Функции Котельникова.Цифро-аналоговые и аналого-цифровые преобразователи

ЛЕКЦИЯ 12 Рис.14.3. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова функцией sinx/x, которая также характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса. Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис. 14.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента ) построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0, , 2 и 3, взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты времени kt, непрерывный сигнал абсолютно точно аппроксимируется независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) аппроксимируется тем точнее, чем больше суммируется членов ряда Котельникова (2). Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности Ти. Как известно, такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако на практике можно ограничиться некоторой верхней частотой Fв за пределами которой в спектре содержится пренебрежительно малая доля энергии по сравнению с энергией всего исходного сигнала. В радиотехнике таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностью Ти с верхней граничной частотой спектра может быть представлен рядом Котельникова с определенным, ограниченным числом отсчетов (10) Здесь — число отсчетов. Рис.14.4. Представление прямоугольного импульса отсчетами: а—двумя; б—тремя Пример 1. Представить аналитически рядом Котельникова прямоугольный импульс напряжения с единичной амплитудой и длительностью для двух случа­ев: 1 — спектр аппроксимирующей функции ограничен верхней частотой или ; 2 — спектр аппроксимирующей функции ограничен верхней частотой или . Решение. Для первого из рассматриваемых случаев интервал дискретиза­ции , а значит, импульс будет представлен всего двумя отсчетными значениями — в начале и конце импульса. Подставив в формулу (10) требуемые значения амплитуды и длительности импульса, запишем математическую модель аппроксимирующей функции Во втором случае импульс дискретизируется тремя равными отсчетами, про­изводимыми в моменты времени и , т.е. в начале, середине и конце им­пульса. Тогда Временные диаграммы аппроксимирующих функций и и образую­щие их члены ряда Котельникова представлены на рис.14.4. Пример.2 . Определить минимальную частоту дискретизации по Котельникову, при которой гармонический сигнал может быть полно­стью восстановлен по своим отсчетным значениям (выборкам)? Р е ш е н и е. При выборе интервала дискретизации , где — верхняя граничная частота спектра, непрерывный сигнал u(t) можно однозначно восстановить по его отсчетам (рис.14.4, в). Если соотношение частот , то к гармоническому сигналу также применима теорема Котельникова. При этом отсчетные значения данного сигнала а) б) Рис.14.5. Диаграммы к примеру 2: а — восстановление при , б — восстановление гармонического сигнала по двум отсчетам В предельном случае, когда частота гармонического сигнала Fo стремится к частоте дискретизации , слева, т.е. на каждом периоде исходного гармонического сигнала должно осуществляться ровно два отсчета. Самая высокая точность восстановления гармонического сигна­ла имеет место, когда выборки берутся в максимальных значениях колебания. При этом восстановленный сигнал на входе ФНЧ будет иметь пилообразную форму той же частоты, что и частота исходного сигнала (рис. 5, б). Если же амплитудные отсчеты во времени производятся недостаточно часто и условия теоремы Котельникова нарушаются, то однозначное восстановление ис­ходного гармонического сигнала принципиально невозможно. В этих случаях че­рез отсчетные моменты времени можно провести бесчисленное множество кривых, спектральные плотности которых отличны от нуля вне полосы частот . Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) ЦАП предназначен для преобразования цифровых (двоичных) сигналов в непрерывное ступенчатое напряжение. Цифровые сигналы, имеющие в вид четырехразрядных двоичных чисел Q3 Q2 Q1 Q0 – где значения Q – могут принимать только два значения 0 или 1. 4.11. ЦИФРО-АНАЛОГОВЫЕ И АНДЛОГО-ЦИФРОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ Широкое распространение в настоящее время получила обработка информации в цифровой форме, на которой основаны цифровые управляю­щие машины, цифровые изме­рительные приборы и т. д. При их использовании возникает необходимость преобразования аналоговой величины (напря­жение, ток, частота, температу­ра, давление и т. п.) в цифро­вой код, подаваемый на вход цифрового устройства. Часто возникает обратная задача: цифровой код с выхода цифро­вого устройства нужно преоб­разовать в аналоговый сигнал (напряжение, ток и т.п.). Для выполнения этих стандартных задач используют аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи, которые выполняются и в виде ИМС. Рассмотрим основные способы построения таких преобра­зователей. 4.11.1. Цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП) пре­образует цифровой двоичный код в аналоговую величину, обычно напряжение ивых. Каждый разряд двоич­ного кода имеет определенный «вес»; вес i-го разряда вдвое больше, чем вес (i—1)-го. Работу ЦАП можно описать сле­дующей формулой: (4.3) где е — напряжение, соответствующее весу младшего раз­ряда; Qi — значение i -го разряда двоичного кода (0 или 1). Например, числу 1001 соответствует ивых =е(1·8+ 0·4+0·2 +1·1) =9е, а числу 1100 ивых = е(1·8+ 1·4+0·2 +0·1) = 12 е. Упрощенная схема реализации ЦАП представлена на рис. 4.29. В схеме t-й ключ замкнут при = l, при = 0 —разомкнут. Резисторы подобраны таким образом, что . Проводимость двухполюсника равна сумме проводимостей ветвей (при = l i-ветвь включена, при = 0 – отключена): (4.4) Эквивалентное сопротивление обведенного пунктиром двухполюсника RSK и сопротивление нагрузки RH образуют делитель напряжения, тогда (4.5) Подставив (4.5) в (4.4), получим выражение, идентичное (4.3): Очевидно, что e=ERн /(8R). Выбором е можно установить требуемый масштаб аналоговой величины. АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ 4.11.2. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Су­ществует несколько способов создания АЦП. Рассмотрим в упрощенном виде наиболее распространенный способ по­строения. Структурная схема представлена на рис. 4.30, а. Рис. 4 30. Аналого-цифровой преобразователь АПЦ состоит из мультивибратора, генерирующего тактовые импульсы С (рис. 4.30,6), реверсивного счетчика СТ, подсчи­тывающего тактовые импульсы, ЦАП и компаратора, созданного на основе операционного усилителя ОУ. Реверсивный счетчик работает на сложение при подаче сиг­нала высокого уровня +1 на вход «+» и на вычитание при сигнале низкого уровня - 0 на наз­ванном входе. На первый вход компаратора подан входной аналоговый сигнал — напряжение ивх. В момент ^ схема включена в ра­боту, исходное состояние счетчика Qi = Q2=Q3 = Q4=0. На выходе ЦАП ис=0 — аналоговый эквивалент кода, за­писанного в счетчике, т.е. нулевой сигнал. При ывх—«с>0 сигнал компаратора положительный, этот сигнал подается на вход «+» счетчика, который работает на сложение. С каждым импульсом С код счетчика начинает увеличи­ваться, пока сигнал ЦАП не превысит ивк- Компара­тор переключается, на вход «+» подается нулевой сигнал 167