Физика колебаний и волн. Квантовая физика

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Омский государственный технический университет» С.В. Данилов, В.А. Егорова, О.В. Кропотин Физика колебаний и волн. Квантовая физика Конспект лекций для 3 семестра изучения курса «Физика» Омск 2007 УДК 530+534.1+535(075) ББК 22.314+22.343+22.336я73 Д 18 Рецензенты: Машков Ю.К., докт. техн. наук, проф., зав. каф. физики СибАДИ, Полещенко К.Н., докт. техн. наук, проф. каф. педагогических информационных технологий и дополнительного образования ОмГУ. Д 18 Данилов, С.В., Егорова, В.А., Кропотин, О.В. Физика колебаний и волн. Квантовая физика: учеб. пособие. 2 –е изд. перераб./ Сост. С.В. Данилов, В.А. Егорова, О.В. Кропотин. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2007. – 64 с. Приведены программа и контрольные задания. Изложение материала соответствует курсу общей физики, изучаемому в вузе. Для студентов заочной и очно-заочной форм обучения. Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета. УДК 530+534.1+535(075) ББК 22.314+22.343+22.336я73 © Авторы, 2007 © Омский государственный технический университет, 2007 ПРОГРАММА 1. Колебания Понятие о колебательных процессах. Единый подход к колебаниям различной физической природы. Гармонические колебания (механические и электромагнитные) и их характеристики. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, математический и физический маятники. Электрический колебательный контур. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания, логарифмический декремент, добротность. Апериодический процесс. Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Процесс установления колебаний. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Случай резонанса. 2. Волны Волновые процессы. Механические волны в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Плоские синусоидальные (гармонические) волны. Сферические волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число. Волновое уравнение. Фазовая скорость. Энергия волны. Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость. Вектор Умова. Стоячие волны. Уравнение плоской электромагнитной волны. Основные свойства электромагнитных волн. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга. 3. Волновая оптика Световая волна. Интерференция света. Когерентность и монохроматичность световых волн. Оптическая длина пути. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Интерференция в тонких пленках. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция Фраунгофера на одной щели и на дифракционной решетке. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризаторы. Закон Малюса. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера. Поляризация при двойном лучепреломлении. 4. Квантовая природа излучения Тепловое излучение. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Закон Стефана – Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно черного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс фотона. Давление света. Эффект Комптона и его теория. 5. Элементы атомной физики и квантовой механики Корпускулярно-волновой дуализм свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей как проявление корпускулярно-волнового дуализма свойств материи. Волновая функция и ее статистический смысл. Временное уравнение Шредингера. Стационарные состояния. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме. Квантование энергии частицы. Туннельный эффект. 6. Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц Строение атомных ядер. Нуклоны. Массовое и зарядовое числа. Взаимодействие нуклонов и понятие о свойствах и природе ядерных сил. Дефект массы и энергия связи ядра. Радиоактивные превращения атомных ядер. Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма- излучения атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядра. Цепная реакция деления. Ядерный реактор. Термоядерные реакции. Элементарные частицы, их классификация и взаимная превращаемость. ТЕМА № 1 ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН Колебаниями называются процессы, характеризующиеся той или иной степенью повторяемости. Таким свойством повторяемости обладают, например, качания маятника, колебания струны, напряжение между обкладками конденсатора в колебательном контуре и т. д. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания механические, электромагнитные, электромеханические и т. д. В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (собственные или затухающие), вынужденные, параметрические и автоколебания. Свободными колебаниями называются колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после выведения ее каким-либо способом из положения равновесия. Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается внешнему периодически изменяющемуся воздействию. Автоколебаниями называются такие колебания, при которых моменты времени, когда осуществляются внешние воздействия, задаются самой колеблющейся системой, т. е. система сама управляет внешним воздействием. Параметрическими называются колебания, при которых за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы. Простейшими являются гармонические колебания, то есть такие, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, так как, во-первых, колебания в природе и в технике часто имеют характер, очень близкий к гармоническому, и, во-вторых, периодические процессы иной формы могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний. 1.1. Механические колебания. 1. Собственные колебания. Собственными называются свободные колебания, возникающие в колебательной системе в отсутствие сил сопротивления (трения). Колебания в подобной системе описываются уравнением вида , (1) а сама система называется гармоническим осциллятором. Примерами гармонических осцилляторов могут служить пружинный, математический и физический маятники (Рис. 1). Рис. 1 Пружинный маятник – тело массой m, прикрепленное к пружине с жесткостью k. Математический маятник – материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной l. Физический маятник – тело, совершающее колебания относительно оси О, находящейся на расстоянии l от его центра инерции С. Для математического и физического маятников роль величины x в уравнении (1) играет угол отклонения  от положения равновесия. При этом гармоническими являются только малые колебания маятников. Решение уравнения (1) имеет вид x  xm соs (ot + ) , (2) где xm – амплитуда колебания, наибольшее значение величины, совершающей колебания; (0t + ) – фаза колебания;  – начальная фаза, т.е. фаза в момент t = 0; 0 – собственная круговая частота колебания (число колебаний за 2 секунд). Используются также следующие понятия: T – период колебания (время одного полного колебания). T = 2/0.  – частота колебания (число колебаний за 1 секунду): . Для рассматриваемых осцилляторов периоды колебаний равны: пружинного маятника ; (3) для математического ; (4) для физического . (5) В формуле (5) величина I – момент инерции физического маятника относительно оси O. Энергия гармонического осциллятора складывается из кинетической и потенциальной энергий и в любой момент времени остается постоянной: E = kxm2/2 или E = m02xm2/2 . (6) 2. Свободные затухающие колебания При малых колебаниях и небольших скоростях сила сопротивления среды пропорциональна величине скорости Fсопр = – rV, где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Тогда уравнение колебаний можно представить следующим образом: , (7) где ; 0 – собственная частота колебаний. Решение уравнения (7) ( при условии 0> ) имеет вид x = xm0e-tcos(t+), (8) где . (9) График этой функции дан на рис. 2. Таким образом, данные колебания можно рассматривать как гармонические с частотой  и с амплитудой, убывающей по закону xm(t) = xm0e-t (10) Для характеристики быстроты затухания колебаний применяется несколько величин:  – коэффициент затухания, величина обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз;  – время релаксации, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз: ;  - логарифмический декремент затухания. По определению – это натуральный логарифм двух последовательных амплитуд колебаний. . (11) По физическому смыслу  – это величина, обратная числу колебаний, за время которых амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Связь его с коэффициентом затухания выражается формулой    ; (12) Q – добротность колебательной системы. По определению Q – это отношение числа  к логарифмическому декременту затухания колебаний: Q = / . (13) Если в уравнении (7) 0, то колебания в системе невозможны. При выведении ее из положения равновесия происходит апериодический процесс возврата системы в исходное состояние. 3. Вынужденные колебания Если вынуждающая сила, действующая на колебательную систему, изменяется по гармоническому закону F = Fm cos(t) , то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний можно представить в виде , (14) где  – коэффициент затухания , а 0 – собственная частота колебаний системы. Это неоднородное дифференциальное уравнение (с правой частью, не равной нулю). Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение уравнения такого вида представляет собой сумму общего решения однородного уравнения затухающих колебаний, рассмотренного ранее, и частного решения данного неоднородного уравнения. При этом первое убывающее слагаемое играет роль только во время установления колебаний. На рис. 3 показан примерный вид зависимости x(t), описываемой уравнением (14). B установившемся режиме вынужденные колебания являются гармоническими, незатухающими, происходят с частотой вынуждающей силы . Их уравнение x = xmcos (t + ) (15) При этом амплитуда xm вынужденных колебаний равна , (16) а сдвиг фаз этих колебаний  по отношению к вынуждающей силе определяется из равенства . (17) Зависимость вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (16) приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой. Исследование равенства (16) дает . (18) Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы  (резонансные кривые), соответствующие различным значениям параметра , показаны на рис. 4. 4. Сложение гармонических колебаний При сложении двух гармонических колебаний, одинаково направленных и одинаковой частоты, описываемых уравнениями , (19) результирующее колебание будет также гармоническим и иметь частоту 0: x = xmcos(0t + ) , (20) где амплитуда xm и начальная фаза  равны соответственно: (21) При сложении двух гармонических колебаний одного направления с мало отличающимися частотами, которые задаются уравнениями (22) где   , результирующее колебание является гармоническим с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями. Уравнение биений имеет вид (23) При сложении двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, уравнения которых имеют вид (24) точка движется по траектории (25) В зависимости от разности фаз  складываемых колебаний возможны частные случаи: 1.  = 0 – точка движется по прямой 2.  =  – точка движется по прямой В обоих случаях это гармоническое колебание, происходящее по закону (26) 3.  = /2 – точка движется по эллипсу, уравнение которого: (27) Электромагнитные колебания При электромагнитных колебаниях в колебательной системе происходят периодические изменения физических величин, связанных с изменениями электрического и магнитного полей . Простейшей колебательной системой такого типа является колебательный контур, то есть цепь, содержащая индуктивность и емкость. Благодаря явлению самоиндукции в такой цепи возникают колебания заряда на обкладках конденсатора, силы тока, напряженностей электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки, энергии этих полей и т.д. При этом математическое описание колебаний оказывается полностью аналогичным рассмотренному выше описанию механических колебаний. Приведем таблицу физических величин, являющихся взаимными аналогами при сравнении двух типов колебаний. Механические колебания пружинного маятника Электромагнитные колебания в колебательном контуре m – масса маятника L – индуктивность катушки k – жесткость пружины – величина, обратная емкости конденсатора. r – коэффициент сопротивления среды R – активное сопротивление контура x – координата маятника q – заряд конденсатора  – скорость маятника i – cила тока в контуре Ер – потенциальная энергия маятника WE – энергия электр. поля контура Ек – кинетическая энергия маятника WH – энергия магнит. поля контура Fm – амплитуда внешней силы при вынужденных колебаниях Em – амплитуда вынуждающей ЭДС при вынужденных колебаниях Таким образом, все математические соотношения, приведенные выше, можно перенести на электромагнитные колебания в контуре, заменив все величины на их аналоги. Например, сравним формулы для периодов собственных колебаний: – маятник, – контур. (28) Налицо их полная идентичность. 1.2. Волны Волна – это процесс распространения колебаний в пространстве. В зависимости от физической природы процесса волны делятся на механические (упругие, звуковые, ударные, волны на поверхности жидкости и т. д.) и электромагнитные. В зависимости от направления колебаний волны бывают продольные и поперечные. В продольной волне колебания происходят вдоль направления распространения волны, а в поперечной – перпендикулярно этому направлению. Механические волны распространяются в некоторой среде (твердой, жидкой или газообразной). Электромагнитные волны могут распространяться и в пустоте. Несмотря на разную природу волн, их математическое описание практически одинаково, подобно тому, как механические и электромагнитные колебания описываются уравнениями одинакового вида. Механические волны Приведем основные понятия и характеристики волн.  – обобщенная координата – любая величина, совершающая колебания при распространении волны (например, смещение точки от положения равновесия).  – длина волны – наименьшее расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2 (расстояние, на которое волна распространяется за один период колебаний):    , (29) где  – фазовая скорость волны, T – период колебаний. Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Фронт волны – геометрическое место точек, до которых дошли колебания к данному моменту времени (передняя волновая поверхность). В зависимости от формы волновых поверхностей волны бывают плоские, сферические и т. п. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, имеет вид (х,t) = mcos(t – kx) , (30) где – волновое число. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении: , (31) где – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности. Уравнением сферической волны будет , (32) из чего видно, что амплитуда сферической волны убывает по закону 1/r. Фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой движутся волновые поверхности, зависит от свойств среды, в которой распространяется волна. – (33) фазовая скорость упругой волны в газе, где  – коэффициент Пуассона,  – молярная масса газа, T – температура, R – универсальная газовая постоянная. – (34) фазовая скорость продольной упругой волны в твердом теле, где E – модуль Юнга,  – плотность вещества. – (35) фазовая скорость поперечной упругой волны в твердом теле, где G – модуль сдвига. Волна, распространяясь в пространстве, переносит энергию. Количество энергии, переносимой волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Она равна потоку энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространению волны, а по направлению совпадает с направлением фазовой скорости волны. , (36) где w – объемная плотность энергии волны в данной точке. Вектор иначе называется вектором Умова. Среднее по времени значение модуля вектора Умова называется интенсивностью волны I. I = < j > . (37) Электромагнитные волны Электромагнитная волна – процесс распространения в пространстве электромагнитного поля. Как говорилось ранее, математическое описание электромагнитных волн аналогично описанию механических волн, таким образом, необходимые уравнения можно получить, заменив в формулах (30) – (33)  на или , где –напряженности электрического и магнитного полей. Например, уравнения плоской электромагнитной волны выглядят следующим образом: . (38) Волна, описываемая уравнениями (38), показана на рис. 5. Как видно, векторы и образуют с вектором правовинтовую систему. Колебания этих векторов происходят в одинаковой фазе. В вакууме электромагнитная волна распространяется со скоростью света С = 3108 м/с. В веществе фазовая скорость Рис. 5 электромагнитной волны равна , (39) где  – относительная диэлектрическая проницаемость,  – относительная магнитная проницаемость вещества. Величина называется при этом абсолютным показателем преломления вещества. Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны носит название вектора Пойнтинга . В соответствии с равенством (36 ) , где w – плотность энергии электромагнитной волны. Кроме того, вектор можно представить в виде: , (40) а интенсивность электромагнитной волны в соответствии с (37) I = < S > (41) Электромагнитная волна, падая на вещество, оказывает на него давление, которое выражается формулой P = (1+) , (42) где  – коэффициент отражения. Волновая оптика Волновая оптика рассматривает круг явлений, связанных с распространением света, которые можно объяснить, представляя свет как электромагнитную волну. Основное понятие волновой оптики – световая волна. Под световой волной понимают электрическую составляющую электромагнитной волны, длина волны которой в вакууме 0 лежит в пределах 400 – 700 нм. Такие волны воспринимает человеческий глаз. Уравнение плоской световой волны можно представить в виде E = Acos(t – kx + 0) , (43) где А – принятое обозначение амплитуды светового вектора Е, 0 – начальная фаза (фаза при t = 0, x = 0). В среде с показателем преломления n фазовая скорость световой волны равна  = c/n, а длина волны  = 0/n . (44) Интенсивность световой волны, как следует из (41), определяется средним значением вектора Пойнтинга I = < S >, и можно показать, что I  A2 , (45) т.е. пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. 1.3 Интерференция световых волн Интерференцией называется явление перераспределения энергии в пространстве при наложении когерентных волн. Когерентными называются волны одного направления, с одинаковыми плоскостями колебаний светового вектора, одинаковой частотой и с постоянной во времени разностью фаз. Когерентные волны можно получить, разделяя одну световую волну на две с помощью отражения и преломления света. Условия наблюдения максимумов и минимумов интерференции определяются разностью фаз складываемых колебаний. (46) Разность фаз интерферирующих волн связана с оптической разностью хода   l2 – l1 , где l – оптическая дина пути световой волны. При этом l = Sn, где S – геометрическая длина пути световой волны в однородной среде с показателем преломления n. Кроме того, при нахождении l надо учитывать, что при отражении от оптически более плотной среды световая волна меняет фазу на . В этом случае к оптической длине пути надо прибавить (или отнять) 0/2. Связь разности фаз с оптической разностью хода дает общие условия наблюдения интерференционных максимумов и минимумов: (47) Рассмотрим основные случаи интерференции 1. Интерференция наблюдается на экране, расположенном параллельно двум когерентным источникам в виде щелей (опыт Юнга, зеркала Френеля, бипризма Френеля) (Рис. 6). L – расстояние от экрана до источников, отстоящих друг от друга на расстоянии d (d << L); x – расстояние от центра интерференционной картины до k-ой интерференционной полосы. Тогда (48) 2. Интерференция при отражении от тонких пленок. При падении света на тонкую пленку происходит отражение от обеих поверхностей пластинки. В результате возникают когерентные волны 1 и 2, которые могут интерферировать (рис. 7). При этом , (49) где d – толщина пленки, n – показатель преломления,  – угол падения, 0/2 – добавочная разность хода, учитывающая смену фазы на  при отражении 1-й волны от более плотной среды (пленки). 3. Кольца Ньютона – пример полос равной толщины, наблюдаемых при отражении света от соприкасающихся друг с другом плоскопараллельной стеклянной пластинки и плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны (рис. 8). Тогда радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете , (50) а радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете . (51) Здесь R – радиус кривизны линзы, n – показатель преломления вещества между линзой и пластинкой. 1.4. Дифракция световых волн Дифракцией называется огибание волной препятствий. Дифракция выражена достаточно сильно, если длина волны соизмерима с размерами препятствия. Возникновение дифракции можно объяснить с помощью принципа Гюйгенса: каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент. Для количественной оценки результатов дифракции и нахождения амплитуды результирующей волны в любой точке пространства Френель дополнил принцип Гюйгенса представлением о когерентности вторичных волн и их интерференции. Различают: 1) дифракцию плоской волны – дифракцию Фраунгофера и 2) дифракцию сферической волны – дифракцию Френеля Расчеты с использованием принципа Гюйгенса – Френеля – чрезвычайно трудная задача. Поэтому для качественной оценки результатов дифракции Френель предложил разбивать фронт волны не на бесконечное множество точечных источников, а на конечное число зон. Зонами Френеля называются участки фронта волны, построенные таким образом, что расстояние от краев каждой зоны до точки наблюдения отличаются на /2. Построение зон для сферической волны, испущенной источником S, показано на рис. 9. Колебания, приходящие в точку наблюдения P от аналогичных точек двух соседних зон, будут находиться в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на . Радиус внешней границы k-ой зоны Френеля в этом случае , (52) где а – расстояние от источника света до фронта волны, b – расстояние от точки наблюдения до вершины фронта волны О. Для плоской волны радиус находится как . (53) Для качественной оценки результата дифракции на малом круглом отверстии достаточно найти количество зон Френеля, попавших в это отверстие. Если количество зон четное, то в точке Р будет минимум, если нечетное – максимум. Аналогично оценивается дифракция Фраунгофера на узкой щели (рис. 10). Открытая часть фронта волны, дошедшей до щели, разбивается на параллельные краям щели зоны Френеля шириной , где  – угол дифракции. Таких зон на ширине щели укладывается . Если N четное, то в точке Р – минимум, если N нечетное, то в точке P – максимум. Тогда (54) Большое практическое значение имеет дифракция Фраунгофера на так называемой дифракционной решетке. Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние, щелей (рис. 11). Расстояние d между серединами соседних щелей называется постоянной или периодом решетки. При этом в направлениях, для которых разность хода волн от соседних щелей равна целому числу длин волн, будут наблюдаться максимумы интенсивности, называемые главными. Таким образом, условие главных максимумов имеет вид dsin = 2k/2, k = 0, 1, 2... (55) При этом интенсивность главных максимумов Imax пропорциональна интенсивности I , создаваемой в направлении  одной щелью. Imax = N2I , (56), где N – общее число щелей решетки. Дифракционная решетка служит спектральным прибором, разрешающая способность которого (57) где  – наименьшая разность длин волн двух близких спектральных линий с длинами волн  и +, при которых они еще воспринимаются раздельно (разрешаются). Разрешающая способность дифракционной решетки может быть найдена по формуле R = kN, (58) где k – порядок дифракционного спектра, N – общее число щелей решетки. 1.5. Поляризация световых волн В естественном свете колебания различных направлений быстро и беспорядочно сменяют друг друга. Свет, в котором направления колебаний упорядочены каким-либо образом, называют поляризованным. Обычно ограничиваются рассмотрением плоскополяризованного света, то есть такого, в котором колебания светового вектора происходят только в одной плоскости. Плоскополяризованный свет получают из естественного с помощью приборов – поляризаторов. Эти приборы пропускают только колебания, параллельные плоскости, называемой плоскостью поляризатора. Если через поляризатор пропустить естественный свет с интенсивностью Iест , то интенсивность прошедшего поляризованного света I = 0,5Iест . (59) Если на поляризатор падает уже плоскополяризованный свет с амплитудой А0 и интенсивностью I0 (рис. 12), то сквозь прибор пройдет составляющая колебания с амплитудой А = А0 cos , где  – угол между плоскостью колебаний падающего света и плоскостью поляризатора. Следовательно, интенсивность прошедшего света I определяется выражением I = I0 cos2 (60) Соотношение (60) носит название закона Малюса. Действие поляризаторов разных типов основано либо на явлении поляризации света при отражении его от диэлектрика, либо на поляризации при двойном лучепреломлении, которое наблюдается при прохождении света через анизотропные вещества (кристаллы). В первом случае имеет место закон Брюстера, который гласит, что отраженный от диэлектрика свет будет полностью поляризован, если тангенс угла падения Б равен относительному показателю преломления сред n21 = n2/n1 (рис. 13): tgБ = n21 . (61) ТЕМА № 2 КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 2.1. КВАНТОВАЯ ОПТИКА Тепловое излучение Тепловым излучением называется испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел. Оно имеет место при любой температуре. Приведем величины, характеризующие этот вид излучения: – энергетическая светимость – величина, равная энергии, испускаемой единицей поверхности тела в единицу времени по всем направлениям. Она является функцией температуры. – спектральная плотность энергетической светимости – величина, равная энергии, испускаемой единицей поверхности тела в единицу времени по всем направлениям в единичном интервале длин волн. Это функция длины волны и температуры. – поглощательная способность – безразмерная величина, равная отношению потока энергии, поглощенной телом, к потоку энергии, падающей на тело при данной температуре и длине волны. Тело, полностью поглощающее упавшее на него излучение всех длин волн, называется абсолютно черным (a,T  1). Закон Кирхгофа. Отношение спектральной плотности энергетической светимости к поглощательной способности не зависит от природы тела, оно является для всех тел одной и той же универсальной функцией длины волны и температуры: . (1) Экспериментально найденная с помощью изучения излучения абсолютно черного тела функция Кирхгофа имеет вид, приведенный на рис. 1. Теоретически вид функции Кирхгофа нашел Планк, предположивший, что излучение испускается излучающими телами не непрерывно, а определенными порциями – квантами. Энергия каждого кванта: , (2) где – постоянная Планка, Джс  – круговая частота колебаний в электромагнитной волне. Формула Планка имеет вид (3) Как следует из закона Кирхгофа, f(,T)  r,T для абсолютно черного тела. Закон Стефана – Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно черного тела прямо пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры. RT = T4 , (4) где  – постоянная Стефана – Больцмана: Закон смещения Вина. Длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре. (рис. 1): max = b/T , (5) где b – постоянная Вина, b = 2,910-3 мК. Фотоны Световые кванты, то есть частицы, в виде которых распространяется свет, получили название фотонов. Они обладают энергией ( формула (2), массой , (6) и импульсом или , (7) где – волновой вектор – вектор, модуль которого равен волновому числу, а направление совпадает с направлением фазовой скорости световой волны. Взаимодействием фотонов с веществом объясняется ряд явлений и эффектов. Фотоэффект Внешним фотоэффектом называется испускание электронов с поверхности металлов под действием света. Фотоэффект объясняется взаимодействием фотонов со свободными электронами металлов. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: = + , (8) где Авых – работа выхода электрона из металла (табличная величина); – максимальная кинетическая энергия электрона. Из уравнения (8) следует, что фотоэффект возможен только при условии Aвых , или , (9) где 0 называется красной границей фотоэффекта. Для торможения вылетающих электронов необходимо приложить задерживающее напряжение Uз , которое можно найти из условия mm2/2 = eU3 , (10) где e – заряд электрона. Давление света Тот факт, что свет оказывает давление на поверхность, на которую он падает, просто объясняется передачей фотонами этой поверхности некоторого импульса. Тогда формула для светового давления имеет вид P = w(1+) , (11) где w – объемная плотность энергии излучения, падающего на тело,  – коэффициент отражения. w можно представить как w = I/c. Здесь I – интенсивность падающего света (плотность потока энергии излучения), с – скорость света. Тормозное рентгеновское излучение Рентгеновские лучи возникают при бомбардировке быстрыми электронами твердых мишеней (анода рентгеновской трубки). Появляющееся при этом так называемое тормозное излучение имеет сплошной спектр с четко выраженной коротковолновой границей. Существование коротковолновой границы вытекает из квантовой природы излучения. , (12) где – энергия фотона, eU – энергия электрона, теряемая при торможении. Из выражения (12) следует, что частота излучения не может превысить значения max = eU/ , а длина волны не может быть меньше значения . (13) Эффект Комптона Квантовые свойства света особенно отчетливо проявляются в эффекте Комптона. Комптон, исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, обнаружил, что в рассеянных лучах наряду с излучением первоначальной длины волны  содержатся также лучи большей длины волны . Разность = оказалась зависящей только от угла , образуемого направлением рассеянного пучка с направлением первичного пучка. От длины волны  и от природы рассеивающего вещества  не зависит. Данный эффект можно объяснить, рассматривая рассеяние как процесс упругого столкновения рентгеновских фотонов с практически свободными электронами вещества. При этом выполняются закон сохранения импульса (рис. 2) , (14) где – импульс фотона до столкновения, – импульс фотона после столкновения, – импульс электрона после столкновения, и закон сохранения энергии , (15) где – энергия фотона до столкновения, m0c2 – энергия покоя электрона, – энергия фотона после столкновения, mc2 – полная энергия электрона после столкновения. Совместно решая уравнения (14) и (15) получим  = c(1 – cos) , (16) где – комптоновская длина волны электрона. 2.2. Элементы квантовой механики Гипотеза де Бройля В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. По предположению де Бройля движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого , (22) а частота . (23) Данная гипотеза подтверждена экспериментально и в настоящее время считается установленным фактом. Соотношение неопределенностей Своеобразие свойств микрочастиц проявляется в том, что не для всех динамических переменных, характеризующих состояние микрочастицы, получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон (и любая другая микрочастица) не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса рx. Неопределенности значений x и рх удовлетворяют соотношению . (24) Из этого следует, что чем меньше неопределенность одной из переменных (х или Px), тем больше неопределенность другой. Соотношение, аналогичное (24) имеет место для y и рy, для z и pz, а также для ряда других пар величин, называемых канонически сопряженными. Например, энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей . (25) Это соотношение означает, что определение энергии с точностью Е должно занять интервал времени t, не меньший, чем определяемый соотношением (25). Уравнение Шредингера. Волновая функция Состояние микрочастицы в квантовой механике характеризуется так называемой волновой функцией, обозначаемой буквой  (пси). Вид этой функции получается из решения уравнения Шредингера, которое выглядит следующим образом: . (26) Здесь m - масса частицы, U – ее потенциальная энергия, i – мнимая единица,  – оператор Лапласа,  = (x,y,z,t) – функция координат и времени. . (27) Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. U не зависит явно от времени, то уравнение (26) переходит в более простое уравнение Шредингера для стационарных состояний: . (28) Здесь  = (x,y,z) – функция координат. Решения данного уравнения и рассматривает квантовая механика. Правильную интерпретацию смысла волновой функции дал М. Борн в 1926 г. Согласно Борну квадрат модуля волновой функции дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства. . (29) В соответствии с этим для волновой функции должно выполняться условие нормировки . (30) В соответствии со своим смыслом волновая функция должна быть однозначной, конечной, непрерывной и иметь непрерывную и конечную производную. Совокупность этих требований носит название стандартных условий. Уравнение Шредингера имеет решения, удовлетворяющие стандартным условиям, лишь при некоторых избранных значениях параметра Е (т.е. энергии). Эти избранные значения называются собственными значениями энергии. Решения, соответствующие собственным значениям Е, называются собственными функциями частицы. Совокупность собственных значений называется энергетическим спектром. Он может быть дискретным или сплошным. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать: E1, E2, ... En, ...; (31) 1, 2, ... n, ... . Нахождение собственных значений энергии и собственных функций частиц является основной задачей квантовой механики. Применение уравнения Шредингера а) Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х и ее движение ограничено непроницаемыми стенками в точках х = 0 и х = l. Зависимость потенциальной энергии от координат имеет в этом случае следующий вид (рис. 3): (32) Поскольку волновая функция в данном случае зависит только от координаты х, уравнение Шредингера упрощается следующим образом: . (33) Решая уравнение (6.33) с использованием стандартных условий, можно получить собственные значения энергии частицы: (34) Энергетический спектр, как следует из (34), является дискретным. При этом расстояние между соседними энергетическими уровнями не является постоянным, а увеличивается с увеличением номера энергетического уровня. Нормированные собственные функции частицы в этом случае имеют вид Графики этих функций показаны на рис. 4. На рис. 5 дана зависимость плотности вероятности обнаружения частицы от координаты x на различных расстояниях от стенок ямы, равная *. б) Прохождение частиц через потенциальный барьер Пусть частица с энергией Е, движущаяся слева направо вдоль оси х, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной l (рис. 6). Из решения уравнения Шредингера в этом случае вытекает, что, во-первых, даже при Е> U0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера. Во-вторых, при Е l. Вероятность прохождения частицы через барьер может быть названа коэффициентом прозрачности D. Расчеты показывают, что в данном случае . (36) Для потенциального барьера произвольной формы (рис. 7) формула (36) должна быть заменена более общей формулой , (37) где U = U(x). При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (рис. 7), в связи с чем это явление называют туннельным эффектом. 2.3. Боровская теория атома водорода Теория атома, предложенная Н. Бором, основана на двух постулатах. 1. Электрон в атоме может находиться только в одном из дискретных стационарных состояний, удовлетворяющих правилу квантования . При этом излучение и поглощение энергии не происходит. 2. Излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. Энергия светового кванта равна разности энергий тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона: . (17) Применение этих постулатов для расчета параметров атома водорода позволило найти: 1) радиусы стационарных орбит ; (18) 2) cкорости движения электрона на этих орбитах ; (19) 3) энергии стационарных состояний атомов ; (20) 4) длины волн спектральных линий, возникающих при переходах электрона из одного стационарного состояния (с номером n1) в другое (с номером n2): , (21) где – постоянная Ридберга. При этом возникает несколько спектральных серий (групп линий) в зависимости от номера энергетического уровня n2, на который переходит электрон: n2 = 1 – серия Лаймана, n2 = 2 – серия Бальмера, n2 = 3 – серия Пашена, n2 = 4 – серия Брэккета. 2.4. Ядерная физика Состав и характеристика атомного ядра Ядра атомов состоят из двух видов элементарных частиц – протонов и нейтронов. Эти частицы носят название нуклонов. Протон (р) – ядро атома водорода. Он обладает зарядом +e и массой mp = 1,67210-27кг (энергия покоя Е0р = 938,2 МэВ). Нейтрон (n) – не обладающая электрическим зарядом частица с массой mn = 1,67510-27кг (энергия покоя Е0п = 939,5 МэВ). Количество протонов z, входящих в состав ядра, определяет его заряд и называется зарядовым числом ядра. Число нуклонов А в ядре называется массовым числом ядра. При превращениях ядер зарядовое и массовое числа сохраняются. Для обозначения ядер применяют символ , где под X подразумевается химический символ элемента. Вверху ставится массовое число, внизу – атомный номер (зарядовое число). Масса ядра mя всегда меньше суммы масс входящих в него частиц. Это обусловлено тем, что при объединении в ядро выделяется энергия связи нуклонов друг с другом. Энергия связи Есв равна той работе, которую нужно совершить, чтобы разделить образующие ядро нуклоны и удалить их друг от друга на такие расстояния, при которых они практически не взаимодействуют друг с другом. Согласно закону взаимосвязи массы и энергии, энергия связи нуклонов в ядре равна: . (38) Радиоактивность Радиоактивностью называется самопроизвольное превращение одних атомных ядер в другие, сопровождаемое испусканием элементарных частиц. К числу радиоактивных процессов относятся: 1) -распад, 2) -распад, 3) -излучение ядер, 4) спонтанное деление тяжелых ядер, 5) протонная радиоактивность. Закон радиоактивного превращения выражается формулой N=N0e-t , (39) где N0 – количество ядер в начальный момент времени, N – количество нераспавшихся ядер в момент времени t,  – характерная для радиоактивного вещества константа, называемая постоянной распада. Время, за которое распадается половина первоначального количества ядер, называется периодом полураспада Т1/2. Из (39) следует, что T1/2 = (ln2)/ . (40) Активностью радиоактивного препарата А называется число распадов, происходящих в препарате за единицу времени: A = dNрасп/dt = N . (41) Альфа-распад Альфа лучи представляют собой поток ядер гелия . Распад протекает по схеме . (42) Из схемы распада видно, что атомный номер дочернего ядра Y на две единицы, а массовое число на четыре единицы меньше, чем у исходного (материнского) ядра Х. Бета-распад Наиболее распространенный вид -распада – электронный распад – протекает по схеме . (43) Из схемы видно, что дочернее ядро имеет атомный номер, на единицу больший, чем у материнского ядра, массовые числа обоих ядер одинаковы. Наряду с электроном испускается также антинейтрино . Ядерные реакции Ядерной реакцией называется процесс сильного взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или с другим ядром, приводящий к преобразованию ядра (или ядер). Взаимодействие реагирующих частиц возникает при их сближении до расстояний порядка 10-15м благодаря действию ядерных сил. Наиболее распространенным видом ядерной реакции является взаимодействие легкой частицы а с ядром X, в результате которого образуется легкая частица b и ядро Y: Х + а  Y + b . Уравнение таких реакций принято записывать сокращенно в виде Х(а,b)Y . (44) В качестве легких частиц а и b могут фигурировать нейтрон (n), протон (р), дейтрон (d), -частица () и -фотон (). Ядерные реакции могут сопровождаться как выделением, так и поглощением энергии. Количество выделяющейся энергии Q называется энергией реакции. Она определяется разностью масс исходных и конечных ядер (частиц): (45) где  m1 – сумма масс ядер, вступающих в реакцию,  m2 – сумма масс ядер, получившихся в результате реакции. Если сумма масс образующихся ядер превосходит сумму масс исходных ядер, реакция идет с поглощением энергии и энергия реакции будет отрицательной (Q<0).