Фактор времени в финансовых расчетах; наращение и дисконтирование

Тема: МЕТОДЫ ФИНАНСОВЫХ РАСЧЕТОВ 1 Фактор времени в финансовых расчетах. Понятие наращения и дисконтирования 2 Простые проценты: наращение и дисконтирование 3 Сложные проценты: наращение и дисконтирование 1 Фактор времени в финансовых расчетах. Понятие наращения и дисконтирования Переход к рынку открывает новые возможности приложения капитала: вложение в коммерческие банки, участие в различных рисковых предприятиях, проектах, приобретение ценных бумаг, недвижимости и т.п. Размещая капитал, предприятие рассчитывает не только вернуть вложенную сумму, но и в течение времени получить экономический эффект. Таким образом, деньги приобретают еще одну характеристику – временную ценность. Этот параметр можно рассматривать в двух аспектах: во-первых, это обесценение денежной наличности за определенный промежуток времени; во-вторых, это прирост капитала в результате его обращения. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Очевидно, что 10 000 руб., полученных через пять лет, не равноценны этой же сумме, поступившей сегодня, даже если не принимать во внимание инфляцию и риск их неполучения. Отмеченная неравноценность двух одинаковых по абсолютной величине сумм связана прежде всего с тем, что имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем. Полученный доход, в свою очередь, может быть реинвестирован и т.д. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях с недвижимостью играет важную роль. Необходимость учета вре­менного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитова­ния и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. Сумма денег, полученная через десять лет, не равноценна этой же сумме сегодня, даже если не принимать во внимание инфляцию и риск, так как эта сумма теоретически могла быть инвестирована и могла принести доход. Полученный доход в свою очередь мог быть реинвестирован и т.д. Таким образом, деньги имеют еще одну характеристику - временную ценность. Логика построения основных алгоритмов, связанных с временной стоимостью денег проста и заключается в следующем: НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ Наращение по i; %, п, лет Исходная сумма (Р) __________________________ Наращенная сумма (S) Дисконтирование по ставкам i или d; %,п ,лет Приведенная сумма (Р)_______________________Возвращаемая сумма (S) Наращение - это процесс, в котором заданы исходная сумма Р, процентная ставка наращения i и необходимо определить сумму S, которую получит инвестор по окончании этой операции. В данном случае рассматривается движение от настоящего к будущему. S-P i = ----- . 100% , (1) P где i - процентная ставка или процент, или ставка доходности; Р - исходная сумма; S - наращенная сумма. На практике ставка доходности i является величиной непосто­янной, зависимой от степени риска и других факторов по данному виду бизнеса, в который инвестирован капитал. Чем рискованнее бизнес, тем выше норма доходности. Величина S показывает как бы будущую стоимость "сегодняшней" величины Р при заданной ставке доходности i. Дисконтирование - это процесс, в котором заданы возвращаемая сумма S и коэффициент дисконтирования i или учетная ставка - d, и требуется упорядочить денежные поступления разных временных периодов. Необходимо найти текущую " сегодняшнюю" стоимость Р будущей величины S, т.е. дви­жение осуществляется от будущего к настоящему. В этом случае го­ворят, что сумма S дисконтируется или учитывается, процесс начис­ления процентов и их удержание называют учетом, а удержанные про­центы (S-P) - дисконтом. Коэффициент дисконтирования i показыва­ет, какой ежегодный процент возврата хочет или может иметь инвес­тор на инвестируемый капитал. Дисконтирование - процесс обратный наращению. Учетная ставка d определяется по формуле: S-P d = ----- . 100% , (2) S Связь между i и d: d i i = ----- ( 3) или d = ----- ;(4) 1-d 1+i Таким образом, i > d. Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, называют приведенной (текущей, капитализированной) величиной суммы S. Приведенная (сов­ременная) величина суммы денег Р является одним из важнейших поня­тий в количественном анализе финансовых операций. В оценочной деятельности смысл определения Р состоит в том, чтобы рассчитать сум­му, которую необходимо уплатить за объект оценки сегодня с тем, чтобы перепродать его с выигрышем в будущем. 2 Простые проценты: наращение и дисконтирование Существует две основные схемы наращения капитала: - схема простых процентов; - схема сложных процентов. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р, требуемая нор­ма доходности - i. Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину (Р.i). Через n лет размер инвестированного ка­питала S(n) будет равен: S(n)=P+P*.i+...+P*.i= Р + Р*i*n = P.(1+n.*i) – формула наращения по простому проценту Это формула простых процентов, где n - срок инвестиций. Стандартный временной интервал в финансовых операциях – один год. Если ссуда выдается на t дней, то срок инвестиций определя­ется по формуле: n=t/K, (5) где t - число дней ссуды, К - число дней в году или временная база. Если К=360 (30 дн. х.12мес.), то полученные проценты называют обыкновенными или коммерческими. Если К=365 дн., К=366 дн., то получают точные проценты. Число дней ссуды t так же можно измерять приближенно и точ­но, т.е. либо условно - 30 дней в месяц, либо точно - по календа­рю. Пример. Выдана ссуда 5 млн. долл. на один месяц - февраль под 13%. Определить точные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды; обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Решение. 1. Точные проценты с точным числом дней ссуды: S=5.(1+(28/365). 0,13)=5,0498 долл., при t=28 дн. 2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды: S=5.(1+(28/360).0,13)=5,05056 долл. 3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды: S=5.(1+(30/360).0,13)=5,0542 долл. В зависимости от вида процентной ставки применяются два ме­тода дисконтирования - математическое дисконтирование и банковс­кий (коммерческий) учет. В первом случае используется ставка дисконтирования i, во втором - учетная ставка d. Математическое дисконтирование представляет собой формальное решение задачи, обратной наращению: какую первоначальную сумму P надо заплатить за недвижимость, чтобы получить в конце срока ин­тересующую инвестора сумму S при условии, что на P начисляются проценты по ставке i? Разность (S-P) можно рассматривать не только как проценты, начисленные на P, но и как дисконт с суммы S. Пример. Через 180 дней после подписания договора должник уп­латит 310 тыс. долл. Кредит выдан под 16% годовых. Какова перво­начальная сумма долга и дисконт кредитора при условии, что вре­менная база K равна 365 дням? Решение. 1. P=S.(1/1+i.n), где 1/1+i.n - дисконтный множитель. P=310000/(1+0,16.180/365)=287328,59 долл. - первоначальная сумма долга. 2. Дисконт=310000-287328,59=22671,41 долл. или начисленные проценты. Банковский учет (учет векселей) заключается в следующем: владелец векселя на сумму S предъявляет его в банк, который сог­лашается учесть (купить) его, удерживая в свою пользу часть век­сельной суммы. Банк предлагает владельцу векселя цену P, меньше суммы, указанной в векселе. Сумма Р рассчитывается, исходя из объявленной банком учетной ставки d, по формуле: P=S*(1-f*d), (6) где f - срок от момента учета до даты погашения векселя. Пример. Владелец векселя на сумму 100 млн. руб. учел его в банке. Вексель предъявлен 10.09.96 г., а срок его погашения 25.09.96 г. Банк учитывает векселя с дисконтом в 75% годовых. Ка­кую сумму получить векселедержатель от банка? Решение: Р=100*(1-(15/360)*0,75)=96,88 млн. руб. 3 Сложные проценты При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты пос­ле очередного периода начисления могут не выплачиваться, а присо­единяться к сумме долга. В этих случаях для определения наращен­ной суммы ссуды применяются сложные проценты. База для начисления сложных процентов в отличие от начисления простых процентов будет возрастать с каждым очередным периодом начисления. Наращение по сложному проценту заключается в следующем. Раз­мер инвестируемого капитала равен: - к концу 1-го года: S1=P+P.i=P.(1+i); - к концу 2-го года: S2=S1+S1.i=P.(1+i)+P.(1+i).i=P.(1+i).(1+i)=P.(1+i)2; - к концу n-го года: S(n)= P.(1+i)n. (1) Эта формула сложных процентов или наращение по сложному проценту. Формула (1) сложного процента является одной из базовых в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения факторного множителя (1+i)n, обеспечивающего наращение стоимос­ти, табулированы для различных i и n. S=P*.FM1(i;n), (2) где FM1(i;n)=(1+i)n - факторный множитель. Экономический смысл факторного множителя FM1(i;n) состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один руб., один долл. и т.п.) через n - периодов при заданной процентной ставке i. Пример [1]. Какой величины достигнет долг, равный 10 млн. руб., через 5 лет при росте по ставке сложного процента i=15% годовых. Решение. 1) S=P.(1+i)n, S=10.(1+0,15)5=20,114 млн. руб. 2) S=P*.FM1(i;n), S=10.FM1(15%;5)=10.2,011=20,11 млн. руб. В современных условиях проценты капитализируются не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. В этом случае расчет ведется по формуле: S=P. (1+i/m)n*m , (3) где i - годовая ставка, в долях; m - количество начислений в году; n - количество лет, в течении которых производится начисле­ние; Р - исходная сумма. Пример [2]. Вложены деньги в банк - 2 млн. руб на 2 года с полугодовым начислением процентов под 20% годовых. Определить на­копленную сумму. Решение. 1) За два года при полугодовом начислении процентов имеем четыре начисления по ставке 20%/2=10%. Схема возрастания капитала (табл. 1): Таблица 1 период сумма, с которой идет начисление, Р (млн.руб.) Множитель наращения сумма к концу периода, S (млн.руб.) 6 мес. 12 мес. 18 мес. 24 мес. 2,0 2,2 2,42 2,662 1,10 1,10 1,10 1,10 2,2 2,42 2,662 2,9282 2) S=P.(1+i/m)n*m ; S=2.(1+0,2/2)2*2 = 2,9282 млн. руб. 3) S=P*.FM1(i/m;n*m); S=P*.FM1(10%;4) = 2.1,464 = 2,928 млн. руб. Пример [3]. Инвестор только что заплатил 100 долл. за опцион на покупку собственности за 10 000 долл. по истечении 2-х лет. Уже выплаченные за опцион 100 долл. не будут включены в цену по­купки. Какую сумму сегодня должен положить в банк инвестор при выплате 10% годовых при ежемесячном накоплении с тем, чтобы через 2 года остаток составил 10 000 долл.? Решение. S=P.(1+i/m)n*m ; P=10000/(1+0,10/12)2*12 = 8,260 долл. Пример [4]. На какую сумму необходимо открыть вклад в банке, чтобы через 3 года накопить 100 000 руб. Проценты начисляются ежемесячно по ставке 15% годовых. Решение. S=P.(1+i/m)n*m ; P=100 000/(1+0,15/12)3*12 = 63940,92 руб. Дисконтирование по сложному проценту заключается в оценке будущих поступлений Р с позиции текущего момента. Инвестор анали­зирует будущие доходы при минимальном, "безопасном" уровне доход­ности, которым характеризуются вложения в государственные ценные бумаги. Инвестор исходит из следующих предпосылок: - происходит обесценивание денег; - темп изменения цен на сырье, материалы и основные средства может существенно отличаться от темпа инфляции; - необходимо периодическое начисление дохода в размере не ниже определенного минимума. На этой основе он решает вопрос, какую максимально возможную сумму допустимо вложить в данное дело, в частности в приобретение недвижимости, исходя из прогнозируемой рентабельности, расчет осуществляется по формуле: P=S / (1+i)n , (4) где S - доход, планируемый к получению в n-ом году; Р - текущая стоимость, то есть оценка величины S c позиции текущего момента; i - процентная ставка. Дисконтный множитель 1/(1+i) = FM2(i;n) табулирован и приве­ден в приложение. 2. Экономический смысл FM2(i;n) заключается в том, что он пока­зывает: чему, с позиций текущего момента, равна одна денежная единица n периодов спустя при заданной ставке i. Тогда Р=S*.FM2(i;n). (5) Пример [5]. Инвестор, рассчитывающий перепродать недвижимость через 2 года за 10 000 долл. Он должен решить: сколько ему следует предложить за недвижимость сегодня? Решение. 1) Если инвестор требует 10% ставки дохода на вложенный ка­питал, то Р=10000/(1+0.1)2 = 8264,462 долл. или Р=10000.FM2(10%;2) = 8264,4 долл. 2) Если инвестор захочет дешевле, чем за 8264 долл., купить недвижимость, то необходимо увеличить процентную ставку, чтобы выполнить условия (10% доходности на вложенный капитал) и переп­родать недвижимость через 2 года за 10 000 долл. 3) Если продавец недвижимости потребует более высокую цену, то инвестор не сможет получить своей ставки дохода в 10% и вынуж­ден отказаться от сделки.