Фазовая и групповая скорости поверхностных плазмонов

Наноплазмоника Лекция N 23 26 ноября 2020 г. 19:10 Лекция N 24 Фазовая и групповая скорости поверхностных плазмонов 1.Введение На прошлой Лекции мы получили дисперсионное уравнение для поверхностных плазмонов в виде ∥ = ⋅ ⋅ Вводим безразмерное волновое число для поверхностного плазмона: ∥ = ∥ Ω Следовательно, дисперсионное уравнение для поверхностных плазмонов записывается в следующем безразмерном виде: ∥ = + ⋅ ⋅ − − На основании этих уравнений мы получим выражения для фазовой и групповой скоростей поверхностных плазмонов и проанализируем их для случая поверхностных плазмонов на границе серебра с воздухом. 2.Фазовая скорость Введем обозначение: Тогда для величины получим Фазовая скорость определяется следующим образом: Следовательно, для фазовой скорости получаем окончательное выражение: 3.Фазовая скорость поверхностных плазмонов на границе серебро - воздух В качестве такого примера рассматривается образец серебра, для которого диэлектрическая проницаемость в бесконечности равна = 5. Плазменная частота равна Ω =9 eV. Для параметров и получаем значения: = 0.447, = 0.408 На Рисунке 1 приведен график зависимости относительной (к скорости света) фазовой скорости поверхностных плазмонов на границе серебро – воздух Рисунок 1. График зависимости отношения фазовой скорости поверхностных плазмонов на границе серебро – воздух к скорости света Как и следовало ожидать из формулы (7), видно, что фазовая скорость стремиться к нули при приближении относительной частоты к значению Следует отметить также, что во всей области существования поверхностного поляритона, фазовая скорость не превосходит скорости света, что мы наблюдали для фазовой скорости объемного поляритона. 4.Групповая скорость поверхностного плазмона Займемся теперь анализом групповой скорости. Из формулы (1) следует: Введем обозначение Найдем сначала производную: Вычислив ее, мы затем легко найдем групповую скорость плазмона, как это уже было описано ранее для объемных поляритонов. Введем обозначение Тогда: Следовательно: Из формулы (9) получаем для производной: Таким образом, мы нашли производную: Приведем эту формулу к безразмерному виду: Или, сокращая на , получаем окончательно: С учетом этой формулы, преобразуем выражение для 2-го слагаемого в скобках в (12): Следовательно, получаем формулу для этого слагаемого: В результате формула (12) сводится к виду: Переходим, наконец, к расчету групповой скорости. Имеем: Для получения окончательной формулы выполним заключительные преобразования . Обозначим: Здесь мы ввели обозначения: Тогда: Тогда: Сравнивая (18) и (19), видим, что: Резюмируя, получаем: Откуда для групповой скорости поверхностного плазмона получаем окончательное выражение: На Рисунке 2 представлен график зависимости относительной групповой скорости поверхностного плазмона на границе серебро-воздух. Мы видим, что во всей области существования поверхностного плазмона, групповая скорость не превышает скорости света, что согласуется со специальной теорией относительности. Рисунок 2. График зависимости отношения групповой скорости поверхностного плазмона на границе серебро – воздух к скорости света Наконец, на Рисунке 3 приведен сравнительный график относительных скоростей - фазовой и групповой для поверхностного плазмона на границе серебро – воздух. Рисунок 3. График зависимости относительных скоростей фазовой и групповой - для поверхностного плазмона на границе серебро – воздух В реальных средах неизбежно возникают процессы затухания электромагнитного поля при его распространении в среде. В данной Лекции мы подробно рассмотрим этот вопрос.