Элементы теории вероятностей

1.Элементы теории вероятностей 1.1 ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ При решении многих практических задач, а также задач классической теории вероятностей приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать эти элементы в определенном порядке и т.д. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой. Комбинаторные задачи бывают разных типов: 1) поиск хотя бы одного решения поставленной задачи; 2) поиск всех решений поставленной задачи; 3) поиск числа решений данной задачи; 4) выбор оптимального способа среди всех способов решения задачи; 5) в некоторых случаях – доказательство отсутствия решений у данной задачи. Все указанные типы задач требуют знания правил суммы и произведения, а также основных формул комбинаторики. Правило суммы. Если элемент можно выбрать способами, а элемент – способами, причем любой выбор элемента отличен от любого выбора элемента , то выбор « или » можно сделать способами. Правило произведения. Если первый элемент соединения длины можно выбрать способами, при любом выборе первого элемента соединения второй элемент выбирается способами, при любом выборе первых двух элементов третий выбирается способами, и так далее до -го элемента включительно, то общее число получаемых таким образом соединений равно . Определение 1.1. Соединение длины , составленное из элементов -элементного множества , называют размещением с повторениями из элементов по . Число этих соединений обозначают (буква от французского слова arrangement – «размещение»; черта указывает на возможность повторения элементов). Пример 1.1.1. В качестве примера рассмотрим множество {,,}. Найдем все соединения длины 2, которые можно получить из исходного множества. Таких пар девять: (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,). С другой стороны, количество этих пар можно найти по формуле . Определение 1.1.2. Соединение длины , компоненты которого не повторяются, составленное из элементов -элементного множества , называют размещением без повторений из элементов по . Число таких размещений обозначают . Заметим, что (m факториал) есть обозначение для произведения всех натуральных чисел от 1 до включительно: . При этом принято считать, что и . Пример 1.1.2. При построении из множества {,,} размещений без повторений по 2 можно получить всего шесть пар: (,), (,), (,), (,), (,), (,). Это подтверждается формулой . Определение 1.1.3. Перестановкой без повторений из элементов называют соединения длины , компоненты которых не повторяются. Результаты перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из m элементов обозначают (от Пример 1.1.3. Исходное множество {,,} даст нам шесть упорядоченных троек: (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,). При этом . Определение 1.1.4. Перестановкой с повторениями состава из компонент называют любое соединение длины , в которое компонента входит раз, компонента – раз, ..., компонента – раз. Число таких перестановок обозначают . Пример 1.1.4. Предположим, что из исходного множества {,,} мы хотим составить соединение длины 3, в котором есть два кружка и один квадратик и совсем нет треугольников. Тогда получим три упорядоченных тройки: (,,), (,,), (,,). С другой стороны, число таких перестановок по формуле . Определение 1.1.5. -элементное подмножество -элементного множества называют сочетанием без повторений из элементов этого множества по . Число таких подмножеств обозначают (от французского слова combination – «комбинация»). Пример 1.1.5. Выбрать из множества {,,} двухэлементные подмножества можно всего тремя способами: {,}, {,}, {,}. В данном случае порядок элементов не важен. Согласно формуле, получается тот же результат: . Определение 1.1.6. Пусть имеются предметы видов, из них составляется набор, содержащий элементов. Два набора считаются одинаковыми тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый состав. Такие наборы назовем сочетаниями с повторениями из элементов по . Число сочетаний с повторениями из элементов по обозначим . Пример 1.1.6. Составим из множества {,,} наборы по два элемента: , , , , , . Порядок элементов в таких наборах не важен. Согласно формуле, их также шесть: . Пример 1.1.7. Правление коммерческого банка выбирает из 6 сотрудников женского пола и 8 сотрудников мужского пола команду для работы в филиале. Сколько вариантов можно составить, если команда должна состоять из: а) 5 человек; б) из 3 –х человек одного пола; в) из 4 женщин и 5 мужчин? Решение. а) Так как ни пол сотрудников, ни порядок их выбора не имеют значения, то правление может выбрать 5 сотрудников из 14 человек способами. б) Выбрать 3 сотрудника женского пола можно способами, 3 сотрудника мужского пола – способами. По правилу сложения выбрать 3 сотрудника одного пола можно способами. в) Выбрать 4 сотрудника женского пола из 6 имеющихся можно способами, а 5 сотрудников мужского пола из 8 имеющихся – способами. Поэтому команду из 4 сотрудников женского пола и 5 сотрудников мужского пола по правилу умножения можно составить способами. Пример 1.1.8. Студент расставляет на полке книги: трехтомник по математическому анализу, двухтомник по линейной алгебре и пятитомник по теории вероятностей. Сколькими способами это можно сделать так, чтобы: а) книги стояли в произвольном порядке; б) все три тома по математическому анализу стояли рядом (в любом порядке); в) все пять томов по теории вероятностей не стояли рядом (в любом порядке)? Решение. а) Число способов расстановки 10 книг равно числу перестановок из 10 элементов: . б) Положим мысленно трехтомник по математическому анализу в один мешок, тогда на полке будем расставлять 8 книжных единиц, то есть 7 книг и 1 мешок. Их можно расставить способами. Каждому из этих способов расстановки соответствуют способов расстановки книг, находящихся в мешке. Согласно правилу умножения, число возможных расстановок будет равно . в) Искомое число способов расстановки книг, учитывая пункты (а) и (б), будет равно . 1.2. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом. Определение 1.2.1. Множество всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий, а сами исходы – элементарными событиями (исходами). Определение 1.2.2. Случайным событием называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или не произойти. События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфавита. С точки зрения теории множеств, случайным событием является любое подмножество множества . Элементарные события, входящие в подмножество пространства называются благоприятствующими событию . Определение 1.2.3. Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта. Очевидно, что – достоверное событие. Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате проведения опыта; невозможное событие обозначается как ∅. Пример 1.2.1. Игральную кость подбросили один раз. Пространство элементарных событий, описывающих этот эксперимент, можно представить как , где элементарный исход – выпадение очков. Тогда событие (число очков кратно трем) представимо как , событие (число очков нечетно) имеет вид , событие (число очков больше трех) есть . Событие (число очков меньше семи) является достоверным, событие (число очков дробно) – невозможным. Определение 1.2.4. Суммой событий и называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий и (то есть или , или , или оба вместе). Произведением событий и называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события и (то есть и , и вместе). Противоположным событию называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие . Определение 1.2.5. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте (∅); в противном случае события называются совместными. События называются попарно-несовместными, если любые два них несовместны (∅, , , ). Определение 1.2.6. События образуют полную группу, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них (). Пример 1.2.2. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие – -ый студент решил задачу (). Представьте c помощью операций над событиями и следующие события: а) – все студенты решили задачу; б) – задачу решил только первый студент; в) – задачу решил хотя бы один студент; г) – задачу решил только один студент. Решение. а) Осуществление события означает, что произошли события , и одновременно, то есть . б) В этом случае событие произошло, а события и не произошли, то есть произошли события и . Следовательно, . в) Событие означает, что произошло или событие , или событие , или событие , или любые два из них, или все вместе, то есть имеем сумму событий . г) Задачу решит только первый студент , или только второй студент , или только третий студент , то есть имеем сумму событий . Пример 1.2.3. Работник и работодатель договорился о встрече между 11 и 12 часами. Каждый приходит в случайный момент указанного промежутка времени и ждет другого до истечения часа, но не более 15 минут, после чего уходит. Наблюдаемый результат – пара чисел , где – время прихода работника, – время прихода работодателя. Постройте множество элементарных исходов и его подмножество , соответствующее событию «встреча состоялась». Решение. Множество элементарных исходов представляет собой пары чисел, каждое из которых принадлежит отрезку : . Графически это множество можно представить как квадрат размером в первой четверти прямоугольной системы координат (см. рис.1.2.1,а). Чтобы встреча состоялась, разница во времени прихода работника и работодателя не должна составлять более 15 минут, причем не важно, кто из них пришел первым. Это соотношение между и можно описать неравенством , поэтому событие «встреча состоялась» можно представить следующим образом . Неравенство заменим двойным неравенством или системой неравенств , которая сводится к системе . Множество решений полученной системы графически представляет собой полосу в системе координат. Таким образом, состоявшуюся встречу можно графически изобразить так, как это сделано на рис.1.2.1(б). Рис.1.2.1(а) Рис.2.1(б) 1.3. ВЕРОЯТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте. Пусть производится эксперимент с равновозможными элементарными исходами, образующими полную группу несовместных событий. Определение 1.3.1 (классическое). Вероятностью события называется отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов: . Вероятность обладает следующими свойствами: 1. для любого события ; 2. (∅)=0; 3. ; 4. для любого события ; 5. , если ∅; 6. , если и ∅ (). Обобщением понятия «классической вероятности» на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие «геометрической вероятности». К этому понятию приводят задачи на подсчет вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть пространства и т.д.). Пусть пространство элементарных событий представляет собой некоторую область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться области , содержащиеся в . Определение 1.3.2 (геометрическое). Вероятность попадания в область точки, наудачу выбранной из области , называется геометрической вероятностью события и находится по формуле , где и – меры областей и соответственно. 1.4. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Определение 1.4.1. Пусть и – некоторые события, причем . Условной вероятностью события при условии (обозначается ) называется вероятность события , найденная при условии, что событие произошло. Эта вероятность находится по формуле: . Аналогично определяется условная вероятность события при условии, что произошло событие : . Теорема 1.4.1 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: или . Правило умножения вероятностей естественным образом обобщается на случай произвольного числа событий: . Определение 1.4.2. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. В этом случае условная вероятность события при условии равна безусловной вероятности события : . Аналогично . Таким образом, . Определение 1.4.3. События называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от осуществления или неосуществления любого числа остальных событий: . События называются попарно-независимыми, если любые два события и () из этого набора независимы. Теорема 1.4.2 (правило сложения вероятностей). Вероятность суммы двух совместных событий есть сумма их вероятностей, из которой вычли вероятность их произведения: . В случае если ∅, то и . Для трех событий , и имеем: . Для трех и большего числа событий при нахождении вероятности суммы этих событий проще найти вероятность противоположного события, а затем воспользоваться равенством . Если события попарно несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице: . 1.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА Теорема 1.5.1. Пусть событие может произойти с какими-либо из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий, то есть ∅ () и . Тогда вероятность события вычисляется по формуле полной вероятности: . При этом события обычно называют гипотезами, а числа – вероятностями гипотез. Теорема 1.5.2. Если в результате опыта осуществилось событие , то прежние, доопытные (или априорные) вероятности гипотез , ,..., должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности , ,...,, которые вычисляются по формуле Байеса: (), где вероятность определяется по формуле полной вероятности. 1.6. ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Пусть производится серия из независимых испытаний с одинаковыми условиями, в каждом из которых может произойти некоторое событие с одной и той же вероятностью или произойти противоположное событие соответственно с вероятностью . Схема испытаний такого рода называется схемой Бернулли. Тогда вероятность того, что событие наступит ровно раз в серии из испытаний, находится по формуле Бернулли: , . Отсюда, в частности, следует, что вероятность того, что в n испытаниях, удовлетворяющих схеме Бернулли, событие наступит: а) менее раз – равна ; б) более раз – равна ; в) хотя бы один раз – равна ; г) не менее раз и не более раз – равна . Определение 1.6.1. Число () называется наиболее вероятным числом наступлений события в схеме Бернулли, если для всех . Если вероятности и отличны от нуля, то число определяется из двойного неравенства: . 1.7. ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ Непосредственное применение формулы Бернулли при большом числе испытаний приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях вместо нее, как правило, используют приближенные формулы Пуассона и Муавра–Лапласа. Пусть производится серия из независимых испытаний с одинаковыми условиями по схеме Бернулли (см. §1.6). Если число испытаний достаточно велико, тогда: 1) при малой вероятности (обычно достаточно условий и ), вероятность можно приближенно найти по формуле Пуассона: , где ; 2) при не очень близких к нулю вероятностях и (обычно достаточно условий , ), вероятность можно приближенно найти по локальной формуле Муавра–Лапласа: , где – функция Гаусса (значения см.в таблице П1); 3) при условии локальной формулы Муавра–Лапласа вероятность того, что число заключено между и , можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа: , где – функция Лапласа (значения см. в таблице П3). Замечание 1.7.1. При решении задач полезно знать некоторые факты. а) Функция Гаусса – четна: . б) Функция Лапласа – нечетна: . в) при . Замечание 1.7.2. Способы аналитического задания функции Лапласа в разных источниках могут несколько отличаться друг от друга, поэтому соответственно будут отличаться и таблицы ее значений.