Фундаментальные эффекты, к которым приводит нелинейность. Автоколебания

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ЭФФЕКТЫ, К КОТОРЫМ ПРИВОДИТ НЕЛИНЕЙНОСТЬ (Автономные системы второго порядка, способные совершать колебания. Гладкие нелинейности. Качественный уровень исследования) IV АВТОКОЛЕБАНИЯ Это самопроизвольно возникающий в некоторых нелинейных диссипативных системах колебательный процесс, характеристики которого определяются свойствами самой системы и не зависят от начальных условий. Для того чтобы возникли автоколебания, система должна включать в себя колебательный контур, диссипативный элемент и источник энергии. Автоколебания – это установившийся процесс, энергия для поддержания которого черпается из неколебательного источника. Параметры (размах и период) автоколебаний зависят от параметров системы. Запускается процесс выведением системы из положения равновесия. 4. 1 УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ (система с мягким возбуждением) УРАВНЕНИЕ РЭЛЕЯ (Замена приводит к уравнению В-д-П) Будем моделировать процессы в уравнении Ван-дер Поля. Построим фазовый портрет. Определим особую точку - положение равновесия . Определим тип особой точки. Для этого линеаризуем уравнение вблизи положения равновесия: 1. ЦЕНТР 2. УСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС, если УСТОЙЧИВЫЙ УЗЕЛ, если 3. НЕУСТОЙЧИВЫЙ ФОКУС, если НЕУСТОЙЧИВЫЙ УЗЕЛ, если В этом случае на фазовой плоскости существует замкнутая траектория, называемая предельным циклом. Остальные фазовые траектории навиваются на предельный цикл как изнутри, так и снаружи. 3.1 Любые начальные условия, несовпадающие с положением равновесия, вызывают режим автоколебаний. Причем начальные условия не влияют на размах автоколебаний. Это система с мягким самовозбуждением. 3.2 Предельный цикл определяет размах и период автоколебаний. С ростом параметра λ автоколебания превращаются из квазигармонических в существенно негармонические, а затем в релаксационные. 4.2 СИСТЕМА С ЖЕСТКИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ В таких системах в зависимости от начальных условий может реализовываться или режим перехода в положение равновесия, или режим автоколебаний. , μ>0 Построим фазовый портрет. Определим особую точку - положение равновесия . Определим тип особой точки. Для этого линеаризуем уравнение вблизи положения равновесия: 1. Условие устойчивости положения равновесия В зависимости от значений параметров , μ возможны два варианта процессов: переход в положение равновесия из любых начальных условий, либо в зависимости от начальных условий переход в положение равновесия или переход к режиму автоколебаний. В последнем случае на фазовой плоскости существуют два вложенных предельных цикла, наружный устойчивый и определяющий параметры автоколебаний, внутренний неустойчивый и определяющий бассейн притяжения положения равновесия. С ростом параметра λ устойчивый предельный цикл увеличивается в размерах, а неустойчивый предельный цикл – уменьшается в размерах. В системе наблюдается бистабильность. 2. . Неустойчивый предельный цикл исчезает, а положение равновесия становится неустойчивым. 3. Условие неустойчивости положения равновесия . В системе существует устойчивый предельный цикл, увеличивающийся в размерах с ростом параметра λ. Выберем μ=1. Параметр λ варьируем. Для фиксированного значения λ устанавливаем, какие режимы могут реализовываться в системе, для этого варьируем начальные условия. λ A -0,2 Любые (0,8; 0,1) Устойчивое ПР -0,125 Любые (0,8; 0,1) -0,1 0,75 1,2 Два вложенных предельных цикла. Размер неустойчивого предельного цикла уменьшается. Размер устойчивого предельного цикла увеличивается. 0,7 -0,05 0,48 1,35 0,45 -0,01 0.21 1,45 0.2 Любые (1,8; 0,1) 1,5 Неустойчивое положение равновесия. Устойчивый предельный цикл. 0,2 Любые (1,8; 0,1) 1,6 0,3 Любые (1,8; 0,1) 1,7 Результаты моделирования, сведенные в таблицу, свидетельствуют о наличии в системе ГИСТЕРЕЗИСА. Будем изменять значение параметра λ ступенчато, на каждой ступеньке дождемся установившегося режима. Нельзя говорить о скорости изменения параметра, а только о направлении изменения. Получили следующие результаты. Если увеличивать параметр λ, а начальные условия брать близкими к положению равновесия, то колебания возникнут при , причем их размах будет сразу существенным. Если уменьшать параметр λ, а начальные условия брать соответствующими амплитуде автоколебаний при предыдущем значении параметра λ, то будем наблюдать плавное уменьшение амплитуды автоколебаний, а при колебания исчезают. 4.3 ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ Возникают на ползучих скоростях и характеризуются чередованием зон застоя и движения. 4.3.1. Моделирование элемента сухого трения Пусть F– сумма всех сил, действующих на массу m, кроме силы инерции и сухого трения. где – трение покоя, - трение движения. Если учесть Штрибек эффект, то , 4.3.2. Моделирование фрикционных автоколебаний 1. Кулоново трение () – автоколебаний нет 2. Кулоново трение () – автоколебания могут возникнуть на больших скоростях 3. Штрибек эффект – автоколебания возникают на малых скоростях 4.3.3. Вибрационное сглаживание нелинейности