Геометрический метод анализа на устойчивость решения задачи ЛП.

Лекция №3. Геометрический метод анализа на устойчивость решения задачи ЛП. В предыдущей лекции мы научились переходить от словесного описания экономической ситуации к описанию этой же ситуации в математическом виде, в виде задачи линейного программирования. Вполне естественным дальнейшим вопросом в отыскании оптимального решения является вопрос о том, в какой степени найденное оптимальное решение устойчиво. Я уверен, читатель согласится с тем, что современная экономические реалии – это динамично изменяющиеся экономические реалии. Современный производитель, управленец в своей практике сталкивается с возможностью изменения тех или иных условий, которые ограничивают его на рынке. Например, такими изменяющимися условиями могут быть: удорожание ресурсов, которые производителем используются для производства товаров, а значит, его ограничения по этим ресурсам становятся более жесткими (область ОДР сужается); управленец, приняв решение о найме более дешевой рабочей силы, сокращает свои зарплатные расходы, себестоимость товара падает, а его конкурентно способность увеличивается. Анализируя модель линейного программирования (совокупность целевой функции и накладываемых на нее ограничений можно называть математической моделью или просто моделью операции) необходимо ответить на ряд вопросов: 1. На сколько должны будут быть увеличены запасы дефицитных ресурсов для улучшения оптимального решения при сохранении общей структуры? 2. На сколько могут быть снижены запасы дефицитных ресурсов при сохранении общей структуры оптимального решения? 3. Какие дефицитные ресурсы следует увеличить в первую очередь? 4. На сколько могут быть снижены запасы недефицитных ресурсов при сохранении оптимальности полученного решения? 5. Каковы пределы изменения коэффициентов целевой функции, при которых не происходит изменения оптимального решения? 6. Насколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы сделать дефицитный ресурс недефицитным и наоборот? Дабы быть последовательными в решении, выполним анализ на устойчивость задачи, приведенной в предыдущей лекции (задача 3 «О двух товарах»). Анализ на устойчивость решения начинается с определения ресурсов, которые можно назвать дефицитными, и ресурсов не являющихся дефицитными. Дефицитными ресурсами называются те ресурсы, прямые которых определяют точку оптимума. В нашей задаче точка оптимума C находится на пересечении прямых 1 и 2 ограничений. Такие ограничения будем называть связывающими, а ресурсы, которые описываются этими ограничениями, - дефицитными. Соответственно все остальные ограничения – несвязывающими и недефицитными. В задаче 3 недефицитными ресурсами описаны 3 и 4 ограничением, поскольку их пересечение не образовывает точку оптимума. Нужно отметить, что произвести оценку сразу всех параметров модели, поскольку все они между собой взаимосвязаны. Как правило, анализ на устойчивость предполагает неизменность всех параметров кроме исследуемого. Начнем исследование устойчивости найденного оптимального решения с оценки пределов изменения дефицитных ресурсов. Будем анализировать ресурсы по порядку так, как они записаны в системе ограничений. Попытаемся отыскать, в каких пределах можно изменить ресурс сырье с целью увеличить доход о продажи товара. Ресурс сырье в нашей задаче задается прямой оранжевого цвета. Если рассматривать ситуацию, в которой объемы доступных ресурсов увеличиваются, то на графике этот процесс увеличения будет осуществляться параллельным смещением прямой вверх. Рано или поздно за счет такого смещения мы достигнем точки H, и эта точка в нашей задаче является пределом смещения прямой, задаваемой первым ограничением, ограничением на сырье. Когда мы говорим, что точка H – это предел смещения, то это вовсе не значит, что прямая оранжевого цвета не может смещаться далее в пространстве. Это смещение 1 может происходить, но оно будет происходить уже выше допустимой области (график 2), ограниченной прямыми синего и зеленого цвета (ограничение по спросу и ограничение по труду). График 2. Изменение положения прямой, задаваемой ограничением, в координатной плоскости Положение прямой, заданной ограничением на сырье (оранжевая прямая) перестанет быть дефицитным ресурсом для экономический условий, описанных в задаче. В этом случае связывающими ограничениями станут зеленая и синяя прямые, а оптимальное решение перейдет в точку H. При неуклонном увеличении ресурса сырье (рост выше точки H) измениться качественная структура оптимального решения существующей модели. Нами выяснено, что верхним пределом перемещения оранжевой прямой (ресурса сырье) является точка H, а при превышении этой точки связывающими (дефицитными) ресурсами станут ресурсы, задаваемые ограничения синей и зеленой прямой (2-е и 4-е ограничение). Координаты точки пересечения этих прямых находятся из решения системы соответствующих уравнений: { Решив, получим: и . Поскольку мы рассматриваем изменение ресурса сырье, то подставив найденные значения (координаты) точки H в первое ограничение получим . Если найти разницу текущего ограничения на сырье и того значения, которое мы получили в точке H (напомним, что эта точка эта предел увеличения сырья, после которого произойдет структурное изменение оптимального плана), то мы получим тот запас хода в сторону увеличения ресурса сырье без качественных изменений в оптимальном плане. Это разница составляет единицы. Вычислив значение целевой функции в точке H, получим ( ) . Это означает, что в случае перемещения оптимальной точки в точку H доход увеличится на единицы. В итоге, еще раз, при увеличении запаса сырья на единицы доход от операции продажи товара увеличится на единицы. На текущий момент мы определили только верхнюю границу изменения ресурса сырье, нижним пределом изменения ресурса является точка D (график 1 и 2). В случае снижения сырья ниже точки D, первое ограничение (оранжевая прямая) снова становится несвязным. Связывающими ограничениями станут 2 и 3 ограничения. Вычислим координаты точки D, решив систему: 2 { Координаты точки D равны и . Подставив получившиеся значения в первое ограничение, мы сможем узнать нижний предел, ограничивающий нас от структурных изменений в оптимальном плане. Результат равен , а это означает, что сырье может быть уменьшено на единиц. Величина целевой функции в точке D примет следующее значение: ( ) . В итоге, уменьшив ресурс сырье на 9 единиц, доход уменьшится на единицы. Изменяя ресурс сырье в переделах от до единиц, целевая функции будет линейно изменяться в пределах от до единиц. При этом известно, что изменение ресурса в этих пределах не ведет к структурным изменениям в оптимальном плане, а только к количественным передвижкам. Завершающим этапом в оценке устойчивости решения относительно изменений исследуемого ресурса является определение его ценности. Ценность ресурса определяется по формуле: где – это диапазон изменения целевой функции, Определяя ценность ресурса сырье, получим: – диапазон изменения исследуемого ресурса. Следуя описанной методики исследования оптимального решения на устойчивость, определится интервалы изменения всех оставшихся в задаче ресурсов и их ценности. В качестве самостоятельной работы предлагаю читателю выполнить анализ на устойчивость решения для ресурса труд и спрос, а также отыскать ценность этих ресурсов. Успехов в решении! 3