Функция Грина оператора Лапласа. Решение внутренней задачи Дирихле в пространстве при помощи функции Грина.

Лекция 16. Функция Грина оператора Лапласа. Решение внутренней задачи Дирихле в пространстве при помощи функции Грина. Функцией Грина внутренней задачи Дирихле для области B  R3 называется функция G  G(M , M 0 ) , M  ( x, y, z)  B , M 0  ( x0 , y0 , z0 )  B , удовлетворяющая следующим условиям: 1). при каждом M 0  B функция Грина представляется в виде G(M , M 0 )  1  g (M , M 0 ), 4 | M  M 0 | | M  M 0 |  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2 , где функция гармонической в области B , непрерывна на B полуограниченная область, то на функцию дополнительное условие g (M , M 0 )  0, при | M |  ; (1) является по M ; если B – g (M , M 0 ) налагается g (M , M 0 ) (2) 2). при каждом M 0  B функция Грина удовлетворяет граничному условию G(M , M 0 ) M S  0, (3) где S – граница области B . Если S – достаточно гладкая граница, то G(M , M 0 ) существует и единственна, имеет правильную нормальную производную G на S , т. е. n  S G( M , M 0 ) dS  ,  n симметрична, G(M , M 0 )  G(M 0 , M ) . Тогда решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона u   f (M ), M  B, u S  u0 (M ), M  S , где f  C (B ) , u0  C (S ) , M  S  M , задается формулой u(M 0 )    S G(M , M 0 ) u0 (M )dS   n  G(M , M 0) f (M )dV . (4) B Пример. Построить функцию Грина оператора Лапласа для полупространства {z  0} . Решение. В данном случае B  {z  0} – верхнее полупространство, S  {z  0}– плоскость. Будем строить функцию Грина, пользуясь методом отражений. Пусть. M 0  B Возьмем точку M 0* , симметричную точке M 0 относительно границы S , она будет иметь координаты Рассмотрим следующую функцию g (M , M 0 )   где M 0*  ( x0 , y0 , z0 ) . 1 , 4 | M  M 0* | | M  M 0* |  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2 . Данная функция является гармонической в области B , непрерывной на B по M и удовлетворяет дополнительному условию (2). В силу (1), получаем функцию Грина  1  1 G(M , M 0 )    4  ( x  x ) 2  ( y  y ) 2  ( z  z ) 2      ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2  1 которая удовлетворяет условиям (2), (3). (5)