Элементы стохастики. Технологии изучения содержательной линии «Работа с данными» в курсе математики начальных классов

Модуль №11 «Элементы стохастики. Технологии изучения содержательной линии «Работа с данными» в курсе математики начальных классов 2\ 4\ 1.Темы лекций практических и лабораторных занятий по разделу Л.11.1. Характеристика содержания раздела «Работа с данными» 2 Пр.11.1. Подходы к формированию умений читать и представлять ин формацию в табличной форме и в виде диаграмм 2 Пр 11.2. Решение комбинаторных задач 2 2. Требования к знаниям студентов Знать: • основы стохастики и содержание планируемых результатов обучения младших школьников в рамах данного раздела; Уметь: • организовывать познавательную деятельность по математике учащихся начальных классов; Владеть: • технологией организации познавательной деятельности детей по формированию УУД в процессе усвоения содержания данного модуля. 3.Краткий план материалов к лекциям 1.Темы лекций практических и лабораторных занятий по разделу (выписать в строку и дать в таблице) 1. Краткое описание материала, изучаемого в курсе математики начальных классов по разделу 2. Элементы комбинаторики 3. Элементы теории вероятностей 4. Элементы наглядной и описательной статистики 4. Материалы к лекции. 4.1Краткое описание материала, изучаемого в курсе математики начальных классов по разделу Один из важнейших аспектов модернизации содержания начального математического образования состоит во включении в школьную программу элементов стохастики. Это обусловлено требованиями времени, наличием большого числа вероятностных ситуаций в жизни, проблем выбора, оценки степени шансов на успех и др., интересами учащихся. В начальной школе стохастика представлена в виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов теории вероятностей и наглядной и описательной статистики. Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики, однако они не являлись до последнего времени систематическими и обязательными для овладения учащимися. Учителя, чаще всего, их идентифицировали как нестандартные задачи и потому могли по своему усмотрению включать либо не включать их в урок. Теперь ситуация изменилась. Так, в Государственном стандарте начального математического образования среди требований к уровню обученности младших школьников названо умение решать простейшие комбинаторные задачи. Новое содержание, требования к уровню подготовки учащихся предполагают более тщательное осмысление методики преподавания этих разделов математики. Комбинаторная, вероятностная, статистическая компоненты содержания представляют собой некоторый минимум, доступный младшим школьникам и достаточный для формирования у них комбинаторного стиля мышления, вероятностной интуиции и первоначальных вероятностно-статистических представлений. Об этом свидетельствует опыт практического преподавания соответствующего материала по учебникам Л.Г. Петерсон. В среднем звене эта линия получит дальнейшее развитие. Для внедрения указанного содержания в практику начальной школы созданы реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс. Учебники по математике Л.Г. Петерсон (программа «Школа 2000…»), авторского коллектива Т.Е. Демидовой, С.А.Козловой и А.П. Тонких (УМК «Школа 2100») содержат соответствующий материал как органическую часть курса. К другим подготовлены специальные учебно-методические пособия, например, в УМК «Гармония» создан комплект тетрадей на печатной основе (3 тетради) «Учимся решать комбинаторные задачи» Н.Б. Истоминой. Помимо этого есть публикации, раскрывающие методику преподавания названного материала как по конкретным учебникам, так и в общем плане. Автор данной статьи отдает себе отчет, что материал содержательной линии «Элементы стохастики» нов для современной начальной школы и, возможно, частично не знаком учителю. Поэтому важно пояснить на элементарном уровне важнейшие понятия комбинаторики, теории вероятностей и статистики. 4. 2. Элементы комбинаторики Комбинаторика – это раздел математики, посвященный задачам выбора и расположения предметов из различных конечных множеств. Согласно этому определению комбинаторики комбинаторными задачами следует считать «задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий» (11,101). Комбинаторные задачи принято классифицировать по их требованию (19). В связи с этим выделяют следующие их виды: 1. Найти комбинацию элементов, обладающую заранее заданными свойствами. 2. Доказать существование или отсутствие комбинаций элементов с заданными свойствами. 3. Найти общее число комбинаций элементов с заданными свойствами. 4. Найти решения и из всех решений данной комбинаторной задачи выбрать оптимальное по тем или иным параметрам, критериям. Отметим, что основное понятие комбинаторики – понятие «комбинация» – дети осваивают на интуитивном уровне, опираясь на текст и контекст каждой конкретной задачи. Комбинация может трактоваться как вид соединения элементов. Приведем примеры комбинаторных задач каждого типа. Задачи первого вида. Задача 1.1: Распределить 24 человека так, чтобы получилось 6 рядов по 5 человек в каждом. Многим детям младшего школьного возраста не хватает интеллектуальных сил отвлечься от реального, наглядно поражающего несовпадения условия и результата этого «парадоксального» задания, поэтому их первая реакция выражается обычно следующими словами: «Такого не может быть! Если 24 разделить на 6, получится 4, но никак не 5! (Или по 5 взять 6 раз будет 30, но не 24!) Задача не имеет решения!» Важно убедить детей в том, что речь тут идет совсем не о числах, а о комбинации, определяющий признак которой в том, что состоит она из 24 элементов, из которых можно построить 6 рядов по 5 элементов в каждом. Очевидно, не каждый ребенок сможет найти решение задачи: Но если его вооружить соответствующей подготовкой, то он сможет это сделать. В качестве таковой могут служить задания, аналогичные нижеследующим. № 1. Рассмотрите рисунок 1: C B А K M O Рис.1 Что вы можете сказать о луче красного (синего) цвета? Найдите среди следующих утверждений верные: а) «Точка А лежит на пересечении лучей»; б) «Точка А является общей»; в) «Точка А принадлежит и лучу красного цвета, и лучу синего цвета». Что общего у всех этих трех утверждений? Сколько точек выделено на луче красного цвета? Назовите их. Сколько точек выделено на луче синего цвета? Назовите их. Сколько всего точек выделено на лучах? После ответа детей учителю необходимо обратить их внимание на то, что ответы на все вопросы, и последний вопрос, в частности, были получены с помощью рисунка, на котором изображены точки, некоторое их расположение, которое в математике иногда называют комбинацией. Следует обсудить, почему на вопрос «Сколько всего точек?» нельзя ответить, выполнив действие сложения: 3 + 4 ? № 2. (9, 17) Отсчитайте пятнадцать счетных палочек и по данному образцу (рис.2а) выложите пять квадратов. Рис.2а Отыщите квадрат, у которого больше всех общих сторон. Сколько общих сторон? Сколько квадратов, каждый из которых имеет по две общих стороны? Покажите их. Сколько останется квадратов, если уберем четыре палочки: три из правого верхнего квадрата и четвертую палочку – сторону квадрата, расположенного под ним (в середине нижнего ряда)? Можно ли иначе убрать четыре палочки так, чтобы осталось три квадрата? (Ответ на рис.2б). Рис.2б * Трудность в работе над задачами первого вида заключается в том, что они не алгоритмизируемы, т.е. каждая задача требует своего специфического подхода к нахождению решения. Задачи второго вида. Для учащихся начальной школы задачи второго вида несколько видоизменяются и обычно звучат в виде требования: «Может ли существовать комбинация элементов с заданными свойствами?», «Можно ли..?» Задача 2.1: Можно ли построить магический квадрат, состоящий из 9 клеток с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10? Обычно дети начинают строить квадрат и стихийно подбирать числа, при этом они затрудняются обосновать свои действия. Анализируя задачу, необходимо обратить внимание детей на форму ее требования: «Можно ли…?» Она указывает на то, что заранее неизвестно, существует ли такой магический квадрат, и поэтому использование метода подбора не продуктивно, необходим иной подход к поиску решения. Рассуждать, очевидно, можно так. Ответим последовательно на следующие вопросы: 1. Чему равна сумма всех указанных чисел? (47.) 2. Чему должна быть равна сумма в каждом столбце (а их 3), в каждой строке (их тоже 3), по каждой диагонали (их 2)? (47 делится на 3 только с остатком: 47 3 = 15 (ост.2), т.е. нельзя получить в трех столбцах одинаковые суммы, если общая сумма чисел в трех столбцах равна 47.) Таким образом, можно утверждать, что построить магический квадрат, состоящий из 9 клеток с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, нельзя. Задача 2.2: (7, 64) Можно ли посадить 49 деревьев так, чтобы в каждом ряду их было по 6? Обычно учителя допускают ошибку при решении этой задачи, ошибочно полагая, что для ответа необходимо выполнить деление с остатком (содержание изучаемой темы «Деление с остатком» провоцирует на этот вариант решения). Более того, сказывается определенный стереотип и у учителя, и у школьников в понимании самого слова «ряды», чаще они мыслятся как параллельно расположенные по отношению друг к другу. Однако эту задачу необходимо идентифицировать как комбинаторную, в которой требуется подтвердить или опровергнуть существование комбинации элементов, обладающей заранее заданными свойствами: 49 деревьев распределить в ряды по 6 в каждом. Задача очень похожа на рассмотренную задачу 1 первого вида. Искомое решение имеет вид: Сначала «садим» деревья в «вершины» контура – двух пятиугольников с одной общей точкой – для этого потребуется 9 деревьев, а затем оставшиеся 40 деревьев делим на количество рядов, на 10, получаем 4. Значит, надо в каждый ряд между имеющимися двумя деревьями «посадить» еще 4 дерева. В итоге получаем 49 деревьев по 6 в каждом ряду. *Следует заметить, это самый сложный вид комбинаторных задач, и не только для младших школьников. Особенностью этих задач является то, что заранее неизвестно, существует ли комбинация элементов, обладающая указанными свойствами. Если комбинация элементов, обладающая указанными свойствами, существует, то достаточно привести подтверждающий пример, т.е. предъявить требуемую комбинацию (как в задаче 2.2) . Если же она не существует, то необходимо путем обоснованных рассуждений прийти к умозаключению об ее отсутствии (как в задаче 2.1). Задачи третьего вида. Задачи третьего вида можно решать различными методами. Выделяют «формальные» и «неформальные» методы (Е.Е.Белокурова). При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора комбинации, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (имеется в виду правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И ответ на вопрос «Сколько возможных вариантов?» получается из ответа на вопрос «Какие варианты могут получиться?» Младшие школьники решают комбинаторные задачи «неформальным» методом, к которому относится прием перебора (хаотичного или системного). При решении комбинаторных задач третьего вида дети сначала используют хаотичный перебор, при этом их типичными ошибками являются пропуск вариантов, их повторение и т.д. Постепенно они осознают необходимость в системном переборе, но испытывают затруднения в отыскании логики перебора вариантов. В начальной школе основным признан именно метод системного перебора вариантов. Почему? Можно указать несколько причин. Во-первых, психологической особенностью младших школьников является тесная связь их мышления с практическими действиями, поэтому метод системного перебора доступен детям данного возраста. Во-вторых, предлагаемая система комбинаторных задач предусматривает и обеспечивает постепенный переход от манипуляции с предметами к действиям в уме, а значит, метод систематического перебора позволяет накапливать опыт практического решения конкретных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. В-третьих, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приемами систематического перебора, это можно сделать более рационально. Рассмотрим примеры задач, в которых ответ получается в результате составления всех возможных вариантов комбинаций элементов с заданными свойствами. Задача 3.1: Сколько натуральных чисел, меньших 10 000, можно записать с помощью цифр 0 и 9 ? Ответ: Всего 14 чисел. Это: 9, 90, 99, 900, 909, 990, 999, 9000, 9009, 9090, 9099, 9900, 9909, 9999. Для удобства осуществления перебора данных чисел можно порекомендовать учащимся записывать эти числа в порядке возрастания (именно так они и записаны) или убывания. После выполнения полезно обсудить вопросы: Все ли числа записали? Почему можно быть уверенным в том, что ни одно число не пропущено? Что доказывает, что перебор осуществлен правильно? Что помогло выполнению задания? Для облегчения перебора возможных вариантов решения задачи необходимо познакомить детей с эффективными средствами его организации: таблицами, графами или схематическими рисунками. Задача 3.2: Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 4? Запишите все такие числа. Существует единый подход к осуществлению систематического перебора – строится особый рисунок, называемый графом. Так, для задачи 2 он будет иметь вид: 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 2 7 4 Запись любого трехзначного числа состоит из трех цифр: цифры сотен, цифры десятков и цифры единиц. Сначала надо записать, т.е. выбрать цифру сотен – для этого есть три варианта: 2, 7 или 4. Поэтому из верхней точки проведены три отрезка и на их концах поставлены цифры 2, 7 и 4. Затем надо записать (выбрать) цифру десятков, для этого есть те же три варианта: 2, 7 и 4, поскольку цифры в записи числа могут повторяться. Поэтому от каждой из цифр 2, 7 и 4 проведено по три отрезка, на концах которых стоят цифры 2, 7 и 4. Осталось записать (выбрать) цифру единиц, а для этого также есть три варианта: 2, 7 и 4. Проводим от каждой из цифр 2, 7 и 4 по три отрезка, на концах которых опять поставим цифры 2, 7 и 4. Чтобы прочитать полученные варианты, надо пройти по всем ребрам построенного графа сверху вниз: 222, 227, 224, 272,277, 274, 242,247 и т.д. В начальной школе граф называется «деревом возможностей». Заметим, что на этапе формирования умения решать комбинаторные задачи третьего вида «дерево возможностей» целесообразно использовать именно как графическое средство организации перебора возможных способов. Задача 3.3: (11,101) У Юры 2 автомобиля, 4 медвежонка и 3 мяча. Он хочет выбрать из этих игрушек один автомобиль, одного медвежонка и один мяч. Сколькими способами он может это сделать? Решение задачи представим с помощью «дерева возможностей»: Автомобили Медвежата Мячи Эта схема действительно похожа на дерево, которое растет вниз и у него нет ствола. То, что дерево растет как бы «вверх ногами», удобно при построении схем такого вида. Ветки «дерева возможностей» могут расти как сверху вниз, так и снизу вверх, а также слева направо или справа налево. Точка вверху изображает корень дерева, ветвями которого являются различные варианты решения задачи. Каждому способу решения соответствует одна ветка дерева, а число всех вариантов равно числу полученных веток (или числу точек на концах этих веток). В решении данной задачи для удобства точки-игрушки размещали на одной прямой. Каждая веточка этого «дерева», построенная сверху вниз, соответствует одному из способов выбора. Значит, у Юры имеется 24 возможности (способов) выбрать по одной игрушке. Обратим внимание учителей начальной школы на некие расхождения в самих рисунках «дерева возможностей», используемых в УМК «Гармония» (Н.Б. Истомина) и в программе «Школа 2000…» (Л.Г. Петерсон). Сравните «деревья возможностей» в задачах 3.2 и 3.3: во втором случае (Л.Г.Петерсон) элементы-игрушки, выбираемые по порядку, для удобства размещают на прямых, прямые прорисовываются, чего нет на рисунке-решении первой задачи (Н.Б. Истомина). Задача 3.4: (11,104) Имеется 2 красные и 3 зеленые гирлянды. Сколько различных комбинаций из них можно составить? Закончи составление «дерева» и покажи на нем цепочку «к – з – к – з – з». Решение: В условии задачи граф построен почти полностью. Дети должны по данному рисунку проговорить решение задачи и достроить недостающие ветки «дерева», которые на нашем рисунке представлены пунктирной линией: к з к з к з з к з к з к з з з к з з к з к з к з з з к з з к з к к Объяснение может быть таким: Идем от «корня» (точка вверху). Так как в комбинацию входят 5 гирлянд, то выделяем 5 этапов перебора вариантов: I гирлянда, II гирлянда, III гирлянда, IV гирлянда и V гирлянда. I гирлянда может быть либо красной, либо зеленой. Если I гирлянда красная, то II гирлянда тоже может быть либо красной, либо зеленой. Если II гирлянда красная, то остальные зеленые, т.к. может быть всего 2 красные гирлянды. Если же II гирлянда зеленая, то III гирлянда – либо красная, либо зеленая и т.д. Построенное «дерево» показывает, что имеется всего 10 различных вариантов комбинаций гирлянд. Граф, составленный в этой задаче, является несимметричным, и более высокого уровня трудности. При его составлении можно сначала рисовать все «ветки» также, как в симметричном графе, а потом вычеркивать лишние. Это требует глубокого осмысления содержания задачи и принципа использования «дерева возможностей». Задача 3.5: (11,107) Три поросенка Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди всевозможные варианты их размещения с помощью «дерева» и таблицы. Решение: р о г «Дерево»: Ниф-Ниф Нуф-Нуф о г р г р о Наф-Наф г о г р о р Таблица: Ниф-Ниф Нуф-Нуф Наф-Наф р о г р г о о р г о г р г р о г о р Задача 3.6: (12,83) Пять человек обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий? Решение: Сначала необходимо разобраться, как дети понимают слово «рукопожатие». В данном случае рукопожатие – пожатие друг другу руки в знак приветствия, каждый из участников встречи пожимает руки остальным. Когда два человека пожимают друг другу руки – это одно рукопожатие. Для ответа на вопрос можно рекомендовать использовать прием кодирования. Его суть состоит в том, чтобы обозначить каждого из друзей цифрами 1, 2, 3, 4, 5 (или буквами) и сделать возможной запись вариантов рукопожатия в форме треугольника: 12 13 14 15 23 24 25 34 35 45 Перебор рукопожатий упорядочен, и ответ легко подсчитывается: каждый из друзей сделает по 4 рукопожатия, а всего их будет 10. Задача 3.7: (8,65) В футбольном турнире участвуют 5 команд из Москвы, Санкт-Петербурга, Великого Новгорода, Нижнего Новгорода и Екатеринбурга. Турнир проводится в два круга: каждая пара встречается один раз в одном городе, второй раз – в другом. Сколько матчей состоится в каждом городе? Сколько всего матчей в одном турнире? Чтобы понять условие, нужно разобраться, какие игры и в каких городах проведет каждая команда. Начнем, например, с команды Москвы. Она проведет две игры с петербуржцами: одну у себя на стадионе в Москве, другую – в гостях в Санкт-Петербурге. Москвичи проведут две игры и с командой из Великого Новгорода: одну – на своем стадионе, вторую – на стадионе Великого Новгорода и т.д. Результатом такого рассмотрения условия задачи может стать условный рисунок, на котором будут изображены пять стадионов (пять городов) и отмечено, какие команды приедут на эти стадионы: СПб., В.Н., М., В.Н., М., СПб., Н.Н., Е. Н.Н., Е. Н.Н., Е. М. СПб. В.Н. М., СПб., М., СПб., В.Н., Е. В.Н., Н.Н. Н.Н. Е. По рисунку видно, что в каждом городе состоится по 4 матча, а всего будет матчей 4 · 5 = 20. Полезно спросить, сколько было бы матчей на каждом стадионе и сколько всего, если бы команд было 10. Задача 3.8: (13, 57) Катя хочет надеть на куклу блузку и юбку. Сколько костюмов она может составить? Решение проиллюстрируем с помощью таблицы: Кофточки Юбки Задача 3.9: Учитель говорит, что он хочет нарисовать в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте будет находиться круг, и одинаковые по форме фигуры не будут стоять рядом. Учащимся предлагается отгадать, сколько разных вариантов расположения этих фигур может нарисовать учитель. Всего существует 24 различных расположения этих фигур, и составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно. Необходимо провести сокращенный перебор и рассуждать так: на первом месте может стоять большой круг, тогда маленький круг может быть только на третьем месте, при этом большой и маленькие квадраты можно поставить двумя способами – на второе и четвертое место: Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, также составляются два варианта расстановки большого и маленького квадратов. Составляя эти варианты, ученики находят все те, которые могли быть задуманы учителем. Задача 3.10: (3,35)Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором три замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать? Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три. Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут любые двое из них, то они не смогут открыть сейф. Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию. Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому – 1 и 2 ключи, второму – 1 и 3 ключи, третьему – 2 и 3 ключи. (Осуществляется перебор из трех типов ключей по два ключа.) Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф. Рассматриваются все возможные случаи. Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3). Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз. *Следует заметить, что предлагаемые младшему школьнику комбинаторные задачи рассматриваемого вида могут быть разными по сложности осуществления перебора. По этому признаку можно выделить три вида задач: a) комбинаторные задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов (задачи 3.1 – 3.8); b) комбинаторные задачи, в которых использовать прием полного перебора не целесообразно и необходимо сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их, т.е. осуществить сокращенный перебор (примером может быть задача 3.9); c) комбинаторные задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам (пример – задача 3.10). Разнообразие комбинаторных задач в каждой группе можно получать благодаря варьированию числа объектов, самих объектов, наличию дополнительных условий, повторяющихся элементов, способов упорядочения и т.п. Особенностью задач этого вида является их результат. Результат – это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае могут и не образовываться (в этом отличие этих задач от задач первого вида с требованием найти комбинацию нужного вида). Задачи четвертого вида. Задача 4.1: Имеются поселки М, А, Б и В, каждые два из которых соединены дорогой: расстояние МА равно 7км, МБ – 10км, МВ – 6км, АБ – 4км, АВ – 11км, БВ – 6км. В М находится почтовое отделение и почтальон должен развести письма в остальные четыре села. Существует много различных маршрутов поездки. Какой из них является наикратчайшим? Решение: Проще всего проанализировать все варианты. Сделать это поможет «дерево возможностей», на котором легко увидеть возможные маршруты: М 7 10 6 А Б В 4 11 4 6 11 6 Б В А В А Б 6 6 11 11 4 4 В Б В А Б А 6 10 6 7 10 7 М М М М М М 23 34 31 34 31 23 Точка М вверху – начало маршрутов. Из нее можно начать путь тремя различными способами: в А, в Б или в В. После посещения одного из поселков остается две возможности продолжения маршрута, потом дорога в последний поселок и вновь в М. Всего 6 способов. Все они на этом «дереве возможностей». Расставим вдоль его «ветвей» числа, обозначающие расстояния между поселками, а в конце каждого маршрута напишем сумму этих расстояний по маршруту. Из полученных шести чисел наименьшими являются два числа по 23 километра, соответствующие маршрутам М – А – Б – В – М и М – В – Б – А – М. Заметим, что это один и тот же путь, но пройденный в разных направлениях. Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач, несомненно, способствует развитию комбинаторного, конструктивного мышления, такого его качества, как вариативность. Под вариативностью мышления понимают направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специального указания на это. Как известно, комбинаторное мышление тесно связано со становлением умственных операций, с развитием творческих способностей ребенка. Как показывает опыт работы, решение комбинаторных задач увлекает и вызывает огромный интерес у младших школьников, они с большим удовольствием начинают заниматься придумыванием и составлением собственных задач [17]. 4.3. Элементы теории вероятностей Если умение решать простейшие комбинаторные задачи является требованием Государственного образовательного стандарта к уровню подготовки младшего школьника, то основные понятия теории вероятностей и математической статистики являются пропедевтическими. Существующее до недавнего времени образование (и не только математическое) приучало школьников подходить к оценке явлений реальной действительности лишь с позиций классического детерминизма, когда, согласно законам дедуктивного метода, все имеет причинно-следственный характер, строго определено и трактуется однозначно. Детерминированными явлениями окружающей действительности принято называть те, исходы которых можно однозначным образом предсказать еще до их наблюдения. Поэтому все задачи в учебниках математики содержали, как правило, один вопрос и предполагали на него один-единственный, правильный ответ. Однако есть целый класс задач, в которых результат однозначно не определен и, разрешить которые обычными жестко детерминированными способами порой бывает невозможно. Это стохастические задачи, связанные со случайными событиями и явлениями. Случайными называют те события или явления, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти, т.е. исходы которых нельзя предсказать заранее до их наблюдения. Но важно уметь количественно оценивать степень возможности их реализации. Для оценки степени возможности различных событий математики разработали понятие вероятности. Знакомство с элементами теории вероятностей в начальной школе начинается с формирования на интуитивном уровне представлений об опыте и понятий случайного события и его вероятности. Такой подход не требует введения в программное содержание этих новых понятий. Они связываются с известными из жизни словами – часто, редко, всегда, никогда, «это случится наверняка», «это невозможно», «ни в коем случае», «возможно да, возможно нет» и другими, определяющими частоту наступления случайных событий. Количественный подсчет вероятностей в начальной школе не происходит. Приведем пример «вероятностной» задачи из учебника «Моя математика» для 2-го класса, часть 3, авторского коллектива Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких. Задача № 8, стр.3: «Положи в мешочек из непрозрачного материала три одинаковых шарика: 2 белых и 1 черный. Достань, не глядя, один шарик. Запомни его цвет и положи обратно. Проведи этот опыт 10 раз. Сделай вывод о том, шарик какого цвета ты доставал чаще». Работа может быть организована следующим образом. Сначала выделим условия, в которых необходимо провести опыт. Заодно выясним, в чем заключается сам опыт. Опыт состоит в том, что нужно достать не глядя (т.е. случайным образом), из мешочка, содержащего три шарика, один шарик, запомнить его цвет и вернуть обратно. Повторить этот опыт 10 раз. Условия: • шарики должны быть по размеру одинаковыми, • выбирать нужно один шарик, не глядя, не заглядывая внутрь мешочка, • мешочек должен быть из непрозрачного материала, так чтобы цвет вынимаемого шарика от экспериментатора был скрыт. Обязательно следует добиться от учащихся четкого понимания того, что им предстоит делать и в каких условиях. После этого можно предложить детям спрогнозировать ответ предлагаемого опыта: «Можно ли предсказать, какого цвета шарик будет выниматься чаще?» При ответах детей следует обратить внимание на приводимую ими аргументацию. Обсудив прогнозы, учитель делает обобщение: «Мы обсудили шансы более частого появления белого (черного) шарика, но лишь по окончании опыта станет ясно, шарик какого цвета появлялся чаще, и кто из вас лучший предсказатель». Далее проводим опыт, не забывая каждый раз фиксировать, какого цвета был вынутый шарик. После завершения опыта на основе полученных данных дети делают вывод о том, шарик какого цвета они доставали чаще, кто из них обладает «даром» ясновидения. Важно вернуться к тем аргументам, которые были высказаны на этапе предсказаний, выделить те, которые были вполне логичны и разумны и соответствуют полученному результату. Такое предвидение может лишь подтвердить понимание смысла случайных событий. Задача № 23, стр. 95: «Вова составил слова: столица, родители, школа, полдень. • Посчитай число букв в словах. Какая буква встречается чаще, реже?» В этом задании можно вести речь о гласных и согласных буквах либо о всех буквах, используемых в этих словах. * В ходе обсуждения различных аналогичных задач учащиеся убеждаются в том, что в мире случайных событий можно найти некоторые закономерности и оценить шансы наступления различных событий. 4.4 Элементы наглядной и описательной статистики Статистика определяется как наука о массовых явлениях, с помощью которой можно получить обобщенные данные об изучаемых совокупностях, рассчитать показатели связи и влияния, обнаружить закономерности в развитии изучаемых процессов. Статистические методы помогают получить доказательные результаты исследований. Целью изучения элементов статистики в начальной школе является формирование умений проводить несложные опросы, наблюдения с целью сбора (получения) количественной информации и ее оформления в виде таблиц, графиков, диаграмм; читать (интерпретировать) таблицы, схемы, графики, диаграммы. Средствами формирования статистических представлений могут быть: стохастические игры, моделирование, опыты со случайными исходами, простейшие статистические исследования. Рассмотрим в качестве примеров использование статистического исследования задания из учебника «Моя математика» для 2-го класса, часть 3, Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких. Задание № 5, стр.60: «Узнай у своих одноклассников, какой вид спорта им нравится больше всего, и заполни такую же таблицу. (Каждый может назвать только один вид спорта.) Вид спорта Футбол Хоккей Гимнастика Другие виды Число учащихся • Расскажи, какой вид спорта нравится твоим одноклассникам больше всего; меньше всего». Кроме сформулированных авторами учебника вопросов естественно задать вопрос: «Можно ли по этой таблице судить, какой вид спорта самый популярный в школе?» Выясняется, что об этом по данной выборке бесспорного ответа дать нельзя. Полученных сведений для ответа на этот вопрос недостаточно. Таким образом, в сознание учащихся внедряется идея о том, что вывод, сделанный на основе опыта, должен соответствовать выборке. Цель здесь очень проста: научить ребят представлять статистическую информацию в виде таблиц. Это весьма важно и не так легко, как кажется. Дети не могут сразу овладеть необходимыми умениями: ошибаются в определении количества строк и столбцов, затрудняются в выборе надписей, допускают ошибки в оформлении и т.д. Но, научившись записывать исходные данные в предложенную таблицу и регистрировать результаты наблюдений, они делают первые шаги к самостоятельному проведению статистических экспериментов и исследований. Постепенно учащиеся приобретают умения, связанные с использованием таблиц и диаграмм. Задание № 24, стр. 95: На двух книжных полках стоят книги: сказки, рассказы, повести. Расскажи по таблице: а) на какой полке больше всего книг со сказками; б) на какой полке меньше всего книг с рассказами; в) сравни число книг со сказками и книг с повестями; г) на какой полке больше книг. Сказки Рассказы Повести Первая полка 7 21 8 Вторая полка 9 12 13 Цель этого задания: научить младших школьников «читать» информацию, представленную в таблицах, сравнивать между собой различные данные и делать определенные выводы. Надо добиваться того, чтобы при обосновании ответа учащиеся точно указывали положение используемой информации в таблице. В 4-м классе дети учатся представлять статистические данные, информацию наглядно в виде линейных, столбчатых и круговых диаграмм. Построение диаграмм вызывает наибольшие затруднения, поэтому считаем целесообразным, представить алгоритмы их построения. В программе «Школа 2000…» (автор Л.Г. Петерсон) они имеют следующий вид: Алгоритм построения линейных (столбчатых) диаграмм: 1. Подобрать цену деления шкалы, удобную для обозначения на ней значений данных величин. 2. Изобразить шкалу на вертикальном координатном луче, а на горизонтальном луче отметить на равном расстоянии друг от друга точки по числу имеющихся величин. 3. От выбранных точек построить вертикальные отрезки (столбцы), высота которых равна значению соответствующей величины. Алгоритм построения круговых диаграмм: 1. Найти часть целого, которая приходится на каждую из величин. 2. Найти величины центральных углов, соответствующих каждой части: 360o : n ·x. 3. Построить в данной окружности центральные углы, соответствующие каждой части. В заключении отметим, что стохастическое содержание учебного материала способствует развитию внутрипредметных и межпредметных связей (в частности, математики и естествознания), позволяет осуществлять прикладную направленность курса, раскрывает роль современной математики в познании окружающей действительности, формирует мировоззрение учащихся. В процессе изучения стохастики у младших школьников получают дальнейшее развитие такие общеучебные и практические умения, как умения наблюдать, сравнивать, классифицировать, измерять, анализировать жизненные ситуации, принимать обоснованные решения и др. 5. Литература к разделу. 1. Александрова Э.И. Математика: Учебник для 1класса четырехлетней начальной школы (Программа обучения по системе Д.Б. Эльконина – В.В.Давыдова): В 2-х кн. Кн.2. – М.: Вита-Пресс, 2000. 2. Белокурова Е.Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики // Начальная школа. - 1992.- №1.- С. 20-22. 3. Белокурова Е.Е. Характеристика комбинаторных задач// Начальная школа. - 1994. - №1.- С. 34-38. 4. Вайблун, Ронн. Занимательный мир математики. – СПб.: Дельта, 1998. 5. Волкова С.И., Столярова Н.Н. Развитие познавательных способностей детей на уроках математики: Пособие для учителя четырехлет. нач. шк. – М.:Просвещение, 1995. 6. Игнатьев Е.И. Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы. – М.: Омега, 1994. 7. Истомина Н.Б. Математика: Учебник для 4 класса четырехлетней начальной школы- Смоленск: «Ассоциация XXI век», 1999. 8. Левитас Г.Г. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы //Начальная школа. - 2001.- № 5.- С. 64-66. 9. Михайлова З.А. Игровые занимательные задачи для дошкольников: Кн. для воспитателя дет.сада. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1990. 10. Моро М.И., Бантова М.А. Математика: Учеб. для 2 кл. трехлет. нач. шк. – 17-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1987. 11. Петерсон Л.Г. Математика. 2 класс. Часть 2. – М.: Компания С-инфо Лтд, фирма «Баллас», 1996. 12. Петерсон Л.Г. Математика. 1 класс. Часть 3. – М.: Ювента, 2002. 13. Рудницкая В.Н., Юдачева Т.В. Математика: Учебник для 2 класса четырехлетней начальной школы, 2-е изд., с уточн. – М.: Вентана-Графф, 2001.- С.57. 14. Солнышко С.В. Использование комбинаторных задач при обучении первоклассников математике // Начальная школа. - 1996.- №12.- С.61-65. 15. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 1997.С.154 – 165. 16. Смекалка для малышей. Занимательные задачи, загадки, ребусы, головоломки. – М.: Омега, 1994. 17. Хорева Г.В. Комбинаторные задачи для младших школьников: Учебно-методическое пособие для учителей начальных классов. – Хабаровск: ХК ИППК ПК, 2003. – 33 с. 18. Шадрина И.В. Графы и их применение //Начальная школа. - 2001.- №1.- С.30 – 34. 19. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. 6.Вопросы для самопроверки. 1. Охарактеризуйте материал, изучаемый в курсе математики начальных включенный в раздел «Работа с данными». 2. Какие типы комбинаторных задач рассматривают в курсе математики начальных классов? 3. С какой целью, в программе по математике для начальных классов предусмотрено знакомство с элементами теории вероятностей? 4. Какие методы используют при решении задач комбинаторного и вероятностного характера? 5. Какие цели решаются в связи с изучением элементов наглядной и описательной статистики? 6. Приведите примеры заданий на работу с диаграммами и опишите алгоритм построения линейных (столбчатых) диаграмм. 7. Приведите примеры заданий на работу с круговыми диаграммами и опишите алгоритм построения круговых диаграмм. 7. Планы практических заданий Содержание практического занятия № 11.1. Тема: Подходы к формированию умений читать и представлять ин формацию в табличной форме и в виде диаграмм Задачи. 1. Охарактеризовать содержание раздела программы по математике в начальных классах «Работа с данными». 2. Рассмотреть объем и технологии обучения работе с данными в различных образовательных системах. Оборудование: 1. Концепция федеральных государственных стандартов общего образования: проект /Рос. Акад. Образования; под ред. А.М. Кондаков, А Кузнецова – М.: Просвещение, 2008. – 39 с. – (Стандарты второго поколения). 2. Примерные программы по учебным предметам Начальная школа В 2ч. Ч.1. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 2010. –317 с. – (Стандарты второго поколения) Ход занятия: