Гидравлика

3 Оглавление Аннотация 5 Основные обозначения. 6 1.Введение. Основы механики сплошной среды. 8 1.1. Предмет и метод механики сплошной среды. Основные понятия и определения. Гипотеза сплошности и гипотеза о локальном термодинамическом равновесии. 8 1.2. Плотность распределения характеристик в сплошной среде. 10 1.3. Физические свойства жидкостей, газов и твердых тел. 12 1.3. Методы описания движения сплошной среды. Локальная и субстанциональная производная. 22 1.5. Силы и напряжения в сплошной среде. Тензор напряжений. Деформации в сплошной среде. Тензор деформаций. Тензор скоростей деформаций. 27 1.6. Законы сохранения. 33 1.6.1. Закон сохранения импульса. 34 1.6.2. Закон сохранения момента количества движения. 34 1.6.3. Закон изменения кинетической энергии. 35 1.6.4. Закон изменения внутренней энергии. 37 1.6.5. Закон сохранения энергии. 37 1.8. Система дифференциальных уравнений гидромеханики. 38 1.9. Моделирование в гидравлике. Основы теории размерностей и подобия. π - теорема. Подобие физических явлений. 41 2.Гидростатика. 44 2.1. Равновесие жидкости. Уравнение равновесия. 44 46 2.2. Абсолютное, избыточное давление. Вакуум. 2.3. Сила давления жидкости на плоскую поверхность. Центр давления. Гидростатический парадокс. Давление жидкости на криволинейные поверхности. 48 2.4. Приборы для измерения давления. 52 2.5. Условия плавания тел. Закон Архимеда. 55 55 3. Гидромеханика. 3.1. Одномерные установившиеся течения вязкой жидкости. Основные понятия. 55 3.2. Уравнение Бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости 57 3.3. Геометрическая и энергетическая интерпретация уравнения Бернулли. 60 3.4. Потенциальный и полный гидродинамические напоры. Пьезометрическая линия. 62 3.5. Течение жидкости в круглых трубах. 65 3.6. Безнапорные потоки. Струи. 73 3.7. Гидравлический удар в трубах. Формула Н.Е. Жуковского. 76 3.8. Уравнение Бернулли для газа. Одномерное течение газа. Критические параметры. Сопло Лаваля. 78 4. Основы реологии. 79 4.1. Реологические модели жидкостей. 79 4.2. Механические модели неньютоновских сред. 82 4.3. Течения неньютоновских сред. 86 5. Движение жидкостей и газов в пористой среде. 89 5.1.Основные понятия. 89 5.2.Определение эффективного диаметра. 94 5.3.Формулы фильтрации. 95 6. Гетерогенные потоки. Кавитация. 97 6.1. Кавитация. Причины возникновения. Число кавитации. Течения газо-жидкостных сред в трубах. 97 Коэффициенты сопротивления и теплообмена частиц. 100 6.2. 6.3. Основные уравнения для двухфазных монодисперсных течений 104 6.4. Система уравнений для полидисперсного течения 106 3 4 6.5. Равновесное и замороженное двухфазные течения Приложение 1. Краткие сведения из математики. 4 108 109 5 Аннотация Учебное пособие содержит основные сведения из курса гидравлики, адаптированного к течениям жидких и газообразных углеводородов. В частности особое внимание уделено расчету сложных и простых трубопроводов, неньютоновским жидкостям, основам фильтрации и течениям двухфазных сред. Пособие используется при чтении лекций по курсу «Гидравлика и нефтегазовая гидромеханика» для бакалавров очной и заочной форм обучения в ИПР ТПУ по направлению (специальность) ООП 21.03.01 «Нефтегазовое дело» для профилей подготовки (специализаций): «Сооружение и ремонт объектов систем трубопроводного транспорта» «Эксплуатация и обслуживание объектов транспорта и хранения нефти, газа и продуктов переработки» «Эксплуатация и обслуживание объектов добычи нефти» «Бурение нефтяных и газовых скважин». 1. 2. 3. 4. 5. 6. Список рекомендованной литературы: Гусев А.А. Гидравлика: учебник для вузов. –М.: Изд-во Юрайт, 2013. -285с. Гусев В.П., Гусева Ж.А. Основы гидравлики. Учебное пособие. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2012.— 222 с. Ухин Б.В., Гусев А.А. Гидравлика: учебник. –М.: ИНФРА-М, 2012. -432с. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая гидромеханика.- М.Ижевск: ИКС,2005.-544с. Лурье М.В. Задачник по трубопроводному транспорту нефти, нефтепродуктов и газа: Учеб. пособие для вузов. – М.: ООО "Недра-Бизнесцентр", 2003. – 349 с. Шестаков В.М. Гидрогеомеханика. Учеб. пособие для вузов. –М.: Изд-во МГУ, 1998. – 72с. 5 6 Основные обозначения. x, y, z ( x1 , x 2 , x3 ) - координаты точки в декартовой прямоугольной системе координат; 3 r = xi + yj + zk = ∑ xi ii - радиус вектор точки; i =1 t - время, [t ] = c ; t - температура в градусах Цельсия, [t ]= oC ; кг ρ - плотность, [ρ ] = 3 ; м Дж ; R - газовая постоянная [ R ] = кг ⋅ К Σ R = - гидравлический радиус [ R ] = м ; χ Re = ud ν = ρud - число Рейнольдса; η γ = ρg - удельный вес, [γ ] = γ = cp cv кг ; м 2с 2 - показатель адиабаты газа; T - абсолютная температура, [T ] = K o ; 3 V = V x i + V y j + V z k = ui + vj + wk = ∑ u i ii - вектор скорости, [V ] = i =1 η - коэффициент динамический вязкости, [η ] = Па ⋅ с = ν - коэффициент кинематический вязкости, [ν ] = ν - коэффициент Пуассона; м ; с кг ; м⋅с м2 ; с Вт ; м⋅К λ - коэффициент гидравлического трения; EW - модуль объемной упругости; λ - коэффициент теплопроводности, [λ ] = α= ∫ ρV Σ 2 (r )Vn (r )dΣ ρ u 3Σ - коэффициент Кориолиса (здесь Σ - площадь живого сечения); W (t ), Σ(t ) - объем Лагранжа, и окружающая его замкнутая поверхность; W , Σ - объем Эйлера, и окружающая его замкнутая поверхность; ε (r , t ) - диссипативная функция; e(r , t ) - удельная внутренняя энергия; V2 E =e+ - удельная полная энергия среды; 2 rw - радиус трубы; χ - смоченный периметр; σ - коэффициент поверхностного напряжения, [σ ] = σ - напряжение, [σ ] = Па ; 6 H ; м 7 σ i, j - тензор напряжений; ε ij - тензор деформаций; εɺij - тензор скоростей деформаций; Q = ∫ Vn dΣ - объемный расход; Σ Qρ = ∫ ρVn dΣ - поток массы; Σ Qk = ∫ ρV 2 2 ω Vn dΣ - поток кинетической энергии; Q p = ρgQ - весовой расход; ∫ V dΣ rw n u= Σ - средняя скорость в живом сечении; u = Σ живом сечении круглой трубы; 7 2π ∫ rVx (r )dr πrw2 - средняя скорость в 8 1.Введение. Основы механики сплошной среды. 1.1. Предмет и метод механики сплошной среды. Основные понятия и определения. Гипотеза сплошности и гипотеза о локальном термодинамическом равновесии. Механика сплошных сред (МСС) − раздел механики1, в рамках которого исследуются движения и деформации газообразных, жидких и твердых тел. Будем использовать трехмерное евклидово пространство, для которого можно ввести единую декартову систему координат, а расстояние ri j между любыми точками Мi и Мj определяется по формуле: ri j = ( xi − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 + ( z i − z j ) 2 , (1.1.1) где xi , yi , z i и x j , yj , z j - декартовы координаты точек Мi и Мj . Будем считать, что время не зависит от системы координат и течет для всех наблюдателей одинаково, независимо от того, где они находятся. Такое время называется абсолютным. В МСС полагают, что справедлива гипотеза сплошности: масса не сосредоточена в молекулах и атомах, а непрерывно распределена в пространстве, занятом физическим телом. Это позволяет не учитывать непосредственно детали молекулярной структуры среды, а использовать математическую модель непрерывного континуума2, и применять аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Такая модель называется моделью сплошной среды. Если физические и химические свойства сплошной среды (агрегатное состояние, химический состав и др.) одинаковы и не меняются от точки к точке, то среда называется гомогенной (однородной). Примерами таких сред могут служить чистые газы и жидкости, однородные кристаллы. Критерием применимости модели сплошной среды является неравенство – условие сплошности среды: l << L , (1.1.2) где l – характерный микроразмер (для газа - длина свободного пробега молекул, для кристалла – размер ячейки кристаллической решетки); L – характерный макроразмер задачи (диаметр трубы или размер тела, обтекаемого потоком газа или жидкости). На практике приходится иметь дело с неоднородными по физическому или химическому составу средами. Под Компонентами понимают - независимые составляющие вещества системы, то есть индивидуальные химические вещества. Поэтому различают однокомпонентные (вода) и многокомпонентные (воздух, природный газ, нефть) среды. Фазой называется термодинамически однородная по свойствам часть среды, отделенная от других фаз поверхностями раздела, на которых скачком изменяются некоторые свойства среды. В однокомпонентной системе разные фазы могут быть представлены различными агрегатными состояниями или разными полиморфными модификациями вещества среды. В многокомпонентной среде фазы могут иметь различный состав и структуру. Многофазной, или гетерогенной, средой называется среда с разнородными включениями. В частности, к гетерогенным средам относятся пористые тела (роль включений играют поры, заполненные газом или жидкостью), газовзвеси (смеси газов с твердыми или жидкими частицами), эмульсии (смеси жидкостей с каплями других 1 Меха́ника (греч. Μηχανική — искусство построения машин)— раздел физики, наука, изучающая движение и равновесие материальных тел и взаимодействие между ними; при этом движением в механике называют изменение во времени взаимного положения тел или их частей в пространстве. 2 Континуум (от лат. continuum — непрерывное) — непрерывное. 8 9 жидкостей) и др. В отличие от гомогенных сред условие сплошности для гетерогенных сред имеют вид: l << a << L , (1.1.3) где а – характерный размер включения (например, радиус частицы пыли). Таким образом, в МСС исследуются макроскопические процессы в окружающем нас мире. Помимо обычных материальных тел в МСС рассматриваются также особые среды – физические поля: гравитационные и электромагнитные, в том числе и поле излучения. Рассмотри коротко термодинамические основы МСС. «Часть Вселенной, которую мы выделяем для исследования, называется системой, а все остальное средой»3 В МСС изучаются индивидуальные или субстанциональные, состоящие из одних и тех же атомов и молекул, объемы среды. Условимся называть их частицами, и будем рассматривать их как отдельные термодинамические системы. Таким образом, предполагается, что для такой частицы справедливы все выводы термодинамики, которые получены для равновесных систем. Это предположение носит название гипотезы о локальном термодинамическом равновесии. Напомним основные положения термодинамики. Если в системе нет изменений параметров, и отсутствуют потоки, то говорят, что система находится в термодинамическом равновесии. Нулевое начало термодинамики. Две термодинамические системы находящееся в термодинамическом равновесии с третьей, находятся в термодинамическом равновесии между собой (закон термодинамической транзитивности). Функцию состояния системы Т называют эмпирической температурой. Первое начало термодинамики - закон сохранения энергии в частице. Тепло подводимое к частице идет на повышения ее внутренней энергии и работу внутренних сил. Второе начало термодинамики – закон изменения энтропии. Энтропия (мера хаоса) изолированной системы не уменьшается. В частности это означает, что тепло передается от нагретого к холодному, а так же в другой формулировке - невозможность существования вечного двигателя второго рода. В настоящее время МСС принято делить на две области: механику жидкости и газа; механику твёрдых деформируемых тел. Механика жидкости и газа включает в себя: Газовую динамику (механику сжимаемых сред) и Гидромеханику (механику несжимаемых сред): • механики идеальной жидкости; • механики вязкой ньютоновской жидкости; • механики аномально вязкой неньютоновской жидкости; • механики турбулентных течений. Механика деформируемых твёрдых тел изучает: • теорию упругости; • теорию пластичности; • теорию ползучести; • теорию разрушения; • механику сыпучих тел. Как мы увидим в дальнейшем, математические модели МСС приводят к необходимости решения систем сложных нелинейных дифференциальных уравнений. При их решении приходится сталкиваться с очень большими математическими трудностями, а 3 Залевски К. Феноменологическая и статистическая термодинамика. М.: Мир, 1973. –168с. 9 10 точные аналитические решения получены только для простых задач. Поэтому, исторически сложилось разделение МСС на теоретическую МСС и практическую – гидравлику (техническую гидрогазодинамику). Задачи первой - разработка математических моделей МСС и методов их решения. Задачей второй – разработка эмпирических (использующих экспериментальные зависимости) и полуэмпирических моделей для расчета конкретных механизмов, технических устройств и сооружений. В последние время с развитием численных методов решения, и ростом мощности вычислительной техники грань между этими частями МСС стирается. 1.2. Плотность распределения характеристик в сплошной среде. Для определения характеристик сплошной среды используются предельные переходы. Например, плотность вещества в точке пространства с координатами ( ) r = x, y , z определяется зависимостью: M ρ (r ) = lim , (1.1.4) W →W0 W где W − объём, занятый веществом; M − масса этого объёма; W0 − наименьший объём, окружающий точку с координатами r = (x, y , z ) , содержащий достаточное количество атомов и молекул для выполнения условия (1.1.1). В этом случае W0 - можно практически считать равным 0, а выражение для плотности записать в виде: M ρ = lim . (1.1.5) W →0 W Аналогичные рассуждения можно использовать и при определении скорости движения жидкости или газа в рамках модели сплошной среды: ∑ miVi = lim I . V = lim (1.1.6) W →0 ∑ m i W → 0 ρW ( ) где mi - масса, I - импульс в объеме W , Vi - скорость молекулы, атома или другой частицы сплошной среды, а суммирование проводится по всем частицам, в объеме W . Пусть кинетическая энергия элементарного объёма ∆W , имеющего массу ∆m = ρ∆W и скорость V , равна: ∆K = Здесь k = ρV 2 2 ∆mV 2 ρ∆WV 2 ρV 2 = = ∆W = k ⋅ ∆W . 2 2 2 (1.2.1) − плотность распределения кинетической энергии. Плотность распределения той или иной характеристики сплошной среды в пространстве или на поверхности - количество этой характеристики, приходящееся на единицу объёма или площади поверхности. Это функция координат и времени β (r , t ) , которая, будучи умножена на элементарный объём ∆W (или элементарную площадку ∆Σ ), отразит общее количественно рассматриваемой характеристики этого объёма (площадки). При этом неявно предполагается, что β (r , t ) внутри объема постоянна β (r , t ) = β , а элементарные объем ∆W и площадка ∆Σ малы. Если рассматриваемая величина − вектор, то плотность ее распределения также вектор. Например, количество движения этого же элементарного объёма ∆W равно: ∆I = ∆mV = ρ∆WV = ρV∆W = i ∆W . 10 (1.2.2) 11 Здесь i = ρV − плотность распределения количества движения. Пусть B (t ) − общее количество какой-либо характеристики объёма сплошной среды W в момент времени t, а β (r , t ) − плотность распределения этой характеристики. Разобьем объём W на элементарные объёмы ∆Wi , где i − порядковый номер элементарного объёма. Количество рассматриваемой гидромеханической характеристики в пределах i −го элементарного объёма равно β (ri , t )∆ iW , где ri = ( xi , yi , zi ) − координаты любой внутренней точки объёма ∆Wi . Подсчитаем общее количество характеристики, относящееся к объёму W , используя принцип суперпозиции: B (t ) = ∑ β (ri , t )∆Wi . (1.2.3) i Рассматривая элементарный объём как бесконечно малую величину, можно записать B (t ) = ∫ β (r, t )dW . (1.2.4) W Плотность сплошной среды ρ (r , t ) можно назвать плотностью распределения массы (в пространстве), при этом массу М объёма W можно представить в виде: M = ∫ ρ (r , t )dW . (1.2.5) W Введем аналогичным образом векторную величину pn – напряжение4, как плотность распределения силы Fi по поверхности: F , Σ →0 Σ pn = lim (1.2.6) F = ∫ pn (r , t )dΣ. Σ Проекцию напряжения на вектор единичной внешней нормали к поверхности будем называть σ n - нормальным напряжением, проекцию на касательную плоскость σ τ – касательным напряжением. pn = σ n + σ τ = σ n + τ . (1.2.7) Для жидкостей и газов под гидростатическим давлением p будем понимать скалярную величину, определяемую в стационарном (равновесном) случае соотношением (законом Паскаля): σ n = − pn . (1.2.8) Сила в системе СИ измеряется в Н – ньютонах, а давление в Па. 4 индекс n – указывает на существование нормали к поверхности, изменение ее направления приводит к изменению вектора pn , а не обозначает проекцию на нормаль. 11 12 Таким образом, для описания характеристик сплошной среды используются как векторные, так и скалярные поля удельных величин (отнесенных к площади поверхности, объему, массе). 1.3. Физические свойства жидкостей, газов и твердых тел. Чтобы лучше разобраться с понятием моделей твердых, жидких и газообразных сплошных сред, рассмотрим свойства агрегатное состояние чистых5 (постоянного химического состава) материалов. В качестве примера возьмем воду. Из физики известно, что чистые вещества могут находиться в четырех агрегатных состояниях: кристаллическом, жидком, газообразном и плазменным. Ниже для иллюстрации приведена фазовая диаграмма для воды. Физические свойства материалов определяются их межмолекулярным (межатомным) взаимодействием. При низких температурах (малых энергиях) имеет место кристаллическая структура молекулы или атомы жестко связаны между собой и колеблются около центров кристаллической решетки, а среда называется кристаллической. В физике принято говорить, что имеет место дальний порядок. При этом в самой решетке могут присутствовать ее нарушения – дислокации, вакансии (отсутствие атома в узле решетки) и т.д. Нас в первую очередь будет интересовать Рис.1.1. Фазовая диаграмма воды вопрос об изменении характеристик сплошной среды под действием сил. Деформация (от лат. defoгmatio — «искажение») — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Для деформации кристалла требуется приложить к нему большие усилия, поэтому кристаллические (твердые) тела считаются несжимаемыми. Рассмотрим стержень из твердого материала, постоянного поперечного сечения, к концам которого приложено напряжение σ (рис. 1.2.). Линейную деформацию можно описать безразмерной величиной l − l0 ε= . (1.3.1) l0 Ниже (рис.1.3.) приведены диаграммы зависимости напряжения σ от линейной деформации ε . Рис. 1.2. Растягивающая деформация стержня 5 В частности если в жидкости нет растворенных в ней газов. 12 13 Рис. 1.3. Диаграммы растяжения σ (ε ) для обобщенного материала Для большинства твердых материалов при деформации имеет место линейный участок, пока напряжение не превышает значения σ пц - предела пропорциональности. В этой области справедлив закон Гука. Для этого участка деформация обратима – после снятия нагрузки деформация исчезает, такая деформация называется упругой - ε e . За ним следует участок с нелинейной зависимостью σ (ε ) , при этом имеет место остаточная деформация (пластическая) ε p , которая образуется после снятия нагрузки. При этом ряд материалов имеет четко выраженную площадку текучести (образец продолжает деформироваться и при постоянной нагрузке рис. 1.3.а), а ряд материалов – нет (рис.1.3.б). Для первых материалов вводится значение σ T - предел текучести, для вторых вводится условный предел текучести – напряжение при котором пластическая деформация, после снятия нагрузки, составляет 0,2% или 0,002. В первом случае участок σ пц < σ < σ T участок пластической деформации, участок σ = σ T - участок текучести. Отметим, что течение материала происходит равномерно по всей длине стержня. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к неравномерности распределения деформации по длине стержня (рис. 1.4) − в некотором месте можно заметить образование шейки (рис.1.4.). Деформация материала в точке А (рис.1.3.а) также состоит из пластической и упругой ε = ε p + ε e . Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к разрушению материала при достижении σ М Рис.1.4. Образование шейки предела прочности. Напряжение, которое данный материал может выдержать на практике, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым и обозначают [σ ] . Обычно [σ ] < σ пц , и все расчеты конструкций и механизмов проводят на основе законов Гука. Чтобы обеспечить прочность при всех обстоятельствах допустимое напряжение выбирается как часть предела прочности, в частности, для металлов [σ] = 0.2σм, а для 13 14 дерева [σ] = 0.1σм. Следует отметить, что наибольшие деформации, которые может выдержать материал, не определяются протяженностью области текучести. Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Такой материал, как сталь, способен выдерживать большие нагрузки без разрушения. Наоборот, если область текучести невелика, то этот материал хрупок. Хрупкие материалы, как например чугун, разрушаются при деформациях ε ≥ ε пц . Прочностные характеристики твердых материалов существенным зависят от температуры материала. С повышение энергии количество нарушений кристаллической решетки растет, причем этот процесс идет в динамике (где то они исчезают, а где то снова образуются). По достижению некоторого энергетического порога упругость пропадает. В этом случае имеет место ближний порядок, а такой материал называется жидким. Среднее характерное расстояние между молекулами (атомами) жидкости и кристалла тела примерно одинаковы и равны ≈ (3÷4)10-6м. П примерно одинаковы и плотности жидкой и кг кг кристаллической фаз. Так плотность воды ρ ≈ 1000 3 , плотность бензинов 730 ÷ 760 3 , м м кг кг кг керосинов - 780 ÷ 830 3 , дизельных топлив - 840 ÷ 850 3 , нефтей 840 ÷ 960 3 . Однако, м м м жидкость вследствие разрыва связей приобретает новое свойство текучесть способность деформироваться под действием сколь угодно малых внешних воздействий, до тех пор пока внутренние касательные напряжения не станут равными нулю. При этом жидкость, как и твердое тело – несжимаема (плотность остается практически неизменной). Дальнейшее повышение температуры приводит к полному разрыву связей (отсутствию ближнего порядка). Материал в таком состоянии называется газом. Для газообразных тел характерной особенностью является хаотическое движение и столкновение молекул в пространстве. Поэтому газы обладают не только текучестью, но и сжимаемостью. Рассмотрим сосуд, заполненный жидкостью, с площадью основания Σ и вертикальными стенками. Приложим силу F и увеличим давление в объёме W на величину ∆p (рис.1.5). Сплошная среда при этом сожмётся, уменьшив свой объём на величину ∆W . Эмпирически получено, что связь между изменением объёма и давлением линейна, т.е. для каждой жидкости можно ввести константу, которую называют коэффициентом объёмного расширения (при постоянной температуре): Рис.1.5. К определению коэффициента объёмного сжатия  ∆W    1 ∂W W   . βW = − lim =− ∆p → 0 ∆p W ∂p (1.3.2) Коэффициент объёмного сжатия имеет размерность (Па) . Знак минус показывает, что объём уменьшается под действием сжатия. Модулем объёмной упругости EW называется величина, обратная βW : -1 ΕW = 1 βW . 14 (1.3.3) 15 Обе эти величины зависят от температуры и вида жидкости. Модуль объёмной упругости для воды при Т = 293°К равен EW = 2⋅109 Па ≈20000 кгс/см2. Если на воду помимо атмосферного давления (ра =101325 Па или 1.033 кгс/см2), будет дополнительно действовать такое же давление, то объём воды уменьшится приблизительно на 1/20000, т.е. практически это заметить невозможно. Следовательно, воду и другие жидкости можно считать несжимаемыми и принимать их плотность постоянной (ρ = const), не зависящей от давления. Для большинства жидкостей с повышением температуры плотность падает, исключением является вода плотность которой имеет максимум при 4 оС. По аналогии с (1.3.2) можно ввести коэффициент объемного теплового расширения:  ∆W    1 ∂W W  β T = − lim  , =− ∆t → 0 ∆t W ∂t тогда плотность жидкости может быть рассчитана по формуле: ρ (t ) = ρ 20 [1 + β T (20 − t )] , здесь ρ 20 плотность при стандартных условиях ( t 20 = 20 o C , p20 = 0,1013ÌÏà ), t температура в градусах Цельсия. Как уже было отмечено выше, основное отличие газа от жидкости заключается в том, что газ легко сжимается. В нём скорость распространения звука (а следовательно и всех механических возмущений) значительно меньше, чем в жидкости. В отличие от газа жидкость имеет четко выраженную граничную поверхность между ней и окружающим её газом, которая называется свободной поверхностью. В поле сил тяжести свободная поверхность жидкости имеет горизонтальный профиль. В условиях невесомости, благодаря поверхностному натяжению, свободная поверхность сферична. Это свойство жидкости, как и её малая сжимаемость, обусловлено постоянным взаимодействием соседних молекул. В газе молекулы взаимодействуют друг с другом только в момент столкновения, большую часть времени они свободно движутся в пространстве, поэтому вследствие хаотичности движения газ стремится равномерно распределиться по всей замкнутой части пространства. Если пространство не замкнуто, то объём газа может неограниченно возрастать. В газе можно неограниченно уменьшать давление и повышать температуру, и при этом свойства газа будут меняться непрерывно. В жидкости давление может уменьшаться до некоторого значения, ниже которого начинается образование внутри неё газовых пузырьков, и начинаются фазовые переходы, которые качественно меняют свойства текучей среды. То же самое может происходить и при повышении температуры жидкости. Уравнение состояния. В МСС часто используется двухпараметрическая или простая термодинамическая среда. То есть среда, все термодинамические параметры которой могут быть вычислены через два, посредством соотношений называемых уравнениями состояния. Уравнения состояния бывают двух типов. Термическое уравнение состояния p = p ( ρ , T ), f ( p, ρ , T ) = 0. Калорическое уравнение состояния e = e( ρ , T ), f (e, ρ , T ) = 0. Здесь e - удельная (отнесенная к единице массы) внутренняя энергия. 15 16 Для газа можно достаточно эффективно использовать модель газа, описываемого термическим уравнением состояния Клайперона - Менделеева6: pv = RT , p = ρRT . (1.3.4) где R – газовая постоянная. Такой газ называется совершенным или термически совершенным. R R = o , Ro =8,3144 Дж/(моль⋅К) – универсальная газовая постоянная. mµ mµ - молярная масса газа, [mµ ] =кг/моль7. Часто используется уравнение состояния Ван-Дер-Ваальса, которое справедливо в более широком диапазоне температур и давлений: p= RT c − 2. v−b v Коэффициенты в уравнении Ван-Дер-Вальса Газ 3 c (Па⋅м3) b(м /моль) He 3.46⋅10-3 23.71⋅10-6 Ne 2.12⋅10-2 17.10⋅10-6 H 2.45⋅10-2 26.61⋅10-6 CO 3.96⋅10-1 42.69⋅10-6 H2O 5.47⋅10-1 30.52⋅10-6 Отметим так же, что уравнение Ван-Дер-Вальса, используется и для описания жидкостей, но в обычных условиях оно дает только качественное описание. Для капельных жидкостей, сжимаемость для которых чрезвычайно мала, в большом диапазоне изменения давления связь между плотностью и давлением линейна:  p − p0   , ρ = ρ 0 1 − E ж   6 Уравнение (1.3.4) получено на основе известных опытных законов Бойля-Мариота (pv=const, при T=const), Гей-Люсака (v=v0(1+αT), при p=const) французским инженером Клайпероном в 1834г. Причем этот результат был получен без привлечения данных о молекулярной структуре вещества. Бенуа́ Поль Эми́ль Клапейро́н (фр. Benoît Paul Émile Clapeyron; 26 февраля 1799, Париж — 28 января 1864, там же) — французский физик и инженер. Учился в парижской политехнической школе (1816—1818). В 1820 отправился со своим товарищем Ламе в Россию, где был профессором в институте путей сообщения. Вернувшись в 1830 во Францию, Клапейрон участвовал в постройке многих железных дорог и составил множество проектов по постройке мостов и дорог. В 1834 г. вывел уравнение состояния идеального газа, объединяющее закон Бойля – Мариотта, закон Гей-Люссака и закон Авогадро, обобщённое в 1874 г. Д.И. Менделеевым (уравнение Менделеева – Клапейрона). 7 Молeкулярная масса – (ранее молекулярный вес) безразмерная величина равная средней массы молекулы природной смеси изотопов вещества к 1/12 массы атома изотопа 12С. Массовое число – общее число нуклонов (протонов и нейтронов) в атомном ядре. Массовое число указывается слева вверху символа изотопа. 235U Молярная масса – физическая величина, равная отношению массы к количеству вещества. В системе СИ кг/моль. M=m/n, m – масса в кг, n – количество вещества в молях. Численное значение равно Mr/1000, где Mr – молекулярная масса. Атомная единица массы –а.е.м. масса, равная 1/12 массы атома изотопа 12С. 1а.е.м.=1,66054⋅10-27кг. 16 17 Где ρ 0 − плотность, соответствующая давлению p0 , Eж − модуль объёмного сжатия, порядок которого равен 104МПа. Для больших давлений и температур предпочтительней двучленное уравнение состояния: p − с 02 ( ρ − ρ 0 ) e= . ρ (γ − 1) Так для воды используются следующие значения определяющих констант: кг ρ 0 = 103 3 , p0 = 3047бар ,γ = 7 ,15. м Для адиабатического процесса (когда отсутствует тепло и массообмен между выделенным объёмом газа и окружающей средой) характерна следующая зависимость: p = const , (1.3.5) γ ρ где γ = cp − адиабатическая постоянная газа (показатель адиабаты); сv − cv теплоёмкость газа при постоянном объёме; ср − то же при постоянном давлении. Такой газ называется термически и калорически совершенным или политропным. Вязкость жидкостей и газов. Реологические свойства жидкостей. Вязкостью называется свойство текучей среды, которое заключается в возникновении в ней внутренних сил, препятствующих её деформации, т.е. изменению относительного положения её частей. Рассмотрим частный случай молекулярно-кинетической теории идеального газа − простое сдвиговое течение (рис.1.6). Элементарная площадка ∆х∆у поверхности, разделяющей слои 1 и 2, движется вместе с жидкостью. При этом слой жидкости 1 скользит по слою 2 с относительной скоростью ∆V . Молекулы газа участвуют в движениях двух видов: 1. упорядоченном (продольном) со скоростью V; 2. хаотическом, неупорядоченном тепловом движении, скорость которого обычно на два Рис.1.6. Вязкие напряжения в жидкостях порядка выше скорости упорядоченного движения. и газах Вязкость газа обусловлена переносом молекулами при их тепловом движении (диффузии) через элементарную площадку ∆х∆у , лежащую в плоскости, которая разделяет два слоя, имеющие различные продольные скорости V и V + ∆V , количества движения, обусловленного разностью ∆V скоростей этих слоев. Молекулы движутся хаотически беспорядочно, при этом они переходят из одного слоя в другой, пересекая площадку ∆х∆у . Молекулы, имеющие упорядоченную скорость V x , переходят в слой 2 и замедляют его движение, а такое же количество молекул, попавшее в слой 1 из слоя 2, ускоряет слой 1. Таким образом, вязкость среды проявляет себя только при движении среды. Для сплошной среды, считают, что на площадке ∆х∆у действует касательное напряжение, компенсирующее перенос количества движения, обусловленный тепловым движением молекул. Согласно молекулярно-кинетической теории это касательное напряжение 17 18 τ = p zx = η dV dz (1.3.6) где η − динамический коэффициент вязкости (динамическая вязкость) газа. Ее значение определяется физическими свойствами среды. Знак напряжения таков, как будто оно "пытается" уменьшить разность скоростей слоев. Зависимость (1.3.6) справедлива для большинства газов и жидкостей и называется законом Ньютона для вязких напряжений. В отличие от закона для сухого трения сдвиговое касательное напряжение не зависит от нормального напряжения. Согласно определению (1.3.6) динамический коэффициент вязкости η в системе СИ имеет следующую единицу измерения: pzx ] [ p ][z ] Па ⋅ м кг [η ] = [ du = = = Па ⋅ с = м [u ] м⋅с с dz На практике иногда в качестве единицы η используют П = г/см⋅с, которая называется пуаз (в честь французского врача Ж.Л. Пуазейля, выполнившего фундаментальные исследования движения вязкой жидкости) : Па⋅с = 10⋅П. Для несжимаемых сред ( ρ = const ) целесообразно использовать другую характеристику: [ η ] кг ⋅ м3 м 2 [ν ] = = = , [ρ ] мс ⋅ кг с (1.3.7) называемую кинематическим коэффициентом вязкости (кинематической вязкостью). На практике часто для ν используется единица измерения Ст = см2/с, которая называется стокс (в честь английского гидромеханика Дж. Стокса, который сформулировал дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости): 1Ст = 10-4 м2/с. Приборы для измерения вязкости называемые визкозиметры. Для прозрачных жидкостей используется визкозиометр Стокса – высокий стакан с делениями, в которых сверху вводят мелкие шарики из вещества с плотность близкой к плотности жидкости и замеряют скорость падения шарика. Так как вес, сила Архимеда и сила сопротивления Fd = 3rπηu , для малых скоростей движения известны, а шарик движется равномерно, то коэффициент вязкости легко вычисляется. Для непрозрачных жидкостей используют визкозиометр Энглера - , с помощью которого определяют условную вязкость, которая измеряется в оЕ – градусах Энглера. Число градусов Энглера определяется отношением времени истечения испытуемой жидкости при данной температуре из вискозиметра ко времени истечения дистиллированной воды из того же прибора при нормальной температуре (20 °C). Перевод градусов Энглера в единицы кинематической вязкости (стоксы) производится по эмпирической формуле Убеллоде: 0,0631   −4 (1.3.8)  ⋅ 10 . o E   В табл. 1.1 приведены значения η, ρ, ν для некоторых жидкостей и газов, а на рис.1.7 зависимость ν для воды и воздуха от температуры. Таблица 1.1 Значения η, ρ, ν для некоторых жидкостей и газов Текучая среда t,ºC η, Па· с ρ, кг/м3 ν, Ст 3 Вода 0.00179 1.0·10 0.0179 ν =  0,0731⋅o E − 18 19 Глицерин Бензин Ртуть Спирт этиловый Воздух при атмосферном давлении 20 100 20 15 20 20 20 50 0.0010 0.000273 0.510 0.0006 0.0015 0.00120 1.84·10-5 2.18·10-5 0.998·103 0.958·103 1.25·103 0.70·103 13.6·103 0.8·103 1.38 1.22 0.010 0.00273 4.10 0.0085 0.00111 0.0151 0.178 0.133 Рис.1.7. Зависимость коэффициента кинематической вязкости от температуры Из приведенных данных следует, что вязкость воды уменьшается с увеличением температуры от 0 до 100° С почти в семь раз, а вязкость воздуха возрастает с увеличением температуры от 20 до 50°С на 25%. Отметим, что в газах вязкость и диффузия обусловлены одним и тем же физическим механизмом - тепловым хаотическим движением молекул. Поэтому коэффициент кинематической вязкости ν имеет один порядок величины с коэффициентом молекулярной диффузии. В жидкостях вязкость и диффузия имеют различную физическую природу. Как следствие этого коэффициент диффузии в жидкости в сотни раз меньше коэффициента вязкости ν . С увеличением температуры в газе скорость хаотического движения молекул возрастает, что приводит к увеличению количества молекул, пересекающих в единицу времени площадку ∆х∆у , и следовательно, увеличивается и перенос количества движения из одного слоя в другой и, соответственно, касательное напряжение τ . Согласно (1.3.6) это означает, что с увеличением температуры динамический коэффициент вязкости газа возрастает. В жидкости основной причиной переноса количества движения является взаимодействие молекул, расположенных по разные стороны границы между слоями, а не перенос молекул через эту границу. Поэтому, с увеличением температуры динамический коэффициент вязкости жидкости уменьшается (в отличие от газов). Для расчетов в инженерной практике пользуются ориентировочным значением кинематического коэффициента вязкости воды ν = 0,01 см2/с = 0,01 Ст. Однако существует много жидкостей, для которых закон Ньютона не выполняется. Такие жидкости называются неньютоновскими, а наука, моделирующая поведение подобных сред, называется реологией (греч. ρεο − течь, λογοσ − учение). Более подробно их свойства будут рассмотрены позднее в 4-ой главе. 19 20 Поверхностное натяжение. Молекулы, находящиеся на границе раздела сред, либо притягиваются, либо отталкиваются соседней средой. Вследствие этого на искривлённой поверхности раздела сред должны возникать растягивающие усилия, стремящиеся выпрямить границу раздела. Растягивающие напряжение (сила на единицу длины) называется коэффициентом поверхностного натяжения σ . Для границы воды и воздуха (свободной поверхности) при Т = 293 К° σ = 72,8·10-3 Н/м. Коэффициент поверхностного натяжения падает с ростом температуры и практически не зависит от давления. Поверхностное натяжение может быть снижено с помощью поверхностно-активных веществ (ПАВ), к числу которых относятся моющие средства. Наиболее четко данное свойство жидкостей проявляется на границе раздела трех сред (газ, жидкость, твердое тело). Различают смачивающие и несмачивающиеся жидкости рис.16. Угол θ - называется углом смачивания. Рис. 1.8. Смачивающая θ < π и несмачивающая θ > π жидкости 2 2 Перепад давления, создаваемый поверхностными силами на криволинейной поверхности, может быть вычислен по формуле Лапласа 1 1 ∆p = σ  +  , (1.3.9)  r1 r2  где r1 , r2 - главные кривизны поверхности, σ - коэффициент поверхностного натяжения. Для сферических образований (капля, пузырь, шар) формула принимает вид: 2σ ∆p = , r Здесь r - радиус сферического образования. Следовательно высота подъема (в капилляре со смачиваемой поверхностью) или вытеснения (в капилляре со несмачиваемой поверхностью) жидкости может быть вычислена по формуле: 2σ h= . rρg Для воды справедлива зависимость: Н σ = ( 0,076 − 0 ,00015 ⋅ t ) , м Здесь t - температура в градусах Цельсия. Таким образом, поверхностное натяжение является мерой некомпенсированности межмолекулярных сил в поверхностном (межфазном) слое, или избытка свободной энергии в поверхностном слое по сравнению со свободной энергией в объёмах фаз. Определить коэффициент поверхностного натяжения можно с помощью прибора – сталагмометра. Растворимость газов в жидкостях характеризуется количеством растворенного газа в единице объема жидкости. Растворимость газов зависит от давления и температуры. Зависимость от давления определяется Генри: 20 21 Wg p . Ww po где W g - объем растворенного газа, приведенный к нормальным условиям = kr (p0=101325 Па, T0=273 K); Ww - объем жидкости; k r - коэффициент растворимости; p давление. Таким образом, при понижении давления растворенный в жидкости газ выделяется из нее, причем интенсивнее, чем растворялся при первоначальном насыщении. Для воды k r = 0,016; для керосина k r = 0,127; для трансформаторного масла k r = 0,083; для индустриального масла k r = 0,076. Зависимость от температуры носит противоположный характер, с повышением температуры растворимость падает. Таблица 1.2. Растворимость некоторых газов в воде Газ Азот Аммиак Водород Воздух Двуокись углерода Кислород Хлор Хлористый водород 0,0236 1300 0,0215 0,0288 1,713 0,049 — 507 10 0,0190 910 0,0198 0,0226 1,194 0,038 3,148 474 20 0,0160 710 0,0184 0,0187 0,878 0,031 2,299 442 Температура, °C 30 40 0,0140 0,0125 595 — 0,0170 0,0164 0,0161 0,0142 0,66 0,53 0,026 0,023 1,799 1,438 412 386 50 0,0113 — 0,0161 0,0130 0,44 0,021 1,225 362 60 0,0102 — 0,0160 0,0122 0,36 0,019 1,023 339 Подводя итоги, напомним, что МСС оперирует с моделями сплошной среды. В таблице 1.3. приведены основные характеристики трех основных моделей. Использование той или иной модели для описания характеристик реальной среды, определяется условиями, в которых находится данная среда. Так, например, если скорость газа мала (число Маха, равное отношению скорости к скорости звука, меньше 0,2) газ можно считать несжимаемой жидкостью. Стекло обычно описывается как твердое деформируемое тело, но с физической точки зрения является жидкостью с аномально высокой вязкостью. Жидкости, при высоких давлениях и температурах, например взрыве или на большой глубине, становится сжимаемой. Таблица 1.3. Основные характеристики моделей сплошных сред. Твердое Жидкость газ деформируемое тело Сохраняет форму Сохраняет объем Заполняет весь свободный объем Несжимаемая среда Сжимаемая среда Под нагрузкой Упруго и пластически Текучая среда деформируется (рис.1.3) Вязкая среда Обратим еще раз внимание на рис.1.1. Из него следует, что одно и тоже вещество в зависимости от условий (давления и температуры) может находиться в различных агрегатных состояниях. Изменение агрегатного состояния всегда сопровождается изменением энергии системы (фазовые переходы первого рода). Данная диаграмма и ей подобные, отвечают случаю равновесных процессов для химически однородных веществ. 21 22 На практике это не всегда выполняется. Так жидкость, подвергающаяся нагреву, может переходить в пар при кипении, в этом случае новая фаза образуется в виде пузырьков либо на нагреваемой поверхности сосуда, либо в самой жидкости. Аналогичным образом, при резком падении давления в жидкости в ней образуются паровые пузырьки, данное явление носит название кавитация (от лат. cavita — пустота). В дальнейшем пузырьки перемещаются в область с повышенным давлением и схлопываются, с образованием ударной волны, что приводит к разрушению обтекаемых жидкостью твердых поверхностей. В средах, состоящих из нескольких веществ, фазовые переходы имеют свою специфику. Так в газовых смесях (воздух, природный газ), конденсация идет для различных компонент при различных давлениях и температурах. Это свойство используется для отделения той или иной газовой фракции. 1.3.Методы описания движения сплошной среды. Локальная и субстанциональная производная. 1.4. Движение − неотъемлемое свойство материи, поэтому в окружающем нас мире мы постоянно сталкиваемся с различными видами движения, в том числе и движением различных сплошных сред. Так в нефтегазовом деле приходится сталкиваться с движением жидкостей и газа по трубам и внутри различных машин и механизмов; с фильтрацией фильтрацию жидкостей и газов через пористую среду; с деформацией различного рода конструкций (баков, резервуаров, заслонок и т.д.), геологическими сдвигами. Поэтому немаловажно знать законы взаимодействия жидкости и газа с границами потока (особенно законы сопротивления труб, пропускных устройств, сужений, сопел), неравномерностью распределения скоростных потоков, законами фильтрацию жидкостей и газов через пористую среду, равновесие жидкостей и тел, плавающих на поверхности жидкости, распространением волн и вибраций в твёрдых и жидких телах. Задача кинематики − описание движения среды независимо от внешних условий, которые инициируют и поддерживают движение. К кинематическим характеристикам относятся координаты частицы, скорость, ускорение. Существует два подхода к описанию движения сплошной среды: Лагранжа и Эйлера. По методу Лагранжа рассматривается движение каждой частицы жидкости. Рассмотрим движение частицы8 в некоторой определённой системе прямоугольных и прямолинейных координат Oxyz, которую условимся называть неподвижной (системой наблюдателя). Пусть в начальный момент времени t = t 0 частица занимает положение с координатами x0 , y0 , z 0 . В этом случае, для описания полного движения точки необходимо знать уравнение её движения: r = r ( x0 , y0 , z 0 , t ) , где r ≡ (x, y , z ) − радиус-вектор точки. Кривая, описываемая последовательными положениями движущейся точки, называется траекторией. Траектория является основной кинематической характеристикой в подходе Лагранжа. Движение точки определено, если заданы её координаты x, y, z, как непрерывные функции времени t:  x = ϕ1 ( x0 , y0 , z 0 , t ),  (1.4.1)  y = ϕ 2 ( x0 , y0 , z 0 , t ),  z = ϕ ( x , y , z , t ). 3  Эти уравнения определяют положение движущейся частицы в каждый момент времени t и представляют в параметрической форме уравнение траектории. Переменные 8 Частица в понимании МСС. 22 23 ξ1 = x0 , ξ 2 = y0 , ξ 3 = z 0 , называются переменными Лагранжа. Лагранжевы координаты − это параметры, которые характеризуют каждую точку среды и не меняются в процессе движения частицы. Таким образом, точка зрения Лагранжа опирается на описание истории движения каждой точки сплошной среды в отдельности. Скорость движущейся точки равна производной по времени от радиуса-вектора движущейся частицы и представляет собой вектор с проекциями: ∂x ∂y ∂z ; V y = u 2 = v = ; V z = u3 = w = . (1.4.2) Vx = u1 = u = ∂t ∂t ∂t Ускорение частицы соответственно имеет проекции: ∂2 x ∂2 y ∂2z ax = 2 ; a y = 2 ; az = 2 . (1.4.3) ∂t ∂t ∂t Так как оси ортогональны, величина скорости (модуль) определится через проекции формулой: 2 2 2  dx   dy   dz  V =   +  +  .  dt   dt   dt  Если через s обозначить длину дуги траектории, отсчитываемой от неподвижной точки, то: ds = ± (dx ) + (dy ) + (dz ) . Следовательно, алгебраическая величина модуля скорости будет определяться формулой: ds V= . dt Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна: ds V= = const. dt При описании движения сплошной среды по Эйлеру, ее движение определяется через поле мгновенных скоростей сплошной среды. Т.е. рассматривается изменение характеристик в конкретной геометрической точке в зависимости от времени. Поэтому поле скорости задаются как функция геометрических координат и времени: V = V ( x, y, z , t ). (1.4.4) Линией тока называется линия, касательная к которой в каждый момент времени совпадает с направлением вектора скорости. Следовательно, уравнение линий тока имеет вид: dx dy dz = = . (1.4.5) V x ( x, y , z , t ) V y ( x, y , z , t ) V z ( x, y , z , t ) Характеристики сплошной среды (поле скорости, поле давлений, поле напряжений и т.п.), отнесённые к фиксированным неподвижным элементам геометрического пространства (точкам, линиям, поверхностям, объёмам), и сами эти элементы называют эйлеровыми переменными. Для метода Эйлера скорость есть функция, как координат, так и времени. Поэтому ускорение, а также другие гидромеханические величины, которые меняются вместе с движением объёма жидкости, выражаются через специальный вид производной, которая определённым образом связана с полем скорости. Вместе с тем эта производная должна быть связана с движением частиц жидкости или газа (субстанции). Такую производную называют полной или субстанциальной, а ее оператор имеет вид: d ∂ ∂ dx ∂ dy ∂ dz ∂ ∂ ∂ ∂ = + + + = + Vx + V y + Vz dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t ∂x ∂y ∂z Для ускорения: 2 23 2 2 24 dVx ∂Vx ∂Vx ∂V ∂V = + Vx + x V y + x Vz , dt ∂t ∂x ∂y ∂z dV y ∂V y ∂V y ∂V y ∂V y ay= = + Vx + Vy + Vz , dt ∂t ∂x ∂y ∂z dV ∂V ∂V ∂V ∂V a z = z = z + z Vx + z V y + z Vz , dt ∂t ∂x ∂y ∂z Материальная (полная) или индивидуальная производная по t от любой величины (например, плотности ρ) определится следующим образом: • Если используется способ Лагранжа, т.е. если ρ = ρ (t , ξ i ) , то индивидуальная ax= dρ (t , ξ i ) - изменение плотности частицы, которая в dt начальный момент находилась в точке ξ1 = x0 , ξ 2 = y0 , ξ 3 = z 0 . производная по времени есть • Если используется способ Эйлера, т.е. ρ = ρ (t , xi ) , то производная по времени есть: dρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ 9 = + ux + uy + u z или = + ui , ρ = ρ (t , x , y , z ) . dt ∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂xi Изменение плотности среды в точке x, y, z . 3 ∂ ∂ ∂ ∂ Оператор D = ∑ u i = u x + u y + u z называется конвективной производной. ∂xi ∂x ∂y ∂z 1 ∂ρ Здесь частная производная по времени отвечает за изменение плотности в ∂t геометрической точке пространства, например в следствии изменения давления или ∂ρ ∂ρ ∂ρ температуры в этой точке, а конвективная производная ux + uy + u z - за ∂x ∂y ∂z изменения плотности за счет притока (оттока) массы в эту точку. ∂ρ dρ (t , x, y, z ) Для несжимаемой среды = 0 , при этом может быть и не равно 0 dt ∂t (т.к. среда неоднородная). Поток гидродинамической величины через поверхность. Законы механики формулируются для выделенных механических систем, или совокупностей физических тел. Для сплошной среды это жидкий объём W (t ) , т.е. выделенный движущийся объём сплошной среды, сохраняющий при своём движении все составляющие его части (жидкие частицы). При этом поверхность Σ(t ) , его ограничивающая, непроницаема для частиц среды, в общем случае также изменяется во времени. Это понятие соответствует Лагранжеву методу описания движения текучих тел, а сам объем W (t ) называется Лагранжевым. Эйлеров метод позволяет использовать для решения задач гидромеханики выделенную часть пространства, обычно неподвижную (не связанную с движением среды), которую называют контрольным объёмом. Контрольный объём W или Эйлеров объем, ограничивается контрольной же неподвижной поверхностью Σ , сквозь которую может проникать сплошная среда. Использование контрольной поверхности и контрольного объёма приводит к понятию потока гидромеханической характеристики (массы, кинетической энергии), т.е. количества этой характеристики, переносимой сплошной средой в единицу времени сквозь фиксированную поверхность Σ . 9 Здесь и далее дважды повторенный индекс указывает на суммирование. 24 25 Рис.1.9. Поток скорости сквозь контрольную поверхность Зафиксируем в пространстве, занятом движущейся жидкостью, поверхность Σ и выделим на этой поверхности около точки с координатами r = (x, y , z ) элементарную площадку dΣ (рис.1.9). Скорость жидкости в этой точке равна V = V (r , t ), n - единичный вектор нормали к поверхности в этой же точке. Нормальная к поверхности составляющая скорости будет при этом равной Vn = V ⋅ n . Объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку dΣ , равен dQ = Vn dΣ . В элементарном объёме dQ содержится dQB гидромеханической характеристики В, которая проносится сплошной средой за единицу времени через площадку dΣ : dQ B = β (r , t )Vn dΣ (1.4.5) Поток QB гидромеханической характеристики В через контрольную поверхность Σ (количество характеристики, проносимое жидкостью за единицу времени через поверхность Σ ) составляет Q B = ∫ β (r , t )Vn dΣ . (1.4.6) Σ Поток гидромеханической характеристики В через контрольную поверхность единичной площади (подынтегральное выражение β (r , t )Vn называется плотнотью потока гидромеханической характеристики. Использование этого понятия позволяет нам рассмотреть ряд новых кинематических характеристик движения сплошной среды. Поток скорости сквозь замкнутую поверхность Σ , отнесённый к единице объёма W , заключённого внутри Σ , называется расхождением или дивергенцией скорости, т.е. Vn dΣ . W →0 W Σ divV = lim ∫ В декартовой системе координат дивергенция скорости вычисляется по формуле: 3 divV = ∑ i =1 ∂u i . ∂xi Отсюда видно, что дивергенция скорости определяет скорость объёмного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки. Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность Σ должен быть равен расширению всего объёма W жидкости внутри Σ , то есть: (1.4.7) ∫VndΣ = ∫ divV dW . Σ W Воспользуемся теоремой Остроградского − Гаусса, тогда:  ∂u x ∫ V dΣ = ∫  ∂x n Σ W + ∂u y ∂y 25 + ∂u z  dW . ∂z  (1.4.8) 26 Приведем также формулу для дифференцирования по времени функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему Ω(t) (необязательно Лагранжевому), который ограничен замкнутой поверхностью Σ(t). d ∂A AdΩ = ∫∫∫ dΩ + ∫∫ ADn dΣ , ∫∫∫ dt Ω ( t ) ∂t Ω Σ (1.4.9) Здесь Dn - скорость движения поверхности Σ(t). Если Ω(t)=W(t) – Лагранжев объем, то Dn = Vn и (1.4.9) формула перехода от Лагранжева объема к Эйлерову: ∂A d AdW = ∫∫∫ dW + ∫∫ AVn dΣ , (1.4.10) ∫∫∫ dt W ( t ) ∂t W Σ Пусть β = ρ , тогда согласно (1.4.6) Qρ = ∫ ρ (r , t )Vn dΣ поток массы. А так как в Σ Лагранжевом объеме масса остается постоянной (он содержит одни и те же частицы сплошной среды), то dM d = ∫∫∫ ρdW = 0 . (1.4.11) dt dt W ( t ) И из (1.4.10) следует, что для Эйлерова объема выполняется: ∂ρ dW + ∫∫ ρVn dΣ = 0 . ∫∫∫ ∂ t W Σ (1.4.12) Привлекая теорему Остроградского − Гаусса, получим:  ∂ρu x ∂ρu y ∂ρu z  ∂ρ  dW = 0 , dW + + + ∫∫∫ ∫∫∫ ∂ t ∂ x ∂ y ∂ z  W W  и учитывая, что размер W произвольный, получим уравнение неразрывности сплошной среды: ∂ρ ∂ρu x ∂ρu y ∂ρu z + + + = 0. (1.4.13) ∂t ∂x ∂y ∂z Для несжимаемой среды оно переходит в уравнение несжимаемости: ∂u x ∂u y ∂u z + + = divV = ∇ ⋅ V = 0 . (1.4.14) ∂x ∂y ∂z Если в поле V мысленно проведён какой-либо замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность Σ , то интеграл по замкнутому контуру: 3 ∫ V ⋅ l dl = ∫ u dl = ∑ ∫ u dx l L i =1 L L i i , (1.4.15) называется циркуляцией скорости, а вектор, определяемый в виде V ⋅ l dl = Ω = rotV , Σ →0 Σ L lim ∫ (1.4.16) называется вихрем или ротором скорости. Если ввести ∇ - оператор Гамильтона (градиента)10, который в декартовой системе координат имеет вид: ∂Ф ∂Ф ∂Ф gradV = ∇Ф = i+ j+ k ∂x ∂y ∂z То вихрь скорости определяется по формуле: 10 Более подробно смотри в приложении 1. 26 27  ∂u ∂u rotV = ∇ × V =  3 − 2  ∂x 2 ∂x3   ∂u1 ∂u 3   ∂u 2 ∂u1  i +   j +  k . − − ∂ ∂ ∂ ∂ x x x x 1   1 2    3 (1.4.17) Имеет место теорема Стокса: ∫ u dl = ∫ rotV ⋅ ndΣ . l L Σ В данном случае l и n − единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности Σ . Проводя аналогию с механикой твердого недеформируемого тела можно отметить, что при движении элементарного объема сплошной среды можно выделить два вида движения, которые уже изучались в курсе теоретической механики − поступательное движение твердого тела со скоростью полюса и вращение его вокруг полюса. Для сплошной среды дополнительным видом движения является также и деформационное. Поэтому иногда подразделяют движение элементарного объема жидкости на квазитвёрдое (поступательное и вращательное) и деформационное. В каждый момент времени существуют угловые скорости ωx, ωy, ωz, которые можно рассматривать как проекции на соответствующие координатные оси вектора ω , определяющего угловую скорость вращения элементарного объема жидкости при его перемещении в трехмерном пространстве:  1  ∂u z ω = (ω x ,ω y , ω z ) =    2  ∂y − ∂u y  1  ∂u x ∂u z  1  ∂u y ∂u x  ,   . − − ,  ∂z  2  ∂z ∂x  2  ∂x ∂y  (1.4.18) В векторном анализе вместо ω рассматривают вектор 2ω, который обозначают гot u и называют вихрем вектора V (вихрем скорости):  ∂u ∂u y   ∂u x ∂u z   ∂u y ∂u x  ,   . rotV = ∇ × V = (2ω x ,2ω y ,2ω z ) =  z − − − ,  ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y   ∂y (1.4.18) Если rotV = 0 , то течение называется безвихревым или потенциальным, для таких течений поле скорости определяется посредством одной скалярной функции ϕ = ϕ ( r , t ) называемой потенциалом скорости. В этом случае: ∂ϕ V = gradϕ = ∇ϕ , ui = . (1.4.19) ∂xi 1.5. Силы и напряжения в сплошной среде. Тензор напряжений. Деформации в сплошной среде. Тензор деформаций. Тензор скоростей деформаций. В МСС принято разделять все силы на внешние и внутренние. Внешние силы возникают в результате взаимодействия сплошной среды с другими телами. Такие силы вызывают или могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является гравитационная сила - сила тяжести. Внутренние силы возникают в результате взаимодействия элементов сплошной среды между собой. Они не могут изменить количество движения выделеног объёма, так внутри него каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление. Вместе с тем работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. Примерами внутренних сил являются сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости. 27 28 Внешние и внутренние силы могут быть объёмными (массовыми) и поверхностными. Величина объёмных (массовых) сил пропорциональна объёму (массе) жидкости или газа, на который они действуют. Характеристикой объёмной (массовой) силы является плотность распределения этой силы в пространстве. Это векторная величина f = ( f x , f y , f z ) , которая равна силе, действующей на единицу объёма (массы) - ускорение. Рассмотрим в качестве примера силу тяжести. Плотность её распределения – вектор равный по модулю ускорению свободного падения. Если принять оси х и у горизонтальными, а z направить вертикально вверх, то плотность распределения силы тяжести f g = (0,0,− g ) , где g = 9,81 м/с2 − ускорение свободного падения. При этом вес Fg объёма W равен:   (1.5.1) Fg = G = ∫ f g ρdW = ∫ (0,0,− g )ρdW =  0,0,− ∫ ρgdW  = (0,0,− ρgW ) . W W W   Физически поверхностные силы обусловлены силами ближнего взаимодействия молекул, расположенных по разные стороны от рассматриваемой поверхности, и переносом молекул сквозь эту поверхность в процессе их теплового движения. Характеристикой поверхностной силы является её распределения по поверхности, которое называется напряжением. Таким образом, напряжение есть сила отнесенная к единице F поверхности pn = lim очевидно, что оно вектор. Σ →0 Σ Напряжение. В сечении сплошной среды на произвольно ориентированной F площадке с нормалью n действует вектор напряжения pn = lim (рис.1.10). Его можно Σ →0 Σ разложить на две составляющие σ n нормальное напряжение и τ n - касательное напряжением на данной площадке. Если площадка лежит в плоскости нормальной оси координат, то напряжение определяется тремя величинами – проекциями на соответствующие оси (рис.1.11). Напряжения на площадках, нормальных осям, определяются зависимостью: p x = σ x i + τ xy j + τ xz k , p y = τ yx i + σ y j + τ yz k , p z = τ zx i + τ zy j + σ z k , рис.1.10 рис.1.11 Рассмотрим в сплошной среде элементарный объем ∆W (t ) - силовой тетраэдр (рис.1.12). Три грани которого ∆Σ x , ∆Σ y , ∆Σ z принадлежат координатным плоскостям, а четвертая ∆Σ n нормальна n . Напряжение 28 pn , действующее на ∆Σ n , может быть 29 охарактеризовано тремя проекциями pnx , pny и pnz на координатные оси х, у и z и зависит от направления площадки нормали к ∆Σ n . pn = p nx i + p ny j + pnz k . Первый индекс указывает на направление площадки, второй — на ось проектирования. Применим к ∆W (t ) второй закон Ньютона (сила = массе умноженной на ускорение): fρ∆W + p n ∆Σ n − p ∆Σ − p ∆Σ − p ∆Σ = aρ∆W . переходя к пределу ∆Σ n → 0 , с учетом ∆Σ y ∆Σ x ∆Σ z ∆W lim = 0, lim = cos(n, x), lim = cos(n, y ), lim = cos(n, z ) получим ∆Σ n →0 ∆Σ ∆Σ n →0 ∆Σ ∆Σ n →0 ∆Σ ∆Σ n →0 ∆Σ n n n n формулы Коши для напряжения на произвольно ориентированной площадке, проходящей через данную точку: p nx = σ x cos(n, x) + τ xy cos(n, y ) + τ xz cos(n, z ) = σ x n x + τ xy n y + τ xz n z , Разделим все на ∆Σ n и p ny = τ yx cos(n, x) + σ y cos(n, y ) + τ yz cos(n, z ) = τ yx n x + σ y n y + τ yz n z , (1.5.2) p nz = τ zx cos(n, x) + τ zy cos(n, y ) + σ z cos(n, z ) = τ zx n x + τ zy n y + σ z n z , Рис.1.12. Силовой тетраэдр Обратим внимание, что данное выражение есть произведение некоего объекта, задаваемого матрицей 3х3, на вектор единичной нормали. Данный объект называется тензором11 напряжений: σ x τ xy τ xz σ i , j = τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z σ 11 σ 12 σ 13 = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33 (1.5.3) Составляя три основных уравнения равновесия тетраэдра – три уравнения момента. Удобно делать это относительно осей, проходящих через центр масс – точку с 11 Более подробно о тензорах см. Приложение 1. 29 30 dx dy dz , , . В этом случае в уравнениях из 12 напряжений, будут 3 3 3 присутствовать, только по два касательных, а остальные будут либо параллельны выбранной оси, либо будут проходить через нее. В результате получаем τ xy = τ zy , координатами τ xz = τ yx , (1.5.4) τ yz = τ zx , эти равенства выражают закон взаимности касательных напряжений, а сам тензор напряжений является симметричным. Таким образом, напряженное состояние сплошной среды в любой точке однозначно определяется шестью величинами напряжений, которые и составляют симметричный тензор. Если грань тетраэдра совпадает с поверхностью твердого тела, то проекции вектора напряжений p nx , p ny , p nz совпадают с проекциями внешней нагрузки Fnx , Fny , Fnz Fnx = σ x cos(n, x ) + τ xy cos(n, y ) + τ xz cos(n, z ), Fny = τ yx cos(n, x ) + σ y cos(n, y ) + τ yz cos(n, z ), (1.5.5) Fnz = τ zx cos(n, x ) + τ zy cos(n, y ) + σ z cos(n, z ), Так как тензор напряжений симметричный, то всегда можно выбрать такую систему координат, в которой он будет иметь диагональный вид. Для этого необходимо решить характеристическое (вековое) уравнение: (σ x − σ n ),τ xy , τ xz τ yx . τ zx , (σ y − σ n ),τ yz τ zy , =0. (1.5.6) (σ z − σ n ) Решением характеристического уравнения являются три величины σ 1 , σ 2 , σ 3 , которые называются главными напряжениями, а направления нормалей к площадкам на которые они действуют – главными осями напряженного состояния системы. Рассмотрим бесконечно малый отрезок dS (рис.1.12) , проекции которого на оси декартовой системы координат dx, dy, dz . Пусть при деформации точка M смещается, причем проекции ее перемещения δ x , δ y , δ z (δ 1 , δ 2 , δ 3 ) . В теории упругости рассматриваются деформации и перемещения, т.е. такие величины, для которых их произведениями и квадратами можно пренебречь. Тогда проекции перемещение точки M’ будут: ∂δ ∂δ ∂δ δ i + dδ i = δ i + i dx + i dy + i dz, (1.5.7) ∂x ∂y ∂z i = 1,2,3. Проекции dS , в который переходит отрезок dS после деформации: dx ∗ = ( x + dx + δ x + dδ x ) − ( x + δ x ) = dx + dδ x , * ∂δ ∂δ  ∂δ  dx ∗ = 1 + x dx + x dy + x dz , ∂x  ∂y ∂z  ∂δ ∂δ y  ∂δ y  dy + y dz , dy ∗ = dx + 1 + ∂z ∂x ∂y   ∂δ ∂δ  ∂δ  dz ∗ = z dx + z dy + 1 + z dz , ∂x ∂y ∂z   2 ∗ 2 Вычисляя ( ds ) , ( ds ) и отбрасывая члены второго порядка, получим: 30 31 ( ds∗ ) 2 − ( ds) 2 = γ xx dx 2 + γ yy dy 2 + γ zz dz 2 + 2γ xy dxdy + 2γ yz dydz + 2γ zx dzdx , (1.5.8) ∂δ y ∂δ x ∂δ , γ xy = x + , ∂x ∂y ∂x ∂δ y ∂δ y ∂δ z =2 , γ yz = + , ∂y ∂z ∂y ∂δ ∂δ ∂δ = 2 z , γ zx = z + x , ∂z ∂x ∂z γ xx = 2 γ yy γ zz (1.5.9) Рис.1.13. Деформация линейного элемента Данные шесть величин полностью характеризуют деформационное состояние тела и составляют тензор деформации: γ xx , γ xy , γ xz γ 11 , γ 12 , γ 13 ε i , j = γ yx , γ yy , γ yz = γ 21 , γ 22 , γ 23 , γ 31 , γ 32 , γ 33 γ zx , γ zy , γ zz (1.5.10) Разберемся с физическим смыслом этих величин. Введем относительное удлинение отрезка ds ∗ − ds εs = , (1.5.11) ds Тогда для малых деформаций ( ds ∗ ) 2 − ( ds ) 2 = ( ds ∗ − ds )( ds ∗ + ds ) ≈ 2ε s ds 2 . (1.5.12) или в проекциях γ xx = 2ε x , γ yy = 2ε y , γ zz = 2ε z , (1.5.13) Таким образом, диагональные компоненты равны удвоенным относительным удлинениям бесконечно малых отрезков, которые до деформации были параллельны координатным осям. Рассмотрим, как изменяются углы при деформации. Возьмем плоскость 0zy (рис.1.13) и посмотрим как изменится первоначально прямой угол между отрезками dy и dz. Видно, что с точность до бесконечно малых второго порядка этот угол изменится на ∂δ y ∂δ z + то есть на γ yz . ∂z ∂y 31 32 Таким образом, недиагональные составляющие есть величина изменения первоначально прямого угла между соответствующими бесконечно малыми отрезками после деформации. Величины γ xy , γ yz , γ zx принято называть сдвигами. Приведем окончательный вид записи тензора деформаций: ε x , γ xy , γ xz ε 11 , ε 12 , ε 13 ε ij = γ yx , ε y , γ yz = ε 21 , ε 22 , ε 23 , ε 31 , ε 32 , ε 33 γ zx , γ zy , ε z (1.5.14) ∂δ i получим форму записи связи перемещений с ∂x j компонентами тензора деформаций (соотношения Коши): 1 ε ij = (uij + u ji ), (i, j = 1,2,3) . (1.5.15) 2 Если ввести обозначение u ij = Рис.1.14. Деформация сдвига Тензор деформации и тензор напряжения подобны, это позволяет выявить важные свойства деформированного состояния. Пусть в теле созданы напряжения пропорциональные деформациям, γ xx = kσ x , γ xy = kτ xy , γ yy = kσ y , γ yz = kτ yz , (1.5.16) γ zz = kσ z , γ zx = kτ zx , Было показано, что для каждой точки напряженного состояния существуют такие ориентации площадок, на которых реализуются главные напряжения. Тогда: γ 1 = kσ 1 , γ 12 = kτ 12 = 0, γ 2 = kσ 2 , γ 23 = kτ 23 = 0, γ 3 = kσ 3 , γ 31 = kτ 31 = 0, (1.5.17) Таким образом, в деформированном теле существуют три направления, сдвиги между которыми равны нулю. Прямые, проведенные по этим направлениям, называются главными осями деформируемого состояния в данной точке. Относительные удлинения по этим направлениям называются главными удлинениями: 1 εn = γ n. (1.5.18) 2 Выполнив замену в характеристическом уравнении, получим так же кубическое уравнение 32 33 ε n3 − I1ε n2 + I 2ε n − I 3 = 0, I1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 , I 2 = ε 1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε 1 , I 3 = ε 1ε 2ε 3 , (1.5.19) Коэффициенты I1 , I 2 , I 3 в вековом уравнении, определяемые формулами (1.5.19) называют инвариантами тензора деформаций. Связь между тензором напряжений и тензором деформаций, определяет физическую модель сплошной среды (ее реологию). В частности, для модели изотропных упругих тел, имеют место соотношения обобщенного закона Гука известные из курса сопротивления материалов. В принятых обозначениях компонентов тензоров напряжений и деформаций они следующие: 1 ε 11 = [σ 11 − ν (σ 22 + σ 33 )], E 1 ε 21 = [σ 22 − ν (σ 11 + σ 33 )], (1.5.20) E 1 ε 31 = [σ 33 − ν (σ 22 + σ 11 )], E σ 12 = 2Gε12 , σ 31 = 2Gε 31 , σ 23 = 2Gε 23 , Здесь Е и G — модули Юнга (модуль продольной упругости) и сдвига, ν коэффициент Пуассона. Они связаны известной зависимостью 2G = E /(1 + ν ) . В ходе решения задач теории упругости возникает необходимость в обратных соотношениях, когда напряжения выражены через деформации. В этом случае получаем σ ij = 2 µε ij + λθδ ij , (1.5.21) В случае текучих сред связь между тензорами напряжений и деформаций отсутствует. И в рассмотрение вводится тензор скоростей деформаций: dε ij εɺij = . (1.5.22) dt А модель сплошной среды определяется зависимостью между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций. Так для ньтоновских жидкостей используется соотношение, называемое обобщенный закон Ньютона: σ ij = − pδ ij + 2ηεɺij , i, j = 1,2,3, 1, i = j , 0, i ≠ j. Наиболее простой моделью является модель «идеальной» жидкости: σ ij = − pδ ij , i, j = 1,2,3, δ ij =  (1.5.23) (1.5.24) 1, i = j , 0, i ≠ j. Экспериментальные данные и общие физические представления показывают, что при больших температурах и давлениях любая среда практически обладает свойствами идеальной жидкости. δ ij =  1.6. Законы сохранения. В основу МСС положены три основных закона механики: закон сохранения массы; закон сохранения количества движения (импульса); 33 34 закон сохранения энергии. С первым из них законом сохранения массы мы уже познакомились. 1.6.1. Закон сохранения импульса. Сформулируем закон сохранения количества движения. Второй закон Ньютона гласит, что изменение количества движения жидкого объёма за единицу времени равно сумме всех приложенных к нему внешних (массовых и поверхностных) сил. Количество движения и силы − величины векторные, поэтому уравнение, выражающее этот закон, является векторным. Ему соответствует система трёх уравнений, связывающих проекции векторов на оси координат. Выделим в пространстве объём жидкости W (t ) и ограничим его контрольной поверхностью Σ(t ) . Бесконечно малый объём dW (t ) имеет массу ρdW (t ) и количество движения ρVdW (t ) . Количество движения всего объёма равно ∫ ρVdW . Изменение W (t ) количества движения при перемещении этого объёма за единицу времени составит d ρVdW (1.6.1) dt W∫( t ) Вектор внешних массовых сил, плотность распределения которых обозначим через f ( x, y , x ) , находим аналогично: на элементарный объём dW массой ρdW действует сила ρfdW , следовательно, внешняя массовая сила, действующая на весь объём W (t ) , равна ∫ ρfdW . (1.6.2) W (t ) Плотность распределения внешней поверхностной силы (напряжение) на контрольной поверхности Σ(t ) обозначим через pn , учитывая, что n − нормаль к Σ(t ) . Тогда на элементарную площадку dΣ действует сила pn dΣ , а на всю поверхность действует результирующая поверхностная сила (1.6.3) ∫ p n dΣ . Σ(t ) Приравняв изменение количества движения (1.6.1) сумме сил (1.6.2) и (1.6.3), получим уравнение, выражающее закон сохранения количества движения (импульса): d ρVdW = ∫ ρfdW + ∫ pn dΣ . (1.6.4) dt W∫( t ) W (t ) Σ(t ) Это векторное уравнение равносильно трём скалярным уравнениям, которое можно записать, проектируя все слагаемые на координатные оси х,у,z. Например, в проекции на ось х имеем d ρVx dW = ∫ ρf x dW + ∫ pn , x dΣ . (1.6.5) dt W∫( t ) W (t ) Σ(t ) 1.6.2. Закон сохранения момента количества движения. Выведем также закон сохранения момента количества движения, но отметим, что он является следствием законов сохранения массы (1.4.12) и импульса (1.6.4). Напомним определение момента. Момент вектора a (рис.1.11) относительно начала координат равен 34 35 Рис.1.15. Момент вектора a M0 = r ×a , (1.6.5) где r радиус−вектор, определяющий точку приложения вектора a . Вектор M 0 направлен по нормали к плоскости, определяемой векторами a и r , так, что, глядя с конца вектора M 0 , видим поворот от вектора r к вектору a , происходящим против часовой стрелки. Модуль вектора М0 равен M 0 = a ⋅ r sin(r , a ) . В матричной форме векторное произведение записывается в виде i j k M0 = x y z , ax a y az или y z z x x y  , (1.6.6) M 0 = ( M 0, x , M 0, y , M 0, z ) =  , ,  a y az a a ax a y  z x   т.е. проекции вектора M 0 на координатные оси численно равны записанным определителям. Запишем закон сохранения момента количества движения по аналогии с уравнением закона изменения количества движения. С этой целью каждый вектор уравнения (1.6.4) умножим на r (слева): d ρ ( r × V )dW = ∫ ρ ( r × f )dW + ∫ ( r × pn )dΣ . (1.6.7) dt W∫( t ) W (t ) Σ(t ) Полученное векторное уравнение эквивалентно трём скалярным уравнениям, которые можно выписать, проецируя слагаемые, входящие в уравнение (1.6.7), на координатные оси. Например, в проекции на ось z имеем d ρ ( xV y − yVx )dW = ∫ ρ ( xf y − yf x )dW + ∫ ( xpn , y − ypn , x )dΣ . (1.6.8) dt W∫ W Σ Интегральная форма уравнения (1.6.8) используется главным образом в гидромашиностроении при расчётах вращающихся рабочих колёс турбин и насосов. 1.6.3. Закон изменения кинетической энергии. Изменение кинетической энергии жидкого объёма за единицу времени равно мощности всех внешних и внутренних (поверхностных и массовых) сил, действующих на 35 36 этот объём жидкости. Кинетическая энергия бесконечно малого объёма dW жидкости ρV 2 равна dW , тогда кинетическая энергия объёма W (t ) будет равна: 2 K= ∫ ρV 2 2 W (t ) dW . (1.6.9) Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы и вектора скорости тела, на которое она действует. Например, на элементарный объём dW действует внешняя массовая сила с плотностью распределения f , величина этой силы равна ρfdW . Работа этой силы на перемещении dl равна ρ ( f ⋅ dl )dW = ρf ⋅ dl cos( f , l )dW . Мощность силы найдём как отношение совершаемой ею работы ко времени dt , за которое произойдёт перемещение объёма dW на расстояние dl . При этом скорость dl жидкого объёма dW равна V = . Следовательно, мощность внешней объёмной силы dt для элементарного объёма dW равна ρ V ⋅ f dW . Мощность этой силы при перемещении всего объёма W (t ) : ( ) ∫ ρ (V ⋅ f )dW . (1.6.10) W (t ) Рассуждая аналогично, найдём мощность внешних поверхностных сил, действующих на поверхность Σ(t ) , ограничивающую объём W (t ) : ∫ (V ⋅ p )dΣ , n (1.6.11) Σ(t ) где V − скорость жидкости на поверхности Σ(t ) в точке, где выделен элемент dΣ . Рассчитать работу внешних сил, как правило, не представляется возможным, так как она зависит от поля скорости внутри контрольного объёма, которое, вообще говоря, неизвестно. Поэтому введём функцию ε (x, y , z, t ) − плотность распределения мощности внутренних сил, т.е. работы, которая за единицу времени переходит в тепло и рассеивается (диссипирует) внутри объёма жидкости, имеющего единичную массу. Работа внутренних сил может только уменьшать кинетическую энергию, так как, переходя в энергию беспорядочного теплового движения молекул, соответствующая часть кинетической энергии объёма W (t ) уже не участвует в дальнейшем балансе механической энергии. Обычно мощность внутренних сил называют диссипированной, а функцию ε диссипативной. Уменьшение кинетической энергии объёма W (t ) за счёт работы внутренних сил представим в виде: − ∫ ρεdW . (1.6.12) W (t ) Знак минус вводится, чтобы функция ε(х,у,z,t) была всегда положительной. Приравнивая производную от кинетической энергии (1.6.9) сумме мощностей (1.6.10), (1.6.11) и (1.6.12), получаем уравнение, выражающее закон изменения кинетической энергии (баланс механической энергии): 36 37 ρV 2 d dW = ∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫ V ⋅ pn dΣ − ∫ ρεdW . dt W∫( t ) 2 W (t ) Σ(t ) W (t ) ( ) (1.6.13) Рассмотрим более общий случай. Пусть в контрольном объёме W (t ) , который ограничен контрольной поверхностью Σ(t ) , установлена турбина, которую вращает набегающий поток, отдавая ей мощность Ni (поток совершает работу Ni в единицу времени). Индекс i означает, что устройств, изменяющих механическую энергию потока, может быть несколько. Если вместо турбины установить насос, то соответствующая мощность насоса увеличит механическую энергию потока, так что знак Ni зависит от функции устройства внутри контрольного объёма. Запишем при этом уравнение, выражающее баланс механической энергии с учетом источников: ρV 2 d dW = ∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫ V ⋅ pn dΣ − ∫ ρεdW + ∑ N i . dt W∫( t ) 2 i W (t ) W (t ) Σ(t ) ( ) (1.6.14) 1.6.4. Закон изменения внутренней энергии. Рассмотрим баланс тепла в контрольном объёме. Пусть E − количество внутренней энергии жидкости (теплоты) внутри контрольного объёма, а e( r , t ) − плотность её распределения в пространстве, т.е. удельная внутренняя энергия жидкости (на единицу массы). Тогда Ee = ∫ ρe(r , t )dW . (1.6.15) W (t ) Перечислим основные причины изменения внутренней энергии в этом объеме: 1. наличие внутри объёма W (t ) источников (стоков) тепла с плотностью распределения qW (r , t ) (например, химическая реакция); 2. плотностью распределения тепла по поверхности Σ(t ) qΣ (r , t ) (поток тепла от более нагретого объема к менее нагретому); 3. плотность распределения мощности внутренних сил ε (r , t ) - уже известная нам диссипативная функция. Баланс тепла для жидкости, содержащейся в контрольном объёме: d ρe(r , t )dW = ∫ qW (r , t )dW + ∫ qΣ (r , t )dΣ + ∫ ρε (r , t )dW . dt W∫(t ) W (t ) Σ (t ) W (t ) (1.6.16) 1.6.5. Закон сохранения энергии. Складывая (1.6.13) и (1.6.16), получаем уравнение, выражающее общий закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды (6.6.4): ( )  V2  d dW = ∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫ V ⋅ pn dΣ + ∫ qW (r , t )dW + ∫ qΣ (r , t )dΣ + ∑ N i . ρ e + dt W∫( t )  2  i W (t ) Σ(t ) W (t ) Σ (t ) Как следует из полученного соотношения, работа внутренних сил ∫ ρεdW не W (t ) изменяет полную энергию системы жидких частиц: она уменьшает механическую энергию и увеличивает тепловую. Что является выражением второго закона термодинамики. 37 38 Для перехода к Эйлерову неподвижному объему W используется теорема о дифференцировании по времени функции, как интеграла по подвижному объему (1.4.10). d ∂A AdW = ∫∫∫ dW + ∫∫ AVn dΣ , ∫∫∫ dt W ( t ) ∂t W Σ (1.4.10) Окончательно для неподвижного контрольного объема законы сохранения примут вид: Закон сохранения массы: ∂ρ dW + ∫∫ ρVn dΣ = 0 , ∫∫∫ ∂t W Σ Закон сохранения импульса: ∂ρV dW + ∫∫ ρVVn dΣ = ∫∫∫ ρfdW + ∫∫ pn dΣ , ∫∫∫ ∂ t Σ Σ W W Закон сохранения энергии: ∂ρE dW + ∫∫ ρEVn dΣ = ∫∫∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫∫ V ⋅ pn dΣ + ∫∫∫ ∂t W Σ W Σ ( Σ ( (1.6.18) ) + ∫∫∫ qW (r , t )dW + ∫∫ qΣ (r , t )dΣ + ∑ N i , W (1.6.17) (1.6.19) i ) ρV ρV d dW + ∫∫ ρ Vn dΣ = ∫∫∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫∫ V ⋅ pn dΣ − ∫∫∫ ρεdW + ∑ N i . (1.6.20) ∫∫∫ dt W 2 2 i Σ W Σ W 2 где: E = e + 2 V2 - удельная полная энергия среды. 2 1.8. Система дифференциальных уравнений гидромеханики. В случае, если параметры потока не терпят разрыва, и могут быть описаны функциями непрерывными со своими производными, удобно использовать законы сохранения в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Для перехода к такой форме записи от интегральной, используют теорему Остроградского – Гаусса (1.4.7). Подобный подход был подробно рассмотрен при выводе уравнения неразрывности: ∂ρ ∂ρu x ∂ρu y ∂ρu z + + + = 0. (1.4.13) ∂t ∂x ∂y ∂z Привлекая формулы Коши (1.5.3) и применяя теорему Остроградского – Гаусса получим: ∂p y ∂p z   ∂p dW . divpn dW = ∫∫∫  x + + ∫∫Σ pn dΣ = ∫∫∫ ∂ x ∂ y ∂ z   W W Подставляя их в интегральную форму записи закона сохранения импульса (1.6.18) имеем:  ∂ρV   + ρVdivV dW = ∫∫∫ ( ρf + divpn )dW , (1.6.21) ∫∫∫ ∂t  W  W Учитывая, что объем W – произволен, получим векторное уравнение в частных производных – дифференциальную форму записи закона сохранения импульса, которую принято называть уравнениями движения сплошной среды в напряжениях: 38 39 ∂ρV + ρVdivV = ρf + divpn , ∂t расписывая по координатам: ∂u y ∂u z   ∂u ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz ∂ρu x  = ρf x + + ρu x  x + + + + , ∂t ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂ρu y ∂u y ∂u z  ∂τ ∂σ y ∂τ yz  ∂u  = ρf y + yx + + ρu y  x + + + , ∂t ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x ∂u y ∂u z  ∂τ  ∂u ∂ρu z ∂τ ∂σ zz  = ρf z + zx + zy + + ρu z  x + + . ∂t ∂y ∂z  ∂x ∂y ∂z  ∂x Компоненты тензора напряжений для случая ньтоновской жидкости (1.5.23): ∂u x 2 σ x = − p − η div V + 2η , 3 ∂x ∂u y 2 σ y = − p − η div V + 2η , 3 ∂y σ τ z xy 2 η div V + 2η 3 ∂u y  ∂u x = η  + ∂x  ∂y = −p− =τ yx ∂u z , ∂z   ,  (1.6.22) (1.6.23) (1.6.24) ∂u z   ∂u x =η + , ∂x   ∂z  ∂u y ∂u z   . τ yz = τ zy = η  + ∂ z ∂ x   Подставляя (1.6.24) в (1.6.23) и используя уравнение неразрывности (1.4.13), получим систему уравнений движения для вязкой сжимаемой жидкости, которая носит название системы уравнений Навье-Стокса: du ∂p ∂  ∂u  2 ∂ ρ x + ηdivV = ρf x + 2 η x  − ∂x ∂x  ∂x  3 ∂x dt τ xz =τ zx ( + ρ ) ∂   ∂u x ∂u y  ∂   ∂u x ∂u z   + η + +  , η  ∂y   ∂y ∂x  ∂z   ∂z ∂x  du y dt + ∂p ∂  ∂u yx = ρf y + 2 η ∂y ∂y  ∂y (  2 ∂  − ηdivV  3 ∂y ) (1.6.25) ∂u y  ∂   ∂u y ∂u z  ∂   ∂u  +  η   , + η  x + + ∂x   ∂y ∂x  ∂z   ∂z ∂x  ( ρ du z ∂p ∂  ∂u  2 ∂ ηdivV = ρf z + +2 η z  − + ∂z ∂z  ∂z  3 ∂z dt + ∂   ∂u x ∂u z η + ∂x   ∂z ∂x ∂   ∂u y ∂u z  +  + +  η  ∂y   ∂z ∂x  )  .  Повторяя процедуру перехода к интегралу по объему для закона сохранения энергии имеем: 39 40 ∫∫ ρEV dΣ = ∫∫∫ ρEdivVdW , n Σ W  ∂p ∫∫ (V ⋅ p )dΣ = ∫∫∫ V ⋅ div p dW = ∫∫∫ V ⋅  ∂x x n n Σ W W + ∂p y ∂y + ∂p z ∂z  dW ,  Используя эти соотношения, получим еще одну форму записи закона сохранения энергии:  ∂ρE  + ρEdivV dW = ∫∫∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫∫∫V ⋅ divpn dW +  ∫∫∫  W  ∂t W W + ∫∫∫ qW (r , t )dW + ∫∫ qΣ (r , t )dΣ + ∑ N i , Σ W i Для перехода к дифференциальной форме записи, необходимо ввести понятие вектора теплового потока: q (r ,t) = − λ ∇ T , (1.6.26) Вт где λ - коэффициент теплопроводности, [λ ] = ; T - абсолютная температура. м⋅К Знак минус показывает, что тепло передается от более нагретого тела к менее нагретому. Соответственно: q Σ ( r , t ) = q n ( r , t ) = − λ ∇T ⋅ n , ∫∫ q Σ Σ (r , t )dΣ = − ∫∫ λ∇T ⋅ n dΣ = − ∫∫∫ div(λ∇T )dW , Σ W  ∂ρE  + ρEdivV dW = ∫∫∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫∫∫V ⋅ divpn dW + ∂t  W W ∫∫∫ W (1.6.27) + ∫∫∫ qW (r , t )dW − ∫∫∫ div(λ∇T )dW + ∑ N i , W W i Или в дифференциальной форме без учета устройств, изменяющих механическую энергию потока, уравнение энергии для вязкой теплопроводной сплошной среды: ∂ρE + ρEdivV = ρ (V ⋅ f ) + V ⋅ divp n + qW (r , t ) − div(λ∇T ) . (1.6.28) ∂t В итоге, для описания движения вязкой сплошной сжимаемой среды может быть использована система дифференциальных уравнений в частных производных, состоящая из уравнения неразрывности (1.4.13), уравнений Навье-Стокса (1.6.25), уравнения энергии (1.6.28) и уравнения состояния среды. Для несжимаемой среды система имеет более простой вид. Уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости (1.4.4), уравнения Навье-Стокса и энергии существенно упрощаются, уравнение состояния становится не нужным: divV = 0, ρ ρ ∂u y  ∂   ∂u x ∂u z du x ∂p ∂  ∂u  ∂   ∂u  + η  + = ρf x + 2 η x  + η  x + + dt ∂x ∂x  ∂x  ∂y   ∂y ∂x  ∂z   ∂z ∂x du y dt + ∂p ∂  ∂u yx = ρf y + 2 η ∂y ∂y  ∂y   ,   ∂   ∂u x ∂u y  ∂   ∂u y ∂u z   + η   +  η  , (1.6.29) + + ∂x  ∂z   ∂z ∂x   ∂x   ∂y du z ∂p ∂u ∂  ∂u  ∂   ∂u + = ρf z + +2 η z  + η  x + z dt ∂z ∂z  ∂z  ∂x   ∂z ∂x ∂E ρ = ρ (V ⋅ f ) + V ⋅ divp n + qW (r , t ) − div(λ∇T ). ∂t ρ 40 ∂   ∂u y ∂u z  +  + +  η  ∂y   ∂z ∂x   .  41 Таким образом, нами получены уравнения позволяющие описать характеристики течения в произвольной замкнутой области пространства, на границах которой должны быть выставлены соответствующие граничные условия. На непроницаемых границах (твердых стенках) обычно задается условие прилипания (равенство нулю скорости потока). Для идеальной (невязкой) жидкости задается условие непротекания ( равенство нулю нормальной составляющей скорости). На проницаемых границах в зависимости от решаемой задачи могут быть заданы значения скорости (расхода), давления или других параметров. Для уравнения энергии на границах задают : значение температуры (граничное условие первого рода), значение теплового потока (граничное условие второго рода), их линейную комбинацию (граничное условие третьего рода). 1.9. Моделирование в гидравлике. Основы теории размерностей и подобия. π - теорема. Подобие физических явлений. Под математической моделью явления обычно понимают его описание с помощью уравнений с соответствующими начальными и граничными условиями. В предыдущем параграфе мы познакомились с математической моделью течения жидкости и газа. Для большинства явлений, встречающихся на практике и связанных с течением газов и жидкостей, решение таких моделей не может быть получено в виде аналитических зависимостей от исходных данных. Это обусловлено существенной нелинейностью данных процессов. В этих случаях приходится прибегать к их изучению на моделях. Такое моделирование принято разделять на физическое, аналоговое и численное моделирование. Под физическим моделированием обычно понимают экспериментальные исследования на лабораторных установках в условиях максимально приближенных к реальным. Примером таких установок являются аэродинамические трубы, гидробассейны, гидролотки и др. Создание модели самолета, корабля, плотины в натуральную величину требует больших затрат и не гарантирует положительного результата. Поэтому создают их копии, которые и испытывают. Снимая характеристики, корректируют исходные конструкции. Явление может быть исследовано и на моделях другой физической природы, если их математическое описание (системы уравнений, граничные и начальные условия) одинаково. Такое моделирование называется аналоговым. Например, диффузия и теплопроводность. Оба процесса описываются параболическим уравнением в частных производных второго порядка. Измерение концентрации затруднено, зачастую требуется отбор проб и их последующий физико-химический анализ. Измерение температуры существенно проще, часто достаточно поставить в нужную точку термопару. Часто удается собрать электронную схему явления. Так распределение тока в системе проводников, описывается системой уравнений Кирхгофа, так же как распределение потоков сплошной среды в системе трубопроводов. Ясно, что создание электронной схемы проще, чем трубопроводной. Если математические уравнения, описывающие процесс, известны, но не имеют аналитического решения, используют их численные модели, которые можно (не всегда) решить на электронных вычислительных машинах (компьютерах). В любом случае стоит вопрос о переносе полученных данных на реальный объект. Это возможно, если имеет место гидродинамическое (геометрическое, кинематическое и динамическое) подобие между объектом и моделью. Геометрически подобными называются объекты, для которых все соответствующие линейные размеры находятся в одинаковом соотношении: L αl = o , (1.7.1) LM 41 42 где α l - линейный масштабный коэффициент (линейный масштаб), индекс «о» соответствует натурному объекту, «М » - модельному объекту. Очевидно, что в этом случае все угловые значения одинаковы для объекта и модели. Кинематически подобными называются явления, для которых отношение скоростей и их направление одинаковы: V αV = o . (1.7.2) VM Соответственно, линейные ускорения, угловые скорости и ускорения, а также время прохождения частиц между двумя соответствующими точками так же находятся в одинаковых соотношениях: a ω t α a = o , α w = o , α t = o , αV = α Lα t−1 , α a = α Lα t−2 , (1.7.3) ωM aM tM Динамически подобными называются явления, для которых все силы, действующие на соответствующие частицы сплошной среды, и следовательно силы действующие на тела, имеют одинаковое отношение и направление: F α F = o = α ρα L4α t− 2 = α ρα L2αV2 . (1.7.4) FM Здесь α ρ - линейный масштаб плотности, для жидкости α ρ = 1 . Критерием подобия называется безразмерный комплекс, состоящий из размерных величин, определяющий рассматриваемое физическое явление. Преобразуем (1.7.4) заменив масштабные коэффициенты их выражениями через размерные параметры: F ρ L2 V 2 α Fα ρ−1α L− 2αV− 2 = o M M2 M2 = 1 . FM ρ o Lo Vo Или в другом виде: FM Fo Ne = = = idem . (1.7.5) 2 2 ρ M LM VM ρo L2oVo2 Здесь Ne - носит название критерия Ньютона, ( idem (лат.) – «то же самое»). Таким образом, для полного динамического подобия двух гидродинамических потоков требуется равенство критериев Ньютона для них. При физическом моделировании обычно не удается добиться полного динамического подобия (в силу различной физической природы сил действующих в сплошной среде), в этом случае выделяют одну главную (определяющую) силу и пренебрегают действием остальных. Такое подобие называется частичным динамическим подобием. Если в качестве таковой выбрана сила тяжести, то используется критерий Фруда: V2 V2 Fr = M = o = idem . (1.7.6) g M LM g o Lo Если определяющими являются силы инерции, то применяют критерий Рейнольдса: ρ V L ρ V L Re = M M M = M o o = idem . (1.7.7) µM µo В случае если течение определяется силами давления, применим критерий Эйлера: ρ V2 ρ V2 Er = M M = o o = idem . (1.7.8) pM po Для сил поверхностного натяжения – критерий Вебера: ρ V2L ρ V 2L We = M M M = o o o = idem . (1.7.9) σM σo 42 43 Рассмотрим вопрос о количестве критериев необходимых для полного подобия. Теория подобия основывается на том положении, что никакие реальные закономерности не могут зависеть от выбора системы единиц измерения. Все физические величины делятся на размерные и безразмерные. Из размерных величин можно выделить основные, независимые друг между собой, и производные, которые могут быть выражены через основные величины. В механике за основные величины принимают длину L , массу M , время T . Размерность производной величины ML кг ⋅ м обозначается квадратными скобками. Так размерность силы [F ] = 2 = 2 = н . T с Моделирование явления требует предварительного анализа размерностей, в процессе которого размерные параметры, определяющие процесс, сводятся к набору безразмерных комплексов. Этот анализ может быть облегчен с помощью π - теоремы. Любая функциональная зависимость между m - размерными величинами может быть представлена в виде другой зависимости между m − n безразмерными комплексами, где n - число основных размерных величин. Как мы уже отметили для механики и следовательно для гидравлики n =3. Пусть некоторое явление описывается размерной зависимостью: ϕ r (a1 , a2 ,..., am ) = 0 , (1.7.10) В соответствии с π - теоремой она может быть заменена на другую зависимость: ϕb (π 1 , π 2 ,..., π m − n ) = 0 , (1.7.11) где π 1 , π 2 ,..., π m−n - безразмерные комплексы, составленные из размерных параметров a1 , a2 ,..., am . Каждый комплекс представляет собой произведение из n + 1 размерных параметров, возведенных в некоторую степень, которые заранее неизвестны: π 1 = a1x1 a2y1 a3z1 a4 , π 2 = a1x a2y a3z a5 , 2 2 2 (1.7.12) ... π m − n = a1x a2y a3z am . m−n m−n m−n Поскольку комплексы π безразмерные можно записать: [π i ] = M 0 L0T 0 = [a]1xi [a]2yi [a]3zi [a]i + 3 . (1.7.13) Рассмотрим в качестве примера процесс обтекания твердого тела жидкость. На тело действует сила F , величина которой зависит от скорости набегающего потока V , плотности жидкости ρ , ее динамической вязкости η , и характерного размера L , тогда зависимость: ϕ r ( F ,V , ρ ,η , L) = 0 , (1.7.14) может быть заменена на следующую зависимость от безразмерных критериев: ϕb (π 1 , π 2 ) = 0 . (1.7.15) Выберем в качестве первых n = 3 сомножителей L,V , ρ , тогда: π 1 = Lx1 ρ y1V z1 F , π 2 = Lx ρ y V z η , 2 2 2 Учитывая размерность определяющих явление величин: [F ] = MLT −2 , [V ] = LT −1, [ρ ] = ML−3 , [η ] = ML−1T −1, [L] = L , получим: M 0 L0T 0 = M x1 + y1 − 3 z1 +1L− y1 − 2T z1 +1 , M 0 L0T 0 = M x 2 + y 2 − 3 z 2 −1L− y 2 −1T z 2 +1. Откуда вытекают две системы линейных уравнений: 43 44 x1 + y1 − 3 z1 + 1 = 0, − y1 − 2 = 0, z1 + 1 = 0, x2 + y2 − 3 z2 − 1 = 0, − y2 − 1 = 0, Решением которых Следовательно: z2 + 1 = 0, будет: x1 = −2, y1 = −2, z1 = −1, x2 = −1, y2 = 2, z2 = −1 . F η 1 , π2 = = . 2 2 ρV L ρVL Re Ясно, что сила воздействия на тело жидкости (сила сопротивления) будет:  1  (1.7.16) F = ρV 2 L2 f   .  Re  Тот же результат можно представить и в безразмерном виде вводя характерную площадь тела (площадь миделя) Σ m = L2 и коэффициент сопротивления тела π1 = c f = 2F Σ m ρV 2 :  1  (1.7.17) cf = f   .  Re  Так для обтекания вязкой ньютоновской жидкостью шара, для малых значений чисел Рейнольдса, Стоксом было получена аналитическая зависимость: 2F 24 cf = 2 2 = . (1.7.18) πr ρV Re 2.Гидростатика. Гидростатика - раздел гидравлики изучающий равновесие жидкости. 2.1. Равновесие жидкости. Уравнение равновесия. Если сплошная среда неподвижна ( V = 0 ) в некоторой инерциальной системе координат, то говорят, что она находится в равновесии. Рассмотрим уравнение движения (1.6.22) полагая, что среда несжимаемая ( ρ = const ) и находится в состоянии равновесия. Согласно закону Ньютона (1.3.6) касательные напряжения в этом случае равны нулю, а нормальные напряжения подчиняются зависимости (1.2.8), тогда: ∂p ρf x = , ∂x ∂p ρf y = , (2.1.1) ∂y ∂p ρf z = . ∂z Система (2.1.1) называется системой дифференциальных уравнений равновесия сплошной среды Эйлера. А p - гидростатическим давлением. Умножая уравнения на dx, dy, dz соответственно, и складывая их, в соответствии с определением полного дифференциала получим зависимость: (2.1.2) dp = ρ ( f x dx + f y dy + f z dz ) . 44 45 Данная зависимость называется основным дифференциальным уравнением равновесия жидкости. Пусть на жидкость действует только сила тяжести, не нарушая общности, направим ее обратно оси z , а начало системы координат поместим на дно водоема. Тогда: f x = 0, f y = 0, f z = − g . А основное уравнение равновесия жидкости (2.1.2) принимает вид: dp = − ρgdz . (2.1.3) Будем понимать под поверхностью уровня – поверхность, на которой значение некой функции постоянно. Пусть в нашем случае это будет давление, тогда поверхность уровня – поверхность равного значения давления. Проинтегрируем (2.1.3) dp = 0 = − ρgdz = 0, ρg ≠ 0, ⇒ dz = 0, ⇒ z = C = const. (2.1.4) Следовательно, поверхности уровня – есть семейство плоскостей нормальных направлению силы тяжести. Если поверхность соприкасается с атмосферой и давление на ней равно атмосферному ( pa ), то условимся называть такую поверхность свободной. Плоскость нормальную оси z и проходящую через самую глубокую точку водоема (давление на которой максимально) называют плоскостью сравнения. Рис.2.1. Геометрическая интерпретация основного уравнения гидростатики Запишем (2.1.3) в виде: dp + dz = 0 . ρg (2.1.5) Пусть на некой поверхности: z = z 0 , p = p0 . (2.1.6) Часто за таковую выбирают свободную поверхность. Интегрирование (2.1.5) при граничных условиях (2.1.6) дает распределение гидростатического давления по глубине: p p + z = 0 + z0 . (2.1.7) ρg ρg 45 46 Данное уравнение называется основным уравнением гидростатики (первая форма записи). Заметим, что каждый член уравнения имеет размерность длины. Это позволяет ввести величину H называемую гидростатическим (потенциальным) напором, постоянную для каждого конкретного водоема: p p H= + z = 0 + z0 . ρg ρg Если данное уравнение умножить на 1 Н, то все его члены будут иметь размерность в единицах энергии Дж = Н·м. А каждое слагаемое представляет собой вид потенциальной энергии, так как жидкость находится в покое: z - удельная потенциальная энергия p положения, - удельная потенциальная энергия давления, H - полная удельная ρg потенциальная энергия. Удельная означает в данном случае приходящаяся на единицу веса жидкости 1 Н. Определение величины гидростатического давления. Перепишем (2.1.7) в виде: p = p0 + ρg ( z0 − z ) = p0 + ρgh . (2.1.8) Здесь h - расстояние (по вертикали) от поверхности жидкости до любой произвольной точки внутри, а (2.1.8) также называется основным уравнением гидростатики (вторая форма записи) и позволяет определить величину гидростатического давления в любой точке жидкости. Здесь, p - «абсолютное» (полное) давление (величина p всегда положительна p > 0 ); p0 - внешнее давление (на поверхности жидкости); pвес = ρgh - весовое давление. Тогда: p = p0 + pвес . Закон Паскаля. Внешнее давление на свободной поверхности жидкости, находящейся в равновесии, передается во все точки жидкости без изменения по всем направлениям. Математическая запись закона Паскаля приведена была приведена ранее (1.2.8). 2.2. Абсолютное, избыточное давление. Вакуум. Согласно (2.1.8) возможны три случая действия внешнего давления: p0 > p a , p0 = p a , p0 < p a . 1. p0 > pa . На рис.2.2. изображен закрытый резервуар, с жидкостью на свободной поверхности которой, создано давление p0 > pa . Сбоку находится стеклянная трубка с открытым верхом для измерения, которая называется пьезометром. Жидкость в пьезометре поднимается на высоту hп , на поверхности жидкости давление равно атмосферному pa . Согласно (2.1.8) на уровне соответствующему штриховой линии p = p0 + ρgh = pa + ρghп , hп - пьезометрическая высота, pизб = ρghп - избыточное давление, а H п = hп + z пьезометрический напор. 46 47 В данном случае pизб = ρghп положительная величина, которая имеет специальное название – манометрическое давление. p м = pизб = ρghп = p − pa . (2.2.1) Мы можем сделать важный вывод, что давление можно измерять и высотой столба жидкости. p hп = м . (2.2.2) ρg Рис.2.2. Закрытый резервуар. Случай p0 > p a 2. p0 = pa Если откачивать газ из сосуда, то давление и следовательно пьезометрическая высота будут уменьшаться и в момент, когда давление сравняется с атмосферным, пьезометрическая высота станет равной глубине. Аналогичного результата можно достичь сделав сосуд открытым. Данная ситуация приведена на рис.2.3. Отметим, что в этом случае p м = pизб = pвес = ρgh. . Рис.2.3. Закрытый резервуар. Случай p0 = pa 47 48 Рис.2.4. Закрытый резервуар. Случай p0 < p a 3. p0 < pa . Понижая давление в баке ниже атмосферного видим, что пьезометрическая высота становится меньше глубины. Так как возможен случай, когда уровни жидкости в баке и трубке могут быть ниже отверстия бака, то обычно используется обратный пьезометр (вакуумметр) рис.2.4. Из рисунка видно, что весовое давление будет меньше pa − p0 . В этом случае говорят, что в баке имеет место вакуум – недостаток давления в данной точке ниже атмосферного. Введем понятие вакуумметрической высоты: p − p pвак hв = a = . (2.2.3) ρg ρg кг Отметим, что плотность воды 1000 , а м3 м м g = 9,8 2 ≈ 10 2 , поэтому pmax, вак ≈ 10 м с с водяного столба. Таким образом, максимальная высота на которую можно поднять воду всасывающим насосом примерно равна 10 м. Для измерения используется так же и другой тип вакуумметр (рис.2.5.). Рис.2.5. Вакуумметр 2.3. Сила давления жидкости на плоскую поверхность. Центр давления. Гидростатический парадокс. Давление жидкости на криволинейные поверхности. На практике часто требуется знать силы, действующие на те или иные гидротехнические конструкции и сооружения. Для наглядности такие нагрузки принято изображать в виде эпюр гидростатического давления – графического распределения давления вдоль поверхности (рис.2.6). 48 49 Рис.2.6. Пример построения эпюр давления Сила давления на плоскую поверхность. Рассмотрим произвольную площадку Σ , расположенную на плоскости z0 x , имеющую наклон α градусов к плоскости свободной поверхности (рис.2.7). Над поверхностью находится жидкость с плотностью ρ . Рис.2.7. К определению силы давления на плоскую поверхность Для удобства изложения развернем плоскость вокруг оси 0 z и совместим ее с плоскостью рисунка. Рассмотрим элементарную площадку dΣ на плоскости z0 x и принадлежащую поверхности Σ , в окрестности точки A , находящейся на глубине h . Сила избыточного давления на dΣ будет равна dF = pdΣ . Здесь p - среднее значение давления на dΣ . Так как, dΣ - мало, то можно принять p = ρgh . Следовательно dF = ρghdΣ , а суммарное давление на площадку Σ равное искомой силе F : F = ∫ dF = ∫ ρghdΣ . Учтем, что h = z sin α , тогда: Σ Σ F = ρg sin α ∫ zdΣ . Σ Из теоретической механики известно, что ∫ zdΣ - статический момент площади Σ , Σ относительно оси 0 x , который равен произведению площади Σ на плечо, равное расстоянию от оси 0 x до центра тяжести C площади Σ : ∫ zdΣ = zC Σ , Σ F = ρg sin αz C Σ = ρghC Σ . (2.3.1) Таким образом, сила избыточного давления на любую площадку равна произведению гидростатического давления в центре тяжести площадки на ее площадь. 49 50 Соответственно сила абсолютного давления на площадку: Fa = ( p a + ρghC )Σ , где hC - глубина центра тяжести. Центр давления – точка приложения результирующей силы давления жидкости. Обозначим эту точку буквой D . Согласно теоретической механике момент равнодействующей силы относительно оси равен сумме моментов сил ее составляющих. Выберем за таковую ось 0 x . В нашем случае: F ⋅ z D = ∫ zdF = ∫ zρghdΣ = ∫ zρgz sin αdΣ = ρg sin α ∫ z 2 dΣ = ρg sin αJ ox . Σ Σ Σ Σ Здесь J ox = ∫ z dΣ - момент инерции площади Σ относительно оси 0 x . Следовательно: 2 Σ zD = С учетом (2.3.1) имеем: zD = ρg sin αJ ox F ρg sin αJ ox F = . J ρg sin αJ ox = ox . ρg sin αzC Σ zC Σ (2.3.2) Из теоретической механики известно: J ox = J C + ΣzC2 . Здесь J C - момент инерции относительно оси, проходящий через центр масс и параллельной оси 0 x . Окончательно получим: J J + ΣzC2 J z D = ox = C = zC + C . (2.3.3) zC Σ zC Σ zC Σ Следовательно, центр давления всегда расположен ниже центра масс, или совпадает с ним если площадка горизонтальная. Для простых геометрических фигур J C могут быть вычислены по формулам. Для прямоугольника, сторона основания которого параллельна оси 0 x и равна b , а высота h : bh 3 JC = . 12 Для равнобедренного треугольника: bh 3 JC = . 36 Для круга диаметром d : πd 4 JC = 64 Координата x D для симметричных фигур совпадает с координатой центра масс xC , которая принадлежит оси симметрии. В случае отсутствия симметрии координата, определяется аналогично координате z D , но в этом случае рассматриваются моменты относительно оси 0 z . Гидростатический парадокс. Рассмотрим сосуды различной формы, но имеющими одинаковую площадь основания Σ (рис.2.8). Несмотря различный вес жидкости в сосудах, сила действующая на их дно будет одинаковая. 50 51 Рис.2.8. Гидростатический парадокс Сила давления жидкости на криволинейные поверхности. Рассмотрим криволинейную поверхность Σ , находящуюся на некоторой глубине. Поместим систему координат на свободной поверхности, направив ось 0 z вниз перпендикулярно поверхности. Выделим в жидкости цилиндр, так чтобы его боковая поверхность была параллельна оси 0 z , и проходила по границе поверхности на дне, до пересечения со свободной поверхностью, такой выделенный объем называют телом давления (рис.2.9). Пусть n - внешняя нормаль к поверхности Σ , тогда на элемент поверхности dΣ будет действовать сила, имеющая проекции ( pn x dΣ, pn y dΣ, pn z dΣ) . Интегрируя по поверхности, и учитывая зависимость избыточного давления от глубины p = p ( z ) = ρgz , получим: Rx = − ρg ∫ znx dΣ, Σ R y = − ρg ∫ zn y dΣ, Σ Rz = − ρg ∫ zn z dΣ. Σ Рис.2.9. К определению силы действующей на криволинейную поверхность Для вертикальной составляющей можно использовать и более простой способ вычисления. Условия равновесия жидкого цилиндра можно записать в виде: ∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ Fz = 0, Здесь Fx , Fy , Fz - проекции сил действующих на жидкий цилиндр. Рассмотрим проекцию на ось 0 z . Сила веса жидкости G в теле давления - цилиндре, нижняя 51 52 поверхность которого совпадает с поверхностью Σ , а боковая поверхность достроена вертикально до пересечения со свободной поверхностью, приложенная к его центру масс должна уравновешиваться проекцией на z реакции поверхности на цилиндр. Следовательно, вертикальная составляющая силы давления – вес тела давления: Rz = G = ρgW . (2.2.4) Очевидно, что если поверхность, примыкает в телу давления с несмачиваемой стороны, то W в (2.2.4) надо брать со знаком минус. Спроектируем поверхность Σ на плоскость 0 xz - Σ y и плоскость 0 yz - Σ x , при этом необходимо учитывать знак проекции. Условимся считать проекцию положительной, если n - внешняя нормаль к поверхности Σ направлена на соответствующую плоскость, и отрицательной если n направлена от плоскости. Так, например, для поверхностей вращения вокруг оси параллельной 0 z , проекции Σ y и Σ x равны 0, так как равны сумме положительной и отрицательной площадей, равных по модулю. Таким образом, проекции силы действующей на криволинейную поверхность на оси x, y : R x = ρghc Σ x , (2.2.5) R y = ρghc Σ y . Здесь hc - глубина на которой находится центр масс соответствующей проекции поверхности Σ . Определение толщины стенок цилиндрических резервуаров и труб. Рассмотрим действие избыточного давления жидкости на трубу круглого поперечного сечения длиной L (рис.2.10). Проекция силы Fx согласно (2.2.5) есть: Fx = pΣ x = pLd . Данная сила уравновешивается упругими силами растяжения. Растягивающее напряжение можно определить разделив данную силу на площадь стенки трубы: Рис.2.10. Сечение трубы F pd . σ= x = 2δL 2δ Зная [σ ] - допустимое напряжение материала трубы, можно вычислить толщину pd стенок трубы δ ≥ . Аналогичным образом можно получить формулу для 2[σ ] pd сферического бака δ ≥ . 4[σ ] 2.4. Приборы для измерения давления. Обычно их классифицируют по виду измеряемого давления: 1. Барометры - приборы для измерения атмосферного давления; 2. Манометры и вакуумметры – приборы для измерения избыточного давления; 3. Дифференциальные манометры – приборы для измерения разности давлений; 4. Манометры абсолютного давления – приборы для измерения абсолютного давления; 5. Микроманометры – приборы для измерения малого избыточного давления; 6. Датчики давления – приборы для измерения больших перепадов давлений, происходящих за короткое время (обычно используют пьезоэфект). 52 53 По принципу действия различают: 1. Жидкостные; 2. Пружинные; 3. Электрические; 4. Комбинированные. Жидкостные – пьезометры и вакуумметры, дифференциальные манометры используют гидростатический принцип, когда давление уравновешивается столбом жидкости, высота которого и является измеряемой величиной. Для этого трубки градуируются, либо за ними помещается измерительная шкала. Пьезометры – прямые и U образные прозрачные трубки, подведенные к месту измерения давления. Такие приборы показаны на рис.2.2, 2.3. Обычно в них используется вода, поэтому диапазон их измерения 1-15 кПа. Вакуумметры – показаны на рис.2.4, 2.5, там же объяснен принцип их действия. Жидкостные дифференциальные манометры – позволяют измерять разность давлений, например в двух сечениях трубы (рис.2.11). Рис.2.11. Жидкостный дифференциальный манометр На свободные поверхности в пьезометрах действует давление p0 , то высота в трубках пьезометров не лимитируется давлением в трубе, в случае перелива достаточно увеличить давление p0 . Для нахождения перепада давлений достаточно измерить разность уровней h . В самом деле: ∆p1 = p1 − p0 = ρgh1 , ∆p2 = p2 − p0 = ρgh2 , ∆p1 ∆p2 = = h1 − h2 = h, ⇒ ∆p = p1 − p2 = ρgh. ρg ρg Дифференциальный манометр может также использоваться и для измерения перепада давлений в разных трубах. На рис.2.12 приведен U – образный жидкостной дифференциальный манометр, подсоединенный к двум трубопроводам. 53 54 Рис.2.12. U – образный жидкостной дифференциальный манометр Трубка залита жидкостью плотность ρ m , тогда pm,1 = p1 + ρgh1 , pm , 2 = p2 + ρgh2 , pm,1 − pm, 2 = p1 + ρgh1 − ( p2 + ρgh2 ) = ρ m gh, p1 − p2 = ρ m gh − ρg (h1 − h2 , ), h1 = h + h2 + ∆z , ρ  p1 − p2 = ρgh m − 1 − ρg∆z.  ρ  Пружинные манометры обычно используются для измерения больших давлений. На рис.2.13 приведена схема пружинного манометра с одновитковой трубкой-пружиной (трубкой Бурдона). Он состоит из полой скругленной трубки (1), подсоединенной к приемнику давления (4). Трубка связана передаточным механизмом (2) со стрелкой (3). Полая трубка, обычно прямоугольная в разрезе, играет роль пружины, распрямляющейся при увеличении давления среды в ней. Данный эффект вызван разницей площадей на внутренней поверхности трубке. Площадь, обозначенная цифрой 5, меньше площади – 6. Следовательно, и силы создаваемые Рис.2.13. Схема пружинного манометра давлением среды на эти поверхности разные. Результирующая сила приводит к разгибанию (сжатию) трубки-пружины, если давление в коробке манометра меньше (больше) давления в приемнике. В последнем случае 54 55 манометр действует как пружинный вакуумметр. Конструкция пружинного может отличаться формой трубки (много витковые), передаточным механизмом, видом шкалы (в последнее время распространены манометры с цифровой электронной индикацией). 2.5. Условия плавания тел. Закон Архимеда. Рис.2.1.4. Силы, действующие на плавающее тело Рассмотрим равновесие неподвижного тела весом G , частично погруженное в жидкость (рис.2.1.4). Горизонтальные проекции силы уравновешены, так как проекции погруженной поверхности Σ sq на оси x , y равны 0. Каждая из них состоит из двух проекций, одинаковой площади, но имеющих разные знаки. Вертикальная проекция Rz уравновешивающая G равна весу тела давления, объем которого Wb совпадает с объемом погруженной частью плавающего тела: Rz = G = Fa = ρgWb . (2.2.6) Данная формула выражает закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости в объеме погруженной части тела. Силу Rz = Fa принято называть Архимедовой или подъемной силой, а тело для которого G = Fa - плавающим. Соответственно если G > Fa тело тонет, а G < Fa всплывает. 3. Гидромеханика. 3.1. Одномерные установившиеся течения вязкой жидкости. Основные понятия. Под одномерными течениями понимают такие потоки, в которых все гидродинамические параметры зависят от одной геометрической координаты. Установившимися (стационарными) называются потоки, параметры которых не зависят ∂  от времени  = 0  . Потоки жидкости, для которых линии тока представляют собой  ∂t  параллельные прямые, будем называть равномерным, или параллельно-струйным. 55 56 Для вязких сред на твердых поверхностях, которые ограничивают поток, выполняется условие прилипания, т.е. на них скорость жидкости Vw = 0 (равны нулю нормальная и касательная к поверхности составляющие вектора скорости). Поперечное сечение потока, ортогональное линиям тока, называют живым сечением. При равномерном движении жидкости живое сечение плоское. Благодаря этому, в частности, исключается необходимость исследовать поле скорости и появляется возможность оперировать средним по сечению значением скорости u . В частности для круглых труб: ∫ V dΣ rw n u= Σ = 2π ∫ rVx (r )dr , (3.1.1) Σ πrw2 где rw - радиус трубы, r, x - координаты цилиндрической системы координат. Для таких потоков вектор скорости V (как и линия тока) перпендикулярен к живому сечению и проекция скорости на нормаль к этому сечению Vn равна модулю скорости: Vn = V = u . (3.1.2) При равномерном движении справедливы два следующих утверждения: 1. Нормальное напряжение p n ,n в каждой точке живого сечения равно гидростатическому давлению р в этой точке со знаком минус (так как положительным считается растягивающее нормальное напряжение): pn , n = − p . 2. Давление р в живом сечении распределено по гидростатическому закону: ρU − p = const , • • (3.1.3) (3.1.4.) где U − потенциал внешней массовой силы; ρ − плотность жидкости. При неравномерном движении жидкости, когда линии тока непараллельны и (или) криволинейны, различают: плавноизменяющееся движение, при котором можно пренебречь кривизной линий тока и их непараллельностью и с достаточной для практических целей точностью построить плоское живое сечение, допуская, что в нем выполняются условия (3.1.2-4); резкоизменяющееся движение, при котором нельзя использовать указанные условия. Для иллюстрации рассмотрим течение в трубопроводе, представленное на рис.3.1. 56 57 Рис.3.1. Равномерное, плавноизменяющееся и резкоизменяющееся движение жидкости в трубопроводе На длинных цилиндрических участках I и VII движение равномерное, линии тока параллельны образующим стенок трубы. На криволинейном участке III движение резкоизменяющееся, здесь хотя и можно построить плоские живые сечения, но в них не будут выполняться условия (3.1.3) и (3.1.3).В частности, вследствие действия центробежных сил, обусловленных кривизной линий тока, давление в плоских живых сечениях не будет распределено по гидростатическому закону (3.1.4). На участке V движение резкоизменяющееся; здесь живое сечение (ортогональное линиям тока) сильно искривлено, так что даже вычисление его площади является непростой задачей, кроме того, вследствие значительной кривизны линий тока в этих сечениях не выполняются условия (3.1.3) и (3.1.4). На участках II, IV и VI движение неравномерное, но в пределах этих участков можно с достаточной точностью и построить плоское живое сечение, и допустить выполнение равенств (3.1.3) и (3.1.4). Задачи механики жидкости и газа, основанные на использовании приведенных выше понятий (плоское живое сечение, равномерное и плавно-изменяющееся движение и др.), называются одномерными. Если поток со всех сторон ограничен твердыми стенками, то он называется напорным (например, поток воды в водопроводных трубах). Если только часть потока ограничена твердыми стенками, а на остальной части жидкость граничит с газом (в частности, с атмосферой), т.е. ограничена свободной поверхностью, то такое движение называется безнапорным (например, потоки в реках, каналах). Если же поток не ограничен твердой поверхностью, то он называется струйным, или просто струей. Струи могут быть затопленными (жидкость истекает в жидкость, газ - в газ) или свободными (жидкость истекает в газ). 3.2. Уравнение Бернулли для установившегося напорного потока вязкой жидкости Рассмотрим установившееся движение в трубопроводе, для которого справедливы предположения об одномерности течения. Для этого выделим в трубопроводе (рис. 3.2) сечениями 1−1 и 2−2, в которых движение равномерное, контрольный объем W , ограниченный контрольной поверхностью Σ = Σ1 + Σ бок + Σ 2 , которая показана на рисунке 57 58 штриховой линией. Запишем для выделенного объема W закон изменения кинетической энергии (1.6.20): ( ) ρV 2 ρV 2 ∂ dW + ∫∫ Vn dΣ = ∫∫∫ ρ (V ⋅ f )dW + ∫∫ V ⋅ pn dΣ − ∫∫∫ ρεdW . ∂t ∫∫∫ 2 2 W Σ W Σ W (3.2.1) Рис.3.2. К выводу уравнения Бернулли для одномерных напорных потоков ∂ = 0. ∂t Второе слагаемое - второе слагаемое представляет собой поток кинетической энергии через контрольную поверхность Σ = Σ1 + Σ бок + Σ 2 . Следовательно: Первое слагаемое равно нулю, так как движение жидкости установившееся ∫ Σ ρV 2 2 ∫ Vn dΣ = Σ1 ρV 2 2 Vn dΣ + ρV 2 ∫ 2 Σ бок Vn dΣ + ∫ ρV 2 2 Σ2 Vn dΣ Рассмотрим граничные условия на Σ , учитывая одномерность потока во входном и выходном сечениях: на Σ1 : V = u1 ; Vn = −u1 ;   на Σ 2 : V = u 2 ; V n = u 2 ; на Σ бок : V = 0; Vn = 0.  (3.2.2) Тогда: ∫ Σ ρV 2 2 V n dΣ = α 1 ∫ Σ1 = −α 1 ∫ Σ1 ρu13 2 ρu12 2 dΣ + α 2 ∫ Σ2 (− u1 )dΣ + ∫ Σ бок ρu 23 2 dΣ = − ρ02 2 0 dΣ + α 2 ∫ α 1 ρu13 Σ1 2 ρu 22 Σ2 + α 2 ρu 23 Σ 2 2 2 u 2 dΣ = =− α 1 ρu12 Q Здесь Q = ∫ udΣ = u1Σ1 = ∫ udΣ = u 2 Σ 2 - объемный расход, Σ1 2 + α 2 ρu 22 Q 2 . а величина α носит Σ2 название коэффициента Кориолиса. Поясним его физический смысл для труб круглого 58 59 сечения. Переход к одномерной модели подразумевает замену реального распределения скорости по радиусу сечения канала V (r ) на ее среднее значение. Однако использование средней скорости u для вычисления потока кинетической энергии не дает правильного его значения. Чтобы исправить это обстоятельство и вводится поправочный коэффициент Кориолиса: ρV 2 (r )Vn (r )dΣ ∫ 3 2 αρ u Σ ρV (r ) =∫ Vn (r )dΣ, ⇒ α = Σ . 2 2 ρu 3 Σ Σ Таким образом, коэффициент Кориолиса есть отношение реального потока кинетической энергии к потоку вычисленному через среднюю скорость. Более подробно физический смысл членов уравнения Бернулли поддет изложении в следующем параграфе. Рассмотрим далее члены в правой части уравнения (3.2.1), начнем со слагаемого, выражающего мощность внешней массовой силы. Предположим, что внешняя массовая сила имеет потенциал, т.е. существует такая скалярная функция U , для которой f = ∇U = grad (U ) . Ограничимся случаем, когда сила тяжести является единственной внешней массовой силой U = − gz . Используя теорему Остроградского − Гаусса и граничные условия (3.2.2), получим: ∫ V ⋅ f ρdW = ∫ u ⋅ f ρdW = ∫ ρ u ⋅ ∇U dW = ∫ ρUun dΣ = ∫ ρu1 gz1dΣ − ∫ ρu2 gz2 dΣ . (3.2.3) ( ) ( ) W ( W ) Σ W Σ1 Σ2 Полученное равенство позволяет выразить мощность внешней массовой силы через поток потенциальной энергии, обусловленной этой силой, сквозь живые сечения. Второй интеграл, выражающий мощность внешней поверхностной силы: (3.2.4) ∫V ⋅ pn dΣ = ∫ V ⋅ pn,1dΣ + ∫ V ⋅ pn,2dΣ + ∫V ⋅ pn dΣ . Σ Σ1 Σ2 Σ бок В сечении 1 − 1 скорость имеет только нормальную составляющую Vn = u1 , так как движение здесь равномерное или плавноизменяющееся. Чтобы вычислить скалярное произведение V ⋅ pn , зададим в произвольной точке живого сечения Σ1 систему ортогональных координат (рис. 3.2), определяемую тремя единичными векторами n , b ,τ , из которых n − нормален к живому сечению, a b и τ лежат в плоскости живого сечения. Проектируя на эти координатные оси векторы u и рn, находим: V = (Vn ,0,0), pn = ( pn , n , pn ,b , pn ,τ ), V ⋅ pn = Vn pn, n + Vb pn ,b + Vτ pn,τ = Vn pn, n . , Аналогичные вычисления выполним для живого сечения Σ 2 . На поверхности Σ бок выполняется условие прилипания. Согласно полученным результатам, а также используя (3.2.2), на контрольной поверхности Σ имеем условия: на Σ1 : Vn = −u1 ; pn, n = − p1 ; на Σ 2 : Vn = u 2 ; на Σ бок : V = 0; pn , n = − p2 ; (V ⋅ p ) = 0. (3.2.5) n Подставляя (3.2.5) в (3.2.4), получаем: ∫ V ⋅ p dW = ∫ u p dΣ − ∫ u n W 1 Σ1 1 Σ2 59 2 p 2 dΣ . (3.2.6) 60 Согласно равенству (3.2.6) мощность внешней поверхностной силы можно интерпретировать как поток, обусловленный этой силой потенциальной энергии потока сквозь живое сечение; плотность распределения этой энергии равна давлению р. Последнее слагаемое в (3.2.1), выражающее мощность внутренних сил в пределах контрольного объема (диссипацию энергии), оставляем без преобразования. Подставив полученные выражения, в исходное уравнение (3.2.1) и разделив все слагаемые на весовой расход Q p = ρgQ , получим искомое уравнение Бернулли: z1 + p1 γ + α 1u12 2g = z2 + p2 γ + α 2 u 22 2g + hf , (3.2.7) где γ = ρg удельный вес, а слагаемое hf = 1 ερdW , Q p W∫ (3.2.8) выражает отнесенную к весовому расходу мощность внутренних сил (диссипацию механической энергии в единицу времени) в пределах контрольного объема. Если используется модель идеальной жидкости (трение между слоями жидкости отсутствует h f = 0 ), то уравнение Бернулли принимает вид: u2 p + = const , 2 g ρg В этом случае имеет место закон Бернулли, который гласит: При установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот вдоль линии тока остаётся постоянной. z+ 3.3. Геометрическая и энергетическая интерпретация уравнения Бернулли. Обратимся к интерпретации отдельных слагаемых, входящих в уравнение Бернулли для несжимаемой (капельной) жидкости (ρ = const). Горизонтальная координатная плоскость х0у, от которой отсчитывается координата z при решении гидравлических задач, так же как в гидростатике называется плоскостью сравнения и обозначается на чертежах 0 − 0. Из вывода уравнения (3.2.7) следует, что z − это координата произвольной точки живого сечения Σ , а р − это гидростатическое давление в этой же точке. Из гидростатики известно, что отношение p/ρg равно высоте столба жидкости, который создает давление, равное р. Чтобы исключить возмущения потока, измерительные открытые трубки присоединяют к точкам живого сечения, совпадающим с границей потока (рис. 3.3). 60 61 Рис.3.3 Геометрическая интерпретация слагаемых, входящих в уравнение Бернулли С учетом изложенного выше можно дать следующую геометрическую интерпретацию слагаемых, входящих в уравнение Бернулли: z − превышение над плоскостью сравнения (геодезическая отметка) любой точки живого сечения потока; р − пьезометрическая высота в этой же точке, т.е. высота, на которую γ поднимается вода в открытой трубке, присоединенной к этой точке; αu 2 − кинематическая высота всегда положительна и имеет размерность длины; в 2g  p соответствии с уравнением (3.2.7) эту величину откладывают вверх от отметки  z +  . γ  Кроме того, можно дать энергетическую интерпретацию слагаемых, входящих в уравнение Бернулли: 1 (ρgz + p )Vn dΣ = Qп − отношение потока потенциальной ∫ γ Qp Σ Qp (обусловленного течением жидкости) через живое сечение к весовому расходу; z+ p αu 2 = энергии Q 1 ρV 2 Vn dΣ = k − отношение потока кинетической энергии движения ∫ 2g Qp ω 2 Qp жидких частиц через живое сечение к весовому расходу; hf = = 1 ερdW − мощность ( механическая энергия в единицу времени), которая Q p W∫ переходит в тепло внутри объема W , т.е. в трубопроводе между сечениями 1 − 1 и 2 − 2, другими словами, диссипированная мощность, отнесенная к весовому расходу. 61 62 3.4. Потенциальный и полный гидродинамические напоры. Пьезометрическая линия. Удельные потоки энергии, т.е. обусловленные движением жидкости потоки энергии через живое сечение, отнесенные к весовому расходу жидкости, называют напорами. Введем понятия: потенциальный напор скоростной напор Hp = z + Hk = p γ αu 2 2g = Qп ; Qв (3.4.1) = Qk ; Qâ (3.4.2) αu 2 Q п + Qk Qe = ; γ 2g Qв Qв 1 потеря напора между сечениями 1 − 1 и 2 − 2 h f = ερdW . Q p W∫ полный, или гидродинамический напор He = z + p + = (3.4.3) (3.4.4) Принимая такие обозначения, запишем уравнение Бернулли в виде H e1 = H e 2 + h f . (3.4.5) При решении задач о движении в трубах и каналах часто, задав плоскость сравнения в каждом живом сечении потока, определяют потенциальный и полный напоры и указывают геометрическое место точек, отвечающих этим напорам, в соответствии с их геометрической интерпретацией (рис. 3.4). Если в каждом живом сечении отложить от плоскости сравнения по вертикали p величину потенциального напора H p = z + , то совокупность точек образует γ пьезометрическую линию P − P , которую будем показывать пунктиром. Аналогично, если в каждом сечении отложить по вертикали от плоскости сравнения величину полного напора p αu 2 He = z + + , то совокупность точек образует напорную линию E − E , показываемую γ 2g сплошной линией, данную линию также называют линией гидравлического уклона. 62 63 Рис. 3.4. Пьезометрическая Р − Р и напорная Е − Е линии Отметим, что понятие напора было введено для тех сечений потока, где движение равномерное или плавноизменяющееся. На участке, где движение резкоизменяющееся (например, между сечениями а − а и b − b на рис. 3.4), напорная и пьезометрическая линии строятся условно путем их экстраполяции из областей, где движение плавноизменяющееся. На участке с равномерным движением (например, между сечениями 1 −1 и а − а) потери напора потока на каждую единицу длины будут одинаковы (структура потока во всех сечениях одинакова, следовательно, и работа всех внутренних сил, определяющих потерю напора, в одинаковых объемах будет одинакова), поэтому напорная линия Е − Е на таких участках будет прямой. Пьезометрическая линия, которая располагается всегда ниже αu 2 напорной на величину > 0 , будет прямой, параллельной напорной линии. Важными 2g характеристиками этих линий являются их продольные уклоны, т.е. отношение разности напоров на участке равномерного движения к расстоянию между сечениями, в которых эти напоры вычислены. Уклон напорной линии называется гидравлическим и обозначается Je, а уклон пьезометрической линии называется пьезометрическим и обозначается Jp. Например, для участка потока между сечениями 1 − 1 и а − а H p1 − H pa H − H ea J e = e1 ;Jp = . (3.4.5) ℓ 1a ℓ 1a 63 64 Рис.3.5. Пьезометрическая Р − Р и напорная Е − Е линии при плавноизменяющемся движении Если движение плавноизменяющееся, то и потери напора на каждой единице длины вдоль потока будут переменны, и скоростной напор будет меняться вдоль оси потока. При этом л и н и и Е − Е и Р−Р будут кривыми (рис.3.5). В этом случае гидравлический и пьезометрический уклоны определяются для каждого сечения как уклоны на элементарном участке длиной ∆ℓ , прилегающем к сечению, т.е. как уклоны касательной к соответствующим линиям:  p αu 2    d z + + 2 g γ ∆H e ; J e = − lim =−  ∆ℓ → 0 ∆ℓ dℓ (3.4.6)  p d  z +  ∆H p γ . J p = − lim =−  ∆ℓ → 0 ∆ℓ dℓ (3.4.7) Здесь знак минус показывает, что положительным считается уклон, при котором геодезические отметки линий Е − Е и Р − Р уменьшаются вдоль потока. При равномерном движении (рис. 3.4) hf Je = . (3.4.8) ℓ Следовательно, гидравлический уклон численно равен удельной (на единицу весового расхода) диссипированной мощности в объеме потока, приходящейся на единицу длины. В заключение отметим два важных положения. 1. Потери напора − величина положительная (механическая энергия жидкости при движении может лишь уменьшаться, переходя в тепло), поэтому полный напор в сечениях, расположенных ниже по течению, всегда меньше напора в сечениях, расположенных выше по течению. Отметки напорной линии вдоль потока всегда уменьшаются, и гидравлический уклон всегда положителен (Je > 0). 2. Если часть кинетической энергии жидкости при её движении переходит в потенциальную, то потенциальный напор может возрастать, при этом отметки пьезометрической линии возрастают. Рассмотрим еще один случай использования уравнения Бернулли - расходомер Вентури (рис.3.6). Этот прибор представляет собой трубу с сужением, для измерения давления в которой вставлены два пьезометра, в узкой и широкой части. Поместим плоскость отсчета на ось трубы и рассмотри сечения, в которых установлены пьезометры. Запишем уравнение Бернулли для этих сечений, полагая жидкость Рис.3.6. идеальной ( h f = 0, α 1 = α 2 = 1, z1 = z 2 = 0 ): Расходомер Вентури p1 u12 p u2 + = 2 + 2 γ 2g γ 2g 64 65 Из условия постоянства расхода имеем u1Σ1 = u 2 Σ 2 . Введем обозначение p p h1 = 1 − 2 и после несложных преобразований получим соотношение для скорости γ γ потока в трубе и объемного расхода жидкости в трубе: 2 g∆h 2 g∆h u1 = , Q = u1Σ1 = Σ1Σ 2 = A ∆h . 2 Σ1 Σ12 − Σ 22 −1 Σ 22 Здесь A - постоянная расходомера. Для вязкой жидкости: Q = Aµ ∆h , где µ - коэффициент расхода расходомера. Из изложенного видно, что для измерения расхода можно использовать и другие устройства, если известны зависимости гидравлических потерь на них от параметров потока. Достаточно поставить датчики давления до и после такого устройства. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже. Еще одним прибором для измерения скорости (расхода) является гидродинамическая трубка Пито (рис.3.7). Полагая жидкость идеальной, получим следующую запись уравнения Бернулли: p1 u12 p u2 + = 2 + 2 γ 2g γ 2g p Учитывая h = 1 , u = u1 , u 2 = 0 . Получаем γ зависимость для скорости потока в виде: u = 2 gh p . Существует так же класс тахометрических приборов для измерения расхода потока. Они могут быть турбинными, шариковыми и камерными. В таких приборах измеряют частоту вращения или акустических колебаний потока. В последние годы получили распространение так же электромагнитные расходомеры, в которых измеряется изменение емкостных или электропроводных свойств среды. Рис.3.7. Трубка Пито 3.5. Течение жидкости в круглых трубах. ∂   = 0  ламинарное течение вязкой  ∂t  жидкости в трубопроводе круглого сечения. Поверхность труб полагаем гладкой, а трубу прямолинейной (рис.3.8). Будем рассматривать установившееся 65 66 Рис.3.8. К выводу баланса импульса на участке трубы Ускорение такого потока равно нулю, и следовательно, силы инерции отсутствуют; скорости во всех поперечных сечениях одинаковы, а само течение - слоистое Vr = 0, V (r ) = V x (r ) . Давления между сечениями 1–1 и 2–2 подчиняется гидростатическому закону: p z+ = const . ρg ∂p ∂z z − z p − p1 Последнее условие равносильно условию: = − = 1 2 = const = 2 ∂x ∂x L L (градиент давления вдоль потока постоянный). На объём жидкости между сечениями 1–1 и 2–2 действуют силы внешнего давления P1 и P2 ( Pi = p i Σ ), сила тяжести (вес жидкого цилиндра) G = ρgΣℓ и сила сопротивления движению (сила трения) Fτ = τχl . Здесь χ - смоченный периметр, Σ w = χl - площадь поверхности участка трубы. Рис.3.9. К определению смоченного периметра Составим баланс импульса для участка трубы длиной l между сечениями 1–1 и 2– Направим ось х вдоль трубы, тогда проекция силы тяжести: 2. z − z1 G = ρgΣl sin α = ρgΣl 2 = ρgΣ( z 2 − z1 ). , l 66 67 Согласно (1.6.18), с учетом наших допущений: ρgΣ( z1 − z 2 ) + Σ( p1 − p 2 ) = Fτ = τχl . Поделим обе части уравнения на ρg , и получим  p   p  τlχ τl  z1 + 1  −  z 2 + 2  = = . ρg   ρg  ρgΣ ρgR  Здесь и далее R = Σ - гидравлический радиус. Запишем уравнение Бернулли для χ нашего случая: z1 + α u2 p1 α1u12 p + = z2 + 2 + 2 2 + h f . ρg 2 g ρg 2 g α 1u12 Учитывая, что дл трубы постоянного диаметра 2g = α 2 u 22 2g , получим зависимость для потерь на трение в трубе:  p   p   z1 + 1  −  z 2 + 2  = h f ρg   ρg   τl hf = ρgR (3.5.1) Далее будем полагать, что труба полностью заполнена жидкостью, тогда πr 2 r χ = 2πrw R = w = w . 2πrw 2 С учетом формулы Ньютона τ = −η τ = −η dV (r ) будем иметь: dr rh f dV (r ) = ρg dr 2l (3.5.2) Разделяя переменные − ηdV (r ) = ρg rh f 2l dr После интегрирования получим − V ( r ) = ρg r 2h f +C η 2l Константу С определим из условия V (rw ) = 0, r = rw , тогда: V ( r ) = ρg (rw2 − r 2 )h f 4ηl . (3.5.3) Данное выражение носит название закон распределения локальных скоростей по сечению ламинарного равномерного установившегося потока в круглой трубе. Максимальная скорость достигается на оси потока: 67 68 Vmax = V (rw ) = ρg rw2 h f 4ηl . V (r ) = Vn (r ) = Vmax (rw2 − r 2 ) Найдем расход жидкости с учетом этого закона: πrw4 ρgh f V Q = πur = 2π ∫ V (r )rdr = = πrw2 max . 8ηl 2 rw 2 w Отсюда в частности следует, что средняя скорость потока: u= Vmax . 2 Знание закона распределения скоростей поперек потока позволяют вычислить коэффициент Кориолиса для ламинарного течения в круглой трубе: 3 ∫Σ ρVn (r )dΣ α= ρu 3 Σ ud ρud Вводя безразмерный критерий Re = = - число Рейнольдса и обозначение ν η ∆H = ∆p + ρg∆z = ρgh f , получим формулы для расчета расхода и потерь на трение для ламинарного потока в трубе: πr 4 ∆H Q= w , 8ηl . (3.5.4) 64 l u 2 hf = Re d 2 g Данная зависимость была получена экспериментально в 1839 году Г. Хагеном, и независимо от него Ж.Л. Пуазейлем, поэтому носит название закона Хагена-Пуазейля, а само течение – течением Пуазейля. Основные выводы: 1. Течение Пуазейля характеризуется параболическим распределением скорости по радиусу трубки. 2. В каждом поперечном сечении трубки средняя скорость вдвое меньше V максимальной скорости в этом сечении u = max . 2 3. Из формулы Пуазейля видно, что потери напора при ламинарном движении пропорциональны первой степени скорости или расхода жидкости. 4. Расход жидкости пропорционален радиусу (диаметру) трубы в четвертой степени, потерям напора (перепаду давления), и обратно пропорционален вязкости и длине трубы. Первая из (3.5.3) позволяет установившееся ламинарное течение в гладких трубах (капиллярный вискозиметр Освальда) для определения η - коэффициента динамической вязкости. Опыты Рейнольдса. В 1883 году в Манчестерском университете Осборн Рейнольдс провел серию опытов, исследуя течение в стеклянных трубах с использованием визуализации потока краской. Через столетие Иоханнсен и Лоу повторили эксперименты на сохранившейся установке. Ниже на рис.3.8. представлены результаты данных экспериментов. 68 69 Рис.3.10. Повторение опытов О. Рейнольдса На входе в трубу в поток вводилась струйка подкрашенной воды. При малых скоростях движения струйка сохраняла устойчивость, но с увеличением расхода потока (скорости потока) теряла ее, при дальнейшем увеличении расхода течение становилось хаотичным – турбулентным. Значение скорости, при превышении которой нарушается устойчивость движение и в потоке возникает турбулентность, называется u кр критической скоростью. К сожалению, критическая скорость u кр оказалась непригодной в качестве универсального критерия для определения перехода от ламинарного типа течения к турбулентному. Для различных сред она оказалась различной. В качестве такового О. Рейнольдс предложил безразмерную величину, представляющую собой отношение потока импульса (сил инерции) к напряжению трения, впоследствии названную его именем: 69 70 Re = ρu 2 = ρud ud = . η ν (3.5.5) u η d Как показали опыты для гладких труб в условиях отсутствия внешних воздействий критическое число Рейнольдса Re∗ = 2320 . Если в потоке жидкости или газа в круглой трубе Re < Re∗ , то поток ламинарный, если Re > Re∗ , то течение неустойчивое и в потоке возможен переход к турбулентному режиму. Следует отметить, что на практике при Re ≈ Re∗ течение неустойчивого, то есть существует некоторый промежуток значений Re∗ , в окрестности которого течение неустойчиво. Опыты также показали, что при Re > 13000 течение полностью турбулентное (отсутствует переходной участок). Поэтому вводится еще одно критическое число Рейнольдса Re∗∗ = 13000 , а режим Re∗ < Re < Re∗∗ , носит название переходного. В последствии оказалось, что данный критерий перехода справедлив и для других течений, если в (3.5.3) вместо d использовать характерный линейный размер потока. Так если рассматривается задача об обтекании шара, и r радиус шара, тогда Re∗ ≈ 5,1 . Для количественного описания турбулентных течений Рейнольдс предложил действительные скорости (давления) в данной точке представлять в виде суммы средних во времени величин и пульсационных составляющих. Для развитого турбулентного течения пульсационные составляющие пренебрежимо малы со средними значениями величин, поэтому сохраняется интегральная теорема движения, эквивалентная трём дифференциальным уравнениям + уравнение неразрывности. В этом случае вместо обычных значений величин используются их средние значения, а вместо напряжений σ i , j используется сумма компонент напряжений, связанных со средними скоростями + напряжения Рейнольдса: σ i , j = σ~i , j + σ i′, j . Иначе говоря, для решения задач турбулентного течения возможно применение уравнений механики сплошной среды, при условии, что величины vi , p, σ i , j входящие в эти уравнения, будут соответственно заменены на величины v~ , ~ p , σ~ + σ ′ . i ij ij Взаимодействие жидкости с твердым телом. Данный вопрос волновал людей с очень давних пор. Первым ученым, который исследовал этот вопрос, был Аристотель. Рассматривая движение твердого тела в текущей среде, он рассуждал примерно так, тело при движении создает за собой пустоту. А так как природа не терпит пустоты, то среда заполняет пустоту и тем создает движение. Такое объяснение носило скорее философский, чем научный характер и никак не могло быть использовано на практике. Впервые научный подход к проблеме продемонстрировали Ньютон и Галилей, которые экспериментально пытались определить сопротивление при движении тел в воздухе, сбрасывая их с высоты. Ньютон на основе полученных результатов предложил вычислять силу сопротивления по формуле: u2 F = c f ρ Σm , 2 где u - скорость набегающего потока, Σ m - площадь миделя (проекция контура тела на плоскость нормальную к направлению движения), c f - коэффициент, получивший название – коэффициент сопротивления (трения). Позднее эта формула была получена из анализа размерностей (см. параграф 1.7). F F Согласно определению напряжение трения в трубе τ = = 2 , тогда: Σ m πR l 70 71 u2 . 2 Тогда с учетом d = 2rw = 2 R , зависимость (3.5.1) можно записать в виде: τ = cf ρ cf u l lu 2 τl hf = = = 4c f . ρgR 2 gR d 2g 2 Вводя обозначение λ = 4c f , получим основную формулу для определения потерь на трение, которая носит название формула Дарси-Вейсбаха, и используется при расчёте как напорных трубопроводов, так и безнапорных потоков,: lu 2 hf = λ , (3.5.6) d 2g Здесь λ - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), d - диаметр u2 трубопровода, - скоростной напор на участке трубопровода длины l . Применение 2g этих формул связано с определением коэффициентов λ. При ламинарном движении жидкости ( Re < 2300 ) коэффициент λ для труб определяется из аналитического решения (3.5.4) по формуле: 64 λ= . (3.5.7) Re В остальных случаях приходится использовать экспериментальные данные. Впервые наиболее исчерпывающие данные о значении λ были получены И. Никурадзе (рис.3.9). Как видно из графика зону I – ламинарного течения отделяет от зоны III – турбулентного потока ( Re > 4000 ), зона переходного режима течения. Течение потока в этой зоне неустойчивое и поэтому на практике стараются такие режимы течения не использовать. В этой зоне λ может быть вычислено по формуле И.П. Гинзбурга: 64 0,3164 λ= (1 − γ ∗ ) + γ∗ . Re Re 0, 25 Здесь γ ∗ = 1 − e −0, 002 (Re − 2300 ) - коэффициент перемежаемости. Зона турбулентных режимов течения может быть разбита на три подобласти, отмеченные на рис.3.9. цифрами в кружочках. Область (1) – область «гидравлически гладких» труб, в которой коэффициент трения λ не зависит от шероховатости. Согласно А.Д. Альтщулю ей соответствует диапазон изменения числа Рейнольдса: 10d 4000 < Re < . (3.5.8) ∆ А сама зона на графике отделена наклонной прямой. В этом случае используется формула Блазиуса: 0,3164 λ= . (3.5.9) Re 0, 25 71 72 Рис.3.11. Результаты Никурадзе I – область ламинарного течения, II – переходная область, III – область турбулентного d d d d d d течения. 1 - = 30 ; 2 - = 61,2 ; 3 - = 120 ; 4 - = 252 ; 5 - = 505 ; 6 - = 1014 . ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ В области (3) коэффициент сопротивления зависит только от относительной ∆ шероховатости труб δ = и не зависит от числа Рейнольдса. Данную область называется d «область квадратичного сопротивления», потому что потери напора в этом случае 500 пропорциональны квадрату скорости h f ≈ V 2 . Такой тип течения возникает при Re > δ и в ней используется формула Б. Н. Шифринсона: λ = 0,11δ 0, 25 . (3.5.10) 10 500 В «переходной» области (2) при < Re < , когда шероховатость труб δ δ оказывает существенное влияние, удобно использовать формулу А.Д. Альтшуля: 0 , 25 турбулентный 68   λ = 0,11 δ +  . (3.5.11) Re   Таблица для определения коэффициента гидравлического трения Режим течения Критерий Зависимость для λ ламинарный Re < 2300 64 λ= Re переходный 2300 < Re < 4000 64 0,3164 λ= (1 − γ ∗ ) + γ∗ , Re Re 0, 25 γ ∗ = 1 − e −0, 002 (Re − 2300 ) Не рекомендуется для проектирования «гидравлически гладких» труб 10 0,3164 4000 < Re < λ= δ Re 0, 25 0 , 25 «переходный» 10 500 68   < Re < λ = δ + , 11   δ δ Re   «квадратичного сопротивления» 500 λ = 0,11δ 0, 25 Re > δ Приведенными зависимостями не исчерпываются все эмпирические зависимости для λ , существуют также формулы Ф. А. Шевелёва, Н. З. Френкеля, Л. А. Тепакса, Н. Ф. Фёдорова и других. Так для режима «квадратичного сопротивления» используют формулу 72 73 Никурадзе  δ  − 2 lg  , для режима «гидравлически гладких» труб формулу Конакова λ  3,71  1 1 , несколько более сложные для расчета. (1,8 lg Re− 1,5) 2 Кроме потерь на трение в трубопроводных системах имеют место потери на местных сопротивлениях. В этом случае уравнение Бернулли имеет вид: Nm p α u2 p α u2 u2 z1 + 1 + 1 1 = z 2 + 2 + 2 2 + h f + ∑ ζ i (3.5.12) ρg 2 g ρg 2 g 2g i =1 Здесь N m - число местных сопротивлений на участке, ζ i - коэффициент i-го местного сопротивления, который может быть определен и таблицы. ζ = 0,5 Вход в трубу из резервуара Выход из трубы в резервуар ζ = 1,0 o ζ = 0,3 Колено с закруглением 90 o ζ = 1,0 Колено без закругления 90 Сетка на входе в трубу ζ = 3,0 Открытая задвижка ζ = 0,05 Кран пробковый открытый ζ = 0,16 Вентиль нормальный открытый ζ = 3,0 Обратный клапан на входе в трубу ζ = 4÷8 Обратный клапан в трубе ζ = 2÷5 2 Внезапное Σ  ζ = 1 −  1  расширение  Σ2  λ= Внезапное сужение Σ 0,043 1  ζ =  − 1 , ε = 0,57 + ,n = 1 1,1 − n Σ2 ε  Диафрагма Σ 0,043  1  ζ =  − 1 , ε = 0,57 + ,n = 0 1,1 − n Σ  nε  2 2 Линейное Расширение ζ = k (n − 1)2 , n = Σ2 Σ1 αo 4 8 15 30 60 90 k 0,08 0,16 0,35 0,80 0,95 1,07 Для более полного ознакомления с расчетными возможностями эмпирических моделей необходимо воспользоваться специальной литературой12. 3.6. Безнапорные потоки. Струи. К безнапорным потокам обычно относят: течение в неполностью заполненном трубопроводе, течения в руслах, каналах, лодках, а также струйные течения. 12 Идельчик И. Е. Справочник по rидравлическим сопротивлениям /Под ред. М. О. Штейнберrа. 3-е изд., перераб. и доп. -М.: Машиностроение, 1992. -672 c. 73 74 Особенностью таких течений является постоянство давления в области течения. Для их расчета также может быть использована формула Дарси-Вейсбаха (3.5.5), понятия гидравлического радиуса и смоченного периметра (рис.3.7) и упрощенное уравнение Бернулли: α u2 α u2 z1 + 1 1 = z 2 + 2 2 + h f , 2g 2g (3.6.1) c f u 2l λlu 2 Σ τl = = ,R = . hf = ρgR 2 gR 4 Rg χ Здесь R - гидравлический радиус, χ - смоченный периметр. Используя понятие hf гидравлического уклона J = можно записать зависимость для средней скорости l потока: 8g u = C RJ , C = . (3.6.2) λ Коэффициент C = f (Re, ∆) называется коэффициентом Шези. [C ] = 1 . Для его м ⋅с вычисления можно использовать формулу Павловского: Ry C= , y = 2,5n − 0,13 − 0,75 R ( n − 0,1). (3.6.3) n Здесь n - параметр шероховатости зависящий от материала русла ( n = 0,01 ÷ 0,015 ). Рассмотрим струйные установившиеся потоки, возникающие при истечении из резервуаров в свободную атмосферу. Отверстия и устройства (насадки, сопла), через которые осуществляется истечение, могут быть весьма разнообразными, поэтому единого метода их расчета не существует13. Образующиеся при этом струи так же имеют различную форму. Ограничимся рассмотрением простейших случаев. Определим гидравлический напор истечения H как расстояние от центра отверстия истечения до свободной поверхности. Если диаметр отверстия d < 0,1H , напор истечения постоянен, отверстие имеет острые кромки или толщина стенки резервуара много меньше его диаметра, то говорят что имеет место истечение через малое отверстие в тонкой стенке (рис.3.10). 13 Более полно с проблемой можно ознакомиться в монографии: Абрамович Г.Н., Гиршкович Т.А., Крашенниников С.Ю., Секундов А.Н., Смирнова И.М. Теория турбулентных струй. М.: Наука, 1984. - 716с. 74 75 Рис.3.12. Истечение через малое отверстие в атмосферу Линии тока жидкости, перед истечением, искривляются и направлены к центру отверстия. Это приводит к эффекту сужения (сжатия) струи, когда площадь сечения струи Σ j меньше площади отверстия Σ d . Обычно такое живое сечение струи формируется на некотором расстоянии l от отверстия и называется сжатым, (для круглого отверстия Σj l ≈ 0,5d ). Отношение ε = называется коэффициентом сжатия струи. В случае Σd некруглого отверстия иссечения форма живого сечения струи может претерпевать периодические изменения, показанные в левой части рисунка. Данное явление носит название – инверсия струи, и вызвано взаимодействием сил инерции и поверхностного натяжения. Определим основные характеристики истечения, для этого запишим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. p1 α1u12 p2 α 2u 22 z1 + + = z2 + + + hf . ρg 2 g ρg 2g В нашем случае: z1 = H , z 2 = 0, p1 = p 2 = pa , u1 << u 2 ⇒ u1 = 0,α = 1, тогда: u2 u2 u2 + ζ = (1 + ζ ) , (3.6.4) 2g 2g 2g Здесь ξ - коэффициент местного сопротивления отверстия. Скорость истечения в сжатом сечении и расход можно определить по формулам: 2 gH u= = ϕ 2 gH , 1+ ζ (3.6.5) H= Q = εϕΣ d ρ 2 gH = µΣ d ρ 2 gH . Где ϕ - коэффициент скорости отверстия, µ - коэффициент расхода отверстия, для каждого типа истечения они определяются эмпирически. Для нашего случая их 2 gH d зависимость от Re = - числа Рейнольдса истечения приведены на рис.3.10. ν 75 76 Рис.3.13. Коэффициенты истечения для малых круглых отверстий 3.7. Гидравлический удар в трубах. Формула Н.Е. Жуковского. В напорных потоках при резком изменении скорости и возникает явление, называемое гидравлическим ударом - гидроударом. Данное явление вызывается быстрым закрытием кранов и задвижек, или наоборот при резкой разгерметизации объема находящегося под давлением, и может приводить к крупным авариям и катастрофам. Рассмотрим сначала процесс резкого замедления потока невязкой, но упруго сжимаемой, жидкости в трубопроводе круглого сечения, имеющем абсолютно жесткие стенки. Пусть истечение происходит из большого резервуара с постоянной скоростью u = u 0 , а давление по всей длине трубопровода постоянно p = p0 . В момент времени t 0 = 0 мгновенно закрывается клапан, после чего начинается волновой процесс, который можно разбить на 4 фазы (рис.3.12): 1. Процесс остановки жидкости в трубопроводе. Жидкость упругая, поэтому при торможении происходит ее сжатие, при этом скорость становится равной нулю u = 0 , а давление повышается p = p0 + ∆p , остальная жидкость по инерции продолжает двигаться. Фронт упругого сжатия распространяется по трубопроводу к баку со скоростью c . За время T фронт доходит до начала трубы и вся жидкость в трубе останавливается. Скорость можно вычислить по соотношению c = L / T . 2. Далее так как давление в трубопроводе p = p0 + ∆p больше давления в баке, жидкость начинает вытекать из трубопровода, а давление падать до значения p0 , при этом идет процесс упругого расширения жидкости. Скорость его фронта также равна c , за время он T завершится и вся жидкость будет двигаться к баку t = 2T , u = −u0 , . 3. Далее жидкость по инерции продолжает вытекать в бак, пока давление не достигнет значения p = p0 − ∆p , а вся жидкость не остановится t = 3T , u = 0 . 4. После чего жидкость снова начинает двигаться по трубопроводу по направлению к крану и при t = 4T ситуация возвращается к первоначальному состоянию p = p0 , u = u 0 . Далее фазы процесса повторяются и гидроудар представляет собой циклически повторяющиеся волновое нестационарное движение. 76 77 Рис.3.14. Гидравлический удар в идеально жестком трубопроводе Так как среда идеальная, процесс адиабатический, а стенки трубы недеформируемые, то процесс должен идти бесконечно долго. На практике этого не происходит, так как трение жидкости о стенки и расширение-сужение труб ведет к необратимым потерям, и через несколько циклов движение останавливается. Используем закон сохранения импульса для определения скачка давления: mu кон − mu нач = F∆t , m = ρΣl , u кон = 0, u нач = u 0 , l − ρΣlu 0 = F∆t = − ∆pΣ , c ∆p = ρu0c. (3.7.1) Данная формула, определяющая максимальную величину повышения давления при гидравлическом ударе, впервые было получено в конце XIX века Н.Е. Жуковским и носит его имя14. Оценим изменение объема воды при гидроударе 1 ∆W = W∆pβ p = Σl∆p , EW Оно компенсируется притоком воды из бака ~ ∆W = ∆W , Σu0 ∆t = Σl∆p E u l = W 0, ∆t ∆p Используя формулу Жуковского, получим: EW c= . ρ 1 , EW (3.7.2) Данное соотношение не что иное, как формула Ньютона для c - скорости звука в неограниченной жидкой среде. Учет упругости материала стенок трубы приводит к более точной зависимости: 14 Жуковский Н.Е. О гидравлическом ударе в водопроводных трубах. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. – 104с. 77 78 EW c= ρ d EW 1+ δ E St . (3.7.3) Где E St - модуль упругости материала стенок трубы, δ - толщина стенок, d диаметр трубопровода. Гидроудар может приводить к опасным авариям с тяжелыми последствиями. Перечислим основные способы борьбы с гидроударом: увеличение времени перекрытия потока (вместо самоварных кранов лучше использовать винтовые), увеличение упругости материала труб (полимерные и резиновые), установка предохранительных клапанов и мембран инициирующих истечение жидкости вовне, использование газовых объемов (воздушных колпаков – вантузов). 3.8. Уравнение Бернулли для газа. Одномерное течение газа. Критические параметры. Сопло Лаваля. Газ в отличие от жидкости является сжимаемой сплошной средой, причем его вязкость существенно меньше, чем у жидкости, причем ее влияние проявляется в тонком слое у поверхности, который называется пограничным. Поэтому для описания движения газа часто используют модель идеальной жидкости (1.5.24). Плотность газа обычно мала, поэтому силой гравитации обычно пренебрегают. Рассмотрим одномерное адиабатическое установившееся течение политропного газа. Для него справедливы соотношения: p1 ρ1 + u12 p 2 u 22 = + , ρ2 2 2 G = ρuΣ = G0 = const , p ργ (3.8.1) = const.. После несложных преобразований уравнение Бернулли для трубки тока принимает вид: γp + γp0 u2 = h = h0 = = const ,. 2 (γ − 1) ρ 0 (3.8.2) (γ − 1) ρ γp h = c pT = h = - удельная энтальпия (теплосодержание) потока. Индекс «0» (γ − 1) ρ относится к параметрам торможения. Разделим и продифференцируем уравнение постоянства расхода: dG d (ρuΣ ) dρ du dΣ dρ d 2(ho − h) dΣ =0= = + + = + + = (ρuΣ ) ρ u Σ ρ G Σ 2(ho − h)  dΣ dho − dh dΣ u 2  ∂ρ + = 2  dp  + = ρ 2(ho − h) Σ u ρ  ∂p s  Σ ∂ρ По определению для газа: c = - скорость звука. Окончательно получаем ∂p s уравнения обратимого воздействия Эйлера: 1 dΣ ( M 2 − 1)dp + . (3.8.3) 2 ρu Σ = dρ + 78 79 Если u < c - скорость потока дозвуковая, если u > c - сверхзвуковая. u M=V/a является фундаментальным безразмерным параметром c (числом подобия) и называется числом Маха. Критическим называется состояние газа, при котором его скорость равна скорости звука, а параметры при этом состоянии называются критическими. Условимся обозначать их звездочкой, между критическими параметрами и параметрами торможения существуют простые зависимости: Отношение M = T∗ 2 = , Tî γ + 1 γ p∗  2  γ −1 =  , p î  γ + 1  (3.8.4) 1 ρ ∗  2  γ −1  . = ρ î  γ + 1  Из (3.6.6) следует, что при уменьшении площади живого сечения дозвуковой поток газа ускоряется, а сверхзвуковой поток ускоряется только при увеличении площади живого сечения. Устройство в котором площадь сечения сначала уменьшается, а затем увеличивается называется соплом Лаваля. Оно применяется для получения сверхзвуковых течений газа. 4. Основы реологии. 4.1. Реологические модели жидкостей15. В первой главе показано, что модель сплошной среды определяется зависимостью между тензором напряжений и тензорами деформаций и скоростей деформаций. Простейшей механической моделью текучей сплошной среды является модель идеальной жидкости, для которой характерно отсутствие сопротивления (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому (1.5.24). В тех случаях, когда силами трения или напряжения сдвига при движении жидкости пренебречь нельзя, используют следующую по сложности модель − вязкую ньютоновскую жидкость: σ ij = − pδ ij + 2ηεɺij , i, j = 1,2,3, (4.1.1) 1, i = j , 0, i ≠ j. В этой модели между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформации существует прямо пропорциональная связь. δ ij =  15 Более полное представление о реологии и неньютоновских средах можно получить из книг: Рейнер М. Реология. –М.: Наука, 1965. -224с. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964. – 216с. Астарита Дж., Марруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. -309с. Скульский О.И., Аристов С.Н. Механика аномально вязких жидкостей. –Москва- Ижевск: РИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2003. -156с. Гноевой А.В., Климов Д.М., Чесноков В.М. Основы течения бигамовских сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 272с. 79 80 Например, при плоском установившемся слоистом течении жидкости вдоль оси 0 x , когда u = u ( z ), v = w = 0 , нормальные и касательные напряжения определяются зависимостью: ∂u σ 12 = η , σ 13 = σ 23 = 0, ∂z 2 σ 11 = σ 22 = σ 33 = − p − ηdiv V. 3 Если, жидкость несжимаема ( divV = 0 ), то соотношения имеет простейший вид: du Рис.4.1. σ 12 = η , σ 13 = σ 23 = 0, σ 11 = σ 22 = σ 33 = − p. dz Свойствами ньютоновских жидкостей, описываемых уравнениями (4.1.1), обладает большинство чистых жидкостей и газов. Однако, многие вещества проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей. При рассмотрении реологических свойств жидкостей, склонных к структурообразованию (суспензий, эмульсий, растворов полимеров, красок, «тяжёлых нефтей », глинистых растворов и т.д.), были обнаружены многочисленные отклонения от закона Ньютона. Такие среды принято называть неньютоновскими (аномальновязкими). Вязкость неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения. Обычно такие жидкости сильно неоднородны и состоят из крупных молекул, образующих сложные пространственные структуры. Типичным примером неньютоновских жидкостей являются полимерные системы, в которых длинные гибкие молекулы, зацепляясь друг за друга, образуют некую пространственную структуру («сетку»), резко повышающую вязкость. Под действием сдвиговых деформаций часть структурных связей разрушается, что приводит к уменьшению вязкости. Отметим тот факт, что Ж.Л. Пуазейль был по профессии медиком и интересовался прохождением крови через малые кровеносные сосуды. Сейчас известно, что кровь не является ньютоновской жидкостью, поэтому автор опыта, экспериментально подтвердившего на примере воды предположения Ньютона, в каком-то смысле является первым исследователем неньютоновских сред. Основной признак неньютоновского поведения жидкостей заключается в нелинейном поведении компонент девиаторов напряжений и скоростей деформации. 80 81 На рис. 4.1 изображены характерные кривые зависимости напряжения сдвига σ 12 = τ от скорости du деформации сдвига = γɺ 16 для неньютоновских dz жидкостей при плоском прямолинейном установившемся движении вдоль оси 0 x . Такие графики носят название реологических диаграмм или диаграмм Освальда. Известно, что: вода, глицерин, мед, эпоксидная смола, бензин, ацетон - ньютоновские среды; лаки, краски, мясной фарш, тесто, зубная паста, некоторые сорта нефти, буровые и тампонажные растворы – бигамовские пластики; большинство растворов и расплавов полимеров – вязкоупругие (дилатантные либо вязкопластические) жидкости. Различными авторами предлагалось множество аппроксимаций этих кривых, но наиболее широкое применение получили двухпараметрические аппроксимации: Рис. 4.2. Диаграмма Освальда. 1- ньютоновская; Нелинейно-вязкие: 2- псевдовязкопластичная; 3- дилатантная; Вязкопластические: 4- жидкость Шведова-Бигама. 5- псевдопластичная; 6- дилатантная Модель Шведова − Бингама для вязкопластической бингамовской жидкости: γɺ = 0 , η = 0, при τ ≤ τ 0 , (4.1.3) τ = τ 0 + ηγɺ , при τ > τ 0 . Подобная среда характеризуется тем, что обладает пространственной жёсткой структурой и благодаря этому сопротивляется внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдёт предельного значения, соответствующего этой структуре. Среда при этом ведет себя как упругое твердое тело. После этого структура полностью разрушается и жидкость начинает вести себя как обычная ньютоновская вязкая жидкость при кажущемся напряжении, равном избытку действительного напряжения τ над предельным τ0 . Модель Освальда − Вейля (степенная), используемая вязкоупругих (дилатантных либо вязкопластических) жидкостей: τ = kγɺ n (4.1.4) где τ0 − предельное (или динамическое) напряжение сдвига; η − пластическая (структурная) вязкость; k − показатель консистенции; n − показатель неньютоновского поведения: при n < 1 жидкость псевдопластичная, при n > 1 − дилатантная. Отметим, что модель Освальда- Вейля распространяется и на бигамовские среды, такая модель носит название модели Балкли - Гершеля: γɺ = 0 , при τ ≤ τ 0 , τ = τ 0 + kγɺ n , при τ > τ 0 , τ = τ m + ηγɺ , при τ > τ m . (4.1.5) Между параметрами моделей устанавливается следующая связь: η∗ = knγɺ∗n −1 , τ 0 = (1 − n )kγɺ∗n , k = (τ 0 + η∗γɺ∗ )γɺ∗− n , n = η∗γɺ∗ (τ 0 + η∗γɺ∗ ) , −1 16 В пространственном случае вместо γɺ используется величина диагональных компонентов тензора скоростей деформаций. 81 2tr (εɺi2, j ) - удвоенная сумма квадратов 82 где γɺ∗ − скорость деформации сдвига, выше которой зависимость τ от γɺ практически линейна. Отметьте тот факт, что реологические параметры η, τ0, κ, n − для неньютоновских сред зависят от температуры, давления, состава, диапазона изменения скорости деформации сдвига γɺ , для которой справедливы модели (4.1.3) и (4.1.4). Неньтоновские среды могут обладать рядом и других аномальных свойств. Например, при определённых нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы демонстрируют: тиксотропность − зависимость жёсткости структуры от продолжительности деформирования и предыстории движения; запаздывание во времени установления деформации при действии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации (релаксация напряжений). Ряд растворов и расплавов полимеров обладают свойством памяти истории деформирования. 4.2. Механические модели неньютоновских сред. М. Рейнером было предложено выделить три фундаментальных свойства сплошных сред: упругость, вязкость, пластичность. Среды, обладающие только одним из этих свойств, названы именами ученых их предложивших. Соответственно: упругость (тело Гука G) , вязкость (тело Ньютона N), пластичность (тело Сен-Венана S-V). Рассмотрм их более подробно. Тело Гука. Такое тело обладает только упругостью. Слева на рис.4.3 приведены: механическая модель и реологические кривые, отвечающие этой модели. В качестве реологического уравнения, используется закон Гука (см. параграф 1.5): τ = G ⋅γ , (4.2.1) или в других обозначениях: Рис. 4.3. σ = E ⋅ε . (4.2.2) 82 83 Тело Ньютона. Сплошная текучая среда, обладающая вязкостью, которая подчиняется закону Ньютона. Слева на рис.4.4 приведены: механическая модель и реологические кривые, отвечающие этой модели. В качестве реологического уравнения, используется закон вязкого трения Ньютона: τ = ηγɺ . (4.2.3) Рис. 4.4. Тело Сен-Венана. Сплошная среда обладающая только пластичность. Слева на рис.4.5 приведены: механическая модель и реологическая кривая, отвечающая этой модели. Реологическое уравнение имеет вид: τ =τ0 . (4.2.4) Это означает, что при τ < τ 0 деформации нет, Рис. 4.5. а при τ ≥ τ 0 течение существует и γ → ∞ . Механические модели для аномальновязких сред могут быть построены комбинацией из этих трех моделей. Рис. 4.6. Механические модели вязкоупругих сред: а − тело Максвелла (вязкоупругое); б− тело Кельвина-Фойгхта (вязкоупругое), в-тело Шведова-Бигама Простейшая механическая модель вязкоупругой жидкости может быть получена последовательным соединением пружины и поршня (рис.4.6,а). Она представляет собой, так называемую максвелловскую жидкость (J. Maxwell, 1868). Поскольку при последовательном соединении: τ1 = τ 2 = τ , γ = γ 1 + γ 2 , где τ1 и τ2 − силы (напряжения), действующие на пружину и поршень, γ − деформация всей системы, то с учётом соотношений τ 1 = Gγ 1 , τ 2 = ηγɺ2 , получим : γɺ = 1 τ dτ τɺ + или λ + τ = ηγɺ , dt G η 83 (4.2.5) 84 здесь λ = η . G Если тело Максвелла подвергается при t ≥ 0 деформации с постоянной скоростью γɺ0 , то из (4.2.5) с учётом начального условия τ(0) = 0 легко получить   t  τ (t ) = ηγɺ0 1 − exp −  .  λ   Отсюда следует, что при t λ → ∞ , напряжение по потенциальному закону стремится к равновесному значению τ ∞ = ηγɺ0 . Величина λ имеет смысл характерного времени переходного процесса и называется временем релаксации. Таким образом, реологические характеристики максвелловских вязкоупругих жидкостей зависят от времени. Механическая модель твёрдого тела, обладающего вязкостью (тело Кельвина), может быть получена параллельным соединением пружины и поршня (рис.4.6, г). Для этой схемы τ 1 + τ 2 = τ , γ = γ 1 = γ 2 , поэтому имеем τ = Gγ + ηγɺ , или 1 λγɺ + γ = τ . (4.2.6) G Реологическая модель типа (4.2.6) рассматривалась также Фойхтом (Voigt,1890), поэтому модель рис.4.6,б часто называется телом Кельвина−Фойгхта. Рис.4.7. Механическая модель Шведова-Бигама Реологическое уравнение жидкости Шведова-Бигама (4.1.3), на рис.4.7. приведены реологические кривые данной модели. Простые модели Максвелла, Кельвина − Фойгхта, Шведова-Бигама не всегда оказываются достаточными для описания реальных вязкоупругих материалов. Это связано со структурой реофизически сложных сред, в которых , например, вместо одной релаксации существует целый спектр релаксаций, характеризующих различные нестационарные процессы. В этой связи часто рассматриваются обобщённые модели, составленные из многих последовательных соединений пружин и поршней (рис. 4.8). 84 85 Рис. 4.8. Обобщённые механические модели: а - тело Олдройда; б - обобщённое тело Максвелла, в - обобщённое тело Кельвина − Фойгхта Выведем реологическое уравнение, соответствующее механической модели, изображённой на рис. 4.8,а. В этом случае имеем: τ 0 = η 0γɺ0 , τ = τ 0 = τ1 + τ 2 , где τ 2 = η1γɺ1 , γ = γ 0 + γ 2, τ 1 = G1γ 1 , напряжения, действующие на поршни η 0 , η1 и пружину G соответственно. Отсюда:  1 1  τ τ τ , γ1 = ,γ 0 = , или γ =  + (4.2.7) η0 D η1 D + G  η1 D + G η 0 D  η1 + η 0 η1 d . G G dt Модель, описываемая реологическим соотношением (4.2.7), была получена Олдройдом (J.G. Oldгoyd, 1953) при теоретическом рассмотрении реологических свойств эмульсий и суспензий. Описываемый подход применим так же и для моделирования грунтов и горных пород. Применение более сложных моделей приводит к реологическим уравнениям вида: N M dn f n n m , где D f = . α D τ = β D γ ∑ ∑ m n dt n n=0 m=0 Для отдельных типов песчанистых глин хорошо подходит модель Кельвина−Фойгхта. Тело Гука моделирует упругие свойства песчинок, а тело Ньютона − вязкие свойства собственно глинистой фракции. Свойства глин Подмосковья хорошо описываются при сжатии моделью Кельвина − Максвелла d 2 ε 1 dε 1  d 2σ 3 dδ σ  + =  + + . dt 2 t 0 dt E  dt 2 t 0 dt t 02  где λ2 = , λ1 = − времена релаксации D = Так как после непродолжительного времени ползучести эти глин наступает условие εɺ = const , кривую на графике ε−t можно аппроксимировать прямой, и поведение глины моделировать, используя модель Максвелла. Выбор модели в большой степени зависит от характера размещения цементирующего вещества в породе, от того, является ли тип цемента контактным или базальным. Для 85 86 приближённого и частичного описания реологических свойств тех или иных типов пород могут быть использованы среды Бюргерса (Bu), Пойтинга−Томсона (PTh), Шведова (Schw) и их комбинации. Однако полностью поведение горных пород не моделирует ни одна подобная модель. Анализируя кривые деформирования и ползучести горных пород, можно сделать заключение о ряде следующих свойств, которые должны быть присущи модели: • • • • • при мгновенном приложении нагрузки происходит соответственная мгновенная деформация; при постоянном напряжении деформация увеличивается со временем. Величина деформации асимптотически стремится к определённому пределу, который зависит от интенсивности действующих напряжений; предел, к которому стремится деформация, нелинейно зависит от действующих напряжений; до определённой величины напряжений (предела упругости ) происходит упругое деформирование тела. После превышения величины критических напряжений начинается пластически вязкое деформирование; рост вязкопластических деформаций сопровождается одновременным ростом упругих деформаций. 4.3. Течения неньютоновских сред. Чтобы установить характер зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформации сдвига и определить реологические параметры жидкости в заданных условиях, используют наиболее простые формы движения (для которых получены аналитические решения уравнений гидромеханики): установившееся ламинарное (слоистое) течение жидкости вдоль оси цилиндрической трубы; установившееся ламинарное тангенциальное течение между двумя соосными цилиндрами. При этих течениях линии тока либо прямые линии, либо − концентрические окружности. Такие течения можно создать лишь в специальных приборах: капиллярных или ротационных вискозиметрах. Рассмотрим течение нелинейно-вязких жидкостей Освальда − Вейля (4.1.4) в круглой трубе. Следуя положениям параграфа 3.5 и полагая трубу горизонтальной, вместо (3.5.3) получим уравнение: n rh f  dV (r )  τ = −k  . (4.3.1)  = ρg 2l  dr  После преобразования и разделения переменных получим: 1  ∆p  n n dV (r ) =   r dr .  k 2l  После интегрирования от 0 до rw получим зависимость: n +1 n w 1 n 1 1 n r  ∂p  n   r V (r ) =   1 −  n +1  ∂x   rw ( 2k )  Максимальная скорость на оси канала и расход: 86    n +1 n   .   (4.3.2) 87 n +1 Vmax Q= 1 n rw n = 1 n +1 ( 2k ) n πrw3 n  rw ∆p   ∂p  n   ,  ∂x  (4.3.3) 1 n   . 3n + 1  2kl  Ниже на рисунках 4.9 и 4.10 представлена зависимость скорости от радиуса. Рис.4.9. Радиальное распределение безразмерной осевой скорости при течении псевдопластической жидкости в цилиндрическом канале 87 88 Рис.4.10. Радиальное распределение безразмерной осевой скорости при течении дилатантной жидкости в цилиндрическом канале Аналогичным образом получим формулы для течения в круглой трубе вязкопластической жидкости Шведова-Бигама (4.1.3), в этом случае интегрирование 2l ведется от 0 до r0 = τ 0 , последнее выражение получено из баланса импульса на ∆p центральном цилиндрическом объеме, который движется как твердое тело со скоростью: 2 rw2 ∂p   r0   τ 0 rw  r  1 − 0 , r ≤ r0 , 1 −    − V0 = Vmax = (4.3.4) 4η ∂x   rw   η  rw    В пристенной области распределение носит параболический характер: 2 rw2 ∂p   r   τ 0 rw  r  1 − , r > r0 . 1 −    − V (r ) = (4.3.5) η  rw  4η ∂x   rw     r На рис.4.11 приведены профили такого течения для различных значений 0 . Расход rw может быть вычислен по формуле: 2  1 r0  2r  r   2 Q = πrw Vmax 1 − 1 −  + 0 1 − 0  . (4.3.6) 3rw  rw   2  rw   Рис.4.11. Радиальное распределение безразмерной осевой скорости при течении жидкости Шведова – Бингама в цилиндрическом канале При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной l , из которых наружный вращается с угловой скоростью ω, реологические параметры вязкопластической жидкости Шведова-Бигама (4.1.3) могут быть определены из соотношения: M  l  τ0 (4.3.7) ω=   + ln α , 4πLR 2η  α 2 − l  η а нелинейно-вязких жидкостей Освальда − Вейля (4.1.4): 88 89 1   n l  M n  ω =  2 − l  , (4.3.8) 2  2 n  2πLR k  α  где М − вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру; α = R0 / R ; R0 и R − радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно. Часто при исследовании аномяльновязких жидкостей удобно использовать при расчетах формулы содержащие зависимость γɺ = f (τ ) . Тогда распределение скорости поперек трубы и расход для любой неньютоновской жидкости определяются зависимостями: τ rw w V (r ) = ∫ f (τ )dτ , τw 2 τw w 3 w 0 πr Q= τ ∫τ (4.3.9) 2 f (τ )dτ . При вращательном движении неньютоновской жидкости между двумя соосными цилиндрами распределение касательного напряжения по радиусу и угловая скорость наружного цилиндра имеют вид: M , τ= 2πr 2 (4.3.10) τ 1 w f (τ ) Ω= ∫ dτ , 2 τe τ Где τ e ,τ w - напряжения касательного трения на поверхности наружного и внутреннего цилиндров. Как Мы уже видели, по мере увеличения скорости течения, всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму − турбулентное движение, при котором движение частиц становится неупорядоченным (хаотичным). Аномальновязкие среды обычно обладают высокой вязкостью, поэтому для них характерно ламинарное движение. Для подобных сред переход от ламинарного к турбулентному режиму течения принято определять по величине обобщённого параметра Рейнольдса: для степенной модели 2 Re′ = 8 n  n 2−n   ρd V , k  6n + 2  (4.3.11) для модели Бингама Vρd Re Re∗ = = . τ 0d τd η+ 1+ 0 6V 6ηV Нижняя граница обобщённых параметров Re′ и Re∗ равна 2100. (4.3.12) 5. Движение жидкостей и газов в пористой среде. 5.1.Основные понятия. Грунт, вследствие неплотного прилегания образующих его частиц друг к другу, является пористой средой. Пористые среды являются типичным примеров гетерогенной сплошной среды. Они состоят из: твердого каркаса и пор. Различают закрытые и 89 90 открытые поры. Первые – замкнутые объемы, заполненные газом или жидкостью, вторые - объемы имеющие не замкнутую границу, через часть которой может проникать газ или жидкость. Течение жидкости и газа (фильтрация) происходит в капиллярных каналах весьма сложной формы, образованных порами грунта. При решении вопросов фильтрации методами гидродинамического анализа приходится пользоваться упрощенными моделями грунта. К таким моделям относятся "идеальный грунт" (рис.5.1), у которого капиллярные каналы, составленные из пор, образующихся между песчинками, принимаются цилиндрическими и параллельными между собой, и "фиктивный грунт", все частички которого принимаются за шары одинакового диаметра (рис.5.2). Рис.5.1. "Идеальный грунт" Рис.5.2. "Фиктивный грунт", упаковки шаров. 1 – кубическая, 2 – ромбоэдрическая Отношение суммы объёмов пор по всему объёму данного грунта называется пористостью: W − W2 m= 1 ,. W1 где W1 − объём грунта, W2 − суммарный объём частиц, составляющих грунт. Пористость «фиктивного грунта» не зависит от диаметра взятых шаров, а зависит только от их расположения в рассматриваемом объёме и определяется по формуле: m = 1− π 6(1 − cos θ ) 1 + 2 cos θ , (5.1.1) где θ − угол, зависящий от взаимного расположения шаров. Σ − Σ1 Отношение n = - называется просветом и физически характеризует собой Σ площадь, через которую фильтруется жидкость. 90 91 где Σ − площадь всего рассматриваемого сечения грунта, занимаемая в этом сечении шарами, Для «фиктивного грунта»: n = 1− π 4 sin θ . Σ1 − площадь, (5.1.2) и зависит только от взаимного расположения шаров. Рис.5.3. К закону Дарси В XIX веке французский ученый Дарси для опытов в песках установил, что для опытов в песках: H − H1 Q u= =k 2 = k⋅J, Σ ∆x м здесь k - коэффициент фильтрации [k ] = , u - осредненная по поверхности Σ , с через которую фильтруется подвижная среда (реальная скорость в порах u 0 всегда больше). Данный закон справедлив, ламинарного течения внутри пор. Н.Н.Павловским предложен критерий допустимости использования закона Дарси, скорость потока должна быть меньше (0,75m − 0,25)v Re ∗ u < u кр = . d Для «идеального» грунта при ламинарном движении скорость жидкости в поровой трубке определяется по формуле: u0 = где k 0 = R2 , β= k 0 ∆p , η l (5.1.3) α , Г − гидравлический радиус поперечного сечения поровой 8 трубки, ∆p − падение гидродинамического давления на длине l поровой трубки, η − динамический коэффициент вязкости, α − число, входящее в степенную формулу, определяющую коэффициент сопротивления β 2 λ= α , (5.1.4) Ri зависящее от режима течения жидкости и показателя i. Скорость ламинарной фильтрации в идеальном грунте, выраженная через действительную скорость течения жидкости по поровому каналу, равна K ∆p u = mu 0 = , (5.1.5) η l 91 92 где K = mk 0 = mR 2 β2 имеет размерность площади и называется проницаемостью. Под проницаемостью пористой среды понимается свойство пропускать через себя жидкость или газ под действием приложенного градиента давления, то есть это проводимость пористой среды по отношению к жидкости или газу. При чисто квадратичной фильтрации (турбулентный режим) действительная скорость течения в поровой трубке не зависит от вязкости жидкости. Скорость фильтрации в этом случае определяется по формуле: u= где k1 = m k1 ρ ∆p , l (5.1.6) α R, β= u= ∆pd 2 n 2 96ηl (1 − m ) (5.1.8) u= k ∆p , η l (5.1.9) . Число α имеет в этом случае иное значение, чем при 8 ламинарной фильтрации. Для определения средней скорости течения жидкости через поровую трубку фиктивного грунта пользуются формулой Слихтера: ∆pdn u0 = . (5.1.7) 96ηl (1 − m ) Здесь d − диаметр шара «фиктивного» грунта. Скорость фильтрации в «фиктивном» грунте равна β или d 2n2 называется теоретической проницаемостью Слихтера. 96(1 − m ) Для «фиктивного» грунта, пористость которого изменяется в интервале 0.26 < m <0.48, приближённое значение теоретической проницаемости определяется по формуле: k = 0.01057 m 3.3 d 2 . (5.1.10) При определении средней скорости движения по поровому каналу, в связи с его криволинейностью, необходимо вместо действительной толщины пласта (грунта) h вводить фиктивную толщину: где величина k = h1 = h 3 (1 − m ) . 2 (1 − n ) Расход жидкости через «фиктивный» грунт: Q= k ∆p Fd 2 ∆p F или Q = , 96ηhσ η h 92 (5.1.11) 93 1− m . При измерении [d] и [h] в сантиметрах [F] n2 − в квадратных сантиметрах, [µ] − [дина⋅с/см2], [ ∆p ]− см. вод. ст. при 4°С и [Q] −[см3/с] , формула расхода принимает вид pd 2 F Q = 10.22 . ηhσ Приведённые формулы скорости и расхода применимы для частиц, средний диаметр которых изменяется в пределах 0,01мм − 5 мм. Формула (2.26) является основной формулой для определения скорости фильтрации в фиктивном грунте. Для определения коэффициента проницаемости этой формулы существует ряд зависимостей, из которых наиболее распространёнными являются: формула Козени, уточнённая Л.С.Лейбензоном: где F − площадь сечения грунта, σ = • k= • 54 β 2 (1 − m ) 3 m2d 2 (1 − m )2 / 3 (5.1.12) , (5.1.13) где коэффициент ε зависит от структуры грунта; для песка с гладкой поверхностью ε = 10.5; с угловатой − 6.0. формула Терцаги II: k =ε • , где β2 = 5/3, исходя из предположения, что поперечное сечение порового канала есть равносторонний треугольник; для случая квадратного сечения β2 = 16/5. формула Терцаги I: k =ε • m 3 d 2 (1 − n ) (m − m0 )2 , (1 − m )2 / 3 (5.1.14) где m0 = 0.13; при m = m0, т.е. когда пористость грунта очень мала, фильтрация, согласно этой формуле, прекращается. Формула Лейбензона, выведенная из приложения теории обтекания к фильтрации в фиктивном грунте: n2d 2 k= (5.1.15) 48(1 − m ) Пользуясь методом размерности, Лейбензон получил следующую общую формулу теории фильтрации: Ω = B1F (R ), где В1 − некоторая постоянная, а Ω и Г − безразмерные величины, определяемые равенствами: Ω= ρk 3 / 2 ∆p Uρ k , R= . 2 η h η Указанные формулы могут быть использованы при исследовании фильтрации жидкости через естественный грунт с последующей заменой диаметра d шара фиктивного 93 94 грунта через так называемый эффективный или действующий диаметр частиц естественного грунта. 5.2.Определение эффективного диаметра. Для характеристики гетерогенных систем используют понятие среднего эффективного диаметра (радиуса): В связи со сложностью описания реальных потоков получили распространение методы осреднения размера частиц. Большинство этих методов сводится к использованию выражений вида17: 1 ∞ m  m −n  ∫ r f (r )dr   rm ,n =  0∞ .  n   ∫ r f (r )dr   0  В частности весьма популярен r4,3 – среднемассовый размер частиц. Следует отметить, что такой подход (приемлемый при решении отдельных задач) может приводить к серьезным ошибкам, в том числе и качественного характера. Зная закон массового распределения частиц по размерам, и имея в своём распоряжении интегральную кривую весового участия фракций грунта, можно определить эффективный диаметр. • Метод Аллан Газена. За эффективный диаметр частицы принимается такой диаметр, для которого сумма весов всех фракций от нуля и, кончая этим диаметром, составляет 10% от d взятого веса грунта; при этом должно выполняться условие 0 ≤ 5, где dе − диаметр, при de котором сумма весов всех фракций от нуля и, кончая этим диаметром, составляет 60% от веса всех фракций. Это отношение называется коэффициентом неоднородности. • Метод Крюгер−Цункера. Эффективный диаметр определяется из соотношения: 100 ∆g =∑ i , de di (5.2.1) ∆gi − весовое участие фракции в общем весе взятой единицы объёма грунта, di − средний диаметр фракции, определяемый как среднее арифметическое крайних диаметров d i′ и d i′′ этой фракции: 1 d i = (d i′ + d i′′) . 2 • Метод Козени. Эффективный диаметр находится по формуле: где n 1 ∆g 3 ∆g1 =∑ i + . d e i = 2 d i 2 d1 (5.2.2) При этом d1 − верхний крайний диаметр последней фракции (который должен быть меньше 0.0025мм). ∆g1 − доля веса грунта последней фракции, выраженная в процентах. Средний диаметр фракции 17 На практике интеграллы заменяются суммами по фракциям. 94 95 1 1 2 1 d i =  + + . 3  d i′ d i′ + d i′′ d i′′ • Метод Замарина. Эффективный диаметр определяется по формуле: n 1 3 ∆g1 d = ∑ Ai ln i +1 + , d e i =2 d i 2 d1 (5.2.3) где Аi − угловые коэффициенты (относительно оси d) последовательных прямых отрезков кривой весового участия фракции. 5.3.Формулы фильтрации. Закон Дарси. При очень медленном движении жидкости в пористой среде (пласте), когда силы инерции ничтожно малы и ими можно пренебречь, для скорости фильтрации принят так называемый линейный закон фильтрации, или закон Дарси: ∆H u=k = kJ , (5.3.1) l где ∆H/l − потеря напора на единицу длины пласта (соответствует гидравлическому уклону J ). Коэффициент пропорциональности k в формуле (2.36) называется коэффициентом фильтрации. Он характеризует одновременно фильтрационную способность среды и протекающей в нём жидкости. [К] = [см/с]. Закон Дарси можно выразить через коэффициент проницаемости k, характеризующий пористую среду, и динамический коэффициент вязкости µ жидкости: k U = γi , (5.3.2) η γ − удельный вес жидкости. Расход жидкости Q, протекающий через площадь фильтрации f, определяется формулой: k ∆p Q= f . (5.3.3) η l Закон Дарси в дифференциальной форме dH k dp =− , ds η ds где s − направление, которое берётся вдоль струйки по скорости U . Для коэффициента проницаемости имеем ηK k= . U = −K γ (5.3.4) (5.3.5) [k] = см2. см 3 г ⋅ 0.01 ⋅ 1см с см ⋅ с 1 дарси = = 1.02 ⋅ 10−8 см 2 . г 2 981 2 ⋅ 1см с ⋅ см Коэффициент проницаемости равен 1 дарси при абсолютной вязкости µ = 1 сантипуазу, ∆р =1 ат на длине 1 см, площади сечения 1 см2 и расходе жидкости 1 см3/с. 1 95 96 • • • При движении жидкости в крупнозернистых грунтах закон ламинарной фильтрации нарушается в связи с турбулентным характером течения. Такое нарушение может происходить и при ламинарном движении за счёт сравнительно высоких скоростей течения, при которых нельзя пренебрегать влиянием сил инерции. Критерием существования ламинарной фильтрации является число Рейнольдса. Ud e 1 По Н.Н. Павловскому Re = . (0.75m + 0.23) ν При этом 7< Гeкр < 5. 10 U k , 1< Гeкр < 12. По В.Н. Щелкачёву Re = 2,3 m ν М.Д. Миллионщиков ввёл в формулу Рейнольдса внутренний масштаб породы (линейный размер) l*: k l∗ = , m где k − коэффициент проницаемости, m − пористость; за характерную скорость U принимается истинная скорость фильтрации, равная u = . m Тогда ul ∗ Re = . (5.3.6) ν Критическое значение 0.022 < Гeкр< 0.290. Если фильтрация не подчиняется закону Дарси (нелинейна), то используют следующие представления: скорость U или дебит Q представляются степенной зависимостью от градиента давления U = C∆p n , (5.3.7) где C и n некоторые коэффициенты; двучленной формулой для градиента давления вида − dp µ = U + bU 2 , ds k (5.3.8) где − ds − элемент струйки, b − коэффициент, зависящий от геометрии пористой среды, шероховатости и т.п. Скорости фильтрации струек пропорциональны расходам (дебитам), поэтому двучленный закон сопротивления при нелинейной фильтрации может быть представлен уравнением индикаторной кривой для несжимаемой жидкости в виде ∆p = AQ + BQ 2 , (5.3.9) графически изображаемой параболой. Для газа (воздуха) будем иметь 2 ∆p 2 = A1Qприв +B1Qприв , где А1 и В1 − параметры, характерные для данного пласта и скважины. Л.С. Лейбензон, исходя из общей теории фильтрации, предложил определять скорость фильтрации по формуле: 1 ν  gk k  S U= J ; 2 k  ν B1  96 97 здесь ν − кинематический коэффициент вязкости, J − гидравлический уклон, k − проницаемость, B1 − постоянная величина. При квадратичной турбулентной фильтрации показатель степени S = 2. 6. Гетерогенные потоки. Кавитация. Методы и подходы изученной нами классической гидро-газовой динамики могут быть распространены и на более сложные сплошные среды. Так на практике, часто приходится учитывать наличие в потоке твердых частиц, пузырьков, капель, так называемой к-фазы (от термина конденсированный). Такие среды принято называть гетерогенными, или многофазными. Описанию моделей и исследованию движений таких сред посвящено большое количество монографий18. В данном курсе мы ознакомимся с двухфазными моно- и полидисперсными течениями газа с частицами. 6.1. Кавитация. Причины возникновения. Число кавитации. Течения газо-жидкостных сред в трубах. В чистых жидкостях связь между молекулами является нaстолько прочной, что для ее разрыва согласно теоретическим данным необходимо было бы прикладывать растягивающие напряжения порядка нескольких тысяч килограммов на квадратный сантиметр. В реальных условиях для разрыва сплошности жидкости не нужно создавать больших растягивающих напряжений. В большинстве практически важных случаев разрыв часто возникает даже при положительных значениях давления в жидкости, близких к значениям ее насыщенных паров. Например, для воды при комнатной, температуре указанное давление составляет 1000-2000 Ïà . Основная причина большого снижения прочности наличие в жидкости нерастворенных газов. газовые включения при рассмотрении кавитационных процессов называют ядрами кaвитации. Если условно предположить, что ядра имеют форму сферических газовых пузырьков, то их радиус оценивается величиной 10 −6 ÷ 10 −4 м. Причина существования ядер пока не имеет объяснения. Из имеющихся представлений о поведении пузырьков известно, что крупные пузырьки должны всплывать, а мелкие, участвующие в броуновском движении, вследствие больших сил поверхностного натяжения - растворяться. Наиболее аргументирована гипотеза Е. Н. Гарвеем, согласно которой включения нерастворенного газа концентрируются вблизи гидрофобных (несмачиваемых) поверхностей, микротрещин твердых тел, а также микроскопического размера частиц, находящихся в жидкости во взвешенном состоянии. Таким образом, Кавитация - это местное нарушение сплошности течения с образованием паровых и газовых пузырей (каверн), обусловленное местным падением давления в потоке. Кавитация в обычных случаях - нежелательное явление, и ее не следует допускать в трубопроводах и других элементах гидросистем. Кавитация возникает в кранах, вентилях, задвижках, жиклерах и т.д. В качестве примера приведем течение в трубке Вентури (рис.6.1). 18 Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. ч.I М.: Наука, 1987. –464с, ч.II М.: Наука, 1987. 360с., Стернин Л.И., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно-и полидисперсные течения газа с частицами. М.: Машиностроение, 1980.-172с. 97 98 Рис.6.1. Кавитация в сужающемся канале В результате сужения потока вырастает его скорость, а давление падает. Если оно становится меньше некоторого давления примерно равного давлению насыщенных поров жидкости, происходит образование пузырьков. При дальнейшем расширении потока давление возрастает, что может привести к схлопыванию пузырьков с образованием локальных ударных волн. Последнее ведет к разрушению стенок и твердых поверхностей механизмов: винтов, труб, лопаток насосов. Для оценки возможности кавитации вводится параметр, называемый числом кавитации: p − pk σk = 1 . 1 2 ρu1 2 Для каждого конкретного устройства, обычно определяется его критическое значение, ниже которого возможно возникновение кавитации. В первом приближении в качестве p k берут давление насыщенных паров жидкости при заданной температуре. Рассмотри газо-жидкостное течение в трубе. Экспериментально установлены следующие виды (режимы) истечения (типы потоков) жидкостей с вязкостями η менее 0,1 Па ⋅ с и газами примерно равными плотности воздуха (рис.5.2). 1. «Пенное» течение («пенный» поток), при котором пузырьки газа распределены по всей жидкости. Процесс наблюдается при поверхностных скоростях: для жидкости – 1,5÷4,5 м/с; для газов – 0,3÷3,0 м/с. 1. «Пузырьковое» течение («пузырьковый» поток) при котором порции жидкости и газа попеременно движутся по верхней части трубы. Имеет место при скоростях жидкости менее 0,6 м/с и газа менее 0,9 м/с. 2. «Плоское» течение («плоский» или «ровный» поток), при котором жидкость движется по дну трубы, а газ – по гладкой поверхности раздела фаз. Имеет место при поверхностных скоростях жидкости менее 0,15 м/с и газа 0,6÷3,0 м/с. 3. «Волновое» течение («волновой» поток) аналогично «плоскому», за исключением того, что на поверхности раздела фаз образуются волны, бегущие в направлении движения потока при скоростях жидкости менее 0,3 м/с и примерно 4,5 м/с. 98 99 4. «Поршневое» течение («поршневой» поток) наблюдается, когда порция жидкости периодически подхватывается быстродвижущимся газом и образует пенную пробку, которая проходит по трубе со скоростью большей, чем средняя скорость жидкости. 5. В этом случае могут происходить интенсивные вибрации магистралей вследствие ударов быстродвижущихся пробок, например, о фитинги. 6. «Слоистое» течение («слоистый» поток) или («кольцевой» поток), при котором жидкость движется слоем, покрывающим внутреннюю поверхность трубы, а газ – вместе с захваченными каплями жидкости проходит по центральной части трубы. Процесс наблюдается при поверхностных скоростях газа более 6 м/с. 7. «Дисперсное» течение («распыленный» или «дисперсный» поток), при котором почти вся жидкость в виде мелких капель захватывается газом. Процесс наблюдается при поверхностных скоростях газа, превышающих 60 м/с. Рис.6.2. Режимы течения двухфазных потоков в горизонтальных каналах 99 100 а) расслоенный; б) волновой; в) пузырьковый; г) снарядный; д) эмульсионный; е) дисперсно-кольцевой. 6.2. Коэффициенты сопротивления и теплообмена частиц. Для разработки математических моделей гетерогенных потоков рассмотрим сначала взаимодействие отдельной частицы с несущей средой. Для прстоты будем считать ее поверхность сферической. Движение частиц в потоке определяется сложными закономерностями взаимодействия частиц с газовой фазой и между собой, а также изменением фракционного состава конденсированной фазы (к-фазы). Перечисли коротко некоторые эффекты, связанные с наличием в потоке второй фазы: 1. На частицу со стороны газа могут действовать силы: аэродинамического сопротивления, Архимеда (из за разности плотности фаз), Магнуса и Сеффмена (поперечные силы, возникающие из за вращения частицы и неравномерности набегающего потока), сила присоединенных масс, сила Бассэ (учитывающая нестационарный пограничный слой на поверхности частицы), термофоретической силы (при наличии градиента температуры горячие молекулы сильней воздействуют на частицу) и др. Капля сохраняет сферическую форму за счет поверхностного натяжения. Если число Вебера We = ρd p V − V p σ 2 (отношение силы аэродинамического сопротивления к поверхностному натяжению) превышает значение 15-20, то капля дробится. Причем в эксперименте наблюдаются различные варианты распада капель. Этим в частности объясняется, почему градины могут иметь довольно большой размер, а капли дождя примерно одинаковы. 2. Частицы могут сталкиваться между собой и следовательно обмениваться массой, импульсом и энергией. Так столкновение двух капель или капли с твердой частицей при малых скоростях может привести к их объединению – коагуляции, при больших скоростях к дроблению, захвату массы одной из частиц у другой, вращению частиц (если взаимодействие не центральное). Последнее явление, может привести к дроблению капли под действием центробежной силы. 3. Изменение параметров газовой фазы (температуры, давления) может привести к образованию (гомогенная конденсация) или исчезновению ( схлопывание газовых пузырьков), изменению фазового состояния (плавление, кристаллизация и испарение частиц) гетерогенной фазы. Таким образом, описание поведения гетерогенной фазы в потоке в общем случае является весьма трудной задачей. Будем предполагать, что частиц в потоке мало и их столкновением, а следовательно и собственным объемом частиц, а также их вкладом в создание давления можно пренебречь. Но в то же время частиц достаточно, что бы рассматривать их совокупность как сплошную среду, как много скоростной и много температурный континуум. Реальное течение газа с частицами заменяется взаимопроникающим движением газа и частиц конденсированной фазы. В каждой точке потока, за исключением некоторых областей свободных от частиц, имеются два набора параметров (для газа и для “газа” частиц). Под плотностью “газа” частиц ρр понимается масса частиц, в единице объёма двухфазной среды. Для простоты анализа не будем учитывать массобмен между фазами и теплообмен газа с внешней средой, учтем лишь конвективный теплообмен между частицами и газом. Пренебрегаем также вращением частиц и объемными силами. Будем полагать, что диаметр частиц мал, а теплопроводность их 100 101 материала достаточно высока, и следовательно, градиент температуры по радиусу частицы пренебрежимо мал. Газ будем считать политропным. Параметры “газа” частиц условимся обозначать нижним индексом “p”, а параметрам материала частиц присвоим дополнительный верхний индекс “о”. Далее будет дана краткая сводка формул для определения коэффициентов сопротивления и теплоотдачи при движении одиночной частицы в безграничном, однородном вязком потоке (рис.6.1). Рис.6.3. Схема обтекания частицы Первые, зафиксированные письменно, попытки определения силы сопротивления сферы были предприняты Ньютоном (1710г.). Он наблюдал за движением полых сфер, сбрасываемых с собора Святого Павла, аналогичные эксперименты проводил и Галилей. С тех пор выполнено огромно количество измерений и расчетов величины силы сопротивления, как для сфер, так и для других тел. Исследования продолжаются и по сию пору. Первое аналитическое решение задачи о сопротивлении твердой сферы, ρVd p обтекаемой вязким несжимаемым потоком при малых числах Рейнольдса Re = , без η учета инерционных членов, было получено Стоксом (1851г): P = 6πηrpV . (6.1) Величина Р определяется на 2/3 сопротивлением трения и на 1/3 силами давления (сопротивление формы). Выражение (1.1) называют законом Стокса для сопротивления сферы. Сопротивление тела принято характеризовать коэффициентом сопротивления: P Сd = . (6.2) 2 ρV πrp2 / 2 Закон Стокса в такой форме записи имеет вид: 24 Cd = . (6.3) Re Рыбчинский (1911г.) и независимо от него Адамар (1912г.) рассмотрели обтекание сферической капли и получили выражение для коэффициента сопротивления решение: 24 1 + 2η /(3η p ) Cd = . (6.4) Re 1 + η / η p здесь µр – коэффициент динамической вязкости материала капли. Озеен (1927г.), частично учел инерционные члены и получил закон сопротивления сферической частицы в виде: 24  3  (6.5) Cd = 1 + Re  . Re  16  Праудмен и Пирсон (1957г.) получили еще более точное решение: 101 102  24  3 9  Re  1 + Re+ Re 2 ln  + O(Re 2 ) . (6.6)  Re  16 160  2   Сравнение с экспериментом показывает, что (6.3) справедливо для Re<1, (6.5) - до Re< 10, (6.6) – до Re<100. Вопрос о сопротивлении несферических частиц теоретически решен только для эллипсоидов. Если а – экваториальная ось эллипсоида, а β - отношение длин большой и малой оси эллипсоида, то P = 6πηaVK ( β ), Cd = −1  β ( β 2 − 2)  4 K ( β ) = ( β 2 − 1)  arctg β 2 − 1 + β  . 3  β 2 − 1  Коэффициент теплоотдачи от сферы α связан с числом Нуссельта формулой 2r α Nu = p . λ (6.6) (6.7) Теоретические решения для определения Nu существуют только для режимов Стокса и близких к ним и могут быть представлены в виде ряда: 1 Nu = 2 + Pe + ... , (6.8) 2 где Pe = 2 ρVrp c p / λ - число Пекле, cp – удельная теплоемкость газа. Таким образом, имеющиеся аналитические решения охватывают весьма узкий диапазон обтекания частиц ламинарным потоком. Ниже на рисунке приведен график зависимости Cd,n для случая обтекания сферы несжимаемой жидкостью, так называемая стандартная кривая сопротивления. Рис.6.4 Зависимость коэффициента сопротивления от Re для обтекания сферы несжимаемой жидкостью: 1 – стандартная кривая сопротивления; 2 – по закону Стокса: 3 – по закону Ньютона: 4 – по формуле Озеена; 5,6,7 – влияние турбулентности: 8,9 – влияние испарения капли: 10 – влияние шероховатости 102 103 Поэтому на практике используют эмпирические аппроксимационные зависимости. Таких формул в настоящее время существует довольно много19. В каждом конкретном случае необходимо выбирать наиболее приемлемую формулу. В частности для стандартной кривой сопротивления предложены: формула Лангмюра (1944г.) 24 Cd , n = (1 + 0.197 Re 0.68 + 0.026 Re1.38 ), 1 < Re < 100, Re формула Б.Б.Кудряшова Сd ,n = 0.386 ⋅ 1.325(lg Re −3.87 ) . Для учета сжимаемости потока может быть рекомендована формула А.П.Тишина 1 − 0.445M + 4.84 M 2 − 9.73M 3 + 6.94 M 4 Сd = Сd , n , 200 < Re < 10000, 1 + 1.2 MСd ,n 2 M= 2 V − Vp , 0.2 < M < 0.98 c Отметим также подход А.Л.Стасенко, а также соотношения Хендерсона, справедливые для широкого диапазона определяющих параметров20. Существенно меньше формул для описания теплообмена частиц с газом. Известна и широко используется формула Дрейка21: Nu 0 = 2 + 0.459 Re 0.55 Pr 0.33 , Pr = которую обобщил Ковано: c pη λ , Nu 0 . M 1 + 3.42 Nu Re Pr Хорошо зарекомендовала себя, особенно для описания высокоскоростных течений, формула А.И. Ивандаева и течений с ударными волнами: Nu = 19 Гилииский М.М., Стасенко А.Л. Сверхзвуковые газодисперсные струи. М.: Машиностроение, 1990. 176 с. Крайко А.Н., Нигматулин Р.И., Старков В.К., Стернин Л.Е. и др. Механика многофазных сред. Итоги науки и техники. Серия “Гидромеханика” . т.6, М.: 1972, с.93-174. Стернин Л.И., Маслов Б.Н., Шрайбер А.А., Подвысоцкий А.М. Двухфазные моно - и полидисперсные течения газа с частицами. – М.: Машиностроение, 1980.-172с. Ивандаев А.И., Кутушев А.Г., Нигматулин Р.И. Газовая динамика многофазных сред. Ударные и детонационные волны в газовзвесях. Итоги науки и техники. Серия “Механика жидкости и газа” . т.16, М.: 1981, с.209-274. 20 Хендерсон С.В. Коэффициент сопротивления сферы в течениях разреженного газа и сплошной среды // Ракетная Техника и Космонавтика, 1976. т.16, №4, с.5-7. Хендерсон С.В. Ответ автора Уолшу // Ракетная Техника и Космонавтика, 1977. т.15, №6, с.150-151. 21 Nu = 2 rα λ - Число Нуссельта - один из основных критериев подобия тепловых процессов, характеризующий соотношение между интенсивностью теплообмена за счёт конвекции и интенсивностью теплообмена за счёт теплопроводности (в условиях неподвижной среды). Названо в честь немецкого инженера Вильгельма Нуссельта. Pr = c pη λ - число Прандтля. 103 104    exp(− M )    M  p  Nu p = 2 + 0.459 Re 0p.55 Pr 0.33 0.666 + 0.333 exp − 17 p  .  Mp   Re p     1 + 17 Re  p   6.3. Основные уравнения для двухфазных монодисперсных течений Будем предполагать для простоты, что частицы к-фазы представляют собой неизменяемые твердые сферы, одинакового диаметра. Такие среды принято называть монодисперсными, а в случае если диаметр у частиц разный – полидисперсными. В основу, как и ранее, положим законы сохранения массы, импульса и энергии. Запишем их связанного с газом, и окруженного поверхность σ (t ) . для Лагранжевого объема Закон сохранения массы для смеси в целом: d ( ρ + ρ p )dω = ∫∫ ρ p (V − V p )n dσ . (6.8) dt ∫∫∫ ω (t ) σ (t ) ω ( t ) Закон сохранения импульса для смеси в целом: d ( ρV + ρ pV p )dω = − ∫∫ pn dσ + ∫∫ ρ pV p (V − V p )n dσ . dt ω∫∫∫ (t ) σ (t ) σ (t ) (6.9) Закон сохранения энергии для смеси в целом:  V 2  V p2   d     e e + + + ρ ρ  p p   dω =  2  dt ω∫∫∫ 2    (t )    (6.10)  V p2  − ∫∫ pn ⋅ Vdσ + ∫∫ ρ p  + e p (V − V p )n dσ .  2  σ (t ) σ (t )   Члены, стоящие в левой части соотношений, представляют собой потоки массы, импульса и полной энергии “газа” частиц через границу σ(t) подвижного объема ω(t). Воспользуемся формулой дифференцирования по подвижному объему (2.7) и перейдем к Эйлерову объему ω , тогда: d ( ρ + ρ p )dω + ∫∫ ( ρV + ρ pV p )ndσ = 0 . (6.11) dt ∫∫∫ ω σ d ( ρV + ρ pV p )dω + ∫∫[ pn + ρVV ⋅ n ]dσ + ∫∫ ρ pV pV p ⋅ ndσ = 0 . dt ∫∫∫ ω σ σ (6.12)  V 2  V p2   d    dω +   e e + + + ρ ρ   p p ∫∫∫   2  dt ω   2    (6.13)  V p2    V 2  + ∫∫  pn ⋅ V + ρ  + e V ⋅ n  dσ + ∫∫ ρ p  + e p V p ⋅ n dσ = 0.  2   2  σ  σ    Так как обмен массой между фазами отсутствует, законы сохранения для газа и “газа” частиц примут вид: d ρdω + ∫∫ ρV ⋅ ndσ = 0 , dt ∫∫∫ ω σ d ρ p dω + ∫∫ ρ pV p ⋅ n dσ = 0 . dt ∫∫∫ ω σ 104 (6.14) (6.15) 105 Динамическое взаимодействие фаз – обмен импульсом меду фазами (частицы могут тормозится или ускорятся газом, и наоборот) можно трактовать как воздействие на газ объемной силы fp пропорциональной плотности “газа” частиц ρp. Запишем уравнение движения отдельной частицы dm pV p = P. dt После несложных преобразований с учетом (6.2) оно примет вид: 3 ρ V − V p (V − V p ) (6.16) Cd . 8 dt ρ op rp Получим так же уравнение теплообмена частицы с газом, в предположении справедливости закона теплообмена Ньютона, отсутствия теплообмена излучением, постоянства температуры частицы по ее радиусу: dc op ρ opT p = αΣ p (T p − T ) , dt Где α - коэффициент теплообмена, а верхний индекс «о» относится к материалу частиц. Преобразуя с учетом (6.7) получим. dT p 3λNu = q = o o 2 (T p − T ) . (6.17) dt 2c p ρ p r p Тогда законы сохранения импульса для газа и “газа” частиц могут быть записаны в виде: d ρVdω + ∫∫ [ pn + ρVV ⋅ n ]dσ + ∫∫∫ ρ p f p dω = 0 . (6.18) dt ∫∫∫ ω σ ω dV p = fp = d ρ pV p dω + ∫∫ ρ pV pV p ⋅ n dσ = ∫∫∫ ρ p f p dω . (6.19) dt ∫∫∫ ω σ ω Легко видеть, что суммирование полученных уравнений дает закон сохранения импульса для всей смеси (6.12). Аналогично получим законы сохранения энергии для газа и “газа” частиц   V 2  V 2  d    ρ + e d ω + p n ⋅ V + ρ + e V ⋅ n  dσ + ∫∫ ρ p (V p ⋅ f p + q )dσ , (6.20)  ∫∫∫ ∫∫   dt ω  2   2  σ  σ  2 2 V  V  d (6.21) ρ p  p + e p dω + ∫∫ ρ p  p + e p V p ⋅ ndσ = ∫∫ ρ p (V p ⋅ f p + q)dσ . ∫∫∫ dt ω σ σ  2   2  Таким образом, мы имеем две системы интегральных соотношений, связанных между собой источниковыми членами. Причем в соотношениях для “газа” частиц отсутствует “давление частиц”, так как в принятой модели динамический и энергетический обмен между частицами осуществляется только через газ. В последние десятилетия предлагаются такие модели. Введение “давления частиц” позволяет описать эффект динамического взаимодействия частиц между собой, который проявляется в областях с повышенной концентрацией к-фазы. В частности в так называемых пеленах – течениях типа струй из частиц, которые возникают за обтекаемыми двухфазным потоком твердыми поверхностями. Отсутствие в модели собственного “давления частиц”, в случае непрерывности параметров позволяет записать для “газа” частиц отдельно уравнения сохранения кинетической и внутренней энергии. Воспользуемся формулой ГауссаОстроградского и учитывая произвольность ω получим из (6.19) ∂ ( ρ pV p ) + (∇ ⋅ ρ pV p )V p = ρ p f p , ∂t 105 106 умножим его скалярно на Vp ∂ ( ρ pV p ) + V p ⋅ (∇ ⋅ ρ pV p )V p = V p ⋅ ρ p f p . ∂t Используя очевидное равенство ∂ ( AV p ) ∂  V p2  V p2 ∂A Vp = A + , q = x, y , z , t , ∂q ∂q  2  2 ∂q выведем уравнение сохранения кинетической энергии для “газа” частиц: 2 2  V2  V2 ∂  V p  V p ∂ρ p ρp + + ∇ ⋅  ρ pV p p  + p ∇ ⋅ ρ pV p = ρ pV p ⋅ f p (6.22)  ∂t  2  2 ∂t 2  2  Интегрируя (6.22) по ω и используя формулу Гаусса-Остроградского получим интегральный закон сохранения кинетической энергии для “газа” частиц: V p2 V p2 d ρ d ω + (6.23) p ∫∫σ 2 ρ pV p ⋅ ndσ = ∫∫σ ρ pV p ⋅ f p dσ . dt ∫∫∫ 2 ω Вычитая его из (6.21) получаем закон сохранения тепловой энергии для “газа” частиц: d ρ p e p dω + ∫∫ ρ p e pV p ⋅ ndσ = ∫∫ ρ p qdσ . (6.24) dt ∫∫∫ ω σ σ Напомним, что последние два соотношения справедливы для течений без разрывов. Для того, что бы распространить их на течения с разрывами необходимо дополнить их соотношениями об обмене кинетической и тепловой энергией при переходе через скачок. Если такого обмена нет, то (6.23), (6.24) справедливы и для разрывных течений. Аналогично можно получить дифференциальные соотношения и для остальных законов сохранения: ∂ρ p ∂ρ + ∇ ⋅ ( ρV ) = 0, + ∇ ⋅ ( ρ pV p ) = 0 , (6.25) ∂t ∂t ∂ ( ρV + ρ pV p ) + ∇p + ∇[⋅( ρV )V ] + ∇[⋅( ρV ) p V p ] = 0, (6.26) ∂t   V p2   V p2   V 2  ∂  V 2       + e + ρ p + e p ∇p + ∇ ⋅  pV + ( ρV ) + e  + ( ρV ) p  + e p  = 0, (6.27) ρ   2   2  ∂t   2   2       Уравнение движения частицы и теплообмена ее с окружающей средой dV p ∂V p ≡ + V p ⋅ ∇V p = f , (6.28) dt ∂t de p ∂e p ≡ + V p ⋅ ∇e p = q . (6.29) dt ∂t Используя ρe = ρh – p из (6.26-29) получаем: dV ρ + ∇p + ρ p f p = 0 , (6.30) dt dh dp ρ − + ρ p [(V p − V ) f p + q] = 0 . (6.31) dt dt Vp ⋅ 6.4. Система уравнений для полидисперсного течения Дискретный компонент гетерогенных потоков в подавляющем большинстве случаев является полидисперсной системой, в которой массы отдельных частиц могут 106 107 отличаться в десятки и сотни тысяч раз. Если содержание частиц не велико, то их взаимодействие не имеет существенного значения. Наша модель легко может быть обобщена на случай движения полидисперсной смеси, без учета взаимодействия частиц между собой. Пусть в каждой точке пространства, за исключением особых, имеется N+1 скорость и температура, где N – количество фракций, которые различаются между собой (размером, материалом и т.д), тогда движение такой смеси может быть описано системой из 3N+3 уравнений: dρ + ρ∇ ⋅ V = 0 , (6.32) dt dρ i + ρ i∇ ⋅ Vi = 0 , (6.33) dt N dV ρ + ∇p + ∑ ρ i f i = 0 , (6.34) dt i =1 dh dp N (6.35) ρ − + ∑ ρi [(Vi − V ) f i + qi ] = 0 , dt dt i =1 dVi = fi , (6.36) dt dei = qi . (6.37) dt Если основное различие между фракциями – размер частиц, то фракционный (гранулометрический) состав полидисперсного ансамбля может быть выражен посредством нормированных дифференциальных функций счетного f и массового G распределения: df = f (r )dr , dG = G (r )dr , а также соответствующих интегральных характеристик распределения ∞ r R f (r ) = ∫ f (r )dr , D f (r ) = ∫ f (r )dr , r ∞ r r RG (r ) = ∫ G (r )dr , DG (r ) = ∫ G (r )dr , где df, dG – соответственно счетная и массовая доли частиц размером от r до r+dr. Во многих приложениях фракционный состав подчиняется нормальнологарифмическому распределению  (ln r − ln r0 ) 2  1 f (r ) = exp− , 2 ln 2 δ  2π r ln δ  где lnr0, ln2δ - математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение логарифма радиуса. Это имеет место, в частности, при конденсационном образовании аэрозоля, дроблении капель, при распылении жидкостей форсунками. В связи со сложностью описания реальных потоков получили распространение методы осреднения размера частиц. Большинство этих методов сводится к использованию уже упомянутых в предыдущей главе выражений вида: 1 rm ,n ∞ m  m−n  ∫ r f (r )dr   . =  ∞0  n   ∫ r f (r )dr  0  107 108 В частности весьма популярен r4,3 – среднемассовый размер частиц. Следует отметить, что такой подход (приемлемый при решении отдельных задач) может приводить к серьезным ошибкам, в том числе и качественного характера. 6.5. Равновесное и замороженное двухфазные течения Рассмотрим одномерное приближение для случая установившегося непрерывного движения монодисперсной смеси и исследуем ряд предельных случаев такого движения. ∂ d Полагая ≡ 0, ∇ = i , V = ui , после ряда простых преобразований, получим ∂е dx следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: Уравнение движения для частицы: u p du p = ϕ1 (u − u p )dx, 9 2 ϕ1 = Cd Re p = µ , 24 r ρ 0p Re p 2 p ρrp u − u p η (4.38) . Уравнение теплообмена между газом и частицей: u p dTp = ϕ 2 (T − Tp )dx, ϕ2 = 24 Nuϕ1c p . 3 Pr Cd Re p Уравнение движения для смеси и частиц: ρudw + ρ pu p dw p + dp = 0 . Уравнение сохранения энергии для смеси газа и частиц: с p dT + udu + W (c op dTp + u p du p ) = 0, W= ρu . ρ pu p (4.39) (4.40) (4.41) Дополним систему уравнением состояния p = ρRT . Вводя число Маха для газа, получим из (4.40), (4.41) следующие уравнения справедливые для течения в канале переменного сечения:  u p  du p c 0p  du dΣ  (4.42) ( M 2 − 1) = − W M 2 γ − (γ − 1)  − dT p  , u Σ u u c pT    u 2p u2 o с pT + + W (c pTp + ) = E0 . (4.43) 2 2 Рассмотрим уравнение (6.42). Пусть рассматриваемое нами течение газа ускоряющееся du > 0 , тогда газ будет разгонять частицы ⇒ dup > 0 и γ > (γ-1)up/u. Как известно dT < 0, и газ будет охлаждать частицы ⇒ dTp < 0. Видно, что выражение в фигурных скобках {}>0. Таким образом, скорость звука для газа при двухфазном установившемся течении достигается в расширяющейся части сопла dL/L. Причем чем больше концентрация частиц в потоке W, тем дальше. Рассмотрим предельный случай: ϕ1 → ∞. Это случай очень мелких, легких частиц, динамическое и энергетическое взаимодействие которых с газом очень велико. При этом u ≈ up , T ≈ Tp , а рассматриваемое движение называется равновесным. Система уравнений описывающая такое течение имеет вид: 108 109 ρ p = ρW , ( ρ p + ρ )uΣ = mɺ (1 + W ), ( ρ p + ρ )udu + dp = 0, u2 (6.44) (с p + c )T + (1 + W ) = E0 , 2 RT p = ρ (1 + W ) . (1 + W ) Если ввести равновесные расход mɺ r = mɺ (1 + W ) , плотность ρ r = ( ρ p + ρ ) , удельную o p с p + Wc op R , скорость ur = u , 1+W 1+W температуру Tr = T , давление pr = p и определить показатель адиабаты соотношением: теплоемкость (c p ) r = Rr = , газовую постоянную −1      γ −1  , (6.45) γ r = γ γ − 0  c p   1+W   c p   то уравнения для равновесных потоков в точности совпадут с уравнениями обычной газовой динамики. Таким образом, все закономерности для изоэнтропических течений, могут быть перенесены на равновесные двухфазные течения. Отметим, что подобные свойства имеют место и для течений с постоянными скоростным и температурным отставаниями частиц. “Равновесная” скорость звука сr = γ r RrT , (6.46) достигается в минимальном сечении сопла Лаваля. Из формулы (6.46) видно, что сr < c . Очевидно, что можно определить “равновесное” число Маха (1 + W )γ Mr = M . (6.47) γr Второй предельный случай: ϕ1 → 0, ϕ1 → 0. Очевидно, что скорость и температура частиц остаются при этом неизменными. Обычно такое движение называют замороженным. Данное приближение часто используется для оценки максимальных динамического u − u p и температурного T − T p . Приложение 1. Краткие сведения из математики. В данном разделе приводятся без доказательств основные математические соотношения, используемые в МСС. Скаляр – это величина, значением которой является вещественное число. Функция f (x) – отображает числовой аргумент x в числовое значение функции y = f (x). Функцию представляют в виде графиков и таблиц (в одной колонке аргумент, в другой – значение функции). Наряду с функцией одной переменной, рассматривают функции нескольких переменных y = y ( x1 , x 2 ,..., x n ) . Например, уравнение состояния газа задает давление как функцию плотности и температуры: p = F(ρ ,T ) . Функцию двух переменных удобно изображать графически в виде карты изолиний (линий постоянных значений) функции. В случае одной или нескольких переменных можно говорить о совокупности значений скалярной функции, которое называется скалярным полем этой функции (поле температур, поле давления). 109 110 Вектор V - это объект, который характеризуется абсолютной величиной V и ориентацией в пространстве (направлением). Сам вектор не зависит от системы координат, однако в каждой заданной системе координат, можно определить проекции вектора на три координатные оси, и это будут компоненты вектора в данной системе координат. В прямоугольной декартовой системе координат компоненты вектора V , (V x , V y , V z ) - это скалярные функции, которые однозначно задают вектор. V = Vx i + V y j + Vz k а его модуль (длина) V вычисляется по формуле V = V x2 + V y2 + V z2 . Поле векторной величины – распределение вектора над областью изменения аргумента. Для определения векторного поля V достаточно задать систему координат и скалярные поля компонент вектора. Операции над векторами: 1. Умножение на скаляр: A = aB , где a – число или скалярная величина. Каждая компонента A есть каждая компонента B , умноженная на a : a i = abi , i = 1,2,3 . 2. Сложение двух векторов. C = A + B означает ci = ai + bi . Скалярное произведение векторов определяется 3. формулами 3 A ⋅ B = ∑ a i bi = ab cos( A, B) . Очевидно, скалярное произведение ортогональных векторов i =1 равно нулю, а скалярное произведение коллинеарных (параллельных) векторов равно произведению их длин. 4. Квадрат вектора есть скалярное произведение его на себя: A 2 = A ⋅ A . 5. Векторное произведение C = A × B есть вектор, определяемый как определитель: i , j, k C = A × B = a1 , a2 ,a 3 b1 , b2 , b3 Вектор C направлен ортогонально к плоскости, в которой лежат вектора A, B , а его длина равна C = AB sin( A, B) . Очевидно, векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю. Векторное поле графически изображают: 1) стрелками; 2) линиями тока; 3) эпюрами в проекциях. Оператор действует на скалярную функцию или вектор, в результате получается d новая функция или вектор. Например, оператор дифференцирования , действуя на dx функцию f (x) дает новую функцию – ее производную g(x) = f ′(x) . Функционал. Функционал y = F(f) действует на функцию, в результате получается скаляр (число). Таким образом, с помощью функционала каждой функции ставится в соответствие число. Элементы тензорного анализа. Пусть произвольный вектор задан компонентами в основном (ковариантном) и взаимном (контрвариантном) базисе: a = a i ei = ai e i Отметим, что для ортогональных систем координат основной и взаимный базисы совпадают. Далее будем использовать только ортогональные системы координат. 110 111 В современной научной и учебной литературе используется символьная форма записи. Такая форма записи не зависит от системы координат. В частности, при такой форме записи используются объекты называемые тензорами, которые состоят из набора скалярных функций и не зависящий от системы координат (инвариантность относительно преобразования координат). Выше мы рассматривали простейшие тензоры: скаляр и вектор. Тензор характеризуется рангом, который можно определить как количество индексов, используемых для перечисления входящих в него скалярных функций. Так, скаляр – это тензор нулевого ранга, а вектор – это тензор первого ранга. Не все свойства сплошной среды можно описать с помощью этих простейших тензоров; в частности широко используются тензоры второго ранга (диадики) с двухиндексными компонентами Ai , j , каждая из которых является, вообще говоря, скалярной функцией точки пространства. В трехмерном пространстве индексы i, j изменяются от 1 до 3, так что тензор второго ранга содержит 9 компонент. Эти компоненты удобно представить в виде матрицы: a1,1 , a1, 2 , a1,3    A = a2,1 , a2, 2 , a2,3  a , a , a   3,1 3, 2 3,3  При решении конкретных задач МСС приходится переходить от символьной формы записи уравнений, к записи уравнений в конкретной системе координат. При этом удобно использовать единичные вектора базиса и так называемые физические компоненты векторов и тензоров. Единичный базис можно ввести следующим образом: i ei ei ii = = ei g i ,i Здесь G = g i , j - метрический тензор. В ортогональной системе координат метрический имеет диагональный вид: g1,1 0 0 G = 0 g 2,2 0 0 0 g 3, 3 В этом случае для символьной записи вводят коэффициенты Ляме: H i = g i ,i В декартовой системе координат: 1 0 0 G = 0 1 0 , H1 = 1, H 2 = 1, H 3 = 1 . 0 0 1 В цилиндрической системе координат: 1 0 0 G = 0 r 2 0 , H1 = 1, H 2 = r , H 3 = 1 . 0 0 1 В сферической системе координат: 1 0 0 G = 0 r2 0 , H 1 = 1, H 2 = r , H 3 = r sin ϕ . 0 0 r 2 sin 2 ϕ 111 112 Математические действия с тензорами производятся по тем же правилам, что и с матрицами. Среди тензорных операций, помимо тривиальных операций сложения тензоров и умножения тензора на число, выделим операции умножения тензоров второго ранга, тождественное умножению матриц: 3 C = AB = ∑ ai , j b j ,i . j =1 Для нас важно, что если какая то характеристика среды описывается диадикой A , то ее значение в направлении, заданном единичным вектором e , есть вектор 3 a = Ae = ∑ ai , j e f . Так как тензора второго ранга определяются матрицами, то часто j =1 используется понятие следа тензора (матрицы), который равен сумме диагональных элементов: Sr ( A) = tr ( A) = ∑ ai ,i = ai ,i . i В механике при символьной форме записи широко используется оператор Гамильтона: ∂ ∂ ∂ ∇= i1 + i2 + i3 . ∂x3 ∂x1 ∂x2 Переход к физическим компонентам в ортономируемых системах координат по следующим формулам: Градиент скаляра. gradf = ∇f = f ,i - вектор. В декартовой системе координат: ∂f ∂f ∂f ∇f = i + j+ k. ∂x ∂y ∂z В цилиндрической системе координат: ∂f 1 ∂f ∂f ∇f = ir + iϕ + iz . ∂r r ∂ϕ ∂z В сферической системе координат: ∂f 1 ∂f 1 ∂f ∇f = ir + iϕ + iθ . ∂r r ∂ϕ r sin ϕ ∂θ Градиент вектора. grada = ∇a = a i , j - тензор второго ранга. В декартовой системе координат: ∂a x ∂a x ∂a x ∂x ∂y ∂z ∂a y ∂a y ∂a y ∇a = . ∂x ∂y ∂z ∂a z ∂a z ∂a z ∂x ∂y ∂z 112 113 В цилиндрической системе координат: ∂ar  1 ∂a r aϕ   −  ∂r  r ∂ϕ r  ∂aϕ  1 ∂aϕ ar   ∇a = +  ∂r  r ∂ϕ r  ∂a z 1 ∂a z ∂r r ∂ϕ В сферической системе координат: ∂ar  1 ∂ar aϕ   −  ∂r  r ∂ϕ r  ∂aϕ  1 ∂aϕ ar   +  ∇a = ∂r  r ∂ϕ r  ∂aθ ∂r 1 ∂aθ r ∂ϕ ∂ar ∂z ∂aϕ ∂z . ∂a z ∂z  1 ∂ar aθ   −  r   r sin ϕ ∂θ a  1  ∂aϕ  − θ  r sin ϕ  ∂θ rtgϕ  a  1 ∂aθ a  + ϕ + r  r sin ϕ ∂θ rtgϕ r .    Дивергенция вектора. diva = ∇ ⋅ a = tr (∇a ) - скаляр. В декартовой системе координат: ∂a ∂a y ∂a z + ∇⋅a = x + . ∂y ∂z ∂x В цилиндрической системе координат: 1 ∂ra r 1 ∂aϕ ∂a z ∇⋅a = + + . r ∂r r ∂ϕ ∂z В сферической системе координат: 1 ∂r 2 a r 1 ∂ sin ϕaϕ 1 ∂aθ ∇⋅a = 2 + + . ∂r r sin ϕ ∂ϕ r sin ϕ ∂θ r Дивергенция тензора. ∇ ⋅ A - вектор В декартовой системе координат: ∂a xy ∂a xz   ∂a yx ∂a yy ∂a yz   ∂a zx ∂a zy ∂a zz   ∂a i +  j + k . ∇ ⋅ A =  xx + + + + + + ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z   ∂x ∂y ∂z   ∂x В цилиндрической системе координат:  ∂a 1 ∂arϕ ∂arz arr − aϕϕ  ir ∇ ⋅ A =  rr + + + ∂z r ∂ϕ r  ∂r   ∂aϕr 1 ∂aϕϕ ∂aϕz 2aϕr  iϕ . +  + + + r ∂ϕ ∂z r   ∂r  ∂a 1 ∂a zϕ ∂a zz arz  iz +  zr + + + ∂ r r ∂ ϕ ∂ z r   В сферической системе координат: 113 114  ∂a 1 ∂a rϕ 1 ∂arz 2arr − aϕϕ − aθθ + ctgθarϕ  ir + ∇ ⋅ A =  rr + + + r ∂ϕ r sin ϕ ∂z r  ∂r   ∂aϕr 1 ∂aϕϕ 1 ∂aϕθ (aϕr − aθθ )ctgϕ + 3aϕr  iϕ . +  + + + r ∂ϕ r sin ϕ ∂θ r  ∂r   ∂a 1 ∂aθϕ 1 ∂aθθ 3aθr + 2aθϕ ctgϕ  iθ +  θr + + + r ∂ϕ r sin ϕ ∂θ r  ∂r  114