Формула Остроградского-Грина.Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования

ÔÎÐÌÓËÀ ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÊÎÃÎ-ÃÐÈÍÀ. ÓÑËÎÂÈß ÍÅÇÀÂÈÑÈÌÎÑÒÈ ÊÐÈÂÎËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÈÍÒÅÃÐÀËÀ ÂÒÎÐÎÃÎ ÐÎÄÀ ÎÒ ÏÓÒÈ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈß Ÿ1. Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî-Ãðèíà H Ðàññìîòðèì êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà âèäà P (x, y)dx + Q(x, y)dy , ãäå L L -çàìêíóòûé ñàìîíåïåðåñåêàþùèéñÿ êîíòóð, ðàñïîëîæåííûé â ïëîñêîñòè Oxy . Îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ îäíèì çàìêíóòûì ñàìîíåïåðåñåêàþùèìñÿ êîíòóðîì, íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé. Åñëè íà êîíòóðå L âûáðàòü êàêîå-íèáóäü íàïðàâëåíèå èí- òåãðèðîâàíèÿ, òî îêàçûâàåòñÿ áåçðàëè÷íûì, êàêóþ òî÷êó íà L âçÿòü çà íà÷àëî (à çíà÷èò, è êîíåö) ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ (ñì. ðèñ 1). Ïðè âû÷èñëåíèè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó èñïîëüçóþò ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå. Åñëè êðèâàÿ D , à ôóíêöèè P (x, y) è ∂Q ∂P Q(x, y) íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è â çàìêíóòîé ∂x ∂y îáëàñòè D (âêëþ÷àÿ ãðàíèöó L ), òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî-Ãðèíà: H ∫∫ ∂Q ∂P P (x, y)dx + Q(x, y)dy = ( − ) . Ïðè÷åì èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ âäîëü ∂x ∂y L D êðèâîé L â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòûì ñàìîíåïåðåñèêàþùèìñÿ êîíòóðîì L1 è n − 1 çàìêíóòûì ñàìîíåïåðåñåêàþùèìèñÿ êîíóòðàìè L2 , L3 , ..., Ln , ëåæàùèìè âíóòðè L1 è âíå Òåîðåìà: L- çàìêíóòàÿ ãðàíèöà îáëàñòè äðóã äðóãà, íàçûâàåòñÿ n-ñâÿçíîé (ðèñ. 8). Çàìå÷àíèå 1. Ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ îáëàñòè D , êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè âäîëü îñè Ox èëè îñè Oy íà êîíå÷íîå ÷èñëî îáëàñòåé. Çàìå÷àíèå 2. Ôîðìóëà ñïðàâåäëèâà è äëÿ ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè, åñëè ïîä êîíòóðîì L1 , L2 , ..., Ln , L ïîíèìàòü îáúåäèíåíèå âñåõ êîíòóðîì îãðàíè÷èâàþùèõ îáëàñòü D, ïðè÷åì íàïðàâëåíèå èí- òåãðèðîâàíèÿ òàêîå, ÷òî íàáëþäàòåëü, îáõîäÿùèé êîíòóð L â ýòîì íàïðàâëåíèè, îñòàâëÿåò áëèæàéøóþ ê íåìó ÷àñòü îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé L, ñëåâà îò ñåáÿ. Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòü H 2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy , ãäå L - êîíòóð òðåóãîëüíèêà ñ L âåðøèíàìè A(1, 1), B(2, 2), C(1, 3) , Ðåøåíèå.  äàííîì èíòåãðàëå ïðîáåãàåìûé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. P (x, y) = 2(x2 + y 2 ), Q(x, y) = (x + y)2 . Ñëåäîâàòåëüíî ∂Q ∂P − = 2(x + y) − 4y = 2(x − y) . ∂x ∂y H ∫∫ Òàêèì îáðàçîì, 2(x2 + y 2 )dx + (x + y)2 dy = 2(x − y)dxdy , L ãäå îáëàñòü Óðàâíåíèå D D - òðåóãîëüíèê ABC . Óðàâíåíèå ïðÿìîé AB : y = x . BC : y = 4 − x, x ∈ [1; 2] . Âû÷èñëÿåì äâîéíîé èíòåãðàë ïî äàííîé îáëàñòè: ∫∫ D 2(x − y)dxdy = 2 ∫2 dx 1 −x+4 ∫ (x − y)dy = − x 1 4 . 3 Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü H xy 2 dy −yx2 dx , ãäå L - îêðóæíîñòü x2 +y 2 = 4 , ïðîáåãàåìàÿ L ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. ∂Q ∂P P (x, y) = −x2 y , Q(x, y) = xy 2 , − = x2 + y 2 . ∂x ∂y H 2 ∫∫ Òàêèì îáðàçîì, xy dy − yx2 dx = (x2 + y 2 )dxdy . L { D x = rcosφ Ââåäåì ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû: , φ ∈ [0; 2π] y = rsinφ ∫∫ 2 ∫2π ∫2 ∫∫ 2 1 ∫1 2 (x + y 2 )dxdy = r rdrdφ = dφ r2 dr = Òîãäà. 4 dφ = 8π . 40 D HD Ïðèìåð 3. Âû÷èñëèòü (y + 2x)dx + 2(x + y)dy , ãäå C îáðàçîâàí ëèíèÿìè y = Ðåøåíèå.  äàííîì èíòåãðàëå C 4x2 , y = 4, x = 0 : à)íåïîñðåäñòâåííî; á)ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî-Ãðèíà. Ðåøåíèå. à) Ñòðîèì êîíòóð OAB (ðèñ.10). Îáõîä êîíòóðà ñîâåð- øàåì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. H ∫ ∫ ∫ 71 8 − 5 − 16 = . 3 3 C OA AB BO ∫ ∫1 ∫1 y = 4x2 (y +2x)dx+2(x+y)dy = = (4x2 +2x)dx+2(x+4x2 )8xdx = (64x3 + dy = 8xdx OA ) ( 3 71 20 x +1= . = 16 + 20x2 + 2x)dx = 16x4 + 20 + x2 3 3 3 1 ∫ ∫ y=4 (y + 2x)dx + 2(x + y)dy = = (4 + 2x)dx = (4x + x2 ) = −5. dy = 0 1 1 AB 1 ∫ ∫ x=0 (y + 2x)dx + 2(x + y)dy = = 2ydy = y 2 = −16 . dx = 0 4 4 BO = + + = á) Âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî-Ãðèíà ∫ ∫∫ ∂Q ∂P − )dxdy . ( ∂x ∂y L D ∂Q ∂P / / P = y + 2x, Q = 2(x + y) ⇒ = (y + 2x)x = 1 , = 2(x + y)y = 2 . ∂y ∂x ( ) 4 ∫∫ ∂Q ∂P ∫∫ ∫1 ∫4 ∫1 ∫1 x3 1 2 ( − )dxdy = dxdy = dx dy = dx·y = (4−4x )dx = 4x − 4 = ∂x ∂y 3 4x2 D D 4x2 4 8 4− = . 3 3 P dx + Qdy = Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà íåïîñðåäñòâåííî è ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî- Ãðèíà ñîâïàëî. Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòü H xdx + ydy x2 + y 2 L , ãäå L - îêðóæíîñòü (x + 1)2 + (y − 1)2 = 9 , ïðîáåãàåìàÿ ïðîòèâ õîäà ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ðåøåíèå. Êîíòóð x P = 2 x + y2 ; L çàìêíóòûé, y Q= 2 x + y2 ; ∂p ∂Q 2xy = =− 2 ∂y ∂x (x + y 2 )2 , ïîýòîìó ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî-Ãðèíà äàííûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ. 2 Ÿ2. Êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà, íåçàâèñèìûå îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ ∫  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë P (x, y)dx + Q(x, y)dy íå çàâèñèò AB îò òîãî, êàêèì îáðàçîì ëèíèÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ñîåäèíÿåò íà÷àëüíóþ A è êîíå÷íóþ B òî÷êè ïëîñêîñòè. Âàæíîñòü ýòîãî ñâîéñòâà âûòåêàåò èç åãî èíòåðïðèòàöèè êàê ðàáîòû ïî ïåðåìåùåíèþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ñèëîâîì ïîëå êðèâîé L. → → → F (x, y) = P (x, y)· i +Q(x, y)· j âäîëü Ïîýòîìó íåçàâèñèìîñòü êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà îò ñïîñîáà ñîåäèíåíèÿ íà- ÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê êðèâîé èíòåãðèðîâàíèÿ ýêâèâàëåíòíà íåçàâèñèìîñòè ðàáîòû â ñîîòâåòñòâóþùåì ñèëîâîì ïîëå îò ïóòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (ñèëîâîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, ò.å. â íåì âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿÿ ýíåðãèè). Åñëè òî÷êè A(x1 ; y1 ) è B(x2 ; y2 ) îäíîñâÿçíîé îáëàñòè íûìè êðèâûìè, è çíà÷åíèå èíòåãðàëîâ ∫ D ìîæíî ñîåäåíèòü ðàçëè÷P (x, y)dx + Q(x, y)dy ïî âñåâîçìîæíûì êðè- AB âûì AB îäèíàêîâî, òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà íàçûâàåòñÿ íåçà(x∫ 2 ;y2 ) âèñèìûì îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ P (x, y)dx + Q(x, y)dy . (x1 ;y1 ) Òåîðåìà (Óñëîâèå íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà ∫ îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ). Äëÿ òîãî ÷òîáû êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë P (x, y)dx+ AB Q(x, y)dy íå çàâèñåë îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè ôóíêöèè P (x, y), Q(x, y) ∂P , íåîáõîäèìî ∂y ∂Q ∂P = . ∂x ∂y è D, â êîòîðîé íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ∂Q ∂x è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè âûïîëíÿëîñü Ñëåäñòâèå 1. Åñëè êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ∫ P (x, y)dx + Q(x, y)dy íå çàâèñèò AB îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ è òî÷åê A(x1 ; y1 ) è B(x2 ; y2 ) - íà÷àëüíûõ è êîíå÷íûõ òî÷åê êðèâîé èíòåãðèðîâàíèÿ, òî ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì íåêîòîðîé ôóíêöèè (x∫ 2 ;y2 ) (x∫ 2 ;y2 ) P (x, y)dx + Q(x, y)dy = (x1 ;y1 ) U = U (x, y) P (x, y)dx+Q(x, y)dy ÿâëÿåòñÿ è ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà: dU (x, y) = U (x2 , y2 ) − U (x1 , y1 ) . (x1 ;y1 ) Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå P (x, y)dx + Q(x, y)dy ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì íåêîòîðîé ôóíêöèè, è òî H L - çàìêíóòûé ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ, P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 . L Çàìå÷àíèå. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû äëÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà ïî ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé ∫ AB ∂P ∂Q ∂R ∂R ∂P ∂Q = , = , = ; ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂z AB P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = dU (x, y, z) , (x2 ;y ∫2 ;z2 ) P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = U (x2 , y2 , z2 ) − U (x1 , y1 , z1 ) . P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz : (x1 ;y1 ;z1 ) Ïðèìåð 5. Âû÷èñëèòü (3;0) ∫ (x4 + 4xy 3 )dx + (6x2 y 2 − 5y 4 )dy (−2;−1) 3 Ðåøåíèå. P (x, y) = x4 + 4xy 3 , Q(x, y) = 6x2 y 2 − 5y 4 , ∂Q ∂P = 12xy 2 = ∂x ∂y . Çíà÷èò ýòîò èíòåãðàë íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Âûáåðåì â êà÷åñòâå ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ ëîìàíóþ, çâåíüÿ êîòîðîé ïàðàëëåëüíû AC : y = −1, x ∈ [−2; 3] , dy = 0. CB : x = 3, y ∈ [−1; 0] , dx = 0 . îñÿì êîîðäèíàò. Èìååì íà ïåðâîì ó÷àñòêå Íà âòîðîì ó÷àñòêå Ñëåäîâàòåëüíî, (3;0) ∫ ∫3 −2 (−2;−1) ∫0 (x4 − 4x)dx + Ïðèìåð 6. (x4 + 4xy 3 )dx + (6x2 y 2 − 5y 4 )dy −1 (54y 2 − 5y 4 )dx = ( (2;3) ∫ Âû÷èñëèòü x5 − 2x2 ) 5 3 −2 = +(18y 3 − y 5 ) −1 = 62 . ydx + xdy . (−1;2) Ðåøåíèå. P (x, y) = y, Q(x, y) = x, ∂Q ∂P =1= ∂x ∂y , çíà÷èò, ýòîò èíòåãðàë íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, P (x, y)dx + Q(x, y)dy = ydx + xdy = dU (x, y); Èíòåãðèðóåì ïî ïåðåìåííîé x, ñ÷èòàÿ ∂U ∂U = y, = x. ∂x ∂y y ïîñòîÿííûì. Ïðè ýòîì, âìåñòî ïîñòîÿííîé C(y) - íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ, çàâèñÿùóþ òîëüêî îò ∫ ∫ y : U (x, y) = P (x, y)dx = ydx = xy + C(y), ∂U = x + C ′ (y) = x, =⇒ C ′ (x) = 0, =⇒ U (x, y) = xy ; ∂y (2;3) (2,3) ∫ ydx + xdy = xy = 8. èíòåãðèðîâàíèÿ ñëåäóåò ïîñòàâèòü (−1;2) (−1,2) 4