Геодезическая астрономия

2. ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АСТРОНОМИЯ 2.1. Предмет и задачи геодезической астрономии Геодезическая астрономия  раздел астрономии, в котором изучается теория и способы определения географических координат точек земной поверхности и азимутов направлений. Методы астрономических определений делятся на точные и приближенные. Под точными понимаются методы, позволяющие при современном состоянии теории геодезической астрономии и ее инструментальной базы получить значения широт, долгот и азимутов направлений с максимально возможной точностью. Точные астрономические определения широт, долгот и азимутов на пунктах астрономо-геодезической сети (АГС) совместно с результатами геодезических и гравиметрических измерений обеспечивали установление исходных геодезических дат и ориентировку государственной геодезической сети, определение параметров земного эллипсоида, ориентирование осей референцной системы геодезических координат и определение высот квазигеоида относительно референц-эллипсоида. Астрономические определения, выполняемые в государственной триангуляции при создании АГС, составляли неразрывное целое с геодезическими работами. Пункты геодезической сети, на которых произведены точные определения астрономических широт, долгот и азимутов, называют пунктами Лапласа. Средние квадратические погрешности астрономических определений на пунктах Лапласа, полученные по внутренней сходимости результатов наблюдений, не должны превышать: по широте 0.3, по долготе 0.03s, по азимуту 0.5. Геодезические азимуты сторон триангуляции, полученные из астрономических наблюдений (азимуты Лапласа), служат для ориентирования триангуляции и отдельных ее звеньев в единой системе геодезических координат. В то же время, они являются средством действенного контроля угловых измерений в астрономо-геодезической сети. Азимуты Лапласа ограничивают, локализуют действие систематических и случайных погрешностей в угловых измерениях, тем самым значительно ослабляя их влияние в обширных геодезических сетях. Поэтому азимуты Лапласа по праву можно назвать угловыми базисами геодезической сети. Согласно “Инструкции о построении государственной геодезической сети”, пункты Лапласа определяются: - на обоих концах базисных сторон триангуляции 1-го класса в вершинах полигонов (на обоих концах крайних сторон звеньев полигонометрии); - на промежуточных пунктах рядов триангуляции (полигонометрии) 1-го класса через 70  110 км; - в сплошных сетях 1-го и 2-го класса – на обоих концах базисной стороны триангуляции (стороны полигонометрии) в середине полигона. Таким образом, в каждом отдельно взятом полигоне 1-го класса определяют минимум 18  20 пунктов Лапласа. Кроме того, астрономические определения широт и долгот производились на пунктах государственной геодезической сети 1-го и 2-го классов, расположенных на основных линиях астрономо-гравиметрического нивелирования. При плотности детальной гравиметрической съемки 1 пункт на 200 км2 астрономические определения производятся на двух смежных пунктах не реже чем через 125 км. С завершением работ по созданию АГС закончился важный этап в развитии геодезической астрономии. Некоторые из перечисленных задач геодезической астрономии в настоящее время решаются с помощью более эффективных методов космической геодезии. В современных условиях точные астрономические определения необходимы при решении следующих задач. 1. Определение из астрономических наблюдений с ошибкой 0.2 составляющих уклонения отвесной линии и изучение полного спектра изменений уклонений отвеса. Решение этой задачи необходимо для установления связи между геодезической и астрономической системами координат, приведения измерений к принятой эпохе отсчета координат и гравитационного потенциала, правильного интерпретирования результатов повторного геометрического нивелирования, изучения внутреннего строения Земли. 2. Осуществление комплекса астрономических определений на пунктах фундаментальной астрономо-геодезической сети (ФАГС) и астрономо-геодези-ческих обсерваториях. 3. Выполнение азимутальных определений с ошибкой 0.15 – 0.20 для ориентирования специальных опорных направлений, элементов радиотехнических измерительных комплексов, изучения современных горизонтальных движений земной коры на геодинамических полигонах. Кроме того, возникла необходимость в модификации методов и средств геодезической астрономии применительно к использованию их для определения местоположения и ориентирования на Луне и Марсе. Под приближенными астрономическими определениями понимаются определения с погрешностями от 1 до 1, в зависимости от их назначения и применяемых для наблюдений инструментов. Общими отличительными особенностями приближенных методов являются: прямое измерение наблюдаемых величин, небольшое число приемов наблюдений, фиксация моментов наблюдений не точнее 1s, частое использование в качестве объекта наблюдений Солнца. В приближенных способах астрономических определений существенно упрощаются методика наблюдений светил и их обработка. Приближенные астрономические определения предназначаются для решения следующих задач: - получения приближенных широт, долгот и азимутов для обработки точных определений; - ориентировки инструмента для точных астрономических определений; - развития и ориентирования геодезических сетей в местной системе координат; - автономного определения азимутов и дирекционных углов ориентирных направлений; - определения азимутов для ориентирования сетей специального назначения; - контроля угловых измерений в полигонометрических ходах и других угловых построениях; - эталонирования гироскопических приборов, применяемых в маркшейдерском деле и других инженерных работах, а также для решения других аналогичных задач. Следует особо подчеркнуть важность разработок по приборному обеспечениию всех перечисленных выше задач по автоматизации астрономических наблюдений и их обработке. 2.2. Элементы общей теории способов астрономических определений 2.2.1. Общие принципы определения географических координат и азимутов направлений из наблюдений светил Из геометрии небесной сферы следует, что географическая широта , направление меридиана NS и местное звездное время s в некоторый момент наблюдения T в каком-либо пункте земной поверхности могут быть определены, если для этого момента определено положение зенита Z на небесной сфере (рис. 2.1). Первая теорема сферической астрономии гласит: высота полюса мира равна широте места наблюдения и равна склонению зенита hP =  = z. Следовательно, чтобы найти широту места наблюдения, достаточно определить склонение зенита z. По второй теореме сферической астрономии разность долгот равна разности местных времен, то есть 2  1 = s2  s1, где местное звездное время равно прямому восхождению зенита, s = z. Направление небесного меридиана и полуденной линии, необходимое для получения азимута направления, определяет большой круг, проходящий через полюс мира и зенит. Положение зенита на небесной сфере Z(z, z) в заданный момент времени T может быть определено: - зенитными расстояниями минимум двух светил Z1 = Z1 и Z2 = Z2 с известными экваториальными координатами 1(1, 1) и 2(2, 2); - как пересечение по крайней мере двух вертикалов, проходящих через эти светила, то есть азимутами светил A1 и A2. В зависимости от измеряемых величин, все способы астрономических определений географических координат делятся на две основные группы: зенитальные и азимутальные. В зенитальных способах широта и время определяются по измеренным зенитным расстояниям светил, или по разностям зенитных расстояний светил, или из наблюдений групп звезд на одинаковом зенитном расстоянии. Азимутальные способы астрономических определений позволяют определять время и широту по азимутам двух звезд, или по измеренным разностям азимутов звезд, или по наблюдениям групп звезд в одном вертикале. В геодезической астрономии горизонтальные координаты светил (A, Z) считаются измеряемыми, экваториальные координаты светил ( ) – известными, а географические координаты пункта наблюдения и азимут направления ( , а) – определяемыми. Связь между определяемыми, известными и измеряемыми величинами осуществляется через решение параллактического треугольника. Выражение cosZ = sin sin + coscoscost (2.1) есть уравнение связи зенитальных способов астрономических определений, а выражение сtg A = sin ctgZ – tg cos/sint (2.2) есть уравнение связи азимутальных способов астрономических определений. В выражениях (2.1), (2.2) часовой угол вычисляется по формуле t = Tн + u - , где Tн – момент наблюдения; u – поправка часов. Принцип определения азимута направления на земной предмет следует из рис. 2.2: a = A + Q, где Q = М  M*  измеренный горизонтальный угол светила, равный разности отсчетов по горизонтальному кругу на земной предмет M и на светило М*; A  азимут светила, вычисляемый по формуле (2.2). Для его вычисления надо отнаблюдать в момент Тн светило с известными координатами ( ), причем поправка часов u в этот момент и широта места наблюдения должны быть известны. В рассматриваемом способе азимут светила А и горизонтальный угол Q постоянно меняются вследствие суточного движения небесной сферы. Это обстоятельство затрудняет контроль ошибок измерений и вычислений, поэтому данный подход применим только в приближенных способах астрономических определений. От недостатка такого подхода избавлен следующий принцип определения азимута: а = М  MN, (2.3) где MN – отсчет по горизонтальному кругу северного направления меридиана, называемый местом севера. Место севера определяется из уравнивания наблюдений. Суточное движение небесной сферы не изменяет MN и отсчет по горизонтальному кругу на земной предмет М, поэтому здесь возможен контроль измерений и вычислений. Формула определения азимута (2.3) используется в точных способах астрономических определений. 2.2.2. Зенитальные способы астрономических определений В основе зенитальных способов астрономических определений лежит уравнение связи (2.1). В этом уравнении два неизвестных – широта  и поправка часов u, которые можно определить как совместно, так и раздельно. Для совместного определения координат необходимо измерить зенитные расстояния Z и моменты наблюдения Tн как минимум двух светил и решить систему уравнений вида (2.1). Однако в уравнение связи определяемые величины входят в виде тригонометрических функций, и решение системы уравнений сложно. Поэтому данную систему линеаризуют и решают задачу по методу наименьших квадратов. В любом случае, как при совместном определении (, u), так и при раздельном их определении, решение задачи облегчается, если известны приближенные значения 0, u0 (например, из приближенных определений). Вся дальнейшая задача состоит в определении малых поправок , u к этим приближенным величинам. Линеаризованное уравнение связи выглядит следующим образом: - + cosAi + sinAicos0u + (z0i  ziизм) = vzi, (2.4) где  – инструментальная систематическая погрешность зенитного расстояния; z0i – зенитное расстояние, вычисленное по формуле (2.1) приближенными значениями 0, u0; ziизм – измеренное зенитное расстояние; vzi – поправка в вероятнейшее значение зенитного расстояния; i = 1, 2, …, n; n – число измерений. Выражение (2.4) есть уравнение поправок зенитальных способов астрономических определений. С геометрической точки зрения уравнение поправок представляет собой зависимость между условным z0i и астрономическим zi зенитными расстояниями любой произвольной точки небесной сферы. Если в качестве приближенных широты и долготы (поправки часов) взять геодезические широту B и долготу L, то выражения для поправок , u в приближенные координаты примут вид:  =  B = ; u cos =  cos = ( – L) cos = , где ,  – астрономо-геодезические уклонения отвесной линии в плоскостях меридиана и первого вертикала, соответственно. С принятыми обозначениями уравнение поправок (2.4) записывается в виде: - + cosAi + sinAi  + (z0i  ziизм) = vzi. Из решения системы таких уравнений непосредственно получаются значения составляющих астрономо-геодезического уклонения отвесной линии в пункте наблюдения. 2.2.3. Выгоднейшие условия определения времени и широты по измеренным зенитным расстояниям светил Выгоднейшими условиями наблюдений называются условия, при которых для данных средств измерений достигается максимальная точность определяемых величин. На результаты измерения зенитного расстояния Z светила влияют случайные и систематические ошибки Z; момент Т наблюдения светила определяется с ошибкой T, содержащей также случайную и систематическую части. Широта и долгота пункта наблюдения известны или определяются с некоторыми ошибками  и . Также содержат ошибки   экваториальные координаты  и  наблюдаемых звезд. При соблюдении выгоднейших условий влияние этих ошибок на вычисление определяемой величины минимально. Для определения выгоднейших условий продифференцируем уравнение связи зенитальных способов (2.1): -sinZdZ = (cossin – sincoscost)d + (sincos  cossincost)d   coscossint(dT + du  d). Из параллактического треугольника имеем: -sinZcosA = cossinsincoscost; sinZsinA = cossint; sinZcosq = sincoscos sincost. Сокращая полученные равенства на sinZ, найдем выражение для дифференциала зенитного расстояния: dZ = cosAd + cossinA(dT + du  d) – cosqd. (2.5) Решая уравнение (2.5) последовательно относительно d и du, а затем, заменяя дифференциалы конечными разностями Z, T, u при условии, что координаты звезды безошибочны (d = 0 и d = 0), получим дифференциальные формулы ошибки широты и поправки часов:  = Z/cosA – cos tgA(T + u); (2.6) u = T + Z/(cossinA) – / (costgA). (2.7) Анализ формулы (2.6) позволяет сделать вывод, что выгоднейшими условиями для определения широты  по измеренным зенитным расстояниям являются наблюдения их в меридиане, то есть когда азимут равен 0о или 180о. В меридиане ошибки момента наблюдения T и поправки часов u не сказываются на определении широты, и ошибка в широте равна ошибке измерения зенитного расстояния. При наблюдении звезды к югу от зенита S = ZS, к северу  =  Z. Следовательно, при наблюдении звезд парами симметрично относительно зенита систематические ошибки измеренного зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Талькотта. Определим выгоднейшие условия определения долготы по измеренным зенитным расстояниям светил. Из анализа формулы (2.7) следует, что влияние ошибок  и Z на определение долготы будет минимальным в первом вертикале (А = 90о или А = 270о). При наблюдении западной звезды uW = TW + ZW/cos, восточной – uЕ = TЕ + ZЕ/cos, то есть при наблюдении звезд в первом вертикале парами симметрично относительно зенита ошибки измерения зенитного расстояния будут компенсироваться. Наивыгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям удовлетворяет способ Цингера. 2.2.4. Азимутальные способы астрономических определений Решение задачи совместного определения широты , долготы  (времени u) и азимута А (направления меридиана MN) может быть получено не менее чем из трех уравнений вида (2.2) по данным наблюдений не менее трех звезд. Для решения задачи необходимо уравнение связи (2.2) привести к линейному виду, также как и в зенитальных способах астрономических определений. Результатом линеаризации уравнения связи азимутальных способов являются уравнения поправок двух видов, для измеренного горизонтального направления и измеренного горизонтального угла: MN + sinA0i ctgzi  + (sin0 – cos0 ctgzi cosA0i) + li = vi; (2.8) a – sinA0i ctgzi   (sin0 – cos0 ctgzi cosA0i) + li = vi, (2.9) где vi, vi поправки измеренного горизонтального направления и горизонтального угла, соответственно, MN – поправка предварительного значения места севера MN0; a – поправка предварительного значения азимута a0 направления на земной предмет; A0i – предварительное значение азимута направления на светило, вычисленное с приближенными значениями 0, 0 по формуле (2.2); li = (A0i + MN0) – Niизм – разность вычисленного и измеренного горизонтальных направлений; li = (a0 – A0i) – Qiизм – разность вычисленного и измеренного горизонтального угла. Астрономический азимут светила есть разность между астрономическим азимутом направления на земной предмет a и горизонтальным углом Q: Ai = a – Qi = (a0 + a) – (Qiизм + vi). (2.10) С учетом (2.10) уравнение (2.9) примет вид A0i = Ai – ( – 0)sin  + ( cos0cosA0i – sinA0i)ctgzi. (2.11) С геометрической точки зрения уравнение поправок азимутальных способов есть уравнение связи между условным (A0i) и астрономическим (Ai) азимутом одного и того же направления. Для направления на земной предмет уравнение запишется в виде a0 = a – ( – 0)sin  + ( cos0cosa0 – sina0)ctgz. (2.12) Если при вычислениях вместо условных координат 0 и 0 принять геодезические координаты пункта B и L, то есть =  – B = ;  cos  = (– L)cos  = , то уравнение (2.12) примет вид aг = a – ( – L)sinB + ( cosaг –  sinaг)ctgz, (2.13) где aг и a – геодезический и астрономический азимуты направления на земной предмет, соответственно. В этом случае наблюдения будут автоматически редуцированы к геодезическому зениту, и из обработки будут получены значения геодезического азимута направления на земной предмет aг и астрономо-геодезических составляющих уклонения отвесной линии  и. Формула (2.13) есть уравнение Лапласа. Его используют для определения геодезического азимута из наблюдений астрономических азимутов и координат. Полученный геодезический азимут aг в этом случае называют азимутом Лапласа. 2.2.5. Выгоднейшие условия определения азимута, времени и широты по измеренным горизонтальным направлениям светил Для обоснования выгоднейших условий определения координат используется уравнение связи азимутальных способов астрономических определений: ctgAsint  sincost + tgcos = 0. (2.14) Дифференцируя формулу (2.14) по переменным A,  и t, заменяя дифференциалы dA, d и dt ошибками A,  и t, получаем выражение для ошибки азимута: A = cosqcos(T + u)/sinZ – sinA/tgZ. (2.15) Минимальное значение коэффициентов при (T + u) и  бывает при наблюдении близполюсных звезд, у которых   90о, а А  180о. Этим условиям удовлетворяет Полярная звезда. Если выбирать звезды по зенитным расстояниям, то влияние ошибок на определение азимута будет минимально на горизонте. Поэтому при определении азимута по Солнцу выгоднейшие условия для наблюдений будут при восходе и заходе Солнца. Выгоднейшие условия определения времени (долготы) в азимутальных способах определяются из анализа формулы для u, выведенной из выражения (2.15): u = T + sinZ A/coscosq – cosZsinA/ coscosq. (2.16) Из формулы (2.16) следует, что время (долготу) выгоднее всего определять из наблюдения звезд в меридиане, парами, симметрично относительно зенита, на небольших зенитных расстояниях. Аналогично можно определить выгоднейшие условия определения широты в азимутальных способах, из анализа формулы  = coscosq(u + T)/ cosZsinA + tgZ A/sinA. (2.17) Из выражения (2.17) следует, что для определения широты азимутальными способами необходимо наблюдать звезды в первом вертикале, парами, симметрично относительно зенита, на малых зенитных расстояниях. 2.3. Особенности наблюдения светил в геодезической астрономии 2.3.1. Методы визирования светил В каждой точке земной поверхности горизонтальные координаты светила (зенитное расстояние и азимут) не остаются постоянными, а изменяются со временем вследствие суточного вращения небесной сферы. Следовательно, горизонтальные координаты каждого светила представляются некоторыми функциями времени. Определение таких координат с помощью астрономических инструментов может дать в каждом случае только мгновенное их значение. Поэтому все наблюдения, производимые для этой цели, обязательно должны сопровождаться регистрацией времени. Моменты наблюдения звезд могут регистрироваться в системе либо среднего солнечного (декретного) времени, либо звездного времени. У часов, с помощью которых фиксируются моменты наблюдения, определяются поправка часов (u) и ход часов (w): u = T0 – Tн, w = (u2 – u1)/(T02 – T01), где T0 – показания радиосигналов точного времени; Tн – показания часов в момент приема радиосигналов точного времени; u2, u1 – поправки часов, определенные в моменты T02 и T01. При обработке астрономических наблюдений в моменты наблюдений звезд вводятся поправка часов и коррекция за ход часов: T = Tн + u1 + (Tн – T01)w. В геодезической астрономии существуют два метода визирования: - метод наведения горизонтальной нити (в зенитальных способах) или вертикальной нити (в азимутальных способах) на светило с отсчетом по часам; - метод звездных прохождений через вертикальные или горизонтальные нити установленной неподвижно трубы прибора с фиксацией моментов прохождения светила через эти нити, с измерением малых углов в поле зрения трубы с помощью окулярного микрометра. В первом случае труба прибора перемещается следом за движением светила, во втором – неподвижна. В точных способах астрономических определений при измерении горизонтальных координат используется метод звездных прохождений. Кроме особенностей, связанных с методикой визирования, есть особенности, связанные с учетом различных приборных погрешностей, влияния внешней среды и личных погрешностей наблюдателя. 2.3.2. Особенности измерения зенитных расстояний светил В астрономических теодолитах вертикальный круг вращается вместе с трубой и обычно имеет подписи делений, возрастающие по ходу часовой стрелки. На рис. 2.3 изображены три вертикальных круга, соответствующих трем положениям объектива при положении инструмента “круг лево”. Из рис. 2.3 видно, что в момент наведения трубы на светило отсчеты по вертикальному кругу L больше отсчета места зенита MZ. Отсюда при “круге лево” значение зенитного расстояния определится по формуле: Z = L – MZ. Рис. 2.3. Вертикальный круг при положении “круг лево” Из рис. 2.4 видно, что при положении инструмента “круг право” отсчет MZ больше отсчета по кругу R, поэтому Z = R – MZ. Тогда Z = (L – R)/2; MZ = (L + R)/2. Если же подписи делений вертикального круга возрастают против хода часовой стрелки, то формулы для вычисления зенитного расстояния будут иметь следующий вид: Z = R – MZ; Z = MZ – L; Z = (R – L)/2; MZ = (L + R)/2. 2.3.3. Поправки в измеренные зенитные расстояния Поправка за наклон оси уровня При вычислении зенитного расстояния необходимо исправлять отсчеты вертикального круга за наклон его алидады, который вычисляется по показаниям концов пузырька уровня. Нулевая линия алидады вертикального круга при движении трубы не остается в постоянном положении относительно отвесной линии, а изменяется при каждом новом наведении. Нормальным положением этой линии считается то, при котором пузырек уровня находится точно на середине ампулы уровня; к такому его положению должны быть приведены все отсчеты вертикального круга. При положении пузырька уровня на середине отсчет на лимбе будет Lт (рис. 2.5); если пузырек уровня ушел вправо, то это указывает на перемещение алидады вертикального круга в сторону уменьшения отсчетов по лимбу. Поэтому для получения правильного отсчета Lт нужно снятый с лимба отсчет Lизм увеличить на угол i, то есть Lт = Lизм + i. Если шкала уровня оцифрована так, что на одном конце его подписан нуль, а на другом m (рис. 2.6), то наклон оси уровня вычисляется по формуле i = 0(л + п)/2 – m/2, где л и п – отсчеты по левому и правому концам пузырька уровня при условии, что наблюдатель стоит лицом к уровню, и нуль делений слева. При обработке результатов наблюдений наклон оси уровня i выражают в секундах дуги, то есть i = /2(0(л + п) – m), где  – цена деления уровня в секундах дуги. Таким образом, зенитное расстояние, исправленное за наклон оси уровня, равно Z = Lизм – MZ + /2(0(л + п) – m). Поправка за рефракцию Для учета влияния астрономической рефракции необходимо измерять температуру воздуха и атмосферное давление во время наблюдений. Поправка в зенитное расстояние за рефракцию вычисляется по формуле  = 21.67" B tg Z'/(273 + toC), где В – атмосферное давление, мм рт. ст.; t – температура воздуха в градусах Цельсия; Z' – измеренное зенитное расстояние. В приближенных способах астрономических определений с погрешностью более 1" можно использовать формулу средней рефракции 0 = 60.3"tg Z'. Ввиду больших погрешностей вычисления рефракции вблизи горизонта, инструкцией о построении государственной геодезической сети разрешено производить измерения для астрономических определений 1-го класса при зенитных расстояниях 0о < z < 50о, для приближенных способов – 0о < z < 80о. Зенитное расстояние, исправленное за рефракцию, есть Z = Z' + . Поправка за суточный параллакс Солнца При измерении зенитных расстояний Солнца необходимо учитывать его параллакс по формуле Zгеоц = Zтоп – P0sin Zтоп, где Zгеоц – геоцентрическое зенитное расстояние; Zтоп – топоцентрическое зенитное расстояние; P0 – экваториальный параллакс Солнца, публикуемый на дату в Астрономическом ежегоднике. Для приближенных способов астрономических определений можно принять P0 = 8.8". 2.3.4. Особенности измерения горизонтальных направлений В азимутальных способах астрономических определений измеряемыми величинами являются горизонтальные направления на светило. Особенностью измерений является то, что наблюдения светил выполняются на различных высотах над горизонтом. Поэтому при измерениях горизонтальных направлений на светило необходимо учитывать влияние наклона горизонтальной оси теодолита, коллимационной ошибки, бокового гнутия трубы, погрешности форм цапф горизонтальной оси, а также влияние различных внешних источников погрешностей и личные погрешности наблюдателя, зависящие от зенитного расстояния светила. Влияние наклона горизонтальной оси теодолита на измеренные горизонтальные направления Оптическая ось трубы при вращении вокруг негоризонтальной оси теодолита HH (рис. 2.7) будет описывать наклонную плоскость Z, и вместо верного отсчета L на лимбе будет получен ошибочный отсчет L. Дуга LL = x есть ошибка отсчета вследствие наклона b = ZZ горизонтальной оси теодолита к горизонту. Из решения прямоугольных треугольников ZZ и LL имеем: sin Z = tg b ctg y; cos Z = tg x ctg y. Отсюда tg Z = tg b/ tg x. Преобразование этой формулы дает выражение tg x = tg b ctg Z. Из-за малости величин b и x можно записать x = b ctg Z. Если для наблюдателя, обращенного лицом к светилу , правый конец горизонтальной оси HH будет выше левого (рис. 2.7), то L = L  b ctg Z. Если правый конец будет ниже левого, то L = L + b ctg Z. Под наклоном горизонтальной оси теодолита b понимается наклон оси уровня, определяемый по показаниям концов пузырька уровня (либо накладного на цапфы у астрономических универсалов, либо при горизонтальном круге у обычных теодолитов) при двух положениях уровня I и II (рис. 2.8). При положении уровня I горизонтальная ось HH и ось уровня составляют с горизонтом HH и между собой углы b и i1 и нуль-пункт . При положении уровня II ось HH и ось уровня составляют с горизонтом HH и между собой углы b, i2 и нуль-пункт . Отсюда b = i1 – ; b = i2 + . При двух положениях уровня наклон горизонтальной оси HH определяется по формуле b = (i1 + i2)/2, а значение нуль-пункта уровня  вычисляется по формуле  = (i1 – i2)/2, где i1 = [m – 0(л + п)], когда “0” слева; i2 = [0(л + п) – m], когда “0” справа; m – количество делений на ампуле уровня; л, п – отсчеты по левому и правому концам пузырька уровня. Обобщая полученные формулы, запишем b = [(л + п)0 – 0(л + п)]/2;  = [2m – ((л + п)0 + 0(л + п))]/2. Влияние коллимационной ошибки на горизонтальное направление на светило При отсутствии коллимационной ошибки на лимбе горизонтального круга будет прочитан правильный отсчет L (рис. 2.9). При наличии коллимационной ошибки (c  0) на горизонтальном лимбе будет прочитан отсчет L. Из треугольника Zk sin c = sin (L – L) sin Z. Из-за малости c и (L – L) можно записать L – L = c cosec Z, отсюда L = L + c cosec Z. При наблюдениях, выполненных при разных положениях вертикального круга прибора, коллимационная ошибка определяется по формулам L = L – c cosec ZR – при “круге лево”; R = R + c cosec ZL – при “круге право”. Среднее значение наблюдаемого горизонтального направления равно N = (L + (R  180о))/2 = (L + (R  180о))/2 + c(cosec ZR – cosec ZL)/2. При наблюдении земного предмета, где cosec ZR = cosec ZL, N = (L + (R  180о))/2, а значение коллимационной ошибки равно c = (L – (R  180о))/2. Если ZR = ZL, то влияние коллимационной ошибки полностью исключается. Поправка в азимут светила за влияние суточной аберрации Из теории суточной аберрации известно, что под ее влиянием светила смещаются к точке востока на величину дуги  = 0.32cos sin E. Поправка в азимут за влияние суточной аберрации вычисляется по формуле A = 0.32cos  cos A cosec Z. Для Полярной звезды можно принять cos AN  1, тогда A = 0.32cos  cosec Z. Влияние бокового гнутия трубы Под боковым гнутием трубы теодолита понимают боковое смещение визирной оси при изменении зенитных расстояний светил. Это смещение может быть обусловлено несовершенством крепления частей оптической системы в трубе, температурным влиянием на отдельные части оптической системы и различным действием силы тяжести на отдельные части оптической системы при различных положениях трубы по высоте. Суммарное действие перечисленных факторов на боковое смещение визирной оси проявляется в изменении коллимационной ошибки и влияет на измеренное горизонтальное направление пропорционально cosec Z, то есть N =  cosec Z, где  определяется из специальных исследований при помощи автоколлимационной насадки ЦНИИГАиК. Абсолютная величина бокового гнутия трубы не превышает нескольких десятых долей секунды дуги. 2.4. Понятие о точных способах астрономических определений 2.4.1. Определение широты по измеренным малым разностям зенитных расстояний пар звезд в меридиане (способ Талькотта) Астрономические определения 1-2 класса (m < 0.3, m < 0.3, ma < 0.5) выполняются рядом точных способов. К ним относятся способы Талькотта, Цингера, равных высот или равных азимутов. В точных способах астрономических определений предъявляются повышенные требования к качеству инструментов, к методике наблюдения и обработки. Идея рассматриваемого способа принадлежит датскому астроному П. Гор-ребоу (1740 г.), а практическая разработка способа и первые наблюдения выполнены американским геодезистом А. Талькоттом в 40 – 50-х гг. XIX столетия. Способ Талькотта удовлетворяет наивыгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям светил. Здесь формулы вычисления широты для наблюдения северной и южной звезд в меридиане записываются в виде: = S + ZS; = N – ZN. Отсюда  = ½ (S +N) + ½( ZS – ZN). Измерение разностей зенитных расстояний выполняется в поле зрения трубы теодолита, с помощью окулярного микрометра, без отсчетов по лимбу вертикального круга. Для фиксирования положения трубы по высоте, с ней жестко скрепляется талькоттовский уровень, ось которого лежит в плоскости, параллельной плоскости вертикального круга. Применение талькоттовского уровня позволяет учитывать малейшие изменения трубы по высоте. В способе Талькотта сведено к минимуму влияние погрешностей измерения зенитных расстояний и рефракции на вычисляемую широту. 2.4.2. Определение долготы из наблюдений пар звезд на равных высотах (способ Цингера) Всестороннее исследование и разработку способа выполнил адъюнкт-астроном Пулковской обсерватории Н.Я. Цингер в 1874 г. Способ Цингера удовлетворяет наивыгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям светил и относится к группе способов равных высот. В данной группе на выбор звезд накладывается общее ограничивающее условие: звезды в сериях или парах наблюдаются на равных высотах. При этом труба ставится на данное зенитное расстояние по отсчету вертикального лимба и закрепляется зажимным винтом. С трубой теодолита жестко скрепляется талькоттовский уровень. В способе Цингера звезды наблюдаются парами вблизи первого вертикала, симметрично относительно зенита. При этом почти полностью исключаются систематические погрешности измерения зенитных расстояний и ошибки, вызванные влиянием внешней среды. 2.5. Приближенные способы астрономических определений 2.5.1. Приближенные определения азимута земного предмета по наблюдениям Полярной Азимут направления на земной предмет (aзп) в приближенных способах определяется как aзп = A + Q, где А – вычисленный азимут Полярной звезды; Q – измеренный горизонтальный угол. Азимут Полярной можно вычислить по точной формуле связи азимутальных способов (2.2) либо по приближенной формуле. Вывод приближенной формулы вычисления азимута рассмотрен в п. 1.1.7 “Эфемерида Полярной звезды”. С погрешностью до 1' азимут Полярной, отсчитываемый от точки севера, может быть вычислен как AN =  sin (s – )/cos(+ f). Здесь  = 90о – . В узком параллактическом треугольнике с точностью 1' справедливо выражение h   + f, где h – высота Полярной. Звездное время s есть момент наблюдения Полярной (прохождения звезды через перекрестье сетки нитей трубы теодолита) Тн, исправленный поправкой часов u: s = Тн + u. Таким образом, чтобы определить азимут направления на земной предмет по наблюдению Полярной, необходимо определить момент наблюдения Полярной Tн, а также измерить горизонтальный угол Q между направлениями на Полярную и земной предмет. Здесь необходимо знать поправку часов u с точностью до 1m и широту до 1'. Значение высоты, которое требуется в приближенной формуле, можно выбирать из эфемерид Полярной (“Таблица высот и азимутов Полярной” в Астрономическом ежегоднике). Экваториальные координаты Полярной () выписываются на дату наблюдения из таблицы “Видимые места близполюсных звезд” Астрономического ежегодника. Здесь Полярная обозначена номером 4. Для получения приближенного азимута выполняют наблюдения двух-трех приемов с перестановкой горизонтального круга через 60о. Прием состоит из двух полуприемов. В каждом из полуприемов выполняются наведение на земной предмет и два наведения вертикальной нитью на Полярную, с фиксацией отсчетов по часам. Образец журнала наблюдений см. в прил. 3. 2.5.2. Приближенные определения широты по наблюдениям Полярной В основу способа определения широты по наблюдению Полярной положена первая теорема сферической астрономии: высота полюса мира над горизонтом равна широте места наблюдения. Поскольку Полярная является ближайшей звездой к полюсу мира (полярное расстояние  = (90о  ) < 1о), то в первом приближении, с точностью до градуса, широта равна высоте Полярной:   h = 90о  Z. Высота Полярной h или зенитное расстояние Z измеряются теодолитом. Во втором приближении, для вычисления широты в измеренную высоту Полярной вводится поправка:   h – x = h – cos t. Данная формула позволяет определять широту с точностью 1'. Наконец, в результате строгого решения параллактического треугольника, можно прийти к следующей группе формул для вычисления широты: tgx = cos t ctg; sin( + x) = cosZcosx/sin;  = ( + x) – x. Чтобы вычислить широту, следует измерить высоту h или зенитное расстояние Z Полярной, сопровождая измерения отсчетами по часам Tн. В измеренное зенитное расстояние (высоту) вводится поправка за рефракцию. Поправка часов u определяется по приему радиосигналов точного времени. Координаты Полярной ( ) выбираются из таблицы “Видимые места близполюсных звезд” Астрономического ежегодника. Часовой угол t вычисляется как t = Tн + u – . Широту пункта получают как среднее из трех приемов. В полуприеме Полярную наблюдают два раза подряд, каждый раз наводя горизонтальной нитью и фиксируя отсчеты по часам. Образец наблюдений см. в прил. 3. 2.5.3. Приближенные определения долготы и азимута по измеренным зенитным расстояниям Солнца В основу определения долготы по наблюдениям Солнца положена вторая теорема сферической астрономии: разность местных времен равна разности долгот, или  = m – UT, где Всемирное время UT есть UT = Dn – (n + k) = Тн + u – (n + k), а среднее солнечное время m определяется по часовому углу истинного Солнца как m = t – E, где Е – уравнение времени. Азимут направления на земной предмет по наблюдениям Солнца вычисляется по формуле азп = А + Q, где Q – измеренный горизонтальный угол. Часовой угол t и азимут Солнца А могут быть вычислены из решения параллактического треугольника, в котором известны широта  и склонение Солнца , а также зенитное расстояние Z: cos t = (cosZ – sinsin)/coscos; cosA = (sin cosZ – sin)/cossinZ. Значение кругового угла определяется в зависимости от положения светила относительно меридиана. Если Солнце наблюдается к западу от меридиана (вечерние наблюдения), то t = t; A = A, а если Солнце – к востоку от меридиана, то t = 360о – t; A = 360о – A. Уравнение времени Е и склонение Солнца  интерполируются из Астрономического ежегодника (таблица “Солнце”) на средний момент наблюдения в приеме по формулам с часовыми изменениями:  =0 + v(UT)h; E = E0 + vE(UT)h, где 0, E0 – табличные значения координат на дату наблюдения (0h TT); v, vE – их часовые изменения. Согласно выгоднейшим условиям определения долготы по измеренным зенитным расстояниям, Солнце необходимо наблюдать вблизи первого вертикала – то есть после восхода и перед заходом. Рекомендуется прекращать наблюдения Солнца за 1.5 часа до его кульминации (полудня) и возобновлять наблюдения спустя минимум 1.5 часа после кульминации. Из-за трудно учитываемого влияния рефракции на измерения вблизи горизонта, высота Солнца не должна быть меньше 10о. При наблюдениях Солнца на окуляр надевают плотный стеклянный светофильтр. В рассматриваемом способе определения долготы и азимута измеряются зенитное расстояние Солнца Z и горизонтальный угол Q между направлениями на Солнце и земной предмет. Наблюдения Солнца сопровождаются отсчетами по часам Тн в системе декретного времени Dn. Поправка часов u определяется из приема радиосигналов точного времени. В измеренное зенитное расстояние Солнца Z вводятся поправки за рефракцию и суточный параллакс: Z = Z +  – PsinZ = Z + 60.2tgZ – 8,8sinZ. Азимут и долготу получают как среднее из трех приемов. Наведение на центр диска Солнца получают как среднее из двух наведений на края (рис. 2.10). В момент касания краев берут отсчеты по часам. Образец журнала наблюдений см. в прил. 3. 2.5.4. Приближенные определения широты по измеренным зенитным расстояниям Солнца Согласно выгоднейшим условиям определения широты по измеренным зенитным расстояниям, Солнце необходимо наблюдать вблизи меридиана и желательно так, чтобы часть наблюдений была сделана до прохождения Солнцем меридиана, а часть – после. Для определения широты достаточно измерить зенитное расстояние Солнца, сопровождая измерения отсчетами по часам. В каждом полуприеме выполняются по два наведения на нижний и верхний края диска Солнца (рис. 2.11). Пример наблюдений см. в прил. 3. Для вычисления широты вводятся вспомогательные величины M и N, вычисляемые по следующим формулам: tgM = tg/cost; cosN = cosZsinM/sin. Далее вычисляется широта:  = M + N. Часовой угол Солнца вычисляется по формуле t = m + E, где m = Tн + u – (n + k) + . Склонение Солнца  и уравнение времени E интерполируются из Астрономического ежегодника с часовыми изменениями; зенитное расстояние Солнца Z исправляется за рефракцию и суточный параллакс (см. п. 2.5.3). Долгота пункта  должна быть известна. 2.6. Астрономическая ориентировка в полете 2.6.1. Определение долготы и широты по высотам светил в произвольных азимутах Раздел практической астрономии, в котором рассматривается определение места положения (географической широты и долготы) воздушного корабля при помощи астрономических наблюдений, называется авиационной астрономией. Сущность определения места наблюдателя на земной поверхности астрономическими методами сводится к нахождению положения зенита наблюдателя на небесной сфере в точке пересечения не менее чем двух линий положения. В навигации линией положения называется геометрическое место точек, обладающих каким-либо характерным свойством, одинаковым для всех наблюдателей, находящихся на этой линии. Пусть наблюдатель находится на земном шаре в точке а (рис. 2.12). Зенит точки а обозначен на небесной сфере как Za. Пусть в некоторый момент времени T наблюдатель измерил высоту светила h. Дуга ZaЕ = 90о  h есть зенитное расстояние светила Z. Опишем вокруг точки Е малый круг ZaZbZc радиусом Z. Если спроектировать светило и все точки малого круга ZaZbZc по отвесным линиям на земную поверхность, то получится малый круг abc, сферический радиус которого равен сферическому радиусу малого круга небесной сферы ZaZbZc. Этот малый круг есть изолиния, отвечающая результатам измерения высоты светила и получившая название круга равных высот. Центр круга равных высот e есть проекция светила Е по отвесной линии на земную поверхность. Эта точка получила название “полюс освещения”. Очевидно, что если одновременно измерить высоту какого-нибудь второго светила, то можно провести второй круг равных высот, в точке пересечения которого с первым кругом равных высот должен находиться наблюдатель. Для того, чтобы нанести круг равных высот на земную поверхность, необходимо определить географические координаты полюса освещения. Пусть на земном меридиане, расположенном в плоскости чертежа (рис. 2.13), в точке G находится Гринвич. Зенит Гринвича ZG находится на продолжении прямой OG до пересечения с небесной сферой. Из рисунка видно, что широта e и долгота e полюса освещения связаны с экваториальными координатами светила Е: E = ME = e; tE = QM = e. Склонение E выбирается из каталога звезд, а часовой угол tE вычисляется по формуле tE = T + u – E, где T – момент наблюдения по звездному времени; u – поправка часов; E – прямое восхождение светила, выбираемое из каталога звезд. Очевидно, что, располагая координатами полюса освещения и величиной сферического радиуса круга равных высот Z, положение круга равных высот можно нанести на земной глобус. При нанесении на глобус двух кругов равных высот, получаются две точки пересечения a и a, одна из которых определяет действительное место. Какая именно из них – указывают зенитное расстояние Zс и азимут светила Ас, предварительно вычисляемые по следующим формулам: cos Zc = sin c sin E + cos ccos E cos tc; (2.18) sin Ac = cos E sin tc/sinZc; tc = T + U + c – E. Чтобы получить положение объекта с точностью 2 км, необходимо, чтобы на глобусе длина меридиана 1 была не менее 1 мм. Следовательно, радиус глобуса должен быть равен 3.5 м. Таким глобусом пользоваться неудобно. На практике определение широты и долготы в произвольных азимутах заключается в нахождении поправок к приближенным значениям широты 0 и долготы 0 пункта наблюдений, определенным по карте масштаба 1 : 100 000 и крупнее. Для получения этих поправок для каждой звезды по формуле (2.18) вычисляется зенитное расстояние Zc. Затем для всех звезд вычисляются разности Z = Zc – Z наб. Поправки к приближенным значениям широты и долготы определяются графически. Для этого на листе миллиметровой бумаги намечается точка, изображающая приближенное положение определяемого пункта с координатами 0, 0 и через нее проводятся оси прямоугольных координат (рис. 2.14). От положительного направления оси абсцисс X откладываются с помощью транспортира направления, соответствующие азимутам звезд, и на полученных направлениях откладываются от начала координат отрезки, равные Z в принятом масштабе. При этом, если величина Z имеет знак “плюс”, то отрезок откладывается по направлению линии азимута, а если “минус”, то в противоположном направлении. Затем через концы отрезков проводятся так называемые линии положения, перпендикулярные линиям азимутов. В фигуру, образованную линиями положения, вписывают окружность наиболее подходящего радиуса. По координатам (x, y) центра этой окружности вычисляют искомые поправки по формулам  = x/m;  = y/(15mcos), где m – число миллиметров, соответствующее 1 дуги. Окончательные значения  и вычисляются по формулам:  = 0 + ;  = 0 + . 2.6.2. Элементы авиационной астрономии. Авиасекстант Большая скорость самолета и значительная высота полета неблагоприятно влияют на точность астрономических наблюдений в полетах. Ошибка полученной из серии измерений высоты светила может быть от 0.2о до 0.3о. Однако такая точность в воздушной астрономии может считаться достаточной. При большой высоте полета дальность горизонта весьма значительна (100 – 300 км), поэтому линейная точность определения места самолета порядка 10 – 30 км оказывается вполне удовлетворительной. Кроме того, большая скорость самолета требует, чтобы наблюдения выполнялись очень быстро – координаты самолета (широта и долгота) должны быть получены через 2 – 4 минуты после окончания наблюдений. Такие наблюдения можно выполнить с помощью авиасекстанта. Схема авиасекстанта приведена на рис. 2.15. На раме ABCD расположены уровень FG и неподвижное зеркало MN. Центр этого зеркала Y совпадает с центром кривизны поверхности уровня FG. Зеркало MN устанавливается под углом 67.5о к направлению EY, так что луч EY отражается от него в направлении Ym под углом 45о к горизонту. В точке m этот луч встречает прозрачную плоскопараллельную пластинку KL, которая частью отражает и частью пропускает без преломления падающие на нее лучи. Таким образом, если наблюдатель, глядя через пластинку из точки O, держит авиасекстант так, что середина пузырька уровня совпадает с точкой Y, то линия EY будет вертикальна и даст направление на зенит Z. Пластинка KL может вращаться вокруг точки m. Поворачивая ее, можно добиться, чтобы луч, идущий от светила , отразился от нее в том же направлении mO, то есть, чтобы отраженное изображение светила и середины пузырька уровня E совпали. Тогда угол между направлениями m и ZE будет равен Z = 2w. Если совпадение изображений достигнуто, то оно не нарушится при покачивании секстанта в вертикальной плоскости. Такие же результаты получаются, если глаз наблюдателя находится в точке О. Только в этом случае дважды отраженное изображение середины пузырька уровня совмещается с непосредственно наблюдаемым изображением светила . В воздушной астрономии наблюдаются: днем Солнце, в сумерках Луна и яркие планеты, в особенности Венера. Ночью наблюдаются Полярная ( U Mi) и 12 так называемых авиационных звезд: Вега (Lyr), Капелла ( Aur), Арктур ( Boo), Процион ( CM), Бетельгейзе ( Ori), Альтаир ( Aql), Альдебаран ( Tau), Спика ( Vir), Регул ( Leo), Денеб ( Cyg), Алиот ( U Ma), Альферац ( And). В остальных случаях угловые размеры пузырька должны быть около 10 – 15. Звезды и планеты наблюдают из окуляра O, то есть “на просвет”, а Солнце и Луну – из окуляра O, то есть в отраженных лучах. После того, как пузырек уровня появится в поле зрения, вращают плоскопараллельную пластинку KL до тех пор, пока не появится изображение светила и не получится совпадение изображений. При этом изображение Солнца и Луны устанавливают концентрически с круглым изображением пузырька, а изображения звезд и планет – в центре этого изображения. Измерения высот производят сериями от 5 до 20 измерений в серии, а затем выводят среднюю высоту светила и средний момент наблюдения в серии по часам с известной поправкой. Высоты, измеренные авиасекстантом, должны быть исправлены за астрономическую рефракцию, за рефракцию стеклянного астрокупола (фонаря), если наблюдения ведутся не через открытые астролюки, за наклонение горизонта. При наблюдении Луны учитывается суточный параллакс. Контрольные вопросы к разделу 2 1. Какие теоремы сферической астрономии положены в основу определения астрономических широт и долгот пунктов? 2. Наблюдения Полярной были выполнены в г. Новосибирске 1 сентября 19… г. в 22 часа декретного времени (долгота Новосибирска – 5h 32m, n + k = 7h). Определить момент наблюдения Полярной по местному звездному времени. 3. Средний момент наблюдения Солнца в приеме равен 10h 30m по новосибирскому летнему декретному времени. Дата наблюдения – 1 сентября 19… г.; вычисленный часовой угол Солнца равен 21h. Вычислить долготу пункта. 4. Каковы выгоднейшие условия расположения звезд при совместном определении широты и долготы по измеренным зенитным расстояниям? 5. Назвать два метода наблюдений светил. 6. Почему наблюдения светил сопровождаются отсчетами по часам? 7. Какие поправки вводятся в измеренные зенитные расстояния и горизонтальные направления светил? ПРИЛОЖЕНИЯ