Финансовая математика

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАН «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) Департамент математики С.В. Александрович ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА» ЧАСТЬ 1 Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 34.03.01 «Экономика» (программа подготовки бакалавров) Москва 2021 1 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАН «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) Департамент математики С.В. Александрович ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА» ЧАСТЬ 1 Учебное пособие для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 34.03.01 «Экономика» (программа подготовки бакалавров) Рассмотрено и одобрено на заседании Совета департамента математики (протокол №14 от 28 апреля 2021 г.) Москва 2021 2 УДК 336:51(075.8) ББК 65.261 А 46 Автор: Александрович С.В., канд. физ.-мат. наук, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве РФ Рецензент: Аль-Натор М.С., канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве РФ. А 46 Александрович С.В. Лекции по дисциплине «Финансовая математика». Часть 1: Учебное пособие. – М.: Финансовый университет, департамент математики, 2021. – 101 с. Целью пособия является оказание помощи студентам в изучении теоретических основ дисциплины «Финансовая математика». В пособии кратко и доступно изложены следующие разделы: временные и календарные шкалы, начисление простых и сложных процентов, математическое дисконтирование и банковский учет, учет инфляции, финансовые потоки и ренты. Изложение сопровождается большим количеством подробно разобранных примеров, способствующих лучшему пониманию изложенных теоретических выводов. Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика». УДК 336:51(075.8) ББК 65.261 А 46 Учебное издание Александрович Сергей Всеволодович Лекции по дисциплине «Финансовая математика». Часть 1 Компьютерный набор, верстка С.В. Александрович Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman. Усл. п.л. 6,3. Изд. № - 2021. Заказ № ____ Электронное издание © ФГОБУ ВО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 2021 © Департамент математики, 2021 © Александрович Сергей Всеволодович, 2021 3 СОДЕРЖАНИЕ Временная и календарная шкалы............................................................... 5 Начисление простых и сложных процентов............................................ 10 Математическое дисконтирование и банковский учет............................ 19 Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия (перерасчет) платежей.....................................................………………………………… 25 Инфляция..............................................................………………………… 29 Финансовые потоки………………………………………………………. 32 Инвестиционные потоки.............................................................................. 37 Непрерывные финансовые потоки............................................................... 44 Ренты………………………………………………….................................. 51 Годовые ренты............................................................................................... 53 Вечные ренты................................................................................................. 65 Срочные ренты............................................................................................... 70 Непрерывные ренты....................................................................................... 85 Конверсия рент................................................................................................ 91 Литература ..................................................................................................... 99 Приложение. ............................................................................................ 4 100 ВРЕМЕННАЯ И КАЛЕНДАРНАЯ ШКАЛЫ Временной шкалой называется временная координата, заданная началом отсчета и единицей измерения. Началом отсчета обычно служит t  0 . Если единицей измерения времени является год, то временная шкала называется годовой. Основным элементом календарной шкалы является дата. Дата обозначается упорядоченной тройкой чисел:   (d. m. y) , где d - номер дня, m - номер месяца, y - номер года. Промежуток [1 ;  2 ) называется промежутком между двумя датами 1 и  2 календарной шкалы. В календарной шкале мерой длины является продолжительность промежутка в днях. Она вычисляется с помощью функции N () - порядкового номера даты  в календарной шкале. Функция N () задается таблицей (см. Приложение). Временные правила Обозначим через n - срок финансовой операции в годах. Если срок финансовой операции измеряется не в годах n , а в днях D , то в качестве n нужно взять: n D , K где K - временная база (число дней в финансовом году). На практике обычно используются следующие временные правила. 5 Правило ACT / 365 Согласно этому правилу, временная база K  365 , число дней между двумя датами D является точным и продолжительность месяца равна календарной. Правило ACT / 360 Согласно этому правилу, временная база K  360 , число дней между двумя датами D является точным и продолжительность месяца равна календарной. Правило 30 / 360 Согласно этому правилу, временная база K  360 , число дней между двумя датами D%является приближенным и продолжительность любого месяца равна 30 дням. Точное и приближенное число дней между датами  1 и  2 Точное число дней между датами  1 и  2 вычисляется по формуле: D(1;  2 )  N ( 2 )  N (1 )  365( y2  y1 )  k , где N () - порядковый номер даты по таблице, k - число високосных дат между датами  1 и  2 . Високосной датой называется дата 29.02. yв , где yв номер високосного года. Приближенное число дней между датами  1 и  2 вычисляется по формуле: D%(1;  2 )  360( y2  y1 )  30(m2  m1 )  d2  d1 , где d - номер дня, m - номер месяца, y - номер года. 6 Пример Найти точное и приближенное число дней между 17.02.2012 и 05.08.2020. Решение 1  17.02.2012; N (1 )  48;  2  05.08.2020; N ( 2 )  217; k  3. Точное число дней между датами  1 и  2 равно: D  N ( 2 )  N (1 )  365( y2  y1 )  k   217  48  365(2020  2012)  3  169  2920  3  3092 Приближенное число дней между датами  1 и  2 равно: D% 360( y2  y1 )  30(m2  m1 )  d2  d1   360(2020  2012)  30(8  2)  5  17  2880  180  12  3048 Пример Найти срок в годах между датами 17.02.2012 и 05.08.2020 по временным правилам ACT / 365; ACT / 360; 30 / 360 . Решение % 3048 . В предыдущем примере было найдено: D  3092; D По правилу ACT / 365: D 3092   8,471232877 K 365 По правилу ACT / 360 : n n D 3092   8,588888889 K 360 По правилу 30 / 360 : D% 3048 n   8,466666667 K 360 7 Часто встречающиеся календарные промежутки Календарным годом называется промежуток [1 ;  2 ) между двумя датами  1 и  2 , если выполняются соотношения: d1  d2 ; m1  m2 ; y2  y1  1 . Промежуток между 01.01.y и 01.01.( y  1) называется стандартным календарным годом. Календарным месяцем называется промежуток [1 ;  2 ) между двумя датами  1 и  2 , если выполняются соотношения: d1  d2 ; m2  m1  1; y2  y1 при m1  12  y2  y1  1 при m1  12 d1  d2 ; m2  1; Календарным кварталом называется промежуток [1 ;  2 ) между двумя датами  1 и  2 , если выполняются соотношения: при m1  9 d1  d2 ; m2  m1  3; y2  y1  d1  d2 ; m2  m1  9; y2  y1  1 при m1  9 Календарным полугодием называется промежуток [1 ;  2 ) между двумя датами  1 и  2 , если выполняются соотношения: при m1  6 d1  d2 ; m2  m1  6; y2  y1  d1  d2 ; m2  m1  6; y2  y1  1 при m1  6 Пример Кредит выдан 20 февраля 2019 г. на 8 календарных месяцев. Найти дату возврата и срок кредита в днях по временным правилам ACT / 365; ACT / 360; 30 / 360 . Решение Дата выдачи: 1  20.02.2019; N (1 )  51 8 Дата возврата:  2  20.10.2019; N ( 2 )  293 По правилам ACT / 365 и ACT / 360 срок кредита в днях равен точному числу дней между датами: D  N ( 2 )  N (1 )  365( y2  y1 )  k   293  51  365(2019  2019)  0  242 По правилу 30 / 360 срок кредита в днях равен приближенному числу дней между датами: D% 360( y2  y1 )  30(m2  m1 )  d 2  d1   360(2019  2019)  30(10  2)  20  20  240 Пример Кредит, выданный на 14 календарных месяцев, был погашен 30 июля 2020 г. Найти дату выдачи и срок кредита в днях по временным правилам ACT / 365; ACT / 360; 30 / 360 . Решение Дата погашения: Дата выдачи:  2  30.07.2020; N ( 2 )  211 1  30.05.2019; N (1 )  150 По правилам ACT / 365 и ACT / 360 срок кредита в днях равен точному числу дней между датами: D  N ( 2 )  N (1 )  365( y2  y1 )  k   211  150  365(2020  2019)  1  427 По правилу 30 / 360 срок кредита в днях равен приближенному числу дней между датами: D% 360( y2  y1 )  30(m2  m1 )  d2  d1   360(2020  2019)  30(7  5)  30  30  420 9 Правило вычисления количества дней по известному количеству лет При вычислении точного и приближенного количества дней по заданному количеству лет, полученное значение всегда округляется до ближайшего большего целого числа. Пример Кредит выдан на 3,1345 года. На сколько дней выдан кредит по временным правилам ACT / 365; ACT / 360; 30 / 360 . Решение По правилу ACT / 365: D  365* n  365*3,1345  1144,0925 ; 1145 дней. По правилу ACT / 360 : D  360* n  360*3,1345  1128,42 ; 1129 дней. По правилу 30 / 360 : D  360* n  360*3,1345  1128,42 ; 1129 дней. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ И СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ Проценты Под процентными деньгами или процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача ссуды, продажа товаров в кредит, помещение денег на депозитный счет, покупка акций и облигаций и т. д. Под процентной ставкой понимается отношение дохода (процентных денег) за единицу времени к сумме долга. 10 Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называется периодом начисления. Обычно периодом начисления является год. Начисление простых процентов Пусть S0 - первоначальная сумма, i - процентная ставка за период начисления. При наращении по схеме простых процентов каждая следующая наращенная сумма увеличивается на долю i от первоначальной. К концу первого периода начисления наращенная сумма S1 равна: S1  S0  i S0  S0 (1  i ) К концу первого периода начисления наращенная сумма S 2 равна: S2  S1  i S0  S0  i S0  i S0  S0 (1  2i ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . К концу n - го периода начисления наращенная сумма S n будет равна: Sn  S0 (1  ni ) Эта формула называется формулой простых процентов. Множитель (1  n i) называется коэффициентом или множителем наращения простых процентов. Проценты за n периодов начисления равны: I n  S n  S0  S0 n i Последовательность наращенных сумм S0 ; S1 ; ... ; Sn является арифметической прогрессией с первым членом S0 и разностью i S0 . В дальнейшем, периодом начисления будет являться год и символом n будет обозначен срок финансовой операции в годах. 11 Обобщенная формула простых процентов Если на разных временных промежутках начисления процентов: n1; n2 ; ... ; nm устанавливаются различные годовые процентные ставки: i1 ; i2 ; ... ; im , то наращенная сумма Sn за время n  n1  n2  ...  nm будет равна: Sn  S0 (1  n1 i1  n2 i2  ...  nm im ) m Sn  S0 (1   nk ik ) k 1 Пример Найти сумму накопленного долга и проценты, если ссуда в размере 1000000 руб. была выдана на 3 года под 10% простых годовых. Решение S1  S0 (1  n i)  1000000(1  3*0,1)  1300000 руб. Проценты равны: I n  Sn  S0  1300000  1000000  300000 руб. Начисление сложных процентов Пусть S0 - первоначальная сумма, i - процентная ставка за период начисления. При наращении по схеме сложных процентов каждая следующая наращенная сумма увеличивается на долю i от предыдущей. К концу первого периода начисления наращенная сумма S1 равна: S1  S0  i S0  S0 (1  i ) К концу первого периода начисления наращенная сумма S 2 равна: S2  S1  i S1  S1 (1  i)  S0 (1  i)(1  i)  S0 (1  i)2 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . К концу n - го периода начисления наращенная сумма S n будет равна: Sn  S0 (1  i)n Эта формула называется формулой сложных процентов. Множитель (1  i) называется коэффициентом или множителем наращения n сложных процентов. Проценты за n периодов начисления равны: I n  Sn  S0  S0(1  i)n  S0  S0 ((1  i)n  1) Последовательность наращенных сумм S0 ; S1 ; ... ; Sn является геометрической прогрессией с первым членом S0 и знаменателем (1  i ) . Обобщенная формула сложных процентов Если на разных временных промежутках начисления процентов: n1; n2 ; ... ; nm устанавливаются различные годовые процентные ставки: i1 ; i2 ; ... ; im , то наращенная сумма Sn за время n  n1  n2  ...  nm будет равна: Sn  S0 (1  i1 )n1 (1  i2 )n2 ... (1  im )nm m Sn  S0  (1  ik )nk k 1 Пример Найти сумму накопленного долга и проценты, если ссуда в размере 1000000 руб. была выдана на 3 года под 10% сложных годовых. Решение Sn  S0 (1  i)n  1000000(1  0,1)3  1331000 руб. Проценты равны: 13 I n  Sn  S0  1331000  1000000  331000 руб. Сравнение наращения по простой и сложной процентной ставке В дальнейшем все изложение будем проводить в рамках непрерывной модели, в которой срок финансовой операции n может быть равен любому действительному числу и формулы простых и сложных процентов справедливы для любого n  R На рис. 1 представлены зависимости наращенной суммы S n от срока финансовой операции n при наращении по простым и сложным процентам. Рис. 1. Зависимость наращенной суммы от срока финансовой операции при начислении простых и сложных процентов. При n  0 и n  1 эти суммы одинаковы. При 0  n  1, то есть при сроке финансовой операции меньшей года, наращенная сумма больше при начислении простых процентов. При n  1 , то есть при сроке финансовой операции большей года, наращенная сумма больше при начислении сложных процентов. 14 Смешанный метод начисления процентов При смешанном методе начисления процентов за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробную часть срока финансовой операции начисляются простые проценты. Пусть n - срок финансовой операции. Представим n в виде: n  [n]  {n} , где [n] - целая часть n , {n} - дробная часть n . Тогда наращенная сумма вычисляется по формуле: Sn  S0 (1  i)[ n] (1  {n}i) Пример Найти сумму накопленного долга, если ссуда в размере 1000000 руб. была выдана на 3,5 года под 10% а) простых годовых; б) сложных годовых; в) при смешанном начислении процентов. Решение а) Sn  S0 (1  n i)  1000000 1  3,5*0,1  1350000 руб. б) Sn  S0 (1  i)  1000000(1  0,1) n 3,5  1395964,58 руб. Sn  S0 (1  i)[ n ] (1  {n}i)  1000000*1,13 *(1  0,5*0,1)  в)  1397550 руб. Кратное начисление сложных процентов Пусть начисление процентов по схеме сложных процентов происходит m раз году через равные промежутки времени. Пусть i - годовая процентная ставка. В этом случае ставка i называется номинальной годовой процентной ставкой. Тогда i / m - ставка начисления за каждую операцию, m n - общее количество операций начисления за n лет. 15 Через n лет наращенная сумма будет равна: i   Sn  S0 1    m mn Непрерывное начисление сложных процентов Если кратность начисления процентов m неограниченно возрастает, то есть m   , тогда имеет место непрерывное начисление процентов. При этом наращенная сумма будет равна:   i  Sn  lim  S0 1   m    m in mn m    i i    1   S0ei n   S0 mlim      m     Таким образом, формула непрерывного начисления процентов имеет вид: S n  S 0 ei n Номинальная годовая процентная ставка i в случае непрерывного начисления процентов, называется также силой роста. Пример В банк на депозит положен вклад 1000000 руб. под 10% сложных годовых. Найти величину депозита через 3 года при начислении процентов 1; 4; 12; 365 раз в году и при непрерывном начислении процентов. Решение При кратном начислении процентов: mn i   Sn  S0 1   .  m m  1; Sn  1000000 (1  0,1)3  1331000 руб. 16 12  0,1  m  4; Sn  1000000 1    1344888,82 руб. 4   36  0,1  m  12; Sn  1000000 1    1348181,84 руб.  12  1095 0,1   m  365; Sn  1000000 1    365   1349803,34 руб. При непрерывном начислении процентов: Sn  S0ei n  1000000 e0,3  1349858,81 руб. Эффективная процентная ставка Эффективной процентной ставкой iэфф для любой схемы выплат называется годовая сложная процентная ставка, дающая тот же финансовый результат (то есть одинаковые S n при одинаковых S0 ), что и рассматриваемая схема выплат. Предположим, что для некоторой произвольной схемы выплат начальная сумма равна S0 , а наращенная сумма равна S n . Тогда по определению справедливо равенство: Sn  S0 (1  iэфф )n , откуда получаем выражение: 1 n S  iэфф   n   1  S0  Эффективная процентная ставка при начислении простых процентов По определению можно записать: 17 Sn  S0 (1  n i)  S0 (1  iэфф )n , откуда получаем: 1 n iэфф  (1  ni)  1 Эффективная процентная ставка при начислении сложных процентов По определению можно записать: Sn  S0 (1  i)n  S0 (1  iэфф )n , откуда получаем: iэфф  i Эффективная процентная ставка при кратном начислении сложных процентов По определению можно записать: i   Sn  S0 1    m mn  S0 (1  iэфф )n , откуда получаем: m iэфф i    1    1  m Эффективная процентная ставка при непрерывном начислении процентов По определению можно записать: Sn  S0ei  S0 (1  iэфф )n , откуда получаем: 18 iэфф  ei  1 Пример Согласно договору, на вложенную сумму в течение 5 лет начислялись простые проценты по ставке 10% годовых. Найти эффективную процентную ставку. Решение 1 n 1 5 iэфф  (1  ni)  1  (1  5*0,1)  1  0,084471771  8,45% МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ И БАНКОВСКИЙ УЧЕТ Дисконтирование Дисконтированием называется нахождение современной суммы S0 , которая в будущем должна составить заданную сумму S n Математическое дисконтирование Математическим дисконтированием называется решение задачи нахождения начальной суммы S0 по заданной наращенной сумме S n , то есть решение задачи обратной к задаче нахождения наращенной суммы S n по заданной сумме S0 . Процентная ставка i при математическом дисконтировании называется ставкой дисконтирования, а величина Sn  S0 называется дисконтом. 19 Математическое дисконтирование при начислении простых процентов S0  Sn  Sn (1  n i)1 1 n i 1 Множитель (1  n i) называется дисконтным множителем при начислении простых процентов. Математическое дисконтирование при начислении сложных процентов S0  Множитель (1  i) n Sn n  S (1  i ) n (1  i)n называется дисконтным множителем при начислении сложных процентов. Математическое дисконтирование при кратном начислении сложных процентов S0  i   Множитель 1    m Sn i   1  m    mn i    Sn 1    m m n  mn называется дисконтным множителем при кратном начислении сложных процентов. 20 Математическое дисконтирование при непрерывном начислении процентов S0  Множитель e i n Sn  Snei n in e называется дисконтным множителем при непрерывном начислении процентов. Пример. Создается фонд, величина которого через 5 лет должна составить 10 млрд. руб. Чему равна современная величина фонда, если используется номинальная сложная годовая процентная ставка 6% с ежеквартальным начислением процентов. Решение. m n i    0,06  S0  S n  1    10000000000 1  4   m   7424704182,24 руб. 20  Банковский учет Банковским учетом называется покупка банком денежных обязательств до срока погашения по цене меньшей номинальной, указанной в них суммы. Векселем называется долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал) в определенный срок. В случае покупки банком векселя говорят, что вексель учитывается, а клиенту выплачивается сумма: S n  S0  I n где S n - цена покупки векселя за n лет до погашения; S0 - номинальная стоимость векселя; 21 I n - дисконт или доход банка (процентные деньги). Если вексель учитывается за 1 год до погашения, то величина дисконта равна: I1  S0 d , где d - годовая учетная ставка. Дисконтирование по простой учетной ставке Величина дисконта за n лет до погашения определяется выражением: I n  S0 n d Стоимость векселя за n лет до погашения равна: Sn  S0  I n  S0  S0 n d  S0 (1  n d ) Sn  S0 (1  n d ) Дисконтирование по сложной учетной ставке Стоимость векселя за n лет до погашения определяется выражением: Sn  S0 (1  d )n Величина дисконта за n лет до погашения равна: I n  S0  Sn  S0  S0 (1  d )n  S0 (1  (1  d )n ) Пример Вексель номинальной стоимостью 1000000 руб. учитывается за 3 года до погашения а) по простой; б) по сложной годовой учетной ставке 15%. Найти сумму, полученную векселедержателем и величину дисконта. Решение а) Sn  S0 (1  n d )  1000000(1  3*0,15)  550000 руб. 22 I n  S0  Sn  1000000  550000  450000 руб. б) Sn  S0 (1  d )  1000000(1  0,15)  614125 руб. n 3 I n  S0  Sn  1000000  614125  385875 руб. Сравнение дисконтирования по простой и сложной учетной ставке На рис. 2 представлены зависимости суммы учета денежного обязательства S n от срока до погашения n при учете по простой и сложной учетным ставкам. S0 Sn S1 Sn  S0(1dn) 1 S n  S 0 (1  d ) n 3 2 n Рис. 2. Зависимость суммы учета от срока до погашения при учете по простой и сложной учетным ставкам. При n  0 и n  1 эти суммы одинаковы. При сроке до погашения 0  n  1 сумма учета больше при дисконтировании по простой учетной ставке. При сроке до погашения n  1 сумма учета больше при дисконтировании по сложной учетной ставке. 23 Кратное дисконтирование по сложной учетной ставке Дисконтирование может проводиться не один, а m раз в году, то есть каждый раз по ставке d / m , где d - номинальная годовая сложная учетная ставка. В этом случае сумма учета за n лет до погашения равна:  d S n  S0  1    m mn Эффективная годовая учетная ставка d эфф определяется из соотношения:  d S n  S0  1    m mn  S0 (1  d эфф )n Откуда:  d  1    m m  d  1  1    m m 1  dэфф dэфф Пример Банк учитывает вексель по номинальной сложной годовой учетной ставке 10% с ежемесячным дисконтированием. Найти эффективную учетную ставку. Решение m dэфф 12  d  0,1   1  1    1  1    0,095541625  9,55%  m  12  24 ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ И КОНВЕРСИЯ (ПЕРЕРАСЧЕТ) ПЛАТЕЖЕЙ Уравнение эквивалентности На практике часто возникают случаи, когда необходимо заменить одно денежное обязательство другим. Например, перенести сроки платежей, выполнить объединение нескольких платежей в один (консолидацию) и т. д. Изменение условий контрактов базируются на принципе финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи приведенными к некоторой базисной дате по ставке процентов, удовлетворяющей обе стороны, оказываются равными. Исходя из этого принципа, получают уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к базисной дате, равна сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Пример Три платежа: 1 млн. руб., 2 млн. руб. и 3 млн. руб. со сроками уплаты через 1; 1,5 и 2 года соответственно договорились заменить двумя равными платежами со сроками уплаты через 2,5 и 3 года. Конверсия выполнялась по процентной ставке 10% сложных годовых. Определить величину платежей. Решение Базисная дата: через 3 года. Обозначим искомую величину платежей через S. Уравнение эквивалентности имеет вид: 1000000(1  0,1)31  2000000(1  0,1)31,5  3000000(1  0,1)32   S (1  0,1)32,5  S (1  0,1)33 S (1,048808848  1)  1210000  2307379,47  3300000 25 2,048808848 S  6817379,47 S  6817379,47 / 2,048808848  3327484,39 руб. Консолидация (объединение) платежей Платежи S1 ; S2 ; ... ; Sm со сроками оплаты n1 ; n2 ; ... ; nm соответственно заменяются одним платежом в сумме S и сроком оплаты n . При консолидации возникают две основные задачи: 1) при заданном n найти S ; 2) при заданном S найти n . Решение задачи 1 Величина консолидированного платежа S в момент времени n равна сумме приведенных (наращенных или дисконтированных) к моменту n платежей S1 ; S2 ; ... ; Sm по заданной простой или сложной процентной ставке. Пример Три платежа: 1 млн. руб., 2 млн. руб. и 3млн. руб. со сроками уплаты через 2; 3 и 4 года соответственно объединяются в один платеж со сроком уплаты через 5 лет. Консолидация проводится по сложной процентной ставке 12% годовых. Определить консолидированный платеж. Решение Базисная дата: через 5 лет. Обозначим консолидированный платеж через S. Уравнение эквивалентности имеет вид: 1000000(1  0,12)52  2000000(1  0,12)53  3000000(1  0,12)54   S (1  0,12)55 26 S  1404928  2508800  3360000  7237728 руб. Решение задачи 2 Для определения срока n консолидированного платежа, необходимо найти P - сумму приведенных (дисконтированных) к t  0 платежей S1; S2 ; ... ; Sm и составить уравнение эквивалентности, выбрав в качестве базисной даты t  0 . В случае приведения по простой годовой процентной ставке i : m m Sk P   Sk (1  nk i)1 . k 1 1  nk i k 1 Искомый срок консолидированного платежа n находим из уравнения эквивалентности: S  P. 1 n i Откуда получаем: 1S  n    1 . i P  В случае приведения по сложной годовой процентной ставке i : m m Sk P   Sk (1  i) nk . nk k 1 (1  i ) k 1 Искомый срок консолидированного платежа n находим из уравнения эквивалентности: S  P. (1  i)n Откуда получаем: S ln   P n   . ln(1  i) 27 Пример Три платежа: 1 млн. руб., 2 млн. руб. и 3млн. руб. со сроками уплаты через 1; 1,5 и 2 года соответственно заменяются одним платежом 6 млн. руб. Консолидация проводится по процентной ставке 10% годовых: а) простых; б) сложных. Найти срок консолидированного платежа в годах и днях. Правило АСТ/365. Решение а) P  1000000(1  1*0,1)1  2000000(1  1,5*0,1)1  3000000(1  2*0,1)1  909090,91  1739130,44  2500000   5148221,35 1  S  1  6000000  n    1   1  1,654510556 лет. i  P  0,1  5148221,35  D  n *365  1,654510556*365  603,896  604 дня. б) P  1000000(1  0,1)1  2000000(1  0,1)1,5  3000000(1  0,1)2   909090,91  1733568,34  2479338,84  5121998,09  6000000  S ln   ln  5121998,09  P   n   1,659999525 лет ln(1  i) ln(1  0,1) D  n *365  1,659999525*365  605,8998  606 дней. ИНФЛЯЦИЯ Влияние инфляции на процентную ставку Инфляция (темп инфляции) составляет долю  в год, если стоимость товара за год увеличивается в (1   ) раз. Коэффициент (1   ) называется индексом инфляции. 28 При инфляции деньги обесцениваются в (1   ) раз. Поэтому реальный эквивалент S наращенной за 1 год суммы S1  S0 (1  i ) будет равен: S (1  i) S0 (1      i) S1  0   S0 1  1  1   S0 (1  i ) S   i   1  1       Формула Фишера i  i  1  где i - годовая процентная ставка без учета инфляции; i - годовая процентная ставка c учетом инфляции;  - годовой темп инфляции. Видно, что инфляция уменьшает доходность финансовых активов (процентную ставку), так как i  i . Пример Годовая процентная ставка банка равна 6%. Годовой темп инфляции равен 2%. Какова реальная (с учетом инфляции) годовая процентная ставка банка? Решение i  i   0,06  0,02   0,039215686  3,92% . 1  1  0,02 Пример Какую годовую ставку должен установить банк, чтобы при инфляции 2% в год реальная (с учетом инфляции) годовая процентная ставка оказалась бы равной 5%. Решение 29 i  i  ; 1  i (1   )  i   i  i (1   )    0,05*(1  0,02)  0,02  0,071  7,1% Темп инфляции за несколько периодов Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени T1 ; T2 ; ... ; Tn равны соответственно 1;  2 ; ... ;  n . В конце первого периода наращенная сумма с учетом инфляции равна: S0 (1  i)T1 . S1  1  1 В конце второго периода наращенная сумма с учетом инфляции равна: S2 S1 (1  i)T2 S0 (1  i)T1T2 .   1  2 (1  1 )(1  2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . В конце n - го периода наращенная сумма с учетом инфляции равна: S0 (1  i)T1T2  ... Tn . Sn  (1  1 )(1  2 ) ... (1   n ) При постоянном темпе инфляции  за суммарный период времени T  T1  T2  ... Tn наращенная сумма с учетом инфляции равна: S0 (1  i)T Sn  . 1  Приравнивая правые части последнего и предпоследнего выражений, получим формулу, выражающую темп инфляции  за суммарный промежуток, через темпы инфляции за отдельные составляющие этого промежутка: 30 1    (1  1 )(1   2 ) ... (1   n ) или   (1  1 )(1   2 ) ... (1   n )  1 . Для равных темпов инфляции на отдельных частях суммарного промежутка 1   2  ...   n , получим: 1    (1  1 )n или   (1  1 )n  1 Пример Темпы инфляции за 2 последовательных периода времени T1 и T2 равны 4% и 6%. Найти темп инфляции за период T  T1  T2 . Решение   (1  1 )(1   2 )  1  1   2  1  2   0,04  0,06  0,04*0,06  0,1024  10,24% Пример Темпы инфляции за каждый месяц равен 1%. Найти темп инфляции за год. Решение   (1  1 )n  1  (1  0,01)12  1  0,12682503  12,68% ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ Финансовые потоки (потоки платежей) в схеме сложных процентов Финансовым событием называется упорядоченная пара (t; P) , состоящая из момента платежа t и величины платежа P . Платежи могут быть со знаком плюс (поступления) и со знаком минус (выплаты). Конечная или бесконечная последовательность финансовых событий: 31 CF  {(t0 ; P0 ), (t1; P1 ), ... , (tn ; Pn ), ... } называется дискретным финансовым потоком и обозначается CF (cash flow) . Вычисление величины финансового потока Для того, чтобы вычислить величину потока в какой-то момент времени t , необходимо каждый платеж привести к этому моменту времени по некоторой сложной процентной ставке i , которая предполагается известной и неизменной для всего потока, а затем суммировать эти приведенные платежи. Сумма всех платежей потока, приведенных к некоторому моменту времени t называется приведенным или текущим значением потока в момент времени t и обозначается PVt ( present value) . Текущее значение потока в момент времени t равно: PVt  P0 (1  i)t t0  P1 (1  i)t t1  ...  Pn (1  i)t tn  ... В случае бесконечного потока PVt считается определенным, если ряд сходится. Текущее значение потока в начальный момент времени t  0 называется современной величиной потока и обозначается PV . PV  P0 (1  i)t0  P1 (1  i)t1  ...  Pn (1  i)tn  ... Справедливо соотношение: PVt  PV (1  i)t Для конечного потока в момент t  tn ( n - момент последнего финансового события) приведенное значение потока равно: 32 FVt  P0 (1  i)t t0  P1 (1  i)t t1  ...  Pn (1  i)t tn  n   Pk (1  i)t tk k 0 Величина FVt ( future value) называется будущим накопленным значением потока. Величина FVt на момент последнего платежа t  tn называется конечной величиной потока и обозначается FV . FV  P0 (1  i)tn t0  P1 (1  i)tn t1  ...  Pn . Справедливо соотношение: FVt  FV (1  i)t tn , t  tn . Пример Для финансового потока CF  {(0; 20), (1; 30), (2; 40), (3; 50), (4; 60)} найти современную величину потока PV , приведенное значение потока PV2 в момент времени t  2 и конечную величину потока FV . Годовая процентная ставка равна 10%. Решение PV  20  30(1  0,1)1  40(1  0,1)2  50(1  0,1)3  60(1  0,1) 4   20  27,27272727  33,05785124  37,56574005  40,98080732   158,8771259 PV2  20(1  0,1)2  30(1  0,1)1  40  50(1  0,1)1  60(1  0,1)2   24,2  33  40  45,45454545  49,58677686  192,2413223 FV  20(1  0,1)4  30(1  0,1)3  40(1  0,1)2  50(1  0,1)1  60   29,282  39,93  48,4  55  60  232,612 33 Средний срок финансового потока с неотрицательными платежами Средним сроком финансового потока CF  {(t0 ; P0 ), (t1; P1 ), ... , (tn ; Pn ), ... } P0  0; P1  0; P2  0; ... ; Pn  0 относительно процентной ставки i называется такой момент времени  , для которого поток CF и поток, состоящий из одного платежа, равного сумме всех платежей потока CF P  P0  P1  P2  ...  Pn в момент времени  имеют одинаковую современную величину. Из этого определения следует, что PV  P0 (1  i)t0  P1 (1  i)t1  ...  Pn (1  i)tn   ( P0  P1  ...  Pn )(1  i) Точная формула для вычисления среднего срока финансового потока Согласно определению среднего срока  : PV  ( P0  P1  ...  Pn )(1  i) Откуда получаем: (1  i)  P0  P1  ...  Pn ; PV  P0  P1  ...  Pn  ; PV    ln (1  i)  ln   P  P  ...  Pn  ln  0 1  PV  .  ln (1  i) 34 Приближенная формула для вычисления среднего срока финансового потока При малых по сравнению с единицей значениях процентной ставки i справедливо приближенное равенство: (1  i) x  1  xi . Заменяя в исходном выражении для определения среднего срока потока  : P0 (1  i)t0  P1 (1  i)t1  ...  Pn (1  i)tn   ( P0  P1  ...  Pn )(1  i) (1  i) x его приближенным значением 1  xi получим: P0 (1  t0 i)  P1 (1  t1 i)  ...  Pn (1  tn i)   ( P0  P1  ...  Pn )(1   i) Откуда получаем искомую формулу:  P0 t0  P1 t1  ...  Pn tn P0  P1  ...  Pn Достоинствами этой формулы являются простота и независимость от процентной ставки, что делает ее удобной для оценочных расчетов. Пример Для финансового потока CF  {(0; 20), (1; 30), (2; 40), (3; 50), (4; 60)} найти средний срок потока а) по точной формуле; б) по приближенной формуле. Годовая процентная ставка равна 10%. Решение а) Ранее было найдено значение современной величины этого потока: PV  158,8771259 . Следовательно: 35  P  P  ...  Pn  ln  20  30  40  5  60  ln  0 1   158,8771259  PV       ln (1  i) ln (1  0,1)  2,415127709 года. б) P0 t0  P1 t1  ...  Pn tn 20*0  30*1  40* 2  50*3  60* 4   P0  P1  ...  Pn 20  30  40  50  60 500   2,5 года. 200  ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ПОТОКИ Чистый приведенный доход и внутренняя норма доходности инвестиционного проекта Инвестиции – это долгосрочные вложения капитала в проект с целью получения дохода в будущем. Инвестиционный проект описывается финансовым потоком: CF  {(t0 ; С0 ), (t1; С1 ), ... , (tn ; Сn )}. Величина Ck  Pk  I k ; k  0; 1; ... ; n является балансом инвестиционных затрат I k и доходов Pk , за k -й период, подведенный в конце этого периода. Чистым приведенным доходом NPV (net present value) называется современная величина инвестиционного потока. Чистый приведенный доход, рассчитанный по ставке приведения i , равен: NPV (i)  C0 (1  i)t0  C1 (1  i)t1  ...  Cn (1  i)tn 36 NPV (i)  0 означает, что доходы окупают затраты, а NPV (i)  0 означает, что доходы не окупают затраты при принятой ставке приведения i . Чем больше значение NPV (i)  0 , тем более эффективными являются инвестиции. Рассмотрим случай, когда все затраты осуществляются в начальный момент времени, а затем инвестор начинает получать доходы. Тогда инвестиционный поток имеет вид: CF  {(0;  С0 ), (1; С1 ), ... , (n; Сn )} где C0  I 0 - начальные инвестиции, Ck  Pk  0, k  1; ... ; n , и хотя бы ч рассчитанный по ставке приведения i , равен: n Ck k k 1 (1  i ) NPV (i)  C0   При i  1 NPV (i) является убывающей функцией, график которой изображен на рис. 3. NPV -1 0 - C0 i0 i Рис. 3. Зависимость чистого приведенного дохода от ставки приведения Говорят, что финансовый поток обладает внутренней нормой доходности, если уравнение 37 NPV (i)  0 имеет единственный корень i0  1 . Значение i0  IRR называется внутренней нормой доходности инвестиционного проекта (IRR  int ernal rate of return) . Внутренняя норма доходности – это такая расчетная процентная ставка, при которой инвестиции только окупаются. Чем выше внутренняя норма доходности, тем выше эффективность инвестиций. Пример Найти внутреннюю норму доходности финансового потока: CF  {(0;  8000), (1; 6000), (2; 5000)} Решение Составим и решим уравнение NPV (i)  0 . 8000  6000(1  i)1  5000(1  i)2  0 . 1 Делая замену x  (1  i) , получим уравнение: 5 x2  6 x  8  0 D  36  160  196; D  14 ; x1  (6  14) / 10  2; x2  (6  14) / 10  0,8 . (1  i)1  2; 1  i  0,5; i  1,5  1 (не подходит) (1  i)1  0,8; 1  i  1,25; i  0,25 i0  IRR  0,25  25% . Вычисление внутренней нормы доходности финансового потока, путем представления его в виде разности двух неотрицательных потоков Рассмотрим финансовый поток: 38 CF  {(t0 ; С0 ), (t1; С1 ), ... , (tn ; Сn )}, в котором отрицательные платежи могут чередоваться с положительными. Предположим, что этот поток обладает внутренней нормой доходности. Представим поток CF в виде разности двух неотрицательных потоков CF1 и CF2 : CF  CF1  CF2 . CF1  {(t0 ; A0 ), (t1; A1 ), ... , (tn ; An )} CF2  {(t0 ; B0 ), (t1; B1 ), ... , (tn ; Bn )}. Значение платежей Ak и Bk , k  0; 1; ... ; n определяются по формулам: Ak  max(0; Ck ), Bk  max(0;  Ck ) . Обозначим через  A и  B средние сроки потоков CF1 и CF2 . Тогда справедливы равенства: A0 An A0  A1  ...  An A1   ...   ; t0 tn t1 A (1  i) (1  i) (1  i) (1  i) B0 Bn B0  B1  ...  Bn B1   ...   . (1  i)t0 (1  i)t1 (1  i)tn (1  i) B Уравнение NPV (i)  0 приобретает вид: A0  A1  ...  An B0  B1  ...  Bn  . (1  i) A (1  i) B Откуда получаем: (1  i) A  B  A0  A1  ...  An . B0  B1  ...  Bn Следовательно, внутренняя норма доходности финансового потока CF вычисляется по формуле:  A  A1  ...  An  i0  IRR   0   B0  B1  ...  Bn  1  A  B 39  1. Внутренняя норма доходности простых инвестиционных потоков Простым инвестиционным потоком называется финансовый поток, в котором все отрицательные платежи предшествуют всем положительным. Справедлива теорема: Теорема Любой простой инвестиционный поток имеет однозначно определенную внутреннюю норму доходности. Пример Найти внутреннюю норму доходности финансового потока: CF  {(0;  400), (1;  350), (2; 500), (3; 800)}. Решение Данный финансовый поток является простым и, следовательно, обладает внутренней нормой доходности. Вычислим ее путем представления потока CF в виде разности двух неотрицательных потоков CF1 и CF2 по формуле: 1  A  B  A  A1  ...  An  i0  IRR   0  B  B  ...  B 1 n    1. Потоки CF1 и CF2 имеют вид: CF1  {(0; 0), (1; 0), (2; 500), (3; 800)} CF2  {(0; 400), (1; 350), (2; 0), (3; 0)}. Средние сроки потоков CF1 и CF2 равны: A  0*0  0*1  500*2  800*3 3400 34   ; 0  0  500  800 1300 13 B  400*0  350*1  0*2  0*3 350 7   ; 400  300  0  0 750 15  A  B  34 7 510  91 419    ; 13 15 195 195 40 1 195  ;  A   B 419  1300  i0     750  195 419  26  1     15  195 419  1  0,291737423; i0  IRR  29,17% Полученное значение i0  IRR  29,17% является приближенным, так как средние сроки потоков CF1 и CF2 вычислялись по приближенной формуле:  P0 t0  P1 t1  ...  Pn tn . P0  P1  ...  Pn Внутренняя норма доходности финансовых потоков с чередованием положительных и отрицательных платежей Нетто – суммой потока платежей CF  {(t0 ; С0 ), (t1; С1 ), ... , (tn ; Сn )} к моменту времени t называется сумма: S (t )   Ck . tk t Финансовый поток называется потоком инвестиционного типа, если он обладает следующими свойствами: 1) начальный платеж отрицателен; 2) нетто – сумма всего потока положительна; 3) существует момент времени, начиная с которого все платежи положительны, а все предшествующие нетто – суммы отрицательны. Справедлива теорема: Теорема Любой финансовый поток инвестиционного типа имеет однозначно определенную положительную внутреннюю норму доходности. 41 Пример Найти внутреннюю норму доходности финансового потока: CF  {(0; 100), (1; 50), (2; 100), (3; 100), (4; 150), (5; 150)}. Решение Данный финансовый поток является потоком инвестиционного типа и, следовательно, обладает внутренней нормой доходности. Вычислим ее путем представления потока CF в виде разности двух неотрицательных потоков CF1 и CF2 по формуле:  A  A1  ...  An  i0  IRR   0   B0  B1  ...  Bn  1  A  B  1. Потоки CF1 и CF2 имеют вид: CF1  {(0; 0), (1; 50), (2; 0), (3; 100), (4; 150), (5; 150)} CF2  {(0; 100), (1; 0), (2; 100), (3; 0), (4; 0), (5; 0)} Средние сроки потоков CF1 и CF2 рассчитаем по приближенной формуле:  A  P0 t0  P1 t1  ...  Pn tn P0  P1  ...  Pn 0*0  50*1  0*2  100*3  150*4  150*5 1700 34   ; 0  50  0  100  150  150 450 9 B  100*0  0*1  100*2  0*3  0*4  0*5 200   1; 100  0  100  0  0  0 200  A  B  34 34  9 25 1   ; 9 9 9 1 9   0,36;  A   B 25 9 25 9 25  450  9 i0    1     1  2,250,36  0,339015815;   200  4 i0  IRR  33,90% 42 Полученное значение i0  IRR  33,90% является приближенным, так как средние сроки потоков CF1 и CF2 вычислялись по приближенной формуле. . Модифицированная внутренняя норма доходности Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR – modified internal rate of return) учитывает возможность реинвестирования получаемых доходов. Обозначим: k - номер периода времени; n - общий срок проекта (количество периодов); I k - затраты в k - ом периоде; Pk - доходы в k - ом периоде; i - процентная ставка за период (цена капитала проекта); im  MIRR - модифицированная внутренняя норма доходности. Современная величина инвестиций равна: n PVинв   I k (1  i) k k 0 Конечная величина потока доходов равна: n FVдох   Pk (1  i)nk k 0 Ставка im  MIRR находится из уравнения: PVинв  FVдох (1  im )n и равна: 1 n  FV  im  MIRR   дох   1.  PVинв  43 Пример Найти модифицированную внутреннюю норму доходности финансового потока: CF  {(0;  400), (1;  350), (2; 500), (3; 800)}. Процентная ставка за период (цена капитала) i  10% . Решение PVинв  400  350*1,11  718,1818182 FVдох  500*1,1  800  1350 PVинв  FVдох ; (1  im )n (1  im )n  FVдох ; PVинв 1 n  FV  im  MIRR   дох   1;  PVинв  1 3 1350   im     1  0,234145756  23,41% . 718,1818182   НЕПРЕРЫВНЫЕ ФИНАНСОВЫЕ ПОТОКИ Накопленная сумма и современная величина непрерывного потока платежей Непрерывные потоки платежей используются при моделировании потоков, состоящих из платежей с малыми промежутками между ними. Такими потоками являются, например, финансовые потоки крупных банков, потоки коммунальных платежей, потоки налоговых платежей и т. д. 44 Непрерывный финансовый поток задается функцией C(t ) , определяемой как сумма платежей за промежуток времени [0; t ] . Величина C (t2 )  C (t1 ) определяет сумму платежей за промежуток [t1 ; t2 ] . Если функция C(t ) имеет непрерывную производную, то функция  (t )  C(t ) называется плотностью потока платежей C(t ) в момент времени t . Справедливо равенство: t2 C (t2 )  C (t1 )    (t ) dt . t1 Вычислим накопленную сумму S (t ) непрерывного финансового потока C(t ) с плотностью  (t ) . Пусть i - номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста). Предположим, что к моменту времени t накопленная сумма составляет S (t ) . Приращение S (t ) к моменту времени t  t складывается из процентов на S (t ) и денег, принесенных потоком C(t ) . При непрерывном начислении процентов наращенная сумма вычисляется по формуле: S (t )  S0 e it , где S0 - сумма в момент времени t  0 . Проценты на S (t ) за малый промежуток времени t составляют: S (t )  S (t ) t   S0 e it  t  i S0 e it t  i S (t ) t . Денежный поток C(t ) принесет за промежуток времени t сумму: C(t )  C(t ) t  (t ) t . Таким образом, полное приращение накопленной суммы за промежуток времени t составит: i S (t ) t   (t ) t . 45 Переходя к дифференциалам, получим дифференциальное уравнение: d S (t )  i S (t ) d t  (t ) d t или S (t )  i S (t )  (t ) . Полученное дифференциальное уравнение решим методом вариации постоянной. Сначала решим однородное уравнение: S (t )  i S (t ) . Последовательность преобразований имеет вид: dS  i S (t ); dt dS  i d t; S d ln S  i d t; ln S  i t  ln K , K  const , K  0; S ln    it ; K S  e it ; K S (t )  K e it . Таким образом, общее решение однородного уравнения: S (t )  i S (t ) имеет вид: S (t )  K e it ; K  const; K  0 . Решение неоднородного уравнения: S (t )  i S (t )  (t ) будем искать методом вариации постоянной, то есть в виде: S (t )  K (t ) e it , то есть считая K функцией t . 46 Дифференцируя функцию S (t ) , получим: S (t )  K (t ) e it  i K e it . Подставляя S (t ) в неоднородное уравнение, получаем: K (t ) e it  i K e it  i K (t ) e it   (t ) . Откуда получаем: K (t ) e it   (t ) или K (t )   (t ) e  it . Следовательно: t K (t )    ( ) e  i d  B , t0 где B - произвольная постоянная, t0 - некоторый фиксированный момент времени. Таким образом, общее решение неоднородного дифференциального уравнения S (t )  i S (t )   (t ) имеет вид: t  S (t )     ( ) e  i d  B  e it . t  0  Считая, что S (t0 )  S0 , получим: S0  (0  B) e it0 ; B  S0 e  it0 . Тогда для накопленной суммы денежного потока получим выражение: S (t )  S0 e i ( t t0 ) t    ( ) e i (t  ) d . t0 В частности, если при t0  0 S0  0 , тогда это выражение примет вид: t S (t )    ( ) e i (t  ) d . 47 Приведенная к t  0 стоимость потока платежей с плотностью промежуток времени от 0 до A(t )  S (t ) e it t (современная стоимость A(t ) потока) равна: e  it t   ( ) e i ( t  ) t d    ( ) e  i d t A(t )    ( ) e  i d Поток платежей c линейно меняющейся плотностью Линейно меняющаяся плотность потока платежей имеет вид:  (t )  0   t , где 0 - начальное значение плотности потока. Найдем современную стоимость данного потока платежей за промежуток времени от 0 до t : t A(t )    ( ) e  i t    e  i  (t ) за t d   ( 0   ) e  i t d  0  e  i d  t  1  i t   d  0   e |     d e  i   i  i 0 1  e  it  e  i t  t  i  0  |0  i  e d   i i 1  e  it  t e  it   i t  0   2 e |  i i i 1  e  it  t e  it   e  it  0   2 2  i i i i 1  e  it   1  e  it  0   i i i 48   t e  it   i    1 e    0    i  i   it   t e  it .  i  Таким образом, современная величина потока платежей за промежуток времени от 0 до t равна:    1  e  it  A(t )   0    i  i    t e  it .  i  Наращенная величина потока платежей за промежуток времени от 0 до t равна:    e it  1   t  S (t )  A(t ) e   0     i  i  i  it Поток платежей c постоянной плотностью Если в полученной формуле положить   0 , то получим выражение для современной стоимости A(t ) потока платежей с постоянной плотностью 0 за промежуток времени от 0 до t : 1  e  it A(t )  0 . i Наращенная величина потока платежей за промежуток времени от 0 до t равна: e it  1 S (t )  A(t ) e  0 . i it Пример Намечается в течение трех лет линейный рост коммунальных платежей в некотором районе на 10 млн. руб. в год. Начальная величина плотности коммунальных платежей составляет 100 млн. руб. На поступающие платежи непрерывно начисляются проценты. Номинальная годовая процентная ставка 49 при непрерывном начислении процентов (сила роста) равна 5%. Найти наращенную сумму денежных поступлений за 3 года. Решение  (t )  0   t ; 0  100000000 ;   10000000 ; i  0,05 ; n  3 . Наращенная сумма денежных поступлений равна:   e in 1   n  S (n)   0     i i    i 10000000   e 0,15  1   S (3)  100000000    0,05   0,05     10000000*3  371005456,37 руб. 0,05 Поток платежей c экспоненциально меняющейся плотностью Экспоненциально меняющаяся плотность потока платежей имеет вид:  (t )  0 e  t , где 0 - начальное значение плотности потока. Найдем современную стоимость данного потока платежей за промежуток времени от 0 до t : t A(t )    ( ) e  i t d  0  e  e  i t d  0  e (   i ) d  e (   i ) t e (  i) t 1  0  0 . |  i  i Наращенная величина потока платежей за промежуток времени от 0 до t равна: e  t  e it S (t )  A(t ) e  0 .  i it Пример 50 Прогнозируется, что в течение трех лет величина коммунальных платежей в некотором районе будет ежегодно удваиваться. Начальная величина плотности коммунальных платежей составляет 100 млн. руб. На поступающие платежи непрерывно начисляются проценты. Номинальная годовая процентная ставка при непрерывном начислении процентов (сила роста) равна 5%. Найти наращенную сумму денежных поступлений за 3 года. Решение  (t )  0 e  t ; 0  100000000 ; i  0,05 ; n  3 .  (t )  0 e  t  0 2 t  0 e ln 2  0 e t ln 2 ;    ln 2 . t Наращенная величина потока платежей за промежуток времени от 0 до t равна: e  n  e in e 3*ln 2  e 0,15 S (t )  0  100000000   i ln 2  0,05 23  e0,24  100000000  1046222552,64 руб. 0,693147180560  0,05 РЕНТЫ Регулярные финансовые потоки Регулярными финансовыми потоками называются потоки платежей, имеющие равные интервалы между платежами и постоянные или следующие определенному правилу размеры платежей. Финансовые ренты 51 Регулярный поток положительных платежей называется финансовой рентой или просто рентой. Параметры ренты Ренты определяются следующими параметрами: - член ренты (размер отдельного платежа); - период ренты (временной интервал между двумя последовательными платежами) - срок ренты (время от начала первого периода до конца последнего периода); - процентная ставка. Виды рент По количеству выплат на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата 1 раз в году), p - срочные ( p выплат в году) и непрерывные ( p   ). По числу раз начисления процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением m раз в году, с непрерывным начислением ( m   ). Ренты с конечным числом платежей называются конечными или ограниченными. Ренты с бесконечным числом платежей называются бесконечными или вечными. Если члены ренты одинаковые, то рента называется постоянной, а если члены ренты меняются по определенному правилу, то рента называется переменной. Если платежи осуществляются в конце периодов ренты, то такие ренты называются обыкновенными или постнумерандо. 52 Если платежи осуществляются в начале периодов ренты, то такие ренты называются авансированными или пренумерандо. Ренты, имеющие в выбранной временной шкале единичный период, конечный срок и постоянные платежи, называются стандартными рентами. Например, конечная годовая постоянная рента является стандартной рентой в годовой временной шкале. Ренты в схеме сложных процентов Далее мы будем рассматривать постоянные ренты с ежегодными платежами величиной R в схеме сложных процентов с номинальной годовой процентной ставкой i . ГОДОВЫЕ РЕНТЫ Годовая конечная рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов Годовая конечная рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком: CF  {(0; 0), (1; R), (2; R), ... , (n; R)}, где k  0; 1; 2; ... ; n - номер года. Сумма членов ренты, приведенная к моменту начала ренты, то есть к моменту t  0 , называется современной величиной (стоимостью) ренты A . Современная величина A рассматриваемой ренты равна: A  R (1  i)1  R (1  i)2  ...  R (1  i)n . Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом b1  R (1  i) 1 1 и знаменателем q  (1  i) . Вычисляя современную стоимость A ренты по формуле 53 b1 (1  q n ) , Sn  1 q получим: 1  (1  i) n 1  (1  i) n A  R (1  i) R  1  (1  i)1 (1  i) 1  (1  i)1  1 1  (1  i) n 1  (1  i) n R R . 1  i 1 i Таким образом, современная стоимость A ренты равна: 1  (1  i) n A R . i Множитель an; i 1  (1  i) n  i называется коэффициентом приведения данной ренты. Справедливо равенство: A  R an; i . Коэффициент приведения показывает, во сколько раз современная стоимость ренты больше величины годового платежа. Сумма членов ренты, приведенная к моменту окончания ренты, называется наращенной величиной (стоимостью) ренты S . Для рассматриваемой ренты наращенная стоимость равна: S  R (1  i)n1  R (1  i)n2  ...  R . Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом b1  R и знаменателем q  (1  i) . Следовательно, 1  (1  i)n 1  (1  i)n (1  i)n  1 SR R R 1  (1  i) i i Таким образом, наращенная стоимость S ренты равна: 54 (1  i)n  1 SR . i Множитель sn; i (1  i)n  1  i называется коэффициентом наращения данной ренты. Имеет место равенство: S  R sn; i . Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная стоимость ренты больше величины годового платежа. Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: S  A(1  i)n ; A  S (1  i)n . Пример Создается фонд. Средства в него поступают в виде годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер годового платежа 6 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 10% годовых. Найти современную и наращенную величину фонда. Решение Наращенная величина фонда равна: (1  i) n  1 (1  0,1)5  1 SR  6000000  36630600 руб. i 0,1 Современная величина фонда равна: A  S (1  i)n  36630600(1  0,1)5  22774720,62 руб. 55 Годовая конечная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в году В этом случае эффективная годовая процентная ставка равна: m i' эфф i    1    1 ,  m где i - номинальная годовая процентная ставка. Наращенная и современная величины ренты равны: Sm  R Am  R (1  iэфф )n  1 iэфф ; 1  (1  iэфф ) n iэфф . Подставляя в эти формулы вместо iэфф ее выражение через i и m , получаем искомые выражения. Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: mn i   1   m  1  Sm  R  . m i   1  m   1   Современная величина рассматриваемой ренты равна: m n i   1  1   m Am  R  . m i   1  m   1   Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: 56 i   Sm  Am 1    m i   Am  Sm 1    m mn ; m n . Пример Создается фонд. Средства в него поступают в виде годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер годового платежа 6 млн. руб. На поступившие взносы ежемесячно начисляются проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Найти современную и наращенную величину фонда. Решение Наращенная величина фонда равна: mn 60 i    0,1  1   1  m 1  12   1    Sm  R  6000000   m 12 i    0,1  1  m   1 1  12   1      36975839,61 руб. Современная величина фонда равна: m n i    0,1  Am  Sm 1    36975839,82 1    m  12   22473493,61 руб. 60  Годовая конечная рента пренумерандо с ежегодным начислением процентов Годовая конечная рента пренумерандо с ежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком: CF  {(0; R), (1; R), (2; R), ... , (n 1; R), (n; 0)} , 57 где k  0; 1; 2; ... ; n - номер года. & &рассматриваемой ренты равна: Современная величина A & & R  R (1  i)1  ...  R (1  i)n1 . A Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым 1 членом b1  R и знаменателем q  (1  i) . & &ренты по формуле Вычисляя современную стоимость A b1 (1  q n ) , Sn  1 q получим: n n n & & R 1  (1  i)  R 1  (1  i)  R 1  (1  i) (1  i) . A 1  1  (1  i)1 i  1  1  i    & &ренты равна: Таким образом, современная стоимость A n & & R 1  (1  i) (1  i) . A i Коэффициент приведения данной ренты равен: 1  (1  i) n & a& (1  i) . n; i  i Справедливо равенство: & & R a& & A n; i . Наращенная стоимость рассматриваемой ренты равна: & R (1  i)n  R (1  i)n1  ...  R (1  i) . S& Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым членом b1  R (1  i ) и знаменателем q  (1  i) . Следовательно, 1  (1  i)n 1  (1  i)n (1  i)n  1 & & S  R (1  i) R (1  i)  R (1  i) 1  (1  i) i i 58 &рассматриваемой ренты равна: Таким образом, наращенная стоимость S& (1  i)n  1 & & SR (1  i) . i Коэффициент наращения данной ренты равен: (1  i)n  1 & s& (1  i) n; i  i Имеет место равенство: & R & S& s& n; i . Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: & A & &(1  i)n ; S& & & S& &(1  i)n A и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: & (1  i) S; S& & & (1  i) A . A Пример Создается фонд. Средства в него поступают в виде годовой ренты пренумерандо в течение 5 лет. Размер годового платежа 6 млн. руб. На поступившие взносы начисляются проценты по ставке 10% годовых. Найти современную и наращенную величину фонда. Решение Наращенная величина фонда равна: (1  i) n  1 (1  0,1)5  1 & & SR (1  i)  6000000 (1  0,1)  i 0,1  40293660 руб. Современная величина фонда равна: 59 & & S& &(1  i)n  40293660(1  0,1)5  25019192,68 руб. A Годовая конечная рента пренумерандо с начислением процентов m раз в году Наращенная и современная величины ренты равны: & R S& m & &R A m (1  iэфф )n  1 iэфф 1  (1  iэфф ) n iэфф (1  iэфф ) ; (1  iэфф ) . Подставляя в эти формулы вместо iэфф ее выражение через i и m : m i' эфф i    1    1 ,  m где i - номинальная годовая процентная ставка, получаем искомые выражения. Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: mn i   m 1  m   1 i     & R S& m 1  m  . m   i   1   1  m   Современная величина рассматриваемой ренты равна: m n i   1  1   m i m     & &R A m 1  m  . m   i   1   1  m   Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты 60 & A & & 1  i  S& m m   m & &  S& & 1  i  A m m   m mn ; m n и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: m &  S 1  i  ; S& m m   m m & &  A 1  i  . A m m   m Пример Создается фонд. Средства в него поступают в виде годовой ренты пренумерандо в течение 5 лет. Размер годового платежа 6 млн. руб. На поступившие взносы ежемесячно начисляются проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Найти современную и наращенную величину фонда. Решение Наращенная величина фонда равна: mn i   1  m  m  1 i     & R S& m 1  m   m   i   1  m   1   60  0,1  12 1  12   1  0,1     6000000 1  12   40847693,43 руб. 12    0,1  1  12   1   Современная величина фонда равна: 61 m n & &  S& & 1  i   40847693,43 1  0,1  A m m   12   m    24826762,06 руб. 60  Годовая конечная рента постнумерандо. Непрерывное начисление процентов Так как i m   i i  i    lim 1    lim  1     e i , m m   m  m    m то наращенная величина рассматриваемой ренты S  равна: mn i   1  m   1 en i  1   S  lim Sm  R R i . m m e  1 i   1  m   1   en i  1 S  R i . e 1 Аналогично получаем формулу для современной величины A рассматриваемой ренты: 1  e n i A  R i . e 1 Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: A  S e n i . S  A en i ; 62 Пример Создается фонд. Средства в него поступают в виде годовой ренты постнумерандо в течение 5 лет. Размер годового платежа 6 млн. руб. На поступившие взносы непрерывно начисляются проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Найти современную и наращенную величину фонда. Решение Наращенная величина фонда равна: en i  1 e0,5  1 S  R i  6000000 0,1  37009543,09 руб. e 1 e 1 Современная величина фонда равна: A  Se n i  37009543,09 e0,5  20627830,61 руб. Годовая конечная рента пренумерандо. Непрерывное начисление процентов Так как i m   i  i i     lim 1    lim 1    ei , m m   m  m    m то наращенная величина рассматриваемой ренты S  равна: mn i   m 1  m   1 i en i  1 i     & & & & S  lim Sm  R  1  m   R ei  1 e . m m   i   1   1  m   ni e 1 i & R S& e .  e i 1 63 Аналогично получаем формулу для современной величины A рассматриваемой ренты: n i & &  R 1 e ei . A  ei  1 Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: & A & & en i ; S&   & & S& & e n i . A  и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: &  S ei; S&   & & A e i A  . Пример Создается фонд. Средства в него поступают в виде годовой ренты пренумерандо в течение 5 лет. Размер годового платежа 6 млн. руб. На поступившие взносы непрерывно начисляются проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Найти современную и наращенную величину фонда. Решение Наращенная величина фонда равна: en i  1 i e0,5  1 0,1 & & S  R i e  6000000 0,1 e  40901870,71 руб. e 1 e 1 Современная величина фонда равна: & &  S& &e n i  40901870,71 e0,5  24808238,63 руб. A   64 ВЕЧНЫЕ РЕНТЫ Вечная годовая рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов Вечная годовая конечная рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком: CF  {(0; 0), (1; R), (2; R), ... }. Ее современная величина равна:  1  (1  i) n  R R n Aв  lim A  lim  R  lim(1  (1  i ) )  .  n n n i i i   Aв  R . i Ее наращенная величина равна:  (1  i) n  1  R Sв  lim S  lim  R  lim((1  i) n  1)   .  n n i   i n Sв   . Наращенная величина рассматриваемой ренты и, что несложно показать, наращенные величины всех вечных рент равны бесконечности. Однако, с практической точки зрения, нас интересуют только современные величины вечных рент, которые имеют конечные значения. Пример Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 1 200 000 руб. бесконечно долго при сложной процентной ставке 6% годовых. Решение Размер вклада равен: 65 Aв  R 1200000   20000000 руб. i 0,06 Вечная годовая рента пренумерандо с ежегодным начислением процентов Вечная годовая конечная рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком: CF  {(0; R), (1; R), (2; R), ... }. Ее современная величина равна: n   1  (1  i ) & &  lim A & & lim R A (1  i )   в n n i    R R (1  i)lim(1  (1  i) n )  (1  i) . n i i & &  R (1  i) . A в i Пример Найти размер вклада, обеспечивающего получение в начале каждого года 1 200 000 руб. бесконечно долго при сложной процентной ставке 6% годовых. Решение Размер вклада равен: & & R 1  i   1200000 (1  0,06)  21200000 руб. A в i 0,06 66 Вечная годовая рента постнумерандо с начислением процентов m раз в году Ее современная величина равна: Aв; m m n  i    1  1   m  lim Am  lim  R  m n n  i    1    1   m       m n   i   R  lim 1  1      m  m m n      i  i    1  m   1 1  m   1     R Aв; m  R m i   1  m   1   . Пример Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 1 200 000 руб. бесконечно долго при номинальной сложной годовой процентной ставке 6% и ежемесячном начислении процентов. Решение Размер вклада равен: Aв; m  R m  1200000 12 i    0,06  1  m   1 1  12   1      19455943,13 руб. Вечная годовая рента пренумерандо с начислением процентов m раз в году Ее современная величина равна: 67 m n  i   m  1  1   i m     & &  lim A & &  lim  R A в; m m 1  m  m n n    i   1   1      m       m  mn   i  i     1  1     1  m  lim m n    i     m  1   1  m   R  m R m i   1  m   1   & &  A в; m i   1  m  .   m R m i   1  m   1   i   1   m .   Пример Найти размер вклада, обеспечивающего получение в начале каждого года 1 200 000 руб. бесконечно долго при номинальной сложной годовой процентной ставке 6% и ежемесячном начислении процентов. Решение. Размер вклада равен: & &  A в; m  m i   1  m   1   1200000 12 m R  0,06  1  12   1   i   1  m     12  0,06  1  12   20655943,13 руб.   68 Вечная годовая рента постнумерандо с непрерывным начислением процентов Ее современная величина равна: Aв;   lim Am  lim m  lim m m R m i   1  m   1   R i m   i i    1     1  m     Aв;     R . e i 1 R e i 1 . Пример Найти размер вклада, обеспечивающего получение в конце каждого года 1 200 000 руб. бесконечно долго при номинальной сложной годовой процентной ставке 6% и непрерывном начислении процентов. Решение Размер вклада равен: Aв;   R 1200000   19405999,64 руб. e i  1 e 0,06  1 Вечная годовая рента пренумерандо с непрерывным начислением процентов Ее современная величина равна: 69 & &  lim A & &  lim A в;  m m m m R m i   1  m   1   i   1   m    i  lim m R i m   i i    1     1  m     m   i  1  i    R e i .   m   e i  1   & &  R ei . A в;  e i 1 Пример Найти размер вклада, обеспечивающего получение в начале каждого года 1 200 000 руб. бесконечно долго при номинальной сложной годовой процентной ставке 6% и непрерывном начислении процентов. Решение Размер вклада равен: Aв;   R i 1200000 0,06 e  0,06 e  20605999,64 руб. e i 1 e 1 СРОЧНЫЕ РЕНТЫ Рентные платежи в таких рентах производятся не ежегодно, а разбиты на p одинаковых платежей, равномерно распределенных в течение года. p - срочная рента постнумерандо с начислением процентов один раз в году p - срочная рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком: 70  1 R  2 R  1 R  R CF  { 0; 0  ,  ;  ,  ;  , ... ,  n  ;  ,  n ; } . p p  p  p p  p p  За n лет производится N  n p платежей , величиной R / p каждый. Современная величина рассматриваемой ренты равна: 1 ( p) A 2 n    R R R  (1  i) p  (1  i) p  ...  (1  i) p . p p p Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым 1 1   R членом b1  (1  i) p и знаменателем q  (1  i) p . Вычисляя ее по p формуле b1 (1  q N ) , SN  1 q получаем: 1 ( p) A  R  (1  i) p p 1  R  (1  i) p p 1    1   (1  i) p      1  (1  i)  1 p np  1  (1  i)  n R 1  (1  i)  n  . 1 1 1  p (1  i) p ((1  i) p  1) (1  i) p  1 Таким образом: ( p) A R 1  (1  i)  n .  1 p (1  i) p  1 Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: 1 S ( p) 2 n n R R R p  (1  i)  (1  i) p  ...  . p p p 71 Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым R членом b1  и знаменателем q  (1  i) p 1 p . Вычисляя ее по формуле, получаем: S ( p) R (1  i) n  1  1 p (1  i) p  1 Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: S ( p)  A ( p)(1  i)n ; A( p )  S ( p) (1  i)n . Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Годовая процентная ставка равна 10%. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  1; p  12; R / p  10000000; i  10% . Наращенная величина равна: S ( p) R (1  i) n  1 1,14  1   10000000 1  582006304,8 руб. 1 p 1,112  1 (1  i) p  1 Современная величина равна: A( p)  S ( p) (1  i)n  582006304,8*1,1 4  397518137,3 руб. 72 p - срочная рента пренумерандо с начислением процентов один раз в году p - срочная рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов описывается финансовым потоком:  R  1 R  2 R  1 R CF  { 0;  ,  ;  ,  ;  , ... ,  n  ;  ,  n ; 0 } . p p  p  p p  p p  За n лет производится N  n p платежей , величиной R / p каждый. Современная величина рассматриваемой ренты равна: 1 1  n R R R p & & A   (1  i)  ...  (1  i) p . p p p ( p) Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым 1  R членом b1  и знаменателем q  (1  i) p . Вычисляя ее по формуле, p получаем: R 1  (1  i)  n & & A  (1  i) p . 1 p (1  i) p  1 1 ( p) Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: 1 n R R R n & & S  (1  i)  (1  i) p  ...  (1  i) p p p ( p) 1 p . Данная сумма есть сумма членов геометрической прогрессии с первым 1 R p членом b1  (1  i) и знаменателем q  (1  i) p 1 p . Вычисляя ее по формуле, получаем: R (1  i) n  1 & & S  (1  i) 1 p (1  i) p  1 ( p) 73 1 p Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты ( p) & & &( p)(1  i)n ; S& A ( p) & &( p )  S& & A (1  i)n . и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: 1 &( p )  S ( p )(1  i) p ; S& & &  A (1  i) A ( p) ( p)  1 p . Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Годовая процентная ставка равна 10%. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  1; p  12; R / p  10000000; i  10% . Наращенная величина равна: R (1  i) n  1 1,14  1 121 p & & S  (1  i)  10000000 1 1,1  1 p 1,112  1 (1  i) p  1  586647304,8 руб. 1 ( p) Современная величина равна: ( p) & &( p)  S& & A (1  i)n  586647304,8*1,1 4  400688800,7 руб. p - срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в году (m  p) В этом случае эффективная годовая процентная ставка равна: 74 m i' эфф i    1    1 ,  m где i - номинальная годовая процентная ставка. Наращенная и современная величины ренты равны: S n R (1  iэфф )  1  ; 1 p (1  iэфф ) p  1 ( p) m ( p) m A n R 1  (1  iэфф )  . 1 p (1  iэфф ) p  1 Подставляя в эти формулы вместо iэфф ее выражение через i и m , получаем искомые выражения. Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: mn Sm( p ) i   1   1  R m   . m p i p  1   m  1   Современная величина рассматриваемой ренты равна: m n Am( p ) i   1  1   R  m  . m p i p  1   m  1   Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: ( p) m i    A 1    m ( p) m S S A mn ( p) m ( p) m i   1   m   75 ; m n . Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Проценты начисляются ежеквартально по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  4; p  12; R / p  10000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: mn i   1  1  R m Sm( p )    10000000 m p i p  1   m  1    586225215,2 руб. 16  0,1  1  4   1    4 .  0,1 12 1  4   1   Современная величина фонда равна: m n i    0,1  A  S 1    586225215,2 1  4   m   394895921,6 руб. ( p) m ( p) m 16  p - срочная рента пренумерандо с начислением процентов m раз в году (m  p) Эффективная годовая процентная ставка равна: m i' эфф i    1    1 ,  m где i - номинальная годовая процентная ставка. Наращенная и современная величины ренты равны: 76 1 n (1  i )  1 R эфф &  S& (1  iэфф ) p ; 1 p (1  iэфф ) p  1 ( p) m 1 n 1  (1  i ) R эфф & &  A (1  iэфф ) p . 1 p (1  iэфф ) p  1 ( p) m Подставляя в эти формулы вместо iэфф ее выражение через i и m , получаем искомые выражения. Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: mn i   m 1  1  i p  &( p )  R  m  S& 1  m  m . m p   i p  1  m   1   Современная величина рассматриваемой ренты равна: m n i   1  1    m & &( p )  R A m m p i p  1   m  1   m p i   1  m  .   Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: & A & & 1  i  S&  m   ( p) m ( p) m mn & &  S& & 1  i  A  m   ( p) m ; m n ( p) m и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: m p &( p )  S ( p ) 1  i  ; S& m m    m m p & &( p )  A( p ) 1  i  . A m m    m 77 Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Проценты начисляются ежеквартально по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  4; p  12; R / p  10000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: mn i   m 1  1  R  m i p  ( p) & & Sm  1  m   m p   i p  1  m   1   16  0,1  4 1  4   1 12  0,1    10000000  1  4   596195974,1 руб. 4    0,1 12 1  4   1   Современная величина фонда равна: m n & &( p )  S& &( p ) 1  i   596195974,1 1  0,1  A m m    4   m   401612473,4 руб. 16  p - срочная рента постнумерандо с начислением процентов m раз в году (m  p) ( p) ( p) Полагая в полученных общих формулах для Sm и Am значения p  m , получим формулы для вычисления наращенной и современной величин рент для частного случая p  m . Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: 78 S ( m) m i   1   m  R  i mn 1 . Современная величина рассматриваемой ренты равна: Am( p ) i   1  1    m R i m n . Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: Sm( m) ( m) m A i    Am( m) 1    m S ( m) m i   1  m    mn ; m n Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  12; p  12; R  120000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: mn i    0,1  1  m   1 1  12    Sm( m)  R   120000000  i 0,1  587224918 руб. Современная величина фонда равна: 79 mn 1  m n i    0,1  A  S 1    587224918 1    m  12   394281600,8 руб. ( m) m ( m) m  48  p - срочная рента пренумерандо с начислением процентов m раз в году (m  p) &( p ) и A & &( p ) значения Полагая в полученных общих формулах для S& m m p  m , получим формулы для вычисления наращенной и современной величин рент для частного случая p  m . Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: i   1  m   &( m)  R  S& m i mn 1 i   1   m .   Современная величина рассматриваемой ренты равна: i   1  1   & &( m)  R  m  A m i m n i   1   m .   Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: mn & A & & 1  i  ; S&  m   ( m) m ( m) m & &( m)  S& &( m) 1  i  A m m    m m n . и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: &( m)  S ( m) 1  i  ; S& m m    m 80 & &( m)  A( m) 1  i  . A m m    m Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  12; p  12; R  120000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: i   1  m   &( m)  R  S& m i mn 1  0,1  1  12    120000000  0,1  592118459 руб. i   1  m     mn 1  0,1  1  12     Современная величина фонда равна: m n & &( m)  S& &( m) 1  i   592118459 1  0,1  A m m    12   m    397567280,8 руб.  48  p - срочная рента постнумерандо с непрерывным начислением процентов (m  ) Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: 81 S( p )  lim Sm( p ) m   R  lim  m p     1   m  i p   1   m  1     i   1   m   mn ni m   i i    1     1  m   R R e n i 1   .  lim  i i m  p p p m p   e 1 i  1  i    1  m     S R e n i 1  p pi e 1 ( p)  Современная величина рассматриваемой ренты равна: A( p )  lim Am( p ) m   R  lim  m p       m  i p   1   m  1     i   1  1    m mn ni m   i i   1   1     m   R R 1 e  n i    lim  i p m p pi m p   e 1 i i    1     1  m     ( p)  A R 1 e  n i  . p pi e 1 Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: 82 S( p )  A( p ) e n i ; . A( p )  S( p ) e  n i . Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты постнумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Проценты начисляются непрерывно по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  ; p  12; R / p  10000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: ( p)  S R e n i 1 e 0,4  1   10000000 0,1  587733929,6 руб. . p pi e 12  1 e 1 Современная величина фонда равна: A( p )  S( p ) e  n i  587733929,6 e  0,4  393969834,8 руб. p - срочная рента пренумерандо с непрерывным начислением процентов (m  ) Наращенная величина рассматриваемой ренты равна:   &( p )  lim S& &( p )  lim  R S&  m m m  p     m  1 i p   1   m  m    i p  1  m   1     i   1   m   83 mn ni m   i i   i  1     1 m p i  m     ni i R i R e  1     1    lim  ep .   i i  m   p m p p m p     e 1 i  1  i    1  m     R e n i 1 p ( p) & & S  e p pi e 1 i Современная величина рассматриваемой ренты равна:   & &( p )  lim A & &( p )  lim  R A  m m m  p      i    1   m  m    i p  1  m   1     i   1  1    m mn m p ni m   i i    1  1    m   R   lim  i p m m p   i  1  i    1  m       1  i    m   m i i p i  ni R 1  e p   e  p pi  e 1 R 1 e  n i p  e . i p p e 1 i A( p ) Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: &( p )  A & &( p ) e n i ; S&   & &( p )  S& &( p ) e  n i . A   и соотношения, связывающие современные и наращенные величины рассматриваемых рент пренумерандо и постнумерандо: 84 & S S& ( p)  ( p)  i p e ; i p & & A e . A ( p)  ( p)  Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью ренты пренумерандо с ежемесячными взносами 10 млн. руб. Проценты начисляются непрерывно по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  ; p  12; R / p  10000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: 0,1 ni 0,4 R e  1 e  1 p &  S& e  10000000 0,1 e 12  i p p . e 12  1 e 1  592652176,6 руб. i ( p)  Современная величина фонда равна: ( p)  n i & &( p )  S& & A  592652176,6 e  0,4  397266634,3 руб.   e НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕНТЫ Переходя к пределу при p   , получим непрерывный поток платежей с постоянной плотностью, равной R руб. в год. Такой поток платежей называется непрерывной рентой. Непрерывная рента с ежегодным начислением процентов Используя правило Лопиталя, вычислим предел: 85 1   p 1  (1  i)  1 1 p   (1  i)  1   lim  p((1  i) p  1)   lim  lim   p p  p 1    1  p  p    1  (1  i) ln 1  i    2   p   ln 1  i  lim   p  1    p2    1 p Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: S (  )  lim S ( p ) p   n R (1  i )  1   lim  1  p p p  (1  i)  1   (1  i) n  1  R  (1  i)  1 lim R 1 p  ln(1  i)  p  p ((1  i)  1)    1 n S () (1  i) n  1 . R ln(1  i) Современная величина рассматриваемой ренты равна: A(  )  lim A( p ) p   n R 1  (1  i)   lim  1  p p  (1  i) p  1   1  (1  i)  n .  R 1  (1  i)  lim R 1 p  ln(1  i )  p  p ((1  i)  1)    1 n () A 1  (1  i)  n . R ln(1  i) 86 Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: S ()  A() (1  i) n ; A()  S () (1  i)  n . Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью непрерывного потока платежей с постоянной плотностью 120 млн. руб. в год. Проценты начисляются ежегодно по процентной ставке 10%. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  1; p  ; R  120000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: S () (1  i) n  1 1,14  1 R  120000000  584323732,4 руб. ln(1  i) ln1,1 Современная величина фонда равна: A()  S () (1  i)  n  584323732,4*1,1 4  399100971,5 руб. Непрерывная рента с начислением процентов m раз в году Используя правило Лопиталя, вычислим предел: m   p  1  i   1 i   m    m    1  m   1 p i       lim  p  1    1   lim  lim  p   p p  1  m      1    p  p   m p 87  lim i   1  m    p m p i  1   m ln 1     2  i   m  p    m ln 1    1   m   p2    Наращенная величина рассматриваемой ренты равна: Sm( )  lim Sm( p ) p   R  lim  p p     1   m  i p   1   m  1     i   1   m   mn mn i   1  mn  m  1   i  1    R  1    1 lim  R m  m   p  i      p m ln 1  i    m p   1    1     m    mn Sm(  ) i   1   m  1  . R  i   m ln 1    m Аналогично вычисляется современная величина рассматриваемой ренты: mn Аm( ) i   1  1   m R  i   m ln 1    m Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: S () m () m A 88 i   1   m   mn ; () m A S ( ) m i   1   m   mn Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью непрерывного потока платежей с постоянной плотностью 120 млн. руб. в год. Проценты начисляются ежеквартально по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  4; p  ; R  120000000; i  10% . Наращенная величина фонда равна: mn 16 i    0,1  1   1  m 1  4   1    () Sm  R  120000000   i    0,1  m ln 1   4 ln 1  m 4      588644420,1 руб. Современная величина фонда равна: mn i   A  S 1    m  396525558,3 руб. () m () m  0,1   588644420,1* 1  4    16  Непрерывная рента с непрерывным начислением процентов () Современная величина A рассматриваемой ренты равна: mn A(  )  lim Am( )  lim Аm( ) m m i   1  1   m  R lim   m i   m ln 1    m 89 n m   i i   1   1     m   1  e n i    R lim R m m i i   i i   ln  1     m     1  e n i R i ()  A Аналогично вычисляется наращенная величина рассматриваемой ренты: S ()  e n i 1 R . i Справедливы соотношения, связывающие современную и наращенную величины рассматриваемой ренты: Sm()  Am()e n i ; Am( )  Sm( ) e  n i . Пример Фонд создается в течение 4 лет с помощью непрерывного потока платежей с постоянной плотностью 120 млн. руб. в год. Проценты начисляются непрерывно по номинальной процентной ставке 10% годовых. Найти наращенную и современную величину фонда. Решение n  4; m  ; p  ; R  120000000; i  10% . Современная величина фонда равна: ()  A 1  e n i 1  e  0,4 R  120000000  395615944,8 руб. i 0,1 Наращенная величина фонда равна: Sm()  Am() e n i  395615944,8* e 0,4  590189637,2 руб. 90 Совпадение понятий постнумерандо и пренумерандо для непрерывных рент Наращенные и современные величины p - срочных рент постнумерандо и пренумерандо при любой кратности m начисления процентов связаны соотношениями: m p m p &( p )  S ( p ) 1  i  ; S& m m    m & &( p )  A( p ) 1  i  ; A m m    m i p i p &( p )  S ( p ) e ; S&   & &( p )  A( p ) e . A   Переходя к пределу при p   , получаем, что для непрерывных рент при любой кратности начисления процентов справедливы соотношения: &()  S ( ) ; S& m m & &()  A( p ) ; A m m ( p) ( p) & S&   S ; & &( p )  A( p ) . A   Таким образом, для непрерывных рент понятия постнумерандо и пренумерандо совпадают вследствие стремления к нулю интервала между платежами. КОНВЕРСИЯ РЕНТ Конверсией ренты называется изменение условий выплаты ренты. Например, конверсиями рент являются: - замена одной ренты другой; - замена ренты разовым платежом; - замена разового платежа рентой; - замена нескольких рент одной (консолидация рент). 91 При конверсии рент должен соблюдаться принцип финансовой эквивалентности, согласно которому современные величины старых и новых рент должны быть равны. Замена годовой ренты p - срочной рентой Рассмотрим замену годовой ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов с параментрами: n1 ; R1 ; i1 на p - срочную ренту пренумерандо с ежегодным начислением процентов с параметрами n2 ; R2 ; i2 ; p . Современная величина старой ренты равна: 1  (1  i1 )  n1 ; A  R1 i1 Современная величина новой ренты равна: n R2 1  (1  i2 ) 2 ( p) & & A  (1  i2 ) p . 1 p (1  i2 ) p  1 1 Согласно принципу финансовой эквивалентности: & &( p ) . A A Следовательно, уравнение эквивалентности имеет вид: n 1  (1  i1 )  n1 R2 1  (1  i2 ) 2 R1  (1  i2 ) p . 1 i1 p (1  i2 ) p  1 1 Пример Заменить годовую ренту постнумерандо с ежегодным начислением процентов с параментрами: n1  6 лет, R1  750000 руб., i1  11% на p срочную ренту пренумерандо с ежегодным начислением процентов с параметрами: n2  8 лет, i2  11% , p  12 . Найти величину R2 рентного платежа новой ренты. 92 Решение Современная величина старой ренты равна: 1  (1  i1 )  n1 1  1,116 A  R1  750000  3172903,39 руб. i1 0,11 Современная величина новой ренты равна: n R2 1  (1  i2 ) 2 ( p) & & A  (1  i2 ) p  A . 1 p (1  i2 ) p  1 1 Откуда находим: R2  1   p A  (1  i2 ) p  1     1  (1  i )  (1  i )  n2 2 1 p  1 12 12*3172903,39 (1,11  1) 1 12  (1  1,11 8 ) 1,11 2  582413,01 руб. Замена немедленной ренты отсроченной Немедленной рентой называется рента, начало первого периода которой отнесено к настоящему моменту, то есть к t  0 . Отсроченной рентой называется рента, начало первого периода которой отложено на некоторый период времени T . Отсрочка ренты не меняет ее наращенную величину. Современная же величина отсроченной ренты меняется. Пусть A - современная величина немедленной ренты, AT современная величина отсроченной ренты, T - продолжительность отсрочки, i0 - годовая процентная ставка отсрочки. Тогда справедлива формула: AT  A (1  i0 )T . 93 Пусть годовой n1 ; R1 ; i1 - параметры годовой немедленной ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов, n1 ; R1 ; i1 - параметры годовой отсроченной ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов, T - продолжительность отсрочки, i0 - годовая процентная ставка отсрочки. Приравнивая современные величины этих рент, получаем уравнение эквивалентности: 1  (1  i1 )  n1 1  (1  i2 )  n2 R1  R2 (1  i0 )T . i1 i2 Пример Немедленная годовая рента постнумерандо с ежегодным начислением процентов с параметрами: n1  5 лет, R1  3000000 руб., i1  10% заменяется отсроченной на T  2 года годовой рентой постнумерандо с ежегодным начислением процентов с параметрами: n2  5 лет, i2  10% . Годовая процентная ставка отсрочки ренты принята равной i0  10%. Найти годовой платеж R2 отсроченной ренты. Решение Обозначим: n1  n2  n  5; i1  i2  i0  i  10%; Уравнение эквивалентности примет вид: 1  (1  i)  n 1  (1  i)  n R1  R2 (1  i)T . i i Откуда получаем: R1  R2 (1  i)T ; R2  R1 (1  i) T  3000000 1  0,1  3630000 руб. 2 94 Консолидация рент Консолидацией рент называется замена нескольких рент одной рентой. При консолидации рент уравнение эквивалентности состоит в следующем: сумма современных величин старых рент современной величине новой ренты. Пример Три годовые ренты постнумерандо с ежегодным начислением процентов с параметрами: n1  3 года, R1  1000000 руб., i1  10% ; n2  5 лет, R2  1500000 руб., i2  10% ; n3  7 лет, R3  2000000 руб., i3  10% требуется консолидировать годовой рентой пренумерандо с ежегодным начислением процентов с параметрами: n2  4 года, i4  12% . Найти годовой платеж R4 консолидированной ренты. Решение Обозначим: i1  i2  i  10%; Современные величины старых рент равны: 1  (1  i) A1  R1 i  n1 1  (1  i) A2  R2 i 1  (1  i) A3  R3 i  n2  n3 1  1,1 3  1000000  2486581,99 руб. 0,1 1  1,1 5  1500000  5686180,15 руб. 0,1 1  1,1 7  2000000  9736837,64 руб. 0,1 & & Сумма современных величин старых рент равна современной величине A 4 консолидированной ренты: & & A1  A2  A3  17909869,78  A 4 95 & & консолидированной ренты равна: Современная величина A 4 & &  R 1  (1  i4 ) A 4 4 i4  n4 1  i4  . Откуда получаем: R4  & &i A 4 4 1  (1  i )  1  i   n4 4  4 17909869,78*0,12  4 1  1,12  1,12  5264773,11 руб. Рассрочка платежа Рассрочкой платежа называется замена единовременного платежа рентой. Уравнение эквивалентности для данного вида конверсии имеет вид: P  A, (1  i 0 )t0 где P - величина единовременного платежа, t0 - момент времени выплаты единовременного платежа, i 0 - годовая процентная ставка конверсии, A - современная величина ренты. Пример Заменить единовременный платеж P  10000000 руб., который должен быть выплачен через t0  2 года, немедленной годовой рентой постнумерандо с ежегодным начислением процентов. Срок ренты n  6 лет. Годовая процентная ставка ренты i  7% . Годовая процентная ставка конверсии i 0  7% . Найти величину R рентного платежа. Решение Современная величина ренты равна: 96 1  (1  i)  n A R . i Уравнение эквивалентности имеет вид: P 1  (1  i)  n R . (1  i 0 ) i Откуда получаем: R Pi 10000000*0,07   2 6 t0 n (1  i 0 ) 1  (1  i)  1,07 (1  1,07 )  1832437,77 руб. Выкуп рент Выкупом рент называется замена нескольких рент разовым платежом. Уравнение эквивалентности для данного вида конверсии имеет вид: N  Aj  j 1 где Aj , P , (1  i 0 )t0 j  1; 2; ... ; N - современные величины выкупаемых рент, P - величина разового платежа, t0 - момент времени выплаты разового платежа, i 0 - годовая процентная ставка конверсии. Пример Две годовые ренты пренумерандо с ежегодным начислением процентов, параметры которых: n1  4 года, R1  1000000 руб., i1  8% ; n2  5 лет, R2  2000000 руб., i2  9% , требуется заменить разовым платежом, который должен быть выплачен через t0  3 года. Найти величину P разового платежа. 97 Решение Современные величины выкупаемых рент равны:  n1 1  1,08  4  3577096,99 1  i1   1000000 0,08  n2 1  1,09  5  8479439,75 . 1  i2   2000000 0,09 & & R 1  (1  i1 ) A 1 1 i1 & &  R 1  (1  i2 ) A 2 2 i2 Сумма современных величин выкупаемых рент равна: & & A & &  12056536,74 . A 1 2 Уравнение эквивалентности имеет вид: & & A & & A 1 2 P . (1  i 0 )t0 Откуда получаем:   & & A & & (1  i )t0  12056536,74*1,13  P A 1 2  16047250,40 руб. 98 Литература 1. Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений. Часть 1. М.: Финансовый университет, 2012. – 160 с. 2. Бабайцев В.А., Гисин В.Б. Математические методы финансового анализа. М.: Юрайт, 2018, - 216 с. 3. Брусов П.Н., Брусов П.П., Орехова Н.П., Скородулина С.В. Финансовая математика. М.: КНОРУС, 2016. - 224 с. 4. Касимов Ю.Ф., Аль-Натор М.С., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений. Основные схемы расчета финансовых сделок. М.: КНОРУС, 2017. – 328 с. 5. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2004. – 398 с. 99 Приложение Порядковые номера N () дней в году, используемые при применении правил ACT/365; ACT/360. День Янв месяца Фев 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Март Апр 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 Май 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 Июнь Июль Авг 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 100 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 Сен Окт Ноя Дек 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 УДК 336:51(075.8) ББК 65.261 А 46 Учебное издание Александрович Сергей Всеволодович кандидат физико-математических наук, доцент Департамента математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА» ЧАСТЬ 1 Учебное издание для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 34.03.01 «Экономика» (программа подготовки бакалавров) Компьютерный набор, верстка: С.В. Александрович Вычитка и корректура выполнены автором Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman. 6,3 п.л. 2021 г. Электронное издание _____________________________________________________________________________ © Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации», 2021 © Департамент математики, 2021 © Александрович С.В., 2021 101