Электротехника и основы электроники

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Р.Е. АЛЕКСЕЕВА» К.С. Степанов, В.Н. Гуляев, Л.В. Белова, Е.Н. Александрова ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОНИКИ Конспект лекций по курсу Часть 1 Рекомендовано Учёным советом Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева в качестве учебного пособия (конспекта лекций) для студентов всех направлений и всех форм обучения Нижний Новгород 2016 1 УДК 621.3.012(075.5) С 794 Рецензент доктор технических наук, профессор О.С.Хватов Степанов К.С., Гуляев В.Н., Белова Л.В., Александрова Е.Н. С 794 Электротехника и основы электроники конспект лекций по курсу: учеб пособие / К.С. Степанов, В.Н. Гуляев, Л.В. Белова, Е.Н. Александрова; Нижегород. гос. техн. ун-т им Р.Е. Алексеева, 2016. - 122 с. ISBN В учебном пособии изложены: история развития электротехники, основные законы её и методы расчёта электрических цепей, принцип действия электрических цепей на переменном токе, при переходных процессах, приведены контрольные вопросы и задачи по темам. Предназначено для студентов всех специальностей всех форм обучения. Рис. 112. Табл1. Библиогр.: 5 назв. УДК 621.3.012(075.5) © Нижегородский государственный технический университет им Р.Е.Алексеева, 2016 © Степанов К.С., Гуляев В.Н., Белова Л.В., Александрова Е.Н. 2016 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………4 1. Лекция 1. Краткая история развития электротехники………….…5 2. Лекция 2. Основные понятия и определения в электротехнике...10 3. Лекция 3.Смешанное соединение сопротивлений………………..16 4. Лекция 4.Методы расчёта электрических цепей………………….22 5. Лекция 5. Переменный ток……………………………………….…29 6. Лекция 6. Последовательное соединение L,C,R на переменном токе. Комплексное сопротивление и резонанс напряжений…..…...36 7. Лекция 7. Резонанс токов……………………………………………41 8. Лекция 8. Трёхфазные цепи…………………………………………46 9. Лекция 9. Переходные процессы в линейных электрических цепях. …………………………………………………………..…….51 10. Лекция 10. Переходные процессы в электрических цепях с последовательно соединенными резисторами и катушками…….59 11. Лекция 11. Переходные процессы в цепи с последовательно включенными резисторами и конденсатором.………………...….64 12. Лекция 12.Разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой……………………………………………………………..70 13. Лекция 13.Включение контура из конденсатора, резистора, катушки на постоянное напряжение…………………………...…..76 14. Лекция 14.Нелинейные цепи…………………………………...…..79 15. Библиографический список……………………………………….…87 16. Приложения…………………………………………………………..87 17. Практические задания…………………………………………….....87 18. Приложение 1………………………………………………………...87 19. Приложение 2……………………………………………………….112 3 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Электротехника и электроника» относится к базовой части первого блока, готовит к решению профессиональной задачи по производственно-технологическому виду деятельности в области автоматизации технологических процессов и производств, автоматизированного управления жизненным циклом продукции и ее качеством. Целями освоения дисциплины «Электротехника и электроника» являются:  ознакомление с современным электрооборудованием и электронными изделиями;  изучение принципов действия электрических и электронных приборов и установок;  получение навыков при использовании законов электротехники, методов анализа и расчета возникающих задач при проектировании автоматизированных установок;  овладение основами правильной и безопасной эксплуатации автоматизированных установок;  получение базовых знаний для разработки, исследования и эксплуатации электротехнических и электронных установок. Предлагаемое учебное пособие посвящено изучению основных законов и методов расчёта в электротехнике и электронике, состоит из двух частей. В первой части кратко изложены теоретические основы электротехники, приведены задачи и примеры их решения. Во второй части изложены принципы действия и устройство электрических машин и полупроводниковых приборов. К каждому разделу приведены вопросы для закрепления материала по изученной теме. 4 ЛЕКЦИЯ 1 КРАТКАЯ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Как показывает отечественный и зарубежный опыт, наиболее эффективной системой обновления знаний является гибкая, непрерывная на протяжении всей жизни, система самообразования и повышения квалификации. Полноценный современный специалист должен обладать способностью параллельно заниматься самообразованием как в области общетеоретических, так и специальных знаний, только тогда он сможет изыскивать эффективные пути взаимодействия с техникой будущего. При этом человек должен помнить, что Он – «частица биосферы» и «частица ноосферы». Свое бытиё Он должен приспосабливать к законам ноосферы. По образному выражению академика В.И. Вернадского, которое он сформулировал ещё в начале прошлого века, необходимо не покорение природы, а совместное гармоническое развитие природы и общества, иначе человечеству просто не выжить. Решающая роль в современном научно-техническом прогрессе принадлежит электротехнике, которая включает в себя три основных раздела: Теоретические основы электротехники (ТОЭ), Электрические машины (ЭМ) и Электронику. Современное определение электротехники Электротехника - область науки и техники, использующая электрические и магнитные явления для осуществления процессов преобразования энергии и превращения вещества, а также для передачи сигналов и информации. В последние десятилетия из электротехники выделилась промышленная электроника с тремя направлениями: информационное, технологическое и энергетическое, которые с каждым годом приобретают все большее значение для научно-технического прогресса. В развитии электротехники и электроники можно выделить следующие восемь этапов: I этап: до 1800г.- становление электростатики. К этому периоду относятся первые наблюдения электрических и магнитных явлений, создание первых электростатических машин и приборов, исследование атмосферного электричества, зарождение электромедицины (опыты Гальвани, рис.1.1), открытие закона Кулона и закона сохранения энергии. В 1744 г. М.В. Ломоносов писал: «Все перемены, в натуре случающиеся, такого суть состояния, что сколько чего у одного тела отнимается столько присовокупится к другому, так ежели где убудет несколько материи, то умножится в другом месте… сей всеобщий закон простирается и в самые правила движения, ибо тело, движущее своею силою другое, 5 столько же оной у себя теряет, сколько сообщает другому, которое от него движение получает.» Рис. 1.1. Лягушка, препарированная для опытов с электрофорной машиной и лейденской банкой (рисунок из трактата Гальвани) Рис. 1.2. Ломоносов М.В. Выдающийся ученый – энциклопедист М.В. Ломоносов был первым в России основоположником изучения электрических явлений, автором первой теории электричества. В 1745 г. был разработан первый электроизмерительный прибор «электрический указатель» Георгом Вильгельмом Рихманом, который погиб 25 июня 1753 г., во время сильной грозы при проведении опыта с «грозовой машиной». Соответствующие труды М.В. Ломоносова находились в забвении до 1904 г., а будучи опубликованы в России, не могли проникнуть в западные лаборатории, поэтому позднее А.Л. Лавуазье повторно и независимо от М.В. Ломоносова открыл закон сохранения вещества. II этап: 1800 – 1830 гг. - закладка фундамента электротехники и её научных основ. Начало этого периода ознаменовано получением «Вольтова столба» - первого электрохимического генератора постоянРис. 1.3. Вольтов столб, состоя- ного тока (рис. 1.3). Затем была создана щий из металлических дисков, «Огромная наипаче батарея» Василия Вларазделенных кружками мокрой димировича Петрова, с помощью которой ткани была получена электрическая дуга и 6 сделано много новых открытий. В этот период были открыты важнейшие законы Георга Симона Ома, Жана Батисто Био и Феликса Савара, Андре Мари Ампера и установлена связь между электрическими и магнитными явлениями. Был создан прообраз электродвигателя. Рис.1.4. Вольта демонстрирует перед Наполеоном свое изобретение «Вольтов столб» III этап: 1830 – 1870г. - зарождение электротехники. Самым значительным событием этого периода было открытие явления самоиндукции Майклом Фарадеем и создание первого электромагнитного генератора (на основе ЭМИ). В этот период формулируются законы Ленца, Кирхгофа, разрабатываются различные конструкции электрических машин и измерительных приборов, зарождается электроэнергетика. Однако широкое практическое применение электроэнергии в хозяйстве и быту сдерживалось отсутствием экономичного электрического генератора. IV этап: 1870 – 1890гг.- становление электротехники как самостоятельной отрасли техники. В этот период создаётся первый промышленный генератор с самовозбуждением (динамо-машина), что привело к появлению отрасли электротехники «Электрические машины». Организуются производства с использованием электроэнергии. С развитием промышленности, ростом городов возникает потребность в электрическом освещении. Начинается строительство «домовых» электростанций, вырабатывающих постоянный ток. Электрическая энергия становится товаром и всё более остро ощущается потребность в централизованном производстве и экономичной передаче электроэнергии. На постоянном токе эту проблему решить нельзя из-за невозможности трансформации постоянного тока. В это время Павел Николаевич Яблочков изобрёл электрическую свечу и разработал схему дробления постоянного электрического тока при помощи индукционных катушек, представляющих собой трансформатор с разомкнутой магнитной системой. В середине 80-х годов началось серийное производство однофазных трансформаторов с замкнутой магнитной системой (Макс Дёрн, Отто Блати, К Циперновский) и строительство центральных электростанций переменного тока. 7 Однако развитие производства требовало комплексного решения проблемы экономичной передачи электроэнергии на дальние расстояния и создания экономичного и надёжного электродвигателя. Эта проблема была решена на основе многофазных (трёхфазных) систем. V этап: 1891 – 1920 гг. – становление и развитие электрификации. Предпосылкой развития трёхфазной системы явилось открытие в 1988 г. явления вращающегося магнитного поля. Трёхфазная система оказалась наиболее рациональной. В развитие этой системы внесли вклад многие учёные разных стран, но наибольшая заслуга принадлежит русскому учёному Михаилу Осиповичу Доливо-Добровольскому, создавшему трёхфазные синхронные генераторы, асинхронные двигатели и трёхфазные трансформаторы. Убедительным преимуществом трёхфазных цепей было строительство трёхфазной линии электропередачи между немецкими городами Лауфеном и Франктфуртом при активном участии М.О. Доливо-Добровольского. Расширяются исследования явлений, протекающих в цепях синусоидального тока с помощью векторных и круговых диаграмм. Огромную роль в анализе процессов в таких цепях сыграл комплексный метод расчёта, предложенный 1893-1897гг. Чарльсом Протеусом Штейнмецом. Теоретические основы электротехники становятся базовой дисциплиной в вузах и фундаментом научных исследований в области электротехники. VI этап: 1920 – 1940гг. – зарождение электроники: электровакуумные приборы, триод, диод. В 1923году Лосев создал первый полупроводниковый диод – кристадин, который мог работать в режиме генератора высокочастотных колебаний. Выделилась радиотехника как самостоятельная наука. VII этап: 1940 – 1970гг. – зарождение информатики: построение электронно - вычислительных машин. VIII этап: 1970г. – по настоящее время – информатика как самостоятельная наука. Вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Определение науки «Электротехника». Сколько этапов можно выделить в истории развития электротехники? Время окончания первого этапа. Закон сохранения материи и количества движения по Ломоносову М.В.(определение). Какие учёные работали на первом этапе развития электротехники? Начало и окончание второго этапа развития электротехники. Какие учёные работали во время второго этапа? Основные законы электротехники, открытые во втором этапе развития. 8 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. Начало и окончание третьего этапа развития электротехники. Какие учёные работали во время третьего этапа? Основные законы электротехники, открытые в третьем этапе развития. Начало и окончание четвёртого этапа развития электротехники. Какие учёные работали во время четвёртого этапа? Основные законы электротехники, открытые в четвёртом этапе развития. Начало и окончание пятого этапа развития электротехники. Какие учёные работали во время пятого этапа? Основные события в области электротехники, произошедшие на пятом этапе развития. Начало и окончание шестого этапа развития электротехники. Какие учёные работали во время шестого этапа? Основные события электротехники, произошедшие в шестом этапе. Начало и окончание седьмого этапа развития электротехники. Какая наука зародилась во время седьмого этапа? Начало восьмого этапа развития электротехники. 9 ЛЕКЦИЯ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ Электрическая цепь – совокупность источников электрической энергии, линий электропередач и электроприемников. Для анализа и синтеза электрических цепей вводят понятия: электродвижущей силы (ЭДС), обозначается Е; напряжения, обозначается U (Е и U измеряются в Вольтах [B]); тока I измеряется в Амперах [A];сопротивленияR [Ом]; величины, обратной сопротивлению, - проводимости (G), измеряется в Сименсах [См] (R=1/G); индуктивности L , единица измерения Генри [Гн]; емкости С, единица измерения Фарада [Ф]. На схемах перечисленные элементы обозначаются следующим образом: активные сопротивление и R G , ; проводимость L ; индуктивность C емкость ; Е источник ЭДС ; J источник тока . Положительным направлением тока называется направление, в котором перемещают положительно заряженные частицы или направление, противоположное движению электронов. Источники электроэнергии Реальный источник электроэнергии обладает внутренним сопротивлением больше нуля и в электротехнике представляется в виде двух вариантов – источник ЭДС и источник тока. У идеального источника ЭДС внутреннее сопротивление равно нулю. У идеального источника тока RВН = ∞, т.е. чем выше RВН, тем ближе источник тока к идеальному (рис. 2.1). Реальный источник обладает внутренним сопротивлением RВН. Источник тока можно получить из источника ЭДС, если параллельно источнику тока включить сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника ЭДС. Соответственно значение тока источника тока опре𝐸 деляют по формуле 𝐼 = (рис. 2.2). 𝑅вн 10 U RВН E RН ВАХ реального источника Е IКЗ (а) I (б) Рис. 2.1. Эквивалентная схема реального источника ЭДС (а) и его вольт - амперная характеристика (ВАХ) (б) Rвн Rн J Реальный источник тока UХХ ВАХ реального источника ВАХ идеального источника J (а) I (б) Рис. 2.2. Эквивалентная схема реального источника тока (а) и его вольт - амперная характеристика(ВАХ) (б) Узел электрической цепи - это точка, в которой соединены 3 или более ветвей (рис. 2.3). I2 I3 I1 Ветвь электрической цепи – участок цепи, расположенный между двумя узлами, состоящий из одного или нескольких последовательно соединенных электрических элементов. По ветви течет один и тот же ток (рис. 2.4). I5 I4 Рис. 2.3. Обозначение узла электрической цепи I 1 UR1 UR2 UR2 R1 R2 R3 E 2 Рис. 2.4. Обозначение ветви электрической цепи 11 Замкнутым контуром электрической цепи называют путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвленной электрической цепи (рис. 2.5). I2 R2 I I 6 7 I1 E2 E1 I3 R1 I4 I5 R3 I8 R4 E3 Рис. 2.5. Обозначение контура электрической цепи Основные законы электротехники Закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС Под напряжением на зажимах цепи понимают разность потенциалов между крайними точками ветви. Ток течет от большего потенциала к меньшему (рис. 2.6). I R 1 2 Рис. 2.6. Участок цепи, не содержащий ЭДС φ1>φ2, U12 = φ1- φ2, 𝐼 = 𝑈12 𝑅 = 𝜑1 −𝜑2 𝑅 . Закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Если в цепи есть ЭДС, то схема будет иметь вид (рис.2.7) и расчёт следует вести по нижеприведённым формулам. E I R 1 2 3 Рис. 2.7. Участок цепи, содержащий ЭДС 𝐼= 𝑈12 𝑅 = 𝜑1 −𝜑2 𝑅 , φ2 = φ3–E, φ1 – φ3 = U+E. 12 Из этого следует: 𝐼 = 𝜑1 −𝜑3 −𝐸 𝑅 = 𝑈13 −𝐸 𝑅 . Законы Кирхгофа Первый закон Кирхгофа Алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю: Ik = 0, I1 + I2 - I3 -I4 + I5 = 0, или: сумма токов, направленных к узлу, равна сумме токов, направленных от него (рис. 2.8). I1 +I2 + I5 = I3+ I4 . I2 I3 I1 I4 I5 Рис. 2.8. Токи в узле Правило: если ток направлен в узел, то перед ним в уравнении ставится «+», если ток направлен от узла, то «-». Второй закон Кирхгофа Алгебраическая сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС внутри этого контура. Ek = IiRi, E1-E2+E3 = I1R1+ I2R2+ I3R3+ I4R4 Правило: если направление тока и Е совпадает с направлением обхода то в уравнении берётся со знаком «+», если не совпадает, то «-». I6 I2 R2 I7 I1 E2 E1 I3 R1 I4 I5 R3 I8 R4 E3 Рис. 2.9. Схема замкнутого контура 13 Последовательное соединение сопротивлений. Второй закон Кирхгофа для этой схемы имеет вид U = U1 + U2 + U3. Поделим почленно это уравнение на ток I: 𝑈 𝐼 = 𝑈1 𝐼 + 𝑈2 𝐼 + 𝑈3 𝐼 U UR1 UR2 UR2 R1 R2 R3 I , или R = R1+ R2+ R3. Рис. 2.10. Последовательное Таким образом, при последовасоединение сопротивлений тельном соединении сопротивлений эквивалентное сопротивление равно сумме последовательно соединенныхR и всегда больше самого наибольшего номинала сопротивления. Параллельное соединение сопротивлений. I U R1 I1 R2 I2 R3 I3 Для преобразования этой схемы (рис.2.11) используется первый закон Кирхгофа и закон Ома. 𝑈 𝑈 𝑈 𝐼1 = , 𝐼2 = , 𝐼3 = , 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 , 𝑈 𝑈 𝑈 𝑈 = + + . 𝑅э 𝑅 1 𝑅2 𝑅3 Отсюда следует, что Рис. 2.11. Схема параллельного соединения сопротивлений 1 𝑅э = 𝑅1 + 𝑅1 + 𝑅1 , 1 2 3 𝐺э = 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 . Таким образом, при параллельном соединении сопротивлений эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей, а выражение для эквивалентного сопротивления имеет вид: R1 R2 R3 RЭ= . R1 R2  R2 R3  R1 R3 Вопросы 1. Обозначение и единица измерения активного сопротивления и проводимости. 2. Обозначение и единица измерения индуктивности. 3. Обозначение и единица измерения ёмкости. 4. Что такое узел электрической цепи, обозначение? 5. Что такое ветвь электрической цепи, обозначение? 6. Что такое контур электрической цепи, обозначение? 7. Закон Ома для участка цепи без ЭДС. 8. Закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС. 14 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. Первый закон Кирхгофа, схема, формула. Второй закон Кирхгофа, схема, формула. Обозначение источника ЭДС идеального и реального. Вольт - амперные характеристики источника идеального и реального ЭДС. Обозначение источника тока идеального и реального. Вольтамперные характеристики идеального и реального источника тока. Преобразование последовательного соединения сопротивлений в эквивалентное, схема, формула. Преобразование параллельного соединения сопротивлений в эквивалентное, схема, формула. 15 ЛЕКЦИЯ 3 СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ Иногда нельзя определить параллельно или последовательно соединены сопротивления. Например, как показано на схеме (рис. 3.1). Rab Ib Rbd b Ia Rac c Rb d Rbc a R1 Rdf f Rde Rce a b d Ra Rf Ref e Rc Ic c e R2 E R Rd f Re E R Рис. 3.1. Смешанное соединение сопротивлений В этом случае заменим треугольник abc звездой abc (рис. 3.2). с соблюдением условия эквивалентности так, чтобы параметры (токи ветвей и межузловые напряжения) схемы вне преобразуемой цепи остались без изменения. Ia a a Ra Rc Rc Rc c Ic Rc Ib b Rb c b Рис. 3.2. Преобразование треугольника в звезду 𝐼𝑎 = 0, 𝐼𝑏 = 0, 𝐼𝑐 = 0, 𝑅𝑏𝑐 (𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑐𝑎 ) 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 = , 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 𝑅𝑐𝑎 (𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 = , 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 𝑅𝑎𝑏 (𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 ) 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 = . { 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 Решая систему относительно Ra, Rb, Rc , находим их: 16 (1) (2) (3) 𝑅𝑎𝑏 𝑅𝑐𝑎 , (4) 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 𝑅𝑎𝑏 ∙ 𝑅𝑏𝑐 𝑅𝑏 = , (5) 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 𝑅𝑏𝑐 𝑅𝑐𝑎 𝑅𝑐 = . (6) { 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐 + 𝑅𝑐𝑎 Аналогично определяем Rab, Rbc и Rсa. Для замены звезды треугольником надо решить систему уравнений (4)-(6) относительно Rab, Rbc и Rсa: 𝑅𝑎 𝑅𝑏 𝑅𝑎𝑏 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + , (7) 𝑅𝑐 𝑅𝑐 𝑅𝑏 𝑅𝑏𝑐 = 𝑅𝑐 + 𝑅𝑏 + , (8) 𝑅𝑎 𝑅𝑎 𝑅с 𝑅𝑐𝑎 = 𝑅𝑎 + 𝑅𝑐 + . (9) { 𝑅𝑏 𝑅𝑎 = Теорема об эквивалентном активном двухполюснике Теорема Гельмгольца – Те ВеНена Активный двухполюсник (рис. 3.3, обведён штриховой линией) по отношению к рассматриваемой цепи можно заменить эквивалентным источником напряжений, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах этой ветви, а внутренне сопротивление - входному сопротивлению двухполюсника. 𝐸 эк = 𝐸1 𝐺1 + 𝐸2 𝐺2 = 𝑈хх12 , 𝐺1 + 𝐺2 R1 U 1 где G – проводимость, 𝐺 = . 𝑅 ∑ 𝐸𝑖 𝑌𝑖 (в комплексном виде). 𝐸эк = ∑ 𝑌𝑖 R2 E1 R3 E2 Рис. 3.3. Схема активного двухполюсника 17 Внутреннее сопротивление эквивалентного двухполюсника (рис 3.4) определяется как параллельное сопротивление внутренних сопротивлений активного двухполюсника (рис. 3.3): Rвн R3 𝑅внутр = Eэкв 𝑅1 𝑅2 𝐸эк = 𝑅вх 1,2 , 𝐼 = . 𝑅1 + 𝑅2 𝑅вн + 𝑅3 Рис. 3.4. Схема замещения активного двухполюсника Режимы работы источника ЭДС ` Uвн V2 Rвн A S V3 Uн UU V1 Rн E Рис. 3.5. Схема реального источника ЭДС с нагрузкой 1. Режим холостого хода (ключ S разомкнут) (рис. 3.5). Напряжение холостого хода на выходе источника равно его ЭДС (UХХ = E), ток холостого хода равен нулю (IХХ = 0), так как сопротивление нагрузки равно бесконечности (RН = ), коэффициент полезного действия при идеальном источнике ЭДС в этом режиме стремится к единице ( = 1). 2. Номинальный режим – это режим, на который рассчитывается источник (ключ S замкнут). В этом режиме источник Е работает эффективно с точки зрения надёжности и экономичности. 𝐸 𝐼н = 𝐼ном = , 𝑈 = 𝑈ном , 𝑅вн + 𝑅н вых 𝑃н 𝐸 2 𝑅н 𝑅вн + 𝑅н 𝑅н 1 η= = ∙ = = < 1. 𝑃𝑢 (𝑅вн + 𝑅н )2 𝐸2 𝑅вн + 𝑅н 1 + 𝑅вн 𝑅н 18 3. Согласованный режим - режим, при котором в нагрузку отдаётся максимальная мощность. Мощность источника Pи=EI. Мощность нагрузки Pн=UнагрIнагр. 𝐸 𝐸 𝐼нагр = , 𝑈нагр = 𝐼нагр 𝑅н = 𝑅 , 𝑅вв + 𝑅н 𝑅вв + 𝑅н н следовательно 𝐸 2 𝑃н = 𝑈нагр 𝐼нагр = 𝑅н 𝐼нагр =( )2 𝑅н . 𝑅вв + 𝑅н Вопрос: «При какой величине RН мощность в нагрузке будет иметь максимальное значение?», т.е. нужно определить экстремум функции PН(RН). Для этого возьмем производную от выражения 𝑃н = 𝑅н 𝐼2 = Максимальное значение мощности будет при 𝑑𝑃н 𝑑𝑅н 𝐸 2 𝑅н (𝑅+𝑅н )2 = 0. Это будет при Rн= = Rвн. КПД η = 𝑃н 𝑃и = 𝐸2 𝑅 (𝑅вн +𝑅н ) 2 ∙ 𝑅вн +𝑅н 𝐸2 = 𝑅н 𝑅вн +𝑅н = 1 𝑅 . 1+ вн 𝑅н Таким образом, в согласованном режиме 𝑃ист 𝐸 𝐼к.з. 𝑃напр = 𝑃max = , 𝑈н = , 𝐼н = , 𝑅н = 𝑅вн , 𝜂 = 0,5. 2 2 2 4. Режим короткого замыкания – режим, при сопротивлении нагрузки равном нулю. В этом режиме 𝐸 𝑅н = 0, 𝑈н = 0, 𝐼кз = , 𝜂 = 0, 𝑃ист = 𝑃вн = 𝐼кз 𝐸, 𝑃н = 0. 𝑅вн P Как видно из рис 3.6, мощность потерь представляет соPи бой параболу в соответствии с Pвн формулой Pвн= RвнI2, а мощPн ность источника – прямую линию в соответствии с формулой Iкз/2 Iкз I Pист= EI, тогда мощность Рис. 3.6. Зависимость мощностей нагрузки в соответствии с баисточника, приемника и потерь лансом мощностей от тока Pист= Pвн+Pн, будет иметь вид перевёрнутой параболы, так как Pн=Pист-Pвн. Баланс мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей приёмников и мощностей потерь. 19 . U E ВАХ Uн U I Iср=Iкз/2 Iкз Рис. 3.7. Внешняя характеристика реального источника ЭДС Iн Внешняя характеристика реального источника ЭДС представляет собой падающую прямую линию в соответствии с формулой второго закона Кирхгофа Uн=E - Uвн=E - RвнI. Падение напряжения на внутреннем сопротивлении представляет собой растущую прямую линию Uвн=RвнI. Uн Uвн E E Uн E 2 Uвн Iн Rн Rвн Рис. 3.8. Зависимость падений напряжений на источнике, приемнике и тока от величины сопротивления нагрузки На рис. 3.8 приведены зависимости падений напряжений на источнике, приемнике и тока от величины сопротивления нагрузки. Как видно, эти зависимости имеют вид гиперболы. Действительно, в формуле E , где E и Rвн- постоянные величины, а Rн – величина переменIн  Rвн  Rн ная, значит это уравнение гиперболы. График падения напряжения на внутреннем сопротивлении тоже представляет собой гиперболу, так как по закону Ома Uвн=RвнIн , Rвн- величина постоянная, а график Iн(Rн) – гипербола, значит, и Uвн(Rвн) тоже – гипербола. 20 Вопросы 1. Условие эквивалентности схем. 2. Эквивалентное сопротивление при последовательном сопротивлении, схема, формула. 3. Эквивалентное сопротивление при параллельном сопротивлении, схема, формула. 4. Преобразование реального источника ЭДС в эквивалентный источник тока, схема, формула. 5. Преобразование реального источника тока в эквивалентный источник ЭДС, схема, формула. 6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду, схемы, формулы. 7. Преобразование сопротивлений, собранных по схеме «звезда» в эквивалентный треугольник, схемы, формулы. 8. Теорема об эквивалентном генераторе (Гельмгольца – Те Ве Нена), сема, формула. 9. Теорема об эквивалентном источнике тока (Нортона). 10. Режимы работы источника ЭДС (типы). 11. Холостой ход источника ЭДС, схема, условия проведения, для чего проводится? 12. Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы тока, падения напряжения: на нагрузке, на внутреннем сопротивлении. 13. Номинальный режим работы источника ЭДС, определение, формулы мощностей: источника, потерь, нагрузки и КПД. 14. Режим короткого замыкания источника ЭДС, определение, формулы: тока, падений напряжения на нагрузке, на внутреннем сопротивлении; мощностей: источника, приёмника, потерь. 15. Баланс мощностей, определение, формула. 16. Согласованный режим работы источников ЭДС, где применяется. 17. Условие наступления согласованного режима работы, доказательство. 18. Режим короткого замыкания ЭДС, ток короткого замыкания, формула. 19. Зависимости мощностей и КПД от тока, формулы, подтверждающие вид этих графиков. 20. Зависимости ЭДС, падения напряжений на нагрузке и на внутреннем сопротивлении от тока, формулы, подтверждающие вид этих графиков. 21. Зависимости ЭДС, тока, падения напряжений на внутреннем сопротивлении и на нагрузке от величины сопротивления нагрузки. 21 ЛЕКЦИЯ 4 МЕТОДЫ РАСЧЁТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Расчёт схем: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) по закону Ома; по методу свёртывания и развёртывания; по методу наложения; по уравнениям Кирхгофа; по методу контурных токов; по методу узловых потенциалов; по методу эквивалентного двухполюсника; по методу компенсации; топологический метод расчёта. Простые цепи Простые цепи рассчитываются при помощи метода свёртывания и развёртывания. Простая цепь – цепь, содержащая один источник энергии. R1 R2 R4 R7 R6 E R3 E Rэкв R8 R5 Рис. 4.1. Схема простой цепи и её эквивалентная схема замещения 𝑅6 (𝑅7 + 𝑅8 ) 𝑅678 (𝑅4 + 𝑅5 ) 𝑅4−8 (𝑅2 + 𝑅3 ) , 𝑅4−8 = , 𝑅12 = , 𝑅6 + 𝑅7 + 𝑅8 𝑅678 + 𝑅4 + 𝑅5 𝑅4−8 + 𝑅2 + 𝑅3 𝑅экв = 𝑅1 + 𝑅12 , 𝐸 𝑈12 𝑈12 𝑈12 𝐼1 = , 𝑈12 = 𝐼1 𝑅12 , 𝐼2 = , 𝐼3 = , 𝐼5 = , 𝑅1 + 𝑅12 𝑅2 + 𝑅3 𝑅4 + 𝑅5 𝑅7 + 𝑅8 𝑈12 𝐼4 = . 𝑅6 𝑅678 = 22 Метод наложения или суперпозиции Данный метод применяется, когда цепь содержит несколько источников питания (рис. 4.2). Разветвленная электрическая цепь с несколькими источниками питания и все процессы, происходящие в этой цепи, можно рассматривать как совокупность нескольких цепей, в каждой из которых содержится один и только один источник питания. При составлении цепей учитывается правило:  если есть идеальный источник ЭДС E с Zвн=0 (внутреннее комплексное сопротивление источника), то идеальный источник ЭДС заменяется голым проводом; у реального исZ2 точника есть внутреннее сопротивление I5 Z=Rix, в схеме оно остаётся без изменения; Z5 I1 Z4  если есть источник тока с Z=, то он Z3 заменяется разрывом цепи, а поскольку Z6 Z1 у реального источника тока всегда есть E4 проводимость, включённая параллельно с ним, то обычно она заменяE1 ется сопротивлением, которое в схеме Рис. 4.2. Схема с несколькими источниками питания остаётся без изменения. Заменим эту схему другой (рис. 4.3), в которой оставим только один источник питания, и определим частный ток I1'. I1' В этой схеме определяем ток I1' по методике расчёта простых цепей. Аналогично определим частные токи для других источников (рис. 4.4 и рис. 4.5). Z2 1 3 Z5 Z4 Z3 Z1 Z6 E1 2 Рис. 4.3. Схема, с одним источником ЭДС (E1) 23 В схеме на рис. 4.4 определяем ток '' I1 по методике расчёта простых цепей. Z2 1 2 I5 Z2 I1'' Z5 Z4 Z3 Z1 Z5 I1''' 3 Z4 Z3 Z1 Z6 Z6 Рис. 4.4. Схема, с одним источником тока (J5) E4 В этой схеме рис. 4.5 определяем ток I1''' по методике расчёта простых цепей Рис. 4.5. Схема, с одним источником ЭДС (E4) Число составных частей ровно числу источников питания. Тогда общий ток определится как сумма частных токов в вышеприведенных цепях: I1 = I1’+I1’’+I1’’’ Расчёт разветвлённых цепей с помощью законов Кирхгофа 1. Упрощение элементарных цепей. 2. Произвольно расставляются направления токов в ветвях и расставляют их на схеме. 3. Выбирают направление обхода контуров с целью упрощения, берут одинаковое направление обхода во всех контурах. Учитывают только независимые контуры. Независимый контур – это контур, содержащий хотя бы одну ветвь, которая не учитывается другими контурами. 4. Записывается уравнение по первому закону Кирхгофа. Число этих уравнений на 1 меньше числа узлов. Использовать все Y уравнений невозможно, так как одно из них обязательно будет зависимым. Это связано с тем, что токи ветвей войдут в уравнения, составленные для всех Y узлов, дважды, причем с разными знаками, так как один и тот же ток направлен от одного узла к другому. При сложении всех уравнений левая и правая части будут равны нулю, а это означает, что одно из уравнений можно получить суммированием (Y-1) уравнений и заменой знаков всех токов на противоположные. Таким образомY-е уравнение всегда будет зависимым. 24 5. Записывается уравнения по второму закону Кирхгофа для контуров. Для определения неизвестных токов в ветвях необходимо составить систему уравнений Кирхгофа, количество которых должно быть равно количеству неизвестных токов. 6. Решаем систему уравнений относительно токов. Пусть дана схема, показанная на рис. 4.6. Заданы величины ЭДС и номиналы сопротивлений. Записать систему уравнений для определения токов по законам Кирхгофа. После выполнения пунктов 1, 2, 3, схема примет вид рис. 4.7. При этом сопротивления R1 и R7 заменены эквивалентным R17, а реальный источник тока J6 c R6 - эквивалентным ЭДС (E6Э) с внутренним сопротивлением R6. Е3 R3 Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для независимых узлов – их в R4 схеме два, так как узел «c» превратился в a b точку на линии, а ток I6= I1. R2 Для узла «a»: I1 - I3+I4-I5=0, R1 Для узла «b»: I2+I3-I4=0. R5 Запишем далее уравнения для независи- Е1 Е2 мых контуров по второму закону Кирхгофа – их три: R7  Для первого контура: 𝐼3 𝑅3 + 𝐼4 𝑅4 = R6 −𝐸3 ; d c  Для второго: −𝐼2 𝑅2 − 𝐼4 𝑅4 − 𝐼5 𝑅5 = 𝐸2 ; J6  Для третьего: 𝐼1 (𝑅2 + 𝑅2 ) + 𝐼5 𝑅5 = 𝐸1 − 𝐸6Э . Добавляем к этим уравнениям два урав- Рис. 4.8. Исходная схема нения, составленные по первому закону Кирхгофа, и получим систему уравнений 5-го порядка. I1 I2 I3 I4 I5 E 1 R17+R6 -1 R2 -1 1 R3 -1 1 -R4 R4 -1 -R5 R5 -E3 -E2 E1-E6Э 25 = С левой стороны от знака равенства мы получили матрицу коэффициентов, с правой – столбец свободных членов. Используя правило Крамера, решаем систему и определяем искомые токи. Как видно из вышеприведенного метода, нам нужно решать систему уравнений пятого порядка. Уменьшить порядок системы позволяет метод контурных токов. Метод контурных токов При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток (рис.4.8). Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Уравнение для первого контура Е3 R3 I11(R3+R4)-I22R4 = -E3, Уравнение для второго контура I3 I11 R4 -I11R4+I22(R2+R4+R5) = -E2, a b Уравнение для третьего контура I4 R2 -I22R5 +I33(R17+R5+R6) = E1-E6Э. R17 I5 Система уравнений будет третьего поR5 I22 рядка и имеет вид Е1 Е2 I11(R3+R4)-I22R4 = -E3, -I11R4+I22(R2+R4+R5) = -E2, I1 I33 I33(R17+R5+R6) - I22R5 = E1 - E6Э. I2 В этой системе только три уравнения, R6 I6 Е6Э d c следовательно, решать её проще. Как видно из схемы, I11 = I3, I22 = I2, I33 = I1 = I6, Рис. 4.8. Эквивалентная I4 = I11 - I22, I5= I22- I33. Таким образом, схема все токи определены. с обозначением контурных токов Аналогичную картину даёт метод узловых потенциалов. 26 Е3 Метод узловых потенциалов. R3 Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. a b I4 R2 Пусть дана схема (рис.4.9). Нужно составить уравнения по методу узловых потенциR17 I5 R5 алов для узлов a,b,c. Потенциал узла d приЕ1 Е2 равниваем к 0 (рис. 4.9). Для узла a I1 1 1 1 1 I2 𝜑𝑎 ( + + + ) R6 𝑅1 + 𝑅7 𝑅3 𝑅4 𝑅5 I6 Е6Э d c 1 1 1 − 𝜑𝑏 ( + ) − 𝜑𝑐 ( ) 𝑅3 𝑅4 𝑅1 + 𝑅7 𝐸1 𝐸3 Рис. 4.9. Эквивалентная схема к = + 𝐼 . расчёту по методу узловых 𝑅1 + 𝑅7 𝑅3 𝑎 I3 R4 потенциалов Для узла b −𝜑𝑎 ( Для узла с 1 1 1 1 1 𝐸2 𝐸3 + ) + 𝜑𝑏 ( + + )= − = 𝐼𝑏 . 𝑅3 𝑅4 𝑅3 𝑅4 𝑅2 𝑅2 𝑅3 𝜑𝑎 1 1 𝐸1 + 𝜑𝑐 ( + )=− − 𝐽 = 𝐼𝑐 . 𝐺1 + 𝐺7 𝐺1 + 𝐺7 𝐺6 𝐺1 + 𝐺7 В общем виде уравнение для k-го узла − 𝜑𝑘 ∑ 𝐺𝑘𝑙 − 𝜑𝑖 ∑ 𝐺𝑘𝑙 = ∑ 𝐺𝑘𝑙 𝐸𝑘 + ∑ 𝐼𝑘 , 𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 где 𝐺𝑘𝑙 – проводимость; 𝜑𝑘 -потенциалk-го узла; ∑𝑙 𝐺𝑘𝑙 -сумма узловых проводимостей k-го узла, представляет собой сумму проводимостей ветвей, подключенных к k-му узлу. Это собственная проводимость k-го узла; ∑𝑙 𝐼𝑘 -алгебраическая сумма источников токов ветвей, подключённых к kтому узлу; ∑𝑙 𝐺𝑘𝑙 𝐸𝑘 -алгебраическая сумма произведений E ветвей, сходящихся в k-м узле на проводимости этих ветвей. Правило: Если Е и ток источника направлены к узлу, то в правой части уравнения берётся знак «». 1 1 1 1 1 1 𝜑𝑐 𝐼. 𝜑𝑎 ( + + + ) − 𝜑𝑏 ( + ) − = 𝐺1 + 𝐺7 𝐺3 𝐺4 𝐺5 𝐺3 𝐺4 𝐺1 + 𝐺7 𝐸1 𝐸3 = + = 𝐼𝑎 , 𝐺1 + 𝐺7 𝐺3 27 1 1 1 1 1 𝐸2 𝐸3 + ) + 𝜑𝑏 ( + + ) = − = 𝐼𝑏 , 𝐺3 𝐺4 𝐺3 𝐺4 𝐺2 𝐺2 𝐺3 𝜑𝑎 1 1 𝐸1 − + 𝜑𝑐 ( + )=− − 𝐼 = 𝐼𝑐 . 𝐺1 + 𝐺7 𝐺1 + 𝐺7 𝐺6 𝐺1 + 𝐺7 𝐼𝐼. 𝜑𝑎 𝐺𝑎𝑎 + 𝜑𝑏 𝐺𝑎𝑏 − 𝜑𝑐 𝐺𝑎𝑐 = 𝐼𝑎 , 𝜑𝑎 𝐺𝑏𝑎 + 𝜑𝑏 𝐺𝑏𝑏 = 𝐼𝑏 , 𝜑𝑎 𝐺𝑐𝑎 + 𝜑𝑐 𝐺𝑐𝑐 = 𝐼𝑐 . Решаем систему относительно потенциалов. Токи в ветвях определяются разностью потенциалов между узлами по следующим формулам: 𝐼1 = (𝜑𝑐 − 𝜑𝑎 + 𝐸1 )𝐺1 , 𝐼2 = (𝜑𝑏 − 𝐸2 )𝐺2 , 𝐼3 = (𝜑𝑎 − 𝜑𝑏 − 𝐸3 )𝐺3 , 𝐼4 = (𝜑𝑎 − 𝜑𝑏 )𝐺4 , 𝐼5 = 𝐺5 𝜑𝑎 , 𝐼6 = 𝐺6 𝜑𝑐 . −𝜑𝑎 ( Вопросы Назовите основные методы расчёта электрических цепей. Что такое простая цепь, определение, пример схемы? Расчёт схем по методу свёртывания и развертывания, алгоритм. Расчёт схем по методу наложения, алгоритм. Расчёт схем по уравнениям Кирхгофа, алгоритм. Расчёт схем по методу контурных токов, алгоритм. Расчёт схем по методу узловых потенциалов, алгоритм. Расчёт схем по методу эквивалентного двухполюсника, алгоритм. Что такое собственная проводимость узла? На каком законе Кирхгофа основан метод узловых потенциалов? Какой контур называется независимым? Какая цепь называется простой? Сколько уравнений по первому закону Кирхгофа составляется при расчёте цепей по законам Кирхгофа? 14. Сколько уравнений по второму закону Кирхгофа составляется при расчёте цепей по законам Кирхгофа? 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 28 ЛЕКЦИЯ 5 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК Переменным током называется ток, величина и направление которого изменяются во времени. Мгновенное значение переменного тока определяется выражением 2 i (t )  I m sin( t  i )  I m sin( ωt  i ) , T где Im- амплитуда; f[с-1] - круговая частота;f = 1/T[Гц] – циклическая частота;T – период;i- начальная фаза. Если начало синусоиды сдвинуто влево относительно начала отсчёта (0), т.е. синусоида в момент времени, равный нулю, имеет положительное значение, то начальная фаза – положительна. Если начало синусоиды сдвинуто вправо относительно начала отсчёта (0), т.е. синусоида в момент времени, равный нулю, имеет отрицательное значение, то начальная фаза – отрицательна. i i t t б) a) Рис. 5.1. Графические изображения переменного и импульсного токов: (а) переменный ток, (б) импульсный ток i(t) T Im φ t Рис. 5.2. Осциллограмма синусоидального тока Действующее значение переменного тока Действующие значение переменного тока – такое значение постоянного тока, которое за один период переменного тока выделит на активном сопротивление столько же энергии, сколько и переменный: T T I 1 2 1 2 I i dt  I m sin 2 ωtdt  m   T0 T0 2 . Действующее значение переменного тока измеряют приборы электромагнитной системы. На рис. 5.3 показана графическая интерпретация действующего значения синусоидального тока. Здесь площадь под одним периодом синусоиды эквивалентна энергии, выделенной этим периодом, равна площади 29 i(t) Iд=Im/2 Im t T S~=S= Рис. 5.3. Графическая интерпретация действующего значения синусоидального тока прямоугольника с длиной, равной периоду синусоиды и высотой, равной действующему значению синусоидального тока Im 2 . Переменный синусоидальный ток получают в синхронных генераторах, модель которого показана на рис 5.4. Постоянный магнит вращается внутри обмотки и наводит в ней синусоидальную Рис. 5.4. Модель синхронного генератора ЭДС Символический метод расчёта При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета (метод комплексных амплитуд), в котором синусоидально изменяющиеся функции изображаются векторами на комплексной плоскости. Комплексный метод расчёта предложил в 1893-1897гг. Чарльс Протеус Штейнмец. Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме: j C  ce  a  jb , C  ce j , C  a  jb , где с - модуль комплексного числа;φ- аргумент; a=Re( С ) – действительная часть; b=Im( С ) - мнимая часть; j - мнимая единица, j =  1 . С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи комплексного числа к алгебраической: ce j  c cos   jc sin   a  jb , a  c cos , b  c sin  . От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул: b с  a 2  b 2 , φ=arctg . a 30 Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора на комплексной плоскости с длиной, равной модулю c, расположенного в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис. 5.5). +j cejφ Умножим комплексное число на множи- Мнимая β ось тель ejβ. Радиус - вектор на комплексной φ +1 плоскости повернется на угол βпротив jβ Вещественная ось часовой стрелки. Множитель e называется Рис. 5.5. Векторное обозначение j j j (   ) поворотным: ce  e  ce . комплексного числа Отметим очевидные соотношения при следующих значениях угла β: 1 β = 90°, 𝑒 𝑗90° = 𝑗; β = −90°, 𝑒 −𝑗90° = ; 𝛽 = ±180°, 𝑒 ±𝑗180° = −1. 𝑗 Умножение вектора на j является операцией его поворота в сторону опережения на 90о (против часовой стрелки) по отношению к исходному вектору, умножение на (-j) – соответственно поворот его на 90о в сторону отставания. Умножение вектора на -1 (смена знака) означает его поворот на 180о в любом направлении поворота. Два комплексных числа, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют комплексно сопряжёнными числами. Если исходное комплексное число C  a1  jb2  ce j , то ком* плексно сопряжённым числом будет С  a1  jb2  ce  j . Свойства комплексно сопряжённых чисел: * * * C  С  с 2 ; Re( C )=( C  С )/2; Im( C )=( C  С )/2j. Если   ωt , то вектор, умноженный на e jωt , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус-вектор. Выражение ce jωt  e j  ce j (ωt  ) является комплексной функцией времени. Применительно к синусоидальным напряжениям и токам получим их комплексные функции времени: j U m e jωt  e ju  U m e jωt , I me jt  e ji  Ime jt ,  U m , I me ji  Im - комплексные амплитуды напряжения и где U m e u тока (исходное положение векторов в комплексной плоскости). Найдем мнимую часть комплексной функции времени для напряжения.     J m U me jωt  J m U me j (t  )  J m U m cos(ωt   )  jUm sin( ωt   )  U m sin( ωt   ). 31 Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, напряжение, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени. Таким образом, синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω, проекции которых на мнимую ось изменяются по синусоидальному закону. Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать вектора синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt  0 . При расчетах цепей вместо комплексных амплитуд токов и напряжений, используют комплексные действующие значения, которые в 2 раз меньше. Совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидальные напряжения, токи и ЭДС одинаковой частоты, называют векторной диаграммой. Поведение электрических элементов на переменном токе Активный элемент схемы замещения электрической цепи Пусть по активному сопротивлению (рис.5.6) протекает ток i(t)=Imsint. Рассмотрим, как себя ведёт активное сопротивление при прохождении по нему такого тока. По закону Ома падение напряжения на активном сопротивлении R равно u(t) = Ri(t) = RImsint = UmRsint, где Um-амплитуда напряжения. Мгновенная мощность p(t)=i(t) u(t)= ImsintUmsint= I mU m (1 - сos2 ωt) . 2 +j i(t) R I u(t) R U R +1 Рис. 5.6. Векторная диаграмма тока и напряжения для активного сопротивления 32 p,i,u p(t) P0=(ImUm)/2 t i(t) u(t) Рис. 5.7. Зависимости тока, напряжения и мощности на активном сопротивлении Индуктивный элемент схемы замещения электрической цепи. Пусть по индуктивности протекает переменный ток i(t)=Imsint. Из физики известно, что напряжение на индуктивности имеет вид: 𝑑𝑖(𝑡) 𝜋 𝑈 (𝑡 ) = 𝐿 = 𝐿𝜔𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 = 𝑋𝐿 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 = 𝑈𝑚 sin(𝜔𝑡 + ), 𝑑𝑡 2 где XL =L - индуктивное сопротивление; =2f– круговая частота синусоидального тока; Um=XL Im– амплитуда напряжения на индуктивном сопротивлении. 𝜋 Таким образом, в индуктивности напряжение опережает ток на . 2 Мгновенная мощность здесь описывается уравнением 𝜋 𝐼𝑚 𝑈𝑚 𝑝𝐿 (𝑡) = 𝑖 (𝑡)𝑈(𝑡) = 𝐼𝑚 sin 𝜔𝑡 𝑈𝑚 sin(𝜔𝑡 + ) = sin 2 𝜔𝑡 = 𝑃 sin 2 𝜔𝑡. 2 2 +j i(t) U L I +1 uL(t) R Рис. 5.8. Векторная диаграмма тока и напряжения для индуктивности 33 p,i,u p(t) i(t) ωt u(t) Рис. 5.9. Зависимости тока, напряжения и мощности для индуктивности Емкостной элемент схемы замещения электрической цепи 𝑑𝑈 (𝑡) Из физики известно, что 𝑖 (𝑡) = 𝐶 𝑐 , тогда 𝑑𝑡 1 1 𝜋 𝑈𝑐 (𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐼𝑚 (− cos 𝜔𝑡) = 𝑋𝑐 𝐼𝑚 sin(𝜔𝑡 − ) = 𝐶 𝜔𝐶 2 𝜋 = 𝑈𝑚 sin (𝜔𝑡 − ) , 2 1 где 𝑋𝑐 = - ёмкостное сопротивление; Um=XС Im- амплитуда напря𝜔𝐶 жения на ёмкостном сопротивлении. 𝜋 Напряжение на конденсаторе отстаёт от тока на . 2 +j i(t) C I uc(t) UC Рис. 5.10. Векторная диаграмма тока и напряжения для ёмкости ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 ∫ 𝑈𝑖 𝑑𝑡 = ∫ (𝑢𝑅 𝑖 + 𝑢𝐿 𝑖 + 𝑢𝐶 𝑖)𝑑𝑡 = ∫ 𝑖 𝑅𝑑𝑡 + ∫ 𝐿𝑖𝑑𝑡 + ∫ 𝐶𝑢𝐶 𝑑𝑡. 34 Мгновенная мощность на p,i,u конденсаторе p(t) 𝐼𝑚 𝑈𝑚 (− sin 2ω𝑡). 𝑝𝑐 (𝑡) = 2 i(t) Из графиков для L и C следует, что в первую четверть пери?t ода Р на индуктивности положительна  индуктивность потребляет энергию из источника , а Р на u(t) конденсаторе отрицательна  конденсатор в эту четверть периода отРис. 5.11. Зависимости тока, напряжения даёт энергию источнику. и мощности на ёмкости Вопросы 1. Какой ток называется переменным? 2. Мгновенные значения тока, напряжения и ЭДС (определение и формула). 3. Что называется фазой, начальной фазой, единицы измерения фазы? 4. Что называется действующим значением переменного тока? Формула. 5. Три формы записи комплексного числа. 6. Что называют поворотным множителем? 7. Что такое комплексно сопряжённое число? 8. Записать комплексные функции времени, тока и напряжения. 9. Что называется векторной диаграммой? 10. Записать амплитудное и действующее значение тока. 11. Что такое векторная диаграмма, как она строится? 12. Три формы записи комплексного числа. 13. Активное сопротивление в цепи синусоидального тока, его векторная диаграмма. 14. Индуктивное сопротивление, формула. Векторная диаграмма тока и напряжения на катушке индуктивности. 15. Ёмкостное сопротивление, формула. Векторная диаграмма тока и напряжения на конденсаторе. 16. На какой угол сдвинут ток через индуктивность относительно напряжения на ней? 35 ЛЕКЦИЯ 6 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ L, C, R НА ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ Комплексное сопротивление и резонанс напряжений Пусть дана схема последовательного соединения сопротивлений, как показано на рис. 6.2. Тогда полное комплексное сопротивление цепи будет иметь вид: 1 Z= R+j(XL –XC)=R+j(L- ) – комплексное сопротивление, ω𝐶 Z= R+jX- алгебраическая форма записи комплексного числа, X= XL –XC– реактивное сопротивление. Z=zej - показательная форма записи, 𝑧 = √𝑅 2 + 𝑋 2 - модуль комплексного сопротивления, 𝑋 𝑋 𝑅 =arctg =arcsin =arcos -аргумент комплексного сопротивления. 𝑅 𝑍 𝑍 𝑋 𝑋 Для определения аргумента желательно использовать arctg и arcsin , 𝑅 𝑍 так как cos – функция чётная и нельзя определить знак. Если параметры цепи подобраны таким образом, что справедливо 1 𝑋 |L|>| |, тоX>0 и >0 и напряжение опережает ток на = arctg – цепь ноω𝐶 𝑅 1 сит индуктивный характер (XL>XC). Если справедливо |L|<| |, то X<0, ω𝐶 <0, напряжение отстает от тока. В этом случае принято говорить, что цепь имеет емкостный характер (XL 𝑈вх , ω𝐿 = > 𝑅, ω𝐶 ω𝐶 𝐿 √ >R – условие превышения напряжения на реактивных элементах по 𝐶 сравнению с входным напряжением. При резонансе UL=UC,IZ=IR+jIX. Ток в цепи одинаковый, тогда UL и UCUвх. При резонансе IZ=IR+jIXL –jIXC, XL=XC и Uвх =IR. 37 Вывод: напряжение на индуктивном и ёмкостном сопротивлениях больше, когда XL=XC>R. uвх(t)=uR(t)+uC(t)+uL(t) - мгновенное значение напряжения на элементах цепи. Построение векторных диаграмм. +j UL R Uвх R R UC R UX R I UR R +1 R Рис. 6.3. Векторная диаграмма напряжений на элементах схемы По действительной оси откладываем величину общую для всех элементов цепи. Для последовательного соединения это будет – ток (рис.6.3). Ток откладывается в одном масштабе, а напряжение в другом. По мнимой оси откладываем вектора напряжений на реактивных элементах L и C. Масштаб напряжений и масштаб тока могут не совпадать (рис.6.4). X −X - угол сдвига между током и напряжением, φ = arctg L C , если XL>XC, то R IXL =UL>UC = IXC. +j +j I UL R UL R UC R I I UR  UC R R Uв IR Uвх=UR +1 +1 0 R R R R R б) a) R диаграмма напряжений на элементах схемы при резонансе Рис. 6.4. Векторная (рис.a) и отсутствии его (рис.б), во втором случае начальная фаза тока больше нуля: I – начальный угол тока;  – угол сдвига между I и U, u – начальный угол напряжения. Если UL=Uc, то UR=Uвx,еслиXL>0 всегда, а Rд может принимать и отрицательные значения (участок 2-3 ВАХ на рис. 1). В случае инерционного нелинейного резистора вводится понятие ди𝑑𝑢 намического сопротивления 𝑅дин = , определяемого по динамической 𝑑𝑖 ВАХ. В зависимости от скорости изменения переменной, например тока, может меняться не только величина, но и знак Rдин. Методы расчета нелинейных электрических цепей постоянного тока Электрическое состояние нелинейных цепей описывается на основании законов Кирхгофа, которые имеют общий характер. При этом следует помнить, что для нелинейных цепей принцип наложения неприменим. В этой связи методы расчета, разработанные для линейных схем на основе законов Кирхгофа и принципа наложения, в общем случае не распространяются на нелинейные цепи. Общих методов расчета нелинейных цепей не существует. Известные приемы и способы имеют различные возможности и области применения. При анализе нелинейной цепи описывающая ее система нелинейных уравнений может быть решена следующими методами:  графическими;  аналитическими;  графо-аналитическими;  итерационными. Графические методы расчета При использовании этих методов задача решается путем графических построений на плоскости. При этом характеристики всех ветвей цепи следует записать в функции одного общего аргумента. Благодаря этому си80 стема уравнений сводится к одному нелинейному уравнению с одним неизвестным. Формально при расчете различают цепи с последовательным, параллельным и смешанным соединениями. а) Цепи с последовательным соединением резистивных ментов эле- При последовательном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается ток, протекающий через последовательно соединенные элементы. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХUi(I) отдельных резисторов в системе декартовых координат U-I строится результирующая зависимость 𝑈(𝐼) = ∑ 𝑈𝑖 (𝐼). Затем на оси напряжений откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине напряжения на входе цепи, из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью U(I). Из точки пересечения перпендикуляра с кривой U(I) опускается ортогональна ось токов – полученная точка соответствует искомому току в цепи, по найденному значению которого с использованием зависимостей Ui(I) определяются напряжения Ui на отдельных резистивных элементах. Применение указанной методики иллюстрируют графические построения на рис. 14.2, б, соответствующие цепи на рис. 14.2, а. Рис. 14.2. Графический метод определения нелинейного эквивалентного сопротивления Графическое решение для последовательной нелинейной цепи с двумя резистивными элементами может быть проведено и другим методом – методом пересечений. В этом случае один из нелинейных резисторов, например, с ВАХU1(I)на рис. 14.2, а, считается внутренним сопротивлением источника с ЭДС Е, а другой – нагрузкой. Тогда на основании соотношения E-U1(I) =U2(I)точка а (рис. 14.3) пересечения кривых I(E -U1) и U2(I) определяет режим работы цепи. Кривая I(E -U1) строится путем вычитания абсцисс ВАХ U1(I) из ЭДС Е для различных значений тока. 81 Рис.14.3. Графическое пояснение метода пересечений Использование данного метода наиболее рационально при последовательном соединении линейного и нелинейного резисторов. В этом случае линейный резистор принимается за внутреннее сопротивление источника, и линейная ВАХ последнего строится по двум точкам. б) Цепи с параллельным соединением резистивных элементов При параллельном соединении нелинейных резисторов в качестве общего аргумента принимается напряжение, приложенное к параллельно соединенным элементам. Расчет проводится в следующей последовательности. По заданным ВАХ Ii(U) отдельных резисторов в системе декартовых координатU-I строится результирующая зависимость I(U) = ∑Ii(U). Затем на оси токов откладывается точка, соответствующая в выбранном масштабе заданной величине тока источника на входе цепи (при наличии на входе цепи источника напряжения задача решается сразу путем восстановления перпендикуляра из точки, соответствующей заданному напряжению источника, до пересечения с ВАХ Ii(U)), из которой восстанавливается перпендикуляр до пересечения с зависимостью I(U). Из точки пересечения перпендикуляра с кривой I(U) опускается ортогональ на ось напряжений – полученная точка соответствует напряжению на нелинейных резисторах, по найденному значению которого с использованием зависимостей Ii(U) определяются токи Ii в ветвях с отдельными резистивными элементами. Использование данной методики иллюстрируют графические построения на рис. 14.4, б, соответствующие цепи на рис. 14.4, а. 82 Рис. 14.4. Графический метод определения нелинейного эквивалентного сопротивления при параллельном соединении в) Цепи с последовательно-параллельным (смешанным) соединением резистивных элементов 1. Расчет таких цепей производится в следующей последовательности. Исходная схема сводится к цепи с последовательным соединением резисторов, для чего строится результирующая ВАХ параллельно соединенных элементов, как это показано в пункте б). 2. Проводится расчет полученной схемы с последовательным соединением резистивных элементов (см. пункт а), на основании которого затем определяются токи в исходных параллельных ветвях. Метод двух узлов Для цепей, содержащих два узла или сводящихся к таковым, можно применять метод двух узлов. При полностью графическом способе реализации метода он заключается в следующем. Строятся графики зависимостей Ii(Uab) токов во всех i-х ветвях в функции общей величины – напряжения Uabмежду узлами m и n, для чего каждая из исходных кривых Ii(Ui) смещается вдоль оси напряжений параллельно самой себе, чтобы ее начало находилось в точке, соответствующей ЭДС Ei в i-й ветви, а затем зеркально отражается относительно перпендикуляра, восстановленного в этой точке. Определяется, в какой точке графически реализуется первый закон Кирхгофа ΣIi(Uab) = 0. Соответствующие данной точке токи являются решением задачи. Метод двух узлов может быть реализован и в другом варианте, отличающемся от изложенного меньшим числом графических построений. 83 В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 14.5. Для нее выражаем напряжения на резистивных элементах в функции U. Рис. 14.5. Графическое пояснение метода двух узлов U1 =E1-Uab, (14.1) U2 =Uab, (14.2) U3 =E3-Uab . (14.3) Далее задаемся током, протекающим через один из резисторов, например во второй ветвиI2, и рассчитываем Uab, а затем по Uab с использованием (14.1) и (14.3) находим U1 и U3 и по зависимостям I1(U1) и I3(U3)соответствующие им токи I1 и I3 и т.д. Результаты вычислений сводим в табл. 14.1, в последней колонке которой определяем сумму токов. ∑ 𝐼𝑖 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 . Таблица результатов расчета методом двух узлов Таблица 14.1 I2 U2 =Uab U1 =E1-Uab I1 U3 =E3-Uab I3 ∑ 𝐼𝑖 Алгебраическая сумма токов в соответствии с первым законом Кирхгофа должна равняться нулю, поэтому получающаяся в последней колонке табл. 14.1 величина указывает, каким значением I2 следует задаваться на следующем шаге. В осях Ii, U, строим кривую зависимости ΣIi(Uab) и по точке ее пересечения с осью напряжений определяем напряжение Uab между точками m и n. Для найденного значения по (14.1)…(14.3) рассчитываем напряжения на резисторах, после чего по заданным Uab зависимостям Ii(Ui) определяем токи в ветвях схемы. 84 Контрольные вопросы и задачи 1. Почему метод наложения не применим к нелинейным цепям? 2. Какие параметры характеризуют нелинейный резистор? 3. Почему статическое сопротивление всегда больше нуля, а дифференциальное и динамическое могут иметь любой знак? 4. Какие методы используют для анализа нелинейных резистивных цепей постоянного тока? 5. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с последовательным соединением резисторов? 6. Какая последовательность расчета графическим методом нелинейной цепи с параллельным соединением резисторов? 7. Какой алгоритм анализа цепи со смешанным соединением нелинейных резисторов? 8. В чем сущность метода двух узлов? 9. В цепи на рис. 14.2,а) приведены ВАХ нелинейных резисторов U1(I) = 5I2 + Iи U2(I) = 7I2 + 3I, где напряжение – в вольтах, а ток – в амперах;E=56 В. Графическим методом определить напряжения на резисторах. Ответ:U1 = 22 В, U2 = 34 В. 10. В цепи на рис. 14.4, а ВАХ нелинейных резисторов: I1(U) = 0,3U2 + 0,2Uи I2(U) = 0,5U2 + 0,7U, где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах;J=5 A. Графическим методом определить токиI1и I2. Ответ: I1 = 1,6 А; I2 = 3,4 А. 11. В цепи на рис. 14.5I1(U1) = 0,015U12, I2(U2) = 0,01U22, где ток – в амперах, а напряжение – в вольтах; третий резистор линейный с R=10 Ом. Определить токи в ветвях методом двух узлов, еслиE1= E3=60 В. Ответ:I1=1,5 А; I2=2,5 А, I3=1 А. 85 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Алтунин Б.Ю. Кралин А.А. Панкова Н.Г. Электротехника и электроника» часть1: комплекс учебно-методических материалов /Алтунин Б.Ю. Кралин А.А. Панкова Н.Г–НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - Н. Новгород, 2012. - 99 с. 2. Алтунин Б.Ю. Кралин А.А. Панкова Н.Г. Электротехника и электроника» часть 2: комплекс учебно-методических материалов /Алтунин Б.Ю. Кралин А.А. Панкова Н.Г–НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - Н. Новгород, 2012. - 99 с. 3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1978. –528с. 4. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М. Поливанова. Т.2. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Линейные электрические цепи (продолжение). Нелинейные цепи. –М.: Энергия- 1972. –200с. 5. Веселовский О.Н., Шнейберг, «Очерки по истории электротехники» О.Н. Веселовский, Я.А. Шнейберг., М. МЭИ, 1993г. 86 Приложения ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Приложение 1. Методы расчета электрических цепей Цепи постоянного и однофазного переменного тока Рассматриваемые методы расчета применимы как для цепей постоянного, так и переменного тока. Расчет цепей переменного синусоидального тока выполняется с использованием символического метода. Метод преобразования цепи Метод применяется в основном для расчета цепей с одним источником. Участки цепи заменяются более простыми по структуре, что упрощает расчет цепи. Различают пять способов соединения элементов схемы замещения. 1. Последовательное соединение При последовательном соединении по всем элементам цепи протекает один и тот же ток. Общее сопротивление равно сумме сопротивлений элементов. Рис. П 1. 1. Схема последовательного соединения сопротивлений 𝑅общ = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 , 𝐼 = 𝑈 . 𝑅общ 2. Параллельное соединение При параллельном соединении все элементы цепи находятся под одним и тем же напряжением. Общая проводимость равна сумме проводимостей элементов. Рис. П 1. 2. Схема параллельного соединения сопротивлений 87 𝐺общ = 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 , 𝐺= 1 , 𝐼 = 𝑈𝐺общ . 𝑅 3. Смешанное соединение При смешанном соединении в цепи есть участки разных соединений. 4. Соединение в «звезду» 5. Соединение в «треугольник» Эти виды соединений являются особым видом. При расчете цепей часто бывает необходимо преобразовывать соединение «звезда» в соединение «треугольник» и обратно. При этом необходимо пересчитать параметры элементов. 1 1 R1 R3 R13 R12 R2 2 3 3 R23 2 Рис. П 1. 3. Преобразование «звезды» в «треугольник» Преобразование Y → Δ: 𝑅1 𝑅2 , 𝑅3 𝑅3 𝑅3 𝑅23 = 𝑅2 + 𝑅3 + , 𝑅1 𝑅3 𝑅1 𝑅31 = 𝑅3 + 𝑅1 + , 𝑅2 Преобразование Δ → Y: 𝑅12 𝑅31 𝑅1 = , 𝑅12 + 𝑅23 + 𝑅31 𝑅12 𝑅23 𝑅2 = , 𝑅12 + 𝑅23 + 𝑅31 𝑅23 𝑅31 𝑅3 = . 𝑅12 + 𝑅23 + 𝑅31 𝑅12 = 𝑅1 + 𝑅2 + 88 Метод непосредственного применения первого и второго законов Кирхгофа Первый закон Кирхгофа: «Алгебраическая сумма токов, проходящих через узел равна нулю». Σ Iк = 0. Второй закон Кирхгофа: «В замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС того же контура». Σ Uк= Σ Eк. Узел – точка, где сходятся три и более ветвей. Ветвь – участок цепи, обтекаемый одним и тем же током. Контур – замкнутая конфигурация цепи, проходящая через несколько узлов и ветвей. Алгоритм решения задач этим методом 1. Определить общее число уравнений. Оно равно числу ветвей m = в. 2. Определить число уравнений по первому закону Кирхгофа. Оно равно числу узлов минус 1.m1= у – 1. 3. Определить число уравнений по второму закону Кирхгофа. m2= m – m1. 4. Указать произвольно направления токов в ветвях. 5. Составить уравнения по первому закону Кирхгофа. 6. Указать произвольно направления обхода независимых контуров. Независимым называется контур, в котором хотя бы одна ветвь не входит в другие контуры. 7. Составить уравнения по второму закону Кирхгофа. 8. Решить систему уравнений. 9. Скорректировать направления токов в ветвях. Если ток получился со знаком минус, изменить его направление на противоположное. 10. Проверить результат по уравнению баланса мощностей. Сумма мощностей всех источников, работающих в режиме генерирования, равна сумме мощностей всех потребителей энергии. Если ЭДС источника и ток через него совпадают по направлению – источник работает в режиме генерирования, если они противоположны по направлению - источник работает в режиме потребления. 89 Задача Рис. П 1. 4. Исходная схема Определить токи в ветвях методом непосредственного применения законов Кирхгофа: 1) общее число уравнений m = 3; 2) число уравнений по первому закону Кирхгофа m1 = 2 – 1 = 1; 3) число уравнений по второму закону Кирхгофа m2 = 3 – 1 =2; 4) указываем направления токов в ветвях (сплошными стрелками); 5) составляем уравнение по 1 закону Кирхгофа I1+ I2 – I3= 0; 6) указываем направления обхода контуров; 7) составляем уравнения по 2 закону Кирхгофа R1 I1 - R2 I2 = E1 + E2, R2 I2 + R3 I3 = - E2; 8) решаем систему уравнений I1+ I2 – I3= 0; I1 - 4 I2 = 144; I2 + 4 I3 = - 64; результат: I1 = 14А; I2 = - 15А ;I3 = - 1А; 9) корректируем направления токов I2 и I3 (стрелки штриховой линией); 10) проверка. Оба источника работают в режиме генерирования. ΣPист =Σ Pпотр. E1 I1 + E2 I2 = R1 I12 + R2 I22 + R3 I32. 2080 = 2080. Получили тождество, следовательно, решение верно. Недостаток метода – при большом количестве ветвей большое число уравнений. 90 Метод контурных токов Предполагается, что все независимые контуры обтекаются контурными токами. Задача сводится к определению контурных токов и последующим определением токов в ветвях. Алгоритм решения задач методом контурных токов 1. Выбрать независимые контуры. 2. Указать (по часовой стрелке) направления контурных токов. 3. Составить систему канонических уравнений: R11I11 + R12I22 + R13I33 = E11, R21 I11 + R22 I22 + R23 I33 = E22, R31I11 + R32I22 + R33I33 = E33. 4. Определить собственные сопротивления контуров (R11, R22, R33). Они равны арифметической сумме всех сопротивлений, входящих в контур. 5. Определить общие сопротивления смежных контуров (R12 = R21, R13 = R31, R32 = R23). Они равны сопротивлениям ветвей на границе контуров со знаком минус. Если контуры не граничат, то эти сопротивления равны 0. 6. Определить собственные ЭДС контуров (E11,E22, E33). Они равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в контур. Если ЭДС направлена против контурного тока, она берется со знаком минус. 7. Решить систему уравнений. 8. Если контурный ток получился со знаком минус, изменить его направление на противоположное. 9. Определить токи в ветвях. 10. Проверить результат по уравнению баланса мощностей. Задача Рис. П 1. 5. Схема с обозначением контурных токов Определить токи в ветвях методом контурных токов (рис. П 5). 1. Выбираем два контура. 91 2. Указываем направления контурных токов (сплошными стрелками). 3. Составляем систему канонических уравнений: R11I11 + R12I22 = E11, R21I11 + R22I22 = E22. 4. Определяем собственные сопротивления контуров: R11 = R1 + R2 = 10 Ом,R22 = R2 + R3 = 8 Ом. 5. Определяем общие сопротивления смежных контуров: R12 = R21 = - R2 = - 4Ом. 6. Определить собственные ЭДС контуров: E11 = E1 + E2 = 144 В,E22 = - E2 = -64 В. 7. Решаем систему уравнений: I11 =14 А,I22 = - 1 А. 8. Меняем направление тока I22 на противоположное (стрелка штриховой линией). 9. Определяем токи в ветвях: I1 = I11 =14 А,I2 = I11 + I22 = 15 А,I3 = I22 =1 А. 10. Проверяем результат по уравнению баланса мощностей Оба источника работают в режиме генерирования: ΣPист =Σ Pпотр, E1 I1 + E2 I2 = R1 I12 + R2 I22 + R3 I32, 2080 = 2080. Получили тождество, следовательно, решение верно. Метод позволяет уменьшить количество уравнений при небольшом количестве независимых контуров. Недостаток – метод применяется только для расчета линейных цепей. Метод двух узлов Метод является частным вариантом метода узловых потенциалов. Применяется только в цепях с двумя узлами. Алгоритм решения задач методом двух узлов 1. Направить токи от узла b к узлу а. 2. Указать направление напряжения U узла a к узлу b. 3. Определить Uab. ∑ ±𝐸 𝐺 1 𝑈𝑎𝑏 = ∑ к к, где 𝐺к = – проводимость, знак минус, если ЭДС 𝐺к 𝑅к противоположна току. 4. Определить токи в ветвях: ±𝐸 −𝑈 𝐼к = к 𝑎𝑏 , знак минус, если ЭДС противоположна току. 𝑅к 5. Если ток получился со знаком минус, изменить его направление на противоположное. 6. Проверить результат по уравнению баланса мощностей. 92 Задача Рис. П 1. 6. Схема с обозначением межузлового напряжения Определить токи в ветвях методом двух узлов (рис. П 6). 1. Направляем токи от узла b к узлу a (стрелки сплошной линией). 2. Указываем направление напряжения Uab узла a к узлу b. 3. Определяем Uab. 1 1 𝐸1 𝐺1 − 𝐸2 𝐺2 80 6 − 64 4 𝑈𝑎𝑏 = = 1 1 1 = −4В. 𝐺1 + 𝐺2 + 𝐺3 + + 6 4 4 4. Определяем токи в ветвях: +𝐸 −𝑈 80+4 −𝐸 −𝑈 −64+4 𝐼1 = 1 𝑎𝑏 = = 14𝐴, 𝐼2 = 2 𝑎𝑏 = = −15𝐴, 𝐼3 = 𝑅1 −𝑈𝑎𝑏 𝑅3 6 = 4 46 𝑅2 4 = 1𝐴. 5. Меняем направление тока I2 (стрелка штриховой линией). 6. Проверяем результат по уравнению баланса мощностей. Оба источника работают в режиме генерирования: ΣPист =Σ Pпотр, E1 I1 + E2 I2 = R1 I12 + R2 I22 + R3 I32, 2080 = 2080. Получили тождество, следовательно, решение верно. Метод суперпозиции Метод основан на принципе суперпозиции. Ток и напряжение каждой ветви цепи равен сумме (с учетом знака) токов и соответственно напряжений, создаваемых каждым из источников. Метод применим только для линейных цепей. 93 Алгоритм решения задач методом суперпозиции 1. Разделить исходную схему на отдельные частные схемы, в каждой из которых только один источник. Остальные источники заменить их внутренними сопротивлениями. 2. Определить токи в ветвях частных схем. 3. Определить токи в ветвях исходной схемы, как сумму (с учетом знака) токов в тех же ветвях. 4. Проверить результат по уравнению баланса мощностей. Задача Рис. П 1. 7. Исходная схема Определить токи в ветвях методом наложения (рис. П 7). 1. Разделим исходную схему на отдельные частные схемы (рис. П 8) Рис. П 1. 8. Схема с разделением на частные схемы 2. Определим токи в ветвях частных схем: 𝑅2 𝑅3 𝑅23 = = 2 Ом; 𝑅2 + 𝑅3 ′ 𝐸1 𝑈𝑎𝑏 ′ ′ ′ ′ 𝐼1 = = 10 А; 𝑈𝑎𝑏 = 𝑅23 𝐼1 = 20 В; 𝐼2 = = 5 А; 𝑅1 + 𝑅23 𝑅2 ′ 𝑈𝑎𝑏 𝑅1 𝑅3 𝐸2 ′ 𝐼3 = = 5 А; 𝑅13 = = 2,4 Ом; 𝐼2′′ = = 10 А; 𝑅3 𝑅1 + 𝑅3 𝑅2 + 𝑅13 ′′ ′′ 𝑈𝑎𝑏 𝑈𝑎𝑏 ′′ ′′ ′′ ′′ 𝑈𝑎𝑏 = 𝑅13 𝐼2 = 24 В; 𝐼1 = = 4 А; 𝐼3 = = 6 А. 𝑅1 𝑅3 3. Определим токи в ветвях исходной схемы. 𝐼1 = 𝐼1′ + 𝐼1′′ = 14 А; 𝐼2 = 𝐼2′ + 𝐼2′′ = 15 А; 𝐼3 = 𝐼3′′ − 𝐼3′ = 1 А. 94 4. Проверка результата по уравнению баланса мощностей. Оба источника работают в режиме генерирования. ΣPист =Σ Pпотр, E1 I1 + E2 I2 = R1 I12 + R2 I22 + R3 I32, 2080 = 2080. Получили тождество, следовательно, решение верно. Метод эквивалентного генератора Метод используется для частичного анализа электрических цепей. Он позволяет рассчитать ток в одной ветви без расчета всей цепи. Метод основан на теореме об активном двухполюснике:«Любой многоэлементный активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным двухэлементным двухполюсником, состоящим из источника ЭДС или тока соответственно с внутренним сопротивлением или внутренней проводимостью.» Рассмотрим схему, в которой нужно определить ток в ветви ab. Выделим эту ветвь, а всю остальную схему представим в виде активного двухполюсника (рис. П 9). Рис. П 1. 9. Схема замещения эквивалентного активного двухполюсника Согласно теореме об активном двухполюснике можно составить эквивалентную схему, в которой из уравнения Uab = Eэ – RэIm необходимо определить Eэ и Rэ. Для этого рассмотрим два режима. 1) режим холостого хода: Im = 0;Eэ = Uabхх; 𝐸 2) режим короткого замыкания: Uab = 0;𝑅э = э. Затем по закону Ома определяется ток Im. 𝑈 +𝐸 𝐼𝑚 = 𝑎𝑏𝑥𝑥 𝑚. 𝐼к 𝑅Э +𝑅𝑚 Алгоритм решения задач методом эквивалентного генератора 1. Определить напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab. 2. Определить входное сопротивление Rвх = Rэ схемы по отношению к зажимам ab, при этом все источники заменяются их внутренними сопротивлениями. 95 3. По закону Ома определяется ток в ветви ab. Задача Рис. П 1. 10. Исходная схема 1. Размыкаем ветвь ab и определяем напряжение холостого хода. Рис. П 1. 11. Схема для определения напряжения холостого хода 𝐸2 = 8 А, 𝑅2 + 𝑅3 𝑈𝑎𝑏хх = 𝑅3 𝐼 = 32 В. 2. Определяем входное сопротивление схемы, учитывая, что внутреннее сопротивление источника равно 0. 𝐼= Рис. П 1. 12. Схема определения входного сопротивления 𝑅2 𝑅3 = 2 Ом. 𝑅2 + 𝑅3 3. По закону Ома определяем ток I1. 𝑅вх = 96 Рис. П 1. 13. Схема определения тока I1 𝐼1 = 𝐸1 + 𝐸Э 80 + 32 = = 14 𝐴. 𝑅1 + 𝑅вх 6+2 Расчет цепей однофазного синусоидального тока Для таких цепей возможно два варианта алгоритма расчета. Вариант 1 1. Все величины перевести в комплексную форму. Если напряжение задано в виде действующего значения, то начальную фазу можно задать произвольно (обычно равной нулю). Например, если задано U, то можно записать 𝑈̇ = 𝑈𝑒 𝑗0° . 2. Преобразовать схему до простейшей, в которой только одно комплексное сопротивление. 3. Рассчитать неизвестные токи и напряжения. 4. Проверить результат по уравнению баланса мощности и определить коэффициент мощности. 5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. Вариант 2 (для простых схем) 1. Определить действующие значения заданных ЭДС, токов и напряжений. 2. Рассчитать действующие значения токов и напряжений на отдельных участках цепи. 3. Определить углы сдвига фаз между токами и напряжениями. 4. Определить активные, реактивные, полные, а также суммарные мощности и коэффициент мощности. 5. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. 97 Задача Рис. П 1. 14.Исходная схема Исходные данные: R=4 Ом, L=10 мГн, С=1062 мкФ, u=140sin(314t+30º)B. Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений. 1. Переводим все величины в комплексную форму. 𝑈 140 Действующее значение напряжения U = 𝑚 = = 100. √2 √2 𝑈̇ = 100 ej30ºB; XL = ωL = 314 10 10 -3 = 3 Ом; 1 1 𝑋𝐶 = = = 3 Ом. 𝜔𝐶 314 ∙ 1062 ∙ 10−6 2. Представим схему в виде комплексных сопротивлений (рис.П 15). i1 Z1 a U i3 i2 U1 U2 Z2 Z3 b Рис. П 1. 15. Схема с комплексными сопротивлениями 3. Определяем комплексные сопротивления. В алгебраической форме Z1 = R + jXL = 4 + j3Ом; Z2 = R = 4Ом; Z3 = R – jXC = 4 – j3Ом. В показательной форме Z1 =√𝑅 2 𝑋 𝑋𝐿2 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑅 + = 5𝑒 𝑗37° Ом; Z2 = R = 4 Ом; 𝑋 Z3 =√𝑅 2 + 𝑋𝐶2 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑅 = 5𝑒 −𝑗37° Ом. 98 4. Преобразуем схему (рис.П 16). i1 Z1 a Z1 i1 a i3 i2 U1 U i1 U1 U2 Z2 Z3 U b U2 Z23 U Z b Рис. П 1. 16. Свёртка схемы (замена сопротивлений на одно – эквивалентное) 5. Определим сопротивления схем. 1 1 1 16 − 𝑗12 = + ; 𝑍23 = . 𝑍23 𝑍2 𝑍3 8 − 𝑗3 Чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе, числитель и знаменатель умножим на сопряженное комплексное число знаменателя, т. е. на комплексное число, у которого знак перед мнимой частью изменен на противоположный. 16 − 𝑗12 (16 − 𝑗12)(8 + 𝑗3) 𝑍23 = = = 2,246 – 𝑗0,657 Ом, 8 − 𝑗3 (8 − 𝑗3)(8 + 𝑗3) Z23 = 2,34e –j16,3ºОм, Z = Z1+Z23= 6,246 + j2,343Ом,Z = 6,67 e j20,6ºОм. 6. Определим входной ток. 𝑈̇ 100𝑒 𝑗30º ̇𝐼1 = = = 15𝑒 𝑗9,4º 𝐴. 𝑗20,6º 𝑍 6,67𝑒 Представим ток в алгебраической форме записи (по формуле Эйлера): 𝐼1̇ = 15cos9,4º + j15sin9,4º = 14,8 + j2,45A. 7. Определим напряжение 𝑈2̇ : 𝑈2̇ =Z23𝐼1̇ = 2,34e–j16,3º∙15ej9,4º = 35,1e–j6,9ºB, 𝑈̇ 2 = 35,1 cos6,9º - j35,1 sin6,9º = 34,85 – j4,22 B. 8. Определим остальные токи: 𝑈̇ 2 35,1𝑒 −𝑗6,9º ̇ 𝐼2 = = = 8,77𝑒 −𝑗6,9º А, 𝑍2 4 𝐼2̇ = 8,7 – j1,05 A, 𝑈̇ 35,1𝑒 −𝑗6,9º 𝑗30,1º 𝐼3̇ = 2 = А, −𝑗37º = 7,02𝑒 𝑍3 5𝑒 𝐼3̇ = 6,07 + j3,52A. 9. Проверим токи по первому закону Кирхгофа: 𝐼1̇ = 𝐼2̇ + 𝐼3̇ = 14,77 + j2,47 = 15 ej9,4ºA. 99 10. Определим напряжение 𝑈1̇ : 𝑈̇ 1 = 𝐼1̇ Z1= 15ej9,4º 5ej37º = 75ej46,4º B, 𝑈̇ 1 = 51,7 + j54,3 B. 11. Проверим напряжения по второму закону Кирхгофа: 𝑈̇ =𝑈1̇ + 𝑈2̇ = 86,55 + j50,08 = 100ej30º B. 12. Проверка по балансу мощностей: ∑ Sист= ∑ Sпотр или ∑ Pист= ∑ Pпотр, ∑ Qист= ∑ Qпотр. ∑ Sист= 𝑈̇𝐼1̇ *, где𝐼1̇ *- сопряженный комплекс тока. ∑ Sист= 100ej30º 15 e -j9,4º = 1500ej20,6 º=1500cos20,6º + +j1500sin20,6º = 1404+j528 BA, Pист= 1404 Вт,Qист= 528Вар, ∑ Pпотр=R1𝐼1̇ 2+ R2𝐼2̇ 2 + R3𝐼3̇ 2= 4(152 + 8,772 + 7,022) = 1404Вт, ∑ Qпотр=XL𝐼1̇ 2-XС𝐼3̇ 2= 3(152 – 7,022) = 528Вар. 13. Определим коэффициент мощности 𝑃 1404 cos 𝜑 = = = 0,936. 𝑆 1500 14. Построение векторной диаграммы токов и напряжений рис. П 17. Построить векторную диаграмму, это значит на комплексной плоскости изобразить векторные уравнения токов и напряжений. 𝑈̇= 𝑈1̇ + 𝑈2̇ , где𝑈̇ = 100ej30ºB,𝑈1̇ = 75ej46,4º B,𝑈2̇ = 35,1e–j6,9ºB. 𝐼1̇ = 𝐼2̇ + 𝐼3̇ , где 𝐼1̇ =15 e j9,4ºA,𝐼2̇ =8,77 e –j6,9º A,𝐼3̇ =7,02ej30,1ºA. +j U U1 I3 30o U2 46,2 I1 o 9,4o o -6,9 I2 +1 Рис. П 1. 17. Векторная диаграмма схемы Задача Определить ток, напряжения, мощности, коэффициент мощности и построить векторную диаграмму тока и напряжений для схемы рис. П 18. 100 I XC R U1 U U2 Рис. П 1. 18. Схема последовательного соединения RC -цепи Дано: U = 100B, R = 3Ом, XC = 4Ом. Поскольку схема простая, можно использовать два варианта алгоритма расчета. 1. Определим полное сопротивление цепи Z =√𝑅 2 + 𝑋𝐶2 = 5Ом. 𝑈 2. По закону Ома определим входной ток 𝐼 = = 20 А. 𝑍 3. Определим угол сдвига фаз между входным током и входным напря𝑋 жением φ = −arctg 𝐶 = −53°. 𝑅 4. Входной ток опережает входное напряжение на 53º. 5. Определим напряжение U1 и угол сдвига фаз между напряжением U1 и током: U1 = R I = 60 В, φ1= 0. Ток совпадает по фазе с напряжением. 6. Определим напряжение U2 и угол сдвига фаз между напряжением U2 и током. U2 = XC I = 80 B, φ2 = - 90º. Ток опережает напряжение U2 на 90º. 7. Проверим результат по второму закону Кирхгофа U = √𝑈12 + 𝑈22 = 100B. 8. Определим активную мощность P = RI2 = 1200 Вт. 9. Определим реактивную мощность Q = XC I2 = 1600 Вар. 10. Определим полную мощность S = √𝑃2 + 𝑄 2 = 2000 BA. 𝑃 11. Определим коэффициент мощности cos 𝜑 = = 0,6. 𝑆 12. Строим векторную диаграмму. В качестве базисного вектора здесь удобно взять вектор тока. Направим его по оси действительных чисел. (рис. П 1. 19). +j İ U1 +1 o 53 U2 U Рис. П 1. 19. Векторная диаграмма RC -цепи 101 Расчет трехфазных цепей Соединение в «звезду» Алгоритм решения задач 1. Обозначить на схеме все токи и напряжения. 2. Определить фазные напряжения генератора. 3.Определить комплексные фазные сопротивления потребителя энергии. 4. Определить напряжение смещения нейтрали: 𝑈̇𝐴 𝑌𝑎 + 𝑈̇𝐵 𝑌𝑏 + 𝑈̇𝐶 𝑌𝑐 𝑈̇𝑁𝑛 = . 𝑌𝑎 + 𝑌𝑏 + 𝑌𝑐 + 𝑌𝑁 Если нагрузка симметричная(Za = Zb = Zc) или есть нейтральный провод, сопротивление которого равно нулю, то 𝑈̇𝑁𝑛 = 0. 5. Определить фазные напряжения потребителя энергии: 𝑈̇𝑎 = 𝑈̇𝐴 -𝑈̇𝑁𝑛 ,𝑈̇𝑏 = 𝑈̇𝐵 -𝑈̇𝑁𝑛 ,𝑈̇𝑐 = 𝑈̇𝐶 -𝑈̇𝑁𝑛 . 6. Определить линейные токи: 𝑈̇ 𝑈̇ 𝑈̇ ̇𝐼𝐴 = 𝑎 , 𝐼𝐵̇ = 𝑏 , 𝐼𝐶̇ = 𝑐 . 𝑍𝑎 𝑍𝑏 𝑍𝑐 7. Определить ток в нейтрали: 𝐼𝑁̇ = 𝐼̇𝐴 + 𝐼𝐵̇ + 𝐼𝐶̇ . 8. Проверить результат по уравнению баланса мощностей: ∑ Sист= ∑ Sпотр, ∑ Sист= SA+SB+SC= 𝑈̇𝐴 𝐼𝐴̇ *+ 𝑈̇𝐵 𝐼𝐵̇ *+𝑈̇𝐶 𝐼𝐶̇ *, ∑ Sпотр= P + jQ, P = RaIA2 + RbIB2 + RcIC2, Q =± XaIA2±XbIB2 ± XСIC2, где (+) – для индуктивного сопротивления XL, (--) – для емкостного сопротивления XC. S = √𝑃2 + 𝑄 2 . 9. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Задача Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений в схеме рис. П 20. 102 iA A UA UAB UCA N R Ua UNn iC C n Uc c Uл =380 В R = 4 Ом XL = 3 Ом XC = 3 Ом jXL jXL UC UB c R Ub jXC b UBC iB B Рис. П 1. 20. Схема трёхпроводной трёхфазной несимметричной «звезды» 1. Обозначаем на схеме все токи и напряжения. 2. Определяем фазные напряжения генератора: 𝑈л 380 𝑈ф = = = 220 В, √3 √3 𝑈̇𝐴 = 220 В, 𝑈̇𝐵 = 220𝑒 −𝑗120° В, 𝑈̇𝐶 = 220𝑒 𝑗120° В. Представим эти напряжения в алгебраической форме записи: 𝑈̇𝐴 = 220B, 𝑈̇𝐵 = (220cos120º - j220sin120º ) = -110 – j190B, 𝑈̇𝐶 = (220cos120º + j220sin120º ) = -110 + j190B. 3. Определяем фазные сопротивления потребителя энергии: Za = R + jXL= 4 + j3Ом, Za =√42 + 32 ej37º=5 ej37º Ом, Zb= R - jXC= 4 -j3Ом, Zb=√42 + 32 e-j37º=5 e -j37º Ом, Zc= jXL= j3 = 3 ej90ºОм. 4. Определяем напряжение смещения нейтрали: 𝑈̇𝐴 𝑌𝑎 + 𝑈̇𝐵 𝑌𝑏 + 𝑈̇𝐶 𝑌𝑐 ̇ 𝑈𝑁𝑛 = . 𝑌𝑎 + 𝑌𝑏 + 𝑌𝑐 + 𝑌𝑁 Комплексные фазные проводимости: 1 1 4 − 𝑗3 4 − 𝑗3 𝑌𝑎 = = = = = 0,16 − 𝑗0,12 См, 𝑍𝑎 4 + 𝑗3 (4 + 𝑗)(4 − 𝑗3) 25 1 1 4 + 𝑗3 4 + 𝑗3 𝑌𝑏 = = = = = 0,16 + 𝑗0,12 См, 𝑍𝑏 4 − 𝑗3 (4 − 𝑗)(4 + 𝑗3) 25 𝑌𝑐 = 1 𝑍𝑐 = 1 𝑗3 = −𝑗0,33 См, YN=0, 103 𝑈̇𝑁𝑛 = 220(0,16 − 𝑗0,12) + (−110 – 𝑗190)(0,16 + 𝑗0,12) + (−110 + 𝑗190)(−𝑗0,33) = 0,16 – 𝑗0,12 + 0,16 + 𝑗0,12 – 𝑗0,33 (103,1 – 𝑗33,7)(0,32 + 𝑗0,33) 44,1 + 𝑗23,2 = = = 210 + 𝑗110 B. (0,32 – 𝑗0,33)(0,32 + 𝑗0,33 ) 0,21 Представим напряжение смещения нейтрали в показательной форме записи. 𝑈̇𝑁𝑛 = √2102 + 1102 𝑒 𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔110 / 210 = 237 𝑒 𝑗27,6º B. 5. Определим фазные напряжения потребителя энергии: ̇ 𝑁𝑛 = 220 – 210 – j110 = 10 – j110B, 𝑈̇𝑎 = 𝑈̇𝐴 −𝑈 𝑈̇𝑏 = 𝑈̇𝑏 − 𝑈̇𝑁𝑛 = -110 – j190 – 210 – j110 = -320 – j300B, 𝑈̇𝑐 = 𝑈̇𝐶 − 𝑈̇𝑁𝑛 = -110 + j190 – 210 – j110 = -320 + j80B. Действующие значения этих напряжений: 𝑈̇𝑎 = √102 + 1102 = 110,5B,𝑈̇𝑏 =√3202 + 3002 = 438,6B, 𝑈̇𝑐 = √3202 + 802 = 330B. Так как нагрузка несимметрична и отсутствует нейтральный провод, фазные напряжения – разные. 6. Определим линейные токи: 𝑈̇ ( 10 – 𝑗110 )( 4 – 𝑗3 ) ̇𝐼𝐴 = 𝑎 = = −11,6 – 𝑗18,8 A, 𝑍𝑎 ( 4 + 𝑗3 )( 4 – 𝑗3 ) 𝑈̇𝑏 ( −320 – 𝑗300 )( 4 + 𝑗3 ) 𝐼𝐵̇ = = = −15,2 – 𝑗86,4 A, 𝑍𝑏 ( 4 − 𝑗3 )( 4 + 𝑗3 ) 𝑈̇𝑏𝑐 ( −320 + 𝑗80 )( − 𝑗3 ) 𝐼𝐶̇ = = = 26,7 + 𝑗106,4 A. 𝑍𝑐 ( 𝑗3 )(− 𝑗3 ) Действующие значения этих токов IA= √1162 + 18,82 = 22A,IB= √15,22 + 86,42 = 87,7A, IC = √26,72 + 106,72 = 110A. 7. Проверяем наличие тока в нейтрали: 𝐼𝑁̇ =𝐼𝐴̇ + 𝐼𝐵̇ + 𝐼𝐶̇ = -11,6– j18,8 – 15,2 – j86,4 + 26,7 + j106,4 = 0. 8. Проверим результат по уравнению баланса мощностей. ∑ Sист= SA+SB+SC= 𝑈̇𝐴 𝐼𝐴̇ *+ 𝑈̇𝐵 𝐼𝐵̇ *+𝑈̇𝐶 𝐼𝐶̇ * =220(-11,6 + j18,8)+(-110– – j190)(-15,2 + j86,4) + (-119 + j190)(26,7 – j106,7)= 32,8 + j14,3кВА, Pпотр =RaIA2 + RbIB2= 4٠222 + 4٠87,72 = 32,7 кВт, Qпотр = XLIA2-XcIB2 + XLIC2 = 3٠222 - 3٠87,72 + 3٠1102 = 14,6 кВар, Sпотр = √𝑃2 + 𝑄2 = 35,8 кВА, ∑ Sпотр= P + jQ = 32,7 + j14,6 кВА, ∑ Sист= ∑ Sпотр. 104 С учетом погрешности округления цифр результаты расчета правильны. 9. Строим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. П 21). +1 iC Ua iA n A iB UNn UA Uc UCA Ub +j UAB N UC C UB B UBC Рис. П 1. 21. Векторная диаграмма трёхпроводной трёхфазной несимметричной «звезды» Задача iA A UA UAB UCA a R Ua Uл =380 В R = 4 Ом XL = 3 Ом XC = 3 Ом jXL iN N UC C UB n R jXL iC c Uc Ub jXC b UBC iB B Рис. П 1. 22. Схема четырёхпроводной трёхфазной несимметричной «звезды» Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений. В данной схеме есть нейтральный провод, поэтому каждую фазу можно рассчитывать как однофазную цепь. 1. Обозначим на схеме все токи и напряжения. 2. Определяем фазные напряжения генератора: 𝑈л 380 𝑈ф = = = 220 В, √3 √3 𝑈̇𝐴 = 220 В, 𝑈̇𝐵 = 220𝑒 −𝑗120° В, 𝑈̇𝐶 = 220𝑒 𝑗120° В. Представим их в алгебраической форме записи: 105 𝑈̇𝐴 = 220B, 𝑈̇𝐵 = (220cos120º - j220sin120º ) = -110 – j190B, 𝑈̇𝐶 = (220 cos120º + j220 sin120º ) = -110 + j190B. 3. Определим полные сопротивления фаз и углы сдвига фаз между фазными токами и фазными напряжениями: 𝑋 Za=√𝑅 2 + 𝑋𝐿2 = 5Ом,φ′𝑎 = arctg 𝐿 = 37°, =√𝑅 2 Ом,φ′𝑏 𝑅 𝑋𝐶 5 = −arctg = −37°, 𝑅 Zc = XL = 3 Ом, φ'c= 90º. 4. Сопротивление нейтрального провода равно нулю UNn = 0. На векторной диаграмме точки n и N совпадут. В этом случае фазные напряжения потребителя энергии равны фазным напряжениям генератора. Получаем симметричную систему фазных напряжений потребителя Ua= Ub =Uc = Uф = 220 В. 5. Определим действующие значения линейных токов: 𝑈ф 220 𝑈ф 220 𝑈ф 220 𝐼𝐴 = = = 44 А, 𝐼𝐵 = = = 44 А, 𝐼𝐶 = = = 73 А. 𝑍𝑎 5 𝑍𝑏 5 𝑍𝑐 3 6. Ток в нейтральном проводе можно определить из векторной диаграммы, сложив векторы линейных токов 𝐼𝑁̇ = 𝐼𝐴̇ + 𝐼𝐵̇ + 𝐼𝐶̇ . Его можно определить и численно, но в этом случае необходимо углы сдвига фаз привести к началу координат: φa= 0-φ'a= 0 -37º = - 37º, φb= -120º - φ'b= -120º - ( -37º ) = -83º, φc=120º - φ'c= 120º - 90º = 30º. Линейные токи и ток в нейтральном проводе можно представить в комплексной форме: 𝐼𝐴̇ = IA e–j37º= 44 e –j37 º= 44cos37º - j44 sin37º = 35,14- j26,5A, 𝐼𝐵̇ = IBe–j83º = 44 e –j83 º= 44 cos83º - j44 sin 83º = 5,4 – j43,7 A, 𝐼𝐶̇ = ICej30º = 73ej30 º= 73cos 30º + j73 sin 30º = 63,2+ j36,5 A, 𝐼𝑁̇ = 𝐼𝐴̇ + 𝐼𝐵̇ + 𝐼𝐶̇ = 103,74 – j33,7 =109e–j18 ºA. 7. Проверяем результат по уравнению баланса мощностей: ∑ Sист= SA+SB+SC= 𝑈̇𝐴 𝐼𝐴̇ *+ 𝑈̇𝐵 𝐼𝐵̇ *+𝑈̇𝐶 𝐼𝐶̇ * = 220(35,14 – j26,5) +(-110– – j190 )(5,4 – j43,7) + (-119 + j190 )(63,2 + j36,5)= 15,2 + +j16 кВА, Pпотр =RaIA2 + RbIB2 = 4٠442 + 4٠44 = 15,5 кВт, Qпотр =XLIA2 -XCIB2 + XLIC2= 3٠442 - 3٠442+ 3٠732 = 16 кВАр; Sпотр = √𝑃2 + 𝑄2 = 22,3кВА, ∑ Sпотр= P + jQ = 15,5 + j16кВА, ∑ Sист= ∑ Sпотр. С учетом погрешности округления цифр результаты расчета правильны. Zb + 𝑋𝐶2 = 106 8. Строим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. П 23). +1 IN A IC UA UAB IA UCA 37o o IB 90 +j 37o Nn UC C UB B UC A Рис. П 1. 23. Векторная диаграмма четырёхпроводной трёхфазной несимметричной звезды Задача iA A UA UAB UCA a Uл =220 В R = 3 Ом XC = 4 Ом R Ua jXC N jXC UC C UB R n R jXC iC c Uc Ub b UBC iB B Рис. П 1. 24. Схема трёхпроводной трёхфазной симметричной «звезды» Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений. 1. Определяем фазное напряжение 𝑈л 220 𝑈ф = = = 127 В. √3 √3 2. Определяем комплексные сопротивления фаз Zф = Za = Zb = Zc=R - jXC. Комплексные сопротивления фаз равны, следовательно, нагрузка симметричная 𝑈̇𝑁𝑛 = 0 и 𝐼𝑁̇ = 0. Нейтральный провод в данной схеме не нужен. 107 3. Определяем полные сопротивления фаз и углы сдвига фаз между линейными токами и фазными напряжениями: 𝑋 2 Zф=√𝑅 2 + 𝑋𝐶 = 5 Ом,φ = −arctg 𝐶 = −53°. 𝑅 4. Определяем действующие значения линейных токов: 𝑈ф 127 𝐼л = 𝐼ф = = = 25,4 А. 𝑍ф 5 5. Определяем активную, реактивную и полную мощности: P = √3UлIлcosφ =√3 ∙220 25,4 cos 53º =5,82 кВт, Q = √3UлIлsinφ =√3 ∙220 25,4 sin 53º=7,72кВАр, S = √3UлIл= 9.667кВA. 6. Строим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. П 25). +1 A IA UA UCA 53 +j UAB IB o n UC 53o 53o UB N C UBC B IC Рис. П 1. 25. Векторная диаграмма трёхпроводной трёхфазной симметричной «звезды» 108 Соединение в «треугольник» Алгоритм решения задач 1. Определить фазные напряжения. 2. Определить комплексные сопротивления фаз. 3. Определить фазные токи. 4. Определить линейные токи. 5. Проверить правильность решения. Сумма комплексных линейных токов должна быть равна нулю. 6. Определить активную, реактивную и полную мощности. 7. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. Задача iA A a iab UAB UCA R R Uл =220 В R = 3 Ом XL = 4 Ом XC = 4 Ом jXC ica jXL R iC C c b ibc UBC B iB Рис. П 1. 26. Схема трёхфазного несимметричного «треугольника» Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений. 1. Определим фазные напряжения потребителя энергии. Они равны линейным напряжениям генератора: 𝑈̇Ф =𝑈̇Л , 𝑈̇𝐴𝐵 = 220 B, 𝑈̇𝐵𝐶 = 220 e –j120º=220cos120º - j220sin120º= -110 – j190 B, 𝑈̇𝐶𝐴 =220 ej120º=220cos120º + j220sin120º= -110 + j190 B. 2. Определим комплексные сопротивления фаз: 𝑍𝑎𝑏 = 𝑅 − 𝑗𝑋𝐶 = 3 − 𝑗4 = 5𝑒 −𝑗53° Ом, 𝑍𝑏𝑐 = 𝑅 + 𝑗𝑋𝐶 = 3 + 𝑗4 = 5𝑒 𝑗53° Ом, 𝑍𝑎𝑏 = 𝑅 = 3 Ом. 109 3. Определяем фазные токи: 𝑈̇ 220(3 + 𝑗4) ̇𝐼𝑎𝑏 = 𝐴𝐵 = = 24,6 + 𝑗35,2 А, 𝑍𝑎𝑏 (3 − 𝑗4)(3 + 𝑗4) 𝑈̇ (−110 − 𝑗190)(3 − 𝑗4) ̇𝐼𝑏𝑐 = 𝐵𝐶 = = −43,6 − 𝑗5,2 А, 𝑍𝑏𝑐 (3 + 𝑗4)(3 − 𝑗4) 𝑈̇ −110 − 𝑗190 ̇ = 𝐶𝐴 = 𝐼𝑐𝑎 = −36,7 + 𝑗63,3 А. 𝑍𝑐𝑎 3 Действующие значения этих токов: 𝐼𝑎𝑏 = √24,62 + 35,22 = 44 А, 𝐼𝑏𝑐 = √43,62 + 5,22 = 44 А, 𝐼𝑐𝑎 = √36,72 + 63,32 = 73 А. 4.Определим линейные токи: ̇ − 𝐼𝑐𝑎 ̇ = 63,1 − 𝑗28,1 А, 𝐼𝐵̇ = 𝐼𝑏𝑐 ̇ − 𝐼𝑎𝑏 ̇ = −70 − 𝑗40,4 А, 𝐼𝐴̇ = 𝐼𝑎𝑏 ̇ − 𝐼𝑏𝑐 ̇ = 6,9 + 𝑗68,5 А. 𝐼𝐶̇ = 𝐼𝑐𝑎 Действующие значения этих токов: 𝐼𝐴 = √63,12 + 28,12 = 69 А, 𝐼𝐵 = √702 + 40,42 = 80,8 А, 𝐼𝐶 = √6,92 + 68,52 = 68,8 А. 5. Проверим правильность полученного результата 𝐼𝐴̇ + 𝐼𝐵̇ + 𝐼𝐶̇ = 0. Результаты расчета верны. 6. Определим активную, реактивную и полную мощности: 2 2 2 𝑃 = 𝑅𝐼𝑎𝑏 + 𝑅𝐼𝑏𝑐 + 𝑅𝐼𝑐𝑎 = 3(442 + 442 + 732 ) = 27,6 кВт, 2 2 𝑄 = 𝑋𝐿 𝐼𝑏𝑐 − 𝑋𝐶 𝐼𝑎𝑏 = 0, 𝑆 = 𝑃 = 27,6 кВА. 7. Строим векторную диаграмму токов и напряжений рис. П 27. +1 UAB Iab 53o IA +j IB Ica 53o Ibc UCA IC UBC Рис. П 1. 27. Векторная диаграмма трёхфазного несимметричного треугольника 110 Задача iA A Uл =220 В R = 3 Ом XC = 4 Ом a iab UAB UCA R R jXC jXC ica C jXC R iC c b ibc UBC iB B Рис. П 1. 28. Схема трёхфазного симметричного «треугольника» Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений. Нагрузка симметричная, т.к. комплексные сопротивления фаз равны. 1. Определим действующее значение фазного напряжения: Uф= Uл= 220В. 2. Определим полные сопротивления фаз и углы сдвига фаз между фазными токами и фазными напряжениями. 2 Zф=√𝑅 2 + 𝑋𝐶 = 5 Ом,φ = −arctg 𝑋𝐶 𝑅 = −53°. Фазные токи опережают фазные напряжения на 53º. 3.Определим действующее значение фазных токов 𝑈л 𝐼л = = 44 А. 𝑍ф 4. Определим действующее значение линейных токов 𝐼л = √3𝐼ф = 76,2 А. 5. Определим активную, реактивную и полную мощности: P = √3UлIлcosφ =√3 ∙220 76,2 cos 53º =17,4 кВт, Q = √3UлIлsin53о= 23,2кВАр, S = √3UлIл= 29кВA. 6. Строим векторную диаграмму токов и напряжений рис. П 29. 111 +1 UAB IB o 53 Ibc Iab +j IA 53o 53o Ica I C UBC UCA Рис. П 1. 29. Векторная диаграмма трёхфазного симметричного «треугольника» 112 Приложение 2 Самостоятельная работа №1 a c e b 1. Определить токи в схеме (рис. П 2.1) методом непосредственного применения законов R1 Кирхгофа. 2. Определить токи методом двух узлов. 3. Определить токи методом суперпозиции. 4. Определить ток в ветви с R3 методом эквивалентного генератора. d f R2 R3 Рис. П 2.1. Таблица П 2.1 Еab Еcd Eef Вариант Eab В 8 6 22 4 10 15 14 18 14 4 6 8 7 4 5 16 6 5 22 30 25 12 13 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 113 Ecd В 20 10 8 4 7 9 6 20 8 6 14 12 12 8 9 10 12 9 15 11 14 8 Eef В 6 8 12 15 12 14 11 12 10 8 12 18 4 11 16 6 4 13 15 8 7 17 R1 Ом 4 8 6 11 6 3 5 7 10 12 5 7 12 14 4 4 3 15 6 8 7 6 12 15 17 11 6 5 R2 Ом 8 14 9 4 12 6 8 11 8 6 12 8 8 9 6 6 6 8 11 12 8 4 16 20 12 6 16 12 R3 Ом 10 3 2 18 16 10 6 3 4 15 20 3 6 18 9 11 12 6 8 10 11 8 10 8 6 14 10 4 Самостоятельная работа №2 R1 a R5 R6 b R4 c e d f R2 R3 Рис. П 2.2. Определить токи в ветвях схемы (рис. П 2.2) методом контурных токов. Таблица П 2.2 Еab Еcd Eef Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Eab В 8 6 22 4 10 15 14 18 14 4 6 8 7 4 5 16 6 5 22 30 25 12 13 8 Ecd В 20 10 8 4 7 9 6 20 8 6 14 12 12 8 9 10 12 9 15 11 14 8 Eef В 6 8 12 15 12 14 11 12 10 8 12 18 4 11 16 6 4 13 15 8 7 17 114 R1 Ом 4 8 6 11 6 3 5 7 10 12 5 7 12 14 4 4 3 15 6 8 7 6 12 15 17 11 6 5 R2 Ом 8 14 9 4 12 6 8 11 8 6 12 8 8 9 6 6 6 8 11 12 8 4 16 20 12 6 16 12 R3 Ом 10 3 2 18 16 10 6 3 4 15 20 3 6 18 9 11 12 6 8 10 11 8 10 8 6 14 10 4 R4 Ом 2 5 7 9 10 12 11 4 5 6 7 8 9 11 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 9 R5 Ом 6 9 11 13 14 15 14 2 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 11 R6 Ом 3 6 8 10 11 13 8 6 7 8 9 10 11 12 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 14 Самостоятельная работа №3 a b 1 c e d f u 2 Рис. П 2.3. Определить токи в ветвях, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы (рис. П 2.3), поставив соответствующие элементы из таблицы П 2.3. Таблица П 2.3 a-b c-d e-f Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 25 27 28 29 30 115 u R L C B 50sin(314t + 20º) 100sin(314t + 30º) 200sin(628t + 40º) 300sin(314t + 50º) 400sin(314t + 60º) 500sin(628t + 20º) 50sin(314t + 30º) 100sin(314t + 40º) 200sin(628t + 50º) 300sin(314t + 60º) 400sin(314t + 20º) 500sin(628t + 30º) 50sin(314t + 40º) 100sin(314t + 50º) 200sin(628t + 60º) 300sin(314t + 20º) 400sin(314t + 30º) 500sin(628t + 40º) 50sin(314t + 50º) 100sin(314t + 60º) 200sin(628t + 20º) 300sin(314t + 30º) 400sin(314t + 40º) 500sin(628t + 50º) 50sin(314t + 60º) 100sin(314t + 20º) 200sin(628t + 30º) 300sin(314t + 40º) 400sin(314t + 50º) 500sin(628t + 60º) Ом 5 10 7 10 20 15 5 7 10 10 15 20 5 10 7 10 15 20 10 7 15 10 15 20 5 7 10 10 15 20 мГн 10 20 5 20 10 10 10 20 5 20 10 10 10 30 15 10 20 10 10 20 5 10 20 15 20 10 10 10 30 15 мкФ 531 1062 531 1062 361 180 361 531 531 1062 361 180 1062 361 531 531 361 180 1062 531 531 361 1062 180 1062 531 531 361 531 180 Самостоятельная работа №4 a A 1 2 N c C B n 6 5 3 4 b Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы (рис. П 2.4). Рис. П 2.4. Таблица П 2.4 5-6 1-2 3-4 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 116 Uл В 380 220 380 220 R Ом 5 3 7 10 5 3 XL Ом 7 5 7 12 5 14 3 7 8 9 5 5 7 10 8 12 14 6 3 7 3 5 8 12 7 5 3 5 9 8 5 4 6 3 7 9 3 8 5 4 8 6 7 3 8 7 4 5 9 XС Ом 10 3 5 9 12 7 3 4 12 10 12 5 10 9 6 12 9 10 5 10 4 12 14 Самостоятельная работа №5 Определить токи, мощности и построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы (рис. П 2.5). a A 6 1 5 C B c 2 b 3 4 Рис. П 2.5. Таблица П 2.5 1-2 3-4 5-6 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 117 Uл В 380 220 380 220 R Ом 5 3 7 10 5 3 XL Ом 7 5 7 12 5 14 3 7 8 9 5 5 7 10 8 12 14 6 3 7 3 5 8 12 7 5 3 5 9 8 5 4 6 3 7 9 3 8 5 4 8 6 7 3 8 7 4 5 9 XС Ом 10 3 5 9 12 7 3 4 12 10 12 5 10 9 6 12 9 10 5 10 4 12 14 Самостоятельная работа № 6 Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. П 2.6 – П 2.7). В цепи действует постоянная ЭДС (Е).Параметры цепи приведены в таблице 6. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка (см. рис. 15.6 – 15.13), когда L2=0, т.е. участок a-b схемы закорочен и когда С2=∞ , т. е. ветвь m-n с конденсатором С2 разомкнута. При копировании схемы элементы L2 и C2 должны отсутствовать. Определить закон изменения во времени указанной в таблице величины (тока или напряжения). Задачу следует решать двумя методами: классическим и операционным. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t= 0 доt= 3/|pmin| ,где|pmin|- меньший по модулю корень характеристического уравнения. Рис. П 2.6 Рис. П 2.7 Рис. П 2.8 Рис. П 2.9 118 Рис. П 2.10 Рис. П 2.11 Рис. П 2.12 Рис. П 2.13 119 Таблица П 2.6 Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Рисунок П 2.10 П 2.7 П 2.8 П 2.6 П 2.9 П 2.11 П 2.12 П 2.13 П 2.10 П 2.7 П 2.8 П 2.6 П 2.9 П 2.11 П 2.13 П 2.10 П 2.7 П 2.8 П 2.6 П 2.9 П 2.11 П 2.12 П 2.13 П 2.12 П 2.10 П 2.7 П 2.8 П 2.6 П 2.9 П 2.11 П 2.12 П 2.13 П 2.10 П 2.7 П 2.8 П 2.6 П 2.9 П 2.11 П 2.12 П 2.13 Е, В L1мГн 100 150 100 50 100 30 200 120 100 150 100 50 100 30 120 100 150 100 50 100 30 200 120 200 100 150 100 50 100 30 200 120 100 150 100 50 100 30 200 120 1 2 5 1 1 1 10 10 1 2 5 1 1 1 10 1 2 5 1 1 1 10 10 10 1 2 5 1 1 1 10 10 1 2 5 1 1 1 10 10 R1 C1 мкФ 10 5 50 1500 10 2.5 10 10 10 5 50 1500 10 2.5 10 10 5 50 1500 10 2.5 10 10 10 10 5 50 1500 10 2.5 10 10 10 5 50 1500 10 2.5 10 10 R2 R3 R4 Определить 5 5 2 30 15 50 1000 18 5 2 3 40 5 1000 10 5 7 4 20 8 50 1000 50 4 5 4 5 15 12 50 1000 5 5 6 1 25 10 50 1000 2 5 3 1000 1000 2 6 2 1000 2 3 1 100 1000 100 2 100 1000 2 2 4 100 1000 uL1 i2 uc1 i uL1 i3 uR3 i2 uc1 i3 i3 uL1 i3 i4 i3 uc2 uL1 i2 uc1 i1 i2 uL1 uL1 uc1 uc1 uc1 uL1 uR1 i2 uL1 i2 uc1 I i1 i1 i1 uc1 uc1 i1 i1 Ом 20 5 3 2 50 5 50 20 20 4 6 2 50 15 30 20 7 1 2 50 12 10 40 25 20 10 4 2 50 8 75 50 20 8 2 2 50 10 100 10 120 20 10 8 13 20 10 50 80 2 10 8 13 10 10 70 10 10 8 13 30 10 100 60 75 16 10 8 13 35 10 25 50 15 10 8 3 25 10 90