Электромагнетизм

УДК 538.3 (075) К 643 ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Н.А. Конева Физика. Электромагнетизм. Учебное пособие/ Н.А. Конева, С.Ф. Киселева, Ю.Ф. Иванов Под ред. Н.А. Коневой. - Учебное пособие, Томск: Изд-во Том. арх. строит. ун-та, 2002.-120 с. ISBN 5-93057-063-9 ISBN 5-93057-050-7 Н.А. Конева, С.Ф. Киселева, Ю.Ф. Иванов ФИЗИКА. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ Учебное пособие ТГАСУ Под ред. профессора Н.А. Коневой Издательство Томского государственного архитектурно-строительного университета Томск 2002 В учебном пособии представлен один из важнейших разделов курса Общей физики – «Электромагнетизм». В нем изложены основные законы электромагнетизма, контрольные вопросы и примеры решения задач. В пособие включены контрольные задания по вариантам. Учебное пособие предназначено для студентов дистантной формы обучения. Оно может быть использовано студентами дневной и заочной форм обучения. Печатается по решению Редакционно-издательского совета ТГАСУ. Рецензент доктор физико-математических наук, профессор С.Н. Кульков доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Гриняев ISBN 5-93057-063-9 ISBN 5-93057-050-7 © Томский государственный архитектурно-строительный университет, 2002 Нина Александровна Конева Светлана Фроимовна Киселева Юрий Федорович Иванов ФИЗИКА. электромагнетизм Учебное пособие ТГАСУ Научный редактор профессор Н.А. Конева Редактор Г.Г. Семухина Компьютерный набор и верстка А.К. Тайлашева Дизайн обложки А.А. Клопотов Изд. лицензия № 021253 от 31.10.97. Подписано в печать 20.04.02. Формат 60х84/16. Бумага офсет. Печать офсетная Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 6,26. Уч. изд. л. 7,44. Тираж 1000 экз. Заказ N Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная, 2. Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ, 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15. СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ......................................................................................... 5 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ........................................................................ 6 Список литературы .............................................................................................. 8 Электромагнетизм и электромагнитные волны ............................................. 9 1. Магнитное поле тока в вакууме и его описание.......................................... 9 1.1. Понятие о магнитном поле тока ................................................................ 9 1.2. Вектор магнитной индукции. Силовые линии магнитной индукции ............................................................................................................... 11 1.3. Магнитный поток ........................................................................................ 13 1.4. Элемент тока. Принцип суперпозиции ...................................................... 14 1.5. Закон Био-Савара-Лапласа ......................................................................... 16 1.6. Применение закона Био-Савара-Лапласа к расчету магнит- ных полей ........................................................................18 1.7. Поле кругового тока.................................................................................... 20 1.8. Магнитное поле движущегося заряда ....................................................... 21  В ................................................................ 24  2.1. Понятие о циркуляции вектора индукции В ........................................... 24  2.2. Теорема о циркуляции вектора В ............................................................ 26 2. Циркуляция вектора индукции 2.3. Применение теоремы о циркуляции вектора индукции к расчету магнитных полей. ...................................................... 28 3. Силы в магнитном поле ................................................................................... 30 3.1. Действие магнитного поля на ток. Закон Ампера .................................... 30 3.2. Магнитное взаимодействие токов ............................................................. 31 3.3. Сила Лоренца............................................................................................... 32 3.4. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле ............... 35 3.5. Проявление силы Лоренца в природе и ее использование в технике ............................................................................................................. 38 4. Механическая работа перемещения проводника и рамки с током в магнитном поле ................................................................................. 40 4.1. Проводник с током в магнитном поле....................................................... 40 4.2. Контур с током в магнитном поле ............................................................. 42 5. Явление электромагнитной индукции .......................................................... 44 5.1. Открытие явления и его определение........................................................ 44 5.2. Закон Фарадея и правило Ленца ................................................................ 46 5.3. Величина ЭДС индукции ............................................................................ 47 5.4. Природа возникновения ЭДС индукции ................................................... 49 5.5. Явление самоиндукции ............................................................................... 51 3 .................................................................................................................... 6. Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля .................................................................................................54 7. Магнитное поле в веществе .............................................................................57 7.1. Типы магнетиков .........................................................................................57 7.2. Магнитные моменты атомов.......................................................................58 7.3. Атом во внешнем магнитном поле. Диамагнитный эффект. Диамагнетизм ....................................................................................................61 7.4. Парамагнетизм .............................................................................................63 7.5. Расчет магнитного поля в магнетиках .......................................................64 7.6. Ферромагнетизм. Явление гистерезиса .....................................................66 8. Уравнения Максвелла и электромагнитные волны. ..................................70 8.1. Общее представление о теории электромагнитных волн Максвелла ............................................................................................................70 8.2. Первое уравнение Максвелла. Возникновение электрического поля при изменении магнитного поля ......................................................71 8.3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла ...........................................74 8.4. Уравнение Максвелла в интегральной форме ...........................................76 8.5. Возникновение электромагнитных волн....................................................78 8.6. Опыты Герца. Шкала электромагнитных волн .........................................79 8.7. Вектор Умова-Пойтинга .............................................................................82 9. Контрольные вопросы и задания для самоконтроля ..................................84 10. Примеры решения задач .................................................................................86 11. Задачи для самостоятельной работы ................................................. 102 12. Контрольные задания по вариантам ................................................. 104 Приложение ....................................................................................... 118 4 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие написано в соответствии с программой курса общей физики. Пособие можно представить в виде трех частей. В первой части изложена теория по разделу физики «Электромагнетизм». После текста теории даны вопросы для самоконтроля. Во второй части предложены примеры решения задач и задачи для самостоятельной работы. В квадратных скобках даны ответы для самоконтроля. В третьей части пособия приведены задачи для контрольного задания и таблица для выбора варианта. Учебное пособие предназначено для студентов дистантного обучения в ТГАСУ. Данное учебное пособие может быть использовано также студентами заочной формы обучения. 5 РАБОЧАЯ ПРОГРАММА Электромагнетизм и электромагнитные волны Магнитное поле. Магнитная индукция. Закон Ампера. Магнитное поле тока. Закон Био – Сaвара - Лапласа и его применение к расчету магнитного поля. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Магнитное поле кругового тока. Магнитный момент витка с током. Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока (циркуляция вектора магнитной индукции) для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и длинного соленоида. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Принцип действия циклических ускорителей заряженных частиц. Эффект Холла. МГД-генератор. Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток. Теорема Остроградского-Гаусса. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле. Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея). Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции и его вывод из закона сохранения энергии. Явление самоиндукции. Индуктивность. Токи при замыкании и размыкании цепи. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность. Энергия системы проводников с током. Объемная плотность энергии магнитного поля. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов. Типы магнетиков. Намагниченность. Микро- и макротоки. Элементарная теория диа- и парамагнетизма. Магнитная восприимчивость вещества и ее зависимость от температуры. Закон полного тока для магнитного поля в веще6 стве. Напряженность магнитного поля. Магнитная проницаемость среды. Ферромагнетики. Опыты Столетова. Кривая намагничивания. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Домены. Спиновая природа ферромагнетизма. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Ток смещения. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме. Электромагнитные волны. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны. Основные свойства электромагнитных волн. Монохроматическая волны. Энергия электромагнитных волн. Поток энергии. Вектор Умова - Пойтинга. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 19771979.- Т. 1, 2, 3. 2. Трофимова Т.И. Курс физики - М.: Высшая школа, 1995. 3. Детлаф А.А. Курс физики./ Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б. - М.: Высшая школа, 1973 - 1979. Т. 1, 2, 3. 4. 3исман Г.А. Курс общей физики./3исман Г.А., Тодес С.М. - М.: Наука, 1973 - 1974.-Т. 1, 2 ,3. 5. Волькенштейн B.C. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1979. 6. Курс лекций по физике, ч. II, под ред. Н.А. Коневой. Томск: ТГАСУ, 2000. 7 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТОКА В ВАКУУМЕ И ЕГО ОПИСАНИЕ 1.1. Понятие о магнитном поле тока Магнитные свойства постоянных магнитов были известны с давних пор. Земля - магнит, и явление земного магнетизма использовалось китайцами для создания компаса, т.е. свободно вращающейся магнитной стрелки, указывающей ориентацию сторон света. В пространстве, окружающем намагниченные тела, возникает магнитное поле. Помещенная в это поле маленькая магнитная стрелка устанавливается определенным обра- N S N S Рис. 1.1 зом. Постоянные магниты взаимодействуют между собой. Их взаимодействие сходно с взаимодействием электрических диполей (рис. 1.1). Однако есть существенное различие. Электрический диполь состоит из противоположных по знаку зарядов, которые всегда можно разделить. Если же разрезать магнит, то в самых малых кусочках всегда существует северный и южный полюсы (рис. 1.2). Однако уже к середине Х1Х в. окрепло убеждение о связи электрических и магнитных явлений. В 1820 г. Х.8 К. Эрстед (датский физик) обнаружил взаимодействие между постоянным электрическим током I и магнитной стрелкой (рис. 1.3). Затем Д.Ф. Араго обнаружил намагничение железа постоянным током. Рис. 1.2 Многочисленные опыты показали, что магнитное поле тесно связано с электрическим током. Электрический ток порождает в пространстве I вокруг себя магнитное поле. Это S’ можно обнаружить на очень проS N стом опыте. Проводник с током N’ проведем через отверстие картонной или стеклянной пластинки (рис. 1.4). На пластинку насыпаем железные опилки. Опилки Рис. 1.3 расположатся цепочками, образуя замкнутые петли. Значит в пространстве есть поле. Легко убедиться, что поле магнитI Рис. 1.4 9 q ное, а не электрическое. Если повесить около провода электрически заряженный шарик, то он не будет испытывать отклонений. Значит электрического поля вне проводника нет, оно целиком расположено внутри проводника. Вокруг проводника - магнитное поле. Электрический ток пред- ставляет собой поток движущихся заряженных частиц, следовательно, магнитное поле порождается движущимися зарядами. Непосредственное измерение действия магнитного поля движущихся электронов на магнитную стрелку было проведено в 1911 г. А.Ф. Иоффе. Начинать изучение магнитного поля с рассмотрения взаимодействия отдельных движущихся зарядов очень сложно, так как поле такого заряда состоит из электрического и магнитного полей. Значительно проще обстоит дело в случае электрических токов в проводниках. При прохождении тока по проводнику электрическое поле вне проводника отсутствует, и имеется возможность изучить магнитное поле в чистом виде. Прежде всего необходимо изучить характеристики магнитного поля. 1.2. Вектор магнитной индукции. Силовые линии магнитной индукции Основной характеристикой магнитного поля являет ся вектор магнитной индукции B . По смыслу эта характеристика аналогична напряженности электрического поля и имеет свое значение и направление для каждой точки по ля. Условились считать, что вектор магнитной индукции B совпадает по направлению с силой, которая действует на северный полюс бесконечно малой магнитной стрелки, помещенной в эту точку поля. Пока что будем пользоваться этим (не вполне строгим) определением. Единицей измере ния B в системе СИ является - ”тесла” (Тл). Для графического изображения магнитных полей удобно пользоваться линиями магнитной индукции. Линиями магнитной индукции называются кривые, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением  вектора В в этих точках поля (рис. 1.5, а). Линии магнитной индукции проще всего наблюдать с помощью мелких 10 игольчатых железных опилок, котоI б рые намагничиваВ ются в исследуемом поле и ведут М себя подобно маВ леньким стрелкам а (рис. 1.5, б, в). ЛиI В I нии магнитной индукции всегда замкнуты и охватыВ В В вают проводники с г правило током. Вблизи I в “буравчика” проводника линии магнитной индукции лежат в плоскостях, перпендиS N кулярных к прод воднику. НаправI ление линий индукции магнитного поля определяется Рис. 1.5 по известному правилу буравчика (рис. 1.5, г): если ввинчивать буравчик по направлению движения тока в проводнике, то направление движения его рукоятки укажет направление линий магнитной индукции. Густота линий магнитной индукции характеризует ее величину в данной точке (области) поля. Для сравнения магнитного поля с электростатическим полезно напомнить, что силовые линии электростатического поля, созданного неподвижными зарядами, разомкнуты. Они начинаются только на положительных заряI 11 дах, оканчиваются только на зарядах отрицательных или уходят в бесконечность. Из рис. 1.5, д видно, что магнитное поле вне соленоида, то есть длинной катушки с током, подобно магнитному полю полосового магнита. Северный полюс магнита совпадает с тем концом соленоида, из которого ток в витках виден идущим против часовой стрелки. 1.3. Магнитный поток Пусть площадка d S (рис. 1.6) находится в однород ном магнитном поле В , созданном током I. Магнитным по током или потоком вектора магнитной индукции В сквозь площадку dS называют величину: dФ = BdS cos , (1.1) где  - угол между направ лением нормали n к пло щадке dS и направлением В .  Направление нормали n выбирается таким образом, Рис. 1.6 чтобы направление тока I (или обход по контуру, окружающему площадку dS, были связаны между собой правилом правого винта. Обозначим через Вn проекцию   вектора В на направление нормали n : Вn = B cos и тогда dФ = Bn dS . (1.2) 12 Вn - есть число силовых линий, проходящих через единицу рассматриваемой площадки, поэтому dФ = Вn dS - магнитный поток равен полному числу силовых линий, проходящих через данную поверхность. Полный поток через произвольную поверхность S: Ф   B n dS . (1.3) s  В случае однородного поля: Ф  Bn S . Поток вектора B может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака cos . В единицах СИ Ф измеряется в веберах (Вб), [Ф] = Вб. 1.4. Элемент тока. Принцип суперпозиции Рассчитать магнитное поле какого-то контура с током сложно. Магнитное поле его зависит от формы и размеров. В электростатике подобных трудностей не возникало. Мы пользовались там понятием точечного заряда, любое распределение зарядов рассматривали как систему точечных зарядов. И результирующее поле Е складывалось как сумма полей точечных зарядов  dE i . В случае магнитных i полей, созданных постоянными токами, мы также можем  полагать, что результирующее поле В есть сумма полей   d В . Поле d В создается элементом тока. Определим понятие элемента тока. Возьмем проводник с током и рассмотрим бесконечно малый отрезок проводника d (рис. 1.7). Элемент тока   есть произведение I d , где I - ток, d - вектор, имеющий длину отрезка d и направленный вдоль тока. Понятие элемента I тока играет такую же роль в магнитных взаимодействиях, как понятие точечного dl заряда в электрических. Можно далее рассмотреть магнитное поле, созданное Рис. 1.7 одним элементом тока, а затем, разбив мысленно проводник на элементарные ве- I  личины I d , рассчитать суммарное магнитное поле, I dl созданное проводником, со r стоящим из N - элементов тока. При этом нужно иметь M в виду, что для магнитных полей справедлив принцип суперпозиции: полная инdВ  дукция магнитного поля B Рис. 1.8 равнa векторной сумме (или   интегралу) элементарных значений индукции  B (или d B ): N      B  B1  B 2  ...В N   Bi . i Здесь N - число элементов тока, или   B   dB . 13 (1.4) 14 1.5. Закон Био – Савара - Лапласа Рассмотрим проводник, толщина которого мала по сравнению с расстоянием r от него до точки М, в которой мы будем определять магнитное поле (рис. 1.8). Магнитная   индукция d B , создаваемая элементом тока I d на расстоянии r от него, как установили опытным путем Био, Савар и  Лаплас: 1) пропорциональна элементу тока I d , 2) обратно пропорциональна квадрату расстояния от элемента тока до рассматриваемой точки поля, 3) зависит от расположения этой точки поля по отношению к элементу тока.   Id  dB  2 sin  . Введем коэффициент пропорциональности r К, который зависит от выбора системы единиц. В системе СИ: K  o ,  о  const (магнитная постоянная, или маг4 нитная проницаемость вакуума), o  4  107 Тлм/А. Тогда можно записать:   o Id  Id dB  K 2 sin    sin  . (1.5) 4 r 2 r  ведения. Отсюда следует, что d B перпендикулярен плоско  сти, в которой лежат векторы I d и r (рис. 1.8). Для опре деления направления d B можно применить и правило “буравчика”: поступательное движение “буравчика” - по направлению элемента тока, его головка опишет силовую линию. Заметим, что силовая линия лежит в плоскости,  перпендикулярной той, в которой находятся векторы Id   иr. Закон Био – Савара - Лапласа был первоначально установлен для постоянного тока в проводниках - тока проводимости. В дальнейшем справедливость этого закона была подтверждена и для других форм движения электрических зарядов, например, для пучка электронов в вакууме (Иоффе, 1911 г.). С помощью закона Био – Савара - Лапласа (Б-С-Л), применяя принцип суперпозиции, можно вычислить магнитное поле любых систем токов. Замечаем, что, если числитель и знаменатель помножить  векторно на r , то в числителе будет векторное произведе  ние векторов Id  и r , т.е.    o [Id xr ] dB   4 r3 (1.6) В такой записи мы можем определить направление вектора магнитной индукции, то есть по правилу векторного произ15 16 1.6. Применение закона Био – Савара -Лапласа к расчету магнитных полей  1. Магнитная индукция B поля, создаваемого бесконечным линейным током в точке М, находящейся на расстоянии R от него (рис.1.9). Для расчета применяем закон Б-С-Л и принцип суперпозиции. Длина провода  - от +  до - . Из рис. 1.9 нетрудно видеть, что любой i-тый элемент тока проводника создаст в точке М поле dBi направленное так, как показано на рис. 1.9 для элемента I тока, расположенного в начале координат. Нетрудно видеть,  что направление d B в точке М dl остается одинаковым для лю бых элементов тока Id  , т.е. r перпендикулярно плоскости, -l   определяемой Id  и r . СледоR геометрическая сумM вательно,   ма или для точки М d B  B dВ  N  B   Bi превращается в алi 1 Рис. 1.9 гебраическую. По закону Б-С-Л (1.5):  I  d  sin  dB  o  . 4 r2 r R ; sin  -  R  ctg  ; -d  - Rd sin 2  или d  R  d . sin 2  Подставив r и d в (1.5), получим dB  K  I sin 2  R  d sin d  sin  2  K  I . 2 R R sin  Интегрируя по всему интервалу 0    , что отвечает  = -  до  = + , получим:  B л. т  K I I sin d  K  R0 R o  cos   K I 1  (1)  2  K  I R R (Вл.т. - величина вектора магнитной индукции поля в точке М, созданного бесконечно длинным проводником с током). Bл.т  K 2I . R (1.7)  Чтобы найти величину B для точки М, нужно это выражение проинтегрировать. Для интегрирования выразим переменные ,  и r через одну какую-либо из них. Из рис. 1.9 следует: 17 18 Таким образом, вели чина B линейного тока пропорциональна величине тока I в проводнике и обратно пропорциональна расстояI M нию R от него. Направление  В B видно из рис. 1.10. Линии  вектора B - это концентрические окружности, определяемые правилом буравчика. Касательные к силовым ли Рис. 1.10 ниям определяют векторы B в разных точках пространства вокруг проводника. Полученное выражение (1.7) справедливо для точек, далеких от границ проводника. 1.7. Поле кругового тока dl R M В I Рис. 1.11 19 Пусть проводник имеет форму окружности. Определим магнитную индукцию в центре кругового тока радиуса R (рис. 1.11). Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль нормали к контуру. Следовательно,  сложение d B от всех элементов тока кругового тока для центра (точка М) сводится к сложению их моду-   лей. Кроме того,   (I  d , r ) в данном случае составляет 900. Следовательно, используя (1.5) и заметив, что r = R, получим dB  K I  d , R2 2 R K KI 2  I I , B   dB  2  I  d  2  2R  K  R 2R R R  o B K .T  K 2  I R (1.8)   B к.т - индукция, созданная круговым током в его центре, B направлен по нормали к контуру. Для определения направ ления B в центре кругового тока можно воспользоваться также правилом буравчика. Только теперь движение головки направим по току, тогда поступательное движение буравчика определит направление вектора магнитной индукции. 1.8. Магнитное поле движущегося заряда Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический ток в любом проводнике есть направленное движение заряженных частиц: в металлах - это движение электронов, в электролитах - ионов и т.д. Следовательно, всякий движущийся заряд создает вокруг себя магнитное поле. Найдем величину этого поля. Рассмотрим малый отрезок проводника длиной d с током I (рис. 1.12). Этот отрезок создает в точке М на рас- 20 стоянии r, как следует из (1.5), по закону Б-С-Л магнитную индукцию: dB  I  d  sin  , а I  j S , r2 dl I S dВ M где S - поперечное сечение проводника. Плотность тока j выражается через концентрацию заряженных частиц ( n ) и  их скорость ( V ) направленного движения следующим образом: Рис. 1.12   j  nеV . Подставив значения I и j в выражение для dB, получим dB  k neVSd  sin  . r2 Заметим, что Sd - V - объем участка проводника длиной d, а nSd = N - полное число частиц в объеме этого участка.  Тогда для N - частиц поле B : B  kN    e[V  r ] . Bk r3 (1.10)  Отсюда следует, что поле B связано со скоростью   частиц V и r правилом правого винта (векторное произве дение). B всегда перпендикулярен плоскости, в которой лежат   и V r (рис. 1.13). Если r же движется отрицаM тельный заряд, то в формуле появится знак  V ( ), и будет B В направлен в противоположную сторону. Рис. 1.13 Таким образом, если заряд неподвижен, он создает вокруг себя электриче ское поле. Если этот заряд движется со скоростью V , то с ним оказывается связанным еще и магнитное поле. Ско  рость V , входящая в формулу для B , есть относительная скорость, т.е. скорость относительно наблюдателя и тех приборов, которыми измеряется магнитное поле. Точно такое же поле обнаружат и приборы, двигаясь мимо непо движного заряда со скоростью V . eV sin  , r2 или в векторной форме    e[V  r ] B  kN . r3 (1.9) Для одной частицы: 21 22  2. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА ИНДУКЦИИ Â 2.1. Понятие о циркуляции вектора  индукции Â - + Мы уже говорили о том, что силовые линии магE нитного поля замкнуты, не имеют ни начала, ни конца. Такое поле называется вихревым. Электростатическое поле, созданное неподвижными зарядами, не было вихревым. a Силовые линии электростатиdl (L)  ческого поля начинаются и  1 2 кончаются только на зарядах 1 2 (рис. 2.1, а). Магнитных заряб 2 дов не существует, и силовые A= E dl линии магнитного поля за1 мкнуты. Это различие в поведении полей приводит к разРис. 2.1 личию в поведении некоторой характеристики, которая  называется циркуляцией вектора Е , если поле электриче ское и циркуляцией вектора В , если поле магнитное. Прежде всего, обратимся к электрическому полю. При изучении электрического поля вводилось понятие электрического напряжения U = 1 - 2, где 1 и 2 - потенциалы точек поля 1 и 2 (рис. 2.1, б). Эта величина по смыслу может быть приравнена к другой, а именно 2    Ed  = А - работе перемещения единичного пробного за- ряда из некоторой точки 1 в некоторую точку 2 вдоль траектории L: 2   (2.1) U  1   2   Ed   А . 1 Если теперь мысленный контур, по которому перемещается заряд, замкнуть, то   (2.2) E   d  0 . Из этого следует, что работа по перемещению электрического заряда по замкнутому контуру в электростатическом поле равна нулю. Такие поля называются потенциальными.   E   d  называется циркуляцией напряженности электрического поля. Можно теперь констатировать, что электростатическое поле характеризуется следующими свойствами: 1) оно является потенциальным; 2) силовые линии его не замкнуты; 3) циркуляция вектора Е равна нулю. Можно ввести подобную характеристику (достаточно формально, поскольку магнитных зарядов не существу ет) и для магнитного поля.  В  d - будем называть цирку ляцией магнитного поля B . Преобразуем этот интеграл:     B  d   B  d   cos( B  d )   B  d,   (2.2)   B  cos ( B  d )  B ,  B - есть проекция B на направление некоторого замкнутого контура L в магнитном поле. 1 23 24  2.2. Теорема о циркуляции вектора Â Возьмем некоторый контур L, охватывающий пря мой ток I, и вычислим для него циркуляцию вектора B магнитного поля, созданного этим током. Пусть контур (L) лежит в плоскости, перпендикулярной к току, ток перпендикулярен плоскости чертежа и направлен от нас (рис. 2.2). Выберем направление dl обхода по контуру. Это направление буR дет связано с направлением тока правилом d правого винта. Вектор I B  в каждой точке поB L ля направлен по касательной к силовой линии (пунктир). Выберем на контуре L уча сток d  . Проведем к  Рис. 2.2 d  от тока I два радиуса-вектора, угол между ними - d. Тогда    B d   Bd  cos ( B , d )   BRd ,   так как  d  cos (B, d )  d B  Rd , d - угол, на который поворачивается радиус-вектор при перемещении по контуру на d . Для прямолинейного тока: B п. т  K 2I , R 2   2I  Bd    K R Rd  K  2  I 0 d    K  2  I  2  o 2  I  2   o I, 4    Bd    0  I . (2.3) Если контур охватывает несколько токов, то N   B d    0  Ii .  (2.4) i 1 Формула (2.4) представляет собой теорему о циркуляции  вектора B и читается следующим образом: Циркуляция вектора индукции магнитного поля по замкнутому контуру равна сумме токов, которые контур охватывает, умноженной на о.  Если контур тока не охватывает, то циркуляция B равна 0. В общем случае она отличается от нуля. Вычисляя сумму токов, положительным нужно считать такой ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным. Сопоставление выражений для циркуляции вектора напряженности электростатического поля и магнитного позволяет заключить, что между этими полями имеется принципиальное различие. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю. Такое поле  называется потенциальным. Циркуляция вектора B , если контур охватывает ток, отлична от нуля. Такие поля называются вихревыми. тогда 25 26 2.3. Применение теоремы о циркуляции вектора индукции к расчету магнитных полей  Применим теорему о циркуляции вектора B к вычислению магнитного поля соленоида. Соленоид подобен системе одинаковых круговых токов (рис. 2.3). Следова-  Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как B перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.   Следовательно, здесь cos (B, d ) =0. Интегралом на участке 3 - 4 можно пренебречь, так как поле там слабое (вне соленоида). Поэтому 2   2   Bd    Bd cos (B, d )   B  d  B . 1 (2.6) 1  Применим теперь теорему о циркуляции вектора B , т.е. (2.4): S N 2 1 l 4 N   B d    0  I i   0 n  I .  i 3 I Используя (2.6), получим:  0 n  I  B . Рис. 2.3  тельно, поле B направлено по оси соленоида. Возьмем в поле соленоида замкнутый контур в виде рамки 1 - 2 - 3 - 4. Пусть этот контур охватывает N - витков, так что N = n, где n - число витков, приходящееся на единицу длины соленои да. Циркуляцию B по этому контуру можно представить следующим образом:   2  3  4  1   Bd    Bd    Bd    Bd    Bd  . 1 27 2 3 B  0n  I . (2.7) Если отрезок 1 - 2 располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, то есть вне беско  нечно длинного соленоида B = 0, внутри соленоида B везде одинаков: B   0 n  I . (2.5) 4 28 3. СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 3.1. Действие магнитного поля на ток. Закон Ампера Мы уже рассматривали действие тока на магнитную стрелку: она отклоняется. Существует и обратное действие: магнитное поле действует на проводник с током. Это явление исследовал Ампер. Он установил, что на прямолинейный участок длиной d проводника с током I в постоянном магнитном поле в вакууме действует сила dF. Величина этой силы определяется соотношением: dF  I  dBsin  , (3.1) где  - угол между направлениями тока и вектора магнитной индукции поля. В векторной записи формула может быть представлена в следующем виде:     dF  [I  d   B] .  пендикулярны друг другу, удобно направление dF находить по правилу левой руки: ладонь располагается так, чтобы в нее входили силовые линии поля, четыре вытянутых пальца располагаются по направлению тока, отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник (рис. 3.1). Это правило удобно, когда проводник расположен перпендикулярно полю. 3.2. Магнитное взаимодействие токов Электрические токи действуют на магниты, магниты действуют на электрические токи. Подобным образом действуют и два проводника с током. Явление было открыто Ампером в 1820 г. Если взять два параллельных проводника (рис. 3.2) и пропустить по ним ток одинакового направления, то провода притянутся. Если пропустить токи разного направления, то провода разойдутся в разные стороны. Для расчета механического взаимодействия токов можно применить формулу Ампера. Ток I1 на рис. 3.2 создает вокруг себя магнитное поле, линии индукции которого представляют собой концентрические окружности. Индукция поля в (3.2) I dF Формула (3.2) носит название закона Ампера. Из векторной записи видно,  что dF лежит в плоскости, перпендикулярной той, в B которой находятся вектора    Рис. 3.1 I  d  и B . Направление dF определяется по правилу   векторного произведения. В случае, когда I  d  и B пер- 2 В 1 F F I 29 I 1 1 ,2 В 2 ,1 1 R Рис. 3.2  точках, где находится второй проводник, B 1: 30 B1  k 2  I1 . R (3.3) По закону Ампера, используя (3.1), можно рассчитать силу, которая действует на второй проводник со стороны поля  B 1:   dF2,1  I 2 dB1 sin (I 2 d , B1 ) .  Заметим, что, как следует из рис. 3.1, I 2 d  перпендикуляр   но B 1, и, следовательно, sin(I 2 d , B1 )  1 . Тогда получим: dF2,1  I 2 B1d (3.4) Сила, приходящаяся на 1 ед. длины проводника, с учетом (3.3): 2  I1  I 2 . (3.5) F 1, 2 k R Для силы F1,2 (рис. 3.4), действующей на 1 ед. длины тока I1, получается аналогичное выражение. Ее направление показано на рис. 3.4. Силы направлены так, что токи притягиваются. 3.3. Сила Лоренца Проводник, по которому течет ток, отличается от проводника без тока лишь тем, что в нем происходит упорядоченное движение носителей заряда. Отсюда напрашивается вывод, что сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, обусловлена действием сил на отдельные 31 движущиеся заряды, по которому они перемещаются. Этот вывод подтверждается целым рядом опытных фактов и, в частности, тем, что пучок свободно летящих заряженных частиц, например, электронный пучок, отклоняется магнитным полем. Итак, на движущийся заряд в магнитном поле действует сила. Определим величину этой силы. Для ее определения воспользуемся законом Ампера (3.1):    dF  I  dB sin(d , B). Учитывая, что I  j  S  enVS , где j - плотность тока, n – плотность частиц, V - скорость их движения, е - заряд частиц, S - сечение проводника, получим:   Id   enVSd , где Sd - объем проводника длиной d и поперечным сечением S. В этом последнем выражении nSd = N - число частиц в этом объеме проводника. С учетом вышеприведенных преобразований получим:    dF  NeVB (sin V , B). (3.6) Если разделить левую часть (3.6) на N , получим   dF f , N т.е. силу, приходящуюся на одну заряженную частицу. Эта сила, как видно из (3.6), будет равна: 32   f м  eVB sin(V , B) (3.7) или в векторной форме:    f м  e[V  B] . fM v В общем случае для любого заряда q можно записать:    f м  q[VxB] . B (3.8, а) (3.8, б) Значок “М“- означает, что эта сила действует на движущуюся заряженную частицу в магнитном поле. Если одновременно имеются электрическое и магнитное поля, то Рис. 3.3       f л  f э  f м  qE  q[V  B] . (3.9)  Здесь f э - сила, действующая на заряженную частицу со стороны электрического поля. Это выражение было получено из опыта Лоренцем и носит название силы Лоренца или лоренцовой силы. Направление силы fм определяется по пра вилу векторного произведения ( f м перпендикулярна плос  кости, в которой лежат V и B ), или по правилу левой руки (рис. 3.3). 3.4. Движение заряженных частиц в однородном магнитном поле Полученное выражение для силы Лоренца позволяет установить ряд закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле, лежащих в основе устройства ряда приборов, например, электронного микроскопа, массспектрографа, ускорителей заряженных частиц и др. Рассмотрим движение заряженных частиц в однородном магнитном поле. Пусть электрическое поле отсутствует. Тогда (3.9) упрощается и    f л  q[V  B] . (3.10) Именно, это выражение чаще всего называют силой Лоренца. Простейший случай - заряженная частица летит вдоль линий индукции  B ,  = 0 и сила Лоренца равна нулю, т.е. магнитное поле на чаВ стицу не действует q (рис. 3.4). Она будет V двигаться по инерции равномерно и прямоРис. 3.4 линейно. Сила не действует и на неподвиж ную частицу, когда V = 0. Рассмотрим теперь движение заряженной частицы массы m в магнитном поле в других случаях. Найдем преж де всего ее ускорение a : -     f л q[V  B] a  , m m 33 (3.11) 34   следовательно, a  V , т.е. перпендикулярно скорости дви  жения заряда. Тогда a = a n- нормальное ускорение, оно меняет скорость частицы только по направлению, а величина скорости остается постоянной (заметим, не меняется и кинетическая энергия частицы). Подсчитаем радиус кривизны траектории частицы в данной точке поля.   f л qVB sin (V , B) V2 ; an    r m m   V 2 qVB sin (V, B) ;  r m r mV .  qB sin(V, B) V||  V cos , (3.12)   Если V  B , т.е. частица влетает перпендикулярно к линиям   индукции, то sin( V, B )= 1 и + r V q Рис. 3.5 35 mV  const, qB тельно заряженной частицы сила Лоренца изменит свое направление на противоположное. Соответственно изменяется и траектория частицы. Пусть частица влетает под некоторым углом , не равным 900, к магнитному  полю. Скорость V разложим на две составляющие: параллельную силовым линиям по ля V || и перпендикулярную  им V . Легко видеть из рис. 3.6, что Рис. 3.6 (3.13) т.е. частица будет двигаться по окружности. Плоскость ее движения будет перпендикулярна силовым линиям поля, как это показано на рис. 3.5. Заметим, что рассматривается движение частицы, заряженной положительно. Для отрица- V  V sin  и тогда (3.10) можно преобразовать: f л  qVB sin   qBV . (3.14) Следовательно, сила Лоренца изменит только перпендикулярную составляющую скорости, V|| остается без изменения. Испытывая действие силы Лоренца, частица будет двигаться по окружности с радиусом: r mV mV sin   qB qB (3.15) в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям поля. В то же время частица будет двигаться и вдоль силовых линий поля со скоростью V|| = const. Вследствие наложения двух движений частица движется по винтовой линии с шагом h. 36 ется и то, что свечение в верхних слоях атмосферы, вызываемое корпускулярным излучением Солнца, наблюдается главным образом в полярных областях. Действие магнитно- Рис. 3.7 V V V  Если частица движется вдоль линий B , то поле не оказывает на нее влияния. Если же частица по каким-либо причинам получит составляющую V к силовым линиям поля, то она все равно далеко не уйдет в сторону от заданной траектории и будет двигаться по винтовой линии, навиваясь на эту траекторию (рис. 3.7). 3.5. Проявление силы Лоренца в природе и ее использование в технике С действием магнитного поля на движущиеся заряженные частицы связан так называемый “широтный” эффект: число космических частиц на полюсе значительно больше, чем на экваторе. Это связано со следующим. Из мирового пространства на Землю приходят потоки заряженных частиц большой энергии. При приближении к земной поверхности на эти частицы начинает действовать магнитное поле Земли. Те частицы, которые направляются к магнитным полюсам, движутся почти вдоль силовых линий поля и будут навиваться на них (рис. 3.8). Частицы, подходящие к Земле в экваториальной области, двигаются почти перпендикулярно к силовым линиям (пунктирные линии), они будут отклоняться от первоначального положения и снова уходить в мировое пространство, лишь самые быстрые из них доходят до Земли. Этим же эффектом объясня37 N S V Рис. 3.8 го поля на заряженные частицы используется в циклотронах. С помощью магнитного поля сжимают высокотемпературную (Т = 107 К) плазму при термоядерных реакциях, чтобы изолировать ее от стенок того объема, в котором она находится. 38 4. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОВОДНИКА И РАМКИ С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 4.1. Проводник с током в магнитном поле На проводник с током в магнитном поле действует  сила Ампера FA . При движении проводника в магнитном  поле под действием FA будет совершаться механическая работа. Найдем величину этой работы. На прямой проводник длиной , входящий в цепь тока, действует сила FA со стороны магнитного поля (рис. 4.1). Он перемещается на расстояние dx параллельно самому себе и переходит из положения 1 в положение 2. Тогда сила Ампера, действующая dx I A l В 2 Рис. 4.1    FA  [I  хB] ,    B , sin( , B)  1 . Тогда величина силы: FA  I    B , а работа перемещения проводника с током: 39 dA  I    Bdx . Заметим, что dx = dS, BdS = dФ. В результате: dA  I  dФ . (4.1)  В общем случае, когда направлено произвольно по отноB  шению к , B можно представить:  Bn dS,  B || dS .  B  вызовет силу, перпендикулярную полю, поэтому работа этой составляющей равна нулю и dA  I  Bn dS  I  dФ . 1 и т.к.  Так как cos (F, dx )  1 , то    B  Bn  B , F на проводник:  dA  FA dx cos(F, dx ) . (4.2) Работа перемещения проводника с током в магнитном поле численно равна произведению величины тока I на величину магнитного потока dФ, который пересечет проводник при своем движении. Заметим, что магнитное поле при этом не изменяется. Следовательно, работу совершают силы электрического поля источника тока. 40 Подставим эти выражения в (4.3), тогда 4.2. Контур с током в магнитном поле Контур (1, 2, 3, 4) с током находится в магнитном   поле B . B перпендикулярен площади контура (рис. 4.2).  Линии вектора B показаны крестиками (х) на рис. 4.2. Работа А по перемещению контура 1, 2, 3, 4 в положение 1', 2', 3', 4': A = A1,2 + A2,3 + A3,4 + A4,1. (4.3) Заметим, что в (4.3) A2,3 = 0 и A4,1 = 0, т.к. стороны 2, 3 и 4, 1 при перемещении очерчивают нулевую площадь; 3, 4 пересекает магнитный поток Ф’ + Ф2 (рис. 4.2); 1, 2 пересекает Ф1 + Ф’, но перемещается против сил магнитного поля. Поэтому с учетом (4.2) получим: A1, 2  I  (Ф 2  Ф1 ). (4.4, а) Для элементарного перемещения dA  I  dФ . (4.4, б) Работа перемещения рамки с током в магнитном поле численно равна произведению величины тока на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Обратим внимание: dФ в двух формулах, в предыдущем разделе, в формуле (4.2) и здесь имеет разный смысл. И еще: работа перемещения контура с током в магнитном поле совершается за счет источника тока. A1, 2  I  (Ф1  Ф' ), А 3, 4  I  (Ф'Ф 2 ). 2 I 3 3 2 I I 1 Ф1 4 Ф 1 Ф2 4 Рис. 4.2 41 42 5. ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ 5.1. Открытие явления и его определение Электромагнитная индукция представляет собой явление исключительной научной и практической важности. Открытием этого замечательного явления мы обязаны сыну кузнеца и ученику переплетчика, знаменитому английскому физику М. Фарадею (1831 г.). Электрические токи создают вокруг себя магнитное поле. Существует и обратный эффект: магнитное поле вызывает появление электрических токов. Это явление получило название электромагнитной индукции. Рассмотрим опыты, иллюстрирующие электромаг1 нитную индукцию. Для этого G можно воспользоваться двумя проволочными катушками (рис. 5.1). Катушки можно 2 надевать одну на другую. Со единим одну катушку (1) с I R гальванометром G, а другую (2) с источником тока. Если катушки неподвижны одна отноN сительно другой, то тока в цепи с гальванометром не будет. Fe Как бы ни было сильно магS нитное поле катушки 2 с источником, ток в катушке 1 не возникает. Если будем переРис. 5.1 мещать первую катушку относительно второй, то в первой 43 цепи возникает ток I i . То же самое наблюдается, если будем перемещать вторую, а первую катушку оставим неподвижной. Ток тем сильнее, чем быстрее движется катушка. Ток в первой катушке возникает и при сближении катушек, и при удалении их, однако, токи в обоих случаях имеют противоположные направления. Можно оставить обе катушки неподвижными, но изменять силу тока в катушке при помощи реостата R. Тогда при всяком изменении силы тока (магнитного поля) в цепи катушки 2 в первой - возникает ток I i . Ток в катушке не возникает, если магнитное поле остается постоянным. Эти опыты показывают, что причиной появления индукционного тока является изменение магнитного поля. Каким образом создается это изменение безразлично. Можно вдвигать и выдвигать сердечник при неподвижных катушках, например, сердечник из железа (рис. 5.1). При вдвигании сердечника в катушку с током он намагничивается, и магнитное поле усиливается; при выдвигании сердечника поле уменьшается. Ток в цепи катушки с гальванометром течет только при движении сердечника. Изменяющееся магнитное поле можно создавать движением постоянного магнита. Если совсем удалить катушку с током и вдвигать или выдвигать в первую катушку постоянный магнит (рис. 5.1), то гальванометр также показывает ток. Наблюдая направления токов при сближении магнита и катушки и при удалении их, можно убедиться, что они противоположны, так же как и в предыдущих опытах. Появление электрического тока в каком-либо контуре свидетельствует о возникновении в этом контуре электродвижущей силы (ЭДС). Таким образом, в этих опытах индуцируется ЭДС электромагнитной индукции (i). Во всяком замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический 44 ток. Это явление называют электромагнитной индукцией, а возникающий ток индукционным. 5.2. Закон Фарадея и правило Ленца Суммируя результаты опытов, можно сказать, что явление электромагнитной индукции заключается в возникновении ЭДС в проводнике, пересекающем силовые линии, или в замкнутом контуре при изменении пронизывающего его магнитного потока. Закон Фарадея формулируется следующим образом: ЭДС индукции, возникающая в замкнутом контуре, зависит от скорости изменения магнитного потока, сцепленного с контуром ( dФ/dt ). Для каждого случая индукции Фарадей указывал направление индукционного тока. Общее правило для нахождения направления этих токов было найдено в 1833 г. Ленцем. Правило Ленца. Индукционный ток во всех случаях v S B Ii N 5.3. Величина ЭДС индукции G Рис. 5.2 направлен таким образом, чтобы противодействовать причине, его вызвавшей. 45 Таким образом, изменяя магнитный поток Ф, сцепленный с данным контуром (например, перемещая проводник во внешнем магнитном поле), мы найдем, что индукционный ток имеет такое направление, чтобы создаваемое им дополнительное магнитное поле препятствовало изменению начального магнитного потока Ф. Если, например, приближать виток к северному полюсу постоянного магнита (рис. 5.2), то в витке возникает индукционный ток ( Ii ) такого направления, что на ближайшей к магниту стороне витка образуется тоже северный полюс, препятствующий дальнейшему приближению витка. Ток в витке пойдет против часовой стрелки. Если же виток удалять от северного полюса, то индукционый ток пойдет по часовой стрелке, т.е. магнитное поле возникающего индукционного тока стремится препятствовать вызвавшему его изменению магнитного потока. В применении к отрезку прямолинейного проводника можно воспользоваться правилом правой руки: следует расположить правую руку с отведенным большим пальцем так, чтобы в ладонь входили линии магнитной индукции и большой палец указывал бы направление перемещения проводника, тогда остальные пальцы укажут направление ЭДС электромагнитной индукции. Основной закон электромагнитной индукции можно вывести из закона сохранения энергии. Пусть имеется цепь, содержащая источник ЭДС, величина которой , и полное сопротивление цепи R. Обозначим силу тока в цепи I. Количество энергии, затрачиваемое источником ЭДС за время dt - Idt. Если постороннее магнитное поле отсутствует или контур с током неподвижен, вся эта энергия переводится в 46 тепло. Ее количество определяется выражением: I2Rdt. Следовательно, закон сохранения энергии запишется:  R . (5.1) Получили обычный закон Ома. Иначе будет обстоять дело при перемещении контура с током в магнитном поле. Мы вывели ранее, что при перемещении контура совершается работа: dA  I  dФ , где dФ - изменение магнитного потока, сцепленного с данным контуром. Так как при таком перемещении магнитное поле остается неизменным, то эта работа может совершаться лишь за счет энергии, доставляемой источником ЭДС. Следовательно, теперь только часть этой энергии расходуется на тепло, остальная же - на совершение работы по перемещению контура. Поэтому закон сохранения энергии в этом случае запишется:   I  dt  I 2 Rdt  I  dФ,   dt  I  Rdt  dФ. Решая это неравенство относительно тока, найдем: Из (5.2) следует, что при изменении потока магнитной индукции через контур сила тока в нем оказывается такой, как если бы кроме ЭДС действовала еще электродви47 (5.3) 5.4. Природа возникновения ЭДС индукции Механизм явления электромагнитной индукции можно понять, исходя из рассмотрения силы, действующей на электрические заряды в магнитном поле. На рис. 5.3 век тор индукции магнитного поля B направлен вдоль оси Х. Отрезок прямолинейного проводника  направлен вдоль оси У. Будем перемещать отZ резок проводника вдоль оси Z. S y Тогда на свободные электроны, находящиеся в этом проv воднике, будет действовать сила Лоренца: l (5.2) dФ . dt dФ/dt характеризует скорость изменения Ф, т.е. число силовых линий, пересекаемых проводником в единицу времени. Как видно, величина ЭДС электромагнитной индукции не зависит от величины , а значит сохраняет свое значение и при  = 0, т.е. будет возникать вне зависимости от всяких других ЭДС, действующих в цепи. Знак (  ) служит математическим выражением правила Ленца. (-) I dФ dt . R  i   ) I (+   I  dt  I 2 Rdt , dФ . Благодаря изменению потока магdt нитной индукции к ранее имевшейся в цепи ЭДС добавилась новая: жущая сила  i   X, В Рис. 5.3    Fл  e[V, B]. Здесь е - заряд электрона, 48   V - скорость движения проводника (и зарядов), B - вектор     индукции. V  B , поэтому sin (V, B) = 1. Применим правило левой руки: силовые линии входят в ладонь, пальцы вытянутой руки по направлению движения зарядов, большой палец дает направление силы, действующей на положительный заряд в отрезке проводника . Электроны будут перемещаться в отрицательном направлении оси Y. Следовательно, на одном конце создается избыток положительных зарядов, а на другом - отрицательных; возникло электрическое поле, которое будет противодействовать перемещению зарядов. Перемещение зарядов будет происходить до тех  пор, пока сила Лоренца F л не уравновесится силой, действующей на заряд со стороны электрического поля, т.е.   Fл  FE . (5.4, а)   Заметим, что F E = e E и произведем ряд преобразований в (5.4, а): (5.4, б) eE  eVB . Напомним, что E   2   1 .   (5.4, в) Здесь 1 и 2 потенциалы, возникающие на концах проводника длиной . Из 5.4, б и 5.4, в следует:  1   2 Z  B  t  z   V ,   t  Z  S - площaдь, которую пересек проводник при своем движении. Проведем ряд простых преобразований: 49  (1   2 )   (1   2 )  Z   B; t BS Ф  ; t t  (1   2 )  Ф . t Ф = ВS - магнитный поток, который пересек проводник при своем движении. Переходя к бесконечно малым перемещениям, получим: (1  2 )   i   dФ . dt (5.5) Это закон Фарадея. Величина разности потенциалов, которая возникает между концами разомкнутой цепи, есть величина ЭДС индукции. Таков электронный механизм возникновения ЭДС индукции. 5.5. Явление самоиндукции Так как электрический ток создает вокруг себя магнитное поле, то со всяким контуром тока оказывается сцеплен некоторый поток магнитной индукции. При всяком изменении силы тока в контуре, формы контура или магнитной проницаемости cреды поток будет изменяться. Изменение магнитного потока, согласно закону Фарадея, возбудит в контуре ЭДС. Такую электродвижущую силу электромагнитной индукции, которая возникает в каком-либо контуре вследствие изменения магнитного потока, создаваемого электри50 ческим током самого контура, называют ЭДС самоиндукции (c). Магнитный поток Ф, сцепленный с контуром, пропорционален величине тока I, т.е., если ввести коэффициент пропорциональности, то можно записать: Ф  LI , (5.6) L - коэффициент пропорциональности. Это следует из закона Био – Савара - Лапласа, т.к. dB  I. По закону Фарадея: i  с   dФ . dt (5.7) Если подставим в (5.7) выражение для Ф из (5.6), то получим: c   d ( L  I) dL dI  I  L . dt dt dt Если положить L = const, то dL/dt = 0 и  c  L dI . dt (5.8) L - называют коэффициентом самоиндукции или просто индуктивностью контура. Если положить I = 1, тo из (5.6) следует, что индуктивность контура равна магнитному потоку, сцепленному с контуром, когда ток, создающий этот поток, равен 1. В выражении для ЭДС самоиндукции в (5.8) стоит знак ( - ). Знак ( - ) означает, что наличие индуктивности (L  0) приводит к замедлению изменения тока в контуре. Действительно, пусть ток возрастает со временем, тогда 51 dI/dt>0 и сам < 0, т.е. с направлена против тока и тормозит его возрастание, обусловленное внешним источником. При уменьшении тока I со временем dI/dt<0 и, следовательно, с > 0. В таком случае с тормозит уменьшение тока, вызванное сторонними причинами (в том числе, и сопротивлением контура). Таким образом, наличие индуктивности в электрическом контуре приводит к тому, что контур приобретает своеобразную электрическую инертность, которая выражается в том, что любое изменение тока тормозится, притом тем сильнее, чем больше индуктивность контура. Индуктивность контура зависит от его геометрических размеров и магнитных свойств среды. Так, для соленоида: L  0N 2S .  (5.9) Здесь o - магнитная постоянная,  - магнитная проницаемость среды, N - число витков в соленоиде, S - поперечное сечение витка,  - длина соленоида. Из сказанного следует практический вывод: контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать. Если он рассчитан на рабочее напряжение o, то при резком размыкании возникающие в нем токи самоиндукции могут привести к пробою изоляции (из-за возникновения экстратока). Пропорциональность cdI/dt используется для измерения скорости изменения тока. Другое использование явления - токи Фуко, возникающие внутри массивных проводников. Они применяются для плавки металлов (индукционные печи). 52 LI 2 , (6.1) 2 где W - энергия контура с током. Эта энергия остается постоянной, если I = const, но контур с другой индуктивностью при том же токе будет иметь другую энергию. Поэтому эту энергию нужно приписать магнитному полю, связанному с током. Вычислим энергию единицы объема магнитного поля (Wo). Энергия dW элемента объема dV равна: W 6. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Рассмотрим произвольный контур с индуктивностью L. Если тока нет, в окружающем пространстве нет магнитного поля и магнитный поток, сцепленный с контуром, равен нулю. Если через контур течет ток I, то с контуром сцеплен магнитный поток: Ф  LI . Если ток изменить на величину dI, то магнитный поток меняется на dФ: dФ  L  dI . dW  W0 dV , где Wo - плотность энергии магнитного поля. Для вычисления Wo рассмотрим поле замкнутого соленоида (тороида), представленного на рис. 6.1. Индуктивность такого соленоида: Для изменения магнитного потока на dФ нужно совершить работу: L = 0 dA  I  dФ . Эта работа идет на увеличение запаса энергии W контура с током. Таким образом, при возрастании тока на dI энергия контура увеличивается на dW: Рис. 6.1 dW  dA  I  dФ  I  LdI . Если I = 0, то W = 0. При увеличении тока до некоторого значения I энергия становится равной W и тогда W I LI 2 W   dW   LI  dI  ; 2 53 Отсюда: N 2S ,  где N - число витков,  - длина соленоида (по центральной окружности), S - площадь поперечного сечения Индукция соленоида: N В сол =  0 nI   0 I .  I = B . 0 N 54 Подставим это выражение в формулу для энергии (6.1), тогда получим: L  I2 N 2S B 2  2 1 2 S . W   0  2 2 2  B 2 2 N   0  0 2 S - объем соленоида. Поле в соленоиде однородно, в этом случае: W 1 B2 . W0    S  0 2 Учтя, что B = oH (Н называется напряженностью магнитного поля), получим B2 1 W0, магн    0 H 2 (6.2) 2 0 2 Объемная плотность энергии Wo магнитного поля прямо пропорциональна квадрату напряженности магнитного поля в данном месте пространства. В электростатике имели для плотности энергии электрического поля:  E 2 W0,эл  0 , (6.3) 2 7. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ 7.1. Типы магнетиков Вещества, способные намагничиваться, называются магнетиками. Тел, равнодушных к магнитному полю, не существует, поэтому все тела являются магнетиками, то есть способны намагничиваться. Они при этом создают свое (внутреннее) дополнительное поле В’. Тогда, если Вo - индукция внешнего поля, т.е. поля в вакууме, то суммарное поле в присутствии магнетиков характеризуется величиной индукции В:    B  B0  B' . (7.1)   B0   0 H (0 -магнитная постоянная, Н - напряженность магнитного поля). Величина   B B     B0  0 H В0 S N N S В а В0 где Е - напряженность электрического поля,  - диэлектрическая постоянная среды, o - диэлектрическая постоянная. Тогда для плотности энергии электромагнитного поля получим: N N S В S б Wо, эл-м = Wо, магн + Wо, эл  55  0 E   0 H 2 2 2 (6.4) Рис. 7.1 56 называется магнитной проницаемостью cреды. По величине  все тела разделяются в основном на три класса магнитных веществ: 1)  < 1 - диамагнетики (Hg, P, S, Ag, Au, Cu, Bi, He и др.). Эти тела во внешнем магнитном поле намагничиваются против поля. Диамагнетик, попав в магнитное поле, выталкивается из него. Магнетик ослабляет внешнее поле, но эффект слабый (рис. 7.1, а). 2)  > 1 - парамагнетики (щелочные металлы, Be, и др.). Парамагнетики усиливают внешнее магнитное поле (рис. 7.1, б), но эффект слабый, как и в случае диамагнетиков. Поле усиливается в присутствии магнетика. 3)  >> 1 - ферромагнетики (  103) (Fe, Ni, их сплавы - пермаллой, пермендюр и др.). Ферромагнетики во внешнем поле сильно намагничиваются, то есть создают сильное внутреннее поле, во много раз увеличивая индукцию внешнего поля. Рассмотрим природу явлений диа-, пара- и ферромагнетизма. жется с постоянной скоростью V по круговой орбите радиуса r вокруг положительного ядра. Электрон будет обладать механическим моментом количества движения: I S L мех  I    mr 2 Рис. 7.2 где  - круговая частота вращения электрона по орбите. Напомним, что направление  вектора L мех определяется по правилу буравчика. Электрон заряжен, поэтому его движение создает ток. Подсчитаем величину этого тока. Время одного оборота электрона: 2r . T V За это время по его орбите проходит заряд е. Следовательно: 7.2. Магнитные моменты атомов Движение электронов в атомах подчиняется квантовым законам, однако, диа- и парамагнетизм удается объяснить, пользуясь простейшей боровской моделью атома. Сначала введем понятие магнитного момента: Рамка с током I и площадью S (рис. 7.2) характеризуется магнитным моментом: P  I S . (7.2) v  mrv , (7.3) r I e eV .  T 2r (7.4) Так как электрон обладает отрицательным зарядом, ток направлен против вращения электрона. Подсчитаем магнитный момент электрона, используя (7.2) и (7.4): Pm,  I  S  ev 2 evr er 2 r   . 2r 2 2 (7.5) Величина P - является векторной и связана с направлением тока по правилу правого буравчика, как это показано на рис. 7.2. Движение электрона в атоме можно уподобить такой рамке с током. Электрон с массой m и зарядом е дви57 58 Это орбитальный магнитный момент электрона в атоме. Магнитный момент связан с током, поэтому противополо- дует, что он может быть отличен от нуля или равен нулю. Как увидим ниже, от этого зависит поведение вещества во внешнем магнитном поле. em,l + 7.3. Атом во внешнем магнитном поле. Диамагнитный эффект. Диамагнетизм I Рис. 7.3 жен механическому моменту, поскольку за направление тока принято направление движения положительных зарядов (см. рис .7.3). Электрон, кроме орбитального механического и магнитного моментов, обладает спиновым (собственным) механическим и магнитным моментами. Собственный магнитный момент электрона, как известно: Pm,s   e , 2m (7.6) где  = h/2 (h - постоянная Планка); ( - ) в формуле из-за того, что спиновый момент противоположен орбитальному. Полный магнитный момент электрона:    Pm,э  Pm,  Pm,s . (7.7) В атоме N - электронов, тогда суммарный магнитный момент атома Рm, a будет равен сумме магнитных моментов его N - электронов: 59 (7.8) i 1  р m ,a - является векторной величиной, поэтому из (7.9) сле- v Lмех N   Pm,a   Pm,э (i ) . Явления диа- и парамагнетизма можно понять в рамках теории Бора строения атома. Пусть вращающийся электрон атома попадает во внешнее магнитное поле Вo, которое изменяется со скоростью dBo/dt (рис. 7.4). При изменении магнитного поля в контуре возникает ЭДС индукции, которая будет создавать магнитное поле, противоположное внешнему в соответствии с правилом Ленца. Создается дополнительный магнитный момент Рm, направленный против внешнего магнитного поля, независимо от величины и направления собственного магнитного момента электрона при его движении по орбиdВ0 те. Это свойство атомных dt электронов приобретать дополнительный магнитный eмомент при внесении во внешнее магнитное поле, I направленный против этого поля, носит название диамагнетизма. m Намагничение тела обычно характеризуют векРис. 7.4 тором намагничения (магнитный момент единицы 60    j  N  Pm,а  H объема):  J  Pm ,v V . (7.9)  Здесь Pm ,v - суммарный магнитный момент атомов в объеме V. Изменение магнитного момента приводит и к изменению угловой скорости  на некоторую величину , которая называется Ларморовой частотой:   eBo .   2m Здесь m - масса электрона. Это дополнительное (прецессионное) движение электрона (рис. 7.5). Если полный магнитный момент каждого атома в отсутствии поля равен нулю (Рm,a = 0), то вещество, состоящее из таких атомов, называется диамагнитным. При внесении такого атома в магнитное поле произойдет следующее. Орбитальный магнитный момент H каждого электрона, как бы этот электрон не двигался, приобретает отрицательную добавку. Следовательно, суммарный момент атома станет отm  рицательным по отношению к внешнему магнитному полю. Все вещество приобретет в поле магнитный момент, всегда направленный против поля. Диамагнитные вещества - висмут, ртуть, фосфор, сера, золото, медь. Доm полнительный магнитный момент пропорционален напряженности (инРис. 7.5 дукции) поля: 61 (  0) , (7.10)  называется магнитной восприимчивостью. Диамагнетизм - слабый эффект, и величина  при не слишком больших величинах H (или Во) является постоянной величиной. Для твердых тел и жидкостей диамагнитная восприимчивость имеет порядок 10-5, а для газов она значительно меньше из-за меньшей концентрации атомов. 7.4. Парамагнетизм Существуют вещества, у которых магнитный момент каждого отдельного атома в отсутствии внешнего магнитного поля отличен от нуля:  Р m,a  0. Это парамагнетики. Классическая теория парамагнетизма была развита в 1905 г. Ланжевеном. В отсутствии внешнего поля магнитные моменты отдельных атомов расположены хаотически В =0 (рис. 7.6, а), так что мага нитный момент единицы P =0 объема равен нулю, и те-P ло не намагничено. При включении внешнего В  B0 магнитного поля б В = H (рис. 7.6, б) на магнитные P = 0 моменты атомов будет действовать крутящий Рис. 7.6 момент, стремящийся установить их по полю. Хаотическое тепловое m ,v m ,a o m ,v 62 движение стремится разориентировать магнитные моменты. В результате установится динамическое равновесие. При этом вектор намагничения парамагнетика:   (7.11) j  H (  0) ,   10-3 - малая величина, то есть эффект парамагнетизма слабый. Заметим, что   f (T) , где Т - температура, при которой находится парамагнетик. В парамагнетиках существует и диамагнитный эффект, но он значительно слабее ориентирующего действия внешнего поля, поэтому суммарная магнитная восприимчивость парамагнетика оказывается  положительной. Его собственное поле B' направлено также  как и внешнее поле B 0 . 7.5. Расчет магнитного поля в магнетиках Поместим стержень из магнетика с площадью поперечного сечения S в однородное магнитное поле Вo (рис. 7.7). Пусть тело - парамагнетик (можно рассмотреть и диамагнетик). Стержень намагничивается, так что поле В’. Вычислим это поле. Рассмотрим сечение стержня S, изображенного на рис. 7.8, а. Токи внутри сечения компенсируют друг друга. Они остаются только по периметру. Получаем обтекающие стержень токи (рис. 7.8, б). Ситуация такая, как в соленоиде. Вычислим суммарный магнитный момент этого “соленоида”:    Pm,V   Pm,i  I м  S . (7.12) V Объем стержня: V = S. Тогда для вектора намагничения получаем: а S l Рис. 7.7 63 ( > 0 для парамагнетика,  < 0 для диамагнетика). Это можно уподобить появлению атомарных токов (показаны в сечении). Магнитные моменты их ориентированы вдоль стержня. Внутри стержня создается свое магнитное V  Iм  S Iм   Io , S  то есть I б   j  H В j  Pm,V Рис. 7.8 J  I0 . m (7.13)  Вектор намагничения J численно равен току Io, обтекающему единицу длины стержня. Тогда поле В’, созданное в стержне, можно определить как поле соленоида: B'  Bсол   0 NI   0 I 0   0 J;    B'   0 J , (7.14)  N  1 , I = Io. Линии B' направлены вдоль оси стерж ня. Подсчитаeм суммарное магнитное поле: Здесь 64        Bполн  B0  B'   0 H   0 J   0 (H  J ),    B   0 (H  H)   0 H(1  ) . Известно, что   B   0 H . (7.15)   замедляется. По значениям B и H можно определить вектор намагничения магнетика. Из (7.15) имеем: (7.16)    B   0 (H  J ); (7.17) Сравнивая (7.17) и (7.16), получим связь  и : 1    . (7.18) Для парамагнетиков >0 и тогда >1. Для диамагнетиков <0 и <1. Это согласуется с экспериментом. Таким образом,  определяет способность тела к намагничиванию. отсюда    B  0H J . 0  Подобно B меняется и J (рис. 7.10). Сложным образом меняются и величины  (рис. 7.11), они зависят от к ти гне а м Н;  достигает максимума, рро j Фе затем  1;  достигает макк ети н г симума, затем стремится к j ама пар нулю. Сущность ферромагдиам агне тик H нетизма объясняет квантовая теория. В ферромагнеРис. 7.10 тиках независимо от внешнего магнитного поля возникает сильная ориенти x ровка магнитных моментов. Наличие самопроизвольного или спонтанного намагниче ния является наиболее характерным свойством ферромагx нетиков. Опыт показывает, что ферромагнетики в отсутствии внешнего поля могут H быть и не намагничены, поэтому Вейс сделал предполоРис. 7.11 жение, что ферромагнетики н а с . 7.6. Ферромагнетизм. Явление гистерезиса Ферромагнетики, помимо способности сильно намагничиваться, обладают рядом свойств, существенно отличающих их от диа- и парамагнетиков. Характерной особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная  зависимость между индукцией B и напряженностью поля  H (или индукцией Bo). Эта зависимость была к и т е установлена агн ом р B р А.Г. Столетовым. ИндукФе  ик т е ция B сначала с увеличеагн м а  пар  B0 нием H  быстро уве диам агнет H ик личивается (рис. 7.9), но по мере намагничивания Рис. 7.9 магнетика ее нарастание 65 66 состоят из доменов, областей спонтанного (самопроизвольного) намагничения. Области (домены) в отсутствии внешнего поля имеют магнитные моменты, отличные от нуля, но магнитные моменты соседних доменов расположены произвольным образом (рис. 7.12, а). Поэтому тело в целом не намагничено. Во внешнем поле домены поворачиваются, их магнитные моменты ориентируются по полю (рис. 7.12, б). Тело быстро намагничивается, и далее магнитный момент тела почти не изменяется. Наступает насыщение. Процесс намагничения сопровождается деформацией. Это явление носит название магнитострикции. Оно возникает из-за поворота доменов. Используется явление магнитострикции для получения ультразвука. Намагничение при этом осуществляется в переменном магнитном поле, а направление деформации изменяется, что и приводит к колебаниям образца. Н=0 Температура может Н нарушить спонтанную намагниченность доменов. Ферромагнетик становится б парамагнетиком. Эта температура ТK - точка Кюри. Для железа ТK = 753 oС. Н=0 Существование доменов доРис. 7.12 казано экспериментально. Важное явление для ферромагнетиков - гистерезис (остаточная намагниченность). Если производить перемагничивание образца в периодическом магнитном поле, то кривая зависимости В(Н) имеет вид петли, называемой петлей гистерезиса (рис. 7.13). Участок ОА является кривой намагничивания, поскольку включение поля производится при нулевом значении ин67 дукции, т.е. при отсутствии постоянной намагниченности. Замкнутая кривая АСDFGKA является петлей гистерезиса. При уменьшении напряженности Н магнитного поля от некоторого значения (точка А), до нуля индукция поля уменьшается лишь немного до значения индукции, описываемой отрезкoм ОС. Эта индукция называется остаточной (Вr). Ферромагнетик в этом состоянии называется постоянным магнитом. Для того чтобы ликвидировать остаточное В А Вr C HC F Д К G Н= В0 0 Рис. 7.13 поле, необходимо приложить обратное поле, напряженность которого задается отрезком OD. Эта напряженность называется коэрцитивной силой Нс ферромагнетика. Форма петли гистерезиса, остаточная индукция и коэрцитивная сила зависят от материала ферромагнетика и изменяются для различных материалов в широких пределах. Материалы с малой коэрцитивной силой называются магнитомягкими и используются, например, для сердечников трансформаторов. Материалы с большой коэрцитивной силой называются магнито-жесткими и используются для создания постоянных магнитов. 68 8. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 8.1. Общее представление об электромагнитной теории Максвелла Между электрическими и магнитными полями существует глубокая внутренняя связь, проявляющаяся в том, что эти поля могут превращаться друг в друга. Всякое изменение магнитного поля всегда сопровождается появлением электрического поля и, наоборот, всякое изменение электрического поля приводит к появлению магнитного поля. Это взаимное превращение электрического и магнитного полей было открыто в начале второй половины прошлого века Максвеллом, который развил общую теорию электромагнитного поля в покоящихся средах. Теория Максвелла позволяет с единой точки зрения охватить всю совокупность свойств электрических и магнитных полей. Теория Максвелла явилась величайшим вкладом в развитие классической физики, она позволила с единых позиций описать огромный круг явлений, начиная от электростатического поля неподвижных зарядов и кончая электромагнитной природой света. Теория Максвелла - феноменологическая теория. Это означает, что внутренний механизм явлений, происходящих в среде и вызывающих появление электрических и магнитных полей, теорией не рассматривается. Теория Максвелла является макроскопической теорией электромагнитного поля. В ней рассматриваются электрические и магнитные поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами, т.е. зарядами, которые сосредоточены в объемах, неизмеримо больших, чем объемы от69 дельных атомов и молекул. Кроме того, предполагается, что расстояние от источников полей до рассматриваемых точек пространства также во много раз больше размеров молекул. Огромное значение имело открытие Максвеллом того факта, что скорость распространения электрических и магнитных взаимодействий равна скорости света в данной среде. Опираясь на этот результат, Максвелл развил электромагнитную теорию света. Рассмотрим уравнения Максвелла (в интегральной форме), которые являются основой теории электромагнитных волн. 8.2. Первое уравнение Максвелла. Возникновение электрического поля при изменении магнитного поля 1. Пусть имеется замкнутый контур (рис. 8.1), контур неподвижен. ПредпоВ ложим, что в контуре по каким-либо причинам меняется магнитное поле В. При изменении магнитного поля S (магнитного потока) в n контуре индуцируется Ii ток (по закону ФараРис. 8.1 дея). Индукционный ток обусловлен возникающим в контуре электрическим полем. Это электрическое поле создано магнитным полем. Обозначим напряженность этого электрического поля через Е q (пока будем писать индекс В). Тогда для ЭДС индукции можно записать:   i   E Bd  . (8.1) 70 Из закона Фарадея: i   dФ d      BdS, dt dt S    dS  dS  n ,  где n - нормаль к контуру с площадью S. В (8.2) интеграл берется по произвольной поверхности S, опирающийся на контур. Контур неподвижен, поэтому операции интегрирования и дифференцирования можно поменять местами:   B   d   BdS    dS. (8.3) dt S  t  S  Вектор B зависит от времени и координат, поэтому в (8.3) взята частная производная. Из формул (8.1) и (8.3) можно получить:     B   (8.4)  E Bd   S  t dS . Максвелл предположил, что изменяющееся со временем магнитное поле обуславливает появление в пространстве  поля E B , независимо от присутствия в этом пространстве проводящего контура. Наличие контура лишь позволяет обнаружить это электрическое поле. Итак, изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое поле. Это поле отличается от поля, порождаемого неподвижными электрическими зарядами. Обозначим напряженность по следнего E q . Электростатическое поле, созданное зарядами, является потенциальным. Его линии начинаются и конча ются на зарядах. Циркуляция вектора E q по любому замкнутому контуру равна нулю: 71 E (8.2) q   d  0 . (8.5)  Как следует из (8.4), циркуляция векторa E B  0 , следовательно, это поле вихревое. Линии этого поля замкнуты. В    общем случае E = E q + E B . Сложив (8.4) и (8.5), получим:    B    E  d  S  t dS . (8.6) Это первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Слева интеграл по замкнутому контуру, любому, справа - по поверхности, опирающейся на этот контур. Выражение (8.6) - одно из основных уравнений электромагнитной теории Максвелла. Пусть в какой-то точке пространства меняется магнитное поле (рис. 8.2). Возникает электрическое поле. Это поле вихревое, по праdВ вилу Ленца его силоdt вые линии подчиняются правилу левого вин  та. Вектор B  E в, эти S векторы лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. EB Явление возникновения в проРис. 8.2 странстве вихревого электрического поля под влиянием переменного магнитного поля было использовано, в частности, для создания индукционного ускорителя электронов - бетатрона. Вихревые то- n 72 ки широко используются в технике, например, для нагревания и плавки металлов (индукционные печи). 8.3. Ток смещения. Второе уравнение Максвелла Итак, из явления электромагнитной индукции вытекает, что наличие в пространстве изменяющегося магнитного поля приводит к возникD новению вихревого электрического поля. Следую-q iПР +q iПР щая идея Максвелла заключалась в том, что между dD электрическим и магнитS dt ным полями имеется и обратное соотношение, т.е. изменяющееся со временем электрическое поле должно приводить к поРис. 8.3 явлению магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и возникающим магнитным Максвелл ввел понятие тока смещения. Рассмотрим электрическую цепь, содержащую. конденсатор (рис. 8.3). В начальный момент времени конденсатор заряжен. Затем конденсатор начнет разряжаться. В цепи потечет ток проводимости iпр. Линии тока проводимости терпят на границах обкладок разрыв. В пространстве между обкладками конденсатора имеется меняющееся электрическое поле, которое можно характеризовать вектором элек трической индукции D (электрическое смещение). Напом  ним, что D   0 E . Максвелл предположил, что линии тока проводимости непрерывно переходят на границе обкладок в линии тока, названного им током смещения iсм. Плотность 73 тока проводимости jп р в непосредственной близости от обкладок: jп р  iсм q d  q        , S S dt  S  (8.7) S - площадь обкладки, q - распределенный на ней заряд,  - поверхностная плотность заряда. Известно, что D   0 E   .   dD . Тогда   D dt   dD  jсм   D. dt (8.8) Cкорость изменения электрического поля есть ток смещения. Линии тока проводимости на рис. 8.3 переходят в линии тока смещения. Из всех свойств, присущих току проводимости, Максвелл току смещения приписал лишь одно - способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Согласно Максвеллу, плотность полного тока:       . jполн  jп р  jсм  jп р  D (8.9)  Тогда теорему о циркуляции В можно записать следующим образом:         )dS . B d    ( j ) d S   ( j  D 0  полн 0  пр   S (8.10) S 74 Это второе основное уравнение Максвелла. Оно свидетельствует о том, что в природе все электрические токи замкнуты. Везде, где есть меdD няющееся электрическое поdt ле, есть ток смещения. В проводниках такой ток тоже есть, но он значительно Bменьше, чем ток проводимости. Из уравнения (8.10) следует: при изменении электрического поля в любой Рис. 8.4 точке пространства появляется вихревое магнитное поле. Магнитное поле всегда вихревое, т.к. магнитных зарядов    не существует. Поле E (или D ) и возникающее поле B  связаны правилом правого винта (рис. 8.4). Векторы E   (или D ) и B находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях. 8.4. Семь уравнений Максвелла в интегральной форме Основу электромагнитной теории Максвелла составляют 7 уравнений. Два мы уже рассмотрели. Запишем следующие 5 уравнений. Теорема Гаусса представляет собой следующее уравнение в теории Максвелла. Поток вектора электрического  смещения D через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов, или: 75   N D  n dS   q i . (8.11) i 1  Для вектора B тогда по аналогии можно записать:   B  n dS  0 . (8.12) Это понятно, поскольку магнитных зарядов не существует. Далее:   D   0 E , (8.13)   B   0 H ,   j  E . (8.14) (8.15) Итак, (8.6), (8.10), (8.11) - (8.15) - представляют 7 уравнений Максвелла в интегральной форме. ,  и  - входят в уравнения Максвелла как материальные постоянные, т.е. как заданные величины, характеризующие свойства среды. Согласно идеям Максвелла, переменное магнитное поле связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным. Таким образом, электрическое и магнитное поля оказываются неразрывно связаны друг с другом - они образуют единое электромагнитное поле. Раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создается неподвижными зарядами. Однако если заряды неподвижны относительно одной инерциальной системы, то относительно других инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно, будут создавать не только электрическое, но и магнит76 ное поле. Неподвижный провод с током создает магнитное поле (постоянное). Однако относительно других инерциальных систем этот провод находится в движении. Поэтому создаваемое проводником магнитное поле в любой точке пространства будет меняться и создавать вихревое электрическое поле. бания являются переменными и возбуждают электрические колебания (в плоскости рисунка), так что в точке "1" они исчезают, но возникают в точке "3" и т.д. D X 8.5. Возникновение электромагнитных волн Как следует из уравнений Максвелла, переменное электрическое поле порождает магнитное, которое тоже оказывается переменным. Таким образом, если возбудить с помощью зарядов в какой-то точке пространства переменное электрическое поле, в окружающем пространстве возникает последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, будет представлять собой волну. Схема этого процесса представлена на рис. 8.5. Электрические колебания, возбужденные в точке "1" пространства, возбуждают колебания магнитного поля в перпендикулярной плоскости в точке "2". Возникшие коле- D dt В 1 2 В 4 3 В 5 x В D D Рис. 8.5 77 8.6. Опыты Герца. Шкала электромагнитных волн D ДРОССЕЛЬ Рис.8.7 ВИБРАТОР D Рис. 8.6 Возможность существования электромагнитных волн предсказана Максвеллом на основе предложенных им уравнений. Таким образом, создается электромагнитная волна распространение электромагнитных колебаний в простран  стве. Заметим, что колебания вектора DB . Пусть D = Docos t; B = Bocos t, тогда волна имеет вид, представ  ленный на рис. 8.6. Колебания D и B перпендикулярны направлению распространения волны (вдоль оси х). Следовательно, электромагнитная волна - поперечная волна. ИНДУКТОР dD В Экспериментальная проверка вывода теории Максвелла о возможности существовании электромагнитных волн была выполнена Герцем в 1888 г. Для получения волн Герц применял изобретенный им вибратор, состоящий из двух стержней, 78 разделенных искровым промежутком (рис. 8.7). Как в вибраторе создаются волны? Чтобы это понять, рассмотрим сначала электрический колебательный контур, E который состоит из кон+ денсатора и катушки + (рис. 8.8, а). Электриче+ ское поле сосредоточено в зазоре между обкладками, магнитное - внутри б а катушки. В окружающем конденсатор и катушку пространстве поля практически равны нулю, поэтому заметного излучев ния волн не происходит. Рис .8.8 Чтобы изучение играло заметную роль, нужно сделать области, в которых возникают поля, менее обособленные от окружающего пространства. Это можно достигнуть, увеличивая расстояние между обкладками конденсатора и между витками катушки (рис. 8.8, б). В пределе мы придем к вибратору (рис. 8.8, в). В процессе видоизменений возросла частота электрических колебаний: 1 . (8.16)  LС Вспомним, что индуктивность контура L и емкость С соответственно равны:  0 N 2S  S L ; С 0 .  d Сопоставляя эти формулы с формулой (8.16), можно заключить, что при уменьшении числа витков ( N ) катушки и 79 увеличении расстояний (d) между обкладками конденсатора величины L и С уменьшаются, а  - увеличивается. Для возбуждения колебаний вибратор подключался к индуктору, как это показано на рис. 8.7. Когда напряжение достигало пробивного значения, возникала искра, которая закорачивала обе половинки вибратора. В результате возникали свободные затухающие колебания, которые продолжались до тех пор, пока искра не гасла. Дроссель включался, чтобы высокочастотный ток не ответвлялся в обмотку индуктора. После погасания искры вибратор снова заряжался от индуктора, и весь процесс повторялся вновь. Таким образом, вибратор Герца возбуждал ряд цугов слабо затухающих волн. Как доказать, что электромагнитные волны существуют? Это было доказано Герцем с помощью резонатора. Резонатор подобен вибратору по устройству, но его роль другая. Это понятно из рис. 8.9. Волны возбуждаются вибратором В, доходят до резонатора Р. В нем проскакивает искра и лампочка Л загорается, фиксируя наличие электромагнитных волн. С помощью больших металлических зеркал и асфальтовой призмы Герц осуществил отражение и преломление электромагнитных волн и показал, что оба эти явления подчиняются законам, установленным для световых волн. Герц измерил длину электромагнитной волны и нашел, что скорость волн равна скорости света С. Располагая на пути волн решетку из медных проволок, Герц обнаружил, что при вращении решетки вокруг луча интенсивность волн, прошедших сквозь решетку, сильно изменяется. Так было доказано, что электромагнитные волны - поперечные волны. Опыты Герца были продолжены П.Н. Лебедевым, который в 1894 г. получил более короткие волны (  6 мм) и исследовал прохождение их в кристаллах. Было открыто двойное лучепреломление. 80 В 1896 г. А.С. Попов впервые осуществил с помощью элекр В то к тромагнитных волн передачу соду н И общения на расстояние около 250 Р м (“Генрих Герц” - содержание первой радиограммы). Так была основана радиотехника, и появиЛ лась новая наука - радиофизика. Из всего сказанного нетрудно понять, что световые волРис.8.9 ны являются также электромагнитными, только более короткими, чем те, которые получил Г. Герц. Впоследствии было доказано, что рентгеновские лучи и  - лучи также являются электромагнитными волнами, но лишь с очень малой длиной волны. Так было введено представление о шкале электромагнитных волн. В ней самые длинные волны - радиоволны, самые короткие -  лучи. 8.7. Вектор Умова-Пойтинга Возможность обнаружения электромагнитных волн (по проскакиванию искры, свечению лампочки и т.п.) указывает на то, что эти волны переносят энергию. Для характеристики переноса энергии волной была введена векторная величина - плотность потока энергии. Она численно равна количеству энергии, переносимой через единичную площадку, перпендикулярную к направлению, в котором течет энергия в единицу времени. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии. Плотность энергии электромагнитного поля: 81   E  H   0 E 2 0 H 2 .  2 2 (8.17) Е и Н изменяются в одинаковой фазе, поэтому соотношение справедливо и для мгновенных значений. Отсюда следует, что в каждый момент времени: E  H . Поэтому:   2E   0 E 2 . Из равенства  E   H , следует, что  0 E   0 H . Тогда    0 0 EH . Известно, что скорость электромагнитной волны 1 . V  0  0 (8.18) (8.19) Если умножить  на V, то получим плотность потока энергии: S  V  EH .    E и H взаимно перпендикулярны и образуют с вектором S правовинтовую систему. Следовательно:    S  [E, H]. (8.20)  Величина S называется вектором Умова-Пойтинга. Наличие его подтверждает материальный характер электромагнитной волны. 82 9. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО РАЗДЕЛУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ: «ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ» 1. Что является источником магнитного поля? 2. Чем отличаются силовые линии магнитного поля от силовых линии электростатического поля? 3. Дайте понятие магнитной индукции. 4. По какому правилу определяется направление силовых линий магнитного поля? Как проводится вектор магнитной индукции? 5. Сформулируйте принцип суперпозиции для магнитных полей. 6. Дайте понятие элемента тока. 7. Сформулируйте закон Био – Савара - Лапласа. 8. Охарактеризуйте магнитное поле (силовые линии, величина и направление магнитной индукции) 1) для прямого проводника с током конечной и бесконечной длины; 2) для кругового витка с током в центре витка и на оси. 9. Опишите магнитное поле бесконечно длинного соленоида. 10. Сформулируйте закон Ампера. 11. Как найти направление силы Ампера? Поясните примером. 12. Рассмотрите взаимодействие двух параллельных бесконечно длинных проводников с током. 13. Какая сила называется силой Лоренца? От каких параметров она зависит? 14. Как определить направление силы Лоренца? Поясните примером. 15. Какова траектория движения частицы, движущейся в магнитном поле, если она влетела в поле 1) параллельно В, 2) перпендикулярно В, 3) под острым углом к В. 83 16. В чем заключается явление электромагнитной индукции? 17. Сформулируйте закон Фарадея. 18. В чем заключается правило Ленца? 19. Какие типы магнетиков вы знаете? Чем они отличаются? 20. Дайте определение магнитного момента атома. 21. В чем заключается диамагнитный эффект? 22. Какова природа парамагнетизма? 23. Что вы знаете о ферромагнетиках? 24. Изобразите петлю магнитного гистерезиса и объясните ее? 25. Запишите уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Каков физический смысл первого и второго уравнений Максвелла? 26. Как возникают электромагнитные волны? 84 10. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ  Пример 1. Найти магнитную индукцию В магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии а = 2 м от бесконечно длинного проводника, по которому течет электрический ток J = 5 А. РЕШЕНИЕ. Для решения задачи построим чертеж (рис. 10.1). Силовая линия для бесконечно длинного  В а J находятся в одной плоскости (рис. 10.2). Найдите магнитные индукции поля в точках M1 и М2, если J1 = 2 A, J2 = 3 А. Расстояние AM1 = АМ2 = 1 см и DM1 = CM1 = 2 см. РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей:    (10.2) В  В1  В2 ,   где В 1 и В 2 - магнитные индукции полей, созданных каждым проводником в отдельности. На рис. 10.2 видно, что в точке M1 магнитные индук-  В1  В2 J1 М1 М2 J2 С проводника - окружность. Направление силовой линии находим по правилу буравчика. Магнитную индукцию Рис. 10.1  В в выбранной точке проведем по касательной к силовой линии (на рис. 10.1 проводник с током расположен перпендикулярно плоскости чертежа). Магнитную индукцию вычислим по формуле (1.7), выведенной в п. 1.6: J (10.1) B   0 . 2a B 4  3,14  5  5 (Тл). 2  3,14  2 Пример 2. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно друг другу и 85   В1 В 2 D ции Рис. 10.2   В 1 и В 2 направлены в противоположные стороны, поэтому результирующая магнитная индукция в этой точке равна: B(M1) = B1 – B2. Магнитные индукции B1 и В2 выразим по формуле 10.1: J В1  0 1 2r1 В2  0 J2 2r2 где r1 = АМ1, r2 = DM1. Тогда 86 В( М1 )  0  J1 J     2  . 2  r1 r2  B  Гн А  Тл. м м В( М1 ) 4  3,14  107  3 2       4  105 (Тл). 2  3,14  0,01 0,02    В точке М2 (рис. 10.2) магнитные индукции В1 и В 2 направлены в одну сторону, поэтому результирующая индукция в точке М2 равна: В(М2) = В1 + В2. Подставим В1 и В2 и получим: В( М1 )  J J   0  1   2  2  r1 r2  Магнитная индукция в точке М1 В = 410-5 Тл и направлена перпендикулярно плоскости чертежа «к нам», а в точке М2 – В = 710-5 Тл и направлена также «к нам». Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом  R = 10 см течет ток J = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равномерно удаленной от всех точек кольца на расстояние r = 20 см. РЕШЕНИЕ. Для решения задачи воспользуемся законом Био - Савара - Лапласа:   J   dB  0 3 d  x r , 4r  где d В - магнитная индукция поля, создаваемого элементом   тока Jd  в точке, определяемой радиусом – вектором r .  87  Выделим на кольце элемент d и от него в точку А   проведем радиус-вектор r (рис. 9). Вектор d В направим в соответствии с правилом буравчика. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,  магнитная индукция В в точке А определяется интегралом:   В   dВ ,  где интегрирование ведется по всем элементам d кольца;  - длина кольца.   Разложим вектор d В на две составляющие: d В ,  перпендикулярную плоскости кольца, и d В , параллельную плоскости кольца. Тогда    B  dB   dB|| . Заметив, что    l l  dB||  0 из соображений симметрии и что l  векторы от различных элементов d В  сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:   В   dB  ,   где dB = dBcos и dB = 0Jd/4r2 (поскольку  перпенди кулярен r и, следовательно, sin = 1;  = 2R). Таким образом,  J B  0 2 cos  4 r 2 R  dl   0 J cos 2R 4r 2 . После сокращения на 2 и замены cos на R/r (рис. 10.3) получим B  0 JR 2 2r 3 . 88 Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл): 2 0  J R 2  1Гн м  1А  1м  1 Гн  1А 2  1 Дж  r3 1 м3 1А  1 м 2 1А  1 м 2 1Н  1м   1 Тл 1А  1м 2     Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления: окружности. Вычислить радиус R окружности. РЕШЕНИЕ. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле будет проходить по окружности только в том случае, когда частица влетит в магнитное поле перпен  дикулярно линиям магнитной индукции VB . Так как сила  Лоренца перпендикулярна вектору V , то она сообщает ча стице (протону) нормальное ускорение a n . Согласно второму закону Ньютона,   (1) F  man где m - масса протона. На рис. 10.4 совмещена траектория протона с плоскостью  чертежа и дано (произвольно) направление вектора V . Си лу Лоренца направим перпендикулярно вектору V к центру   окружности (векторы a n и F сонаправлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных си ловых линии (направление вектора В ). Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в проекции на радиус): (2) F  ma n Рис.10.3 В 4 10 7  80  (0.1) 2 2  (0.2) 3 Тл  6.28 10 5 Тл или В = 62,8 мкТл.  Вектор B направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рис. 9) в соответствии с правилом буравчика. Пример 4. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по 89 R   e  Fл Рис.10.4 В скалярной форме Fл = QVBsin. В нашем случае   VB и sin = 1, тогда Fл = QVB. Так как нормальное 90  ускорение аn  V 2 / R , то выражение (2) перепишем следующим образом: QVB  mV 2 / R . Отсюда находим радиус окружности: R = mV/(QB). Заметив, что mV есть импульс (р) протона, выражение можно записать в виде: R = p/(QB). (3) Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой силы электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т.е. А = Екин или R Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м) m1/ 2  V1 / 2   BQ1 / 2  где (1 -2) - ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U); T1 и Т2 - начальная и конечная кинетические энергии протона. Пренебрегая начальной кинетической энергией протона (T1 = 0) и выразив кинетическую энергию Т2 через импульс р, получим QU = p2/(2m) Найдем из этого выражения импульс р  mQU и подставим его в формулу (З): R или 91 2mQV QB 1/ 2 1  кг  В    Кл  1/ 2 2 1/ 2 2 ( кг ) м ( кг ) м   м 1/ 2 1/ 2 ( Дж ) с ( Дж ) м / сс  Тл  1/ 2 2 1/ 2 (кг )  А ( Дж ) Дж  Кл  Подставим в формулу (4) числовые значения физических величин и произведем вычисления: R 1 0.3 Q(1 -2) = Eкин2 – Екин1, 1 2mU / Q / . B 2  1.67  10 27 1.6  10 19  600 м  0.0118 м  11,8 мм Пример 5. Электрон движется в однородном магнитном поле (В = 10 мТл) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг h ~ 6 см Определить период Т обращения электрона и его скорость V. РЕШЕНИЕ. Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в одB нородное магнитное e поле под некоторым углом (  /2) O F к линиям R магнитной h индукции. л 92 Разложим, как это показано на рис. 10.5, скорость электрона на две составляющие: параллельную вектору     В(VII ) и перпендикулярную ему (V ) Скорость VII в магнитном поле не изменяется и обеспечивает переме щение электрона вдоль силовой линии. Скорость (V ) в результате действия силы Лоренца будет изменяться   только по направлению Fл V . В отсутствие параллель ной составляющей ( VII  0 ) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной магнитным силовым линиям. Таким образом, электрон будет участвовать одновременно в двух движениях:  равномерном перемещении со скоростью VII и равно мерном движении по окружности со скоростью (V ) . Период обращения электрона связан с перпендикулярной составляющей скорости соотношением (1) Т  2R / V .  Найдем отношение R / V . Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение an  V2 / R . Согласно второму закону Ньютона можно записать Fn  man или | e | V B  mV2 / R , (2) где V = Vsin . Сократив (2) на V, выразим соотношение: mV2 R  V R и подставим его в формулу (1): 93 m . |e|B Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с): T  2 кг кг  А  м 2 кг  с 2  м 2 [m]     с. [e][B] Кл  Тл АсНм с  кг  с 2 Произведем вычисления Модуль скорости V, как это видно из рис. 10.5, можно выразить через V И VII: V  V 2  VII2 Из формулы (2) выразим перпендикулярную составляющую скорости: V | e | BR m Рис.10.5 Параллельную составляющую скорости VII найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обращения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстояние, равное шагу линии, т.е. h = TVII, откуда h VII  . T Подставив вместо Т правую часть выражения (2), получим | e | Bh VII  2m Таким образом, модуль скорости электрона 94 2 |e|B  h  R2    m  2  Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скорости (м/с). Для этого заметим, что R и h имеют одинаковую единицу - метр (м). Поэтому в квадратных 95скобках мы поставим только одну из величин (например, R): [e][B] 2 1 / 2 Кл  Тл 2 1 / 2 А  с  Н  м Н  с [R ]  (м )    [ m] кг кг  А  м 2 кг V  V 2  VII2  кг  м  с  м / с. кг  с 2 Произведем вычисления:  1/ 2 1.6  10 19  10  10 3  (0.06) 2  2 7 V ( . 01 )    м / с  2.46  10 м / с. 31 2  9.1  10  или 24.6 м/с. Пример 6. Однородное магнитное (В = 2,56 мТл) и электрическое (Е = 10 кВ/м) поля скрещены под прямым углом. Протон влетает в эти поля так, что силы, действующие на него, сонаправлены. Определите ускорение а протона. Скорость протона равна 5106 м/с. РЕШЕНИЕ. Для решения задачи построим чертеж (рис. 10.6).    В В В  В  Е qo  Fэл  Fл Рис.10.6 Вектор напряженности электрического поля располагаем в плоскости чертежа, а вектор магнитной индукции перпендикулярен чертежу («от нас»). При этом на протон  будут действовать две силы: сила Fэл , действующая со стороны электрического поля, и сила Лоренца Fл в маг- 96  нитном поле. Обе силы перпендикулярны скорости V   протона, поэтому ускорения а1 и а 2 , создаваемые этими силами, перпендикулярны скорости и, значит, изменяют скорость только по направлению (нормальные ускорения a1 = an1, a2 = an2). По второму закону Ньютона:   Fэл  m p an1 ,   Fл  mpan 2 . Рассмотрим первое уравнение и выразим an1:   Fэл  q p E n1 ,  Fл  q p E , тогда: qpE   q p  E  m p a n1  a n1  . mp Рассмотрим второе уравнение и выразим an2:    Fл  q p [ v  B], Fл  q p VB sin 90 0  q p VB,  В  В q p VB  m p a n 2  a n 2  a n 2  q p VB mp . Нормальное ускорение, созданное двумя силами равно:    an  an1  an 2 . Ускорения an1 и аn2 сонаправлены (рис. 10, б), поэтому an  an1  an 2 . или q p E q p VB an   . mp mp Потокосцепление  = N, где N- число витков катушки, пронизываемых магнитным потоком . Подставив выражение  в формулу (1), получим i   N an  1.6  10 19 1.67  10  10  27 4  1.67  10 19 6  5  10  2.5  10 1.67  10  27 3 12 2  2.1  10 (м / c ) Ответ: протон движется по окружности с ускорением аn = 2.11012 (м/с)2. Пример 7. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой n = 10 с-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линии однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол  = 60° с линиями поля. Площадь S катушки равна 100 cм2. РЕШЕНИЕ. Мгновенное значение ЭДС индукции i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла: εi   99 97 dψ dt . dt . (2) При вращении катушки  магнитный поток , пронизыV  вающий катушку в момент q Е времени t, изменяется по закох х ну  = BScos wt, где B - маг  В В нитная индукция; S - площадь катушки; w - угловая скорость катушки. Подставив в формулу (2) выражение магнитного потока  и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции: i = NBS sint.  В х Подставим единицы измерения. Кл  Н / Кл Кл  м / с  Тл Н Н кг  м м [a n ]      2  2. кг кг кг кг с  кг с d  В х Заметив, что угловая скорость  связана с частотой вращения n катушки соотношением  = 2n и что угол t = /2 -  (рис. 10.7), получим [учтено, что sin(/2-) = cos] i = 2NBScos. Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В): n BS  Тл  м с 2  нм 2 Амс  Дж  В. Кл Произведем вычисления: i = 23,14101030,0410-20,5 В = 25,1 В. (1) 100 98   электрическая сила Fэл  qE, направленная по полю. Сила  Fл создает тангенциальное ускорение и заряд в электрическом поле движется прямолинейно равноускоренно: at 2  S  Vt   2    Fэл  ma   уравнения кинематики и динамики равноускоренного прямолинейного движения. Таким образом, под  действием двух сил Fл и  Fэл заряд движется по вин- Рис. 10.7 Пример 8. Рассмотрим движение заряда в скрещен ных полях. Магнитная индукция В перпендикулярна  напряженности однородного электрического поля Е . РЕШЕНИЕ: Сначала рассмотрим действие магнитного по ля на заряд q. Найдем направление силы Лоренца Fл по правилу левой руки. Сила Fл направлена перпендикулярно скорости V. Эта сила создает нормальное ускорение, поэтому траектория движения заряда q в магнитном поле – окружность. Запишем уравнения движения заряда:  = wt – уравнение кинематики,  Fл  ma n - уравнение динамики равномерного вращения заряда. V2 Fл  qVB, a n  R Рис.10.8 Рис. 10.8 at 2 mV товой линии с шагом h  Vt  и радиусом R  . 2 qB  В  В  Fл х х   аn V q х  В  Fэл  а  Е х  В Рис.10.9 2 mV mV - радиус траектории. R R qB Далее рассмотрим действие однородного электрического поля на заряд q. На положительный заряд q действует qVB  101 102 11. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 1. Найти напряженность магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии а = 2 м от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток J = 1 А. [Н = 39,8 А/м]. 2. Найти напряженность магнитного поля в центре кругового проволочного витка радиусом R = 1 см, по которому течет ток J = 1 А. [Н = 50 А/м]. 3. Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии d = 10 см друг от друга. По проводникам текут токи J1 = J2 = 5 А в противоположных направлениях. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии 10 см от каждого проводника. [Н = 8 А/м]. 4. Два круговых витка расположены в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что центры этих витков совпадают. Радиус каждого витка R = 2 см, токи в витках J1 = J2 = 5 А. Найти напряженность магнитного поля в центре этих витков. [Н = 177 А/м]. 5. Чему равна и как направлена сила взаимодействия двух параллельных токов (I1 = 2 A; I2 = 3 A), находящихся на расстоянии 10 см друг от друга. Длина каждого проводника 1 м. Токи текут в одном направлении. Решение сопроводить чертежом. [F = 610-6 Н]. 6. Чему равна и как направлена сила взаимодействия двух параллельных токов (I1 = 2 A; I2 = 3 A), находящихся на расстоянии 10 см друг от друга. Длина каждого проводника 1 м. Токи текут в противоположных направлениях. Решение сопроводить чертежом. [F = 1510-6 Н]. 7. Два прямолинейных длинных параллельных про103 водника находятся на некотором расстоянии друг от друга. По проводникам текут одинаковые токи в одном направлении. Найти токи J1 и J2, текущие по каждому из проводников, если известно, что для того, чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое большее расстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины проводников) A1= 55 мкДж/м. [J1 = J2 = 20 А]. 8. Заряженная частица движется в магнитном поле по окружности со скоростью v = 106 м/с. Индукция магнитного поля В = 0,3 Тл. Радиус окружности R = 4 см. Найти заряд q частицы, если известно, что ее энергия W = 12 кэB.[q = 3,21019 Кл]. 9. Отрицательно заряженная частица (q = -5 НКл, m = 151020 кг) влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям со скоростью 107 м/с. Магнитная индукция поля равна 0,3 Тл. Найти радиус траектории движения заряда. Решение сопроводить чертежом. [R = 0,001 м]. 10. Проток со скоростью 107 м/с влетает в однородное магнитное поле с индукцией 1 Тл под углом 300 к силовым линиям поля. Найти радиус траектории протона. Масса протона 1,6710-27 кг, заряд протона 1,610-19 Кл. Решение сопроводить чертежом. [R – 0,055 м]. 11. Скорость самолета с реактивным двигателем v = 950 км/ч. Найти ЭДС индукции i, возникающую на концах крыльев самолета, если вертикальная составляющая напряженности земного магнитного поля Нв = 39,8 А/м и размах крыльев самолета 12,5 м. [I = 165 мВ]. 104 12. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 410 401 402 403 404 405 406 407 408 409 420 411 412 413 414 415 416 417 418 419 Номера задач 430 440 421 431 422 432 423 433 424 434 425 435 426 436 427 437 428 438 429 439 450 441 442 443 444 445 446 447 448 449 460 451 452 453 454 455 456 457 458 459 401. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как это показано на риc. 1. Определить магнит ную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см. 402. Магнитный момент рm тонкого проводящего  кольца pm = 5 Ам2. Определить магнитную индукцию В в точке А, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r = 20 см (рис. 2). 403. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I (I = 100 А).  Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 3). Расстояние d = 10 см. 404. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 4, течёт ток I = 200 А. Опреде лить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см. 405. По тонкому кольцу радиусом R = 20 см течет ток 106  I = 100 А. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис. 5). Угол  = 60. 406. По двум бесконечно длинным проводам, скрещенным под прямым углом, текут токи I1 и I2 = 2I1  (I1 = 100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние d = 10 см (рис. 6). 407. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 7, течет ток I = 200 A. Опреде лить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см. 408. По тонкому кольцу течет ток I = 80 A. Определить  магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от точек кольца на расстояние r = 10 см (рис. 8). Угол  = 30. 409. По двум бесконечно длинным, прямым параллельным проводам текут одинаковые токи I = 60 A. Опреде лить магнитную индукцию В в точке А (рис. 9), равноудаленной от проводов на расстояние d = 10 см. Угол  = 60. Рис. 1 Рис. 2 107 I Рис. 3 107 Рис. 4 Рис. 5 Рис. 6 Рис. 7 Рис. 8 Рис. 9 I Рис. 10 410. Бесконечно длинный провод с током I = 50 A изогнут так, как это показано на рис. 10. Определить магнит ную индукцию В в точке А, лежащей на биссектрисе прямого угла на расстоянии d = 10 см от его вершины. 411. По двум параллельным проводам длиной l = 3 м каждый текут одинаковые токи I = 500 А. Расстояние d  между проводами равно 10 см. Определить силу F взаимодействия проводов. 412. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи I = 400 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из проводов отношение силы, действующей на него к его длине. 413. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи I = 200 А. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к проводу сторона рамки находится от него на расстоянии равном ее длине. 414. Короткая катушка площадью поперечного сечения S = 250 см2, содержащая N = 500 витков провода, по которому течет ток I = 5 А, помещена в однородное магнитное поле, напряженностью Н = 1000 А/м. Найти: 1) магнит108 ный момент pm катушки; 2) вращающий момент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол  = 300 с линиями поля. 415. Тонкий провод длиной l = 20 см изогнут в виде полукольца и помещен в магнитное поле (В = 10 мТл) так, что площадь полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. По проводу пропустили ток I = 50 А. Опре делить силу F , действующую на провод. Проводящие провода направлены вдоль линий магнитной индукции. 416. Шины генератора длиной l = 4 м находятся на расстоянии d = 10 см друг от друга. Найти силу взаимного отталкивания шин при коротком замыкании, если ток Iк.з. короткого замыкания равен 5 кА. 417. Квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток I = 50 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 10 мТл). Определить изменение П потенциальной энергии контура при повороте вокруг оси, лежащей в плоскости контура, на угол  = 1800. 418. Тонкое проводящее кольцо с током I = 40 А помещено в однородное магнитное поле (В = 80 мТл). Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус R кольца равен 20 см. Найти силу F, растягивающую кольцо. 419. Квадратная рамка из тонкого провода может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпадающей с одной из сторон. Масса m рамки равна 20 г. Рамку поместили в однородное магнитное поле (В = 0,1 Тл), направленное вертикально вверх. Определить угол , на который отклонилась рамка от вертикали, когда по ней пропустили ток I = 10 А. 420. По круговому витку радиусом R = 5 см течет ток I = 20 А. Виток расположен в однородном магнитном поле (В = 40 мТл) так, что нормаль к плоскости контура состав109  ляет угол  = /6 с вектором В . Определить изменение П потенциальной энергии контура при его повороте на угол   /2 в направлении увеличения угла . 421. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле, стали двигаться по окружностям радиусами R1 = 3 см и R2 = 1,73 см. Определить отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов. 422. Однозарядный ион натрия прошел ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ и влетел перпендикулярно линиям магнитной индукции в однородное поле (В = 0,5 Тл). Определить относительную атомную массу А иона, если он описал окружность радиусом R = 4,37 см. 423. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом h = 4 см. Определить магнитную индукцию В поля. 424. Электрон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 800 В и, влетев в однородное магнитное поле, В = 47 мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагом h = 6 см. Определить радиус R винтовой линии. 425. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 100 В и, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,1 Тл), стала двигаться по винтовой линии с шагом h = 6,5 см и радиусом R = 1 см. Определить отношение заряда частицы к ее массе. 426. Электрон влетел в однородное магнитное поле (В = 200 мТл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определить силу эквивалентного кругового тока Iэкв, создаваемого движением электрона в магнитном поле. 427. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в однородное магнитное поле (В = 20 мТл) под углом  = 300 к линиям магнитной индукции. Определить шаг h и радиус R винтовой линии, по ко- 110 торой будет двигаться протон в магнитном поле. 428. Альфа-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, стала двигаться в однородном магнитном поле (В = 50 мТл) по винтовой линии с шагом h = 5 см и радиусом R = 1 см. Определить ускоряющую разность потенциалов, которую прошла альфа-частица. 429. Ион с кинетической энергией Екин = 1 кэВ попал в однородное магнитное поле (В = 21 мТл) и стал двигаться по окружности. Определить магнитный момент pm эквивалентного кругового тока. 430. Ион, попав в магнитное поле (В = 0,01 Тл), стал двигаться по окружности. Определить кинетическую энергию Екин (в эВ) иона, если магнитный момент pm эквивалентного кругового тока равен 1,610-14 Ам2. 431. Протон влетел в скрещенные под углом  = 1200 магнитное (В = 50 мТл) и электрическое (Е = 20 кВ/м) поля.  Определить ускорение а протона, если его скорость     V ( V  4  10 5 м/с) перпендикулярна векторам Е и В . 432. Ион, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 645 В, влетел в скрещенные под прямым углом однородное магнитное (В = 1,5 мТл) и электрическое (Е = 200 В/м) поля. Определить отношение заряда иона к его массе, если ион в этих полях движется прямолинейно. 433. Альфа-частица влетела в скрещенные под прямым углом магнитное (В = 5 мТл) и электрическое  (Е = 30 кВ/м) поля. Определить ускорение а альфа-частицы,   если ее скорость V ( V  2 106 м/с) перпендикулярна векто  рам Е и В , причем силы, действующие со стороны этих полей, противонаправлены. 434. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 1,2 кВ, попал в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Определить 111  напряженность Е электрического поля. Магнитная индукция В = 6 мТл, а траектория электрона – прямая. 435. Однородные магнитное (В = 2,5 м/Тл) и электрическое (Е = 10 кВ/м) поля скрещены под прямым углом. Электрон, скорость V которого равна 4106 м/с, влетает в эти поля так, что силы, действующие на него со стороны магнитного и электрического полей, сонаправлены. Опре делить ускорение а электрона. 436. Однозарядный ион лития массой m = 7 а.е.м. прошел ускоряющую разность потенциалов U = 300 В и влетел в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Определить магнитную ин дукцию В поля, если траектория иона в скрещенных полях  прямолинейна. Напряженность Е электрического поля равна 2 кВ/м. 437. Альфа-частица, имеющая скорость V = 2 Мм/с, влетает под углом  = 300 к сонаправленному магнитному (В = 1 мТл) и электрическому (Е = 1 кВ/м) полям. Опреде лить ускорение а альфа-частицы. 438. Протон прошел некоторую ускоряющую разность потенциалов U и влетел в скрещенные под прямым углом однородные поля: магнитное (В = 5 мТл) и электрическое (Е = 20 кВ/м). Определить разность потенциалов U, если протон в скрещенных полях движется прямолинейно. 439. Магнитное (В = 2 мТл) и электрическое (Е = 1,6 кВ/м) поля сонаправлены. Перпендикулярно векто  рам В и Е влетает электрон со скоростью V = 0,8 Мм/с.  Определить ускорение а электрона. 440. В скрещенные под прямым углом однородные магнитное (Н = 1 МА/м) и электрическое (Е = 50 кВ/м) поля  влетел ион. При какой скорости V иона (по модулю и направлению) он будет двигаться в скрещенных полях и прямолинейно? 112 441. Плоский контур площадью S = 20 см2 находится в однородном магнитном поле (В = 0,03 Тл). Определить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол  = 600 с направлением линий индукции. 442. Магнитный поток Ф сквозь сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида l = 50 см. Найти магнитный момент pm соленоида, если его витки плотно прилегают друг к другу. 443. В средней части соленоида, содержащего n = 8 витков/см, помещен круговой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена под углом  = 600 к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток I = 1 А. 444. На длинный картонный каркас диаметром d = 5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром d = 0,2 мм. Определить магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока I = 0,5 А. 445. Квадратный контур со стороной а = 10 см, в котором течет ток I = 6 А, находится в магнитном поле (В = 0,8 Тл) под углом  = 500 к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность? 446. Плоский контур с током I = 5 А свободно установился в однородном магнитном поле (В = 0,4 Тл). Площадь контура S = 200 см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол  = 400. Определить совершенную при этом работу А. 447. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока I = 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 20 мТл). Диаметр витка d = 10 см. Какую 113 работу А нужно совершить для того, чтобы повернуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол  = /3? 448. В однородном магнитном поле перпендикулярно линям индукции расположен плоский контур площадью S = 100 см2. Поддерживая в контуре постоянную силу тока I = 50 А, его переместили из поля в область пространства, где поле отсутствует. Определить магнитную индукцию В поля, если при перемещении контура была совершена работа А = 0,4 Дж. 449. Плоский контур с током I = 50 А расположен в однородном магнитном поле (В = 0,6 Тл) так, что нормаль к контуру перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу, совершаемую силами поля при медленном повороте контура около оси, лежащей в плоскости контура, на угол  = 300. 450. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий соленоид, если его длина l = 50 см и магнитный момент pm = 0,4 Ам2. 451. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 5 с-1 вращается стержень с длиной l = 50 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов U. 452. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл вращается частотой n = 10 с-1 стержень с длиной l = 20 см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня. 453. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При 114 этом по цепи прошел заряд Q = 50 мкКл. Определить изменение магнитного потока Ф через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра R = 10 Ом. 454. Тонкий медный провод массой m = 5 г согнут в виде квадрата и концы его загнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд Q, который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за собой противоположные вершины, вытянуть в линию. 455. Рамка из провода сопротивлением R = 0,04 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,6 Тл). Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S = 200 см2. Определить заряд Q, который потечёт по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 450; 2) от 450 до 900. 456. Проволочный виток диаметром D = 5 см и сопротивлением R = 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле (В = 0,3 Тл). Плоскость витка составляет угол  = 400 с линиями индукции. Какой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля? 457. Рамка, содержащая N = 200 витков тонкого провода, может свободно вращаться относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Площадь рамки S = 50 см2. Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,05 Тл). Определить максимальную max, которая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой n = 40 с-1. 458. Прямой проводящий стержень длиной l = 40 см находится в однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл). Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи R = 0,5 Ом. Какая мощность Р потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью 115 V = 10 м/с? 459. Проволочный контур площадью S = 500 см2 и сопротивлением R = 0,1 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,5 Тл). Ось вращения лежит в плоскости кольца и перпендикулярна магнитной индукции. Определить максимальную мощность рmax, необходимую для вращения контура с угловой скоростью  = 50 рад/с. 460. Кольцо из медного провода массой m = 10 г помещено в однородное магнитное поле (В = 0,5 Тл) так, что плоскость кольца составляет угол  = 600 с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по кольцу, если снять магнитное поле. 461. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 5 с-1 вращается стержень длиной  = 50 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов U. 462. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл вращается с частотой n = 10 с-1 стержень длиной l = 20 см. Ось вращения параллельна линиям индукции и проходит через один из концов стержня перпендикулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня. 463. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд Q = 50 мкКл. Определить изменение магнитного потока Ф через кольцо, если сопротивление цепи гальванометра R = 10 Ом. 464. Тонкий медный провод массой m = 5 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд Q, 116 который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию. 465. Рамка из провода сопротивлением R = 0,04 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,6 Тл). Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции Площадь рамки S = 200 см2. Определить заряд Q, который потечет по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиям индукции: 1) от 0 до 450; 2) от 450 до 900. 466. Проволочный виток диаметром D = 5 см и сопротивлением R = 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле (В = 0,3 Тл). Плоскость витка составляет угол  =400 с линиями индукции. Какой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля? 467. Рамка, содержащая N = 200 витков тонкого провода, может свободно вращаться относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Площадь рамки S = 50 см2. Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,05 Тл). Определить максимальную ЭДС max, которая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой n = 40 с-1. 468. Прямой проводящий стержень длиной l = 40 см находится в однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл). Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление всей цепи R = 0,50 Ом. Какая мощность Р потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью V = 10 м/с ? 469. Проволочный контур площадью S = 500 см2 и сопротивлением R = 0,1 Ом равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,5 Тл). Ось вращения лежит в плоскости и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить максимальную мощность Рmax, необходимую 117 для вращения контура с угловой скоростью  = 50 рад/с. 470. Кольцо из медного провода массой m = 10 г помещено в однородное магнитное поле (В = 0,5 Тл) так, что плоскость кольца составляет угол  = 600 с линиями магнитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по кольцу, если снять магнитное поле. 118 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Основные физические постоянные (округленные значения) Физическая постоянная ОбознаЗначение чение Нормальное ускорение своg 9,81 м/c2 бодного падения Гравитационная постоянная G 6,671011(кгс2) Постоянная Авогадро NA 6,021023моль-1 Молярная газовая постоянR 8,31 Дж/(мольК) ная Стандартный объем К 1,3810-23 Дж/К Элементарный заряд е 1,6010-19 Кл Скорость света в вакууме с 3,00108м/c Постоянная Стефана 5,6710-8 Вт/(м2К4) Больцмана Постоянная Вина b 2,9010-3 мК Постоянная Планка h 6,6310-34 Джс ħ 1,0510-34 Джс Постоянная Ридберга R 1,10107 м-1 Радиус Бора а 0,52910-10 м Комптоновская длина волны  2,4310-12 м электрона Магнетон Бора В 0,92710-23 Ам2 Энергия ионизации атома Е1 2,1810-18 Дж (13,6эВ) Атомная единица массы а.е.м. 1,66010-27 кг Электрическая постоянная о 8,8510-12 Ф/м Магнитная постоянная о 410-7 Гн/м 119 2. Энергия ионизации Вещество Водород Гелий Литий Ртуть Еi, Дж 2,1810-18 3,9410-18 1,2110-17 1,6610-18 Еi, эВ 13,6 24,6 75,6 10,4 120