Функции многих переменных

1 Функции многих переменных Точечные множества в N-мерном пространстве Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n вещественных чисел (х1, х2, …хn) называют N-мерным координатным пространством. Каждую такую упорядоченную совокупность называют точкой n-мерного пространства, а сами числа – ее координатами. Например, плоскость – двумерное координатное пространство, в котором любая совокупность двух вещественных чисел определяет точку (координаты точки на плоскости можно обозначить (х1, х2), а не только (х, у), как это было принято при изучении курса планиметрии в рамках школьной программы). Прямая – одномерное координатное пространство. Координаты точки в трехмерном пространстве можно обозначить (х1, х2, х3) или (х, у, z). Для координат можно использовать различные обозначения, но при этом число координат должно соответствовать размерности пространства (т.е. в двумерном пространстве – две координаты, на прямой – одна координата, в трехмерном пространстве – три координаты, в десятимерном – десять координат и т.д.). Отметим, что если пространства размерности до трех включительно можно зрительно представить себе и даже изобразить, то пространства большей размерности представляют собой научную абстракцию. N-мерное координатное пространство называют евклидовым, если между двумя любыми его точками X(1) = (х1(1), х2(1), …хn(1)) и X(2) = = (х1(2), х2(2), …хn(2)) определено расстояние, определяющееся соотношением ( x1(1) − x1( 2 ) ) 2 + ( x (21) − x (22 ) ) 2 + ...( x (n1) − x (n2 ) ) 2 . Множество всех точек n-мерного пространства, удаленных от заданной точки X(0) = (х1(0), х2(0), …хn(0)) на расстояние, меньшее R, называют открытым n–мерным шаром радиуса R с центром в точке X(0)., т.е. для всех точек открытого шара ( x1 − x1( 0 ) ) 2 + ( x 2 − x (20 ) ) 2 + ...( x n − x (n0 ) ) 2 < R . 2 Если это неравенство выполняется, как нестрогое (т.е. расстояние не больше R: ( x1 − x1( 0 ) ) 2 + ( x 2 − x (20 ) ) 2 + ...( x n − x (n0 ) ) 2 ≤ R ), то шар называют замкнутым, или просто шаром. Множество всех точек пространства, равноудаленных от заданной точки, называют сферой с центром в заданной точке, т.е. для любой точки сферы ( x1 − x1( 0 ) ) 2 + ( x 2 − x (20 ) ) 2 + ...( x n − x (n0 ) ) 2 = R , где R – радиус сферы. Например, замкнутый шар на плоскости представляет собой круг, т.е. множество точек, удаленных от центра на расстояние, не большее радиуса. Сфера на плоскости представляет собой окружность. Замкнутый шар на прямой – это отрезок (центр – его середина, радиус – половина длины). Сфера – концы этого отрезка. В трехмерном пространстве шар и сферу легко представить себе визуально. В пространствах большей размерности они представляют собой научную абстракцию. Следует отметить, что если к открытому шару присоединить сферу того же радиуса с тем же центром, то будет получен замкнутый шар. Например, круг на плоскости – это открытый круг вместе с окружностью. Всякий шар, содержащий точку X(0), называется окрестностью точки X(0). Открытый шар радиуса ε > 0 с центром в точке X(0) называют εокрестностью точки X(0). Точки, в любой ε-окрестности которых содержатся точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие ему, называются граничными. Например, для шара любая точка соответствующей сферы (с тем же центром и радиусом) является граничной. Если множество содержит все свои граничные точки, оно называется замкнутым. Точка является внутренней для некоторого множества, если существует некоторая ее ε-окрестность, все точки которой принадлежат этому множеству. Точка является внешней для некоторого множества, если существует некоторая ее окрестность, все точки которой не принадлежат этому множеству. Граничные точки не являются ни внешними, ни внутренними. 3 Множество точек D n-мерного пространства называется выпуклым, если для любых двух точек X(1) и Х(2), принадлежащих этому множеству, отрезок, соединяющий эти точки, также, целиком принадлежит этому множеству, т.е. для любых X(1), Х(2) ∈ D точка Х = αX(1) + (1 - α)Х(2) ∈ D, где α∈ [0;1]. Например, круг или отрезок – выпуклые множества точек, а окружность – невыпуклое. На рисунке ниже изображены примеры фигур, множества точек которых относятся к выпуклым или невыпуклым множествам. Выпуклые множества Невыпуклые множества Х(2) Х(1) Х(2) Х(1 ) Х(1) Х(2) В определении выпуклого множества формула Х = αX(1) + (1 - α)Х(2) (α∈ [0;1]) представляет собой формулу отрезка с концами X(1) и Х(2), которая при значении параметра α = 0 приводит к получению конца Х(2), а при значении параметра α = 1 приводит к получению конца Х(1). При любых других значениях α∈[0;1] будет получена внутренняя точка отрезка, причем если α = ½, то будет получена его середина, если α = 1/3, то отрезок будет разбит этой точкой в пропорции 1:2, начиная от точки Х(2) (т.е. будет отсчитана треть длины отрезка от этого конца) и т.д. Например, возьмем точки X(1) = (1; 0) и Х(2) = (3; 2). Формула отрезка между ними примет вид αX(1) + (1 - α)Х(2) = α*(1; 0) + (1 - α)*(3; 2) = = (α*1 + (1 - α)*3; α*0 + (1 - α)*2) = (α + 3 - 3α; 2 - 2α) = (3 - 2α; 2 - 2α), причем вместо α в этой формуле можно подставлять любое число на промежутке [0;1]. Чтобы получить середину отрезка, надо взять α = ½, в результате чего 4 мы получим точку (3 – 2*0,5; 2 - 2*0,5α) = (2; 1). Если взять, например, значение α = 0,05, то получим точку (3 – 2*0,05; 2 - 2*0,05α) = (2,9; 1,9). Она отсчитает на отрезке 5/100 или 1/20 его длины от конца Х(2), т.е. разобьет отрезок в пропорции 1:19. И т.д. Рассмотренные точки отображены на рисунке ниже: 3 y Х(2) = (3; 2) (2,9; 1,9) 2 (2; 1) - середина отрезка 1 X(1) = (1; 0) 1 2 x 3 Отметим, что один и тот же отрезок можно описать двумя разными формулами (можно поменять его концы местами, т.е. отсчитывать долю длины отрезка от другого конца). Понятие функции нескольких переменных Если каждой точке X = (х1, х2, …хn) из множества {X} точек n– мерного пространства ставится в соответствие одно вполне определенное значение переменной величины z, то говорят, что задана функция n переменных z = f(х1, х2, …хn) = f (X). При этом переменные х1, х2, …хn называют независимыми переменными или аргументами функции, z - зависимой переменной, а символ f обозначает закон соответствия. Множество {X} называют областью определения функции (это некое подмножество n-мерного пространства). Например, функция z = 1/(х1х2) представляет собой функцию двух переменных. Ее аргументы – переменные х1 и х2, а z – зависимая переменная. Область определения – вся координатная плоскость, за исключением прямых 5 х1 = 0 и х2 = 0, т.е. без осей абсцисс и ординат. Подставив в функцию любую точку из области определения, по закону соответствия получим определенное число. Например, взяв точку (2; 5), т.е. х1 = 2, х2 = 5, получим z = 1/(2*5) = 0,1 (т.е. z(2; 5) = 0,1). Функция вида z = а1х1 + а2х2 + … + аnхn + b, где а1, а2,…, аn, b - постоянные числа, называют линейной. Ее можно рассматривать как сумму n линейных функций от переменных х1, х2, …хn. Все остальные функции называют нелинейными. Например, функция z = 1/(х1х2) – нелинейная, а функция z = х1 + 7х2 - 5 – линейная. Графиком функции двух переменных z = f(x, у) называется множество точек трёхмерного пространства (х, у, z), аппликата z которых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соотношением z = f (x, у). Этот график представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (например, как на рисунке ниже): Можно доказать, что если функция – линейная (т.е. z = ax + by + c), то ее график представляет собой плоскость в трехмерном пространстве. Если переменных больше двух (n переменных), то график функции представляет собой множество точек (n+1)-мерного пространства, для которых координата хn+1 вычисляется в соответствии с заданным функциональным законом. Такой график называют гиперповерхностью (для линейной функции – гиперплоскостью), и он также представляет собой научную абстракцию (изобразить его невозможно). 6 Поверхностью уровня функции n переменных называется множество точек в n–мерном пространстве, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Само число С в этом случае называется уровнем. Обычно для одной и той же функции можно построить бесконечно много поверхностей уровня (соответствующих различным уровням). Для функции двух переменных поверхность уровня принимает вид линии уровня. Например, рассмотрим z = 1/(х1х2). Возьмем С = 10, т.е. 1/(х1х2) = 10. Тогда х2 = 1/(10х1), т.е. на плоскости линия уровня примет вид, представленный на рисунке ниже сплошной линией. Взяв другой уровень, например, С = 5, получим линию уровня в виде графика функции х2 = 1/(5х1) (на рисунке ниже она показана пунктиром): 2 х2 1/(х1х2) = 5 1 1/(х1х2) = 10 -2 -1 1 х1 2 -1 -2 Рисунок - Линии уровня функции z = 1/(х1х2) Рассмотрим еще один пример. Пусть z = 2х1 + х2. Возьмем С = 2, т.е. 2х1 + х2 = 2. Тогда х2 = 2 - 2х1, т.е. на плоскости линия уровня примет вид прямой, представленный на рисунке ниже пунктиром. Взяв другой уровень, 7 например, С = 4, получим линию уровня в виде прямой х2 = 4 - 2х1 (на рисунке ниже показана сплошной линией). Линия уровня для 2х1 + х2 = 3 показана на рисунке ниже точечной линией. 5 х2 4 2х1 + х2 = 4 3 2х1 + х2 = 3 2 2х1 + х2 = 2 1 х1 1 2 3 Рисунок - Линии уровня функции z = 2х1 + х2 Легко убедиться, что для линейной функции двух переменных любая линия уровня будет представлять собой прямую на плоскости, причем все линии уровня будут параллельны между собой. Частные производные функции многих переменных Возьмем точку X = (х1, х2, …хn). Дадим аргументу х1 приращение ∆х1, аргументу х2 приращение ∆х2 и т.д., аргументу хn приращение ∆хn; тогда функция z = f(x) получит приращение ∆z = f(х1 + ∆х1, х2 + ∆х2, …хn + ∆хn) f(X). Эту величину называются полным приращением функции в точке X. Если задать приращение только одного из аргументов, то полученные приращения функции называю частными. Например, 8 ∆ x1 z = f( x1 + ∆x1 , x 2 ,...x n ) - f(X) , ∆ x 2 z = f( x1 , x 2 + ∆x 2 ,...x n ) - f(X) , ∆ x n z = f( x1 , x 2 ,...x n + ∆x n ) - f(X) - частные приращения. Частной производной функции нескольких переменных z = f (X) называют предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента при стремлении последнего к lim ∆x j →0 нулю ∆xjz ∆x j = lim (если этот f( x1 , x 2 ,..., x j + ∆x j ,...x n ) - f(X) ∆x j →0 ∆x j предел существует): . Частную производную обозначают z′x или ∂z/∂xj. j Из определения частных производных следует, что для нахождения производной ∂z/∂xj надо считать постоянными все переменные аргументы, кроме одного - xj. Например, найдем частные производные следующих функций: Пример 1. z = x ln y + y/x Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Тогда , zx' = ln y * (x)' + y*(1/x)' = ln y + y*(-1)*x-2 = ln y – y/(x2). Аналогично продифференцируем эту функцию по у, считая х постоянной: zy' = x (ln y)' + (1/x)*(y)' = x/y + 1/x Пример 2. z = xy Частная производная по х представляет собой производную степенной функции, т.е. zx' = yxy-1. Частная производная по y представляет собой производную показательной функции, т.е. zy' = xyln x. Понятие частной производной имеет вполне четкий экономический смысл. Поскольку функции нескольких переменных в экономике выражают зависимость некоторой величины от нескольких других факторов (иногда 9 включая время), частная производная выступает как скорость изменения этой величины во времени или относительного другого исследуемого фактора при условии, что остальные факторы не меняются. Например, пусть магазин продает мороженое – сливочное по 25 руб. за штуку, шоколадное по 30 руб. за штуку и фисташковое по 32 руб. за штуку. Обозначим х1 – объем продаж сливочного мороженого (шт.), х2 – объем продаж шоколадного мороженого (шт.), х3 – объем продаж фисташкового мороженого (шт.). Тогда выручку z (руб.) магазина от продажи этих сортов мороженого можно рассчитать с помощью функции трех переменных z = 25х1 + 30х2 + 32х3. Найдем частную производную этой функции по х1: z′x = 25. Каков экономический смысл этой величины? Она показывает, на сколько возрастет выручка при единичном изменении продаж сливочного мороженого, при условии, что продажи остальных видов мороженого останутся на прежнем уровне. Иными словами, это скорость изменения общей выручки относительно изменения продаж сливочного мороженого. Аналогичные рассуждения можно провести для обеих других переменных. Градиент функции Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала. Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будет n координат). Градиентом grad z функции z = f(х1, х2, …хn) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами (z ′x1 , z ′x 2 ,..., z ′x n ) . Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке. 10 Например, для функции z = 2х1 + х2 (см. рисунок ниже) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Для линейной функции градиент всегда один и тот же в любой точке. Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = = (2; 1). Из рисунка хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2. 5 х2 4 2х1 + х2 = 4 3 2х1 + х2 = 3 2 2х1 + х2 = 2 1 х1 1 2 3 Рисунок - Градиент функции z = 2х1 + х2 Если взять в качестве примера нелинейную функцию z = 1/(х1х2), то градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках. Его координаты (-1/(х12х2); -1/(х1х22)). - не константы, а определяются формулами