Электротехника

Электротехника_лекция3 Методы расчёта электрических цепей переменного тока. Индуктивно связанные электрические цепи. Метод контурных токов (МКТ). Метод узловых потенциалов (МУП). Индуктивно связанные электрические цепи. Трансформатор без сердечника. Материал лекции изложен ниже. 6. Методы расчёта электрических цепей 6.1 Метод контурных токов (МКТ) Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи. Реально электротехнические и электронные системы содержат несколько источников ЭДС. Расчёт таких схем достаточно сложен, поэтому в ТОЭ разработаны методы расчёта таких схем на основе законов Кирхгофа. К таким методам относятся: - метод контурных токов (МКТ) - метод узловых потенциалов (напряжений) (МУП) - метод эквивалентного генератора (МЭГ) - метод переменных состояний (МПС) Метод контурных токов (основан на 2 законе Кирхгофа) позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа K II = N B − ( N y − 1) − NT - число уравнений (составленных по II закону Кирхгофа). Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими проводимости (они могут содержать источники тока), то число уравнений КII, составленных по методу контурных токов уменьшается на NT. Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви. При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток). K II = N B − N y + 1 − NT - число независимых контурных токов, их необходимо выбирать проходящими по ветви, не содержащими источников тока. Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:    Z 11 I 11 + Z 12 I 22 + ... + Z 1n I nn = E11     Z 21 I 11 + Z 22 I 22 + ... + Z 2 n I nn = E 22    .........................................................    Z n1 I 11 + Z n 2 I 22 + ... + Z nn I nn = E nn  При этом следует считать ZKm = Z mK = RKm + jX Km , если условные положительные направления контурных токов в одной ветви контуров к и m совпадают, и Z Km = Z mK = −RKm − jX Km , если они противоположны. 1 1 ;   = 2;   = n,  I 11 = I 22 I nn где 1 2 n - алгебраические дополнения Токи в ветвях I 1 , I 2 ,..., I n определяем как алгебраическую сумму контурных токов. Переход к мгновенным значениям токов i1 (t ), i2 (t ),..., in (t ) осуществляем по формуле Эйлера.  - определитель системы. Z 11, Z 12, Z 13, .......Z 1n Z 21, Z 22, Z 23, .......Z 2 n E11, Z 12, Z 13, .......Z 1n  = Z 31, Z 32, Z 33, .......Z 3n ................................ 1 = Z n1, Z n 2, Z n 3, .......Z nn E 22, Z 22, Z 23, .......Z 2 n ................................ E nn , Z n 2, Z n 3, .......Z 3n Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности: 1. Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей). 2. Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов. 3. Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи. 4. Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме. 6.2 Метод узловых потенциалов (МУП) МКТ основан на 1 зак. Кирхгофа. Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа K I = N y − 1 , где Ny – число узлов электрической схемы. Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома. При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого либо узла, для оставшихся ( N y − 1) составляют уравнения по I-му закону Кирхгофа. Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число KI уравнений, составленных по МУП, уменьшается на Nн (число ветвей с нулевыми сопротивлениями). K I = N y − N н − 1 - число уравнений по МУП. Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме. 2 Дальше будем предполагать, что Z Km источники ЭДС. k =n E экв = E k k =1 k =n Y Рис. 6.1.  0 , т.е. между узлами цепи не включены идеальные  Yk (6.1) k k =1 Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь. Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать: q −1 I Km m =0 q −1 q −1 m =0 m =0 =  Y Km U Km +  Y Km E Km = 0 (6.1) Рис.6.2. Между узлами К и m имеется ветвь с источниками ЭДС (EKm), сопротивлением ZKm, то ток в этой цепи (ветви), направленный от К к m связан соотношениями: I Km = E Km + U Km = YKm E Km + Y Km U Km Z Km (6.2) Первый закон Кирхгофа для рис.6.2. имеет вид (6.2). Напряжение можно выразить через узловые напряжения U K 0 и U mo в виде: U Km = U K 0 − U mo . q −1 Получаем: Y m =0 q −1 или Y m =0 Km Km    U K 0 − U mo  = Y K   q −1 q −1 q −1 m =0 m =0 m =0 U K 0 −  Y Km U mo = U K 0  Y Km −  Y Km U mo = Y K 3 q −1 Обозначив Y Km = Y KK , где YKK – сумма проводимостей всех ветвей, присоединённых к m=0 К-ому узлу, имеем: q −1 Y KK U K 0 −  Y Km U mo = Y K - что и является основным уравнением для К-ого узла по МУП. m=0 В развёрнутой форме совокупность уравнений по МУП имеет вид: Y 11 U 10 − Y 12 U 20 − ... − Y 1,q −1 U q −1,0 = Y 1 −Y 21 U 10 + Y 22 U 20 − ... − Y 2,q −1 U q −1,0 = Y 2 ............................................................... −Y q −1,1 U 10 − Y q −1,2 U 20 − ... + Y q −1,q −1 U q −1,0 = Y q −1 Решая эту систему, найдём узловые напряжения, причём для К-ого узла величина U Ko будет:  q −1, K    , U Ko = Y 1 1K + Y 2 2 K + ... + Y m mK + ... + Y q −1     где  - главный определитель системы, mK – его алгебраическое дополнение. После того, как узловые напряжения найдены, определения токов в ветвях цепи имеют   вид: I Km = U Km Y Km =  U Ko − U mo  Y Km   Если в ветви содержатся ЭДС, то ток равен :   I Km = Y Km E Km +  U Ko − U mo  Y Km   Метод узловых напряжений применяется к независимым узлам. Если к К-ому узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть включен в ток IKK со знаком «+», если утекает, то со знаком «-». Если между какими-либо двумя узлами нет ветви, то соответствующая проводимость равна 0. Yii – собственная проводимость всех ветвей, подходящих к узлу i (всегда со знаком «+»). Yiк – взаимная проводимость между узлами i и к (входит в уравнение всегда со знаком «-» при выбранном направлении всех узловых напряжений к базисному узлу). Ток I1 называется узловым током 1-ого узла. Это расчётная величина, равная алгебраической сумме токов, полученных от деления ЭДС ветвей, подходящих к 1-ому узлу, на сопротивления данных ветвей. В эту сумму со знаком «+» входят токи тех ветвей, ЭДС которых направлена к 1-ому узлу. Y11 – проводимость всех ветвей, сходящихся в 1-ом узле. Y12 – проводимость взаимная – равняется сумме проводимостей всех ветвей, соединяющих узел 1 с узлом 2 (берётся со знаком «-»). В качестве примера составим уравнение по МУП для электрической цепи, изображённой на рис. 3 4 e13 ( t ) = Em13 sin (t +  13 ) Задано: e12 ( t ) = Em12 sin (t +  12 ) e03 ( t ) = Em 03 sin (t +  03 ) и параметры всех элементов. Расчёт цепи производим комплексным методом: E13 = E13e j 13 ; E12 = E12 e j 12 ; E 03 = E03e j 03 ; 1 Y 12 = 11 ; Y 13 = R12 + ; 1 j L13 j+C12 j 1 C13 Y 23 = ; 1 1 Y 10 = R23 + j L23 ;+ R10 + j L10 jC23 Y 30 20 = 11 ; R j20L30 Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:  Y 11U 10 − Y 12 U 20 − Y 13U 30 = Y 1   −Y 21 U 10 + Y 22 U 20 − Y 23 U 30 = Y 2  (1)  −Y 31U 10 − Y 32 U 20 + Y 33 U 30 = Y 3   Y11=Y12+Y10 +Y13 ; Y22=Y20+Y12 +Y23 ; Y33=Y30+Y13 +Y23 Y 1 = − E12  Y 12 − E13  Y 13 Y 2 = − E 21  Y 12 − E12  Y 13 Y 3 = − E 30  Y 30 − E 31  Y 13 = E 03  Y 30 + E13  Y 13 Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам. Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу. 7. Индуктивно связанные электрические цепи 7.1 Основные положения и определения При изменении магнитного поля, связанного с каким-либо витком, в последнем наводится ЭДС, которая в соответствии с законом электромагнитной индукции определяется скоростью изменения магнитного потока независимо от того, чем вызвано изменение потока. В катушке, состоящей из большого числа витков, наводится ЭДС, пропорциональная скорости изменения потокосцепления, т.е. скорости изменения суммы магнитных потоков, сцепленных с отдельными витками данной катушки. Если все витки катушки пронизываются одним и тем же магнитным потоком, то потокосцепление равно произведению магнитного потока на число витков. 5 При рассмотрении цепей гармонического тока до сих пор учитывалось явление самоиндукции, т.е. наведение ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления самоиндукции, обусловленного током в этой цепи. Оснащение потокосцепления самоиндукции к току характеризовалось скалярной величиной – индуктивностью L. Теперь рассмотрим явление взаимоиндукции, т.е. наведение ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления взаимной индукции, обусловленного током в другой электрической цепи. Цепи, в которых наводятся ЭДС взаимной индукции, называются индуктивно связанными цепями. Связь потокосцепления взаимной индукции одной электрической цепи с током в другой цепи, равная отношению потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой цепи, характеризуется взаимной индуктивностью М, которая, так же как и индуктивность, представляет скалярную величину. Если потокосцепление W1ФМ2 первой цепи обусловлено током i2 второй цепи, то взаимная индуктивность цепей определяется как: W M 12 = 1 M 2 i2 W1 M 2 =  M 1 - потокосцепление первой цепи Соответственно, если потокосцепление W2ФМ1 второй цепи обусловлено током i1 первой цепи то: W M 21 = 2 M 1 i1 W2  M 1 =  M 2 - потокосцепление второй цепи Для линейных электрических цепей всегда выполняется равенство: M12 = M 21 , и поэтому индексы у параметра взаимной индуктивности могут быть опущены. M12 = M 21 = M Если так, проходящий в первой цепи, обуславливает во второй цепи потокосцепление взаимной индукции W2ФМ1, то такой же ток, проходящий во второй цепи, обусловит в первой цепи потокосцепление взаимной индукции W1ФМ2 той же величины. При рассмотрении индуктивно связанных цепей вводится понятие об одноименных зажимах контуров. Зажимы двух контуров называются одноименными, если при одинаковом направлении токов относительно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции ФL и взаимоиндукции ФМ в каждом контуре совпадают по направлению. На рис.7.1, а одноименными являются зажимы 1 и 3. Рис.7.1. При последовательном включении катушек сила тока в них одна и та же, при этом: при согласном включении катушек (рис.7.2) 6 Рис.7.2. Магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены одинаково, ЭДС самоиндукции и взаимной индукции имеют одинаковые знаки; При встречном включении катушек (рис.7.3) Рис.7.3. Магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции направлены в противоположные стороны и ЭДС взаимной индукции имеют знак, обратный ЭДС самоиндукции. Приложенное к цепи напряжение связано с током соотношением: di u = (r1 + r2 )i + ( L1 + L2  2M ) , dt или в комплексной форме: U = (r1 + r2 ) I + j ( L1 + L2  2M ) Здесь верхний знак соответствует согласному, нижний – встречному включению. Результирующая индуктивность всей цепи равна L = L1 + L2 + 2M , - при согласном включении L = L1 + L2 − 2M . - при встречном включении С увеличением М, например, при сближении катушек, результирующая индуктивность при согласном включении увеличивается, при встречном – уменьшается. Векторные диаграммы напряжений и сил тока при согласном и встречном включении индуктивно связанных катушек, соединенных последовательно, приведены на рис.7.4. (а и б соответственно) Рис.7.4. М > 0 – магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. 7 М < 0 – магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции разных знаков. M = 0 – магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции не связаны друг с другом. При параллельном соединении катушек их напряжения одинаковы. Рис.7.5. Уравнения равновесия напряжений для первой и второй катушек для мгновенных значений и в комплексной форме имеют вид: u = r1i1 + L1 di1 di M 2 dt dt u = r2i2 + L2 di2 di M 1 dt dt U = r1 I 1 + j L1 I 1  j M I 2 U = r2 I 2 + j L2 I 2  j M I 1 (r1 + r2 ) + j ( L1 + L2  2M ) U (r1 + j L1 )(r2 + j L2 ) +  2 M 2 Результирующая индуктивность цепи: LL −M2 L= 1 2 L1 + L2 2 M В приведенных выражениях верхний знак относится к согласному включению катушек, а нижний – к встречному. Векторные диаграммы напряжений и токов при согласном и встречном включении индуктивно связанных катушек, соединенных параллельно, приведены на рис.7.6, а и б соответственно Результирующая I = 8 Рис.7.6. Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи К, определяемым как среднее геометрическое из отношений потоков: M 1   M 2 M K= = 1   2 L1 L2 Коэффициент связи всегда меньше единицы. Трансформатор без сердечника Трансформатор представляет собой статическое устройство, передающее энергию из одной цепи в другую посредством электромагнитной индукции. В простейшем случае трансформатор представляет собой две катушки с индуктивной связью (рис.7.7.) Рис.7.7. Напряжение источника приложено к первичной обмотке (катушке) трансформатора, ко вторичной обмотке подключена нагрузка. Уравнение трансформатора: - в дифференциальной форме di1 di ri − M 2 = u1 1 1 + L1 dt dt di di r2i2 + L2 2 − M 1 + u2 = 0 dt dt - в комплексной форме (r1 + j L1 ) I1 − j MI 2 = U1 (r2 + j L2 ) I 2 − j MI1 + U 2 = 0 В режиме холостого хода Z H →  , i2 = 0 , напряжение на вторичной обмотке U трансформатора равно U 2 =  MI1 , откуда M = 2  I1 В режиме нагрузки значение силы тока в первичной обмотке трансформатора равно U U1 i1 = 1 = Z вх rвх + jX вх 9 rвх = r1 + rвн ; X вх = X1 + X вн rвн = xвн = −  2 M 2 (r2 + rн ) (r2 + rн )2 + ( x2 + xн )2  2 M 2 ( x2 + x A ) , (r2 + rн )2 + ( x2 + xн ) 2 где rвх – входное активное сопротивление xвх – входное реактивное сопротивление rвн – активное сопротивление, вносимое в первичную обмотку xвн - реактивное сопротивление, вносимое в первичную обмотку Векторная диаграмма напряжений и токов трансформатора, нагруженного на активное сопротивление, приведена на рис.7.8. Рис.7.8. 10