Функции

Тема 1. Функции В теме 1 рассматриваются следующие вопросы 1.1. Понятие множества. Действительные числа и числовые множества. 1.2. Понятие функции. Свойства функций. Способы задания функций. 1.3. Явная, неявная, сложная и обратная функции 1.4. Понятие элементарной функции. Графики основных элементарных функций. 1.1. Понятие множества. Действительные числа и числовые множества 1.2. Понятие функции. Свойства функций. Способы задания функций 1.3. Явная, неявная, сложная и обратная функции 1.4. Понятие элементарной функции. Графики основных элементарных функций Тема 2. Пределы и непрерывность В теме 2 рассматриваются следующие вопросы: 2.1. Числовая последовательность. 2.2. Предел числовой последовательности. 2.3. Предел функции в точке и в бесконечности. 2.4. Односторонние пределы. 2.5. Бесконечно малые функции (величины). 2.6. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. 2.7. Бесконечно большие функции (величины). 2.8. Основные теоремы о пределах. 2.9. Признаки существования предела. 2.10. Первый и второй замечательные пределы. 2.11. Непрерывность функции в точке и на промежутке. 2.12. Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке. 2.13. Техника вычисления пределов. 2.1. Числовая последовательность 2.2. Предел числовой последовательности Рассмотрим числовую последовательность . приближаются к числу 1 по мере увеличения . При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно, , то есть с ростом будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа. 2.3. Предел функции в точке и в бесконечности 2.4. Односторонние пределы 2.5. Бесконечно малые функции (величины) Отметим свойства бесконечно малых величин. В качестве примера приведем доказательство теоремы 17.1. Рассмотрим связь бесконечно малых величин с пределами функций. 2.6. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые 2.7. Бесконечно большие функции (величины) Отметим свойства бесконечно больших величин. 2.8. Основные теоремы о пределах В качестве примера приведем доказательство теоремы 17.7. 2.9. Признаки существования предела 2.10. Первый и второй замечательные пределы 2.11. Непрерывность функции в точке и на промежутке 2.12. Свойства функций, непрерывных в точке и на промежутке 2.13. Техника вычисления пределов Тема 3. Производная В теме 3 рассматриваются следующие вопросы: 3.1. Задачи, приводящие к понятию производной. 3.2. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. 3.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. 3.4. Основные правила дифференцирования. 3.5. Таблица производных. 3.6. Производная сложной и обратной функции. 3.7. Производная неявной функции. 3.8. Логарифмическое дифференцирование. 3.9. Производные высших порядков. 3.10. Техника вычисления производной. 3.1. Задачи, приводящие к понятию производной 3.2. Определение производной. Механический и геометрический смысл производной 3.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции 3.4. Основные правила дифференцирования В качестве примера докажем теорему 20.2. 3.5. Таблица производных 3.6. Производная сложной и обратной функции 3.7. Производная неявной функции 3.8. Логарифмическое дифференцирование 3.9. Производные высших порядков 3.10. Техника вычисления производных стороны, как угловой коэффициент прямой, проходящей через точку Тема 4. Дифференциал функции В теме 4 рассматриваются следующие вопросы: 4.1. Понятие дифференциала функции. 4.2. Геометрический смысл дифференциала. 4.3. Свойства дифференциала и его инвариантность. 4.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. 4.5. Дифференциалы высших порядков. 4.1. Понятие дифференциала функции 4.2. Геометрический смысл дифференциала 4.3. Свойства дифференциала и его инвариантность 4.4. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 4.5. Дифференциалы высших порядков Тема 5. Приложения производной В теме 5 рассматриваются следующие вопросы: 5.1. Теоремы Роля, Лагранжа и Коши. 5.2. Правило Лопиталя. 5.3. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции. 5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 5.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба. 5.6. Асимптоты графика функции. 5.7. Общая схема исследования функции и построения её графика. 5.8. Формула Тейлора (Маклорена) 5.1. Теоремы Роля, Лагранжа и Коши Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде есть угловой коэффициент секущей АВ, а величина – угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой x=c. 5.2. Правило Лопиталя 5.3. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции 5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 5.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба 5.6. Асимптоты графика функции 5.7. Общая схема исследования функции и построения графика 5.8. Формула Тейлора (Маклорена) Тема 6. Функции нескольких переменных В теме 6 рассматриваются следующие вопросы: 6.1. Функции двух переменных. Основные понятия. 6.2. Линии уровня функции двух переменных. 6.3. Предел функции двух переменных. 6.4. Непрерывность функции двух переменных. 6.5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области. 6.6. Частные производные функции двух переменных. 6.7. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных. 6.8. Частные производные высших порядков. 6.9. Дифференциалы высших порядков. 6.10. Производная сложной функции. 6.11. Производная функции по направлению. Градиент. 6.12. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. 6.13. Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа. 6.14. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. 6.15. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений. 6.1. Функции двух переменных. Основные понятия костям и представляют параболы (например, при , при и т. д.). В сечении поверхности координатной плоскостью , т.е. плоскостью , получается окружность . График функции представляет поверхность, называемую параболоидом (см. рис. 15.2). 6.2. Линии уровня функции двух переменных температуры. Пример. Построить линии уровня функции . 6.3. Предел функции двух переменных 6.4. Непрерывность функции двух переменных 6.5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области 6.6. Частные производные функции двух переменных 6.7. Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных 6.8. Частные производные высших порядков 6.9. Дифференциалы высших порядков 6.10. Производная сложной функции 6.11. Производная функции по направлению. Градиент 6.12. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума 6.13. Условный экстремум функции двух переменных. Метод множителей Лагранжа Пример. Найти точки экстремума функции при условии , используя метод множителей Лагранжа. Решение. Составляем функцию Лагранжа . Приравнивая к нулю её частные производные, получим систему уравнений 6.14. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области Найдем все критические точки: 6.15. Эмпирические формулы и метод наименьших квадратов. Система нормальных уравнений была минимальной. Тема 7. Неопределенный интеграл В теме 7 рассматриваются следующие вопросы: 7.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. 7.2. Свойства неопределенного интеграла. 7.3. Таблица основных интегралов. 7.4. Метод непосредственного интегрирования. Примеры. 7.5. Метод интегрирования заменой переменной. 7.6. Метод интегрирования по частям. 7.7. Интегрирование простейших рациональных дробей. 7.8. Интегрирование рациональных дробей. 7.9. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. 7.10. Интегралы вида . 7.11. Использование тригонометрических преобразований. 7.12. Интегрирование рациональных функций. Квадратичные иррациональности. 7.13. Дробно-линейная подстановка. 7.14. Тригонометрическая подстановка. 7.15. Интегралы вида . 7.16. Интегрирование дифференциального бинома. 7.17. Понятие о неберущихся интегралах. 7.1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла 7.2. Свойства неопределенного интеграла 7.3. Таблица основных интегралов 7.4. Метод непосредственного интегрирования. Примеры 7.5. Метод интегрирования заменой переменной 7.6. Метод интегрирования по частям 7.7. Интегрирование простейших рациональных дробей 7.8. Интегрирование рациональных дробей 7.9. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка 7.10. Интегралы вида 7.11. Использование тригонометрических преобразований 7.12. Интегрирование рациональных функций. Квадратичные иррациональности 7.13. Дробно-линейная подстановка 7.14. Тригонометрическая подстановка 7.15. Интегралы вида 7.16. Интегрирование дифференциального бинома 7.17. Понятие о неберущихся интегралах Тема 8. Определенный интеграл В теме 8 рассматриваются следующие вопросы: 8.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. 8.2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. 8.3. Формула Ньютона-Лейбница. 8.4. Свойства определенного интеграла. 8.5. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной. 8.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле. 8.7. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. 8.8. Вычисление площадей плоских фигур. 8.9. Вычисление объёма тела по известным площадям параллельных сечений. 8.10. Вычисление объёма тела вращения. 8.11. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций. 8.1. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции 8.2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы 8.3. Формула Ньютона-Лейбница 8.4. Свойства определенного интеграла геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором , площади прямоугольника с высотой и основанием (см. рис. 169). Число 8.5. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной 8.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле 8.7. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования 8.8. Вычисление площадей плоских фигур 1. Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда оп геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S по кривой на численно равна определенному интегралу , т.е. каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла. Решая систему получаем, что точка В пересечения прямой и кривой имеет координаты (2;4). Тогда треугольника ОАВ может рассматриваться как площадь над кривой ОАВ на отрезке [0;2]. Однако указанна кривая не задается одним уравнением. щадь заштрихованной фигуры , т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов 8.9. Вычисление объёма тела по известным площадям параллельных сечений 8.10. Вычисление объёма тела вращения 8.11. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций Тема 9. Дифференциальные уравнения В теме 9 рассматриваются следующие вопросы: 9.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях. 9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: теорема существования и единственности решения, задача Коши. 9.3. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. 9.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 9.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 9.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях Например, - дифференциальное уравнение третьего порядка. Например, 9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка: теорема существования и единственности решения, задача Коши Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения (12.7), удовлетворяющего начальному условию называется задачей Коши. Приведенная теорема устанавливает условие существования и единственности решения задачи Коши. 9.3. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка 9.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными или Замечание. 9.5. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка 9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Замечание. Рассмотренный метод, известный также как метод Бернулли, применим и для решения уравнения вида называемого уравнением Бернулли. Тема 10. Числовые ряды В теме 10 рассматриваются следующие вопросы: 10.1. Общие сведения о числовых рядах. Свойства сходящихся рядов. 10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд. 10.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. 10.4. Признаки Даламбера и Коши. 10.5. Интегральный признак Коши. 10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 10.7. Знакопеременные ряды. 10.8. Абсолютная и условная сходимость. 10.9. Сходимость степенных рядов. 10.10. Свойства степенных рядов. 10.11. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложимость в ряд Маклорена бесконечно дифференцируемой функции. 10.12. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. 10.13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям. 10.1. Общие сведения о числовых рядах. Свойства сходящихся рядов 10.2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд 10.3. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 10.4. Признаки Даламбера и Коши 10.5. Интегральный признак Коши 10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 10.7. Знакопеременные ряды 10.8. Абсолютная и условная сходимость 10.9. Сходимость степенных рядов 10.10. Свойства степенных рядов 10.11. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложимость в ряд Маклорена бесконечно дифференцируемой функции 10.12. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций Таким образом, справедлива формула (64.4). 10.13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям