Физика как наука. Методы физического исследования

Оглавление Введение ............................................................................................................................................................................ 2 В.1.Физика как наука. Методы физического исследования ..................................................................................... 2 В.2. Важнейшие этапы истории физики. Взаимовлияние физики и техники. Роль физики в инженерном образовании ................................................................................................................................................................... 3 1. Элементы кинематики .................................................................................................................................................. 4 1.1. Механическое движение ....................................................................................................................................... 4 1.2. Пространство и время в классической механике ................................................................................................ 4 1.3. Кинематическое описание движения ................................................................................................................... 5 1.4. Скорость и ускорение материальной точки ........................................................................................................ 6 1.5. Поступательное движение твёрдого тела ............................................................................................................ 9 1.6. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси ............................................................................................. 9 1.7. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Сложное движение .................................................... 11 2. Динамика материальной точки и системы материальных точек ............................................................................ 12 2.1. Понятие состояния в классической механике. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета ................ 12 2.2. Сила ....................................................................................................................................................................... 13 2.3. Масса. Уравнение движения ( 2-й закон Ньютона) .......................................................................................... 14 2.4. Третий закон Ньютона. Законы изменения и сохранения импульса .............................................................. 16 2.5. Центр масс и закон его движения ...................................................................................................................... 16 2.6. Движение тела переменной массы. .................................................................................................................... 17 3. Работа и механическая энергия ................................................................................................................................. 19 3.1. Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа и кинетическая энергия ......................................................................................................................................................................... 19 3.2. Поле центральных сил. Потенциальные и непотенциальные силы ................................................................ 20 3.3. Потенциальная энергия ....................................................................................................................................... 22 3.4. Закон сохранения механической энергии в консервативных и диссипативных системах ........................... 23 3.5. Абсолютно упругий и неупругий удар тел. Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии ......................................................................................................................................................................... 24 4. Элементы динамики вращательного движения ....................................................................................................... 26 4.1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки и оси ................................................. 26 4.2. Уравнения моментов. Закон сохранения момента импульса ........................................................................... 27 4.3. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси ............................ 28 4.4. Момент инерции твёрдого тела относительно оси ........................................................................................... 29 4.5. Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела ..................................................................... 30 4.6. Законы сохранения и симметрия пространства - времени ............................................................................... 31 5. Неинерциальные системы отсчета ............................................................................................................................ 32 5.1 Кинематика абсолютного, относительного и переносного движения ............................................................. 32 5.2. Силы инерции ...................................................................................................................................................... 34 5.3. Инерционная и гравитационная массы. Принцип эквивалентности ............................................................... 35 6. Элементы механики жидкостей и газов.................................................................................................................... 36 6.1. Общие свойства жидкостей и газов ................................................................................................................... 36 6.2. Кинематическое описание движения жидкости ............................................................................................... 36 6.3. Уравнение движения жидкости .......................................................................................................................... 37 6.4. Гидростатика ........................................................................................................................................................ 38 6.5. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли ............................................................ 39 6.6. Вязкая жидкость. Стационарное движение вязкой жидкости ......................................................................... 40 6.7. Турбулентное течение. Критерии гидродинамического подобия ................................................................... 42 7. Элементы релятивистской механики ........................................................................................................................ 44 7.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности ............................................................ 44 7.2. Постулаты специальной теории относительности. ........................................................................................... 44 7.3. Преобразование Лоренца. ................................................................................................................................... 45 7.4. Следствия из преобразований Лоренца ............................................................................................................. 46 7.5. Релятивистский закон сложения скоростей ...................................................................................................... 48 7.6. Элементы релятивистской динамики ................................................................................................................. 49 7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии. Закон сохранения 4-х мерного вектора энергии - импульса ............. 51 1 ВВЕДЕНИЕ В.1.Физика как наука. Методы физического исследования Комплекс наук о природе называется естествознание. Физика - это наука, изучающая наиболее простые и вместе с тем наиболее общие закономерности природы: её свойства, строение и законы движения. Физика изучает неживую природу. В настоящее время известны два вида неживой природы: вещество и поле. К первому виду (веществу) относятся атомы, молекулы и все тела, состоящие из них. Второй вид природы образуют гравитационные, электромагнитные и другие поля. Предназначение полей - передавать с конечной скоростью взаимодействие между телами. Вещество и поле могут превращаться друг в друга. Например, электрон и позитрон как представители вещества, при аннигиляции превращаются в фотоны, то есть электромагнитное поле. Возможен и обратный процесс. Природа находится в непрерывном движении, которое представляет собой её неотъемлемое свойство. Движение природы осуществляется в пространстве и времени. В зависимости от того, движение каких физических объектов изучается и какое оно по своему характеру, физику условно разделяют на механику, статистическую физику и термодинамику, электричество и магнетизм, колебания и волновые процессы, квантовую физику. Физика, как и любая наука, базируется на определённых понятиях - величинах. Физическая величина - это свойство, общее для многих физических объектов в качественном отношении, но количественно разное для разных объектов. Например, масса - мера инерции общее качество всех тел, но её количество, т. е. значение - разное у каждого тела. Для количественной оценки физической величины выбирают единицу измерения этой величины. Единица измерения - это конкретная физическая величина, числовое значение которой в данной системе единиц принято равным 1. В 1982 году в нашей стране введён государственный стандарт, по которому исключительному применению подлежит Международная система единиц СИ (система интернациональная). В качестве основных в СИ приняты 7 единиц:  единица длины - метр (м);  единица времени - секунда (с);  единица массы - килограмм (кг);  единица количества вещества - моль (моль);  единица термодинамической температуры - Кельвин (К);  единица силы электрического тока - Ампер (А);  единица силы света - кандела (кд), а также две дополнительных:  единица плоского угла - радиан (рад);  единица телесного угла - стерадиан (ср). Единицы остальных физических величин являются производными от основных и дополнительных, т. е. выражаются через них. Физика - наука экспериментальная, т. е. её законы основываются на фактах, установленных исключительно опытным путём. Они выражают объективные закономерности, существующие в природе. Эти законы обычно формулируются в виде количественных соотношений между физическими величинами, то есть в виде математических формул. Основными методами физического исследования являются: наблюдение, гипотеза, эксперимент, теория. Взаимосвязь между ними наглядно даёт рис. 1. 2 Рис. 1 Гипотеза - это научное предположение для объяснения какого-либо факта или явления и требующее проверки и доказательства. Теория - это система основных идей, обобщающих опытные данные и отражающих закономерности природы для целой группы явлений с единой точки зрения. В.2. Важнейшие этапы истории физики. Взаимовлияние физики и техники. Роль физики в инженерном образовании Физические явления издавна привлекали внимание людей. В период с 6 в. до н.э. по 2 в. н.э. впервые зародилась идея об атомном строении вещества (Демокрит), установлены простейшие законы статики - правило рычага (Аристотель), открыты законы прямолинейного распространения и отражения света (Евклид), сформулированы основы гидростатики (закон Архимеда), наблюдались простейшие явления электричества и магнетизма (Фалес Милетский). Развитие физики как науки началось в 17 в. и связано с именем Галилея, который понял необходимость математического описания движения. Основное достижение этого периода - создание Ньютоном классической механики. Параллельно шло развитие и других направлений физики. Большое значение имело открытие Гальвани и Вольтой электрического тока, а также открытие явления электромагнитной индукции Фарадеем. Важнейшее значение для всего естествознания имело открытие Майером, Гельмгольцем и Джоулем закона сохранения энергии, связывающего воедино все явления природы. В 1897 г. был открыт электрон, причём выяснилось, что он входит в состав атомов всех химических элементов. Это указало на сложное строение атомов, которые прежде считались неделимыми. Завершением развития классической физики послужило создание Эйнштейном в 1905 г. специальной теории относительности и учитывающей требования этой теории релятивистской механики. На рубеже 19 и 20 веков возникла квантовая физика. Её родоначальником был М. Планк, который в 1900 г. выдвинул идею квантов. Таким образом, начало 20 в. ознаменовалось коренной ломкой целого ряда привычных понятий и представлений. Известно, что развитие науки и техники определяется экономическими потребностями общества. Технический уровень производства во многом зависит от состояния науки. История показывает, какое большое значение имели открытия физики для создания и развития новых отраслей техники. Например, открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции послужило основой всей электротехники и электроники. Принцип детального равновесия излучения и вещества, открытый Эйнштейном, лег в основу лазерной техники. В свою очередь, техника оказывает большое влияние на прогресс физики. Например, стремление иметь более экономичные двигатели стимулировало развитие термодинамики. Желание получить практически неисчерпаемый источник энергии служит стимулом для исследований физики плазмы и управляемого термоядерного синтеза в настоящее время. Современное состояние физики и техники характеризуется сокращением времени между физическим открытием и его практическим использованием. Если раньше это время составляло десятки лет, то, например, после открытия цепной ядерной реакции в 1939 г. всего 3 через 15 лет в нашей стране была пущена первая в мире атомная промышленная электростанция. Физика принадлежит к числу фундаментальных наук, составляющих основу теоретической подготовки инженеров, без которой невозможна успешная деятельность в любой отрасли современной техники. Исходя из этого сформулируем роль курса физики во втузе следующим образом: 1) изучение физики имеет большое значение для формирования научного мировоззрения о природных явлениях и процессах; 2) физика является базовой дисциплиной для общеинженерных и специальных дисциплин; 3) инженер должен владеть физикой в такой степени, чтобы активно и со знанием дела мог применять достижения науки в своей производственной деятельности. 1. ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ 1.1. Механическое движение Движением в широком смысле слова называется всякое изменение вообще. Простейшей формой движения является механическое движение, которое заключается в изменении с течением времени положения тел или их частей относительно друг друга. В зависимости от характера изучаемых объектов механику делят на механику материальной точки, механику твердого тела и механику сплошной среды. Материальной точкой (частицей) называется тело, размерами которого можно пренебречь в данной задаче по сравнению с расстоянием до других тел. Всякое тело под действием силы деформируется, т. е. изменяет свои размеры и форму. В механике под твердым телом будем понимать такое тело, деформацией которого можно пренебречь в данной задаче. Твердое тело можно представить состоящим из системы материальных точек, жестко связанных между собой. Сплошные среды - это газы, жидкости и деформируемые твёрдые тела. Механика сплошной среды рассматривает тела, отвлекаясь от их прерывистого молекулярного строения. Деформируемые твердые тела в механике различают 2-х типов: абсолютно упругие (деформация подчиняется закону Гука) и абсолютно неупругие (после прекращения деформирующего действия полностью сохраняют деформированное состояние). Классическая механика делится на ньютоновскую и релятивистскую. В основе первой лежат законы Ньютона и она справедлива лишь для макроскопических тел при их движении со скоростями гораздо меньше скорости света в вакууме. Релятивистская механика учитывает требования специальной теории относительности Эйнштейна. Механику принято делить на кинематику, статику и динамику. Кинематика описывает движение тел без выяснения причин его вызвавших. Статика изучает условия равновесия тел. Динамика занимается движением тел в связи с его причинами (взаимодействия тел). Статика является частным случаем динамики при нулевой скорости тел, поэтому в физике отдельно не изучается. 1.2. Пространство и время в классической механике Все тела существуют и движутся в пространстве и времени. Любое тело имеет объем, то есть пространственную протяженность в трех измерениях. Время выражает порядок смены событий, происходящих с телами. 4 Так как движение тела можно рассматривать только относительно какого-то другого тела, то необходимо выбрать систему отсчета. Система отсчета - это твердое тело, относительно которого определяется положение других тел в различные моменты времени (тело отсчёта), снабженное жестко связанной с ним системой координат и часами для отсчета времени. Время в ньтоновской механике является однородным, поэтому начало его отсчета можно брать произвольно. В ньютоновской механике свойства пространства описываются геометрией Евклида, а ход времени одинаков во всех системах отсчета. В физике наиболее часто пользуется правой системой координат (рис. 1). Здесь    i , j , k - единичные по модулю и взаимно перпендикулярные векторы (орты). Они совпада- ют с взаимной ориентацией 3-х пальцев правой руки. Z z  k  iO  j x X Рис. 1  r M y Y Положение т.М в такой системе координат можно задать 2-мя способами: 1. Задать все координаты x, y, z т.М. В системе СИ размерность x, y, z   м.  2. Задать её радиус-вектор r (рис.1). В системе СИ размерность r   м  При этом радиус-вектор r и координаты т.М связаны между собой так:     r  xi  yj  zk . (1)  Так как наша система координат ортогональная, то проекции радиус-вектора r на оси координат будут: rx  r  cos  x   ry  r  cos   y  rz  r  cos  z     где  ,  ,   углы между радиус-вектором и соответствующими ортами i , j , k . 1.3. Кинематическое описание движения При движении т.М её координаты и радиус-вектор изменяются со временем. Поэтому для описания движения т.М надо указать вид функции либо всех трех её координат, либо её радиус-вектора: или x  xt    y  yt  z  z t    (2)   r  r t  . (3) В системе СИ размерность t   c . Три уравнения (2) или эквивалентное им векторное уравнение (3) называются кинематическим уравнением движения. 5 Траектория точки - это линия, описываемая точкой при движении относительно выбранной системы отсчета. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение точки. Длина пути (путь) - это расстояние, пройденное точкой за рассматриваемое время вдоль траектории в направлении движения точки. Пусть точка движется по криволинейной Z траектории АВ (рис. 2) так, что при t 1 0 она r  A 1 r1r1 O X S t   r r 2  r1 r  2 M  rr22 r  3 B находится в т.A, а при t 2  0 находится в т.М. Если за рассматриваемое время точка двигалась только в одном направлении, то путь S(t) точки за это время будет равен дуге AM, т.е. S t    AM . Если точка за время от t 1 0 до t 2  t3  0 дошла до т.В, а затем за оставшееся время вернулась в т.М, то путь точки за всё рассматриваемое время от t 1 0 до t 2 будет: Рис. 2 S (t )   AB  BM Следовательно путь S (t )   AB . Вектором перемещения точки за промежуток времени от t1 до t 2 называется прира щение радиус-вектора r за этот промежуток времени:      r  r2  r1  r (t 2 )  r (t1 ) . Вектор перемещения направлен вдоль хорды, стягивающей точки траектории, соответствующие временам t1 и t 2 . Если рассматривать достаточно малый промежуток времени dt , то можно пренебречь    отличием модуля вектора перемещения dr  r (t  dt )  r (t ) и длиной пути ds  s(t  dt )  s(t ) , т. е. можно считать, что dr  ds . Из сказанного видно, что вектор  dr будет направлен по касательной к траектории   в данной  точке в сторону ее движения т.е. dr  dr    ds   , где   - единичный вектор касательной. Вектор перемещения можно представить за конечной промежуток времени t (от t до t + t ) через векторную сумму перемещений вдоль осей координат:       r  r (t  t )  r (t )  x  i  y  j  z  k . Здесь x  x(t  t )  x(t ) ; y  y(t  t )  y(t ) ; z  z(t  t )  z(t ) . 1.4. Скорость и ускорение материальной точки Для характеристики направления и быстроты движения точки введём понятие вектора скорости. Средней скоростью точки в промежутке времени t называется вектор  r   . t  6  Средняя скорость направлена так же, как вектор перемещения r . Так как r  s, то   s , t где знак равенства соответствует прямолинейному движению в одном направлении.  Скорость точки в момент времени t есть вектор v , равный первой производной от  радиус-вектора r этой точки по времени:     dr r v  lim  lim v  , t 0 t t 0 dt причём модуль скорости v будет v В системе СИ размерность v    r   м/с. t  dr ds  . dt dt Подставляя вместо r его ортогональное разложение (1), получим:   xd  dy  dz       dr d   xi  y j  z k   i   j   k  x  i  y  j  z  k . dt dt dt dt dt    Следовательно, модуль скорости можно определить через её проекции на оси координат следующим образом: v  vx2  v y2  vz2 . При прямолинейном движении направление скорости как вектора остаётся неизменным. Движение точки называется равномерным, если модуль её скорости не изменяется со временем, т. е. v ds  const . dt При равномерном движении точки длина пройденного пути зависит от времени линейно: S  v t . В общем случае неравномерного движения пройденный путь определится как интеграл от скорости t2 S     dt . t1  Средней путевой скоростью неравномерного движения (  const ) точки называется скалярная величена vcр  S , t где S - длина пройденного пути данного участка траектории. Скорость vcр равна модулю вектора скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение того же пути S потребуется столько же времени t , как при неравномерном движении. При криволинейном движении точки r  S . Поэтому в общем случае средняя путевая скорость ср не равна модулю средней скорости  на том же участке траектории. 7 Для характеристики быстроты изменения вектора скорости при неравномерном движении точки введём понятие ускорения. Средним ускорением точки в интервале времени от t до t  t называется вектор   а , равный отношению приращения вектора скорости v за этот промежуток времени к его продолжительности t    v . a  t  Мгновенным ускорением точки называется векторная величина a равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени:    dv d 2 r . a  dt dt 2 Иначе, ускорение точки в момент времени t есть предел среднего ускорения:    v a  lim  lim a . t 0 t t 0 v  м/с. В системе СИ размерность a   t  Ускорение, как радиус-вектор и скорость, можно представить в ортогональном базисе:     a  ax  i  a y  j  az  k . Рассуждая так же, как для вектора скорости, получим проекции ускорения на оси координат: dv y d 2 y dv x d 2 x dv z d 2 z ax   2 ; ay   2 .  2 ; az  dt dt dt dt dt dt Следовательно, модуль ускорения будет равен: B M   a  ax2  a y2  az2 .  a  n  a  an Рис. 3    При криволинейном движении вектор ускорения a направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 3) и лежит в плоскости движения точки. В этой плоскости вектор ускорения принято разлагать на две   взаимно перпендикулярные составляющие a и a n :    a  a  an  Составляющая a называется касательным (тангенциальным) ускорением точки. Оно направлено по касательной к траектории и равно  dv  a    , dt а его модуль a  Здесь (рис. 3). dv . dt    - орт касательной, проведённой в данной точке по направлению вектора v 8 Касательное ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости  точки. Если a  const  0 , то движение называется равнопеременным. В этом случае модуль вектора скорости зависит от времени линейно: v  v0  a t , где v0 - модуль начальной скорости точки. Путь при таком движении определиться как интеграл a t 2 . S   v  dt  v 0 t  2 t  Составляющая a n называется нормальным (центростремительным) ускорением точки. Оно направлено перпендикулярно (по нормали) к касательной в данной точке траектории в сторону центра её кривизны (рис. 3). Вектор нормального ускорения равен:  v2  an  n , R а его модуль v2 an  . R  Здесь n - орт нормали, R - радиус кривизны траектории в данной точке. Если точка движется прямолинейно, то an  0 и ускорение точки равно её касатель-   ному ускорению: a  a . 1.5. Поступательное движение твёрдого тела Поступательным движением твёрдого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с этим телом, например, прямая AB (рис. 4), перемещается параллельно своему первоначальному положению А0 B0 . В этом случае все точки твёрдого тела перемещаются совершенно одинаково, т. A к. за одно и то же время dt радиус - векторы этих точек  изменяются на одну и ту же величину dr . Соответственно в любой момент времени скороA0 сти всех точек тела будут одинаковы и равны: В  dr  . dt  В0 Рис. 4 Следовательно будут одинаковы и ускорения   d всех точек: a  . dt Поэтому кинематика поступательного движения твёрдого тела сводится к рассмотрению движения любой из его точек. 1.6. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Движение твёрдого тела, при котором две его точки называется вращением тела вокруг неподвижной оси AB . Aи B остаются неподвижными, 9 A   R OM  M    d  r При этом все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения AB , а плоскости перпендикулярны к ней ( рис. 5). Разные точки тела, двигаясь по окружностям разных радиусов, за одно и то же время проходят  разные пути при разных радиус - векторах r (рис. 5). Поэтому для описания вращательного движения неудобно пользоваться такими понятиями кинематики точки, как перемещение, скорость, ускорение. В этом случае мерой перемещения всего тела за малый промежуток времени dt служит век тор элементарного поворота d . По модулю он равен углу d поворота тела вокруг оси за время dt и направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта ( рис. 5). В системе СИ размерность   рад . Характеристикой направления и бы- B(O)   Рис. 5  d d строты вращения тела служит угловая скорость, равная   .В , а её модуль   dt dt    рад . системе СИ размерность    с t  d Если    const  0 , то такое вращение называют равномерным. В этом dt случае угол поворота тела прямо пропорционален времени     t . В общем случае не равномерного вращения  t2    t. t1 Найдём скорость произвольной точки М тела, отстоящей от оси вращения АВ на расстояния R ( рис. 5). Примем т. В за начало оси координат (О). Тогда радиус - вектор т. М бу- дет:   r  oo м  R . За малое время dt т. М по дуге окружности радиуса R проходит путь ds Rdt ds  Rd  R    dt . Тогда     R . dt dt  Вектор скорости  ( рис. 5) перпендикулярен обоим векторам ся их векторным произведением:   R и  , зн. он являет-  dr     R. dt  С учетом коллинеарности векторов oo м и  выражение (4 ) примет вид:  dr       r  . dt   (4) (5) 10 Промежуток времени T  2  , в течение которого тело при равномерном враще- нии с угловой скоростью  совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол   2 , называется периодом вращения. Частота вращения показывает, сколько оборотов совершает в единицу времени равномерно вращающееся с угловой скоростью  тело. Т. е. частота вращения  и период T есть взаимообратные величины:   1   T 2 . При неравномерном вращении тела вектор, характеризующий быстроту изменения угловой скорости тела, называют угловым ускорением: ность       рад 2 . t  с Определим ускорение (4)   d .   dt  В системе СИ размер-    d , то в соответствии с выражением a т. М тела. Т. к. a  dt имеем:   d d    d     dR           a    R    R        R         R      R  dt dt dt   dt         R   2 R.              Очевидно, что слагаемое ускорение, равное ние, а слагаемое       a y       R 2     ay    R есть касательное ускоре- есть нормальное ускорение. 1.7. Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки. Сложное движение Движение твёрдого тела, при котором только одна его точка О остаётся всё время неподвижной, называется вращением твёрдого тела вокруг неподвижной точки. В этом случае все точки тела движутся по поверхностям концентрических сфер, ценZ тры которых находятся в т. О. Движение тела вокруг точки можно рассматривать в каждый момент времени как вращение вокруг оси, проходящей через эту неподвижную точку и называемой мгновенной осью вращения.  M В общем случае положение мгновенной оси r вращения изменяется с течением времени по Y отношению как к неподвижной системе отсчеO та, так и к системе отсчета, жестко связанной с движущимся телом. ( рис. 6). Для скорости т. М тела X Рис. 6  dr  dt  по - прежнему справедливо со11   отношение (4), где r - радиус - вектор т. М, проведённый из неподвижной т. О тела. Ускорение т. М тела будет:  Вектор   aвр  d d       a    r     r      .   dt dt    r называется вращательным ускорением точки М тела, а вектор   - осестремительным ускорением т. М.    aос      Последнее название объясняется тем, что эта составляющая ускорения перпендикулярно к мгновенной оси вращения от т. М к этой оси.  a направлена O  A O O A O Рис. 7 Рис. 8 Любое сложное движение твёрдого тела можно рассматривать как комбинацию двух: поступательного движения какой - либо произвольно выбранной точки А тела со скоростью   А и вращательного движения тела вокруг мгновенной оси, проходящей через точку А. Эту  т. А называют полюсом. Выбор полюса не влияет на значение угловой скорости  . Ско      рость произвольной точки М тела будет равна    А    r  rА , где r А и  drА  - радиус - вектор и скорость полюса точки А; r - радиус - вектор произвольной А  dt  точки М. При качении, например, однородного кругового цилиндра все его точки движутся в параллельных плоскостях. Такое движение твёрдого тела называется плоскопараллельным или плоским. В этом случае мгновенная ось вращения тела вокруг полюса А перемещается поступательно (рис. 7). Ещё один пример сложного движения твёрдого тела - это винтовое движение. Оно получается в результате одновременного вращения тела вокруг некоторой оси и поступательного его движения вдоль этой же оси (рис. 8). 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 2.1. Понятие состояния в классической механике. Закон инерции. Инерциальные системы отсчета С появлением механики Ньютона было окончательно понято, что задача науки состоит в отыскании наиболее общих количественно формулируемых законов природы. Фундаментальное значение имело введение Ньютоном понятия состояния, которое стало одним из основных для всех физических теорий. Состояние системы тел в механике 12 полностью определяется координатами и импульсами тел системы (произведение массы и вектора скорости). Если известны силы взаимодействия тел, а также значения координат и импульсов в начальный момент времени, то из уравнения движения (второй закон Ньютона) можно однозначно установить значения координат и импульсов в любой последующий момент времени. Из сказанного ясно, что причиной изменения состояния тел является их взаимодействие. Раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел, называется динамикой. В основе классической динамики лежат три закона Ньютона, сформулированные им в сочинении «Математические начала натуральной философии» в 1687 г. Эти законы явились результатом гениального обобщения опыта и теории самого Ньютона, его предшественников и современников: Кеплера, Галилея, Гюйгенса, Гука и др. В качестве 1-го закона динамики Ньютон принял закон, установленный ещё Галилеем. Для материальной точки он гласит: она сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не выведет её из этого состояния. Этот закон утверждает, что состояние покоя или равномерного прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких - либо внешних воздействий. В этом проявляется особое свойство тел, называемое инертностью. Поэтому 1-й закон Ньютона называют ещё законом инерции, а движение тела в отсутствии внешних воздействий - движением по инерции. Мы уже говорили об относительности механического движения и необходимости выбора системы отсчета. В этой связи возникает вопрос о выборе таких систем отсчета, в которых выполнялся бы закон инерции. Поэтому системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, называют инерциальными. Закон инерции позволяет указать эти системы отсчета, т. е. две системы отсчета будут инерциальными, если они относительно друг друга либо покоятся, либо движутся равномерно и прямолинейно. 2.2. Сила Силой называется векторная величина, которая является мерой механического действия на данное тело со стороны других тел. Механическое взаимодействие может осуществляться между непосредственно контактирующими телами (например, трение, давление) или между удалёнными телами ( гравитационное притяжение, электромагнитное притяжение и отталкивание). Особая форма материи, связывающая частицы вещества в единые системы и передающая с конечной скоростью действие одних частиц на другие, называется физическим полем. Каждой силе всегда соответствует некоторое тело, действующее на рассматриваемое тело с этой силой.  Сила F полностью определена, если заданы её модуль, направление в пространстве и точка её приложения к данному телу. Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Поле, действующее на материальную точку с силой если оно не изменяется с течением времени, т. е.  F, называется стационарным,  дF  0 . Для стационарности поля необдt ходимо, чтобы создающие его тела покоились относительно выбранной инерциальной системы отсчета.    Одновременное действие на материальную точку М нескольких сил F1 , F2 , F3 (рис. 1) эквивалентно действию одной силы (равнодействующей или результирующей), ко-     F  F1  F2  F3 . торая является векторной суммой этих сил: Результирующая сила представляет собой замыкающий вектор многоугольника сил (рис. 2). 13  F2  F3  F3  F1  F M  F1 M Рис. 1  F2 Рис. 2 Тело называется свободным, если на его положение и движение в пространстве не наложено никаких ограничений. Например, самолёт, летящий в воздухе, может двигаться в любую сторону, тогда как карандаш на столе может двигаться только в плоскости стола. Самолёт будет свободным телом, а карандаш - несвободным. Тела, которые препятствуют свободному движению рассматриваемого тела, называются связями. Тело можно рассматривать условно свободным, если связи заменить соответствующими силами. Эти силы называют реакциями связей, а все остальные силы, действующие на данное тело - активными силами. В задачах обычно активные силы заданы, а реакции связей приходится находить. Тела, не входящие в состав рассматриваемой механической системы, называются внешними телами, а силы, с их стороны действующие на систему - внешними силами. Внутренние силы - это силы взаимодействия тел системы. Механическая система называется замкнутой, если она не взаимодействует с внешними телами. 2.3. Масса. Уравнение движения ( 2-й закон Ньютона) В ньютоновской механике массой m материальной точки называется положительная скалярная величина, являющаяся мерой инертности этой точки. Под действием силы материальная точка изменяет свою скорость не мгновенно, а постепенно, т. е. приобретает конечное ускорение, которое тем меньше, чем больше масса материальной точки, т. е. m1 m2  a2 a1 или m1a1  m2a2 . В системе СИ размерность m   кг . В ньютоновской механике масса обладает следующими свойствами: - масса материальной точки не зависит от состояния её движения и является величиной постоянной; - масса - величина аддитивная, т. е. масса системы точек равна сумме масс всех точек этой системы; - масса замкнутой системы остаётся величиной неизменной при любых процессах в этой системе (закон сохранения массы). Плотностью тела в данной его точке М называется отношение массы dm малого элемента тела, включающего т. М, к величине dV объёма этого элемента:  dm . Размеры dV элемента dV должны быть настолько малы, чтобы плотность в его пределах была величиной неизменной, но всё же эти размеры должны быть гораздо больше межмолекулярных расстояний вещества данного тела. В системе СИ размерность    m   кг 3 . V  м 14 Тело называется однородным, если во всех его точках нородного тела при известной плотности будет равна   const . Тогда масса од- m    V . Если тело неоднородное, m   dV .  V Опыт показывает, что ускорение a , приобретаемое материальной точкой под дейст вием силы F , прямо пропорционально модулю этой силы и обратно пропорционально мас  F се точки, причем направление ускорения совпадает с линией действия силы, т. е. a  .В m системе СИ размерность F   m   a   кг м 2  Н . с       d d d Определяя ускорение как a  , получим F  ma  m  m . dt  dt dt  Векторная величина, равная произведению массы точки на её скорость, т. е. P  m   , то массу ищем как интеграл по объёму   называется импульсом P   m    кг м с материальной точки. В системе СИ размерность Тогда предыдущее уравнение примет вид   dP  d . F m  dt dt   (1) Уравнение (1) является выражением основного закона динамики материальной точки (второй закон Ньютона) и служит принципом причинности в классической механике. Этот закон позволяет при известном начальном состоянии и действующей силе определить состояние материальной точки в произвольный момент времени t  0 . Опыт показывает, что, если на материальную точку одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает точке своё ускорение, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил). Т. е. ускорение, приобретаемое материальной точкой под действием нескольких сил, будет   n F   n  1 n  F  n  i   a   a i       Fi  , где F   Fi - результирующая сила. m i 1 m i 1 i 1 i 1 m         dr Подставив в уравнение (1)   , получим dt  d 2r  m 2 F. dt  (2) Дифференциальное уравнение (2) называют уравнением движения материальной точки. В проекциях на оси координат x , y , z это уравнение примет вид 2 2 2 m d x dt 2  Fx ; m d y dt 2  Fy ; m d z dt 2  Fz . 15 2.4. Третий закон Ньютона. Законы изменения и сохранения импульса Механическое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Об этом говорит 3-й закон Ньютона две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению, причём эти силы направлены вдоль прямой линии, соединяющей эти точки, т. е.     F12   F21 . Силы F12 и F21 приложены к разным материальным точкам и могут взаимно уравновешиваться только тогда, когда эти точки принадлежат одному и тому же абсолютно твёрдому телу. 3-й закон Ньютона существенно дополняет первые два. Он позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Из него следует, что в любой системе материальных точек векторная сумма всех внутренних сил этой системы равна нулю, т. е. n n  (3)   Fik внутр .  0 , i 1k 1 где n - число материальных точек системы, причем Fii  0 , т. е. точка сама на себя не действует. Векторная сумма всех внешних сил системы материальных точек называется главным вектором внешних сил n   Fвнеш .   Fi внеш . . i 1 Из 2-го и 3-го законов Ньютона следует, что первая производная от импульса системы точек по времени равна главному вектору внешних сил     или  dp  (4)  Fвнеш . . dt Это уравнение выражает закон изменения импульса системы материальных точек.  В замкнутой механической системе Fвнеш .  0 . Тогда выражение (4) примет вид  dp 0 dt n    pi   m i  const . n   i 1 i 1 Последнее выражение представляет собой закон сохранения импульса замкнутой системы материальных точек векторная сумма импульсов материальных точек замкнутой системы есть величина постоянная и неизменная во времени. 2.5. Центр масс и закон его движения Центром масс (центром инерции) системы материальных точек называется т. С, радиус - вектор которой равен отношению суммы произведения масс всех материальных точек системы на их радиус - векторы к массе всей системе 1 n   rc   mr i , m i 1 16 где  m i и ri - масса и радиус - вектор i-й материальной точки n - число материальных n точек в системе m   mi - суммарная масса системы. i 1 * Если радиус - векторы проведены из центра масс С (обозначим их со звёздочкой ri ), n то    mr * i  0 . i 1 Таким образом, центр масс - это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек системы на их радиус - векторы, проведённые из этой точки, равна нулю. При непрерывном распределении массы в системе (например, сплошное тело) радиус - вектор центра масс системы будет  1  rc   r dm , mm  где r - радиус - вектор малого элемента системы с массой dm , а интегрирование производится по всем элементам системы, т. е. по всей его массе. При движении механической системы материальных точек скорость её центра масс равна отношению импульса этой системы к её массе   drc 1 n  dri  1 n  p c     mi    m i  , dt m i 1 dt  m i 1 m    откуда импульс системы будет  p  m c . Подставим это выражение в уравнение (4)   d mc  Fвнеш . dt   - закон движения центра масс. Т. е. центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил системы.  В замкнутой системе Fвнеш .  0 , зн. скорость центра масс такой системы не изменяется со временем. Если рассматриваемая система - абсолютно твёрдое тело, которое движется поступательно, то скорости всех его точек, в т. ч. и центра масс, одинаковы и равны скорости тела. Следовательно, основное уравнение динамики поступательного движения твёрдого тела в соответствии с выражением (4) примет вид   d m  Fвнеш . dt   или   ma  Fвнеш . . 2.6. Движение тела переменной массы. Масса тела во время его движения не всегда остаётся постоянной. Примером движения тела переменной массы может служить ракета, когда продукты сгорания запасённого в ней топлива выбрасываются через сопло двигателя и масса ракеты постепенно уменьшается.  Изменение импульса системы dp за малое время dt при её поступательном движении, когда масса тела изменяется за счёт отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частиц, будет равно 17 где m и        dp  m  dm    d  m  0 dm,   - масса и скорость тела в момент времени за малый промежуток времени частиц.  dt  0 t  dm и  d - их изменения - скорость отделяющихся или присоединяющихся  dm  d является слагаемым           dp  m   dm  md   dmd   m  0 dm  md     0 dm Выполним преобразования и учтём, что произведение второго порядка малости, т. е. или        dp  md   udm,  где u  0   - скорость отделяющихся или присоединяющихся частиц по отношению к телу переменной массы, т. е. относительная скорость этих частиц. Подставим последнее выражение в уравнение (4) В этом   dm d  - уравнение Мещерского. m  Fвнеш .  u dt dt   dm уравнении выражение Fр  u называется реактивной dt силой. Она ха- рактеризует механическое действие отделяющихся или присоединяющихся частиц на тело переменной массы (например, действие на ракету вытекающей из неё струи газов). Рассмотрим движение ракеты в отсутствии внешних сил, т. е. при гда уравнение Мещерского даст  Fвнеш .  0 . То-  d  dm , m u dt dt где  u - скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракеты относительно самой  ракеты. Если начальная скорость ракеты ноль, а траектория - прямая линия, то скорости  и  u направлены в противоположные стороны. С учётом этого получим m Если d d  u dt dt или d   u dm . m m 0 - стартовая масса ракеты m k  m0  mT - масса ракеты после оконча- ния работы двигателя mT - масса сожжённого топлива, то максимальная скорость ракеты будет mk m m dm .  m  u   u ln 0 или  m  u ln m0  mk mk m0 m Последнее выражение носит название формула Циолковского, а скорость  m называется характеристическая скорость ракеты. Реально скорость ракеты всегда меньше характеристической из-за тяготения к Земле и аэродинамического сопротивления атмосферы. 18 3. РАБОТА И МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ 3.1. Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа и кинетическая энергия В качестве единой количественной меры различных форм движения (механического, теплового, электромагнитного и др.) и соответствующих им взаимодействий в физике вводится скалярная величина - энергия. Движение есть неотъемлемое свойство природы, поэтому любое тело, система тел или поля обладают энергией. Энергия системы количественно характеризует эту систему в отношении возможных в ней превращений движения из одной его формы в другую. Эти превращения происходят из-за взаимодействия между частями системы, а также между системой и внешними телами (внешней средой). Различным формам движения соответствуют различные формы энергии механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная и др. Современная наука насчитывает 15 форм энергии. В этой теме мы остановимся подробнее на механической энергии как мере механического движения и взаимодействия. Изменение механического состояния тела, а следовательно его механической энергии, происходит при механическом действии на него со стороны других тел. Мерой такого действия служит сила. Поэтому изменение механической энергии тела происходит под действием на него сил. Для количественного описания такого процесса изменения механической энергии введём понятие работы силы.    А силы F на малом перемещении  r т. М называется  скалярное произведение векторов F и dr :     А  F  dr  F    dt  F  dr  cos  F  cos  ds  F  ds,  где ds  dr - путь т. М за малое время dt ;  - угол между векторами F и    dr ; F  F cos - проекция силы F на направление вектора dr . В декартовых коорЭлементарной работой динатах элементарная работа будет:  А  F x dx  F y dy  Fz dz . Работа А12 , совершаемая силой  F на конечном пути от S 1 до S 2 переме- F А  F  ds dr O S1 S S2 Рис. 1 элементарной работы А , щения точки приложения силы определится суммой элементарных работ на всех элементарных участках перемещения (рис. 1) 2   S2 А12   F  dr   F  dS . 1 S1 В системе СИ размерность А  F  S  H  м  Дж . Для характеристики работы силы в единицу времени введём понятие мощности. Мощностью N силы называется отношение      совершаемой силой   А  dr   N F  F  . dt dt  F за малое время dt , к этому времени Т. е. Мощность силы равна скалярному произведению век19  Fи торов силы N  Дж с скорости   точки приложения силы. В системе СИ размерность  Вт . Как работа, так и мощность зависят от выбора системы отсчета, т. к. определяются  скоростью  , а скорость будет разной в неподвижной и подвижной системах отсчета. В механике различают два вида механической энергии кинетическую (энергия движения) и потенциальную (энергия положения). Поговорим о первой из них. Итак, кинетической энергией механической системы называется энергия механического движения этой системы. Её изменение происходит под действием силы и должно равняться работе этой силы, т. е.     dWk  F  dr  F  dt . В системе СИ размерность W   A  Дж . Т. к.    F  dt  dp  md  , то   1   dWk    dp  pdp . Для нахождения самой кинетической энергии проинтегрируем m последнее выражение, полагая, что при 0  0 Wk  0 : 1 p p2 W k   pdp  m0 2m или, т. к. m 2 2 m 2 .  p  m , то Wk  2m 2 Кинетическая энергия механической системы, будучи скалярной величиной, равна обычной сумме кинетических энергий её отдельных частей. 3.2. Поле центральных сил. Потенциальные и непотенциальные силы Силы, действующие на материальную точку, называются центральными, если они зависят только от расстояния между материальной точкой и некоторой неподвижной точкой (центром силы) и направлены всюду либо от центра сил, либо к нему. Если центр сил принять за начало координат, то выражение центральной силы будет   r F  Fr ( r ) , r  где r - радиус - вектор, проведённый из центра сил в рассматриваемую точку поля Fr проекция этой силы на радиус - вектор. Примерами поля центральных сил могут служить гравитационное поле и электростатическое поле. Для них проекция силы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра силы Fr r    r2 . Проекции этих сил выражаются законом Всемирного тяготения Ньютона и законом Кулона соответственно Fr r    Gm1 m 2 r 2 - для гравитационного поля 20 Fr r   kq1q 2 r 2 - для электростатического поля, G и k - соответствующие константы. Fr r   0 для сил отталкивания. где При этом Fr r   0 для сил притяжения и Определим работу гравитационного поля, создаваемого материальной точкой с массой m1 , помещённой в т. О, при перемещении в нём материальной точки с массой m 2 из   положения с радиус - вектором r1 в положении с радиус - вектором r2 (рис. 2) r2  r2 1 1  dr (2) A   Fdr  Gm1m2  2  Gm1m2    . r r  1 2 r1 r1 r Как видно, выражение работы в 2 1 этом случае зависит только от начального и конечного положения материальной точки 2   2 ( r1 и r2 ) и не зависит от формы траекто2 рии и закона движения. Сила, работа кото1 рой определяется только начальным и ко2 1 нечным положением точки, называется потенциальной силой. Очевидно, что работа потенциальной силы по замкнутой траектории (контуру) будет равна нулю Это определяется тем, что изменение направления движения точки, напри1 мер, в т. 2 траектории (рис. 3) на проРис. 2 тивоположное вызывает изменение знака проекции силы на радиус - вектор, что вы- m r m F F r О m зовет изменение знака работы. Но, т. к. дет А12  А21 , то суммарная работа по контуру бу- А12  А21  0 . 2 r2 Итак, работа потенциальной силы по произвольному контуру равна нулю. Математически это записывается так    F  dr  0 . (2) L Если силовое поле удовлетворяет условию (2), то его называют потенциальным. Т. е. поле центральных сил, как мы убедились, является потенциальным. 1 Существуют силы, работа которых всегда равна нулю независимо от замкнутости траектории движения материальной точки. Это происходит по причине равенства нулю cos  . Т. е. эти силы перпендикуРис. 3  лярны к радиус - вектору r . Такие силы не принято называть потенциальными, хотя они формально удовлетворяют условию (2). Их называют гироскопическими. Примером таких сил служит сила Лоренца. 1 r О 21 Другим примером непотенциальных сил являются диссипативные силы, которые зависят от скорости движения материальных точек механической системы. Характерной их особенностью является отрицательная работа независимо от формы траектории и характера движения. Примером такой силы может быть сила трения, которая направлена всегда в сто рону, противоположную вектору r . Поэтому для диссипативных сил cos   1, а работа отрицательна не зависимо ни от чего. Действие диссипативных сил всегда уменьшает механическую энергию системы. 3.3. Потенциальная энергия Потенциальной энергией системы называется часть её механической энергии, которая зависит только от конфигураций системы, т. е. от взаимного расположения всех её материальных точек и от их положения во внешнем потенциальном поле. Убыль потенциальной энергии при перемещении системы из положения 1 в положение 2 измеряется работой внешних и внутренних потенциальных сил, действующих на эту систему, т. е. А12  Wп1  Wп2 . Следовательно работа потенциальных сил при малом изменении конфигурации системы будет  А  dW п  где слагаемое  Wп dt  t  Wп dt ,  t (3) показывает, как изменяется потенциальная энергия за малое вре- мя dt при неизменной конфигурации системы (т. е. для случая нестационарных внешних потенциальных сил). Из соотношения (3) видно, что, определяя работу  A , можно найти только изменение потенциальной энергии системы. Поэтому для получения однозначной зависимости потенциальной энергии от конфигурации системы необходимо выбирать в каждой конкретной задаче нулевую конфигурацию системы, т.е. как бы нуль отсчёта потенциальной энергии. Таким образом, потенциальная энергия механической системы равна работе всех потенциальных сил при переводе системы из рассматриваемого состояния в состояние нулевой конфигурации. Рассмотрим простейшую механическую систему из одной материальной точки, на которую действует одна потенциальная сила (3) будет  F . Элементарная работа этой силы с учётом     Wп  Wп  Wп   A  Fdr   dx  dy  dz  .  y  z   x  С другой стороны  A  Fx  dx  F y  dy  Fz  dz .  Wп  Wп  Wп Следовательно Fx   . ; Fy   ; Fz    x  y  z Или в векторной форме    W п   W п   Wп   F   i j k  .  x  y  z   (4) 22 Вектор в скобках называется градиент функции Wп и обозначается grad Wп . По- этому краткая запись выражения (4) примет вид  F   grad Wп . Часто вместо обозначения grad применяют оператор «набла» т. е.  F  Wп .           i j k  ,  x  y  z   точки в однородном силовом поле   Определим потенциальную энергию материальной ( F  const ). Для такого поля F  Fz  k , т. е. сила везде одинакова по модулю и направлена, например, вдоль оси Z. Такое поле будет потенциальным, т. к.    F dr   FZ dz  FZ  dz  0. r1 L Тогда потенциальная энергия материальной точки будет dWп   А   FZ dz или Z W п ( z )    FZ dz   FZ  z  W п (0). Например, потенциальная энергия материальной точки массы m в однородном поле тяжести у поверхности Земли на высоте h от её поверхности (ось Z направлена вертикально вверх) Wп   FZ  z  mgh , где Fz  mg . Определим потенциальную энергию упруго деформированного тела. При такой деформации в теле возникают упругие силы, которые при продольном растяжении или сжатии   F  kxi . определяются законом Гука Эта сила будет потенциальной, т. к.  k  xdx  0 . Тогда потенциальная энергия с учётом Wп (0)  0 (при недеформироL ванном теле, т. е. при x  0 ) будет x x2 . dWп  kxdx; Wп   kxdx  k 2 3.4. Закон сохранения механической энергии в консервативных и диссипативных системах Механическая энергия системы материальных точек равна сумме их кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия их друг с другом и с внешними телами W  W K  Wп Элементарное приращение механической энергии системы за малый промежуток времени dt будет dW   Анп   Wп dt ,  t 23 где  АНП - сумма работ всех действующих на систему внутренних и внешних непотен- циальных сил за время dt . Механическая система называется консервативной, если все действующие на неё непотенциальные силы не совершают работу, а все внешние потенциальные силы стационарны (не изменяются во времени). Следовательно для такой системы  АНП  0 и  Wп  0 Т. е. механическая энергия такой системы  t dW  0 , а W  const . Для неё справедлив закон сохранения механической энергии при движении консервативной системы её механическая энергия не изменяется. В частности, этот закон справедлив для замкнутых консервативных систем механическая энергия замкнутой системы не изменяется во времени, если все её внутренние силы потенциальны, а работа непотенциальных внутренних сил равна нулю. Закон сохранения энергии связан с однородностью времени. Это свойство времени проявляется в независимости законов движения замкнутой системы от выбора начала отсчёта времени. Например, время падения тела на Земле зависит лишь от начальной скорости и высоты, но не зависит от того, в какое конкретно время это падение начинается. Если система неконсервативная, то её механическая энергия будет изменяться за счёт работы внутренних потенциальных сил, т. е.  W   АНП Непотенциальные силы бывают 2-х сортов гироскопические - они работу не совершают, а зн. не могут изменить энергию и диссипативные, работа которых приводит к уменьшению механической энергии замкнутой системы. Этот процесс называется - диссипатия энергии, а система, механическая энергия которой непрерывно уменьшается, - диссипативной системой. 3.5. Абсолютно упругий и неупругий удар тел. Внутренняя энергия. Общефизический закон сохранения энергии Удар - это явление изменения скорости тел на конечное значение за короткий промежуток времени при их столкновении. При этом возникают кратковременные ударные силы взаимодействия между соударяющимися телами, причём эти силы во многом раз превосходят всё внешние силы. Поэтому при ударе тел их можно считать замкнутой системой и применять к ним соответствующие законы сохранения. Общая нормаль к поверхности соударяющихся тел в точке их удара называется линия удара. Удар называется прямым, если до удара скорости центров масс тел параллельны линии удара. Удар называется центральным, если центры масс тел лежат на линии удара. Различают два предельных вида удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие виды энергии. При таком ударе кинеm2 m1 тическая энергия тел переходит полностью или частично 2 1 X в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются полностью к первоначальной форме, до уда ра отталкиваясь друг от друга. В итоге потенциальная энерm2 m1 гия упругой деформации снова переходит в кинетичеu2 u1 скую, и тела разлетаются со скоростями , определяемыми X законами сохранения импульса и механической энергии. после уда ра Рассмотрим подробнее прямой центральный абсоРис. 4 лютно упругий удар двух шаров с массами m 1 и m 2 и 24 скоростями до удара 1 и  2 (рис. 4). Пусть при ударе 1-й шар догоняет 2-й, а после удара шары продолжают движение в прежних направлениях со скоростями u1 и u2 . В проекции на выбранную ось по закону сохранения импульса до и после удара получим m11  m22  m1u  m2u2 . При упругом ударе сохраняется и механическая энергия, т. е. m112 m222 m1u12 m2 u22 .    2 2 2 2 Преобразуем эти выражения следующим образом m1 (1  u1 )  m 2 ( u2   2 ); m1 (12  u12 )  m 2 ( u22   22 ). Разделив нижнее уравнение на верхнее, получим 1  u1  u2  2 . Образуем из наших уравнений такую систему 1  u1  u2   2 ;  m1 (1  u1 )  m 2 ( u2   2 ). Её решение даёт скорости шаров после удара u1  m1  m2 1  2m22 ; u2  m2  m1 2  2m11 . m1  m2 m1  m2 Если масса шаров одинакова m1  m 2  , то из выражений (5) получим u1  1  22 ; u2  2 . (5) Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает, а начальная кинетическая энергия полностью или частично m2 m1 2 1 превращается во внутреннюю энергию. При X этом столкнувшиеся тела продолжают движение как одно целое. Так как в этой замкнутой до уда ра системе механическая энергия не сохраняется, поэтому мы имеем право воспользоваться m1  m2 только законом сохранения импульса. X Вернёмся к нашим шарам и рассмотпосле уда ра рим их прямой центральный абсолютно неупругий удар (рис.5). По закону сохранения импульса до и после удара в проекции на ось X Рис. 5 имеем m11  m22  (m1  m2 )u , откуда скорость шаров после удара будет u u m11  m22 . m1  m2 Определим для этого случая потерю механической энергии системы. Она будет равна разности кинетических энергий до и после удара 25 Если m112 m 2 22 ( m1  m 2 )u 2 W    . 2 2 2 m2  m1 , а 2  0 то практически вся кинетическая энергия системы пре- вратится во внутреннюю, т. к. окажется W  m 1 12 2 . Увеличение внутренней энергии тел системы происходит тогда, когда часть, например, кинетической энергии тела как единого целого переходит в энергию относительного движения его атомов или молекул. Эта энергия уже не проявляется в тех масштабах, которые можно зарегистрировать путём наблюдения за движением тела в целом. Результатом такого преобразования энергии механической во внутреннюю энергию является не изменение движения тела в целом, а изменение его температуры. Однако преобразование механической энергии во внутреннюю происходит в полном соответствии с законом сохранения полной энергии системы, который является общефизическим законом природы. Согласно этому закону энергия может переходить из одной формы в другую и перераспределяться между телами системы, однако её общее количество в замкнутой системе остаётся неизменным. Изменение энергии незамкнутой системы при взаимодействии её с внешней средой должно быть численно равно и противоположно по знаку изменению энергии внешней среды. 4. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.1. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки и оси  М  В   F  90  r О Для характеристики внешнего механического воздействия на тело при его вращательном движении введём понятие момент силы.  Момент силы F , действующей на материальную точку А (рис. 1), относительно не-  М , оп- подвижной т. О (полюс) есть вектор ределяемый векторным произведением век- А торов  r и  F (рис. 1), т. е.      M  r F .   M  F  r  sin , где  - угол между векторами r и F  Рис. 1 Модуль этого вектора r  sin   - плечо силы, т. е. длина перпендикуляра ОВ, опущенного из т. О на линию действия силы (рис. 1). Если на материальную точку действуют n сил, то их результирующий момент относительно т. О будет n n      M   M i   ri  Fi . i 1 i 1 Момент импульса материальной точки относительно неподвижной т. О есть вектор   определяемый векторным произведением векторов r и p , т. е.  L, 26        L  r  p  r  m . Если механическая система состоит из n материальных точек (твёрдое тело, например), суммарный момент импульса системы будет n    n  (1) L   Li   ri  pi . i 1 i 1 Если в качестве т. О взять т. С (центр масс), то момент сил относительно этих точек связаны между собой так         M  M c  rc  F ,   где rc - радиус - вектор, проведённый из т. О в т. С, F - главный вектор сил системы. Аналогичным соотношением связаны и моменты импульса системы     L  Lc  rc  p. Момент силы M z (или момент импульса Lz ) относительно неподвижной оси ОZ есть   проекция на эту ось вектора M (или вектора L ) относительно любой точки этой оси (например, т. О). 4.2. Уравнения моментов. Закон сохранения момента импульса Продифференцируем выражение (1) по времени  n d   dL d n      dri   n   dpi    ri  pi    ri  pi      p   ri  . dt dt i 1 dt   i 1 i 1 dt i 1 dt       dri   Здесь , т. к. векторы и p коллинеарны.  p    p   i i  dt    n  n  dL n   Тогда   ri  Fi   M внеш.   M внутр . dt i 1 i 1 i 1 Разберёмся с суммой моментов внутренних сил. По 3-му закону Ньютона для каждой пары   материальных точек системы Fik   Fki .     mi  Fik  r  ri О n  rk Рис. 2 момент будет Тогда их суммарный    M ik  rk  ri   Fik . Но век    торы r  rk  ri и Fik коллине-   Fki mk  арны (рис. 2), поэтому их векторное произведение даст ноль. Следовательно   M внутр .  0 . В результате получим  dL n  dt    M внеш .  M внеш . , i 1 27 (5) Последнее выражение представляет закон изменения момента импульса системы относи-  L тельно неподвижной точки производная по времени от вектора относительно т. О есть суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему относительно той же точки. Если в качестве т. О взять т. С (центр масс), то выражение (2) примет вид   dLc  M c внеш . . dt Для замкнутой системы момент внешних сил равен нулю по причине равенства нулю векторной суммы этих сил. Поэтому, в соответствии с выражением (2) получим  dL  0, dt  dLz  0, откуда Lz  const . L  const ; dt Если в качестве неподвижной т. О взять т. С (центр масс), то  Lc  const ; Lcz  const ,  где Lcz - проекция вектора Lc на ось, проходящую через т. С. Сделанные выше выводы откуда Z О ( с) Y Рис. 3  X носят название закон сохранения момента импульса момент импульса замкнутой системы относительно неподвижной точки или неподвижной оси есть величина постоянная и неизменная во времени. В справедливости этого закона можно убедится на примере уравновешенного гироскопа с 3-мя степенями свободы вращательного движения. Такой гироскоп - это симметричное однородное тело, быстро вращающееся относительно оси, проходящей через центр его масс (рис. 3). Три степени свободы ему обеспечивает специальный подвес. Если центр подвеса (т. О) совпадает с центром масс гироскопа (т. С), то результирующий момент силы тяжести всех его материальных точек (частей) относительно т. О будет ноль. При любых поворотах подвеса ось гироскопа ОX не изменяет своего положения в пространстве. Причина этого в том, что при вращении гироскопа вокруг своей оси симметрии, его момент импульса  L направлен вдоль оси ОX. Но  M внеш .  0 (без учёта малых сил трения в осях), по- этому L  const , а зн. направление оси ОX должно не изменяться. Гироскоп нашёл применение в гирокомпасах, в устройствах стабилизации кораблей и др. областях. 4.3. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси Возьмем произвольное твёрдого тела (система материальных точек) и направим оси де-  картовых координат так, чтобы ось OZ совпала с осью вращения тела, а её орт k был сона правлен с вектором угловой скорости  (рис. 4). Проецируя выражение (2) на ось OZ, получим 28 dLz  M z внеш . , dt (3) Это уравнение выражает закон изменения момента импульса относительно оси OZ для нашего тела и является уравнением динамики вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.  Момент импульса L тела относительно т. О будет  Т. к.  i        L   ri  pi    ri  mi .         ri , то Lz   m i Ri2  z . Величина  m i Ri2  J z , равная сумме произведений масс m всех материальных тоi чек механической системы на квадраты из расстояний Ri до оси вращения, называется момент инерции системы материальных точек относительно этой оси. Тогда момент импульса нашего тела как системы материальных точек относительно оси ОZ будет Lz  J z   z . Z Подставим это выражение в уравнение (3) Оi    k  Ri Если mi тело d J z z   M z внеш . dt при вращении не деформируется, то J z  const , тогда, вынося J z из под знака производной, получим Jz О или d z  M z внеш . dt J z   z  M z внеш. , где  z - проекция вектора углового ускорения на ось OZ . Последнее выражение - это частный случай уравнения (3) при J  const . Рис. 4 (4) 4.4. Момент инерции твёрдого тела относительно оси J z . Из выражения (4) видно, что угловое ускорение  z обратно пропорционально моменту инерции J z , зн. момент инерции тела отПоговорим подробнее о моменте инерции тела носительно оси является мерой его инертности при вращательном движении вокруг этой оси. Ранее мы ввели понятие момента инерции тела как системы материальных точек. Однако масса реального тела распределена по его объёму более или менее равномерно. Поэтому момент инерции твёрдого тела в общем случае определим интегралом J z   R 2dm m где  dm dV - плотность тела dm - масса малого элемента тела с объёмом dV , отстоя- щего от оси вращения на расстоянии R. Момент инерции тела зависит от его вещества, формы, размеров и от расположения тела относительно оси вращения. 29 Определение момента инерции тела относительно произвольной оси OZ облегчается использованием теоремы Штейнера, математическое выражение которой имеет вид J z  J c  m  d , где J c - момент инерции относительно оси ОС, проходящей через центр масс (т. С) тела, m - масса тела, d - расстояние между параллельными осями OZ и OC. Момент инерции однородных тел геометрически правильной формы определяется аналитически выражением (5), а для тел произвольной формы и неоднородных - экспериментально. Рассмотрим примеры определения момента инерции. 1. Момент инерции однородного тонкостенного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его геометрической оси. Здесь ось вращения проходит через центр масс и все элементы dm цилиндра находятся на одинаковом расстоянии R от этой оси. Следовательно J c   R 2dm R 2  dm  mR 2 . m m 2. Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра массы m и радиуса R относительно его геометрической оси. Разобьём наш цилиндр на большое число соосных тонкостенных цилиндров так, чтобы толщина dr их стенок была r C h бы гораздо меньше радиуса любого из них (рис. 5). Возьмем R какой - либо из этих цилиндров с радиусом r . Его момент инерции относительно оси ОС будет dJ c  r 2 dm  r 2   2 rh  dr  2 h  r 3 dr . O   Момент инерции всего сплошного цилиндра найдём как интеграл по r в пределах от О до R: Рис. 5   R4  R 2  h    R 2 mR 2 J c   dJ c  2 h  r dr  2 h   . 4 2 2 r O R 3 4.5. Кинетическая энергия вращательного движения твёрдого тела При вращении тела вокруг неподвижной оси, момент относительно этой оси создаёт толь- F y , касательная к траектории точки её приложения. Поэтому эле ментарная работа силы F будет  A  F y  dr .   Т. к. векторы d и R взаимно ортогональны, то dr  R  d . Тогда    A  F  R d  M z  d  M  d . ко составляющая силы Найдём выражение кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ. Кинетическая энергия малого элемента dm этого тела, отстоящего от оси вращения на расстоянии R, равна 30 dm  R 2 .  2 Тогда кинетическая энергия всего тела при   const будет J z 2 2 2 W k   dW k  ,  R  dm  2 m 2 m где J - момент инерции всего тела относительно оси вращения OZ . dm   dW k  2 При Wk  произвольном движении m  c2 J c   2 ,  2 твёрдого 2 тела его кинетическая энергия будет 2 где m - масса тела, c - скорость поступательного движения его центра масс. 4.6. Законы сохранения и симметрия пространства - времени В рассуждениях по поводу законов сохранения импульса и момента импульса мы основывались на 2-м и 3-м законах Ньютона если сумма внешних сил или их моментов равна нулю, то по 3-му закону Ньютона сумма внутренних сил или их моментов тоже равна нулю, а тогда по второму закону Ньютона  dp 0 dt и  p  const или  dL 0 dt и  L  const . К таким же выводам можно прийти исходя из симметрии пространства и времени, т. е. их однородности и изотропности. Однородность пространства появляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала координат инерциальной системы отсчёта, т. е. от её перемеще ния в пространстве. А раз не зависит, то при малом перемещении dr системы отсчёта работа всех сил системы обязана быть равной нулю, т. е. n  n    A     Fik dr   0 . i 1 k 1  Т. к. dr  0 , то следовательно обязана быть равной нулю сумма всех внутренних сил, а зн. импульс такой системы должен быть неизменным во времени. Изотропность пространства проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от поворота её в пространстве, т. е. не зависят от направления осей координат (их  поворота) в пространстве. А раз не зависят, то при малом повороте d системы отсчёта работа всех сил системы обязана быть равна нулю, т. е. n  n    A     M ik d   0 . i 1 k 1  Т. к. d  0 , то следовательно обязана быть равна нулю сумма моментов относительно начала координат всех внутренних сил системы, а зн. момент импульса такой системы должен быть неизменным во времени. Время как физическая категория является однородной величиной, т. е. законы движения не зависят от выбора начала отсчёта времени. Если конфигурация системы неизменна во 31 времени, то  Wп  0 . Поэтому, если в системе отсутствуют непотенциальные силы или t они не совершают работу, то механическая энергия такой системы не изменяется во времени - закон сохранения механической энергии. 5. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 5.1 Кинематика абсолютного, относительного и переносного движения Различают инерциальные и неинерциальные системы отсчёта (СО). Инерциальные СО либо покоятся, либо движутся прямолинейно и равномерно. Неинерциальные СО движутся с ускорением. Абсолютным движением материальной точки называется её движение по отношению к неподвижной СО. Такую СО назовем абсолютной. Относительным движением материальной точки называется движение по отношению к любой подвижной СО. Такую СО назовём относительной. Переносным движением материальной точки называется абсолютное движение той точки относительной СО, через которую проходит материальная точка в данный момент времени. Рассмотрим движение т. М в абсолютной ( O, X , Y , Z ) и отноX сительной ( O, X , Y , Z  ) СО, M которая в общем случае движет  r ся поступательно относительно X   первой СО со скоростью r Y   r0 О Z О  Z Y Рис. 1 o  const и вращается относительно т. О  с угловой ско ростью   const (рис. 1). Радиус - векторы т. М в названных СО связаны между собой так    r  r0  r  , (1)            где r   распишем через орты r  x  i  y  j  z  k  ,  r0  радиус - вектор, соединяющий т. т. О и O  . Следовательно абсолютная скорость т. М, т. е. её скорость относительно абсолютной СО будет  абс    dr dr0 dr  .    dt dt dt Разберёмся с каждым слагаемым выражения (2) отдельно. Первое из них (2)  dr0   0 dt есть скорость поступательного движения относительной СО. Второе слагаемое даст 32        dr   dx  dy  dz    di  dj dk    i j  k    x  y  z  . dt  dt dt dt   dt dt dt  Часть  выражения (3) есть относительная скорость сительной СО. отн (3) т. М, т. е. её скорость в отно-    Выясним физический смысл части II выражения (3). Т. к. изменение ортов i , j , k  во времени может происходить только за счёт вращения относительно СО, то часть  выраже  ния (3) есть   r  - линейная скорость вращения той точки относительной СО, через которую в данный момент проходит т. М. Сумму линейных скоростей       0    r   пер (4) называют переносной скоростью т. М. Следовательно абсолютную скорость можно выразить следующим образом    абс  отн  пер . (5) Последнее выражение называют законом сложения скоростей. Аналогичным образом разберёмся с ускорением т. М относительно наших СО.В соответствии с выражением (5), абсолютное ускорение т. М, т. е. её ускорение в абсолютной СО будет  d  аабс  отн  dt  dпер dt . (6) Слагаемое в соответствии с частью  выражения (3) даст     2  2 2     dотн  d x d y d z   di  dx    i j k     2 2  2  dt dt dt  dt dt dt     dj  dy dk  dz  .     dt dt dt dt    (7)  Часть  выражения (7) есть относительное ускорение аотн т. М. Часть  выражения (7) по   изложенным ранее соображениям есть произведение   отн .   Второе слагаемое выражения (6) в соответствии с выражением (4) даст  dпер Первое слагаемое  d0 d       r . dt dt (8) dt  d 0   a 0 есть ускорение поступательного движения т. О . Второе dt слагаемое выражения (8) в соответствии с частью  выражения (3) даст          2 2 2     di  dx dj  dy dk  dz     d   d i d j d k   r    2 x  2 y  2 z         . dt dt dt  dt dt  dt   dt dt dt dt Часть  выражения (9) представляет собой линейное ускорение вращения той точки относительной СО, через которую в данный момент проходит т. М. Это ускорение принято разла- 33 (9) гать на две взаимно ортогональные составляющие вращательное   r и осестремитель-    r ускорения.        Суму ускорений a0    r      r   aпер называют переносным ускорением т. ное М. Часть  выражение (9) полностью совпадает с частью II выражения (7), т. е. будет равна   отн   Таким образом, абсолютное ускорение т. М можно записать так     аобс  аотн  апер  ак ,     где ак  2   отн - поворотное (кориолисово) ускорение.  Заметим, что кориолисово ускорение со скоростью    и отн отн (10) ак возникает только для тех тел, которые движутся относительно вращающихся систем отсчёта, причём так, что векторы не направлены вдоль одной прямой. 5.2. Силы инерции В неинерциальных СО законы Ньютона не выполняются , т. к. в них материальная точка может изменить своё состояние без всякого воздействия на неё со стороны других тел ( пассажиры в тормозящем автобусе). Выведем уравнение динамики относительного движения материальной точки в неинерциальной СО. Выразим из уравнения (10) относительное ускорение     аотн  аабс  апер  ак . Умножим полученное выражение на массу материальной точки     maотн  maабс  maпер  maк   В абсолютной СО справедлив 2-й закон Ньютона maабс  F . Подставим это в предыду      щее выражение maотн  F  I пер  I к . Векторные величины I пер   maпер и   I к  maк имеют размерность силы и называются переносная и кориолисова силы инерции соответственно. Распишем подробнее переносную силу инерции Последнее слагаемое   d     I пер   m 0  m  r   m    r . dt     I цб  m    r  называют центробежной силой инерции. Пе- реносная сила инерция совпадает с центробежной, если относительная СО имеет поступательное и вращательное движения с постоянными скоростями, т. е.   0  const и   const . Центробежную силу инерции широко используют в технике, в быту, во мно- гих случаях она играет определяющую роль.     I к  2m   отн  Кориолисова сила инерции действует на материальную точку при её движении относительно вращающейся неинерциальной СО, например, в условиях Земли с учётом её суточного вращения. Следствие её действия изменение плоскости колебаний маятника, подмыв правых берегов рек северного полушария, текущих вдоль меридиана. 34 В неинерциальных СО не может быть замкнутых механических систем, т. к. для них силы инерции будут всегда внешними. Поэтому в неинерциальных СО не будут сохранятся импульс, момент импульса и механическая энергия любой системы. 5.3. Инерционная и гравитационная массы. Принцип эквивалентности Массу тела как физическую величину можно определить 2-мя принципиально разными способами - из уравнения движения тела mИ  F a - инерционная масса, т. к. она определяет свойст- во инерции тела (чем больше масса, тем меньше ускорение приобретает тело) - из закона Всемирного тяготения (уравнение взаимодействия) mГ  витационная масса. Вблизи поверхности земли для двух тел имеем F  GM   2  R  - гра-  GM   GM  m И 1  a1  m Г 1  2 З  ; m И 2  a2  m Г 2  2 З  .  R   R   З   З  Разделив первое уравнение на второе, получим m И 1  a1 m Г 1  m И 2  a2 m Г 2 или m И 1 m И 2 a2   . m Г 1 m Г 2 a1 Опыт показывает, что вблизи поверхности Земли все тела одинаковой формы и размеров падают с одинаковым ускорением, так что a1  a 2  a . Тогда mИ1 mИ 2  . Т. к. для mГ 1 mГ 2 разных тел это отношение одинаково, то мы всегда можем взять его равным единице за счёт подбора коэффициента G. Справедливость полученных выводов была подтверждена экспериментально, вначале Ньютоном , а позднее - в 25-летнем эксперименте Этвёша. В настоящее время отношение mИ  1 доказано с точностью до 10 12 . mГ Этот фундаментальный закон природы называется принципом эквивалентности инерционной и гравитационной масс тела. Действительно, в неинерциальных системах отсчёта инерционная масса выступает коэффициентом пропорциональности между силой инерции и ускорением такой СО. Причём, разные тела в этих СО получают одинаковые ускорения точно также, как падающие на Землю по закону Всемирного тяготения. В этом смысле движение тела под действием силы инерции неотличимо от движения тела под действием тяготения. Видимо, инерционная и гравитационная массы тела выступают как две неразличимые стороны одного и того же свойства тела, а инерция и гравитация - двоякое проявление одного и того же свойства материи. 35 6. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 6.1. Общие свойства жидкостей и газов В механике жидкостей и газов отвлекаются от их молекулярного строения и рассматривают как сплошную среду, непрерывно распределённую в пространстве. Этот раздел механики изучает законы равновесия и движения жидкостей и газов, а также взаимодействие с омываемыми ими твёрдыми телами. Отличительной особенностью жидкостей и газов от твёрдых тел является их текучесть, т. е. малая сопротивляемость деформации сдвига. Различие между жидкостями и газами заключается лишь в зависимости плотности от давления, т. е. в практической несжимаемости жидкости и сильной сжимаемости газов. В механике для капельных жидкостей и газов обычно используют термин «жидкость» (несжимаемая или сжимаемая). Несжимаемая жидкость - это капельная жидкость или газ, изменением плотности от давления которых можно пренебречь в данной задаче. Сжимаемая жидкость - это газ, для которого такой зависимостью пренебречь нельзя. Идеальная жидкость - это жидкость, в которой отсутствует внутреннее трение. Вязкая жидкость - это жидкость, в которой этим нельзя пренебречь. 6.2. Кинематическое описание движения жидкости Частица сплошной среды - это малый элемент её объёма, размеры которого гораздо больше молекулярных расстояний. Такие частицы жидкости ввиду их малости можно считать материальными точками. В кинематике жидкостей для описания их движения используют два подхода метод Лагранжа и метод Эйлера. В методе Лагранжа движение жидкости задаётся указанием во времени координат всех её частиц. Скорости и ускорения частиц находят как производные от этих координат. Основным методом является метод Эйлера, который предполагает задание скоростей час-       тиц жидкости в пространстве и времени, т. е.    ( r , t ), где r  x  i  y  j  z  k радиус вектор, определяющий положение частицы в пространстве относительно выбранной системы координат. Переменные x, y, z и t называют переменными Эйлера. Заданное таким образом распределение скоростей в пространстве и времени называется поле скоростей жидкости. Соответственно ускорение частиц будет I   x  x        y   z      x a   x i  j k     x y  z  i  dt dt   dx dy dz   dt  II   y  y     z   y  z  z     j    x    x y  z y  z  k  dx dy dz dx dy dz      Первое слагаемое - это локальное ускорение, обусловленное изменением поля скоростей во времени. Второе слагаемое - это конвективное ускорение, обусловленное неоднородностью поля скоростей в пространстве. Движение жидкости называется стационарным (установившемся), если поле скоростей неизменно во времени. В противном случае имеем неустановившееся движение. Линией тока называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с вектором скорости жидкости в данной точке (рис. 1). Если движение стационарное, то линии тока совпадают с траекторией частиц жидкости. Уравнение линий тока имеет вид 36 dx dy dz   .  x  x, y, z, t   y  x, y, z, t   z  x, y, z, t  Трубка тока - это поверхность, образованная всеми линиями тока, образующими замкнутый контур. Часть жидкости, ограниченная трубкой тока, называется струйка. При стационарном движении трубки тока неизменны во времени, а частицы жидкости остаются в пределах одной и той же струйки. 6.3. Уравнение движения жидкости Различаются два типа сил, действующих на элемент объёма жидкости массовые и поверхностные. Массовые силы - это такие, действие которых не зависит от присутствия других частей жидкости, кроме рассматриваемого элемента. Их модуль пропорционален массе этого элемента жидкости. Например, сила тяжести. Массовая сила определяется как F      dV , где dV - объём рассматриваемого   F - напряжённость m поля массовых сил. Например, для силы тяжести   g - ус-  элемента, Рис. 1  - плотность жидкости,  корение свободного падения. Массовые силы называют потенциальными, если их напряжённость можно представить в форме             i j k  ,  x  y  z   где  - потенциал массовой силы. Поверхностными силами называют приложенные к элементу жидкости со стороны прилегающих к нему других элементов. Поверхностная сила, отнесённая к единице поверхности элемента жидкости, называется напряжением. В состоянии равновесия жидкости касательные напряжения будут равны нулю, а поверхностные силы будут представлять лишь силы давления жидкости. Возьмём трубку тока стационарного течения жидкости (рис. 2). По закону сохранения массы , через любое сечение трубки в x2 единицу времени t пройдёт одна и та же масса жидкости, т. е. 2 1 x1 S1 S2 m 1 m 2  . Заменив массу через t t плотность и объём, получим  V1 t Рис. 2   V 2 t V  S  x , Таким образом, для любой пары сечения трубки имеем S11  S 22 или S    const . В более общем виде полученное соотношение можно записать так или с учётом S1 x1 S 2 x 2  . t t (1) 37    x   y  z dS      dt  x  y  z     0.   (2) Выражения (1) и (2) представляют собой уравнения неразрывности жидкости. Уравнение движения жидкости с учётом массовых и поверхностных сил примет вид  d  grad p    Уравнение Эйлера dt S   p    p     p    j   p - давление жидкости grad p   i   k .  x  y  z где (3) Основной задачей механики жидкостей является отыскание полей скорости, давления и плотности жидкости, движущейся под действием внешних сил, т. е. нахождение следующих 5-ти функций координат и времени  x  f1 x , y , z , t ;  y  f 2 x , y , z , t ;  z  f 3 x , y , z , t ; p  f 4 x , y , z , t ;        f 5  x, y, z , t .    Для решения этой задачи используют уравнения неразрывности и движения, а также начальные условия, т. е. значение этих 5-ти функции в момент времени t  0 . 6.4. Гидростатика Гидростатика изучает условия равновесия жидкости и тел, находящихся в ней. Уравнение равновесия жидкости получим из уравнения Эйлера (3) при условии   1    0 : grad p . Если жидкость находится в однородном поле силы тяжести (    g ) и ось z направлена вертикально вверх, то уравнение равновесия примет вид dp    gdz h или p  p  p0     gdz   gh , где p0 - давление жидкости на её поверхности при Z=0, h  глубина. FA VB mg Рис. 3 Отсюда видно, что разность давлений не зависит от p0 , а зависит только от глубины h жидкости и на данной глубине во всех направлениях одинаково (закон Паскаля). Вторым законом гидростатики является закон Архимеда на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и при- 38 FА   жVв g (рис. 3). Если mg  F А  0 - условие плавания. ложена в центре масс объёма погружённой части тела, т. е. тело в жидкости находится в равновесии, то 6.5. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли Рассмотрим стационарное течение несжимаемой идеальной жидкости под действием разности сил давления F1  p1  S1 и F2  p2  S 2 самой жидкости (рис. 4). Работа, совершаемая этими силами, будет равна изменению полной энергии жидкости, т. е. A  W . Работа сил давления будет A   p2 S2x2  p1 S1 x1  p1  p2 V . Изменение полной энергии между сечениями 1 и 2 2  2  m  m  2 1    mgh1   W   mgh2       2     2  Следовательно  p2   gh2  2 2 2 или  p1   gh1   x2 p   gh   F2 x1 S1 2, положив  gh1   gh2  1  2   22 2 и  2 2  const . (4) p1  давление  gh - гидравлическим. Рассмотрим истечение идеальной несжимаемой жидкости из небольшого отверстия в широком открытом сосуде ( рис. 5). Применим уравнение Бернулли для сечений p2  pa - равно атмосферному. Тогда h1 Рис. 3 и 2 h2 WП 0 1 2 2 Уравнение (4) называется уравнением Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости. В этом уравнении давление P называется стати  22 ческим, давление - динамическим, S2 F1  2 , откуда 2  2 gh (5) где h  h1  h2 - высота открытой поверхности жидкости над отверстием. Выражение (5) называется формулой Торричелли. 39 При истечении жидкости из отверстия сосуд будет испытывать по 3-му закону Ньютона действие силы F , модуль которой S1 h1 F h S2 dp d m     S 2 dt dt 2 2, а направление противоположно вектору скорости вытекающей жидкости. С учётом выражения (5) получим F  2  ghS 2 , где  gh - гидравлическое давление на глубине h, а  gh S2 - сила этого давления. От- h2 сюда видно, что сила реакции вытекающей струи превосходит силу гидравлического давления в два раза. На вытекании струи газа основного действие реактивных двигателей. WП  0 Рис. 5 6.6. Вязкая жидкость. Стационарное движение вязкой жидкости Всем реальным жидкостям и газам присуще внутреннее трение (вязкость). Рассмотрим механизм её возникновения. Возьмём круглую трубу с медленно текущей в ней жидкостью (рис. 6). Опыт показывает, что скорость частиц жидкости изменяется от нуля вблизи трубы до максимума на её оси. Жидкость при этом оказывается как бы разделённой на тонкие цилиндрические слои, которые скользят относительно друг друга не перемешиваясь. Такое течение называется ламинарными (Lamina (лат.) пластинка, полоска). Опыт показывает, что для стационарного течения жидкости по трубе необходимо наличие постоянной разности давление на её концах. В этом случае действие разности сил давлений компенсируется силами внутреннего трения на границе жидкости со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой медленный, действуя на него с силой F1 , направленной по течению (рис. 7). Но более медленный слой стремится замедлить более быстрый слой, действуя на него с противоположной по на- Z S O Рис. 6 правлению силой F2 . Модуль этой силы трения определяется законом Ньютона F  d S, dz 40 где S - площадь соприкосновения двух слоёв,  - коэффициент пропорциональности, называемый динамической вязкостью жидкости. Различают ещё кинематическую вязкость Z Медл. слой Быстр. слой т. е. a  Течение F1  . В системе СИ    Па  с ;  м2    . с Как отмечалось, при ламинарном течении скорость частиц жидкости изменяются от нуля до максимума. Найдём закон изменения скорости 2 вдоль радиуса трубы. Выделим в трубе трубку Рис. 7 тока в виде цилиндра радиуса r и длиной x (рис. 8). При ламинарном течении   const ,  0 , следовательно по 2-му закону Ньютона получим F F  FTp  0 F   p1  p2  r 2 - результирующая сил давления слева и справа, d FТp    2 rx - сила внутреннего трения нашей трубки (знак «-», т. к.  dr d 2 вает от центра к трубе). Следовательно  p1  p2  r   2 rx  0 dr где Разделив переменные, получим d   убы- p1  p2 rdr . 2  x Проинтегрируем это уравнение p1  p2 r 2    C. 2 x 2 p1 r FТ р  x p2 R x Константу интегрирования определим из начального условия  R  0 , т. е.   p1  p2 2 R . Тогда будем иметь 4x p  p2 2  1 R  r2 . 4x Скорость на оси трубы при r  0 будет C  Рис. 8 0   0   p1  p2 2 R 4x  (6) С учётом этого запишем 41   r 2    0 1       R   (7) Т. е. при ламинарном течении скорость изменяется по параболе (рис. 9). Определим объём жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени (поток жидкости V ).Выделим в поперечном сечении трубы кольцо радиуса r и шириной dr ( рис. 10). Поток S  x  S   или с учётом выражения (7) t   r 2  dV  0 1      2 rdr   R   dV сквозь кольцо будет dV   Рис. 9 Проинтегрируем это выражение по радиусу r в пределах от 0 до R   r 2  1 1 V   0 1     2 rdr   R 20  S  0 . 2 2   R   R Подставив сюда выражение (6), получим V   p1  p2  8x R4  формула Пуазейля. 6.7. Турбулентное течение. Критерии гидродинамического подобия Ламинарное течение жидкости является стационарным. При увеличении скорости течения наступает момент, когда характер течения резко изменяется. Оно становится нестационарным, т. к. скорость частиц жидкости в каждой точке её пространства всё время беспорядочно изменяется. Такое течение называется турбулентным. При этом происходит перемешивание всех слоёв жидкости. При таком течении жидкости описать её движение довольно затруднительно, т. к. вместо относительно простого уравнения Эйлера (3) приходится решать систему очень сложных дифференциальных уравнений в частных произвольных. Поэтому для качественного описания перехода ламинарного течения в турбулентное применяют метод, основанный на теории подобия. Два физических процесса называются подобными, если они подчиняются одним и тем же физическим законам. При этом величины, характеризующие подобные явления, получаются путём умножения их на так называемые числа подобия - безразмерные величины, одинаковые для всех однородных величин. 42 dr r В основе теории подобия лежат 3 теоремы 1) для двух подобных процессов числа подобия попарно равны друг другу 2) числа подобия связаны друг с другом уравнениями подобия, являющимися безразмерным решением рассматриваемой задачи 3) два процесса подобны, если их числа R o Рис. 10 подобия попарно равны. Эта теория является научной основной экспериментальных исследований сложных явлений. Основными числами подобия в механике жидкостей и газов являются 4 числа число Рейнольдса Re , число Фруда Fr , число Струхаля St , число Маха M . В качестве примера рассмотрим использование числа Re . Рейнольдс установил, что характер течения жидкости определяется значением безразмерной величины Re         где  - плотность жидкости (газа),  - средняя по сечению трубы скорость потока,  характерный для поперечного сечения размер (например, для квадратного сечения трубы это сторона квадрата, для круглого сечения - это радиус трубы и т. п.). При малых значениях числа Re течения носит ламинарный характер. Начиная с некото- Re k , называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Так для трубы круглого сечения при её характерном размере, равном радиусу, Rek  1000 . Число Re служит критерием подобия для течения жидкостей в трубах, каналах и др. Нарого пример, характер течения жидкости в круглых трубах разных радиусов будет одинаков, если каждой трубе будет соответствовать одно и тоже число Re . Т. образом, число Re выражает соотношение между силами трения и давления жидкости. При определении сил, действующих на тело в потоке жидкости или газа, число Re служит критерием подобия и в этом случае. В частности, как установил Стокс, при небольших Re , когда сопротивление жидкости или газа, обусловлено только силами трениями, то модуль силы сопротивления среды движению тела в ней будет F  k  - формула Стокса, где  - скорость движения тела,  - характерный размер тела, k - коэффициент пропорциональности, определяемый формой тела. Например, для тела в форме шара   R , тогда k  6 , т. е. F  6  R . 43 7. ЭЛЕМЕНТЫ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ МЕХАНИКИ 7.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности Z Y z y o Z X z M  V y  o x  V t Y X Рис. 1 Рассмотрим движение материальной т. М относительно 2-х инерциальных систем отсчёта абсолютной (O, X, Y, Z) и относительной O , X , Y , Z  , которая движется с постоянной x и x  связаны z  z  . В ньютоновской механике предполагается, что время течёт одинаково во всех СО, т. е. t  t  . Таскоростью V вдоль оси OX (рис. 1). Из рисунка видно, что координаты т. М между собой соотношением x  x   Vt . При выбранных осях y  y  и ким образом, получаем следующие 4 уравнения x  x  Vt ; y  y ; z  z ; t которые называются преобразования Галилея. Продифференцируем координаты по времени с учётом dt  t .  dt  (т. к. t  t  ) dx dx dy dy dz dz , т.е. x   x  V ;  y   y ; z  z .  V;  ;     dt dt dt dt dt dt Производные от скорости дадут ускорения a x  ax ; a y  ay ; a z  az . Т. образом, ускорения т. М в разных инерциальных СО получились одинаковы. Т. к.   F  ma   F   ma  , то следовательно и силы при постоянстве массы частицы будут и одинаковы, а значит и все остальные механические закономерности. Отсюда вывод законы механики одинаково формулируются во всех инерциальных системах отсчёта - механический принцип относительности Галилея. Величины, независящие от выбора инерциальной системы отсчёта, называются инвариантными. Поэтому механический принцип относительности можно иначе сформулировать так уравнения ньютоновской механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. 7.2. Постулаты специальной теории относительности. В 1905 г. Эйнштейн создал специальную теорию относительности (СТО), представляющую собой современную физическую теорию пространства и времени при наличии слабых гравитационных полей. В её основе лежат два постулата (утверждения без доказательства, проверяемые дальнейшей практикой) 44 принцип относительности Эйнштейна - все законы природы формулируются одинаково для любой инерциальной системы отсчёта 2) принцип постоянства скорости света - скорость света в вакууме не зависит от движения источника и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта, причём является предельной 8 скоростью в природе ( с  3  10 м ). Наличие предельной скорости приводит к объеди1) с нению пространства и времени в единое 4-х мерное пространство-время. Точечное событие в этом мировом пространстве с четырьмя координатами X, Y, Z, t происходит в данной точке пространства в данный момент времени и изображается в нём мировой точкой. Эта мировая точка при движении в пространстве-времени описывает определённую траекторию, называемую мировой линией. Даже, если точка неподвижна в пространстве, она всё равно движется вдоль оси t . При переходе к другой инерциальной системе отсчёта изменяются не только пространственные координаты X, Y, Z, но и время t . 7.3. Преобразование Лоренца. Определим взаимосвязь координат материальной т. М с учётом постулатов СТО в абсо-  лютной (O, X, Y, Z) и относительной O , X , Y , Z  СО, движущейся со скоростью V вдоль оси OX (рис. 1). Очевидно, что координаты Y и Z будут связаны по-прежнему y  y и z  z . Из рисунка видно, что т. О в абсолютной СО имеет координату X=0, а в относительной СО x   Vt . Значит выражение x   Vt  должно обращаться в нуль одновременно с координатой x . Для этого преобразование x в x  должно иметь вид (1) x   x  Vt  , где    - константа. На рисунке т. О  имеет координату x  0 в относительной СО и x  Vt в абсолютной СО. Когда x   0 , то x Vt  0 . Следовательно преобразование x  в x должно быть вида (2) x     x  Vt  . По 1-му постулату Эйнштейна коэффициент  должен быть одинаков в обеих СО. Теперь воспользуемся 2-м постулатом Эйнштейна. Пусть в начальный момент времени при t  t   0 координаты т. т. О и О  совпадают. В это время вдоль осей OX и O X  посылается световой сигнал. Его вспышка в абсолютной СО характеризуются координатами x  и t  так, что x  ct и x   ct  . Подставив это в выражение (1) и (2), получим –t   ct   Vt     c  V t ; ct    ct  Vt    c  V t . Перемножим их c 2 tt    2 (c 2  V 2 )tt  или – 2   2 ( – 2  V 2 ), откуда константа   где  1 1  2 , V c Подстановка коэффициента  в выражения (1) и (2) даёт 45 x x  x   Vt  (3) 2 1  x  Vt  1  (4) 2 Для получения выражений преобразования времени выражение (3) в (4), затем наоборот. Тогда получим t в t и назад, подставим вначале V  V  t    2  x t   2 x  c  ; t  c  . t 1  2 1  2 Подведём итог наших рассуждений в отношении преобразований всех координат V  t    2  x x  Vt  c   ; y  y ; z  z  ; t  x 1  2 1  2 V  t   2 x x  Vt  c   ; y  y ; z   z ; t   x  1  2 1  2 (5) (6) Эти формулы называются преобразованиями Лоренца. В них «перемешаны» координаты пространства x, y, z и времени t, в чём проявляются взаимосвязь пространства и времени. Причём, при c   преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Т. е. различие в течении времени в разных инерциальных СО связано с существованием предельной, а не бесконечной скорости распространения взаимодействий (скорость света в вакууме с). При V  c преобразование Лоренца и Галилея практически не отличаются, зн. преобразование Галилея сохраняют своё значение при малых скоростях. При V  c выражения для x и t становятся неопределяемыми в действительных числах, зн. движение с такой скоростью невозможно. 7.4. Следствия из преобразований Лоренца Относительность одновременности. Пусть в абсолютной СО в двух точках с координатами x1 и x 2 происходят два одинаковых события одновременно так, что t 1  t 2 . Найдём разность моментов времени t 2 и t 1 для этих событий в относительной СО. Если относительная СО движется со скоростью V вдоль оси ОX, то V   2   x 2  x1  t 2  t1    c   0. 2 1  Если относительная СО движется со скоростью - V вдоль оси ОХ, то 46 V   2   x 2  x1  t 2  t1   c  0 2 1  Т. е. в любой относительной СО указанные события оказываются неодновременными, причём в первом случае (скорость СО V) второе событие будет происходить раньше первого, а во втором случае (скорость СО-V) - наоборот. Ясно, что эти рассуждения относятся только к двум причинно несвязанным событиям, т. к. в любой СО нельзя «умереть» раньше, чем «родиться». Относительность длин тел. Пусть стержень покоится в относительной СО вдоль оси O X  , которая движется вдоль оси OX со скоростью V. Длина этого стержня в относитель  x1 . Подставим сюда координаты концов стержня x 2 и x1 из ной СО будет   x 2 преобразования Лоренца   x 2  Vt  1  2  x1  Vt  1  2  x 2  x1 1  2 или    1   2 ,   x 2  x1 - длина стержня в абсолютной СО, т. е. длина стержня , движущегося относительно неё со скоростью V . Следовательно длина  тела в направлении движения будет меньше длины  покоящегося тела. В направлениях, перпендикулярных движению тела его длина не изменяется, т. к. y  y  и z  z  . где Промежуток времени между событиями. Пусть в нашей относительной СО происходят два события, разделённые промежутком времени t   t 2  t1 (например, начало и окончание занятий в институте). Найдём промежуток времени между этими событиями в абсолютной СО t  t 2  t1 . Подставим сюда времена t 2 и t 1 из преобразования Лоренца V  V  t 2   2  x  t1   2  x  c    c   t 2  t1 или t   t 1   2 t  1  2 1  2 1  2 Время t  , отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом, называется собственным временем. Тело в этой СО покоится, зн. t  будет инвариантно по отношению к любой инерциальной СО. Т. к. t   t , то можно сказать, что движущиеся часы идут медленнее, чем покоящиеся. Интервал между событиями - это расстояние между двумя мировыми точками в пространстве - времени, соответствующими двум событиям. Ньютоновская механика построена на геометрии Евклида, в которой интервал между событиями (расстояние между двумя точками в трёхмерном евклидовом пространстве - его метрика) определяется как   x 2  y 2  z 2 . В 4-х мерном пространстве - времени Минковского интервал между событиями определяется другой метрикой S  ct 2  x 2  y 2  z 2 .   Сопоставляя метрики этих пространств, запишем 47 ct 2   2 , S  где  - расстояние между точками обычного пространства. Преобразуем последнее выражение 2    2 S  c  t 1     c  t 1    c  t  .  ct  -константа, а t  - инвариантное по отношение к выбору инерциальной СО, то Т. к. с S тоже будет инвариантным. 7.5. Релятивистский закон сложения скоростей Найдём правило пересчёта скоростей из одной СО в другую. Для начала определим связь между дифференциалами координат и времени. Из преобразования Лоренца (5) имеем V  dt    2 dx dx  Vdt  c  . ; dy  dy ; dz  dz ; dt  dx  1  2 1  2 Тогда связь между проекциями скоростей на оси координат в наших СО определится выражениями dy 1   2 dx dx  Vdt  dy x   ; y  ;  dt V  dt    2 dx c  dt V  dt    2 dx c  dz 1   2 dz z   dt V  dt    2 dx c  . Разделив числитель и знаменатель на dt  , получим  y 1   2  z 1   2  x  V x  ; y  ;z  V   x V   x V   x 1 1 c c 1 . c Обратное преобразование скоростей будет отличаться только знаком при скорости V относительной СО. Пусть частица движется вдоль оси O X  в направлении скорости V . Тогда  x совпадает с модулем скорости частицы  в обеих СО, т. е.     V (7)    V  1 2 c    Все три скорости  x ,  и V однонаправлены, зн. выражение (7) представляет собой за кон сложения скоростей в СТО. 48 7.6. Элементы релятивистской динамики Релятивистский импульс. Чтобы обеспечить инвариантность закона сохранения импульса в отношении преобразований Лоренца, в определении импульса тела в ньютоновской механике   dr  p  m  m dt заменим время dt собственным временем частицы dt  , т. е. определим релятивистский импульс как   dr . pm dt  Подставив сюда выражение dt  , получим     dr 1 m    m  pm  . 2 2 dt  1   2  1      1  c     является нелинейной. При     c получаем ньтоновский импульс p  m . Иногда для формального совпадения m выражений релятивистского и ньютоновского импульсов выражение m   ото2 1  Отсюда видно, что зависимость импульса от скорости частицы ждествляют с понятием релятивистской массы, а под массой m понимают массу покоя тела. Основное уравнение релятивистской динамики. Подставим полученное выражение  dp  импульса в основной закон Ньютоновской механики  F dt  d  m   F. dt  1   2    (8) Отсюда видно, что в СТО масса утрачивает смысл коэффициента пропорциональности между ускорением и силой. В отличии от ньютоновской механики, сила не является инвариантной по отношению к инерциальной СО в разных СО она даёт разные модули и направления. Более того, в СТО сила и ускорение как векторы не совпадают по направлению Кинетическая энергия . Определим изменение кинетической энергии как элементарную работу внешних сил, т. е. dWk   A . Попытаемся получить это выражение из основного закона релятивистской динамики. Умножим правую часть выражения (8) на перемещение частицы dS , а левую - на dS   dt . В результате получим d  m   dt  FdS . dt  1   2    Справа стоит элементарная работа  A  FdS , тогда слева должно быть изменение кинетической энергии частицы. Преобразуем это выражение 49    m dWk    d  2     1  c             1  d m      m  d     2  2        1    1          c  c          2 2     m 1     d  m    d       m   2  d      c    c   md        c           1 3 3 2     2  2       2  2   2   1       1      1     c c    c                m  d  . 3    2  2 1       c   Легко убедиться, что полученное выражение является полным дифференциалом выражения mc 2 . 2   1  c Следовательно изменение кинематической энергии будет  mc 2  , dWk  d  2  1     а сама энергия Wk   dWk  mc 2 1  2 K. Кинетическая энергия частицы обязана равняться нулю при дыдущего выражения получим константу интегрирования окончательно имеем mc 2 Wk   mc 2 . 2   0 . Тогда с учётом пре- K  mc 2 . Следовательно (9) 1  Разлагая последнее выражение в ряд Маклорена по степеням     , получим c 50 2 2 1  mc 2     W k  W k (0)  W k (0)  W k(0)   ...     ... c 2 2 c c  При   c остальными членами ряда можно пренебречь. В результате имеем ньютоновское m 2 выражение кинетической энергии Wk  . 2 Обратим внимание, что в соответствии с выражением (9) кинетическая энергия определи2 лась как разность каких - то энергий. Выражение W0  mc называют энергией покоя частицы, а её сумму с кинетической энергией - полной энергией частицы, равной mc 2 . В релятивистской механики полная энергия системы сохраняется. W  2 1  7.7. Закон взаимосвязи массы и энергии. Закон сохранения 4-х мерного вектора энергии - импульса Масса тела и его энергия покоя связана соотношением c  const всякое изменение массы покоя на W 0 и наоборот, т. е. W0  mc 2 . Следовательно при на m должно сопровождаться изменением энергии W0  m  c 2 . (10) Соотношение (10) называется законом взаимосвязи массы и энергии покоя. Этот закон приводит к тому, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Пусть две одинаковые частицы движутся навстречу друг другу с равными по модулю скоростями и испытывают абсолютно неупругий удар. Полная энергия системы частиц до удара была 2mc 2 . Ввиду равенства масс и модулей скоростей частиц до удара, после удара Wдо  2 1  их скорости будут ноль. Следовательно полная энергия после удара будет равна только энер2 гии покоя, т. е. Wпосле  Mc , где М - новая суммарная масса частиц после удара. По закону сохранения полной энергии имеем 2mc 2 2m  Mc 2 , откуда M   2m , 2 2 1  1  Т. е. масса системы после удара стала больше, чем до удара. Это объясняется тем, что кинетическая энергия до удара превратилась в энергию покоя системы после удара, что и привело к возрастанию массы системы.  В СТО, как и в ньютоновской механике, для замкнутой системы сохраняются импульс p и энергия   W . Трёхмерный вектор p p x , p y , p z и энергия образует 4-х мерный вектор энергии - импульса с компонентами W c и  p . В этом случае инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца (т. е. со- храняющейся) будет являться величина 51  W 2  (cp) 2  ( mc 2 ) 2 , где W   p mc 2 1   m 1  2 2 - полная энергия - релятивистский импульс mc 2  W0 - энергия покоя. В заключении отметим, что все выводы СТО были блестяще подтверждены в экспериментах с элементарными частицами. 52