Элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом, и электромагнитное поле как особые виды материи

НП.1.1.Элементарные частицы, обладающие электрическим зарядом, и электромагнитное поле как особые виды материи Элементарные частицы материи, обладающие электрическими зарядами, являются важнейшими структурными элементами атомов вещества. Элементарные заряженные частицы входят в состав атомов и молекул , а также могут быть и в свободном состоянии. Элементарные заряженные частицы находятся в непрерывном движении и окружены электромагнитным полем, т.е. представляют собой особый вид материи. Электрический заряд элементарных частиц является их важнейшим физическим свойством, характеризующим их взаимодействие как с собственным электромагнитным полем, а так же их взаимодействие с внешним электромагнитным полем. Электрический заряд является основным отличительным свойством этих элементарных частиц, обладающих также и другими свойствами – массой, энергией, импульсом и т.д., присущим и другим формам движения материи. Обладающие зарядом элементарные частицы и их электромагнитное поле представляют собой единое целое. Нет возможности указать точной границы между частицей с электрическим зарядом и ее электромагнитным полем. Электрический заряд имеет два вида – положительный заряд ( заряд протона, позитрона и др. ) и отрицательный заряд ( заряд электрона и др.). Элементарная частица, обладающая электрическим зарядом и электромагнитным полем занимает некоторую ограниченную область пространства. Область пространства, в которой отсутствуют элементарные частицы, но существует электромагнитное поле, называется пустотой. Надо отметить, что если обладающую зарядом элементарную частицу нельзя мыслить без ее электромагнитного поля, то электромагнитное поле может существовать в свободном состоянии, не связанном с частицами вещества ( например, фотон, а также электромагнитное поле, излученное антенной). Электромагнитное поле, не связанное с частицами вещества, распространяется в пространстве со скоростью с=2,998 х м/с. Таким образом, электромагнитное поле есть особый вид материи, оно является носителем энергии, отличается непрерывным распределением в пространстве ( электромагнитные волны, поле заряженных частиц ). Этот вид материи обнаруживает дискретность структуры ( фотоны), и характеризуется способностью в свободном состоянии распространяться в пустоте ( при отсутствии сильных гравитационных полей) со скоростью близкой к скорости света, и оказывает на заряженные частицы силовое воздействие, зависящее от скорости. Любое электромагнитное явление, рассматриваемое в целом, характеризуется двумя сторонами – электрической и магнитной. Деление электромагнитного поля на электрическую и магнитную составляющие относительно, поскольку они находятся друг с другом в тесном взаимодействии. Электрическим полем называется одна из сторон электромагнитного поля, обусловленная электрическими зарядами и изменением магнитного поля, оказывающую силовое воздействие на заряженные частицы и тела и выявляемую по силовому воздействию на неподвижные тела и частицы. Электрическое поле характеризуется двумя сторонами: потенциальное или электростатическое поле и непотенциальное или вихревое поле. П.1.2. Электростатическое поле создается совокупностью электрических зарядов неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени. Электростатическое поле способно воздействовать на помещенный в него электрический заряд с механической силой прямо пропорциональной величине этого заряда. Механическое действие на электрический заряд было обнаружено Кулоном в XVIII веке и определено в соответствующем законе - единичный вектор, направленный по линии, соединяющей заряды q1 и q2 ; r – расстояние между зарядами; ϵ0=8.85 - электрическая проницаемость вакуума; - относительная диэлектрическая проницаемость среды, показывает во сколько раз взаимодействие между зарядами в однородной среде меньше, чем в вакууме. Одной из основных физических величин характеризующих электростатическое поле является напряженность электростатического поля. Напряженность электростатического поля есть векторная величина равная отношению механической силы , действующей на неподвижное положительно заряженное пробное тело, помещенное в данную точку поля, к величине зарядаq этого тела Полное отсутствие влияния заряда q на распределение зарядов, определяющих исследуемое поле, будет иметь место, если величина пробного заряда q будет стремиться к нулю. Тогда напряженность электростатического поля определится следующим образом Определив напряженность поля во всех его точках, можно провести ряд линий так, чтобы в каждой точке этих линий касательные к ним совпадали по направлению с вектором напряженности поля. Эти линии называют линиями напряженности электростатического поля. Совокупность таких линий образует картину поля. Свойства линий напряженности: - густота линий пропорциональна ; - линии напряженности начинаются на положительных зарядах или в бесконечности; - линии напряженности заканчиваются на отрицательных зарядах или в бесконечности; -- линии напряженности не могут обрываться нигде, кроме зарядов; - линии напряженности не могут пересекаться ( иначе напряженность в точке пересечения была бы не определена). Электростатическое поле – потенциальное. Пусть в электростатическом поле находится некоторый заряд q , на заряд будет действовать сила Пусть заряд q из точки 1 переместится в точку 2 по пути 132 . Так как направление силы , действующей на заряд q в каждой точке пути, может не совпадать с элементом пути , то элементарная работа dA по перемещению заряда на пути определится скалярным произведением силы на элемент пути, т.е. = Рис.1.П.1 Работа, затраченная силами поля на перенос заряда q из точки 1 в точку 2 по пути 132 определится в виде интеграла Так как заряд q может быть любым, то положим его равным единице. Тогда работа сил электростатического поля по перемещению единичного положительного заряда из точки 1 поля в точку поля 2 равна разности потенциалов этих точек Разность потенциалов между исходной и конечной точками пути (точками 1 и 2) зависит только от положения этих точек и не зависит от траектории пути, по которой происходит перемещение зарядов (по пути 132 или 142). Величина, равная разности электрических потенциалов равна напряжению U. Примем потенциал конечной точки пути равным нулю . Тогда потенциал произвольной точки поля 1 может быть определен как работа, совершаемая силами поля по переносу единичного положительного заряда из данной точки поля в точку пространства, потенциал которой равен нулю. За точку, имеющую нулевой потенциал, может быть принята любая точка пространства. Если такая точка выбрана, то потенциалы всех точек поля определяются однозначно. Часто принимают, что точка с нулевым потенциалом находится в бесконечности, тогда Иногда за точку с нулевым потенциалом принимают точку на поверхности земли. Электрический потенциал, характеризующий данное поле, может быть определен с точностью до произвольной постоянной, зависящей от произвольно выбранной точки, в которой потенциал принимается равным нулю. Электрическое поле , которое может быть в каждой точке охарактеризовано с точностью до произвольной постоянной скалярной величиной, именуемой электрическим потенциалом, носит название потенциального электрического поля. Таковыми, в частности, являются электростатическое поле , а также электрическое поле постоянных токов, протекающих по неподвижным проводникам, при условии, что поле рассматривается вне области действия электродвижущих сил. В электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру равен нулю Это важное свойство электростатического поля вытекает из принципа сохранения энергии. Электрическое поле в проводнике с током. Сторонние силы. ЭДС. Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер для его поддержания, то перемещение носителей тока приведет очень быстро к тому, что поле внутри проводника исчезнет, и ток прекратится. Для того, чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом (носители положительные) непрерывно отводить приносимые сюда заряды, а к концу проводника с большим потенциалом - непрерывно их подводить, таким образом, необходимо осуществлять движение зарядов по замкнутому пути, т.е. линии тока замкнуты. Эту функцию выполняют источники электродвижущей силы. Одним из важнейших параметров электрического поля является электродвижущая сила ЭДС. Появление ЭДС связано с наличием электрических полей неэлектростатического и непотенциального характера. ЭДС численно равна работе сторонних сил по переносу точечного положительного заряда от зажима источника с меньшим потенциалом к зажиму с большим потенциалом . В общем случае в замкнутом контуре действует электродвижущая сила е , если линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, а равен ЭДС, действующей в контуре Источниками ЭДС могут являться, например, электрические генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы. Поле электрическое – вихревое П.1.3. Вихревое поле не имеет источников в виде зарядов, источником служит переменное во времени магнитное поле. Линии напряженности вихревого электрического поля так же как и магнитного поля замкнуты. Вихревое поле не потенциально, работа по замкнутому контуру не равна нулю Связь заряда частиц и тел с их электрическим полем. Теорема Гаусса При исследовании электрического поля в веществе необходимо учитывать электрические свойства вещества. Вещества по их электрическим свойствам могут быть разделены на три основных класса – проводящие вещества, диэлектрики ( изолирующие вещества), полупроводящие вещества (полупроводники). Проводящими веществами являются такие, в которых существуют в значительном количестве обладающие электрическим зарядом свободные элементарные частицы ( электроны, положительные и отрицательные ионы), приходящие в упорядоченное движение под действием электрического поля. Основным свойством проводящих веществ является электропроводность, т.е. свойство проводить электрический ток под действием постоянного электрического поля. Диэлектриками называются вещества, в которых свободные частицы, обладающие зарядом, имеются в практически ничтожном количестве и основным является явление поляризации. Будем считать, что идеальный диэлектрик совсем не содержит свободные частицы, обладающие зарядами. Полупроводящие вещества занимают по значению своей электропроводности промежуточное положение между проводящими веществами и диэлектриками. Различают полупроводники с различными типами электропроводности электронной и дырочной. Однородной называют среду ( или вещество), которая во всех элементах объема обладает одинаковыми физическими свойствами. Изотропной называют среду, обладающую в каждом элементе объема одинаковыми свойствами во всех направлениях. Пусть в электрическом поле расположена некоторая поверхность площадью s . На этой поверхности выделен бесконечно малый элемент площадью ds, к которому проведена положительная нормаль N. На этой нормали откладывают вектор . К элементу площади ds в электрическом поле проводится вектор напряженности , который имеет с вектором угол . Поток вектора напряженности электрического поля сквозь поверхность s равен Поток вектора – скалярная величина. Пусть замкнутая поверхность ограничивает часть пространства, в котором находится тело с зарядом q . Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом q , расположенным внутри этой замкнутой поверхности Теорема Гаусса – поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность в однородном и изотропном диэлектрике равен отношению электрического заряда, заключенного внутри этой поверхности, к абсолютной диэлектрической проницаемости диэлектрика. При наличии электрического поля внутри проводящей среды свободные электрически заряженные частицы придут в движение, и, следовательно, статическое состояние установится только тогда, когда напряженность поля внутри проводника во всем его объеме станет равной нулю. Отсюда следует, что внутри тела суммарный заряд равен нулю, и заряд тела распределен только по поверхности тела. Поэтому, если провести любую замкнутую поверхность внутри проводящего тела, то суммарный поток сквозь эту поверхность равен нулю Поляризация диэлектриков. Электрическое смещение. Постулат Максвелла. При внесении идеального диэлектрика во внешнее электрическое поле элементарные заряженные частицы, входящие в состав молекул вещества, испытывают со стороны поля механические силы. Эти силы вызывают внутри молекул смещение частиц с положительными зарядами по направлению поля, а частиц с отрицательными зарядами в противоположную сторону. Диэлектрик оказывается в поляризованном состоянии. При смещении под действием электрического поля положительно и отрицательно заряженных частиц, входящих в состав молекул, в противоположных направлениях, получится электрический диполь, т.е. система двух равных, противоположных по знаку точечных зарядов q и -q , смещенных друг относительно друга на расстояние длины оси диполя d . Произведение qd= – электрический момент диполя ( векторная величина, направленная в сторону смещения положительного заряда). Степень электрической поляризации диэлектрика в данной точке характеризуют векторной величиной – поляризованностью . Поляризованность Р равна пределу отношения некоторого объема диэлектрика, содержащего данную точку, к этому объему, когда последний стремится к нулю dN – число диполей в объеме dV. Обозначим = объемная плотность заряда . Исследования показали, что поляризованность пропорциональна напряженности электрического поля, т.е. Р = α Е Пусть идеальный диэлектрик помещен в однородное электрическое поле между двумя заряженными пластинами. Под действием сил электрического поля частицы с положительными зарядами в диэлектрике смещаются в сторону отрицательно заряженной пластины на расстояние х , а частицы с отрицательными зарядами перемещаются по направлению к положительно заряженной пластине на расстояние d – x . Рассечем диэлектрик плоскостью, нормальной к линиям напряженности поля, и возьмем поверхность s на этой поверхности. За время изменения напряженности поля от нуля до конечного значения сквозь поверхность s в направлении сил поля проходят все положительные заряды, которые до возникновения поля находились в объеме диэлектрика равном xs , а в направлении против поля проходят все отрицательные заряды, заключенные в объеме ( d – x ) . Тогда количество положительных зарядов, сместившихся через поверхность s равно (q xs), а количество отрицательных зарядов [ - q (d-x)s]. Так как смещение положительных зарядов через поверхность s равноценно смещению отрицательных зарядов , то общий поляризационный заряд в объеме V сместившийся через эту поверхность равен Qn = qxs + q ( d - x) s = qd s = P s; P = В общем случае неоднородного поля Таким образом, поляризованность равна пределу отношения электрического заряда, переносимого заряженными частицами, сместившимися в веществе диэлектрика в процессе установления поля сквозь элемент поверхности, нормальный к направлению смещения частиц, к величине этого элемента при стремлении его к нулю. Пусть тело любой формы с зарядом q окружено диэлектриком в общем случае неоднородным и анизотропным. Окружим тело в диэлектрике замкнутой поверхностью s . На этой поверхности выделен бесконечно малый элемент площадью ds, к которому проведена положительная нормаль N. На этой нормали откладывают вектор . При увеличении свободного заряда q тела от нуля до его конечного значения, электрическое поле в диэлектрике и поляризация возрастали. К элементу площади ds в электрическом поле проводятся векторы напряженности и поляризованности , который имеет с вектором угол . В процессе смещения элементарных, обладающих зарядом частиц, сквозь поверхность s был перенесен заряд Qn При этом, если q > 0 , то и > 0 , так как в этом случае положительно заряженные частицы смещаются в направлении положительной внешней нормали к поверхности s . В объеме пространства, ограниченного поверхностью s кроме свободного заряда q , появляется связанный заряд qs , т.е. заряд частиц, связанных внутримолекулярными силами, но уже не компенсирующийся зарядом другого знака. В случае однородного диэлектрика связанный заряд появляется на границе диэлектрика около поверхности заряженного проводника, где как бы обнажаются заряды диполей одного знака, противоположного заряду q проводника. П.1.4.Некоторые фундаментальные понятия электротехники Электрические цепи представляют собой сочетание следующих элементов: - источников электрической энергии (генераторов, аккумуляторов и др.); - электроприемников, преобразующих электрическую энергию в другие виды энергии ( механическую, тепловую и др.); - устройств, соединяющих источники электрической энергии с электроприемниками (линии). Рис.П. Линия и присоединенная к ней нагрузка (электроприемник или потребитель) образуют внешнюю цепь относительно источника. Под действием ЭДС источника в замкнутой цепи возникает и поддерживается направленное движение электрических зарядов – электрический ток I . Величина тока I , протекающего по проводнику, определяется количеством зарядов q, проходящих через поперечное сечение проводника в единицу времени Если величина тока изменяется во времени, то ток выражается в дифференциальной форме В металлических проводниках электрический ток представляет собой направленное движение отрицательных зарядов (электронов). В газах, электролитах электрический ток осуществляется движением как положительных, так и отрицательных зарядов в противоположных направлениях. Исторически так сложилось, что за положительное направление тока условились считать направление движения положительных зарядов. Под действием ЭДС источника питания на его зажимах обеспечивается определенная разность потенциалов. Зажим с более высоким потенциалом называется положительным и обозначается знаком плюс << + >> , а зажим с более низким потенциалом называется отрицательным и обозначается знаком минус << - >> . Внутри источника под действием ЭДС электрический ток протекает от зажима с меньшим потенциалом к зажиму с большим большим потенциалом к зажиму с меньшим потенциалом. Прохождение электрического тока в цепи связано с затратами энергии. Энергия в электрическую цепь поставляется источником и преобразуется в цепи в другие виды энергии ( механическую, тепловую и др.). Элемент электрической цепи, в котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую, называется электрическим сопротивлением. Электрическое сопротивление обозначается буквой r ( или R), а на схемах изображается в виде прямоугольника с двумя зажимами. П. Закон Ома Задан участок электрической цепи, не содержащий источник ЭДС. Прохождение электрического тока на данном участке обусловлено разностью потенциалов на его зажимах или напряжением Положительные направления напряжения и тока принимаются от зажима с более высоким потенциалом 1 к зажиму с меньшим потенциалом 2. Одно из основных соотношений для участка электрической цепи – это закон Ома где Пусть теперь задан участок электрической цепи, содержащий два источника питания с ЭДС и три сопротивления . Необходимо найти выражение для тока. Рис.П. По всем элементам электрической цепи протекает один и тот же ток Потенциал точки “а” равен потенциалу зажима 1 минус падение напряжения в сопротивлении r1, т.е. . Потенциал точки “b” равен потенциалу точки “a” плюс значение ЭДС , т.е. . Потенциал точки “с” равен потенциалу точки “b” минус падение напряжения на сопротивлении r2 , тогда Потенциал точки “d” равен потенциалу точки “с” минус значение ЭДС т.е. . Тогда значение потенциала зажима 2 равно Ток на участке цепи равен В замкнутой электрической цепи каждый элемент ( источник энергии, провода линии, электроприемник) при прохождении электрического тока нагревается, следовательно, они обладают электрическим сопротивлением. На рис. представлена замкнутая электрическая цепь, в которой под действием ЭДС источника электрической энергии по всем последовательно соединенным элементам цепи протекает ток . Уравнение напряжений имеет вид E= rв I + rл I + rн I Величина этого тока прямо пропорциональна ЭДС источника энергии и обратно пропорциональна полному сопротивлению всей цепи. Рис.П где - внутреннее сопротивление источника питания; - сопротивление проводов линии; - сопротивление приемника или нагрузки; - сопротивление внешней цепи - ЭДС источника энергии измеряется в вольтах . Свойства источника электрической энергии описываются вольт – амперной характеристикой ВАХ , которая называется внешней характеристикой источника. В общем случае ВАХ источника является нелинейной. Она имеет две характерные точки, которые соответствуют: Рис.П. Внешняя характеристика а – режиму холостого хода ( ); б – режиму короткого замыкания (). Из схемы рис. следует, что напряжение на зажимах источника питания меньше ЭДС источника на величину падения напряжения во внутреннем сопротивлении источника энергии Напряжение на сопротивлении внешней цепи r равно , тогда ЭДС источника питания можно представить в виде Из выражения для тока следует, что величину тока ограничивает и внутреннее сопротивление источника питания и сопротивление внешней цепи. Из выражения для тока следует, что величину тока ограничивает и внутреннее сопротивление источника питания и сопротивление внешней цепи. В зависимости от соотношения падений напряжений на этих сопротивлениях возможны два варианта схем для источника питания. а) б) Рис. На схеме рис. а напряжение на зажимах источника зависит от тока во внешней цепи . Если , тогда при одном и том же токе падения напряжений на этих сопротивлениях ,т.е. источник электрической энергии находится в режиме, близком к режиму холостого хода. Тогда можно практически пренебречь падением напряжения на внутреннем сопротивлении и принять, что на рис. П. б. Такой источник энергии с внутренним сопротивлением равным нулю называют источником напряжения ( источником ЭДС). Напряжение на зажимах такого источника не зависит от сопротивления приемника и всегда равно ЭДС . Его внешняя характеристика рис. . Рис.П. Источник энергии может быть представлен и другой схемой рис.П. а) б) Рис.П. Для этой схемы надо разделить правую и левую части уравнения для ЭДС источника энергии на , тогда Полученному уравнению удовлетворяет схема для источника энергии рис. П. , при этом внутреннее сопротивление включено параллельно сопротивлению нагрузки . Если или и при одном и том же напряжении на зажимах параллельных ветвей с сопротивлениями ток , то источник энергии находится в режиме близком к короткому замыканию. Тогда можно принять, что ток и получить эквивалентную схему рис. Такой источник с внутренней проводимостью равной нулю ( ), называется источником тока ( источником с заданным током). Ток источника тока J не зависит от сопротивления приемника и равен Внешняя характеристика источника тока представляет собой прямую, параллельную оси ординат рис. П. . Источник тока на схемах представляется в виде кружка с двойной стрелкой внутри. Рис.П Таким образом, в зависимости от соотношения между внутренним сопротивлением источника энергии и сопротивлением приемника реальные источники электрической энергии могут быть во многих случаях отнесены либо к источникам напряжения, либо к источникам тока. Часто при решении задач требуется заменить источник ЭДС источником тока рис.П. Для этого необходимо разделить правую и левую части уравнения Рис. П. напряжения на внутреннее сопротивление источника Тогда получим Проводимость полученного источника тока будет равна Аналогичным образом возможна замена источника тока источником ЭДС. Для этого разделим правую и левую части уравнения токов на проводимость источника тока Тогда получим П. Основные энергетические соотношения в простейшей цепи постоянного тока При прохождении электрического тока по участку цепи с сопротивлением происходит преобразование электрической энергии в тепловую. Количество электрической энергии , преобразуемой в тепловую энергию за время t , определяется по закону Джоуля-Ленца: Мощность представляет собой количество энергии, преобразуемой в единицу времени: Единицами измерения являются: мощность электрическая энергия Рассмотрим баланс мощности в простейшей электрической цепи рис. Для этого все члены уравнения напряжений умножим на ток . Произведение представляет полную электрическую мощность создаваемую источником энергии. Часть этой мощности теряется в виде потерь на нагревание самого источника энергии часть мощности источника теряется в виде потерь в линии , оставшаяся часть мощности источника энергии это полезная мощность, которая отдается нагрузке П. Законы Кирхгофа для электрической цепи постоянного тока Ветвь – несколько последовательно соединенных элементов цепи, по которым протекает один и тот же ток; Узел – место соединения трех и более ветвей; Контур – замкнутый путь по нескольким ветвям. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю Рис.П. Токи, направленные к узлу, имеют один знак, например плюс, тогда токи, направленные от узла, имеют знак минус. I1 – I2 – I3+I4+J=0 (Примечание. Если ток источника тока J задан, то он переносится в правую часть уравнения). Второй закон Кирхгофа: в контуре алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях, входящих в контур Рис.П. В контуре развернутой схемы заданы сопротивления и ЭДС источников энергии. Требуется составить уравнение напряжений для контура на основании второго закона Кирхгофа. Произвольно указываются положительные направления токов в ветвях, например, как показано на рис. П. . Произвольно указывается положительное направление обхода контура, например, по часовой стрелке рис.П. В левой части уравнения записывается алгебраическая сумма ЭДС источников. Если направление действия ЭДС совпадает с произвольно выбранным положительным направлением обхода контура, то такая ЭДС берется со знаком плюс. Если направление ЭДС не совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура, то такая ЭДС берется со знаком минус. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. Если направление тока в ветви совпадает с произвольно выбранным положительным направлением обхода контура, то такое падение напряжения берется со знаком плюс. Если направление тока в ветви не совпадает с выбранным положительным направлением обхода контура, то такое падение напряжения на сопротивлении ветви берется со знаком минус. E1 – E2 – E3 = I1r1 – I2r2 - I3r3+I4r4 П. . Магнитное поле Магнитным полем называется одна из двух сторон электромагнитного поля, обусловленная движущимися заряженными частицами и изменением электрического поля, оказывающая силовое воздействие на движущиеся заряженные частицы и выявляемая по силовому воздействию, направленному нормально к направлению движения этих частиц и пропорциональному их скорости. В пространстве, окружающем электрические токи возникают магнитные поля. Основной физической величиной, характеризующей магнитное поле в любой его точке, является вектор магнитной индукции . Направление вектора совпадает с северным полюсом магнитной стрелки. Таким образом, магнитное поле можно представить как поле векторов магнитной индукции .Магнитное поле графически удобно представить с помощью магнитных силовых линий. Вектор магнитной индукции совпадает по направлению с касательной, проведенная к магнитной силовой линии в любой точке. ( Магнитные силовые линии проявляются в простом опыте с железными опилками). Густота магнитных силовых линий пропорциональна модулю вектора магнитной индукции в данной точке. Направление магнитных силовых линий связано с током, возбуждающим магнитное поле, правилом право-ходового винта. Свойства линий магнитной индукции: - линии охватывают проводник с током, создающим это магнитное поле; - линии всегда замкнутые ( не имеют ни начала, ни конца); - линии не пересекаются, не касаются друг с другом и не имеют изломов. Если магнитная индукция во всех точках поля имеет одинаковую величину и направление, то такое поле называют равномерным или однородным. Магнитная индукция, характеризующая интенсивность магнитного поля, зависит не только от величины тока, возбуждающего магнитное поле, но и от магнитных свойств окружающей среды. Пусть скорость движения заряженной частицы в электромагнитном поле v отлична от нуля, тогда на нее действует сила f2 пропорциональная заряду q движущихся частиц, скорости v и величине магнитной индукции В. Магнитное поле действует только на движущиеся тела. Векторы магнитной индукции скорости лежат в одной плоскости и сдвинуты относительно друг друга на угол а . Вектор силы перпендикулярен этой плоскости и определяется векторным произведением величин Модуль вектора силы равен f2 =q v . Таким образом, в каждой точке магнитного поля в каждый момент времени есть определенное направление векторов, характеризующееся тем, что сила f2 оказывается наибольшей. Все три вектора взаимно перпендикулярны, тогда сила f2 равна f2 =q v Принято магнитную индукцию определять по воздействию на отрезок проводника длиною l , по которому протекает электрический ток i . Пусть – вектор, имеющий длину, равную длине отрезка проводника, и направленный по оси проводника в направлении тока i . Пусть q – заряд в объеме отрезка проводника движется вдоль оси проводника со скоростью и создает ток i . Заряд q проходит путь l за время t , тогда . Так как при этом сквозь сечение проводника за время t проходит заряд q , то ток равен Тогда получим q и, следовательно, вектор силы будет пропорционален векторному произведению Если вектор перпендикулярен вектору , то сила f2 имеет наибольшее значение f2=i B l . Направление действия силы можно практически определить, если воспользоваться правилом левой руки. Пусть в равномерном магнитном поле, созданном постоянным магнитом, между северным N и южным S полюсами расположен проводник длиной l . В этом проводнике протекает ток I . На проводник с током I в магнитном поле действует электромагнитная сила f , направление которой определяется по правилу левой руки рис.П. . Величина этой силы определяется из выражения где B – магнитная индукция в зазоре между полюсами; - ток в проводнике; l - активная длина проводника ; - угол между осью проводника и вектором магнитной индукции. Электромагнитная сила f имеет наибольшее значение, когда . Рис.П. В случае неоднородности поля значение магнитной индукции равно пределу отношения механической силы, действующей на элемент проводника с электрическим током, к произведению тока и длины проводника, когда длина стремится к нулю. Таким образом, если частица с зарядом q движется в электромагнитном поле со скоростью , то результирующая сила, действующая на заряд, имеет две составляющие. Одна определяется электрическим полем, а другая – магнитным полем , Эту силу называют силой Лоренца. Действие сил существенно отличаются. Сила со стороны электрического поля может изменять и величину, и направление движения заряженной частицы, т.е. изменять кинетическую энергию частицы. Сила со стороны магнитного поля направлена всегда перпендикулярно вектору скорости частицы и изменяет только направление движения частицы, не изменяя ее скорости, а, следовательно, и ее кинетической энергии. Выражение для результирующей силы позволяет сделать важный вывод, что деление единого электромагнитного процесса на две составляющие электрическую и магнитную относительно. Так говорить о скорости частицы можно только по отношению к некоторой системе отсчета. Если наблюдатель неподвижен в данной системе координат, то есть скорость движения частицы по отношению к наблюдателю. Тогда наблюдатель утверждает, что существует электрическое поле с напряженностью и магнитное поле с магнитной индукцией . Результирующая сила, действующая на заряд в электромагнитном поле, имеет две составляющие В другой системе отсчета, которая относительно первой движется со скоростью , наблюдатель неподвижен относительно заряженной частицы q , и всю силу действующую на частицу будет относить за счет действия электрического поля. Таким образом, напряженность электрического поля или магнитная индукция в одной и той же точке и в один и тот же момент времени в разных системах отсчета будут разными. Другим важным параметром характеризующим магнитное поле является поток вектора магнитной индукции Ф . Пусть в магнитном поле выделена некоторая поверхность S, которую пронизывают магнитные силовые линии поля. Выделим на этой поверхности бесконечно малую площадку ds и проведем к ней нормаль и вектор магнитной индукции . Элементарный магнитный поток сквозь бесконечно малую площадку определяется по выражению где - это угол между векторами и , проведенные к площадке ds . Магнитный поток сквозь всю поверхность S равен Если магнитное поле равномерное, а поверхность S представляет собой плоскость, то Ф = Если плоскость S расположена перпендикулярно к направлению вектора магнитной индукции , то угол и магнитный поток равен Ф = . Принцип непрерывности магнитного потока состоит в том, что линии магнитной индукции всюду непрерывны, т.е. нигде не имеют ни начала, ни конца. Внутри постоянного магнита линии магнитной индукции должны идти так же, как и в соленоиде. Математически принцип непрерывности магнитного потока формулируется следующим образом s Электрический ток и его магнитное поле существуют всегда одновременно, т. е. являются лишь разными характеристиками единого физического процесса. Пусть в пустоте в проводящем контуре протекает ток i , этот ток возбуждает магнитное поле, магнитные силовые линии которого охватывают проводник, пронизывая контур . Интеграл по замкнутому контуру длиной l , охватывающему контур с током i , не зависит от формы контура будет пропорционален току Каждая магнитная силовая линия обязательно охватывает собой электрический ток. Если имеется катушка, по которой протекает ток i , то Намагниченность вещества. Напряженность магнитного поля При исследовании магнитных полей и расчете магнитных устройств используют расчетную величину – напряженность магнитного поля H . Вектор магнитной индукции и вектор напряженности магнитного связаны соотношением где - абсолютная магнитная проницаемость среды; - магнитная проницаемость вакуума ( а так же магнитная проницаемость неферромагнитных материалов и сред) П. Закон электромагнитной индукции Явление электромагнитной индукции открытое М. Фарадеем в 1831г заключается в том, что при всяком изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в этом контуре индуцируется ЭДС Под действием ЭДС e в контуре возникает ток i , положительное направление которого принято считать совпадающим с направлением действия ЭДС. Знак минус в формуле введен в соответствии с принципом электромагнитной инерции, установленным Ленцем. Согласно этому принципу, всякий электрический контур стремится сохранить неизменным пронизывающий его магнитный поток. Пусть контур К расположен в магнитном поле и пронизывается магнитным потоком Ф. При неизменном магнитном потоке, пронизывающем контур Ф=0 производная от потока по времени равна нулю и, следовательно, ЭДС е=0 . Пусть поток Ф, пронизывающий контур, возрастает, тогда в нем возбуждается ЭДС е, направление которой в контуре будет таким, чтобы ток i протекающий в контуре под действием ЭДС, создал собственный магнитный поток, направленный навстречу возрастающему внешнему магнитному полю рис. . При уменьшении внешнего магнитного поля, пронизывающего контур К , в нем возбуждается ЭДС е, направление которой в контуре будет таким, чтобы ток i протекающий в контуре под действием ЭДС, создал собственный магнитный поток, направленный согласно с убывающим внешним магнитным полем рис. При изменении внешнего магнитного потока Ф, пронизывающего контур, магнитные силовые линии пересекают этот контур, входя в него при увеличении поля и выходя из него при уменьшении. Пусть в равномерном магнитном поле, созданным постоянным магнитом, между северным N и южным S полюсами движется проводник длиной l . В этом проводнике индуцируется ЭДС e , направление которой определяется по правилу правой руки рис.П. . Рис.П. Величина этой ЭДС определяется по формуле где e – индуцированная ЭДС в проводнике; B – магнитная индукция в зазоре между полюсами; - активная длина проводника; – скорость движения проводника в магнитном поле; – угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции. П. . Закон электромагнитных сил Ампера П. . Магнитные цепи. Закон полного тока. В электрических машина и аппаратах магнитные поля в большинстве случаев создаются электромагнитами, реже для этих целей используют постоянные магниты. Электромагнит состоит из стального сердечника и намотанной на него катушки выполненной из изолированного провода. Для усиления магнитного поля и сосредоточения его в определенной части пространства электрические машины и аппараты изготавливаются из ферромагнитных материалов. В отдельных случаях весь магнитный поток или часть его проходит через неферромагнитную среду, например, проходит по воздуху, электроизоляционным материалам, магнитные свойства которых незначительно отличаются от вакуума. Совокупность нескольких участков ферромагнитных и неферромагнитных, по которым замыкаются линии магнитного потока, называется магнитной цепью или магнитопроводом. В основе расчета магнитных цепей лежит закон полного тока. Пусть магнитное поле в пространстве создается несколькими проводниками с токами. В магнитном поле, созданном токами возьмем замкнутый контур длиною l , который охватывает проводники с токами. Тогда циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром, т.е. где - вектор напряженности магнитного поля в данной точке пространства; - элемент длины замкнутого контура; - угол между векторами ; – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром Ток , пронизывающий контур, считается положительным , если произвольно принятое положительное направление обхода контура и направление рассматриваемого тока связаны правилом правоходового винта. Для магнитной цепи (по аналогии с электрической цепью) можно записать закон Ома в виде где - магнитодвижущая сила МДС; - магнитное сопротивление магнитопровода. Для расчета разветвленных магнитных цепей применимы методы расчета разветвленных электрически цепей. П. . Индуктивные катушки. ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции. Контур любой электрической цепи оказывается пронизанным магнитным потоком, который создается протекающий по цепи ток. Величина этого потока зависит от конфигурации контура и оказывается особенно значительной, если электрическая цепь выполнена в виде катушки с большим числом витков. Такие катушки выполненные из проводникового материала ( меди, алюминия и др.) находят широкое применение в электрических машинах и аппаратах. П. . . ЭДС самоиндукции Всякое изменение тока i в цепи влечет за собой изменение магнитного потока Ф, созданного этим током и пронизывающего контур цепи. Это в свою очередь вызывает появление в цепи электродвижущей силы в соответствии с законом электромагнитной индукции. ЭДС, обусловленную изменениями собственного магнитного потока цепи, называют электродвижущей силой самоиндукции и обозначают где потокосцепление ( в этом случае все магнитные силовые линии магнитного потока сцепляются со всеми витками катушки). Если отдельные группы витков катушки пронизываются разными магнитными потоками, то общее потокосцепление равно где - часть витков катушки, пронизываемых магнитным потоком При отсутствии ферромагнитных материалов потокосцепление пропорционально протекающему по цепи току i где - индуктивность цепи, зависящая от размеров, конфигурации цепи и числа витков катушки. Тогда ЭДС самоиндукции Полученное выражение для ЭДС самоиндукции свидетельствует о том, что при увеличении тока, когда , ЭДС самоиндукции направлена навстречу току, а при уменьшении тока, когда , ЭДС самоиндукции совпадает по направлению с током. Таким образом, ЭДС самоиндукции противодействует как увеличению, так и уменьшению тока. Это противодействие тем сильнее, чем больше индуктивность цепи. Следовательно, индуктивность характеризует инерционность цепи. ( В ряде случаев для упрощения расчетов электрических машин и аппаратов принимают, что их магнитная цепь не насыщена и тогда можно считать потокосцепление пропорциональным току и в случае ферромагнитных материалов) . П. . . ЭДС взаимоиндукции Пусть на сердечнике рядом друг с другом располагаются две катушки с числом витков w1 и w2 рис.П . Рис.П. . Индуктивно связанные электрические цепи В цепи первой катушки включен источник ЭДС е1 . Цепь второй катушки разомкнута, и источник ЭДС отсутствует. Пусть в момент времени t ключ k1 в цепи первой катушки замыкается, и по ее виткам потечет изменяющийся во времени ток i1 . Этот ток создает магнитный поток Ф1 , часть которого Ф11 связана с витками только первой катушки, а другая часть – поток Ф12 пронизывает витки как первой так и второй катушек. Если сердечник выполнен из неферромагнитного материала ( или когда ферромагнитный сердечник не насыщен), то потокосцепления обеих катушек пропорциональны току i1 где - индуктивность первой катушки; - взаимная индуктивность между первой и второй катушками. При изменении тока i1 во времени, пропорционально току изменяются потокосцепления и , тогда в первой катушке индуцируется ЭДС самоиндукции e L1 , а во второй катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции eM2 Положительное направление ЭДС самоиндукции (как и положительное направление тока i1) принимается так, чтобы оно было связано с магнитным потоком Ф1 правилом право ходового винта. Положительное направление ЭДС взаимоиндукции также связано с магнитным потоком Ф12 правилом право ходового винта. Пусть теперь в цепи второй катушки включен источник ЭДС е2 рис.П. . Цепь первой катушки разомкнута, и источник ЭДС отсутствует. В момент времени t ключ k2 в цепи второй катушки замыкается, и по ее виткам потечет изменяющийся во времени ток i2 . Этот ток создает магнитный поток Ф2 , часть которого Ф22 связана с витками только второй катушки, а другая часть – поток Ф21 пронизывает витки как первой так и второй катушек. Рис. П. . Если сердечник выполнен из неферромагнитного материала ( или когда ферромагнитный сердечник не насыщен), то потокосцепления обеих катушек пропорциональны току i2 . где - индуктивность второй катушки; - взаимная индуктивность между второй и первой катушками. При изменении тока i2 во времени, пропорционально току изменяются потокосцепления и , тогда во второй катушке индуцируется ЭДС самоиндукции e L2 , а во первой катушке индуцируется ЭДС взаимоиндукции eM1 В соответствии с принятым условием, что const , можно считать, что М12 =М21=М . Теперь можно перейти к общему случаю. Пусть ключи k в цепях первой и второй катушек замыкаются в момент времени t . По обеим катушкам протекают токи i1 и i2 , которые изменяются во времени рис.П. Рис.П. . Согласное включение индуктивно связанных катушек. Токи катушек создают магнитные потоки Ф1 и Ф2 , изменяющиеся во времени. Поток Ф11 связан с витками только первой катушки, а поток Ф22 связан с витками только второй катушки. Потоки Ф12 и Ф21 принизывают витки как первой, так и второй катушек. Результирующая ЭДС в каждой из катушек при их согласном включении будет равна сумме ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции При встречном включении катушек, когда потоки Ф12 и Ф21 направлены встречно, ЭДС катушек будут равны Расчет сложных разветвленных цепей постоянного тока В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда известны конфигурация и заданы элементы цепи, требуется найти значения токов, напряжений и мощностей участков цепи. К второму типу относятся обратные задачи т.е. задачи синтеза, когда, например, заданы токи и напряжения, а требуется найти конфигурацию и выбрать элементы цепи. Рассмотрим задачи анализа электрических цепей. Существует несколько методов расчета электрических цепей, рассмотрим некоторые из них. Расчет сложных цепей методом непосредственного применения законов Кирхгофа Метод непосредственного применения законов Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей является универсальным методом, позволяющим рассчитать электрическую цепь любой сложности и конфигурации. Пусть задана схема разветвленной электрической цепи, имеющей ( n+1) узлов и m контуров. Порядок системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяется количеством неизвестных токов в схеме. Заданы значения всех сопротивлений в ветвях, а так же заданы величины и направления действия всех источников ЭДС и источников тока. Порядок расчета сложных цепей методом непосредственного применения законов Кирхгофа: 1. – по возможности упрощают схему, заменяя последовательное и параллельное соединения сопротивлений их эквивалентными ; 2. – произвольно выставляются номера всех узлов схемы; 3. - произвольно задаются положительные направления токов в ветвях (обычно направление тока в ветви принимается совпадающим с направлением источника ЭДС, т.е. предполагается, что источник работает в режиме отдачи энергии, а не в режиме потребления. Окончательно установить, в каком режиме работает источник, можно будет после расчета электрической цепи); 4.- произвольно задаются положительные направления обхода контуров; 5. - для n узлов схемы составляются уравнения на основании первого закона Кирхгофа ( неизвестные токи ветвей остаются в левой части уравнений, а известные токи источников тока переносятся в правую часть уравнений ); 6. – для m независимых контуров составляются уравнения напряжений на основании второго закона Кирхгофа ( каждый последующий контур считается независимым, если он содержит хотя бы одну новую ветвь и хотя бы одну старую ветвь); Полученная система уравнений решается. Если в результате решения системы уравнений какие-то токи получились со знаком минус, это значит, что реальное направление тока в ветви противоположно тому, которое было предварительно произвольно задано. Повторять расчет нет необходимости. Для проверки правильности решения задачи составляется уравнение баланса мощности. Если направление тока в ветви получилось навстречу ЭДС источника, то такой источник рассматривается как потребитель энергии. Пример: задана развернутая разветвленная электрическая схема; заданы параметры элементов схемы: R1 = 15 Ом, R2= 20 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 8 Ом, R5 =10 Ом, R6 =14 Ом, R7 = 19 Ом, R8 = 28 Ом, Е1 = 40 В , Е2 =80 В , Е3 =60 В , Е4 = 30 В , Е5 = 70 В, Е6 =50 В , J= 4 A . 1. – по возможности упрощают схему, заменяя последовательное и параллельное соединения сопротивлений их эквивалентными ; 2. – произвольно выставляются номера всех узлов схемы. В схеме 5 узлов, причем пятый узел для удобства чтения схемы “разнесен”; 3. - произвольно задаются положительные направления токов в ветвях. Количество неизвестных токов к=8 определяют порядок системы уравнений; 4.- произвольно задаются положительные направления обхода контуров. В схеме 4 независимых контура ( контур, образованный источником тока не считается); 5.- в схеме 5 узлов, но уравнения по первому закону Кирхгофа составляются только для n=4 узлов. Если составить для 5 узлов, то система уравнений будет вырожденная, т.е. ее определитель будет равен нулю. Неизвестные токи ветвей, которые нужно определить, остаются в левой части уравнений, а известные токи источников тока переносятся в правую часть уравнений токов; 6. – для m=4 независимых контуров составляются уравнения напряжений на основании второго закона Кирхгофа Получим систему уравнений Переписываем полученную систему уравнений в матричной форме Сформируем матрицы и решим матричное уравнение Заданы параметры схемы (Задача решается в программе Mathcad) В результате расчета параметров схемы получилось, что токи в третьей, четвертой и седьмой ветвях имеют знаки минус. Это значит, что реальное направление токов в этих ветвях будет противоположно тому направлению, которое было предварительно задано. Из этого также следует, что источники ЭДС E3 и E4 работают не в режиме отдачи, а в режиме потребления электрической энергии. Для проверки правильности решения составляется уравнение баланса мощности Вт; Для того, чтобы найти разность потенциалов () составим уравнение напряжений для первой ветви в виде Так как источники ЭДС E3 и E4 работают в режиме потребления энергии, то значения их мощностей взято со знаком минус. Вт Метод контурных токов Метод контурных токов – это один из эффективных методов расчета электрических цепей, который позволяет снизить порядок системы уравнений. Порядок системы уравнений определяется количеством независимых контуров m. Для каждого независимого контура вводится расчетный контурный ток, который протекает по всем элементам, входящим в контур. Направление контурного тока совпадает с произвольно выбранным положительным обходом контура. Далее составляются уравнения напряжений для контуров. Для практических расчетов разветвленных электрических цепей с несколькими источниками ЭДС и источниками тока применяют формализованную систему уравнений порядка m в виде где I11 ; I22; … Imm - контурные токи; r11 ; r22 ; … rmm - собственные сопротивления контуров, равные сумме сопротивлений, входящих в контур согласно индексу; r12 … r1m; r21… r2m; … rm1 … rmm-1 - общие сопротивления смежных контуров. Если в общей ветви двух смежных контуров контурные токи протекают согласно, то падение напряжения от тока смежного контура на сопротивлении общей ветви берется со знаком плюс. Если контурные токи в общей ветви направлены встречно, то падение напряжения берется со знаком минус ; E11 ; E22 ; … Emm - алгебраические суммы ЭДС, входящих в соответствующий контур, знак ЭДС согласуется с положительным обходом контура; - падения напряжений от токов источников тока на сопротивлениях в смежных контурах. Пример расчета: задана развернутая разветвленная электрическая схема; заданы параметры элементов схемы R1 = 15 Ом, R2= 20 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 8 Ом, R5 =10 Ом, R6 =14 Ом, R7 = 19 Ом, R8 = 28 Ом, Е1 = 40 В , Е2 =80 В , Е3 =60 В , Е4 = 30 В , Е5 = 70 В, Е6 =50 В , J= 4 A . Решение: 1. – по возможности упрощают схему, заменяя последовательное и параллельное соединения сопротивлений их эквивалентными ; 2. - произвольно задаются положительные направления токов в ветвях. 3.- произвольно задаются положительные направления контурных токов и соответственно направления обхода контуров. В схеме 4 независимых контура ( контур, образованный источником тока не считается); 4. Записывается система уравнений в общем виде согласно количеству независимых контуров m. Записывается формализованная система уравнений для m=4 Определяются собственные сопротивления контуров, эти сопротивления всегда положительные r11 = r1 + r2 + r3 ; r22 = r3 +r4 +r7; r33 = r4 + r5 +r6; r44 = r2 + r6 + r8; далее, определяются сопротивления общих ветвей смежных контуров. Если контурные токи в общих ветвях смежных контуров направлены согласно, то сопротивления берутся со знаком плюс, а если встречно – со знаком минус. Если контуры, номера которых указанные в индексе сопротивления не имеют общих ветвей, т.е. они не смежные, то такие сопротивления равны нулю r12 = r21 = r3; r13 = r31 = 0; r14=r41=r2; r23 = r32 = r4; r24=r42=0; r34 = r43 =r6; Матричное уравнение для полученной системы уравнений равно Сформируем матрицы. Заданы параметры схемы (Задача решается в программе Mathcad) Метод узлового потенциала Метод узлового потенциала, так же как и метод контурных токов весьма распространен. В этом методе уравнения записываются для узлов электрической схемы. Если в схеме имеется (n+1) , то порядок системы уравнений равен n . Потенциал (n+1)-го узла принимается равным нулю ϕn+1=0. Для практических расчетов разветвленных электрических цепей с несколькими источниками ЭДС и источниками тока применяют формализованную систему уравнений порядка n в виде где g11 , g22 , g33 … gnn - арифметическая сумма проводимостей ветвей, присоединенных к рассматриваемому узлу, эти проводимости всегда берутся со знаком плюс; g12 = g21 , g13 = g31 , … g23 = g32 , … - арифметическая сумма проводимостей параллельных ветвей присоединенных к двум узлам, номера которых указаны в индексе; ; … - алгебраическая сумма произведений ЭДС источника на проводимости соответствующих параллельных ветвей, присоединенных к рассматриваемому узлу. Если ЭДС направлена к рассматриваемому узлу, то произведение ЭДС на проводимость ветви берется со знаком плюс, если ЭДС направлена от узла , то берется со знаком минус; - если ток источника тока направлен к рассматриваемому узлу, то такой ток источника берется со знаком плюс. Если ток источника тока направлен от узла, то такой ток берется со знаком минус. Пример расчета: задана развернутая разветвленная электрическая схема; заданы параметры элементов схемы R1 = 15 Ом, R2= 20 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 8 Ом, R5 =10 Ом, R6 =14 Ом, R7 = 19 Ом, R8 = 28 Ом, Е1 = 40 В , Е2 =80 В , Е3 =60 В , Е4 = 30 В , Е5 = 70 В, Е6 =50 В , J= 4 A . Решение: 1. – по возможности упрощают схему, заменяя последовательное и параллельное соединения сопротивлений их эквивалентными ; 2. - произвольно задаются положительные направления токов в ветвях. 3. Всего узлов в схеме ( n+1)= 5 , записывается система уравнений в общем виде для n=4 . Потенциал пятого узла принимается равным нулю ϕ5=0 Записываем формализованную систему уравнений где: ϕ 5=0 Определим токи в ветвях на основании закона Ома ϕ 4= ϕ1 +E1 – I1r1 ; ϕ 4= ϕ5 +E2 – I2r2 ; ϕ 5=0 ϕ 1= ϕ5 +E3 – I3r3 ; ϕ 5=0 ϕ 2= ϕ5 +E4 – I4r4 ; ϕ 5=0 ϕ 2= ϕ3 +E5 – I5r5 ; ϕ 3= ϕ5 +E6 – I6r6 ; ϕ 5=0 ϕ 1= ϕ2 – I7r7 ; ϕ 3= ϕ4 – I8r8 ; Проверка где ϕ 4= ϕ1 +E1 – I1r1 ; (ϕ1 – ϕ4 )=–E1 +I1r1 =13.026 ; Примечание: при составлении уравнения баланса мощности необходимо контролировать, в каком режиме работает источник. Если источник работает в режиме отдачи энергии, то мощность источника в уравнение баланса входит со знаком ‘ плюс’, если источник работает в режиме потребления энергии, то мощность такого источника входит в уравнение баланса мощности со знаком “ минус”. Метод эквивалентного генератора В практических расчетах иногда возникает необходимость исследовать изменения тока в одно из ветвей сложной разветвленной схемы при различных значениях сопротивления в этой ветви. Для этих целей может быть применен метод эквивалентного генератора. Пусть требуется найти ток I1 в ветви, содержащей сопротивление r1 и источник ЭДС E1 . Этот ток обусловлен совместным действием всех источников энергии действующих в сложной разветвленной схеме. Пусть вся схема, кроме первой ветви расположена в активном духполюснике с двумя выводами “ а” и “b” , к которым и присоединена исследуемая ветвь рис. 1.1. . Рис. 1 В исследуемой ветви протекает ток I1 . Разомкнем эту ветвь в точке “b” , тогда ток в ветви станет равным нулю I1=0 , а в месте разрыва появится напряжение холостого хода U0 рис.1.2 . Если в ветвь между зажимами “b” и “с” ввести дополнительный источник с ЭДС E'д , равную по величине напряжению холостого хода U0 и направленную навстречу этому напряжению, то величина тока в исследуемой ветви будет по-прежнему равна нулю рис. 1.3 . Если теперь в цепь между зажимами “b” и “c” включить еще один источник ЭДС E''д , равный по величине ЭДС E'д и противоположно ей направленный, то в исследуемой цепи появится ток I1 рис.1. 4 . Таким образом, источник ЭДС E'д компенсирует в рассматриваемой ветви действие всех источников энергии активного двухполюсника. Тогда активный двухполюсник с источником ЭДС E'д превращается в пассивный двухполюсник по отношению к исследуемой ветви рис.1. 5. Ток в ветви будет равен Порядок расчета: 1) Размыкается исследуемая ветвь. Далее необходимо определить напряжение холостого хода в месте разрыва U0 . Для этого оставшуюся электрическую схему рассчитывают любым известным методом и определяют потенциалы на разомкнутых зажимах. 2) Определяют входное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого убираются все источники энергии и определяется эквивалентное сопротивление относительно выходных зажимов двухполюсника. 3) Определяется ток в ветви. Пример расчета разветвленной схемы методом эквивалентного генератора: Задана развернутая разветвленная электрическая схема и заданы параметры элементов схемы R1 = 15 Ом, R2= 20 Ом, R3 = 12 Ом, R4 = 8 Ом, R5 =10 Ом, R6 =14 Ом, R7 = 19 Ом, R8 = 28 Ом, Е1 = 40 В , Е2 =80 В , Е3 =60 В , Е4 = 30 В , Е5 = 70 В, Е6 =50 В , J= 4 A . Рис. 2. Пусть предполагается провести исследования в пятой ветви, которая содержит источник ЭДС E5 и сопротивление r5, в ветви протекает ток I5 . Пятую ветвь размыкают, и в месте разрыва на зажимах появляется напряжение холостого хода Uxx . Ток в пятой ветви станет равным нулю I5 = 0 рис. 3 . Рис. 3 Так как ток в пятой ветви стал равным нулю, то четвертая и седьмая ветви исходной схемы стали одной ветвью, присоединенной к узлам 1 и 5 с сопротивлением равным r47 = r4+ r7 , а шестая и восьмая ветви также объединяются в единую ветвь между узлами 4 и 5 с сопротивлением r68= r6 + r8 . Чтобы найти напряжение холостого хода U0 , нужно найти потенциалы зажимов 3 и 2. Для этого необходимо определить токи в ветвях 4 и 6 рис. 4. Эту задачу можно решить любым известным методом расчета сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии, например, методом непосредственного применения законов Кирхгофа, для этого надо составить и решить 5 уравнений. Для решения задачи методом контурных токов нужно составить и решить 3 уравнения, при решении методом узлового потенциала надо составить и решить 2 уравнения. Поэтому поставленная задача будет решаться методом узлового потенциала . Рис. 4 Потенциал пятого узла принимается равным нулю φ5=0, тогда для узлов 1 и 4 рис.4 составляется система уравнений в виде где Составляется матричное уравнение и формируются матрицы Следующий этап – это определение входного сопротивления активного двухполюсника. Для этого активный двухполюсник приведем к пассивному путем исключения из развернутой схемы все источники энергии. Получим схему рис.5 . Рис.5 В этой схеме требуется найти сопротивление относительно зажимов 2 и 3. Треугольник сопротивлений r1 – r2 – r3 заменяется на эквивалентную звезду сопротивлений r11 – r12 – r13 рис. 5 . После замены треугольника сопротивлений на звезду получается схема рис.6 Рис. 6 Последовательное соединение сопротивлений r13 и r7 заменим эквивалентным r137 = r13 + r7 . В полученной схеме вновь треугольник сопротивлений r12 – r4 – r137 заменяется эквивалентной звездой сопротивлений r21 – r22 – r23 рис. 6 . Таким образом получается схема рис. 7 , в которой имеются последовательные и параллельные соединения сопротивлений. Найдем эквивалентное входное сопротивление Рис. 7 Упростим схему, заменив последовательные и параллельные соединения сопротивлений их эквивалентными r118 = r8 + r11=34.383 ; r81=r118 + r21 ; r82 = r6 + r22 . Тогда входное сопротивление двухполюсника равно Ток в пятой исследуемой ветви схемы равен Приложение 1 Векторное произведение векторов и называется вектор . Длина вектора равна ( аb) , т.е. равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и , так, чтобы после совмещения начал векторов , , кратчайший поворот от к казался наблюдателю, смотрящему с конца вектора , идущим против часовой стрелки Цепи переменного тока Переменными ЭДС, напряжениями и токами называются такие параметры, которые периодически изменяются во времени. В электронных устройствах и в устройствах автоматики широко применяются токи, которые периодически изменяют только свою величину. Такие токи называются пульсирующими. Наибольшее применение на практике получили переменные ЭДС, напряжения и токи, величина и направление которых периодически изменяется по закону синуса. Такие ЭДС, напряжения и токи называются синусоидальными. Значение переменных величин ЭДС, напряжений, токов и мощностей в произвольный момент времени t называются мгновенными и обозначаются малыми буквами e, u, i, p. В цепях переменного тока для мгновенных величин справедливы законы Кирхгофа, как и в цепях постоянного тока. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных токов в узле равна нулю Второй закон Кирхгофа для цепей переменного тока трактуется несколько шире , чем в цепях постоянного тока, а именно: в контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений источников питания, плюс алгебраическая сумма ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции равна алгебраической сумме падений напряжений на активных сопротивлениях и плюс алгебраической сумме падений напряжений на конденсаторах В цепях переменного тока происходит непрерывное изменение энергии электрического поля конденсаторов и энергии магнитного поля катушек индуктивностей Получение синусоидальной ЭДС На современных электростанциях электрическая энергия переменного тока получается с помощью синхронных генераторов, которые вращаются с помощью паровых или гидравлических турбин. Синхронный генератор состоит из двух основных частей: неподвижного якоря или статора и вращающегося ротора. Якорь состоит из корпуса, сердечника и обмотки. Корпус является конструктивной основой генератора, на котором крепятся различные детали. У машин небольшой мощности корпус изготавливается литым из сплава алюминия или чугуна, у машин большой мощности корпус изготавливается сварным. В корпусе закрепляется седечник якоря или магнитопровод, который представляет собой полый цилиндр выполненный из тонких изолированных друг от друга листов электротехнической стали. На внутренней поверхности сердечника якоря в пазы укладывается трехфазная распределенная обмотка якоря со сдвигом фаз в пространстве на 120. Ротор представляет из себя электромагнит, где на сердечнике, выполненном из листов электротехнической стали, располагается обмотка возбуждения. Эта обмотка питается от стороннего источника постоянного тока, она создает магнитное поле, магнитные силовые линии которого проходят по сердечнику полюсов ротора, дважды проходят через воздушный зазор и замыкаются по сердечнику якоря. Сердечник электромагнита ротора закрепляется на валу, который вращается с постоянной угловой скоростью ω . Сердечник электромагнита ротора со стороны, обращенной к якорю имеет полюсный наконечник специальной формы. Величина воздушного зазора между полюсным наконечником ротора и расточкой якоря не остается постоянной, минимальный воздушный зазор будет на оси полюса, где значение индукции будет максимальным. К краям полюсного наконечника зазор возрастает, а значение магнитной индукции в воздушном зазоре уменьшается. Это делается для того, чтобы получить распределение магнитной индукции в зазоре машины близким к синусоидальному. Пусть обмотка АХ расположена на продольной оси машины d-d , а ось ротора располагается по поперечной оси q-q . Если ось ротора расположена по оси q-q , то значение магнитной индукции на продольной оси d-d , где расположена обмотка АХ, равна нулю, следовательно и ЭДС вращения в обмотке в момент времени t так же равна нулю ( e=B l v ). Если машина двухполюсная, то за один оборот ротора совершится одно полное изменение магнитной индукции, а следовательно и наведенной в обмотке ЭДС. При повороте ротора за время t на угол а = ωt отностельно поперечной оси значение ЭДС в обмотке будет равно e = Em sin a = Emsin ωt . Некоторые определения Хотя синусоидальные величины ЭДС, напряжения и токи дважды в течении каждого цикла изменяют свой знак, тем не менее на электрических схемах стрелками указывают условно принятые положительные направления этих величин, т.е. направления е, u, i в течение тех промежутков времени, когда ординаты синусоид имеют положительные значения. Максимальное значение синусоидальной ЭДС называется амплитудным и обозначается большой буквой с индексом m (или м ). Время, в течении которого завершается один полный цикл изменения синусоидальной величины называется периодом и обозначается большой буквой Т [ с ]. Число полных колебаний в единицу времени называется частотой f [ Гц]. Частота обратно пропорциональна периоду Для общепромышленных установок в России и некоторых других странах принята стандартная частота 50 Гц, в США – 60 Гц. На практике нашли применение частоты как меньше так и больше стандартной. В электротехнике существует два понятия фазы - фаза как электрическая цепь и фаза как аргумент синусоидальной величины: - фаза - электрическая цепь, состоящая из обмотки генератора, нагрузки и двух проводов, соединяюющих обмотку генератора с нагрузкой ( однофазные цепи, трехфазные цепи, многофазные цепи); - фаза это аргумент синусоидальной величины, отсчитанный от ближайшей предшествующей точки перехода синусоидальной величины через нуль от отрицательного значения величины к положитель ному. Пусть требуется найти значение синусоидального значения напряжения в момент времени t . Для этого возьмем угол ψ, отсчитанный от ближайшей предшествующей точки перехода синусоидального напряжения через нуль от отрицательного к положительному значению. Подставим полученный аргумент ψ в уравнение напряжения и получим значение напряжения в указанный текущий момент времени ua=Umsin ψ . Аргумент синусоидальной величины в начальный момент времени t=0 называется начальной фазой ψН , тогда значение синусоидального напряжения в момент времени t=0 определится из уравнения ua=Umsin(ωt+ ψH) . Разность начальных фаз двух синусоидально изменяющихся величин называется сдвигом фаз Δψ=ψ1 – ψ2. Действующее и среднее значения синусоидальных величин О величине синусоидальных ЭДС, напряжений и токов принято судить не по их амплитудным значениям, а по их среднеквадратичным значениям. Если ток изменяется по синусоидальному закону, то его среднеквадратичное значение Среднеквадратичное значение принято называть действующим или эффективным значением синусоидального тока. Действующее значение синусоидального тока численно равно такому постоянному току, который в сопротивлении r выделяет такое же количество тепловой энергии, что и реальный переменный ток. Аналогично определяются действующие значения ЭДС и напряжения, они так же как и ток в раз меньше амплитудных значений В некоторых случаях ( например, при анализе работы выпрямительных устройств, преобразующих переменный ток в постоянный) необходимо знать среднее ( т.е. среднеарифметическое) значение синусоидально изменяющейся величины за половину периода, в течение которой ее знак не меняется. Если ЭДС е = Еm sin ωt , то Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы кривой Способы изображения синусоидальных величин При анализе электромагнитных процессов в электротехнических устройствах часто возникает необходимость, например, суммировать несколько синусоидально изменяющихся величин, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды и начальные фазы. Существует несколько способов определения суммы нескольких синусоидальных величин, которые отличаются друг от друга точностью, наглядностью, трудоемкостью.Каждый из этих способов изображения синусоидальных величин находит применение с учетом их особенностей. Пусть заданы три ЭДС, которые имеют разные амплитуды и начальные фазы , требуется найти сумму ЭДС - аналитический метод: ЭДС представлены в виде уравнений, находим сумму метод отличается высокой точностью, но ненагляден; - метод волновых диаграмм: все синусоидальные ЭДС представлены в виде соответствующих графиков в одних осях. Для получения графика суммарной ЭДС неоходимо задать определенные моменты времени, найти ординаты каждой синусоиды, выполнить сложение этих ординат и по полученным точкам построить суммарную синусоиду. Пример построения суммарной ЭДС e123=e1+e2+e3 Метод отличается безусловной наглядностью, но очень громоздкий и трудоемкий. - метод векторных диаграмм. В этом методе каждая синусоидально изменяющаяся величина представляется в виде радиуса-вектора, который расположен на плоскости в координатных осях x – y и вращается с постоянной угловой скоростью в положительном направлении против часовой стрелки. На рис. представлен вектор ЭДС , проекция которого в произвольный момент времени t на ось у равна мгновенному значению ЭДС е = Em sin Em sin . Одному полному обороту вектора вокруг оси на угол 360 соответствует один период изменения синусоидально величины. Сложение нескольких синусоидальных величин, изображенных вращающимися векторами на плоскости, осуществляется по правилу сложения векторов. На рис. суммарный вектор двух ЭДС представлен диагональю параллелограмма, построенного на векторах ЭДС, как на сторонах. На плоскости могут быть представлены только синусоидальные величины изменяющиеся с одной частотой ( ). Метод обладает достаточной наглядностью, достаточно просто найти сумму нескольких синусоидальных величин. Точность определения суммы нескольких синусоидальных величин определяется точностью построения векторов. - символический метод, основанный на представление синусоидальных величин в виде вращающихся векторов на комплексной плоскости. Теория функции комплексного переменного, которая лежит в основе этого метода позволяет существенно упростить анализ электромагнитных процессов в электротехнических устройствах переменного тока. В этом случае методы расчета цепей постоянного тока автоматически переносятся на цепи переменного тока. В основе метода лежит понятие мнимой единицы . Комплексные числа могут быть представлены в виде радиуса вектора на комплексной плоскости. Ось ординат называется мнимой осью и обозначается мнимой единицей j , а ось абсцисс называется действительной осью и обозначается знаком + . Вектор вращается в положительном направлении против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью . Опустим из конца вектора на оси перпендикуляры, получим проекции вектора а1 и а2 . Проекция вектора на мнимую ось равна мнимой части комплексного числа а2 , а проекция вектора на действительную ось называется действительной или вещественной частью комплексного числа а1. Существует три равноценных способа изображения комплексного числа: алгебраический, тригонометрический и показательный где - модуль комплексного числа (длина вектора ). Над комплексными числами можно производить многие математические операции. Если при построении векторной диаграммы порядок расположения векторов, например, напряжений соответствует последовательности элементов цепи на схеме, то такая векторная диаграмма называется топографической. Электромагнитные процессы в цепях переменного тока Электромагнитные процессы в цепях переменного тока значительно сложнее, чем в цепях постоянного тока. Это объясняется тем, что на электромагнитные процессы в цепях переменного тока оказывают влияние не только активные сопротивления, но и индуктивности и емкости. Возьмем простейшее устройство - электрическую лампочку, она обладает активным электрическим сопротивлением нити накала, нить лампочки свернута в спираль, следовательно, она обладает индуктивностью, между витками спирали и между нитью и поддерживающими ее стойками есть емкость. Рассмотрим, как эти параметры влияют на электромагнитные процессы в цепи переменного тока. Активное сопротивление в цепи переменного тока Активное сопротивление – это элемент электрической цепи, на котором происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую. Пусть к зажимам цепи переменного тока с активным сопротивлением r подведено напряжение источника синусоидального тока u = Um sin . Индуктивности и емкости в цепи отсутствуют. На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных величин можно записать u = r i , тогда ток равен Отсюда следует важный вывод: в цепи переменного тока с активным сопротивлением r и напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону и совпадают по фазе. Синусоидальный ток в электрической цепи совпадающий по фазе с напряжением называется активным током. На векторной диаграмме векторы напряжения и тока совпадают по фазе Условно принимается, что под разностью фаз φ напряжения и тока берется разность начальных фаз напряжения ψu и тока ψi , а не наоборот, т.е. φ = ψu - ψi . При чисто активной нагрузке начальные фазы напряжения и тока равны друг другу ψu = ψi , тогда φ = ψu - ψi = 0. В комплексной форме можно записать Электрическая энергия, преобразуемая в активном сопротивлении в тепловую, характеризуется мгновенной мощностью, которая в течении всего периода имеет положительное значение. Это значит , что в цепи переменного тока с активным сопротивлением r энергия идет только в одном направлении от источника во внешнюю цепь Мощность в цепи переменного тока принято оценивать по среднему значению мощности за период. Эту мощность называют активной мощностью цепи переменного тока и обозначают большой буквой Р Активная мощность измеряется в Ваттах [ Вт] Идеальная катушка индуктивности без ферромагнитного сердечника в цепи переменного тока Рассмотрим идеальную катушку индуктивности без ферромагнитного сердечника в цепи переменного тока. У такой идеальной катушки активное сопротивление равно нулю. r = 0; Пусть ток в катушке индуктивности изменяется по синусоидальному закону i = Im sin ωt . Этот ток создает переменное во времени магнитное поле, которое в витках катушки возбуждает ЭДС самоиндукции . На основании второго закона Кирхгофа для данной цепи можно записать , Запишем это уравнение относительно напряжения источника из полученного выражения следует, что в цепи переменного тока с идеальной катушкой индуктивности без ферромагнитного сердечника и ток, и напряжение изменяются по синусоидальному закону, ток отстает от напряжения на 90 . Условно принимается, что под разностью фаз φ напряжения и тока берется разность начальных фаз напряжения ψu и тока ψi , а не наоборот, т.е. φ = ψu - ψi . Тогда пусть при чисто индуктивной нагрузке начальные фазы напряжения и тока равны соответственно ψu = 90 , а ψi = 0 , тогда φ = ψu - ψi =90 – 0 = 90. Амплитудное значение напряжения равно Um = , тогда можно записать выражение для индуктивного сопротивления в виде В комплексной форме можно записать Индуктивное сопротивление пропорционально индуктивности L и частоте f , . Мгновенная мощность поступающей в индуктивность энергии равна скорости прироста энергии магнитного поля. Мгновенная мощность в рассматриваемой цепи равна произведению мгновенных значений напряжения и тока Таким образом, в идеальной катушке индуктивности без ферромагнитного сердечника в цепи переменного тока мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой. В течение первой четверти периода, когда ток и напряжение имеют положительные значения, энергия от источника поступает во внешнюю цепь и запасается в магнитном поле катушки Во вторую четверть периода, когда ток убывает, но имеет положительное значение, а напряжение изменило свой знак, энергия ,запасенная в магнитном поле катушки, полностью возвращается обратно источнику. Во втором полупериоде процессы протекают аналогично. Таким образом, в идеальной катушке индуктивности без ферромагнитного сердечника в цепи переменного тока не происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в другой вид энергии, происходит лишь колебание энергии между источником и магнитным полем катушки. Для количественной оценки интенсивности обмена электрической энергии между источником и реактивной нагрузкой вводится понятие реактивной мощности QL = UI = I2 xL . Единица измерения реактивной мощности – ВольтАмпер реактивный ( ВАр). Конденсатор в цепи переменного тока В цепи постоянного тока в установившемся режиме ток через конденсатор не протекает, а в цепи переменного тока ток проводимости, протекающий по проводникам равен току смещения в диэлектрике конденсатора. Пусть к зажимам цепи с конденсатором емкостью С подводится напряжение источника энергии с напряжением, изменяющимся по синусоидальным закону u = Um sin . Тогда на основании второго закона Кирхгофа для внешней цепи можно написать u = uC . Если конденсатор находится в цепи переменного тока, то заряд на обкладках конденсатора q изменяется во времени по синусоидальному закону , тогда ток i равен Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором, если напряжение источника питания изменяется по синусоидальному закону, то и ток в цепи изменяется по синусоидальному закону. Ток опережает напряжение на 90 . Это объясняется тем, что в момент, когда напряжение достигает максимального значения, заряд конденсатора заканчивается, и ток становится на мгновение равным нулю. Когда синусоидальное напряжение проходит через нулевое значение, то скорость его изменения будет наибольшей, и ток будет максимальным. Амплитудное значение тока равно , тогда Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости конденсатора и частоте сети. Условно принимается, что под разностью фаз φ напряжения и тока берется разность начальных фаз напряжения ψu и тока ψi , а не наоборот, т.е. φ = ψu - ψi . Тогда пусть при чисто емкостной нагрузке начальные фазы напряжения и тока равны соответственно ψu = 0 , а ψi =90 , тогда φ = ψu - ψi =0 – 90 = – 90. В комплексной форме можно записать Мгновенная мощность поступающей энергии в емкость равна скорости прироста энергии электрического поля. Мгновенная мощность в цепи переменного тока с конденсатором Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой. В течение первой четверти периода, когда ток и напряжение имеют положительные значения, энергия от источника поступает во внешнюю цепь и запасается в электрическом поле конденсатора Во вторую четверть периода, когда напряжение убывает, но имеет положительное значение, а ток изменил свой знак, энергия ,запасенная в электрическом поле конденсатора, полностью возвращается обратно источнику. Во втором полупериоде процессы протекают аналогично. Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором не происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в другой вид энергии, происходит лишь колебание энергии между источником и электрическим полем конденсатора. Для количественной оценки интенсивности обмена электрической энергии между источником и реактивной нагрузкой вводится понятие реактивной мощности QС = UI = I2 xС . Единица измерения реактивной емкостной мощности – ВольтАмпер реактивный ( ВАр). Реальная катушка индуктивности без ферромагнитного сердечника при последовательном соединении r и L в цепи переменного тока Реальная катушка индуктивности обладает активным сопротивлением меди и индуктивностью. Применяются две эквивалентные схемы замещения реальной катушки последовательная и параллельная. Рассмотрим эквивалентную схему замещения при последовательном соединении r и L . При последовательном соединении элементов цепи величина тока i во всех элементах одна и та же. Пусть ток i изменяется по синусоидальному закону i = Im sin ωt . Применим к цепи второй закон Кирхгофа, получим u + eL = r i , или Так как в уравнении все параметры изменяются по синусоидальному закону, то от мгновенной формы записи уравнения можно перейти к векторной форме уравнений, которым соответствуют векторные диаграммы где полное сопротивление цепи в комплексной форме. Кажущееся увеличение сопротивления катушки z > r в цепи переменного тока связано с действием ЭДС самоиндукции. На векторной диаграмме напряжений вектор напряжения источника питания получается как результат сложения двух векторов – падения напряжения на активном сопротивлении и падения напряжения на индуктивном сопротивлении. Вектор падения напряжения на активном сопротивлении совпадает по фазе с вектором тока , а вектор падения напряжения на индуктивности опережает по фазе вектор тока на четверть периода или 90. В результате сложения векторов напряжений получается прямоугольный треугольник напряжений, из которого следует, что вектор напряжения источника питания опережает вектор тока на угол φ . Условно принимается, что под разностью фаз φ напряжения и тока берется разность начальных фаз напряжения ψu и тока ψi , а не наоборот, т.е. φ = ψu - ψi . Из векторной диаграммы следует, что ψu > ψi , тогда φ = ψu – ψi > 0 . Из прямоугольного треугольника на основании теоремы Пифагора можно получить модуль вектора напряжения источника питания Мгновенная мощность в цепи с реальной катушкой индуктивности равна произведению мгновенных значений напряжения и тока Примем для наглядности в волновой диаграмме, что ψi=0, тогда из графика мгновенной мощности видно, что часть энергии необратимо преобразуется в тепловую энергию, и только часть энергии возвращается обратно источнику ( кривая мгновенной мощности p = f(ωt) приподнята вверх относительно оси абсцисс) . В промежутки времени, когда напряжение и ток источника питания имеют один и тот же знак, мощность имеет положительное значение и энергия поступает во внешнюю цепь от источника. Промежутки времени, когда напряжение и ток имеют разные знаки, мощность имеет отрицательное значение и энергия возвращается источнику. Для мгновенной мощности построены графики зависимостей pr = f (ωt) и pL = f (ωt) Один из графиков pr = f (ωt) характеризует необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую энергию. А второй график иллюстрирует периодический колебательный процесс обмена энергией между источником и магнитным полем катушки. Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I , то получим подобный прямоугольный треугольник сопротивлений, если стороны треугольника напряжений умножить на ток I , то получим подобный прямоугольный треугольник мощностей Из прямоугольного треугольника сопротивлений получим Из прямоугольного треугольника мощностей получим Ĭ – сопряженный комплексный ток; Важнейшим энергетическим показателем в сети переменного тока является коэффициент мощности , который характеризует, какая доля всей электрической энергии, отдаваемой источником питания в сеть, преобразуется в другой вид энергии. Номинальный режим любой электротехнической установки определяется номинальными значениями напряжения и тока, превышать которые не рекомендуется, так как установка может выйти из строя. В этих условиях, чем больше коэффициент мощности установки, тем будет больше полезная мощность и выше КПД установки при соблюдении номинального режима. Реальная катушка индуктивности без ферромагнитного сердечника при параллельном соединении r и L в цепи переменного тока Реальная катушка индуктивности обладает активным сопротивлением меди и индуктивностью. Рассмотрим эквивалентную схему замещения при параллельном соединении r и L . При параллельном соединении элементов цепи величина напряжения источника питания во всех элементах одна и та же. Пусть напряжение источника питания изменяется по синусоидальному закону . Применим к узлу электрической цепи первый закон Кирхгофа, тогда получим, что ток источника питания равен сумме токов в параллельных ветвях Так как в уравнении все параметры изменяются по синусоидальному закону, то от мгновенной формы записи уравнения можно перейти к векторной форме уравнений, проводимостей ветвей; Полученному уравнению токов соответствуют векторные диаграммы Векторная диаграмма токов образует прямоугольный треугольник токов, из которого следует, что модуль тока источника питания определяется по теореме Пифагора Мгновенная мощность в цепи с реальной катушкой индуктивности равна произведению мгновенных значений напряжения и тока Часть энергии, потребляемая катушкой, преобразуется в тепловую энергию на активном сопротивлении r , при этом активная мощность равна , другая часть энергии, которая характеризуется реактивной мощностью , совершает колебания между источником электрической энергии и магнитным полем катушки. Если стороны треугольника тока разделить на напряжение U , то получим подобный прямоугольный треугольник проводимостей, если стороны треугольника тока умножить на напряжение U , то получим подобный прямоугольный треугольник мощностей. Из прямоугольного треугольника проводимостей получим Из прямоугольного треугольника мощностей получим Ĭ – сопряженный комплексный ток; Важнейшим энергетическим показателем в сети переменного тока является коэффициент мощности , который характеризует, какая доля всей электрической энергии, отдаваемой источником питания в сеть, преобразуется в другой вид энергии. Последовательная и параллельная эквивалентные схемы замещения конкретной реальной катушки индуктивности в энергетическом отношении идентичны и можно перейти от одной эквивалентной схемы к другой, запишем выражения Тогда из пропорций получим : - при переходе от последовательной схемы к эквивалентной параллельной схеме - при переходе от параллельной схемы к эквивалентной последовательной Последовательная схема соединения активного сопротивления и конденсатора в цепи переменного тока При последовательном соединении активного сопротивления и конденсатора величина тока i во всех элементах одна и та же. Пусть ток i изменяется по синусоидальному закону Применим к цепи второй закон Кирхгофа, получим u = r i + uC или u = ur + uC Так как в уравнении все параметры изменяются по синусоидальному закону, то от мгновенной формы записи уравнения можно перейти к векторной форме уравнений, которым соответствуют векторная диаграмма где полное сопротивление цепи в комплексной форме Знак минус перед емкостным сопротивлением появился, так как угол φ имеет отрицательное значение, т.е. φ < 0 ; (φ = ψu - ψi). Из векторной диаграммы следует, что вектор тока опережает вектор напряжения на угол φ. Вектор падения напряжения на активном сопротивлении совпадает по фазе с вектором тока, а вектор падения напряжения на конденсаторе отстает от тока по фазе на 90 В результате получается прямоугольный треугольник напряжений. Условно принимается, что под разностью фаз φ напряжения и тока берется разность начальных фаз напряжения ψu и тока ψi , а не наоборот, т.е. φ = ψu - ψi . Из векторной диаграммы следует, что ψu < ψi и угол φ имеет отрицательное значение, т.е. φ < 0 ; Из прямоугольного треугольника на основании теоремы Пифагора можно получить модуль вектора напряжения источника питания Примем для наглядности в волновой диаграмме, что ψu=0, тогда Мгновенная мощность в цепи с последовательным соединением активного сопротивления и конденсатора равна произведению мгновенных значений напряжения и тока Из графика мгновенной мощности видно, что часть энергии необратимо преобразуется в тепловую энергию, и только часть энергии возвращается обратно источнику ( кривая мгновенной мощности p = f(ωt) приподнята вверх относительно оси абсцисс) . Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I , то получим подобный прямоугольный треугольник сопротивлений, если стороны треугольника напряжений умножить на ток I , то получим подобный прямоугольный треугольник мощностей. Из прямоугольного треугольника сопротивлений получим (при принятом условии из волновой диаграммы, что ψu=0 и φ = 0 - ψi =- ψi ). Из прямоугольного треугольника мощностей получим Ĭ – сопряженный комплексный ток; Важнейшим энергетическим показателем в сети переменного тока является коэффициент мощности , который характеризует, какая доля всей электрической энергии, отдаваемой источником питания в сеть, преобразуется в другой вид энергии. Параллельная схема соединения активного сопротивления и конденсатора в цепи переменного тока При параллельном соединении элементов цепи величина напряжения источника питания во всех элементах одна и та же. Пусть напряжение источника питания изменяется по синусоидальному закону . Применим к узлу электрической цепи первый закон Кирхгофа, тогда получим, что ток источника питания равен сумме токов в параллельных ветвях Так как в уравнении все параметры изменяются по синусоидальному закону, то от мгновенной формы записи уравнения можно перейти к векторной форме уравнений, которым соответствуют векторные диаграммы проводимостей ветвей; Векторная диаграмма токов образует прямоугольный треугольник токов, из которого следует, что модуль тока источника питания определяется по теореме Пифагора Мгновенная мощность в цепи c параллельным соединением активного сопротивления и конденсатора равна произведению мгновенных значений напряжения и тока Часть энергии, потребляемая катушкой, преобразуется в тепловую энергию на активном сопротивлении r , при этом активная мощность равна , другая часть энергии, которая характеризуется реактивной мощностью , совершает колебания между источником электрической энергии и электрическим полем конденсатора. Если стороны треугольника тока разделить на напряжение U , то получим подобный прямоугольный треугольник проводимостей, если стороны треугольника тока умножить на напряжение U , то получим подобный прямоугольный треугольник мощностей. Из прямоугольного треугольника проводимостей получим Из прямоугольного треугольника мощностей получим Ĭ – сопряженный комплексный ток; Важнейшим энергетическим показателем в сети переменного тока является коэффициент мощности , который характеризует, какая доля всей электрической энергии, отдаваемой источником питания в сеть, преобразуется в другой вид энергии. Последовательная и параллельная схемы соединения активного сопротивления и конденсатора в энергетическом отношении идентичны, запишем выражения Тогда из пропорций получим : - при переходе от последовательной схемы к эквивалентной параллельной схеме - при переходе от параллельной схемы к эквивалентной последовательной Последовательное соединение элементов r, L, C в цепи переменного тока При последовательном соединении элементов цепи r, L, C величина тока i во всех элементах одна и та же, и пусть ток изменяется во времени по синусоидальному закону. Тогда на основании второго закона Кирхгофа можно записать Полученное уравнение можно переписать относительно напряжения сети Так как все напряжения, входящие в уравнение, изменяются по синусоидальному закону, то от уравнения, записанного для мгновенных величин, можно перейти к уравнению, представленному в векторной форме где - полное сопротивление цепи. Вектор падения напряжения на активном сопротивлении совпадает по фазе с током. Вектор падения напряжения на индуктивности опережает вектор тока на 90, а вектор падения напряжения на конденсаторе отстает от вектора тока на 90. Таким образом, векторы падений напряжения на индуктивности и конденсаторе сдвинуты относительно друг друга по фазе на 180, т.е. находятся в противофазе. Поэтому кривые мгновенных мощностей pL = uLi и pC = uC i сдвинуты по фазе на половину периода. Накопление энергии в магнитном и электрическом полях происходит в различные части периода, поэтому катушка и конденсатор периодически обмениваются запасенной энергией. Если максимальная энергия, запасаемая в магнитном поле, не равна максимальной энергии, запасаемой в электрическом поле, то разность этих энергий рр =рL - pC периодически совершает колебания от источника во внешнюю цепь и обратно. Активная мощность pr знак за период не меняет. В зависимости от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений возможно три случая: 1. тогда цепь в целом имеет активно-индуктивный характер и ток в цепи отстает от напряжения на угол φ , векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид 2. в этом случае цепь в целом имеет активно-емкостный характер и ток в цепи опережает напряжения на угол φ , векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид 3. в этом случае цепь в целом имеет чисто активный характер и ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника питания. Имеют место сложные энергетические процессы: от источника энергии во внешнюю цепь поступает чисто активная энергия, которая преобразуется в тепловую энергию, а реактивная энергия совершает колебания между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора. Такое явление называется резонансом напряжений. Векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид Из прямоугольного треугольника мощностей получим Ĭ – сопряженный комплексный ток; - реактивная мощность цепи. Реактивная мощность, потребляемая индуктивностью, положительна, а реактивная мощность, потребляемая емкостью отрицательная. Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость как ее генератор. Источники питания могут либо отдавать, либо потреблять реактивную мощность. Так источник, питающий индуктивность, отдает, а источник, питающий емкость, потребляет реактивную мощность. Параллельное соединение элементов r, L, C в цепи переменного тока При параллельном соединении элементов цепи r, L, C величина напряжения для всех ветвей одно и то же. Пусть напряжение источника изменяется по синусоидальному закону . На основании первого закона Кирхгофа мгновенный ток источника равен сумме мгновенных токов параллельных ветвей При изменении напряжения источника питания по синусоидальному закону токи в ветвях так же будут изменяться по синусоидальному закону. Ток в ветви с активным сопротивлением совпадает по фазе с напряжением источника питания, ток в ветви с катушкой индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90 , а ток в ветви с конденсатором опережает напряжение на 90. Таким образом, токи в ветвях с катушкой индуктивности и с конденсатором находятся в противофазе. Так как все токи, входящие в уравнение, изменяются по синусоидальному закону, то от уравнения, записанного для мгновенных величин, можно перейти к уравнению, представленному в векторной форме . где - полная проводимость цепи. Из прямоугольного треугольника мощностей получим Ĭ – сопряженный комплексный ток; - реактивная мощность цепи. Реактивная мощность, потребляемая индуктивностью, положительна, а реактивная мощность, потребляемая емкостью, отрицательная. Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость как ее генератор. Источники питания могут либо отдавать, либо потреблять реактивную мощность. Так , источник, питающий индуктивность, отдает, а источник, питающий емкость потребляет реактивную мощность. В зависимости от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей возможно три случая: 1. тогда цепь в целом имеет активно-индуктивный характер и ток в цепи отстает от напряжения на угол φ , векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид 2. в этом случае цепь в целом имеет активно-емкостный характер и ток в цепи опережает напряжения на угол φ , векторная диаграмма в этом случае будет иметь вид 3. в этом случае цепь в целом имеет чисто активный характер и ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника питания. Векторная диаграмма будет иметь вид В этом случае имеют место сложные энергетические процессы: от источника энергии во внешнюю цепь поступает чисто активная энергия, которая преобразуется в тепловую энергию, а реактивная энергия совершает колебания между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора. Такое явление называется резонансом токов. Общий случай последовательного соединения элементов в цепи переменного тока Пусть электрическая цепь содержит n последовательно соединенных участков с сопротивлениями z1 ; z2 ; …zn . При последовательном соединении участков ток в них один и тот же. Тогда на основании второго закона Кирхгофа для мгновенных величин можно записать u = u1 + u2 + … + un Пусть напряжение источника питания цепи изменяется по синусоидальному закону, тогда от уравнения, записанного для мгновенных величин, можно перейти к векторной форме записи Активное сопротивление всей цепи равно сумме активных сопротивлений всех участков цепи, а результирующее реактивное сопротивление равно разности сумм всех индуктивных и всех емкостных сопротивлений. ; Общий случай параллельного соединения элементов в цепи переменного тока При параллельном соединении ветвей напряжение источника питания будет одинаковым для всех ветвей. На основании первого закона Кирхгофа мгновенный ток источника энергии равен сумме токов в параллельных ветвях i = i1 + i2 + … + in Пусть напряжение источника питания изменяется по синусоидальному закону, тогда от уравнения, записанного для мгновенных величин, можно перейти к уравнению в векторной форме записи ; Пример расчета разветвленной однофазной цепи переменного тока Рассмотрим практический пример расчета однофазной цепи переменного тока. Дано: расчетная схема и параметры ветвей r1 = 15 , r2 = 12 , r3 = 8 , L1 = 0.025 , L2 = 0.08 , L3 = 0.01 C1 = 125 10-6 , C2 = 500 10-6 , C3 = 50010-6 , = 50 , = Необходимо найти токи и напряжения в ветвях и напряжение источника питания. Построить топографическую векторную диаграмму. Расчет выполняется двумя методами: методом проводимостей и символическим методом. Рассмотрим метод проводимостей = - 1.14i x 104 Явления резонанса В электрической цепи, состоящей из катушки индуктивности L и конденсатора с емкостью С, при определенных условиях может возникнуть колебательный процесс, который заключается в периодическом обмене энергией между электрическим и магнитным полями. Такую цепь называют колебательным контуром. Пусть в цепи активное сопротивлении равно нулю r = 0. Ключ К устанавливается в положение 1 , и конденсатор заряжается от внешнего источника до напряжения UC = U, при этом в электрическом поле конденсатора запасается энергия Затем ключ К переводится в положение 2 , заряженный конденсатор замыкается на катушку индуктивности и начнет разряжаться. В цепи возникает ток i , и энергия электрического поля конденсатора преобразуется в энергию магнитного поля катушки В тот момент, когда конденсатор полностью разрядится и его напряжение упадет до нуля uC = 0, ток в цепи достигнет максимального значения. Так как потери в цепи отсутствуют, то вся энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля, т.е. Wэ = WМ . По окончании разряда конденсатора ток в цепи не прекращается, а поддерживается в прежнем направлении под действием ЭДС самоиндукции катушки еL . Происходит перезарядка конденсатора, энергия магнитного поля преобразуется в энергию электрического поля. Когда ток в цепи упадет до нуля, напряжение на конденсаторе достигнет максимального значения. Далее процесс повторяется, и поскольку потери в контуре отсутствуют, то процесс будет повторяться бесконечно, не затухая. Математический анализ показывает, что при замыкании заряженного конденсатора на идеальную катушку индуктивности в цепи возникает синусоидально изменяющийся ток Для идеального колебательного контура на основании второго закона Кирхгофа можно записать уравнение для мгновенных величин eL = uC Так как ток изменяется по синусоидальному закону, то полученное уравнение напряжений можно переписать в векторной форме Тогда В действительности элементы контура обладают активным сопротивлением r , и в цепи возникают потери энергии в виде тепла. Электромагнитный колебательный процесс, который происходит в контуре за счет первоначального запаса энергии, постепенно затухает и полностью прекращается, когда весь запас энергии рассеется в окружающую среду в виде тепла. Чтобы поддержать в контуре незатухающий колебательный процесс, необходимо подводить к контуру энергию, компенсирующую тепловые потери. Подвод к контуру дополнительной энергии должно выполняться периодически в такт с собственными колебаниями контура, т.е. частота источника переменного тока должна быть равна собственной частоте контура. Совпадение частоты вынужденных колебаний источника с частотой собственных колебаний в контуре называется резонансом . Различают резонанс напряжений и резонанс токов. Резонанс напряжений Резонанс напряжений возникает, когда источник энергии, катушка индуктивности и конденсатор образуют последовательную цепь. Резонанс наступает, когда индуктивное сопротивление равно емкостному сопротивлению xL = xC . В этом случае величина тока в цепи ограничивается только активным сопротивлением Если реактивные сопротивления цепи много больше активного хL = хС >>r , то напряжения на реактивных сопротивления будут много больше входного напряжения источника UL = UC >> U . Повышение напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе может привести к пробою изоляции и выходу их из строя. Из условия следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения источника, либо параметры цепи – индуктивность или емкость. Величина ρ называется характеристическим сопротивлением цепи Отношение напряжения на индуктивности или емкости к напряжению источника при резонансе называют добротностью или коэффициентом резонанса Q Пусть к цепи приложено синусоидальное напряжение , амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в широком диапазоне. При изменении частоты изменяются реактивные и полное сопротивления, изменяется также угол φ . Зависимости от частоты величин, характеризующих электрическую цепь, называются частотными характеристиками цепи. При частоте напряжение, приложенное к цепи во времени не изменяется, поэтому ток в цепи равен нулю ( в цепи постоянного тока ток через конденсатор не протекает). При изменении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостный характер и изменяется от до 0 . Вследствие этого ток возрастает от 0 до максимального значения U/r , угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от - 90 до 0 . При изменении частоты от до результирующее реактивное сопротивление возрастает от 0 до и имеет индуктивный характер. Вследствие этого ток уменьшается от максимального значения до нуля, а угол возрастает от 0 до 90 . В выражении напряжения на индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При частоте сопротивление и ток I = 0, UL = 0. При изменении частоты от 0 до оба сомножителя увеличиваются и UL возрастает. При дальнейшем увеличении частоты ток I уменьшается, а индуктивное сопротивление возрастает и напряжение UL некоторое время продолжает расти, а затем снижение тока будет превалировать над ростом сопротивления, и напряжение начнет уменьшаться. При частоте напряжение, приложенное к цепи во времени не изменяется, поэтому ток в цепи равен нулю, а напряжение на конденсаторе равно напряжению источника . При увеличении частоты начиная от нуля емкостное сопротивление уменьшается по экспоненциальной зависимости. При изменении частоты от 0 до падение напряжения на конденсаторе вначале растет с ростом тока, а затем уменьшение емкостного сопротивления начинает превалировать над ростом тока, и напряжение начинает уменьшаться. Анализ показывает, что чем больше добротность Q, тем острее резонансная кривая. Резонанс токов Резонанс токов возникает при параллельном соединении ветвей. Пусть к цепи приложено синусоидальное напряжение Условием получения явления резонанса токов является равенство проводимостей обеих ветвей в этом случае цепь в целом имеет чисто активный характер и ток в цепи совпадает по фазе с напряжением источника питания. Полная проводимость цепи при резонансе равна активной проводимости, тогда величина тока в цепи имеет минимальное значение Векторная диаграмма будет иметь вид В этом случае имеют место сложные энергетические процессы: от источника энергии во внешнюю цепь поступает чисто активная энергия, которая преобразуется в тепловую энергию, а реактивная энергия совершает колебания между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, это явление называется резонансом токов. - реактивная мощность цепи. Тогда полная мощность цепи при резонансе равна активной мощности При частоте , напряжение, приложенное к цепи во времени не изменяется, поэтому сопротивление ветви с индуктивностью становится равным нулю, и источник переходит в режим короткого замыкания. При изменении частоты от 0 до преобладает индуктивная проводимость, и ток источника изменяется от максимального значения до минимального в режиме резонанса I = Ir . При этом угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от 90 до 0 . При изменении частоты от до преобладает емкостная проводимость, и ток источника начинает вновь возрастать за счет увеличения составляющей тока через конденсатор от минимального значения в режиме резонанса I = Ir. При этом угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от 0 до - 90. При сопротивление конденсатора становится равным нулю и источник вновь стремится к режиму короткого замыкания. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из двух параллельных ветвей. Одна ветвь соответствует реальной катушке индуктивности при последовательном соединении активного сопротивления меди r1 и индуктивности L , а вторая ветвь представляет собой последовательное соединение активного сопротивления r2 и конденсатора с емкостью С. Полная проводимость цепи равна Каждую ветвь с последовательным соединением элементов представим соответствующей эквивалентной схемой с параллельным соединением элементов. Найдем величины токов во всех параллельных ветвях Условием наступления резонанса токов является равенство индуктивной и емкостной проводимостей bp = bL – bC = 0 , тогда можно найти резонансную частоту Явление резонанса токов широко применяется в силовой энергетике для улучшения энергетических показателей установок. Для этого параллельно активно- индуктивной нагрузке включают батарею силовых конденсаторов и установки увеличивается, возрастает КПД. Явление резонанса используют в радиотехнике. Цепи с взаимной индуктивностью Всякое изменение тока i в цепи влечет за собой изменение магнитного потока Ф, созданного этим током и пронизывающего контур цепи. Это в свою очередь вызывает появление в цепи электродвижущей силы в соответствии с законом электромагнитной индукции. Пусть на сердечнике рядом друг с другом располагаются две катушки с числом витков w1 и w2 , направление намотки одинаковое. Пусть ключи k в цепях первой и второй катушек замыкаются в момент времени t . В катушках протекают токи i1 и i2 , которые изменяются во времени. Токи катушек создают магнитные потоки Ф1 и Ф2 , изменяющиеся во времени. Поток Ф11 связан с витками только первой катушки, а поток Ф22 связан с витками только второй катушки. Потоки Ф12 и Ф21 принизывают витки, как первой, так и второй катушек. Результирующая ЭДС в каждой из катушек при их согласном включении будет равна сумме ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции. При встречном включении катушек, когда потоки Ф12 и Ф21 направлены встречно, ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции катушек будут направлены встречно Для облегчения решения вопроса о знаке ЭДС взаимоиндукции прибегают к специальной разметке зажимов индуктивно связанных элементов цепи. Два зажима, принадлежащих двум разным индуктивно связанным элементам цепи, называют одноименными и обозначают одинаковыми значками ( точкой или звездочкой). При одинаковом направлении токов в индуктивно связанных элементах относительно одноименных зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе должны суммироваться. Пусть два приемника энергии обладающие активными сопротивлениями r1 и r2 , индуктивностями L1 и L2 и взаимной индуктивностью М , соединены последовательно. При этом возможны два варианта их соединения: согласное и встречное. При согласном включении катушек индуктивности токи в них в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных зажимов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимоиндукции, сцепленные с каждым элементом, складываются. При встречном включении катушек токи в них в любой момент времени имеют противоположные направления относительно одноименных зажимов, поэтому магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции, сцепленные с каждым элементом, вычитаются. Напряжения на элементах имеет три составляющих Пусть две катушки индуктивности, обладающие активными сопротивлениями r1 и r2 , индуктивностями L1 и L2 и взаимной индуктивностью М , соединены параллельно, причем их одноименные зажимы присоединены к одному и тому же узлу. При выбранных положительных направлениях токов и напряжения можно написать где . В этих уравнениях комплексные падения напряжения и взяты со знаком плюс, так как токи в ветвях имеют одинаковое направление относительно одноименных зажимов. Пример расчета разветвленных цепей переменного тока при наличии взаимной индуктивности Расчет разветвленных электрических цепей переменного тока с взаимной индуктивностью выполняется либо методом непосредственного применения законов Кирхгофа, либо методом контурных токов. Все параметры цепи представлены в комплексной форме. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа Запишем результирующую ЭДС для каждой из индуктивностей Для узла и контуров составим уравнения В матричной форме система уравнений выглядит следующим образом [ Z ][ I ]=[ E ], квадратная матрица сопротивлений и вектор ЭДС имеют вид [ Z ]= ; [ E ] = где ; ; ; ; . Рассмотрим решение задачи в Mathcad Дано: Рассчитываем реактивные сопротивления элементов схемы Находим значения параметров матрицы сопротивлений и решаем матричное уравнение Запишем полученные токи в виде Уравнение баланса мощности Расчет параметров для построения векторной диаграммы Строим векторную диаграмму Трехфазные цепи переменного тока Многофазной системой электрических цепей называют совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одно и той же частоты, сдвинутые друг относительно друга по фазе и создаваемые общим источником электрической энергии. Отдельные электрические цепи, входящие в состав многофазной электрической, называются фазами. Число фаз многофазной электрической цепи обозначается как m . Обычно электрические цепи, образующие многофазную систему цепей, тем или иным способом электрически соединяют друг с другом. Совокупность ЭДС, напряжений и токов, действующих в фазах многофазной цепи, называют многофазной системой ЭДС, напряжений и токов. Рассмотрим трехфазную систему переменного тока m = 3, которая в настоящее время нашла наибольшее применение на практике. Получение синусоидальной ЭДС На современных электростанциях электрическая энергия переменного тока получается с помощью трехфазных синхронных генераторов, которые вращаются с помощью паровых или гидравлических турбин. Синхронный генератор состоит из двух основных частей: неподвижного якоря или статора и вращающегося ротора. Якорь состоит из корпуса, сердечника и обмотки. Корпус является конструктивной основой генератора, на котором крепятся различные детали. У машин небольшой мощности корпус изготавливается литым из сплава алюминия или чугуна, у машин большой мощности корпус изготавливается сварным. В корпусе закрепляется седечник якоря или магнитопровод, который представляет собой полый цилиндр выполненный из тонких изолированных друг от друга листов электротехнической стали. На внутренней поверхности сердечника якоря имеются пазы, в которые укладывается трехфазная распределенная обмотка якоря со сдвигом фаз в пространстве на 120. Ротор представляет из себя электромагнит, где на сердечнике, выполненном из листов электротехнической стали, располагается обмотка возбуждения. Эта обмотка питается от стороннего источника постоянного тока, она создает магнитное поле, магнитные силовые линии которого проходят по сердечнику ротора, дважды проходят через воздушный зазор и замыкаются по сердечнику якоря. Сердечник электромагнита ротора закрепляется на валу, который вращается с постоянной угловой скоростью ω . Сердечник электромагнита ротора со стороны, обращенной к якорю имеет полюсные наконечники специальной формы. Величина воздушного зазора между полюсным наконечником ротора и расточкой якоря не остается постоянной, минимальный воздушный зазор будет на оси полюса, где значение индукции будет максимальным. К краям полюсного наконечника зазор возрастает, а значение магнитной индукции в воздушном зазоре уменьшается. Это делается для того, чтобы получить распределение магнитной индукции в зазоре машины близким к синусоидальному. ЭДС, индуцируемые в обмотках пропорциональны магнитной индукции. Пусть обмотка АХ расположена на продольной оси машины d-d , а ось ротора располагается по поперечной оси q-q . Если ось ротора расположена по оси q-q , то значение магнитной индукции на продольной оси d-d , где расположена обмотка АХ, равна нулю, следовательно и ЭДС вращения в обмотке в момент времени t так же равна нулю ( e=B l v ). Если машина двухполюсная, то за один оборот ротора совершится одно полное изменение магнитной индукции, а следовательно и наведенной в обмотке ЭДС. При повороте ротора за время t на угол а = ωt отностельно поперечной оси значение ЭДС в обмотке будет равно e = Em sin a = Emsin ωt . В пазы сердечника якоря уложены три фазные обмотки A – X ; B – Y ; C – Z , имеющих одинаковые параметры, поэтому, наводимые в них ЭДС , имеют одинаковые амплитуды и частоту, но сдвинуты по фазе относительно друг друга на треть периода . Принимая за начало отсчета момент времени, когда ЭДС в фазе А равна нулю, получим уравнения для ЭДС обмоток В символической форме записи эту систему ЭДС можно записать Волновая диаграмма для трехфазной симметричной системы ЭДС имеет вид Векторная диаграмма ЭДС в симметричной трехфазной системе Сумма ЭДС в симметричной трехфазной системе равна нулю Если к каждой из обмоток трехфазного генератора при помощи двух проводов присоединить сопротивления нагрузки ,то образуются три электрически не связанные цепи однофазного переменного тока. Стрелками обозначены произвольно принятые положительные направления ЭДС, напряжений и токов для всех трех схем единообразно. Обычно за положительное направление ЭДС обмоток генератора принимают направление от конца обмотки к ее началу, направление токов и напряжений в цепях определяются соответственно. Если сопротивления нагрузки раны друг другу , то действующие значения напряжений на сопротивлениях нагрузки равны и сдвинуты по фазе на треть периода (). Определим величины токов в сопротивлениях нагрузки Мощности в каждой из цепей определяются по формулам Найдем коэффициенты мощности Несвязанная трехфазная система требует шесть проводов для подключения нагрузки, что невыгодно. Поэтому несвязанная трехфазная система не нашла практического применения. Соединение по схеме “ звезда Y” Известно, что электрический потенциал может быть определен с точностью до произвольной постоянной, зависящей от произвольно выбранной точки, в которой потенциал принимается равным нулю. Поскольку ЭДС и напряжения определяются разностью потенциалов точек схемы, то можно объединить концы обмоток генератора в одну общую нейтральную ( или нулевую) точку N. Концы трех приемников также объединяем в одну нейтральную точку n . Нейтральные точки обмотки генератора и нагрузки соединяем нейтральным ( или нулевым) проводом N – n . Провода A – a, B – b, C – c называются линейными. Напряжения между каждым линейным проводом и нейтральным проводом называются фазными и обозначаются UA , UB , UC . Напряжения между линейными проводами называются линейными и обозначаются UAB , UBC , UCA . В линейных проводах протекают линейные токи IA , IB , IC . Токи, протекающие по фазным обмоткам генератора и сопротивления нагрузки, называются фазными токами. Отличительной особенностью схемы соединения в звезду является то, что линейные и фазные токи равны, т.е. IЛ = Iф . Таким образом, в фазах обмотки генератора и в сопротивлениях нагрузки протекают токи IA , IB , IC . Ток в нейтральном проводе на основании первого закона Кирхгофа равен В симметричных трехфазных системах сумма фазных токов равна нулю, и ток в нейтральном проводе равен нулю IN=0 . Тогда можно перейти к трехпроводной схеме соединения в звезду. Трехфазные электрические сети выполняются трехпроводными только для питания симметричной нагрузки. На основании второго закона Кирхгофа можно получить выражения для линейных напряжений Этим выражениям соответствует векторная диаграмма. Фазные ЭДС обмоток генератора образуют симметричную систему Из геометрических построений следует, что линейное напряжение при соединении звездой в раз больше фазного напряжения Активные , реактивные и полные мощности в каждой из фаз определяются по формулам Общая мощность в трехфазной системе равна P =PA + PB + PC ; Q = QA + QB + QC ; S = SA + SB + SC При симметричной нагрузке Pф =PA = PB = PC ; Qф = QA = QB = QC ; . Найдем коэффициенты мощности Если получилось так, что в трехфазной трехпроводной цепи трехфазная нагрузка несимметричная и питается от несимметричного источника питания, у которого задана несимметричная система линейных напряжений, то одним из методов расчета таких цепей может быть такой: На основании первого закона Кирхгофа сумма фазных несимметричных токов равна нулю Выразим фазные напряжения через линейные: напряжение фазы А Полученные выражения для фазных напряжений подставим в выражение для токов Тогда для фазы А получим напряжение фазы В Полученные выражения для фазных напряжений подставим в выражение для токов Тогда для фазы B получим напряжение фазы C Полученные выражения для фазных напряжений подставим в выражение для токов Тогда фазы C получим Зная фазные напряжения, находим фазные токи Соединение по схеме “ треугольник ” При соединении треугольником фазные обмотки генератора соединяют последовательно так, чтобы начало одной фазной обмотки соединялось с концом другой, таким образом, образуется замкнутый контур. Аналогично образуется треугольник из сопротивлений нагрузки. Общие точки каждой пары фазных обмоток генератора и общие точки каждой пары ветвей приемника соединяются линейными проводами. Принимаем, что сопротивления линейных проводов равны нулю. Сумма ЭДС фазных обмоток генератора в контуре равна нулю. В линейных проводах протекают линейные токи , а в сопротивлениях нагрузки . Отличительной особенностью схемы соединения в треугольник является то, что фазные напряжения на нагрузке равны линейным напряжениям. Если задана симметричная система линейных напряжений и заданы сопротивления нагрузки, то токи в фазах нагрузки определяются по закону Ома Коэффициенты мощности На основании первого закона Кирхгофа для узлов треугольника нагрузки получается, что линейные токи равны геометрической разности фазных токов Геометрическая сумма линейных токов равна нулю как при симметричной, так и при несимметричной нагрузке Пусть фазные сопротивления нагрузки равны между собой тогда при условии, что система линейных напряжений симметрична, получается симметричная система фазных токов. Построим векторную диаграмму токов Из треугольника токов получается, линейный ток в раз больше фазного Iл = Iф Мощность в трехфазной цепи при схеме соединения в треугольник Общая мощность в трехфазной системе равна P =PAB + PBC + PCA ; Q = QAB + QBC + QCA ; S = SAB + SBC + SCA При симметричной нагрузке Pф =PAB = PBC = PCA ; Qф = QAB = QBC = QCA ; . Учитывая, что при соединении в треугольник UЛ =Uф и Iл = Iф получим На практике иногда возникает необходимость в переключении нагрузочных сопротивлений со звезды на треугольник или наоборот. Мощность, потребляемая при соединении в треугольник при том же напряжении питающей сети, будет в три раза больше мощности, потребляемой этими сопротивлениями при соединении их в звезду. При соединении сопротивлений нагрузки в звезду При соединении сопротивлений нагрузки в треугольник Тогда получим Расчет трехфазных электрических цепей Все расчеты трехфазных цепей выполняются символическим методом. Если источник питания формирует симметричную систему ЭДС, а сопротивления фаз равны между собой, то значения фазных токов определяются по закону Ома и они образуют симметричную систему токов. Если источник питания формирует несимметричную систему ЭДС и нагрузка так же несимметрична, то для расчета несимметричных трехфазных электрических цепей применяют известные методы: метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Пример расчета несимметричной трехфазной цепи Заданы параметры разветвленной трехфазной трехпроводной цепи, трехфазный источник питания несимметричный, т.е. заданы действующие значения линейных напряжений UAB , UBC , UCA , которые не равны друг другу и сдвинуты относительно друг друга на угол не равный120 . Решение. Преобразуем звезду сопротивлений в эквивалентный треугольник сопротивлений по формулам Получим схему Сопротивления соединены параллельно, найдем эквивалентное сопротивление Сопротивление временно исключим из расчета, так как оно не влияет на величины токов . Преобразуем треугольник сопротивлений в эквивалентную звезду сопротивлений Найдем сопротивления Найдем векторы линейных напряжений , для этого воспользуемся теоремой косинусов Тогда Обозначим: a = UAB ; b = UBC ; c = UCA тогда Найдем эквивалентные фазные сопротивления и получим расчетную схему Сумма линейных напряжений вдоль замкнутого контура, соединяющего зажимы A, B, C Учитывая эту связь, достаточно задать два линейных напряжения, например, Далее используем метод узлового потенциала. Находим проводимости фаз Примем значение потенциала узла N равным нулю . Составим уравнение для узла N’ Составим уравнения и определим токи При условии, что получим На основании первого закона Кирхгофа сумма фазных токов в узле равна нулю Определим напряжение между точками d и f и токи Найдем падения напряжений на сопротивлениях схемы Мощность источника - сопряженные комплексы токов Мощность потребителей Решение задачи в Mathcad Заданы значения параметров схемы Вычисления эквивалентных сопротивлений схемы Расчет проводимостей ветвей схемы Определение векторов линейных напряжений Расчет токов трехфазной схемы по методу узловых потенциалов Определение токов и падений напряжений в схеме Составление уравнения баланса мощности Мощность трехфазного источника питания Мощность потребителей энергии Расчет трехфазной несимметричной схемы методом непосредственного применения законов Кирхгофа Запишем систему уравнений для исходной схемы, Z0 пока не учитывается Найдем векторы линейных напряжений , для этого воспользуемся теоремой косинусов Тогда Обозначим: a = UAB ; b = UBC ; c = UCA тогда Найдем эквивалентные фазные сопротивления и получим расчетную схему Сумма линейных напряжений вдоль замкнутого контура, соединяющего зажимы A, B, C Учитывая эту связь, достаточно задать два линейных напряжения, например, Формируем матричное уравнение и решаем его [ I ] = [ Z ]-1 [ U ] Решение задачи в Mathcad Заданы значения параметров схемы Определение векторов линейных напряжений На основании составленных уравнений формируются квадратная матрица сопротивлений и вектор напряжений Решаем матричное уравнение Дальнейшие расчеты как в предыдущей задаче Еще один способ решения задачи После упрощения исходной схемы, как в первом варианте расчетаполучим сопротивления фаз Определим проводимости фаз Выполним расчет фазных напряжений и токов Дальнейшие расчеты как в первой задаче Векторная диаграмма к задаче Метод симметричных составляющих для анализа трехфазных цепей переменного тока Для анализа и расчета трехфазных несимметричных режимов и нелинейных трехфазных электрических цепей применяется метод симметричных составляющих. Он основан на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин ЭДС, напряжений, токов, магнитных потоков в виде суммы трех симметричных систем величин – симметричных составляющих. Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком следования фаз, т.е. порядком, в котором фазные величины проходят через максимум ( если обратиться к векторным диаграммам, то это порядок , в котором векторы пересекают, например, положительную вещественную полуось). Различают при этом системы прямой последовательности (1), обратной последовательности ( 2), нулевой последовательности (0). Номер последовательности можно указывать в нижней или верхнй части буквенного обозначения фазы. Так как в нижнй части указываются еще и номера гармоник и др., то номер последовательнеости будем указывать в скобках в верхней части буквенного обозначения фазы. Система прямой последовательности имеет порядок следования фаз A, B, C Система обратной последовательности имеет порядок следования фаз A, C, B Система прямой последовательности имеет порядок следования фаз A, B, C Комплексное число называется фазным множителем или оператором поворота. Умножение вектора на а соответствует повороту этого вектора против часовой стрелки на 120, а умножение вектора на а2 соответствует повороту вектора против часовой стрелки на 240. При помощи фазного множителя можно получить соотношения 1 + a + a2 = 0 Докажем, что любую несимметричную систему векторов можно разложить на симметричные системы прямой, обратной и нулевой последовательностей, т.е. Получены три уравнения для трех неизвестных , что доказывает возможность разложения несимметричной системы на три симметричные системы. Из системы уравнений получим Тогда получим Умножая вектор на оператор а , вектор на а2 , и затем складывая все три уравнения, получим Умножая вектор на оператор а2 , вектор на a , и затем складывая все три уравнения, получим Рассмотрим трехфазную схему соединения в звезду с нейтральным проводом. Ток в нейтральном проводе равен сумме фазных токов. Системы токов прямой и обратной последовательностей представляют собой симметричные системы, поэтому их сумма равна нулю. ()+() = ()+() = 3 Сумма линейных напряжений равна нулю, поэтому линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности. Если линейные напряжения симметричны, то составляющие обратной последовательности линейных, а следовательно и фазных напряжений отсутствуют. В этом случае фазные напряжения несимметричного приемника, соединенного звездой, содержат составляющие только прямой и нулевой последовательностей. В том случае, когда при несимметричном режиме ток в одной или в двух фазах цепи отсутствует, сумма симметричных составляющих токов в этих фазах равна нулю. Рассмотрим частный пример трехфазной симметричной цепи, соединенной в звезду с нейтральным проводом и сопротивлениями ZA = ZB = ZC . Если к зажимам цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой последовательности, то система токов в цепи также симметрична и имеет прямую последовательность. Отношения приложенных к симметричной трехфазной цепи комплексных симметричных фазных напряжений прямой последовательности к соответствующим комплексным симметричным фазным токам прямой последовательности называются комплексными сопротивлениями прямой последовательности Если к зажимам цепи приложена симметричная система фазных напряжений обратной последовательности, то система токов в цепи также симметрична и имеет обратную последовательность. Отношения приложенных к симметричной трехфазной цепи комплексных симметричных фазных напряжений обратной последовательности к соответствующим комплексным симметричным фазным токам обратной последовательности называются комплексными сопротивлениями обратной последовательности Наконец, если к зажимам цепи приложена система фазных напряжений нулевой последовательности, то система токов в цепи также имеет нулевую последовательность. Отношения приложенных к симметричной трехфазной цепи комплексных фазных напряжений нулевой последовательности к соответствующим комплексным фазным токам нулевой последовательности называются комплексными сопротивлениями нулевой последовательности При расчетах цепей методом симметричных составляющих рассматривают отдельно схемы для токов и напряжений различных последовательностей. Все расчеты ведут для одной фазы, например А. Схемы прямой и обратной последовательностей всегда имеют одинаковую конфигурацию, а схема нулевой последовательности может существенно отличаться. Примечание Интеграл от равен sin , а синус при указанных пределах будет равен нулю.