Функции нескольких переменных

Раздел 5. Функции нескольких переменных. § 1. Понятие функций нескольких переменных. Рассмотрим Декартовую систему координат на плоскости и в пространстве. Y Z L z Z f(x) y x X x X Y V y D M P x Y M X В первом случае линия L это график функции y=f(x). Во 2-м, 3-м случаях функция вычисляется в текущих точках M ( x , y)∈D плоскости XY и P( x , y , z)∈V в пространстве XYZ. Областью определения функций являются: а) числовая ось X; б) область D плоскости; в) область V пространства. Однозначное определение функции возможно в точках области определения с текущими: а) одной координатой - x; б) двумя координатами - M(x,y); в) тремя координатами P(x,y,z) оси X, плоскости D и пространстве V соответственно. В общем случае число координат точек M может быть больше трех: M ( x1 , x 2 , ... x n )∈ D . Определение. Если для каждой точки M ( x1 , x 2 , ... x n )∈ D по определенному закону соответствует единственное значение переменной u, то говорят, что на множестве D задана функция n переменных и обозначается u=f (x 1 , x 2 ,... x n ), или u=f (M) , где x , x ,... x M ( x1 , x 2 , ... x n )∈ D - текущая точка области D, 1 2 n - независимые переменные или аргументы, n – число независимых переменных, D – область определения функции, f — характеристика функции, u – зависимая переменная. 2 2 2 2 2 2 Примеры. Даны функции y= √ 1−x , z=√ 1−(x + y ), u=√1−(x + y +z ) . Найти область определения функций. В примерах функции могут быть определены в областях с текущими координатами, для которых подкоренное выражение должно быть знакоположительным. Тогда 1). 1−x2 ⩾0 ,⇒ x ∈[−1,−1]; 2). 1−( x 2 + y2 )⩾0 , D - точки внутри круга радиусом R=1; 3). 1−( x 2 + y2 + z 2)⩾0 , V — это точки Y внутри сферы радиусом R=1.Z -1 +1 1 X 1 X Y X § 2. Понятие предела и непрерывности функций нескольких переменных. Рассмотрим понятие предела функции нескольких переменных (ФНП). Для функции одной переменной y=f(x) число А является пределом при x → x 0 , если для ∀ ε > 0 , существует |x−x 0|< δ δ >0 такое, что как только выполняется система неравенств , тогда пределом |f (x)−А|< ε функции f(x) будет lim f (x)=А . Если в точке значение функции f(x) равно f(x0), следовательно, { x →x 0 lim f (x)=f (x 0 ), тогда говорят, что функция f(x) в точке x0 непрерывна. На языке приращений x →x 0 непрерывность функции в в точке x0 определяется следующим образом lim Δ f (x)=0, где Δ x → x0 Δ x , Δ f (x) приращение аргумента и функции в точке x0. Z z0 P0(x0,y0,z0) y0 D M0 x0 M X Дана функция 2-х переменных z=f ( x , y ) , где x, y – независимые аргументы. Геометрическое место точек поверхности z=f (x , y ) приведено на рисунке. Рассмотрим непрерывность точке z=f (x , y ) в M 0 ( x0 , y 0 ) . Полагаем, что функция определена в точке M 0 ( x0 , y 0 ) и Y ее значение равно z 0=f 0 ( x 0 , y0 ). Рассмотрим приращение аргументов Δ x=x−x0 , Δ y=y−y 0 ,функция получает также соответствующее приращение: Δ z=f ( x , y)−f 0 (x 0 , y 0 )=f (x0 + Δ x , y0 + Δ y )−f 0 (x 0 , y 0) . Определение. Функция z=f (x , y ) является непрерывной в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , если lim Δ z=0. {ΔΔ x→ y →0 Пример. Доказать, что функция z=x 2+ y 2 . непрерывна в точке M 0 (x0 , y 0 ) . Составим приращение функции: Δ z=(x0 + Δ x)2 +(y0 + Δ y )2−[(x 0) 2+(y0 )2 ]=2 x 0 Δ x +Δ x 2+ 2 y 0 Δ y+ Δ y 2 . Вычислим предел приращения функции lim 2 x 0 Δ x +Δ x2 + 2 y 0 Δ y + Δ y 2=0. Предел равен нулю, тогда функция z=x 2+ y 2 непрерывна {ΔΔ x→ y →0 в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , и, поскольку она может быть любой точкой из области определения, следовательно, функция непрерывна во в точках области определения. § 3. Частные производные. Дана функция 2-х переменных z=f ( x , y ) . D – область определения функции, точка M 0 (x0 , y 0 )∈ D. Зафиксируем текущую Z координату y=y0. Тогда вследствие B совместности системы z=f (x , y) z0 y=y 0 графиком функции z=f (x , y ) будет E P0 геометрическое место точек пересечения поверхности z=f (x , y ) плоскостью y0 или линия AB. Рассмотрим Y y=y0 , приращение функции Δ z=f (x , y) при D фиксированном y0, приращение равно x0 b Δ x z=f (x0 + Δ x , y0 )−f ( x0 , y 0 ), где M0 C Δ x -приращение аргумента в точке x0 , а Δ x z - называется частным A приращением функции по переменной x. Составим отношение частного приращения функции к приращению a Δx z аргумента, тогда . Δx Определение. Предел Δ z f ( x 0+ Δ x , y 0)−f ( x 0 , y 0) lim x = lim , если он существует называется частной производной Δx Δ x →0 Δ x Δ x→ 0 { X Δ z=f (x , y) по переменной x функции ∂ z ∂ f (x , y) , , f ' x ( x , y) . ∂x ∂x и обозначается Аналогично определяются частные производные по переменной y. Определение. f (x 0 , y 0+ Δ x ,)−f ( x 0 , y 0) ∂z ≝ lim . ∂ y Δ y →0 Δy Поскольку частная производная функции z=f (x , y ) совпадает с определением производной функции одной переменной, тогда правила вычисления частных производных совпадают с правилами вычисления производных функций одной переменной. Замечание. Из определения производных следует, что частные производные — это скорость изменения функции в заданном направлении (т. е. в направлении оси X, или оси Y). В этом заключается механический смысл частной производной. n1. Геометрическая иллюстрация частных производных. Дана функция 2-х переменных z=f (x , y ) . Рассмотрим частную производную по переменной x в точке M 0 (x0 , y 0 )∈ D. . Фиксируем координату y=y0. Тогда графиком функции z=f ( x , y ) z=f (x , y) (смотри рис.). является линия пересечения AB плоскости y=y0 и поверхности: y=y 0 Δ z f (x 0+ Δ x , y 0)−f ( x 0 , y 0) Полагаем, что производная lim x = lim конечна. Из совместности Δx Δ x →0 Δ x Δ x→ 0 z=f (x , y) следует, что линия AB – это график функции одной переменной системы y=y 0 z=f (x , y 0 ) , и для которой существует производная f ' x (x , y) . В соответствии с геометрическим смыслом производной функции одной переменной в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) может быть проведена касательная, угловой коэффициент которой совпадает с частной производной k =tg ( α )=f 'x ( x , y ) (см. рис), где угол  - это угол между касательной и положительным z=f (x , y) направлением оси X. Зафиксируем координату x=x0 . Из совместности системы x=x 0 следует, что линия EC – это график функции одной переменной z=f (x 0 , y ) , и для которой существует производная f ' y (x 0 , y ) по переменной y. Из геометрического смысла производной f ' y (x 0 , y ) следует, что угловой коэффициент касательной, проведенной в точке P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) равен k =tg( β )=f 'y (x , y) (смотри рис.), где угол  - это угол между касательной и положительным направлением оси Y. { { { Замечание. Из определения частных производных и геометрического смысла следует, что частные производные это скорость изменения функции z=f (x , y ) в заданном направлении, т. е. В направлении оси X или Y. § 4. Понятие дифференцируемой функции и дифференциала. Дифференцируемость ФНП рассмотрим на примере функции 2-х переменных z=f ( x , y ) . Дана текущая точка M (x , y) в окрестности M 0 (x0 , y 0 )∈ D. Рассмотрим приращение координат и соответствующее приращение функции. Δ x=x−x 0 , следовательно Δ z=f ( x , y)−f 0 (x 0 , y 0 )=f (x0 + Δ x , y0 + Δ y )−f 0 (x 0 , y 0) , где Δ y=y−y 0 Δ z=f ( x , y)−f 0 (x 0 , y 0 ) - называется полным приращением функции z=f (x , y ) в отличие от частных приращений Δ x z и Δ y z . { Определение. Функция z=f (x , y ) называется дифференцируемой в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , если ее полное приращение в точке M 0 ( x0 , y 0 ) можно представить в виде Δ z=A Δ x+ B Δ y +α ( Δ x , Δ y)⋅Δ x + β (Δ x , Δ y)⋅Δ y , где α (Δ x , Δ y) , β (Δ x , Δ y) lim Δ α =0 , бесконечно малые величины, т. е. { Δ x→ 0 Δ y →0 { {ΔΔ x→0 y→0 lim Δ β =0 , и Δ x →0 Δ y →0 - бесконечно малые величины одного порядка малости, т. е. при M ( x , y)→ M0 (x 0 , y0 ) нет предпочтения ускоренного приближения со стороны одной из текущих координат. Рассмотрим окрестность точки M 0 (x0 , y 0 )∈ D, внутри этой окрестности на расстоянии ρ =√ Δ x 2 +Δ y 2 находится текущая очка M ( x , y) . Рассмотрим отношение lim { Δ x→ 0 Δ y →0 A Δ x + BΔ y+ α ( Δ x , Δ y)⋅Δ x+ β (Δ x , Δ y ) Δz . = lim Δ x Δ x →0 √ Δ x2+ Δ y2 {Δ y → 0 Рассмотрим сравнительное поведение бесконечно малых величин lim α (Δ x , Δ y )⋅Δ x + β ( Δ x , Δ y) √Δx {ΔΔ x→ y →0 2 +Δ y 2 = lim {ΔΔ x→ y →0 α (Δ x , Δ y )⋅( Δ x) √Δ x +Δ y 2 2 + lim β (Δ x , Δ y )⋅(Δ y ) {ΔΔ xy→→00 √ Δ x 2+ Δ y 2 Поскольку пределы множителей в каждом слагаемом существуют, тогда правая часть равна lim α (Δ x , Δ y)⋅ lim { { Δ x→ 0 Δ y →0 ={ Δ x →0 Δ y →0 {ΔΔ x→0 y→0 √ 1 2 (Δ y) 1+ (Δ x)2 + lim β (Δ x , Δ y )⋅ lim { Δ x →0 Δy→0 { Δ x →0 Δ y →0 ( Δ y /Δ x) √ ( Δ y )2 1+ ( Δ x )2 = - бесконечно малые величины одного порядка, тогда в каждом слагаемом вторые множители конечны, и, следовательно }= = const⋅ lim α (Δ x , Δ y )+ const⋅ lim β (Δ x , Δ y)=0+ 0=0. {ΔΔ xy→0 →0 Вблизи точки M 0 (x0 , y 0 )∈ D {ΔΔ xy→0 →0 Δ z - мало отличается от A Δ x+ B Δ y , если A и B конечны. Полученные результаты означают, что величина α (Δ x , Δ y)⋅Δ x+ β (Δ x , Δ y ) является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем ρ =√ Δ x 2 +Δ y 2 →0, или α (Δ x , Δ y)⋅Δ x+ β (Δ x , Δ y )=O( ρ (M , M 0 )) Определение. Если функция z=f ( x , y ) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y 0 )∈ D , тогда A Δ x+ B Δ y называется полным дифференциалом (или дифференциал) функции z=f ( x , y ) в точке M 0 (x0 , y 0 ) . Таким образом дифференциал z=f ( x , y ) - это линейная относительно Δ x , Δ y часть полного приращения Δ z и обозначается dz=A Δ x +B Δ y (4.1) Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z=f (x , y ) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y 0 )∈ D , тогда в этой точке существуют обе частные ∂f ∂f dx+ dy . производные и имеет место равенство dz= ∂x ∂x Доказательство Замечание. а) Доказательство необходимости: справедливым является утверждение теоремы, необходимо доказать условие теоремы. б) Доказательство достаточности: справедливо условие теоремы — доказывается утверждение теоремы. Функция z=f ( x , y ) является дифференцируемой, где x, y – независимые аргументы. Тогда dz=A Δ x +B Δ y причем A и B конечные величины. Приращение функции в точке равно Δ z=A Δ x+ B Δ y +O( ρ ( M)). Фиксируем координату y в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , т. е. y=y0. Тогда из совместности z=f (x , y) y=y 0 следует, что Δ z=Δx z( M) , или Δ z f (x 0 +Δ x , y 0 )−f ( x0 , y 0 ) A Δ x+ B⋅0+ O( ρ (M)) ∂z = lim x = lim = lim = lim A ∂ x Δ x →0 Δ x Δ x →0 Δx Δx Δ x →0 Δ x →0 O( ρ (M)) α ( Δ x , Δ y)⋅Δ x+ β (Δ x , Δ y )⋅0 + lim =A+ lim =A+ lim α ( Δ x , Δ y)=A . Δx Δx Δ x→ 0 Δ x→ 0 Δ x→ 0 { Таким образом ∂z =A. ∂x Фиксируем координату x в точке M 0 ( x0 , y 0 ) , т. е. x=x0. Тогда из совместности следует, что Δ z=Δ y z (M) , или Δ z f (x 0 , y 0 + Δ y)−f (x 0 , y 0) A⋅0+ B⋅Δ y +O( ρ (M)) ∂z = lim y = lim = lim = lim B ∂ y Δ y →0 Δ y Δ y → 0 Δy Δy Δ y →0 Δ y→ 0 O( ρ (M)) α ( Δ x , Δ y)⋅0+ β (Δ x , Δ y )⋅Δ y + lim =B+ lim =B+ lim β (Δ x , Δ y )=B . Δ y Δy Δ y →0 Δ y→ 0 Δ y →0 Таким образом { z=f (x , y) x=x 0 ∂z =B. Частные производные подставим в формулу (4.1). Получим ∂y ∂z ∂z Δx+ Δy. ∂x ∂y Предположим, что функция 2-х переменных равна z=x. Очевидно, что dz=dx. Найдем дифференци∂z ∂z ∂x ∂z Δx+ Δ y= Δ x+ 0=1⋅Δ x=Δ x . ал функции dz=dx= ∂x ∂y ∂x ∂y dz= Предположим, что функция 2-х переменных равна z=y. Очевидно, что dz=dy. Найдем дифференци∂z ∂z ∂x ∂z Δx+ Δ y= 0+ Δ y=1⋅Δ y=Δ y . Полученные результаты свидеал функции dz=dy= ∂x ∂y ∂x ∂y тельствуют, что для независимых аргументов (z=x, z=y) полное приращение совпадает с дифференциалом, т. е. dx=x, dy=y. Подставим в формулу (4.1) окончательно получим ∂z ∂z dz= dx+ dy . (4.2) ∂x ∂y Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z=f (x , y ) имеет в некоторой точке M 0 ( x0 , y 0 ) непрерывные частные производные, тогда она дифференцируема. Без доказательства. n1. Приближенные вычисления с помощью дифференциалов. Если функция z=f (x , y ) дифференцируема в точке M 0 (x0 , y 0 ) , тогда из равенства Δ z=dz+ O( ρ ( M , M 0)) следует, что при ρ ( M , M 0 )→0 ∂z ∂z f (x , y)≈f (x 0 , y 0)+dz=f ( x 0 , y0 )+ Δ x+ Δ y - вычислительная формула приближен(4.3) ∂x ∂y ного значения функции в точке M ( x , y) . Частные производные находятся в M 0 (x0 , y 0 ) . Пример. Найти значение √ (1.03) +(0.4) . Полагаем, что в задании приведено значение функции 2 2 2-х переменных z=√( x) +(y ) в текущей точке M(1.03, 0.4), которая находится в окрестности M0(1, 0). Найдем значение функции в точке M0(1, 0) и приращение аргументов: z=√ (x)2 +(y )2=1 , Δ x=x−x0 =1.03−1.00=0.03; Δ y=y−y 0=0.4−0.0=0.4 . Частные производные в M0(1, 0) равны: ∂z 2x x 1 ∂z 2y = = = =1 ; = =0. 2 2 2 2 2 2 ∂x 2 √ (x ) +(y) √ (x ) +(y) √ (1) +(0) ∂ y 2 √ (x)2 +(y) 2 2 2 Подставим в формулу (4.3): f (x , y)≈f (x 0 , y 0)+dz=f ( x 0 , y0 )+ ∂z ∂z Δ x+ Δ y=1+1⋅0.03=1.03. ∂x ∂y