Эквивалентное преобразование схем с двумя узлами. Перенос в схеме источников ЭДС и источников токов. Эквивалентные преобразования симметричных схем.

ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМ С ДВУМЯ УЗЛАМИ Когда в схеме параллельные ветви имеют идеальные или конечной мощности источники тока и (или) конечной мощности источники ЭДС, то их можно заменить одной эквивалентной ветвью, используя преобразование источников ЭДС в источники тока или наоборот. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.9, а, в которой имеются несколько источников электрической энергии, включенных параллельно с сопротивлениями. Преобразуем источники ЭДС в эквивалентные источники тока. После преобразования схема примет вид, изображенный на рис. 2.10, где: E3 E1 E2 JE  , JE  , JE  . 1 2 3 r1 r2 r3 1 I r1 r2 r3 E1 E2 E3 1 J1 J2 I I4 r4 rэ Eэ 2 2 a б Рис. 2.9. Схема с параллельными ветвями (а) и ее эквивалентная схема (б) Схема рис. 2.10, а содержит только сопротивления и источники тока, которые можно заменить эквивалентными согласно (2.4). В результате преобразования получим схему, изображенную на рис. 2.10, б, в которой rэ  1 1 1 1 1    r1 r2 r3 r4 J э J E  J E  J E  J1  J 2  1 2 3 E1 r1  ; E2 r2  E3 r3  J1  J 2 . Окончательную схему, изображенную на рис. 2.10, б, преобразуем в источник ЭДС конечной мощности (рис. 2.9, б). В общем случае: n  Eэ  1 Ek rk m   Jk 1 p 1 r 1 k , (2.20) где n – количество источников ЭДС, m – источников тока, p – сопротивлений. Таким образом, эквивалентная ЭДС параллельно включенных ветвей, содержащих источники электрической энергии, равна отношению алгебраической суммы источников ЭДС ветвей, деленных на сопротивления этих ветвей, и источников токов – к сумме проводимостей всех ветвей. Пример. Положим в схеме (рис. 2.9, а) E1 = 20 В, E2 = 30 В, E3 = 40 В, J1 = 10 А, J2 = 8 А, r1 = 5 Ом, r2 = 10 Ом, r3 = 20 Ом, r4 = 6,66 Ом. Тогда согласно (2.20): 20 30 40    10  8 E э  5 10 20 10 B; 1 1 1 1    5 10 20 6,66 1 rэ  2 Ом. 1 1 1 1    5 10 20 6,66 1 1 I I r1 r2 r3 E1 r1 E2 r2 E3 a J1 J2 I4 Jэ r4 r3 2 б Рис. 2.10. Первый (а) и второй (б) этапы преобразования схемы 2 rэ ПЕРЕНОС В СХЕМЕ ИСТОЧНИКОВ ЭДС И ИСТОЧНИКОВ ТОКОВ В некоторых случаях задача существенного упрощается, если осуществить перенос источников ЭДС или токов из одних ветвей в другие. Токи в схеме останутся неизменными, если не изменяются потенциалы внешних узлов отдельных преобразованных участков. Поэтому такое изменение расположения источников ЭДС в преобразованной части схемы, при котором не изменяются потенциалы узлов остальной её части, не изменяет токов в ветвях последней. Например, из ветви, соединяющей узлы k и m, требуется исключить источник ЭДС. Для этого в нее со стороны одного из узлов (k или m) необходимо включить компенсирующую ЭДС, равную и противоположно направленную исключаемой. А чтобы токи в схеме не изменились, во все остальные ветви, соединенные с узлами k или m, необходимо включить источники ЭДС, равные и одинаково направленные по отношению к выбранному узлу с компенсирующей ЭДС заданной ветви. Пример такого включения изображен на рис. 2.11. k k r1 r2 r3 r4 r1 r2 r3 r4 a b c E d a b c E d E E m а r1 a E E Ek Ek k r2 b r3 c r4 б Ek m d Е m в Рис. 2.11. Перенос источников ЭДС в схеме (а – исходная схема, б – промежуточный этап, в – эквивалентная схема) E k В три ветви исходной схемы (рис 2.11, а) включены одинаковые ЭДС E. Чтобы исключить источник ЭДС в ветви с сопротивлением r1, в нее включается компенсирующая ЭДС Ek, равная E, но направленная противоположно (к узлу m). Во все остальные ветви, сходящиеся в узел m, должны быть включены такие же по величине ЭДС, направленные также к узлу m (рис. 2.11, б). Суммы исходных и компенсирующих ЭДС в трех ветвях равны нулю, поэтому из этих ветвей исключаются источники ЭДС, а в четвертой ветви ЭДС E с направлением к узлу m остается. Нетрудно убедиться, что напряжения между точками a, b, c и d в одинаковы как в исходной, так и в преобразованной схемах, поэтому токи в ветвях от переноса ЭДС не изменятся. В общем случае при исключении ЭДС из одной ветви, соединенной узлом k с другими ветвями, в последние должны быть включены ЭДС, равные по величине исключаемой и направленные в противоположную сторону по отношению к узлу k. При переносе источника тока должно выполняться требование неизменности токов в узле. Если до переноса источник тока J был включен между узлами a и b, а требуется включить его между узлами a и c, то в преобразованной схеме между узлами c и d необходимо включить источник тока, равный J и направленный по отношению к узлу с противоположно току источника, включенного между узлами a и c. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.12, а, в которой между узлами a и b включен источник тока J. J J r4 r2 c a r3 r1 а b r5 r2 a J c r4 r3 r1 б Рис. 2.12. Перенос источников тока в схеме а – исходная схема, б – эквивалентная b r5 На рис. 2.12, б представлена эквивалентная схема, в которой вместо одного источника тока включено два: один – между узлами a и c, второй – между b и c. Схемы, изображенные на рис. 2.10, относительно сопротивлений эквивалентны. В обеих схемах из узла a вытекает, а в узел b втекает ток источника тока J. В узел c схемы рис. 2.12, б втекает ток левого источника тока J и вытекает такой же по величине ток правого источника тока, т.е. алгебраическая сумма токов в узле с не изменилась. Перенос источников тока может быть полезен, так как при этом уменьшается количество уравнений, описывающих схему. Так, схему, изображенную на рис. 2.12, б, можно преобразовать дальше, заменив источники тока и параллельно включенные сопротивления источниками ЭДС конечной мощности, как это показано в разделе 2.5. Пример. Схема рис. 2.12, а содержит элементы r2 = 10 Ом, r4 = 20 Ом, J = 2А. Исключить источник тока. Решение. На первом этапе схему рис. 2.12, а преобразуем в схему рис. 2.12, б. На втором этапе преобразуем источники тока в источники ЭДС: E 2 J r2 2 10 20 B; E 4 J r4 40 B. В результате получим схему, изображенную на рис. 2.13. J∙r2 a r1 r2 r4 c J∙r4 b r3 Рис. 2.13. Схема к примеру r5 ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИММЕТРИЧНЫХ СХЕМ Схема электрической цепи, в которой имеется ось симметрии, называется симметричной. В симметричных схемах легко выявляются точки или узлы с одинаковым потенциалом. В ветвях, включенных между такими узлами, токи равны нулю, поэтому эти ветви можно исключить. Точки и узлы, имеющие одинаковый потенциал, можно объединить. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 2.14, а. Если схему преобразовать, как это показано на рис. 2.14, б, то она станет симметричной относительно вертикальной оси. Потенциалы узлов a и b равны между собой, поэтому в ветви с сопротивлением r4 ток протекать не будет. По сопротивлениям r2 будут протекать одинаковые токи. Поэтому для расчета следует принять только схему, изображенную на рис. 2.14, в, расчет которой несоизмеримо проще, чем исходной схемы. Схема рис. 2.14, в содержит только один контур, поскольку сопротивление r4/2 из расчета исключается, так как в нем нет тока. Ток в сопротивлении r3 исходной схемы равен удвоенному току схемы рис. 2.14, в. r4 a r2 c` r2 r1 r3 E d а b r4/2 m r4/2 r4/2 r2 c r2 r2 a b r1 r1 r1 E E E a c r1 E d б m d в Рис 2.15. Симметричная схема с противоположным направлением ЭДС (а) и этапы ее преобразования (б, в) Если в схеме рис. 2.14, а изменить полярность включения одного из источников, например, правого, то распределение токов изменится. Рассмотрим распределение токов и потенциалов в такой схеме (рис. 2.15, а). Исключим сначала сопротивление r3 и определим потенциал узла c, учитывая, что исключение сопротивления r3 приводит к тому, что ток I1 становится равным I6, а ток I2 – равным I5. По правой и левой ветви потенциал узла c выразится соответственно: c d  E  I1 r1  I 2 r2 ; c d  E  I1 r1  I 2 r2 . Сложив оба уравнения, получим: откуда c d . 2c 2d , Таким образом, потенциалы узлов c и d равны. Если потенциалы двух узлов равны между собой, то между ними можно включить любое сопротивление от 0 до  , в том числе и сопротивление, равное R3. Поскольку ток в такой ветви протекать не будет, а такие узлы можно объединить. Аналогично получаем: m d . Эквивалентная схема для расчета левой части исходной схемы приведена на рис. 2.15, в. Естественно, расчет ее существенно проще расчета схемы рис. 2.15, а. Направления токов в правой части схемы будут противоположны направлениям токов в левой части. Через сопротивление r3, включенное между узлами с одинаковыми потенциалами, ток протекать не будет: I3 = 0. Рассмотрим мостовую схему, изображенную на рис. 2.16, а. Схема имеет две оси симметрии – вертикальную и горизонтальную. Так как относительно вертикальной оси источники ЭДС направлены одинаково, то ветви с сопротивлениями r1 следует исключить, поскольку имеют место равенства a b и c d (рис. 2.16, б). Полученная схема, если ее развернуть в прямоугольник, будет симметричной относительно вертикальной оси, ЭДС в ней направлены противоположно, откуда и следует схема рис. 2.16, в. r1 a b a b r2 r2/2 r2 E E r1 а E E r2 c r1/2 а E r2/2 r1/2 r2 d d c c б Рис. 2.16. Симметричная мостовая схема (а) и ее преобразования (б, в) в На рис. 2.17, а приведена мостовая симметричная схема с противоположным направлением ЭДС. r1 a a b r1/2 b r2 r1 а d с r2/2 E E E r2/2 E E r1/2 а r2/2 r2/2 r2 с r1/2 r2/2 r2/2 r1/2 r1/2 d c б Рис. 2.17. Симметричная мостовая схема с противоположным направлением ЭДС (а) и ее преобразования (б, в) r1/2 в Нетрудно видеть, что если развернуть схему рис. 2.17, б в прямоугольник, то направления ЭДС относительно вертикальной оси будут одинаковы. Поэтому ветви с сопротивлениями r2 нужно исключить. Окончательная схема для расчета приведена на рис. 2.17, в.