском хозяйстве и т. д. Как их рассчитать? Что в них происходит? Если начинать наблюдение с самого начала трубопровода, то увидим: некоторая часть жидкости, не изменяясь, доходит до конца трубопровода транзитом. Пусть это количество будет Qт (транзит ный расход). Жидкость по пути частично раздается потребителям: обозна чим эту часть как Qp (путевой расход). С учетом этих обозначений, в начале трубопровода Q = Qт + Qp, соответственно, в конце расход потока Q – Qp = Qт. 157 Теперь попробуем рассчитать трубопровод с переменным рас хода. Пусть имеем трубопровод, от которого по пути длиной l заб рали жидкость Qp. Теперь выделим сечение этого участка, кото рое отстоит от начала трубопровода на расстояние х. Чему равен в этой точке расход Qk? Очевидно, что QΩ = Qт + Q p − Qp l x. (391) В этой формуле расход происходит до конца трубы. Qт — об щее количество путевого расхода по всей длине l; (Qp /l)x — рас ход, затраченный до определенной точки от начала трубопровода, Qn — оставшийся расход в точке х, (Qp + (Qp /l)x) — расход, кото рый будет затрачен до конца трубопровода, после точки х. Если движение равномерное, то для любого iого сечения J= Qi2 ki2 . (392) Возвращаясь к действительности, отметим, что после каждой розданной порции Qi напор (то есть скорость) уменьшается. Од нако в пределах выбранного участка dx этим несоответствием можно пренебречь: dH = Jdx . (393) Обозначим сечение на расстоянии х, как Ω. На этом сечении гидравлический уклон Q ⎛ ⎜⎜Qт + Q p − p 2 l Q J Ω = Ω2 = ⎝ 2 k k 2 ⎞ x ⎟⎟ ⎠ . (394) Подставив (394) в (393) и интегрировав в пределах [0, l ], при предположении k = const получим: 158 H= 1 k 2 (Qт + Q p )2 x − Q p (Qт + Q p ) l x2 + 2 1 Qp 3 l ґ 2 x . 3 l После вычисления: H= 1 ⎛ 2 1 ⎞ ⎜Qт + QтQ p + Q p2 ⎟ . 2 3 ⎠ k ⎝ (395) Для еще большего упрощения введено понятие «расчетный рас ход» Qрасх = Qт + 0,55Qp, где 1 Qт + 0,55Q p ≈ Qт2 + QтQ p + Q p2 , 3 (396) тогда из (395) следует 2 H = Qрасx l k2 . (397) Если рассматривается напор в квадратичной области, то учи тывается, что коэффициент Шези в переходной зоне с относится к тому же коэффициенту в квадратичной области, как с = скв λкв , λ где λ, λкв— соответствующие коэффициенты Дарси. В гидравлике принято, что λ 1 1 = = = θ2. λк Q12 θ12 159 Поэтому, поскольку k = wc R и kкв = wcкв R , то к =Q1, ккв 2 2 если учесть в (397) k 2 = kкв θ1 = H= 2 kкв , то θ2 2 θ2Q расx l 2 kкв . Если Qp = 0, то Qрасх = Qт, если Qт = 0, то Qрасх = 0,55Qp. Из (395) следует, что если Qт = 0, то H= 1 Q 2l ґ 2. 3 k (398) ЛЕКЦИЯ № 10. Движение жидкости в напорных трубопроводах при неустановившемся движении Будем рассматривать неустановившееся движение жидкости в напорном трубопроводе. Не мешает вспомнить, что этот вид движения отличается от установившегося тем, что такие его пара метры, как местные скорости Ux, Uy, Uz, а также давление в среде движения p не меняются со временем, все перечисленные пара метры являются функциями координаты времени, например, Ux = (Ux(x, y, z, Z ). Все разновидности движения, что мы рассмотрели для устано вившегося — напорное и безнапорное, одно, двух, трехмерное, ламинарное и турбулентное — имеют место также для неустано вившегося напорного движения в трубопроводах. 1. Гидравлический удар Наиболее распространенным, то есть часто встречающимся ви дом неустановившегося движения является гидравлический удар. Это типичное явление при быстром или постепенном закрытии зат воров (резкое изменение скоростей в некотором сечении потока приводит к гидравлическому удару). Как следствие, возникают да вления, которые распространяются по всему трубопроводу волной. Эта волна может быть разрушительной, если не принять спе циальные меры: могут разорваться трубы, выйти из строя насосные станции, возникнуть насыщенные пары со всеми разрушительны ми последствиями и т. д. Гидравлический удар может порождать разрывы жидкости в трубопроводе — это не менее серьезная авария, чем разрыв трубы. Наиболее часто встречающиеся причины гидравлического уда ра следующие: внезапное закрытие (открытие) затворов, внезапная остановка насосов при заполнении трубопроводов водой, выпуск 161 воздуха через гидранты в оросительной сети, пуск насоса при от крытом затворе. Если это уже случилось, то как протекает гидравлический удар, какие последствия вызывает? Все это зависит от того, по какой причине возник гидравличе ский удар. Рассмотрим основную из этих причин. Механизмы воз никновения и протекания по остальным причинам сходны. Мгновенное закрытие затвора Гидравлический удар, который происходит в этом случае — чрезвычайно интересное явление. Пусть имеем открытый резервуар, от которого отводится гидрав лическая прямолинейная труба; на некотором расстоянии от резер вуара труба имеет затвор. Что произойдет при его мгновенном за крытии? Вопервых, пусть: 1) резервуар настолько велик, что процессы, происходящие в трубопроводе, в жидкости (в резервуаре) не отражаются; 2) потери напора до закрытия затвора ничтожны, следователь но, пьезометрическая и горизонтальная линии совпадают; 3) давление жидкости в трубопроводе происходит только с од ной координатой, две другие проекции местных скоростей равны нулю; движение определяется только продольной координатой. Вовторых, теперь внезапно закроем затвор — в момент вре мени t0; могут произойти два случая: 1) если стенки трубопровода абсолютно неупругие, т. е. Е = ∞, и жидкость несжимаема (Еж = ∞), то движение жидкости так же внезапно останавливается, что приводит к резкому росту давления у затвора, последствия могут быть разрушительны. Это теоретически; 2) на практике жидкость всегда сжимаема, у стенок имеется упругость, правда, в обоих случаях в разной степени. После за крытия затвора за бесконечно малый промежуток времени Δt остановится слой между сечениями 1—1 и 2—2. Обозначим этот слой 1122 (слой можно назвать телом гидравлического удара, конечно, условно; как нет сплошной жидкости, так и нет такого тела), его толщина Δl. 162 В течение времени t + Δt, часть потока выше сечения 1—1 про должает двигаться со скоростью υ0 к затвору, но он закрыт. Поэтому под влиянием этого скоростного напора «тело» ги дравлического удара 1122 сжимается, давление повышается на ве личину Δp, то есть теперь р = р0 + Δp давит на стенки трубопрово да. Стенки трубопровода растягиваются, в результате возникает некоторый объем ΔV, который тут же заполняет еще движущаяся жидкость. Чему равно это приращение давления Δp? Для того, чтобы определить Δp, воспользуемся теоремой об изменении коли чества движения (речь идет о количестве импульсов) применитель но к массе «тела» гидравлического удара 1122, для чего, спроеци ровав на продольную ось, по которой происходит движение: 1) импульс внешних сил, получим Δp ω Δt; (399) 2) изменение количества движения «тела» гидравлического удара (имеется в виду его масса) (ρ ω Δl r0+ ρ ω υ0 Δt), (400) где ρ ω υ0 Δt, содержащееся во втором слагаемом, является мас сой жидкости, заполнившей объем ΔV, который образо вался за время Δt после закрытия затвора. Несколько преобразуем (400): будем считать, что ω = ω0, то есть изменения площади сечения 1—1 до и после гидравлическо го удара ничтожны. С другой стороны, приравняв (399) и (400), Δp Δt = ρ Δl υ0 + ρ υ02 Δt. (401) Если разделить (401) на Δt, то получим некоторую скорость вида Δl/Δt = С. С учетом этого, формула (401) превращается в широко известную формулу Жуковского: Δp = ρС υ0 + ρυ02. 163 (402) Искомое приращение найдено. Можно перейти к выражению для определения приращения напора ΔH, разделив уравнение (402) на ρg. Δp Cυ υ = ΔН = 0 + 0 . ρg g g (403) В формулах (402) и (403) С — это скорость ударной волны, т. е. скорость распространения гидравлического удара по трубопроводу. Ясно, что скорость любого возмущения в жидкости тоже будет С. Вторым слагаемым в (402) можно пренебречь, поскольку С >> υ0. В таком случае, Δ = ρСυ0, как следует из (402). Теперь начинается самая интересная часть нашего анализа гид равлического удара (нетрудно заметить, что распространение вол ны гидравлического удара происходит подобно движению элект рического тока — это очень важное наблюдение). Происходит следующее: если бы нам удалось сделать момен тальный снимок, мы увидели бы, что после внезапного закрытия затвора в теле гидравлического удара давление стало (р + Δp), все это произошло за время t = t0 + l/C, где l — расстояние от затвора до сечения 1—1, это сечение прошло путь l к затвору, увеличивая р и ρ. Когда сечение 1—1 достигло затвора, то его скорость стала υ = 0. Но до этого все слои в теле гидравлического удара, достигнув зат вора, тоже потеряли скорость υ до нуля. После этого началось обратное движение сечения 1—1, до стигнув резервуара, оно заняло положение 1—1, пройдя путь l от затвора до резервуара. t = t0 + l/C (следует отметить, что все вели чины с индексом ноль относятся к процессам, происходящим в теле гидравлического удара 1122), и жидкость достигла состоя ния мгновенного покоя. Теперь состояние с р = р0 + Δp и ρ = ρ0 + Δρ установилось по всему трубопроводу от затвора до резервуара. Это новое состояние не может передаваться резервуару в силу нашего допущения, следовательно, должно передаваться обратно к затвору. Так и происходит: особенность этого мгновенного покоя 164 в том, что вся напряженность сложилась у сечения 1'—1', у стенок резервуара, в остальной части трубопровода восстановилось давле ние р0 и стенки трубы восстановили первоначальную форму. И все это произошло за время t = t0 + l/C. Поскольку у сечения 1'—1' накопилась напряженность, она должна искать выход, поэто му от стенок резервуара отражается обратно в момент времени t = t0 + l/C (не путать эту форму записи с предыдущей; в течение вре мени t = t0 + l/C и в момент времени t = t0 + l/C — не одно и тоже). Теперь, двигаясь обратно, сечение 1'—1' снова стало в положе ние 1—1 — это произошло в момент времени t = t0 l L −l + = t 0 + (2L − 1)C . C C (404) В этот момент в сечении 1—1 давление снова р0, но скорость движения υ = –υ0 и стенки трубопровода и все состояние жидко сти, как в момент времени t0. Однако в тело гидравлического удара, где сечение 1—1 про должает свое движение к затвору, давление снова р + р0, но υ = υ0. Каждая ударная волна достигла затвора в момент времени t = = t0 + 2l/C , давление у затвора стало меньше, чем р0 на Δp = ρСυ0, но все еще р > рн.п. (давление насыщенного пара), в противном слу чае жидкость оторвалась от затвора. В этот момент времени t = t0 + + 2l/C после мгновенной остановки начинается новый процесс, и волна отражается от резервуара. Снова стены трубы сжаты, сно ва υ = 0, а давление р = р0 – Δp, где Δp = ρСυ0, плотность υ = ρ0 – – Δρ. Это все до того, пока ударная волна не достигнет сечения 1—1, то есть на участке длиной l и в момент времени t = t0 + 2l/C + + l/C = t0 +(2L + l )/C. А вот на участке (L – l) давление снова р0, скорость движения υ = –υ0, р = р0, то есть и стенки трубопровода, и состояние жид кости, как и в момент времени t0 разовое, в отличие от направле ния скорости. Когда ударная волна повторно достигла стенки резервуара, прошло время t = t0 + 3l/C. В этот момент давление на 1'—1', то есть у стенок резервуара, р < р0, поэтому жидкость снова отра 165 жается обратно. На этот раз ее заставляет отражаться разрежен ность у стенок изза р < р0. Все повторяется снова: когда ударная волна достигает сечения 1—1, прошло время l L −l t = t0 + 3 + , p = p0 − Δp, υ = 0, C C (405) жидкость разрежена. Когда ударная волна достигнет затвора, то t = t0 + 4l/C, а после нового гидравлического удара давление снова восстановится до р = р0 + Δp. Таким образом, через каждые 2l/C происходит коле бание давления р вокруг р0, то есть через каждые 2l/C — р = р0 ± Δp. А это биение колебания. Величину 2l/C называют фазой гидравли, ческого удара τ0. Период этого колебания l T0 = 2 τ0 = 4 . C (406) Отметим несколько характерных моментов: 1) мы рассмотрели весь процесс как бы при отсутствии сил трения, точнее, ими пренебрегли; 2) у сечения 1—1 чередуются фазы скорости υ = +υ0, υ = 0, υ = –υ0; 3) у стенки резервуара (вход трубопровода) скорость перебра сывается от +υ0 на –υ0 через каждые 4l/C; от –υ0 на +υ0 тоже через каждые 4l/C; однако фазы в первом и втором случаях сдвинуты относительно друг друга на t = 2l/C; 4) если гидравлический удар начинается с повышения давле ния, то это положительный удар, в противном случае гидрав лический удар отрицательный; 5) выше перечислены возможные причины возникновения гидравлического удара. При внезапной остановке насоса гид равлический удар происходит точно так же, как было и в про веденном здесь анализе. 166 Кроме того, если внезапно открывать затвор, ситуация опять повторится, только давление сначала не увеличится, а уменьшится на Δp, только через одну фазу 2l/C, все будет соответствовать при веденному выше анализу. Постепенное закрытие затвора Хотя рассмотренный выше случай вызван мгновенным закры тием затвора, на практике такое закрытие невозможно. Время закры тия затвора, обозначим его как Тз, всегда больше нуля. В зависи мости от того, как взаимоотносятся фаза гидравлического удара τ0 и Тз, различают следующие разновидности гидравлических уда ров. Прямой гидравлический удар Это тот случай, когда Тз < τ0 = 2l/C. Интерес представляет вы яснение: как поведут себя при закрытии Δp и средняя скорость υt. Поскольку при плавном закрытии площадь выходного сече ния 2—2, υt = υ(t). (407) Поэтому при: t = 0, υt = 0; t = t, υt = υt — текущая скорость в текущий момент времени; t = Тз, υt = υTз = 0. Однако изменение скорости ступенчатое, поскольку является следствием ряда изменений давления. Δpt = ρСΔυt. (408) Это давление достигает своего максимума при t = Тз (при этом υt = 0), Δpt = ρСΔυ0. В любой другой момент времени t < Тз Δp < ρСυ0 + ρυ02. (409) (см. формулу (402)), поскольку при t < Тз разность средних ско ростей 167 Δυt = ρС(υ0 – υt ), (410) следовательно, Δpt = ρС(υ0 – υt ). Пи получении формулы (402) мы пользовались теоремой о проек ции момента количества движения, куда входила Δυt. Где будет фронт ударной волны, если Тз = t = τ0? Если закрытие затвора произошло в момент времени t0, то воз никшая ударная волна на сечении 2—2, пройдя до входного сече ния 1'—1', то есть до резервуара, вернется обратно к затвору за время t = 2l/C = τ0 = Тз. При этом рТз = р0 + Δp. (411) Однако еще через какоето время 2l/C, то есть в момент време ни t = Тз + 2l/C, давление уже другое: р2Тз = р0 – Δp. (412) С этого момента t = 4l/C начинается падение давления. И так продолжается незатухающий процесс (нет сил трения, график про цесса напоминает синусоиду или косинусоиду). Непрямой гидравлический удар В этом случае Тз > τ0 = 2l/C. Отметим, что за время t = 2l/C вол на, дойдя и отражаясь от резервуара, успевает вернуться к затвору до его полного закрытия. Если бы выбрали Тз > 2l/C, то в момент возврата ударной волны к затвору t = 4l/C затвор еще закрыт, и скорость поступательного движения имеется. А до момента t = 4l/C пониженное на Δp давление встречается раньше времени, по скольку повышение еще не совсем погашено. То же самое будет при Тз > 6l/C, 8l/C и т. д. В итоге диаграмма колебаний напоми нает диаграмму пилообразного электрического напряжения. 2. Скорость распространения волны гидравлического удара В гидравлических расчетах немалый интерес представляет скорость распространения ударной волны гидравлического уда 168 ра, как и сам гидравлический удар. Как ее определить? Для этого рассмотрим круглое поперечное сечение в упругом трубопроводе. Если рассмотреть участок длиной Δl, то выше этого участка за время Δt жидкость еще движется со скоростью υ0, кстати, как и до закрытия затвора. Поэтому в соответствующей длине l объем ΔV ′ войдет жид кость Q = ω0υ0, то есть ΔV ′ = QΔt = ω0υ0Δt, (413) где площадь круглого поперечного сечения — объем, образовав шийся в результате повышения давления и, как следствие этого, изза растяжек стены трубопровода ΔV1. Oбъем, который возник изза роста давления на Δp обозначим как ΔV2. Значит, тот объем, который возник после гидравлического удара, есть ΔV = ΔV1 + ΔV2, (414) ΔV ′ входит в ΔV. Определимся теперь: чему будут равны ΔV1 и ΔV2. В результате растяжки трубы произойдет приращение радиуса трубы на Δr, то есть радиус станет равным r = r0 + Δr. Изза этого увеличится круглое сечение поперечного сечения на Δω = ω – ω0. Все это приведет к приращению объема на ΔV1 = (ω – ω0)Δl = ΔωΔl . (415) Следует иметь в виду, что индекс ноль означает принадлеж ность параметра к начальному состоянию. Что касается жидкости, то ее объем уменьшится на ΔV2 изза приращения давления на Δp. ΔV2 = βcω0ΔlΔp, где βc = 1/Eж — некоторый коэффициент; Eж — модуль упругости жидкости; ΔV 2 = ω0 ΔlΔp . Еж 169 (416) Учитывая, что ΔV1 + ΔV2 = ΔV = ω0υ0Δt (поскольку V = Qt, то ΔV = ΔQΔt , с учетом того, что Q = ω0υ0, ΔV = ω0υ0Δt ), подставив (415) и (416), получим ω0Δl(Δp/Eж) + ΔωΔl. Разделим полученное уравнение на ω0Δl, затем, перегруппи ровав, получим υ0 = Δt Δω Δp = + . Δl ω0 Eж (417) Вспомним формулу Жуковского (см. (402)) и подставим в (417) значение υ0, определенное из (417). Далее, при Δt → 0, взяв пре дел от полученного выражения, имеем: С= dp p dp dω + Е ж ω0 . (418) Получим искомую формулу скорости распространения волны гидравлического удара. Еж ρ , С= D Еж 1+ + Е l (419) где ρ — плотность жидкости; D/l — параметр, характеризующий толщину стенки трубы. Очевидно, что чем больше D/l, тем меньше скорость распрост ранения волны С. Если труба жесткая абсолютно, то есть Е = ∞, то, как следует из (419), С0 = Еж , ρ поскольку в (419) знаменатель дроби превращается в ноль. 170 (420) 3. Дифференциальные уравнения неустановившегося движения Для того, чтобы составить уравнение любого вида движения, нужно проецировать все действующие силы на систему и прирав нивать их сумму к нулю. Так и поступим. Пусть имеем напорный трубопровод круглого сечения, в кото ром есть неустановившееся движение жидкости. Ось потока совпадает с осью l. Если выделить на этой оси элемент dl, то, согласно вышеуказанному правилу, можно составить урав нение движения ΔM dυ = Δp + ΔG + ΔT . dt (421) В приведенном уравнении проекции четырех сил, действую щих на поток, точнее, на Δl, равны нулю: 1) ΔM — силы инерции, действующие на элемент dl; 2) Δp — силы гидродинамического давления; 3) ΔT — касательные силы; 4) ΔG — силы тяжести: здесь мы, говоря о силах, имели в ви ду проекции сил, действующих на элемент Δl. Перейдем к формуле (421), непосредственно к проекциям действующих сил на элемент Δt, на ось движения. 1. Проекции поверхностных сил: 1) для гидродинамических сил Δp проекцией будет ∂( ρ + ω) dl ; ∂l (422) 2) для касательных сил ΔT τ0dl X = τ0 ωdl ; R (423) поскольку смоченный периметр Х = ω/R, где ω — площадь круглого сечения, R — радиус трубы. 171 Поскольку выбран бесконечно малый элемент Δl, то сопротив ление можно считать квазистационарным, это позволяет рассмот реть движение почти как установившееся (квазистационарное), поэтому можно заменить τ0/R = ρgJ, где J — гидравлический уклон. Проекция касательных сил имеет вид: –ρgωJdl . (424) 2. Проекция сил тяжести ΔG на элемент Δl ρgωdlsinΘ = − ρgωdl ∂z . ∂l (425) 3. Проекция сил инерции ΔM равна − ρgξdl dυ ∂z ⎞ ⎛ dυ = − ρgωdl ⎜ + υ ⎟. dt dt ∂l ⎠ ⎝ (426) Теперь, суммировав (422) и правые части (424), (425), (426), затем приравняв их к нулю, имеем (после суммирования все чле ны умножаем на –1, чтобы изменить знак): 1 1 ∂ρ dυ d υ2 ґ +J + ґ + ґ = 0. ρg ∂l g dl dl 2g (427) Приведем (427) в следующий вид: ∂ ⎛⎜ p υ2 ⎞⎟ 1 ∂υ z+ + =− ґ − J. ⎜ ∂l ⎝ ρg 2g ⎟⎠ g ∂t (428) Вспомним уравнение неразрывности для элементарной струйки: ∂( ρ − Q ) ∂( ρω) + = 0. ∂l ∂t 172 (429) Применим это уравнение для элементарной струйки: ρ ∂Q ∂ρ ∂ω ∂ρ +Q +ρ + ω = 0. ∂l ∂l ∂t ∂t (430) Но, поскольку плотностью можно пренебречь, то, следователь но, можно пренебречь членом, содержащим дρ/дt. Поэтому ∂Q ∂ρ ∂ω ρ +Q + ρ = 0. (431) ∂l ∂l ∂t Далее, определяя для конечного члена (431) соответствующее выражение, после некоторых рассуждений получают уравнение, которое приводим без вывода (чтоб не потерять общее направле ние лекции) C2 ∂υ ∂H ґ , =− g ∂l ∂t (432) где Н — пьезометрический напор; С0 — скорость жидкости. Если рассмотреть уравнения (428) и (432), то их называют общими дифференциальными уравнениями неустановившегося напорного движения реальной жидкости в трубопроводах (упругих). Однако, при расчете гидравлического удара, удается пренебречь потерями на трение при J = 0, а также кинетической энергией υ2/2g в формуле для скорости распространения ударной волны С. Из (428) следует: ∂H 1 dυ = ґ , ∂t g dt здесь учли, что в первой части (428) ∂⎛ p ⎞ ∂H ⎜Z + ⎟= . ∂t ⎜⎝ ρg ⎟⎠ ∂l 173 (433) Уравнения (191) и (192), рассматривая в совокупности, назы вают дифференциальными уравнениями неустановившегося дви жения невязкой жидкости. Гидравлический удар может привести к разрыву сплошности потока, который по своим последствиям сопоставим с разрывом трубы. Когда и как это может произойти? А что такое «разрыв сплош ности жидкости» вообще? Это такое состояние жидкости, когда изза низкого давления жидкость настолько разрежена, что пре вращается в пар и смешивается с воздухом, при котором начи нается это превращение («холодное кипение»), это называют дав, лением насыщенных паров — рнас.п.. Разрыв может произойти: 1) при внезапной остановке насоса, когда движение воды про должается по инерции; 2) при перемене направления движения. Во всех этих случаях должно выполняться условие ρСυ0 > ρg(Н0 + hвак.max), (434) где С — повышение давления по формуле Жуковского; Н0 — начальный напор; hвак. max — вакуумметрическая высота (наибольшая), обычно hвак. max = 7—8 м. Наиболее вероятными местами разрыва сплошности жидкости являются места вблизи насосных станций, и там, где трубы имеют выпуклый профиль. ЛЕКЦИЯ № 11. Истечение жидкости Что есть истечение? Это как бы переходная форма между полно ценным потоком и элементарной струйкой, одна из частных разно видностей формы движения жидкости, одно из самых интересных явлений природы. Истечение — движение жидкости через некоторое отверстие. Этим явлением пользуются, когда нужно определить количество воды, узнать время наполнения или опорожнения резервуаров, во дохранилищ, провести расчет шлюзов и т. п. Истечения различают, как и напорное движение в трубопрово дах, при постоянном и переменном напорах, через малое или большое отверстие. Особо следует отметить истечение через тонкую стенку. Такой считают стенку, которая имеет по всему периметру острую кромку. Изза этого толщина стенки не влияет на движение струи (истечение). Задачей теории истечения является определение скорости исте чения, расход вытекающей жидкости. Результаты этих задач тем точнее, чем более постоянен напор по сечению всего отверстия. Именно такого рода истечения будем рас сматривать в данной лекции. 1. Истечение жидкости при постоянном напоре через малое отверстие Будем рассматривать истечение, которое происходит через малое незатопленное отверстие. Для того, чтобы отверстие счи тать малым, должны выполняться условия: 1) напор в центре тяжести Н >> d, где d — высота отверстия; 2) напор в любой точке отверстия практически равен напору в центре тяжести Н. 175 Что касается затопленности, то таковой считают истечение под уровень жидкости при условии, если не изменяются со вре менем: положение свободных поверхностей до и после отвер стий, давление на свободные поверхности до и после отверстий, атмосферное давление по обе стороны от отверстий. Таким образом, имеем резервуар с жидкостью, у которой плот ность ρ, из которого через малое отверстие происходит истечение под уровень. Напор Н в центре тяжести отверстия постоянен, что значит, скорости истечения постоянны. Следовательно, движение установившееся. Условием равенства скоростей на противополож ных вертикальных границах отверстий является условие d < 0,1Н, где d — наибольший вертикальный размер. Ясно, что нашей задачей является определение скорости истече ния и расхода жидкости в нем. Попутно будем определять впервые встречающиеся гидравличе ские понятия. Пусть: 1) на свободную поверхность резервуара действуют давление р0; 2) истечение происходит в атмосферу, где давление — рс, т. е. истечение незатопленное; 3) истечение происходит через тонкую стенку, то есть толщи на стенки не влияет на форму струи. Что происходит со струей после отверстия? Еще до отверстия линии тока при подходе к отверстию искривляясь, сжимаются. Это сжатие продолжает ся и после отверстия, пока частицы жидкости не оказываются от отверстия на расстоянии 0,5d от внутренней стенки резер вуара. На этом расстоянии движение струи стабилизируется, исчезают криволинейность линии тока и сечения струи, дви жение переходит от неравномерного к плавно изменяющемуся. В действительности картина происходящего очень сложна. Сечение струи, отстоящее от внутренней стенки резервуара на расстояние 0,5d, называют сжатым сечением струи, которое харак теризуется коэффициентом сжатия. 176 E= ω0 , ω (435) где ω — площадь сечения отверстия; ω0 — площадь живого сечения струи. После сжатого сечения струя переходит в компактную форму, после некоторого пути происходит аэрация (насыщение возду хом), и струя раздробляется. Вот, собственно говоря, то, что происходит при истечении. Теперь вернемся к нашим главным задачам: определить ско рость струи и расход жидкости. Для этого применим к струе уравнение Бернулли. C — C′ P0 Q const d A A H a) C CO 0,5d Q CO C A — A′ Pam const dc υ0 H ω0 C C б) Рис. 5. Затопленное истечение Отверстие настолько мало, что в пределах сечения Z + Δ = = const. В сжатом сечении С—С также р = const. Горизонтальная плос кость проведена через центр сжатого сечения, эта плоскость яв ляется плоскостью сравнения. При таких условиях составляем уравнение Бернулли для сечений А—А и С—С: H+ p0 p x υ2 = 0 + C + C C + hтр . ρg ρg 2g (436) В этой формуле Н — напор в центре тяжести входного отвер стия, р0, рс — давление в сечениях (выбранных точках) А—А′, С—С′, 177 υ0, υC — средние скорости в тех же сечениях, х0, хС — коэффи циенты Кориолиса в тех же сечениях, hтр — потери напора на участках между двумя сечениями. Если выразить потери напора через потери удельной энергии, то hтр = ξо.к . υС 2 , 2g (437) где ξо.к — коэффициент потерь или коэффициент сопротивления при истечении из отверстия с острой кромкой. Перегруппировав с учетом (437) члены в (436), получим: H+ υС 2 x0 υ20 p0 − pC = ( x0 + ξо .к . ) − . 2g 2g ρg (438) Если учесть уравнение неразрывности для сечений А—А и С—С, то υCωC = υ0ω0, поскольку для сечения, где сжатие υCЕω = υ0ω0, где ω0 — площадь живого сечения А—А, затем, выразив υ0 = υC ωC/ω0 и подставив в (438), получим: H+ 2 ⎛ Eω ⎞ ⎤ υC 2 p0 − pC ⎡⎢ ⎟ ⎥ = x0 + ξо.к . − x0 ⎜⎜ . ⎢ ω0 ⎟⎠ ⎥ 2 g ρg ⎝ ⎣ ⎦ (439) Отсюда выразим при р0 ≠ рC, то есть в общем случае, искомую скорость: υС = 1 ґ ⎛ Eω ⎞ ⎟ xC + ξо.к. − х0 ⎜⎜ ⎟ ⎝ ω0 ⎠ 2 ⎛ p −p 2g⎜⎜ H + 0 C ρg ⎝ ⎞ ⎟⎟ . ⎠ (440) Формулу (440) можно значительно упростить, обозначив дробь перед квадратным корнем через υ0. Кроме того, на практике в большинстве случаев р0 = рат, то есть р0 = рC = рат. С учетом этого, из (440) получим для средней скорости 178 υС = υ0 = 2 gH , (441) где υ0 называется коэффициентом скорости. Теперь выполним вторую задачу, определим расход Q. По опре делению Q = ωυ = ωC υC = EωυC = υC = Eυ0 ω 2 gH . (442) Обозначим Еυ0 = μ0, где μ0 — коэффициент расхода, тогда Q = μ0 ω 2 gH . (443) Задача, поставленная в начале лекции решена. В заключение о значении коэффициентов сжатия Е и расхода μ. Как известно, Е определяет распределение скоростей на участке 0,5d от стенки резервуара. Поскольку μ по определению есть Еυ0, то в нем учтена не только потеря напора, но и степень сжатия струи: учет потери напора содержится в коэффициенте расхода υ0. Несколько слов о коэффициенте скорости υ0: этот коэффи циент характеризует распределение скоростей в сжатом сечении, а также соотношение площадей ωC и ω0 живых сечений С—С и А—А. Классификация сжатий Выше ввели для гидравлического расчета истечения следую щие коэффициенты: 1) Е — для вычисления площади; 2) υ — для вычисления скорости; 3) μ — для вычисления расхода; 4) ξо.к — для вычисления потери напора. От чего зависят эти коэффициенты? Их значения определяют: 1) формы и кромки отверстия; 2) режимы движения жидкости струи; 3) поверхностное натяжение жидкости в резервуаре; 4) положение отверстия относительно стенки резервуара. От этих же факторов зависит степень сжатия, кривизна траек тории, расположение отверстия относительно стенки резервуара. 179 В зависимости от этих факторов, различают следующие разно видности сжатия: 1. Полное сжатие — это такое сжатие, которое происходит по всему периметру отверстия, в противном случае сжатие считается неполным сжатием. В этом случае сжатие по периметру частичное. Ясно, что в этом случае сжатие отсутствует в одной или не скольких сторонах. Например, так бывает, когда отверстие примы кает ко дну или находится в углу резервуара или расположено на дне сосуда. Характерным признаком отсутствия сжатия является прямолинейность линий тока. Подкрасив жидкость, это явление можно наблюдать как в опытах Рейнольдса. Этот момент — прямолинейность линий тока — порождает сле дующие последствия: если рассмотреть два отверстия с одинаковой площадью и другими гидравлическими и прочими характеристиками, то площадь живого сечения при неполном сжатии ωс.непол. > ωс.пол. — площади живого сечения при полном сжатии. Как следствие это го, Енеп > Еполн, поскольку по определению Е = ωС /ω . 2. Совершенное сжатие является одной из двух разновидностей полного сжатия. Это такое сжатие, когда кривизны траектории, следовательно, и степень сжатия струи наибольшие. Для того, что бы получить такую струю, должны выполняться условия: l1 > 3a, l2 > 3b (см. рис. 6), ω — площадь отверстия. b l2 a ω l1 Рис. 6. Определение оптимального местонахождения отверстия 180 Несовершенное сжатие является второй разновидностью пол ного сжатия. В этом случае, по причине уменьшения сжатия должно выполняться l1 > 3a, l2 > 3b, взаимоотношения площадей сечения и коэффициентов сжатия в случае с совершенным сжатием так же, что и при сравнении полного и неполного сжатий. То есть, ωс.нес. > ωс.сов., (444) следовательно, ω ⎞ ⎛ Е нес > Есов ⎜ Е = C ⎟ . ω ⎠ ⎝ Подводя итог, заметим, что неполная и несовершенная фор мы сжатий приводят к росту коэффициента сжатия. Характерной особенностью совершенного сжатия является то, что в зависи мости от того, под воздействием каких сил происходит истечение, существуют их характеристики, позволяющие определяться с диа метром отверстий. При воздействии сил тяжести этой характе ристикой является число Фруда Fr = υ 2/gd, силы вязкости — число Рейнольда Re = υd/v, силы поверхностного натяжения — число Вебера We = υ 2ρd/r. Таким образом, в общем случае, ⎧Е = Е (Fr , Re,We ), ⎪ ⎨ υ = υ(Fr , Re,We ), ⎪ μ = μ(Fr , Re,We ), ⎩ (445) т. е. коэффициенты сжатия, скорости и расхода являются функ циями чисел Фруда, Рейнольдса и Вебера. Неполное и несовершенное сжатие. При таком сочетании раз новидностей сжатий, коэффициент расхода μнеполн = Енеполнυ0 > > μполн = Еполнυ0, что выражается эмпирической формулой: ⎛ p' ⎞ μнеп = μ ⎜⎜1 + К ⎟⎟ , p⎠ ⎝ 181 (446) где μ — коэффициент расхода при полном сжатии; р' — та часть периметра, где отсутствует сжатие; р — периметр всего отверстия; К — коэффициент (0,13 для круглых, 0,15 для прямоугольных сечений). При сочетании сжатий полное/неполное также μнес > μсов, что нашло свое выражение в другой эмпирической формуле: 2 ⎡ ⎛ω⎞ ⎤ μнес = μ ⎢1 + 0,64⎜ ⎟ ⎥ , ⎢⎣ ⎝ О ⎠ ⎥⎦ (447) где ω — площадь отверстия; О — площадь стенки, в которой находится отверстие. Истечение под уровень При истечении под уровень другой жидкости истечение назы вают также затоплением. Рассмотрим истечение через затоплен ное отверстие при условиях: 1) положения свободных поверхностей жидкостей до и после отверстия во времени не изменяются; 2) давление до и после отверстия атмосферное. Проведем три сечения: два из них — до (1—1) и после (2—2) отверстия: они расположены горизонтально на свободных поверх ностях. Третье сечение (3—3) проведем через отверстие. Также через отверстие проведем плоскость сравнения (она горизонталь ная), введем Z1, Z2 — перепад уровней жидкости соответственно до и после отверстия. Очевидно, что сечения 1—1 и 2—2 совпадают со свободной поверхностью, запишем для этих поверхностей уравнение Бер нулли. Если пренебречь скоростными напорами в этих сечениях (они малы, согласно допущению 1), то Z1 = Z 2 + ∑h поскольку Z1– Z2 = Z, то 182 пр , (448) Z = ∑h пр , где ∑ hпр. = + ∑ ξ c2 , 2g (449) где υ — средняя скорость; ξ — коэффициент потерь при истечении под уровень. Почему же выбрали для рассмотрения 3 сечения? Попробуем выяснить. Если рассмотреть потери напора с точки зрения потерь между сечениями 1—1 и 3—3, то они выражаются по формуле (450): υ2С . 2g hпр. = ξо.к . (450) С другой стороны, они являются потерями с точки зрения се чений 3—3 и 2—2, то есть hв.р. (второй резервуар) = аС υ2С . 2g (451) Приравняв (450) и (451), находим υС = 1 αc + ξо.к. 2 gZ . ґ (452) Обозначив υ= 1 αc + ξо.к. , (453) имеем: υС = υ 2gZ , 183 (454) где aC — коэффициент Кориолиса в сжатом сечении; ξо.к — коэффициент сопротивления при истечении через ост рую кромку стенки резервуара. Остается определить расход при таком истечении Q = ωCυC; поскольку здесь ωC = Еω , то, сопоставив это и (454), получим: Q = Eυω 2gZ , (455) обозначив μ = Еυ, определяем, что Q = μω 2gZ . (456) В формулах (454)—(456) Z — перепад уровней до и после отвер стия. Исходя из практики, можно заключить, что μ в (456) и μ0 в (443) ничем не отличаются. 2. Истечение через большое отверстие Отверстие считают малым, когда его вертикальные размеры d < 0,1Н. Большим отверстием будем считать такое отверстие, для которого тот же d > 0,1Н. Рассматривая истечение через малое отверстие, практически пренебрегли различием скоростей в раз ных точках сечения струи. В этом случае поступить так же мы не сможем. Задача та же: определить расход и скорости в сжатом сечении. Однако изза невозможности пренебречь различием скоростей, поле маневра несколько сузилось. Чем больше достоверность гид равлических данных струи, например, коэффициентов скорости υ и сжатия Е, тем точнее мы можем определить расход Q и среднюю скорость υC. Но таких данных у нас нет. Поэтому расход определяют следующим способом: выделяют бесконечно малую горизонтальную высоту dz. Таким образом, 184 получается горизонтальная полоса с переменной длиной bz. Тог да, интегрировав по длине, можно найти элементарный расход: dQ = μbz 2 gZ dz , (457) где Z — переменный напор по высоте отверстия, на такую глуби ну погружен верх выбранной полосы; μ — коэффициент расхода через отверстие; bz — переменная длина (или ширина) полосы. Расход Q (457) можем определить, если μ = const и известна фор мула bz = f(z). В общем случае, расход определяют по формуле H2 Q = μ 2 gZ ∫b z Z dz . (458) H1 Если форма отверстия прямоугольная, то bz = b = const, интег рировав (458), получаем: Q= 3 2 ⎛ 3 ⎞ μb 2 g ⎜⎜ H 22 − H12 ⎟⎟, 3 ⎝ ⎠ (459) где Н1, Н2 — напоры на уровнях соответственно у верхней и у ниж ней кромок отверстия. Нц — напор над центром отверстия, d — высота прямоугольника. Формула (459) имеет более упрощенный вид: Q = μω 2 gH ц , В случае истечения через круглое отверстие пределами инте грирования в (458) служат Н1 = Нц – r; Н2 = Нц + r; Z = Нц – rcosυ; dz = rsinυdυ; bz = 2rυsinυ. Избегая математического излишества, приведем конечную формулу: Q = μω 2 gH ц . 185 (460) Как видно из сравнений формул (459), (460) и (443), особой разницы в формулах для расхода нет, только при больших и ма лых отверстиях коэффициенты расхода разные. 3. Коэффициент расхода системы Требуется выяснить вопрос о расходе, если истечение проис ходит по трубам, соединенным в одну систему, но имеющих раз ные геометрические данные. Здесь нужно рассмотреть каждый случай отдельно. Приведем некоторые из них. 1. Истечение происходит между двумя резервуарами при по стоянном напоре через систему труб, у которых разные диаметры и длина. В этом случае на выходе системы Е = 1, следовательно, численно μ = υ, где Е, μ, υ — коэффициенты соответственно сжа тия, расхода и скорости. 2. Истечение происходит через систему труб с разными ω (пло щадь поперечного сечения): при этом определяют суммарный ко эффициент сопротивления системы, который состоит из таких же коэффициентов, но для каждого участка отдельно. Истечение происходит в атмосферу через незатопленное отвер стие. В этом случае Q = μω 2gH , (461) где Н = z = const — напор; μ, ω — коэффициент расхода и площадь сечения. Для того, чтобы рассчитать расход, нужно в (461) вместо коэф фициента расхода μ подставить коэффициент расхода системы: μсист = 1 х + ζсист , (462) поскольку в (462) коэффициент Кориолиса (или кинетической энергии) х отнесен к выходному сечению, где, как правило х ≈ 1. 186 Такое же истечение происходит через затопленное отверстие Q = μω 2gz , (463) в этом случае расход определяется по формуле (463), где μ = μсист по формуле (464). Как в формуле (461), так и в (463), ω — площадь выходного сечения. При отсутствии или незначительности ско рости в приемнике или трубе коэффициент расхода заменяется на μсист = 1 ζсист . (464) Нужно только иметь в виду, что при затопленном отверстии ζвых = 1, и этот ζвых входит в ζсист . Содержание ЛЕКЦИЯ № 1. Гидростатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Основные физические свойства жидкости . . . . . . .3 2. Силы, действующие в жидкости . . . . . . . . . . . . . .11 3. Гидростатическое давление и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 4. Поверхности равного давления и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 ЛЕКЦИЯ № 2. Однородная несжимаемая жидкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1. Равновесие однородной несжимаемой жидкости под воздействием силы тяжести . . . . . . . .20 2. Гидравлический пресс и гидравлический аккумулятор . . . . . . . . . . . . . . . . .28 ЛЕКЦИЯ № 3. Условия устойчивого равновесия и плавания тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1. Определение силы давления покоящейся жидкости на плоские поверхности. Центр давления . . . . . . . .30 2. Определение силы давления, в расчетах гидротехнических сооружений (плотины, плоские затворы и прочее) . . . . . . . . . . . .32 3. Общий прием определения сил на криволинейные поверхности (давление на цилиндрические поверхности). Закон Архимеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 188 4. Закон Архимеда. Условия плавучести погруженных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 5. Метацентр и метацентрический радиус . . . . . . . .41 ЛЕКЦИЯ № 4. Кинематика жидкости . . . . . . . . . . . . . . . 44 1. Методы определения движения жидкости . . . . . .44 2. Вихревые и потенциальные (ламинарное) движение жидкой частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 3. Уравнение неразрывности жидкости . . . . . . . . . .55 4. Характеристики потока жидкости . . . . . . . . . . . . .59 ЛЕКЦИЯ № 5. Динамика невязкой жидкости . . . . . . . . 64 1. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнение Эйлера) . . . . . . . . . .64 2. Формы Громеки уравнения движения невязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 3. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 ЛЕКЦИЯ № 6. Динамика вязкой жидкости . . . . . . . . . . 84 1. Уравнения движения вязкой жидкости . . . . . . . .84 2. Деформация в движущейся вязкой жидкости: напряжение и скорость деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 3. Уравнение Бернулли для движения вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 4. Гидравлический и пьезометрический уклоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94 5. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 189 ЛЕКЦИЯ № 7. Режимы движения жидкости. Уравнение Рейнольдса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 1. Ламинарный и турбулентный режимы движения жидкости. Число Рейнольдса . . . . . . . .100 2. Из теории турбулентного движения. Осредненные скорости. Пульсационные составляющие . . . . . . . . . . . . . . . .103 3. Распределение скоростей при равномерном установившемся движении. Ламинарная пленка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 4. Распределение скоростей в «живом» сечении потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 5. «Шероховатость» и «гладкость» стенок . . . . . . . .112 ЛЕКЦИЯ № 8. Вопросы потери напора (удельной энергии) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1. Параметры потока, от которых зависит потеря напора. Метод размерностей. Число Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115 2. Равномерное движение и коэффициент сопротивления по длине . . . . . . . .119 3. Равномерное движение, средняя скорость и расход потока. Формула Шези . . . . . . . . . . . . . . .120 4. Гидравлическое подобие. Основы гидродинамического подобия . . . . . . . . . .122 5. Распределение касательных напряжений при равномерном движении . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127 ЛЕКЦИЯ № 9. Вопросы потери напора . . . . . . . . . . . . . 131 1. Ламинарное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 190 2. Турбулентный равномерный режим движения потока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 3. Коэффициент Шези в «квадратичной области». Формула Павловского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 4. Неравномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 ЛЕКЦИЯ № 10. Движение жидкости в напорных трубопроводах при неустановившемся движении. . . . . . . . . . . . . . . . . 161 1. Гидравлический удар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 2. Скорость распространения волны гидравлического удара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 3. Дифференциальное уравнение неустановившегося движения . . . . . . . . . . . . . . . . . .171 ЛЕКЦИЯ № 11. Истечение жидкости . . . . . . . . . . . . . . 175 1. Истечение жидкости при постоянном напоре через малое отверстие . . . . . . . . . . . . . . . . . .175 2. Истечение через большое отверстие . . . . . . . . . .184 3. Коэффициент расхода системы . . . . . . . . . . . . . . . . .186