Элементы математической статистики

Элементы математической статистики Выборочный метод Распределение частот Множество всех возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения, называется генеральной совокупностью. Отобранные из генеральной совокупности объекты называются выборочной совокупностью или выборкой. Число элементов генеральной совокупности и число элементов выборочной совокупности называются объемами генеральной и выборочной совокупности. Расположение выборочных наблюдений значений случайной величины в порядке неубывания называется ранжированием. Значения случайной величины, соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а изменение этого значения - варьированием. Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой варианты. Пусть - номер варианты, тогда - число измеренных значений -й варианты. Отношение к общей сумме частот всех вариант называется относительной частотой варианты и обозначается . Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариант с соответствующими им частотами или относительными частотами. Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная величина такова, что число ее возможных значений велико, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал. Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них значений случайной величины. 7.1.2. Эмпирическая функция распределения Эмпирической функцией распределения называется функция , задающая для каждого значения относительную частоту события . Следовательно, , где - число выборочных значений величины , меньших , а - объем выборки. 7.1.3. Полигон и гистограмма Пусть задан вариационный ряд дискретной случайной величины: … … Представим его графически в виде ломаной линии, связывающей на плоскости точки с координатами . Полученный график называется полигоном. Можно построить полигон, где точками являются пары чисел . Интервальный вариационный ряд графически изображается с помощью гистограммы. Для ее построения в прямоугольной системе координат на оси откладывают отрезки частичных интервалов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят прямоугольники с высотами, равными частотам или относительным частотам соответствующих интервалов. Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и гистограммы позволяет получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в совокупности наблюдений. 7.2. Статистическое оценивание 7.2.1. Выборочная средняя и выборочная дисперсия Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, то такая оценка называется точечной. К числу точечных оценок относятся выборочная средняя и выборочная дисперсия. Выборочная средняя находится как среднее арифметическое полученных по выборке значений: , где - варианта выборки; - частота варианты; - объем выборки. Выборочная дисперсия есть средняя арифметическая квадратов отклонений вариант от их выборочной средней: . Для расчетов более удобна формула: , где - выборочная средняя квадратов вариант выборки. Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной. Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой. Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину , тогда . Величину называют «исправленной» выборочной дисперсией. Пример: Для выборки 75, 86, 36, 47, 57, 87, 75, 39, 15, 18, 36, 47, 69, 96, 48, 74, 36, 26, 57, 59, 58, 39, 83, 73, 90, 21, 29, 56, 27, 58 определить среднее выборочное, выборочную дисперсию, «исправленную» выборочную дисперсию. Построить таблицу, содержащую интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму, функцию распределения частот. Решение: Вначале составим ранжированный ряд 15, 18, 21, 26, 27, 29, 36, 36, 36, 39, 39, 47, 47, 48, 56, 57, 57, 58, 58, 58, 59, 69, 73, 75, 75, 83, 86, 87, 90, 96. Получено 22 группы, т.е. 22 различных значений случайной величины. Для каждой группы подсчитаем частоту значений варианты. Результаты представим в таблице, которая будет представлять вариационный ряд: № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15 18 21 26 27 29 36 39 47 48 56 57 58 59 69 73 75 83 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 1 2 3 1 1 1 2 1 20 21 22 87 90 96 1 1 1 Находим выборочную среднюю Для вычисления выборочной дисперсии используем формулу , ; , тогда . Составим интервальный вариационный ряд Индекс интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Интервалы 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 Частота 2 4 5 3 7 1 3 4 1 Относительная частота Строим гистограмму Выборочную функцию распределения частот запишем в виде таблицы: Построим функцию распределения частот графически Практическая работа Имеется следующая выборка измерений случайной величины: 15, 37, 56, 24, 69, 49, 79, 80, 23, 34, 76, 65, 89, 100, 46, 23, 75, 98, 34, 26, 57, 97, 105, 46, 35, 25, 87, 56, 36, 26, 58, 84, 25, 26, 47, 48, 27, 58, 75, 48, 86, 91, 93, 57, 37, 29, 28, 40, 56, 74, 28, 29, 56, 27, 58, 68, 81, 91, 73, 104, 27, 84, 64, 97, 18, 28, 27, 54, 57, 76, 80, 26, 27, 65, 39, 26, 75, 86, 36, 47, 57, 87, 75, 39, 15, 18, 36, 47, 69, 96, 48, 74, 36, 26, 57, 59, 58, 39, 83, 73, 90, 21. Из выборки выписать 40 чисел, начиная с номера соответствующего номеру вашего варианта (последняя цифра зачетки). Определить среднее выборочное, выборочную дисперсию, исправленную выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратичное отклонение, моду, медиану. Построить таблицу, содержащую интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму, функцию распределения частот.