Электрические цепи переменного синусоидального тока

1. ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА. 1.1. Общие положения. Переменный электрический ток – электрический ток, значение которого изменяется с течением времени. Синусоидальный ток – переменный электрический ток, изменяющийся по закону синуса (косинуса) с течением времени (рис. 3.1.1): , (3.1.1) где: – амплитуда изменения тока; – начальная фаза; – угловая частота, величина которой связана с периодом изменения тока T соотношением: . (3.1.2) Выражение (3.1.1) отражает закон изменения тока с течением времени. Кроме закона изменения тока, переменный ток характеризуется величиной его среднего значения за полпериода, определяемого как: (3.1.3) Подставляя (3.1.1) в (3.1.3), получаем: . (3.1.4) Действующее (среднеквадратическое) значение тока – величина, определяемая как: . (3.1.5) Подставляя (3.1.1) в последнее выражение, получаем: . (3.1.6) Выполним преобразование , тогда: . (3.1.7) Производим несложные математические преобразования над последнем выражением, при этом переписываем его к виду: . (3.1.8) Действующее значение синусоидального тока численно равно такому значению постоянного тока, который за время равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество энергии что и синусоидальный ток. Большинство измерительных приборов показывают действующее значение измеряемых величин. Коэффициент амплитуды – определяется как отношение амплитудного значения тока к его действующему значению : . (3.1.9) Для синусоидального тока . Коэффициент формы – определяется как отношение действующего значения тока к его среднему значению : . (3.1.10) Для синусоидального тока . Выше были рассмотрены формы записи и характеристики для переменного синусоидального тока. В цепях переменного синусоидального тока по закону синуса (косинуса) изменяются также и другие величины (напряжение, ЭДС, разность потенциалов…), для которых все перечисленные формы записи и характеристики также справедливы. 1.2. Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости. При решении ряда задач электротехники, особенно задач связанных с анализом цепей синусоидального тока, широко используется математический аппарат комплексных чисёл, изучаемый в курсе высшей математики. В приложении П1 настоящего учебного пособия приводятся основные правила использования комплексных чисел, необходимые для понимания материала данного учебного пособия. Рассмотрим некоторую физическую величину, изменяющуюся по закону синуса (косинуса), например закон изменения тока (3.1.1): . (3.2.1) Согласно материалам приложения П1 и соотношений (П1.11) настоящего учебного пособия закон изменения тока (3.2.1), может рассматриваться как проекция вектора комплексного числа , вращающегося на комплексной плоскости с угловой скоростью , на ось +j (рис. 3.2.1). Таким же способом может быть предствалена любая физическая величина, изменяющаяся по синусоидальному закону (напряжение, ток, разность потенциалов, …). Вектора синусоидально изменяющихся функций принято изображать на комплексной плоскости в момент времени t=0. Тогда закон изменения тока (3.2.1) примет вид: , (3.2.2) а соответствующее ему комплексное число: . (3.2.3) Величина называется комплексной амплитудой тока. Кроме комплексной амплитуды тока в расчётах широко используется величина, называемая комплексом действущего значения тока: . (3.2.3) По аналогии с током, значение которого изменяется по синусоидальному закону (3.2.1), и для которого введены понятия комплекса действущего значения и комплексной амплитуды , аналогичные понятия могут быть введены и для других величин, изменяющихся по синусоидальному закону (например для напряжения, ЭДС, разности потенциалов…). Применение математического аппарата комплексных чисел значительно облегчает некоторые расчёты. Например, если необходимо выполнить операцию сложения двух токов и , изменяющихся по синусоидальному закону и имеющих одинаковую угловую частоту : , (3.2.4) , (3.2.5) в результате их сложения будет формироваться ток , изменяющийся также по синусоидальному закону и имеющий угловую частоту : . (3.2.6) Задача определения закона изменения тока сводится к определению параметров синусоидальной функции и , для определения которых сначала необходимо определить комплексные амплитуды токов и : , (3.2.7) . (3.2.8) После этого, изобразить вектора и на комплексной плоскости (рис. 3.2.2) и сложить их по правилу сложения векторов. В результате данной операции будет построен третий вектор , параметры которого и могут быть определены графическим способом, числовые значения которых необходимы для записи закона изменения тока (3.2.6). График, изображённый на рис. 3.2.2. называется векторной диаграммой, под которой в общем смысле принято понимать следующее: Векторная диаграмма – совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся функции времени одной и той же частоты. 1.3. Активное сопротивление в цепи синусоидального тока Рассмотрим активное сопротивление R в цепи переменного тока, к которому приложено переменное напряжение, изменяющееся по закону: . (3.3.1) По закону Ома определим ток, протекающий через данное сопротивление: . (3.3.2) Обозначив как амплитудное значение тока, получаем закон изменения тока, протекающего через сопротивление R: . (3.3.3) Как следует из выражений (3.3.1) и (3.3.3) напряжение и ток на активном сопротивлении совпадают по фазе. Закон изменения мощности, которая преобразуется активным сопротивленим R определяется как: (3.3.4) В последнем выражении, используя известное тригонометрическое соотношение, представим , тогда: (3.3.5) Графики изменения напряжения, тока и мощности представлены на рис. 3.3.2. Комплексы действующего значения тока и напряжения на активном сопротивлении R запишутся как: , (3.3.4) . (3.3.5) Вектора и на комплексной плоскости будут выглядеть следующим образом (рис. 3.3.3.). 1.4. Индуктивность в цепи синусоидального тока Рассмотрим индуктивность, включённую в цепь переменного тока, и через которую протекает ток, изменяющийся с течением времени по закону: . (3.4.1) Для определения закона изменения напряжения, которое вызывает протекающий через индуктивность ток (3.4.1) воспользуемся соотношением (1.3.4): . Подставляя в последнее выражение соотношение (3.4.1) получаем: (3.4.2) Вводим обозначение . Данное соотношение имеет размерность «Ом» и называется реактивным (индуктивным) сопротивлением индуктивности. . (3.4.3) В выражении (3.4.3) обозначим , данное соотношение имеет разверность «вольт» и называется амплитудой переменного напряжения, приложенного к индуктивности. Преобразуем с помощью формулы приведения , при этом (3.4.3) принимает вид: . (3.4.3) Из совместного рассмотрения законов изменения тока (3.4.1) и приложенного к индуктивности напряжения (3.4.3) следует, что ток на индуктивности по фазе отстаёт от напряжения на угол равный (или на 90º). Предполагая в дальнейших рассуждениях что начальная фаза тока =0, запишем комплексы действующего значения тока и напряжения на индуктивности L: , (3.3.4) . (3.3.5) Вектора и на комплексной плоскости будут выглядеть следующим образом (рис. 3.4.3 б). Определим мгновенную мощность на индуктивном элементе: . (3.4.6) Рис. 3.4.2. Графики изменения напряжения, тока и мощности на индуктивности в цепях синусоидального тока. Рис. 3.4.3. Векторная диаграмма тока и напряжения на индуктивности. Произведение , используя известные тригонометрические соотношения, перепишем в виде: . (3.4.7) Подставляем (3.4.7) в (3.4.6): . (3.4.8) Графики изменения напряжения, тока и мощности на индуктивности в цепях синусоидального тока представлены на рис. 3.4.2. Как следует из анализа графика изменения мощности, индуктивность способна накапливать электрическую энергию, забирая её из сети (участок графика с положительной полуволной закона изменения мощности), и отдавать её обратно в сеть (участок графика с отрицательной полуволной закона изменения мощности). Реальные индуктивные элементы имеют конечную величину сопротивления обмотки, поэтому они могут быть представлены следующей схемой замещения (рис. 3.4.4. а). Таким образом, угол между током и напряжением на них будет меньше чем 90º на некоторую величину  (рис. 3.4.4 б): (3.3.6) Для характеристики качества катушки индуктивности вводится понятие добротности катушки , значение которой может быть определено по формуле: . (3.3.7) Как следует из последней формулы, чем меньше значение активного сопротивления обмотки R катушки индуктивности, тем меньше значение угла , тем выше значение добротности катушки и тем выше качество данной катушки. 1.5. Емкость в цепи синусоидального тока Рассмотрим ёмкостной элемент, включённый в цепь переменного тока (рис. 3.5.1), к которому приложено напряжение, изменяющееся с течением времени по закону: . (3.5.1) Для определения закона изменения тока, который протекает через ёмкость и который вызван приложенным к ёмкостному элементу напржением (3.5.1) воспользуемся соотношением (1.4.3): . (3.5.2) Подставляя в последнее выражение соотношение (3.5.1) получаем: , (3.5.3) или: . (3.5.4) Вводим обозначение . Данное соотношение имеет размерность «Ом» и называется реактивным (ёмкостным) сопротивлением элемента. . (3.5.5) В выражении (3.5.5) обозначим , данное соотношение имеет разверность «ампер» и называется амплитудой переменного тока, протекающего через ёмкость. Преобразуем с помощью формулы приведения , при этом (3.5.5) принимает вид: . (3.5.6) Из совместного рассмотрения закона изменения напряжения приложенного к ёмкости (3.5.1) и закона изменения тока (3.5.6) следует, что напряжение на ёмкости по фазе отстаёт от протекающего через ёмскостной элемент тока на угол равный (или на 90º). Предполагая в дальнейших рассуждениях что начальная фаза напряжения =0, запишем комплексы действующего значения тока и напряжения на ёмкости С: , (3.5.7) . (3.5.8) Вектора и на комплексной плоскости будут выглядеть следующим образом (рис. 3.5.3 б). Рис. 3.5.2. Графики изменения напряжения, тока и мощности на ёмкости в цепях синусоидального тока. Рис. 3.5.3. Векторная диаграмма тока и напряжения на ёмкости. Определим мгновенную мощность на ёмкостном элементе: . (3.5.9) Произведение , используя известные тригонометрические соотношения, перепишем в виде: . (3.5.10) Подставляем (3.5.10) в (3.5.9) получаем выражение, аналогичное закону изменения активной мощности на индуктивности (3.4.8): . (3.5.11) Графики изменения напряжения, тока и мощности на ёмкостном элементе в цепях синусоидального тока представлены на рис. 3.5.2. а). Анализ графика изменения мощности показывает, что ёмкость, также как и индуктивность, способна накапливать электрическую энергию, забирая её из сети (участок графика с положительной полуволной закона изменения мощности), и отдавать её обратно в сеть (участок графика с отрицательной полуволной закона изменения мощности). Реальные ёмкостные элементы имеют конечную величину омического сопротивления изоляции, находящейся между проводящими обкладками, и могут быть представлены следующей схемой замещения (рис. 3.5.3 а). Поэтому угол сдвига фаз между векторами тока и напряжения будет меньше 90º на некоторый угол  (рис. 3.5.3 б): . (3.5.12) Для характеристики качества ёмкостного элемента вводится понятие его добротности , значение которой может быть определено по формуле: . (3.5.12) 1.6. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме Рассмотрим цепь, состоящую из последовательно соединённых элементов (рис. 3.6.1) и запишем для неё уравнение, согласно второго закона Кирхгофа: . (3.6.1) Учитывая соотношения (1.2.1), (1.3.4), и (1.4.3) устанавливающие связь между значениями напряжений на элементах и токами, через данные элементы протекающими, а также представив выражение (1.4.3) в виде: , (3.6.2) перепишем уравнение (3.6.1): . (3.6.3) Предположим, что ЭДС e и ток в электрической цепи i изменяются по синусоидальному закону: , (3.6.4) . (3.6.5) Представим ЭДС и ток в виде векторов, вращающихся на комплексной плоскости (см. приложение П1): , (3.6.6) , (3.6.7) и подставляем их в (3.6.3): . (3.6.8) Выполняя в последнем выражении операции взятия производной и интегрирования, а также умножив правую и левую часть данного выражения на получаем: (3.6.9) Согласно (3.2.3) вводим определения: комплекс действующего значения протекающего в цепи тока ; (3.6.10) комплекс действующего значения ЭДС . (3.6.11) Кроме этого, выполним сокращение правой и левой частей уравнения (3.6.9) на величину : (3.6.12) Ранее, в п. 3.4 и 3.5 были сделаны обозначения: , (3.6.13) . (3.6.14) Тогда, учитывая свойство мнимой единицы j (П1.2) преобразуем (3.6.12) к виду: , (3.6.15) или: , (3.6.16) . (3.6.17) Знаменатель последнего выражения в некоторых случаях обозначают как: , (3.6.18) называя комплексным сопротивлением ветви. С учётом (3.6.18) выражение (3.6.17) принимает более краткий вид: . (3.6.19) По аналогии с (1.8.3), уравнение (3.6.19) называется законом Ома в комплексной форме записи. Таким образом, сравнивая выражения (1.8.3) и (3.6.19) можно сделать вывод, что применение математического аппарата комплексных чисел, позволяет при анализе цепей синусоидального тока использовать алгебраические уравнения, вместо предполагаемых дифференциальных уравнений. Форма записи закона Ома для цепей постоянного тока и для цепей переменного синусоидального тока идентичны. Отличие заключается в том, что при использовании закона Ома для цепи переменноного тока вместо активного сопротивления R используется полное сопротивление ветви и в качестве напряжений, токов и ЭДС используются комплексы их действующих значений. Комплексное сопротивление может быть изображено на комплексной плоскости в виде так называемого «треугольника сопротивлений» (рис. 3.6.2) и, как для любого комплексного числа для него справедливы все правила преобразования, приводимые в приложении П1 настоящего учебного пособия. Кроме комплексного сопротивления при анализе электрических цепей используется также понятие комплексной проводимости , величины обратной комплексному сопротивлению: , (3.6.20) или: . (3.6.21) Учитывая всё вышесказанное и проводя аналогии для законов Кирхгофа, записанные для цепей постоянного тока (1.8.4) и (1.8.6а), сформулируем первый и второй законы Кирхгофа в комплексной форме записи, справедливые для цепей синусоидального тока: ; (3.6.23) . (3.6.24) Поскольку цепи синусоидального тока относятся к линейным электрическим цепям для них справедливы все рассмотренные выше методы анализа линейных электрических цепей (метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора…), только при этом следует помнить, что вместо активного сопротивления ветвей следует использовать их комплексное сопротивление , вместо величины ЭДС, напряжения, разности потенциалов следует применять их комплексы действующих значений. Рассмотрим пример расчёта элекрической цепи синусоидального тока (рис. 3.6.3). Предполагаем, что известны значения всех активных сопротивлений, индуктивностей и ёмкостей включённых в рассматриваемую электрическую цепь. Кроме этого, считаем что все ЭДС в рассматриваемой электрической цепи изменяются по синусоидальному закону и параметры законов изменения ЭДС известны. Необходимо определить закон изменения токов во всех ветвях электрической цепи. Расчёт токов в электрической цепи будем производить с помощью законов Кирхгофа. Поскольку в рассматриваемой схеме 3 неизвестных тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений размерность которой будет равна 3. При этом по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение (для любого из 2-х узлов), оставшиеся два – по второму закону Кирхгофа. Для 1-го узла рассматриваемой схемы, по первому закону Кирхгофа: . (3.6.25) По второму закону Кирхгофа для контура I: (3.6.26) Для контура II по второму закону Кирхгофа: (3.6.27) Уравнения (3.6.25) – (3.6.27) необходимо рассматривать в системе: (3.6.28) В матричном виде система (3.6.28) запишется в виде: (3.6.29) После записи системы линейных уравнений (3.6.29), составленной на основании законов Кирхгофа для рассматриваемой схемы (рис. 3.6.3), решаем полученную систему одним из известных методов относительно токов. Например, если полученная система уравнений решается с помощью метода Крамера, искомые значения токов будут определяться как: , (3.6.30) , (3.6.31) . (3.6.32) В выражениях (3.6.30) – (3.6.32): – определитель матрицы системы (3.6.29) ; , , – определители матриц, получаемые на основании матрицы системы путём замены в ней 1-го, 2-го, 3-го столбцов на столбец свободных членов.