Электротехника

В.А. АЛЕХИН ЭЛЕКТРОТЕХНИКА МУЛЬТИМЕДИЙНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В СРЕДЕ TINA-TI МОСКВА 2016 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (МИРЭА) В.А. АЛЕХИН ЭЛЕКТРОТЕХНИКА МУЛЬТИМЕДИЙНЫЙ КУРС ЛЕКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В СРЕДЕ «TINA-TI» Учебное пособие Издание второе, переработанное и дополненное МОСКВА 2016 ББК 31.21 А 49 УДК 621.3.01 Индекс 2202010000 Рецензенты: профессор Белов М.Л., профессор В.Г. Лысенко Электротехника. Курс лекций с использованием компьютерного моделирования в среде «TINA-TI». Московский технологический университет - М., 2016. ISBN 978-5-7339-0620-1 Курс лекций по электротехнике соответствует программам дисциплин «Электротехника», «Общая электротехника», «Электротехника, электроника и схемотехника» (часть 1) и предназначен для студентов, обучающихся по направлениям «Управление в технических системах», «Мехатроника и робототехника», «Приборостроение», «Информатика и вычислительная техника». Автор читал этот курс в течение ряда лет в МИРЭА. Предлагаемый мультимедийный курс лекций содержит теоретические материалы, примеры решения задач, которые сочетаются с компьютерным моделированием электрических цепей в студенческой версии программы схемотехнического проектирования TINA-TI, которая бесплатно распространяется через компанию Texas Insruments. Учебное пособие состоит из 18 лекций, содержащих теоретический материал, задачи для решения, контрольные вопросы. Отличительной особенностью книги является то, что любую изучаемую схему можно загрузить в программу TINA-TI и испытать самостоятельно ее работу. Для этого мультимедийное пособие включает в себя полный комплект схем для моделирования. Второе издание учебного пособия содержит дополнительные главы: резонансные контуры, электрические фильтры, двухполюсники, цепи с распределенными параметрами. Это разделы продробно не изучаются в последние годы, но по-прежнему представляют интерес для углубленного понимания курса. Библиограф.: 14 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета университета. © Алехин В.А., 2016 Оглавление ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................ 3 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ............................................. 4 ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ............................................................................ 4 1.1. Задачи дисциплины «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА» ......................................... 4 1.2. Основные понятия электротехники ......................................................... 6 1.3. Алфавит электрических цепей .................................................................. 7 1.4. Зависимые (управляемые) активные элементы .................................... 13 1.5. Модели реальных электронных компонентов ...................................... 14 1.6. Нелинейные элементы электрических цепей ........................................ 17 1.7. Классификация электрических цепей .................................................... 18 1.8. Основные топологические понятия и соотношения ............................ 19 1.9. Основные законы электрических цепей ................................................ 21 1.10. Виды сигналов ........................................................................................ 23 1.11. Принцип суперпозиции в линейной цепи ........................................... 26 1.12. Контрольные вопросы ........................................................................... 29 Глава 2. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ............................. 31 РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ .......................................................................................... 31 2.1. Составление уравнений на основании законов Кирхгофа ................... 31 2.2. Метод контурных токов (МКТ) .............................................................. 32 2.3. Метод узловых напряжений (МУН)....................................................... 36 2.4. Метод двух узлов ..................................................................................... 39 2.5. Контрольные вопросы ............................................................................. 40 Глава 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ ................................. 41 3.1. Принцип наложения................................................................................. 41 3.2. Теорема взаимности (теорема обратимости) ........................................ 42 3.3. Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей ............ 43 3.4. Связь между входными и взаимными проводимостями ...................... 44 3.5. Теорема о компенсации ........................................................................... 45 3.6. Теорема об эквивалентном генераторе .................................................. 46 3.7. Передача энергии от активного двухполюсника к нагрузке, ............. 47 согласование нагрузки с генератором........................................................... 47 3.8. Контрольные вопросы ............................................................................. 51 Глава 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ..................... 52 4.1. Преобразование пассивных цепей.......................................................... 52 4.2. Преобразование активных цепей............................................................ 57 4.3. Правило переноса источника напряжения через узел .......................... 60 4.4. Правило размножения источников тока ................................................ 60 4.5. Контрольные вопросы ............................................................................. 62 Глава 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ................ 63 ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ ......................................................................... 63 5.1. Гармонические сигналы и их характеристики ...................................... 63 5.2. Оператор поворота ................................................................................... 64 5.3. Символическое представление гармонической функции .................... 64 5.4. Формы записи комплексной амплитуды (КА) ...................................... 66 5.5. Сложение гармонических функций одной частоты ............................. 68 5.6. Гармонический ток и напряжение в резисторе ..................................... 68 5.7. Гармонический ток и напряжение в индуктивности ............................ 70 5.8. Гармонический ток и напряжение в емкости ........................................ 71 5.9. Комплексное сопротивление цепи ......................................................... 73 5.10. Символический метод расчёта.............................................................. 76 5.11. Векторная диаграмма тока и напряжения ........................................... 77 в неразветвлённой цепи .................................................................................. 77 5.12. Резонанс напряжений ............................................................................ 78 5.13. Расчёт напряжения и токов при параллельном ................................... 80 соединении R,L,C ............................................................................................ 80 5.14. Переход от сопротивления к проводимости ....................................... 82 5.15. Резонансом токов ................................................................................... 83 5.16. Основные законы цепей в символической форме .............................. 84 5.17. Порядок расчета цепи символическим методом ................................ 85 5.18. Топографические диаграммы ............................................................... 86 5.19. Энергетические соотношения в цепях переменного тока. ................ 87 Мгновенная и средняя мощность .................................................................. 87 5.20. Действующие значения токов и напряжения ...................................... 88 5.21. Активная, реактивная и полная мощность .......................................... 90 5.22. Расчёт мощности в комплексной форме .............................................. 91 5.23. Баланс мощностей .................................................................................. 91 5.24. Согласование источников энергии с нагрузкой в цепи ..................... 93 гармонического тока ...................................................................................... 93 5.25. Повышение коэффициента мощности ................................................. 94 5.26. Примеры расчета цепей гармонического тока .................................... 95 5.27. Контрольные вопросы ......................................................................... 102 Глава 6. ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ ......................................... 105 6.1. Определение взаимной индукции и взаимной .................................... 105 индуктивности ............................................................................................... 105 6.2. Согласное и встречное включение катушек ........................................ 107 6.3. Комплексное сопротивление взаимной индуктивности ................... 109 6.4. Экспериментальное определение одноимённых зажимов ................ 110 6.5. Коэффициент взаимной связи............................................................... 110 6.6. Последовательное соединение магнитно-связанных ......................... 111 катушек ........................................................................................................... 111 6.7. Линейный трансформатор ..................................................................... 112 6.8. Коэффициенты трансформации............................................................ 113 6.9. Совершенный трансформатор .............................................................. 113 6.10. Идеальный трансформатор ................................................................. 115 6.11. Согласующие свойства трансформатора ........................................... 115 6.12. Схема замещения воздушного трансформатора ............................... 116 6.13. Развязка магнитно-связанных цепей .................................................. 117 6.14. Расчёт сложных цепей, содержащих взаимные ................................ 118 индуктивности ............................................................................................... 118 6.15. Примеры расчета цепей с взаимными индуктивностями ................ 120 6.16. Контрольные вопросы ......................................................................... 127 Глава 7. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ ........................................................... 128 7.1. Определение и применение колебательных цепей ............................. 128 7.2. Комплексные передаточные функции колебательной цепи .............. 128 7.3.1. Последовательный колебательный контур ...................................... 130 7.3.2. Резонанс напряжений ......................................................................... 131 7.3.3. Обобщенные частотные характеристики тока ................................. 133 в последовательном контуре ........................................................................ 133 7.3.4. Абсолютная и относительная расстройка ........................................ 134 7.3.5. Полоса пропускания последовательного контура ........................... 136 7.3.6. Влияние добротности контура на избирательность ........................ 136 7.3.7 Передаточные функции по напряжению ........................................... 139 7.3.8. Влияние нагрузки на избирательные свойства контура ................. 140 7.4. Параллельный колебательный контур ................................................. 142 7.4.1. Обобщенная схема параллельного контура ..................................... 142 7.4.2. Расчетные соотношения в параллельном контуре .......................... 142 7.4.3. Амплитудно-частотные характеристики параллельного ................ 144 контура ........................................................................................................... 144 7.4.4. Согласование параллельного конутра с генератором ..................... 146 7.5. Связанные колебательные контуры ..................................................... 146 7.5.1. Расчет АЧХ связанных контуров в Mathcad .................................... 147 7.5.2. Моделирование связанных контуров ................................................ 148 7.6. Контрольные вопросы ........................................................................... 150 Глава 8. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ............................................................. 152 8.1. Определение четырехполюсника ......................................................... 152 8.2. Классификация четырехполюсников ................................................... 152 8.3. Основные уравнения и параметры четырехполюсников ................... 153 8.4. Система Y-параметров .......................................................................... 153 8.5. Система Z –параметров ......................................................................... 154 8.6. Система А – параметров ........................................................................ 156 8.7. Система В-параметров ........................................................................... 158 8.8. Система H-параметров .......................................................................... 159 8.9. Входное сопротивление четырехполюсника ...................................... 159 8.10. Параметры холостого хода и короткого замыкания ........................ 161 8.11. Вычисление А-параметров через параметры холостого хода и ...... 162 8.12. Схемы замещения четырехполюсника .............................................. 162 8.13. Соединения четырехполюсников ....................................................... 164 8.14. Расчет А-параметров простых четырехполюсников ........................ 166 8.15. Характеристические сопротивления .................................................. 169 8.16. Характеристическая постоянная передачи ........................................ 170 8.17. Уравнения четырехполюсника в гиперболической форме .............. 172 8.18. Каскадное соединение согласованных четырехполюсников .......... 173 8.19. Комплексные передаточные функции четырехполюсника ............. 175 8.20. Примеры расчета четырехполюсников .............................................. 176 Контрольные вопросы .................................................................................. 184 Глава 9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ .................................................... 185 9.1. Определения и классификация фильтров ............................................ 185 9.2. Условие полосы пропускания реактивного фильтра ......................... 186 9.3. Уравнения частотных характеристик Т и П фильтров ....................... 187 9.4. Уравнения частотных характеристик Г-образных фильтров ............ 188 9.5. Реактивные фильтры типа «k» .............................................................. 188 9.6. Расчет в Mathcad АЧХ фильтра ............................................................ 191 9.10. Моделирование фильтров типа-К ...................................................... 193 9.11. Контрольные вопросы ......................................................................... 195 Глава 10. ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ........... 196 10.1. Определение линии с распределенными параметрами .................... 196 10.2. Вывод телеграфных уравнений линии с потерями........................... 196 10.3. Уравнения линии для гармонического сигнала. ............................... 197 Характеристические параметры линии ...................................................... 197 10.4. Падающие и отраженные волны......................................................... 198 10.5. Входное сопротивление линии ........................................................... 198 10.6. Уравнения линии без потерь ............................................................... 198 10.7. Режимы работы линии без потерь ...................................................... 199 10.8. Расчет распределения напряжения и тока по длине линии в Mathcad ................................................................................................................................... 199 10.9. Согласование линии с нагрузкой........................................................ 201 10.10. Контрольные вопросы ....................................................................... 201 Глава 11. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ......................... 202 ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ........................................................................ 202 11.1. Определение установившегося и переходного процесса ................ 202 11.2. Первый закон коммутации .................................................................. 203 11.3. Второй закон коммутации ................................................................... 204 11.4. Начальные условия (НУ) ..................................................................... 205 11.5. Классический метод расчета переходного процесса ........................ 206 11.6. Способы составления характеристического уравнения................... 208 11.7. Определение постоянных интегрирования ....................................... 209 11.8. Переходные процессы в цепях первого порядка .............................. 210 11.9. Постоянная времени цепи .................................................................. 212 11.10. Включение в RL-цепь гармонической ЭДС .................................... 214 11.11. Включение в RC-цепь постоянной ЭДС .......................................... 216 11.12. Дифференцирующие и интегрирующие цепи................................. 218 11.13. Переходные процессы в цепях второго порядка ............................ 222 11.14. Декремент колебаний ........................................................................ 227 11.15. Примеры расчета переходных процессов классическим методом 228 11.6. Контрольные вопросы ......................................................................... 233 Глава 12. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ .......... 234 ПРОЦЕССОВ ................................................................................................. 234 12.1. Прямое преобразование Лапласа........................................................ 234 12.2. Изображения простейших функций ................................................... 235 12.3. Основные свойства преобразования Лапласа ................................... 235 12.4. Расчет переходного процесса при нулевых начальных условиях .. 237 12.5. Операторная схема замещения участка цепи при ненулевых ......... 238 начальных условиях ...................................................................................... 238 12.6. Законы Кирхгофа в операторной форме ............................................ 240 12.7. Способы перехода от изображения к оригиналу .............................. 242 12.8. Особенности расчета операторным методом .................................... 243 при гармонической ЭДС............................................................................... 243 12.9. Примеры расчета переходных процессов операторным методом .. 245 12.10. Контрольные вопросы ....................................................................... 248 Глава 13. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДЮАМЕЛЯ К РАСЧЕТУ .... 250 ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ .................................................................... 250 13.1. Принцип наложения элементарных воздействий ............................. 250 13.2. Единичная функция, переходная характеристика цепи ................... 250 13.3. Интеграл Дюамеля первого вида ........................................................ 252 13.4. Импульсная функция, импульсная характеристика цепи ............... 255 13.5. Расчет импульсной характеристики ................................................... 256 13.6. Интеграл Дюамеля второго вида ........................................................ 257 13.7. Передаточная функция цепи ............................................................... 259 13.8 Примеры расчетов переходных процессов с использованием ......... 261 интегралов Дюамеля ..................................................................................... 261 13.9. Контрольные вопросы ......................................................................... 265 Глава 14 . ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ............ 266 НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ ............................. 266 14.1 Разложение периодических функций в ряд Фурье ............................ 266 14.2. Дискретные спектры ............................................................................ 267 14.3. Пример разложения функции в ряд Фурье ........................................ 269 14.4. Смещение функции по времени ......................................................... 272 14.5. Анализ линейных цепей при периодических .................................... 273 негармонических воздействиях .................................................................. 273 14.6. Действующее значение негармонических сигналов ........................ 275 14.7. Мощность периодических негармонических сигналов ................... 276 14.8. Коэффициенты характеризующие несинусоидальные .................... 278 периодические процессы .............................................................................. 278 14.9. Примеры расчета цепей при периодических .................................... 278 негармонических сигналах ........................................................................... 278 14.10. Контрольные вопросы ....................................................................... 282 Глава 15. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ .............................. 283 15.1. Принцип получения трехфазной системы ЭДС ................................ 283 15.2. Способы соединения трехфазного генератора с нагрузкой ............ 284 15.3. Симметричная нагрузка в соединении звезда-звезда ....................... 286 15.4. Несимметричная нагрузка в соединении звезда-звезда ................... 287 15.5. Соединение треугольник-треугольник .............................................. 288 15.6. Выбор способа соединения потребителей......................................... 289 15.7. Мощность в трехфазной цепи ............................................................. 289 15.8. Примеры расчета трехфазных цепей ................................................. 290 15.9. Контрольныевопросы .......................................................................... 295 Глава 16. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО И ............................ 296 ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ............................................................................... 296 16.1. Определение нелинейных цепей ........................................................ 296 16.2. Виды нелинейных элементов в цепях постоянного тока ................. 296 16.3. Статическое и дифференциальное сопротивление нелинейного .... 298 резистора ........................................................................................................ 298 16.4. Расчет схем с нелинейными резисторами на постоянном токе ...... 298 16.5. Последовательное соединение двух нелинейных элементов .......... 300 16.6. Параллельное соединение НЭ ............................................................ 301 16.7. Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух узлов ......... 301 16.8. Нелинейные цепи переменного тока.................................................. 303 16.9. Свойства нелинейных цепей на переменном токе ........................... 304 16.10. Выпрямление переменного напряжения с помощью диодов ........ 305 16.11. Сглаживание пульсаций выпрямленного тока ................................ 307 16.12. Расчет нелинейной цепи по первой гармонике ............................... 308 напряжения и тока ......................................................................................... 308 16.13. Контрольные вопросы ....................................................................... 309 Глава 17. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ .................................................................. 311 17.1. Определение ......................................................................................... 311 17.2.Основные величины магнитного поля ................................................ 311 17.3. Закон полного тока .............................................................................. 312 17.4. Магнитный поток Ф через поверхность S ......................................... 312 17.5. Основные характеристики ферромагнитных материалов ............... 313 17.6. Основные законы магнитных цепей .................................................. 314 17.7. Расчет неразветвленной магнитной цепи .......................................... 315 17.8. Расчет разветвленной магнитной цепи .............................................. 316 17.9 Контрольные вопросы .......................................................................... 318 Глава 18. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ................................................. 319 18.1. Классификация электрических машин .............................................. 319 18.2. Создание вращающегося магнитного поля ....................................... 320 18.3. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока ............................ 321 18.4.Устройство асинхронного двигателя трехфазного тока ................... 322 18.5. Магнитный поток полюса ................................................................... 324 18.6. Конструкция ротора асинхронных машин ........................................ 324 18.7. Принцип действия асинхронного двигателя ..................................... 325 18.8. Схема замещения обмоток ротора .................................................... 326 18.9. Вращающий момент асинхронного двигателя.................................. 326 18.10. Оптимальное скольжение.................................................................. 328 18.11. Коэффициент полезного действия и коэффициент мощности асинхронного двигателя ......................................................................................... 328 18.12. Синхронные машины переменного тока ......................................... 329 18.13. Устройство трехфазной синхронной машины ................................ 329 18.14. Принцип действия синхронного генератора ................................... 330 18.15. Уравнение электрического состояния и схема замещения фазы синхронного генератора ......................................................................................... 332 18.16. Внешние характеристики синхронных генераторов ...................... 334 18.17. Принцип действия и особенности работы ....................................... 335 синхронного двигателя ................................................................................. 335 18.18. Синхронные микродвигатели ........................................................... 338 18.18.1.Синхронные микродвигатели с постоянными магнитами ........... 338 18.18.2.Гистерезисные двигатели ................................................................ 338 18.18.3.Реактивные двигатели ..................................................................... 339 18.18.4.Шаговый двигатель .......................................................................... 340 18.19. Электрические машины постоянного тока...................................... 341 18.19.1 Принцип действия машин постоянного тока в генераторном и двигательном режиме ............................................................................................. 343 18.19.2. Принцип действия двигателя постоянного тока (ДПТ) .............. 345 18.19.3. Способы возбуждения машин постоянного тока ........................ 348 18.19.4.Генераторы постоянного тока независимоговозбуждения .......... 348 18.19.5.Генераторы постоянного тока с ...................................................... 350 самовозбуждением ........................................................................................ 350 18.19.6.Генераторы постоянного тока смешанного возбуждения ........... 350 18.20. Двигатели постоянного тока независимого и параллельного ....... 351 18.21. Механические характеристики ДПТ ................................................ 352 18.22. Регулировка частоты вращения ДПТ независимого ...................... 352 и параллельного возбуждения ..................................................................... 352 Библиографический список ......................................................................... 353 3 ВВЕДЕНИЕ Электротехнические дисциплины «Электротехника», «Общая электротехника», «Электротехника, электроника и схемотехника» (часть 1) в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами подготовки бакалавров по направлениям «Управление в технических системах», «Мехатроника и робототехника», «Приборостроение», «Информатика и вычислительная техника» изучаются студентами в течение одного семестра. Содержание дисциплин и перечень изучаемых разделов мало изменился по сравнению с предыдущими государственными стандартами подготовки специалистов. В связи с этим образовательный процесс должен быть более интенсивным и использовать современные компьютерные технологии. На кафедре теоретических основ электротехники МИРЭА в течение многих лет наряду с аналоговой лабораторией электротехники широко применялись компьютерные лабораторные практикумы с использованием программ Electronics Workbench и TINA, а также расчеты электрических цепей в Mathcad. Студенты осваивают эффективные компьютерные технологии расчета и моделирования электрических цепей. Дальнейшим развитием современных информационных технологий является создание мультимедийных курсов лекций, сочетающих представление качественного текстового и графического материала с компьютерным моделированием электрических схем и процессов. В последние годы появились новые эффективные программы компьютерного моделирования, в частности, программа TINA компании DesignSoft, которая является развитием программ Micro-CAP и Design Lab и содержит интегрированную часть для проектирования печатных плат. Эта программа наиболее информативная и удобна для применения в лекционном процессе. Доступную бесплатную студенческую версию программы TINA-TI-V9 распространяет компания Texas Instruments и её можно найти на сайте http://www.ti.com/tool/tina-ti. Подробное изучение программы моделирования TINA проходит в лабораторном практикуме [7]. Видеоуроки по работе в программе, схемы для моделирования, использованные в курсе лекций, можно получить на сайте автора http://www.toe-mirea.ru. Автор надеется, что курс лекций по электротехнике будет полезен как студентам, так и преподавателям электротехнических дисциплин. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 4 Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1.1. Задачи дисциплины «ЭЛЕКТРОТЕХНИКА» Электротехнические дисциплины представляют собой фундаментальную базу для изучения всех последующих дисциплин профессионального цикла при подготовке бакалавров и специалистов по направлениям «Управление в технических системах», «Приборостроение», «Мехатроника и робототехника», «Информатика и вычислительная техника» и др. Инженеры по приборостроению, робототехнике, устройствам управления, электронике, вычислительной технике разрабатывают, создают и эксплуатируют разнообразные электронные и электромеханические устройства, применяя для этого современные методы моделирования, расчета и автоматизированного проектирования. Электронное устройство состоит из многих электронных компонентов (резисторов, катушек индуктивности, конденсаторов, транзисторов, микросхем, микропроцессоров и т.п.), соединенных определенным образом между собой, с источниками электрической энергии и с источниками входных сигналов. Электронное устройство графически изображают принципиальной электрической схемой, в которой все элементы изображены с помощью принятых условных обозначений и показан способ соединения элементов. На основе предварительного анализа технического задания инженеры выбирают реальные электронные компоненты и разрабатывают принципиальную электрическую схему электронного устройства. Для проверки работоспособности принципиальной схемы и выбора оптимальных параметров электронных компонентов инженеры создают математическую модель электронного устройства (рис.1.1). В математической модели реальные электронные компоненты заменяют их математическими моделями, в которых исключены второстепенные явления, и используется совокупность идеальных элементов. Принципиальную электрическую схему заменяют электрической цепью. Электрическая цепь – это идеализированная модель реальной электрической схемы, позволяющая производить приближенный расчет электронного устройства. Получают математическую модель. Вводят в нее модели сигналов и получают реакции. Проводят исследования расчетной модели, находят оптимальную структуру электрической цепи и оптимальные модели элементов. В результате таких исследований уточняют состав реальных электронных компонентов и принципиальную электрическую схему. Затем проектируют печатные платы и конструкцию устройства, изготавливают макет и проводят натурные испытания. В современном мире электрическая энергия является основным средством обеспечения производственной деятельности человека, создаВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 5 ния условий для комфортного существования в развитом информационном обществе. Повседневно мы используем разнообразные приборы и устройства с электрическим питанием. Поэтому знание основ электротехники, умение технически грамотно решать возникающие бытовые проблемы необходимо для каждого образованного человека. Рис.1.1. Этапы проектирования электронного устройства Требованиям современного мира должен отвечать с о в р е м е н н ы й к у р с « Э л е к т р о т е х н и к а » . В результате изучения курса студенты должны знать: 1. Основные понятия и законы электротехники. 2. Методы расчета сложных электрических цепей с использованием компьютерных программ. 3. Методы экспериментального исследования электрических цепей в реальной лаборатории. 4. Компьютерное моделирование электрических цепей в виртуальной лаборатории с использованием современных программ. 5. Способы решения разнообразных простых задач по всем темам курса. Изучение теоретических вопросов в нашем курсе иллюстрируется многочисленными примерами моделирования в программной среде TINATI и примерами решения задач с простыми числами. Студенты получают навыки компьютерного моделирования и анализа характеристик электрических цепей в современной эффективной среде TINA. В приложении даны программы расчета электрических цепей в Mathcad, которые рекоменВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 6 дуется использовать при выполнении домашних и курсовых работ. Старательное и полное изучение нашего курса электротехники поможет студентам в освоении последующих дисциплин. 1.2. Основные понятия электротехники Электрической цепью называют совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Особенностью электрических цепей как расчетных моделей является то, что сложные электромагнитные процессы, протекающие в реальных устройствах и их элементах, в электрической цепи можно описать с помощью понятий: электрический ток, электрическое напряжение, сопротивление, индуктивность, емкость. Электрический ток определяется как упорядоченное перемещение электрических зарядов q (Кл) через поперечное сечение проводника. Постоянный по величине и направлению ток обозначают прописной буквой I q . Переменный ток обозначают строчной буквой i t Единицей измерения тока является ампер (1A dq . dt 1Кл ). С междуна1с родной системе единиц СИ для обозначения кратных и дольных величин используют префиксы (в русском написании) (Таблица 1.1): Таблица 1.1 пико нано микро милли 1 кило мега гига тера п н мк мл к M Г Т -12 -9 -6 -3 3 6 9 10 10 10 10 1 10 10 10 1012 В обычных электронных схемах на транзисторах токи составляют от единиц микроампер до единиц ампер. Ток, потребляемый вашим домашним хозяйством, может состалять 10-20 А. Большие промышленные моторы потребляют до 1000 А. Электрический потенциал  некоторой точки электрической цепи равен отношению энергии, расходуемой зарядом при его перемещении из данной точки электрической цепи в другую точку, имеющую нулевой потенциал, к величине заряда. В электрической цепи точкой с нулевым потенциалом считается заземленная точка. Электрический потенциал измеряют в вольтах (1В= 1Дж 1Вт = ). 1Кл 1А Электрическое напряжение u между двумя точками цепи равно разности потенциалов этих точек: u12 1 2 . На схемах электрических В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 7 цепей потенциалы точек обычно u12 i 1 R φ1 2 φ2 u1 u2 φ=0 u=0 Рис.1.1. Разность потенциалов и напряжение обозначают как напряжения ( u1 1 , u2 2 ) (рис.1.1). Если напряжение создается током, проходящим между точками 1 и 2, его называют падением напряжения u12 iR . Если движение от точки 2 и точке 1 происходит против направления тока, падение напряжения u12 1 2 положи- тельное и потенциал 1 в точке 1 возрастает. Постоянное по величине и направлению напряжение обозначают прописной буквой U . Переменное во времени напряжение обозначают строчной буквой u . Переменный ток и переменное напряжение характеризуются мгновенными значениями i( t ) и u( t ) . Постоянное напряжение питания обычных электронных схем от 5В до 12В. Переменное напряжение электрический сети в вашем доме ~220В или ~380В. Напряжение сигнала в приемной антенне единицы микровольт. Элементарная работа по переносу заряда в электрическом поле dW udq измеряется в джоулях. Мгновенная мощность dW ( t ) dt 1Дж измеряется в ваттах (1Вт= ). 1с p p( t ) u ( t ) i( t ) Для постоянных токов и напряжений мощность P U I. (1.1) (1.2) 1.3. Алфавит электрических цепей Алфавит - это набор идеальных элементов, из которых составляются расчетные модели реальных электронных устройств. Элементы алфавита характеризуются функциональными характеристиками: вольтамперными характеристиками (ВАХ), вебер-амперными и кулонвольтными характеристиками. ВАХ – это зависимость напряжения на элементе или участке цепи от тока в нем. Очень многие модели рассчитывают в линейном приближении, используя теорию линейных электрических цепей и идеальные линейные элементы. Перечислим свойства идеальных линейных элементов: 1. Параметры идеальных линейных элементов не зависят от режима работы (от напряжения на элементе и тока в нем), времени и внешних воздействий. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 8 2. Вольт-амперные, вебер-амперные и кулон-вольтные характеристики линейных элементов являются линейными. 3. Геометрические размеры идеальных элементов считаются бесконечно малыми. 4. Проводники, соединяющие идеальные элементы, не имеют сопротивления. И д е а л ьн ы е п а с с и вн ы е ли н е й н ы е э ле м е н ты Пассивные элементы являются приемниками электрической энергии. С о п р о т и в л е н и е ( р е з и с т о р ) ( рис.1.2) Напряжение на резисторе равно произведению тока в нем на величину сопротивления: u iR , R[Ом] – сопротивление. Величина, обратная сопротивлению, называется проводимостью и измеряется в сименсах: 1/R=G[См] – проводимость. Ток в резисторе равен напряжение на его зажимах, деленному на сопротивление резистора: a I U b Рис.1.2 U . Это известный закон Ома (1826 г.). Ток можно выразить через R I проводимость резистора: i uG . Вольтамперная характеристика (ВАХ) резистора Вольтамперной характеристикой называют U зависимость напряжения на элементе от тока в нем 1 (рис.1.3). Наклон ВАХ л и н е й н о г о р е з и с т о р а зависит от величины сопротивления: U I 2 Рис.1.3 a i b U I R . У нелинейного резистора ВАХ нелиней- Ленца: P U I ная. Резистор является диссипативным элементом, рассеивающим энергию в виде тепла. Мощность, выделяемая в резисторе, определяется по закону IR I I 2 R [Вт]. (1.3) И н д ук ти вн о с т ь u L I Электронный компонент «катушка индуктивности» (или кратко «индуктивность») содержит определенное количество витков проволоки, намотанных на сер- Рис.1.4 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 9 дечник из ферромагнитного или немагнитного материала. По закону электромагнитной энергии напряжение на индуктивности (рис.1.4) равно: d dt u L di , dt (1.4) где: Ψ ( t ) ( t )N L i – потокосцепление, измеряется в веберах [Вб]; ( t ) - магнитный поток; N - число витков в катушке индуктивности; L– индуктивность, измеряется в генри [Гн=Ом/с]; Обычная проволока имеет малое сопротивление a a и поэтому для постоянного тока сопротивление индуктивности незначительно. L Если в индуктивности проходит постоянный b ток i I const (рис.1.5), то uL 0 и индуктивb ность эквивалентна короткому замыканию. Рис.1.5 Вебер-амперной характеристик о й называют зависимость потокосцепления в индуктивности от тока в ней (рис.1.6). В линейной индуктивности эта характеристика линейная и ее наклон равен индуктивности катушки L Ψ ∆Ψ ∆I i t Wм ( t ) a C b Индуктивность накапливает магнитную энергию. Мгновенная мощность в катушке индуктивности равна: p( t ) u i iL di [ВА]. dt Мгновенная магнитная энергия, запасенная в катушке индуктивности: Рис.1.6 i Ψ . i t uidt di Li dt dt t L 1 2 di 2 Li 2 2 0 [Дж] (1.5) Ёмкость u Электронный компонент «конденсатор» имеет проводящие обкладки, которые изолированы друг от друга диэлектриком. В линейной электрической цепи конденсатор заменяют идеальной емкостью, которая не имеет потерь и утечки изоляции. Емкость (рис.1.7) Рис.1.7 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 10 накапливает электрический заряд: q q u Cu и определяется так: C [Ф=с/Ом] – фарад. a Ток в емкости: i a U= const C Рис.1.8 q du . dt (1.6) u const , du dt 0 , то iC и емкость экви- валентна разрыву цепи («холостой ход»). Кулон-вольтная характерис т и к а это зависимость заряда на емкости от напряжения на ней (рис.1.9). Наклон характеристики равен величине емкости С. ∆q ∆u C Если напряжение на емкости постоянно X.X. b b dq dt u Емкость запасает электрическую энергию: t Wэ ( t ) Рис.1.9 t uidt du uC dt dt Cu 2 2 . (1.7) Идеальные независимые активные элементы Независимые (неуправляемые) активные элементы формируют неизменные по величине напряжения или токи, независящие от токов и напряжений в других участках электрической цепи. Идеальный источник напряжения (ИН) Идеальный источник напряжения (рис.1.10) вырабатывает электродвиR I H жущую силу (ЭДС) E и создает на I E + или U зажимах ab напряжение U. e( t ) В идеальном источнике напряжения внутреннее сопротивление Rин=0. b Напряжение U на зажимах идеU ВАХ ИН E ального ИН постоянно и не зависит от тока во внешней цепи. Вольт-амперная характеристика I ИН изображается прямой линией, паРис.1.10 раллельной оси тока. Идеальный источник напряжения называют фиксатором напряже- a ния. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 11 Если в источнике напряжения ток I совпадает по направлению с ЭДС E, источник напряжения является генератором энергии и его мощность PE E I 0 положительна. Если в источнике напряжения ток I не совпадает по направлению с ЭДС E, источник напряжения будет потребителем энергии и его мощ- E ( I ) 0 отрицательна. ность PE Рассчитаем мощность, которая выделяется в нагрузке схемы рис.1.10: Pн I 2 Rн I2 E I EI PE . (1.8) Мы видим, что выполняется баланс мощности: мощность, выделяемая в нагрузке равна мощности, отдаваемой генератором. П р им е р 1 .1 . В программе моделирования TINA соберите схему идеального источника напряжения (рис.1.11). Выполнить действия: Analysis – DC Analysis – Calculate Nodal Voltages для значений нагрузки R2: 10 Ом, 100 Ом, 1 кОм. Записать показания вольтметра и амперметра. И д е а л ьн ы й и с то ч н и к то к а ( ИТ ) a J + J =I RH U b U ВАХ ИТ J Рис.1.12 I Идеальный источник тока (рис.1.12) вырабатывает и отдает во внешнюю цепь ток J . Внутреннее сопротивление идеального источника тока Rит=∞. Ток идеального ИТ постоянный и не зависит от величины нагрузки и напряжения на зажимах ИТ. Вольтамперная характеристика ИТ изображается вертикальной линией, параллельной оси напряжения. Идеальный источник тока является фиксатором тока. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 12 Мощность источника тока PJ UJ 0 , если напряжение на зажимах источника положительно ( U > 0 ). При этом источник тока отдает энергию во внешнюю цепь. Если напряжение на зажимах источника отрицательно (U 0 ), мощность PJ UJ 0 и источник тока будет приемником энергии. В цепи с источником тока выполняется баланс мощности: PJ UJ ( JRн )J J 2 Rн Pн . (1.9) П р им е р 1 .2 .Соберите схему (рис. 1.13). Определите показания амперметра и вольтметра для значений нагрузки R1: 1 кОм, 100 Ом, 10 Ом. П р им е р 1 . 3 . Источник постоянного напряжения E рис.1.14. L=1Гн I E =12 В R= 4 Ом Рис.1.14 12 В включен в цепи кз I С =1Ф E =12 В R= 4 Ом хх Рис.1.15 Требуется найти: 1. Ток в цепи. 2. Магнитную энергию в индуктивности. 3.Электрическую энергию в емкости. 4. Мощность, выделяемую в резисторе. Решение В цепи действует постоянный источник напряжения E. Он создает постоянный ток I. Для постоянного тока индуктивность эквивалентна короткому замыканию (кз). Для постоянного напряжения емкость эквивалентна разрыву (холостому ходу - хх). Переходим к схеме рис.1.15. Рассчитываем: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 13 ток в цепи: I 12 4 3А ; магнитную энергию в индуктивности: Wм электрическую энергию в емкости: Wэ мощность, выделяемую в резисторе: P Li 2 2 Cu 2 2 I 2R 19 4 , 5 Дж ; 2 1 144 72 Дж ; 2 36 Вт . 1.4. Зависимые (управляемые) активные элементы В расчетных моделях электронных устройств широко применяются зависимые (управляемые) активные элементы, которые формируют напряжения или токи, зависящие от токов и напряжений в других участках электрической цепи. Управляемые активные элементы могут усиливать и преобразовывать слабые управляющие воздействия. В электрических цепях используют четыре типа управляемых активных элементов: И с то ч н и к н а п р яж е н и я , уп р а в ля е м ы й н а п р я ж е н и е м ( ИН У Н) ( р и с .1 .1 6 ) i1 =0 1 i2 2 e=ku1 u2=e u1 1' В разомкнутой ветви 11 действует напряжение u1 , которое управляет в выходной цепи источником напряжения 22 e ku1 . 2' Рис.1.16 И с то ч н и к н а п р яж е н и я , уп р а в ля е м ы й то к о м ( И НУ Т) ( р и с .1 .1 7 ) i1 i2 1 2 e=R0i1 u2=e u1=0 1' В замкнутой цепи 11 действует ток i1 , который управляет в выходной цепи 22 источником напряжения e R0 i1 . 2' Рис.1.17 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 14 И с то ч н и к то к а , уп р а в ля е м ы й н а п р я ж е н и е м ( ИТУ Н) ( р и с .1 .1 8 ) i1 =0 1 i2 =J 2 J=G0u1 В разомкнутой ветви 11 действует напряжение u1 , которое управляет в вы- u2 ходной u1 J 1' цепи G0u1 . 22 источником тока 2' Рис.1.18 И с то ч н и к то к а , уп р а в ля е м ы й то к о м ( И ТУ Т) ( р и с .1 .1 9 ) i1 i2 =J 1 2 J=αi1 u1=0 u2 1' В замкнутой цепи 11 действует ток i1 , который управляет в выходной цепи 22 тока J  i1 . источником 2' Рис.1.19 1.5. Модели реальных электронных компонентов Модели реальных пассивных элементов Модели реальных элементов зависят от условий работы и точности, с которой надо выполнять расчеты. Так R на низкой частоте р е з и с т о р (рис.1.20) можно достаточно точно описать одним лишь омическим сопротивлением R. Рис.1.20 На высокой частоCм те при монтаже резистора на плате надо учитывать индуктивности проволочных выLв Lв водов резистора LВ и емкость R монтажа резистора относительно Рис.1.21 платы CМ (рис.1.21). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 15 Для более точного описания к а т у ш к и и н д у к т и в н о с т и учитывают сопротивление потерь RК и Cм емкость монтажа L CМ (рис.1.22). Rк Рис.1.22 G В В модели реального к о н д е н с а т о р а учитывают проводимость утечки изоляции G и индуктивности выводов LВ (рис.1.23). Lв Lв C Рис.1.23 М о д е ли р е а льн ы х и с то ч н и к о в эн е р г и и И с то ч н и к н а п р яж е н и я Реальный источник напряжения имеет внутреннее сопротивление и его приближенно описывают линейной моделью, в которой идеальный источник напряжения E включен последовательно с сопротивлением Rин (рис.1.24). Напряжение на зажимах источника напряжения U E IRин В режиме холостого хода ( I 0 ) напряжение на зажимах U ХХ E . В E режиме короткого замыкания ( U 0 ) ток I кз . По этим двум Rин точкам строим вольт-амперную характеристику источника напряжения (рис.1.25). 1 Rин = 0 E U 2 I U Uхх= E Rн Рис.1.24 I Iкз E Rин Рис.1.25 Источник тока Реальный источник тока имеет внутреннее сопротивление Rит и приближенно описывается линейной моделью, в которой идеальный исВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 16 точник тока J включен параллельно с внутренним сопротивлением U (рис.1.26). Во внутреннем сопротивлении проходит ток I нагрузке I J U Rит Rит Rит . Ток в . Из последнего уравнения получим вольт- амперную характеристику (рис.1.27): U JRит IRит . (1.10) Сравним графики ВАХ для источника напряжения (рис.1.25) и источника тока (рис.1.27). ВАХ будут эквивалентны, если совпадут отрезки E на осях: E JRит и J . Отсюда получаем у с л о в и я э к в и - Rин валентности источника точника тока (ИТ): 1. Rин Rит напряжения Rвн ; 2. E JRвн ; 3. J E (ИН) Rвн и ис- . (1.11) 1 I’ J Rит U I U U=JRит Rн 2 Рис.1.26 Iкз=J Рис.1.27 I Правила эквивалентной замены источника напряжения и источника тока Любой источник напряжения с последовательно включенным сопротивлением может быть заменен на эквивалентный источник тока с параллельно включенным сопротивлением (рис.1.28). Rвн E  Rвн J=E/Rвн Рис.1.28 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 17 Любой источник тока с параллельно включенным сопротивлением может быть заменен на эквивалентный источник напряжения с последовательно включенным сопротивлением (рис.1.29). J Rвн Rвн  E=JRвн Рис.1.29 П р им е р 1 .4 . В схеме (рис.1.30) с источником тока J 3А рассчитать токи I1 и I2, выполнив преобразование источника тока в источник напряжения. a J 3А R1 6 Ом R2 U I1 3 Ом I2 b Рис. 1.30 Собрать модели схем с источником тока и источником напряжения (рис.1.31) и убедиться в равенстве тока I2 в этих схемах Рис. 1.31 1.6. Нелинейные элементы электрических цепей В реальных устройствах электронные компоненты могут работать в широком диапазоне изменения токов и напряжений. По этой причине функциональные характеристики электронных компонентов могут станоВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 18 виться нелинейными. Так с увеличением тока резистор нагревается, его сопротивление изменяется и ВАХ становится нелинейной. В катушке индуктивности с магнитным сердечником может наступить насыщение магнитопровода и вебер-амперная характеристика станет нелинейной. В источниках напряжения при увеличении тока нагрузки увеличивается внутреннее сопротивление и ВАХ становится нелинейной (кривая абвг на рис.1.32). Нелинейную ВАХ можно представить несколькими линейными участками (а-1 и 2– г на рис.1.32). Линейные участки ВАХ в электрической цепи моделируются из линейных элементов (рис.1.32а и 1.32б). Все полупроводниковые электронные компоненты (диоды, стабилитроны, транзисторы) также имеют нелинейные ВАХ. Методы расчета электрических цепей с линейными и нелинейными элементами отличаются. Нелинейные цепи рассчитывают, как правило, графическими и приближенными численными методами. R1 I а) а U хх U б д 1 в г Iб U E=Uхх 2 Iв Iг б) I J=Iг Iг-I U I Рис.1.32 1.7. Классификация электрических цепей Электрические цепи образуются из совокупности соединенных между собой идеальных элементов. Различают следующие классы электрических цепей: 1. Линейные электрические цепи с неизменными во времени пространственно-сосредоточенными параметрами, в которых все элементы имеют линейные функциональные характеристики, размеры элементов цепи считаются бесконечно малыми, проводники не имеют сопротивлений, электрическое и магнитное поля в конденсаторах и катушках сосредоточены в бесконечно малых объемах. 2. Нелинейные цепи, в которых имеется хотя бы один элемент имеет нелинейную функциональную характеристику. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 19 3.Цепи с пространственно - распределёнными параметрами, в которых размеры элементов соизмеримы с длиной электромагнитной волны, действующей в цепи. Это линии передачи энергии, кабели, объёмные резонаторы, волноводы. 4. Цепи с переменными параметрами, содержащие элементы с периодически меняющимися параметрами: R(t), C(t), L(t). 1.8. Основные топологические понятия и соотношения Топология (геометрия) электрической цепи определяет способ соединения элементов цепи. Графическое изображение электрической цепи с условным обозначением элементов и их соединений называют схемой. Графическими элементами схемы являются: ветвь, узел, контур. Рассмотрим схему цепи (рис.1.33). Ветвью называют последователь1 ность элементов, через которые в любой момент времени проходит один и тот же 3к R2 ток. В цепи (рис. 1.33) количество ветвей C3 R1 равно 6 (nв=6). L2 1к E4 Узел - это место соединения трех и R6 2 3 более ветвей. В цепи (рис.1.33) число узлов C4 равно 4 (nу=4). Один из узлов можно счи2к L5 тать «общим» и заземлить его. Потенциал R4 общего узла будет равен нулю. Тогда чисE1 ло «независимых узлов»: 4 n унез n у 1 3 . Рис.1.33 По первому закону Кирхгофа (1ЗК) составляют уравнения для независимых узлов. Контур это замкнутый путь, состоящий из последовательности узлов и ветвей, причем каждый узел и ветвь входят в контур только один раз. Независимые контуры отличаются друг от друга хотя бы одной ветвью. По второму закону Кирхгофа (2ЗК) составляют уравнения для независимых контуров. Количество независимых контуров определяют с помощью графа цепи. Графом называют геометрическую фигуру, изображающую структуру цепи. Простейший ненаправленный граф состоит из вершин, соединенных ребрами. Вершины соответствуют узлам цепи, а ребра – ветвям. На рис.1.34 показан граф цепи (рис.1.33). Деревом графа называют совокупность ветвей, соединяющих все узлы, но не образующих контуры. Примеры нескольких деревьев графа показаны на рис.1.35. Число ветвей дерева nд nу 1. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 20 Количество деревьев 6! 3 !( 6 3 )! C63 3 рассчитывают как число сочетаний 17 . Вершина 1 2 Ребро 3 6 1 2 4 3 5 4 Рис.1.34 1 1 2 2 3 4 a) 1 2 1 3 6 4 3 2 3 б) 4 Рис.1.35. Дополнением дерева называют множество ветвей графа, которые остаются, если удалить ветви дерева. Каждое дерево имеет свое дополнение. Для дерева (рис.1.35а) дополнение показано на рис.1.36. 3 1 Каждая ветвь дополнения дерева называется ветвью связи. Число ветвей связи nсв nв nд nв ( n у 1 ) . (1.12) Главный контур содержит только одну ветвь связи. Остальные ветви главного контура являются ветвями дерева. Каждый главный контур отличается от друРис.1.36 гих по крайней мере одной ветвью связи. Поэтому главные контуры являются независимыми. 5 П р а ви ло д е р е ва Число независимых контуров равно числу ветвей связи, которые надо добавить в дерево, чтобы получить граф. Nнез nсв n в nд n в ( nу 1 ) . (1.13) Дополнение дерева (рис.1.36) имеет три ветви связи. Следовательно, в схеме рис.1.33 три независимых контура. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 21 1.9. Основные законы электрических цепей О б о б щ е н н ы й за к о н О м а д ля уч а с тк а ц е п и , с о д е рж а щ е г о Э Д С Рассмотрим участок цепи между узлами ab с постоянными источниками ЭДС (рис.1.37). Заданы: E1, E2, Uab, R1, R2. Найти ток I. R1 I1 E1 m a R2 f E2 + c b Uab Рис.1.37 Пусть потенциал в 0. Находим: c f E2 , E2 IR2 , m a E2 IR2 E1 , E2 IR2 E b E2 U ab a IR1 , IR2 E1 IR1 . Определим ток: I U ab E2 E1 . R1 R2 (1.14) Формулировка обобщенного закона Ома: Ток на участке цепи равен деленному на суммарное сопротивление ветви напряжению на зажимах ветви, взятому по направлению тока плюс (минус) источники ЭДС. С положительным знаком берут источники ЭДС, совпадающие с положительным направлением тока. П р им е р 1 .5 . E=4В I R=2Ом В цепи рис.1.38 найти ток. a Uab =6В Рис.1.38 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 b 22 П е р вы й за к о н К и р х г о ф а i1 i2 i4 Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, в любой момент времени равна нулю. Со знаком плюс берут токи, выходящие из узла. i3 ik Рис.1.39 i1 i2 i3 0, i4 0. (1.15) k 1 П р им е р 1 .6 . В цепи (рис.1.40) показания амперметра. 9 В , I2 E 2 А, U ab I1 A I2 E a 3 В, R R 4 Ом . Найти b U ab Рис.1.40 Второй закон Кирхгофа i2 a U3 e1 U2 i1 C1 U1 R1 d R2 L2 b U4 U 5 R4 1к e4 i3 i4 C3 e c 3 U6 Рис.1.41 Уравнения по второму закону Кирхгофа составляют для независимых контуров цепи. Сначала выбираем направление обхода контура. Затем выбираем условно положительные направления токов в ветвях. Напряжения на пассивных элементах совпадают с направлением токов. Формулировка второго закона Кирхгофа: В любой момент времени алгебраическая сумма падений напряжений на пассивных элементах электрического контура равна алгебраичеВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 23 ской сумме источников напряжений, действующих в контуре. Со знаком плюс берут напряжения, которые совпадают с направлением обхода контура. Для цепи на рис.1.41 запишем уравнения в интегродифференциальной форме: L2 di2 dt i2 R2 i4 R4 1 C3 i3dt i1R1 1 C1 i1dt e1 e3 e4 . (1.16) В левой части уравнения записана сумма падений напряжений на пассивных элементах. В правой части – сумма источников напряжений. С помощью второго закона Кирхгофа найдем напряжение пи на рис.1.42: i2 a i1 L2 e1 U2 C1 U1 U3 но R2 U4 Ubd R1 d b 1 C1 U bd i1R1 U bd e1 i1R1 i1dt 1 C1 L2 i1dt di2 dt L2 i2 R2 di2 dt U bd в це- e1 ; i2 R2 . (1.17) Рис.1.42 1.10. Виды сигналов В реальных электронных устройствах управления и связи сигналами могут быть любые физические процессы или состояния физических объектов, несущие информацию. Реальные физические сигналы преобразуются приемными преобразователями в электрические токи и напряжения. Рассмотрим примеры таких преобразований. Электромагнитная волна преобразуется антенной приёмника в электрические сигналы u(t), i(t). Световое изображение преобразуется видеокамерой или сканером в электрические сигналы u(t), i(t). Тепловое изображение преобразуется приемником инфракрасного излучения (ИК-приемником) в электрические сигналы u(t), i(t). Звуковой сигнал преобразуется микрофоном в электрические сигналы u(t), i(t). Поэтому в расчетных моделях радиоэлектронных устройств, представляющих собой электрические цепи, входными сигналами являются электрические токи и напряжения. Реальные электрические сигналы ограничены во времени, могут быть одиночными импульсами, импульсными последовательностями, колебаниями звуковых частот, радиосигналами и В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 24 т.д. Реальные электрические сигналы можно представить в виде совокупности простейших идеализированных сигналов. Простейшие идеализированные сигналы 1.Постоянное напряжение (рис.1.43) и ток (рис.1.44) u(t) i(t) U=const Рис.1.43 t I=const Рис.1.44 t 2. Гармонические напряжение и ток u(t) Рис.1.45 Гармонический синусоидальный сигнал записывают в виде: u( t ) U m sin( 1t  ) , где U m - амплитуда гармонических колебаний, (1.18) 1 - угловая частота,  - начальная фаза (отсчитывается от ближайшего нуля с положи- тельной производной к началу координат), (1t  ) - текущая фаза, T= 2 - период колебаний,  В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 25 f 1 - частота колебаний. T 3. Периодические негармонические сигналы Для периодических негармонических сигналов выполняется условие: (1.19) u( t T ) u( t ) . Такие сигналы заданы на всей оси времени: . На t рис.1.46 показаны примеры негармонических периодических сигналов. T Рис.1.46 Периодические сигналы, удовлетворяющие условиям Дирихле, можно разложить в гармонический ряд Фурье и представить в виде постоянной составляющей и множества гармоник: a0 2 u( t ) где: bn sin nt ) , (1.20) n 1 2 - частота первой гармоники; T  a0 2 1 T an 2 T bn ( an cos nt 2 T t0 T u( t )dt - постоянная составляющая; t0 t0 T u( t )cos ntdt - амплитуды косинусных гармоник; t0 t0 T u( t ) sin ntdt - амплитуды синусных гармоник. t0 Гармонические составляющие периодического негармонического сигнала называют спектральными составляющими, а всю совокупность амплитуд гармоник, отнесенных к частотам этих гармоник называют спектром сигнала. 4. Непериодические сигналы В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 26 u(t) t1 t2 t Рис.1.47 Непериодические сигналы можно представить множеством гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно близкими частотами. Такое множество называют спектральной плотностью сигнала, а расчеты проводят спектральным методом с использованием прямого и обратного преобразования Фурье. Таким образом, моделями реальных сигналов служат идеализированные сигналы, состоящие из постоянных и гармонических токов и напряжений. 1.11. Принцип суперпозиции в линейной цепи Процессы в линейной электрической цепи описываются линейными интегро-дифференциальными или дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В таiL ких цепях действует принцип суперпоL E0 зиции: каждая составляющая тока i R iC или напряжения действует в цепи независимо от других и результируюR C e1 (t) щую реакцию можно находить как сумму реакций на каждое воздействие в отдельности. e2 (t) В цепи на рис. 1.48 действуют Рис.1.48 источник постоянного напряжения E0 и два источника гармонических сигналов e1( t ) и e2 ( t ) . Расчет надо проводить для каждого сигнала в отдельности при отсутствии остальных и результаты сложить. Так для расчета тока в резисторе надо выполнить расчет для постоянного напряжения, для гармонического источника e1( t ) , для гармонического источника e2 ( t ) и сложить результаты. В итоге получим: iR I( E ) i( e1 ) ( t ) i( e2 ) ( t ) . (1.21) П р им е р 1 .7 В цепи рис.1.49 задано: J=1А, Е=12 В, R1=R2=4 Ом, R3=8 Ом. Найти Uab. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 27 Uab a Uab R3 J R1 R1 a b EЭ R3 b I R2 R2 E E Рис.1.50 Рис.1.49 Решение 1. Преобразуем источник тока с параллельно включенным сопротивлением R3 в эквивалентный источник напряжения EЭ=JR3=8В с последовательным сопротивлением R3. Получим одноконтурную цепь рис.1.50. В этой цепи: U ab EЭ I ( R1 R3 ) EЭ E R1 EЭ R2 R3 ( R1 R3 ) 2В Пример 1.8 E I2 R 2 J В цепи рис.1.52 J=2А, J1=1А, a Uab R1 R3 V I1 Е=10В, R1=2 Ом, R2=4 Ом, R3= 2 Ом. Найти показания вольтметра. b J1 Рис.1.51 Решение Внутреннее сопротивление идеального вольтметра бесконечно велико. Поэтому ток через вольтметр не проходит и I1=J1=1А, I2=J-I1=1А. Считаем потенциал узла b равным нулю. Обходим ветви 1 и 2 в направлении узла a и находим: U ab I1R1 E I 2 R2 12В . Пример 1.9 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 28 В цепи рис.1.52 задано: R1=5 Ом, R2=3 I1 R1 Ом, R3=4Ом, I3=1А, Е2=1В. Найти Е1. a E1 I2 Решение I3 R2 R3 Uab E2 b Так как заданы ток I3 и Е2, можно E2 I3 R3 . найти U ab Затем находим: I2 Рис.1.52 U ab R2 1А , I1 I 2 I3 2 А , E1 U ab I1R1 13В . Пример 1.10 I R3 2Ом b a I1 J I2 I3 R4 R2 6Ом 4Ом E1 4В R1 5Ом c В резисторе R5 I5 1А цепи на рис.1.53 прохо- I4 R5 4Ом E2 4В дит ток I5 1A . Известные параметры цепи указаны на схеме. Найти неизвестный ток источника тока J. Рис.1.53 Решение 1. Начинаем расчет с дальней ветви. Находим: Ubc I5 R5 U ac Ubc I1 U ac R1 4В , I 4 I3 R3 U bc E2 R4 4 4 4 3 2 10В , 2 A . Получаем ответ: J 4 I1 2 A , I3 I2 U ac E1 R2 I2 I3 6A. Пример 1.11 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 I4 I5 10 4 6 3A , 1A , 29 В цепи (рис.1.54) действует один источник напряжения. Требуется найти токи во всех ветвях. Решение Так как в схеме действует только один источник напряжения расчет можно сделать методом подобия. Задаем в самой удаленной ветви произвольно ток I6 1A. Нахо- дим: U a 4 В , I 5 2 A, I 4 3 A, Ub 10 В , I 3 5 A, I 2 2 A, I 1 10 A, E 20 В . I1 c I4 R 1 1Ом Е=2В R 4 2Омa b I2 I3 R2 R3 I5 2Ом R5 5Ом 2Ом I6 =1A R6 4Ом d Рис.1.54 Так как в заданной схеме Е=2 В искомые токи будут в 10 раз меньше рассчитанных (коэффициент подобия k=0,1). 1.12. Контрольные вопросы 1. Какое практическое применение находят знания электротехники ? 2. Что должны знать и какими навыками должны владеть студенты, изучив электротехнику ? 3. Что называют электрической цепью ? 4. Перечислите основные понятия электротехники. 5. Назовите идеальные пассивные элементы электрической цепи и расскажите об их свойствах. 6. Назовите идеальные независимые активные элементы электрической цепи и их свойства. 7. Какие зависимые (управляемые) активные элементы применяются в электрических цепях ? 8. Расскажите о моделях реальных пассивных элементов. Чем обусловлено их отличие от идеальных пассивных элементов ? 9. Расскажите о моделях реальных источников энергии. Какие свойства имеют источник напряжения и источник тока ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 30 10. Объясните правило эквивалентной замены источника напряжения на источник тока и наоборот. 11. В чём выражается и чем обусловлена возникающая нелинейность пассивных и активных элементов электрической цепи ? 12. Какие классы электрических цепей изучают в электротехнике ? 13. Объясните топологические понятия электрической цепи: ветвь, узел, контур. 14. Как найти число независимых узлов ? 15. Что такое независимые контуры ? 16. Что называют графом электрической цепи ? 17. Что называют деревом графа, дополнением дерева, ветвью связи? 18. Как определить число независимых контуров по правилу дерева ? 19. Сформулируйте обобщенный закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. 20. Сформулируйте первый закон Кирхгофа (1ЗК). 21. Сформулируйте второй закое Кирхгофа (2ЗК). 22. Какие простейшие виды идеализированных электрических сигналов применяют в расчетах электрических цепей? 23. В чем состоит принцип суперпозиции в линейной электрической цепи и как его применяют в расчетах ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 31 Глава 2. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЦЕПЕЙ Алгебраические методы расчета цепей основываются на применении законов Кирхгофа и Ома и сводятся к составлению систем уравнений для токов и напряжений в цепи, решению этих уравнений и определению искомых токов и напряжений. 2.1. Составление уравнений на основании законов Кирхгофа Схема электрической цепи показана на рис. 2.1. Составление уравнений по законам Кирхгофа проводим в такой последовательности. Выбираем произвольно условно положительные направления токов. Строим граф схемы в виде дерева и ветвей связи (рис.2.2). Граф имеет 3 узла ( n у 4 ) и 6 ветвей ( nв 6 ). R1 I1 1к . I4 E1 I2 a R4 E4 E2 I6 2к . I5 R5 c 3к R2 Число неизвестных токов в ветвях Т 6 . Всего для расчета токов требуется 6 уравнений. Число независимых узлов находим по формуле: n унез n у 1 3 . (2.1) R6 b R3 E5 E3 I3 Рис.2.1 d Значит, по первому закону Кирхгофа можно составить 3 уравнения для токов в узлах. Еще три уравнения будем составлять по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Количество независимых контуров опре- деляем по правилу дерева: b a c Рис.2.2 Nнез nсв n в nд n в ( nу 1 ) =3. (2.2) По первому закону Кирхгофа составляем 3 уравнения для токов в узлах: d Узел b : I 4 I1 I 6 0 ; (2.3) Узел c : I I I 0; 2 4 5 Узел d : I 5 I 6 I3 0. По второму закону Кирхгофа составляем 3 уравнения для напряжений в независимых контурах: 1 контур : I1R1 I 4 R4 I 2 R2 E1 E4 E2 ; (2.4) 2 контур : I 6 R6 I5 R5 I 4 R4 E5 E4 ; 3контур : I 2 R2 I5 R5 I3 R3 E2 E5 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 E3 32 Общее число уравнений: nу 1 nв ( nу 1 ) nв T. (2.5) Если в цепи есть ветви с источниками тока и количество таких ветвей nит , то число неизвестных токов T nв nит . Примечание. По второму закону Кирхгофа следует составлять уравнения для контуров, не содержащих источников тока или преобразовывать их в источники напряжения. Недостатком расчета цепи по законам Кирхгофа является то, что число уравнений равно числу неизвестных токов. Система уравнений может получиться сложной. 2.2. Метод контурных токов (МКТ) Метод контурных токов позволяет сократить число уравнений до количества независимых контуров. В исходной схеме на рис.2.3 число независимых контуров N нез 4 можно сократить до трех, выполнив преобразование источника тока в источник напряжения (рис.2.4). В результате мы перейдем к расчетной схеме рис.2.5. После преобразования в резисторе R2 проходит ток I 2 . Истинный ток I 2 в исходной схеме связан с током I 2 соотношением (см. рис.2.4): I2 I1 R1 J I2 . (2.6) I1 E1 R1 E1 I11 E6 R6 a I6 R5 c I5 I4 E6 R6 d a I6 I3 R5 c I5 I4 I22 I`2 R2 I2 I`2 b J R4 E2 b R3 Рис.2.3 I2 I`2 R2 I3 I33 R2 R4 R3 Рис.2.5 I`2 E2 =JR2 J Рис.2.4 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 d 33 Для получения независимых контуров выбираем дерево графа и добавляем ветви связи (рис.2.6). Считаем, что в каждом контуре схемы рис.2.5 существуют расчетные контурные токи I11 , I 22 , I33 , совпадающие с токами в ветвях связи графа. Составим таблицу, которая выражает токи в ветвях через контурные токи. c a Таблица токов d b Рис.2.6 I1 I11 I4 I33 I 22 I2 I 22 I5 I11 I33 I3 I33 I6 I11 I 22 (2.7) Составим для независимых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа. Направления обхода контуров совпадают с направлением контурных токов. 1 контур: I11R1 I11 2 контур: I 22 R2 (I11 3 контур: (I11 I 22 R6 I33 )R5 I11 I33 R5 E1 E6 I 22 )R6 +(I 22 I33 )R4 E2 E6 (2.8) (I33 I 22 )R4 I33 R3 Приведем подобные члены с токами I11, I 22 , I33 : ( R1 R5 R6 I11 R6 )I11 ( R2 R5 I11 R6 I 22 R4 I33 R5 R6 )I 22 R4 I 22 ( R3 R4 I33 R4 E1 - E6 E 2 - E6 R5 )I33 (2.9) Полученную систему уравнений для контурных токов запишем в канонической форме. Каноническая форма системы уравнений по МКТ R11I11 R12 I 22 R13 I33 E11 R21I11 R22 I 22 R23 I33 E22 . R31I11 + R32 I 22 R33 I33 E33 (2.10) В канонических уравнениях: R11 R1 R5 R6 R22 R2 R4 R6 R33 R3 R4 R5 -собственные сопротивления каждого контура; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 34 R12 R6 R13 R5 R21 R6 R23 R31 - общие сопротивления смежных контуров, взятые со знаком «+», если контурные токи в них совпадают, и со знаком «-», если токи противоположны. R12 R4 R13 R32 R5 Уравнения R12 R21 , R13 симметричны R31 , R23 относительно главной диагонали: R32 . - контурные ЭДС, равные алгебраической сумме всех ЭДС данного контура. Со знаком «+» берут ЭДС, котоE22 E2 E6 рые совпадают с направлением контурного тока, со знаком «-» берут ЭДС с направлением, противоположным E33 0 контурному току. Решение уравнений по МКТ можно выполнить при помощи определителей по правилу Крамера: В формулах (2.11):  - определитель матрицы контурных сопротивлений; E11 E1 E6 1 ,  2 ,  3 - определители, полученные заменой соответствующего столбца контурных сопротивлений на столбец контурных ЭДС. I11 1  E11 R12 R13 E22 R22 R23 E33 R32 R33 R11 R12 R13 R21 R22 R23 R31 R32 R33 , I 22 2 ,  I33 3 . (2.11)  Вычислив контурные токи, по таблице токов находим токи в ветвях схемы рис. 2.5. Затем возвращаемся к исходной схеме рис. 2.3 и находим ток I2 J I2 . Раскрывая определитель нений контурных токов: I11 E11  1 ,  2 ,  3 , получим общее решение урав11  E22  21  E33 31 ,  В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (2.12) 35 где ik - алгебраическое дополнение к элементу Rik определителя, получаемое вычёркиванием i строки и k столбца, и помноженного на элемент ( 1 )i k . В общем случае: I kk 1k E  11 in Eii  ...  nk Enn .  ... (2.13) Контурный ток представляется как сумма составляющих, вызванных действием каждой контурной ЭДС в отдельности. Матричная форма уравнений МКТ Запишем уравнения для контурных токов в матричной форме: R11 R12 R13 I11 E11 R21 R22 R23 I 22 E22 . R31 R32 R33 I33 E33 (2.14) Можно использовать более компактную запись: R( k ) I E . (2.15) Искомый столбец контурных токов находим, умножая обратную матрицу контурных сопротивлений на столбец контурных ЭДС: I R (k ) 1 E (2.16) П р им е р 2 .1 . I1 1 В R1 2 Ом a R2 1 Ом I3 R3 I22 I11 3 Ом I2 E2 6В Дано: E1=1В, E2=6В, R1=2Ом, R2=1Ом, R3=3 Ом. Найти токи в ветвях методом контурных токов. b Рис.2.7 Составляем уравнения по МКТ: R1 R3 I11 R3 I11 R2 R3 I 22 R3 I 22 E1 E2 ; 5I11 3I 22 3I11 4 I 22 1 6 . Решаем систему по правилу Крамера и находим контурные токи: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 36 1 I 3 6 5 11 5 4 3 4 18 20 9 22 11 2 А; I 3 6 5 3 22 3 4 Находим токи в ветвях: I1 I 11 2А; I 2 I 1 3 3А; I3 22 30 3 20 9 33 11 3А 4 I 11 I 22 1А. 2.3. Метод узловых напряжений (МУН) Метод узловых напряжений основан на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома и сводится к нахождению напряжений в узлах схемы и последующему нахождения токов по закону Ома. МУН целесообразно применять тогда, когда число независимых узлов меньше числа независимых контуров. В схеме рис.2.8 имеем: число узлов ny 3; число независимых узлов nyнез число ветвей nв 3 1 2; nит 7. 8; число источников тока nит 1; число неизвестных токов T nв E4 1 U1 I4 R5 R4 I5 U2 2 1 J1 I2 R1 R2 I3 E2 I1 2 I7 E6 R3 R6 I6 R7 Рис.2.8 По законам Кирхгофа надо составить систему из 7 уравнений. Число независимых контуров после преобразования источника тока в источник напряжения Nнез nсв nит 6 1 5 . Следовательно, по методу контурных токов надо составить систему из 5 уравнений. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 37 В то же время имеем два независимых узла. Если будут известны узловые напряжений U1 и U 2 относительно общего узла, то по закону Ома можно будет рассчитать токи всех ветвей. Примем напряжение общего узла U 0 0 и выразим токи в ветвях через напряжения и проводимости. Получим таблицу токов: I1 U1G1 I2 U1G1 ( U1 E2 )G2 I3 U1G3 I4 ( U1 U 2 I5 (U2 U1 )G5 I6 (U2 E6 )G6 I7 U 2G7 ( E2 U1 )G2 E4 )G4 (2.17) Запишем уравнения для токов в узлах по первому закону Кирхгофа: Узел 1: J1 I1 I 2 I3 I 4 I5 0 ; (2.18) Узел 2: I 4 I5 I 6 I 7 0 . Выразим токи с учетом таблицы токов: J1 U1G1 U1G2 U 2G4 E2G2 U1G4 E4G4 U1G3 U1G5 U 2G5 (2.19) U 2G5 U1G5 U1G4 U 2G6 U 2G4 E6G6 E4G4 U 2G7 После преобразования получим систему уравнений для расчета напряжений в узлах по методу узловых напряжений: ( G1 ( G4 G2 G3 G5 )U1 G4 ( G4 G5 )U1 ( G5 G5 G6 G4 )U 2 G7 )U 2 J11 J 22 J E2G2 E4G4 E4 G4 (2.20) E6G6 Уравнения узловых напряжений можно сразу записывать в канонической форме. Кано ническая фор ма ур авнений МУН G11U 1 G12U 2 J11 G21U 1 G22U 2 J 22 , (2.21) где: G11 G1 G2 G3 G4 G5 ; G22 G4 G5 G6 G7 сумма проводимости ветвей присоединенных к узлам 1 и 2; G12 G21 ( G4 G5 ) - взятая со знаком «-» сумма проводимости ветвей, соединяющих узлы 1 и 2; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 38 узловые токи, равные алгебраической сумме источников тока и умноженных на проводимости ветвей источников напряжения, подключенных к узлам 1 и 2. Причём положительные знаки берут у источников, направленных к узлам. J11 J E2G2 E4G4 , J 22 E4G4 E6G6 - МУН широко применяют для расчёта электрических схем. После расчёта напряжения в узлах, токи находят по закону Ома по Таблице токов. Матричная форма уравнений МУН G11 G12 U1 J1 G21 G22 U 2 J2 Решение уравнений МУН: U (y) G y 1 (2.22) J . (2.23) П р им е р 2 .2 . В цепи рис.2.9 найти токи методом узловых напряжений. I3 I1 E 2 4В a R3 2 Ом b I4 R2 6 Ом R1 3 Ом E1 18В R4 4 Ом I2 c Рис.2.9 Составляем уравнения МУН в канонической форме: 1 3 1 6 1 Ua 2 1 1 Ua U 2 2 1 2 1 U 4 b 18 3 b 4 2 4 2 2 4 . Преобразуем и решаем уравнения: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 J 2А 39 Ua Ua 1 U b 4 2 . Получим: U b 3 U b 0 2 3 Ub 2 4 В , Ua 6В . Находим токи в ветвях: I1 18 6 3 4 A, I 2 6 6 6 4 2 1 A , I3 4 4 4 3 A, I 4 1A. 2.4. Метод двух узлов Метод двух узлов является частным случаем МУН. В схеме рис.2.10 один независимый узел с узловым напряжением U1 . По МУН для расчета U1 имеем одно уравнение: ( G1 G2 G3 )U1 J1 E1G2 E1G2 G1 G2 E2G3 . G3 E2G3 . (2.24) Получаем формулу для расчета узлового напряжения по методу двух узлов: J1 U1 (2.25) В общем случае в схеме с двумя узлами: Jp Gk Ek p U10 k Gk . (2.26) k 1 I1 I2 J1 R1 R2 R3 E2 U1 I3 E1 Рис.2.10 В этой формуле со знаком «+» берут токи и ЭДС, направленные к узлу 1 и со знаком «-», направленные от узла 1. В схеме рис.2.10 задано: R2 6Oм, R3 J1 6A, E1 12В , E2 2Oм . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 8B, R1 3Oм, 40 Проводим вычисления по формуле метода двух узлов: 8 6 12 U1 1 3 6 1 6 2 1 2 4B . По закону Ома находим токи в ветвях: I1 U1 R1 4 A I2 3 , I3 U1 E1 4 12 6 R2 U1 E2 4 R3 8 2 4 A 3 , 6A. Проверка по первому закону Кирхгофа: J1 6 I1 4 3 I2 6 4 3 I3 , 6. 2.5. Контрольные вопросы 1. Как определить необходимое число уравнений для расчета цепи, составленных по первому и второму закону Кирхгофа ? 2. Когда целесообразно применять для расчета цепи метод контурных токов ? 3. Как следует выбирать независимые контуры в цепи для расчета по методу контурных токов (МКТ) ? 4. Какой физический смысл имеют контурные токи и как через них выразить токи в ветвях ? 5. Как записать каноническую форму системы МКТ и найти элементы этой формы ? 6. Какими методами решают систему уравнений МКТ ? 7. Когда целесообразно применять для расчета цепи метод узловых напряжений (МУН) ? 8. Объясните структуру канонической формы уравнений МУН и расчет элементов этой формы ? 9. Когда применяют метод двух узлов и как записывают расчетную формулу этого метода ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 41 Глава 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ 3.1. Принцип наложения Пользуясь методом контурных токов, запишем решение для тока в первой ветви схемы рис.3.1: E11 R12 R13 I1 I11 E22 R22 R23 E33 R32 R33 R11 R12 R13 R21 R 22 R23 R31 R32 R33 ( E1 I1 R6 I6 R2 I2 I22 I11 R5 R4 I4  21  E33 31  Мы видим, что в линейной электрической цепи действует принцип наложения: Ток в любой ветви равен алгебраической сумме частичных токов, обусловленных действием каждого источника в отдельности при отсутствии остальных. При расчете частичных токов вместо выключенных источников надо оставлять их внутренние сопротивления: ( Rин 0 , Rит ). I5 E2 E22  11  ( E2 E6 ) 21 0 31    (3.1)  21 ( 11  21 ) E2 E6 I1` I1`` I1```   E1 E6 11  E6 ) 11 E1  R1 E11 I 33 R3 I3 Рис.3.1 П р им е р 3 .1 . В схеме рис.3.2а E 6В, J R2 1Ом . Найти ток I2. I`1 I1 E 2А , R1 R1 I2 а) J R2 E I``1 R1 I`2 R2 хх б) Рис.3.2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 R1 кз I``2 J R2 в) 42 Решение 1. Исключим источник тока и найдем в цепи рис.3.2б частичный ток E I 2` R1 R2 3A . 2. Исключим источник напряжения E и найдем в цепи рис.3.2в частичный ток I 2`` J R2 R1 1A . (Эту формулу можно получить пре- R2 образованием источника тока в источник напряжения). 3. Находим полный ток I 2 I 2` I 2`` 4 A . 3.2. Теорема взаимности (теорема обратимости) В сложной пассивной цепи рис.3.3а выделим две внешние ветви i и k. i i k k Ei Iii Ii П Rk I kk k а) k' Rk П Iii Ik Ii Ri i’ i Ei Rk R i Ik Ii Ikk Ri i’ k' б) Iii П Ik Ikk Ek =Ei i` k' в) Рис.3.3 Выберем контуры так, чтобы ветви ii и kk были ветвями связи и токи в них совпадали с контурными: Ii Iii и I k I kk . Поместим в ветвь ii источник напряжения Ei (рис.3.3б). Других источников напряжения в цепи нет. По методу контурных токов, используя формулу (2.13), найдем: Ik ik Ei .  I kk Здесь ik - алгебраическое дополнение к элементу контурных сопротивлений. Затем поместим в ветвь kk' Найдем ток Ii Iii (3.2) Rik источник напряжения  ki Ek  матрицы Ek Ei . (3.3). В линейной цепи определитель ∆ симметричен относительно главной Ei получим: диагонали. Следовательно: ik  ki и так как Ek В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 43 Ik Если Ei Ii . (3.4) Ek , то выполняется пропорциональность: Ii Ek Ik Ei . (3.5) Формулировка теоремы взаимности Если источник E действует в ветви i и вызывает в ветви k ток I k , то тот же источник, помещенный в ветвь k , вызывает в ветви i I k (с точностью до знака). ток Ii Электрические цепи, удовлетворяющие теореме взаимности, называются обратимыми (или взаимными). Все линейные цепи с независимыми источниками являются обратимыми. К необратимым цепям относятся нелинейные цепи и линейные цепи с зависимым источником. П р им е р 3 .2 . Собрать схемы рис.3.4 и проверить выполнение теоремы взаимности. Рис.3.4 3.3. Входные и взаимные проводимости и сопротивления ветвей По принципу наложения ток в любой ветви равен сумме частичных токов, обусловленных действием каждого источника в отдельности: Ik Gk1E1 Gk 2 E2 ... Gkk Ek ... Gkn En (3.6) Коэффициенты в формуле (3.6) называются входными и взаимными проводимостями. Входная проводимость ветви «k» A Ik Ek П Gkk Ik Ek (3.7) равна отношению тока ветви к ЭДС, включенной в эту ветвь, при равных нулю ЭДС остальных ветвей. Схема изРис.3.5 мерения входной проводимости Gkk показана на рис.3.5. Величина, обратная входной проводимости, называется входным сопротивлением ветви: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 44 1 Gkk Rkk A П Взаимная проводимость ветвей «k» и «m» Ik Gkm Em Рис.3.6 (3.8) Ik Em (3.9) равна отношению тока в ветви «k» к ЭДС, включенной в ветвь «m», при равных нулю ЭДС других ветвей. Схема измерения взаимной проводимости Gkm показана на рис.3.6. Величина, обратная взаимной проводимости, называется взаимным сопротивлением: 1 Gkm Rkm (3.10) По принципу взаимности в линейной обратимой цепи: Gkm Rkm Gmk , Rmk . (3.11) (3.12) Входные и взаимные проводимости положительны, а составляющие токов Gk1E1, Gk 2 E2 могут иметь разные знаки в зависимости от выбранных направлений. 3.4. Связь между входными и взаимными проводимостями На рис.3.7 показан граф разветвленной цепи с нумерацией узлов и ветвей. По первому закону Кирхгофа для узла 1 имеем: E1 I'1 I'4 2 I'2 1 4 5 3 2 I'5 3 1 I1 I2 I3 (3.13) Для узла 2 имеем: I'3 I1 Рис.3.7 I4 I5 I3 . I4 I5 (3.14) Следовательно: I1 I2 I3 I3 . (3.15) Делим на E1 : I1 E1 I2 E1 I3 E1 I4 E1 I5 E1 I3 . E1 (3.16) Получили связь между входной проводимостью и взаимными проводимостями: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 45 G11 G21 G31 G41 G51 G31 . (3.17) Входная проводимость ветви равна сумме взаимных проводимостей данной ветви и каждой из остальных ветвей, присоединённых к одному из двух узлов, к которым присоединена эта ветвь. 3.5. Теорема о компенсации В электрической цепи рис.3.8а имеется ветвь с резистором R1 , в ко- торой проходит ток I1 . Напряжение на резисторе U1 . В цепи рис.3.8б в эту ветвь подключены два равных по величине и направленных встречно источника напряжения E1 E1 U1 I1R 1 . I2 1 b I2 b U1 Udb R2 I1 2 R1 c I1 I2 R2 E2 E'1 d E + a R2 R1 E1 E1 E2 a б) а) в) Рис.3.8 Найдем напряжение U db Ud Ub I1R1 E1 (3.18) Так как напряжение между точками d и b равно нулю, участок db можно закоротить. В результате мы получим схему рис.3.8в, в которой резистор R1 заменен источником напряжения E1 I1R 1 . Формулировка теоремы о компенсации Любое сопротивление можно заменить источником ЭДС, направленным встречно току и равным напряжению на этом сопротивлении. П р им е р 3 . 3 . Собрать схемы рис.3.9 и проверить выполнение теоремы о компенсации. Рис.3.9 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 46 3.6. Теорема об эквивалентном генераторе В исходной схеме рис.3.10а требуется найти ток в одной ветви нагрузки с резистором R. Остальную часть схемы с источниками энергии можно рассматривать как активный двухполюсник с зажимами ab. Покажем, что для расчета тока в ветви активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником ЭДС и пассивным двухполюсником. a 2 a I Uabxx A A E' = Uabxx a 2 2 A R R 2' b b а) 2' a E EЭ 2 I г) I RЭ U =0 b 2' b в) б) E' A 2' R R Рис.3.10 д) Выполним следующие действия. 1. Разомкнем цепь между точками «a-2» и найдем напряжение холостого хода U abхх (рис.3.10б). U abхх (рис.3.10в). Так как 2. Включим между точками «a-2» E при этом напряжение между точками «a-2» будет такое же, как в схеме рис.3.10б, ток в резисторе останется равным нулю (I=0). 3. Включим E E противоположно к E . Получим схему рис.3.10г, эквивалентную исходной. Ток равен исходному, так как два источника ЭДС направлены противоположно и компенсируют друг друга. 4. В схеме рис.3.10г активный двухполюсник вместе с E' становится пассивным. Его можно заменить эквивалентным сопротивлением Rэкв Rвхab , равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника. В полученной схеме рис.3.10д I I=0 Eэ R Rэ U авхх R Rвхав (3.19) Теорема об эквивалентном генераторе Любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором, у которого ЭДС равна напряжению холостого хода на зажимах активного двухполюсника, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника при равных нулю источниках напряжения и отключенных источниках тока. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 47 П р им е р 3 . 4 Используя моделирование, преобразовать исходную схему рис.3.11а к эквивалентному генератору рис.3.11г и убедиться в равенстве токов в нагрузке. 3.7. Передача энергии от активного двухполюсника к нагрузке, согласование нагрузки с генератором К электрической цепи, представленной активным двухполюсником рис.3.12а, подключена нагрузка Rн . I a H a UH A RH а) EЭ RВХ b RH б) Рис.3.12 b Заменим активный двухполюсник эквивалентным генератором (рис.3.12б). В полученной схеме EЭ Iн Rн Iн Rвх . (3.20) Умножим на I н : EЭ I н I н2 Rн I н2 Rвх . (3.21) Получили уравнение для мощностей: Pг Pн где: Pг -мощность генератора; мощности внутри генератора. Pвн , Pн -мощность (3.22) нагрузки; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 Pвн - потери 48 Определим ток, при котором в нагрузке будет выделяться максимальная мощность ( Pн Pмах ). Выразим мощность в нагрузке: Pн I н2 Rвх . EЭ I н (3.23) Приравняем нулю производную мощности в нагрузке: dPн dI EЭ 2 I н Rвх 0. (3.24) При выполнении этого условия ток в нагрузке EЭ . 2 Rвх EЭ . Rвх Rн Iн Но в схеме рис.3.12б: I н (3.25) Следовательно: Rвх Rн (3.26) -условие согласования нагрузки с генератором, при котором в нагрузке выделяется максимальная мощность. Найдем максимальную мощность в нагрузке: Pмах EЭ2 I н2 Rн 2 ( 2 Rвх ) Rвх EЭ2 . 4 Rвх (3.27) Коэффициентом полезного действия (КПД) активного двухполюсника называется отношение мощности, отдаваемой в нагрузку, к мощности, развиваемой эквивалентным генератором. Используют несколько формул для расчета КПД:  Pн Pг Eэ I н I н2 Rвх Eэ I н Rвх I н Eэ 1 Iн I кз Rн I н2 Rн I н2 ( Rвх 1 Rн ) 1 R вх . Rн R вх (3.28) Графики КПД, напряжения на нагрузке и мощности в нагрузке от тока в нагрузке показаны на рис.3.13. Мы видим, что мощность в нагрузке равна нулю при отсутствии в ней тока ( I н 0 ) или отсутствии напряжения на нагрузке при ее замыкании ( U н 0 , I н I кз ). Максимальная мощность в нагрузке выделяется при условии (3.26). При этом В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 49 Iн I кз 2 (3.29) Найдем отношение мощности в нагрузке к ее максимальному значению: Pн Pмах Eэ2 Rн ( Rн 4 4 Rвх 2 Eэ2 Rвх ) 1 Rн Rн Rвх 2 . (3.29) Rвх График этой зависимости показан на рис. 3.14. Если в нагрузке должна выделяться значительная мощность, то при согласовании по условию (3.26), когда Rн 1, КПД равен 0,5 и такая же большая мощ- Rвх ность будет выделяться во внутреннем сопротивлении генератора. Это может быть недопустимо. Тогда нагрузку увеличивают до значения Rн 3 , КПД при этом увеличивается до 0,75, а отношение Rвх снижается до 0,75. E 1 P, , U  PH PMAX U=EЭ -IRВХ 1 Pн 0,5 η 0,5 Pнмах Iн =Iкз/2 IКЗ IH 1 2 3 Рис.3.14 Рис.3.13 П р им е р 3 . 5 . Рис.3.15 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 4 RH RBX Pн Pмах 50 Исследовать измерение мощности ваттметром в схеме рис.3.15. Провести Analysis – DC analysis – DC Transfer Characteristic , изменяя нагрузку R2 от 1 до 20 Ом. Объяснить вид графика мощности. П р им е р 3 . 6 . E2 c R1 I1 J В цепи рис.3.16 дано: J=1А, R1=6Ом, a I н Rн=2Ом, E1=4В, E2=2В. Найти Iн и Pн. Решение 1. Отключим нагрузку и найдем сначала в режиRн ме холостого хода Ucbxx E1 U abxx Рис.3.16 I н2 Rн 8В E2 и Rвх a 1А 30 Ом Uab 6 Ом . U abxx Rвх Rн 1А. 2 Вт . Rн Решение 1. Отключаем нагрузку, заменяем источники тока на источники напряжения и находим: 5 Ом b Рис.3.17 15 30 45 R1 В цепи рис.3.17 определить, при каком оптимальном значении сопротивления нагрузки в ней выделяется наибольшая мощность? Найти эту мощность. 5В Rвх Ucbxx 3. Находим ток в нагрузке I н 4. Мощность в нагрузке Pн П р им е р 3 . 7 . 2А JR1 10 В. 2. Далее находим b 10 Ом E1 U abxx 10 Ом , Rнопт Rвх 2 5 1 10 5 5 10 30 30 10 В , 10 Ом. 2. Находим максимальную мощность в нагрузке: Pн max 2 U abxxabxx 4 Rвх 100 40 2 , 5 Вт П р им е р 3 . 8 . В цепи рис.3.18 J=4А, R1=R4=2Ом, R2=R3=4Ом.Найти показания амперметра. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 51 Решение 1. Отключим амперметр и найдем Uabxx. Так как R1 R3 R2 R4 токи I1 I 2 2A . Находим U abxx I 1 R3 I 2 R4 8 4 4 В . 2. Находим входное сопротивление R1 R 2 эквивалентного генератора: I1 I2 J a R3 A b R4 Uab Рис.3.18 Rвх R1 R2 R3 R4 R1 R2 R4 R3 3 Ом . 3. Так как амперметр имеет нулевое внутреннее сопротивление: IA U abxx Rвх 4 A. 3 3.8. Контрольные вопросы 1. Дайте формулировку принципа наложения в линейной электрической цепи. 2. Как следует поступать при исключении источников в цепи, используя принцип наложения ? 3. Дайте формулировку теоремы взаимности. 4. Какиет электрические цепи называют обратимыми и какие необратиными ? 5. Как можно измерить входные и взаимные проводимости ветвей электрической цепи ? 6. Какая связь существует между входной и взаимными проводимостями ветвей ? 7. Дайте формулировку теоремы о компенсации. 8. Даййте формулировку теоремы об эквивалентном генераторе. 9. Когда следует применять метод эквивалентного генератора ? 10. Назовите последовательность расчета тока в ветви методом эквивалентного генератора. 12. Назовите условие согласования нагрузки с генератором, при котором в нагрузку передается наибольшая мощность. 13. Как рассчитать наибольшую мощность, которую можно передать в нагрузку? 14. Что называют коэффициентом полезного действия (КПД) активного двухполюсника ? 15. Как рассчитать КПД активного двухполюсника? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 52 Глава 4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Постановка задачи Преобразованием (свёрткой) цепи называют совокупность операций, приводящих электрическую цепь к простейшему виду. Часть цепи, подлежащую преобразованию и связанную с остальной цепью в двух и более точках, представляют в виде многополюсников. Виды многополюсников Двухполюсник Трехполюсник Четырехполюсник Многополюсник Многополюсники называются эквивалентными, если при замене одного многополюсника другим, напряжения и токи во внешней цепи не изменятся. 4.1. Преобразование пассивных цепей П о с ле д о ва те л ьн о е с о е д и н е н и е р е зи с то р о в В цепи рис.4.1 по второму закону Кирхгофа входное напряжение равно сумме паданий напряжений на пассивных резисторах: U IR1 IR2 IR3 ... IRn IRэ (4.1) Делим левую и правую часть уравнения (4.1) на ток I . Получим формулу для эквивалентного сопротивления последовательного соединения резисторов: I U U1 U2 R1 R2 U3 Un R3 Rn I Rэ Рис.4.1 n Rэ Rk (4.2) k 1 Делитель напряжения позволяет получить часть от входного напряжения. В цепи рис.4.2: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 53 I U2 R1 IR2 U1R2 R1 R2 (4.3) U1 U2 R2 Рис.4.2 П а р а л ле льн о е вк л юч е н и е р е зи с то р о в В цепи рис.4.3 по первому закону Кирхгофа: I I1 I2 ... I n (4.4) I U R1 I1 I2 R2 R3 I3 In Rn Рис.4.3 На всех резисторах действует одно и то же напряжение U . Выразим токи через это напряжение и проводимости: UGэ UG1 UG2 ... UGn (4.5) Получим формулу для эквивалентной проводимости параллельного соединения резисторов: Gэ G1 G2 ... Gn (4.6) Если параллельно включены всего два резистора, то: Gэ G2 1 R1 1 R2 R1 R2 R1R2 . Следовательно, при параллельном соединении двух резисторов (рис.4.4) I I1 G1 I2 Rэ U R1 Рис.4.4 R2 R1R2 R1 R2 (4.7) Делитель токов позволяет получить в нужной ветви часть от входного тока. В схеме рис.4.4: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 54 I2 U R2 I R1R2 1 R1 R2 R2 I R1 R1 R2 (4.8) Полезно запомнить правило деления токов: Ток в одной из двух ветвей равен общему току, умноженному на сопротивление другой ветви и деленному на сумму сопротивлений двух ветвей. Смешанное соединение В смешанном соединении есть участки с последовательным и параллельным соединением. Свёртку начинают с наиболее удалённых участков цепи. П р им е р 4 .1 Найти входное сопротивление цепи рис.4.5. 1. Сначала заменим параллельное соRэ2 4 Ом c единение резисторов R3 , R4 , R5 эквивалента ным. Находим эквивалентную проводимость R2 R и эквивалентное сопротивление: R5 R1 123 R4 Rэ в 6 Ом Ом R э1 12 Ом 3 Ом Рис.4.5 Gэ1 Rэ1 1 12 1 12 2 Ом . 2. Резистор но с 1 3 R2 3 6 1 См , 2 включен последователь- Rэ1 . Находим Rэ2 4 2 6 Ом . 3. Резистор R1 включен параллельно с Rэ2 . Находим входное сопро- тивление: Rэ 6 6 6 6 3 Ом . П р е о б р а зо ва н и е з ве зд а – тр е уг о л ьн и к Звездой называют три или более ветвей, соединенных в общем узле 0 (рис.4.6а). Ветви называют лучами звезды. В расчетах бывает нужно устранить внутренний узел звезды. Для этого трехлучевую звезду заменяют эквивалентным треугольником (рис.4.6б). Звезда и треугольник эквивалентны, если внешние токи и напряжения одинаковы. Для преобразования звезды в эквивалентный треугольник требуется, чтобы проводимости сторон треугольника определялись через проводимости лучей звезды по следующим формулам: G12 G1G2 , G23 G1 G2 G3 G2G3 , G31 G1 G2 G3 G3G1 (4.9) G1 G2 G3 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 55 1 I1 U31 R1 R3 I3 I1 U12 R2 U12 U31 R31 I2 R12 R23 I3 U23 3 1 I2 3 2 а) 2 U23 б) Рис.4.6 Правило1 Проводимость стороны треугольника равна произведению проводимостей лучей звезды, подсоединенных к тем же внешним полюсам, деленному на сумму проводимостей всех лучей. Из (4.9) получим формулы для расчета сопротивлений сторон треугольника: R12 R1 R1R2 , R13 R3 R2 R1 В равносторонней звезде R1 R1R3 , R23 R2 R3 R2 R2 R3 R2 R3 (4.10) R1 R3 и R∆=3RY. П р е о б р а зо ва н и е тр е уг о л ьн и к - зве зд а Это преобразование также бывает полезным для расчета цепей. Звезда (рис. 4.6а) будет эквивалентна треугольнику (рис.4.6б), если сопротивления лучей рассчитать по формулам: R1 R12 R12 R13 R12 R23 R2 R13 R23 , R12 R13 R23 , R13 R23 R3 R12 R13 R23 (4.11) Правило 2 Сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений исходного треугольника, подсоединенных к тому же узлу, деленному на сумму всех сопротивлений треугольника. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 56 1 1 R1 R13 R12 R3 R23 3 2 а) R2 б) 3 2 Рис.4.6 П р им е р 4 .2 . Для цепи рис.4.7а рассчитать входное сопротивление. 1 R13 1 R12 Rвх =? R1 20 20 R2 R23 10 3 Rвх =? 2 R34 R3 2 3 R24 10 R34 10 4 а) R24 б) Рис.4.7 Схема рис.4.7а называется мостом. Входное сопротивление можно найти, если преобразовать треугольник в звезду (рис.4.7б). По формулам (4.11) вычисляем: R1 20 20 20 20 10 8Ом , R2 20 10 20 20 10 R3 20 10 20 20 10 4Ом , 4Ом . Рассчитаем последовательное соединение резисторов: R2 R34 R3 R24 14 Ом . Параллельное соединение ветвей с этими резисторами имеет сопротивление: Rэ1 14 14 14 14 7Ом . Искомое входное сопротивление Rвх R1 Rэ1 15 Ом . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 57 4.2. Преобразование активных цепей В за и м н о е п р е о б р а зо ва н и е и с то ч н и к о в н а п р я ж е н и я и и с то ч н и к о в то к а Правила эквивалентной замены источника напряжения на источник тока и наоборот были рассмотрены в первой главе. Преобразование (рис.4.8) будет эквивалентным, если выполняются условия (1.11). RИН J= E RИН E=JRин RИТ=RИН Рис.4.8 П о с ле д о ва те л ьн о е с о е д и н е н и е и с то ч н и к о в н а п р я ж е н и я I E1 R1 E2 R2 1 1 Eэ En U Rэ Rn 2 2 а) Рис.4.9 б) В исходной схеме рис.4.9а сгруппируем все источники напряжения, выбрав произвольно направление результирующего ИН. Напряжение эквивалентного ИН находят по формуле: n Eэ Ek , (4.12) k 1 где знак плюс берут у источников напряжения, совпадающих по направлению с эквивалентным. Сопротивление эквивалентного ИН находят по формуле: n RЭ Rn (4.13) k 1 П а р а л ле льн о е с о е д и н е н и е и с то ч н и к о в то к а В исходной схеме рис.4.10а сгруппируем вместе источники тока и внутренние сопротивления (рис.4.10б). Направление результирующего тока в схеме рис.4.10б J э должно соответствовать направлению искомого эквивалентного ИТ. По первому закону Кирхгофа находим ток эквивалентного источника тока: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 58 Jэ J1 J2 J3 (4.14). Знак плюс в формуле (4.14) берут у источников тока, совпадающих по направлению с эквивалентным ИТ (рис.4.10в). Находим эквивалентное сопротивление: 1 (4.15), Rэ Gэ где: Gэ G1 G2 G3 (4.16) 1 J1 R1 J 2 R2 J 3 R3 2 а) 1 1 Jэ J1 J2 J3 R1 R2 R3 Jэ Rэ 2 2 в) б) Рис.4.10 Параллельное соединение источников напряжения В исходной схеме рис.4.11а параллельное соединение ИН представим активным двухполюсником и заменим его эквивалентным генератором. Найдем по методу двух узлов напряжение на зажимах двухполюсника в режиме холостого хода: U12 1 E1G1 E2G2 E3G3 G1 G2 G3 Активный двухполюсник E1 U12 2 E2 R1 R2 1 Eэ E3 R3 а) (4.17) Eэ Rэ 2 б) Рис. 4.11 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 59 Эквивалентную входную проводимость активного двухполюсника найдем по формуле: Gэ G1 G2 G3 Эквивалентное сопротивление: Rэ (4.18) 1 (4.19) Gэ В результате получим эквивалентную схему рис.4.11.б. П о с ле д о ва те л ьн о е с о е д и н е н и е и с то ч н и к о в то к а J1 J2 J3 1 1 Rэ R1 R2 Jэ Rn 2 2 а) Рис.4.12 б) Для расчета параметров эквивалентной схемы рис.4.12б сначала надо преобразовать в схеме рис.4.12б источники тока в источники напряжения, найти эквивалентный источник напряжения и преобразовать его в источник тока. В результате для схемы рис.4.12б получим: n J k Rk Jэ k 1 (4.20) Rk n RЭ Rn (4.21) k 1 В формуле (4.20) знак «+» берут у источников тока, совпадающих по направлению с эквивалентным. Вывод: При любом соединении источников тока или источников напряжения можно найти их общий эквивалент в виде одной из схем (рис.4.13): Rин E J Rит Рис.4.13 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 60 4.3. Правило переноса источника напряжения через узел 1 1 1 E1 E1 V А Б E 2 E E E 2 2 E E h а) 3 h б) 3 h в) E 3 Рис.4.14 В первой ветви исходной схемы рис.4.14а включен источник напряжения E1 , направленный от узла А. Окрестность узла А, обведенная пунктиром, не содержит источников напряжения. Такой узел А называют «пустой узел». В схеме рис.4.14б в каждой ветви включены дополнительные источники E E1 , направленные к узлу Б. Окрестность узла Б с источниками напряжения обведем пунктиром и будем рассматривать как многополюсник. Если все ИН равны, то напряжения между любыми зажимами многополюсника будут равны нулю. Следовательно, узел Б можно считать «пустым узлом», эквивалентным узлу А. Значит, исходная схема рис.4.14а эквивалентна схеме рис.4.14в, в которой источник напряжения перемещен через узел во все другие ветви, присоединенные к этому узлу. Правило Источник напряжения можно перенести через узел во все другие ветви, присоединенные к данному узлу, без изменения токов в схеме. 4.4. Правило размножения источников тока В исходной схеме рис.4.15а требуется устранить узлы 2 и 4. В идеальном источнике тока ток постоянный по величине и не зависит от внешней цепи. Последовательное соединение двух одинаковых по величине источников тока (рис.4.15б) эквивалентно одному ИТ. В схеме рис.4.15б соединим узлы 3 и 3’перемычкой. Ток в перемычке равен нулю, так как по первому закону Кирхгофа J J I 0 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 61 Расщепим перемычку 3-3’ на две с токами J (рис. 4.15в) и преобразуем источники тока с параллельными резисторами R2 и R3 в источники напряжения. Получим эквивалентную схему рис.4.15г, в которой устранены узлы 2 и 4. R4 а) 2 2 J R2 R5 3 J 3' R2 R1 1 R4 б) R1 4 R3 3 1 R4 г) J 2 R2 J J R1 1 4 R3 R6 R4 R2 R5 I=0 R6 в) J R5 J 3 R3 4 R1 1 R6 JR2 3 R6 JR3 R5 R3 Рис.4.15 Правило Идеальный источник тока может быть заменён несколькими равными по величине источниками тока, подключёнными параллельно всем ветвям, которые составляют контур с исходным источником тока (рис.4.16). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 62 J R1 R2 R3 J J J R1 R2 R3 Рис.4.16 4.5. Контрольные вопросы 1. Что называют преобразованием или сверткой цепи ? 2. Как рассчитать эквивалентное сопротивление при последовательном соединении резисторов ? 3. Как работает делитель напряжения на резисторах ? 4. Как рассчитать эквивалентную проводимость при параллельной соединении резисторов ? 5. Как работает делитель токов на двух резисторах ? 6. Как рассчитать проводимость стороны треугольника в проебразовании звезда-треугольник ? 7. Как рассчитать сопротивление луча звезды в преобразовании треугольник-звезда ? 8. Как найти эквивалентную схему при последовательной соединении источников напряжения ? 9. Как найти эквивалентную схему при параллельном соединении источников тока ? 10. Как найти эквивалентную схему при параллельном соединении источников напряжения ? 11. Сформулируйте и объясните правило переноса источника напряжения через узел. 12. Сформулируйте и объясните правило размножения источников тока. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 63 Глава 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ 5.1. Гармонические сигналы и их характеристики В линейной электрической цепи процессы описываются линейными интегро-дифференциальными уравнениями, которые справедливы для любой формы сигналов. Так для цепи рис.5.1 по второму закону Кирхгофа можно составить уравнения: i(t) uR (t) uR L e(t) uC e(t) (5.1) или L R uL C uC (t) iR di L dt 1 C t idt e(t) (5.2) Рис.5.1 Для гармонического сигнала применяют упрощённый метод расчёта, не требующий решения интегро-дифференциального уравнения. Он называется символический метод расчёта цепей гармонического тока и использует параметры (символы) гармонической функции. Гармонический сигнал Гармоническими сигналами называют синусоидальные и косинусоидальные функции одной частоты. В радиотехнике традиционно используют косинусоидальные функции. В электротехнике мы будем применять синусоидальные гармонические функции. Мгновенные значения синусоидальных функций тока и напряжения записывают так: i(t) I m sin( t  I ) , u(t) U m sin( t ΨU ) . (5.3) Характеристиками (параметрами) гармонического сигнала являются угловая частота  , амплитуда ( I m ,U m ) и начальная фаза ( I , U ). В цепи гармонического синусоидального тока во всех ветвях угловая частота ω известна. Неизвестны и подлежат определению амплитуды и фазы сигналов I m ,Ψ I и U m ,ΨU . Каждый ток и напряжение можно охарактеризовать амплитудой и начальной фазой и все расчёты вести только для амплитуд и фаз гармонической функции. Амплитуда и фаза– это символы, характеризующие гармоническую функцию. Подставив их в общее выражение (5.3) с известной частотой  , всегда можно найти мгновенное значение функции. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 64 Пример 5.1 450 . Известна  2 A,  Рассчитаны: I m 2 sin( 103 t Находим: i( t ) 1 103 . c 450 ) А. 5.2. Оператор поворота Рассмотрим комплексную экспоненци+j jΦ j + 1 альную функцию e . По формуле Эйлера e jΦ Ф cos Φ j sin Φ (5.4) Модуль этой комплексной величины -1 1 +1 e jΦ cos 2 Φ sin2 Φ 1 (5.5) Аргумент -j arg e jΦ Рис.5.2 arctg sin Φ cos Φ Φ (5.6) На комплексной плоскости (рис. 5.2) комплексная функция (5.4) изображается вектором единичной длины, повернутым относительно оси +1 против часовой стрелки на угол Φ . ФункjΦ цию e называют оператором поворота, так как при изменении Φ , изображающий ее вектор поворачивается на комплексной плоскости (рис.5.2). Найдем положения единичного вектора для нескольких значений Φ : Φ 0, e j0 Φ π, e j180 cos 0 j sin 0 1, -1, Φ Φ π , e j 90 j, 2 .(5.7) π , e j 90 j 2 5.3. Символическое представление гармонической функции Рассмотрим гармоническую функцию тока i(t) I m sin( t  I ) , в которой: I m - амплитуда;  (5.8) - угловая частота;  I - начальная фа- за. Обозначим текущую фазу гармонической функции ( t ) t  I (5.9) Подставим текущую фазу в оператор поворота и получим вращающийся вектор: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 65 e j ( t ) cos ( t ) j sin ( t ) . (5.10) Умножим оператор поворота на амплитуду I m и получим комплексную функцию времени для тока: i(t ) I me j ( t ) I m cos ( t ) jI m sin ( t ) (5.11). В расчетах мы ищем мгновенное значение тока, которое равно мнимой части комплексной функции времени: i(t) I m sin( t I ) I m sin ( t ) Jm i ( t ) . (5.12) Следовательно, вычислив комплексную функцию времени, мы всегда сможем найти мгновенное значение гармонической функции. Введем важные определения составляющих комплексной функции времени i(t ) I me j ( t ) I m e j ( t I ) I me j I e jt (5.13). Здесь: Im I me j I - комплексная амплитуда (КА) гармонической функции, не зависит от времени и является «символом» гармонической функции; I me j I I m - модуль комплексной амплитуды, амплитуда гармо- нической функции; I - фаза комплексной амплитуды, равная начальной фазе гармонической функции; e jt - оператор поворота. Для обозначения комплексной амплитуды мы будем применять подчеркивание буквы Im . Построим вращающийся вектор, отображающий функцию комплексной плоскости (рис.5.3). В момент I me j I I m cos I j I m sin I . В момент I me j I e jt1 . При этом вектор повернется на угол t1 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 t i(t ) на t 0 t1 получим 66 Рис.5.3 Сделаем выводы: 1. Гармоническая функция i(t) I m sin( t  I ) представляется на комплексной плоскости вектором, вращающимся с частотой  . Длина вектора I m , начальная фаза  I , текущая фаза ( t ) t  I . 2. Проекция вектора на ось +j даёт гармоническую синусную функцию. 3. Векторы гармонических функций одной частоты вращаются с одинаковыми угловыми скоростями и их положение относительно друг друга неизменно и соответствует моменту t 0 . Поэтому расчёт комплексных амплитуд тока и напряжения полностью определяет режим цепи в любой момент времени. 5.4. Формы записи комплексной амплитуды (КА) Комплексную амплитуду можно записать в трех формах: 1. Am 2. Am Am Ame j  - показательная форма; Am cos  jAm sin  - тригонометрическая форма; a jb - алгебраическая форма. 3. В показательной форме удобно выполнять умножение и деление комплексных амплитуд. В алгебраической форме делают сложение и вычитание КА. В процессе вычислений часто приходится делать переход от алгебраической формы записи КА к показательной. Пусть задано: Am a jb . Находим модуль комплексной амплитуды Am a jb a2 b2 и фазу В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.14) 67  b a arctg (  ). (5.15) В формуле (5.15) для векторов КА, расположенных во втором и третьем квадранте комплексной плоскости, к значению arctg бавить или вычесть  . В результате получим: b2 e j  . a2 Am b надо приa (5.16) П р им е р 5 .2 Дано: Am 1 j1. Находим: Am  arctg ( 1 1 2, 450 1800 1 ) 1 2250 , 2e j 225 . Am П р им е р 5 .3 Полезные формулы: Произведение комплексно-сопряженных чисел: (a jb )( a jb ) a2 b2 . (5.17) Избавление от комплексного числа в знаменателе 1 a jb a jb jb )( a (a jb ) a jb 2 2 a b (5.18) П р им е р 5 .4 Дано мгновенное значение тока i( t ) 20 sin( t Найти комплексную амплитуду. Запишем комплексную функцию времени: i(t ) 20e j ( t 45o ) 20e j 45o jt e 45o ) . . Находим комплексную амплитуду: Im 20e j 45o . Важное требование Для правильного учёта фаз все исходные гармонические функции следует преобразовывать к одному виду, а именно к синусу: cos( t ) sin( t  900 ) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.19) 68 5.5. Сложение гармонических функций одной частоты Пусть даны два гармонических напряжения одной частоты u1( t ) U m1 sin( t 1 ) и u2 ( t ) U m2 sin( t  2 ) . От мгновенных значений напряжений перейдем к комплексным амплитудам U m1 U m1e j1 и U m2 На комплексной плоскости (рис.5.4) комплексные амплитуды задают для момента времени t 0 положения вращающихся векторов, изображающих гармонические функции. Сложим комплексные амплитуды: +j Um2 Um t Um1 Рис.5.4 U m2e j 2 . +1 Um U m1 U m2 U me j . (5.20) Полученная комплексная амплитуда определяет положение результирующего вектора суммы двух гармонических функций. От комплексной амплитуды перейдем к мгновенному суммы: u( t ) U m sin( t  ) . значению (5.21) Важное замечание Сложение комплексных амплитуд возможно только для функций одной частоты, когда изображающие вектора вращаются с одной скоростью. 5.6. Гармонический ток и напряжение в резисторе i(t) R u(t) Рис.5.5 Гармонический ток i( t ) I m sin( t  I ) проходит через резистор (рис.5.5). Найти напряжение на резисторе u(t). Вместо мгновенного значения тока возьмем комплекс- ную функцию времени для тока i ( t ) I me j I e jt . Находим комплексную функцию времени для напряжения: uR ( t ) Ri ( t ) RI me j I e jt Разделим уравнение (5.22) на U mR e jU e jt U mRe jU e jt (5.22) и получим: RI me j I . (5.23) В итоге получаем следующие выражения для гармонического тока и напряжения на резисторе: для комплексных амплитуд напряжения и тока на резисторе: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 69 U mR RIm ; (5.24) RI m ; (5.25) для модулей (амплитуд): U mR для фаз: U I . (5.26) В формуле (5.23) активным сопротивлением цепи называют R . После расчета комплексной амплитуды находим мгновенное значение напряжения на резисторе: uR ( t ) RI m sin( t I ) . Векто рная диагр амма +j Im U mR  I U +1 Векторной диаграммой называют совокупность векторов напряжений и токов, построенных из начала комплексной плоскости с соблюдением взаимной ориентации. На рис.5.6 показана векторная диаграмма тока и напряжения на резисторе. Рис.5.6 В а ж н о е п р а в и л о : напряжение на резисторе совпадает по фазе с током ( U  I ) и амплитуда U mR RI m . П р им е р 5 .5 . Jm В схеме рис.5.7а с источником гармонического тока с амплитудой 10 мА и с частотой f 159 ,155 Гц рассчитать мгновенное зна- чение напряжения на резисторе R1 2 Ом . Выполнить моделирование схемы рис.5.7а и сравнить полученные графики рис.5.7б с результатами расчета. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 70 5.7. Гармонический ток и напряжение в индуктивности Гармонический ток i( t ) I m sin( t  I ) проходит через индуктивность L (рис.5.8). Надо найти напряжение на индуктивности: i(t) L u(t) Рис.5.8 uL ( t ) di . dt (5.27) Как и в случае с резистором, заменим гармоническую функцию тока комплексной функцией времени I me j I e jt и подставим ее в (5.27): i(t ) uL ( t ) L d ( I me j  I e jt ) L dt di ( t ) L dt  LI me j (  I 90o ) jt j LI me j  I e jt U me jt e U me jU e jt . Здесь мы учли, что в комплексной функции времени ренцируется по времени только e jt и что множитель j (5.28) i(t ) диффе- o e j 90 . Из (5.28) получаем следующие выражения для гармонического тока и напряжения на индуктивности: для комплексных амплитуд: j LIm U mL Z L Im ; (5.29) для амплитуды напряжения: U mL  LI m ; (5.30) для фаз: je j  I e j 90 e j  I e j( I U 900 ) I e j U ; (5.31) 900 . (5.32) В формуле (5.29) комплексным сопротивлением индуктивности называют ZL j L  Le j 90o jX L ; (5.33) реактивным сопротивлением индуктивности (индуктивным сопротивлением) называют X L L . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.34) 71 Индуктивное L 1 Ом с с сопротивление измеряется в омах: Ом Мы видим, что с увеличением частоты  реактивное сопротивление индуктивности увеличивается прямо пропорционально частоте. После расчета комплексной амплитуды напряжения находим мгновенное значение: uL ( t )  LI m sin( t I 90o ) . (5.35) Векторная диаграмма тока и напряжения на индуктивности показана на рис.5.9 U mL +j + 90 U o Im I Рис.5.9 +1 В а ж н о е п р а в и л о : напряжение на индуктивности опережает ток на 90о и амплитуда U mL  LI m . П р им е р 5 .6 В схеме рис.5.10а с источником гармонического тока J m 1А на частоте f 159 ,155 Гц рассчитать мгновенное значение напряжения на индуктивности L 2 мГн . Выполнить моделирование схемы рис.5.10а и сравнить полученные графики рис.5.10б с результатами расчета. 5.8. Гармонический ток и напряжение в емкости В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 72 К емкости С (рис. 5.11) приложено гармониче- i (t) ское напряжение uc ( t ) U mC буется найти ток в емкости С iC ( t ) u(t) Рис.5.11 C sin( t U ) . duC . dt Тре- (5.36) Заменим напряжение на емкости комплексной функцией времени: U mC e j U e jt . uc ( t ) (5.37) Вычислим комплексную функцию времени для тока: i(t ) C d U mC e j U e jt dt Разделим (5.38) на jCU mC e j U e jt I me j  I e jt . (5.38) e jt : jCU mC e j U I me j  I jCU mC Im . (5.39) Из (5.39) получаем следующие выражения для гармонического тока и напряжения на емкости: для комплексных амплитуд: U mC 1 Im jC j 1 I C m Z C Im ; (5.40) для амплитуды напряжения и тока: 1 Im ; C U mC для фаз: U I (5.41) 90o . (5.42) В формуле (5.40) комплексным сопротивлением емкости называют Zc j 1 C jX C ; (5.43) реактивным сопротивлением емкости (емкостным сопротивлением) называют XC 1 . C Емкостное сопротивление измеряется в омах: (5.44) 1 C с Ом с Ом . С увеличением частоты  реактивное сопротивление емкости уменьшается обратно пропорционально частоте. Мгновенное значение напряжения на емкости рассчитываем по формуле: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 73 uC ( t ) 1 I sin( t C m I 90o ) . (5.45) Векторная диаграмма тока и напряжения на емкости показана на рис.5.12. +j Im -90o +1 UmC Рис.5.12 В а ж н о е п р а в и л о : напряжение на емкости отстает от тока на 90о и амплитуда U mC 1 I . C m П р им е р 5 .7 В схеме рис.5.13а с источником гармонического напряжения U m 1 В на частоте f 159 ,155 Гц рассчитать мгновенное значение тока в емкости C 1 мФ . Выполнить моделирование схемы рис.5.13а и сравнить полученные графики рис.5.13б с результатами расчета. 5.9. Комплексное сопротивление цепи В цепи рис.5.14 резистор, индуктивность и емкость соединены последовательно и подключены к источнику напряжения e( t ) . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 74 i(t) R L L R u(t) e(t) uC (t) C Рис.5.14 Для сигнала произвольной формы уравнение Кирхгофа записывают так: uR uL uC по второму закону e(t) u( t ) (5.46). Перепишем это уравнение в интегро-дифференциальной форме: di L dt iR t 1 C idt u( t ) . (5.47) Если в цепи действует гармонический источник напряжения Em sin( t  E ) U m sin( t U ) , e(t) (5.48) мы можем подставить в (5.47) комплексную функцию времени для тока, перейти к комплексным амплитудам и записать уравнение в символической форме: U mR U mL U mC j LIm RIm j где Z R j L j 1 C R jX L 1 I c m jX C R Im Z jX Um, Ze j (5.49) (5.50) комплексное сопротивление цепи (КС). Из формулы (5.49) получим: Z Um Im U me j U I me Ze j . j I (5.51) Модуль комплексного сопротивления (полное сопротивление цепи на переменном токе): Z Z Um Im R2 X2 ; (5.52) аргумент комплексного сопротивления:  U I arctg В тригонометрической форме записи: X ; R В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.53) 75 Z cos  Z jZ sin (5.54) Активное сопротивление цепи R является действительной частью комплексного сопротивления и всегда положительно. Реактивное сопротивление цепи X XL L XC ется мнимой частью комплексного сопротивления. X 1 являc ωL = XL Реактивное сопротивление индуктивности X L  L 0 . Реактивное сопротивление емкости XC =1/ω C XC ωo ω Рис.5.15 X 1 c 0. Реактивное сопротивление цепи X L X C может быть положительным или отрицательным. На рис.5.15 показаны зависимости реактивных сопротивлений индуктивности и емкости от частоты. На частоте 0 индуктивное сопротив- ление становится равным емкостному и реактивное сопротивление цепи X 0. Треугольник сопротивлений Комплексное сопротивление +j Z R2 Z X 2 e j можно изобразить на комплексной плоскости (рис.5.16). Активное сопротивление отложе+1 но по оси +1, реактивное сопротивление отложено по R оси +j. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна Рис.5.16 φ +jX модулю комплексного сопротивления Z R2 X2 . Угол треугольника:  arctg X R arctg o Причем выполняется условие: ( 90 Если XL XL XC R  90o ) . X C , реактивное сопротивление X o тивный характер, то 0  . 0 и имеет индук- 90o . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 76 XL Если ной характер, то X C , реактивное сопротивление X  90o 0 и имеет емкост- 0o . 5.10. Символический метод расчёта Символическим методом называют расчёт цепей гармонического тока с использованием комплексных амплитуд и комплексных сопротивлений. Для расчета символическим методом схему цепи для мгновенных значений (рис.5.14) заменяют символической схемой замещения рис.5.17а или рис.5.17б. Im R Im jω L Em Um Em Z -j1/ω C а) Рис.5.17 б) В схеме рис.5.17а источник напряжения с комплексной амплитудой Em включен последовательно с активным сопротивлением R , комплексj L и комплексным сопроным сопротивлением индуктивности Z L тивлением емкости ZC j 1 . C В схеме рис.5.17б использовано общее комплексное сопротивление 1 . Комплексную амплитуду тока в схеме C Em рис.5.17б находим по формуле: Im . Z цепи Z R j L j Пример 5.8. Найти полное сопротивление цепи рис.5.18. R=4 Ом XL = 5 Ом Для элементов цепи рис.5.18 заданы: активное сопротивление R 4 Ом , индуктивное сопротивле- ние X L 5 Ом , емкостное сопроX = 2 Ом C Рис.5.18 тивление X C 2 Ом . Полное соВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 77 противление равно модулю комплексного сопротивления цепи. Находим комплексное сопротивление (КС): Z R j( X L XC ) 4 j( 5 2 ) 4 j3 Ом. Находим модуль КС и полное сопротивление цепи: Z 16 9 5 Ом Z . Найдем также аргумент КС:  arctg Запишем КС в показательной форме: Z X R 3 4 arctg 370 . 5e j 37 . 5.11. Векторная диаграмма тока и напряжения в неразветвлённой цепи Напомним, что векторной диаграммой называется совокупность векторов напряжения и токов, построенных из начала комплексной плоскости с соблюдением взаимной ориентаI m -j1/ωC ции. Для построения векторной диаграммы надо сначала рассчитать комплексные амплитуды всех токов и напряжений в цепи, U mC jωL Em U mL которые и определяют положения векторов токов и напряжений на комплексной R плоскости. Пусть в цепи рис.5.19 задано e( t ) Em sin( t  E ) . Выполним U mR расчет символическим методом. Рис.5.19 Переходим к комплексной амплитуде напряжения: E m Рассчитываем реактивные сопротивления: XL L, Xc Находим комплексное сопротивление цепи: Z R jX 1 . c j( X L Xc ) X 2 , аргумент  R2 Модуль КС: Z R Eme j  E . Ze j . arctg Находим комплексную амплитуду тока: Im Em Z Начальная фаза тока: E me j  E Ze I j U m j(  E e Z ) E  . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.55) X . R I me j  I . (5.56) 78 Вычислим комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи: U mR U mC I m R e j I ; U I mR 1 j I c m jX L I m mL 1 I me j (  I c 900 )  LI me j (  I 900 ) ; . На комплексной плоскости рис. 5.20 с учетом масштабов по вычисленным комплексным амплитудам строим векторы токов и напряжений. +j 1В UmL UmL UmC 1А Em φ +90 o ImR UmR ψ I -90o +1 UmC Рис.5.20 5.12. Резонанс напряжений Резонансом напряжений (последовательным резонансом) называется режим работы пассивной цепи, при котором ток на входе цепи по фазе совпадает с напряжением и сопротивление становится чисто активным. Резонанс напряжений возникает в цепи с последовательным соединением индуктивности и емкости (рис.5.19). В цепи рис.5.19 будем считать начальную фазу источника напряжения  E 0 . По формуле (5.56) запишем: Im Um Z Um R 2 ( XL Um 2 XC ) R2 ( L . (5.57) 1 2 ) C Получили зависимость амплитуды тока от частоты, которую называют амплитудно-частотная характеристика тока (АЧХ). Фазо-частотная характеристика тока (ФЧХ) – это зависимость фазы тока от частоты: I  = arctg L R 1 C . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.58) 79 На рис.5.15 было показано, что на некоторой частоте 0 индуктивное сопротивление становится равным емкостному сопротивлению: XL 1 . 0C X C , 0 L (5.58) Частота 0 называется резонансной и равна: 1 0 . (5.59) LC На резонансной частоте эквивалентное реактивное сопротивление цепи: XЭ XL XC 0, (5.60) 0; (5.61) Аргумент комплексного сопротивления:  arctg XЭ R сопротивление цепи уменьшается до минимального значения и становится чисто активным: Z R. (5.62) Ток в последовательной цепи рис.5.19 на резонансной частоте становится максимальным и равным: I mрез Um . R (5.63) П р им е р 5 .9 В последовательной цепи рис. 5.21 C1 R1 20 Ом , L1 47 нФ . 10 мГн , Амплитуда генератора напряжения равна 1 В. Найти резонансную частоту тока. По формулам (5.57) и (5.58) рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ тока. Выполнить моделирование схемы рис.5.21 в режиме Analysis - AC Analysis-- AC Transfer Characteristic и получить графики АЧХ и ФЧХ и сравнить их с расчетными. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 80 П р им е р 5 . 1 0 . На резонансной частоте, рассчитанной в примере 5.9, выполнить моделирование схемы рис.5.22 в режиме Analysis-- Transient. Получить графики напряжений на резисторе, индуктивности и емкости. Объяснить вид графиков. 5.13. Расчёт напряжения и токов при параллельном соединении R,L,C В схеме рис.5.23 задано входное напряжение u( t ) U m sin( t U ) и параметры параллельно соединенных элементов R , L и C . Требуется найти токи в ветвях и входной ток. Для мгновенных значений тока в узле a выполняется первый закон Кирхгофа: i iR iL iC . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 81 Im i Um ImR iR R a I mL iL jωL ImC iC -j1/ωC b Рис.5.23 Для гармонического тока первый закон Кирхгофа действует и для комплексных амплитуд тока: Im ImR ImL ImC . (5.64) Выразим комплексные амплитуды токов через комплексную амплитуду напряжения U m Im Um R U me j U и комплексные сопротивления ветвей: Um j L Um 1 j C Um Z вх U mY . (5.65) На рис.5.24 показана векторная диаграмма токов и напряжения в цепи. +j ImL- ImC ImC φ Im ImL ImR  U Um +1 Рис.5.24 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 82 Комплексная проводимость Разделим (5.65) на U m и получим выражение для комплексной проводимости параллельного соединения элементов R,L,C: 1 Z вх Y 1 R j 1 L 1 R jC j( 1 L C ) g jb ..(5.66) В этом выражении: g= b 1 - активная проводимость цепи; R 1 bL - bC -C - реактивная проводимость (может быть поL ложительной, отрицательной и равной нулю); 1 - реактивная проводимость индуктивности; ωL bL bC Y C - реактивная проводимость емкости; ye-j - комплексная проводимость; g 2 b2 - полная проводимость, равная модулю комплексной y проводимости;  arctg b - аргумент комплексной проводимости. g П р а в и л о : При параллельном соединении суммируются комплексные проводимости ветвей: Y вх Y1 Y2 Y3 . 5.14. Переход от сопротивления к проводимости Пусть задано комплексное сопротивление ветви Z аргумент  Z arctg R X . R Найдем проводимость ветви: Y 1 Z 1 R R R2 X2 jX -j (R X R2 X2 R - jX jX)(R - jX) g - jb R - jX ye R2 X 2 jY Здесь: R активная проводимость: g R 2 X 2 ; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 ; jX . Его 83 X реактивная проводимость: b R2 X2 ; аргумент комплексной проводимости: Y arctg b g arctg X R Z . 5.15. Резонансом токов Резонансом токов (параллельным резонансом) называют режим работы параллельной цепи, в котором реактивные проводимости ветвей компенсируют друг друга ( b bL bC 0 ), входная проводимость цепи становится чисто активной Y вх Y рез g рез 1 и входной ток R рез совпадает по фазе с напряжением. На частоте параллельного резонанса b bL bC 0 1 0 L выполняется условие: 0C 0, (5.67) и, следовательно, резонансная частота 0 1 . (5.68) LC Напряжение на зажимах параллельной цепи при резонансе равно: Im U mрез ImL Um jωL ImC -j1/ ωC Рис.5.25 Imрез Yр Imрез R рез (5.69) В цепи рис.5.25 без потерь ( g 0 ) при параллельном резонансе резонансная проводимость Yр j( bL - bC ) 0 , а входное сопротивление в цепи без потерь при параллельном резонансе становится бесконечно большим: Zвх jX L ( jX C ) jX L jX C jX L ( jX C ) П р им е р 5 .1 1 В схеме рис.5.26 действует гармонический источник тока IG1 с амплитудой 1 мА. Найти частоту параллельного резонанса по формуле (5.68). На резонансной частоте вычислить резонансное сопротивление, напряжение на зажимах цепи и токи в ветвях. Построить графики токов и В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 84 напряжения. Выполнить моделирование и сравнить полученные графики токов с расчетными графиками. IL IR IC U Рис. 5.26 Выводы. При параллельном резонансе напряжение на входе цепи совпадает по фазе с входным током. Ток в индуктивности опережает входной ток на 90o. Ток в емкости отстает от входного тока на 90o и равен по модулю току в индуктивности. В результате ток в емкости компенсирует ток в индуктивности, входной ток равен току в резисторе. 5.16. Основные законы цепей в символической форме О б о б щ е н н ы й за к о н О м а : В U mab Z символической Im Em1 Em2 . схеме замещения рис.5.27: В общем случае обобщенный закон Z b Ома формулируется так: a Комплексная амплитуда тока на участке цепи равна комплексной амплиUm туде напряжения на этом участке, взяРис.5.27 той по направлению тока, плюс/минус комплексные амплитуды источников напряжения, деленной на комплексное сопротивление участка цепи. Со знаком плюс берут комплексные амплитуды источников напряжения, совпадающих по направлению с током. Im Em1 Em2 Im Um Emk Z . (5.70) П е р вы й за к о н К и р х г о ф а : Im1 Im2 Im3 В символической схеме замещения (рис.5.28) первый закон Кирхгофа выполняется для комплексных амплитуд токов: В.А.Im4 Алехин.Рис.5.28 Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 85 Im1 Im4 Z4 Em1 Z2 обход Em2 Im3 Im 4 В то р о й за к о н К и р х г о ф а : В символической схеме замещения (рис.5.29) второй закон Кирхгофа выполняется для комплексных амплитуд токов и напряжений и комплексных сопротивлеIm2 ний: Im1 Z1 Im 2 Im1 Z 1 Im 2 Z 2 Im3 Z 3 Im 4 Z 4 E1 E2 (5.71) Алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжений в любом Im3 Рис.5.29 замкнутом контуре равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС, действующих в контуре. Со знаком плюс берут напряжения и ЭДС, совпадающие с направлением обхода контура. Вывод: Поскольку основные законы в символической форме выполняются все преобразования и метода расчета гармонического тока в символической форме аналогичны методам расчёта цепей постоянного тока при условии замены: E Z3 Em , J J m ,U Um , R Z R jX , G Y g jb 5.17. Порядок расчета цепи символическим методом В e1( t ) i(t) цепи рис.5.30 Em1 sin( t  E1 ) и e2 ( t ) L1 R1 C1 e2(t) e1 (t) R2 действуют L2 C2 Рис.5.30 Z1 Em1 источника сигналов Em2 cos( t  E ) . Расчет цепи 2 надо выполнять в такой последовательности: 1. Приводим запись всех источников сигнала к функции синуса, используя формулу: cos( t  E2 ) sin( t Em1e j  E , Em2 900 ) . Em2e j (  E 2 3. Находим комплексные сопротивления: E m2 Z2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 Рис.5.31  E2 2. Определяем комплексные амплитуды напряжений: E m1 Im1 два 90 0 ) . 86 Z1 R1 1 ), Z 2 C1 j(  L 1 R2 j(  L2 1 ). C2 4. Переходим к символической схеме замещения (рис.5.31). 5. Находим комплексную амплитуду тока. Im E m1 E m2 Z1 Z2 I me j  I . 6. Находим мгновенное значение тока. i( t ) I m sin( t  I ) . 5.18. Топографические диаграммы Топографическими диаграмм а м и называют изображение на комплексной d c плоскости комплексных потенциалов различных R2 = 2 Ом точек электрической цепи. Нулевой потенциал Em b соответствует началу координат. обход XL = 5 Ом Пример 5.12. Построить топографическую Im = 1 А диаграмму для цепи рис.5.32 и найти Em. На схеме цепи заданы активные и реактив0 a R1 = 2 Ом ные сопротивления и комплексная амплитуда тока. Начальную фазу тока будем считать нулем. Рис.5.32 Заземлим нижнюю точку цепи и выполним расчет комплексных потенциалов для всех точек цепи, обходя цепи против направления тока: XC = 2 Ом ma Im R 2 В; mb ma j 5 Im mc mb 2 Im md mc j 2 Im 2 j5В ; j5В ; 4 4 j 3В Em . Модуль комплексной амплитуды Em 16 9 5 В. Изобразим рассчитанные комплексные по1А +j тенциалы точками на комплексной плоскости 2В φmb φmc рис.5.33. Получим топографическую диаграмму. j5 Построим на топографической диаграмме вектор Umdb Umba Em φmd j3 тока Im = 1 А. Вектор E m 4 j3В , направлен- ный из нуля в точку с потенциалом md , изобража- φma 2 4 Im Рис.5.33 +1 ет комплексную амплитуду напряжения. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 87 Топографическая диаграмма позволяет определять комплексные амплитуды напряжения между различными точками цепи. Например, вектор U mdb md mb на топографической диаграмме направлен к точке, соответствующей первому индексу d , равен 2 j 2 В и определяет комплексную амплитуду напряжения между точками d и b. Если векторы направлены в сторону условно более высокого потенциала при обходе цепи против направления тока, то они будут правильно ориентированы относительно вектора тока. Так вектор U mba mb ma определяет комплексную амплитуду напряжения на индуктивности и опережает вектор тока Im на 90o. 5.19. Энергетические соотношения в цепях переменного тока. Мгновенная и средняя мощность i(t ) u(t) Пассивный 2-х полюсник Рассмотрим пассивный двухполюсник, подключенный к напряжению u( t ) . Входной ток равен i( t ) . Мгновенная мощность определяется как скорость изменения энергии: p( t ) dW ( t ) dt u( t )i( t ) u( t ) dq dt (5.72) Пусть в цепи гармонического тока: u( t ) U m sin t . Найдем комплексную амплитуду: Um U me j 0o Um . Входное сопротивление двухполюсника: Z R jX Находим ток: Im Ze j , Z Um Ze j R2 j I me Мгновенное значение тока равно: i( t ) X2 , Um e Z j arctg X . R . I m sin( t  ). Мгновенная мощность: p( t ) u( t ) i( t ) U m sin t I m sin( t  ) 1 U m I m cos  2 cos( 2t  ) . График мгновенной мощности показан на рис.5.34. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.73) 88 p(t) + Pср t - - Рис.5.34 Мгновенная мощность изменяется с частотой 2 и может принимать положительные и отрицательные значения. Положительная мгновенная мощность поступает в цепь и потребляется в ней. Отрицательная мгновенная мощность отдается из цепи в источники. Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью: Pср 1 T P T p( t )dt Um Im cos  . 2 (5.74) В пассивном двухполюснике аргумент входного сопротивления  arctg X R лежит в пределах (  2   2 ) . Следовательно, 0 cos  1 и активная мощность P 0 . Активная мощность будет равна нулю в пассивном двухполюснике без потерь, когда R 0 . 5.20. Действующие значения токов и напряжения i(t) u(t) R Рис.5.35 Вычислим мощность, которую выделяет гармонический ток в активном сопротивлении Z R . В нем  arctg X R arctg R 0 , cos  1. Ток совпадает по фазе с напряжением. По формуле (5.74) находим активную мощность: P Pср Um Im 2 I m2 R , 2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (5.75) 89 так как U m Im R . Постоянный ток выделяет в том же сопротивлении мощность: I 2R . P UI (5.76) О п р е д е л е н и е . Действующее значение переменного тока (напряжения) равно по величине такому постоянному току (напряжению), который выделяет в сопротивлении R то же количество тепла, что и переменный ток. Приравниваем мощности (5.75) и (5.76): I m2 R . 2 2 I R (5.77) Получим действующее значение тока Im I . (5.78) 2 Аналогично получим действующие значения напряжений: Um U 2 Em , E . (5.79) 2 Вместо комплексных амплитуд в расчетах можно применять комплексные действующие значения. Их обозначают подчеркиванием, но индекс амплитуды «m» не ставят: I Im 2 ,U Um 2 , E Em . (5.80) 2 В электрической сети и электрических приборах указывают номинальные действующие значения напряжений и токов. Так, для стандартного действующего напряжения в сети U 220 В амплитудное значение будет равно U m 220 2 311 В . Действующие значения напряжений и токов измеряют вольтметрами и амперметрами. Амплитудные значения измеряют осциллографами. Через комплексные действующие значения комплексное сопротивление выражают так: Z U . I (5.81) Если расчет проведен для комплексных действующих значений, при переходе к мгновенным значениям модуль действующего тока надо умножить на 2: i( t ) I 2 sin( t ) I m sin( t В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016  ). (5.82) 90 5.21. Активная, реактивная и полная мощность Активная мощность потребляется пассивным двухполюсником, всегда положительна и вычисляется по формулам: P Um Im cos  2 UI cos  Um Im 2 IZI cos  2 cos  I Z cos  2 2 I R U2 . R (5.83) Особо надо запомнить формулу для активной мощности, выраженной через действующие значения напряжения и тока: (5.84) P UI cos  . Активная мощность измеряется в ваттах [Вт]. Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока: S UI 2 I Z U2 . Z (5.85) Полная мощность измеряется в вольт-амперах [ВА]. Активная мощность связана с полной мощностью такой важной формулой: (5.86) P S cos  . Важной характеристикой качества потребителя электрической энергии является коэффициент мощности: cos  P . S (5.87) Коэффициент мощности стремятся сделать близким к единице. Тогда полезную активную мощность потребитель получит при меньших значениях входного тока и, следовательно, при меньших потерях в проводах сети. Реактивная мощность обусловлена реактивной составляющей входного сопротивления двухполюсника и вычисляется по формулам: Q S sin  UI sin  IZI sin  I2X I 2( X L X C ) (5.88). Измеряется реактивная мощность в вольт-амперах реактивных [Вар]. Если комплексная нагрузка имеет индуктивный характер (  0 ), то реактивная мощность Q 0 . Если комплексная нагрузка имеет емкостной характер (  0 ), то Q 0. Реактивная мощность не потребляется в цепи, а характеризует обмен мощности между источниками и накопительными элементами L и C. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 91 Треугольник мощности Соотношения между активной, реактивной и полной мощностью можно изобразить в виде треугольника мощности (рис.5.36) Катеты треугольника мощности равны: +j P S cos  и Q S sin  . S 2 φ 2 P Q (5.89) Гипотенуза равна: S Треугольник мощности подобен треугольнику сопротивлений. Q +1 P Рис.5.36 5.22. Расчёт мощности в комплексной форме Пусть на входе пассивного двухполюсника заданы мгновенные значения напряжения u( t ) U m sin t и тока i( t ) I m sin( t  ) . Запишем комплексные действующие значения: U Um Um 2 2 и I Im Im 2 2 e j . Возьмем комплексно-сопряженное значение тока I числим комплексную мощность по формуле: S U I* I Z I* I2Z I 2( R jX ) I 2R jI 2 X (5.90) * Ie P j и вы- jQ (5.91) Сравнивая результат с (5.83) и (5.88), мы видим, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть равна реактивной мощности цепи. Реактивная мощность равна нулю, если в цепи отсутствуют реактивные элементы L и C , или эквивалентное реактивное сопротивление этих элементов становится равным нулю ( X 0 ). Реактивная мощность Q характеризует накопление и возвращение энергии в цепи, содержащей элементы L и C . 5.23. Баланс мощностей В цепи гармонического тока выполняется баланс комплексных мощностей источников энергии и потребителей энергии: Sист n Sпотр . (5.92) k Следовательно, должен выполняться баланс для действительных и мнимых частей равенства (5.92). Значит выполняются: баланс активных мощностей: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 92 Pист n Pпотр и (5.93) Qпотр . (5.94) k баланс реактивных мощностей: Qист n k В пассивном двухполюснике реактивную мощность рассчитывают как сумму реактивных мощностей всех ветвей: I k2 ( X Lk Q X Ck ) , (5.95) k где I k -- действующее значение тока k - ой ветви, X Lk - индуктивное сопротивление k - ой ветви, X Ck - емкостное сопротивление k - ой ветви. Пример 5.13. В цепи рис.5.37 заданы параметры элементов в омах и действующее 10 значение источника напряжения E 2 В . Рассчитать токи и проверить баланс мощностей. I1 XL =10 Решение Находим параллельное соединение резистора и емкости: a Zab E= 10 2 R=10 XC =10 Z ab I2 I3 10 2 Z Рис.5.36 Z jX L e 10( 10 j10 ) j10 j 45o 10 j10 2e 1 2 2 (1 j 45o j) 5 j5 Ом . Находим входное сопротивление двухполюсника: b Z ab j5 Ом j10 5 5 j5 5 2e j 45o Ом . Далее находим: входной ток I1 напряжение E Z U ab ток второй ветви I2 10 2 5 I1Z ab U ab R 1e 2e j 45o 1 2 e j 45o 1e 5 2e j 90o j 45o j 45o А; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 А; 5 2e j 90o В; 93 U ab j10 ток третьей ветви: I3 1 А. 2 Проверяем баланс мощности. Комплексная мощность источника напряжения: Sист 10 ЕI1* 2 1e j 45o j 5 ВА. 5 Активная мощность потребителя выделяется в резисторе второй ветви: Pпотр 1 10 2 I 22 R 5 Вт. Реактивная мощность в двухполюснике: Qпотр I12 X L I 22 X C 1 10 1 10 2 5 Вар. Получили комплексную мощность потребителя Sпотр P jQ 5 j5 Sист . Баланс мощностей выполняется. 5.24. Согласование источников энергии с нагрузкой в цепи гармонического тока На рис.5.37а активный двухполюсник А передает энергию в нагрузку – пассивный двухполюсник П. Требуется определить, при каких условиях в нагрузке выделяется наибольшая активная мощность. i(t) I a П u(t) А Zэ a Eэ Zн b a) b Рис.5.37 b) Заменим активный двухполюсник эквивалентным генератором с напряжением EЭ и внутренним сопротивлением Z э , а пассивный двухполюсник заменим его входным сопротивлением, которое служит нагрузкой генератора Z н (рис.5.37б). Определим, при каких значениях мощность. Z н в ней выделяется наибольшая В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 94 Пусть Zэ Rэ jX э , Z н Rн jX н . Найдем комплексное действующее значение тока: EЭ I Zэ Zн EЭ jX э Rн Rэ jX н и «просто» действующее значение тока: Eэ I Rэ Rн 2 Xэ Xн 2 . Активная мощность в нагрузке: P I EЭ2 Rн 2 I Rн Rэ a Rэ Rн 2 Хэ Хн 2 . (5.96) Мощность будет больше, если уменьшить знаменатель. Для этого выполним первое условие Eэ Rн согласования: Хэ Хн 0; Хн Хэ. (5.97) b При этом в цепи рис.5.37б наступает послеРис.5.38 довательный резонанс напряжений, реактивные сопротивления генератора и нагрузки компенсируют друг друга и в цепи остаются только активные сопротивления (рис.5.38). Мощность в цепи рис.5.38 мы уже изучали. Также как на постоянном токе, в нагрузке Rн будет выделяться максимальная мощность, если выполнено второе условие согласования: Rэ Rн . (5.98) Объединим условия (5.97) и (5.98) и получим условие выделения наибольшей мощности в цепи гармонического тока: Rн jX н Rэ Zн * ZЭ jX э и (5.99) (5.100) П р а в и л о с о г л а с о в а н и я . Комплексное сопротивление нагрузки равно комплексно-сопряженному внутреннему сопротивлению источника. 5.25. Повышение коэффициента мощности В цепи рис.5.39 нагрузка комплексная Zн Rн jX н . Требуется скомпенсировать реактивную составляющую нагрузки и повысить коэфВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 95 фициент мощности cosφ. Для этого параллельно нагрузке подключают реактивный элемент Xк. Проводимость нагрузки: Xн Xк Yн Yн Rн gн Rн Yк Rн Yэ Рис.5.39 2 1 jbн Rн Xн j X н2 jX н Rн 2 X н2 . Проводимость дополнительного реактивного элемен- jbн : та должна равняться 1 jX к Yк Xн j Rн 2 X н2 jbн . Тогда эквивалентная входная проводимость становится активной и cosφ=1: Y Yк э Yн gн jbн jbн gн Gэ . 5.26. Примеры расчета цепей гармонического тока Указание: В примерах, где заданы значения индуктивностей, емкостей и параметры сигнала, рекомендуем выполнить моделирование и исследование схемы в программе TINA-TI. П р им е р 5 .1 4 В цепи рис.5.40 40 мГн ,С L i(t) e(t) Im задано: jXL R C U mR U mC Em -jXC Рис.5.40 jX C 90o В , Решение A UmL jX L 30 2 sin 103 t 30 Ом . Найти показания амперметра и построить векторную диаграмму тока и напряжений. 100 мкФ , R L e( t ) j L j Em j103 40 10 1 C 1. Находим комплексную амплитуду источника напряжения и комплексные сопротивления: j 3 j 40 Ом ; 1 3 30 2e j 90o 10 100 10 6 j10 Ом , В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 j30 2 В ; 96 Z R jX L jX C 30 j 40 j10 j30 Ом. 30 2. Находим комплексную амплитуду тока: Em Z Im j30 2 30 j30 30 2e j 90o 2 2 o 1 e j 45 o 30 2e j 45 j 2 A. 2 3. Находим мгновенное значение тока: 1 sin 103 t i( t ) 4. Амплитуда тока Im Im значение тока: I 2 2 45o A . 1A. Амперметр показывает действующее 0 , 707 A . 5. Рассчитываем комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи: U mR o U mС o 30e j 45 В , U mL RIm o j10 1 e j 45 10e j 40 1 e j 45 j 45o o 40e j135 В , В. 6. Строим векторную диаграмму (рис.5.41): +j Em 1А 10 В UmL UmL UmC +90 UmR o Im +45 o -90 o +1 UmC Рис.5.41 П р им е р 5 .1 5 В i(t) Zвх L e( t ) R1 a L цепи 10 sin 103 t 1 мГн , С zab Рис.5.42 C R2 60o В , 500 мкФ , R1 1Ом , R2 e(t) рис.5.42 2 Ом . Найти ток на входе цепи. Решение b В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 задано: 97 1. Находим комплексную амплитуду напряжения и комплексные сопротивления: o 10e j 60 В , Em j103 1 10 jX L jX C j 1 C 3 j1Ом , 1 j 1000 500 10 R1 1Ом , R2 j 2 Ом , 6 2 Ом . 2. Находим эквивалентное сопротивление Zвх и ток: Zвх jX L 1 j1 R1 R2 jX C R2 jX C j4 2 2 j2 j2 2 j2 1 j2 2 j2 j4 2 j1 4 j2 1 4 j1 j 1 2 Ом o 10e j 60 2 Em Zвх Im 2 j1 1 Мгновенное значение тока: i( t ) o 5e j 60 А. 5 sin 103 t 60o A . Амперметр покажет действующее значение: I Im 2 5 2 3,54 А . П р им е р 5 .1 6 Im1 c R1 =2Ом В символической схеме замещения цепи рис.5.43 заданы параметры: a Im2 Um Im3 jXL -jXC d R2 e R3 b Рис.5.43 o U m 12e j 45 В, jX L j 4Ом , jX C R1 2 Ом, R2 4 Ом , R3 4 Ом . j 4 ОМ , Найти токи в ветвях и построить векторную топографическую диаграмму. Решение 1. Находим комплексные сопротивления : Z1=2 Ом, Z2=4+j4 Ом, Z3=4-j4Ом. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 98 Z ab 4 Z1Z 2 Z1 Z 2 Zвх R1 j4 4 4 j4 Zab j4 4 16 16 8 j4 4 Ом . 6 Ом. 2 4 2. Находим токи в ветвях: Im1 j 45o Um Zвх 12e 6 o 2e j 45 A. По правилу деления токов: Im 2 1 I m3 Im1 4 4 j4 4 o j1 e j 45 j4 j4 4 4 e j4 4 2e j4 j4 j4 j 45o j 45o 2e Im1 4 4 o 2e j 45 4 j4 j4 2 A. j 90o A. 3. Находим комплексные напряжения в точках схемы: U mb 0 , U ma Im 2 Z 2 2 4 U md Im2 R2 2 4 U me Im3 R3 2 4 e j 90 U mc U ma o 2 e j 45 2 4 o 8e j 45 В , 4 2 В, o U mca j4 o 8e j 45 j 4 2 В, o o 4e j 45 12e j 45 В. 4. Строим топографическую диаграмму (рис.5.44). U mc 1А +j Umca 2В U mae Uma Ume Im3 Im1 U mad 0 U mb Im2 U md Рис.5. 44 +1 П р им е р 5 .1 7 В цепи рис.5.45 e(t)=8sin100t В, J(t)=4cos100t A, R1=R2=4Ом, L=40 мГн. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 99 Определить при каком значении Zн в нем выделяется наибольшая активная мощность. Рассчитать в этом режиме токи в цепи, проверить баланс мощностей. L e(t) i1 (t) Решение c i2 (t) R1 J(t ) 1. Преобразуем источник тока к функции синуса. J(t ) a Uab R2 b 4 cos 100t 4 sin( 100t 90o ) A . 2. Вычислим комплексные амплитуды источника напряжения и источника ZH j 90o A. тока: E  8 В , J  4e 3. Вычислим комплексное сопротивление индуктивности: Рис.5.45 jX L  j100  40 103  j 4 Ом . 4. Исключим сопротивление нагрузки. Получим одноконтурную цепь, в которой действует ток с комплексной амплитудой j 90o Im1  J m  4e A . Найдем напряжение холостого хода: U mabxx Im1 R2 E jX L Im1 j4 4 8 j4 j4 24 j16 В 5. Найдем входное сопротивление эквивалентного генератора: Zвхab  R1  R2  jX L  8  j 4 Ом .  Для согласования с генератором требуется: Z н  Zвхab  8  j 4 Ом . 6. В схеме эквивалентного генератора (рис.5.46): U mabxx 24 j16 Zвхab a Im2 Im 2 Zн Zвхab 16 1,5 jА По схеме рис.5.45 находим Zн Emэ=Umabхх Рис.5.46 b Im1 Im2 Jm 1,5 j3 А . 7. Выполним расчет баланса мощности. Комплексная мощность источников энергии:  Em  Im1 U mbc  J m Sист  S E  S J    2 2 Im2 ( R1 Z Н ) J m 6 8 ( 1,5 j3 ) 2 2 ( j 1, 5 ) ( 12 j 4 ) ( j 4 ) j12 2 42 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 j16 ВА . 100 Мощность потребителей: I12m R2 2 Pпотр I 22m ( R1 2 I12m jX L Qпотр Rн ) 11, 25 4 2 I 22m ( 4 j ) 2 2 3, 25 12 2 j 22 ,5 42 Вт 22 ,5 19 ,5 j16 Вар j 6 ,5 Баланс мощности выполняется. Пример 5.18 Электрическая цепь рис.5.47 имеет следующие параметры: J1( t ) 8 sin100t A, J 2 ( t ) C a J1m R1 4 Ом , L R2 40 мГн , 2500 мкФ . Требуется найти токи. С b Решение I Cm J2m R2 I1m I2m 4 cos 100t A, R1 L 1. Находим комплексные амплитуды источников тока и комплексные сопротивления: J1m 8 A, J 2m 4 j A , ZC Рис.5.47 ZL 1 1 j C 100 2500 10 6 j L j100 40 10 3 j 4 Ом . j 4 Ом j 2. Найдем ток ICm методом эквивалентного генератора. Отключаем С. Находим: 8 4 32 Ом , R2 j L j4 4 U mao J1m R1 U mbo J 2m j4 j16 В . 16 Напряжение эквивалентного генератора: Emэ U mabxx U mao U mbo Входное сопротивление Zabвх U mabxx ICm Z abвх 48 1 j C 8 32 R1 16 R1 j16 j4 j4 6 j16 j L 8 j2 A 48 j16 В . j 4 Ом . 6 , 325e j18.45o A. 3. По первому закону Кирхгофа находим комплексные амплитуды токов в ветвях: I1m I2m J1m ICm J 2m ICm 2 j 2 A; j4 6 j2 6 I1m J1m 2 ICm j2A j2 A. o 2 2e j 45 A ; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 101 I2m J 2m ICm o 40e j18.45 j4 6 j2 6 j2 o 6 , 325e j18.45 A . 4. Находим мгновенные значения токов: iC ( t ) 6 , 325 sin( 100t 18 , 45o ) A , i1( t ) i2 ( t ) 6 , 325 sin( 100t 18 , 45o ) A . 45o ) A , 2 ,82 sin( 100t Пример 5.19 R1 i1 (t) i2 (t) В цепи рис.5.48 дано: e( t ) 4 sin100t В , J ( t ) R2 R1 Jm (t) e (t) 20 мГн , С 5000 мкФ . Найти токи. Решение L C 1. Переходим к комплексным амплитудам и комплексным сопротивлениям: Рис.5.48 4 В , Jm Em 2 Ом , L R2 2 cos100t A , o 2e j 90 A , X L 2 Ом . 2 Ом , X C 2. Преобразуем источник тока в источник напряжения: Im1 2Ом +j2 Ом 2Ом Jm 2 j 4 В. -j2Ом Em 2 2 Im1 Emэ j2 j2 8 j4 Im 2 Im1 Jm 2 j1 j2 3. Мгновенные значения токов: 5 sin (100t 26o ) A , i2 ( t ) 5 sin (100t 26o ) A . Пример 5.20 a R1 L i1 (t) J(t) C R2 b Рис.5.50 2 4 j1A. В схеме рис.5.48: Рис.5.49 i1( t ) j2 Получим одноконтурную схему рис.5.49: 3. Находим токи. В схеме рис.5.49: Emэ =-4+j4В Em =4В j L 4 Emэ J m R2 2 j 2 j2 i2 (t) e(t ) В цепи рис.5.50 задано: J ( t ) 4 sin1000t A, e( t ) 4 cos1000t В . L 2 мГн ,С 500 мкФ , R1 R2 2 Ом. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 2 j1 A. 102 Найти токи i1( t ) и i2 ( t ) . Решение 1. Найдем комплексные амплитуды источников энергии и комплексные сопротивления: Jm 4 A , Em j 4В , jX L j 2Ом , j 2Ом . jX C Получим символическую схему замещения рис.5.51: 2. Методом двух узлов найдем напряжеa L Im2 j2Ом ние U mab : Im1 Em E R Jm 4A 1 Umab 2 Ом C -j2Ом R2 4jВ m Jm U mab R2 1 R1 jX C j4 4 2 j2 1 1 2 j2 2 j2 b 2 Ом Рис.5.51 jX L 1 R2 jX L 6 2 j В. 3. Находим комплексные амплитуды токов: I1m U mab 2 j2 I2 m Jm I1m 6 2j 2 j2 4 2 2 j1 A j1 2 o 5e j18.45 A ; j1A 5e j18.45o A. 4. Находим мгновенные значения токов в ветвях: i1( t ) 5 sin( 1000t 18 , 45o ) A , i2 ( t ) 5 sin( 1000t 18 , 45o ) A . 5.27. Контрольные вопросы 1. Какие характеристики (параметры) имеют гармонические сигналы? 2. Какие параметры называют символами гармонической функции с известной частотой ? 3. Какую комплексную функцию называют оператором поворота и как изобразить эту функцию на комплексной плоскости ? 4. Что такое комплексная амплитуда гармонического тока и как ее вычислить по мгновенному значению тока ? 5. Что включает в себя комплексная амплитуда гармонического тока? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 103 6. Как отображаются комплексные амплитуды тока и комплексные функции времени на комплексной плоскости ? 7. Назовите разные формы записи комплексной амплитуды. 8. Почему все гармонические сигналы в электрической цепи требуется проебразовать к функции синуса ? 9. Как выполнить сложение двух гармонических функций одной частоты ? 10. Гармонический ток и напряжение в резисторе. Амплитудные и фазовые соотношения. Векторная диаграмма. 11. Гармонический ток и напряжение на индуктивности. Амплитудные и фазовые соотношения. Векторная диаграмма. 12. Реактивное и комплексное сопротивление индуктивности, зависимость от частоты. 13. Гармонический ток и напряжение на емкости. Векторная диаграмма. 14. Реактивное и комплексное сопротивление емкости, зависимость от частоты. 15. Комплексное сопротивление последовательной RLC – цепи. Активное и реактивное сопротивление. Частотные зависимости. Треугольник сопротивлений. 16. В чем существо символического метода расчета цепи гармонического тока? 17. Как составить символическую схему замещения электрической цепи гармонического тока ? 18. Векторная диаграмма тока и напряжений в неразветвленной цепи. 19. При каких условиях возникает последовательный резонанс напряжений и в чем его особенности ? 20. Комплексная проводимость параллельного соединения RLC – элементов. Активная и реактивная проводимость. 21. Условие возникновения параллельного резонанса токов и в чем особенности этого режима? 22. Формулировка обобщенного закона Ома в символической форме. 23. Формулировка первого закона Кирхгофа в символической форме. 24. Формулировка второго закона Кирхгофа в символической форме. 25. Какой порядок расчета цепи символическим методом? 26. Что называют топографической диаграммой цепи и как ее построить ? 27. Как рассчитать мгновенную и среднюю мощность в цепи гармонического тока ? 28. Что называют дейтсвующим значением переменного тока и как его рассчитать ? 29. Что называют комплексным действующим значением переменного тока и как его можно использовать в расчетах ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 104 30. Что такое активная, реактивная и полная мощность в цепи переиенного тока ? Как рассчитать эти мощности ? Какая связь между ними ? 31. Что называют коэффициентом мощности цепи переменного тока и почему его надо повышать ? 32. Как рассчитать баланс комплексных мощностей в цепи гармонического тока ? 33. Назовите условие согласования источников энергии с нагрузкой в цепи гармонического тока. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 105 Глава 6. ЦЕПИ С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ 6.1. Определение взаимной индукции и взаимной индуктивности В катушке с током i1 (рис.6.1) i1 (t) возникает магнитный поток самоL1 индукции Ф11. Направление магнитUL1 (t) ного потока определяем по правилу Ф буравчика. Пусть число витков катушки N1. Тогда: eL1(t) Ф11 потокосцепление самоиндукции 11 N1 Ф11. (6.1) Рис.6.1 Напомним, что потокосцепление самоиндукции связано с индуктивностью катушки и током в ней по формуле: 11( t ) L1i1( t ) (6.2) Индуктивность является коэффициентом пропорциональности меж-  11 [Гн]. i1 Если ток в катушке меняется ( i( t ) var ), то по закону электро- ду потокосцеплением и током: L1 магнитной индукции (Закон Фарадея) возникает ЭДС самоиндукции: eL t di Если ток уменьшается ( 1 dt eL ( t ) d 11 t L1 dt 0 ), то L1 di1 dt di1 . dt (6.3) 0 . Следовательно, 0 и направлена согласно с током. Правило ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока в катушке, направлена согласно с ним и поддерживает ток в катушке. Напряжение на катушке (рис.6.1) совпадает по направлению с током: uL ( t ) eL ( t ) d 11 dt L1 di1 . dt (6.4) В за и м н а я и н д ук ц и я На рис.6.2 показаны две катушки с количеством витков N1, N2 , которые имеют индуктивности L1 и L2. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 106 e2(t) i (t) 2 i1 (t) u1 u21(t) L2 L1 Ф1S Пусть в первой катушке есть ток, а во второй катушке тока нет ( i1 0 , i2 0 ). Ток в первой катушке создает магнитный поток самоиндукции Ф11 . При- чем одна часть этого потока рассеивается, а другая часть пронизывает вторую катушку: Ф11 Ф1S Ф21 , (6.5) Ф11 Ф21 Рис.6.2 Ф11 - магнитный поток самоиндукции первой катушки; Ф1S -поток рассеяния; Ф21 -поток взаимной индукции, вызываемый током первой катушки и пронизывающий вторую катушку. Рассмотрим потокосцепления: 11 N1Ф11 L1i1 (6.6) - потокосцепление первой катушки; 1S N1Ф1S L1S i1 (6.7) - потокосцепление рассеяния 1ой катушки;  21 N2Ф21 M 21i1 (6.8) - потокосцепление взаимной индукции со второй катушкой, вызванное током первой катушки; M 21  21 (6.9) i1 - взаимная индуктивность. Определение Взаимная индуктивность 1 - ой и 2 - ой катушек M21 является коэффициентом пропорциональности между потокосцеплением взаимной индукции второй катушки и током первой катушки. Пусть потокосцепление взаимной индукции изменяется  21 t var . Тогда во второй катушке возникает ЭДС взаимной индукции: e2 t d  21 dt М 21 di1 . dt В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (6.10) 107 ЭДС взаимной индукции препятствует изменению потокосцепления. d 21 di M 21 1 0 ), то ЭДС взаdt dt 0 и возникнет ток i2 t 0 (рис.6.2). Если потокосцепление уменьшается ( имной индукции e2 t ЭДС взаимной индукции поддерживает постоянство потокосцепления взаимной индукции  21 const . 0 , а i2 Рассмотрим второй случай, когда i1 тушки создает магнитный поток 0 . Ток второй ка- Ф22 Ф2S Ф21 (6.11)  22  2S  21 . (6.12) и потокосцепление Здесь  2S N2Ф2 S (6.13) - потокосцепление рассеяния; 12 N1Ф12 M12i2 (6.14) - потокосцепление взаимной индукции с первой катушкой, вызванное током во второй катушке; M12  12 i2 - взаимная индуктивность второй и первой катушек. В линейных цепях по принципу обратимости: M 21 M12 (6.15) M. 6.2. Согласное и встречное включение катушек На рис.6.3 показаны две катушки индуктивности, намотанные на общем сердечнике. Направления намотки видны на рисунке и имеют важное значение. Ток i1 , проходящий в первой Ф1S Ф2S катушке, создает полный магнитный Ф12 поток Ф11 Ф1S Ф21 . (6.16) Ф Ф 22 11 Ф21 i1 i2 Направление полного магнитного потока определяется по правилу буравчика. Рис.6.3 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 108 Ток i2 , проходящий во второй катушке, создает магнитный поток самоиндукции второй катушки Ф22 Ф2S Ф12 . (6.17) В зависимости от направления намотки катушек и направления токов в них магнитный поток самоиндукции Ф11 может совпадать или не совпадать по направлению с магнитным потоком взаимной индукции Ф12 , вызванным током второй катушки. Поэтому различают два способа включения катушек. Определение С о г л а с н ы м называется включение катушек, при котором магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции совпадают. В с т р е ч н ы м включением называется включение, при котором магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции не совпадают. Для согласного включения (рис.6.4а) токи должны быть одинаково направлены относительно одноимённых зажимов. Одноимённые зажимы обозначены на схеме одинаковыми значками. При встречном включении (рис.6.4б) токи направлены по-разному. M i1 L1 M L1 e1L e1M L2 Встречное включение б) Рис.6.4 i1 u1 i2 L1 L2 Согласное включение а) M i1 i2 e2L e2M L2 i2 u2 Рис.6.5 При согласованном включении (рис.6.5) ЭДС самоиндукции и взаимной индукции складываются: e1 e1L e1M d 11 dt d 12 dt L1 di1 dt M В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 di2 , dt (6.18) 109 e2 e2 L e2 M L2 di2 dt M di1 . dt (6.19) При встречном включении ЭДС самоиндукции и взаимной индукции вычитаются: e1 e1L eM e2 e2 L eM di1 di M 2 , dt dt di di L2 2 M 1 . dt dt L1 (6.20) (6.21) Напряжения на катушках по направлению и знаку противоположны ЭДС и равны: u1 t e1 t u2 t e2 t di1 di M 2, dt dt di di L2 2 M 1 . dt dt L1 (6.22) (6.23) Знак (+) соответствует согласному включению, знак (-) – встречному катушек. 6.3. Комплексное сопротивление взаимной индуктивности Пусть в катушках действуют гармонические токи: Переходим i1 t i1 t I m1 sin t 1 i2 t I m 2 sin t 2 . к комплексным функциям Im1e jt и i2 t Im2e jt . . времени для токов Перепишем (6.22) и (6.23) для комплексных функций времени от напряжений: U m1e jt U m2e jt j L1 I m1e jt j L2 I m2e jt j M I m2e jt , jM I m1e jt . (6.24) (6.25) jt Теперь разделим (6.24) и (6.25) на e и получим уравнения для комплексных амплитуд напряжений на катушках: U m1 j L1 I m1 j M I m2 , (6.26) сти. U m2 j L2 I m2 jM I m1 . (6.27) X м - сопротивление взаимной индуктивности; Здесь:  M Z м j M - комплексное сопротивление взаимной индуктивно- В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 110 6.4. Экспериментальное определение одноимённых зажимов i1 i2 t=0 M + + E L1 - L2 V U2 - Рис.6.6 Схема эксперимента показана на рис.6.6. Пусть верхние зажимы катушек являются одноименными. Подключим к одноименному зажиму второй катушки вольтметр входом «плюс». Так как идеальный вольтметр имеет бесконечно большое входное сопротивление ( RV ) ток цепи второй катушки будет равен нулю ( i2 0 ). Одноименный зажим первой катушки через ключ соединим с плюсом источника напряжения Е. После замыкания ключа ток в первой ка- di1 dt 0 . По формуле (6.23) напряжение на di2 dt M тушке будет увеличиваться второй катушке при согласном включении будет положительно и равно: u2 L2 di1 dt M di1 dt 0. (6.28) Правило Если при подключении постоянной ЭДС к первой катушке, скачок напряжения на зажимах второй катушки положительный, то зажимы, к которым подключён плюсом источник напряжения и плюсом вольтметр, является одноимёнными. 6.5. Коэффициент взаимной связи Две катушки с индуктивностями L1 , L2 и взаимной индуктивностью M имеют коэффициент взаимной связи M  L1 L2 k M L1L2 0 k 1. Если две катушки одинаковы L1 L2 k M L  21 i1 i1  11  21  11 Ф21 Ф11 1, так как Ф11 . (6.29) L и N1 N2 , то Ф1S Ф21 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 Ф21 111 Коэффициент взаимной связи меняется в пределах 0 k 0 , если Ф21 0 - катушки не связаны; k 1, если Ф11 k 1: Ф21 - поток рассеяния отсутствует. 6.6. Последовательное соединение магнитно-связанных катушек С о г л а с н о е вк л юч е н и е M I R1 R2 L1 U Рис.6.7 U j L1 I IR1 I R1 R2 На рис.6.7 показано последовательное согласное включение L2 двух катушек: M – взаимная индуктивность, jωM – сопротивление взаимной индуктивности. По второму закону Кирхгофа запишем уравнение для комплексных действующих значений напряжений в контуре: jM I IR2 j L2 I jM I = j L1 L2 2M I . (6.30) В соответствии с формулами (6.26) и (6.27) на каждой катушке напряжение равно сумме напряжения самоиндукции и взаимной индукции. Причем в катушках проходит один и тот же ток I . Эквивалентная индуктивность при согласном включении: Lэкв .согл . L1 L2 2M . (6.31) В с тр е ч н о е вк люч е н и е На рис.6.8 две катушки включены последовательно и встречно. В этом случае в уравнение по второму закону Кирхгофа напряжения взаимной индукции входят со знаком миM нус: I R1 R2 L2 L1 U Рис.6.8 U IR1 j L1 I jM I IR2 j L2 I jMI . Эквивалентная индуктивность при встречном включении: Lэкв .встр . L1 L2 2M . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (6.32) (6.33) 112 6.7. Линейный трансформатор Трансформатором называется устройство для передачи энергии из одной части цепи в другую посредством электромагнитной индукции. Линейный трансформатор не имеет магнитного сердечника и называется еще воздушным трансформатором. Схема линейного трансформатора показана на рис.6.9. Первичная обмотка трансформатора содержит катушку с индуктивностью L1 . Резистор R1 учитывает потери в первой катушке. Вторичная обмотка содержит катушку индуктивности L2 с потерями R2 . К вторичной обмотке подключена комплексная нагрузка Z Н . Первая и вторая катушки имеют магнитную связь с взаимной индуктивностью M . I1 R1 R 2 I2 M E1 XH U1 L1 L 2 U2 2K 1K Первичная обмотка RH Вторичная обмотка Рис.6.9 В схеме токи направлены встречно. Сопротивление нагрузки: Z Н RH jX H . Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа: Для 1-ой обмотки: I1R1 j L1 I1 j MI2 E1 . (6.34) Для 2-ой обмотки: I2 R2 I2 RH jX H I2 j L2 I2 j MI1 0 . (6.35) Векторная диаграмма токов и напряжений трансформатора показана на рис. 6.36. Векторную диаграмму надо строить в такой последовательности: 1. Задаемся током I2. 2. Строим напряжения на элементах цепи RH I 2 , jX H I 2 xH I 2 R2 , j L2 I 2 , j MI1 . L , Сумма векторов напряжений равна 0. 3. Найдем вектор тока I 1 j MI1 j M j MI1 e M j MI1 надо повернуть на +90о и изменить масштаб). 4. Строим напряжения j L1 I 1 , j M I 2 , I1R1 , E2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 j 900 . (Вектор 113 +j j ωL1 I1 -j ω M I1 j ωM I 2 jωL2 I 2 R2 I2 R1 I 1 E1 jXн I 2 Rн I 2 I1 +1 I2 Рис.6.10 6.8. Коэффициенты трансформации Важными параметрами трансформатора являются коэффициенты трансформации. Для анализа схемы рис.6.9 можно использовать: коэффициент трансформации по напряжению: nU коэффициент трансформации по току: nI I1 ; I2 U2 ; U1 (6.36) (6.37) коэффициент трансформации по сопротивлению: Z2H Zвx nZ U 2 I1 I 2U1 nU nI . (6.38) 6.9. Совершенный трансформатор Совершенным называют трансформатор без потерь ( R1 R2 0 ) , у которого отсутствуют магM I1 нитные потоки рассеяния 2 1 ( Ф1S Ф2S 0 ) и, следовательно, коэффициент связи U U 1 L1 2 L2 E Ф21 Zн k 1. Из формулы Ф11 1' M Рис.6.11 2' (6.29) получаем, что в совершенном трансформаторе L1L2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 114 Рассмотрим работу совершенного трансформатора в режиме холостого хода (рис.6.11), когда нагрузка отключена, ток I 2 0 . Вторичная обмотка в этом случае не влияет на первичную обмотку. Для первичной обмотки найдем ток: I1 Из уравнения (6.27) при I 2 U1 . j L1 (6.39) 0 получим: U2 j MI1 . E2М (6.40) Подставим сюда выражение для тока из (6.39): U2 L1L2 M U1 L1 L1 U1 L2 U1 . L1 (6.41) Из (6.41) получим коэффициент трансформации совершенного трансформатора в режиме холостого хода: n U2 U1 L2 L1 N2 , N1 (6.42) где N1 и N 2 - число витков первой и второй катушек. Рассмотрим второй случай работы совершенного трансформатора, когда к зажимам 2-2’ подключена нагрузка Z н и I 2 0 . Из уравнения (6.35) выразим ток в первой катушке: I1 1 ( j L2 I 2 j M Z н I2 ) L2 I L1 2 nI 2 U1 , j L1 Z н I2 n U2 n Zн j L1 L1 I L2 2 (6.43) так как U1 . По уравнениям (6.43) и (6.42) построим схему замещения совершенного трансформатора (рис.6.12). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 115 I1 I2 IM jωL2 Zн nU1 nI2 Рис.6.12 В режиме холостого хода входной ток I1 IM определяется индуктивным сопротивлением первичной обмотки и мал по величине. 6.10. Идеальный трансформатор Идеальным трансформатором называют трансформатор без потерь ( R1 R2 0 ) , у которого коэффициент связи k 1 и индуктивности катушек стремятся к бесконечности ( L1 , L2 ). В идеальном трансформаторе n – действительное число, входное напряжение: 1 U2 , n U1 (6.44) входной ток: I1 nI2 . (6.45) Напряжения первичной и вторичной обмоток совпадают по фазе и отличаются только по амплитуде. Токи первичной и вторичной обмоток также совпадают по фазе и отличаются по амплитуде. Рассмотрим соотношение комплексных мощностей в идеальном трансформаторе: S1 U1 I1* 1 U 2 nI2* n S2 . (6.46) Мы получили равенство комплексных мощностей первичной и вторичной обмоток. Следовательно, КПД идеального трансформатора равен 1. 6.11. Согласующие свойства трансформатора Выразим входное сопротивление трансформатора, использую формулы (6.44) и (6.45): Z ВХ U1 I1 U2 n nI2 ZН n2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (6.47) 116 Входное сопротивление идеального трансформатора имеет такой же 2 характер, что нагрузка, но отличается по величине в n раз. Трансформатор используют для согласования сопротивлений. 4 Ом Пусть нагрузка имеет небольшое сопротивление RН (например, это сопротивление звуковой катушки динамика), а генератор (например, усилитель звуковой частоты) имеет большое сопротивление, RГЕН 10 кОм . Для выделения наибольшей мощности в нагрузке подключим нагрузку через идеальный трансформатор так, чтобы входное сопротивление трансформатора равнялось сопротивлению генератора: RН RВХ n n2 Rген . Вычислим нужный коэффициент трансформации: 2 RН 4 Rген 10 103 4 10 4 ,n 2 10 2 U2 U1 1 . 50 6.12. Схема замещения воздушного трансформатора Для трансформатора (рис.6.9) были получены уравнения (6.34) и (6.35): I1R1 j L1 I1 j MI2 E1 I2 R2 I2 RH jX H I2 j L2 I2 j MI1 Перепишем уравнения трансформатора в таком виде: R1 j L1 j M I 1 j M I 1 M R2 Rн jX n j M I 2 j L2 E1 M j M I2 (6.48) Убедимся в том, что уравнениям (6.48) соответствует схема (рис.6.13), составив по второму закону Кирхгофа уравнения для первого и второго контура. Получили схему замещения трансформатора при встречном включении катушек. В схеме отсутствует магнитная связь. Контуры связанны электрически через сопротивление общей ветви j M . Если в трансформаторе включение катушек согласное (рис.6.14а), то схема замещения имеет вид, показанный на рис.6.14б: В поперечной ветви схемы рис.6.14б индуктивность равна M и имеет расчетное значение. Схемы замещения позволяют упростить расчёт цепей с взаимной индуктивностью. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 117 R1 R2 L1-M L2-M M E1 I1 XH I2 U2 Rн Рис.6.13 M i1 L1 L1 +M i2 L2 Согласное включение а) L2 +M -M б) Рис.6.14 6.13. Развязка магнитно-связанных цепей M I1 a L1 b I1-I 2 Развязкой называется замена магнитносвязанных цепей эквивалентными цепями без магнитных связей. На схеме рис.6.15 к узлу b подключены одноимённые зажимы. Для учёта магнитной связи введем в схему наводимые напряжения взаимной индукции (рис.6.16) и запишем выражения для напряжений на ветвях ab и bc: I2 c L2 R d Рис.6.15 I1 a I2 b L1 j  MI2 L2 R I1 -I2 d Рис.6.16 c j  MI1 U ав j L1 I 1 Uвс j L2 I 2 j M I 2 (6.49) j M I 1 (6.50) Переносим ЭДС взаимной индукции через узел b и переходим к схеме рис.6.17. В ней: U ав j L1 I 1 j M I 1 (6.51) Uвс j L2 I 2 j M I 2 (6.52) В схеме рис.6.17 заменяем в верхних и нижних ветвях ЭДС эквивалентными индуктивностями по теореме компенсации так, чтобы на них были те же падения напряжения. В результате мы выполнили развязку и получили эквивалентную схему без магнитных связей (рис.6.18): В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 118 I1 a I2 b L1 L2 b a c L1 -M j MI2 j MI1 j MI1 j MI2 c R R I1 -I2 L2-M M d Рис.6.18 d Рис.6.17 Правила развязки При развязке магнитно-связанных цепей надо различать два случая подключения катушек и общему узлу. Эквивалентные схемы без магнитных связей показаны на рис.6.19 и 6.20. 1 - й с л у ч а й . К узлу подключены одноимённые зажимы. M c a a L1 b L2 b L1 - M L 2- M M R R d d Рис.6.19 2 - й с л у ч а й . К узлу подключены разноимённые зажимы. M a L1 b L2 R c a L1+M L 2+M b -M d c R Рис.6.20 d 6.14. Расчёт сложных цепей, содержащих взаимные индуктивности Расчет сложных цепей с взаимными индуктивностями проводят по законам Кирхгофа или по методу контурных токов. Метод узловых напряВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 119 жений менее удобен, т.к. ЭДС взаимной индукции выражается через токи. Нельзя применять метод эквивалентного генератора, если есть магнитная связь внутренней и внешней цепи. Нельзя применять преобразование треугольник – звезда и обратно без развязки и перехода к эквивалентным схемам без взаимных индуктивностей. Правило составления уравнений На рис.6.21 показаны два индуктивных элемента сложной цепи. Индуктивность Lk находится в контуре с направлением обхода Ok . В индуктивности Ls проходит ток I s . Для определения знаков напряжений взаимной индукции надо пользоваться следующим правилом: Напряжение U ks , наводимое на индуктивность Lk , равно j M ks I s , если направление обхода индуктивности Lk и ток Is одина- ково направлены относительно одноимённых зажимов. Если направление обхода индуктивности Lk и ток I s неодинаково направлены относительно одноимённых зажимов, напряжение U ks , наводимое на индуктивность Lk , равно Ik j M ks I s . Uk Lk M ks Ok Ls Is Обход Рис.6.21 П р им е р 6 .1 На рис.6.22 показана сложная цепь с тремя взаимно-связанными индуктивностями. Составить уравнения для расчета цепи. Решение Составляем уравнения для токов по первому закону Кирхгофа: I1 I2 I3 0. (6.53) Составляем уравнения для напряжений по второму закону Кирхгофа: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 120 M13 a I1 L1 Z1 I2 M12 E1 Z3 L3 M23 1K I3 2K Z2 E2 b Рис.6.22 1-й контур: I 1 z1 j L1 I 1 j M 23 I 3 j M12 I 2 z2 I 2 j M13 I 3 j L2 I 2 j M12 I 1 E1 (6.54) 2-й контур: I 3 z3 j L3 I 3 jM13 I 1 j L3 I 3 jM 23 I 2 j L2 I 2 j M12 I 1 jM 23 I 3 E2 I 2 z2 (6.55) 6.15. Примеры расчета цепей с взаимными индуктивностями П р им е р 6 . 2 В цепи рис.6.23 задано: R1=60 Ом, R2=10 Ом, L1=0,8 мГн, L2=0,4 мГн, M=0,1 мГн, ω=106 1/с. При каком значении емкости С в цепи наступит резонанс? Решение M I R1 1. Катушки индуктивности включены встречно. Находим эквивалентную индуктивность: R2 L1 L2 C Lэкв L1 1 С Отсюда находим: 1 1  Lэкв  Lэкв 2 2M 0 ,8 0 , 4 0 , 2 1мГн . 2. При резонансе на заданной частоте XC=XLэкв: Рис.6.23 C L2 2 1 12 10 10 3 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016  Lэкв . 10 9 1нФ . 121 П р им е р 6 . 3 M C I1 U R L1 I2 Zн L2 a Рис.6.24 На рис.6.24 комплексная нагрузка подключена к вторичной обмотке трансформатора. Заданы параметры цепи: U1=10 В, XL1=4 Ом, XL2=6 Ом, XС=4 Ом, XM=2 Ом, R=2 Ом. При каком значении Zн в нем выделяется максимальная мощность? Рассчитать токи I1 и I2 и мощность PН. Решение 1. Нижние выводы катушек индуктивности можно соединить. При этом токи в цепи не изменятся. Заменим трансформатор схемой замещения. Так как одноименные выводы катушек одинаково расположены относительно нижнего узла a получим эквивалентную схему рис.6.25: I1 U C L1 -M -j 4 Ом R j2 Ом M j2 Ом a Zвх c L2 -M I 2 j4 Ом I3 b Рис.6.24 Zн Zab 2. Оптимальное сопротивление нагрузки равно комплексносопряженному сопротивлению эквивалентного генератора, заменяющего основную схему слева от зажимов cb. Найдем при отключенной нагрузке и закороченных входных зажимах: Z ab Zвх Z ab j4 j 2( 2 j 2 ) 2 j2 j2 2 4 j 6 Ом , Z н опт j4 2 * Zвх j 2 Ом , 2 2 j 6Ом . 3. Выполним расчет токов при включенной оптимальной нагрузке (рис.6.25). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 122 I1 Zвх U C L1 -M -j 4 Ом R=2 Ом j2 Ом M j2 Ом L2 -M I 2 a c j4 Ом I3 Zн =2-j 6 Ом b Z ab Рис.6.25 Вычислим сопротивление Z ab : j 2( 2 j 6 j 4 ) 2 j6 j 4 j 2 Z ab Входное сопротивление: Zвх Далее вычислим: (2 Zab j2 ) j2 2 j4 j2 2 2 j 2 Ом . 4 Ом . входной ток: I1 10 2 j2 2 10 4 j2 2 ,5 А напряжение U ав : U ab I1( 2 j2 ) j5 В , 5 токи I 3 и I 2 : I3 I2 5 2 j5 j2 5 j5 j2 5 1 2 1 j j 2 ,5 j 2 ,5 A ; 5 2 2e j 45 o 2e j 45o 2 ,5 j A . 4. Выполним расчет мощность в нагрузке: Pн I 22 Rн ( 2 ,5 )2 2 12 ,5 Вт . П р им е р 6 . 4 Параметры цепи заданы на символической схеме замещения (рис.6.26а). Найти входной ток. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 123 R1 1 Ом I jXM =j2Ом jXL1 j3Ом jXL2 R2 2 Ом U= 12 В jXL1 -jXM R1 a -jXC1 R3 2 Ом -jXC3 Рис.6.26 -j1Ом б) b -j1Ом а) jXL2 -jXM U= 12 В jXM =j2Ом -j4Ом -jXC3 j1Ом 1 Ом j4Ом a j2Ом -jXC1 R2 2 Ом -j4Ом R3 2 Ом b Решение 1. Выполним развязку магнитно-связанных катушек. Одноименные зажимы катушек одинаково расположены относительно узла «a». Поэтому после развязки получим схему рис.6.26б: 2. Найдем эквивалентное сопротивление параллельных ветвей: (2 2 Z ab j 2 )( 2 j2 2 Входное сопротивление: Zвх Входной ток: I U Zвх j2 ) j2 Z ab 1 12 3 4 4 4 j1 2 2Ом . j1 3Ом . 4А. П р им е р 6 . 5 Заданы параметры цепи рис.6.27: ω=1041/с, L1=1,2 мГн, L2=1,6 мГн, С=2,5 мкФ, R1=R2=5 Ом, R3=40 Ом. При каком значении М в цепи наступит резонанс? a R1 M R2 Z ab L1 L2 a Rэкв R3 C -jXCэкв b Рис.6.27 b В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 124 Решение 1. Найдем эквивалентное сопротивление Zab параллельного соединения емкости и резистора R3 . Реактивное сопротивление емкости: XC Z ab 1 C jX C R 3 R3 jX C 1 4 10 2 ,5 10 j 40 40 20 40 j 40 6 40 Ом j 20 RЭ jX CЭ . В результате мы преобразовали параллельное соединение емкости и резистора к эквивалентному последовательному соединению. X CЭ 20 Ом ; 2. Условие резонанса:  Lэкв 20 Lэкв 20 104  2 10 3 Гн . 3. Находим М: Эквивалентная индуктивность при встречном включении двух катушек: Lэкв L1 L2 2M 2 мГн . Находим М: M L1 (1, 2 1, 6 2) 10-3 2 L2 Lэкв 2 0 , 4 мГн . П р им е р 6 . 6 R1 UC M12 * L1 E I1 * M13 C L2 M23 I2 L3 R2 Рис.6.27 В сложной цепи с тремя магнитно-связанными индуктивностями заданы параметры: E=45 В, R1=10 Ом, R2=10 Ом, XL1=10 Ом, XL2=20 Ом, XL3=30 Ом, XC=40 Ом, XM12=15 Ом, XM13=10 Ом, XM23= Ом. Найти токи в катушках и напряжение на емкости. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 125 Решение 1. Выбираем направления обхода контуров и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. Если направление обхода катушки i и ток в катушке k одинаково направлены относительно одноименных зажимов, напряжение взаимной индукции входит в уравнения Кирхгофа со знаком плюс. В противном случае – со знаком минус. 1-й контур: R1 I1 jX L1 I1 jX M 12 I2 jX M 13 I2 E ; 2-й контур: R2 I2 jX C 2 I2 jX L3 I2 jX M 23 I2 jX M 13 I1 jX L2 I2 jX M 12 I1 jX M 23 I2 0 . Подставим значения параметров и получим систему уравнений: (10 j 5 I1 Из второго уравнения: I2 j10)I1 j 5 I2 (10 j10)I2 j 5 I1 . (10 j10) 45 Подставим в первое уравнение: (10 j10)I1 225 I1 j5( j5 I1 ) (10 j10) 450 45 ; j 450 . Получим ответы: I1 2 j 2 A , I2 j1A , UC X C I2 40 В . П р им е р 6 . 7 I I1 U 1к R1 M R2 L1 2к C1 L2 C2 I2 Заданы параметры цепи рис.6.28: U=150 В, XL1=8 Ом, XL2= 15 Ом, XC1=8 Ом, XC2=15 Ом, XM= 10 Ом, R1=5 Ом, R2=10 Ом. Найти токи и рассчитать баланс активной мощности. Решение 1. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для расчета токов: 1-й контур: Рис.6.28 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 126 R 1 I1 jX L1 I1 jX M I2 jX C1 I1 U; 2-й контур: R 2 I2 jX L2 I2 jX M I1 jX C 2 I2 U. Подставим значения параметров: 5 I1 j10 I2 j10 I1 150 10 I2 150 . Умножим первое уравнение на j2 и вычтем из него второе уравнение. Получим: 30 I2 150 j300 A , I2 5 j10 A 11, 2e j 63o A. Умножим второе уравнение на j и вычтем из первого: I1 150 j150 , I1 o j10 A 10 2e j 45 A . 10 Находим ток в источнике напряжения: I I1 I2 15 j 20 A . 2. Находим активные мощности в ветвях цепи: Re U I1* P1 Re 150 10 j10 1500 Вт , Re 150 5 j10 750 Вт . Re U I2* P2 3. Находим активную мощность источника: PU Re U I * Re 150 15 j 20 2250 P1 P2 . 4. Найдем мощность, выделяемую в виде тепла в ветвях: PR1 I12 R1 PR 2 5 10 2 I 22 R2 2 10 11, 2 5 200 2 1000 Вт. 1250 Вт . 5. Обратим внимание на то, что активная мощность первой ветви P1 на 500 Вт больше, чем мощность PR1, выделяемая в первой ветви в виде тепла. Это означает, что часть активной мощности передается из первой катушки во вторую через магнитное поле. Передаваемая во вторую катушку комплексная мощность равна: S2 M 100 E2M I2* j100 5 jX M I1 j10 500 5 j10 j500 j10 10 j10 5 j1000 1000 500 j10 j1500 ВA . 500 Вт отрицательна. СледовательАктивная мощность PM 2 но, эта мощность подводится во вторую катушку из первой через магнитВ.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 127 ное поле. Активная мощность, отдаваемая первой катушкой во вторую PM 1 PM 2 500 Вт . В результате получаем: P1 P2 PR1 PM 1 1000 500 1500 Вт , PR 2 PM 2 1250 500 750 Вт . 6.16. Контрольные вопросы 1. Что называют потокосцеплением самоиндукции ? 2. Как связаны индуктивность катушки и потокосцепление самоиндукции ? 3. Когда возникает и как направлена ЭДС самоиндукции ? 4. Что называют магнитным потоком и потокосцеплением взаимной индукции ? 5. Как связано потокосцепление взаимной индукции с взаимной индуктивностью М ? 6. Когда возникает и как направлена ЭДС взаимной индукции ? 7. В чем выражается принцип обратимости в линейных цепях с взаимной индукцией ? 8. Что назыают согласным и встречным включением магнитносвязанных катушек ? 9. Как рассчитать сопротивление взаимной индуктивности в цепи гармонического тока ? 10. Что называют и как рассчитывают коэффициент взаимной связи двух катушек? 11. Чему равна эквивалентная индуктивность двух последовательно включенных катушек при согласном и встречном включении ? 12. Что называют воздушным трансформатором и как он устроен ? 13. Назовите основные параметры воздушного трансформатора. 14. Что называют схемой замещения воздушного трансформатора и как выглядит эта схема ? 15. Что называют ращвязкой магнитно-связанных цепей? 16. Расскажите о правилах развязки магнитно-связанных цепей. 17. Расскажите о правилах составления уравнений для сложных цепей с взаимными индуктивностями. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 128 Глава 7. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ 7.1. Определение и применение колебательных цепей Колебательными или резонансными называют электрические цепи переменного тока, в которых при определенных условиях могут возникать явления резонанса напряжений или резонанса токов. При этом входной ток и входное напряжение совпадают по фазе, входное сопротивление цепи становится чисто активным, а ток в цепи или напряжения на элементах цепи становятся максимальными. Колебательные цепи обладают избирательными свойствами: они способны усиливать колебания определенных частот и ослаблять колебания других частот. Избирательные свойства используют для фильтрации (выделения) полезных сигналов на фоне помех, например, при настройке радиоприемника на нужную станцию. Вторым важной областью применения колебательных цепей является генерация гармонических сигналов заданных частот. На частоте резонанса колебательная цепь создает близкий к нулю сдвиг фаз между током и напряжением и обеспечивает в автогенераторе «условия баланса фаз». Колебательные цепи применяют также для согласования источников и приемников гармонических сизналов. Виды колебательных цепей 1. Колебательные цепи с сосредоточенными параметрами- это линейные электрические цепи, состоящие из индуктивностей и емкостей, способные резонировать на одной или нескольких частотах. Сюда относят колебательные контуры, реактивные двухполюсники, электрические фильтры. Колебательные цепи с сосредоточенными параметрами работают до 100-200 МГц. 2. Колебательные цепи с распределенными параметрами: длинные линии, объемные резонаторы, волноводы. Такие устройства работают на частотах свыше 200 МГц. Группу колебательных систем, работающих на высоких и сверхвысоких частотах (СВЧ) изучают в курсах электродинамики и антенн. В данной главе изучаются следующие резонансные цепи: последовательный колебательный контур, параллельный колебательный контур, связанные колебательные контуры. 7.2. Комплексные передаточные функции колебательной цепи На рис.7.1 показана схема включения колебательной цепи для фильтрации сигналов. На вход поступают несколько гармонических сигналов с разными амплитудами и частотами U1 ,1 , Ui ,i ,U n ,n . Один из сигна- лов U i ,i является полезным и его надо отфильтровать, усилить и передать на выход схемы. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 129 U1,ω1 Iвх Iвых Колебательная цепь Uвх Ui,ωi Uвых Rн H(jω) Un,ωn Xвх(jω) Усилитель Uiвых,ωi Yвых(jω) Рис.7.1. Схема включения колебательной цепи для фильтрации сигналов Колебательную цепь характеризуют комплексной передаточной функцией: H j Y вых j X вх j . (7.1) Различают следующие комплексные передаточные функции: комплексная передаточная функция по напряжению: H U j U вых j U вх j ; (7.2) комплексная передаточная функция по току: H I j I вых j I вх j ; (7.3) комплексная передаточная проводимость: H Y j I вых j U вх j ; (7.4) комплексное передаточное сопротивление: H Z j U вых j I вх j . (7.5) Комплексная передаточная функция включает в себя амплитудно-частотную характкристику и фазочастотную характеристику цепи: H U j где: HU (  ) U вых j U вх j HU (  ) e jU (  ) , (7.6) H U j - амплитудно-частотная характеристика по напряжению; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 130 U (  ) arg( H U j ) -фазочастотная характеристика по напря- жению. i в схеме рис.7.1 амплитудно-частотная характеристика по напряжению HU (  ) на частоте i должна иметь максимальное значение, а на частотах сигналов помех 1 ,....n должна минимальной и подавлять эти мешающие сигналы. На Для выделения полезного сигнала с частотой выходе колебательной цепи комплексное напряжение равно: U вых j H U j U вх j . (7.7) Реальный инфомационный сигнал занимает определенную полосу частот вокруг центральной несущей частоты i . Поэтому форма амплитудно-частотной характеристик колебательной цепи в идеальном случае должна быть прямоугольной и пропускать все спектральные составляющие информационного сигнала без ослабления (рис.7.2). U(ω) Идеальная АЧХ Ui Un U1 ω1 ωi ωn ω Спектр сигнала Рис.7.2. Фильтрация полезного сигнала В какой степени удовлетворяют этим требованиям колебательные цепи, мы рассмотрим в следующих параграфах. 7.3.1. Последовательный колебательный контур Последовательным колебательным контуром называют электрическую схему, состоящую из последовательно соединенных между собой индуктивной катушки, конденсатора и резистора. Расчетной моделью такой схемы служит электрическая цепь, представленная на рис. 7.3, где L  индуктивность катушки, С  емкость конденсатора, R  сопротивление резистора, e(t)  наводимая в контуре или подключаемая к нему электродвижущая сила (э.д.с.) внешнего воздействия. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 131 i(t) uL L e(t) uC C uR R Рис.7.3. Схема последовательного колебательного контура Сопротивление резистора R учитывает:  потери в проводах катушки индуктивности;  диэлектрические потери в каркасе катушки и изоляции;  потери в сердечнике катушки;  потери за счет утечки изоляции конденсатора;  прочие факторы. 7.3.2. Резонанс напряжений Em sin L . Пусть в контуре действует гармоническая ЭДС e t Комплексное действующее значение сигнала: E Em Ee j 0 . 2 Комплексное сопротивление последовательного конгтура: Z j L R 1 C R jX . (7.8) Запишем уравнение для тока в контуре: I E Z E R E jX L R2 1 C 2 e j . (7.9) Здесь: R 2 2 L 1 C  arctg z X . R На частоте резонансной частоте 0 выполняется условие: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (7.10) (7.11) 132 0 L 1 0C 0. (7.12) Отсюда получаем известную формулу для расчета резонансной частоты последовательного контура: 0 1 2 f0 . (7.13) LC На резонансной частоте последовательный контур имеет такие свойства: 0 L реактивное сопротивление контура X сдвиг фаз между током и напряжением  1 0; 0C X arctg 0; R комплексное сопротивление контура Z R . Из формулы (7.11) следует, что на резонансной частоте ток в последовательном контуре имеет максимальное значение E R Iр I max (7.14) и совпадает по фазе с напряжением. На резонансной частоте реактивное сопротивление индуктивности равно реактивному сопротивлению емкости и называется характеристическим сопротивлением контура: 0 L 1 0C L . C  (7.15) Отношение характеристического сопротивления контура к сопротивлению потерь называют добротностью контура: Q  R . (7.16) Вычислим напряжения на элементах контура при резонансе: U R I pR E ; UL UC j0 LI p j 1 I 0C p j E R (7.17) o EQe j 90 ; j E R EQe (7.18) j 90o В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 . (7.19) 133 В радиотехнических контурах сопротивление потерь R не превышает единиц Ом. Для индуктивности L=10 мкГн на частоте f= 10 МГц характеристическое сопротивление  2 107 10 5 628Ом . Добротность контуров составляет 10-200. Следовательно, при резонансе напряжение на индуктивности или емкости последовательного контура превышает входное напряжение в Q ( 50 200 ) раз. Поэтому последовательный резонанс называют резонансом напряжений. Величину, обратную добротности, называют затуханием контура d 1 . Q На рис.7.4 показана векторная диаграмма тока и напряжений в последовательном конруре при резонансе, построенная по формулам (7.14), (7.17- 7.19) для значений E=1В, R=10 Ом, Q=10. 100мА E/R=IR 1В UR=E UL=jEQ UC=-jEQ Рис. 7.4. Векторная диаграмма при резонансе напряжений 7.3.3. Обобщенные частотные характеристики тока в последовательном контуре Частотными или резонансными характеристиками тока в контуре называется зависимость значений тока от частоты сигналов. Перепишем уравнение для тока в контуре (7.11) в таком виде: I E Z j E R j L E R E 1 C R jX 1 X -обобщённая расстройка контура. R При резонансе получим:  0 ,  0 , X где Ip X j R 1 j , (7.20)  0 , 0, I Ip . Нормированную обобщенную частотную характеристику тока получим так: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 134 I Ip 1 1 1 j 1  2 e j . (7.21) Обобщенной амплитудно-частотной характеристикой или резонансной кривой тока называют зависимость модуля нормированного тока от обобщенной расстройки: n I Ip 1 1  2 . (7.22) Обобщенной фазочастотной характеристикой тока называют зависимость: (7.23)  arctg . На рис.7.5 показаны рассчитанные по формулам (7.22) и (7.23) обобщенная амплитудно-частотная характеристика и обобщенная фазовая характеристика тока в последовательном контуре.  2 П  1 4 2  4  2 -1 1 а) б) Рис. 7.5: а) обобщенная амплитудно-частотная характеристика тока (резонансная кривая); б) обобщенная фазочастотная характеристика тока. Обобщенный характер графиков состоит в том, что в обобщенную расстройку  входят все возможные соотношения между активными и реактивными сопротивлениями контура, которые зависят от Q , 0 и  . 7.3.4. Абсолютная и относительная расстройка Преобразуем выражение для обобщенной расстройки следующим образом:  X R 1 L R 1 0 C 0 0 L  R 0 1  LC0 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 Q  0 0  135   2 02 Q 0 0  Q Вблизи резонанса  0 0 0 ,  0 . (7.24) 20 . Абсолютной расстройкой называют величину:  Тогда:  Q  0 . 2 (7.25) 2Q , причем: 0   f f0 0 (7.26) - называют относительной расстройкой. Используя обобщенную, абсолютную и относительную расстройку, нормированную амплитудно-частотную характеристику тока можно записать следующими формулами: n 1 1  2 ; 1 n 1 Q2  0 1 n  1 ( 2Q n 0   0 1 1 ( 2Q ) 2 2 ; ; (7.27) (7.28) )2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (7.29) 136 7.3.5. Полоса пропускания последовательного контура Полосой пропускания контура называют полосу частот вблизи резонанса, на границах которой амплитуда тока снижается до величины 1 от 2 резонансного значения. При этом мощность сигнала снижается в два раза. Из формул (7.22), (7.28) и (7.29) получим, что на границах полосы пропускания: 1; обобщенная расстройка 1,2 1 ; 2Q относительная расстройка 1,2 верхняя граничная частота полосы пропускания грв нижняя граничная частота полосы пропускания грн 0 2Q 0 2Q ; . Полоса пропускания контура: П 20 грв грн 0 Q . (7.30) На границах полосы пропускания фазочастотная характеристика контура   4 . 7.3.6. Влияние добротности контура на избирательность Избирательность контура оценивают в децибеллах по ослаблению сигнала при заданной расстройке относительно резонансного значения: Bдб 20 lg Iр I ( f ) 20 lg Iр Iр 1 (Q 20 lg 1 ( Q 2f 2 ) , (7.31) f0 2f 2 ) f0 Здесь : I ( f ) - ток в контуре при расстройке f . П р им е р 7 .1 Контур с резонансной частотой f0 1МГц должен иметь при расстройке 20 кГц избирательность В=20дб. Чему равна добротность контура? Решение В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 137 Bдб 20 lg 1 ( Q 2f 2 (Q ) f0 10 2 2f 2 ) f0 20 ; 2 1 10 ; Q 1 (Q 2f 2 ) f0 10 ; 10 106 10 f0 2f 3 250 . 2 20 10 Вторым показателем избирательных свойств контура служит коэффициент прямоугольности резонансной кривой: П K П П , где П - полоса пропускания по уровню Обычно выбирают  (7.32) . 0 ,1; 0 ,01 и т.д. Чем ближе K П к единице, тем выше прямоугольность и лучше избирательность контура. На уровне 1 2 1 2 но:   Но  П 1  обобщенная АЧХ n   2 2Q 2   0  . Следователь- 1  2 . , а полоса пропускания: 2  0 2Q Отсюда получаем, что K П  П  .  1 2 1   2 . Таким образом, в одиночном контуре коэффициент прямоугольности практически не зависит от добротности контура. Исследуем влияние добротности на форму АЧХ контура и его полосу пропускания в модели (рис. 7.6). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 138 Рис.7.6. Модель последовательного контура Параметры катушки и емкости контура подобраны так, чтобы резонансная частота f0 10кГц , а характеристическое сопротивление  =1кОм . В режиме Analysis-AC Analysis-AC Transfer Characteristic получим амплитудно-частотные характеристики тока в контуре для значений сопротивления потерь R=10 Ом, 20 Ом, 30 Ом, 40 Ом, 50 Ом. Резонансные кривые показаны на рис.7.7. Рис.7.7. Резонансные кривые тока в последовательном контуре для разных добротностей В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 139 Для сопротивления потерь R=10 Ом добротность Q полоса пропускания П f0 Q  R 100 , а 100Гц . Резонансный ток при входном напряжении 1В составляет 100 мА. При увеличении сопротивления потерь до 50 Ом добротность снижается до 20, а полоса пропускания увеличивается до 500 Гц. Фазочастотные характеристики тока показана на рис.7.8. На границах полосы пропускания значение фазы тока - = 45o . Рис.7.8 Фазовые характеристики тока в контуре 7.3.7 Передаточные функции по напряжению В последовательном контуре выходной сигнал снимают с конденсатора или с индуктивности. Запишем выражение для комплексной пережаточной функции по напряжению на конденсаторе: H UC j U вых j U вх j jX C I Z I j 1 1 C R( 1 j ) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 140 o 1 n  e j(   oCR 90o ) Q o n(  ) e jC (  )  HUC (  ) e jC (  ) . Вблизи резонанса  o , ной функции равен: HUC (  ) 1 CR (7.33) Q . Поэтому модуль передаточ- Q Qn(  )  1 Q 0 2 Q 0  2 1 ( 2Q ) 2 . (7.34) Если выходной напряжение снимают с индуктивности, то H U L ( j ) Q  n(  ) e j (  o 90o ) HU L (  ) e jL (  ) . (7.35) Максимумы напряжений на индуктивности и емкости немного смещены по частоте: max o 1 o . (7.36) 4Q 2 Однако, при добротности Q 50 это смещение можно не учитывать. 7.3.8. Влияние нагрузки на избирательные свойства контура В схеме модели (рис.7.9) нагрузка, учитывающая входное сопротивление следующего каскада, подключена к конденсатору контура. Резистор Rген учитывает внутреннее сопротивление генератора сигнала. Рис. 7.9. Модель контура с нагрузкой На рис.7.10 показаны АЧХ напряжения на конденсаторе при разных значениях нагрузки. Видно, что уменьшение нагрузки снижает добротность контура. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 141 Рис.7.10. АЧХ напряжения на конденсаторе при разных нагрузках Для расчета эквивалентной добротности контура с нагрузкой сначала заменим параллельное соединение конденсатора и нагрузки на последовательное: Z ab Rн ( Rн jX C ) jX C Обычно X C Rн X C 2 Rн2 Rн 2 X C j X С2 Rн2 XC2 Rн . Тогда: Rвн Rн X С2 ' , XC Rвн ' jX C . (7.37) XC . В эквивалентной схеме эквивалентную добротность рассчитывают так:  Qэкв R1 Rген Rвн . (7.38) Эквивалентная полоса пропускания равна: 2o 0 Qэкв . (7.39) Амплитудно-частотная характеристика тока: 1 n 2 1 Qэкв  0 0  2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (7.40) 142 Вывод: Сопротивление нагрузки и источника сигнала сгижают добротность контура, расширяют полосы пропускания и уходшают избирательность контрура. Поэтому последовательный контур применяют только с источниками наряжения с малым внутренним сопротивлением, а сопротивление нагрузки выбирают большим. 7.4. Параллельный колебательный контур 7.4.1. Обобщенная схема параллельного контура Обобщенная схема параллельного контура показана на рис.7.11. Параллельный контур должен работать с источниками тока или с источником напряжения, имеющим большое внутреннее сопротивление Rген. Rген J=E/Rген Rген E Uк a d L1 L2 b e C1 c Rн C2 f Рис.7.11. Обобщенная схема параллельного контура Различают простой параллельный контур, содержащий в параллельных ветвях по одному элементу с разным характером реактивности (L или C). В схеме рис.7.11 простой контур получим, закоротив, например, точки "cb" и "de". В расчетах замыкание емкости можно учесть, установив очень большое значение этой емкости, например, 1Ф. Простой контур называют параллельным контуром первого вида. В сложном параллельном контуре второго вида надо исключить одну из емкостей, закоротив, например, точки “bc”. В сложном параллельном контуре третьего вида надо исключить одну из индуктивностей, закоротив, например, точки “ab”. 7.4.2. Расчетные соотношения в параллельном контуре Приведем основные расчетные соотношения для параллельного контура: f пар L 1 - частота параллельного резонанса; 2 LC L1 L2 - полная индуктивность контура при последовательном обходе; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 143 C де; C1 C2 - полная емкость контура при последовательном обхоC1 C2 L1,2 , C1,2 - значение индуктивности или емкости ветви, имеющей только один реактивный элемент; R1 и R2 - сопротивления потерь катушек индуктивности;  Q П L - характеристическое сопротивление; C  R1 R2 f пар Q -полоса пропускания; p2  2 -резонансное сопротивление контура; R1 R2 R рез p - добротность; L1,2 L C - коэффициенты включения сложного конC1,2 или p тура соответственно второго и третьего вида. Напряжение на контуре (рис.4.3) можно рассчитать по формуле: E R рез R рез Uк ( f ) 2 1 Qэкв ( где Qэкв 1 J Rген f f пар f пар f )2 Rген R рез R рез 2 1 Qэкв ( Rген , (7.41) f f пар f пар f )2 Q - эквивалентная добротность контура с учетом R рез Rген потерь в катушках и внутреннего сопротивления источника сигнала Rген . Для того, чтобы в параллельном контуре выделялась наибольшая мощность, его резонансное сопротивление должно равняться внутреннему сопротивлению генератора. Нормированную АЧХ параллельного контура определяют так: HU ( f ) Uк ( f ) U к max . В ветвях сложного контура, имеющих два ре- В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 144 активных элемента, возникает последовательный резонанс. На частоте последовательного резонанса f посл напряжение на контуре становится минимальным. 7.4.3. Амплитудно-частотные характеристики параллельного контура Изучим АЧХ паралельного контура на модели рис.7.12. Номиналы индуктивностей и емкостей соответствуют послеловательному контуру (рис.7.9). 0,707х50k П Рис.7.12. Модель обобщенной схемы паралельного контура В катушках индуктвности установлены значения последовательныхсопротивлений потерь Rser=20Ом. Потери в конденсаторах не учитываются. При замкнутых ключах SW1 и SW2 получаем простой паралельный контур с параметрами: f рез 10кГц , характеристическое сопротив-  ление R рез 2 R1 106 20 1кОм , резонансное 50кОм , добротность Q  R1 сопротивление 50 . При измерении АЧХ в программе TINA в генераторе тока амплитуда равна 1А. Поэтому на резонансной частоте напряжение на контуре составляет 50кВ. Измеренная по уровню 0,707 полоса пропускания составляет 200Гц. В сложном контуре второго вида с двумя индуктивностями (SW1 замкнут, SW2 разомкнут) паралельный резонанс возникает на частоте f пар 7 ,07кГц , а на частоте f посл 10кГц в правой ветви возникает последовательный резонанс, сопротивление контура становится малым и напряжение снижается до 26В (рис.7.13). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 145 В сложном контуре третьего вида (SW1 разомкнут, SW2 замкнут) частота последовательного резонанса f посл 10кГц , а частота параллельного резонанса f пар 14 ,1кГц (рис.7.14). Рис.7.13. АЧХ сложного контура второго вида Рис.7.14. АЧХ сложного контура третьего вида В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 146 7.4.4. Согласование параллельного конутра с генератором В сложном параллельном контуре резонансное сопротивление зависит от коэффициента включения. Для того, чтобы в контуре выделялась максимальная мощность, следует добиваться выполнения условия: R рез p2  2 R1 R2 Rген . (7.42) Для оптимальный коэффициент включения должен составлять pопт Rген R  , где R - полное сопротивлние потерь в контуре. J 2 Rген . 4 Максимальная мощность в контуре будет равна P max 7.5. Связанные колебательные контуры Обобщенная схема связанных контуров показана на рис.7.14. Первичный контур подключен к источнику напряжения с малым внутренним сопротивлением. Вторичный контур индуктивно связан с первичным контуром. Взаимная индуктивность М может изменяться поворотом одной из катушек. Рассмотрим наиболее важный случай идентичных связанных контуров. Они должны иметь одинаковые собственные резонансные частоты и одинаковые добротности (рис. 7.15). Связь между контурами характеризуется коэффициентом связи k и фактором связи А. Форма резонансных характеристик первичного тока I1 и вторичного тока I2 , а также избирательность системы связанных контуров зависят от фактора связи А. Для вторичного тока АЧХ рассчитывают через фактор связи А и обобщенную расстройку ξ по формуле: I2 ( f ) 2A , где ξ  Q( f f0  f0 f ) (7.43)  2 2 2 2 I 2mm (1  A  ξ )  4ξ В формуле (7.43) I 2 mm  E - наибольшее значение тока во вторичном 2 R1  R2 контуре (максимум-максиморум). ω0  1  L1C1 L1 Q C1 R1 1 , L2C2 L2  В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 C2 R2 , 147 k Рис. 7.14. Обобщенная схема связанных контуров M , A  kQ L1L2 Рис. 7.15. Расчетные формулы E - наибольшее значение тока во 2 R1  R2 вторичном контуре (максимум-максиморум). В формуле (7.43) I 2mm  Полосу пропускания идентичных связанных контуров рассчитывают по формулам: для слабой связи (А<1): П  f0 A2  1  2(1  A4 ) Q для сильной связи (А>1): П  f0 Q A2  2 A  1 (7.44) (7.45) 7.5.1. Расчет АЧХ связанных контуров в Mathcad Выполним расчет АЧХ связанных контуров по формуле (7.43). Для этого используем формула (4.3). Фактор связи А принимает семь различных значений от 0,25 до 3. Графики АЧХ вторичного тока n(ξ , m) рассчитаны для семи значений фактора связи А и показаны на рис.7.16. Критическая связь соответствует значению А=1. При этом резонансная кривая вторичного тока достигает наибольшего значения, но остается одногорбой. При значениях фактора связи А>1 возникает провал резонансной кривой и резонансная кривая становится двугорбой. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 148 Рис.7.16. Графики АЧХ вторичного тока идентичных связанных контуров при различных значениях фактора связи А 7.5.2. Моделирование связанных контуров Схема модели связанных контуров показана на рис. 7.17. Элементы контуров соответствуют последовательному контуру (рис. 7.6). Добротность каждого контура Q 100 . Взаимная индуктивность контуров свя- A L . Амплитуду напряжения гармоничеQ ского сигнала кстановим равной 1 В. Для фактора связи A 0 ,5 взаимная индуктивность составляет M 79 , 6 мкГн . Выполним моделирование с переменным параметром M , изменяющемся так, что фаутор связи А призана с фактором связи так: M нимает значения 0,5, 1, 1,5, 2, 2,5. Рис.7.17. Схема модели связанных контуров В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 149 Амплитудно-частотный характеристики показаны на рис. 7.18. Рис.7.18. АЧХ вторичного тока идентичных связанных контуров Мы видим, что при слабой связи (А=0,5) резонансная кривая одногорбая и не достигает максимального значения I 2mm E 2 R1 R2 1В 20 Ом 50 мА . При критической связи (А=1) резонансная кривая остается одногорбой, а резонансный ток равен I 2mm 50 мА . При сильной связи (А>1) резонансные кривые становятся двугорбыми. Допустимый провал АЧХ составляет I 0 I 2mm соответствует факто- 2 ру связи A 2 , 41. При этом полоса пропускания, рассчитанная по ыорf0 f A2 2 A 1 3,1 0 310 Гц . мале (7.45) составляет П Q Q В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 150 Рис.7.19. Фазо-частотные характеристики вторичного тока идентичных связанных контуров 7.6. Контрольные вопросы 1. Какие электрические цепи называют резонансными? 2. В чем заключается явление электрического резонанса? 3. Изобразите схему последовательного контура. 4. Как рассчитать резонансную частоту, добротность и полосу пропускания последовательного контура? 5. Как рассчитать амплитудно-частотную характеристику последовательного контура? 6. От чего зависит эквивалентная добротность последовательного контура, каким должен быть источник сигнала, подключенный к последовательному контуру? 7. Как найти ток в последовательном контуре при резонансе? 8. Изобразите схему простого параллельного колебательного контура. 9. Как рассчитать резонансную частоту, резонансное сопротивление, добротность параллельного контура? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 151 10. Нарисуйте схему сложного параллельного контура второго вида. 11. Нарисуйте схему сложного параллельного контура третьего вида. 12. Что такое коэффициент включения сложного параллельного контура? 13. Как рассчитать АЧХ напряжения на параллельном контуре? 14. Когда в сложном параллельном контуре возникает последовательный резонанс? Как рассчитать напряжение на параллельном контуре при последовательном резонансе? 15. Изобразите схему связанных колебательных контуров с индуктивной связью. 16. При каких условиях связанные контуры считаются идентичными? 17. Что называют коэффициентом связи и фактором связи связанных контуров? 18. Какой ток в связанных контурах называют первичным, а какой вторичным? 19. Как рассчитать АЧХ вторичного тока идентичных связанных контуров? 20. Как зависит АЧХ вторичного тока идентичных связанных контуров от фактора связи? 21. Как рассчитать полосу пропускания идентичных связанных контуров при слабой и сильной связи? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 152 Глава 8. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ 8.1. Определение четырехполюсника Четырехполюсником называется электрическая цепь, которая имеет 2 входных и 2 выходных 2 зажима. На рис.8.1 показан четыU 2 рехполюсник (4х-п). Входные U1 4х-п (первичные) зажимы обозначены 1 1 . Выходные (вторичные) за1' 2' жимы обозначены 2 2 . Будем Рис.8.1 считать, что четырехполюсник включен в цепь гармонического синусоидального тока. На схеме обозначены комплексные действующие значения токов и напряжений на входах и выходах четырехполюсника. Причем, для токов нам понадобятся разные направления. Внутри четырехполюсника могут быть различные пассивные или активные цепи, соединенные с внешней цепью двумя парами зажимов. I'1 1 I1 I'2 I2 8.2. Классификация четырехполюсников Четырехполюсники бывают: 1. Пассивные (без источников энергии). 2. Активные (содержат источники энергии). 3. Линейные (содержат только линейные элементы). 4. Нелинейные (содержат один или несколько нелинейных элементов). 5. Симметричные, в которых при перемене местами входных и выходных зажимов токи и напряжения во внешней цепи не меняются. 6. Несимметричные, которые не обладают свойствами симметричных. 7. Обратимые, в которых взаимная проводимость входного и выходного контура не зависит от того, какая из двух пар зажимов является первичной, а какая вторичной. Все линейные пассивные четырехполюсники обратимы !!! 8. Необратимые – это несимметричные активные четырехполюсники. Задачи теории четырехполюсников 1. Нахождение токов и напряжений на входе и выходе четырехполюсника по его обобщённым параметрам, без расчета режима внутри четырехполюсника. 2. Вычисление параметров сложных четырехполюсников, образованных, включением более простых. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 153 В этой главе мы будем изучать теорию линейных пассивных четырехполюсников. 8.3. Основные уравнения и параметры четырехполюсников Для исследования четырехполюсников применяют 6 систем параметров. Они отличаются тем, какие величины в четырехполюснике заданы и какие подлежат определению. Для четырехполюсника (рис.8.1) возможные комбинации известных и неизвестных величин напряжений и токов представлены в таблице 8.1. Таблица 8.1 Дано U1,U2 I1,I2 U2,I2` I1,U2 U1,I2` U1,I1` Определить I1,I2 U1,U2 U1,I1 U1,I2 I1,U2 U2,I2 Параметры Y Z A H G B В линейных цепях заданные и определяемые токи и напряжения связаны системами 2-х линейных уравнений. Коэффициенты этих уравнений называют параметрами четырехполюсника. В каждом столбце таблицы 8.1 указаны обозначения параметров четырехполюсников, соответствующих заданной комбинации известных и неизвестных напряжений и токов. 8.4. Система Y-параметров 1 I2 I1 E1 =U1 4х-п 2 E2 =U2 1' 2' Рис.8.2 В четырехполюснике (рис.8.2) заданы напряжения: U1 ,U 2 . Требуется найти токи: I 1 , I 2 . Считаем, что к четырехполюснику подключены два источника напряжения: E1 U1 , E2 U 2 . Каждый источник напряжения будет создавать свой частичный ток. По методу наложения полные токи находим так: I1 I1 I1 I2 I2 I2 Y 11U 1 Y 21U 1 Y 12U 2 . (8.1) Y 22U 2 Составляющие тока обусловлены действием каждого напряжения по отдельности. Коэффициенты при напряжениях являются проводимостями и называются Y- параметры. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 154 Получили систему уравнений четырехполюсника в Y-параметрах. Физический смысл и непосредственное определениеY-параметров Из уравнений (8.1) видно, что для того, чтобы найти Y 11 , надо сделать U 2 0 (короткое замыкание на выходе), измерить I 1 и U 1 : Y 11 I1 U U1 2 0 - входная проводимость при КЗ на выходе. Далее получим: Y 22 I2 U U2 1 0 - входная проводимость со стороны выходных I2 U U1 2 0 - прямая передаточная проводимость при КЗ I1 U U2 1 0 - обратная передаточная проводимость при КЗ зажимов при КЗ на входе (выходная проводимость); Y 21 на выходе; Y 12 на входе. Свойства Y - параметров 1. В обратимом четырехполюснике всегда выполняется равенство: Y 12 Y 21 . Следовательно, линейный пассивный четырехполюсник имеет 3 независимых Y-параметра. 2. В симметричном обратимом четырехполюснике Y 12 Y 21 , Y 11 Y 22 . Следовательно, симметричный обратимый четырехполюсник имеет 2 независимых Y-параметра. Матричная форма уравнений Запишем уравнения (7.1) в матричной форме: I1 Y 11 I2 Y 21 Y 12 U 1 . Y 22 U 2 Определитель матрицы Y-параметров: Y Y 11Y 22 Y 12 Y 21 . 8.5. Система Z –параметров В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.2) (8.3) 155 I2 1 I1 U1 В четырехполюснике рис.8.3 заданы токи: I 1 , I 2 . U 2 Найти напряжения: U ,U . 1 2 В этом случае применяют систему Z-параметров: 2' 4х-п 1' 2 Рис.8.3 U1 Z 11 I 1 Z 12 I 2 U2 Z 21 I 1 Z 22 I 2 . (8.4) Физический смысл и непосредственное определение Z-параметров Для определения параметра Z 11 надо в первом уравнении (8.4) сделать I 2 (холостой ход на выходе) и вычислить: Z 11 U1 I1 I2 0 - входное сопротивление четырехполюсника при холо- стом ходе вторичных зажимов (ХХ2). Далее находим: Z 22 U2 I2 I1 0 - входное сопротивление со стороны выходных зажи- мов при ХХ1 первичных зажимов (выходное сопротивление); Z 21 Z 12 U2 I1 U1 I2 I2 0 - прямое передаточное сопротивление при ХХ2; I1 0 - обратное передаточное сопротивление при ХХ1. В обратимом четырехполюснике: Z12=Z21 – имеем 3 независимых Z - параметра. В симметричных обратимых четырехполюсниках: Z12=Z21; Z11=Z22 – имеем 2 независимых Z – параметра. Связь Y и Z параметров Запишем уравнения в Y параметрах: I1 Y 11U 1 Y 12U 2 I2 Y 21U 1 Y 22U 2 . Решим эти уравнения относительно U1 и U2: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.5) 156 U1 Y 11 Y 12 U2 Y 21 Y 22 1 I1 Y 22 1 Y I2 Y 12 Y 22 1 Y I1 Y 11 Y 12 Y 21 T Y 21 Y 11 I2 I1 (8.6) I2 Получили решение, подобное системе Z-параметров: Y 22 I Y 1 U1 Y 12 I Y 2 Y 21 I Y 1 U2 Y 11 I Y 2 . (8.7) Сравнивая уравнения (7.4) и (7.7), находим связь Z- и Y- параметров: Y 22 Z 11 Y 12 Y Z 12 Z 21 Z 22 Y Y 21 . Y 11 Y (8.8) Y 8.6. Система А – параметров 1 I1 U1 I2 2 U2 4х-п 1' 2' Рис.8.4 А-параметры применяют при анализе передачи энергии от входных зажимов к выходным зажимам и при каскадном соединении четырехполюсников. Направление токов и напряжений в четырехполюснике при использовании А-параметров показано на рис.7.4. Направление тока I2 изменилось. Заданы напряжение и ток на выходе четырехполюсника: U 2 , I 2 . Требуется найти напряжение и ток на входе: U 1 , I 1 . Уравнения четырехполюсника в А-параметрах записывают так: U1 A11U 2 A12 I 2 I1 A21U 2 A22 I 2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.9) 157 Связь A- и Y-параметров Для вывода формул, связывающих А- и Y- параметры в уравнениях (8.1) поменяем знак направление тока I 2 : I 1 Y 11U 1 Y 12U 2 ( 1 ) I2 Y 21U 1 Y 22U 2 ( 2 ) . (8.10) Из уравнения (2) выразим U 1 : U1 Y 22 U2 Y 21 1 I2 . Y 21 (8.11) Подставим (8.11) в (1) из (8.10) и получим после преобразования: I1 Y Y21 U2 Y11 I . Y21 2 (8.12) Теперь сравним уравнения (8.9) и (8.11)-(8.12). Получим выражения А-параметров через Y - параметры: Y22 ,A Y21 12 A11 1 ,A Y21 21 Y Y21 , A22 Y11 . Y21 (8.13) Найдем определитель системы А-параметров: A A11 A22 Y11Y22 Y22 Y11 Y21 Y21 A21 A12 Y11Y22 Y12Y21 Y212 1 Y Y21 Y21 Y12 Y21 . Мы знаем, что в любом обратимом четырехполюснике (8.14) Y12 Y21 1. Следовательно, определитель системы А-параметров равен 1: A 1. (8.15) Поэтому обратимый четырехполюсник имеет 3 независимых Апараметра. В симметричном обратимом четырехполюснике A11 A22 . Следовательно, имеем 2 независимых А – параметра. Физический смысл и непосредственное определение А-параметров В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 158 Для определения А-параметров по уравнениям (8.9) надо на выходе создавать режим холостого хода I 2 0 или короткого замыкания U2 0 . А-параметры определяются по следующим формулам: A11 U1 I2 U2 0 - коэффициент трансформации по напряжению (при A22 I1 U2 I2 0 - коэффициент трансформации тока (при КЗ2); A12 U1 (U2=0) - величина, обратная передаточной проводимости при I2 ХХ2); (КЗ2); I1 I2 U2 A21 0 - величина, обратная передаточному сопротивлению (при ХХ2). 8.7. Система В-параметров 1 I1 U1 I2 2 U2 4х-п 4х-п 1' 2' Рис.8.5 В системе В-параметров направление передачи энергии противоположно тому, которое принято в системе А-параметров (рис.8.5). Заданы напряжение и ток на первичных зажимах: U 1 , I 1 . Требуется найти: U 2 , I 2 . Для решения надо в уравнения четырехполюсника с А-параметрами (8.9) подставить I 1 и I 2 и решить их относительно U 2 и I 2 . В результате получим уравнения в системе В-параметров: U2 A22U 1 I2 A21U 1 A12 I 1 A11 I 1 . (8.16) Правило: А22 При перемене направления передачи энергии коэффициенты А11 и в обратимых четырехполюсниках меняются местами. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 159 8.8. Система H-параметров В системе Н-параметров направления токов и напряжений такие же, как в Y- и Z- параметрах (рис.7.6). I2 1 I1 U1 U2 4х-п 1' 2 2' Рис.8.6 Заданы: I 1 ,U 2 . Требуется найти: U 1 , I 2 . Уравнения в H-параметрах: U1 H 11 I 1 H 12 U 2 I2 H 21 I 1 H 22U 2 . (8.17) Физический смысл и непосредственное определение H-параметров H 11 H 12 U1 I1 1 - входное сопротивление при КЗ выхода; Y11 U2 0 U1 U2 1 - коэффициент обратной связи по напряA22 I1 0 жению при ХХ входа; I2 I1 H 21 I2 U2 H 22 - коэффициент передачи тока при КЗ выхода; U2 0 I1 0 1 - выходная проводимость при ХХ входа. Z 22 Н-параметры широко применяются при расчете схем с биполярными транзисторами. 8.9. Входное сопротивление четырехполюсника К зажимам 2 2 четырехполюсника (рис.8.7) подключено сопротивление нагрузки Z 2 . Находим входное сопротивление со стороны зажимов 1 1 : В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 160 1 I1 I2 U1 Z 1вх Z 1вх 2 1' 2' Рис.8.7 U1 U 2 A11 I 2 A12 I1 U 2 A21 I 2 A22 Z2 U2 4х-п U2 A11 I2 U2 A21 I2 A12 A22 Z 2 A11 Z 2 A21 A12 . (8.18) A22 Частные случаи 1. Короткое замыкание на выходе ( Z 2 0 ). При этом: Z1вх Z 1k 2. Холостой ход на выходе ( Z 2 A12 . A22 (8.19) A11 . A21 (8.20) ). В этом случае: Z 1вх Z 1x Найдем теперь входное сопротивление со стороны вторичных зажимов 2 2 (рис.8.8). Направление передачи энергии изменилось на противоположное. Поэтому, записываем уравнения в B-параметрах: 1 Z1 U1 U2 U 1 A22 I2 U 1 A21 I 1 A12 I 1 A11 I1 (8.21) I2 4х-п 1' . Рис.8.8 2 U2 2' Z 2вх Находим входное сопротивление со стороны вторичных зажимов: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 161 Z 2вх U2 U 1 A22 I 1 A12 I2 U 1 A21 I 1 A11 Z 1 A22 Z 1 A21 A12 . A11 (8.22) Частные случаи 1. Короткое замыкание на входе ( Z 1 При этом: Z 2вх Z 2k 2. Холостой ход на выходе ( Z 1 В этом случае: Z 2вх 0 ). A12 . A11 (8.23) A22 . A21 (8.24) ). Z 2x Свойство четырехполюсника Четырехполюсник преобразует сопротивление нагрузки. Входное сопротивление четырехполюсника определяется его параметрами и сопротивлением нагрузки. 8.10. Параметры холостого хода и короткого замыкания Сопротивления Z1k , Z 2k , Z1x , Z 2 x называют параметрами холостого хода и короткого замыкания. С во й с т ва п а р а м е тр о в Х Х и К З Из формул (8.19), (8.20), (8.23), (8.24) получаем следующие пропорции: Z1k Z1x A12 A21 , A22 A11 (8.25) Z 2k Z2 x A12 A21 . A11 A22 (8.26) Получаем пропорцию для сопротивлений холостого хода и короткого замыкания: Z1k Z1x Z 2k . Z2 x (8.27) Это соотношение можно использовать для проверки измерений и расчетов. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 162 В симметричных четырехполюсниках: A11 A22 . При этом полу- чим: Z1k Z 2k Z1x Zk , Z2 x Zx . (8.28) 8.11. Вычисление А-параметров через параметры холостого хода и короткого замыкания В обратимом четырехполюснике определитель А-параметров равен единице: A A11 A22 A12 A21 1. (829) Подставляем значения А-параметров, выраженные через параметры холостого хода и короткого замыкания: A21 A11 Z1x A22 Z 2 x A21 A11 A11 Z2 x Z1x , Z2 x A11 , Z1x A12 A11 1. A11Z2k . (8.30) Получим уравнение: A A11Z 2k Z1x (8.31) Преобразуем это уравнение для вычисления A11 : 2 A11 Z 2 x Z 2k Z1x 1. Находим: A11 Z1x Z 2 x Z 2k (8.32) Вычислив А11, остальные А-параметры находим по формулам: A12 A11Z 2k , A11 A21 Z1x , A22 Z2 x A11 . Z1x (8.33) Отметим, что требуется дополнительная проверка аргумента А11, так как корень квадратный извлекается неоднозначно. 8.12. Схемы замещения четырехполюсника 1 I1 I2 U1 4х-п 1' Рис.8.9 U1 U 2 A11 2 U2 2' I 2 A12 ; I 1 Представим себе, что внутренняя структура пассивного четырехполюсника (рис.8.9) неизвестна, но были измерены на заданной частоте А-параметры четырехполюсника и составлены его уравнения: U 2 A21 I 2 A22 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.34) 163 Требуется сделать еще один четырехполюсник с такими же Апараметрами. Для этого надо найти схему замещения из пассивных сопротивлений, которая имеет ту же матрицу А-параметров. Т- образная схема замещения 1 I1 Z1 U1 I2 Z2 2 U2 Z3 I'1 1' 2' Рис.8.10 I1 I2 I I2 Будем искать сначала Тобразную схему замещения четырехполюсника (рис.8.10). Требуется найти Z1 , Z 2 , Z3 , которые дают ту же матрицу А-параметров. Составляем уравнения для тока I 1 и напряжения U 1 в схеме (рис.8.10): U2 A22 A21 I2Z2 1 U Z3 2 Z3 Z2 I . Z3 2 1 A11 U1 U2 I2Z2 I1 Z1 U2 1 (8.34) A12 Z1 Z3 I 2 Z1 Z2 Z 2 Z1 . (8.35) Z3 Из этих уравнений выражаем сопротивления Т-образной схемы за мещения через А-параметры: Z1 A11 1 , (8.35), A21 A22 1 , (8.36), A21 Z2 Z3 1 . (8.37) A21 Схема замещения справедлива на той частоте, для которой определены А-параметры в исходном четырехполюснике. П-образная схема замещения Применяют также П-образную схему замещения (рис.8.11), в которой сопротивления вычисляют по формулам: Za Z a A12 , 2 1 Zb 1' Zb Zc Рис.8.11 2' Zc A12 A22 1 A12 A11 1 , . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.38) 164 8.13. Соединения четырехполюсников Последовательное соединение I1 I2 a U '1 U1 I1 U '2 При последовательном соединении входные и выходные зажимы четырехполюсников «a» и «b» включены последовательно (рис.8.12). I 2 U2 Определение Соединения четырехполюсU "1 U "2 ников называют регулярным, если b сохраняется равенство токов подI1 I2 текающих к верхнему зажиму и вытекающих из нижнего зажима каждого четырехполюсника. Рис.8.12 В этом случае матрица параметров каждого четырехполюсника не меняется. Примеры некоторых регулярных соединений показаны в таблице 8.2. Таблица 8.2 Трехполюсники, соединенные Четырехполюсники общими зажимами с трансформаторами a b Вывод формулы последовательного соединения Для четырехполюсника «a» в схеме (рис.8.12) запишем уравнения в системе Z-параметров: U1 U2 ( Za ) I1 I2 . Для четырехполюсника «b» имеем: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.39 165 U1 ( Zb ) U2 I1 . I2 (8.40) В последовательном соединении (рис.8.12) складываются напряжения на входе и выходе: U1 U1 U1 U2 U2 U2 . (8.41) Подставим в (8.41) выражения для столбцов напряжений из (8.39) и (8.40) и получим: U1 U1 U1 U2 U2 U2 Za Zb I1 I1 Z I2 I2 . (8.42) П р а в и л о : При последовательном регулярном соединении суммируются матрицы Z - параметров: Z Z a Z b . Параллельное соединение В параллельном соединении входные и выходные зажимы четырехполюсников включены параллельно (рис.7.13). Для «a» запишем уравнения в системе Y-параметров: I1 I'1 I2 I '2 1 2 a U1 U1 U2 I1 Ya I2 U1 U2 . (8.43) 2' 1' I "1 Аналогично для «b»: I"2 I1 b U1 Yb I2 U1 U2 . ( 8 .4 4 ) При параллельном соединении суммируются входные и выходные токи четырехполюсников: Рис.8.13 I1 I1 I1 I2 I2 I2 Ya Yb U1 U2 . (8.45) П р а в и л о : При параллельном регулярном соединении суммируются матрицы Y-параметров: Y Ya Yb . Каскадное соединение В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 166 I '1 U'1 a I '2 I"1 U '2 U "1 I "2 U "2 b Рис.8.14 При каскадном соединении входные зажимы последующего четырехполюсника соединяются с выходными зажимами предыдущего. Условие регулярности выполняется всегда. Для четырехполюсника «a» запишем уравнения в А – параметрах: U1 I1 Aa U2 I2 . (8.46) . (8.47) Аналогично для четырехполюсника «b»: U1 I1 Ab U2 I2 Так как в схеме (рис.8.14): U2 U1 I2 I1 , получим: U1 I1 Aa Ab U2 I2 . (8.48) П р а в и л о : При каскадном соединении перемножаются матрицы А-параметров: A Aa Ab . 8.14. Расчет А-параметров простых четырехполюсников Запишем еще раз уравнения в А – параметрах: U1 A11U 2 A12 I 2 I1 A21U 2 A22 I 2 . (8.49) Прямое соединение Входные и выходные зажимы соединены проводниками без сопротивления. I1 I2 Имеем равенства напряжений 1 2 U 1 U 2 и токов I 1 I 2 . Этим условиям удовлетворяет единичная U1 U2 матрица А-параметров: 1' 2' 1 0 A Рис.8.15 0 1 . (8.50) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 167 Продольное сопротивление I1 С о с та в ля е м ур а в н е н и я : I2 1 2 U1 U2 U2 I1 I2 Z1 U1 I 2 Z1 . (8.51) 2' Сравним (7.51) и (7.49) и получим: 1' Рис.8.16 1 Z A . 1 (8.52) Параллельное сопротивление I1 I2 1 2 U 1 I '2 Z2 Уравнения четырехполюсника (рис.8.17) имеют вид: U2 1' 2' Рис.8.17 U1 U2 I1 I2 1 U Z2 2 I2 I2 . (8.53) Получаем матрицу А-параметров: 1 A 1 Z2 1 . (8.54) Г-образный 4х-полюсник I1 Z 1 /2 I 2 1 2 U1 1' 2Z2 Рис.8.18 U2 2' Четырехполюсник (рис.8.18) можно рассматривать как каскадное соединение четырехполюсников рис.8.17 и рис.8.16. Перемножим матрицы Апараметров (8.54) и (8.52): 1 AГ1 1 2Z 2 2Z 2 Z1 2 1 Z1 1 1 0 1 1 0 1 2 Z1 4Z 2 . (8.55) Во втором варианте Г-образного четырехполюсника (рис.8.19) поменялись местами входные и выходные зажимы и изменилось направление передачи энергии. В этом случае в матрице А-параметров меняются местами A11 и A22 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 168 I1 Z 1 /2 I 2 1 2 U1 2Z2 AГ 2 U2 1' Z1 4Z 2 1 1 2' Z1 2 . (8.56) 1 2Z 2 Рис.8.19 Симметричный Т-образный четырехполюсник Z1 /2 Z1 /2 2 1 Z2 1' Т-образный четырехполюсник (рис.8.20) можно рассматривать как каскадное соединение двух Г-образных четырехполюсников в последовательности (слева-направо): Г2-Г1. 2' Рис.7.20 Перемножая матрицы, получим: Z1 1 AТ AГ 2 AГ 1 1 2Z 2 Z1 1 Z2 Z1 4Z2 Z1 1 . (8.57) 2Z 2 Симметричный П-образный четырехполюсник П-образный четырехполюсник (рис.8.21) можно рассматривать как каскадное соединение двух Г-образных четырехполюсников в последовательности (слева-направо): Г1-Г2. Перемножая матрицы, получим: 1 AП AГ 1 AГ 2 1 Z2 Z1 1 Z1 1 Z1 2Z 2 Z1 4Z 2 1 Z1 2 2Z2 2 Z1 1' 2' Рис.8.21 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 . 2Z 2 (8.58) 169 8.15. Характеристические сопротивления Характеристическими сопротивлениями пассивного четырехполюсника Z1cи Z2c называются два сопротивления, удовлетворяющие условию полного взаимного согласования, а именно: 1. Если в схеме (рис.8.22а) к вторичным зажимам подключено сопротивление Z 2 Z 2c , то входное сопротивление со стороны первичных зажимов будет равно Z 1c : Z вх1 A11 Z 2c A12 A21 Z 2c A22 Z 1c . (8.59) 2. Если в схеме (рис.8.22б) к первичным зажимам подключено сопротивление Z 1 Z 1c , то входное сопротивление со стороны вторичных зажимов будет равно Z 2c : Z вх 2 1 A22 Z 1c A12 A21 Z 1c A11 2 Z 2c . (8.60) 1 2 Z 2 =Z 2c 1' Z 1C 2' а) Z 1 = Z 1c 1' 2' Z2C б) Рис.8.22 О п р е д е л е н и е . Четырехполюсник, нагруженный на характеристическое сопротивление, называется согласованным с нагрузкой. Решая два уравнения (8.59) и (8.60), получим выражения для Z1c и Z2c: Z 1c A11 A12 , A21 A22 (8.61) Z 2c A22 A12 . A21 A11 (8.62) Из выражений (8.61) и (8.62) можно найти следующие свойства характеристических сопротивлений: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 170 A12 , A21 Z 1c Z 2c Z 1c Z 2c (8.63) A11 . A22 (8.64) Используем формулы (8.19), (8.20), (8.23), (8.24), выражающие сопротивления холостого хода и короткого замыкания через А-параметры: A12 , Z 1x A22 Z 1k A11 ,Z A21 2k A12 , Z 2x A11 A22 . A21 Подставим эти выражения в (7.61) и (7.62): Z 1c Z 1x Z 1k , Z 2c Z 2 x Z 2k . (8.65) Получили выражения характеристических сопротивлений через сопротивления холостого хода и короткого замыкания. 8.16. Характеристическая постоянная передачи (мера передачи) I1 I2 1 U1 2 4х-п 1' ' Z 1C U2 Z 2=Z 2c 2' Рис.8.23 Рассмотрим четырехполюсник (рис.8.23), нагруженный на характеристическое сопротивление Z 2c . Такой четырехполюсник согласован с нагрузкой. Выразим ток и напряжение на выходе четырехполюсника через характеристическое сопротивление Z 2c I2 U2 Z 2c , U2 A22 A12 : A21 A11 I 2 Z 2c . Подставим эти выражения для выражения для тока и напряжения в уравнения четырехполюсника в А-параметрах: U1 I1 A11U 2 A21 I 2 A12U 2 A22 A12 A21 A11 A21 A11 , A22 A12 (8.67) A22 I 2 . (8.68) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 171 A11 U ,ав A22 2 Выносим в правой части уравнения (8.67) за скобки A22 I2 : A11 уравнении (8.68) выносим за скобки A11 U A22 2 U1 A22 I2 A11 I1 A11 A22 A12 A21 . A11 A22 (8.69) A12 A21 В полученных уравнениях обозначим: Z 1c A11 A22 mТ Z 2c (8.70) - коэффициент трансформации четырехполюсника; e g g A11 A22 ln A12 A21 ; A11 A22 A12 A21 (8.71) a jb (8.72) - характеристическая постоянная передачи, мера передачи; а – характеристическое затухание; b - характеристическая фаза, фазовая постоянная. Поясним смысл характеристических параметров для симметричного четырехполюсника в согласованном режиме. В этом случае имеем: A11 A22 , mТ 1, U 1 g U 2e , U1 U2 e I1 . I2 g (8.73) Далее получим: e g ea ea jb ea e jb U1 ; a U2 U1 U2 ln U1 j 1 e U2 U1 . U2 2 , (8.74) (8.75) Характеристическое затухание симметричного четырехполюсника равно логарифму отношения амплитуд напряжений или токов на входе и выходе. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 172 Затухание измеряют в неперах (1 неп. равен затуханию в е раз) и в децибелах (1дб = 20 lg (U1/U2), 1 дб = 0.115 неп. 1 неп.= 8.66 дб). Характеристическая фаза равна сдвигу фазы между входным и выходным напряжением согласованных четырехполюсников: b 1 2 . (8.76) В согласованном режиме четырехполюсник рассчитывают по формулам с характеристическими параметрами: U1 I1 g mТ U 2e , 1 g I 2e . mТ (8.77) (8.78) 8.17. Уравнения четырехполюсника в гиперболической форме Рассматриваем работу четырехполюсника в согласованном режиме при нагрузке на сопротивлении Z 2c . Запишем еще раз формулу (7.71): e g A11 A22 A12 A21 . Находим обратную величину: e A11 A22 1 g A11 A22 A12 A21 A11 A22 ( A11 A22 A12 A21 A12 A21 )=1 A12 A21 . = (8.79) Через экспоненты (7.71) и (7.79) выразим гиперболические функции: e g e 2 g e e 2 g chg A11 A22 , (8.80) shg A12 A21 . (8.81) g Ранее было найдено: Z 1c Z 2c A11 A22 A12 , A21 Z 1c Z 2c . (8.63) (8.64) Решая уравнения (8.80), (8.81), (8.63) и (8.64) относительно Апараметров, находим выражения А-параметров через характеристические параметры: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 173 Z 1c A11 Z 2c chg , 1 A21 A12 Z 2c A22 shg , Z 1c Z 2c Z 1c Z 2c shg , Z 1c chg . Подставим эти выражения в уравнения четырехполюсника в Апараметрах и учтем, что I 2 Z 2 U 2 : U1 Z 1c Z 2c chgU 2 mТ U 2chg I1 1 Z 1c Z 2c 1 ( I chg mТ 2 I 2 Z 2 shg Z2 Z 1c shg ) Z 2c mТ ( U 2chg Z 2c shgU 2 U2 Z 1c Z 1c Z 2c shg I 2 ( U 2chg I 2 Z 2c shg ) g U 2 shg ) mТ U 2e . (8.82) Z 2c U 2 ( shg Z 1c Z 2 chg I 2 1 ( I chg mТ 2 I 2chg ) 1 g I 2e . mТ I 2 shg ) (8.83) Для согласованного режима справедливы компактные уравнения в гиперболической форме: g U1 mT U 2e , I1 (8.84) 1 g I2 e . mT (8.85) 8.18. Каскадное соединение согласованных четырехполюсников На рис.7.24 показаны два четырехполюсника, включенные каскадно. Четырехполюсник «a» имеет характеристические сопротивления Z 1c и Z 2c . Четырехполюсник «b» со стороны выходных зажимов имеет характеристическое сопротивление Z 3c . Для согласованного каскадного включения требуется выполнения следующих условий: ZН Z 3c , Z вх.b Z 2c , Z вх .а Z 1c . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.86) 174 I1 I3 I2 U1 U2 a U3 b Z 1c Z 2c Z 3c Z2c Z 3c Рис.8.24 Тогда запишем уравнения четырехполюсников в согласованном режиме: Z 1c U1 g e a U 2 , U1 Z 2c ga ; (8.87) Z 2c U2 mТ a U 2e Z 3c g g e bU3, U2 mТ б U 3e b . Учтем то, что напряжение U 2 одинаково для двух четырехполюсников и получим: ZН U1 U2 U1 g Z 3c , Z вх.b Z 1c Z 2c Z 2c , Z вх .а g mТ a U 2e a ; g mТ б U 3e b ; e a U 2 , U1 Z 2c Z 3c mТ a e a mТб U 3e Z 1c ; e bU3, U2 gb Z 1c Z 3c e ga g g Z 1c Z 2c Z 2c Z 3c gb e ga gb U3 U 3. (8.88) П р а в и л о . При согласованном каскадном включении результирующий четырехполюсник имеет характеристические сопротивления Z1c и Z3c и меру передачи ga+gb. Симметричный четырехполюсник В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 175 U1 Zc U3 gc gb ga Zn = Zc Zc Zc Рис.8.25 В симметричном четырехполюснике характеристические сопротивления одинаковы: Z1c Z 2c Zc , коэффициент трансформации mТ 1 и входное сопротивление в любом сечении соединения всегда равно Z c Меры передачи при каскадном соединении суммируются: g э ga gb gc . Формула (8.88) для симметричных согласованных четырехполюсников (рис.8.25) имеет вид: U1 U 3e ga gb . (8.89) 8.19. Комплексные передаточные функции четырехполюсника Рассмотрим четырехполюсник (рис.8.7), нагруженный на сопротивление Z 2 . Комплексной передаточной функцией по напряжению называют отношение комплексных амплитуд выходного и входного напряжения: KU j U2 U1 U2 A11U 2 A12 I 2 Z2 . A11 Z 2 A12 (8.90) Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) по напряжению: KU j Z2 . A11 Z 2 A12 KU  (8.91) Фазо-частотная характеристика по напряжению (ФЧХ): U j Arg Z2 . A11 Z 2 A12 В частном случае, когда Z 2 KUxx j (8.92) , 1 . A11 Это соотношение используется для проверки расчёта А11. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (8.93) 176 Комплексной передаточной функцией по току называют отношение комплексной амплитуды выходного тока к комплексной амплитуде входного тока: K I j I2 I1 I2 1 A21U 2 A22 I 2 В частном случае, когда Z 2 0 , 1 . K Iкз j A22 A21 Z 2 A22 . (8.94) (8.95) 8.20. Примеры расчета четырехполюсников П р им е р 8 . 1 I1 R1 I2 1 U1 2 U2 R2 Пользуясь уравнениями четырехполюсника, найти: Y, Z и А - параметры Г- образной схемы (рис.8.26), если R1=2Ом, R2=2Ом. 2' 1' Рис.8.26 Решение 1. Запишем уравнения четырехполюсника в системе Y- параметров I1 Y11U 1 I2 Y21U 1 Y12U 2 Y22U 2 . В режиме короткого замыкания выходных зажимов ( U 2 определим Y11 и Y21: Y11 Y21 I2 U1 I1 U1 U2 0 U2 0 I1 R R I1 1 2 R1 R2 U1 R1 1 U1 R1 0) 1См , 0 , 5 См . В режиме короткого замыкания входных зажимов ( U 1 определим Y12 и Y22: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 0) 177 Y12 Y22 I11 U2 I2 U2 U1 0 U1 0 U2 R1 U2 U2 R1 U2 1 R1 1 R1 0 , 5 См Y21 , 0 , 5 См . 1. Запишем уравнения четырехполюсника в системе Z- параметров. Токи и напряжения соответствуют схеме (рис.8.26). U1 Z11 I1 Z12 I 2 U2 Z 21 I1 Z 22 I 2 . В режиме холостого хода на выходных зажимах ( I 2 лим Z11 и Z21: Z11 U1 I1 U1 U1 R2 I2 0 U2 Z 21 I1 I1R2 I1 I2 0 R2 2Ом , R2 2 Ом . 0 ) опреде- В режиме холостого хода на входных зажимах (I1=0) определим Z11 и Z22: Z12 Z 22 U1 I2 I1 0 I 2 R1 U2 I2 I 2 R2 I2 I1 0 I2 R2 R2 2Ом , R1 R2 4 Ом . Используя связь между Z и Y параметрами, проверим правильность расчета: Z11 Y22 Y 0,5 Y11Y22 Y21Y12 0,5 0 , 25 2 Ом . 1. Запишем уравнения четырехполюсника в системе А- параметров. Токи и напряжения показаны на рис.8.27. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 178 I1 I2 R1 1 2 U1 U2 R2 2' 1' Рис.8.27 U1 I1 A11U 2 A21U 2 A12 I 2 A22 I 2 . В режиме холостого хода на выходных зажимах ( I 2 лим A11 и A21: A11 A21 U1 U2 I1 U2 0 ) опреде- 1; I2 0 I2 0 . 1 R2 0 , 5 См В режиме короткого замыкания выходных зажимов ( U 2 определим A12 и A22: A12 A22 U1 I2 I1 I2 U2 0 U2 0 U1 U1 R1 0) 2 Ом , I1 R2 I1 R1 R2 2. Вычислим определитель А- параметров: A A11 A22 A12 A21 1 2 0 ,5 2 1. П р им е р 8 . 2 В схеме (рис.8.27) заданы: U2 10B , I 2 2 A . Определить U 1 и I1 . Решение Подставим в систему уравнений четырехполюсника найденные в примере 7.1 А- параметры и заданные U2, I2. Получим: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 179 U1 A11U 2 I1 A21U 2 A12 I 2 A22 I 2 1 10 6В 2 2 0 , 5 10 2 2 1A . П р им е р 8 .3 . I1 1 В четырехполюснике (рис.8.28) заданы комплексные сопротивления: Z1=4j Ом, Z2=+j3 Ом, Z3= -j6 Ом. Рассчитать А - параметры двумя способами: 1) непосредственно по уравнениям; 2) через сопротивления холостого хода и короткого замыкания. I2 Z1 2 Z2 U2 U1 Z3 1' 2' Рис.8.28 ем: Решение 1. Непосредственный расчет по уравнениям четырехполюсника. В режиме холостого хода на выходных зажимах ( I 2 0 ) определя- A11 A21 U1 U2 I1 U2 U1 Z3 U1 Z1 Z3 I2 0 I1 I1 Z3 I2 0 Z1 1 Z3 Z3 Z3 2j 6j 1 6j 1 j См . 6 1 , 3 В режиме короткого замыкания на выходных зажимах ( U 2 находим: A22 A12 I1 I2 U2 0 I1 Z2 U1 U1 I2 2 I1 U2 0 Z2 I1 Z3 Z3 6j Z3 3j 0,5 , 6j Z3 2 Z1 U1 U1 Z 2 Z3 Z 2 Z3 4j 3j 6j 3j 2 Выполним проверку: A11 A22 A12 A21 0) 1 1 0,5 5 j j 3 6 1 6 5 6 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 1. 5 j Ом . 180 2. Расчет А- параметров через параметры холостого хода и короткого замыкания. Вычисляем сопротивления холостого хода и короткого замыкания: Z1X Z1 Z3 4 j 6 j 2 j Ом , Z1K Z1 Z 2 Z3 Z 2 Z3 4j Z2 X Z2 Z3 6j Z2K Z2 Z1 Z3 Z1 Z3 3j 3j 6j 3j 6j 10 j Ом , 3 j Ом , 3j 4j 6j 4j 6j 3j 15 j Ом . 12 j Находим А- параметры по формулам (8.32)-(8.33): A11 Z1X Z2 X Z2K A12 A11 Z 2 K A21 A11 Z1X A22 A11 2j 3 j 15 j 1 15 j 3 1 3 2j Z2 X Z1X 1 3 2j 18 j 1 , 3 5 j Ом , j 1 См , 6 3j 1 . 2 2j П р им е р 8 . 4 Рассчитать элементы Т- образной и П- образной схем замещения четырехполюсника с А- параметрами: A11 1 ; A12 3 5 j Ом ; A21 1 j См ; A22 6 1 . 2 Построить эти схемы замещения. Решение 1. Рассчитываем элементы Т - образной схемы замещения по формулам (7.35) - (7.37): Z1 A11 1 A21 1 1 3 1 j 6 4 j Ом , Z 2 A22 1 A21 1 1 2 1 j 6 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 3 j Ом , 181 1 A21 Z3 1 1 j 6 6 j Ом . Мы видим, что сопротивления Т – образной схемы замещения совпадают с заданными в исходной схеме четырехполюсника (рис.8.28). 2. Рассчитываем элементы П- образной схемы замещения по формулам (8.38). Za=5j Ом Za A12 5 j Ом , Zc Zb Zb -7,5j Ом -10j Ом Zc Рис.8.29 A12 5j 0 ,5 1 A22 1 A12 5j 1 1 3 A11 1 10 j Ом , 15 j 2 7 , 5 j Ом . П- образная схеме замещения показана на рис.8.29. В ней использована одна индуктивность и две емкости. На низких частотах, когда индуктивности имеют большие номиналы и размеры, это будет преимуществом П – образной схемы в сравнении с Т – образной. П р им е р 8 . 5 I1 1 EГ 2 U1 Z1вх U2 1' Рис.8.30 R2 2' Четырехполюсник (рис.8.30) подключен к генератору гармонического напряжения с действующим значением EГ 10 В , внутренним сопро- 4 4 j Ом и нагружен на сопротивление R2 тивлением Z Г частоте генератора четырехполюсник имеет А- параметры: A11 1 ; A12 3 5 j , Ом ; A21 1 j , Ом ; A22 6 3 Ом . На 1 . 2 Найти напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника. Решение 1. Находим входное сопротивление четырехполюсника: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 182 Z1вх A11R2 A21R2 1 3 5j 3 1 j 3 0 ,5 6 A12 A22 1 5j 0,5 1 j 4 j Ом . 6 2. Вычислим ток I1 и напряжение U 1 : EГ I1 10 1A , Z1вх Z Г 6 4 j 4 4 j U 1 I1Z1вх 6 4 j В . 3. Определим U 2 и I 2 , пользуясь В - параметрами. При этом учтем, что в схеме с В-параметрами направления токов меняются на противоположные. Поэтому в расчетных формулах надо взять токи со знаками минус. U2 I2 A22U 1 A22U 1 Ответ: I 2 П р им е р 8 . 6 1 A12 I1 A11 0 ,5 6 4j 1 j 6 6 I1 3 3j В 1 5j 4j 1 1 3 j 1А . j A. Найти характеристические параметры четырехполюсника, заданного в примере 8.3, считая известными А-параметры: 1 ; A12 3 A11 5 j Ом ; A21 1 j См ; A22 6 0,5 . Решение Вычисляем характеристические параметры, используя А - параметры четырехполюсника: g Z1C A11 A12 A21 A22 Z 2C A22 A12 A21 A11 A11 A22 1 3 1 2 5j 1 5j 1 1 3 j 6 2 1 5j 1 1 2 j 6 3 20 Ом , 45 Ом , A21 A12 1 j 6 1 6 5 6 0 , 41 j 0 , 915 1 e j 66 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 ea e jb . 183 Ответ: Z1C 20 Ом , Z 2C 45 Ом , a 0, b 1,14 рад . 66 П р им е р 8 . 7 Четырехполюсник (рис.8.31) нагружен на согласованное сопротивление и имеет характеристические параметры Z1C=10 Ом, Z2C=40 Ом, a=0, b=450. Входное напряжение U1=100 B. Найти U2, I1, I2. I1 1 2 I2 U2 U1 1' ZН 2' Рис.8.31 Решение 1. Так как нагрузка четырехполюсника согласованная, его входное сопротивление Z1вх Z1C 10 Ом . 2. Находим ток I1 U1 Z1вх 10 А . 3. В согласованном четырехполюснике справедлива формула: U1 Z1C U 2e g . Z 2C Определяем из этой формулы: U2 U1 100 Z1C g e Z 2C 10 j 45 e 40 200e 4.Находим ток: I2 U2 U2 ZН Z 2C 5e j 45 A. Ток I2 можно также определить по формуле: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 j 45 В. 184 I2 I1 Z 2C g e Z1C 5e j 45 A. Контрольные вопросы 1. Какие цепи называют четырехполюсниками? 2. Какими свойствами обладают линейные пассивные четырехполюсники? 3. Что такое обратимые и симметричные четырехполюсники? 4. Как экспериментально найти сопротивления холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника? 5. Каким свойством обладают А-параметры линейного пассивного четырехполюсника? 6. Как рассчитать А-параметры линейного пассивного четырехполюсника через параметры холостого хода и короткого замыкания? 7. Как подобрать для четырехполюсника нагрузку, в которой будет выделяться наибольшая активная мощность? 8. Что такое схемы замещения четырехполюсника? 9. Какие характеристические параметры имеет четырехполюсник и как их можно рассчитать? 10. Что такое согласование четырехполюсника с нагрузкой? Как можно рассчитать согласованный режим работы четырехполюсника? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 185 Глава 9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ 9.1. Определения и классификация фильтров Электрическим фильтром называется четырехполюсник, пропускающий без существенного ослабления колебания определённых частот и подавляющий колебания других частот. Полоса частот, в которой затухание фильтра мало (а=0), называться полосой пропускания или полосой прозрачности Полоса частот, в которой затухание фильтра велико (а =∞), называться полосой задерживания или полосой подавления. Классификация фильтров по полосе пропускания показана на рис.6.1. Области со штриховкой соответствуют полосе задерживания. Прозрачные области соответствуют полосе пропускания (прозрачности). Граничные частоты полосы пропускания и задерживания называют частотами среза и обозначают c1 ,c 2 . Рис.9.1. Классификация фильтров по полосе пропускания Классификация фильтров по характеру звеньев показана на рис.9.2. Применяют однозвенные фильтры: Г-образные и симметричные Тобразные и П - образные. Рис.9.2. Однозвенные фильтры В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 186 Многозвенные фильтры получают каскадным согласованным соединением однозвенных. По типу характеристик классифицируют: - простейшие фильтры типа «k»; - улучшенные фильтры типа «m»; - фильтры Чебышева, Кауэра, Баттерворта и др. По типам элементов классифицируют: - реактивные LC-фильтры; - безиндукционные RC – фильтры; - активные фильтры, содержащие операционные усилители с RCцепями обратной связи. - пьезоэлектрические фильтры (кварцевые, керамические) и др. 9.2. Условие полосы пропускания реактивного фильтра Рассмотрим работу симметричных реактивных фильтров в согласованном режиме, т.е. при нагрузке, равной характеристическому сопротивлению (рис.9.3). Рис.9.3. Согласованный режим работы фильтров В согласованном режиме Т-фильтр нагружен на характеристическое сопротивление ZT . При этом его входное сопротивление также равно ZT. П – фильтр нагружен на характеристическое сопротивление ZП и его входное сопротивление равно ZП. В согласованном режиме для симметричных фильтров U1 U2 I1 I2 передачи g e g a ea e jb . Напомним, что характеристическая постоянная jb , где a - характеристическое затухание, b - характе- ристическая фаза. Следовательно, частотные свойства фильтров однозначно определяются характеристической постоянной передачи g . Причем, в схемах рис.9.3 реактивные сопротивления обозначены так, что при равных значениях Z1 и Z2 оба фильтра имеют одинаковые характеристические постоянные передачи и в согласованном режиме имеют одинаковые частотные свойства. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 187 Характеристическая постоянная передачи связана с сопротивлениями Т и П - фильтров следующими уравнениями: Z Z1 Z ch( g )  A11  A22  1  1 ; sh( g )  A12  A21   (1  1 ) 2Z 2 Z2 2Z 2 (9.1) В полосе пропускания a  0 . Для этого должно выполняться следующее условие полосы пропускания: Z 1  1  0 (9.2) 4Z 2 Из этого условия следует, что в полосе пропускания Z 1 и Z 2 имеют разные знаки, а по модулю Z1  4Z 2 . Частоты среза фильтров рассчитывают по условию (9.2), преобраZ зовав его в два равенства: Z1  4Z 2 , 1  0 . 4Z 2 9.3. Уравнения частотных характеристик Т и П фильтров Фильтрующие свойства определяются зависимостью от частоты хаU рактеристического затухания a(ω)  ln( 1 ) и характеристической фазы U2 b(ω)  φU1  φU 2 . Уравнения частотных характеристик записывают по отдельности для полосы пропускания и полосы задерживания. В полосе пропускания:  Z  (9.3) a  0 , b  ω   arccos 1  1   2Z 2  В полосе задерживания: Z Z Z a(ω)=Arch 1  1 , b  0 , если 1  1  0 , b  π , если 1  1  0 (9.4) 2Z 2 2Z 2 2Z 2 Характеристические сопротивления Т и П – образных фильтров Z Для Т-образных фильтров Z T  Z 1  Z 2  (1  1 ) (9.5) 4Z 2 Z1  Z 2 (9.6) Z1 1 4Z 2 В полосе пропускания характеристические сопротивления активные, а в полосе задерживания становятся реактивными. Для согласования фильтра с нагрузкой сопротивление нагрузки требуется менять в соответствие с формулами (6.5) или (6.6), что трудно выполнимо на практике. Как прави- Для П – образных фильтров Z П  В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 188 ло, сопротивление нагрузки выбирают активным, как в полосе пропускания. 9.4. Уравнения частотных характеристик Г-образных фильтров Симметричные Т и П- образные фильтры (рис.6.2) могут быть созданы каскадным согласованным соединением двух Г-образных фильтров. Поэтому при изменении частоты характеристическое затухание Г – образa (ω) ного фильтра меняется как , характеристическая фаза меняется как 2 b(ω) . Полоса пропускания Г – образного фильтра совпадает с полосой 2 пропускания Т и П – образных фильтров. Г – образный фильтр со стороны Т – входа имеет характеристическое сопротивление ZT , а со стороны П – входа имеет характеристическое сопротивление Z П . 9.5. Реактивные фильтры типа «k» Фильтром типа «k» – называются такой, у которого в продольную и поперечную ветвь включены взаимообратные реактивные сопротивления и их произведение на любой частоте равно постоянной положительной величине k2. Схемы Г-образных звеньев типа «k» показаны на рис. 6.4. Основные расчетные формулы даны в таблице 6.1. В таблице n  L2 , ωc1 и ωc 2 L1 граничные частоты полосы пропускания, k – параметр фильтра. Для полосовых и заграждающих фильтров типа «k» должно выполняться условие: (9.7) L1  C1  L2  C2 При этом ω 0 - резонансная частота продольной и поперечной ветвей. Рис. 9.4. Схемы Г–образных фильтров типа «k» В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 189 Таблица 9.1 ФНЧ ωc1 ωc 2 k LC C ЗФ 1 ( 16n2  1  1) 4 L2C1  1 ( n 2  1  n) L1C1 1 ( 16n2  1  1) 4 L2C1 L L1 L2  C2 C1 L1 L2  C2 C1 2 LC 2 ПФ 1 ( n 2  1  n) L1C1 1 L ФВЧ C Симметричные Т-образные и П -образные фильтры типа «k» получают каскадным соединением Г-образных звеньев, показанных на рис.9.4. Нагрузка фильтра должна быть согласована и равна характеристическому сопротивлению. Для такого согласованного режима уравнения частотных характеристик фильтров типа «k» представлены в таблице 9.2. Для примера на рис.9.5 показаны графики a(ω) и b(ω) для симметричных Т и П – образных ФНЧ. Рис. 9.5. Графики характеристического затухания и характеристической фазы ФНЧ Таблица 6.2 a(ω) ПП ФНЧ ФВЧ b(ω) Полоса задерживания (ПЗ) ω Arch 1  2    ωc  2 ω  Arch 1  2  c  ω  2 Полоса пропускния (ПП) 2  ω  arccos 1  2      ωc    2   ωc    arccos 1  2      ω    В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 ПЗ π -π 190 ПФ ЗФ C  ω ω0  Arch 1  2     2C1  ω0 ω  Arch 1  2 C2  ω ω0  2C1     ω  0 ω 2 2  C2  ω ω0   arccos 1       2C1  ω0 ω     π     C2   arccos 1  2  2C   ω  ω0     1    ω0 ω    π Характеристические сопротивления фильтров типа «k» рассчитывают по формулам: 2 ФНЧ: ω ZТ  k 1    , Z П   ωc  k ω 1    ωc  2 ω  ФВЧ: Z Т  k 1   c  , ω ZП  ЗФ: ZT  k  1  C2  ω ω0  4C1     ω  0 ω , ZП  2 ; k ω  1  c  ω  2 C  ω ω0  ПФ: ZT  k  1  2     , ZП  4C1  ω0 ω  2 2 ; k 1 C2  ω ω0     4C1  ω0 ω  2 k 1 . C2  ω ω0  4C1      ω0 ω  На рис.9.6 построены графики ZТ и ZП для ФНЧ и ФВЧ. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 ; 2 191 Рис.9.6. Графики характеристических сопротивлений ZТ и ZП Как видно, характеристические сопротивления сильно зависят от частоты и согласование фильтра с нагрузкой во всем частотном диапазоне затруднительно. При расчете фильтров нагрузку обычно выбирают равной параметру фильтра «k». При согласованной нагрузке комплексная частотная характеристика или частотный коэффициент передачи K ( j ) фильтра как симметричного четырехполюсника с постоянной передачи g jb определяется a выражением: K ( j ) K (  )e j (  ) U2 U1 e g e a e jb (9.8) Здесь K (  ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);  (  ) – фазо-частотная характеристика (ФЧХ); a – коэффициент затухания; b – фазовый коэффициент, b (  ). Из формулы (6.8) получим выражение для расчета a(ω): a(ω)= - ln( K (  ) ) (9.9) 9.6. Расчет в Mathcad АЧХ фильтра Для выяснения влияния сопротивления нагрузки на форму АЧХ выполним расчет схемы ФНЧ рис.9.7, используя Mathcad. Методом контурных токов несложно получить следующее выражение для АЧХ в схеме рис.9.7: Z 2  Rн U2  (9.10) U1 (0,5Z1  Z 2 )(0,5Z1  Z 2  Rн )  Z 22 Как видно из графиков рис.9.8 и рис.9.9 при согласованной нагрузке (R=326 Ом, сплошные линии) в полосе пропускания АЧХ наиболее близка к 1, а коэффициент затухания наиболее близок к нулю. Выше частоты среза fc=14680 Гц коэффициент затухания a(f) возрастает. KU (ω)  В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 192 Рис. 9.7. Схема ФНЧ Рис.9.8. АЧХ при Rн, равном 200 Ом (1), 300 Ом (2), 326 Ом (3), 400 Ом (4) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 193 Рис.9.9. Графики коэффициента затухания при Rн, равном 200 Ом (1), 300 Ом (2), 326 Ом (3), 400 Ом (4) 9.10. Моделирование фильтров типа-К На рис.9.10 показана модель заграждающего Т-образного фильтра типа «к». Он состоит из двух Г-образных звеньев (рис.9.4 г). Сравнивая схемы, находим значения элементов: L1 20 мГн ,C1 12 ,67нФ , L2 15,92 мГн , C2 15,92нФ . Коэффициент n L2 L1 0 ,89 . Нижняя частота среза: fc1 1 8 L2C1 ( 16n2 1 1) 7 ,85 кГц . Верхняя частота среза: fc 2 1 8 L2C1 ( 16n2 Вычисляем параметр k 1 1 ) 13,69 кГц . L1 C2 Согласованная нагрузка ZTc 1120 Ом . k 1120 Ом . Результаты моделирования АЧХ и ФЧХ заграждающего фильтра, показанные на рис.9.11 и 9.12, хорошо совпадают с расчетами. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 194 Рис.9.10. Модель заграждающего фильтра Рис.9.11. АЧХ заграждающего фильтра при разных нагрузках Рис.9.12. ФЧХ заграждающего фильтра В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 195 9.11. Контрольные вопросы 1. Что такое полоса пропускания и полоса задерживания реактивного фильтра? 2. Классификация реактивных фильтров по полосе пропускания. 3. Нарисуйте схемы типовых однозвенных реактивных фильтров (Г, Т и П - образных). 4. Условие полосы пропускания реактивного фильтра. 5. Как рассчитать частоты среза реактивного фильтра? 6. Схемы, принцип работы, расчетные формулы и характеристики ФНЧ типа "k". 7. Схемы, принцип работы, расчетные формулы и характеристики ФВЧ типа " k". 8. Схемы, принцип работы, расчетные формулы и характеристики ПФ типа "k". 9. Схемы, принцип работы, расчетные формулы и характеристики ЗФ типа "k". 10. Как влияет несогласованность нагрузки на АЧХ и коэффициент затухания ФНЧ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 196 Глава 10. ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 10.1. Определение линии с распределенными параметрами Линией с распределёнными параметрами называется такая электрическая цепь, в которой элементарные параметры L, C, r, g и запасённая электрическая и магнитная энергия распределены вдоль всей длины цепи, а токи и напряжения в точке цепи зависят от расстояния этой точки до источника. Первичными параметрами линии называются электрические параметры, отнесённые к единице длины, а именно: L0 - погонная индуктивность (Гн/м); C0 - погонная емкость (Ф/м); r0 -погонное продольное сопротивление (Ом/м); g 0 - погонная поперечная проводимость изоляции (См/м). Линии с неизменными по длине первичными параметрами называются однородными. 10.2. Вывод телеграфных уравнений линии с потерями Расчетная модель однородной линии показана на рис. 10.1. Рис. 10.1. Расчетная модель однородной линии Малый участок линии Δx имеет продольное сопротивление r0  Δx , индуктивность L0  Δx , поперечную проводимость g0  Δx , емкость C0  Δx . На входе участка напряжение u , ток i . На выходе участка напряжение u  Δu , ток i  Δi . По расчетной схеме получаем следующую систему уравнений: u x i x u x i x Δx Δx i t u C0Δx t L0Δx r0Δxi (10.1) g0Δxu При уменьшении Δx получим дифференциальные уравнения линии в частных производной при отсчете от начала линии: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 197 u x i x L0 C0 i r0i t u g 0u t (10.2) i r0i t u g 0u t (10.3) Эти уравнения называют телеграфными уравнениями линии при отсчета от начала (переменными являются координата x и время t ). Таким образом, напряжение и ток в линии являются функциями двух переменных. Если отсчет координаты вести от конца линии (переменными будут координата y и время t ), получим телеграфные уравнения линии при отсчете от конца: u x i x L0 C0 10.3. Уравнения линии для гармонического сигнала. Характеристические параметры линии Если на входе линии действует гармонический сигнал e( t ) Em sint , то из уравнений (10.2) можно получить обыкновенные однородные линейные дифференциальные уравнения для комплексных действующих значений напряжения и тока: d 2U dx 2  U 2 В уравнениях (10.4):  r0 странения; j L0 g0 0; d2I dx jC0  2I 2   - коэффициент затухания;  (10.4) j  - коэффициент распро2 f VФ 2  - коэффициент фазы, VФ - фазовая скорость. Решение уравнений (10.4) имеют следующий вид: U( x ) I( x ) U1 Z в I1  x U1 Z в I1  x e e 2 2 U1 Z в I1  x U1 Z в I1  x e e 2Z в 2Z в (10.5) В уравнения (10.5) входит важный параметр линии – волновое сопротивление: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 198 ZВ j L0 jC0 r0 g0 (10.6) Коэффициенты  , ,  и волновое сопротивление Z в называют характеристическими параметрами линии. 10.4. Падающие и отраженные волны Первые слагаемые затухают при увеличении координаты x и представляют падающие волны напряжения и тока. Вторые слагаемые представляют отраженные волны и возрастают по мере приближения к нагрузке при увеличении x. Уравнения (10.5) можно получить в гиперболической форме: U( x ) U 1ch x I( x ) I 1ch x Z в I 1sh x (10.7) U1 sh x Zв Если отсчет вести от конца линии, когда задан режим в нагрузке ( U 2 , I 2 ), то решение телеграфных уравнений имеет следующий вид: U y I y U 2ch y I 2ch y Z в I 2 sh y (10.8) U2 sh y Zв 10.5. Входное сопротивление линии Входное сопротивление в произвольной точке на расстояние y от конца, есть отношение напряжения в данном сечение к току в данном сечении: Zвх ( y ) U y Zв Z 2ch y Z в sh y (10.9) Z в ch y Z 2 sh y В согласованном режиме, когда Z 2 Z в , входное сопротивление I y линии в любом сечении постоянно и равно волновому сопротивлению: Zвx y Z в const . 10.6. Уравнения линии без потерь Если потери в линии малы ( r0  L0 , g0 C0 ), то считают, что r0 0 , g0 0 и рассматривают линию без потерь. В линии без потерь коэффициент затухания  0 , коэффициент фазы   L0C0 , коэффициент распространения  В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 j L0C0 j , 199 фазовая Zв скорость VФ   1 , волновое сопротивление L0C0 L0 . При этом уравнения линии без потерь имеют следующий вид: C0 U( y ) U 2 cos  y I( y ) I 2 cos  y jI 2 Z в sin  y j U2 sin  y Zв (10.10) Входное сопротивление линии без потерь: Z вх  Z в Z 2 cos βy  jZ в sin βy Z в cos βy  jZ 2 sin βy (10.11) Задав величину фазовой скорости VФ в линии (например, VФ=3∙108 м/сек для воздушной линии) и волновое сопротивление Zв=1200 Ом, можно рассчитать первичные параметры линии без потерь Lo, Cо и длину отрезка имитированной линии l. 10.7. Режимы работы линии без потерь Распределение напряжения по длине линии обусловлено наложением и интерференцией падающей и отраженной волны. В зависимости от характера нагрузки различают: - режимы стоячих волн при нагрузке вида: холостой ход, короткое замыкание, индуктивность, емкость; - режим бегущей волны при активной нагрузке, равной волновому сопротивлению линии; - режимы смешенных волн при активной нагрузке, не равной волновому сопротивлению линии. 10.8. Расчет распределения напряжения и тока по длине линии в Mathcad По уравнениям (10.10), используя Mathcad, выполним расчет распределения напряжения и тока в модели линии, имеющей первичные параметры: L0  103 Гн, C0  500 пФ, f  200 кГц . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 200 Модель линии имеет на частоте f = 200 кГц следующие характеристические параметры: ZВ  1414 Ом, λ  7,071 м , β  0,889 . Графики показывают, что при разомкнутой линии (хх), нагрузке на индуктивность, емкость (а также при короткозамкнутой линии) минимумы напряжения равны нулю. Их называют узлами напряжения. Максимумы называют пучностями напряжения. Нули и максимумы напряжения чередуются и повторяются через полволны. Такое устойчивое распределение узлов и максимумов напряжения (и тока) называют режимом стоячих волн. Рис.8.2. Графики распределения напряжения в линии при отсчете от конца (y=0) для следующих нагрузок: 1 – холостой ход, 2 – индуктивность XL=500 Ом, 3 – емкость XC=1000 Ом, 4 – резистор 707 Ом, 5 – резистор 1414 Ом = Zв, 6 – резистор 2828 Ом При нагрузке на активное сопротивление, равное волновому сопротивлению ZВ (график 5), напряжение вдоль линии постоянно по амплитуде. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 201 Этот наиболее благоприятный режим для передачи информации и энергии называют согласованным режимом или режимом бегущей волны. При нагрузке на активное сопротивление, не равное волновому ZВ (графики 4, 6), в линии возникает режим смешанных волн. Этот режим характеризуют коэффициентом бегущей волны К бв U min . U max 10.9. Согласование линии с нагрузкой При сопротивлении нагрузки в конце линии Z2, равном волновому сопротивлению ZВ (режим согласованной нагрузки) в линии будет существовать только бегущая волна. Если Zн  ZВ , то согласование нагрузки осуществляется с помощью отрезка другой линии, включаемого между основной линией и нагрузкой. Для случая линии без потерь при Zн  Rн  ZВ длина согласующего отрезка линии равна четверти длины волны, и такой отрезок линии называется четвертьволновым трансформатором. Волновое сопротивление четвертьволнового трансформатора ZВТР можно определить по формуле: Z ВТР  Z B RН . 10.10. Контрольные вопросы 1. В чем отличие цепей с распределенными параметрами от цепей с сосредоточенными параметрами? 2. Какими первичными параметрами характеризуются электрические линии передачи энергии? 3. Что такое однородная линия? 4. Запишите телеграфные уравнения однородной линии при отсчете от начала. 5. Запишите телеграфные уравнения однородной линии при отсчете от конца. 6. Запишите решение телеграфных уравнений однородной линии для гармонического сигнала при отсчете от конца линии. 7. Что такое характеристические параметры линии α, β, γ, Z В и как их вычислить через первичные параметры линии? 8. Как рассчитать характеристические параметры в линии без потерь? 9. Записать уравнения для напряжения и тока в линии без потерь при отсчете от конца. 10. Записать формулу для входного сопротивления в линии без потерь. 11. Какие режимы работы бывают в линии без потерь? 12. Какие достоинства имеет режим бегущей волны и как получить его в линии без потерь? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 202 Глава 11. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 11.1. Определение установившегося и переходного процесса Установившимся (стационарным) процессом называется начавшийся бесконечно давно процесс, при котором напряжения и токи в цепи остаются постоянными или изменяются по периодическому закону. Стационарный процесс это математическая абстракция. Включения источников энергии, переключения в схемах нарушают стационарность и приводят к возникновению переходного процесса. Переходным процессом называется неустановившийся, нестационарный процесс, возникший при переходе из одного режима работы к другому. Всякие изменения и переключеiL L ния в схеме называют коммутацией. В схеме рис.11.1 в момент t 0 iR iC происходит коммутация (в данном uc случае замыкание ключа). Режим раE R1 C боты цепи изменяется и возникает переходный процесс. R2 Считается, что коммутация происходит мгновенно в момент времени t 0 . Принято обозначать (рис. K t =0 t =0t =0+ t =0 11.1): Рис. 11.1 t 0 - момент коммутации; t 0 - момент времени, предшествующий коммутации; t 0 - момент времени, следующий сразу после коммутации. П р им е р 1 1 .1 . Параметры цепи рис.11.1 следующие: E 120 В , L 10 мГн , С 68 нФ , R1 R2 1кОм . Ключ замыкается в момент t 0 . Качественно построить график изменения напряжения на конденсаторе. Решение До коммутации в цепи длительное время существует установившийся процесс, действует постоянный источник ЭДС E 120 В . Индуктивность для постоянного тока эквивалентна короткому замыканию, емкость В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 203 эквивалентна разрыву. Поэтому ток в цепи iL напряжение на конденсаторе uc iR R1 E iR R1 R2 60 мА , 60 В (рис.8.2). В момент коммутации замыкается резистор R2 , в цепи происходит переходной процесс от первого установившегося режима ко второму, увеличивается ток, конденсатор заряжается, напряжение uc ( t ) увеличивается. После окончания переходного процесса в цепи будет новый установившийся процесс и напряжение на конденсаторе будет uc уст E 120 В . u c (t) Коммутация 120 В 60 В Установившийся процесс t tуст t=0 Переходный процесс Рис. 11.2 процесс 11.2. Первый закон коммутации Рассмотрим ток в индуктивности (рис.8.1). В момент t 0 имеем iL ( 0 ) E R1 120 R2 3 60 мА - ток 2 10 в индуктивности до коммутации. Найдем iL ( 0 ) - ток в индуктивности сразу после коммутации и его связь с током i1( 0 ) . Напряжение самоиндукции не может равняться бесконечности: uL ( t ) d dt L diL dt !!! Следовательно, при неизменной индуктивности ток в индуктивности не может меняться скачком. diL dt В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 . Значит, 204 Формулировка первого закона коммутации: Ток в индуктивности до коммутации равен току в индуктивности в начальный момент после коммутации: iL ( 0 ) iL ( 0 ) . (11.1) Если при коммутации изменяется индуктивность (рис.11.3), действует обобщенный первый закон коммутации постоянства потокосцепления:  ( 0 )  ( 0 ). t=0 L1 L2 Рис. 11.3 iL (t) В  ( 0 ) iL1( 0 ) L1 ,  ( 0 ) iL ( 0 )( L1 L2 ) , i ( 0 )L1 iL ( 0 ) L1 … (11.2) L1 L2 индуктивности накоплена магнитная энергия L i12 ( 0 ) . Энергия не может измениться мгновенно, так WM ( 0 ) 2 dW как мощность всегда ограничена ( p( t ) ). Но после коммутаdt ции: WM ( 0 ) L1 L1 L2 L i22 ( 0 ) L2 )iL21( 0 )L12 ( L1 2 2( L1 L1iL21( 0 ) 2 L1 L1 L2 L2 )2 WM ( 0 ) WM ( 0 ) . (11.3) При коммутации индуктивностей избыточная часть магнитной энергии выделяется в искре. 11.3. Второй закон коммутации В цепи (рис.11.1) до коммутации в момент t емкости: uC ( 0 ) E R1 R1 R2 0 напряжение на 60 В . Найдем напряжение на емкости сразу после коммутации uC ( 0 Ток в емкости не может быть бесконечно большим: iC ( t ) dq dt C duC dt ). !!! Следовательно, напряжение на емкости не может меняться скачком. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 205 Ф о р м ули р о в к а вто р о г о з а к о н а к о м м ута ц и и : Напряжение на емкости до коммутации равно напряжению на емкости в начальный момент после коммутации: uC ( 0 ) uC ( 0 ) . Если при коммутации изменяется емкость (рис.11.4), действует обобщенный второй закон коммутации для постоянства зарядов: R q( 0 ) q( 0 ) . t=0 E uc1 uc2 C1 Рис. 11.4 C2 q1( 0 ) q2 ( 0 ) q1( 0 ) q2 ( 0 ) . q1( 0 ) uC1( 0 ) C1 , q2 ( 0 ) uC 2 ( 0 ) C2 , q1( 0 ) q2 ( 0 ) uC ( 0 ) C1 C2 . При коммутации емкости избыточная часть электрической энергии выделяется в искре. Расчет переходных процессов основан на использовании первого и второго закона коммутации. 11.4. Начальные условия (НУ) В расчетах переходных процессов используют несколько видов начальных условий: Независимые начальные условия - это значения токов через индуктивности и напряжений на емкостях, неизменяющиеся при коммутации и определяющие запас энергии в цепи ( iL1 .....iLn , uC1 .....uCn ). Зависимые начальные условия - это значения остальных токов и напряжений, которые могут изменяться при коммутации u ,..i ,...uR ...iR ... ). ( L1 C1 Докоммутационные НУ – это начальные условия при t Послекоммутационные НУ- это начальные условия при 0 . t 0 . Нулевые начальные условия – это равные нулю независимые начальные условия. На рис.11.5 показана индуктивность, в которой ток перед коммутацией равнялся нулю. В момент t 0 по первому закону коммутации ток в индуктивности также будет равен нулю. Следовательно, индуктивность в В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 206 нулевым начальным током iL ( 0 ) в момент стому ходу. iL (0- )=iL (0+ )=0 a L b Рис. 11.5 Эквивалентная схема t=0+ X X хх a b t 0 эквивалентна холо- Эквивалентная uC (0- )=uC (0+ )=0 схема t=0+ C a b a кз Рис. 11.6 b На рис.11.6 показана емкость, на которой в момент t 0 напряжение равно нулю. По второму закону коммутации в момент t 0 напряжение не может измениться и останется равным нулю ( uC ( 0 ) 0 . Если между точками a и b напряжение равно нулю, то эти точки можно соединить проводником. Следовательно, емкость с нулевым начальным напряжением uC ( 0 ) 0 в момент t 0 эквивалентна короткому замыканию. Ненулевые начальные условия - это неравные нулю независимые начальные условия. На рис.11.7 показана индукЭквивалентная схема iL (0- )=iL (0+ )=0 тивность с ненулевым начальным t =0+ током iL ( 0 ) iL ( 0 ) 0 . В a L a b b момент t 0 такая индуктивJ=i (0 ) L + Рис. 11.7 ность эквивалентна идеальному источнику тока iL ( 0 ). Эквивалентная uC (0- )=uC (0+ )=0 схема t =0+ i(0- ) C a + b b a E=uC (0+ ) Рис. 11.8 На рис.11.8 показана емкость с ненулевым начальным напряжением uC ( 0 ) uC ( 0 ) 0 . В момент такая емкость эквивалентна идеальному источнику напряжения E uC ( 0 ) . t Эквивалентные схемы индуктивности и емкости можно использовать для расчета зависимых НУ при t 0 . 11.5. Классический метод расчета переходного процесса На рис.11.9 показана цепь, содержащая резистор R , индуктивность L и емкость C . Такую цепь мы будем называть RLC - цепь. В момент t 0 ключ K подключает к цепи источник напряжения e( t ) . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 207 t=0 K L i(t) R e(t) С Рис. 11.9 Составим для послекоммутационной схемы ( t второму закону Кирхгофа: iR L di dt 1 C idt 0) e( t ) . уравнение по (11.4) В уравнении (11.4) i( t ) - полный переходной ток. Когда после коммутации пройдет достаточно много времени (t ) , в цепи установится установившийся, принужденный режим (например, гармонический). В принужденном режиме действует уравнение: iпр R Введем iсвоб ( t ) i( t ) diпр L dt 1 C iпр dt понятие свободного iпр ( t ) - свободный ток. e( t ) тока. (11.5). Обозначим Из (11.4) вычитаем (11.5): (i iпр )R L d( i iпр ) dt 1 C (i iпр )dt e( t ) e( t ) , (11.6) iсв R L diсв 1 iсв dt 0 , dt C U Lсв UCсв 0 . (11.7) U Rсв или (11.8) По уравнениям (11.7), (11.5), (11.4) можно построить соответствующие схемы (рис.11.10а, б, в), которые показываю следующее: Полный переходный процесс складывается из принужденного процесса, начавшегося бесконечно давно, и затухающего свободного процесса. Свободный процесс компенсирует неравенство энергии полной и принужденной схемы в момент t 0 . Свободный процесс обязательно затухает, так как в схеме нет источников. Полный переходной процесс всегда есть сумма свободного процесса и принужденного. iL ( t ) iLсв ( t ) iLпр ( t ) , uC ( t ) uCсв ( t ) uCпр ( t ) , В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 208 uR ( t ) uRсв ( t ) uRпр ( t ) . iсв(t) (11.9) i(t) iпр(t) L R L R e(t) R e(t) C C C  Принужденный б) процесс t>0 Полный в) переходной процесс t Свободный а) процесс L Рис. 11.10 Принужденный процесс это частное решение неоднородного дифференциального уравнения (11.5) при t . Для постоянного или гармонического источника энергии принужденный процесс рассчитывают методами расчета цепей постоянного и переменного тока. Свободный процесс это общее решение однородного дифференциального уравнения (11.7): Riсв ( t ) L diсв dt 1 C iсв dt 0. Решение для свободного тока имеет вид: iсв ( t ) A1e p1t A2e p2t .... Ane pnt , (11.10) где: p1, p2 …pn - некратные (простые) корни характеристического уравнения; A1…An - постоянные интегрирования, определяемые в послекоммутационной схеме с учетом независимых НУ. 11.6. Способы составления характеристического уравнения Первый способ В дифференциальном уравнении для свободной составляющей (11.7) заменяем d dt p; 1 . p Получаем характеристическое уравнение: R pL 1 pC 0. (11.11) Решив характеристическое уравнение (8.11), получим корни p1 и p2 . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 209 Второй способ В схеме после коммутации разрываем любую ветвь цепи и находим Zвх ( j ) . Zвх ( j ) L R C e (t ) j L R 1 . jC Заменяем j на p, получаем: Zвх( j) R pL 1 pC (11.12) Рис. 11.11 - характеристическое уравнение, совпадающее с (11.11). Преобразуем характеристическое уравнение к квадратному уравнению: p 2 LC RCp 1 0. (11.13) Число корней характеристического уравнения равно его степени. Степень характеристического уравнения равна числу независимых начальных условий в послекоммутационной схеме и определяет порядок цепи. Чем выше порядок, тем сложнее расчет переходного процесса. Порядок цепи равен числу инерционных накопительных элементов (индуктивностей и емкостей) после полного упрощения цепи. 11.7. Определение постоянных интегрирования Для цепи второго порядка имеем: iсв ( t ) A1e p1t A2e p2t . (11.14) Известны p1 и p2. Требуется найти две неизвестных постоянных интегрирования А1 и А2. Составляем два уравнения для момента времени t 0 . Первое уравнение: iсв ( 0 ) A1e p1 ( 0 ) A2e p2 ( 0 ) A1 A2 i( 0 ) iпр ( 0 ) .(11.15) Второе уравнение получим, дифференцируя (8.14): diсв ( t ) dt Пусть t 0 . Тогда: diсв ( t ) dt t A1 p1e p1t A1 p1 A2 p2e p2t . (11.16) A2 p2 (11.17). Решаем (11.15) и (11.17) и находим A1 и A2 .. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 210 Для расчета постоянных интегрирования надо найти iсв ( 0 diсв ( t ) dt t ) и в послекоммутационной схеме с учетом законов коммута0 ции. Рекомендуется решать задачу относительно iL ( t ) или uC ( t ) . Е с л и м ы и щ е м i( t ) iL ( t ) , то: iLсв ( 0 ) iL ( 0 ) iLпр ( 0 ) (11.18) легко определить по первому закону коммутации. Для расчета производной свободного тока в индуктивности используем формулу: L diL ( t ) dt uL ( t ) . Для производной свободного тока в индуктивности получим: diLсв ( t ) dt t uLсв ( 0 ) uL ( 0 ) uLпр ( 0 ) L L . (11.19) Полное и принужденное значение напряжения на индуктивности найдем в послекоммутационной схеме в момент t 0 . Е с л и м ы и щ е м uC ( t ) , то: uCсв ( 0 ) uC ( 0 ) uCпр ( 0 ) (11.20) легко получить по второму закону коммутации. Производная свободного напряжения на емкости выражается через полный и принужденный ток в емкости в момент t 0 : duCсв ( t ) iCсв ( t ) iC ( t ) iСпр ( t ) , dt iC ( 0 ) iСпр ( 0 ) duCсв ( t ) . dt С t 0 C (11.21) 11.8. Переходные процессы в цепях первого порядка В к л юч е н и е п о с то я н н о й ЭД С в RL - ц е п ь В цепях первого порядка имеется только один накопительный элемент. В схеме рис.8.10 L=1 Гн, R=2 Ом, E=4 В. Ключ K замыкается в момент t 0 . Найти ток в цепи после коммутации. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 211 П о с ле д о ва те л ьн о с ть р а с ч е т а п е ре х о д н о г о п р о ц е с с а к ла с с и ч е с к и м м е то д о м i(t) t=0 K R uL (t) E L Рис. 11.12 1. Расчет режима до коммутации t мых НУ: iL ( 0 ) , определение независи- iL ( 0 ) . 2. Расчет принужденного режима, ключ замкнут t E R iLпр t : 2A. 3. Составляем дифференциальное уравнение цепи после коммутации 0 : iR L di dt E , 2i 1 di dt 4В. (11.22) 4. Составляем характеристическое уравнение цепи. Заменяем d dt p: pL R 0. Находим корень характеристического уравнения: R L p1 2 1 C ,  - коэффициент затухания. Записываем выражение для свободного тока: iсв ( t ) A1e p1t A1e R t L A1e t A1e 2t . 5. Расчет постоянной интегрирования А1: A1 iсв ( 0 ) iL ( 0 ) iLпр ( 0 ) E R В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 E R 2 A. 212 6. Свободная составляющая тока в цепи: R t L E e R iLсв ( t ) 2t 2e A. 7. Находим полный ток: iL ( t ) iпр ( t ) E R iсв ( t ) Ответ: полный ток iL ( t ) R t L E e R 2( 1 e 2t R t L E (1 e R ) 2( 1 e 2t )A . )A . 11.9. Постоянная времени цепи Величина, обратная коэффициенту затухания α, называется постоянной времени цепи  1 Гн Ом L R  В с А Ом Ом с Ом с. Запишем полный ток: E R i( t ) t E e R E e R Свободный ток: icв ( t ) t  2 2e t  А. t  2e E R icв ( 0 )  A, 2А. Мы видим, что постоянная времени  это время, в течение которого свободный процесс затухает в e - раз. Найдем производную к свободному току при diсв dt t E R  d ( dt d ( 2e dt E e R t  ) ( )t 0 : E 1 ) ( ) R  t  t ( 2 )( 1  t )e  2 t 0  tg  . На рис.11.13 показана схема моделирования и графики свободного и полного тока. На графике свободного тока в момент t 0 под углом  проведена касательная. Из рисунка видно, что касательная к свободному току отсекает на оси времени отрезок равны  . Это правило используют для определения постоянной времени цепи. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 213 В таблице 11.1 рассчитаны значения экспоненциальных функций t  (1 e t  для разных значений времени. Мы видим, что при ) и e E e R 3 свободный ток iсв ( 3 ) t E (1 e R i( 3 ) 3 E ( 1 0 , 05 ) R ) E ( 0 , 05 ) , полный ток R 3 0 , 95iпр и переходной процесс считается установившимся. t τ 2τ Таблица 11.1 4τ 5τ 3τ t 1 e  t e 0,63 0,86 0,95 0,98 0,99 1 0,368 0,14 0,05 0,02 0,01  Найдем напряжения на резисторе и индуктивности: t uR ( t ) Ri( t ) uL ( t ) di L dt E Ee d E L dt R  , E e R t  E 1 L( )e R  t  L E e L R R t  t Ee  По второму закону Кирхгофа uR ( t ) uL ( t ) E . На рис.11.14 показаны результаты моделирования напряжений на резисторе и индуктивности. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 214 Выводы В цепи первого порядка полный переходной ток (напряжение) меняется по экспоненциальному закону от начального значения ( t 0 ) до установившегося значения. 11.10. Включение в RL-цепь гармонической ЭДС В схеме рис.11.15 в момент t ническая ЭДС e( t ) Em sin( t мутации. i(t) 0 к RL - цепи подключается гармо ) . Требуется найти ток после ком- t=0 K R uL (t) e(t) L Рис. 11.15 Решение 1. Расчет режима до коммутации iL ( 0 ) iL ( 0 ) . 2. Расчет принужденного режима символическим методом: Находим: Em Eme j , Im Em Z Eme j Ze j I me j ( ) , В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 215 где: Z R2 (  L )2 ,  arctg L R . Находим мгновенное значение принужденного тока: iпр ( t ) I m sin( t   ) , iпр ( 0 ) I m sin(  ). 3. Составляем дифференциальное уравнение: iR L di dt Em sin( t  ) . 4. Характеристическое уравнение: pL R 0, R . L корень характеристического уравнения: p1 5. Свободный ток: iсв ( t ) Ae p1t Ae 6. Находим постоянную интегрирования: A iсв ( 0 ) i( 0 ) iпр ( 0 ) t R t L Ae  . I m sin( ) . 7. Находим полный ток: t i( t ) I m sin( t   ) I m sin(  )e Свободный ток зависит от фазы ЭДС при t iсв ( t ) 0 . В общем случае iсв ( 0 ) iпр ( 0 ) . 0 . Если  i( 0 ) 0 , то ) 45o 0. В Mathcad рассчитаны графики для ω=10 1/с, τ=1 с, ( (рис.11.16). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016  216 Перенапряжение в RL-цепи Если  t   2 I m cos( t ) , то i( t ) I me  . Если по- стоянная времени  – большая, амплитудное значение принужденного процесса будет складываться с большим значением свободного тока и полный переходной ток будет близок к значению 2 I m . Возникает опасное перенапряжение в цепи. 11.11. Включение в RC-цепь постоянной ЭДС i(t) t=0 K R C uC (t) E + - Рис. 11.17 В схеме рис.11.17 постоянная ЭДС E подключается к RC-цепи. На емкости имеются ненулевые начальные условия: UC ( 0 ) UC ( 0 ) U 0 . Решение Решаем задачу для uC ( t ) . 1. Расчет режима до коммутации UC ( 0 ) UC ( 0 ) U 0 . 2. Расчет принужденного режима: iCпр 0, E iCпр R uCпр , E uCпр . 3. Дифференциальное уравнение: e( t ) iR RC uC ( t );iR iC duC dt e( t ) . uC C duC ; dt (11.23) 4. Характеристическое уравнение: RCp 1 0; p1 1 RC . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 217 Свободная составляющая: uC ( t )  RC Ом Ф Ae А с В с. Ae св Ом t RC p1t t Ae  . 5. Находим постоянную интегрирования A: A uCсв ( 0 ) uC ( 0 ) uCпр U0 E. t 6. Свободная составляющая: uCсв ( t ) 7. Полный переходной процесс: ( U0  . E )e t uC ( t ) uCпр ( t ) uCсв ( t ) E ( U0  E )e . График полного переходного процесса uC ( t ) показан на рис.11.18а: uC τ E U0 E-U0 β i(t) ucпр  E-U0 R uC (t) 2 а) 3 5 4  t б) Рис. 11.18 Найдем производную к переходному процессу при t duC ( t ) dt 1  t E U0 e  0: E U0 tg  .  (t 0) В ы в о д : касательная к переходному процессу при t на линии принужденного режима отрезок равный  . Ток в цепи: i( t ) du ( t ) C C dt 3 2 C t 1 E  U0 e  E 0 отсекает U0 e R t . График тока показан на рис.11.18б. Напряжение на резисторе: t uR ( t ) Ri( t ) E U0 e  E uC ( t ) . В ы в о д ы : uC ( t ) меняется аналогично iL ( t ) в RL – цепи; меняется аналогично uL ( t ) в RL – цепи. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 i( t ) 218 11.12. Дифференцирующие и интегрирующие цепи uR (t) i(t) e(t) R uC (t) C Рис. 11.19 На рис.11.19 показана схема RC - цепи, в которой действует источник напряжения e( t ) произвольной формы. По второму закону Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи: e( t ) uR ( t ) uC ( t ) iR uC RC duC dt uC . (11.24) И н те г р и р ующ а я R C - ц е п ь Пусть постоянная цепи  RC достаточно велика. В этом случае ) . Но для гармобольшими должны быть резистор и емкость ( R , C нических составляющих сигналов емкостное сопротивление будет малым ( XC 1 C R ) . Значит входное напряжение e( t ) будет приложено к резистору: e( t ) uR ( t ) RC duC . dt (11.25) Выходной сигнал снимаем с емкости: uC ( t ) 1 RC t e( t )dt . (11.26) В результате получили интегрирующую цепь. П р им е р 1 1 . 1 Провести моделирование и найти напряжение на емкости в цепи (рис.11.20) с параметрами: R1 10кОм , С 100 нФ . На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс. На рис.11.20 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на емкости приближенно соответствует интегралу входного напряжения. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 219 Д и ф ф е р е н ц и р ующ а я R C - ц е п ь ( Теперь рассмотрим случай, когда постоянная времени мала RC ) . При этом малыми должны быть R и C . Тогда сопротивле- ние емкости велико ( X C к емкости: 1 C e( t ) R ) и входной сигнал будет приложен uC ( t ) . (11.27) Выходной сигнал снимаем с сопротивления: uR ( t ) RC duC dt  de . dt (11.28) В результате получили дифференцирующую цепь. П р им е р 1 1 . 2 Провести моделирование и найти напряжение на резисторе в цепи (рис.11.21) с параметрами: R1 1кОм , С 100 нФ . На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс. На рис.11.21 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на резисторе приближенно соответствует производной входного напряжения. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 220 И н те г р и р ующ а я R L – ц е п ь uL (t) i(t) L e(t) uR (t) R Рис. 11.22 На рис.11.22 показана схема RL - цепи, в которой действует источник напряжения e( t ) произвольной формы. По второму закону Кирхгофа запишем уравнение для напряжений в цепи: e( t ) uL ( t ) uR ( t ) Пусть постоянная времени L di dt iR . (11.29) L достаточно большая. При этом R  индуктивность должна быть большой, а сопротивление малым ( L , R ) и индуктивное сопротивление на составляющих частотах сигнала R ). будет больше активного ( X L  L Тогда входное напряжение будет приложено к индуктивности: e( t ) uL ( t ) L di , dt (11.30) ток в цепи приближенно равен: i 1 L t e( t )dt . (11.31) Выходной сигнал снимаем с сопротивления и получаем интеграл входного напряжения: uR ( t ) iR R L t e( t )dt 1  t e( t )dt . (11.32) П р им е р 1 1 . 3 Провести моделирование и найти напряжение на резисторе в цепи (рис.11.23) с параметрами: R1 1Ом , L 10 мГн . На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 221 На рис.11.23 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на резисторе приближенно соответствует интегралу входного напряжения. Д и ф ф е р е н ц и р ующ а я R L - ц е п ь Рассмотрим случай, когда в цепи рис.8.20 постоянная времени  L мала. При этом X L R L R и входное напряжение будет при- ложено к резистору: e( t ) uR ( t ) iR . (11.33) Выходное напряжение будем снимать с индуктивности и получим производную входного напряжения: uL L di dt L de R dt  de . dt (11.34) П р им е р 1 1 . 4 Провести моделирование и найти напряжение на индуктивности в цепи (рис.11.24) с параметрами: R1 100 Ом , L1 10 мГн . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 222 На вход цепи поступают прямоугольные импульсы с амплитудой 1В и с периодом 1 мс. На рис.11.24 показаны ожидаемые результаты моделирования. Изменение напряжения на индуктивности приближенно соответствует производной входного напряжения. 11.13. Переходные процессы в цепях второго порядка Р а зр я д е м к о с ти в RL C - ц е п и На рис.11.25 показана схема цепи второго порядка, содержащей два накопительных элемента: индуктивность и емкость. До коммутации к цепи подключен источник постоянного напряжения e( t ) E const . Емкость заряжена до напряжения uC ( 0 ) E . Ток в цепи равен нулю. В момент коммутации ключ K переключается на перемычку и в RLC-цепи происходит разряд емкости. Требуется рассчитать изменение напряжения на емкости uC ( t ) . Решение 1. Расчет режима до коммутации: uC ( 0 ) uC ( 0 ) iL ( 0 ) iL ( 0 ) E; 0. 2. Расчет принужденного режима. В схеме после коммутации отсутствуют источники энергии. Вся накопленная в емкости до коммутации энергия выделится в резисторе. Поэтому: uCпр ( t ) 0 , iLпр ( t ) 0. 3. Дифференциальное уравнение в послекоммутационной схеме (t≥0). По второму закону Кирхгофа: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 223 Ri L di dt uC 0. (11.35) Подставим в (11.35) выражение для тока: i C duC . dt (11.36) Получим дифференциальное уравнение для напряжения на емкости: du RC C dt LC d 2uC dt uC 0, (11.37) 1 uC LC 0. (11.38) 2 или: d 2uC dt R duC L dt 2 4. Характеристическое уравнение: R p L p2 R , 0 2L Обозначим  1 LC 1 0. (11.39) - частота незатухающих колеба- LC ний. Получим: p2 2 p 0 0. (11.40) Корни характеристического уравнения:  p1,2  2 02 . (11.41) Возможны 3 случая переходного процесса в цепи второго порядка: 1-й случай – апериодический переходной процесс. В этом случае корни p1 и p2 – вещественные, отрицательные и разные. Для этого должно быть:  2 R 20 L В RLC -цепи величину 02 2  2 0,  0 , R 2L L C 0 , (11.42). L называют характеристическим соC противлением. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 224 В этом случае напряжение на емкости ищем в следующем виде: uCсв ( t ) B1e p1t B2e p2t . (11.43) Переходной процесс описывается двумя экспоненциальными функциями с действительными отрицательными и разными показателями. Такой переходной процесс не совершает периодических колебаний и называется апериодическим. П р им е р 1 1 . 5 L C В схеме рис.11.26 L=1 мГн, С=1 нФ,  10 3 10 9 103 Ом. Ключ замыкается в момент t 200 мкс . Провести моделирование для случая R 4 кОм 2 на интервале времени от 180 мкс до 240 мкс. Получили апериодический переходной процесс uC ( t ) . 2-й случай – критический переходной процесс. p2  - вещественные, отрицательные В этом случае корни p1 и равные. При этом:  R 2L 0 1 , R L C 2 LC 2 . Решение дифференциального уравнения ищем в виде: uCсв ( t ) ( B1 B2t )e t (11.44) С учетом начальных условий получим полное решение: uCсв t E 1 t e t uС t . (11.45) П р им е р 1 1 .6 . В схеме рис.11.27 ключ замыкается в момент t 200 мкс . Провести моделирование для случая R 2кОм 2 на интервале времени от 180 мкс до 240 мкс. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 225 График критического переходного процесса аналогичен апериодическому, но характер изменения более быстрый. 3-й случай – колебательный переходной процесс Колебательный переходной процесс возникает в RLC - цепи с малыми потерями. Для этого должны выполняться условия:  0 ; R 2L 1 LC ; R  В формуле для корней: p1,2 2 . (11.46)  2 02 подкоренное вы- ражение  2 02 0 будет отрицательным. Мы получим два комплексно-сопряженных корня:  p1,2 где c j 02 2  jc , (11.47) 02  2 - угловая частота свободных колебаний. Решение для свободного процесса можно найти двумя способами: 1-й способ. Ищем решение в виде: B1e p1t B2e p2t  jc t  j t c B2e . (11.48) С учетом начальных условий проводим расчет B1 , B2 с комплексными числами и находим решение uCсв t . uCсв t B1e 2-й способ. Ищем решение в виде: uCсв t Be t sin ct  . (11.49) Здесь B; ψ – неизвестные постоянные интегрирования, которые требуется найти. Составим систему из двух уравнений для расчета B и  . При t 0 : В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 226 uCсв 0 uC 0 B sin uCпр 0 E (11.50) Найдем производную: duCсв t  Be dt При t t sin ct  c B e t cos ct  iCсв t C . 0 : iC 0 iL 0 0 , iCпр 0. (11.51) Следовательно: iCсв 0 0и  B sin c B cos 0. (11.52) Из уравнения (8.49): E . sin B (11.53) Подставим это выражение в (8.51):  E c E ctg Далее получим: 0.  , tg c ctg (11.54) c .  Находим постоянную интегрирования:  arctg Выполним преобразования: sin sin arctg c  (11.55) c  c  1 c  c 2 2 c2 c . 11.56) 0 Находим вторую неизвестную постоянную интегрирования: B E sin E 0 , c (11.57) где: 0 св 2 c2 - резонансная частота незатухающих колебаний; 02  2 - частота свободных колебаний. Полный колебательный переходной процесс получили в виде: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 227 uC t где:  arctg E c .  0 e c t sin сt  , (11.58) П р им е р 1 1 . 7 В схеме рис.11.28 ключ замыкается в момент t 200 мкс . Провести моделирование для случая R 500 Ом 2 на интервале времени от 180 мкс до 240 мкс. Вывод: Свободная составляющая имеет характер затухающих колебаний с частотой с . Амплитуда свободных колебаний убывает по эксt поненциальному закону e . 11.14. Декремент колебаний Декрементом колебаний называется отношение двух мгновенных значений напряжения или тока в моменты t и t TC :  E uc t uc t Tc E 0 e c 0 e c  t Tc t sin ct  sin c t 2 c e Tc . (11.59)  Логарифмическим декрементом колебаний называют логарифм декремента колебаний:  ln   TC R 2 . 2L  2  2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (11.60) 228 R и преобразуем к виду: L R  Подставим в (11.60)   0 L R 1 . 2 (11.61) 4 L202 В RLC - цепях применяют понятие добротности колебательного контура: Q 0 L  R R . (11.62) Используя добротность, получим еще одно выражение для логарифмического коэффициента затухания:  1 Q  1 1 2Q 2 . (11.63) 11.15. Примеры расчета переходных процессов классическим методом П р им е р 1 1 . 9 R1 E R2 L R3 Для цепи рис.8.27 заданы Е=6В, R1 = R2 = =R3 = 2 Ом, L = 2 Гн. Найти ток iL ( t ) и напряжение uL ( t ) после коммутации. iL(t) t=0 K Рис. 11.29 Решение 1. Рассчитаем докоммутационный режим: iL ( 0 ) R1 R2 E R2 R3 R2 R3 R2 R3 1A iL ( 0 ) 1A – независимое начальное условие. 2. Принуждённый режим: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 iL ( 0 ) . 229 Е R1 iLпр 3A 3. Составляем характеристическое уравнение и определяем его корни: R1R2 R1 R2 pL 0 ; pL 1 0 , p1 0 ,5 c 1 4. Свободная составляющая тока: Ae p1t ; A iLсв ( t ) iLсв ( t ) 0 ,5t 2e iLсв ( 0 ) iL ( 0 ) iLпр ( 0 ) 1 3 2 A; A. 5. Полный ток iL ( t ) iLпр ( t ) iLсв ( t ) 3 uL ( t ) L 2e 0 ,5t A 6.Найдём uL ( t ) : diL dt 2e 0 ,5t B. Графики полного тока и напряжения показаны на рис.11.30. i A u B 3 i L( t) 2 1 τ 1 2 uL(t) 3 4 t 5 6 7 8 c Рис. 11.30 П р им е р 1 1 .1 0 Цепь, показанная на рис.11.31, имеет следующие параметры: Е = 100В, R1 = R2 = R3= 200 кОм, С =1 мкФ. Найти uC ( t ) после коммутации. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 230 E R1 R2 R3 K t =0 uC (t) C Рис.11.31 Решение 1. Расчет режима до коммутации Параллельное соединение R2 и R3 равно 100 кОм. Имеем делитель напряжения из R1 и R2||R3. uC ( 0 ) R2 || R3 E R1 R2 || R3 100 100 103 3 33 В 300 10 uC ( 0 ) 2. Принужденный режим. uСпр E R3 R1 50 В . R3 3. Характеристическое уравнение 1 pC p1 1 R1R3 C R1 R3 R1R3 R1 R3 1 0; 3 100 10 10 6 10 1 . c 4. Свободная составляющая напряжения на емкости: uСсв (t ) Be 10t uC ( 0 ) uСпр e 10t 33 50 e 10t 5. Полный переходной процесс: uС (t )=uСпр (t )+uСсв (t )=50-17e 10t В. П р им е р 1 1 .1 1 В цепи рис.11.32 найти u( t ) после коммутации. Решение 1. До коммутации iL (0 )=0 . 2. Принужденный режим iLпр =50 А . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 17e 10t В. 231 3. Характеристическое уравнение: pL 1 Ом t=0 100 B 11 . c 0 , p1 2 K 2 Гн u(t) 1 Ом Рис.11.32 4. Свободный ток: iLсв (t )= iL (0 5. Полный ток: iL (t )=iLпр )-iLпр e iLсв (t )=50 t 50e 50e t t А. t В. А. 6. Напряжение на выходе: u (t )=uR (t )+uL (t )=R 50 50e 50 50e Ответ: u (t )=50 П р им е р 1 1 .1 2 50e t t 2 t 1 50e R2 t 50 50e В. 1 Ф, 16 12 В. Определить напряжение uC (t ) после ком- Заданы параметры цепи рис.8.31: L R1 diL dt L 2 Ом, Е 4 Гн , С 3 мутации. i1 E i2 L t=0 R 1 K R2 i3 C Рис.11.33 Решение 1. Расчет режима до коммутации: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 232 uC 0 6В , uC 0 iL 0 3 А. iL 0 2. Принужденный режим: uCпр 12 В, iLпр 6 А . 3. Характеристическое уравнение: 1 ) jC 1 R jC R( Z (j )=j L 0; Заменяем j на p: 1 ) pC 1 R pC R( Z (p)=pL R RCp 1 pL 0. Получим уравнение: p 2 RLC pL R 0 , 4 1 4 2 p 2 0 , p 2 8 p 12 3 16 3 p2 2 1 , p2 c Корни: p1 61 . c Свободное напряжение: uСсв (t )=A1e 2t 4. Расчет постоянных интегрирования: uСсв (0 )=A1 duСсв dt t iCсв 0 A2 uC 0 p1 A1 p2 A2 iC 0 Расчет iC 0 Ток i2 ( 0 ) A2e uСпр 0 iCсв 0 С iCпр 0 iC 0 6t . 6 12 UC ( 0 ) 2 Ом UC ( 0 ) 6 В (1). . . в послекоммутационной схеме ( t В узле a напряжение равно 0. 0 ) (рис.8.32). 6В . 3 А . По первому закону Кирхгофа полу- чим iС ( 0 ) 0 . Получим систему из двух уравнений: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 233 A1 2 A1 A2 6 6 A2 . Решение системы: A 1 9 В , A2 iL (0+ )=3 А a iC (0+ )=0 i2 (0+ )= 3 A 12 В 3. UС (0+ )= 6 В 2 Ом Рис.11.34 Ответ: uС (t )=12-9e 2t 3e 6t . 11.6. Контрольные вопросы 1. Что называют переходными процессами и когда они происходят? 2. Объясните физический смысл первого и второго закона коммутации. 3. Какие начальные условия бывают в цепи и как их рассчитать? 4. Как составить характеристическое уравнение цепи? 5. Как определить порядок цепи при расчете переходных процессов? 6. Объясните последовательность расчета переходных процессов классическим методом. 7. Какие корни имеют характеристические уравнения в цепях первого и второго порядка ? 8. Какой вид имеют переходные процессы в цепях первого порядка? 9. Что такое принужденный режим? 10. Что такое свободный процесс ? 11. Как изменяется напряжение на каждом из двух элементов при подключении постоянного напряжения Е к цепям RC и RL? 12. Как выглядят графики выходных напряжений при действии прямоугольного импульсного сигнала на входе дифференцирующего и интегрирующего звена? 13. Какой вид могут иметь переходные процессы при подключении постоянного напряжения Е к RLC -цепи? 14. Когда в цепи второго порядка происходит колебательный переходной процесс? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 234 Глава 12. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В операторном методе для расчета переходных процессов используют преобразование Лапласа. При этом дифференциальные и интегральные операции над функциями времени (оригиналами) заменяют алгебраическими операциями над их интегральными преобразованиями (изображениями). Этапы расчета операторным методом: 1. Находим независимые начальные условия iL ( 0 ), u C ( 0 ) . 2. Находим изображения источников сигнала и пассивных элементов и составляем операторную схему замещения цепи. 3. В операторной схеме замещения рассчитываем изображения токов и напряжений. 4. Переходим от изображений к оригиналам (функциям времени) токов и напряжений. 12.1. Прямое преобразование Лапласа Пусть функция времени f t удовлетворяет условиям: 1. f t 2. При t где M 0; c0 0 при t 0 f t 0; (12.1) M ec0t , (12.2) 0 - любые действительные числа. Такую функцию f t называют функцией ограниченного роста. На рис.12.1 показано, что f t должна быть ниже экспоненты M ec0t , в которой M и c0 могут быть очень большие. Все реальные функции токов и напряжений являются функциями ограниченного роста. co Если f t удовлетворяет условиям (12.1) и f Me co t f(t) (12.2), то интеграл f t e p t dt F p схоM дится абсолютно и называется прямое преобразование Лапласа. Здесь оператор Лапласа (комt плексная переменная) p c j , причем Re p c c0 . Рис.12.1 Прямое преобразование Лапласа будем обозначать соответствием: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 235 =F f t Оригинал p (12.3) Изображение 12.2. Изображения простейших функций 1 t - е д и н и ч н а я ф ун к ц и я ( ф ун к ц и я вк л юч е н и я ) (рис.12.2). Единичная возникает в момент t 0 и сохраняет значение, равное 1, до бесконечности. Найдем изображение единичной функции: 1(t) 1 1 1 t Рис.12.2 F( p ) t 1 dt p Получили: 1 t e pt 1e = e pt p 1 ; p - э к с п о н е н т а (рис.12.3), равная нулю при t 0. e -pt t Рис.12.3 F( p ) e t e pt dt e ( p  )t dt 1 p  . Получили: . e t = 1 p  Для оператора поворота получим: e j t = 1 p j . 12.3. Основные свойства преобразования Лапласа 1. Л и н е й н о с т ь : f1 t f2 t = F1 p F2 p . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (12.4) 236 2. С в о й с т в о к о м м у т а т и в н о с т и по отношению к операциям действительной (Re) и мнимой ( Jm ) части. Если f t =F p , причем f t Re f t = Re F jJmf t , то: Re f t p и Jmf t = JmF p . (12.5) П р им е р 1 2 . 1 e j t cos t j sint = 1 p j p j . 2 2 p  (12.6) Используем свойство (2) и получаем: p cos t = p2  2 , sint =  p2  2 3. И з о б р а ж е н и е п р о и з в о д н о й Если f t =F p , то производная имеет изображение: f t Здесь: f 0 f 0 = pF p f 0 . - значение f t в момент t (12.7) 0 . p- оператор дифференцирования 4. Изображение интеграла Если f t =F p , то интеграл  t t f t dt = 1 - оператор интегрирования. p 5. Теорема запаздывания Пусть исходная функция: f t =F p . Изображение запаздывающей функции: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 F p p . (12.8) 237 f t t0 =e pt0 F p . (12.9) П р им е р 1 2 . 2 Найти изображение импульса длительностью  . Импульс равен разности двух функций включения: f(t) 1(t) f t 1t 1t  . 1 Изображение импульса находим как τ t разность изображений этих двух функций: -1(t-τ) 1 1 p F1 p p p e 1 1 p e p . (12.10) 12.4. Расчет переходного процесса при нулевых начальных условиях До коммутации ( t пи рис.12.4: i(t) t =0 K iL 0 R e (t ) С . Найти ток i t после коммутации. После коммутации в цепи выполняется дифференциальное уравнение: Рис.12.4 e t 0 , uC 0 0 ) в це- Ri t di L dt 1 C t idt . (12.11) Преобразуем по Лапласу и получим операторное уравнение: E p RI p pLI p 1 I p . pC В операторном уравнении: R - активное сопротивление; pL - индуктивное сопротивление в операторной форме; 1 - емкостное сопротивление в операторной форме. pC В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (12.12) 238 О п е р а то р н а я с х е м а за м е щ е н и я п р и н ул е вы х н а ч а л ьн ы х ус ло в и я х Уравнению (12.12) соответствует операторная схема замещения (рис.12.5). I(p) R E(p) Находим операторный ток: pL E p I p R 1/pC pL E p 1 pC Z( p ) (12.13) В этом выражении: Рис.12.5 Z( p ) R pL 1 pC (12.14) - операторное сопротивление цепи. П р а в и л о : Операторное сопротивление из комплексного Z ( j ) R j L Z ( p ) можно получить 1 заменой j jC p. Операторное сопротивление и операторная схема замещения имеют обобщенный характер и позволяют решать задачи при любом воздействии. Величину обратную операторному сопротивлению называют операторная проводимость: Y p 1 . Z p (12.15) Зная изображение тока, можно найти оригинал: i t = I p . Ниже мы покажем, как это делают в электротехнике. 12.5. Операторная схема замещения участка цепи при ненулевых начальных условиях На рис.12.6 показан участок цепи, в котором проходит ток, имеется источник напряжения e( t ) . В момент t 0 происходит замыкание ключа в одной из ветвей. Надо найти ток в цепи после коммутации. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 239 i2 (t) i(t) - + a i1 (t) b R m L C t=0 e(t) i3 (t) K d k f Рис.12.6 До коммутации при t iL 0 Для t iL 0 0 имеем: iL 0 , uC 0 uC 0 UC 0 . 0 (послекоммутационный режим) запишем уравнение: uaf e t di L dt iR 1 C t i t dt UC 0 (12.16) Преобразуем уравнение (9.16) по Лапласу: U af p E p RI p pLI p 1 I p pC LiL 0 UC 0 p (12.17) Находим изображение тока: U af p E p LiL 0 I p R pL UC 0 p . 1 pC (12.18) Получили: Закон Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС и начальные условия. Здесь: LiL 0 – внутренний источник ЭДС, обусловленный начальным запасом магнитной энергии в индуктивности при iL 0 I(p) i(t) b L uL (t) m b 0. Li(0) pL Ubm(p) m Рис.12.7 Индуктивность L с начальным током (рис.12.7) в операторной схеме надо заменить операторным сопротивлением pL и внутренним источником ЭДС LiL 0 , направленным согласно току I p . Переход к оригиналу напряжения на индуктивности надо делать с учетом внутреннего источника ЭДС: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 240 uL ( t ) = U bm p В операторном уравнении pLI p UC 0 p LiL 0 (12.19). - внутренний источник ЭДС, обу- словленный начальным запасом электрической энергии в конденсаторе при U C 0 0. UC (0) i(t) UC ( 0) I(p) p + m C uC (t) m d Рис.12.8 d 1/рС Umd(p) Емкость C с начальным напряжением U C 0 (рис.12.8) в операторный схеме замещения надо заменить операторным сопротивлением емкости UC 0 1 и внутренним источником ЭДС , направленным pC p встречно току. Переход к оригиналу напряжения на емкости надо делать с учетом внутреннего источника ЭДС: umd ( t ) = U md ( p ) uC ( t ) 1 I p pC umd ( t ) = U md ( p ) UC 0 p . 1 I p pC (12.20) UC 0 p . 12.6. Законы Кирхгофа в операторной форме Первый закон Кирхгофа в операторной форме Сумма операторных токов, сходящихся в узле равна нулю: I3 (p) I3 p I 4 p I1 p I 2 p 0 . (12.21) I1 (p) I2 (p) I4 (p) Рис.12.9 Второй закон Кирхгофа в операторной форме В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 241 В исходной схеме рис.12.10а в момент t 0 есть ненулевые начальные условия: i1 0 0 , , UC 0 0 . Составим по второму закону Кирхгофа уравнение для мгновенных значений: i1 (t) I1 (p) L a Li1 (0) pL a b b R e2 (t) R E2 (p) c e1 (t) i2 (t) E1 (p) I2 (p) uC m - UC (0)/p 1/pC m d + C c а) di L 1 dt d б) Рис.12.10 Ri1 t 1 C t i2 dt UC 0 e1 t e2 t . (12.22) В операторной форме для схемы рис.9.10б это уравнение имеет вид: pL I1 p 1 I2 p pC UC 0 RI1 p где Li1 0 , p E1 p E2 p Li1 0 UC 0 p , (12.23) - внутренние источники ЭДС. Ф о р м ули р о в к а В любом контуре операторной схемы замещения алгебраическая сумма произведений операторных токов на операторные сопротивления равна алгебраической сумме изображений реальных источников ЭДС и внутренних источников ЭДС. Вывод Законы Ома и Кирхгофа в операторной схеме замещения выполняются. Следовательно, расчеты можно проводить любым методом расчета цепей постоянного и гармонического тока. П р им е р 1 2 . 3 Найти ток в индуктивности схемы рис.12.11а. Решение В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 242 1. Расчет режима до коммутации: iL 0 1A. 2. Находим изображения источника сигнала, внутренние ЭДС и операторные сопротивления цепи: e t 2 В с , LiL 0 p 2В=E p E=2B 1 ГнА 1 В с , pL iL (t ) I(p) L=1Гн pL=p R1 = 2 Ом R2 = 2 Ом p 1 Ом . Li(0)=1 2OM 2 OM E/p=2/p t=0 а) б) Рис.12.11 Составляем операторную схему замещения рис.12.11б. 3. Находим изображение тока: I p E p pL 2 1 p p 1 LiL 0 R1R2 R1 R2 2 p . p p 1 (12.24) 4. Переходим от изображения к оригиналу тока. 12.7. Способы перехода от изображения к оригиналу Переход от изображения к оригиналу можно выполнить несколькими методами: 1. Использовать обратное преобразование Лапласа и вычислять интеграл: i t 1 c 2 j c j I p e pt dp . (12.25) j 2. По таблицам преобразования Лапласа. 3. По теореме разложения при простых корнях. Это способ мы рекомендуем применять в электротехнических расчетах. Найдем оригинал от операторного тока (12.24): I p 2 p p p 1 A p B p . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 243 Дробь A p должна быть правильной: степень числителя меньше B p степени знаменателя. 1. Находим корни знаменателя: B p корни: p1 0 , p2 1 0, p p 1 0, 1 . c 2. Находим производную знаменателя: B p 2 p 1. 3. Находим значения: A p1 2 , A p2 1, B p 1 1, B p2 1. 4. Находим оригинал тока по формуле разложения: A p1 i t B p1 e p 1t A p2 B p2 e p2t 2e0t 1e t 2 e t. Примечание. Если один из корней равен нулю, оригинал содержит постоянную составляющую. 12.8. Особенности расчета операторным методом при гармонической ЭДС i(t) R1 L e(t ) В цепи рис.12.12 действует гармоническая ЭДС e( t ) Em sin t . Найти ток i( t ) . R2 t=0 Рис.12.12 Решение Em R1 R2 j L I m sin t  . 1. Расчет режима до коммутации: Im Мгновенное значение: iL t При t 0 начальное условие: iL 0 I m sin Способы решения: а) Расчет для действительной формы ЭДС: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016  . I me j . 244 e( t ) Em sin t = Em  2 . p2 Em Находим изображение тока: I p  LiL 0 2 p2 R1 pL . В ы в о д : вычисления оригинала сложные ! б) Расчет для комплексной формы ЭДС: Eme jt = Заменим e t на E t Em . p j Комплексная функция времени для тока: Em p j i t = R1 jLiL 0 Em sin t внутренний ис- (для e( t ) pL точник ЭДС надо взять мнимым). Находим i t Jmi t . В ы в о д : расчет проще, но требует использования комплексных чисел. в) Применим метод отделения принужденного режима от свободного. 2. Выполним расчет принужденного режима символическим методом: Iсв (p) Em Imпр I mпр e j2 , R1 R1 iL пр t pL Liсв (0+ ) j L I m пр sin t iL пр 0 2 , I m пр sin 2 . 3. Определяем начальные условия для свободных составляющих. iLсв 0 Рис.12.13 iL 0 iL пр 0 . 4. Составляем операторную схему замещения для свободных составляющих (рис.12.13). Находим свободный ток: I св p LiLсв 0 R1 pL = iLсв 0 e R1 t L . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 245 5. Находим полный ток: iL t iL пр t iL св t I m пр sin t 2 iLсв 0 e R1 t L . 12.9. Примеры расчета переходных процессов операторным методом П р им е р 1 2 . 4 R1 a E R2 C uC t=0 Рис.12.14 В цепи (рис.12.14) заданы параметры: Е =100 В, R1 = R2 = 100 кОм, С = 2 мкФ. Найти uC(t) операторным методом. b Решение. 1. Находим независимое начальное условие uC 0 100 В . 2. Составляем операторную схему замещения (рис.12.15): R1 a E p R2 UC(0) p 1 pC UC(p) Рис.12.15 b 3. По операторной схеме замещения методом двух узлов находим изображение UC(р): E 1 E pC p R1 p E ( 1 pCR ) E ( 1 p 0 , 2 ) A( p ) U C ( p ) U ab ( p ) 2 p( 2 pCR ) p( 2 p 0 , 2 ) B( p ) pC R 4. Находим оригинал UC(t) = Uab(t) по теореме разложения. Корни знаменателя находим из уравнения: B(p)=p(2 + pCR) = 0 , откуда: p1 0 , p2 2 RC 2 0, 2 10 c 1 . Вычисляем: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 246 B ( p) 2 B ( p1 ) 2 , B ( p2 ) UC ( t ) 50 2 p 0 , 2 , A( p1 ) 10t E, 2 A( p1 ) e p1t B ( p )p p1 U ab ( t ) 50e E , A( p2 ) A( p2 ) e p2t B ( p )p p2 B П р им е р 1 2 . 5 R1 e(t) i (t) L В цепи (рис.12.16) с параметрами L = 0,1 Гн, R1 = R2 = 100 Ом действует источником гармонической ЭДС e(t ) = 141sin 103 t B. В момент t = 0 ключ k размыкается. Найти ток после коммутации операторным методом, используя отдеk ление свободного режима от принужденного. R2 Рис.12.16 . Решение 1. Расчет режима до коммутации: Im i( t ) Em R1 j L 1 sin( 103 t 141 100 j100 45 ); i( 0- ) 1e-j45 A , i( 0 ) sin( 45 ) 0,707 A . 2. Рассчитаем принужденный режим. После коммутации активное сопротивление цепи станет равным 200 Ом: I mпр Em 200 j100 iпр ( t ) e-j26 30 A, 100 5 0 , 63 sin( 103 t 26 30 ) A . Находим принужденный ток в момент iпр ( 0 ) 141 t 0 : 0 , 63 sin( 26 30 ) 0,281 A . 3. Находим независимые начальные условия для свободной составляющей тока в индуктивности: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 247 iLсв ( 0 ) 0 , 707 iсв ( 0 ) i( 0 ) iпр ( 0 ) 0 , 281 0 , 426 A 4. Составляем операторную схему замещения для свободных составляющих (рис.9.17). Находим операторный свободный ток: R1 Ι св(p) pL Liсв ( 0 ) R1 R2 pL I св ( p ) 0 , 426 0 ,1 . 200 0 ,1 p По теореме разложение находим оригинал L iLсв(0) свободного тока: iсв ( t ) 0,426e-2000t А . 5. Находим полный ток: R2 i( t ) iпр ( t ) iсв ( t ) 0 , 63 sin( 103 t Рис.12.17 26 30 ) 0,426e-2000 A П р им е р 1 2 . 6 Решить задачу из примера 11.12 (рис.11.33) операторным методом расчета. 1. Расчет режима до коммутации: uC 0 uC 0 6 В , iL 0 iL 0 3 А. 2. Составляем операторную схему замещения цепи (рис.12.18): Li(0) pL a UC (0) E/p p R1 1/pC Рис.12.18 b 3. По методу двух узлов находим U ab p : E p Li 0 pL U ab p 1 pL 1 R1 uC 0 1 p pC pC В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 248 12 p 4 3 3 6 4 p 3 1 1 4 2 p 3 1 16 6 p2 1 p 16 p p 2 48 p 144 A p 8 p 12 B p . 4. Находим оригинал напряжения по теореме разложения. Для этого: Находим корни знаменателя: B p 0 , p1 2 1 , p3 c 0 , p2 61 . c Находим производную знаменателя: B p 3 p2 16 p 12 . Вычисляем: A p1 B p1 144 12 A p2 6 B p2 3 A p3 6 B p3 3 12 В . 2 2 6 6 2 2 2 2 48 2 144 16 2 12 48 6 144 16 6 12 9В. 3В. Получим ответ: uC t A p1 B p1 12 9e 2t A p2 e p1t 3e 6t B p2 e p2t A p3 B p3 e p3t . Ответ совпадает с расчетом классическим методом. 12.10. Контрольные вопросы 1. Назовите этапы расчета переходного процесса операторным методом. 2. К каким функциям можно применять преобразование Лапласа ? 3. Приведите примеры изображений простейших функций. 4. Какие основные свойства преобразования Лапласа Вы знаете ? 5. Теорема запаздывания и её применение. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 249 6. Последовательность расчета переходного процесса операторным методом при нулевых начальных условиях. 7. Из чего состоит операторная схема замещения ? 8. Как найти операторное сопротивление цепи ? 9. Операторныя схема замещения при ненулевых начальных условиях. 10. Что такое внутренние источники ЭДС и как из рассчитывают ? 11. Законы Кирхгофа в операторной форме. 12. Способы перехода от изображения к оригиналу. 13. Теорема разложения и её применение. 14. Способы расчета переходного процесса при гармонической ЭДС. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 250 Глава 13. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ДЮАМЕЛЯ К РАСЧЕТУ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 13.1. Принцип наложения элементарных воздействий Интегралы Дюамеля применяется для анализа воздействия на цепь напряжения произвольной формы. Сложная по форме функция uвх ( t ) действует на входе линейной цепи (рис.13.1). Требуется найти реакцию на выходе. uвх (t) uвх (t) Л.Ц. uвых (t) ? t Рис.13.1 В линейной цепи действует принцип наложения: реакция цепи на сумму входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности. n uвых t n L i 1 uвхi t i 1 L uвхi t . (13.1) Здесь L- любое линейное преобразование. В интеграле Дюамеля сложное воздействие представляется в виде суммы простейших элементарных воздействий. Такими элементарными воздействиями служат: 1. 1 t - единичная функция. 2.  t -импульсная функция. 13.2. Единичная функция, переходная характеристика цепи Единичная функция (рис.13.2) удовлетворяет следующим условиям: 1(t ) 1 1t Рис.13.2 0 t 1 t t В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 . (13.2) 251 1(t) ЛЦ h(t) Рис.13.3 Если 1 t воздействует на линейную цепь (рис.13.3) , на выходе цепи возникает реакция h t . О п р е д е л е н и е . Переходной характеристикой цепи h t называют реакцию на выходе цепи при действии на входе единичной функции. Для определения h t рассчитывают переходной процесс при воздействии на вход единичной функции (рис.13.4). t=0 1В iвых(t) uвых(t) ЛЦ Рис.13.4 На выходе цепи можно определить ток iвых t и uвых t . Переходная проводимость цепи численно равна току на выходе при действии на входе единичной функции: h t g t iвых t . (13.3) Переходная функция по напряжению численно равна напряжению на выходе при действии на входе единичной функции: h t k t uвых t . (13.4) П р им е р 1 3 . 1 После замыкания ключа в схеме рис.13.5 найдем классическим методом напряжение на выходе: t=0 R t 1В iC (t) Рис.13.5 C uc (t) uC ( t ) 1 1 e  h t k t . Найдем ток в емкости: iC t 1 e R В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 t  h t g t 252 . Определили переходную функцию по напряжению и переходную проводимость цепи. Зная h t воздействие. и g t , можно рассчитать реакцию на любое сложное 13.3. Интеграл Дюамеля первого вида На рис.13.6 показана входная функция uвх (  ) , которая воздействует на линейную цепь с переходной характеристикой h t . uвх(τ) uвх(τ) 2 ∆ u 2 = u`(τ2)dτ u(0)  u1=u`(τ1)dτ 1 d 1 d 2 d 3 t  Момент наблюдения Рис.13.6 Заменяем uвх углов составят: tg1  ступенчатой функцией. Для касательных тангенсы uвх 1 , tg 2 uвх  2 . Определим величину ступенек. Например, вторая ступенька равна: u2 tg 2d uвх  2 d (13.5) Каждая ступенька входного напряжения вызывает элементарную реакцию на выходе цепи (рис.13.7). Так, на ступеньку в момент  i реакция на выходе в момент t будет равна: uвыхi t u  i h t  i . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (13.6) 253 U(0) U(0)h(τ )   u1 ∆ u 1 h(τ- τ1 )  τ1 u2 ∆ u 2 h(τ -τ2 ) τ2 t Рис.13.7  Реакция на выходе в момент наблюдения t равна сумме значений всех реакций в момент t : n uвых t ui h t  i U 0 h t i 1 n u  i h t  i d i (13.7) Пусть теперь число ступенек увеличивается и d интегралу Дюамеля первого вида: 0 . Переходим к U 0 h t i 1 t u вых t u 0 h t u  h t  d . (13.8) Определение: Интеграл Дюамеля первого вида выражает реакцию на выходе цепи через переходную характеристику цепи h t . Правило записи интеграла Дюамеля первого вида В интеграле Дюамеля первого вида скачок входной функции в момент t ti учитывается слагаемым вида u h t ti . Плавные изменеb ния функции учитываются интегралом u  h t  d , где нижний a предел a – начало действия функции, а верхний предел b – момент наблюдения или конец действия функции. П р им е р 1 3 . 2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 254 На рис.13.8 показана входная функция напряжения u( t ) . Записать выражение для выходного напряжения в цепи с переходной характеристикой h t . u(t) u1 (t1 ) u1 (t) u2 (t1 ) u1 (0) u2 (t) t t1 Рис.13.8 Решение Интеграл Дюамеля надо записывать отдельно для каждого интервала изменения функции. 1. На первом интервале 0 t t1 : t u вых t u1 0 h t u1  h t  d 2. На втором интервале t1 t1 u вых t u1 0 h t t . : u1  h t  d u2 t1 u1 t1 h t t1 t u2  h t  d . t1 Вторая форма записи интеграла Дюамеля первого вида Интегрируя (10.8) по частям, получим вторую форму записи интеграла Дюамеля первого вида: t u вых t u t h 0 u  h t  d . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (13.9) 255 13.4. Импульсная функция, импульсная характеристика цепи Импульсной функцией (дельта-функцией, функцией Дирака) называется функция  t , обладающая свойствами: 1.  t 2.  0 0 , когда t , когда t  t dt 3. t 0, t 0 . 0. 1. По этим свойствам: Дельта- функция это импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды. Площадь импульса постоянна и равна 1 (рис.13.9). δ(t) Приближенным примером реализации дельта-функции может служить односторонняя дельта-функция  t , t (рис.13.10), которая имеет длительность t и амплитуду При t 1 . Площадь односторонней дельта-функции t t Рис.13.9 1 S t 1 постоянна и равна единице. t  t . 0 односторонняя дельта-функция  t , t δ (t,∆t) S= 1 ∆t 1 ∆t =1 ∆t 0 ∆t Рис.13.10 ∆t Найдем интеграл от  t . На временном интервале t 0 интеграл равен нулю. При переходе через t 0 интеграл скачком увеличивается до 1. На временном интервале интеграл не меняется и остается 0 t t равным 1. В результате мы получили единичную функцию включения 1( t ) : t 1 t Следовательно:  t dt .  t d 1 t . dt Фильтрующее свойство дельта-функции В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (13.10) (13.11) 256 f   t Доказательство. Имеем:  t   d f t . (13.12)  . Если t  , f  0 при t f t . Выне- сем f t из-под знака интеграла при интегрировании по  : f t  t  d  t  d f t f t 1. 13.5. Расчет импульсной характеристики Импульсной характеристикой цепи h t называют реакцию на выходе цепи при действии на входе  t . На рис.13.11 показана схема для нахождения импульсных характеристик. δ (t) iвых (t) uвых (t) ЛЦ Рис.13.11 Импульсная проводимость численно равна току на выходе при действии на входе  - функции: iвых t h t g t [см/с] (13.13) Импульсная функция по напряжению численно равна напряжению на выходе цепи при действии на входе  - функции: uвых t h t k t [1/с]. (13.14) О п е р а то р н ы й м е то д р а с ч е т а h t Найдем изображение  t , использую фильтрующее свойство:  t e F p pt dt e Следовательно:  t dt p0 1. (13.15)  t =1 . (13.16) П р им е р 1 3 . 3 Для схемы (рис.13.5) при действии на входе характеристику цепи.  t найти импульсную В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 257 Решение Строим операторную схему замещения (рис.13.12), находим изображение выходного напряжения и переходим к оригиналу: R 1 1 E(p)=1 U p 1/pC U(p) Рис.13.12 pC 1 R pC 1 1 RCp 1 1 1 = e 1  RC p RC t  h t . Расчет импульсной характеристики по переходной характеристике Запишем интеграл Дюамеля I-го вида (вторая форма записи): t u вых t u t h 0 u  h t  d . (13.17)  t . Вычисляем выходную реакцию: Пусть u t u вых t u вых t  t h 0  t h 0 h 0  t t t   h t  d   h t  d h t . Но реакция цепи на  - функцию есть импульсная характеристика цепи. Следовательно: h t h 0  t h t . (13.18) 13.6. Интеграл Дюамеля второго вида Интеграл Дюамеля второго вида выражает реакцию на выходе цепи с помощью импульсной характеристики цепи. Заменим входной сигнал последовательностью импульсов длительностью  (рис.13.13). Каждый импульс можно представить разностью двух функций включения: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 258 uk  k uвх(τ) uk (τk) uk 1  k 1 k Умножим и разделим на d : uk  k d uk 1  k d . 1 k d d uk d  k . Функция    k вызовет на выходе реакцию h   k . Функция uk d   k вызовет на выходе реакцию uk d h   k . Реакции на импульсы суммируются в момент наблюдения t τ k dτ t Рис.13.13 (рис.13.14): uвх(τ) u1dτhδ(τ-τ1) uвх(τ) u2 L u3 C t τ1 uвх(τ) u1 u2dτhδ(τ-τ2) R dτ τ1 τ2 τ3 τ tτ τ2 uвх(τ) τ3 t τ u3dτhδ(τ-τ3) t τ Рис.13.14 В результате получим в момент наблюдения t: n uвых t uk  k h t  k d . k 1 Переходим к интегралу при t uвых t d u  h t  d (13.19) 0: t u t  h  d . (13.20) Получили интеграл Дюамеля второго вида (интеграл наложения, свертка функций). Он выражает реакцию на выходе цепи с помощью импульсной характеристики цепи. П р им е р 1 3 . 4 Входное напряжение задано на рис.13.15. Записать выходное напряжение, используя импульсную характеристику цепи. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 259 u(t) u1 (t1 ) u1 (t) u2 (t1 ) u1 (0) u2 (t) t t1 Рис.13.15 Решение Входной сигнал разбиваем на два интервала. 1. На первом интервале 0 t t1 : t u вых t 2. На втором интервале t1 t1 u вых t u1  h t  d . t : u1  h t  d xвх (t) t u2  h t  d . t1 yвых (t) ЛЦ Xвх (p) Yвых(p) Рис.13.16 13.7. Передаточная функция цепи Передаточной функцией цепи называется отношение операторного изображения выходной величины к операторному изображению входной вели- чины. Для цепи рис.13.16 запишем передаточную функцию: K p Yвых p X вх p . (13.21) П р им е р 1 3 . 5 R Uвх(p) C 1/pC Uвых( p) Для операторной схемы цепи рис.13.17 найдем передаточную функцию. Рис.13.17 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 260 K p U вых p U вх p 1 pC 1 p R pC U вх p U вх 1 . 1 RCp Связь передаточной функции и импульсной характеристики цепи В цепи рис.13.18 известна передаточная функция K p . Найти импульсную характеристику цепи. Uвх(p) Запишем: Uвых(p) ЛЦ U вых p K p U вх p Пусть на входе действует  функция: Рис.13.18 uвх t  t = 1. Тогда реакция на выходе цепи будет импульсной характеристикой цепи: U вых p K p 1 = h t . Следовательно: h t = K p . (13.22) П р а в и л о : Импульсная характеристика и передаточная функция связаны между собой преобразованием Лапласа. Связь передаточной функции и переходной характеристики цепи Пусть в цепи рис.10.18 на входе действует единичная функция: uвх t 1t = 1 . p Тогда: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 261 U вых p 1 =h t . p K p Следовательно: h t = K p p . (13.23) П р а в и л о : Переходная характеристика цепи равна оригиналу от передаточной функции, деленной на p . Эти формулы можно применять для расчета импульсной и переходной характеристики. 13.8 Примеры расчетов переходных процессов с использованием интегралов Дюамеля П р им е р 1 3 . 6 Заданы параметры цепи рис.13.19: R1 = R2 = 500 кОм, C = 1 мкФ. такую цепь называют пропорционально-интегрирующий фильтр. Найти передаточную функцию по напряR1 жению K(p), переходную характеристику h(t), переходную входную проводимость g(t), импульR2 U2 (t) сную характеристику hδ (t ) , импульсную входU1(t) C ную проводимость gδ (t ) . Решение 1. Передаточная функция цепи: Рис.13.19 U 2 ( p ) U1( p ) U1( p ) Z( p ) 1 R2 p 2 pC 0 ,5 . 1 p 1 R1 R2 pC 2. Переходная характеристика h(t). K( p ) чим: 1 pC U1( p ) R2 а) Определение классическим методом: Считаем u1(t) = 1(t). Тогда, рассчитаем цепь первого порядка, полу- h( t ) 1-0,5e-t . б) Определение операторным методом: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 262 h( t ) = K( p ) p 0,5 p 2 =1 0 , 5e t . p( p 1 ) 3. Переходная проводимость: 1 pZ ( p ) g( t ) 10-6 = g( t ) p 1 1 0,5 p( R1 1 ) pC R2 10-6 e t См . 4. Импульсная характеристика: h ( t ) = K ( p ) 0,5 p 2 p 1 0 , 5( p 1 p 1 1 p 1 ) 0,5 = 0 , 5 ( t ) 0 , 5e t c-1 . p 1 0 ,5 Проверка h ( t ) h( 0 ) ( t ) h (t ) 0 , 5 ( t ) 0 , 5e t c-1 . 5. Импульсная проводимость: 1 g ( t ) = Z( p ) g ( t ) 10-6 p p 1 10-6 ( 1 1 p 1 ). 10-6  ( t ) 10-6e t См / с П р им е р 1 3 . 7 На u1( t ) заданную цепь (рис.13.19) воздействует импульс напряжения Ue- t длительности U = 100 B,  2 c-1 , t1 (рис.13.20). t1 Параметры импульса 1c . Определить напряжение u2 ( t ) при помощи интегралов Дюамеля первого и второго вида. Указание: Следует обратить внимание на разбиение временной области на интервалы интегрирования, правильную расстановку пределов в интегралах, особенности вычисления интегралов, содержащих импульсную функцию. 1. Применение интеграла Дюамеля первого вида U На интервале 0 u1(t) t t u2 ( t ) t t1 u1( 0 )h( t ) t1 : u1' (  )h( t  )d . Рис.13.20 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 263 Находим: u1( 0 ) 100 B ; u1( t ) 100e 2t В; 1 0 , 5e t ; h( t ) h( t - ) (t  ) 1 0 , 5e , u1' (  ) Ue- 200e-2 B . Вычисляем интеграл: t u2 ( t ) 100( 1 0 , 5e t ( 200e2 )( 1 0,5e-(t- ) )d ) t t 100 50e 200e -2 d t 100e t e- d 50e t B На интервале t1 < t < ∞: t1 u2 ( t ) u1( 0 )h( t ) u1' (  )h( t - )d Ue- t1 h( t t1 ) 100 50e -t t1 200 e-2 ( 1 0,5e-t  )d 100e -2t1 ( 1 0,5e -(t - t1 ) ) 50e -t ( 1 - e -t1 )B 2. Применение интеграла Дюамеля второго вида. На интервале 0 t u2 ( t ) t t1 : u1(  )(  )h ( t  )d t 50e -2 t 100e-2 ( 0 , 5 ( t - ) 0,5e-(t - ) )d  ( t - )d t 50e-t e- d 50e -2t 50e -t - 50e -2t 50e -t Пояснение: На интервале интегрирования по  ( 0 фильтрующее свойство  - функции. Поэтому t 50e-2  ( t - )d t ) при  50e-2t . На интервале t1 t : В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 t действует 264 t1 u2 ( t ) u1(  )h ( t -  )d t1 50e 50e -t - 50e -t1 e -t 50e -t ( 1 - e - t1 -2  ( t -  )d 50e -2 e -t e d ) Пояснение: Так как t1 t при интегрировании по  ( 0 выполняется,  ( t -  t1 t1 ) условие  t не ) под интегралом будет равна нулю. Поэтому: t1 50e-2  ( t - )d 0. Результаты, полученные с использованием первого и второго интеграла, Дюамеля совпадают. На рис.13.21 показаны графики входного воздействия (сплошная линия) и реакции на выходе (пунктирная линия). 100 В 100e- 2t 50 50e- t 50e-t (1- e-t1 ) t t1=1c Рис.13.21 П р им е р 1 3 . 8 На цепь (рис.13.19) на интервале времени t 0 воздействует им- пульс напряжения u1( t ) 1 e-4t B . Операторным методом найти выходное напряжение. Решение 1. Находим изображение входного сигнала: u1( t ) 1-e-4t = 4 p( p 4 ) U1( p ) . 2. Находим передаточную функцию цепи (см. пример 13.6): K( p ) 0,5 p 2 . p 1 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 265 3. Находим изображение выходного сигнала: U2 ( p ) K( p ) U( p ) 0,5 ( p 2) 4 ( p 1 ) p( p 4 ) 2( p 2 ) . p( p 1 )( p 4 ) 4. По теореме разложения находим оригинал выходного напряжения: u2 ( t ) 1 1 e 3 4t 2 t e В. 3 13.9. Контрольные вопросы 1. Какие элементарные воздействия применяют в интегралах Дюамеля ? 2. Что такое переходная характеристика цепи и как её определяют ? 3. Какие виды переходных характеристик применяют в расчетах ? 4. Правило записи интергала Дюамеля первого вида. 5. Что такое импульсная характеристика цепи и как её можно определить ? 6. Какими свойствами обладает дельта-функция ? 7. Как рассчитать импульсную характеристику, зная переходную ? 8. Правило записи интеграла Дюамеля второго вида . 9. Что такое передаточная функция цепи и как её можно рассчитать ? 10. Как связана передаточная функция цепи и импульсная характеристика ? 11. Как связана передаточная функция цепи и переходная характеристика ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 266 Глава 14 . ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ ТОКАХ И НАПРЯЖЕНИЯХ 14.1 Разложение периодических функций в ряд Фурье На рис.14.1 показан пример периодической негармонической функции времени, удовлетворяющей условию периодичности: f t f t T , (14.1) где T - период повторения функции. Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в гармонический ряд Фурье, в котором составляющие имеют кратные частоты и называются гармониками. П е р в а я ф о р м а з а п и с и р я д а Ф у р ь е выглядит так: a0 2 f t an cos nt bn sin nt (14.2). n 1 В этом уравнении:  2 T (14.3) - частота первой гармоники; an 2 T t0 T f t cos ntdt (14.4) t0 - амплитуды косинусных гармоник; bn 2 T t0 T f t sin ntdt t0 - амплитуды синусных гармоник; В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (14.5) 267 a0 2 1 T t0 T f t dt (14.6) t0 - постоянная составляющая. Вторую форму записи ряда Фурье таком виде: f t a0 2 An cos( nt записывают в n ) . (14.7) n 1 Преобразуем слагаемые этого ряда: An cos( nt n ) An cos nt cos  n an cos nt где an An cos  n , bn An sin t sin  n bn sin nt , An sin  n , An an2 (14.8) bn2 , tg  n bn . an 14.2. Дискретные спектры Во второй форме записи разложения Фурье (14.7) каждая гармоническая составляющая An cos( nt  n ) характеризуется частотой n n , амплитудой An , фазой  n . Амплитуды и фазы можно изобразить на оси частот. Совокупность амплитуд гармонических составляющих, отнесённых к частотам, называется а м п л и т у д н ы м с п е к т р о м . Совокупность начальных фаз гармоничных составляющих, отнесённых к частотам, называется ф а з о в ы м с п е к т р о м . П р им е р 1 4 . 1 Рассмотрим негармоническую периодическую функцию напряжения f t 3 cos t 450 2 cos( 2t 300 )В . Эта функция имеет две гармонические составляющие. Для построения амплитудного спектра (рис.14.2a) на частоте  отложим амплитуду первой гармоники A1 3В , на частоте 2 отложим амплитуду второй гармоники A2 2 В . Получим дискретный амплитудный спектр, состоящий из двух амплитудных спектральных составляющих. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 268 Амплитудный спектр Фазовый спектр Для построения фазового спектра (рис.14.2б) на частоте  отложим начальную фазу первой гармоники 1 450 , на частоте второй гармоники отложим начальную фазу второй гармоники  2 300 . Получим дискретный фазовый спектр, состоящий из двух фазовых спектральных составляющих. Отметим важное свойство: Периодическая негармоничная функция f t a0 2 An cos( nt n ) n 1 имеет дискретные линейчатые спектры (рис.14.3). Амплитудный спектр Фазовый спектр Разность частот соседних составляющих   2 . Все спекT тральные составляющие имеют частоты, кратные  . Спектральные составляющие с кратными частотами называется гармониками сигнала. Спектр, состоящий из гармоник, называют гармоническим спектром. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 269 Спектры, заданные на положительной оси частот, называются односторонними. 14.3. Пример разложения функции в ряд Фурье На рис.14.4 показан график периодической последовательности прямоугольных импульсов. Амплитуда импульсов 1 В, период повторения Т. Требуется найти разложение этой функции в ряд Фурье. 1, 0 f t 1, T 2 t T 2 t T 1. По формуле (14.6) находим, что постоянная составляющая a0 2 1 T T f t dt 0 , так как функция симметричная относительно оси абсцисс. 2. Находим амплитуды гармоник: an 2 T t0 T t0 2 f t cos ntdt = T T T 2 1 cos ntdt T 1 cos ntdt = T 2 T 2 sin t 2 nT 2 sin t T = nT 2 T sin n nT 2 sin 0 2 T 2 2 2 sin n 2 2 n  sin nT sin 0 sin n sin n 2  T 2 sin n 2 2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 0. 270 bn 2 T T 2 1 sin ntdt T 1 sin ntdt T 2 2 cos nt T nT Для четных «n» bn T T 2 cos nt 2 nT 2 cos n 2 n  2 T 2 = 1 cos 2n cos n 1 2 cos n n 2 . 0. Далее получим: b1 4  1, 27 , b3 В результате: f t 4 3 0 , 424 , b5 4 sin t  1 4 5 sin 3t 3 0 , 254.... sin 5t 5 .......... . Свойства спектров периодических функций Функции, симметричные относительно начала координат, содержат только синусные гармоники. Функции, симметричные относительно оси ординат, содержат только косинусные гармоники. П р им е р 1 4 . 4 Выполнить Фурье-анализ функции (рис.14.4) в программе TINA-TI. Для расчета спектра Фурье предварительно надо выполнить Analysis-Transient и установить достаточно большое время окончания End display = 1 s/ В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 271 Далее выполняем: Analysis- Fourier Analysis- Fourier series. Устанавливаем параметры анализа в соответствии в таблицей рис.14.6. Выбираем Calculate. В таблице результатов получаем амплитуды косинусных и синусных гармоник. Сравниваем их с результатами расчета в примере 14.3. Выбираем Draw и получаем амплитудные спектры косинусных и синусных гармоник. Косинусные гармоники не превышают по амплитуде 3 мВ, что много меньше амплитуды синусных гармоник. Наличие этих малых погрешностей обусловлено тем, что последовательность импульсов на В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 272 рис.14.4 существует только при t гом смысле. 0 и не является периодической в стро- 14.4. Смещение функции по времени На рис.14.8 показана f1 t , которая опережает на функция T предыду4 щую функцию f t (рис.11.3). Фазовый сдвиг  2 4 T 4   2 .  . 2 Подставляем в ряд Фурье для f t  новую координату 1 : Следовательно: f1 f1 1 4  sin t 1  2 sin 3 t 3  2 1 f 1 2 sin 5 t 5 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016  2 .......... 273 4 sin t cos   cos t sin 2  sin 3t cos 2 3 2 1 4 cos t  1 cos 3t sin 3 cos 3t 3 cos 5t 5 Здесь учтено, что: sin t  ......... . sin t cos 2 3 2 ..........  2 cos t sin  2 . 14.5. Анализ линейных цепей при периодических негармонических воздействиях Негармонические напряжение и ток представляют рядом Фурье в виде гармонических составляющих и постоянной составляющей. Правило Расчет цепей с негармоническими сигналами надо проводит для каждой составляющей в отдельности, а результаты в форме функций времени надо суммировать, используя принцип наложения. В расчетах номер гармоники обозначают нижним индексом в скобках. Например: I I m 2 sin( 2t i2 t 2 ) - мгновенное значение второй гар- моники тока; - комплексная амплитуда тока в первой ветви на второй гармонике; I1m(2) номер ветви номер гармоники Z 2 3 - комплексное сопротивле- ние второй ветви на третьей гармонике. П р им е р 1 4 . 5 В цепи рис.14.9 действует сигнал e t E0 Em 1 sin t E0 Em 2 sin 2t . Найти ток в цепи. e1 t Порядок расчёта 1. Расчёт на постоянном токе 0 0. Комплексное сопротивление Z 0 R j 0L В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 R. e2 t 274 E0 . R Постоянная составляющая тока I 0 2. Расчет на первой гармонике  . Комплексная амплитуда первой гармоj0 Em 1 e . ники напряжения сигнала Em 1 Комплексное сопротивление цепи на первой гармонике: Z 1 R jL . Комплексная амплитуда тока первой Em 1 гармоники: I m 1 Im 1 e Z1 j I 1 . Мгновенное значение первой гармоники тока: i1 t I 1 ) . I m 1 sin( t 3. Расчет на второй гармонике 2 . Аналогично Z 2 R предыдущему j 2L , I m пункту Em 2 2 Z находим: Im 2 e j I 2 Em 2 Em 2 e j 0 ; . 2 Мгновенное значение второй гармоники тока: I m 2 sin( 2t i2 t I 2 ). Правило При расчете негармонических сигналов нельзя суммировать комплексные амплитуды разных частот. Суммируют только мгновенные значения. Ответ: i t I0 i1 t i2 t I0 I m 1 sin t I 1 I m 2 sin 2t I 2 . П р им е р 1 4 .6 Смоделировать цепь рис.14.10, в которой последовательно включены источник VS1 постоянного напряжения 1В, источник синусоидального сигнала VG1 c частотой 50 Гц и амплитудой 1В, источник синусоидального напряжения VG2 с частотой 100 Гц и амплитудой 1 В. Индуктивность L1 1Гн . Найти напряжение на резисторе R1 500 Ом . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 275 14.6. Действующее значение негармонических сигналов Определение Действующее значение негармонического периодического сигнала равно значению постоянного тока (напряжения), при котором в активном сопротивлении рассеивается та же мощность, что при негармоническом сигнале. Для периодического негармонического тока среднюю мощность находим как интеграл от мгновенной мощности по периоду: P 1 T T 1 T p t dt T 2 i Rdt 1 T T u2 dt . R (14.9) Для постоянного тока мощность в активном сопротивлении: 2 P I R Приравняем мощности: P 2 I R R T U2 . R (14.10) T i 2 dt . (14.11) Из равенства (14.11) находим действующее значение негармонического тока: I 1 T T i 2 dt . Аналогично найдем действующее значение напряжения: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (14.12) 276 1 T U T u 2 t dt . (14.13) Общая формула для действующего значения периодической функции f t : 1 T F Пусть i t T f 2 t dt . I m 1 sin t I0 (14.14) I m 2 sin 2t ..... . (14.15) Найдем действующее значение тока: I 1 T T 1 T I0 I m 2 sin 2t 2 ..... dt T I 02 I m 1 sin t I 2 sin t 2 m1 I 2 2 sin 2t .... 2I 0 I m 1 sin t 2 m2 ... dt . Квадраты синусов в этом выражении можно преобразовать к виду: I m 1 sin t I m2 1 2 2 1 cos 2t . (14.16) При интегрировании по периоду останутся только постоянные составляющие от квадратов синусов и постоянная составляющая нулевой гармоники. В итоге получим: I I 02 I m2 1 I m2 2 2 2 ..... I 02 I 21 I 22 ... . (14.17) Правило Действующее значение периодической негармонической функции равно квадратному корню из суммы квадратов действующих значений всех составляющих. Для действующего напряжения получим формулу: U U 02 U 21 U 22 ... .. (14.18) 14.7. Мощность периодических негармонических сигналов Среднюю мощность произвольного сигнала находят по формуле: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 277 1 T P T u t i t dt . (14.19) Рассмотрим негармонический сигнал: u t U0 i t I0 p t U m 1 sin( t I m 1 sin( t U 1 ) U m 2 sin( 2t I 1 ) I m 2 sin( 2t Найдем мгновенную мощность: u t i t U 0 I 0 U 0 I m 1 sin( t I 0U m 1 sin( t U m 1 sin( t U 1 ) I U m 2 sin( 2t U m 1 sin( t U 2 U 2 2 ) , (14.20) ). (14.21) U 2 I 2 ) ) I 1 ) )I m 2 sin( 2t U 1 )I m 2 sin( 2t U m 2 sin( 2t I 2 ) U 0 I m 2 sin( 2t 1 I 0U m 2 sin( 2t U 1 )I m 1 sin( t U I I )I m 1 sin( t 2 ) 2 ) I 1 ) . (14.21) При интегрировании мгновенной мощности по формуле (11.19) постоянные составляющие получим только от произведения функций одинаковых частот и от постоянных составляющих. В результате получим, что активная мощность негармонического тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник: P Um 1 Im 1 U0 I0 U0 I0 2 cos( U 1 I U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 1 Um ) 2 Im 2 2 P0 P1 cos( U P2 . I 2 2 (14.22) Реактивная мощность Q U 1 I 1 sin  1 U 2 I 2 sin  2 Q1 Q2 . (14.23) Полная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока: (14.24) S UI , где: U U 02 U 21 U 22 , I I 02 I 21 Отметим, что в цепи негармонического тока I 22 . S В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 P2 Q2 . ) 278 14.8. Коэффициенты характеризующие несинусоидальные периодические процессы Обозначим для несинусоидального периодического процесса: f max - максимальное значение функции за период; Fcp 1 T T f t dt - среднее значение по модулю (для синусоиды Fcp 1 T F 2  U m ); T f 2 t dt - действующее значение функции (для синусоиды F Um ). 2 Несинусоидальные периодические процессы характеризуют следующими коэффициентами: Коэффициент формы есть отношение действующего значения к  F (для синусоиды sin kф Fср среднему: kф 2 2 1,11). Коэффициент амплитуды есть отношение максимального значения к среднему: ka f max (для синусоиды ka Fср 2 ). Коэффициент искажений есть отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению всей функции: kи Коэффициент мощности полной:  F1 . F есть отношение активной мощности к P . UI 14.9. Примеры расчета цепей при периодических негармонических сигналах П р им е р 1 4 . 7 В u( t ) схеме 40 рис.11.10 80 sin103 t действует 40 sin 2 103 t входное напряжение 45o . Заданы параметры це- В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 279 L 10 мГн , С 50 мкФ , R 20 Ом . Найти действующее значение тока, активную, реактивную и полную мощность. пи: Решение 1. Выполним расчет на постоянном токе: U 0 40 I0 2A. R 20 2. Расчет на первой гармонике  103 1 : c X L( 1 )  L 103 10 j10( j10 Zвх( 1 ) R jZab( 1 ) 80 I m( 1 ) 20 2e Мгновенное i( 1 ) ( t ) 4 2 значение sin 103 t X C( 2 ) Z ab( 2 ) Zвх( 2 ) 2 103 10 1 2C j 20( j 20 1 40e j 45 20 2e j 45o j 45o 20 2 2 2 103 1 : c 10 Ом , 6 A. гармоники 20 Ом , 2 10 50 10 j10 ) 200 j10 j10 o Im( 2 ) 2 3 jZab( 2 ) 2 e 450 А. 2 L R 4 j 45o j 20 Ом . 20 первой 3. Расчет на второй гармонике 2 X L( 2 ) 10 Ом , 1 1 20 Ом . C 103 50 10 6 j 20 ) 200 j 20 Ом . j 20 j10 X C(1 ) Z ab( 1 ) 2 j 20 Ом , j 20 Ом , o e j 90 A . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 тока: 280 Мгновенное 2 i( 2 ) ( t ) значение sin 2 103 t 2 4. Полный ток: i( t ) 2 I0 i( 1 ) ( t ) sin 2 103 t второй гармоники тока: 900 А. i( 2 ) ( t ) 4 2 2 sin 103 t 450 900 А. 2 5. Действующее значение тока: I m2 ( 1 ) I m2 ( 2 ) 16 2 2 2 2 Действующее значение напряжения: Iд I 02 22 4 2 2 4 4 1 3 A. 802 402 Uд 40 74 ,8 В . 2 2 6. Активная мощность источников: P P0 P1 P2 U 0 I 0 U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 80 4 40 2 40 2 cos 45o cos 45o 90o = 2 2 2 2 2 2 180 Вт. Активная мощность в резисторах: 2 2 I I m ( 1 ) m (2) PR I 02 R R R I д2 R 20 9 180 Вт . 2 2 7. Реактивная мощность: Q U1I1 sin1 U 2 I 2 sin 2 80 4 40 2 sin 45o sin 45o 80 20 100 Вар 2 2 2 2 2 2 8. Полная мощность: S U д I д 74 ,8 3 224 , 5 ВА . U 02 P2 U (21 ) Q2 U (22 ) 1802 1002 2 205 S. П р им е р 1 4 . 8 В цепи рис.11.11. задано: e( t ) В, L1 1 мГн , L2 0 , 5 мГн , C1 мощность, выделяемую в цепи. 20 28 sin104 t 14 sin 2 103 t 5 мкФ , R1 10 Ом . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 Найти активную 281 Решение I д2 R будем искать действующее Так как активная мощность P значение тока. 1. Расчет на постоянном токе: I0=0. 3. Расчет на первой гармонике  104 1 . Вычисляем реактивные c и комплексные сопротивления на первой гармонике:  L1 104 10 X L1( 1 ) 3 10 Ом , X L 2( 1 )  L2 104 0 , 5 10 X C1( 1 ) 1 C1 1 X C 2( 1 ) 1 C2 Z ab( 1 ) Zвх( 1 ) 10 104 5 10 3 20 Ом , 6 1 4 10 10 10 j5( j5 j10 j10 ) j10 j 20 5 Ом ; 10 Ом . 6 j10 Ом , 10 Ом . j10 Вычисляем комплексную амплитуду и действующее значение тока первой гармоники: I m( 1 ) 28 10 2 ,8 A , I д(1) 2 ,8 2 2 А. 4. Делаем аналогичный расчет на второй гармонике В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 2 2 104 1 : c 282 2 L1 1 2C1 X L1( 2 ) X C1( 2 ) Z ab( 2 ) 2 L2 10 Ом , 1 5 Ом . 2C2 20 Ом , X L 2( 2 ) 10 Ом , X C 2( 2 ) j5( j5 j10 ) j10 j10 Ом , j10 j10 10 Ом . Zвх( 2 ) 10 j 20 I m( 2 ) 14 10 1, 4 A , I д(2) 1, 4 1 А. 2 5. Находим действующее значение негармонического тока: Iд I 02 I(21 ) I(22 ) 4 6. Находим активную мощность в цепи: P 4 8 A. I д2 R 8 10 80 Вт . 14.10. Контрольные вопросы 1. Какие функции называют периодтческими негармоническими ? 2. Как выглядит первая форма ряда Фурье и какой физический смысл этой записи ? 3. Как выглядит вторая форма записи ряда Фурье и её физический смысл ? 4. Что такое амплитудный спектр ? 5. Что такое фазовый спектр ? 6. Что такое гармоники сигнала ? 7. Свойства спектров перилдических функций. 8. Порядок расчета цепи с негармоническими сигналами. 9. Что такой действующее значение негармонического сигнала ? 10. Как рассчитать действующее значение периодической негармонической функции ? 11. Как рассчитать мощность негармонического сигнала ? 12. Какими коэффициентами характеризуют негармонические периодические сигналы ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 283 Глава 15. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 15.1. Принцип получения трехфазной системы ЭДС Производство, передачу электрической энергии и электроснабжение потребителей осуществляют с использованием трехфазных электрических цепей. Трехфазную систему ЭДС вырабатывают трехфазными электромеханическими генераторами. Упрощенная схема такого генератора показана на рис.15.1. A Ротор A iA(t) + B A C Y б) Z N . C . ω + + S X Статор с B обмотками . X Y Z в) X a) Рис. 15.1 В цилиндрическом статоре из электротехнической стали находятся три фазные обмотки A-Х, B-Y, C-Z. Линейные проводники обмоток расположены в пазах статора параллельно оси цилиндра (рис.15.1б). Три фазные обмотки повернуты в статоре на 120о. Ротор имеет катушки намагничивания (не показаны на рис.15.1) и приводится во вращение внешними силами (например, гидротурбиной). При вращении магнитного ротора в обмотках статора наводятся фазные ЭДС (рис. 15.1.в): ea t Em sin t , eb t ec t Em sin t Em sin t 120o , 120o . (15.1) П р им е р 1 5 . 1 50 Гц и с Собрать модель трехфазного генератора с частотой f действующим значением фазных напряжений 220В. Каждая фазная ЭДС подключена к активной нагрузке Rф 1 кОм . Получить графики фазных напряжений. Решение 1. Вычисляем амплитудное значение фазных напряжений. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 284 EmA EmB EmC 220 2 311 В . 2. Собираем схему модели (рис.12.2). Устанавливаем в генераторах напряжения амплитуды 311 В и фазы в соответствии с формулами (15.1). Рис.15.2 3. Выполняем Analysis – Transient на интервале 0-40 мс. На графиках получили трехфазную систему ЭДС. В любой момент времени алгебраическая сумма мгновенных значений фазных ЭДС равна нулю. Векторная диаграмма трехфазной системы ЭДС показана на рис.15.3. Геометрическая сумма трех векторов фазных ЭДС EA равна нулю: EA EB EC 0 . (15.2) o o -120 +120 Частота промышленной электрической сети 50 Гц . Действующие EC E B в нашей стране равна f напряжения на нагрузках потребителей составляРис. 15.3 ют 220 В и 380 В. 15.2. Способы соединения трехфазного генератора с нагрузкой Существует несколько способов соединения трехфазного генератора с нагрузкой. 1. Независимое соединение показано в модели рис.15.2. Каждая фаза генератора непосредственно подключена к своей нагрузке. Связь между фазами отсутствует. Работают три независимых цепи и требуется шесть проводов. Поэтому независимое соединение неэкономно. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 285 2. Соединение «Звезда-Звезда» с использованием нулевого провода показано на рис.15.4. Фазные ЭДС E A , EB , EC соединены своими зажимами x, y, z в узле N. Фазные нагрузки Z A , Z B , ZC соединены в узле n. Узлы N и n называют нейтральными точками источника и приемника. Эти нейтральные точки соединяются нулевым проводом (или сокращенно нейтралью). Остальные провода, соединяющие фазные ЭДС и фазные нагрузки, называют линейными проводами. Ia A a EA Фазные Фазные Нулевой провод Z a нагрузки ЭДС IN N n x x z Zb Zc zy y EC EB b c C B Ic Ib Линейные провода Рис. 15.4 Запишем комплексные действующие значения фазных ЭДС: o Ee j 0 , EB EA Ee j120o , EC Ee j120o . (15.3) В симметричном трехфазном генераторе напряжения фазных ЭДС равны по модулю. Выполним расчет фазных токов: IA EA ZA IB EB ZB Ee IC EC ZC Ee E z Ae I Ae ja ja j120o z B e jb I Be j120o zC e jc IC e , j 120o b j 120o c (15.4) , (15.5) . (15.6) По первому закону Кирхгофа ток нейтрали равен сумме фазных токов (рис.15.4): IN IA IB IC . Определение В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (15.7) 286 Напряжения (токи) в фазных обмотках генератора и напряжения (токи) на фазах приемника называются фазными напряжениями и токами. Напряжения между линейными проводами и токи в линейных проводах называются линейными напряжениями и токами. Линейные напряжения можно найти по векторной диаграмме (рис.15.5). Так U ab EA o 3Ee j 30 , U ca EB Ubc EA EC EB o 3Ee j150 , EA j 90o 3Ee . (15.8) 30 o EA Uca =√3 Ee j150 o Uab =√3 Ee j30 o 120 o EC U bc=√3 Ee -j90 Рис. 15.5 EB o Запомним, что линейное напряжение больше фазного в 3 раз. Так для фазного напряжения 220 В линейное напряжение составит 380 В. 15.3. Симметричная нагрузка в соединении звезда-звезда Рассмотрим случай, когда все фазные нагрузки равны: ZA ZB ze j . ZC (15.9) Такую нагрузку называют симметричной. При этом токи равны по модулю, одинаково сдвинуты по фазе относительно фазных напряжений и образуют звезду (рис.15.6): EA EA E φ IA I Ie j , (15.10) A IC EC EB Рис. 15.6 IB ze j ZA IB Ie IC Ie j120o e j120o e j , (15.11) j . (15.12) По векторной диаграмме (рис.15.6) находим сумму фазных токов: IN IA IB IC 0. (15.13) При симметричной нагрузке ток в нулевом проводе равен нулю. Нулевой провод не нужен. Достаточно трех фазных проводов. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 287 Трехпроводную систему «Звезда-звезда» используют для питания трехфазных двигателей и «условно симметричных» нагрузок. П р им е р 1 5 . 2 Выполнить моделирование трехфазной цепи по схеме рис.15.7. Установить в генераторах фазные напряжения с частотой 50 Гц и амплитудой 120 В: EmA o 120e j 0 В , EmB 120e j120o В , EmC 120e j120o В 1. Для случая симметричной нагрузки при замкнутом ключе K1 выполнить Analysis-AC Analysis-Calculate nodal voltages и записать показания амперметров и вольтметров. Пояснить полученные показания. 2. Разомкнуть ключ К1. Повторить измерения. Убедиться, что вольтметр VM1, измеряющий напряжение смещения нейтрали U Nn , показывает нулевое значение. 3. Установить величину резистора R1 4 кОм . Провести измерения по п. 1 и 2. Наблюдать появление тока в нулевом проводе и напряжения смещения нейтрали при несимметричной нагрузке. Без нулевого провода напряжения на фазах несимметричной нагрузки становятся неодинаковыми. 15.4. Несимметричная нагрузка в соединении звезда-звезда В примере 15.2 мы видели, что при несимметричной нагрузке ток в нулевом проводе не равен нулю. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 288 Без нулевого провода появляется напряжение смещения нейтрали, которое можно вычислить по методу двух узлов. A В схеме (рис.15.8) находим: EA Za E AYA EBYB ECYC YA YB YC . (15.14) U nN EB B Линейные и фазные токи рассчитываем по закону Ома: Zb N n EC C E A U nN , ZA EB U nN , ZB IA Zc U nN IB Рис. 15.8 EC IC U nN ZC (15.15) (15.16) . (15.17) 15.5. Соединение треугольник-треугольник На рис.15.9 фазные генераторы и нагрузки соединены по схеме треугольник-треугольник. Примем равной нулю начальную фазу ЭДС EBA Ubc ECB E e j120o , U ca E AC E e j120o E . Тогда U ab . В треугольнике фазных ЭДС сумма напряжений по контуру равна нулю: E E 1 cos Ee j120o 120o Ee j120o j sin120o cos 120o j sin120o E1 1 IA z E AC C a A U ca E BA E CB Ica Z ab U ab I bc c x B y Zac IB I ab b Z bc U bc IC Рис. 15.9 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 2 1 2 0. 289 Линейные напряжения равны фазным ЭДС: U ab Ubc ECB E e j120o , U ca E AC E e j120o EBA . E, (15.18) По модулю линейные напряжения равны фазным: U л Uф . В фазах нагрузки действуют фазные токи: U ab , Ibc Z ab Iab U bc , Ica Zbc U ca . Zca (15.19) Линейные токи: IA Iab Ica , IB Ibc Iab , IC Ica При симметричной нагрузке, когда Z ab Zbc ные токи равны по модулю: I ab Ibc I ca IФ . I ab I ca (15.20) Ze j , фаз- Zca a U ab φ U ca IB IA Ibc . I ab I ca I bc IC а) c I bc U bc b б) Рис. 15.10 На рис.15.10а показана векторная диаграмма линейных и фазных токов для соединения треугольник-треугольник при симметричной нагрузке. Из диаграммы видно, что линейный ток больше фазного в Iл 3 IФ . 3 раз: (15.21) Векторная диаграмма линейных напряжений и фазных токов для симметричной нагрузки показана на рис.15.10б. 15.6. Выбор способа соединения потребителей 1. В случае неравномерной нагрузки (например, бытовой) потребителей соединяют треугольником или звездой с нулевым проводом. 2. При симметричной нагрузке возможно соединение потребителей треугольником и звездой без нулевого провода. 15.7. Мощность в трехфазной цепи При любом соединении и любой нагрузке комплексная мощность каждой фазы равна: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 290 * . UФ IФ S (15.22) Суммарная мощность трех фаз: S SA SB SC . (15.23) Получаем для активной мощности: P PA PB PC . QA QB (15.24) Для реактивной мощности: Q QC . (15.25) При симметричной нагрузке мощности фаз равны и суммарная активная мощность вычисляется по формуле: P 3UФ IФ cos  3U Л I Л cos  . (15.26) 15.8. Примеры расчета трехфазных цепей П р им е р 1 5 . 3 120 В , Ra В трехфазной цепи (рис.15.11) дано: Eф Rb 40 Ом , 60 Ом . Построить векторную диаграмму токов и найти ток Rc нейтрали. A a IN Zc 60 Ом B C Za 40 Ом 0' I фb Z b 60 Ом b Iфa I фc c Рис. 15.11 Решение 1. Находим фазные токи: Iфa Iфc Eфa Ra Eфc Rc o 120e j 0 40 j120o 120e 60 3e o j0 А , Iфb Eфb Rb o 120e j120 60 o 2e j120 А . Находим ток нейтрали: IN Iфa Iфb Iфc 3 2e j120o 2e j120o В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 2e j120o А, 291 3 1 2 2 3 2 j2 1 2 2 j2 3 2e j120 3 1 1 1A . Строим векторную диаграмму (рис.15.12). I N  1A o 3 2 2e j 120 o цепи (рис.15.13) 2 Рис. 15.12 П р им е р 1 5 . 4 В Rb Rc трехфазной Eф 120 В , Ra 40 Ом . Найти напряжение смещения нейтрали U 00 . Решение Решаем методом двух узлов: U 00 EфaGa EфbGb Ga Gb EфcGc Gc A a C 20 Ом U0'0 40 Ом B 0' 40 Ом c Рис. 15.13 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 b 20 Ом , 292 120 6 1 2 3 j 1 20 j120o 120e 3 2 1 10 1 20 1 3 2 1 40 1 40 j o 120e j120 1 40 1 40 3 2 6 1, 5 1, 5 1 10 30 В . П р им е р 1 5 . 5 127 В , В трехфазной цепи (рис.15.14) с параметрами Eф Ra Rb 40 Ом произошло замыкание фазы А. Rc Построить векторную диаграмму напряжений и найти фазные токи. A a 30 Ом U0'0 30 Ом B C 30 Ом 0' c b Рис. 15.14 Решение После замыкания узел 0’ соединен с фазой Eфa (рис.15.15). Фазы нагрузки b и с оказались подключенными к линейным напряжениям. Находим фазные токи: Iфb U b0 Eфa 3e R 40 j150o o Iфc U c0 Eфa 3e j150 R 40 j150o 220e 40 5 , 5e j150o A . o 220e j150 40 o 5 , 5e j150 A В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 . 293 -150 o 0' E фа U c0' U b0' 120 o E фв Рис. 15.15 E фс П р им е р 1 5 . 6 127 В , Rab В цепи (рис.15.16) Eф Rbc Rca 110 Ом . Найти линейные токи. A a Rca Rab c B C b R bc Рис. 15.16 Решение Нагрузка включена треугольником. Находим действующие линейные напряжения: Uл U ab Ubc Фазные токи: I ab U ab Rab Линейные токи: I л П р им е р 1 5 . 7 U ca 3I ф 220 110 3Eф 2A 3 127 Ibc 220 В . I ca . 2 3А . В трехфазной цепи (рис.15.17) Еф =127 В. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Найти активную и реактивную мощность в цепи. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 294 a A I ab I ca -j 40 Ом 40 Ом c B C 40 Ом b I bc Рис. 15.17 Решение 1. Фазные нагрузки подключены к линейным напряжениям. Найдем фазные токи: o 127 3e j 30 40 Iab U ab 40 Ea Eb Ibc U bc 40 220e j 90 40 Ica U ca 40 220e j150 j 40 40 o 5 , 5 e j 30 A , o 5,5 e j 90o A, o o 5 , 5 e j 240 A . 2. Строим векторную диаграмму токов и напряжений: EA U CA IAB U AB I BC I CA EC EB U BC Рис. 15.18 3. Активная мощность выделяется в резисторах: P 2 I ab R 2 Ibc R 2 5 , 52 40 2420 Вт . Реактивная мощность в емкости: Q 2 I ca XC 5 , 52 40 1210 Вар . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 295 15.9. Контрольныевопросы 1. Принцип получения трехфазной системы ЭДС. 2. Назовите способы соединения трехфазного генератора с нагрузкой. 3. Какие напряжения будут на нагрузках в соединении звезда-звезда с нулевый проводом ? 4. Для чего нужен нулевой провод в соединении звезда-звезда? 5. Что такое «ток нейтрали» и как его рассчитать ? 6. Что такое линейные напряжения и чему они равны, если фазные напряжения 220 В ? 7. Какую нагрузку называют симметричной ? 8. Почему при симметричной нагрузке можно не использовать нулевой провод ? 9. Что такое «смещение нейтрали», когда оно возникает и к чему приводит ? 10. Как выполняют соединение «треугольник-треугольник» и когда его применяют ? 11. Какое соотношение между линейным и фазным током в соединении «треугольник-треугольник» при симметричной нагрузке ? 12. Как выбирают способ соединения потребителей ? 13. Как рассчитать полную активную и реактивную мощность в трехфазной цепи ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 296 Глава 16. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО И ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 16.1. Определение нелинейных цепей Нелинейные электрические цепи содержат один или несколько нелинейных элементов (НЭ) с нелинейными вольт-амперными характеристиками, вебер-амперными и кулон - вольтными характеристиками. В нелинейных цепях не выполняется принцип наложения. Поэтому нельзя применять методы контурных токов, узловых напряжений и т.п. Расчеты ведут графическими методами с использованием нелинейных характеристик. 16.2. Виды нелинейных элементов в цепях постоянного тока Н е уп р а вля е м ы е н е ли н е й н ы е э ле м е н ты I В лампе накаливания при нагревании увеличивается сопротивление спирали. Вольт-амперная характеристика нелинейная и симметричная U (рис.16.1): f x f x . Рис. 16.1 Полупроводниковые диоды Полупроводниковый диод изображен на рис.16.2а. При положительном напряжении на аноде диод открыт, его сопротивление мало и прямой ток может быстро увеличивается I (рис16.2б). При отрицательном напряАнод + Прямой жении на аноде диод закрыт, обратный ток I обр не превышает деток Катод сятков микроампер. Если обратUпроб Iобр ное напряжение превышает U напряжение пробоя U проб, обратный ток резко возрастает и диод а) б) выходит из строя. ВАХ диода Рис. 16.2 (рис.16.2б) нелинейная. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 297 Стабилитроны Стабилитрон изображен на рис.16.3а. ВАХ стабилитрона при отрицательном напряжении на аноде U стаб имеет падающий участок лавинного пробоя. Лавинный пробой является обратимым, стабилитрон не разрушается и восстанавливается после снятия напряжения. Напряжение U стаб для каждого типа стабилитрона достаточно точно фиксировано. При изменении тока в пределах от I min до I max напряжение на стабилитроне меняется в очень малых пределах U стаб . Включенный по схеме (рис.16.3в) стабилитрон КС156 стабилизирует выходное напряжение 5,6 В. 100 Ом I Анод + - Прямой 10В ток Катод КС156 + 5,6В U стаб Iобр а) ∆Uстаб Imin Imax U б) в) Рис. 16.3 Управляемые НЭ транзисторы Iк Iб коллектор база Uкэ Iэ эмиттер а) Рис. 16.4 б) Биполярный транзистор изображен на рис.16.4а. Транзистор имеет выводы: коллектор, база, эмиттер. Ток коллектора зависит от напряжения между коллектором и эмиттером U кэ и управляется током базы I б . Семейство выходных вольтамперных характеристик биполярного транзистора показано на рис.16.4б. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 298 16.3. Статическое и дифференциальное сопротивление нелинейного резистора I=f(U) I I β α На рис.16.5 изображена нелинейf ( U ). ная характеристика I Статическое сопротивление в точке «b» находят так: b a U . I Rст (16.1) С учетом масштабов по осям: U0 U Рис. 16.5 tg Rст mU . mI (16.2) Дифференциальное сопротивление находят на малом линейном участке ab: U b dU dI Rдиф I tg  mU mI . (16.3) На малом участке ab нелиU нейный резистор можно заменить E=-U0 линейной моделью с источником β напряжения (рис.16.6) и пользо0 I а) ваться линейными методами расU0 б) четов. Рис. 16.6 Для линейной модели рис.16.6б запишем уравнение линейной ВАХ: U I Rдиф E . (16.4). Rдиф a 16.4. Расчет схем с нелинейными резисторами на постоянном токе Последовательное соединение линейного и нелинейного резистора UR R I I =U/R I E U НЭ Uнэ m I1 n p q 1 Рис. 16.7 I=f(Uнэ +UR ) 3 а) 2 I=f(Uнэ) E б) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 U 299 На рис.16.7а показана схема последовательного соединения линейного резистора R и нелинейного резистора НЭ. На рис.16.7б изображены линейная ВАХ I U R и ВАХ нелинейного резистора I f ( U нэ ) . Требуется найти ток в цепи графическим способом. 1-й способ. Построение результирующей ВАХ последовательного соединения суммированием напряжений. Для каждого значения тока (например, для I1 ) суммируем значения напряжений на вольт-амперных характеристиках и находим суммарную f ( U нэ U R ) . ВАХ I На результирующей ВАХ находим точку q с абсциссой U ток на оси ординат в точке m. E и 2-й способ. Построение нагрузочной прямой По схеме (рис.16.7а) имеем уравнение: U нэ I I E/R Рабочая точка I IR или: U нэ . R (16.5) Получили уравнение нагрузочной I=f(Uнэ) прямой. Строим графики ВАХ и нагрузочной прямой (рис.16.8). Нагрузочная прямая на I=E/R-Uнэ/R 0 U нэ U R E Рис. 16.8 E R E Uнэ осях координат отсекает отрезки E R и E. Точку пересечения ВАХ с нагрузочной прямой называют рабочей точкой. В рабочей точке выполняется условие: U нэ U R E . (16.6) Находим ток I и напряжение U нэ . Сложную цепь с одним НЭ (рис.16.9) заменяем активным двухполюсником и эквивалентным генератором. Проводим графический расчет вторым методом. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 300 a А I Rвх I НЭ Рабочая точка Eэ /Rвх НЭ Uнэ I I=f(Uнэ) I=E/Rвх-Uнэ/Rвх Eэ =Uabxx b 0 Uнэ URвх Eэ Uнэ Рис. 16.9 Rвх 16.5. Последовательное соединение двух нелинейных элементов В схеме (рис.16.10а) два нелинейных элемента соединены последовательно. Применяют два способа графического расчета. E I НЭ1 НЭ1 I Uнэ1 НЭ2 I НЭ2 НЭ1 I I НЭ1+НЭ2 Uнэ2 E б) а) U Рис. 16.10 НЭ2 Uнэ1 Uнэ2 в) E U В первом способе (рис.16.10б) суммируют напряжения двух нелинейных ВАХ и получают график результирующей ВАХ НЭ1+НЭ2. На нем для значения U E находят ток в цепи. Во втором способе используют уравнение для напряжения на втором нелинейном элементе: U нэ2 E U нэ1 . (16.7) На чертеже (рис.16.10в) график ВАХ для второго НЭ надо строить по формуле: I f нэ2 ( E U нэ1 ) . (16.8) Этот график будет зеркальным отражением исходной ВАХ второго НЭ относительно вертикальной оси, проведенной в точке с абсциссой E . Точка пересечения двух графиков дает значение тока и напряжений на нелинейных элементах. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 301 16.6. Параллельное соединение НЭ I1 НЭ1 I I НЭ2 E I2 НЭ1+НЭ2 НЭ1 I I1 НЭ2 I2 U E Рис. 16.11 Расчет токов в параллельном соединении НЭ (рис.16.11) можно провести, графически просуммировав токи двух графиков ВАХ для НЭ1 и НЭ2. На результирующей ВАХ найдем входной ток I и токи I1 и I 2 . 16.7. Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух узлов На рис.16.12а изображена разветвленная нелинейная цепь. Графики ВАХ нелинейных элементов показаны на рис.16.12б. Найти токи в цепи. a I 1 НЭ2 I1 НЭ1 I2 I3 2 Uнэ1 Uнэ2 3 НЭ3 Uab U нэ3 E1 U E2 b б) а) Рис. 16.12 Примем для определенности, что E1 3E2 . I3 0 . По первому закону Кирхгофа: I1 I 2 Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для расчета напряжения U ab в каждой ветви. Для первой ветви: U ab E1 U нэ1 . (16.9) Для второй ветви: U ab E2 U нэ2 . (16.10) В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 302 Для третьей ветви: U ab U нэ3 . (16.11) Из уравнений (16.9) – (16.11) выразим напряжения на нелинейных элементах в функции от U ab : U нэ1 E1 U ab , (16.12) U нэ2 E2 U ab , (16.13) U нэ3 U ab . (16.14) Построим графики токов в нелинейных элементах в зависимости от U ab , преобразуя ВАХ с учетом источников напряжения (рис.16.13). Так график тока в НЭ1 будет проходить через нуль, когда U ab E1 . При U ab E1 напряжение U нэ1 будет положительным и ток в НЭ1 будет возрастать. I 1 2 3 I1 I1 +I2 +I3 =0 -E2 I2 I3 Uab E1 Суммируем графики токов и строим пунктирную линию суммы токов. Находим выполнение условия: I1 I 2 I3 0 . Находим напряжение U ab и токи в ветвях. Рис. 16.13 П р им е р 1 6 . 1 На рис.16.14а показана схема с нелинейным резистором. Вольтамперная характеристика U НЭ ( I ) изображена на рис.16.14в. Найти ток в нелинейном резисторе и напряжение на нем. Решение 1. Преобразуем схему рис. 16.14а к эквивалентному генератору. Отключим нелинейный резистор и найдем U abхх 6 В и Rвхab 1Ом . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 303 а 2 Ом U НЭ I 2 Ом НЭ b а В 12 12 В а) 1 Ом НЭ 6В 8 Uabхх/Rвх 6 Uab 4 I b б) IНЭ 2 Рис. 16.14 в) 4 6 Uabхх 2. Для схемы с эквивалентным генератором (рис.1314б) на графике ВАХ построим нагрузочную прямую. Пересечение нагрузочной прямой с ВАХ дает значение тока в НЭ и напряжения на нем. 16.8. Нелинейные цепи переменного тока В нелинейных цепях переменного тока применяют резистивные, индуктивные и емкостные элементы. Ψ Нелинейные резистивные элементы (нелинейные резисторы, диоды, стабилитроны, транзисторы) мы расL L смотрели в параграфе 16.2. i Нелинейные индуктивности Рис. 16.15 (рис.16.15) имеют сердечник из магнитного материала и нелинейную вебер-амперную характеристику  ( i ) . Потокосцепление рассчитывают по формуле: (16.15)  wBS w , где: B – магнитная индукция в сердечнике, S - площадь сечения сердечника, w – число витков катушки. Магнитная индукция нелинейно связана с напряженностью магнитного поля H в катушке, а напряженность по закону полного тока можно найти из формулы: iw Hl , В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 A 304 где l - длина магнитной линии. Дифференциальную индуктивность определяют так: Lдиф q C uc Рис. 16.16 d . di (16.16) Нелинейные конденсаторы изготавливают на основе сегнетоэлектриков. Они имеют нелинейную кулон-вольтную характеристику (рис.13.16). Дифференциальную емкость нелинейного конденсатора находят так: Cдиф dq . duC (16.17) 16.9. Свойства нелинейных цепей на переменном токе В нелинейных цепях переменного тока происходят нелинейные преобразования сигналов. А именно: 1. Происходит преобразование (искажение) спектра сигнала. 2. Режим цепи зависит от предшествующего состояния. 3. Возможно умножение частоты и появление кратных гармоник (  , 3 , 5 ….). 4. Возможно деление частоты и получение более низких частот ( ,   , …). 3 5 5. Возможна генерация колебаний и возникновение автоколебаний в автогенераторах. 6. Возможна модуляция колебаний - управление амплитудой, фазой и частотой колебаний для передачи информации. П р им е р 1 6 . 1 В схеме (рис.16.17) два параллельно включенных диода имеют результирующую ВАХ, изображенную на рис.16.8а. Амплитуда синусоидального сигнала генератора U вх 0 , 7 В , частота f 50 Гц . Выполнить моделирование и получить графики выходного напряжения на резисторе (рис.16.18б). В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 305 16.10. Выпрямление переменного напряжения с помощью диодов В бытовой электрической сети используют переменный синусоидальный ток с частотой 50 Гц, а для питание разнообразной электронной аппаратуры требуется постоянный ток. Преобразование переменного тока в постоянный ток называется выпрямлением. Однополупериодный выпрямитель uд i i R Em sinωt uR а) б) uд Рис. 16.19 Простейший однополупериодный выпрямитель содержит один полупроводниковый диод и нагрузку (рис.16.19а). ВАХ идеального диода показана на рис.16.19б. Для цепи выпрямителя запишем уравнение по второму закону Кирхгофа: iR uд Em sin t . (16.18) Диод пропускает ток , во время одного полупериода, когда напряжение на аноде положительно. При отрицательном напряжении на аноде диод будет закрыт. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 306 П р им е р 1 6 . 2 Выполнить моделирование однополупериодного выпрямителя и получить графики тока и напряжения на диоде. Амплитуда напряжения генератора равна 10 В, частота 50 Гц. Графики показывают, что ток имеет пульсирующий характер и равен нулю при отрицательном входном напряжении. Напряжение на диоде в закрытом состоянии повторяет входное напряжение, а в открытом состоянии не превышает 0,7 В. Постоянные составляющие равны среднему по периоду значению тока и напряжения на нагрузке: для тока I 0 Im  , для напряжения U 0 Двухполупериодный (16.19) Um  . (16.20) выпрямитель П р им е р 1 6 . 3 Схема двухполупериодного выпрямителя с диодным мостом показана на рис.16.21. Выполнить моделирование и получить графики тока. Постоянные составляющие равны: для тока I 0 2Im  , для напряжения U 0 (16.21) 2U m  . В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 (16.22) 307 16.11. Сглаживание пульсаций выпрямленного тока Недостатком простейших выпрямителей являются большие пульсации выходного напряжения, которые приводят к помехам в аппаратуре. Для сглаживания пульсаций параллельно нагрузке подключают емкость С. П р им е р 1 6 .4 Исследовать однополупериодный выпрямитель (рис.16.22) с нагрузкой R1 1 кОм и сглаживающей емкостью С1 10 мкФ . Амплитуда напряжения генератора 10В, частота 50 Гц. Разряд С Заряд С iC i iR e(t) ωt1 ωt2 ωt2 Рис. 16.20 Составим уравнения выпрямителя для схемы рис.16.20: i uд iC uC iR , Em sin t , iR uC , iC R C В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 duC , dt 308 Em sin t uC . (16.23) В момент t2 становится e( t ) uC , диод закрывается и происхоuд дит разряд емкости. В момент t1 становится e( t ) > uC . Диод открывается и происходит заряд емкости. Если увеличивать емкость C, постоянная составляющая U 0 будет стремиться к Em и пульсации сгладятся. 16.12. Расчет нелинейной цепи по первой гармонике напряжения и тока i1 (t) u1 (t) Um(1) L а) б) Im(1) Рис. 16.21 На рис.16.21а показана нелинейная индуктивность с магнитным сердечником. Для приближенного расчета на переменном токе находят нелинейную зависимость напряжения первой гармоники от тока первой гармоники несинусоидального сигнала. Эту ВАХ (рис.16.21б) используют при расчете нелинейной цепи. П р им е р 1 6 . 5 На рис.16.22а показана схема цепи с нелинейной индуктивностью, составленная для первой гармоники переменного сигнала . В индуктивности проходит ток с действующим значением I L 1A . Известна вольтамперная характеристика нелинейной индуктивности для первой гармоники (рис.16.22б). Найти напряжение на входе и построить векторную диаграмму. IR R= 4 Ом UL 12 UL =8В XC = 2 Ом 8 U вх I L =2A 4 IC а) Рис. 16.22 2 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 4 6 б) 8 IL 309 Решение j 00 1. Считаем, что I L 2e А. 2. По ВАХ для тока I L 2 A находим действующее значение напряжения U L 8В. +j UL =UC =j8В Uвх 1А 1В UR =-8В I R =-2A I C =-4A +1 IL =2A Рис. 16.23 3. Находим: UC IR U вх IL UR IC UL UL j8В , IC 2 4 2A, UR 8 j8 8 2e UC j2 R IR j1350 4A, 8В . В. 4. Векторная диаграмма построена на рис.16.23. 16.13. Контрольные вопросы 1. Какие цепи называют нелинейными ? 2. Приведите примеры нелинейных элементов в цепях постоянного тока ? 3. Как определяют статическое сопротивление нелинейного резистора ? 4. Как определяют дифференциальное сопротивление нелинейного резистора ? 5. Как рассчитать ток в схеме с последовательным соединением линейного и нелинейного резистора ? 6. Как провести расчет цепи с последовательным соединением двух нелинейных резисторов ? 7. Как провести расчет цепи с параллельным соединением двух нелинейных резисторов ? 8. Как провести расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух узлов ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 310 9. Какие нелинейные элементы бывают в цепях переменного тока ? 10. Свойства нелинейных цепей переменного тока ? 11. Как выполняют выпрямление переменного тока с помощьюдиодов ? 12. В чем отличие однополупериодного и двухполупериодного выпрямления ? 13. Как выполняют сглаживание пульсаций выпрямленного напряжения ? 14. Как провести расчет нелинейной цепи по первой гармонике ? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 311 Глава 17. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ 17.1. Определение F I Ф w Магнитными цепями называется совокупность ферромагнитных тел и других сред, по которым под действием катушек с током проходят магнитные потоки. На рис.17.1 показан соленоид, который имеет П-образный магнитный сердечник и подвижный якорь. В катушке соленоида с числом витков w проходит ток I . Он создает магнитный поток Ф и силу тяги F , притягивающую якорь. 17.2.Основные величины магнитного поля Рис. 17.1 Основными величинами, характеризующими магнитное поле, являются: B - магнитная индукция [Тл] (тесла); J - намагниченность, магнитный момент единицы объёма вещества, [А/м]; H - напряженность магнитного поля [А/м]; 0 - магнитная постоянная [Гн/м]. Значение магнитной постоянной равно: 0 4 107 Гн М 1.257 10 6 Гн М . (17.1) Основные величины связаны между собой зависимостью: B 0 H J . (17.2) Намагниченность связана с напряженностью магнитного поля: J где H, (17.3) - магнитная восприимчивость. Векторы J и H совпадают по направлению. Подставляем (14.3) в (14.2) и получим: B 0 H H 0 1 H 0 r H В формуле (14.4): относительная магнитная проницаемость r a H . 1 a - абсолютная магнитная проницаемость a . В воздушной среде: r 1, B 0 H , В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 , (17.4) (17.5) 312 H возд Bвозд 0 ,8 106 Bвозд . 0 (17.6) 17.3. Закон полного тока Формулировка Закона полного тока Если магнитное поле создаётся катушкой или витком с элементом тока, то линейный интеграл вдоль любого произвольного контура равен сумме токов, охваченных этим контуром: Hdl Ik . (17.7) Положительное направление dl связанного с направлением тока по правилу Буравчика П р им е р 1 7 . 1 Катушка с током I имеет w (рис.14.2) и намотана на кольцевой магнитный сердечник с радиусом R . Найти напряженность магнитного поля в сердечнике. Решение По закону полного тока: Hdl I H dl Находим поля: 2 RH Iw . напряженность w H магнитного Iw . 2 R Рис. 17.2 17.4. Магнитный поток Ф через поверхность S Магнитный поток через поверхность S (рис.17.3) вычисляют как поток магнитной индукции через эту поверхность: dS B Ф BdS , (17.8) s где: dS - элемент поверхности; Рис. 17.3 dФ BdS - поток через элементарную поверх- ность. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 313 17.5. Основные характеристики ферромагнитных материалов Свойства ферромагнитных материалов характеризуются зависимостью магнитной индукции B от напряжения магнитного поля H . Ферромагнитные материалы обладают свойством гистерезиса – отставанием изменения магнитной индукции от изменения напряженности магнитного поля. Устойчивая симметричная петля намагничивания устанавливается после нескольких циклов перемагничивания. Для разных значений максимальной напряженности перемагничивания получим семейство гистерезисных петель. На рис.17.4 показаны гистерезисные петли. Они имеют сле-Hmax Hc дующие характерные параметры: -Hc Hmax H H max , H max - максимальная и минимальная напряженность перемагничивания; -Br Bmax , Bmax - максимальная и -Bmax минимальная магнитная индукция Рис. 17.4 в петле; Br - остаточная индукция при снятии внешнего магнитного поля; Основная B кривая намагничиванияBr Bmax H c - коэрцитивная (задерживающая) сила, напряженность магнитного поля при B 0 . Часть петли во втором квадранте называют кривой размагничивания. Магнитная индукция сохраняется при снятии магнитного поля. Это свойство используют для постоянных магнитов. Зависимость геометрического места вершин гистерезисных петель B от H называют основной кривой намагничивания. Расчеты магнитных цепей мы будем проводить по кривой намагничивания. Ферромагнитные материалы подразделяют на следующие типы: 1. Магнитомягкие имеют малые площади гистерезисных петель и круто поднимающуюся основную кривую намагничивания. Применяются в переменных магнитных потоках (в трансформаторах, электродвигателях). 2. Магнитотвердые имеют большую площадь петли гистерезиса и полого поднимающуюся основную кривую намагничивания. Применяют для постоянных магнитов, магнитных роторов электродвигателей. 3. Магнитодиэлектрики получают путем смешения и спекания измельченного порошка магнитных частиц магнетита, железа или пермаллоя В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 314 с диэлектриком. Относительная магнитная проницаемость  r достигает нескольких десятков. 4. Ферриты изготавливают из оксидов железа, никеля, цинка. Смесь формуют и обжигают. По электрическим свойствам ферриты являются полупроводниками. Относительная магнитная проницаемость  r достигает нескольких тысяч. 17.6. Основные законы магнитных цепей На рис.17.5 показана разветвленная магнитная цепь с двумя намагничивающими катушками. Первая катушка имеет число витков w1 и ток I1 . Вторая катушка имеет число витков w 3 и ток I 3 . Магнитопроводы имеют средние магнитные линии l1, l2 , l3 . Воздушный зазор в магнитном сердечнике равен lВ . a l1 I1 l3 I3 l2 1к I1 w1 Ф1 I3 w3 2к Ф3 Ф2 b lв Рис. 17.5 Магнитодвижущей силой (МДС) катушки (обмотки) называют произведение числа витков катушки w на протекающий в ней ток: I1w1 , I3w3 . Направление МДС определяют по правилу буравчика и указывают на схеме стрелками. Падением магнитного l напряжения между точками ab магнитной цепи называют линейный интеграл: a Ф b b H Рис. 17.6 U mab Hdl . (17.9) a Если H В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 const и совпа- 315 дает по направлению с dl , то U mab H lab (рис.14.6). Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи По первому закону Кирхгофа для магнитной цепи сумма магнитных потоков, сходящихся в узле, равна нулю: Фк 0. (17.10) В магнитной цепи рис.14.5 для узла a: Ф1 Ф2 Ф3 0. (17.11) Второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме МДС вдоль того же контура: UМ I к wк . (17.12) I1w1 . (17.13) В магнитной цепи рис.14.5 получим: 1-й контур: H 1l 1 H вз l вз H 2 l 2 2-й контур: H 2 l 2 H 3 l 3 I3w3 . (17.14) 17.7. Расчет неразветвленной магнитной цепи П р им е р 1 7 . 2 l1 , S1 a l 2 , S2 I На рис.17.7 показана неразветвленная магнитная цепь. Левая ветвь ферромагнитного сердечника имеет сечение S1 и среднюю магнитную линию l 1 . Правая ветвь имеет сечение S 2 и среднюю магнитную ли- Iw δ b Рис. 17.7 нию l 2 . В правой ветви есть воздушный зазор с размером  . Задана основная кривая намагничивания сердечника (рис.17.8). Магнитное поле в сердечнике создается катушкой с числом витков w . Требуется создать в воздушном зазоре индукцию B . Какой ток требуется для этого? В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 316 B Тл B1 1 H H1 Рис. 17.8 А/м Решение 1. Разбиваем магнитную цепь на три участка: l 1 с сечением S1 ; l 2 с сечением S2 ,  с сечением S S2 . Так как магнитная цепь неразветвленная, на всех участках проходит один и тот же магнитный поток Ф B1S1 B2 S2 B S . 2. По заданной магнитной индукции в зазоре B находим магнитный поток Ф B S . 3. На участке l 2 индукция B2 4. На участке l 1 имеем: B1 B , так как S2 Ф1 S1 S . B S . S1 5. По кривой намагниченности находим напряженности в сердечнике H 1 и H 2 . Напряженность в воздушном зазоре H 6. Вычисляем H 1l 1 H 2 l 2 H  l  B 0 магнитодвижущую силу 0 ,8 106 Вб . (МДС): Iw . 7. Вычисляем ток в катушке: I H 1l 1 H 2 l 2 H  l  . w 17.8. Расчет разветвленной магнитной цепи П р им е р 1 7 . 3 На рис.17.9. показана разветвленная магнитная цепь и основная кривая намагничивания сердечника. Даны размеры сердечника и зазора, параметры катушек I1w1 , I3 w3 . Требуется найти магнитные потоки в ветвях. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 317 I1 l1 , S1 l3 , S 3 a B Тл l2 1к I1 w1 Ф1 δ 2к S2 B1 I3w3 1 Ф2 Ф3 H I3 H1 b А/м Рис. 17.9 Расчет разветвленной магнитной цепи проводят методом двух узлов аналогично расчету нелинейной цепи постоянного тока (§16.7). Решение Магнитная цепь формально аналогична нелинейной электрической цепи. Магнитные потоки аналогичны токам, МДС аналогичны ЭДС. Находим разность магнитных потенциалов между узлами a и b. Для первой ветви: U мab I1w1 Для второй ветви: U мab Для третьей ветви: U мab H 1l 1 . H 2l 2 . I3w3 H 3 l 3 H вз  . Далее для каждой ветви строим график зависимость магнитного поfi U мab (рис.14.10). тока от магнитного напряжения Фi Например, для первой ветви известно Ф1 B1S1 0 . Тогда B1 0, H 1 0 ,U мab I1w1 , l 1 , S1 . Задаем I1w1 . Задаем произвольные значения Ф1 , вычисляем B1 Ф1 , находим S1 по кривой намагничивания соответствующие значения H 1 и вычисляем U мab I1w1 H 1l 1 . Получим график Ф1 f1 U мab . Аналогично строим графики Ф2 f 2 U мab , Ф3 В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 f3 U мab . 318 Ф Ф1 (Uмab) Ф1+Ф 2+Ф 3 Ф2 (Uмab) Ф3 (Uмab) Ф1 Ф3 Ф2 I3w3 I1w1 Решение Uмab Рис. 17.10 Суммируем графики магнитных потоков и строим пунктирную линию Ф1 Ф2 Ф3 . В точке Ф1 Ф2 Ф3 0 находим решение и значения магнитных потоков в ветвях Ф1 , Ф2 , Ф3 . 17.9 Контрольные вопросы 1. Что называют магнитными цепями и из чего они состоят ? 2. Назовите основные величины магнитного поля ? 3. Дайте формулировку закона полного тока. 4. Как рассчитать магнитный поток через поверхность ? 5. Какие характеристики имеют ферромагнитные материалы ? 6. Что такое основная кривая намагничивания ? 7. Назовите типы ферромагнитных материалов. 8. Что такое магнитодвижущая сила ? 9. Как рассчитать падение магнитного напряжения ? 10. Первый закон Кирхгофа для магнитной цепи. 11. Второй закон Кирхгофа для магнитной цепи. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 319 Глава 18. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ 18.1. Классификация электрических машин Электрические машины преобразуют механическую энергию в электрическую энергию и наоборот. По назначению электрические машины классифицируют на следующие группы: Электрические генераторы– преобразуют механическую энергию в электрическую. Применяют в электростанциях, автомобилях, самолетах, кораблях, автономных генераторах. Электрические двигатели – преобразуют электрическую энергию в механическую. Применяют в качестве электрического привода в станках, электротранспорте, машинах и механизмах. В системах автоматического управления их используют в качестве исполнительных, регулирующих, программируемых органов. Электрические микромашины небольшой мощности (до 600 Вт) применяют в бытовой технике и автоматических устройствах и разделяются на группы: 1. Силовые микродвигатели – привод механических узлов автоматических приборов (компьютеры, принтеры, бытовая техника, робототехника). 2. Управляемые (исполнительные) двигатели – преобразуют подводимый электрический сигнал в механическое перемещение вала и отрабатывают определенные команды. Применяются в робототехнике, системах наведения антенн, видеокамер и т.п. 3. Тахогенераторы – преобразуют механическое вращение вала в электрическое напряжение, пропорциональное частоте вращения вала. 4. Сельсины – машины синхронной связи, осуществляют синхронный и синфазный поворот или вращение нескольких механических не связанных между собой осей. 5. Микромашины гироскопических приборов – осуществляют вращение роторов гироскопов с высокой частотой и коррекцию их положения. Классификация электрических машин по роду тока и принципу действия. Электрические машины по роду тока делятся на машины переменного тока и машины постоянного тока. 1. К машинам переменного тока относятся: трансформаторы, асинхронные двигатели, синхронные генераторы и двигатели, синхронные микромашины, шаговые двигатели. 2. К машинам постоянного тока относятся генераторы постоянного тока, электродвигатели постоянного тока. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 320 18.2. Создание вращающегося магнитного поля y н 3 B1 к к н x 1 B2 B3 н 2 Рис. 18.1 к Электрические двигатели переменного тока работают с использованием вращающегося магнитного поля (ВМП) Вращающееся магнитное поле трехфазного тока создается с помощью трех катушек, сдвинутых в пространстве на 120 и питаемых трехфазным током (рис.18.1). На рис.18.1 обозначены номера обмоток (1, 2, 3), начала и концы (Н, К), векторы магнитной индукции, создаваемые катушками ( B1 , B2 , B3 ).Направление векторов Bi определяем по правилу Буравчика. В катушках действуют токи: i1 t I m sin t , (18.1) i2 t I m sin t 120 i3 t I m sin t (18.2) 120 (18.3) Каждый ток создает пульсирующее магнитное поле, направленное вдоль оси катушек. Магнитная индукция пропорциональна токам. B1 t Bm sin t , (18.4) B2 t Bm sin t 120 , B3 t Bm sin t (18.5) 120 . (18.6) Векторы магнитной индукции сдвинуты во времени (18.4-18.6) и в пространстве (рис.18.1). Найдем проекции результирующего вектора магнитной индукции на оси х и у: Bx t = B2 cos 30 B3 cos 30 3 Bm sin t 120 2 3 Bm 2 cos t sin 120 2 3 3 3 Bm 2 cos t Bm cos t . 2 2 2 By t B1 Bm sin t B2 cos 600 Bm sin t 120 (18.7) B3 cos 600 Bm sin t 120 cos 60 Bm sin t В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 120 cos 60 321 Bm sin t 0 , 5Bm sin t 120 Bm sin t 0 , 5Bm 2 sin t cos Bm sin t sin t 120 120 3 Bm sin t . 2 0 , 5Bm sin t (18.8) Найдем модуль результирующего вектора магнитной индукции: Bx2 B t 3 2 By2 2 3 2 Bm2 cos 2 t 2 Bm2 sin2 t 3 Bm . (18.9) 2 Текущая фаза вектора магнитной индукции: By tg  Bx 3 sin t 2 3 cos t 2 tg t . (18.10) Следовательно, результирующий вектор магнитной индукции 3 +j jt B t B e вращается в сторону каm 3/2 Bm 2 B1 тушки с отстающим током с угловой скоростью  (рис.18.2). Направление вращения определяется по+1 рядком следования фаз токов. ωt Для изменения направления вращения на B3 B2 противоположное можно поменять местами включение любых двух фаз на противоположРис. 18.2 ное. 18.3. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока Двухфазная система имеет i2 t y B1 к Bx α к 2 н Рис. 18.3 токи: i1 t I m cos t . I m sin t , Вращающееся магнитное поле (рис.18.3) можно получить с помощью двух катушек с магнитными индукциями: By B1 t Bm sin t , B(t) ωt By н 1 B2 фазные x Bx Bm cos t . B2 t Модуль B t Bx2 вращающегося By2 Bm . Текущая фаза: В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 вектора 322 tg  By Bx Вектор B t током. sin t cos t tg t . Bme jt вращается в сторону катушки с отстающим 18.4.Устройство асинхронного двигателя трехфазного тока Асинхронные машины (АСМ) относятся к электрическим машинам переменного тока. Магнитное поле АСМ создается трехфазным, двухфазным или однофазным источником переменного напряжения. Потому АСМ бывают трехфазные, двухфазные и однофазные. Трехфазный асинхронный двигатель (АСД) разработан в 1889 г. русским изобретателем, ученым и инженером Доливо-Добровольскими до сих пор используется благодаря простоте конструкции. Мощность асинхронных двигателей от 60 Вт до 400 кВт. Устройство трехфазной асинхронной машины показано на рис.18.4а. A Пазы Витки обмотки Статор Z Y A Ротор N0 ia S0 B C Станина Магнитное поле а) ia x б) X Рис. 18.4 Статор трехфазной АСМ состоит из чугунной станины, в которой закреплен магнитопровод с пазами для обмоток. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 323 Все внешние провода обмоток подходят сзади (рис.18.4б). Для момента t1 мгновенные значения трехфазных токов показаны на рис.18.5. Направления токов в обмотках статора АСМ обозначены на рис.18.4а. Три обмотки асинхронного двигателя создают вращающийся вектор магнитного поля N0S0 с двумя полюсами N0 и S0. Так как существуют 2 полюса (N0 и S0), то такая машина называется двухполюсная. Количество пар полюсов магнитного поля обозначают Р. В двухполюсной машине Р =1. ВМП вращается с частотой токов в статоре f1. Период Рис. 18.5 1 вращения T . f1 60 f1 . Количество оборотов ВМП в минуту обозначают n1 Четырехполюсная АСМ имеет обмотку статора из шести катушек (рис.18.6а,б). Магнитное поле имеет две пары полюсов (Р=2). A A Y C’ X N S x x x x B’ C B Z x x S N Z’ а) N B X’ x y IA B’ IB C’ A’ C  z S б) x' z’ y' Рис. 18.6 n IC Y’ A’ S в)  N Эпюра магнитного поля. – полюсное деление Для фазы А в момент t1 ток проходит по проводникам A x A x. На рис.18.6в показана эпюра магнитного поля. Полюсное деление  определяют как длину части окружности, формирующей один магнитный полюс. Магнитные линии исходят из N и направлены к S. Магнитное поле вращается с частотой n 60 f ,p p 2. Изменяя конструкцию обмоток, число полюсов можно сделать любым. В результате снижается скорость вращения ВМП. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 324 18.5. Магнитный поток полюса Магнитный поток одного полюса можно рассчитать так: Фп Bср l , (18.11) где:  - полюсное деление, l – активная длина проводника, Bср – среднее значение магнитной индукции. График изменения магнитной индукции под полюсами по форме близок к синусоидальному (рис.18.7). Поэтому средняя маг- B Bm Вср  Рис. 18.7 нитная индукция Вср 2 Вм  . 18.6. Конструкция ротора асинхронных машин В роторе асинхронной машины под действием вращающегося магнитного поля индуцируются токи, которые создают вращающий момент. Стержни Кольца Рис. 18.8 Применяют следующие типы роторов: 1. Короткозамкнутый ротор (типа «Беличье колесо»). Стержни ротора выполнены из меди или латуни и приварены к кольцам из того же материала. Стержни и кольца имеют очень малое сопротивление и образуют проводящую короткозамкнутую систему (рис.18.8). Короткозамкнутый ротор является наиболее простым по конструкции и широко применяется в асинхронных двигателях различного назначения. 2. Фазный ротор имеет на роторе трехфазную обмотку, соединенную звездой (рис.18.9). Выводы фазных обмоток ротора присоединены к контактным кольцам. Кольца через скользящие по кольцам угольные щетки подключены к трехфазному реостату. Это позволяет улучшить пусковые характеристики и регулировать частоту вращения. В.А. Алехин. Электротехника. Мультимедийный курс лекций. 2016 325 Ротор контактные кольца щетки реостат Рис. 18.9 18.7. Принцип действия асинхронного двигателя Принцип действия асинхронного двигателя основан на силовом взаимодействии ВМП статора с токами, возникающими в обмотке ротора под действием наведенной в ней ЭДС (рис.18.10). ВМП вращается с частотой n1, пересекает проводники роПроводник тора и наводит в них ЭДС. По форме N ротора ЭДС, наводимая в роторе, близка к синусоидальной, прямоРотор пропорциональна относительной Ток ВМП скорости проводника в магнитном поле и значению магнитной индукЭДС n1 Fэм ции. В замкнутых проводниках обмотки ротора возникает синусоиn2 дальный ток, отстающий по фазе от Рис. 18.10 S ЭДС, так как обмотка ротора имеет индуктивный характер. Направление тока определяем по правилу правой руки. На проводник с током действует электромагнитная сила Fэм , направленная по правилу левой руки. В результате проводник и ротор вращаются в направлении вращения ВМП со скоростью n2