Геодезия в БЖД

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОСИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ» (СГУГиТ) ГЕОДЕЗИЯ В БЖД (Конспект лекций) Новосибирск СГУГиТ 2020 1 В конспекте изложены теоретические основы по дисциплине «Геодезия в БЖД”. Рассмотрены классификация систем координат, их характеристика, связи между системами координат, сведения и свойства проекции Гаусса-Крюгера, решение наиболее распространенных задач в проекции Гаусса-Крюгера, геометрия эллипсоида вращения. В пособии также рассмотрены вопросы вычисления площадей объектов недвижимости и приведены примеры выполнения лабораторных работ по преобразованию координат и вычислению площадей. Данное пособие предназначено для обучающихся по направлению подготовки 21.03.02. Землеустройство и кадастры (уровень бакалавриата). 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................................... 4 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ .................................................................................................... 7 1.1 История развития геодезии .................................................................................... 7 1.2 Единицы мер в топографии и геодезии .............................................................. 10 2. ГЕОМЕТРИЯ ЗЕМЛИ ................................................................................................ 11 2.1 Форма и размеры Земли ....................................................................................... 11 2.3 Cистемы координат, применяемые в топографии и геодезии ............................. 17 2.4 Высоты точек земной поверхности ........................................................................ 21 2.5 Размеры участков земной поверхности, принимаемые за плоскость ................. 22 2.6 Ориентирование направлений в топографии и геодезии ..................................... 25 2.6 Прямая и обратная геодезические задачи.............................................................. 28 3. ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ И КАРТЫ .............................................................. 29 3.1. Понятие о плане и карте. Основные свойства и элементы топографических карт................................................................................................................................... 29 3.2. Проекции топографических карт. Зональная система плоских прямоугольных координат ........................................................................................................................ 32 3.3. Масштабы планов и карт ........................................................................................ 35 3.4 Рельеф земной поверхности и его изображение на топографических картах ... 40 3.5 Определение плановых координат и измерение ориентирующих направлений на топографических картах ........................................................................................... 49 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .............................................................................. 54 3 ВВЕДЕНИЕ Топография (от греч. topos – место, местность и grapho – пишу), научнотехническая дисциплина, изучающая земную поверхность и размещенные на ней объекты в геометрическом отношении, с целью изображения их на топографических картах, планах и профилях. Главной задачей топографии является – создание топографических карт и планов. Основной метод изучения земной поверхности – топографическая съемка. Топографическая съемка – это комплекс (совокупность) полевых измерений на местности и камеральных работ для создания топографических карт земной поверхности в заданном масштабе. Термин «топография» часто принимают эквивалентным термину «геодезия», что в переводе с греческого означает землеразделение (geodaisia, ge – земля и daizo – делю на части, разделяю). С современной точки зрения, геодезия является наукой о методах изучения формы и размеров Земли, изображения ее поверхности на картах, а также о методах специальных измерений необходимых для решения инженерных, экономических и других задач. В процессе своего развития геодезия разделилась на ряд связанных между собой самостоятельных научных дисциплин – высшую геодезию, топографию, космическую геодезию, фототопографию и инженерную геодезию. К задачам высшей геодезии относятся определение фигуры и размеров Земли, изучение гравитационного поля Земли, определение на Земле взаимного положения точек, составляющих государственную геодезическую сеть (ГГС), необходимую для изучения земной поверхности и точного ее картографирования на плоскости с учетом возникающих при этом искажений. В 1960-х гг. начал интенсивно развиваться новый раздел высшей геодезии – космическая (спутниковая) геодезия. Задачами данной дисциплины являются исследование основных параметров и внешнего гравитационного поля Земли и других планет Солнечной системы, а также определение координат пунктов земной поверхности в геоцентрической системе координат. 4 Фототопография (аэрофототопография) занимается изучением методов и средств создания топографических карт и планов по фотоснимкам поверхности Земли. Аэрофототопографиятесно связана с фотограмметрией. Фотограмметрия – это научная и инженерно-техническая дисциплина, занимающаяся определением формы, размеров и положения различных объектов местности путем измерения их изображения на фотоснимках. Инженерная геодезия, имеющая прикладное значение, представляет комплекс геодезических работ, выполняемых при изысканиях, строительстве и эксплуатации различных сооружений, а также при монтаже оборудования, при наблюдениях за вертикальными и горизонтальными смещениями инженерных сооружений. В своей теории и практическом применении топография использует достижения целого ряда наук: математики, физики, электроники и др. Большое значение топография имеет для изучения географических дисциплин картографии, геоморфологии, почвоведения, геологии, ландшафтоведения и др. В задачу картографии входят вопросы теории и способов изображения на плоскости частей земной поверхности (отдельных государств, материков, земного шара), а также разработка методов и процессов создания и использования различных карт. Значение топографии для науки и практики трудно переоценить. Особенно велика роль топографии при картографировании природной среды. Описания местности не могут заменить топографических карт и планов, на которых наглядно передаются все подробности местности. Топографические карты являются необходимыми при проведении полевых экспедиционных работ и представляются незаменимыми при выполнении картометрических исследований. Созданные топографические карты являются основным материалом для составления общегеографических карт. Большая роль принадлежит топографии и геодезии в народном хозяйстве. Геодезические измерения предшествуют многим основным видам деятельности в развитии народного хозяйства страны. Геодезические измерения производятся на поверхности Земли и в ее недрах, в приземных слоях атмосферы, в океанах и морях. 5 Геодезические изыскания выполняются на стадии проектирования, строительства и реконструкции населенных пунктов, железных и шоссейных дорог, тоннелей, мостов, магистральных нефте- и газопроводов и других объектов, а также для наблюдений за сдвигом и осадкой крупных сооружений. Огромное значение геодезические работы имеют в сельском хозяйстве, с которым геодезия связана с древних времен. Проведение землеустроительных работ, направленных на рациональное использование земельных ресурсов, учет сельскохозяйственных земель и их качества, строительство гидромелиоративных и гидротехнических сооружений – все это тесно связано с геодезическими измерениями. Геологические изыскания начинаются и заканчиваются с использованием геодезических материалов и измерений. Строительство метро, шахт и карьеров невозможно без проведения геодезических работ, которые выполняют горные геодезисты – маркшейдеры. Особая роль принадлежит геодезии в вопросах обороноспособности государства. Топографические карты используются для изучения местности, при разработке военных операций и отображения на них боевой обстановки. 6 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 1.1 История развития геодезии Истоки зарождения геодезии проследить исторически трудно. Вероятно, они относятся к тому времени, когда люди начали пользоваться землей для выращивания сельскохозяйственных культур. Поэтому возникла необходимость в делении земли, установлении площади ее отдельных участков. Позже методы геодезии потребовались для строительства оросительных и осушительных систем, разного рода инженерных сооружений. Считается, что возникновение геодезии связано с деятельностью человека в плодородных долинах рек Нила, Тигра и Евфрата. В Египте сохранились древнейшие инженерные сооружения, строительство которых было невозможно без хорошо разработанных геодезических методов измерений. В 6 тысячелетии до н. э. был построен канал, соединяющий р. Нил с Красным морем. В 5 тысячелетии до н. э. проводились большие ирригационные работы на р. Нил и мероприятия по осушению болот и регулированию водных ресурсов. В это же время в Египте были построены грандиозные сооружения (пирамида Хуву с квадратным основанием, сторона которого равна 227,5 м и высотой 137,2 м, а также пирамида Хофры и др.). Возведение подобных сооружений несомненно было связано с геодезическими работами. Однако геодезия, как наука, с разработкой соответствующих теоретических обоснований и методов оформилась несколько позже в Древней Греции и получила дальнейшее развитие в Древнем Риме. В V в. до н. э. греческий ученый Парменид высказал предположение о шарообразности Земли. Доказательства этой гипотезы привел в своих сочинениях Аристотель (384–322 гг. до н. э.). Он же ввел термин «геодезия» и относил эту науку к отрасли знаний связанной с астрономией и географией. Выдающийся астроном и географ, глава Александрийской библиотеки Эратосфен (276–194 гг. до н. э.) в своем труде «Географика» подробно рассмотрел вопрос о фигуре Земли, привел данные о размерах и форме ее обитаемой части – ойкумены, 7 и показал последнюю на карте. Ему же принадлежит и наиболее близкое к действительности определение длины земного меридиана. Развитие современных методов при выполнении геодезических работ относится к XVII в. Большим шагом вперед явилось разработка голландским ученым В. Снеллиусом метода триангуляции, благодаря которому стало возможным проводить на земной поверхности линейные измерения огромной протяженности, что позволило определять длины дуг параллелей и меридианов Земли. Во второй половине XVII в. появились первые геодезические приборы с оптической трубой – нивелиры. Теодолит с оптической трубой был изобретен лишь в конце XVIII в. английским механиком Рамсденом. До конца XVII в. при определении размеров Земли исходным считалось, что Земля – шар. Ньютон (1643–1727) на основе открытого им закона всемирного тяготения теоретически обосновал неизбежность сплюснутости Земли у полюсов, если она когда-то была в огненно-жидком состоянии. Для проверки этой теории французская академия наук произвела геодезические измерения в Перу в 1735–1742 гг. по дуге пересекающей экватор и в 1736–1737 гг. в Лапландии на широте около 66º. Эти исследования подтвердили теорию Ньютона. В конце XVIII в. французские ученые Ж. Деламбр и П. Мешен измерили дугу меридиана от Барселоны до Дюнкерка. На основе этих измерений были получены одни из первых точных данных о размерах земного эллипсоида и принята мера длинные линий – метр, как одна десятимиллионная часть четверти дуги Парижского меридиана. Большой вклад в развитие топографии и геодезии внесли немецкие ученые К. Гаусс (теория ошибок измерений, общая теория изображения сферической поверхности на плоскости с сохранением равноугольности) и Ф. Бессель (определение параметров земного эллипсоида). В России геодезия и топография получили широкое развитие при Петре I. В 1701 г. в Москве была построена первая в России школа математических и навигационных наук, в задачу которой входила подготовка навигаторов и геодезистов. В 1715 г. в Санкт-Петербурге была открыта морская академия с классом геодезии. В 8 1721 г. была разработана первая в России Инструкция по выполнению топографических съемок, на основе которой были составлены карты 164 уездов Европейской части России и 26 уездов Сибири. Большим значением для развития геодезии было открытие в 1739 г. Географического департамента. Вскоре были изданы первые учебники по геодезии «Практическая геометрия» С. Назарова и «Первые основания геодезии» С. К. Котельникова. В 1779 г. в Москве была основана Межевая школа, впоследствии – Межевый институт – высшее учебное заведение по подготовке геодезистов. К концу XVIII в. на территории России были определены координаты 67 астрономических пунктов. В 1797 г. было создано Депо карт, преобразованное в 1812 г. в Военнотопографическое депо, а затем в 1822 г. – в Корпус военных топографов. Наряду с Корпусом военных топографов геодезические работы выполняли Переселенческое управление, Межевое ведомство, Главное гидрографическое управление, Горное ведомство, Министерство путей сообщения, Русское географическое общество. Геодезические работы по определению формы и размеров Земли в России были начаты в 1816 г. геодезистами академиком Петербургской Академии наук, директором Пулковской обсерватории В. Я. Струве (1793–1864) и почетным членом Петербургской Академии наук, генералом К. И. Теннером (1783–1860). Градусное измерение дуги меридиана протяженностью 25º 20' от устья р. Дунай до Ледовитого океана (г. Фугленс, Норвегия). Пункты наблюдения располагались и на территории Беларуси. Большой вклад в развитие геодезии в России в XIX в. внес профессор А. П. Болотов, который в 1845 г. издал учебник «Курс высшей и низшей геодезии». Развитию геодезической теории и практики в то время содействовали научные труды ученых-геодезистов А. А. Тилло, В. В. Витковского, Ф. А. Слудского, А. Н. Савича, Д. Д. Гедеонова и др. 15 марта 1919 г. был подписан декрет о создании Государственной картографогеодезической службы – Высшего геодезического управления, реорганизованного впоследствии в Главное управление геодезии и картографии (ГУГК) при СМ СССР. 9 В конце 1920-х гг. Ф. Н. Красовский разработал программу развития ГГС. Созданная по этой программе единая астрономо-геодезическая сеть не имела аналогов в мировой практике по стройности построения и точности. В 1940 г. под руководством Ф. Н. Красовского и А. А. Изотова были вычислены новые размеры Земли, принятые для геодезических и картографических работ на территории СССР. 1.2 Единицы мер в топографии и геодезии Совокупность единиц физических величин, принятых в государстве для измерений называется системой мер. При производстве геодезических измерений единицей угла служит градус, равный 1/360 части окружности или 1/90 части прямого угла (1º = 60΄, 1΄= 60΄΄). Пример: 11º 07´ 56´´. Наряду с градусной системой мер в некоторых странах употребляется десятичная или децимальная система, в которой прямой угол делят на 100 частей, называемых градами. Град делится на 100 минут или сантиград, а минута – на 100 секунд. Пример: 46g 68s 98ss или 46,6898 g. Значение угла может быть выражено в радианной мере. Радиан ρ – центральный угол, соответствующий длине дуге окружности, равной ее радиусу. Величина радиана – ρ = 57º 17΄ 44,8΄΄ или ρ° ≈ 57,3; ρ΄ ≈ 3438; ρ΄΄ ≈ 206 265, где ρ°, ρ΄, ρ΄΄ – число градусов, минут, секунд в радиане. Единица длины – метр (м). За метр принята длина “архивного метра” платинового жезла, хранящегося в международном бюро мер и весов во Франции. Длина жезла была принята равной одной десятимиллионной части четверти Парижского меридиана. В 1889 г. была изготовлена 31 копия «архивного метра», две из которых были переданы в Россию. Для создания надежно воспроизводимого эталона метра в 1960 г. было решено выражать его через длину световых волн. В 1983 г. принято новое определение метра, согласно которому метр равен расстоянию, проходящему в вакууме плоской электромагнитной волной за 1/299 792 458 доли секунды. Кратные единицы метра –1 км = 1000 м; 1 дм = 0,1 м; 1 см = 0,01 м и 1мм = 0,001 м. 10 Единица площади – квадратный метр (м2). Кратные единицы – 1км2 = 1 000 000 м2 ; 1 см2 = 0,0001 м2 ; 10 000 м2 = 1 га; 1 км2 = 100 га. Единица времени – секунда (s). Секунда равна 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего перехода между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома Цезия-133. 1m(мин) = 60s; 1h (час) = 3600 s. Единица температуры – градус по шкале Цельсия (°С). Единицей массы служит килограмм (кг).Копия представляет платиново- иридиевую гирю – цилиндр диаметром и высотой 39 мм. Единица силы – ньютон (Н). 1Н равен силе, сообщающей телу массой 1кг ускорение 1 м/сек2в направлении действия силы. Единицей измерения давления служит паскаль (Па).Паскаль равен давлению, вызываемому силой 1Н равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1м2. 1 Па= 9,87 × 10 –6 атм. или 7,60 × 10–3мм.рт.ст. Давление, равное 1013 г Па на уровне моря на широте 45° принято считать нормальным. 2. ГЕОМЕТРИЯ ЗЕМЛИ 2.1 Форма и размеры Земли Физическая поверхность Земли представляет собой сочетание бесконечно большого числа неровностей. Она состоит из океанов, морей и материков с островами. Поверхность океанов в их спокойном состоянии ровная, а суша, составляющая только 29 % от общей площади Земли, представляет собой сложные сочетания гор, возвышенностей, равнин и низменностей. Поэтому поверхность Земли не имеет математического выражения, хотя для решения задач науки и практики требуется знать пространственное положение ее точек. Устанавливать их удобно относительно вспомогательной поверхности, близкой к реальной (физической) поверхности Земли. Такую поверхность называют поверхностью относимости, за которую принимается основная уровенная поверхность Земли, в каждой точке которой нормаль совпадает с направлением отвесной линии (с направлением силы тяжести). Это поверхность воды океанов и открытых морей, находящаяся в спокойном состоянии и 11 мысленно продолженная под материками так, что к ней отвесные линии перпендикулярны во всех точках на Земле. Выбор поверхности воды океанов и морей за уровенную поверхность Земли, объясняется тем, что поверхность открытых водных пространств занимает 71 % общей площади Земли. В 1873 г. немецкий физик И. Б. Листинг назвал эту поверхность поверхностью геоида. Однако и фигура геоида сложна и строго неопределима, поскольку зависит от малоизученного распределения масс внутри Земли. Поэтому поверхность геоида не соответствует поверхности ни одной правильной математической фигуры, что не позволяет проводить расчеты, связанные с обработкой геодезических измерений на земной поверхности. По предложению ученого М. С. Молоденского вместо геоида в качестве промежуточной поверхности относимости используется квазигеоид, выполняющий роль «уровня моря». Положение его поверхности рассчитывается на основе гравиметрических измерений (см. 2.2). Поверхности квазигеоида и геоида совпадают с поверхностью Мирового океана и различаются по высоте на суше не более чем на 2,5 м. Геоид и квазигеоид по форме близко подходят к правильной математической фигуре – эллипсоиду вращения. Поэтому в качестве основной уровенной поверхности при обработке геодезических измерений, выполняемых на земной поверхности принята поверхность эллипсоида вращения, представляющего собой фигуру, полученную в результате вращения эллипса вокруг его малой оси (земной) эллипсоид. Угол между отвесной линией pq к поверхности геоида в данной точке и нормалью mn к поверхности эллипсоида называется уклонением отвесной линии e (рис. 2.1). В среднем, значение e составляет 3–4″, а в местах аномалий достигает десятков секунд. 12 Рис. 1 Земной эллипсоид характеризуется следующими основными элементами (рис. 2.): малой полуосью (полярный радиус) , которая совпадает с осью враще- ния Земли; большой полуосью (экваториальный радиус) кулярна оси вращения Земли и полярным сжатием , которая перпенди. Рис. 2 Элементы земного эллипсоида, рассчитанные Деламбром (1800), Бесселем (1841), Хейфордом (1909) и другими учеными неоди–наковы, так как вычислены по геодезическим измерениям разных по протяженности дуг ме–ридианов и параллелей. 13 Земной эллипсоид, принятый для обработки геодезических измерений и установления единой государственной системы координат называется референцэллипсоидом. На территории СССР пользовались эллипсоидом Ф. В. Бесселя до 1946 г. Однако этот эллипсоид был рассчитан в основном по данным Западной Европы. На Дальнем Востоке его поверхность сильно уклонялась от поверхности Земли. Более точные результаты размеров земного эллипсоида были получены в 1940 г.Ф. Н. Красовским и А. А. Изотовым по результатам астрономо-геодезических работ, выполненных на территории СССР, Западной Европы и США. Размеры земного эллипсоида, получившего название «референц-эллипсоида Красовского», были приняты для геодезических и картографических работ на всей территории СССР. Отклонения поверхности референц-эллипсоида Красовского от поверхности геоида не превышают 150 м. Точкой ориентирования референц-эллипсоида Красовского является центр круглого зала Пулковской обсерватории, широта В0 и долго- та L0 которого определены из астрономических наблюдений и приняты исходными, а поверхность эллипсоида совмещена со средним уровнем воды в Финском заливе и отмечена на Кронштадском футштоке. В настоящее время основные геометрические параметры общеземного эллипсоида определяются более точными методами с использованием искусственных спутников Земли. Для сравнения в табл. 1 приведены размеры земного эллипсоида, определенные Бесселем, Красовским и в глобальной геоцентрической системе координат WGS – 84 (World Geodetic System 1984). Таблица 1 Размеры земного эллипсоида Параметры эллипсоида Название эллипсоида a, м b, м Бесселя 6 377 397 6 356 079 1:299,15 Красовского 6 378 245 6 356 863 1:298,3 WGS - 84 6 378 137 6 356 752 1: 298,257 14 а При картографических работах (составление карт мелких масштабов) Землю достаточно принимать за шар, объем которого равен объему земного сфероида. Исходя из размеров эллипсоида Красовского R = 6 371 110 м. 2.2. Методы определения формы и размеров Земли Астрономо-геодезический метод. Определение формы и размеров Земли при помощи этого метода основано на использовании градусных измерений, суть которых сводится к определению линейной величины дуг меридианов и параллелей на разных широтах. Первое известное в истории определение длины земного меридиана, выполненное в античное время в Египте принадлежит Эратосфену. По его определениям длина меридианной окружности, равнялась 39 500 км, то есть очень близко к действительной величине меридиана 40 009 км. Ряд допущений, сделанных Эратосфеном, и несовершенный метод линейных измерений (расстояние определялось по длине караванного пути, измеренное в египетских стадиях (1 стадия может быть приравнена к 157,5 м) привели к приближенным результатам. Однако значение выполненных работ заключается в том, что Эратосфен впервые применил геодезический метод определения размеров Земли и получил довольно удовлетворительные для того времени результаты. Высокая точность измерения значительных по протяженности расстояний обеспечивается методом триангуляции, который был разработан в 1615 г. голландским ученым В. Снеллиусом. Триангуляция (от лат. triangulum – треугольник) – способ определения положения опорных геодезических пунктов А, В, С,… на местности путем построения сети примыкающих друг к другу треугольников, в которых измеряются все углы, а с помощью базиса аb определяется длина выходной стороны АВ в их ряду, длины же других сторон вычисляют по координатам этих пунктов (рис. 2). 15 Рис. 2 Триангуляция являлась основным способом создания опорной геодезической сети и градусных измерений до развития и становления космического метода. Триангуляционные работы по определению длины дуг меридианов и параллелей проводились учеными разных стран. Геофизический (гравиметрический) метод. Геофизика – это наука, изучающая физические свойства Земли в целом и процессы, происходящие в ее геосферах. Этот метод основан на измерении величин, характеризующих земное поле силы тяжести, и их распределение на поверхности Земли. Измерения потенциала силы тяжести, выполняемые на поверхности Земли, позволяют вычислять сжатие Земли с большей точностью, чем астрономо-геодезическим методом. Преимуществом этого метода является то, что его можно использовать на акваториях морей и океанов, где возможности астрономо-геодезического метода ограничены. С именем французского ученого А. Клеро (1713–1765) связано применение гравиметрического метода. В 1743 г. предполагая, что Земля состоит из сфероидальных слоев с общим центром, плотность которых возрастает к центру, он получил формулу для вычисления ускорения силы тяжести в любой точке Земли: , где gφ ; gэ; gn – ускорение силы тяжести, соответственно, на определяемой широте φ, на экваторе и на полюсе. Если в имеющуюся формулу подставить числовые значения gэ и gn , полученные путем измерений, то формула примет вид: g φ = 978, 030 (1+ 0,005302 sin2 φ). 16 Развитие космического метода относится к периоду освоения космического пространства с помощью ИСЗ. Этот метод основан на наблюдениях за ИСЗ и определении координат в заданный момент времени. Выявление отклонений реальных орбит ИСЗ от предвычисленных, вызванных неравномерным распределением масс в земной коре, позволяет уточнить представление о гравитационном поле Земли, а, следовательно, о ее форме и размерах. 2.3 Cистемы координат, применяемые в топографии и геодезии Координаты – это величины, определяющие положение любой точки на поверхности или в пространстве в принятой системе координат. Система координат устанавливает начальные (исходные) точки, линии или плоскости для отсчета необходимых величин – начало отсчета координат и единицы их исчисления. В топографии и геодезии наибольшее применение получили системы географических, прямоугольных, полярных и биполярных координат. Географические координаты (рис. 2.5) применяются для определения положения точек поверхности Земли на эллипсоиде (шаре). Рис. 2.5 В этой системе координат исходными являются плоскость начального меридиана и плоскость экватора. Меридианом называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и ось вращения Зем- ли. Параллелью называют линию сечения эллипсоида плоскостью, проходящей через данную точку и перпендикулярную земной оси. Параллель, плоскость которой 17 проходит через центр эллипсоида, называется экватором. Через каждую точку, лежащую на поверхности земного шара, можно провести только один меридиан и только одну параллель. Географические координаты – это угловые величины: долгота l и широта j. Географической долготой l называется двугранный угол, заключенный между плоскостью данного меридиана (проходящего через точку В) и плоскостью начального меридиана. За начальный (нулевой) меридиан принят меридиан, проходящий через центр главного зала Гринвичской обсерватории в пределах г. Лондона. Для точки В долгота определяется углом l = WCD. Счет долгот ведут от начального меридиана в обе стороны – на восток и на запад. В связи с этим различают западные и восточные долготы, которые изменяются от 0° до 180°. Географической широтой j называется угол, составленный плоскостью экватора и отвесной линией, проходящей через данную точку. Если Землю принимать за шар, то для точки В (рис. 2.8) широта j определяется углом DCB. Широты, отсчитываемые от экватора к северу, называются северными, а к югу – южными, они изменяются от 0° на экваторе до 90° на полюсах. Географические координаты могут быть получены на основании астрономических наблюдений или геодезических измерений. В первом случае их называют астрономическими, а во втором – геодезическими (L – долгота, B – широта). При астрономических наблюдениях проецирование точек на поверхность относимости осуществляется отвесными линиями, при геодезических измерениях – нормалями. Поэтому величины астрономических и геодезических координат отличаются на величину уклонения отвесной линии. Использование разными государствами различных референц-эллипсоидов приводит к различиям координат одних и тех же пунктов, вычисленных относительно разных исходных поверхностей. Практически это выражается в общем смещении картографического изображения относительно меридианов и параллелей на картах крупного и среднего масштабов. Прямоугольными координатами (рис. 2.6) 18 называются линейные величины – абсцисса и ордината, определяющие положение точки на плоскости относительно исходных направлений. Рис. 2.6 В геодезии и топографии принята правая система прямоугольных координат. Это отличает ее от левой системы координат, используемой в математике. Исходными направлениями служат две взаимно перпендикулярные линии с началом отсчета в точке их пересечения О. Прямая ХХ (ось абсцисс) совмещается с направлением меридиана, проходящего через начало координат, или с направлением, параллельным некоторому меридиану. Прямая YY (ось ординат) проходит через точку О перпендикулярную оси абсцисс. В такой системе положение точки на плоскости определяется кратчайшим расстоянием до нее от осей координат. Положение точки А определяется длиной перпендикуляров Xа и Yа. Отрезок Xа называется абсциссой точки А, а Yа – ординатой этой точки. Прямоугольные координаты обычно выражаются в метрах. Осями абсцисс и ординат участок местности в точке О делится на четыре четверти (рис. 2.9). Название четвертей определяется принятыми обозначениями стран света. Четверти нумеруются по направлению хода часовой стрелки: I – СВ; II – ЮВ; III – ЮЗ; IV – СЗ. В табл. 2.3 показаны знаки абсцисс Х и ординат Y для точек, находящихся в разных четвертях и даны их названия. Таблица 2.3 Угол направления, градус Четверть Х У 0 – 90 I – СВ 19 Знаки координат + + 90 – 180 II – ЮВ – + 180 – 270 III – ЮЗ – – 270 - 360 IV – СЗ + – Абсциссы точек, расположенные вверх от начала координат считаются положительными, а вниз от нее – отрицательными, ординаты точек, расположенные вправо – положительными, влево – отрицательными. Система плоских прямоугольных координат применяется на ограниченных участках земной поверхности, которые могут быть приняты за плоские. Рис.2.7 Координаты, началом отсчета которых является какая-либо точка местности, называются полярными. В данной системе координат производится измерение углов ориентирования. На горизонтальной плоскости (рис. 2.7) через произвольно выбранную точку О, называемую полюсом, проводят прямую ОХ – полярную ось. Тогда положение любой точки, например, М будет определяться радиусом – вектором r1 и углом направления a1 , а точки N – соответственно r2 и a2. Углы a1 и a2 измеряют от полярной оси по ходу часовой стрелки до радиуса-вектора. Полярная ось может располагаться произвольно или совмещаться с направлением какого-либо меридиана, проходящего через полюс О. Система биполярных координат (рис. 2.9) представляет собой два выбранных неподвижных полюса О1 и О2 , соединенные прямой – полярной осью. Данная система координат позволяет определить положение точки М относительно полярной оси на плоскости при помощи двух углов b1 и b2, двух радиусов-векторов r1 и r2 или 20 их комбинаций. Если известны прямоугольные координаты точек О1 и О2 , то положение точки М можно вычислить аналитическим способом (см. 7.4). Рис. 2.9 2.4 Высоты точек земной поверхности Для определения положения точек физической поверхности Земли недостаточно знать только плановые координаты X, Y или l, j, необходима третья координата – высота точки Н. Высотой точки Н (рис. 2.10) называется расстояние по отвесному направлению от данной точки (А´; В´´) до принятой основной уровенной поверхности MN. Числовое значение высоты точки называется отметкой. Высоты, отсчитываемые от основной уровенной поверхности MN, называют абсолютными высотами (АА´; ВВ´´), а определяемые относительно произвольно выбранной уровенной поверхности – условными высотами (В´В´´). Разность высот двух точек или расстояние по отвесному направлению между уровенными поверхностями, проходящими через две любые точки Земли называется относительной высотой (В´В´´) или превышением этих точек h. В России принята Балтийская система высот 1977 г. Счет высот ведется от уровенной поверхности, совпадающей со средним уровнем воды в Финском заливе, от нуля Кронштадского футштока. 21 Рис. 2.10 2.5 Размеры участков земной поверхности, принимаемые за плоскость При проецировании небольших по площади участков местности, основную уровенную поверхность можно принимать за плоскость. В таком случае отвесные линии можно считать параллельными между собой и горизонтальная проекция практически преобразуется в ортогональную. Согласно рис. 2.5 отрезки ab, bc, cd,…являются ортогональными проекциями соответствующих линий AB, BC, CD,…, углы abc, bcd,…– ортогональными проекциями соответствующих углов ABC, BCD,…, а плоский многоугольник abcd – ортогональной проекцией пространственного многоугольника ABCD. Положение точек и линий местности АВ,ВС,… в ортогональной проекции определяется длинами горизонтальных проложений ab,bc,…и горизонтальными углами между ними. Рис. 2.4 22 Длина ортогональной проекции линии местности MN на горизон-тальную плоскость p называется горизонтальным проложением S этой линии (рис. 2.6) и вычисляется из прямоугольного треугольника MNC по формуле S = L×cos ν. Угол ν между линией местности MN и ее ортогональной проекцией на горизонтальную плоскость S = mn,измеряют непосредственно и называют углом наклона линии. Ортогональные проекции линий на плоскость при ν ≠ 0 всегда меньше соответствующих им отрезков на физической поверхности Земли. Рассмотрим, для каких по размерам участков местности можно применять ортогональное проецирование, т. е. при которых кривизна Земли может не учитываться в процессе создания карты или плана. На рис. 2.7 изображена часть поверхности Земли в виде дуги BCD радиуса R и ее проекция PQ на плоскость PCQ, где PC = CQ. Для простоты рассуждений рассмотрим правую половину изображения проекции. Из рисунка видно, что с удалением от точки С разница между длиной линии на сферической поверхности CD = S1 и ее проекцией на плоскость CQ = S возрастает, а расстояние OD увеличивается на величину Dh, характеризующую изменение высоты точки местности. Проекция кривой уровенной поверхности СD на горизонтальную плоскость CQ приводит к получению разностей ΔS = CQ – CD иΔh = OQ – OD, которые возникают из-за влияния кривизны при проецировании сферы на плоскость. 23 Определим разность между длиной касательной S и длиной дуги S1. Выразим угол a в радианах, тогда согласно рис. 2.7 получим, что S = R × tga, а S1 = R×a. Откуда следует, что DS = R(tga -a). (2.1) Центральный угол a по своей величине незначителен. Поэтому при разложении tga в убывающий ряд можно ограничиться вторым членом ряда и пренебречь последующими из-за их незначительности. Тогда . Подставим это значение в формулу 2.1. В результате получим, что . (2.2) Из формулы S1=R×a получим, что и заменим a в формуле 2.2. Оконча- тельно найдем, что . (2.3) Из рис. 2.7 видно, что точка D находится на уровенной поверхности и ее высота равна нулю. Определим величину отрезка, характеризующего отклонение точки Q от уровенной поверхности. Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник OCQ, откуда (R + Dh)² = S² + R². Упростив данное равенство, имеем . Ввиду малого значения Dh в сравнении с 2R окончательно получим, что . (2.4) Сравнивая формулы 2.3 и 2.4 видно, что значение Dh существенно больше DS. Если условно принять радиус Земли постоянным, то можно вычислить расхождения DS между длинами дуг на уровенной поверхности и их проекциями на плоскость, а также отклонения высот точек Dh от их положения на поверхности сферы из-за кривизны Земли (табл. 2.2). Таблица 2.2 24 S  , км Значение величины DS ,м Dh, м 0,00 0,08 0,00 1,96 0,01 7,85 0,07 31,39 1,02 196,20 DS возрастает незначительно. При дуге 11 км DS составляет лишь 1:1 000 000 ее длины. Относительная погрешность измерения расстояний современными приборами составляет порядка 1:1 000 000. Поэтому принято считать, что участок радиусом 11 км можно принимать за плоскость, а при определении превышений между точками местности необходимо вводить поправку Dh. 2.6 Ориентирование направлений в топографии и геодезии Ориентировать линию местности – значит определить ее направление относительно другого направления принятого за исходное. В топографии и геодезии исходными направлениями для ориентирования приня- ты географический меридиан, магнитный меридиан и осевой меридиан геодезической зоны, которые на топографических картах соответственно обозначаются: – линией со звездочкой (ê); – линией со стрелкой () и линией с угольником на конце (U) . Направление географического меридиана получают из астрономических наблюдений, а направление магнитного меридиана определяет свободно подвешенная и уравновешенная магнитная стрелка. Магнитная ось стрелки в каждой точке земной поверхности совпадает с направлением магнитного меридиана этой точки. Географическим азимутом А направления, называется горизонтальный угол А, измеренный по ходу часовой стрелки от северного направления географического меридиана, проходящего через данную точку до ориентируемой линии (рис. 2.13). 25 По абсолютному значению азимуты изменяются от 0 до 360°. На рисунке горизонтальные углы А1, А2, А3, А4 будут географическими азимутами ориентируемых направлений О1; О2; О3; О4. Точка О – начало ориентируемых направлений; а линия СЮ – географический меридиан точки О. Магнитным азимутом направления называется горизонтальный угол Ам между северным направлением магнитного меридиана и направлением данной линии, отсчитываемый по ходу часовой стрелки (рис. 2.14). Вследствие не совпадения географических и магнитных полюсов магнитный и географический меридианы в данной точке земной поверхности образуют между собой угол d, называемый склонением магнитной стрелки (рис. 2.14). Магнитное склонение может быть восточным – положительным, если северное направление магнитного меридиана находится к востоку от географического и западным – отрицательным, если северное направление магнитного меридиана проходит к западу от географического. Зависимость между географическим и магнитным азимутами выражается формулой А = Ам + d. Склонение магнитной стрелки изменяется в зависимости от места и времени. Различают: суточные, годовые и вековые изменения склонения. Кроме того, величина склонения изменяется под влиянием магнитных бурь, связанных с полярным сиянием, солнечной активности, землетрясений, в районах магнитных аномалий и т. д. Суточные колебания склонения магнитной стрелки не превышают 5–15¢. Вследствие этого, ориентирование по магнитному азимуту проводится лишь в тех случаях, когда не требуется большая точность. 26 В топографии и геодезии применяется также ориентирование направлений относительно северного направления оси абсцисс в системе прямоугольных координат. Угол, отсчитываемый от северного направления оси абсцисс или линии параллельной ему до данного направления, по ходу часовой стрелки называется дирекционным углом a (рис. 2.15). Дирекционный угол изменяется от 00 до 3600. Угол между географическим меридианом данной точки и северным направлением оси абсцисс (вертикальной линией координатной сетки) называет- ся сближением меридианов g (рис. 2.15). Сближение меридианов бывает восточным со знаком плюс и западным со знаком минус. При восточном сближении меридианов, линии параллельные осевому меридиану отклоняются к востоку от географического меридиана, проходящего через эту точку, а при западном – к западу. Зависимость между географическим азимутом и дирекционным углом выражается формулой А = a + g. Для того чтобы перейти от дирекционного угла к магнитному азимуту необходимо знать две величины – склонение магнитной стрелки и сближение меридианов. Данные об этих величинах в виде графика и текста помещаются под южной рамкой топографической карты. Магнитный азимут равен разности дирекционного угла и поправки направления Ам = a – П. Поправка направления П – это угол между магнитным меридианом и северным направлением оси абсцисс. Поправка вычисляется по формуле . Иногда ориентирование линии выражается острыми углами – румбами r. Румбом называют острый угол, отсчитываемый от ближайшего направления меридиана (северного или южного) до данной линии (рис. 2.16). Румбы имеют значе27 ния от 0° до 90° и сопровождаются названием четверти в которой проходит линия. Румбы переводят в азимуты и дирекционные углы и наоборот (табл. 2.4). Таблица 2.4 Четверть Название верти чет- Связь между азимутами и румбами I СВ A1 = r1 II ЮВ А2 = 180º - r2 III ЮЗ А3 = 180º + r3 IV СЗ А4 = 360º - r4 r1 = A1 r2 = 180º - А2 r3 = А3 180º r4 = 360º - А4 Зависимость между азимутами или дирекционными углами и румбами линий, расположенных в разных четвертях, устанавливают по формулам. 2.6 Прямая и обратная геодезические задачи В геодезии угловые измерения выполняются в полярной системе координат, а нанесение на карту пунктов и объектов местности более точно производится по их прямоугольным координатам. Перевычисление полярных координат к прямоугольным и наоборот производится по формулам прямой и обратной геодезических задач (рис. 2.17). Прямая геодезическая задача состоит в том, что по известным координатам точки А (ХА;YА), горизонтальному проложению S линии АВ и дирекционному углу a, вычисляют приращения координат Dх ; Dу и координаты точки В (ХВ;YВ). Приращениями координат Dх и Dу называются разности координат конечной В и начальной А точек линии АВ. Значения приращений определяются из прямоугольного тре28 угольника АВС по заданным S и a: Dх= S cos a; Dу = S sin a. В зависимости от названия четверти прямоугольной системы координат приращения Dх и Dу имеют определенные знаки (см. табл. 2.3). Координаты конечной точки В вычисляются по формулам: ХВ = ХА + D х; YB = YA + D у. Обратная геодезическая задачазаключается в том, что по известным координатам начальной точки А (ХА ; YА) и конечной точки В (ХВ и YВ) определяют горизонтальное проложение S и дирекционный угол a линии АВ (рис. 2.17). 3. ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ И КАРТЫ 3.1. Понятие о плане и карте. Основные свойства и элементы топографических карт Планом называется изображение в подобном и уменьшенном виде проекции участка местности на горизонтальную плоскость. Планы, на которых показаны только контуры элементов местности без изображения рельефа участка, называются контурными. Если на планах наряду с ситуацией показан рельеф местности, то такие планы называются топографическими. 29 При изображении на бумаге значительных по площади территорий необходимо учитывать кривизну Земли (см. п. 2.4). Поэтому при составлении карт на большие территории контуры местности вначале проецируют не на горизонтальную плоскость, а на сферическую поверхность земного элипсоида или шара. Полученную таким образом проекцию местности также нельзя перенести на плоскость (бумагу) в подобном и уменьшенном виде т. к. сферическую поверхность невозможно развернуть на плоскости без складок или разрывов. Поэтому для перехода от сферической поверхности всей или значительной части земной поверхности используют картографические проекции, которые можно получить аналитическим, графоаналитическим, геометрическим способами и перспективным проецированием. Следовательно, картой называется уменьшенное обобщенное изображение на плоскости всей Земли или ее части с учетом кривизны уровенной поверхности. По содержанию географические карты принято разделять на общегеографические и тематические. На общегеографических картах предметом изображения являются физикогеографические (рельеф, почвенный, растительный покров, гидрография и др.) и социально-экономические (населенные пункты, дорожная сеть, объекты хозяйственного назначения и т. п.) элементы. Основой тематических карт служат общегеографические карты, на которых один из элементов общегеографической карты изображают с особой полнотой и подробностью (рельеф, гидрография, населенные пункты и т. д.), в то время как другие элементы отображают менее подробно или не показывают совсем, но дополнительно наносят специальные элементы (климат, экономические сведения и т. п.). Общегеографические карты в зависимости от масштаба подразделяют на обзорные (мельче масштаба 1:1 000 000), обзорно-топографические (1:1 000 000 –1:500 000) и топографические (1:200 000 – 1:10 000). В свою очередь топографические карты подразделяются на мелкомасштабные (1:100 000 – 1:200 000); среднемасштабные (1:25 000 – 1:50 000) и крупномасштабные (1:5 000 – 1:10 000). Картографические изображения масштаба 1:5 000 относят к картам, если при их создании использована картографическая проекция, в других 30 случаях их относят к топографическим планам. Топографические планы издаются в масштабах 1:5000; 1:2000; 1:1000 и 1:500. Основные свойства и элементы топографических карт. Топографические карты, как и все общегеографические карты отличаются от других изображений земной поверхности (глобусов, космических и аэрофотоснимков и т. п.) тремя свойствами: 1) использованием математически определенного способа изображения земной поверхности на плоскости, для чего применяются картографические проекции; 2) использованием картографических условных знаков (легенда) для показа объектов местности с их количественными и качественными характеристиками, а также для изображения рельефа; 3) использованием картографической генерализации при отборе и обобщении изображаемых объектов местности. К элементам карты относится само картографическое изображение, математическая основа, легенда и вспомогательное оснащение. Основной частью карты является картографическое изображение, передающее содержание карты, т. е. совокупность сведений о показанных на карте объектах, их размещении, свойствах и взаимосвязях. Все картографические изображения строятся на математической основе, которая включает картографическую проекцию и геодезическую основу (параметры земного эллипсоида, геодезическую опорную сеть). С математической основой непосредственно связаны компоновка и система разграфки карт. Картографическая проекция – это математически определенный способ отображения поверхности эллипсоида или шара на плоскости. Картографические проекции включают координатные сетки – картографическую и прямоугольную или километровую сетки, относительно которых показываются положения и очертания объектов, контуры и т. д. Картографическая сетка – это изображение параллелей и меридианов на карте. Километровая сетка – это координатная сетка в системе плоских прямоугольных координат, линии которой проведены на карте через интервалы, соответствующие определенному числу километров. Точки пересечения линий координатной сетки на карте называются узловыми. 31 В зависимости от характера искажений различают следующие картографические проекции: 1) равноугольные, в которых на бесконечно малом участке карты отсутствуют искажения углов, вследствие чего в данных проекциях не искажаются формы бесконечно малых фигур и масштаб длины в любой точке остается одинаковым по всем направлениям, хотя изменяется от точки к точке. Значительные искажения имеют площади, особенно на картах, охватывающих большие территории; равновеликие, в которых на карте отсутствуют искажения площадей, но на картах с большим охватом территории возникают значительные искажения углов и форм; 3) произвольные, в которых на карте в любых соотношениях имеются искажения углов и площадей. Следует отметить, что на всех картографических проекциях имеются искажения длины линий и масштаб длины может сохраняться по отдельным направлениям (линиям). Важной частью карты является легенда – система использованных на карте условных знаков и текстовых пояснений, раскрывающих содержание. Для топографических карт составлены специальные таблицы условных знаков, обязательные к применению на всех картах соответствующего масштаба. Вспомогательное оснащение карты включает картометрические графики и различные справочные сведения. 3.2. Проекции топографических карт. Зональная система плоских прямоугольных координат На выбор картографических проекций влияют многие факторы. Для топографических карт важнейшим требованием является минимальность искажений, и в первую очередь, линейных, то есть сохранение масштаба длин по всей карте. Поскольку топографические карты широко используются для определения ориентирующих углов, то необходимым условием является сохранение по всей карте равноугольного изображения. Для уменьшения линейных искажений земной эллипсоид 32 делится на части – геодезические зоны, которые образованы меридианами через 6º по долготе, начиная от Гринвичского. Число зон составляет 60 и нумерация их ведется к востоку. На территории Российской Федерации, Республики Беларусь и других стран СНГ все топографические карты составляются в равноугольной проекции ГауссаКрюгера. Немецкий ученый К. Ф. Гаусс в 1825–1830 гг. для обработки Ганноверской триангуляции применил разработанную им равноугольную проекцию. Детальный вывод рабочих формул этой проекции в 1912 г. выполнил немецкий геодезист Л. И. Крюгер. Поэтому она получила название Гаусса-Крюгера и ее вычисляют аналитически. С методической точки зрения получение этой проекции можно условно представить следующим образом. Для этого поместим земной шар в цилиндр так, чтобы ось вращения его была перпендикулярна оси цилиндра РР1, а линия касания являлась меридианом NOS (рис. 3.1), который примем за осевой (средний) меридиан геодезической зоны. Он изобразится на цилиндрической поверхности в виде прямой без изменения длины. Остальная поверхность геодезической зоны (например, NFSD) проецируется на поверхность цилиндра так, чтобы каждая бесконечно малая фигура, например, окружность, сохранила свою форму, изменяя только радиус. Рис. 3.1 В проекции Гаусса–Крюгера картографическая сетка по изображению меридианов и параллелей подобна картографической сетке поперечно-цилиндрической 33 проекции: осевой меридиан и экватор являются прямыми, другие меридианы и параллели – кривыми линиями, пересекающимися под прямым углом. Масштаб в проекции Гаусса–Крюгера сохраняется по осевому меридиану геодезической зоны. По мере удаления от него длины линий искажаются в сторону увеличения. Поправки Δ S можно вычислить по приблизительной формуле , (3.1) где d и S – соответственно длины линий на плоскости и сфероиде; Ym – средняя ордината линии; Rm – средний радиус кривизны сфероида. Относительное искажение длин линий будет определяться по формуле: fs и достигнет для средних широт на краю геодезической зоны значения = fs . Каждая из 60 зон изображается на плоскости независимо от остальных зон и имеет самостоятельную систему прямоугольных координат. Начало координат находится в точке пересечения экватора с осевым меридианом зоны. Положение точки на плоскости определяется плоскими прямоугольными координатами Х и У. В каждой зоне координаты Х и У могут иметь положительные и отрицательные значения. Положительное значение имеют абсциссы, располагающиеся к северу от экватора, а отрицательное – к югу от экватора. Ординаты (в каждой зоне), отсчитываемые от осевого меридиана к востоку являются положительными, а к западу – отрицательными. В данной системе координат абсциссы всех точек расположенных на территории Республики Беларусь в каждой зоне имеют положительные значения. Во избежание отрицательного значения ординат и для удобства их вычисления, к началу ординат каждой геодезической зоны добавляют 500 км, т. е. начало координат будет: Х0 = 0; У0 = 500 км. Тогда ординаты, расположенные к западу от осевого меридиана будут иметь значения меньше 500 км, а расположенные к востоку – значения больше 500 км. Такие ординаты называются преобразованными. Чтобы опреде34 лить в какой зоне находится данная точка, впереди преобразованной ординаты указывается номер зоны. Например, согласно рис. 3.2 точка 2 имеет ординату у2 = 4689 км. Следовательно, она расположена в четвертой зоне на расстоянии 189 км к востоку от осевого меридиана зоны (689–500 = 189). Точка 1 имеет ординату у1 = 4311 км и находится в этой же зоне на расстоянии 189 км к западу от осевого меридиана зоны (311– 500 = –189). Вычисленные плоские прямоугольные координаты в проекции ГауссаКрюгера для эллипсоида Красовского получили название «Система координат 1942 года» или СК–42. 3.3. Масштабы планов и карт Масштабом плана называется отношение длины линии на плане к соответствующей длине горизонтального проложения этой линии на местности. Как известно, планы составляются для небольших по площади территорий и поэтому их масштаб можно считать величиной постоянной. На картах следует учитывать искажения длины линий из-за кривизны Земли. Например, для проекции Гаусса–Крюгера поправки вычисляются по формуле 3.1. и при необходимости вводятся в измеренные линии. Масштаб на планах и картах выражается в численной, именованной и графической формах. 35 Численный масштаб выражается простой дробью, в числителе которой единица, а в знаменателе число, показывающее во сколько раз горизонтальное проложение линии местности уменьшено при нанесении на план (карту). Масштабы могут быть любыми. Но чаще используются их стандартные величины: 1:500; 1:1000; 1:2000; 1:5000; 1:10 000; 1:25 000; 1:50 000; 1:100 000; 1:200 000; 1:300 000; 1:500 000; 1:1000 000. Например, масштаб карты 1:10 000 указывает, что горизонтальное проложение линии уменьшено на карте в 10 000 раз, т. е. 1 см на плане соответствует 10 000 см на горизонтальной проекции местности. Чем меньше знаменатель численного масштаба, тем крупнее считается масштаб, и наоборот. Численный масштаб величина безразмерная; она не зависит от системы линейных мер, т. е. им можно пользоваться, проводя измерения в любых линейных мерах. Именованный масштаб представляет краткое словесное выражение численного масштаба и указывает, какая величина горизонтального проложения местности соответствует 1 см на плане (карте). Например, «в 1 сантиметре 100 метров». Линейный масштаб представляет собой графическое выражение численного и именованного масштабов в виде линии, разделенной на равные отрезки – основания. Левый из них ab делится на 10 равных частей (десятые доли). Сотые доли оцениваются «на глаз». На рис. 3.3 показан линейный масштаб с основанием ab = bc = cd…, соответствующий численному масштабу 1:10 000. Основание линейного масштаба выбирается таким образом, чтобы выражало целое число метров горизонтального проложения линии. В нашем примере оно равно 1 см. Для более точного измерения линий на плане или карте пользуются поперечным масштабом (рис. 3.4). Для построения поперечного масштаба, на прямой МЕ откладывают отрезки AM = AB = BC = CD = DE, принимаемые за основание масштаба. В точках М, А, В,…, Е восстанавливают перпендикуляры и на крайние из 36 них наносят 10 равных между собой отрезков Ме = Ее = еf = …. Через полученные точки е, f, p, g проводят прямые, параллельные МЕ. Нижнее и верхнее основание масштаба МА и NQ разбивают на 10 равных частей. Точки деления соединяют между собой параллельными наклонными линиями в следующем порядке: точку А с точкой Р, точку N с точкой F и так далее. Рис. 3.4 Прямая АР и параллельные ей линии называются трансверсалями. Отрезок аb называют наименьшим делением поперечного масштаба. По построению малые отрезки АН, МF, PQ и др. будут равны 0,1 основания масштаба МА, а наименьшее деление аb будет равно 0,1 отрезков АН, МF, PQ и т. д. или 0,01 основания масштаба МА. Пример: По поперечному масштабу с основанием равным 2 см определим расстояние О'К (рис. 3.4). При численном масштабе 1:10000 основанию в 2 см на плане будет соответствовать 200 м на местности, малые отрезки будут равны 20 м, а наименьшие – 2 м. Таким образом, ОК = 200 м × × 2 = 400 м; малых делений – 5, тогда AG = 20 м × 5 = 100 м и измеряемая линия О'К находится на шестой горизонтальной линии, т. е., 2 м × 6 = = 12 м. Таким образом, измеряемая линия О'К равняется 512 м. При измерениях длины линий на картах, измеряемая линия берется в раствор циркуля-измерителя и переносится на поперечный масштаб. Необходимо, чтобы правая ножка измерителя находилась на одном из перпендикуляров (справа от основания МА), а левая – на пересечении трансверсали и горизонтальной линии основа37 ния МА, при этом обе ножки измерителя должны располагаться на одной горизонтальной линии О'К. Пользуясь поперечным масштабом измеряют длины прямых линий. Измерение кривых линийпроизводится двумя способами: при помощи курвиметра и циркулем-измерителем. При первом способе колесико курвиметра прокатывают по измеряемой линии на карте. Стрелка прибора показывает отмеренное колесиком расстояние в сантиметрах (или дюймах). Пользуясь масштабом, определяют расстояние на местности. При измерении длин сильно извилистых линий сложно точно вести колесико по мелким изгибам, в связи с этим точность измерений курвиметром невысока. При измерении длины кривых линий более точные результаты получают пользуясь вторым способом – применяя циркуль-измеритель с микрометренным винтом. Измерения выполняют малыми растворами измерителя (1–4 мм). Перед измерениями определяют цену раствора измерителя, т. е. измеряют линию, длина которой известна (обычно расстояние между километровыми сетками). Точность масштаба. Предельные размеры предметов, которые можно различать на плане (карте) определяются графической точностью масштаба. Свойство человеческого зрения позволяет различать точку величиной порядка 0,1 мм. Это связано с критическим углом человеческого зрения, равным 1'. Поэтому расстояние на местности, соответствующее 0,1 мм плана, называют предельной точностью масштаба и ее величина t в метрах зависит от масштаба карты, т. е. t = 0,0001 М, где М – знаменатель масштаба карты. Например, для карты масштаба 1:10 000 предельная точность равна t = 0,0001 ´ 10 000 = 1м, а для карты масштаба 1: 50 000 – t = = 5м. Практически средняя ошибка измерения длин линий на карте составляет 0,3– 0,4мм или 0,0003–0,0004 М. За центр знака принимается Рисунок (внемасштабные условные знаки) 38 Пояснение Геометрический центр Знаки, фигуры Середина геометриче- ских фигур Знаки, основания имеющие форму фигуры с широким знака основанием Знаки, Вершина прямого угла имеющие форму фигуры с прямым углом Знаки, Геометрический центр из нескольких геометриче- нижней фигуры Геометрическая составленные ских фигур ось Знаки, имеющие свою знака ось (дороги, шоссе и др.) Линейные условные знакиизображают линейно вытянутые объекты. Причем длина объектов выражается в масштабе карты, а ширина может быть преувеличена. Положение таких объектов на местности определяется направлением осевой линии. Примером являются: шоссейные и железные дороги, линии электропередач, трубопроводы и др. Примеры определения местоположения объектов, изображенных внемасштабными условными знаками, а так же, что именно принимается за центр внемасштабного условного знака представлены в табл. 3.2. Всего для крупномасштабных карт применяется около 350 графических условных знаков и более 400 сокращенных пояснительных подписей. Однако для работы с картами на конкретной территории достаточно знать несколько десятков знаков. Условные знаки для топокарт издаются в виде сводных таблиц, которые содержат знаки и пояснения к ним, раскрывающие их значения. Для удобства пользования все знаки в таблицах распределены на группы по родственным признакам. 39 3.4 Рельеф земной поверхности и его изображение на топографических картах Рельеф – это совокупность всех неровностей земной поверхности, различных по своей форме и размерам. Рельеф является основным компонентом ландшафта и оказывает непосредственное влияние на климат, почвообразовательные процессы, распространение флоры и фауны, характер подземных и поверхностных вод и др. Рельеф классифицируют по размерам форми отношению форм рельефа к горизонтальной поверхности. По размерам различают следующие формы рельефа: макро-, мезо-, микро- и нанорельеф. Макрорельеф – крупные формы рельефа с колебаниями высот до нескольких сотен и тысяч метров (горные хребты, горные впадины, вулканические конусы и т. д.). Мезорельеф – средние формы рельефа с амплитудами высот до нескольких десятков метров (холмы, балки, лощины). Микрорельеф – малые формы рельефа, колебания высот не превышают нескольких метров (прирусловые валы, степные блюдца, небольшие котловины и т. д.). Нанорельеф – мелкие формы рельефа, амплитуды высот не превышают нескольких десятков сантиметров. Это – борозды, промоины, незначительные бугры и западины, кочки, мочажины и т. п. По отношению к горизонтальной поверхности формы рельефа подразделяются на положительные, имеющие выпуклую поверхность и возвышающиеся над окружающей местностью, и отрицательные с вогнутой поверхностью, образующие понижения местности. Основные положительные формы рельефа. Холм – отдельная небольшая возвышенность до 200 м высотой над окружающей местностью со сравнительно пологими склонами и слабо выраженным подножием. Увал – пологая и вытянутая возвышенность с относительной высотой до 200 м, с плоской или слегка выпуклой вершинной поверхностью и неясно выраженным подножием. Гора – возвышенность 40 с высотой более 200 м с ясно выраженными крутыми склонами, где отчетливо различается вершина, склоны и подошва. Острая вершина называется пиком. Хребет – горная возвышенность большого протяжения, с крутыми склонами в обе стороны. Седловина – понижение между двумя соседними горными вершинами или возвышенностями. Плато – плоская возвышенность, ограниченная отчетливыми крутыми склонами – уступами. Основные отрицательные формы рельефа. Долина – вытянутая в длину вогнутая форма рельефа с ясно выраженными склонами, имеющая уклон в одном направлении. Различают дно (ложе) и склоны долины. Площадки, вытянутые вдоль долины по склонам и разделенные уступами, называются террасами. Овраг – резко выраженное углубление на равнине с крутыми или обрывистыми склонами и временно действующими водотоками. Овраги имеют уклон в одном направлении и не пересекаются между собой. Балка (лог) – линейно-вытянутое углубление длиной до нескольких десятков километров, имеющее пологие, часто задернованные склоны и плоское дно. Балка представляет позднюю стадию развития оврагов. Лощина – небольшое углубление с пологими слабовыраженными склонами, постепенно переходящими в равнину и имеющую уклон в одном направлении. Котловина – замкнутое со всех сторон, вогнутое понижение местности, различных форм и размеров. Небольшие котловины с незначительной глубиной и плоским дном называются блюдцами или западинами. Формы рельефа характеризуются основными орографическими линия- ми, которые дают представление о степени его расчлененности и составляющие структуру неровностей местности, так называемые – скелетные линии рельефа. К ним относятся:водораздел, тальвег, бровка, подошва. Водораздел – линия или полоса местности, разделяющая поверхностный сток противоположных склонов возвышенности. Тальвег – линия, соединяющая наиболее низкие точки дна долины. Бровка – линия перегиба склона, ниже которой он становится более крутым. Подошва – линия перегиба склона, ниже которой он становится более пологим. Подошвой называют также подножия гор, холмов, обрывов. 41 Изображение рельефа на топокартах должно быть наглядным, отражать количественные характеристики неровностей местности (абсолютные высоты, превышения точек, крутизну склонов и др.). Рельеф на топокартах изображается горизонталями в сочетании с отметками высот и условными обозначениями форм, которые нельзя изобразить горизонталями. Способ изображения рельефа горизонталями позволяет геометрически наиболее точно передать форму рельефа и отразить его особенности. Горизонтали – это кривые линии, соединяющие на карте точки с одинаковыми высотами. Горизонтали представляют проекции сечения местности уровенными поверхностями через определенные высоты (рис. 3.9). Рис. 3.9 Заданное расстояние между соседними секущими уровенными поверхностями называется высотой сечения рельефа h0 . Расстояние на карте между смежными горизонталями называется заложением s. Высота сечения рельефа зависит от масштаба карты и характера рельефа местности. Нормальной высотой сечения принято считать высоту, равную 0,02 см в масштабе карты. В зависимости от условий рельефа местности для различных масштабов карт установлены стандартные нормальные высоты сечения рельефа. Так, в пределах равнинных территорий для топокарт масштаба 1:10 000 – 2,5 м; 1:25 000 – 5 м; 1:50 000 – 10 м; 1:100 000 – 20 м. Для высокогорных территорийвысота сечения рельефа берется в 2 раза больше нормальной, адля плоскоравнинных – в 2 раза меньше. 42 Горизонтали нормального сечения проводят сплошными линиями коричневого цвета толщиной 0,12–0,15 мм и называют основными или сплошными горизонталями. Для улучшения читаемости рельефа каждая пятая горизонталь (для масштаба 1:10 000 – каждая десятая), вычерчивается утолщенной линией 0,2 – 0,25 мм. Такие горизонтали называются утолщенными. Для отражения форм рельефа, не выражающихся основными горизонталями применяют- ся дополнительные и вспомогательные горизонтали. Дополнительные, или полугоризонтали проводятся в половине основного сечения прерывистыми линиями длиной штрихов 5 мм, а вспомогательные или четвертьгоризонтали – в ¼ высоты сечения длиной штрихов – 2 мм. Формы рельефа, не выражающиеся горизонталями, изображаются специальными условными знаками. Это – обрывы, оползни, осыпи, овраги, промоины, воронки, курганы и др. Изображение элементов местности горизонталями представлено на рис. 3.10. Свойства горизонталей: 1. Все точки, лежащие на одной горизонтали, имеют одинаковые отметки высот, кратные принятой высоте сечения рельефа. 2. Горизонтали – непрерывные замкнутые линии. Если горизонталь не замыкается внутри карты, то может обрываться только у рамки карты. 3. Горизонтали никогда не пересекаются, т. к. относятся к разным по высоте плоскостям. 4. Горизонтали одного и того же склона имеют внешнее сходство в рисунке. 5. Расстояние между горизонталями характеризует крутизну склона (ската). Для улучшения читаемости рельефа, на карте подписываются абсолютные отметки вершин, седловин, тальвегов, перегибов склонов, а также относительные высоты обрывов, курганов, уступов террас, которые отсчитываются от подошв и бровок. 43 Рис. 3.10 Рис. 3.11 Для определения абсолютных высот местности некоторые горизонтали имеют подписи высот. Подпись высот помещается в разрывах линий горизонталей, причем верх цифр всегда направлен в сторону повышения склона (рис. 3.11). 44 Направление ската на топографических картах определяется указателями – бергштрихами, а также отметками горизонталей, отметками высот, расположением водоемов. Бергштрихи – это короткие штрихи (черточки) длиной около 0,8 мм перпендикулярные к горизонталям и направлены всегда свободным концом в сторону понижения склона (см. рис. 3.11). Бергштрихи помещаются на сгибах горизонталей, у вершин, седловин, на склонах, на дне котловин, т. е. в местах затруднительных для чтения. Основными элементами, характеризующими склон, являют- ся: крутизна, которая определяется углом наклона линии к горизонтальной плоскости; направление, соответствующее кратчайшему и наиболее крутому ска- ту; высота – превышение вершины над подошвой; заложение – расстояние на карте между двумя горизонталями. Крутизна склона определяется углом наклона n или уклоном i. Уклоном прямой АВ называется отношение высоты сечения hо к заложению s (рис. 3.12), т. е. уклон – это тангенс угла наклона n и определяется по формуле . Уклон – безразмерная величина (отношение). На практике уклон выражают в натуральных значениях отношения i = h/s, в промиллях или в процентах. Например: і %о = 0,045, это означает, что на 1 м длины приходится превышение равное 45 мм, или 4,5 %. По взаимному расположению горизонталей на склоне можно определить его крутизну и форму (рис. 3.13). Чем круче склон, тем меньше расстояния между горизонталями и наоборот. Если склон ровный, то горизонтали располагаются на равном расстоянии друг от друга; при вогнутом склоне (рис. 3.13 а) – учащаются к вершине, 45 при выгнутом (рис. 3.13 б) – учащаются к подошве, а при волнистом (рис. 3.13 в) – учащаются или разреживаются в зависимости от количества перегибов склона. а в б Рис. 3.13. а – вогнутый; б – выпуклый; в – волнистый В зависимости от крутизны склоны подразделяют на пологие (ν < 5°); покатые (ν от 5 до 20°); крутые (ν от 20 до 45°) и обрывистые (ν > 45°). Крутизна склона на карте определяется по масштабу (графику) заложений, помещенному под южной стороной рамки карты, который строится по формуле: s = h0 сtg ν / М, где s – расстояние между горизонталями; h0 – высота сечения рельефа; М – знаменатель масштаба карты. По карте с горизонталями решают следующие задачи. 1. Определить высоту сечения рельефа, если известны: отметка точки, высота горизонтали и количество промежутков между горизонталями. Для решения задачи (см. рис. 3.14) необходимо определить разность между отметкой точки и значением высоты подписанной горизонтали и разделить на количество промежутков между горизонталями: . Зная стандартные высоты сечения рельефа, находим, что в нашем примере высота сечения рельефа для данной карты равняется 5 м. 2. Определить высоту горизонтали на карте. Данную задачуможно решить двумя способами. Первый способ – находят ближайшую подпись горизонтали, под46 считывают количество промежутков между горизонталями и по высоте сечения рельефа и направлению склона определяют высоту искомой горизонтали. Второй способ – по ближайшей к горизонтали отметке точки, подписанной на карте. При этом высота горизонтали – это ближайшее число в сторону увеличения или уменьшения относительно этой отметки и кратное высоте сечения рельефа. 3. Определить абсолютную отметку точки местности, если: 1) точка местности находится на горизонтали; 2) точка находится в промежутке между горизонталями. В первом случае, когда точка местности находится на горизонтали, то ее абсолютная высота равна отметке этой горизонтали (см. первое свойство горизонталей). Во втором случае, если точка находится в промежутке между горизонталями, то необходимо узнать высоту ближайшей к ней низшей горизонтали Нн.г. и прибавить превышение ∆h данной точки над горизонталью, т. е. H=Нн.г.+ ∆h. Рис. 3.14 Рис. 3.15 Рис. 3.16 Превышение точки над горизонталью (рис. 3.15) определяется отношением расстояния от низшей горизонтали 210 м (точка А) до определяемой высоты точки С (АС=∆h) к расстоянию между горизонталями АВ, умноженным на высоту сечения hо= 5 м. Из пропорции следует, что , тогда НС = 210 + 1,9 = 211,9 м. Превышение точки можно определить на глаз. Для этого устанавливают, какую долю составляет отрезок от горизонтали до точки, от всего расстояния между гори47 зонталями и к высоте горизонтали, в зависимости от направления склона прибавляют или вычисляют превышение точки над горизонталью. 4. Определить превышение (относительную высоту) между пунктами. Для решения этой задачи необходимо определить абсолютные высоты пунктов и вычислить их разность. 5. Определить крутизну на участке между двумя соседними горизонталями. Решение данной задачи можно выполнить двумя способами: по масштабу (графику) заложений и по приближенной формуле. При первом способе в раствор циркуля-измерителя берется расстояние между двумя смежными горизонталями по линии наибольшей крутизны, т. е. по кратчайшему расстоянию между ними и, приложив иглы циркуля к графику заложений, определить угол наклона. График заложений (рис. 3.16) помещается под южной стороной рамки листа топографической карты. В случае очень близкого расположения горизонталей друг к другу, когда затруднительно взять расстояние между ними, крутизну склона определяют между утолщенными горизонталями, пользуясь при этом графиком заложений между утолщенными горизонталями (правый график заложений). Приближенная формула для определения величина угла ν, характеризующего крутизну склона, следующая: ; где h – превышение (высота сечения релье- фа); s – заложение в метрах на местности. Эту формулу можно использовать для определения среднего угла наклона для двух точек, лежащих на одном склоне. 6. Построить профиль местности по направлению, заданному на топографической карте. Горизонтальный масштаб профиля обычно выбирается равным масштабу карты, а вертикальный, для наглядности отображения рельефа – в 5-10 раз крупнее горизонтального. Для построения профиля местности на топографической карте вдоль заданного направления прикладывают полоску бумаги на которой отмечают все пересечения горизонталей и гидрографических объектов местности с линией профиля (рис. 3.17). 48 Рис. 3.17 У всех точек пересечения подписывают высоты, определенные с топографической карты. Построение профиля выполняют на миллиметровой бумаге. Для этого прочерчивают прямую горизонтальную линию – основание профиля. Линию основания профиля АВ принимают за условный горизонт, таким образом, чтобы она располагалась на 2–3 см ниже минимальной высоты профиля. Затем с полоски бумаги на основание профиля переносят все отмеченные точки. В полученных точках восстанавливают перпендикуляры, на которых откладывают высоты горизонталей, согласно выбранному вертикальному масштабу. При этом следует учитывать, что от всех значений высот точек профиля необходимо вычитать отметку условного горизонта. Отложенные, таким образом, высоты соединяют плавной кривой линией, получая в результате линию профиля местности. 3.5 Определение и измерение на топографических картах плановых ориентирующих 49 координат направлений Для определения плановых координат точек прямоугольных Х,У и географических (геодезических) B, L на топографических картах строят километровую и градусную сетки. В системе географических координат внутренние рамки топографических карт представляют собой отрезки дуг меридианов и параллелей. В вершинах, образуемых ими трапеций, подписаны координаты B и L. Параллельно внутренней рамке построена минутная рамка в виде чередующихся черных и белых полос. Минутные отрезки разделены на 6 частей, т. е. их угловая величина составляет 10΄΄(рис. 3.18). Для нахождения географических координат, необходимо выделить на карте одноминутную трапецию, последовательно соединив для этого, одноименные значения минутных интервалов северной и южной, западной и восточной рамок карты. Таким образом, согласно рис. 3.18 получим одноминутную трапецию с географическими координатами рамок по широте ВС = 54°42¢; ВЮ = 54°41¢ и по долготе L3 = 18°05¢; LВ = 18°06¢. Тогда географические координаты точки 3 определяются путем измерения расстояний SDB; SDL; и SB; SL c помощью измерителя и масштабной линейки. B3 =54°41¢+DB¢¢; L3 =18°05¢+DL¢¢ ; Следовательно, географические координаты точки 3 будут иметь значения В3 = 54°41¢18¢¢ и L3 = 18°05¢24¢¢. 50 Масштаб 1: 10 000 Рис. 3.18 Географические координаты точек можно получить без построения минутных рамок с помощью прямоугольного треугольника путем проецирования, например, точки F (рис. 3.19). Для этого один из катетов прикладывают к минутной рамке так, чтобы второй катет треугольника находился на этой точке. Таким образом, точка F проецируется на соответствующие рамки широт и долгот. Географические координаты точки F будут иметь значения: ВF =54°41¢28¢¢ и LF = 18°05¢15¢¢ (рис. 3. 19). 51 Рис. 3.19 Аналогично проецирование точки на рамки трапеции можно выполнить путем измерения циркулем кратчайшего расстояния от точки до внутренней рамки карты. Затем этот отрезок переносится на соответствующие минутные рамки, где определяют широту и долготу точки. Для определения прямоугольных координат Х, У на все топографические карты наносят километровую сетку, параллельную осям зональной системы координат (абсцисс и ординат) через расстояния кратные целому числу километров. Полученную сеть квадратов называют километровой сеткой. Линии километровой сетки подписываются между внутренней и минутными рамками, т. е. указаны абсциссы и условные ординаты линий сетки. Километровые линии, ближние к углам внутренней рамки подписываются полностью (первые две цифры – меньшего размера), а остальные сокращенно – только двумя последними цифрами 6065; 6068; 4311; 4314 и 66; 67; 12; 13 (рис. 3.18). Прямоугольные координаты для точки 4находят определением в метрах по поперечному масштабу значений D х и D у, которые прибавляют соответственно к значению абсцисс и ординат, выраженных в километрах. Тогда, согласно рис. 3.18, D х = 454 м, D у = 412 м, а координаты точки 4 будут равны: Х4 = 6 065 000 + 454 = 6 065 454 м; У4 = 4 013 000 + 412 = 4 013 412 м. 52 Измерение на топографических картах ориентирующих углов. Дирекционные углы и географические азимуты на топографических картах измеряются геодезическим транспортиром или при помощи тахеометрического круга. Для измерения углов ориентирования прямого отрезка 5–6 (рис. 3.18) продлим его до пересечения с внутренней (минутной) рамкой карты. С помощью транспортира, центр которого совмещен с точкой пересечения, а нулевой диаметр транспортира – с внутренней рамкой отсчитаем географический азимут А5-6. При измерении дирекционного угла α5-6 нулевой диаметр транспортира совмещают с вертикальной линией километровой сетки в точке 5΄ или в точке 5 (рис. 3.18). Величину географического А и магнитного Ам азимутов можно определить по измеренному значению дирекционного угла α, пользуясь схемой расположения меридианов. Дирекционный угол α также можно определить по прямоугольным координатам объектов путем решения обратной геодезической задачи. Величина ориентирующих направлений измеряется с точностью до 10-15΄. Однако необходимо отметить, что в связи с неизбежными погрешностями прочерчивания географического меридиана и определяемого направления уменьшается точность измерения углов направления. 53 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Гиршберг М. А. Геодезия [Текст] : учебник / М. А. Гиршберг. - ИНФРА-М, 2016. - 382[2] с. 2. Колмогоров В.Г. Топография с основами геодезии [Текст]: учеб. пособие/В.Г.Колмогоров.- Новосибирск: СГГА, 2008.- 150 с. 3. Колмогоров В.Г. Топография с основами геодезии [Электронный ресурс]: учеб. пособие/В.Г.Колмогоров.- Новосибирск: СГГА, 2008.- 150 с. - Режим доступа: http://lib.sgugit.ru - Загл. с экрана. 4. Поклад Г.Г. Геодезия [Текст] : учебное пособие для вузов/Поклад Г.Г., С.П.Гриднев. – М. Академический Проект, 2011. – 537 с. 5. Геодезия. Проектирование геодезического обоснования для крупномасштабных топографических съемок, землеустроительных и кадастровых работ: метод. указания по выполнению курсовой работы/ П.А.Карев, И.В.Лесных, А.И.Павлова.- Новосибирск: СГГА, 2008.- 74 с. 6. Ямбаев Х.К. Геодезическое инструментоведение. Практикум [Текст] : Учеб. пособие для вузов (Рек.) / Х. К. Ямбаев, Н. Х. Голыгин. - М. : ЮКИС, 2005. 312 с. 7. Жарникова И. И. Топография с основами геодезии: метод. указания/ И.И. Жарникова, Н.Я. Кизилова.- Новосибирск: СГГА, 2006.- 41 с. 54