Экспериментальная механика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» КАФЕДРА ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ ЛЕКЦИОННЫЙ КУРС ДИСЦИПЛИНЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МЕХАНИКА Код Код ОП Направление Профиль Номер дисцип- учебно- лины по го учебно- плана му плану Металлургия Обработка металлов 1.20.2 давлением МОДУЛЬ М.1.20 МЕХАНИКА ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ Количество лекционных часов по учебному плану 34 Лекционный курс подготовлен доцентом каф. ОМД, к.т.н. Михайленко Аркадием Михайловичем Екатеринбург, 2015 2 РАЗДЕЛ Р1. ЭКСПЕРИМЕНТ КАК ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ Содержание раздела. Целевое назначение курса. Его структура, содержание и место в подготовке специалиста по направлению "Обработка металлов давлением" (ОМД). Специфика исследовательских задач, решаемых специалистами ОМД при проведении экспериментов, их связь с конкретными технологическими задачами. Краткий обзор рекомендуемой литературы. Эксперимент как объект исследования. Виды экспериментальных исследований. Объект экспериментального исследования. Качественный и количественный эксперимент. Факторы и их классификация. Отклик. Функция отклика. Математическая модель экспериментального объекта исследования. Р1.1. Целевое назначение курса и вероятностная специфика процессов ОМД Дисциплина экспериментальная механика посвящена изучению теоретических основ и общих правил организации эксперимента в металлургии на примерах обработки металлов давлением (ОМД), теоретических основ и общих правил обработки полученных опытных данных. В данном лекционном курсе рассматриваются основные закономерности теории вероятностей и математической статистики как основного математического аппарата статистической обработки результатов эксперимента. Изучаются типы статистических связей, способы их выявления и описания. Рассматриваемая дисциплина напрямую связана с другими дисциплинами, изучаемыми в рамках подготовки специалистов по обработке металлов давлением, т.к. при практическом использовании сведений, рассматриваемых в этих дисциплинах приходится использовать данные эксперимента, проводимого в производственных условиях и в условиях специально спланированного научного эксперимента по изучению характеристик деформированного и дефор- 3 мируемого металла, работы оборудования, опытных характеристик технологических процессов и т.п., т.е. результатов инженерного эксперимента. Спецификой процессов ОМД является зависимость их протекания от огромного количества технологических факторов, значительную часть которых невозможно учесть в явном виде, в виде строгих функциональных зависимостей. Это определяется действительно большим количеством таких факторов, тем, что влияние ряда факторов до конца еще теоретически не изучено, и при этом, значительное число влияющих факторов носят ярко выраженный вероятностный характер. В таких условиях наилучшим подходом к изучению закономерностей протекания процессов ОМД является использование эксперимента в сочетании с грамотной, научно обоснованной методикой обработки экспериментальных данных, основанной на вероятностных подходах. Другой особенностью ОМД является то, что в большинстве случаев выпуск продукции ОМД носит массовый, многотоннажный характер, и при этом, к продукции предъявляются повышенные требования по стабильности характеристик, прочности, надежности, экономичности в использовании и по многим другим показателям. Продукция ОМД – это продукция повышенной ответственности и в большинстве случаев, показатели ее качества напрямую связаны с безопасностью во всех ее проявлениях. А основным способом контроля качества продукции (за редким исключением) является выборочный метод контроля, основанный на известных статистических особенностях и закономерностях. Современные системы контроля и управления качеством продукции ОМД (системы менеджмента качества) строятся на базе очень широкого выявления, обработки, изучения и использования данных лабораторных исследований исходной заготовки, параметров протекания процессов, работы деформирующих машин, контроля качества готовой продукции. Все данные, получаемые в ходе ведения таких исследований представляют собой не что иное, как "экспериментальные данные". Для правильного получения, обработки и использования экспериментальных данных необходимо применять научно обос- 4 нованные методики планирования эксперимента, статистической обработки данных, статистического анализа. Значительная часть методик планирования эксперимента, статистической обработки данных, статистического анализа закреплена в действующих отраслевых, национальных и международных стандартах (ГОСТ, ГОСТ Р, ИСО, МЭК и т. п.). Такие методики широко используется в системах менеджмента качества, в системах добровольной сертификации продукции, до и при рядовом заключении контрактов на поставку продукции. А в ряде случаев, применение этих методик становится обязательным, например, при проведении процедур обязательной сертификации продукции или производства. В настоящее время в области обработки металлов давлением (ОМД) имеется достаточно мощная теоретическая база, основывающаяся на современных методах механики сплошной среды. Но решить абсолютно все вопросы и задачи чисто теоретическими методами пока невозможно. Часть задач научной и производственной деятельности приходится решать, основываясь на фактических результатах, получаемых в ходе ведения проведения специальных научных исследований или повседневной производственной практики, т.е. основываясь на экспериментальных, опытных данных. Например, невозможно произвести расчет энергосиловых параметров любого процесса ОМД без использования такой характеристики обрабатываемого материала как сопротивление деформации, а определить этот показатель с достаточной точностью возможно лишь опытным путем, в процессе специального экспериментального изучения. То же касается показателей трения, упругости, пластичности, прочности и ряда других характеристик деформируемого материала, рабочего инструмента и рабочей машины по ОМД. Роль опыта, эксперимента в научной и производственной деятельности была, остается, и будет оставаться всегда весьма значительной. Это связано с двумя важнейшими функциями экспериментальной деятельности: во-первых, как источника новых знаний, и, во-вторых, как критерия истинности теоретических построений. 5 Кроме того, современные технологические процессы и производственные комплексы по ОМД являются сложными, многофакторными и многокритериальными системами, причем, значительная часть факторов в таких системах имеют вероятностные характеристики, это так называемые "плохо организованные" системы [1] и роль эксперимента при изучении таких систем особенно высока, а часто и более эффективна по показателям качества описания и произведенным затратам. Экспериментальная деятельность в области ОМД сопряжена, как правило, с большими материальными, энергетическим, трудовыми и прочими затратами. Это обуславливает высокую стоимость опытных данных. Поэтому, эффективное проведение эксперимента и эффективное использование полученных опытных данных является важной, экономически обоснованной задачей. В настоящее время разработано большое количество методик экспериментального исследования и обработки опытных данных, позволяющие значительно сократить затраты на эксперимент без потери информации об исследуемом объекте. Такие методики основываются на применении вероятностных и статистических подходов к обработке результатов измерений, на оптимальном планировании эксперимента. Экспериментальные исследования часто связаны с получением и последующей обработкой результатов технологических испытаний, служащих основой для определения параметров качества производимой продукции, ее соответствия стандартам и сертификатам качества. В рамках действующего производства большинство таких испытаний в той или иной степени стандартизованы. Часто стандартизованы и методики обработки опытных данных, а также используемые при этом термины и определения. Поэтому, в настоящей работе в качестве основных определений применяемых терминов и понятий, используются определения, приведенные в соответствующих национальных стандартах (ГОСТ и ГОСТ-Р) [2 – 6 и др.] и рекомендациях по стандартизации (Р), принятых национальным органом по стандартизации – Госстандартом [7 - 9]. 6 Р1.2. Эксперимент как объект исследования и его особенности. Объект экспериментального исследования. Предметом рассмотрения являются опытные данные, их свойства, характеристики и методы их обработки. Поэтому для начала однозначно определим, что же такое " опытные данные", как их можно получить и каковы их основные, наиболее важные свойства. Термин "опытные данные" можно определить следующим образом: это некоторая фактическая информация, которую человек может получить в ходе проведения опыта, эксперимента. Синонимами термина "опытные данные" являются термины "экспериментальные данные", "практические данные" "эмпирические данные" и т.п. Опытные данные являются результатом проведения эксперимента, порождаются экспериментом и наследуют все те свойства, которые характерны конкретному эксперименту. Поэтому для однозначного понимания сути опытных данных имеет смысл первоначально однозначно определить понятие эксперимент. В разного рода литературе можно найти разнообразные определения понятия эксперимент. По ГОСТ 24026-80, эксперимент - система операций, воздействий и (или) наблюдений, направленных на получение информации об объекте при исследовательских испытаниях. В Большой советской энциклопедии: Эксперимент (от лат. experimentum – проба, опыт) – метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления действительности. Отличаясь от наблюдения активным оперированием изучаемым объектом, эксперимент осуществляется на основе теории, определяющей постановку задач и интерпретацию его результатов. Нередко главной задачей эксперимент служит проверка гипотез и предсказаний теории, имеющих принципиальное значение (так называемый решающий эксперимент). В связи с этим эксперимент, как одна из форм практики, выполняет функцию критерия истинности научного познания в целом. С общефилософских, гносеологических позиций (обобщая разные определения из философских словарей) эксперимент – чувственно-предметная деятельность человека, связанная с получением информации об объекте исследования. 7 В наиболее общем смысле, все эксперименты можно подразделить на две основные группы: - физические эксперименты (подразделяют на натурные эксперименты – выполняемые на реальном изучаемом объекте, и модельные эксперименты – выполняются на физической модели реального изучаемого объекта); - мысленные эксперименты (подразделяют на логические эксперименты – производятся с целью проверки согласованности разных научных теорий и их положений, и вычислительные эксперименты – производятся с целью получения новых данных, являющихся результатом расчетов, производимых по сложным математическим моделям и алгоритмам, часто производится с использованием ЭВМ). Целью нашего рассмотрения будут являться физические эксперименты, т.е. эксперименты, производимые над реально существующими объектами или явлениями. Хотя часть нижеизложенных методик подходит и для анализа мысленных и, прежде всего, вычислительных экспериментов. Обобщая известные определения эксперимента, и ограничиваясь только физическими экспериментами, причем, в самом широком смысле, можно определить комплекс, систему с минимальным набором элементов, необходимых для осуществления эксперимента с целью получения опытных данных. Такими компанентами, составляющие систему с названием "эксперимент", являются следующее: - экспериментатор - человек, получающий новые знания в виде опытных данных через свои чувства, часто "обостренные и усиленные" при помощи средств измерений, средств преобразования измерительной информации, средств образного представления данных, средств хранения данных и т.п.; - объект экспериментального исследования - реально существующий физический объект или реально существующее явление, причем, любой природы; - окружающая среда - условия проведения эксперимента, воздействующие на объект экспериментального исследования и определяющие или изменяющая свойств экспериментально изучаемого объекта. Особенностью эксперимента является то, что окружающая среда включает как элемент и экспериментатора (исследователя), который кроме возможности по- 8 лучать информацию из эксперимента, часто имеющего возможность целенаправленно формировать свойства окружающей среды и изменять тем самым ее воздействие на исследуемый объект. Связи и взаимное влияние указанных элементов схематично представлены на рис.1.1. Рис. 1.1. Взаимодействие основных компонентов эксперимента. Учитывая системообразующие составляющие эксперимента и их взаимодействие, можно дать следующее определение физического эксперимента. Эксперимент – это вид деятельности человека, направленный на изучение свойств реально существующего объекта или явления, находящихся под воздействием окружающей среды. В дальнейшем будем понимать эксперимент именно в такой, наиболее широкой трактовке. Приведенному определению соответствует очень широкий спектр практической человеческой деятельности: начиная от ситуации проведения сложного научного эксперимента видным ученым на специально созданной замысловатой экспериментальной установке по изучению какого-то сложного, неизвестного ранее явления или объекта, включая текущие измерения, производимые в промышленности в ходе контроля за технологическим процессом или характеристиками выпускаемой продукции, и заканчивая самыми простыми измерениями и наблюдениями, широко производимыми человеком в бытовых ус- 9 ловиях (рост, вес, длина комнаты, время пути на работу и т.п.). Такое обобщение разных, разноплановых экспериментов, производимых над разнообразными по природе и сути явлениями и объектами, позволяет сформировать обобщенный, универсальный подход к обработке и анализу опытных данных, получаемых в этих экспериментах. Именно такой подход, не учитывающий конкретную физическую или иную природу опытных данных, лежит в основе современной теории эксперимента, теории вероятностей и математической статистики, т.е. тех математических методов, которые наиболее широко применяются для анализа и обработки опытных данных. Элементарной частью эксперимента является опыт. По ГОСТ 24026-80, опыт - воспроизведение исследуемого явления в определенных условиях проведения эксперимента при возможности регистрации его результатов. Эксперимент может содержать в себе только один опыт, несколько (серию) опытов или некоторый набор серий опытов. При этом важно, чтобы условия проведения каждого опыта соответствовали бы цели проведения эксперимента, т.е. повторяли (воспроизводили) условия, важные с точки зрения конкретного эксперимента С точки зрения порядка обработки опытных данных и их принципиальных свойств, различают два класса экспериментов - качественный и количественный. Качественный эксперимент – это эксперимент, предназначенный (проводимый) для выявления (установления): - самого факта существования некоторого явления; - факта связи двух или более явлений; - факта наличия у объекта некоторого свойства; - факта наличия связей свойств объекта или объектов; - вероятностных свойств характеристик рассматриваемого объекта или явления. Опытные данные, полученные в результате проведения качественного эксперимента, называют "качественными опытными данными" или "опытными данными в качественном виде". Такие данные представляют собой, чаще всего, словесное описание явления или связи явлений, словесное описание некоторого свойства (свойств) объекта или связи разных свойств объекта (объектов). Пример 1.1. Если на гладкой бочке валков прокатать образец с прямоугольным поперечным сечением, то можно заметить, что ширина образца 10 увеличилась. В результате такого эксперимента установлен факт: обжатие прокатываемой полосы по высоте приводит к ее уширению. Это и есть опытные данные, полученные в результате проведения этого эксперимента. В чем причина и насколько влияет обжатие на уширение, качественный эксперимент ответа не дает. Нет ответа на этот вопрос и в опытных данных. Результат качественного эксперимента, отвечающий вышеперечисленным целям часто обобщают термином "событие", а опыты, входящие в состав такого эксперимента называют так же "испытаниями", подчеркивая тем самым их специфичность. При этом предполагается, что событие, ожидаемое в результате проведения, эксперимента может произойти (или обязательно произойдет), а может и не произойти (или обязательно не произойдет). Для характеристики возможности реализации рассматриваемого события используют рассматриваемое ниже понятие "вероятность этого события". Количественным экспериментом называется эксперимент, проводимый с целями: - выявления количественных характеристик рассматриваемого объекта или процесса; - выявления количественных характеристик внешних условий, при которых происходит рассматриваемое событие ; - количественного описания свойств рассматриваемого объекта или процесса, причем, зачастую, в зависимости от количественных характеристик свойств окружающей среды; - выявления взаимных зависимостей количественных характеристик разных объектов или процессов Опытные данные, полученные в результате проведения количественного эксперимента, называют "количественными опытными данными" или "опытными данными в количественном виде". Такие данные могут представлять собой, единичные числовые значения, массив числовых значений или упорядоченный набор массивов цифровой информации. При этом, числовые значения, обычно, означают соответствующее количество эталонных единиц рассматриваемой величины. Наиболее часто, это количество единиц физической величины, описывающий рассматриваемое свойства объекта, например, единиц физических величин системы СИ. Часто обработка результатов количественного эксперимента дает возможность сформулировать математическую модель явления, т.е. систему ал- 11 гебраических, графических или табличных соотношений между количественными характеристиками внешних условий, влияющих на объект, и количественными характеристиками свойств этого объекта. Пример 1.2. Если в условиях примера 1.1 за количественную характеристику уширения принять коэффициент уширения, а величину обжатия характеризовать коэффициентом обжатия, то в результате проведения эксперимента можно установить, как коэффициент уширения зависит от коэффициента обжатия, например, в виде таблицы, графика или аналитической зависимости. В современных условиях ОМД качественные зависимости свойств различных объектов и явлений, обычно известны и закреплены в существующей теории ОМД. Поэтому, наиболее часто экспериментальному определению подлежат количественные характеристики изучаемых процессов или явлений ОМД, например, такие как количественные характеристики работы оборудования (усилие, мощность и т.п.), количественные показатели технологического процесса или готовой продукции и т.п., то есть, характеристики, выявляемые в ходе проведения количественного эксперимента. Однако, ряд явлений, рассматриваемых ОМД принципиально нельзя или нецелесообразно описывать с использованием единиц физических величин, а можно (или целесообразно) отображать сами факты наблюдения этих явлений в штуках или процентах, например, отказ работы оборудования, процент брака, вероятность образования дефекта и т.п. Четкое разделение экспериментов и их результатов (опытных данных) на качественные и количественные важно не только с точки зрения правильной организации процедур подготовки, получения, сбора и хранения опытных данных, но не менее важно такое разделение, и с точки зрения правильного применения процедур обработки данных, рассматриваемых ниже. В настоящее время эксперименты проводят во многих областях научного исследования и в различных сферах производства, в общественной жизни, в медицине, сельском хозяйстве и т.д. При этом в качестве объектов эксперимента выступают самые разнообразные по природе и свойствам физические объекты и явления. Что же общего у всех этих объектов, как, по каким свойствам и признакам их можно объединить с целью формализации и включения в единую формальную схему эксперимента, рассмотренную выше? Как это не парадоксально звучит, но наиболее важным общим свойством всех объектов экспериментального исследования является их непознанность, отсутствие теоретической модели этих объектов, достаточной для практического использования. 12 Действительно, вряд ли какому-то рационально мыслящему человеку прейдет мысль экспериментально изучать объект, уже имеющий хорошее, проверенное теоретическое описание. Например, какому грамотному человеку прейдет в голову мыль выкладывать четыре ряда по три яблока с целью проверки известного теоретического положения таблицы умножения 4х3=12? И таких примеров бессмысленности проведения эксперимента при наличии хорошо известной модели объекта исследования можно приводить много. Поэтому, значимым, обобщающим признаком всех (и любых) экспериментально изучаемых объектов и явлений является их непознанность (или частичная познанность), отсутствие надежной теоретической модели функционирования объекта исследования. Часто такие непознанные объекты представляют в виде так называемого “черного ящика”, т.е. объекта, внутренняя структура функционирования которого неизвестна, нет модели, позволяющей предсказать, как изменятся внутренние и внешние свойства объекта под воздействием изменяющихся условий окружающей среды. В приведенных выше примерах в качестве такого “черного ящика” выступает прокатываемый образец. На этот "черный ящик" воздействует окружающая среда – прокатные валки, обеспечивающие обжатие на определенную величину и подвод мощности, необходимой для деформации металла. Экспериментатор, как элемент окружающей среды определил характеристики этой среды – величину обжатия, температуру деформации, условия трения, скорость прокатки и т.п. В результате качественного эксперимента или априорно (до проведения опытов, используя предварительные, теоретические знания) можем установить, что поведение исследуемого “черного ящика”, его внешние, определяемые в эксперименте свойства зависит от внешних воздействий. Физические (или иной природы) характеристики такого внешнего воздействия будем называть факторами. С точки зрения применимости различных методов обработки опытных данных, все факторы можно разделить на две группы: - количественные факторы – факторы, величину которых можно охарактеризовать при помощи единиц данной величины (например, усилие прокатки, Н, момент прокатки Н∙м, ток главного двигателя прокатного стана, А, и т.д.); 13 - качественные факторы – факторы, не поддающиеся количественному описанию (например, тип прокатного стана, материал валков, марка прокатываемой стали и т.д.). Учитывая тот факт, что в ОМД (да и, вообще, в технике и технологии) значительно чаще приходится иметь дело с количественными факторами, в дальнейшем, по умолчанию, если это не будет оговорено особо, будем полагать, что под термином "фактор" понимается количественный фактор. Фактор может влиять на поведение экспериментально изучаемого объекта, на изучаемые количественные характеристики свойств этого объекта, а может и не влиять. Проверить, действительно ли фактор влияет на объект экспериментального исследования, на изменение внешних свойств этого объекта, удается только в ходе проведения эксперимента. Отсюда следует определение. По ГОСТ 24026-80, фактором называется переменная величина, по предположению влияющая на результаты эксперимента. Таким образом, в нашей, зауженной, конкретизированной трактовке, фактор – переменная величина (признак, характеристика явления, материала, вещества, организационной структуры, оборудования и т.п.) которую можно различить качественно и определить количественно, описывающая один из способов воздействия внешней среды на объект экспериментального исследования. В приведенном выше примере 1.2. в качестве основного воздействия, влияющего на изменение свойств объекта (на ширину прокатываемого образца) выступает обжатие, характеризуемое физической величиной "коэффициент обжатия". В этом эксперименте рассматриваемый фактор – коэффициент обжатия. Объект экспериментального исследования, обозначенный нами в общем подходе как “черный ящик“, обладает рядом собственных, внутренних свойств, определяемых, прежде всего, природой исследуемого физического объекта или явления. Кроме природы, характеристики внутренних свойств объекта зависят и от воздействующих на объект факторов. Под воздействием изменяющихся величин факторов, внутренние свойства объекта экспериментального исследования изменяются. Следствием этих внутренних изменений является изменение внешних, наблюдаемых в эксперименте свойств объекта. Можно условно сказать, что возникает некоторый "выход" свойств объекта наружу. Объект "откликается" на воздействие на него факторов. 14 Как рассматривалось выше, все эксперименты можно подразделить на качественные и количественные. Соответственно, и наблюдения, отклики, получаемые в результате таких экспериментов могут быть подразделены на качественные и количественные. Наблюдения, в качественном виде представляют собой, чаща всего, простую констатацию наличия у объекта исследования некоторого свойства, характеристики, проявляющуюся при проведении исследования (эксперимента или опыта). Например, годная продукция - бракованная продукция, горячая прокатка - холодная прокатки, при подбрасывании монеты выпал "орел" и т.д. Если же внешние свойства, наблюдаемые в эксперименте удается описать количественно, используя понятия "физическая величины" и "единица физической величины", то мы получим наблюдение, отклик объекта исследования на воздействующий фактор в количественной форме. Учитывая инженерную направленность нашего рассмотрения, в дальнейшем, под понятием "отклик" будем подразумевать, преимущественно, именно результат эксперимента в количественной форме, в виде некоторой величины. Исходя из такого подхода следует определение. По ГОСТ 24026-80, откликом называется наблюдаемая случайная величина, по предположению зависящая от факторов. В ряде экспериментов удается установить функциональную зависимость отклика от фактора, в этом случае говорят об установлении “функции отклика”. По ГОСТ 24026-80, функцией отклика называется зависимость математического ожидания отклика от факторов. (Понятие "математическое ожидание" будет рассмотрено ниже, отдельно в связи е его большой значимостью). В приведенном выше примере 1.2, в качестве отклика выступает коэффициент уширения, а в качестве функции отклика - зависимость коэффициент уширения от коэффициента обжатия. Важной особенностью экспериментального исследования является то, что по его результатам, как правило, стремятся установить связь, зависимость между факторами, действующими на объект исследования, и его откликами, причем, без явного учета внутренних свойств объекта. То есть, в результате эксперимента строится модель объекта, позволяющая как бы "игнорировать" его внутренние свойства, концентрирующая внимание только на "внешней сторо- 15 не", на формальных связях откликов и факторов. В теории систем такие модели называют моделями типа “вход - выход”. В теоретических дисциплинах (физика, химия и т.п.) чаще применяют модели типа “вход - состояние - выход”. Такие модели предполагают явный учет или расчет внутренних свойств (состояния) объекта в зависимости от факторов. При этом для расчета "состояния" объекта используют теоретические законы и методы. Именно в таком различии подходов, концепций и состоит главная, принципиальная разница между экспериментальными и теоретическими методами исследований, а так же между теоретическими и экспериментальными (аппроксимационными, феноменологическими) моделями объектов исследования. С практической точки зрения важно классифицировать эксперимент по такому субъективному признаку, как количеству исследуемых в нем факторов и откликов. Если в эксперименте производится изучение единственной характеристики объекта исследования, только одного отклика, то такой эксперимент (и объект) называется однокритериальным, а если два и более отклика - многокритериальным. Если все изучаемые способы внешнего воздействия на объект (явление) ограничиваются одной величиной, одним фактором, то такой эксперимент называют однофакторным, если изучается два или больше способов внешнего воздействия, - многофакторным. Каждый фактор может принимать в каждом опыте только одно значение из некоторой области своих возможных в данном эксперименте значений. Каждое такое постоянное в опыте значение будем называть уровнем фактора. По ГОСТ 24026-80, уровень фактора - фиксированное значение фактора относительно начала отсчета. Определенный, однозначный и фиксированный набор конкретных уровней всех факторов (каждого фактора на своем собственном уровне) определяет одно из множества возможных состояний “черного ящика”, и как следствие, одно значение отклика. Если абсолютно все факторы, действительно влияющие на объект экспериментального исследования, стабилизированы на конкретных уровнях, то стабильно и значение отклика. Важное значение при анализе и проведении эксперимента имеют следующие два обстоятельства: 16 1) имеет ли экспериментатор возможность активно вмешиваться в ход проведения эксперимента, управлять значениями факторов, т.е. назначать и поддерживать значения факторов на заданных уровнях; 2) имеет ли экспериментатор возможность контролировать процесс эксперимента путем измерения действительных значений факторов, влияющих на объект исследования. Возможность осуществлять в эксперименте управление и контроль уровней факторов зависит от многих причин как объективного, так и субъективного свойства. Вот некоторые из них: - степень влиятельности фактора на отклик – для разных факторов она объективно разная, часто слабо влияющими факторами не управляют и не контролируют их фактический уровень; - мнение экспериментатора о степени влиятельности фактора – часто оценивается экспериментатором субъективно; - техническая возможность управления и контроля – наличие технических средств управления уровнями факторов и метрологических средств контроля этих уровней; - организационная возможность управления и контроля; - стоимость управления и контроля и другие обстоятельства. Наличие этих и других причин и ограничений приводит к тому, что в реальном эксперименте количество контролируемых и (или) управляемых факторов всегда ограничено. Для контроля и управления выбираются наиболее влиятельные факторы (по мнению экспериментатора, которое не всегда достаточно обосновано). Остальные (на контролируемые и не управляемые) факторы считаются слабо влияющими, не существенными и их воздействие на отклик часто называют "шумом эксперимента". Так как каждый из признаков (управляемость и контролируемость) имеет только по два уровня, то из их комбинаций можно составить только четыре группы факторов: 1) управляемые и контролируемые факторы (обозначим хi ); 2) управляемые, но не контролируемые факторы (di); 3) не управляемые, но контролируемые факторы (hi); 4) не управляемые и неконтролируемые факторы (i). Здесь индексом i обозначен порядковый номер фактора в соответствующей группе. Общее количество факторов в каждой из групп не одинаково. 17 Целесообразность оперативного использования и учета в эксперименте контролируемых факторов (факторы 1-й и 3-й групп хi и hi) не вызывает сомнение. Влияние именно этих факторов на объект экспериментального исследования обычно и изучается в ходе проведения эксперимента. А вот влияние факторов 2-й группы (управляемые, но не контролируемые, di ) при проведении эксперимента необходимо исключить. Это вполне возможно сделать, т.к. это управляемые факторы, т.е. имеется возможность управления ими, а значит, есть возможность, как минимум, зафиксировать их на каком-то одном, стационарном уровне. Использование факторов 2-й группы в эксперименте (изменение уровней этих факторов) абсолютно лишено смысла и может привести, в лучшем случае, к нулевому результату, а в худшем – к возникновению аварийной ситуации в ходе ведения эксперимента. Факторы 4-й группы (не управляемые и неконтролируемые, i) исключить из рассмотрения нельзя. Эти факторы они не поддаются управлению, а значит, в отличие от факторов 2-й группы di , зафиксировать их нельзя и они в ходе эксперимента будут изменяться по своим законам, в общем случае неизвестным экспериментатору. Проконтролировать значения факторов i в каждом опыте так же нельзя или по организационно-техническим причинам, или в силу предположения о малости степени их влияния на отклик. Но, они хоть и слабо, но влияют на результат эксперимента, на величину отклика. И если направленность воздействия множества таких факторов на отклик случайно совпадет, то изменение отклика может оказаться достаточно заметным. Поэтому, несмотря на отсутствие возможности контроля значений этих факторов, необходимо найти способ учета этого влияния. Как это сделать, будет рассмотрено ниже при изучении методов теории вероятности и математической статистики. Если обозначить через Y отклик, и использовать указанные выше обозначения факторов, то обобщенное экспериментальное исследование можно формализовать и изобразить в виде следующей, так называемой системной (кибернетической) модели, как это показано на рис. 1.2. hi хi Черный ящик Yi i Рис. 1.2. Системная модель экспериментального исследования 18 Пример 1.3. Рассмотрим с позиций формального подхода, соответствующего схеме на рис. 1.2, эксперимент по холодной прокатке прямоугольной полосы на гладкой бочке валков, описанный выше в примерах 1.1 и 1.2. В качестве единственного оклика Y, как и ранее, будем рассматривать коэффициент уширения (это однокритериальный эксперимент). Управляемый и контролируемый фактор Х в эксперименте так же один – это коэффициент обжатия 1/η. Управлять коэффициентом обжатия 1/η можно путем назначения разных обжатий в каждом опыте (в каждом проходе прокатки). Основываясь на теоретических представлениях о процессе сортовой прокатки, можно выделить еще ряд сильно влияющих факторов: факторы формы очага деформации l/h (отношение длины очага деформации к его средней высоте) и l/B (отношение длины очага деформации к его средней ширине); коэффициент трения на контактной поверхности μ, температура прокатки t, материал валков M и материал прокатываемой полосы m, скорость прокатки V. Распределим указанные факторы на группы по признаку возможности из контроля, и управления ими. К группе 2) " управляемые, но не контролируемые факторы di" отнесем факторы μ, t, M, m и V. В данном эксперименте изменять значения этих факторов нет необходимости, т.к. его цель – только изучение влияния обжатия на уширение. Поэтому, необходимо принять меры для исключения влияния факторов группы di на величину отклика, т.е. необходимо исключить их из эксперимента. Для этого зафиксируем их значения во всех опытах на одном и том же уровне: для стабилизации коэффициента трения μ будем обезжиривать валки и поверхность прокатываемой полосы; прокатка осуществляется при комнатной температуре, поэтому температура прокатки t стабильна; будем проводить прокатку на одних и тех же валках для стабилизации М и из металла одной и той же плавки, прошедшего одинаковую подготовку перед прокаткой, что стабилизирует m; зафиксируем и скорость прокатки V в каждом опыте Факторы формы очага деформации l/h и l/B так же, в принципе, можно стабилизировать, однако, на практике, это приведет к ряду значительных затруднений и сильно увеличит стоимость эксперимента, т.к. эти факторы через абсолютное обжатие геометрически связаны с коэффициентом обжатия 1/η. Так для поддержания постоянного l/h при разных значениях коэффициентов обжатия, необходимо изготавливать заготовки различной толщины, а для поддержания постоянного l/B – заготовки разной ширины. Поэтому, при 19 стремлении сократить затраты на эксперимент, целесообразней отнести факторы l/h и l/B к группе 3 "не управляемые, но контролируемые hi". Кроме перечисленных, сильно влияющих факторов, на результат каждого опыта будет оказывать влияние очень большое количества "не управляемых и неконтролируемых факторов i". Это слабо влияющие факторы, контроль которых производить нецелесообразно, именно в силу их слабого влияния. К таким факторам можно отнести, например: колебания химического состава образцов в каждом опыте – связанны с обязательным наличием ликваций в металле одной и той же плавки, образующихся при его разливке; колебания сопротивления деформации прокатываемого металла – связанны как с колебаниями химического состава образцов, так и с колебаниями параметров подготовки заготовок; влажность воздуха – влияет на коэффициент трения и обычно не контролируется; колебания шероховатости поверхности заготовок образцов и прокатных валков – неизбежное явление при механической обработке; колебания размеров заготовок за пределами точности инструмента, применяемого при их обработке и контроле; колебания напряжения в сети привода прокатного стана – неизбежно приводит к изменениям скорости вращения валков и т.д. Перечисление всех факторов i ,хоть и слабо, но действительно влияющих на процесс прокатки может занять еще пару страниц. Все они влияют слабо, с разной степенью интенсивности, но то, что влияют – несомненно. Задача эксперимента, чаще всего, заключается в нахождении связей между откликом и влияющими на него факторами. Количественно, такие связи принято описывать при помощи функциональных зависимостей, отражаемых в виде таблиц, графиков или математических выражений. Опытные данные, которые принципиально можно получить в эксперименте, представляют собой, первоначально, таблицу, в каждой строке или столбце которой зафиксированы значения действующих факторов и величина отклика Y, получаемого при этих уровнях факторов для одного опыта. Так как измерить и зафиксировать можно только контролируемые факторы, то в таблицах будут присутствовать только значения факторов 1-й и 3-й групп хi и hi. По данным таблиц можно построить графики зависимостей отклика Y от факторов хi и hi. и описать полученные кривые при помощи уравнений вида (1.1) Y  f ( xi , hi ) . Именно такого рода зависимости используются для описания фундаментальных законов в физике, химии, механике сплошной среды и т.п. 20 Но, кроме факторов 1-й и 3-й групп хi и hi , в эксперименте на отклик Y действуют и факторы 4-й группы δi, значения которых не известны, так как это неконтролируемые и не управляемые факторы, и поэтому, они не внесены в уравнение (1.1). В эксперименте, факторы δi изменяются каждый по своему, собственному закону или не известному экспериментатору, или им не контролируемому. Поэтому, с точки зрения экспериментатора, характер изменения этих факторов фактически является случайным. Если повторять опыты при фиксированных значениях факторов хi и hi , то по причине самопроизвольной изменчивости уровней факторов δi , в каждом опыте будут наблюдаться различные значения отклика Y . Так как к группе неуправляемых и неконтролируемых факторов δi относят слабо влияющие на отклик факторы (сильно влияющие факторы относят к группе хi или hi ), то и изменения отклика Y в каждом опыте будут малыми, зафиксировать такие изменения можно только в случае применения средств измерения отклика Y "достаточной точности". По этой причине, например, если провести серию опытов, получить по их результатам зависимость вида (1.1), провести расчет по этому уравнению при каких-то значениях факторов хi и hi, и вновь провести эксперимент при этих же значениях факторов хi и hi, а затем сравнить результаты расчета и опытные данные, то выяснится, что опытные данные и результаты расчета не совпадут точно. А значит, уравнение структуры (1.1) нельзя признать абсолютно адекватными опытным данным. Это объясняется отсутствием в уравнении (1.1) учета влияния на отклик Y факторов δi . Наиболее простым способом учета влияние этих факторов является использование для описания опытных данных уравнения следующего типа y  f ( xi , hi )   , (1.2) где величина  является, в общем случае, некоторой неизвестной функцией от неконтролируемых и неуправляемых факторов i . Функцию  называют или ошибка, погрешность эксперимента (если полагать, что истинным является закон типа (1.1)), или ошибка, погрешность расчета (если полагать, что истинными являются опытные данные). При правильной постановке эксперимента (при выявлении и контроле всех сильно влияющих на отклик факторов) и использовании правильной процедуры получения уравнения типа (1.1), значение функции мало по сравнению со значением отклика Y. Причем, значение тем меньше, чем большее количество факторов переведено из группы i в группы хi 21 или hi (т.е. чем большее количество факторов в эксперименте подвергается контролю). По существу, формально говоря, вся история развития, прогресс науки состоит именно в переводе факторов из группы i в группы хi или hi, т.е. развитие науки заключается именно в учете влияния на отклик Y (на результат практической деятельности) все большего и большего количества факторов. Практически, это выражается в открытии новых законов, связывающих контролируемые физические или другой природы величины, новых методов и методик расчетов, учитывающих все большее и большее количество факторов. Но полный, 100 %- й учет и контроль всех факторов, действительно влияющих на отклик на практике, вряд ли когда-нибудь будет возможен. Да и практическая целесообразность такого глобального контроля вызывает сомнения, в связи с предельной малостью влияния некоторых факторов из группы i на отклик. Важной особенностью функции  является то, что ее величиной нельзя управлять в эксперименте, ее значение формируется произвольно, случайно, как результат произвольных, случайных значений факторов i в каждом опыте. А учитывая взаимосвязь  и отклика Y, отраженную уравнением (1.2), и значения Y приобретают те же свойства, что и у  . Эти свойства, как правило, весьма специфичны, часто их обозначают термином "вероятностные свойства случайной величины". Рассмотрению таких свойств будут посвящены все последующие разделы. Возможность управления уровнями факторов в эксперименте является важной особенностью не только самих факторов, но и эксперимента в целом, открывая ряд возможностей по уменьшению затрат на проведение эксперимента, его оптимизации, повышения точности выявляемых экспериментальных зависимостей и закономерностей и достижения ряда других целей. Если все контролируемые в эксперименте факторы не управляемы – факторы hi , то такой эксперимент называют пассивным экспериментом. По ГОСТ 24026-80, пассивным экспериментом называется эксперимент, при котором уровни факторов в каждом опыте регистрируются исследователем, но не задаются. В пассивном эксперименте экспериментатор только наблюдает за изучаемым неуправляемым процессом, не вмешиваясь в ход каждого опыта. В 22 этом случае математическая модель исследуемого экспериментального объекта, построенная по данным эксперимента, записывается в следующем виде: y  f (hi )   . (1.3) Если же неуправляемых факторов hi нет или они переведены в разряд неконтролируемых i , а в эксперименте используются только управляемые и контролируемые факторы xi , то такой эксперимент называют активным экспериментом, По ГОСТ 24026-80, активным экспериментом называется эксперимент, в котором уровни факторов в каждом опыте задаются исследователем. Для активного эксперимента математическая модель объекта исследования имеет вид: y  f ( xi )   . (1.4) Если есть возможность управлять значениями факторов в эксперименте, назначать их уровни в каждом опыте по собственному желанию, то очевидно, что проводить такое назначение, управление следует некоторым оптимальным образом, придерживаясь определенной стратегии, плана действий. Активный эксперимент, как правило, предполагает использование предварительных процедур получивших название "планирование эксперимента". Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью и (или) с наименьшими затратами. По ГОСТ 24026-80, план эксперимента - совокупность данных, определяющих число, условия и порядок реализации опытов. По ГОСТ 24026-80, планирование эксперимента - выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям. Чаще всего, целями планирования эксперимента являются следующие цели: - установление границ интервала, в который попадет некоторое случайное, экспериментально определяемое значение с заданной степенью уверенности – это так называемое оценочное планирование эксперимента; - получение математической модели объекта экспериментального исследования в виде уравнения (1.4) – это планирование так называемого интерполяционного или регрессионного эксперимента; - отыскание такого сочетания факторов хi, которое обеспечивает оптимальное (как правило, экстремальное) значение некоторой целевой функции 23 или параметру оптимизации. При этом в качестве целевой функции выступает или отклик эксперимента Y или некоторая функция, зависящая от отклика. Такое планирование эксперимента называют планированием экстремальных или поисковых экспериментов. РАЗДЕЛ Р2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Содержание раздела. Понятие одномерной случайной величины. Природа возникновения случайных величин. Условия и причины наблюдения в эксперименте случайных величин. Виды случайных величин: непрерывные и дискретные случайные величины. Понятие непрерывной случайной величины. Различные способы описания непрерывных случайных величин. Понятие функции распределения. Понятие плотности распределения. Числовые параметры распределения. Связь значений случайной величины и значений числовых параметров распределения. Понятие квантили порядка Р. Законы распределения непрерывных случайных величин. Построение эмпирического графика функции распределения непрерывной случайной величины по опытным данным. Построение эмпирического графика плотности распределения непрерывной случайной величины по опытным данным. Теоретические законы распределения непрерывных случайных величин. Нормальный закон распределения. Функция Гаусса. Плотность нормального закона распределения. Числовые параметры нормального закона распределения и их смысл и свойства. Операция нормирования. Нормированный нормальный закон распределения. Числовые параметры нормированного нормального распределения. Использование нормированного нормального распределения для расчета вероятности обнаружения случайной величины в заданном диапазоне значений. Законы распределения непрерывной случайной величины связанные с нормальным законом распределения. Распре- 24 деление Пирсона. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера. Теория моментов как основной способ формирования числовых характеристик случайных величин. Начальные моменты k-го порядка и их назначение. Центральные моменты kго порядка и их назначение. Смешанные моменты. Числовые характеристики непрерывной случайной величины и их расчет на основе теории моментов. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Р2.1. Понятие вероятности В основе построения различного рода статистических моделей лежит теория вероятностей - математическая теория изучающая объективные закономерности массовых случайных явлений. Основополагающим понятием теории вероятности является понятие событие. Под событием подразумевается явление, которое происходит (или не происходит) в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий, т.е. в результате проведения опыта (часто говорят - в результате проведения испытания). При этом предполагается, что условия проведения опыта (величины уровней контролируемых факторов) могут быть воспроизведены в неизменном виде сколь угодно большое число раз. Используя описанную выше системную модель, событие может быть рассмотрено как наличие или отсутствие определенного уровня отклика этой модели. Говоря о воспроизводимости условий проведения опыта, строго говоря (и практически), можно гарантировать только воспроизводимость управляемых и контролируемых факторов (хi и hн). В то же время, наличие неконтролируемых факторов (н) определяет вероятностный характер событий. Каждому событию может быть приписан один из трех типов:  достоверное событие - обязательно произойдет в результате проведения опыта; 25  невозможное событие - не может произойти в результате про- ведения опыта;  случайное событие - может произойти, а может и не произойти в результате проведения опыта. Количественной мерой объективной возможности осуществления события при фиксированных уровнях факторов является вероятность этого события. По ГОСТ 15895-77, вероятностью события А называется число от нуля до единицы, которое представляет из себя предел частоты реализации события А при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий: nA , N  N Р( А)  lim (2.1) где nА - частота реализации события А; N-количество испытаний. Эмпирической мерой вероятности (эмпирической вероятно- стью)служит отношение числа появления события А - nA к общему числу наблюдений N: n Р ( А)  A . N (2.2) Эмпирическая вероятность при ограниченном числе наблюдений N является некоторым приближением (оценкой) для теоретической вероятности, определенной выражением (2.1). Из определения вероятности очевидно, что для некоторого события А: - Р(А)=1 - если событие А достоверное; - Р(А)=0 - если событие А невозможное; - 0Р(А)1 - если событие А случайное. Часто в результате проведения одного и того же опыта возможно появление двух или более событий. В этом случае события находятся в некотором взаимном отношении. События А и В называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого. 26 События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого. Два события А и А называются противоположными или взаимно дополнительными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого ( А читается “не А”). Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них или любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий . События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другие. В теории вероятности существует значительное количество теорем, составляющих мощный математический аппарат, позволяющий в значительной степени упростить процесс проведения эксперимента. Особенно эффективно применение теории вероятности на стадии предпланирования эксперимента, когда необходимо выявить полный, но по возможности минимальный набор факторов, влияющих на объект исследования. Однако часто качественного описания случайных явлений в терминах событие, когда отмечается лишь факт его наличия или отсутствия, оказывается недостаточно. В этом случае результаты опытов представляют количественно, в виде некоторой физической величины, носящей вероятностный характер, т.е. являющейся случайной величиной. Р2.2. Случайные величины и их характеристики Основой любого эксперимента является измерение тех или иных параметров явления или процесса. Результатами измерений являются значения факторов и (или) откликов. Проведем N испытаний при фиксированных, стабильных уровнях контролируемых факторов, действующих на объект исследования. Кроме контролируемых факторов на объект исследования обязательно действуют и неконтролируемые факторы. О значениях и стабильности значений этих 27 факторов сказать что-либо нельзя в силу отсутствия их контроля. В общем случае неконтролируемые факторы при проведении ряда измерений одной и той же контролируемой величины будут принимать различные значения. Это приведет к тому, что измеряя одну и ту же величину при одинаковых значениях контролируемых факторов, можно получить целый набор различных значений измерений x1,x2,…,xi,…,xN. (Иногда получить различные значения измерений не удается, но, как правило, это означает, что проводимые измерения обладают недостаточной точностью). Возникает вопрос: какое из значений xi является истинным (или наиболее правильным) значениеь полученного отклика и каким это значение будет при проведении следующего опыта в тех же условиях? Ответы на эти вопросы можно дать только с учетом того факта, что полученные опытные величины являются случайными величинами. Будем полагать при дальнейшем рассмотрении, что измерения величин проводятся с достаточной точностью. Пример 2. Осаживая пять свинцовых образцов одного размера, с одинаковым химическим составом, изготовленных по одинаковой технологии, при одинаковой температуре и скорости движения бойка, до одинакового окончательного размера (степени деформации), получили набор значений усилия осадки: 1376, 1382, 1365, 1362, и 1372 Н. Каково усилие при осадке свинцового образца данного вида и каким оно будет при осадке еще одного образца? Ответ на этот вопрос можно дать только с учетом того факта, что усилие осадки есть случайная величина. Подавляющее большинство величин, получаемых в результате проведения экспериментальных исследований, являются случайными величинами. По ГОСТ 15895-77, случайной величиной называется величина, которая может принимать какое-либо значение из установленного множества и с которой связано вероятностное распределение. Примеры типичных случайных величин в ОМД. Механические свойства металлов: предел текучести и прочности, относительные удлинение и сужение, твердость, ударная вязкость, долговечность образцов при усталостных 28 испытаниях и др. Технологические характеристики процессов ОМД: усилие и потребная мощность процесса (прессования, прокатки, волочения и др.), формоизменение металла (уширение и утяжка при прокатке и свободной ковке, утонение стенки при редуцировании труб и т.д.). Случайные величины делят на дискретные (прерывные) и непрерывные. По ГОСТ 15895-77, дискретная одномерная случайная величина - случайная величина, которая может принимать значения только из конечного или счетного множества действительных чисел. По ГОСТ 15895-77, непрерывная одномерная случайная величина - случайная величина, которая может принимать любые значения из конечного или бесконечного интервала. Пример: Дискретная случайная величина - долговечность образцов при усталостных испытаниях, определяемая, как правило, количеством циклов нагружения образца до разрушения. К непрерывным случайным величинам относятся механические свойства металлов и технологические характеристики процессов ОМД При дальнейшем изложении остановимся, в основном, на рассмотрении непрерывных случайных величин. Р2.3. Функция распределения и плотность распределения Случайная величина характеризуется областью возможных значений, которые она может принимать в результате опыта, и вероятностью приобретения этих значений, характеризуемых функцией распределения или плотностью распределения. По ГОСТ Р 50779.10-2000. Функция распределения – функция, задающая для любого значения x вероятность того, что случайная величина Х меньше или равна x : F(x)=P(Xx). (2.3) Функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины, учитывая ее накопительный характер. 29 Для лучшего понимания сути функции распределения и использования этой сути для последующего конструирования алгоритма построения ее эмпирического графика этой функции, распишем подробно существо элементов, составляющих выражение (2.3) и возможные их трактовки: X – случайная величина - величина, которая, по определению, может принимать любые значения: и больше x, и меньше x, и равные x. Но в данном определении, нас интересуют, прежде всего, те значения случайной величины Х, которые в ходе проведения эксперимента окажутся меньше или равными х; x – конкретное числовое значение, с которым сравниваются числовые значения случайной величины X (например, с x сравниваются числовые значения X, измеренные в ходе, проведения эксперимента или определенные какимлибо другим способом). x – это то конкретное числовое значение для которого и определяется величина функции распределения F(x); Xx – условие, разделяющее все возможные исходы опытов на две группы: 1) опыты (исходы), в которых наблюдалось значение случайной величины Х меньшее или равное конкретному числу х , 2) опыты (исходы), в которых наблюдалось значение Х большее чем х . В данном определении, нас интересуют, прежде всего, события (опыты, исходы), которые удовлетворяют условию Xx , т.е. относятся к первой из рассмотренных групп событий (исходов). Поэтому, в данном определении запись Xx можно трактовать как "событие, заключающееся в том, что в очередном опыте наблюдалось (или будет наблюдаться) значение случайной величины X , не превышающее конкретное число x, для которого определяется величина функции распределения F(x)". Следует отметить, что условие Xx не накладывает каких-либо ограничений на область возможных значений X, и никак не связано с этой областью, так же как это условие не накладывает ограничений и на область определения функции распределения F(x) и никак не связано с этой областью; P(Xx) – вероятность события Xx. Запись P(Xx) можно трактовать, например, так: P(Xx) – это число от 0 до 1, характеризующее возможность наблюдения в очередном опыте (или группе опытов) значения (значений) слу- 30 чайной величины X, не превышающего (не превышающих) конкретного числа x. С учетом приведенных трактовок составляющих выражения (2.3), для конкретного числа х функция распределения F(x) устанавливает конкретное числовое значение из диапазона от 0 до 1, характеризующее вероятность не превышения случайной величиной Х этого значения х. Поэтому, например, запись F(3,6)=0,83 означает, что случайная величина Х не превысит значение 3,6 с вероятностью 0,83 или с вероятностью 83% (что одно и то же). А это, в свою очередь, можно понимать, например, так: из 100 проведенных измерений случайной величины Х, 83 измерения оказались (или окажутся) меньше или равными 3,6. С эмпирической точки зрения, условие Xx приводит к тому, что, например, при рассмотрении эмпирических значений F(x1) и F(x2) , где х1<х2 , при расчете F(x1) используются значения случайной величины Х из диапазона Х  х1, а при расчете F(x2) используются значения этой случайной величины как из диапазона Х  х1, так и из диапазона х1<Х  х2 , т.е. происходит интегральное накопление, опытных значений. Поэтому, в литературе, функцию F(x) часто называют интегральной функцией распределения или интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины, учитывая такой накопительный характер этой функции. Свойства функции распределения F(x) 1. F(x) является неубывающей функцией х, т.е. для любых двух чисел х1 и х2 при х1<х2 удовлетворяется условие F(x1)F(x2). Это означает, что вероятность непревышения случайной величиной Х меньшего значения х1 будет меньше вероятности непревышения той же величиной большего значения х2. 2. F(-∞)=0 . Не существует действительных чисел меньше чем -∞, а значит, и вероятность события, что в эксперименте будет получено число меньше или равное -∞ равна нулю, поэтому F(-∞)=Р(Х≤-∞)=0. 3. F(+∞)=0 . Все существующие действительные числа меньше чем +∞, а значит, и вероятность события, что в эксперименте будет получено число большее чем +∞ равна нулю, поэтому F(+∞)=Р(Х≤+∞)=1. 31 Для каждой случайной величины функция распределения, в общем виде определенная выражением (2.3), имеет свой, совершенно конкретный вид и как всякая функциональная зависимость, может быть описана одним из трех способов: 1) в виде графика зависимости F(x) (кривая или прямая линия на координатной плоскости Х-0- F(x) ); 2) в табличном виде (см., например, Приложение); 3) в виде некоторой аналитической зависимости, связывающей значения случайной величины Х и соответствующее значения вероятности непривышения этого значения P(Xx) = F(x). Конечно, наиболее компактной формой представления функции распределения является использование 3-го способа описания – аналитической зависимости, но для практического использования в ряде случаев (причем, на практике, достаточно часто) удобней использовать или табличный или графический способ описания. Для конкретной случайной величины конкретный вид функции распределения можно, принципиально, получить двумя путями: 1) используя некоторые теоретические предпосылки, допущения, упрощения и известные математические приемы (т.е. используя так называемый "теоретический" подход к построению функций); 2) используя опытные данные, полученные в ходе проведения эксперимента (так называемый "эмпирический" подход к построению функций). Первый их этих путей получения функции распределения (теоретический) будем рассматривать в дальнейшем, в ходе лабораторной работы № 3, а второй, эмпирический – в настоящей лабораторной работе. Практической задачей получения эмпирической функции распределения является задачи установления связи, соответствия между конкретными значениями хi случайной величины Х и соответствующими этим значениям хi. вероятностями Рi непревышения Х значения хi . Набор значений хi случайной величины Х обычно получают в ходе измерения значений Х при проведении эксперимента, а значения вероятностей Рi рассчитывають, используя статистическое определение вероятности , где (2.4) - количество опытных значений, отвечающих условию Xxi ; N – общее количество (объем) опытных данных. Поскольку два события, заключающиеся в принадлежности случайной величины Х интервалам [-, х1[ и [x1, x2], являются несовместными, то вероят- 32 ность обнаружения случайной величины Х в интервале х1<Х<х2 можно рассчитать так: P(х1<Х<х2) = F(х2)- F(х1). (2.5) Для непрерывных случайных величин функция распределения обычно имеет первую производную, которую называют плотностью вероятности или плотностью распределения. (x) F(x) 1 F(x1) F(x2) x1 x2  x Рис. 2.1. График функции распределения случайной величины x Рис. 2.2. График плотности распределения случайной величины По ГОСТ Р 50779.10-2000. Плотность распределения – первая производная, если она существует, функции распределения непрерывной случайной величины: f ( x)  Функцию dF ( x ) . dx (2.6) часто называют дифференциальной функцией распреде- ления вероятностей случайной величины, учитывая способ ее определения (рис 2.3). Плотность распределения характеризует интенсивность изменения функции распределения (как характеристики распределения вероятности) при изменении значений случайной величины и поэтому, в ряде ситуаций, позволя- 33 ет белее наглядно охарактеризовать вероятностные свойства случайной величины. Так как функция распределения является неубывающей функцией, то ее первая производная (плотность распределения) удовлетворяет условию . График функции распределения имеет явный геометрический смысл. Для его выявления преобразуем выражение (2.4) к виду и проинтегрируем его на некотором участке случайной величины Х длиной : , откуда . (2.7) Учитывая геометрический смысл определенного интеграла функции, представляет собой площадь фи- f(x) гуры, ограниченной сверху графиком функции распределения, снизу – осью абсцисс Х и вертикалями x1 и х2 . x1 x2 Правая часть равенства (2.7) пред- Х ставляет собой разность значений функции распределения для числовых значений случайной величины x1 и х2 , равную вероятности попадания случайной величины Х в диапазон значений от x1 до х2 , что следует из приведенной схемы. Таким образом, X ≤ x2 , (2.8) т.е. геометрический смысл графика X ≤ x1 x 1 плотности распределения x2 x10иb>0. Плотность распределения Вейбулла описывается выражением . (2.40) Распределения Вейбулла широко используется в радиоэлектронике, так как хорошо описывает наработку на отказ многих электроприборов и радиокомпонентов (электронные лампы. полупроводниковые приборы, ряд приборов СВЧ). Частным случаем распределения Вейбулла является рассмотренное выше экспоненциальное распределение (при k =1). При k =2 распределение Вейбулла преобразуется в распределение Релея. С нормальным или нормированным нормальным распределением тесно связано ряд распределений, широко применяемых при анализе случайных величин. Основными из таких распределений являются следующие. 47 Р2.3.6. Распределение Пирсона ( -распределение). Если zi , i=1,2,...,ν - независимые стандартные нормально распределенные случайные величины, то сумма квадратов этих величин под- чиняется распределению Пирсона (2-распределению) с числом степеней свободы ν. По ГОСТ Р 50779.10-2000. 2-распределение (распределение Пирсона) (chi-squared distribution, 2 -distribution) – распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения от 0 до , плотность распределения вероятностей которой (2.41) где 2 > 0 при значении параметра ν = 1, 2, …; Г(ν/2) – гамма функция (2.42) Функция распределения 2 определяется выражением . В связи со сложностями прямого расчета функции (2.43) -распределения, для ее расчета можно использовать либо аппроксимирующие выражения (наиболее простые из которых имеют достаточную точность при больших значениях ν , а остальные так же имеют достаточно сложный вид), либо можно воспользоваться широко распространенными таблицами значений этой функции, например, приведенными в Приложении 4 данного руководства. Кривые Пирсона для различных  показаны на рис. 2.3. (2) =1 3 5 6 2 48 Рис. 2.3. График плотности распределения Пирсона Р2.3.7. Распределение Стьюдента (t - распределение) Если z стандартная нормально распределенная случайная величина, - случайная величина, имеющая распределение Пирсона с ν числом степеней свободы, причем z и 2 независимы, то величина (2.44) будет подчиняться t - распределению (распределению Стьюдента) с числом степеней свободы ν. По ГОСТ Р 50779.10-2000. t-распределение (распределение Стьюдента) (tdistribution; Student’s distribution) - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, плотность распределения вероятностей которой , (2.45) где с параметром ν = 1, 2, …; Г(ν) – гамма функция (3.22). Функция t-распределения определяется выражением . (2.46) Особенностью распределения Стьюдента является то, что при увеличении числа степеней свободы (параметр распределения ν), распределение приближается к стандартному нормальному закону распределения (см. п. Р2.3.3.). При ν→∞ распределения совпадают(т.е. стандартное нормальное распределения является предельным или асимптотическим распределением для tраспределения. На практике, считается, что уже при ν>30 (в ряде книг при ν>60 или при ν>120), расхождение между функциями этих распределений становится малозначимым. Учитывая достаточно широкое применение t-распределения в практике статистической обработки данных, в литературе широко распространенны таблицы значений функции распределения и таблицы обратных значений для 49 функции распределения, например, приведенными в Приложении 5 данного руководства. Вид кривых Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы показан на рис. 2.4. (t) 10 =1 0.1 -1 1 t Рис. 2.4. График плотности распределения Стьюдента Р2.3.8. F-распределение (распределение Фишера) Если и - две независимые случайные величины, подчиненные - распределению (распределению Пирсона) с числами степеней свободы и , соответственно, то величина (2.47) подчиняется F - распределению (распределению Фишера) с и числами сте- пенями свободы. По ГОСТ Р 50779.10-2000. F-распределение (F-distribution) - распределение вероятностей непрерывной случайной величины, принимающей значения от 0 до +∞, плотность распределения вероятностей которой , где с параметром ν1 = 1, 2, … и ν2= 1, 2, …; Г(ν) – гамма функция (2.42). Функция F-распределения определяется выражением (2.48) 50 . (2.49) Для распределения Фишера есть некоторые частные случаи: - при или F-распределение преобразуется к нормальному закону распределения, т.е. нормальный закон распределения является предельным законом для F-распределения; - при или , F-распределение совпадает с распределением квадрата случайной величины, подчиненной t-распределению Стьюдента; - при , F-распределение преобразуется к 2 – распределе- или нию с или числами степеней свободы. F- распределение широко применяется для различных случаев сравнения дисперсий, коэффициентов множественной корреляции и т.п. вариантов практической статистической обработки опытных данных, поэтому, в литературе широко распространенны таблицы значений функции F-распределения и таблицы обратных значений для функции F-распределения, например, приведенными в Приложении 6.1-6.1 данного руководства. Кривые Фишера для разного числа степеней свободы  при  показаны на рис. 2.5. =40 (F) 160 10 20 F Рис. 2.5. График плотности распределения Фишера Р2.4. Числовые характеристики случайной величины Рассмотренный выше способ описания случайных величин с использованием понятий функция распределения и плотность распределения является наиболее полным и подробным. Однако, сложность математических выраже- 51 ний, используемых для описания законов распределения является, в определенной мере, преградой для широкого практического использования этого способа описания как при теоретических изысканиях, так и при практической, например, производственной деятельности. Более простым, менее подробным, но при решении ряда практических задач более удобным способом описания случайных величин и их свойств является использование так называемых "числовых характеристик случайных величин". Их назначение – в сжатой, компактной форме выразить наиболее важные черты распределения вероятностей случайной величины. Числовая характеристика (случайной величин) – специализированная величина, описывающая в численной форме какое-то конкретное свойство распределения вероятностей случайной величины. Важной особенностью числовых характеристик является отсутствие в их формулировках вероятностного содержания, присущего самой описываемой случайной величине и закону ее распределения. Эта особенность существенно облегчает использование числовых характеристик и во многом обуславливает широкое их применение в практике статистических исследований. Числовые характеристики позволяют приписать случайным, вероятностным величинам детерминированные, однозначно определенные свойства. Известно достаточно большое количество различных методов и методик формулирования числовых характеристик, однако наиболее часто в настоящее время используют числовые характеристики, сформулированные на основе теории моментов. При этом используют понятия "математическое ожидание", "момент порядка q относительно начала отсчета ", "момент порядка q относительно a" и " центральный момент порядка q ". По ГОСТ Р 50779.10-2000. Математическое ожидание (случайной величины) (expectation; expected value; mean) – a) для дискретной случайной величины Х , принимающей значения роятностями с ве- , математическое ожидание, если оно существует, определяют формулой , (2.50) 52 где суммируют все значения , которые может принимать случайная вели- чина Х . – b) для непрерывной случайной величины Х , имеющей плотность , ма- тематическое ожидание, если оно существует, определяют формулой , (2.51) где интеграл берут по всему интервалу (интервалам) изменения Х . По ГОСТ Р 50779.10-2000. Момент порядка q относительно начала отсчета (moment of order q about the origin) – Математическое ожидание случайной величины в степени q для одномерного распределения . Примечание: Момент первого порядка - математическое ожидание случайной величины Х ( . По ГОСТ Р 50779.10-2000. Момент порядка q относительно a (moment of order q an origin a ) – математическое ожидание величины в степени q для одномерного распределения . По ГОСТ Р 50779.10-2000. Центральный момент порядка q (central moment of order q ) – математическое ожидание центрированной случайной величины для одномерного распределения . Примечание: Центральный момент второго порядка - дисперсия случайной величины Х. Как и у всякого объекта реального мира, у любой случайной величины и распределения ее вероятности имеется большое количество свойств и, соответственно, можно сформулировать большое количество числовых характеристик, описывающих эти свойства. Однако, на практике, наибольшую применимость имеет достаточно ограниченный класс числовых характеристик, описывающих наиболее важные с практической точки зрения свойства. По этому, достаточно условному признаку (частоте использования), все числовые характеристики можно разделить на две группы: - а) "основные числовые характеристики" и - б) "дополнительные числовые характеристики". К группе "основные числовые характеристики" отнесем математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Остальные известные числовые характеристики (и те, которые можно принципиально сформулиро- 53 вать дополнительно") отнесем ко второй группе - "дополнительные числовые характеристики". Основные генеральные числовые характеристики. Как указывалось выше (см. введение) все числовые характеристики можно разделить на две группы: - а) "основные числовые характеристики" и б) "дополнительные числовые характеристики". К группе "основные числовые характеристики" отнесем только три, наиболее часто используемых числовых характеристики, а именно: математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Определение математического ожидания по ГОСТ Р 50779.10-2000 приведено выше. Известно и другое, более простое определение, лучше отражающее смысл математического ожидания случайной величины. По ГОСТ 15895-77, математическим ожиданием случайной величины называется среднее, взвешенное по вероятностям, значение случайной величины     xf ( x )dx . (2.52)  Учитывая геометрические трактовки определенных интегралов, выражение (2.52) геометрически представляет собой абсциссу центра тяжести фигуры, ограниченной сверху кривой ми и , снизу осью абсцисс и по бокам вертикаля- . Отсюда следует геометрическая трактовка математиче- ского ожидания: Математическое ожидание случайной величины Х представляет собой абсциссу центра тяжести плоской фигуры, расположенной под кривой плотности распределения этой случайной величины на всем интервале ее возможных значений. Проще говоря, математическое ожидание случайной величины характеризует, описывает, совпадает с центром распределения этой случайной величины. Или по другому: математическое ожидание случайной величины представляет собой такое числовое значение этой случайной величины, относительно которого происходит разброс, рассеянье наблюдаемых в эксперименте значений. 54 Для симметричных распределений (например, равномерное, нормальное, распределение Стьюдента) математическое ожидание совпадает с вертикальной осью симметрии распределения и со значением медианы. Для симметричных одномодальных распределение, математическое ожидание, кроме того, совпадает со значением моды (с положением максимума кривой плотности распределения. Изменение значения математического ожидания приводит к смещению на соответствующих графиках кривых функции распределения и плотности распределения путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на величину, равную величине изменения математического ожидания, как показано на рис. 2.6 и рис. 2.7. Рис. 2.6. Функции нормального закона распределения при разных математических ожиданиях и одинаковой дисперсии. Рис. 2.7. Плотности нормального закона распределения при разных математических ожиданиях и одинаковой дисперсии. 55 По ГОСТ Р 50779.10-2000. Дисперсия (случайной величины) (variance) – математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины . (2.53) По ГОСТ 15895-77, дисперсия случайной величины это центральный момент порядка 2:     ( x   ) 2 f ( x )dx . 2 (2.54)  Можно дать другое, более подробное определение, построенное на основе формулы (2.54), по аналогии с приведенным выше определением математического ожидания случайной величины: Дисперсией случайной величины называется средневзвешенный по вероятностям квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия служит характеристикой рассеяния, разброса случайной величины Х вокруг центра распределения (вокруг математического ожидания μ). В соответствии с выражениями (2.53) и (2.54), чем больше разброс, рассеяние опытных значений относительно μ, тем больше численное значение . Для нормального законно распределения величина дисперсии геометрически определяет точку перегиба кривой плотности распределения. Изменение значения дисперсии (при постоянном математическом ожидании) приводит на соответствующих графиках к сжатию (при уменьшении или растяжению (при увеличении ) ) кривых и функции распределения и плотности распределения вдоль оси абсцисс, как показано на рис. 2.8 и рис. 2.9. 56 Рис. 2.8. Функции нормального закона распределения при одинаковых математических ожиданиях и разной дисперсии. Рис. 2.9. Плотности нормального закона распределения при одинаковых математических ожиданиях и разной дисперсии. Недостатком использования дисперсии как числовой характеристики, используемой в качестве меры рассеяния, является то, что она выражается в квадратных единицах рассматриваемой случайной величины. Например, если случайная величина X имеет размерность метры (м), то ее математическое ожиданий так же будет иметь размерность метры (м), а дисперсия будет иметь размерность метры в квадрате (м2). И, например, сравнивать эти величины (х, 57 м, ,ми , м2) некорректно. В ряде случаев, размерность дисперсии вообще не имеет какого-либо физического смысла (например, амперы в квадрате, А2). Поэтому, кроме дисперсии, за меру рассеяния случайной величины принимают положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называют стандартным отклонением (или, в соответствии со старыми ГОСТ среднеквадратическим отклонением), и имеет ту же размерность, что и сама описываемая случайная величина. По ГОСТ Р 50779.10-2000. Стандартное отклонение (случайной величины) ((standard deviation) – положительный квадратный корень из значения дисперсии (2.55) С учетом принятого ранее обозначения дисперсии , выражение (2.55) можно переписать в виде   2 . (2.56) Математическое ожидание , дисперсия 2 и среднеквадратическое отклонение  являются наиболее употребительными числовыми характеристиками случайной величины. Например, они полностью определяют нормальный закон распределения. Из определения математического ожидания  и дисперсии 2 следуют их свойства, вот некоторые из них, если обозначить a и b – постоянные, X – случайная величина: - математическое ожидание постоянной величины a равно самой этой величине ; - математическое ожидание произведения постоянной величины a на случайную величину X равно произведению постоянной величины a на математическое ожидание случайной величины X ; - математическое ожидание линейной комбинации случайной величины X ; 58 - дисперсия постоянной величины a равно нулю ; - дисперсия произведения постоянной величины a на случайную величину X равна произведению квадрата постоянной величины a на дисперсию случайной величины X ; - дисперсия линейной комбинации случайной величины X . Дополнительные генеральные числовые характеристики. В большинстве случаев, случайная величина является достаточно сложным объектом, обладающим широким спектром специфических свойств. Наиболее важные, с практической точки зрения, из таких свойств рассмотрены выше и охарактеризованы с использованием основных числовых характеристик. Кроме них известно достаточно большое количество дополнительных числовых характеристик, описывающих менее часто анализируемые и используемые свойства случайных величин. Ниже приведены только некоторые из таких числовых харакетристик. Для характеристики вариабельности (относительного разброса) случайной величины или сопоставления разбросов случайных величин с различными математическими ожиданиями применяют коэффициент вариации:   .  (2.57) Кроме использованных выше моментов первого и второго порядков, применяют центральные и начальные моменты и более высоких порядков – моменты третьего и четвертого порядков. Коэффициентом асимметрии А называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу стандартного отклонения: А 3  3 . (2.58) 59 Коэффициент асимметрии определен таким образом, что для теоретического нормального закона распределения А=0. Отличие от нуля коэффициента асимметрии говорит об асимметричности закона распределения относительно математического ожидания. Если А<0, то это говорит о большем влиянии на величину дисперсии отрицательных отклонений, и наоборот (рис.2.10, а). Эксцессом Е называется величина, определяемая выражением E 4  4  3. (2.59) Эксцесс служит мерой “островершинности”, или “сжатости”, закона распределения случайной величины. Для теоретического нормального закона распределения Е=0. Если Е>0, то распределение имеет более острую вершину, чем у теоретического нормального распределения, оно более сжато, и наоборот (рис.2.10, б). (x) а (x) А=0 А>0 E>0 А<0 б E=0 E<0  x  x Рис. 2.10. Примеры функции распределения для различных значений коэффициентов асимметрии (а) и эксцесса (б) 60 РАЗДЕЛ Р3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ Содержание раздела. Основные задачи выборочного метода и задачи математической статистики, как основного метода обработки результатов эксперимента. Генеральная совокупность, выборка, объем выборки. Оценивание, оценка. Случайный характер оценок. Требования, предъявляемые к оценкам. Состоятельная, несмещенная и эффективная оценка. Точечное оценивание. Точечные оценки основных числовых характеристик непрерывных случайных величин. Интервальное оценивание Доверительный интервал, доверительная вероятность. Построение доверительного интервалов для основных числовых характеристик непрерывных случайных величин. Статистическая гипотеза. Нулевая и альтернативная гипотезы. Статистический критерий, статистика. Критическая область. Ошибка первого и второго рода, уровень значимости, мощность критерия. Критерии согласия. Инородные значения. Ошибки эксперимента. Резко выделяющиеся значения. Критерии для исключения инородных, резко выделяющихся значений, грубых ошибок (критерий В.С.Смирнова). Критерий для сравнения неизвестной генеральной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности экспериментальных данных с известной или числом (критерий Пирсона). Критерий для сравнения двух неизвестных генеральных дисперсий для нормально распределенных совокупностей экспериментальных (критерий Фишера). Критерии для сравнения ряда неизвестных генеральных дисперсий для нор- 61 мально распределенных совокупностей экспериментальных (критерии Бартлета и Кохрена). Критерии для сравнения неизвестного математического ожиданий нормально распределенной генеральной совокупности экспериментальных данных с известным или числом (критерии Лапласа и Стьюдента). Критерий для сравнения двух неизвестных математических ожиданий для нормально распределенных совокупностей экспериментальных данных (критерий Стьюдента). Критерии согласия. Параметрические и непараметрические критерии согласия. Критерии согласия, используемые при больших объемах выборок, их мощность и область применения. Критерий Пирсона, выбор числа интервалов и группировка исходных данных, статистика и построение критической области. Приближенные критерии согласия с нормальным законом распределения, используемые при малых объемах выборок. Р3.1. Генеральная совокупность и выборка. Для подавляющего большинства экспериментально наблюдаемых случайных величин закон распределения и его числовые характеристики (2 и ) исследователю не известны и должны быть определены по опытным данным. Строго говоря, для установления точного вида закона распределения случайной величины или определения точных значений параметров распределения необходимо произвести бесконечное число измерений. Воображаемое, бесконечно большое множество всех результатов испытаний, которые в принципе могут быть реализованы при данных условиях называют генеральной совокупностью. 62 По ГОСТ 15895-77, генеральная совокупность это множество всех рассматриваемых единиц. Но порой даже сама постановка задачи проведения бесконечного (или очень большого) числа измерений выглядит абсурдно. Например, для того чтобы точно определить закон распределения усилия осадки свинцового образца, упомянутого раньше, пришлось бы извлечь всю имеющуюся в Земле свинецсодержащую руду (или значительную ее часть), переплавить ее, превратить в образцы для лабораторных испытаний и осадить их. На практике мы имеем возможность провести только ограниченное число измерений. Ограниченную совокупность результатов испытаний, являющуюся частью генеральной совокупности называют выборкой (рис. 3.1), а значения характеристик, вычисляемые по выборке, называют выборочными характеристиками или оценками генеральных характеристик или статистиками. Рис. 3.1. Генеральная совокупность и выборка По ГОСТ 15895-77, выборка - это любое конечное подмножество генеральной совокупности, предназначенное для непосредственных исследований. Вполне естественно, что найденные по данным выборки величины (выборочные числовые характеристики случайной величины) в большей или меньшей степени будут отличаться от аналогичных точных величин, так называемых генеральных характеристик, определенных по генеральной совокупности данных. 63 Генеральные числовые характеристики случайной величины являются детерминированными величинами, а выборочные, т.е. их оценки, - случайными. Эта разница генеральных и выборочных характеристик является принципиальной и определяет то, что величины, рассчитанные по выборке, являются некоторым приближением точных значений генеральных характеристик. Точность приближения зависит от количества испытаний N и местоположения опытных точек, поэтому говорят, что выборочные характеристики являются оценками неизвестных значений генеральных характеристик. Р3.2. Статистическое оценивание Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема (т. е. по некоторой части генеральной совокупности) высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности в целом. Подобное суждение получают путем оценивания эмпирических (выборочных) аналогов вероятностных характеристик исследуемой величины, иначе говоря, путем оценивания параметров (характеристик) генеральной совокупности с помощью некоторой подходящей функции результатов наблюдений оценок параметров распределения (обычно слова “параметров распределения” опускают). По ГОСТ 15895-77, оценивание – это определение приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений. По ГОСТ 15895-77, оценкой называется статистика, являющаяся основой для оценивания неизвестного параметра распределения. Для оценивания одного и того же параметра распределения случайной величины можно использовать различные оценки, различные эмпирические, выборочные аналоги. Пример. Пусть мы имеет некоторую выборку x1, x2, x3, ... ,xN, с соответствующими значениями 6,13; 6,00; 5,96; 5,94; 5,91; 5,75; 5,69; 5,67; 5,46; 5,30. 64 В качестве оценки математического ожидания могут быть рассмотрены, например, следующие величины: 1 N x   x i  5,78 , N i 1 среднее арифметическое среднее по интервалу ( xmin  xmax ) (5,30  6,13)   5,715 , 2 2 центральный момент xm , N  нечетное, N  2m  1   , Ме(xi )  (x m  xm1 ) , N  четное, N  2 m   2 Ме( xi )  (5,91  5,75)  5,83. 2 Для того чтобы выбрать наилучшие из оценок, необходимо сформулировать некоторые требования к их свойствам, желательно с точки зрения практики. Такими требованиями являются. 1. Состоятельность. По ГОСТ 15895-77, состоятельная оценка - это оценка, сходящаяся по величине к значению оцениваемого параметра при безграничном возрастании объема выборки. Иными словами, вероятность события, заключающегося в непревышении разницы между оценочной  и генеральной  характеристикам сколь угодно малой величины , при увеличении объема выборки должна неограниченно приближаться к единице P (     )  1. N Состоятельность оценки гарантирует исследователю увеличение точности оценивания с ростом N и то, что хотя бы в пределе при N он может получить точное значение . 2. Несмещенность. По ГОСТ 15895-77, несмещенная оценка - оценка, математическое ожидание которой равно значению оцениваемого параметра. 65 Для несмещенной оценки характерно, что для любого N     . Иными словами, несмещенность означает отсутствие систематической погрешности при оценивании параметров. 3. Эффективность. По ГОСТ 15895-77, эффективная оценка это несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра. Эффективная оценка, следовательно, имеет минимальную случайную ошибку и в этом смысле наиболее точная. В приведенном выше примере состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой является среднее арифметическое x 1 N  xi  5,78 N i 1 Р3.3. Точечные оценки По ГОСТ 15895-77, точечное оценивание - это определение приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений. Точечные оценки - это оценки некоторых неизвестных числовых характеристик закона распределения случайной величины, полученные в виде конкретного числа, точки на числовой оси. Для случайной величины с нормальным законом распределения наилучшей оценкой величины математического ожидания  служит величина выборочного среднего арифметического, генеральной дисперсии 2 - выборочной дисперсии, а генерального среднеквадратического отклонения  – выборочное среднеквадратическое отклонение. По ГОСТ 15895-77, выборочное среднее арифметическое - это сумма значений рассматриваемой величины, полученная по результатам испытания выборки, деленная на ее объем (количество единиц в выборке N): 66 1 N x   xi . N i 1 (3.1) По ГОСТ 15895-77, выборочная дисперсия это сумма квадратов отклонений выборочных результатов наблюдений от их выборочного среднего арифметического в выборке, деленная на (N-1) или N: s 2 1 N ( xi  x ) 2 .  N  1 i 1 (3.2) Для нормального закона распределения случайной величины оценки (2.26) и (2.27) являются состоятельными, несмещенными и эффективными. Формулу (2.27) удобно для практических расчетов преобразовать к виду 2   1  N 2 1  N   1 N 2 s  xi  xi  xi  N x 2  .     N  1 i 1 N  i 1   N  1 i 1    2 (3.3) Несмещенность оценки выборочной дисперсии s 2 достигается использованием в знаменателе формулы (2.27) величины   N  1 вместо очевидной на первый взгляд N. Величину  называют числом степеней свободы. Число степеней свободы - это разность между числом имеющихся выборочных экспериментальных значений (объемом выборки), по которым вычисляется оценка и количеством дополнительных параметров, входящих в формулу для расчета оценки, и вычисляемых в виде линейных комбинаций тех же самых значений. При оценке дисперсии линейной комбинацией является выборочное среднее, определяемое по выражению (2.26), и поэтому в выражении для расчета выборочной дисперсии следует использовать   N  1. По ГОСТ 15895-77, выборочное среднеквадратическое отклонение - это положительный квадратный корень из выборочной дисперсии s   s2 . (3.4) 67 Р3.4. Интервальные оценки Рассмотренные точечные оценки сами являются случайными величинами, так как зависят от объема выборки, по которой они построены. Кроме того, они не дают информации о степени близости оценки  к соответствующему теоретическому параметру . Более информативным способом оценивания является интервальное оценивание. По ГОСТ 15895-77, оценивание с помощью доверительного интервала - это способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала. Интервальной оценкой параметра  называется интервал (l1, l2), который с заданной вероятностью р накрывает оцениваемый параметр : Pl1    l 2   p . (3.5) Интервал (l1, l2) называется доверительными интервалом. Его границы l1 и l2) являются статистиками (рассчитываются по выборочным значениям х1,х2,х3,..., хN) и называются соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Ширина доверительного интервала L=(l2 – l1) является мерой точности оценки данного числового параметра. Границы доверительного интервала (l1, l2) зависят от объема выборки N и ее состава, а значит, являются случайными величинами. По ГОСТ 15895-77, доверительный интервал - интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения. Вероятность р называют доверительная вероятность, а величину =1-p - уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Доверительная вероятность р характеризует степень достоверности, надежности результата, а уровень значимости  ,наоборот, показывает степень неточности, ненадежности результата. По ГОСТ 15895-77, доверительная вероятность - вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. 68 Практически чаще всего используется значение доверительной вероятности р=0.95, реже р=0.9 и р=0.99 и совсем редко р=0.8 и р=0.999. Доверительный интервал может быть построен для точечной оценки любого параметра распределения. Наибольшее практическое значение имеют процедуры построения доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии. Рассмотрим особенности этих построений. Р3.4.1. Интервальная оценка математического ожидания нормальной генеральной совокупности случайной величины при известной дисперсии. Если непрерывная случайная величина Х распределена нормально с параметрами x и  x2 , то и среднее значение x этой величины, рассчитанное по N независимым наблюдениям, также распределено нормально, но с параметрами х и  x2 , поэтому после проведения операции нормирования случайной велиN чины x функция z x  x x / N (3.6) будет подчиняться нормированному нормальному закону распределению. Из условия нормирования можно получить уравнение для расчета x при известном значении z: x  x  z x N . (3.7) Вероятность попадания случайной величины x в некоторый диапазон ( x Р1 , xР 2 ), определяемый квантилями соответствующих порядков Р1 и Р2, с учетом выражений (3.6) и (3.7) равна Р( xP1  x  xP 2 )  P(  x  z P1  P( x  z P1 x N x N   x   x  zP2  x   x  zP2 x N )  P2  P1. x N ) 69 Откуда для доверительной вероятности Р=Р2-Р1 можно выделить интервальную оценку для математического ожидания: x  z p2 x N    x  z p1 x N , (3.8) где z p1 и z p2 - квантили нормированного нормального распределения для доверительных вероятностей Р1 и Р2 соответственно. При построении доверительных интервалов для генерального среднего обычно принимают Р1=/2 и Р2=1-Р1=1-/2, т.е. рассматривают симметричные границы доверительных интервалов относительно выборочного среднего, причем обычно выбирают =0.1 или =0.05, реже =0.01. Значения квантилей функции Лапласа z p1 и z p2 (квантилей нормированной функции нормального распределения), используемых в выражении (2.33), табулированы (см. табл. П.2). Поскольку приведенная в приложении таблица квантилей (как и в большинстве справочников) построена для интервала доверительных вероятностей от 0.5 до 0.999, то для расчета квантилей, соответствующих малой доверительной вероятности (от 0 до 0.5), следует использовать соотношение z p   z(1 p) . Например, если принять уровень значимости =0.05 т. е. р1=0.05/2=0.025 и р2=1-0.05/2=0.975, то из таблицы квантилей функции Лапласа (см. табл. П2) можно определить, что zP1=z0.025=-z(1-0.025)=-z0.975=-1.96 и z0.975=1.96 и x x P(x  196 .    x  196 . )  0.95 , N N (3.9) т.е. при многократном извлечении из нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами  и 2 выборок объемом N каждая, можно построить последовательность соответствующих выборкам интервалов (2.34), причем примерно 95% этих интервалов будут включать в себя истинное значение математического ожидания . 70 Р3.4.2. Интервальная оценка математического ожидания нормальной генеральной совокупности случайной величины при неизвестной дисперсии. Часто значение генеральной дисперсии 2 исходного распределения оказывается неизвестным. Тогда при построении доверительных интервалов для генерального среднего используют выборочную дисперсию S2. В этом случае нормированная случайная величина, аналогичная (3.6) записывается в виде t x , S/ N (3.10) где S - выборочное среднеквадратическое отклонение. Величина t подчиняется распределению Стьюдента. Используя понятие квантили и проведя рассуждения, аналогичные приведенным в п. Р3.4.1, можно получить выражение для расчета границ доверительного интервала для генерального среднего при неизвестной дисперсии 2 x  t , S S ,    x  t , N N (3.11) где t, - значение квантили статистики t для уровня значимости =1-P и числа степеней свободы =N-1, определение которых можно произвести по таблице П6. Пример: По результатам испытаний на разрыв 20 образцов из дюралюминиевого прессованного профиля определили, что для предела прочности выборочное среднее составило x  B  453MПа при выборочном среднеквадратическом (стандартном) отклонении s=11.26 МПа. Требуется определить 90 % -ный доверительный интервал для генерального среднего значения предела прочности материала данного профиля. Для уровня значимости =1-0.9=0.1 и числа степеней свободы =201=19 по таблице квантилей (двусторонних пределов) t-распределения Стьюдента (см. табл. П6) находим t0.1,19=1.73. По формуле (2.36) рассчитываем 71 1126 . 1126 . 173 .    453  173 . 20 20 ; 453  449 МПа < m < 457 МПа Р3.4.3. Интервальная оценка дисперсии нормальной генеральной совокупности случайной величины. При построении доверительного интервала для дисперсии нормально распределенной случайной величины Х используют случайную величину 2  ( N  1) S 2  2 , (3.12) подчиненную распределению Пирсона или 2 - распределению. Если задать вероятность Р=Р2-Р1 обнаружения случайной величины  2 в интервале (  р2 , ,  р2 , ), то используя понятие квантили, можно записать: 1 2 P(  P2 ,  2  P( S 2  2 ( N  1) S   P2 , )  P(  P2 ,  2 1 2  ( N  1)  P2 , 1   2  S2 ( N  1)  P2 , 2 2   P2 , )  1 )  P2  P1. Из последнего выражения можно выделить интервальную оценку генеральной дисперсии  2 для доверительной вероятности Р=Р2-Р1: S2 N 1  P2 , 1   2  S2 N 1  P2 , 2 (3.13) Обычно задаются уровнем значимости  (чаще всего =0,05, реже =0,10) и принимают симметричные доверительные границы из условий р1= и р2=1/2. Значения квантилей распределения Пирсона  р2 , и  р2 , можно опреде1 2 лить по табл. П6. Пример: По результатам испытаний на разрыв 20 образцов из дюралюминиевого прессованного профиля определили, что выборочное среднеквад- 72 ратическое (стандартное) отклонение составило s=11.26 МПа. Требуется определить 90 % -ный доверительный интервал для генеральной дисперсии и среднеквадратического отклонения предела прочности материала данного профиля. Для уровня значимости =1-0.9=0.1 доверительная вероятность для левой границы составит Р1=/2=0.1/2=0.05 , для правой границы Р2=1-/2=10.1/2=0.95, число степеней свободы =20-1=19. По таблице -пределов (квантилей) -распределения Пирсона (см. табл. П6) находим 20.05,19=30.1 и20.95,19=10.1 . По формуле (2.38) рассчитываем 1126 . 2 19 19   2  1126 . 2 ; 301 . 101 . 801 .   2  238.8 ; 8.95   2  15.5 , МПа Р3.5. Планирование эксперимента при оценивании числовых характеристик случайной величины Планирование эксперимента при проведении оценок числовых характеристик случайной величины сводится к определению необходимого объема выборки N для получения требуемой точности оценивания. Р3.5.1. Планирование эксперимента при оценивании математического ожидания с требуемой точностью. При оценке математического ожидания обычно интересует ширина интервала, который накроет математическое ожидание с заданной точностью. Построение этого интервала при заданном уровне значимости и определенном объеме выборки экспериментальных данных описано в п.п. Р3.4.1 и Р3.4.2. Может быть решена и обратная задача: определение объема выборки для получения оценки параметра распределения с требуемой точностью при заданном уровне значимости  и известной выборочной оценке стандартного отклонении S. 73 Если задана ширина симметричного доверительного интервала для математического ожидания L (например, диаметр прутка 301), то из выражения (2.36) следует, что L  2t , s , N откуда N  2t , s , L или 2 s  N   2t ,  . L  (3.12) Так как значение статистики Стьюдента зависит от количества проведенных опытов (количества степеней свободы ), то решение уравнения (2.47) может быть получено методом последовательных приближений. Пример: При прокатке горячекатаного листа с номинальной толщиной 4 и полем допуска 0.05 мм получены следующие фактические значения толщины: 3,91 мм, 4.08 мм, 3.93 мм, 3.97 мм, 3.92 мм, 4.05 мм, 4.10 мм. Требуется определить, какое количество измерений необходимо произвести, чтоб оценить математическое ожидание толщины листа с точностью, определенной полем допусков и при доверительной вероятности a=0.05. Оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения составят: x 1 (3,91  4,08  3,93  3,97  3,92  4,05  4,10)  3,99 6 1 s 2  ((3,91  3,99) 2  (4,08  3,99) 2  ...  (4,10  3,99) 2  0,0064 5 s  s 2  0,08 Ширина доверительного полуинтервала L=0.1. Используя таблицу распределения Стьюдента (см. табл.П6), произведем расчет (N задаем, N’ рассчитываем по (2.39)): При N= 4 t,N-1= При N= 26 t,N-1= 2,060 N'= 10,86 При N= 11 t,N-1= 2,228 N'= 12,71 При N= 13 t,N-1= 2,179 N'= 12,15 3,182 N'= (2*3,182*0,08/0,1)2= 25,93 74 Так как значение N и округление N’ до ближайшего следующего целого числа (13) совпали, то можно сделать вывод, что для получения оценки математического ожидания с точностью 0.05 необходимо проделать в общей сложности 13 измерений . Р3.5.2. Планирование эксперимента при оценивании генерального среднеквадратического отклонения с требуемой точностью. В качестве характеристики для оценивания точности расчета генерального среднеквадратического отклонения  обычно используют относительную величину   L , где L - ширина доверительного интервала при фиксированной  доверительной вероятности р. Используя эту величину, можно показать, что с вероятностью р доверительный интервал L для стандартного отклонения  оценивает  с относительной погрешностью, не превышающей 100 , %. Определение количества опытов необходимое для оценивания среднеквадратического отклонения с заданной точностью  может быть произведено с использованием неравенства, полученного из интервальной оценки для дисперсии  2, / 2  2,1  / 2  (1  )2 , (3.13) где  - количество степеней свободы (=N-1);  - уровень значимости (=1-p);  2, - квантиль распределения Пирсона, значение которой при заданном уров- не значимости  и числе степеней свободы  может быть определено из таблиц (см. табл. П3). В некоторых случаях удобней воспользоваться эквивалентным неравенством, связанным с F-распределением F,, / 2 F,,1  / 2  (1  )2 , (3.14) 75 где  - количество степеней свободы (=N-1);  - уровень значимости (=1-p); F,, - квантиль распределения Фишера, значение которой при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы  может быть определено из таблиц (см. табл. П4 и П5), принимая 1= и 2=. Решение неравенств (3.13) и (3.14) ищется методом подбора. 4. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 4.1. Статистические гипотезы и критерии согласия При использовании экспериментальных методов для решении конкретных практических задач часто приходится делать некоторые предположения относительно свойств одной или нескольких генеральных совокупностей основываясь на имеющихся выборках ограниченного объема. Такие предположения являются статистическими гипотезами. По ГОСТ 15895-77. Статистической гипотезой называют любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайной величины в совокупности. Роль статистических гипотез при обработке экспериментальных данных весьма высока. Без них невозможно обойтись даже при попытке численно охарактеризовать случайную величину на основе выборки, при построении точечных и интервальных оценок. При построении точечных и интервальных оценок высказывалось предположение, что случайная величина подчиняется нормальному закону распределения. Кроме того, всегда подразумевалось что все выборочные значения принадлежат одной и той же генеральной совокупности (нет резко выделяющихся значений). Тем более невозможно обойтись без статистических гипотез если возникает задача сравнения двух или более случайных величин. Идея формирования и проверки статистических гипотез состоит в следующем. Пусть для некоторого числового параметра случайной величины  по 76  . Пусть имеется причина выборке объема N вычислена некоторая оценка  предположить, что истинное значение параметра , т.е. его значение в генеральной совокупности, равно 0 . Это предположение следует проверить на практике, то есть по имеющимся опытным данным выборки. Такое проверяемое предположение называют нулевой гипотезой Н0 и записывают в виде соотношения Н0: =0. Даже если нулевая гипотеза справедлива, то выборочное  обычно не совпадает точно с 0 , поскольку оно является лишь одзначение   , порожденной случайныним из конкретных значений случайной величины   ), ми выборками объема N. Если известна функция распределения оценки F( построенная теоретически в предположении справедливости нулевой гипотезы, то с ее помощью можно найти такую зону, вероятность попадания в которую мала (равна малому значению ). Эта зона может использоваться в качестве не-  которой критической области, то есть области, попадание в которую оценки  дает основания отвергнуть выдвинутую нулевую гипотезу. Нулевой гипотезой обычно называют гипотезу, имеющую наиболее важное значение в проводимом исследовании. Ее обозначают Н0. По ГОСТ 15895-77. Нулевая гипотеза это гипотеза, подлежащая проверке. Нулевую гипотезу выдвигают и затем проверяют с помощью статистических критериев с целью выявления оснований для ее отклонения и принятия альтернативной гипотезы. По ГОСТ 15895-77. Альтернативная гипотеза - каждая допустимая гипотеза, отличная от нулевой. Ее обозначают НА или Н1. Обычно при проверке статистических гипотез в качестве конкретной альтернативной гипотезы, из всех возможных, выбирают гипотезу, имеющую в проводимом исследовании второе по важности значение после нулевой. Если имеющийся статистический материал не позволяет отвергнуть нулевую гипотезу, то ее принимают и используют в качестве рабочей до тех пор, пока новые результаты испытаний не позволяют ее отклонить. 77 По ГОСТ 15895-77. Статистический критерий - однозначно определенный способ проверки статистических гипотез. В основе критерия лежит некоторое известное теоретическое распределение случайной величины. По опытным данным рассчитывают некоторую случайную величину, называемую статистикой, относящуюся к данному критерию и имеющую то же распределение . Статистикой для проверки гипотез называют функцию g(x1,x2,...,xN) результатов наблюдений составляющих выборку x1,x2,...,xN, однозначно связанную с принятым статистическим критерием и определяемую им. Все возможные значения статистики для проверки гипотезы делят на две части: область принятия нулевой гипотезы и критическую область. По ГОСТ 15895-77. Критической областью называют область со следующими свойствами: если значения применяемой статистики принадлежит данной области, то отвергают нулевую гипотезу; в противном случае ее принимают. Проверка гипотезы сводится к выяснению того, в какую область попало рассчитанное значение статистики: если оно попало в критическую область, то нулевая гипотеза отвергается, а если в область принятия нулевой гипотезы, то принимается. Так как эти решения базируются на статистиках, найденных по выборкам ограниченного объема (то есть на случайных величинах), то при принятии решения всегда возможны ошибки. При статистической проверке гипотез возможны четыре исхода, из них два ошибочные - ошибки первого и второго рода: Нулевая гипотеза Объективно верна Объективно не верна Принимается Правильное решение Ошибка 2-го рода Отвергается Ошибка 1-го рода Правильное решение По ГОСТ 15895-77. Уровень значимости это вероятность ошибки первого рода. Обозначим уровень значимости через . Обычно выбирают =0.01, =0.1, и наиболее часто =0.05. Вероятность совершить ошибку второго рода, т.е. принять объективно неверную гипотезу, обозначим . Величину =1- называют мощностью крите- 78 рия. Обычно величиной  задаются и стараются использовать такой критерий, чтобы значение мощности  было наибольшим. По ГОСТ 15895-77. Мощность критерия это вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если альтернативная гипотеза верна. Критические области бывают односторонние и двухсторонние. Смысл этих областей показан на рис. 4.1. а. б. (x) в. (x)  xкпрр,  р xклев , (x)   р кр xклев ,/2 xпр,/2 Рис. 4.1.xКритические области плотности распределения: а. - правосторонняя; б. - левосторонняя; в. – двусторонняя Точки, отделяющие области принятия нулевой гипотезы от критических областей называют границами критической области. Обычно их определяют как квантили используемого теоретического распределения, которому подчиняется статистика для проверки гипотез. Если хотят убедиться в том, что одна случайная величина строго больше другой (или строго меньше другой), то используют одностороннюю критическую область. В этом случае Н0: =0, Н1: >0 или Н1: <0. Если проверяют как положительные, так и отрицательные расхождения между изучаемыми величинами, то используют двусторонние критические области . В этом случае Н0: =0, 79 Н1: 0. Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к последовательному выполнению следующих операций: 1) Формулируют нулевую гипотезу Н0; 2) Формулируют альтернативную гипотезу Н1; 3) Выбирают критерий для проверки Н0; 4) Рассчитывают статистику относящуюся к выбранному критерию; 5) Находят границы критической области при выбранной альтернативной гипотезе Н1; 6) Проверяют попадание рассчитанной статистики в критическую область и делают вывод о справедливости выдвинутой нулевой гипотезы. Все последующее рассмотрение будем проводить в соответствии с этим алгоритмом. При использовании механизма проверки статистических гипотез следует помнить, что даже в случае принятия нулевой гипотезы, в 100% случаев вывод будет ошибочным в связи со всегда имеющейся вероятностью совершить ошибку первого рода. 4.2. Критерий для отбрасывания резко выделяющихся результатов испытаний Разброс экспериментальных данных вокруг некоторого центра рассеянья является нормальным явлением и объясняется одновременным воздействием множества неконтролируемых слабо влияющих факторов. Но порой в общем массиве опытных данных появляются величины резко отличающиеся от остальной массы значений, а следовательно не принадлежащие рассматриваемой генеральной совокупности данных. Они могут появиться вследствие изменения условий эксперимента, грубых ошибок проводимых измерений, неправильной записи результатов и т.д. Полученные ошибочные опытные данные могут существенно повлиять на окончательные результаты эксперимента и должны быть исключены из рассмотрения. Для исключения сомнительных данных при- 80 меняют специальные критерии. Они позволяют сделать объективное, обоснованное заключение о принадлежности или не принадлежности сомнительных данных к рассматриваемой генеральной совокупности данных. Нулевой гипотезой при использовании этих критерием является предположение о том, что все опытные данные хi принадлежат одной и той же генеральной совокупности Х. Альтернативная гипотеза состоит в том, что одно или более из значений xi являются грубыми ошибками и не принадлежат генеральной совокупности: 1) Н0: хiХ ; 2) Н1: хiХ . В качестве такого подозрительного значения xi может выступать либо наибольшее, либо наименьшее значение из всех опытных данных. Причем, первым на принадлежность генеральной совокупности следует проверить то значение xi, которое отстоит наиболее далеко от эмпирического центра распределения x (2.26):    x i  max max x1, x 2 ,..., x n   x , x  min x1, x 2 ,..., x n  . (4.1) Возможны две ситуации: когда для полученной выборки опытных данных известно значение генеральной дисперсии 2, и когда 2 не известно, но можно рассчитать ее оценку - выборочную дисперсию s2. 4.2.1. Критерий для отбрасывания резко выделяющихся результатов испытаний при известной генеральной дисперсии Ситуация, когда известна генеральная дисперсия 2 и неизвестно математическое ожидание встречается довольно часто. Как правило, она характерна для приемочных испытаний проводимых на предприятиях занятых выпуском однотипной продукции с различными номинальными параметрами в течение длительного периода времени. Например: Плавочные и технологические колебания механических свойств при производстве проката, труб или прессованных изделий при значимом их влиянии на уровень механических свойств практически не влияют на 81 дисперсию этих свойств. В связи с этим большой объем результатов приемочных контрольных испытаний позволяет достаточно точно и надежно оценить генеральную дисперсию характеристик механических свойств. Рассмотрение проведем в соответствии с общим алгоритмом из п. 4.1. 1) Н0: хiХ . 2) Н1: хiХ . 3) В качестве статистического критерия при известной генеральной дисперсии 2 следует использовать t -критерий [6]. 4) Статистика этого критерия имеет вид t x  xi ,  (4.2) где  - генеральное стандартное отклонение. 5) Границы критической области можно установить при помощи критического значения критерия t N, взятым из табл. П6 приложения для уровня значимости  и объема выборки N. 6) Если выполняется неравенство t  t ,N , то статистика t попадает в область принятия нулевой гипотезы, результат испытаний xi не следует считать выбросом и он должен учитываться как и остальные N-1 результатов. При t  t ,N статистика t попадает в критическую область, результат испытаний xi является ошибочными и должны быть исключены их рассмотрения, а найденная ранее оценка математического ожидания должна быть скорректирована. 4.2.2. Критерий Н.В.Смирнова Этот критерий применяется для наиболее часто встречающихся случаев, когда генеральные характеристики неизвестны, а известны лишь их оценки s2 и x , произведенные на основании анализируемой выборки. Следует проверить 82 принадлежность результата испытаний xi генеральной совокупности опытных данных. Используем общий алгоритм из п. 4.1. 1) Нулевая и альтернативная гипотезы принимаются прежними. Н0: хiХ . 2) Н1: хiХ . 3) В качестве статистического критерия используется u -критерий [6]. 4) Статистика этого критерия имеет вид u x  xi , s (4.3) где s- выборочное стандартное отклонение. 5) Границы критической области можно установить при помощи критического значения критерия u N, взятого из табл. П7 приложения для уровня значимости  и объема выборки N. 6) Если выполняется неравенство u  u,N , то статистика u попадает в область принятия нулевой гипотезы, результат испытаний xi не следует считать выбросом и он должен учитываться как и остальные N-1 результатов. При u  u,N статистика u попадает в критическую область, результат испытаний xi является ошибочными и должны быть исключены их рассмотрения, а найденная ранее оценка математического ожидания и дисперсии должны быть рассчитаны вновь. 4.3. Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения Значения выборочных числовых характеристик случайных величин зависят от размера и состава выборки и так же являются случайными величинами. Следовательно, они сами обладают определенным рассеиванием и собственными вероятностными характеристиками. Поэтому если при расчете оценок числовых характеристик по различным выборкам получено расхождение в числовых значениях, то это еще не означает, что оцениваемые генеральные характе- 83 ристики этих величин не равны. Просто может оказаться, например, что выборки взяты из различных мест одной и той же генеральной совокупности. Но, так как генеральная совокупность одна, то и ее числовые характеристики едины. Однако, расхождение может быть и не случайным, а носить вполне закономерный характер. Часто при решении практических задач возникает необходимость определения значимости или случайности в расхождении выборочных характеристик между собой, а также выборочных и известных генеральных характеристик. Наибольшее практическое значение имеет сравнение средних значений и выборочных дисперсий экспериментально полученных выборок результатов наблюдений и выводы о свойствах соответствующих генеральных характеристик, полученные на основании этих сравнений. 4.3.1. Сравнение двух дисперсий Гипотезы о равенстве (или неравенстве) дисперсий имеют особо большое значение прежде всего в технике и технологии, так как измеряемая дисперсией величина рассеяния характеризует такие исключительно важные показатели, как точность машин, приборов, стабильность технологических процессов, показатели качества готовой продукции и т.д. Поэтому часто о качестве выпускаемой продукции, преимуществах той или иной технологии можно судить по результатам сравнения дисперсий. При этом возможно несколько вариантов сравнения. 4.3.1.1. Сравнение выборочной дисперсии с известной генеральной Пусть имеются основания считать известным значение генеральной дисперсии некоторой величины  20 (см. п. 4.2.1). С изменением каких то факторов (например, изменена часть технологии производства) была получена новая выборка исследуемой величины объемом N. По данным этой выборки вычислена оценка дисперсии этой совокупности s2. Требуется проверить предположение: повлияло ли изменение этих факторов на величину генеральной дисперсии. 84 При решении этой задачи нулевая гипотеза Н0 будет заключаться в том, что дисперсия для генеральной совокупности из которой взята выборка 2 будет равна известной дисперсии  20 . В соответствии с общим алгоритмом: 1) Н0:  2   20 . 2) Решение этой задачи возможно при трех вариантах альтернативных гипотез: а) НА:  2   20 ; б) НА:  2   20 ; в) НА:  2   20 . 3) Проверка нулевой гипотезы производится с использованием 2 - критерия. 4) Статистика этого критерия 2  s2  02 ( N  1) (4.4); 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей 2 - распределения (распределения Пирсона) (см. табл. П6) для выбранного уровня значимости  и числа степеней свободы =N-1. 6) Нулевая гипотеза Н0 справедлива (принимается), если выполняется неравенство: а) при НА:  2   20  2  2 , ; б) при НА:  2   20  2   (21 ), ; в) при НА:  2   20  (21 / 2),   2   (2 / 2), . 4.3.1.2. Критерий равенства дисперсий двух совокупностей Пусть по результатам независимых испытаний двух выборок объемом N1 и N2 из нормально распределенных совокупностей подсчитаны оценки гене- 85 ральных дисперсий s12 и s22 , причем s12  s 22 . Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что указанные выборки принадлежат генеральным совокупностям с равными дисперсиями, то есть  12   22 . В соответствии с общим алгоритмом: 1) Н0: 12   22   2 . 2) Возможно два варианта альтернативных гипотез: а) НА: 12   22 ; б) НА: 12   22 3) Используют F-критерий (критерий Фишера). 4) F - статистика имеет вид s2 F  1 при s12  s 22 s12 (4.5) 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей F - распределения (распределения Фишера) (см. табл. П4 и П5) для выбранного уровня значимости /2 (для альтернативной гипотезы а) или  (для альтернативной гипотезы б) и числа степеней свободы =N1-1 и 2=N2-1. 6) Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что 12   22   2 при выполнении одного из неравенств (для различных альтернативных гипотез): а) при НА: 12   22 ; б) при НА: 12   22 ; F  F( / 2),1 ,2 ; F  F,1 ,2 . В случае подтверждения нулевой гипотезы и имея основания полагать, что обе исходные выборки принадлежат одной генеральной совокупности, по двум выборочным дисперсиям можно получить более точную оценку общей генеральной дисперсии  2 86 (N1  1)s12  (N2  1)s22 , s  N1  N2  2 2 (4.6) которая может быть использована для дальнейшего анализа опытных данных. Пример: В результате испытаний 30 образцов из утяжинного (заднего) конца прессованного профиля и 20 образцов из выходного (переднего) конца найдены выборочные значения и дисперсия предела прочности алюминиевого сплава, которые составляли соответственно x1=401 МПа, s12 =82, x 2 =409 МПа, s22 =71 для каждого из концов. Требуется проверить равны ли разбросы опытных данных на переднем и заднем концах профиля, т.е. равны ли генеральные дисперсии предела прочности концов. В соответствии с общим алгоритмом: 1) Н0: 12   22 ; 2) НА: 12   22 ; 3) Выбираем для проверки в соответствии с принятой альтернативной гипотезой двусторонний F-критерий; 4) Значение F-статистики F  82  1.15 . 71 5) Для принятого уровня значимости =0.1, =N1-1=29, =N2-1=19 по таблице пределов распределения Фишера определяем (табл. П4) F( / 2), 1 , 2  F0.05,29,19  2,07 . 1) В рассматриваемом случае F  F0.05,29,19 , значит, можно принять в качестве рабочей гипотезу о том, что исследуемые зоны профиля равноценны по однородности материала. 4.3.2. Критерий равенства дисперсий ряда совокупностей 87 При сопоставлении дисперсий ряда совокупностей нулевая гипотеза заключается в том, что все m генеральных совокупностей, из которых взяты выборки, имеют равные дисперсии, т.е. 1) Н0: 12   22 ...   2m   2 . Различаются случаи когда имеются выборки одинакового и различного объемов. 4.3.2.1. Критерий Кохрена Критерий Кохрена используется при равных объемах отдельных выборок. В качестве альтернативной гипотезы выступает гипотеза о том, что генеральная совокупность с наибольшей дисперсией превышает по дисперсии остальные m1 генеральных совокупностей, т.е. 1) Н0: 12   22 ...   2m   2 . 2) НА:  2max   2 . 3) При равном объеме выборок (N1=N2=…=Nm-1=Nm) проверка Н0 проводится по критерию Кохрена. 4) Статистикой относящейся к этому критерию является величина Gmax  s2max m , (4.7) 2  si i 1 где s2max - наибольшая из имеющихся s2i дисперсий. 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей распределения Кохрена (G - распределения) (см. табл. П8 приложения) для выбранного уровня значимости , числа сравниваемых дисперсий =m и числа степеней свободы =N-1. 6) Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства Gmax  G,1, , 2 Пример: В результате испытаний на растяжение пяти серий из 20 образцов алюминиевого сплава различных плавок найдены выборочные дисперсии 88 предела прочности: s12 =154, s22 =208, s23 =186, s24 =197 , s25 =153. Требуется оценить значимость влияния плавочных и технологических колебаний на дисперсию предела прочности материала. 1) Н0: 12   22   23   24   25   2 . 2) НА:  2max   25   2 . 3) Используем G-критерий . 4) Gmax  208 208   0.232 154  208  186  197  153 898 5) . По таблице пределов распределения Кохрена (табл .П8) для уровня значимости  = 0,05 , числа степеней свободы 1=5 и n2=20-1=19 определяем (в соответствии с принятой альтернативной гипотезой используем односторонний критерий) G0.05,20,5  0.356 . 6) Так как условие (3.14) выполняется (0,232<0,356), то можно принять в качестве рабочей гипотезу о отсутствии влияния плавочных и технологических колебаний на дисперсию предела прочности алюминиевого сплава. 4.3.2.2. Критерий Бартлета Критерий Бартлета используется для сравнения дисперсий при различных объемах отдельных выборок ni, причем ni5. В качестве альтернативной выступает гипотеза о неравенстве дисперсией генеральных совокупностей имеющихся m серий испытаний, т.е. 1) Н0: 12   22 ...   2m   2 . 2) НА: 12   22 ...   2m   2 . 3) При сравнении дисперсий в выборках различного объема используют критерий Бартлета. 4) Статистика этого критерия рассчитывается по выражениям 89 2   2 m 2,3026  m 2   ni  m lgs   (ni  1)lgsi  ,..................................(4.8) с  i 1   i 1     1 m 1 1  с  1    , 3(m  1) i 1ni  1 m   ni  m   i 1 где (4.9) m  (ni  1)s2i s2  i 1 . m (4.10)  ni  m i 1 5) Границы критической области можно найти по таблицам квантилей 2 - распределения (распределения Пирсона) (см. табл. П3) для уровня значимости  и числа степеней свободы =m-1. 6) Если выполняется условие  2   2,  , то нулевую гипотезу о равенстве ге- неральных дисперсий совокупностей, из которых взяты выборки принимают. При невыполнении этого условия нулевую гипотезу отвергают и принимают альтернативную. В случае подтверждения нулевой гипотезы об однородности дисперсий ( 12   22 ...   2m   2 ) по m выборочным дисперсиям на основании выражения (3.10) можно произвести оценку генеральной дисперсии 2 , которая может быть использована в дальнейшем, например для построения доверительных интервалов. 4.3.3. Проверка гипотез о числовых значениях математических ожиданий Часто для решения вопроса о соответствии произведенной продукции определенным требованиям (например, требованиям ГОСТ или ТУ), при выявлении преимущества того или иного технологического процесса или нового материала и т.д. возникает необходимость по выборочным средним значениям ис- 90 следуемых величин делать вывод о соответствующих генеральных значениях – математических ожиданиях. При этом может возникнуть задача сравнения математического ожидания с конкретным числовым значением (например с известным математическим ожиданием) и задача сравнения двух математических ожиданий по двум выборочным средним. 4.3.3.1. Сравнение математического ожидания случайной величины с известным значением Эта задача может возникнуть в двух равноценных вариантах. 1) Когда необходимо сделать обоснованное заключение о равенстве или неравенстве математического ожидания случайной величины конкретному числовому значению (например, ). 2) Когда накоплен значительный объем экспериментальных данных, который позволил определить математическое ожидание  (например, ) и дисперсию 2 интересующей характеристики, но после внесения некоторых изменений в условия получения экспериментальных данных получена новая выборка, по которой определены значения выборочного среднего x и дисперсии s2 несколько отличающиеся от генеральных. Возникает необходимость установить значимо ли влияние условий получения экспериментальных данных на значения интересующей величины, т.е. имеется ли значимое различие между выборочным значением x и генеральным математическим ожиданием  Оба эти варинта постановки задачи решаются одинаково. Возможны два несколько отличающихся случая: А) генеральная дисперсия 2 известна; Б) генеральная дисперсия 2 неизвестна, но известна ее оценка s2. А) Рассмотрим случай когда генеральная дисперсия 2 известна. Примем в качестве нулевой гипотезы предположение о том, что математическое ожидание 1 интересующего нас свойства после изменения условий получения опытных данных равно математическому ожиданию  соответствующего свойства до внесения изменений (или равно конкретной величине , т.е. 91 1) Н0: 1= . 2) Альтернативная гипотеза может быть в трех вариантах а) НА: 1> ; б) НА: 1<  ; в) НА: 1  . 3) Используется z-критерий 4) z - статистика имеет вид z x , / N (4.11) 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей нормированного нормального распределения (распределения Лапласа) (табл. П2) для выбранного уровня значимости . 6) Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают что 1=  при выполнении неравенств: а) при альтернативной гипотезе НА: 1>  z  z (1 ) ; б) при альтернативной гипотезе НА: 1<  z  z ; в) при альтернативной гипотезе НА: 1  z  z (1  / 2) . Б) Генеральная дисперсия 2 неизвестна, но известна ее оценка s2. В этом случае вместо генеральной дисперсии 2 использую выборочную дисперсию s2. Ход рассуждений здесь аналогичен приведенному выше в п. А), но в качестве критерия следует использовать t-критерий. Кроме того, обобщим случаи альтернативных гипотез а) и б) из п. А), используя абсолютные значения отклонений и учитывая симметричный характер t-распределения. 1) Н0: 1= . 2) Два варианта альтернативной гипотезы а) НА: 1>  или НА: 1<  ; в) НА: 1  . 3) Используют t-критерий. 4) t - статистика имеет вид t x s/ N , (3.12) 92 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей t-распределения (распределения Стьюдента) (табл. П6) для выбранного уровня значимости  и числа степеней свободы =N-1. 6) Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают что 1= при выполнении неравенств: а) при альтернативной гипотезе НА: 1>  или 1<  t  t ,  ; в) при альтернативной гипотезе НА: 1  t  t ( / 2),  . 3.3.3.2. Сравнение математических ожиданий двух совокупностей Пусть для двух нормально распределенных генеральных совокупностей с неизвестными параметрами 1, 12, и 2, 22 испытали выборки объемом N1 и N2. По результатам испытаний подсчитали оценки параметров распределения x1 , s12 и x 2 , s22 . Требуется установить равенство или неравенство математических ожиданий этих совокупностей 1 и 2. Примем нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий при альтернативной гипотезе об их отличии. 1) Н0: 1=2= ; 2) НА: 12; 3) Для проверки гипотезы используют t-критерий Стьюдента. Возможно два случая: А) дисперсии генеральных совокупностей равны, т.е. 12=22=2; Б) дисперсии генеральных совокупностей не равны, т.е. 1222. А) Дисперсии генеральных совокупностей равны. 4) В этом случае вычисляют оценку общей дисперсии 2: (N1  1)s12  (N2  1)s22 s  N1  N2  2 2 (4.13) 93 t и статистику x1  x2 1 1 s  N1 N2 . (4.14) 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей t-распределения (распределения Стьюдента) для выбранного уровня значимости  и числа степеней свободы =N1+N2-2 (табл. П6). 6) Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства t  t , . Б) Дисперсии генеральных совокупностей не равны (1222). 4) В этом случае оценку общей дисперсии 2 вычислять не имеет смысла и t-статистику вычисляют по выражению: t x1  x2 s12 s22  N1 N2 . (4.15) 5) Границы критической области можно установить по таблицам квантилей t-распределения (распределения Стьюдента) (табл. П6) для выбранного уровня значимости  и числа степеней свободы  которое определяют из выражения с2 1  с2 1   ,  N1  1 N2  1 где c2  s12 N1 s12 s22  N1 N2 . (4.16) (4.17) 6) Нулевую гипотезу принимают при выполнении неравенства t  t , . В случае принятия нулевой гипотезы Н0: 1=2= по двум выборочным средним производят оценку общего математического ожидания N x  N2 x 2 x 1 1 , N1  N2 (4.18) 94 которую можно использовать, при дальнейшем анализе опытных данных, например, для построения доверительных интервалов. 4.4. Критерий согласия. Проверка гипотез о виде функции распределения Рассмотренные ранее методы оценки случайной величины и проверки гипотез предполагали что известна функция ее распределения – распределения Гаусса. Однако, в большинстве случаев сам вид закона распределения является гипотетическим и нуждается в статистической проверке. Наиболее простым, но весьма приближенным методом оценки согласия результатов эксперимента с тем или иным законом распределения является графический метод, заключающийся в построении эмпирического закона распределения и сопоставлении его с теоретическим [5]. Если экспериментальные точки лежат вблизи теоретического графика, то опытные данные соответствуют теоретическому закону распределения. Графический метод является в значительной мере субъективным и используется на практике в качестве первого приближения при решении этой задачи. Более объективным методом установления вида распределения случайной величины является применение критериев согласия. Критерии согласия служат для проверки статистической гипотезы о соответствии генеральной совокупности предполагаемому теоретическому закону распределения на основании анализа выборки опытных данных из этой совокупности. Существует достаточно большое количество критериев согласия [6], отличающихся своей мощностью и объемом опытных данных, необходимых для их использования. Рассмотрим некоторые из них. 4.4.1. Критерий согласия Пирсона (2-критерий) Критерий согласия Пирсона применяется для проверки гипотезы о соответствии эмпирического закона распределения предполагаемому теоретическому распределению при больших объемах выборки (N>100). 95 Для использования критерия 2 весь размах варьирования опытных данных разбивают на m интервалов и для каждого из них определяют частоту попадания наблюдений nj в каждый интервал. Для удобства оценок параметров распределения интервалы выбирают одинаковой длины. Число интервалов зависит от объема выборки. Обычно принимают: при N=100 m=1015, при N=200 m=1520, при N=400 m=2530, при N=1000 m=3540. Интервалы, содержащие менее пяти значений, объединяют с соседними. Статистикой критерия Пирсона служит величина 2 m (n j  Np j )2    j 1 Np j , (4.19) где nj – эмпирическая частота попаданий наблюдений в j-й интервал; pj - теоретическая вероятность попадания случайной величины в j-й интервал. При вычислении вероятности pj следует иметь в виду, что левая граница первого интервала и правая граница последнего должны совпадать с границами области возможных значений случайной величины. Для нормального закона распределения, в частности, это - и +. При проверке гипотезы о соответствии опытных данных нормальному закону распределения для определения вероятностей pj следует использовать функцию Лапласа Ф(z) . Исходные наблюдения xj необходимо нормировать согласно выражению zj  xj  x s , (4.20) где x и s - соответственно выборочное среднее и среднеквадратическое отклонение рассматриваемой случайной величины. После разбивки нормированных наблюдений на n интервалов, вероятность pj попадания случайной величины в j-й интервал с границами zjлев и zjпр рассчитывается по выражению p j  Ф(z jпр )  Ф(z jлев ) (используя таблицу П1). 96 Нулевую гипотезу о соответствии выборочного распределения теоретическому проверяют путем сравнения величины, вычисленной по выражению (3,19) с критическим значением  2,  , найденным из таблиц распределения Пирсона (табл. П3) для уровня значимости  и числа степеней свободы =m-c1, где m - число интервалов разбиения после их объединения, с - число параметров оцениваемых по рассматриваемой выборке (для нормального закон распределения таких параметров два: x и s2). Если выполняется неравенство  2   2,  , то нулевую гипотезу не отвергают. При несоблюдении этого усло- вия принимают альтернативную гипотезу о принадлежности выборки неизвестному закону распределения. 4.4.2. Критерий согласия Шапиро-Уилка (W-критерий) Этот критерий предназначен для проверки гипотезы о нормальном или логарифмически нормальном законе распределения при ограниченном объеме выборки и является более мощным чем другие критерии (N50). Предварительно анализируемую выборку x1,x2,...,xn представляют в виде вариационного ряда x1100 0,050 Р 0,100 0,500 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 0,0039 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,12 10,85 11,59 12,34 13,09 13,85 14,61 15,38 16,15 16,93 17,71 18,49 26,51 34,76 43,19 51,74 60,39 69,13 77,93 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,041 7,790 8,547 9,312 10,09 10,86 11,65 12,44 13,24 14,04 14,85 15,66 16,47 17,29 18,11 18,94 19,77 20,60 29,05 37,69 46,46 55,33 64,28 73,29 82,36 0,455 1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,34 11,34 12,34 13,34 14,34 15,34 16,34 17,34 18,34 19,34 20,34 21,34 22,34 23,34 24,34 25,34 26,34 27,34 28,34 29,34 39,34 49,33 59,33 69,33 79,33 89,33 99,33 2,706 4,605 6,251 7,779 9,236 10,64 12,02 13,36 14,68 15,99 17,28 18,55 19,81 21,06 22,31 23,54 24,77 25,99 27,20 28,41 29,62 30,81 32,01 33,20 34,38 35,56 36,74 37,92 39,09 40,26 51,81 63,17 74,40 85,53 96,58 107,6 118,5 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,00 26,30 27,59 28,87 30,14 31,41 32,67 33,92 35,17 36,42 37,65 38,89 40,11 41,34 42,56 43,77 55,76 67,50 79,08 90,53 101,9 113,1 124,3 1 2 2  ,   (Z (1  )  2   1) 2 5,024 7,378 9,348 11,14 12,83 14,45 16,01 17,53 19,02 20,48 21,92 23,34 24,74 26,12 27,49 28,85 30,19 31,53 32,85 34,17 35,48 36,78 38,08 39,36 40,65 41,92 43,19 44,46 45,72 46,98 59,34 71,42 83,30 95,02 106,6 118,1 129,6 6,635 9,210 11,34 13,28 15,09 16,81 18,48 20,09 21,67 23,21 24,73 26,22 27,69 29,14 30,58 32,00 33,41 34,81 36,19 37,57 38,93 40,29 41,64 42,98 44,31 45,64 46,96 48,28 49,59 50,89 63,69 76,15 88,38 100,4 112,3 124,1 135,8 7,879 10,60 12,84 14,86 16,75 18,55 20,28 21,95 23,59 25,19 26,76 28,30 29,82 31,32 32,80 34,27 35,72 37,16 38,58 40,00 41,40 42,80 44,18 45,56 46,93 48,29 49,65 50,99 52,34 53,67 66,77 79,49 91,95 104,2 116,3 128,3 140,2 104 Приложение 5 Функция распределения для t-распределения (распределения Стьюдента) t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 Число степеней свободы ν 1 0,5000 0,5317 0,5628 0,5928 0,6211 0,6476 0,6720 0,6944 0,7148 0,7333 0,7500 0,7651 0,7789 0,7913 0,8026 0,8128 0,8222 0,8307 0,8386 0,8458 0,8524 0,8585 0,8642 0,8695 0,8743 0,8789 0,8831 0,8871 0,8908 0,8943 0,8976 0,9007 0,9036 0,9063 0,9089 0,9114 0,9138 0,9160 0,9181 0,9201 0,9220 0,9239 0,9256 0,9273 0,9289 0,9304 0,9319 0,9333 0,9346 3 0,5000 0,5367 0,5729 0,6081 0,6420 0,6743 0,7046 0,7328 0,7589 0,7828 0,8045 0,8242 0,8419 0,8578 0,8720 0,8847 0,8960 0,9062 0,9152 0,9232 0,9303 0,9367 0,9424 0,9475 0,9521 0,9561 0,9598 0,9631 0,9661 0,9687 0,9712 0,9734 0,9753 0,9771 0,9788 0,9803 0,9816 0,9829 0,9840 0,9850 0,9860 0,9869 0,9877 0,9884 0,9891 0,9898 0,9903 0,9909 0,9914 5 0,5000 0,5379 0,5753 0,6119 0,6472 0,6809 0,7127 0,7424 0,7700 0,7953 0,8184 0,8393 0,8581 0,8748 0,8898 0,9030 0,9148 0,9251 0,9341 0,9421 0,9490 0,9551 0,9605 0,9651 0,9692 0,9728 0,9759 0,9786 0,9810 0,9831 0,9850 0,9866 0,9880 0,9893 0,9904 0,9914 0,9922 0,9930 0,9937 0,9943 0,9948 0,9953 0,9958 0,9961 0,9965 0,9968 0,9971 0,9973 0,9976 7 0,5000 0,5384 0,5764 0,6136 0,6495 0,6838 0,7163 0,7467 0,7750 0,8010 0,8247 0,8461 0,8654 0,8826 0,8979 0,9114 0,9232 0,9335 0,9426 0,9504 0,9572 0,9631 0,9681 0,9725 0,9763 0,9795 0,9823 0,9847 0,9867 0,9885 0,9900 0,9913 0,9925 0,9934 0,9943 0,9950 0,9956 0,9962 0,9966 0,9971 0,9974 0,9977 0,9980 0,9982 0,9984 0,9986 0,9988 0,9989 0,9990 10 0,5000 0,5388 0,5773 0,6148 0,6512 0,6861 0,7191 0,7501 0,7788 0,8054 0,8296 0,8514 0,8711 0,8886 0,9041 0,9177 0,9297 0,9400 0,9490 0,9567 0,9633 0,9690 0,9738 0,9779 0,9813 0,9843 0,9868 0,9888 0,9906 0,9921 0,9933 0,9944 0,9953 0,9960 0,9966 0,9971 0,9976 0,9979 0,9983 0,9985 0,9987 0,9989 0,9991 0,9992 0,9993 0,9994 0,9995 0,9996 0,9996 15 0,5000 0,5392 0,5779 0,6159 0,6526 0,6878 0,7213 0,7527 0,7819 0,8088 0,8334 0,8557 0,8756 0,8934 0,9091 0,9228 0,9348 0,9451 0,9540 0,9616 0,9680 0,9735 0,9781 0,9819 0,9851 0,9877 0,9900 0,9918 0,9933 0,9945 0,9955 0,9963 0,9970 0,9976 0,9980 0,9984 0,9987 0,9989 0,9991 0,9993 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 20 0,5000 0,4607 0,4218 0,3836 0,3467 0,3113 0,2776 0,2460 0,2166 0,1894 0,1646 0,1422 0,1221 0,1042 0,0884 0,0746 0,0626 0,0523 0,0435 0,0360 0,0296 0,0243 0,0199 0,0162 0,0131 0,0106 0,0086 0,0069 0,0055 0,0044 0,0035 0,0028 0,0022 0,0018 0,0014 0,0011 0,0009 0,0007 0,0006 0,0004 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 25 0,5000 0,4606 0,4215 0,3833 0,3463 0,3107 0,2770 0,2452 0,2156 0,1884 0,1634 0,1409 0,1207 0,1027 0,0869 0,0731 0,0611 0,0508 0,0420 0,0345 0,0282 0,0230 0,0186 0,0150 0,0121 0,0097 0,0077 0,0061 0,0049 0,0038 0,0030 0,0024 0,0019 0,0015 0,0011 0,0009 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 30 0,5000 0,4605 0,4214 0,3831 0,3460 0,3104 0,2765 0,2447 0,2150 0,1876 0,1627 0,1400 0,1198 0,1018 0,0859 0,0720 0,0600 0,0497 0,0410 0,0335 0,0273 0,0221 0,0178 0,0143 0,0114 0,0091 0,0072 0,0056 0,0044 0,0035 0,0027 0,0021 0,0016 0,0012 0,0010 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 40 0,5000 0,4604 0,4212 0,3829 0,3456 0,3099 0,2759 0,2440 0,2142 0,1868 0,1617 0,1390 0,1186 0,1005 0,0846 0,0707 0,0587 0,0484 0,0397 0,0323 0,0262 0,0210 0,0168 0,0134 0,0106 0,0083 0,0065 0,0051 0,0039 0,0030 0,0023 0,0018 0,0013 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 50 0,5000 0,4604 0,4211 0,3827 0,3454 0,3096 0,2756 0,2436 0,2137 0,1862 0,1611 0,1383 0,1179 0,0998 0,0838 0,0700 0,0579 0,0477 0,0389 0,0316 0,0255 0,0204 0,0162 0,0128 0,0101 0,0079 0,0061 0,0047 0,0036 0,0028 0,0021 0,0016 0,0012 0,0009 0,0007 0,0005 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 70 0,5000 0,4603 0,4210 0,3825 0,3452 0,3093 0,2752 0,2431 0,2132 0,1856 0,1604 0,1376 0,1171 0,0989 0,0830 0,0691 0,0571 0,0468 0,0381 0,0308 0,0247 0,0197 0,0156 0,0122 0,0095 0,0074 0,0057 0,0043 0,0033 0,0025 0,0019 0,0014 0,0010 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 100 0,5000 0,4603 0,4209 0,3824 0,3450 0,3091 0,2749 0,2428 0,2128 0,1851 0,1599 0,1370 0,1165 0,0983 0,0823 0,0684 0,0564 0,0461 0,0374 0,0302 0,0241 0,0191 0,0151 0,0118 0,0091 0,0070 0,0054 0,0041 0,0031 0,0023 0,0017 0,0013 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 150 0,5000 0,4602 0,4209 0,3823 0,3449 0,3089 0,2747 0,2425 0,2125 0,1848 0,1595 0,1365 0,1160 0,0978 0,0818 0,0679 0,0559 0,0456 0,0369 0,0297 0,0237 0,0187 0,0147 0,0114 0,0088 0,0067 0,0051 0,0039 0,0029 0,0021 0,0016 0,0012 0,0008 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 105 Приложение 6 Квантили распределения Стьюдента (t-распределения) в зависимости от доверительной вероятности Р и параметра распределения   0,900 1 6,314 2 2,920 3 2,353 4 2,132 5 2,015 6 1,943 7 1,895 8 1,860 9 1,833 10 1,812 11 1,796 12 1,782 13 1,771 14 1,761 15 1,753 16 1,746 17 1,740 18 1,734 19 1,729 20 1,725 21 1,721 22 1,717 23 1,714 24 1,711 25 1,708 26 1,706 27 1,703 28 1,701 29 1,699 30 1,697 40 1,684 60 1,671 120 1,658 500 1,648 Примечание: Для >500 Р 0,950 12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,965 0,975 25,452 6,205 4,177 3,495 3,163 2,969 2,841 2,752 2,685 2,634 2,593 2,560 2,533 2,510 2,490 2,473 2,458 2,445 2,433 2,423 2,414 2,405 2,398 2,391 2,385 2,379 2,373 2,368 2,364 2,360 2,329 2,299 2,270 2,248 0,990 63,656 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,586 0,995 127,321 14,089 7,453 5,598 4,773 4,317 4,029 3,833 3,690 3,581 3,497 3,428 3,372 3,326 3,286 3,252 3,222 3,197 3,174 3,153 3,135 3,119 3,104 3,091 3,078 3,067 3,057 3,047 3,038 3,030 2,971 2,915 2,860 2,820 106 Приложение 7.1 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 2 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0871 0,0923 0,0934 0,0939 0,0943 0,0946 0,0947 0,0948 0,0949 0,0949 0,0950 0,0950 0,0951 0,0951 0,1548 0,1712 0,1750 0,1767 0,1781 0,1791 0,1797 0,1800 0,1802 0,1805 0,1806 0,1808 0,1809 0,1811 0,2094 0,2393 0,2467 0,2501 0,2527 0,2548 0,2559 0,2566 0,2570 0,2575 0,2579 0,2582 0,2585 0,2587 0,2546 0,2985 0,3100 0,3153 0,3194 0,3227 0,3244 0,3255 0,3262 0,3270 0,3276 0,3282 0,3286 0,3290 0,2929 0,3505 0,3661 0,3733 0,3791 0,3837 0,3861 0,3875 0,3885 0,3897 0,3905 0,3913 0,3920 0,3925 0,3258 0,3963 0,4160 0,4252 0,4326 0,4385 0,4416 0,4435 0,4447 0,4463 0,4473 0,4484 0,4492 0,4499 0,3545 0,4370 0,4605 0,4717 0,4806 0,4879 0,4917 0,4939 0,4955 0,4974 0,4986 0,5000 0,5010 0,5018 0,3798 0,4733 0,5005 0,5135 0,5239 0,5324 0,5368 0,5395 0,5413 0,5436 0,5450 0,5466 0,5478 0,5488 0,4024 0,5059 0,5364 0,5511 0,5629 0,5726 0,5776 0,5807 0,5827 0,5854 0,5869 0,5888 0,5902 0,5912 0,4226 0,5352 0,5688 0,5851 0,5981 0,6089 0,6145 0,6179 0,6202 0,6231 0,6249 0,6269 0,6285 0,6297 0,4410 0,5618 0,5981 0,6158 0,6300 0,6417 0,6478 0,6516 0,6541 0,6573 0,6592 0,6614 0,6631 0,6645 0,4577 0,5859 0,6247 0,6436 0,6589 0,6715 0,6780 0,6820 0,6848 0,6882 0,6903 0,6927 0,6945 0,6959 0,4730 0,6079 0,6489 0,6689 0,6851 0,6985 0,7054 0,7097 0,7126 0,7162 0,7184 0,7210 0,7229 0,7244 0,4870 0,6280 0,6710 0,6920 0,7090 0,7230 0,7303 0,7347 0,7378 0,7416 0,7439 0,7466 0,7486 0,7502 0,5000 0,6464 0,6912 0,7130 0,7307 0,7452 0,7528 0,7575 0,7606 0,7646 0,7670 0,7698 0,7719 0,7735 0,5120 0,6634 0,7097 0,7322 0,7505 0,7655 0,7733 0,7781 0,7814 0,7855 0,7879 0,7908 0,7930 0,7947 0,5233 0,6791 0,7266 0,7498 0,7685 0,7840 0,7920 0,7969 0,8002 0,8044 0,8069 0,8099 0,8121 0,8138 0,5337 0,6935 0,7423 0,7660 0,7851 0,8008 0,8089 0,8139 0,8173 0,8216 0,8242 0,8271 0,8294 0,8311 0,5436 0,7070 0,7567 0,7808 0,8002 0,8161 0,8244 0,8295 0,8329 0,8372 0,8398 0,8428 0,8451 0,8468 0,5528 0,7194 0,7700 0,7944 0,8141 0,8302 0,8385 0,8436 0,8470 0,8514 0,8540 0,8570 0,8593 0,8611 0,5615 0,7310 0,7823 0,8070 0,8268 0,8430 0,8514 0,8565 0,8599 0,8642 0,8669 0,8699 0,8722 0,8740 0,5697 0,7419 0,7936 0,8186 0,8385 0,8547 0,8631 0,8682 0,8716 0,8760 0,8786 0,8816 0,8839 0,8856 0,5774 0,7520 0,8042 0,8293 0,8493 0,8655 0,8738 0,8789 0,8823 0,8866 0,8892 0,8922 0,8945 0,8962 0,5848 0,7615 0,8141 0,8392 0,8592 0,8753 0,8836 0,8887 0,8921 0,8963 0,8989 0,9019 0,9041 0,9058 0,5918 0,7704 0,8232 0,8484 0,8683 0,8844 0,8926 0,8976 0,9010 0,9052 0,9077 0,9106 0,9128 0,9145 0,5984 0,7787 0,8318 0,8569 0,8768 0,8927 0,9008 0,9058 0,9091 0,9132 0,9157 0,9186 0,9207 0,9224 0,6047 0,7866 0,8397 0,8648 0,8845 0,9004 0,9084 0,9132 0,9165 0,9206 0,9230 0,9258 0,9279 0,9295 0,6108 0,7940 0,8472 0,8722 0,8918 0,9074 0,9153 0,9201 0,9233 0,9272 0,9296 0,9324 0,9344 0,9360 0,6165 0,8010 0,8542 0,8790 0,8984 0,9139 0,9216 0,9263 0,9294 0,9333 0,9357 0,9383 0,9403 0,9419 0,6220 0,8075 0,8607 0,8854 0,9046 0,9198 0,9275 0,9320 0,9351 0,9389 0,9412 0,9438 0,9457 0,9472 0,6464 0,8357 0,8879 0,9116 0,9296 0,9434 0,9503 0,9543 0,9570 0,9603 0,9622 0,9644 0,9661 0,9673 0,6667 0,8576 0,9083 0,9306 0,9471 0,9595 0,9654 0,9689 0,9712 0,9739 0,9755 0,9773 0,9787 0,9797 0,6838 0,8750 0,9238 0,9446 0,9596 0,9705 0,9757 0,9786 0,9805 0,9827 0,9840 0,9855 0,9866 0,9874 0,6985 0,8891 0,9358 0,9552 0,9687 0,9783 0,9827 0,9851 0,9866 0,9885 0,9895 0,9907 0,9915 0,9921 0,7226 0,9106 0,9531 0,9696 0,9806 0,9878 0,9909 0,9926 0,9936 0,9947 0,9954 0,9961 0,9965 0,9969 0,7418 0,9259 0,9645 0,9786 0,9874 0,9929 0,9950 0,9961 0,9968 0,9975 0,9979 0,9983 0,9986 0,9988 0,7575 0,9373 0,9723 0,9844 0,9916 0,9957 0,9972 0,9979 0,9984 0,9988 0,9990 0,9993 0,9994 0,9995 0,7706 0,9460 0,9780 0,9884 0,9942 0,9973 0,9984 0,9989 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997 0,9997 0,9998 0,7818 0,9529 0,9821 0,9911 0,9959 0,9983 0,9990 0,9994 0,9995 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,8438 0,9816 0,9959 0,9987 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8720 0,9896 0,9984 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,8889 0,9931 0,9992 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9005 0,9950 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9091 0,9962 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9158 0,9970 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9212 0,9975 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9257 0,9979 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9295 0,9982 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 107 Приложение 7.2 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 5 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0250 0,0756 0,1275 0,1747 0,2164 0,2532 0,2856 0,3144 0,3401 0,3632 0,3841 0,4032 0,4206 0,4366 0,4513 0,4650 0,4777 0,4896 0,5007 0,5111 0,5209 0,5301 0,5388 0,5471 0,5549 0,5623 0,5694 0,5761 0,5826 0,5887 0,6159 0,6383 0,6572 0,6734 0,7000 0,7210 0,7381 0,7524 0,7646 0,8319 0,8623 0,8806 0,8931 0,9023 0,9095 0,9153 0,9201 0,9242 0,0000 0,0149 0,0577 0,1140 0,1739 0,2326 0,2878 0,3386 0,3849 0,4269 0,4649 0,4992 0,5304 0,5586 0,5843 0,6077 0,6291 0,6487 0,6667 0,6832 0,6985 0,7125 0,7256 0,7377 0,7490 0,7595 0,7693 0,7784 0,7870 0,7950 0,8026 0,8343 0,8584 0,8772 0,8922 0,9144 0,9300 0,9413 0,9499 0,9566 0,9836 0,9908 0,9940 0,9957 0,9967 0,9974 0,9978 0,9982 0,9984 0,0000 0,0122 0,0510 0,1062 0,1687 0,2325 0,2944 0,3525 0,4063 0,4554 0,5000 0,5404 0,5768 0,6098 0,6395 0,6664 0,6907 0,7127 0,7327 0,7509 0,7675 0,7826 0,7964 0,8091 0,8207 0,8313 0,8411 0,8502 0,8585 0,8663 0,8734 0,9023 0,9228 0,9378 0,9490 0,9643 0,9739 0,9802 0,9846 0,9878 0,9974 0,9990 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,0000 0,0110 0,0476 0,1018 0,1652 0,2314 0,2968 0,3590 0,4170 0,4702 0,5187 0,5626 0,6022 0,6378 0,6698 0,6985 0,7243 0,7476 0,7685 0,7873 0,8043 0,8197 0,8336 0,8462 0,8576 0,8680 0,8775 0,8861 0,8940 0,9012 0,9078 0,9335 0,9508 0,9628 0,9713 0,9820 0,9881 0,9918 0,9941 0,9957 0,9995 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0101 0,0448 0,0980 0,1618 0,2300 0,2982 0,3640 0,4258 0,4828 0,5349 0,5820 0,6244 0,6624 0,6964 0,7267 0,7538 0,7779 0,7994 0,8187 0,8358 0,8511 0,8648 0,8771 0,8881 0,8980 0,9069 0,9149 0,9221 0,9286 0,9344 0,9565 0,9703 0,9792 0,9851 0,9919 0,9953 0,9971 0,9982 0,9988 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0094 0,0425 0,0947 0,1587 0,2284 0,2992 0,3681 0,4333 0,4938 0,5491 0,5992 0,6442 0,6844 0,7201 0,7518 0,7799 0,8047 0,8266 0,8459 0,8630 0,8780 0,8913 0,9030 0,9134 0,9226 0,9307 0,9379 0,9443 0,9499 0,9550 0,9730 0,9834 0,9895 0,9932 0,9970 0,9985 0,9992 0,9996 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0090 0,0413 0,0929 0,1570 0,2274 0,2995 0,3702 0,4373 0,4998 0,5570 0,6087 0,6552 0,6966 0,7333 0,7657 0,7943 0,8193 0,8413 0,8606 0,8775 0,8923 0,9052 0,9165 0,9264 0,9351 0,9427 0,9493 0,9552 0,9603 0,9648 0,9804 0,9888 0,9934 0,9961 0,9985 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0088 0,0405 0,0918 0,1559 0,2267 0,2997 0,3714 0,4398 0,5035 0,5619 0,6148 0,6622 0,7044 0,7417 0,7745 0,8033 0,8286 0,8506 0,8698 0,8865 0,9011 0,9137 0,9247 0,9343 0,9426 0,9498 0,9561 0,9615 0,9663 0,9704 0,9844 0,9916 0,9954 0,9974 0,9991 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0086 0,0400 0,0910 0,1551 0,2263 0,2998 0,3723 0,4415 0,5061 0,5654 0,6190 0,6670 0,7097 0,7474 0,7806 0,8096 0,8349 0,8569 0,8761 0,8927 0,9070 0,9195 0,9302 0,9395 0,9476 0,9545 0,9605 0,9657 0,9702 0,9741 0,9869 0,9933 0,9965 0,9981 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0084 0,0394 0,0900 0,1541 0,2256 0,2999 0,3733 0,4437 0,5094 0,5698 0,6244 0,6733 0,7167 0,7549 0,7885 0,8177 0,8431 0,8651 0,8841 0,9005 0,9146 0,9267 0,9371 0,9461 0,9537 0,9603 0,9659 0,9707 0,9749 0,9784 0,9898 0,9951 0,9976 0,9988 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0083 0,0390 0,0894 0,1535 0,2252 0,2999 0,3740 0,4450 0,5115 0,5725 0,6277 0,6772 0,7210 0,7596 0,7933 0,8227 0,8481 0,8701 0,8890 0,9052 0,9192 0,9311 0,9413 0,9500 0,9574 0,9637 0,9691 0,9737 0,9776 0,9809 0,9914 0,9960 0,9982 0,9991 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0082 0,0386 0,0887 0,1528 0,2248 0,3000 0,3747 0,4466 0,5139 0,5757 0,6317 0,6817 0,7261 0,7650 0,7990 0,8285 0,8540 0,8759 0,8947 0,9108 0,9244 0,9361 0,9460 0,9544 0,9615 0,9675 0,9726 0,9769 0,9805 0,9836 0,9930 0,9970 0,9987 0,9994 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0081 0,0382 0,0882 0,1522 0,2244 0,3000 0,3753 0,4478 0,5157 0,5782 0,6347 0,6853 0,7300 0,7692 0,8034 0,8330 0,8585 0,8803 0,8990 0,9149 0,9284 0,9399 0,9495 0,9577 0,9646 0,9703 0,9752 0,9792 0,9827 0,9855 0,9941 0,9976 0,9990 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0080 0,0380 0,0878 0,1518 0,2241 0,3000 0,3757 0,4487 0,5172 0,5801 0,6371 0,6880 0,7331 0,7725 0,8069 0,8365 0,8620 0,8838 0,9024 0,9182 0,9315 0,9428 0,9523 0,9602 0,9669 0,9725 0,9771 0,9810 0,9843 0,9869 0,9949 0,9980 0,9992 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 108 Приложение 7.3 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 8 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0133 0,0558 0,1053 0,1525 0,1950 0,2328 0,2662 0,2960 0,3226 0,3466 0,3683 0,3880 0,4060 0,4226 0,4379 0,4520 0,4651 0,4774 0,4888 0,4996 0,5097 0,5192 0,5282 0,5367 0,5447 0,5524 0,5597 0,5666 0,5733 0,5796 0,6075 0,6305 0,6499 0,6666 0,6938 0,7153 0,7328 0,7475 0,7599 0,8287 0,8597 0,8783 0,8910 0,9005 0,9078 0,9137 0,9186 0,9228 0,0000 0,0044 0,0306 0,0770 0,1335 0,1927 0,2503 0,3045 0,3544 0,3999 0,4411 0,4784 0,5122 0,5428 0,5705 0,5957 0,6187 0,6396 0,6588 0,6764 0,6926 0,7075 0,7213 0,7341 0,7459 0,7569 0,7671 0,7767 0,7856 0,7940 0,8018 0,8345 0,8592 0,8783 0,8935 0,9159 0,9314 0,9427 0,9512 0,9578 0,9841 0,9912 0,9942 0,9958 0,9968 0,9975 0,9979 0,9983 0,9985 0,0000 0,0027 0,0226 0,0637 0,1198 0,1830 0,2479 0,3109 0,3702 0,4249 0,4748 0,5200 0,5607 0,5973 0,6302 0,6597 0,6863 0,7103 0,7319 0,7514 0,7691 0,7851 0,7997 0,8130 0,8251 0,8361 0,8463 0,8556 0,8641 0,8720 0,8792 0,9081 0,9283 0,9428 0,9535 0,9679 0,9768 0,9826 0,9865 0,9893 0,9978 0,9992 0,9996 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,0000 0,0021 0,0188 0,0566 0,1113 0,1760 0,2445 0,3126 0,3776 0,4381 0,4934 0,5435 0,5885 0,6288 0,6648 0,6968 0,7253 0,7508 0,7734 0,7936 0,8117 0,8279 0,8424 0,8554 0,8672 0,8777 0,8873 0,8959 0,9037 0,9108 0,9172 0,9419 0,9580 0,9688 0,9763 0,9855 0,9906 0,9936 0,9955 0,9967 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0017 0,0159 0,0506 0,1036 0,1690 0,2405 0,3130 0,3834 0,4494 0,5101 0,5650 0,6142 0,6579 0,6967 0,7309 0,7610 0,7874 0,8107 0,8312 0,8492 0,8651 0,8791 0,8915 0,9024 0,9121 0,9206 0,9283 0,9350 0,9411 0,9465 0,9661 0,9778 0,9850 0,9896 0,9946 0,9970 0,9982 0,9989 0,9993 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0013 0,0136 0,0454 0,0965 0,1621 0,2359 0,3126 0,3880 0,4594 0,5253 0,5850 0,6383 0,6854 0,7267 0,7627 0,7940 0,8211 0,8446 0,8648 0,8823 0,8974 0,9105 0,9218 0,9315 0,9400 0,9473 0,9537 0,9592 0,9640 0,9682 0,9825 0,9900 0,9940 0,9964 0,9985 0,9993 0,9997 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0012 0,0125 0,0426 0,0926 0,1581 0,2331 0,3120 0,3903 0,4650 0,5340 0,5966 0,6523 0,7013 0,7440 0,7809 0,8128 0,8400 0,8634 0,8833 0,9002 0,9147 0,9269 0,9374 0,9463 0,9539 0,9603 0,9658 0,9705 0,9745 0,9780 0,9891 0,9944 0,9970 0,9984 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0011 0,0118 0,0409 0,0901 0,1554 0,2312 0,3115 0,3918 0,4685 0,5397 0,6041 0,6614 0,7116 0,7553 0,7928 0,8249 0,8522 0,8753 0,8949 0,9114 0,9253 0,9369 0,9468 0,9550 0,9620 0,9678 0,9727 0,9769 0,9803 0,9833 0,9924 0,9964 0,9983 0,9991 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0010 0,0114 0,0398 0,0883 0,1536 0,2298 0,3111 0,3927 0,4710 0,5436 0,6094 0,6679 0,7190 0,7632 0,8011 0,8333 0,8606 0,8836 0,9028 0,9190 0,9324 0,9436 0,9530 0,9607 0,9672 0,9726 0,9771 0,9808 0,9839 0,9865 0,9943 0,9975 0,9989 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0010 0,0108 0,0383 0,0861 0,1511 0,2279 0,3105 0,3939 0,4742 0,5488 0,6164 0,6764 0,7287 0,7737 0,8120 0,8444 0,8716 0,8942 0,9130 0,9286 0,9414 0,9519 0,9606 0,9677 0,9735 0,9783 0,9822 0,9854 0,9880 0,9901 0,9963 0,9985 0,9994 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0009 0,0104 0,0374 0,0847 0,1496 0,2267 0,3101 0,3946 0,4762 0,5521 0,6209 0,6818 0,7348 0,7803 0,8189 0,8513 0,8783 0,9008 0,9192 0,9344 0,9468 0,9569 0,9651 0,9717 0,9771 0,9815 0,9850 0,9879 0,9902 0,9921 0,9972 0,9990 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0009 0,0100 0,0364 0,0831 0,1478 0,2253 0,3096 0,3954 0,4785 0,5560 0,6262 0,6882 0,7421 0,7881 0,8270 0,8595 0,8863 0,9084 0,9264 0,9410 0,9529 0,9624 0,9700 0,9762 0,9811 0,9850 0,9881 0,9905 0,9925 0,9940 0,9981 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0009 0,0098 0,0356 0,0818 0,1464 0,2241 0,3092 0,3961 0,4803 0,5590 0,6303 0,6932 0,7478 0,7943 0,8333 0,8657 0,8924 0,9142 0,9318 0,9460 0,9574 0,9665 0,9737 0,9794 0,9838 0,9874 0,9901 0,9923 0,9940 0,9953 0,9987 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0008 0,0095 0,0350 0,0808 0,1452 0,2232 0,3088 0,3965 0,4818 0,5615 0,6336 0,6973 0,7524 0,7992 0,8383 0,8708 0,8973 0,9188 0,9361 0,9499 0,9609 0,9696 0,9764 0,9817 0,9859 0,9891 0,9916 0,9936 0,9951 0,9962 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 109 Приложение 7.4 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 10 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0101 0,0493 0,0979 0,1449 0,1877 0,2258 0,2596 0,2897 0,3166 0,3409 0,3628 0,3828 0,4010 0,4178 0,4332 0,4475 0,4608 0,4732 0,4848 0,4956 0,5059 0,5155 0,5245 0,5331 0,5413 0,5490 0,5564 0,5634 0,5701 0,5765 0,6047 0,6279 0,6475 0,6643 0,6917 0,7134 0,7310 0,7458 0,7583 0,8276 0,8588 0,8775 0,8903 0,8998 0,9072 0,9132 0,9181 0,9223 0,0000 0,0024 0,0226 0,0645 0,1190 0,1780 0,2364 0,2918 0,3430 0,3899 0,4323 0,4708 0,5056 0,5370 0,5655 0,5914 0,6150 0,6365 0,6561 0,6741 0,6906 0,7058 0,7199 0,7329 0,7449 0,7561 0,7665 0,7762 0,7852 0,7937 0,8016 0,8347 0,8596 0,8788 0,8940 0,9164 0,9319 0,9432 0,9516 0,9582 0,9844 0,9913 0,9943 0,9959 0,9969 0,9975 0,9980 0,9983 0,9985 0,0000 0,0012 0,0149 0,0497 0,1020 0,1642 0,2298 0,2946 0,3561 0,4131 0,4651 0,5122 0,5546 0,5927 0,6269 0,6575 0,6850 0,7097 0,7319 0,7519 0,7700 0,7864 0,8012 0,8147 0,8270 0,8382 0,8484 0,8578 0,8664 0,8742 0,8815 0,9104 0,9304 0,9447 0,9552 0,9692 0,9778 0,9834 0,9872 0,9899 0,9980 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 0,0000 0,0008 0,0115 0,0419 0,0917 0,1545 0,2236 0,2938 0,3616 0,4251 0,4834 0,5362 0,5835 0,6257 0,6633 0,6967 0,7263 0,7525 0,7759 0,7966 0,8150 0,8315 0,8462 0,8593 0,8711 0,8817 0,8912 0,8998 0,9075 0,9146 0,9209 0,9451 0,9606 0,9710 0,9781 0,9868 0,9915 0,9943 0,9960 0,9971 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0006 0,0090 0,0354 0,0823 0,1448 0,2166 0,2916 0,3655 0,4355 0,5000 0,5584 0,6106 0,6569 0,6977 0,7334 0,7647 0,7921 0,8160 0,8369 0,8552 0,8711 0,8851 0,8974 0,9082 0,9177 0,9261 0,9335 0,9401 0,9459 0,9511 0,9696 0,9804 0,9870 0,9910 0,9955 0,9975 0,9986 0,9991 0,9994 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0004 0,0071 0,0301 0,0737 0,1354 0,2091 0,2884 0,3682 0,4446 0,5155 0,5797 0,6368 0,6870 0,7307 0,7686 0,8011 0,8290 0,8529 0,8734 0,8909 0,9058 0,9186 0,9295 0,9388 0,9469 0,9537 0,9597 0,9648 0,9692 0,9730 0,9856 0,9920 0,9954 0,9972 0,9989 0,9995 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0003 0,0062 0,0273 0,0690 0,1298 0,2044 0,2861 0,3693 0,4497 0,5245 0,5922 0,6523 0,7049 0,7502 0,7891 0,8221 0,8501 0,8737 0,8935 0,9102 0,9242 0,9360 0,9459 0,9541 0,9611 0,9669 0,9719 0,9760 0,9795 0,9825 0,9918 0,9960 0,9979 0,9989 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0003 0,0056 0,0256 0,0660 0,1262 0,2012 0,2844 0,3699 0,4529 0,5304 0,6005 0,6627 0,7167 0,7631 0,8025 0,8358 0,8636 0,8869 0,9062 0,9222 0,9355 0,9465 0,9556 0,9631 0,9693 0,9744 0,9786 0,9821 0,9850 0,9875 0,9947 0,9976 0,9989 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0003 0,0053 0,0244 0,0639 0,1236 0,1989 0,2832 0,3703 0,4552 0,5346 0,6065 0,6700 0,7251 0,7723 0,8121 0,8454 0,8731 0,8960 0,9149 0,9304 0,9431 0,9534 0,9619 0,9688 0,9744 0,9790 0,9828 0,9858 0,9883 0,9904 0,9963 0,9985 0,9994 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0002 0,0049 0,0230 0,0612 0,1203 0,1958 0,2814 0,3706 0,4581 0,5401 0,6144 0,6799 0,7364 0,7844 0,8247 0,8580 0,8854 0,9078 0,9260 0,9406 0,9525 0,9620 0,9696 0,9757 0,9805 0,9844 0,9875 0,9900 0,9920 0,9935 0,9978 0,9992 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0002 0,0046 0,0221 0,0596 0,1181 0,1938 0,2802 0,3708 0,4599 0,5436 0,6194 0,6862 0,7436 0,7922 0,8326 0,8660 0,8931 0,9151 0,9327 0,9468 0,9580 0,9669 0,9740 0,9795 0,9839 0,9873 0,9900 0,9922 0,9938 0,9951 0,9985 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0002 0,0043 0,0211 0,0577 0,1156 0,1914 0,2788 0,3710 0,4621 0,5479 0,6255 0,6938 0,7523 0,8015 0,8421 0,8753 0,9021 0,9235 0,9405 0,9538 0,9643 0,9724 0,9788 0,9837 0,9875 0,9904 0,9926 0,9943 0,9957 0,9967 0,9991 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0002 0,0041 0,0203 0,0562 0,1136 0,1895 0,2776 0,3711 0,4638 0,5512 0,6303 0,6998 0,7591 0,8088 0,8496 0,8826 0,9090 0,9299 0,9463 0,9590 0,9688 0,9764 0,9822 0,9866 0,9899 0,9924 0,9943 0,9957 0,9968 0,9976 0,9994 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0002 0,0040 0,0198 0,0550 0,1121 0,1880 0,2766 0,3711 0,4651 0,5539 0,6342 0,7046 0,7647 0,8147 0,8555 0,8884 0,9145 0,9349 0,9508 0,9630 0,9723 0,9794 0,9847 0,9887 0,9916 0,9939 0,9955 0,9967 0,9976 0,9982 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 110 Приложение 7.5 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 15 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0064 0,0410 0,0879 0,1347 0,1777 0,2162 0,2506 0,2811 0,3085 0,3332 0,3555 0,3757 0,3943 0,4113 0,4270 0,4415 0,4550 0,4676 0,4793 0,4903 0,5007 0,5104 0,5196 0,5284 0,5366 0,5445 0,5519 0,5590 0,5658 0,5723 0,6008 0,6243 0,6441 0,6611 0,6889 0,7108 0,7286 0,7435 0,7562 0,8261 0,8576 0,8765 0,8894 0,8990 0,9064 0,9125 0,9174 0,9217 0,0000 0,0007 0,0134 0,0481 0,0991 0,1573 0,2166 0,2737 0,3268 0,3756 0,4199 0,4600 0,4962 0,5289 0,5586 0,5854 0,6098 0,6321 0,6523 0,6709 0,6879 0,7035 0,7180 0,7313 0,7436 0,7550 0,7656 0,7755 0,7847 0,7934 0,8014 0,8350 0,8601 0,8795 0,8948 0,9172 0,9327 0,9439 0,9523 0,9588 0,9846 0,9915 0,9944 0,9960 0,9969 0,9976 0,9980 0,9983 0,9986 0,0000 0,0002 0,0068 0,0319 0,0774 0,1370 0,2032 0,2704 0,3351 0,3955 0,4509 0,5009 0,5460 0,5863 0,6223 0,6546 0,6833 0,7091 0,7322 0,7530 0,7716 0,7884 0,8036 0,8174 0,8299 0,8413 0,8516 0,8611 0,8697 0,8776 0,8849 0,9136 0,9333 0,9473 0,9575 0,9710 0,9792 0,9845 0,9881 0,9906 0,9981 0,9993 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 0,0000 0,0001 0,0043 0,0239 0,0646 0,1230 0,1921 0,2651 0,3372 0,4054 0,4683 0,5253 0,5763 0,6216 0,6616 0,6970 0,7282 0,7557 0,7800 0,8014 0,8204 0,8372 0,8521 0,8653 0,8772 0,8877 0,8972 0,9056 0,9133 0,9201 0,9263 0,9496 0,9643 0,9740 0,9805 0,9884 0,9926 0,9951 0,9966 0,9975 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0001 0,0028 0,0177 0,0531 0,1091 0,1798 0,2579 0,3372 0,4136 0,4845 0,5487 0,6058 0,6561 0,7001 0,7383 0,7714 0,8000 0,8247 0,8461 0,8646 0,8806 0,8945 0,9066 0,9171 0,9263 0,9343 0,9413 0,9475 0,9529 0,9577 0,9745 0,9839 0,9895 0,9929 0,9965 0,9981 0,9989 0,9994 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0017 0,0129 0,0430 0,0955 0,1666 0,2490 0,3356 0,4205 0,5000 0,5720 0,6357 0,6911 0,7387 0,7792 0,8136 0,8425 0,8669 0,8873 0,9045 0,9189 0,9310 0,9412 0,9497 0,9570 0,9631 0,9682 0,9726 0,9763 0,9795 0,9897 0,9946 0,9970 0,9983 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0013 0,0106 0,0376 0,0876 0,1583 0,2430 0,3338 0,4242 0,5092 0,5863 0,6542 0,7127 0,7623 0,8039 0,8386 0,8672 0,8908 0,9102 0,9261 0,9390 0,9497 0,9584 0,9655 0,9714 0,9762 0,9802 0,9834 0,9861 0,9884 0,9950 0,9977 0,9989 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0092 0,0342 0,0824 0,1526 0,2386 0,3324 0,4265 0,5155 0,5961 0,6668 0,7274 0,7783 0,8205 0,8551 0,8833 0,9062 0,9246 0,9393 0,9512 0,9607 0,9683 0,9744 0,9793 0,9832 0,9864 0,9889 0,9910 0,9926 0,9972 0,9989 0,9995 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0009 0,0084 0,0320 0,0787 0,1484 0,2354 0,3312 0,4280 0,5199 0,6032 0,6761 0,7381 0,7899 0,8324 0,8669 0,8946 0,9168 0,9343 0,9482 0,9592 0,9678 0,9746 0,9799 0,9841 0,9874 0,9900 0,9920 0,9937 0,9949 0,9983 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0008 0,0073 0,0291 0,0739 0,1428 0,2308 0,3293 0,4300 0,5260 0,6130 0,6888 0,7528 0,8056 0,8484 0,8825 0,9093 0,9303 0,9466 0,9592 0,9688 0,9762 0,9818 0,9861 0,9894 0,9919 0,9938 0,9952 0,9963 0,9972 0,9992 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0067 0,0273 0,0708 0,1392 0,2278 0,3281 0,4312 0,5299 0,6194 0,6971 0,7624 0,8158 0,8586 0,8923 0,9185 0,9386 0,9540 0,9656 0,9743 0,9809 0,9858 0,9894 0,9921 0,9942 0,9956 0,9968 0,9976 0,9982 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0006 0,0060 0,0253 0,0673 0,1348 0,2240 0,3264 0,4326 0,5347 0,6273 0,7073 0,7741 0,8281 0,8708 0,9039 0,9292 0,9481 0,9622 0,9726 0,9803 0,9858 0,9898 0,9927 0,9948 0,9963 0,9973 0,9981 0,9986 0,9990 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0055 0,0238 0,0645 0,1313 0,2209 0,3250 0,4337 0,5386 0,6336 0,7156 0,7835 0,8380 0,8805 0,9130 0,9373 0,9552 0,9683 0,9777 0,9844 0,9891 0,9925 0,9948 0,9964 0,9975 0,9983 0,9988 0,9992 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0051 0,0226 0,0623 0,1285 0,2184 0,3237 0,4345 0,5418 0,6389 0,7225 0,7913 0,8460 0,8883 0,9202 0,9437 0,9607 0,9728 0,9814 0,9873 0,9914 0,9943 0,9962 0,9974 0,9983 0,9989 0,9993 0,9995 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 111 Приложение 7.6 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 20 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0049 0,0369 0,0829 0,1295 0,1727 0,2114 0,2460 0,2768 0,3044 0,3293 0,3517 0,3722 0,3909 0,4080 0,4238 0,4385 0,4521 0,4647 0,4766 0,4877 0,4981 0,5079 0,5172 0,5259 0,5343 0,5421 0,5497 0,5568 0,5636 0,5701 0,5989 0,6225 0,6425 0,6595 0,6874 0,7094 0,7274 0,7424 0,7551 0,8253 0,8570 0,8760 0,8890 0,8986 0,9061 0,9121 0,9171 0,9213 0,0000 0,0003 0,0095 0,0402 0,0888 0,1464 0,2061 0,2640 0,3182 0,3680 0,4133 0,4542 0,4913 0,5247 0,5549 0,5823 0,6072 0,6298 0,6504 0,6692 0,6865 0,7024 0,7170 0,7305 0,7429 0,7545 0,7652 0,7752 0,7845 0,7932 0,8013 0,8351 0,8604 0,8798 0,8951 0,9176 0,9330 0,9442 0,9526 0,9591 0,9848 0,9916 0,9945 0,9960 0,9970 0,9976 0,9980 0,9983 0,9986 0,0000 0,0001 0,0039 0,0237 0,0649 0,1225 0,1887 0,2570 0,3235 0,3858 0,4430 0,4948 0,5413 0,5829 0,6200 0,6531 0,6826 0,7089 0,7325 0,7536 0,7726 0,7897 0,8051 0,8190 0,8316 0,8430 0,8534 0,8629 0,8716 0,8795 0,8868 0,9154 0,9349 0,9487 0,9587 0,9719 0,9799 0,9851 0,9886 0,9910 0,9982 0,9993 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0021 0,0161 0,0510 0,1061 0,1745 0,2487 0,3232 0,3942 0,4598 0,5193 0,5724 0,6195 0,6610 0,6975 0,7296 0,7577 0,7825 0,8043 0,8235 0,8404 0,8554 0,8687 0,8806 0,8911 0,9005 0,9089 0,9164 0,9232 0,9293 0,9520 0,9662 0,9755 0,9818 0,9892 0,9932 0,9955 0,9968 0,9977 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0105 0,0389 0,0898 0,1587 0,2381 0,3205 0,4007 0,4755 0,5432 0,6034 0,6561 0,7020 0,7415 0,7756 0,8049 0,8300 0,8516 0,8702 0,8861 0,8999 0,9118 0,9221 0,9310 0,9388 0,9456 0,9515 0,9566 0,9612 0,9770 0,9857 0,9908 0,9938 0,9970 0,9984 0,9991 0,9995 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0066 0,0286 0,0739 0,1417 0,2250 0,3154 0,4057 0,4908 0,5678 0,6357 0,6943 0,7442 0,7863 0,8216 0,8509 0,8753 0,8956 0,9124 0,9264 0,9380 0,9476 0,9557 0,9624 0,9680 0,9727 0,9767 0,9800 0,9828 0,9916 0,9957 0,9977 0,9987 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0049 0,0233 0,0648 0,1309 0,2161 0,3113 0,4080 0,5000 0,5833 0,6563 0,7186 0,7707 0,8139 0,8493 0,8780 0,9013 0,9201 0,9352 0,9474 0,9573 0,9652 0,9715 0,9767 0,9809 0,9843 0,9870 0,9893 0,9911 0,9964 0,9984 0,9993 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0039 0,0201 0,0588 0,1235 0,2095 0,3080 0,4093 0,5063 0,5942 0,6707 0,7355 0,7891 0,8327 0,8678 0,8957 0,9179 0,9354 0,9491 0,9599 0,9683 0,9750 0,9802 0,9843 0,9875 0,9900 0,9920 0,9936 0,9949 0,9982 0,9993 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0033 0,0180 0,0547 0,1181 0,2046 0,3053 0,4102 0,5109 0,6022 0,6815 0,7480 0,8025 0,8463 0,8810 0,9082 0,9293 0,9457 0,9582 0,9679 0,9753 0,9810 0,9853 0,9887 0,9912 0,9932 0,9947 0,9959 0,9968 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0027 0,0154 0,0493 0,1107 0,1977 0,3014 0,4111 0,5173 0,6135 0,6965 0,7654 0,8209 0,8646 0,8985 0,9243 0,9438 0,9584 0,9693 0,9773 0,9833 0,9877 0,9909 0,9933 0,9950 0,9963 0,9973 0,9980 0,9985 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0023 0,0139 0,0459 0,1060 0,1930 0,2986 0,4116 0,5214 0,6210 0,7065 0,7769 0,8330 0,8765 0,9095 0,9343 0,9525 0,9659 0,9756 0,9825 0,9875 0,9911 0,9937 0,9955 0,9968 0,9977 0,9984 0,9988 0,9992 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0001 0,0019 0,0121 0,0420 0,1002 0,1872 0,2951 0,4120 0,5266 0,6304 0,7191 0,7913 0,8478 0,8908 0,9226 0,9458 0,9624 0,9740 0,9822 0,9879 0,9917 0,9944 0,9962 0,9974 0,9983 0,9988 0,9992 0,9995 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0016 0,0109 0,0390 0,0956 0,1824 0,2920 0,4123 0,5308 0,6382 0,7295 0,8030 0,8597 0,9021 0,9327 0,9544 0,9695 0,9798 0,9867 0,9913 0,9944 0,9964 0,9977 0,9985 0,9990 0,9994 0,9996 0,9998 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0015 0,0100 0,0366 0,0919 0,1784 0,2894 0,4125 0,5343 0,6448 0,7382 0,8127 0,8695 0,9112 0,9407 0,9611 0,9748 0,9839 0,9899 0,9937 0,9961 0,9976 0,9985 0,9991 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 112 Приложение 7.7 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 25 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0041 0,0345 0,0799 0,1264 0,1696 0,2085 0,2432 0,2742 0,3019 0,3269 0,3495 0,3700 0,3888 0,4060 0,4219 0,4366 0,4503 0,4630 0,4749 0,4860 0,4965 0,5064 0,5157 0,5245 0,5328 0,5408 0,5483 0,5555 0,5623 0,5689 0,5977 0,6214 0,6414 0,6586 0,6866 0,7086 0,7266 0,7417 0,7545 0,8249 0,8566 0,8756 0,8887 0,8983 0,9058 0,9119 0,9169 0,9211 0,0000 0,0002 0,0075 0,0355 0,0826 0,1397 0,1996 0,2580 0,3128 0,3633 0,4092 0,4507 0,4882 0,5221 0,5527 0,5804 0,6055 0,6284 0,6492 0,6683 0,6857 0,7017 0,7164 0,7300 0,7426 0,7542 0,7650 0,7750 0,7844 0,7931 0,8013 0,8352 0,8606 0,8800 0,8954 0,9178 0,9333 0,9444 0,9528 0,9593 0,9849 0,9916 0,9945 0,9961 0,9970 0,9976 0,9980 0,9984 0,9986 0,0000 0,0000 0,0026 0,0192 0,0574 0,1135 0,1795 0,2485 0,3161 0,3797 0,4381 0,4909 0,5384 0,5808 0,6186 0,6522 0,6822 0,7089 0,7328 0,7541 0,7733 0,7905 0,8060 0,8200 0,8326 0,8441 0,8546 0,8641 0,8727 0,8807 0,8879 0,9165 0,9359 0,9495 0,9595 0,9725 0,9804 0,9854 0,9888 0,9912 0,9983 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0012 0,0120 0,0430 0,0955 0,1632 0,2382 0,3141 0,3870 0,4544 0,5154 0,5700 0,6182 0,6606 0,6979 0,7305 0,7591 0,7842 0,8062 0,8255 0,8426 0,8576 0,8709 0,8827 0,8932 0,9026 0,9109 0,9184 0,9251 0,9311 0,9535 0,9674 0,9764 0,9825 0,9897 0,9935 0,9957 0,9970 0,9979 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0070 0,0307 0,0778 0,1451 0,2250 0,3093 0,3921 0,4696 0,5398 0,6020 0,6563 0,7034 0,7438 0,7785 0,8082 0,8335 0,8552 0,8738 0,8897 0,9034 0,9151 0,9253 0,9340 0,9416 0,9482 0,9539 0,9590 0,9633 0,9785 0,9868 0,9915 0,9944 0,9973 0,9986 0,9992 0,9995 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0038 0,0207 0,0607 0,1254 0,2088 0,3016 0,3955 0,4845 0,5652 0,6360 0,6968 0,7483 0,7913 0,8271 0,8567 0,8810 0,9011 0,9176 0,9313 0,9425 0,9517 0,9594 0,9658 0,9710 0,9754 0,9791 0,9822 0,9848 0,9928 0,9963 0,9981 0,9989 0,9996 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0025 0,0157 0,0509 0,1129 0,1975 0,2954 0,3967 0,4937 0,5816 0,6582 0,7231 0,7769 0,8210 0,8567 0,8854 0,9083 0,9266 0,9412 0,9528 0,9620 0,9693 0,9752 0,9799 0,9837 0,9867 0,9891 0,9911 0,9926 0,9971 0,9988 0,9995 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0019 0,0129 0,0447 0,1043 0,1893 0,2906 0,3972 0,5000 0,5932 0,6740 0,7417 0,7970 0,8414 0,8766 0,9042 0,9257 0,9424 0,9553 0,9653 0,9730 0,9790 0,9836 0,9871 0,9899 0,9920 0,9937 0,9950 0,9960 0,9987 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0015 0,0110 0,0403 0,0980 0,1830 0,2867 0,3973 0,5047 0,6020 0,6859 0,7556 0,8118 0,8563 0,8908 0,9174 0,9376 0,9530 0,9646 0,9733 0,9798 0,9847 0,9884 0,9912 0,9933 0,9949 0,9961 0,9970 0,9977 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0011 0,0088 0,0348 0,0894 0,1741 0,2808 0,3971 0,5111 0,6145 0,7029 0,7752 0,8324 0,8765 0,9097 0,9344 0,9526 0,9659 0,9755 0,9824 0,9873 0,9909 0,9935 0,9953 0,9966 0,9975 0,9982 0,9987 0,9990 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0009 0,0076 0,0314 0,0839 0,1681 0,2767 0,3968 0,5154 0,6230 0,7144 0,7884 0,8460 0,8895 0,9216 0,9449 0,9615 0,9732 0,9815 0,9872 0,9912 0,9939 0,9958 0,9971 0,9980 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0062 0,0276 0,0772 0,1605 0,2713 0,3963 0,5208 0,6338 0,7291 0,8050 0,8628 0,9053 0,9356 0,9568 0,9713 0,9811 0,9876 0,9919 0,9948 0,9966 0,9978 0,9986 0,9991 0,9994 0,9996 0,9998 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0053 0,0246 0,0720 0,1542 0,2667 0,3957 0,5253 0,6429 0,7413 0,8187 0,8764 0,9177 0,9463 0,9655 0,9782 0,9864 0,9915 0,9948 0,9968 0,9981 0,9988 0,9993 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0046 0,0224 0,0677 0,1489 0,2626 0,3950 0,5291 0,6507 0,7518 0,8302 0,8876 0,9277 0,9546 0,9721 0,9832 0,9900 0,9941 0,9966 0,9980 0,9989 0,9994 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 113 Приложение 7.7 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 30 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 3 5 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0036 0,0329 0,0779 0,1243 0,1676 0,2066 0,2414 0,2724 0,3003 0,3253 0,3480 0,3686 0,3874 0,4047 0,4207 0,4354 0,4491 0,4619 0,4738 0,4850 0,4955 0,5053 0,5147 0,5235 0,5319 0,5398 0,5474 0,5546 0,5614 0,5680 0,5969 0,6207 0,6408 0,6579 0,6860 0,7081 0,7261 0,7412 0,7540 0,8246 0,8564 0,8754 0,8885 0,8981 0,9057 0,9117 0,9168 0,9210 0,0000 0,0001 0,0063 0,0325 0,0785 0,1352 0,1952 0,2539 0,3092 0,3600 0,4064 0,4483 0,4861 0,5203 0,5512 0,5791 0,6044 0,6275 0,6484 0,6676 0,6851 0,7012 0,7160 0,7297 0,7423 0,7540 0,7648 0,7749 0,7843 0,7931 0,8013 0,8353 0,8607 0,8802 0,8956 0,9180 0,9334 0,9446 0,9529 0,9594 0,9849 0,9917 0,9945 0,9961 0,9970 0,9976 0,9980 0,9984 0,9986 0,0000 0,0000 0,0019 0,0164 0,0524 0,1073 0,1731 0,2426 0,3110 0,3754 0,4346 0,4883 0,5364 0,5793 0,6176 0,6516 0,6819 0,7089 0,7329 0,7545 0,7737 0,7910 0,8066 0,8207 0,8334 0,8449 0,8553 0,8649 0,8735 0,8815 0,8887 0,9172 0,9365 0,9501 0,9600 0,9729 0,9807 0,9857 0,9890 0,9914 0,9983 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0008 0,0095 0,0378 0,0883 0,1554 0,2308 0,3078 0,3819 0,4506 0,5128 0,5683 0,6173 0,6604 0,6982 0,7312 0,7601 0,7854 0,8075 0,8270 0,8441 0,8591 0,8724 0,8842 0,8947 0,9040 0,9123 0,9197 0,9264 0,9324 0,9545 0,9682 0,9771 0,9830 0,9900 0,9937 0,9958 0,9971 0,9979 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0051 0,0256 0,0696 0,1356 0,2157 0,3014 0,3860 0,4654 0,5373 0,6010 0,6565 0,7044 0,7455 0,7806 0,8106 0,8361 0,8578 0,8764 0,8922 0,9058 0,9174 0,9275 0,9361 0,9436 0,9500 0,9556 0,9605 0,9648 0,9795 0,9875 0,9920 0,9947 0,9975 0,9987 0,9993 0,9996 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0024 0,0159 0,0518 0,1139 0,1971 0,2915 0,3881 0,4801 0,5634 0,6363 0,6988 0,7513 0,7950 0,8311 0,8608 0,8851 0,9050 0,9213 0,9346 0,9456 0,9546 0,9619 0,9680 0,9731 0,9773 0,9807 0,9836 0,9860 0,9935 0,9967 0,9983 0,9991 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0015 0,0113 0,0418 0,1002 0,1840 0,2837 0,3883 0,4891 0,5804 0,6597 0,7266 0,7816 0,8263 0,8622 0,8907 0,9133 0,9312 0,9453 0,9565 0,9652 0,9722 0,9777 0,9820 0,9855 0,9882 0,9904 0,9922 0,9936 0,9976 0,9990 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0010 0,0088 0,0354 0,0907 0,1744 0,2775 0,3880 0,4953 0,5927 0,6767 0,7465 0,8031 0,8479 0,8831 0,9103 0,9313 0,9474 0,9597 0,9690 0,9762 0,9816 0,9858 0,9890 0,9914 0,9933 0,9948 0,9959 0,9968 0,9990 0,9996 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0072 0,0311 0,0838 0,1670 0,2725 0,3874 0,5000 0,6021 0,6896 0,7616 0,8190 0,8638 0,8981 0,9241 0,9435 0,9581 0,9689 0,9769 0,9828 0,9872 0,9904 0,9928 0,9946 0,9959 0,9969 0,9977 0,9982 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0005 0,0054 0,0257 0,0745 0,1565 0,2649 0,3863 0,5065 0,6156 0,7082 0,7831 0,8413 0,8854 0,9180 0,9417 0,9588 0,9709 0,9795 0,9856 0,9899 0,9929 0,9950 0,9964 0,9975 0,9982 0,9987 0,9991 0,9993 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0044 0,0225 0,0685 0,1493 0,2596 0,3852 0,5109 0,6249 0,7210 0,7976 0,8561 0,8993 0,9304 0,9524 0,9677 0,9781 0,9853 0,9901 0,9933 0,9955 0,9970 0,9980 0,9986 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0034 0,0188 0,0612 0,1402 0,2525 0,3837 0,5165 0,6370 0,7375 0,8161 0,8746 0,9162 0,9450 0,9644 0,9772 0,9856 0,9909 0,9943 0,9964 0,9978 0,9986 0,9991 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0027 0,0161 0,0556 0,1327 0,2463 0,3821 0,5211 0,6473 0,7516 0,8316 0,8895 0,9295 0,9560 0,9731 0,9838 0,9903 0,9943 0,9967 0,9981 0,9989 0,9994 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0022 0,0141 0,0510 0,1263 0,2409 0,3807 0,5251 0,6563 0,7637 0,8447 0,9019 0,9401 0,9644 0,9794 0,9883 0,9935 0,9964 0,9981 0,9990 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 114 Приложение 7.8 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 50 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 0,0000 0,0027 0,0298 0,0739 0,1202 0,1635 0,2026 0,2376 0,2689 0,2969 0,3221 0,3449 0,3657 0,3846 0,4021 0,4181 0,4329 0,4467 0,4595 0,4715 0,4828 0,4933 0,5033 0,5127 0,5216 0,5300 0,5380 0,5456 0,5528 0,5597 0,5663 0,5953 0,6193 0,6394 0,6567 0,6848 0,7071 0,7252 0,7403 0,7531 0,8240 0,8559 0,8750 0,8881 0,8978 0,9053 0,9114 0,9165 0,9207 3 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0041 0,0009 0,0267 0,0113 0,0701 0,0426 0,1259 0,0948 0,1861 0,1600 0,2455 0,2303 0,3016 0,3002 0,3534 0,3665 0,4006 0,4275 0,4433 0,4827 0,4819 0,5323 0,5167 0,5764 0,5481 0,6156 0,5765 0,6505 0,6022 0,6814 0,6256 0,7089 0,6468 0,7334 0,6662 0,7552 0,6840 0,7748 0,7003 0,7923 0,7152 0,8080 0,7290 0,8222 0,7418 0,8349 0,7536 0,8465 0,7645 0,8570 0,7747 0,8665 0,7842 0,8752 0,7930 0,8832 0,8013 0,8904 0,8355 0,9187 0,8610 0,9379 0,8805 0,9513 0,8959 0,9610 0,9184 0,9737 0,9338 0,9813 0,9449 0,9861 0,9532 0,9894 0,9596 0,9917 0,9850 0,9984 0,9917 0,9994 0,9946 0,9997 0,9961 0,9998 0,9970 0,9999 0,9976 0,9999 0,9981 0,9999 0,9984 1,0000 0,9986 1,0000 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0000 0,0002 0,0054 0,0277 0,0736 0,1389 0,2150 0,2942 0,3710 0,4425 0,5072 0,5649 0,6157 0,6601 0,6990 0,7328 0,7623 0,7880 0,8104 0,8300 0,8472 0,8624 0,8757 0,8874 0,8978 0,9070 0,9153 0,9226 0,9291 0,9350 0,9566 0,9699 0,9784 0,9840 0,9907 0,9942 0,9962 0,9973 0,9981 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0022 0,0161 0,0532 0,1153 0,1955 0,2839 0,3727 0,4564 0,5322 0,5991 0,6571 0,7069 0,7493 0,7853 0,8158 0,8416 0,8634 0,8819 0,8976 0,9109 0,9223 0,9321 0,9404 0,9476 0,9538 0,9591 0,9638 0,9678 0,9815 0,9888 0,9930 0,9954 0,9978 0,9989 0,9994 0,9996 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0079 0,0344 0,0895 0,1710 0,2687 0,3714 0,4701 0,5595 0,6375 0,7035 0,7584 0,8035 0,8402 0,8700 0,8941 0,9135 0,9292 0,9418 0,9521 0,9604 0,9672 0,9727 0,9772 0,9809 0,9840 0,9865 0,9886 0,9948 0,9975 0,9987 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0045 0,0244 0,0732 0,1534 0,2564 0,3688 0,4786 0,5782 0,6640 0,7352 0,7928 0,8386 0,8746 0,9026 0,9243 0,9411 0,9541 0,9641 0,9719 0,9779 0,9825 0,9861 0,9890 0,9912 0,9929 0,9943 0,9954 0,9983 0,9993 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0029 0,0185 0,0620 0,1403 0,2465 0,3660 0,4846 0,5922 0,6838 0,7586 0,8176 0,8632 0,8979 0,9239 0,9434 0,9578 0,9686 0,9765 0,9824 0,9868 0,9900 0,9924 0,9942 0,9956 0,9966 0,9974 0,9980 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0020 0,0147 0,0541 0,1301 0,2383 0,3635 0,4891 0,6031 0,6995 0,7767 0,8365 0,8814 0,9146 0,9387 0,9561 0,9686 0,9775 0,9839 0,9884 0,9916 0,9940 0,9956 0,9968 0,9977 0,9983 0,9987 0,9991 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0012 0,0103 0,0435 0,1154 0,2257 0,3591 0,4956 0,6195 0,7227 0,8032 0,8632 0,9063 0,9366 0,9574 0,9715 0,9810 0,9873 0,9916 0,9944 0,9962 0,9975 0,9983 0,9988 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0008 0,0079 0,0369 0,1054 0,2165 0,3555 0,5000 0,6313 0,7392 0,8216 0,8812 0,9224 0,9501 0,9683 0,9800 0,9874 0,9921 0,9951 0,9969 0,9981 0,9988 0,9992 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0054 0,0293 0,0926 0,2039 0,3502 0,5058 0,6473 0,7614 0,8457 0,9037 0,9416 0,9654 0,9798 0,9884 0,9934 0,9963 0,9979 0,9988 0,9993 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0038 0,0236 0,0819 0,1925 0,3450 0,5109 0,6617 0,7812 0,8663 0,9221 0,9563 0,9763 0,9874 0,9935 0,9967 0,9983 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0028 0,0192 0,0729 0,1823 0,3400 0,5154 0,6748 0,7988 0,8840 0,9370 0,9675 0,9839 0,9923 0,9964 0,9984 0,9993 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 115 Приложение 7.9 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 70 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 0,0000 0,0023 0,0285 0,0722 0,1184 0,1617 0,2010 0,2360 0,2674 0,2955 0,3208 0,3436 0,3644 0,3835 0,4009 0,4170 0,4319 0,4457 0,4586 0,4706 0,4818 0,4924 0,5024 0,5118 0,5207 0,5291 0,5372 0,5448 0,5520 0,5589 0,5656 0,5947 0,6186 0,6388 0,6561 0,6843 0,7066 0,7247 0,7399 0,7528 0,8237 0,8557 0,8748 0,8879 0,8976 0,9052 0,9113 0,9164 0,9206 3 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0034 0,0006 0,0243 0,0093 0,0665 0,0385 0,1219 0,0892 0,1821 0,1541 0,2418 0,2248 0,2983 0,2954 0,3505 0,3625 0,3981 0,4243 0,4412 0,4803 0,4800 0,5304 0,5151 0,5751 0,5467 0,6148 0,5753 0,6500 0,6012 0,6812 0,6247 0,7089 0,6461 0,7336 0,6656 0,7556 0,6835 0,7752 0,6999 0,7928 0,7149 0,8086 0,7288 0,8228 0,7416 0,8356 0,7534 0,8472 0,7644 0,8577 0,7746 0,8673 0,7841 0,8760 0,7930 0,8839 0,8013 0,8912 0,8356 0,9194 0,8611 0,9385 0,8807 0,9518 0,8960 0,9614 0,9185 0,9740 0,9339 0,9815 0,9450 0,9863 0,9533 0,9895 0,9597 0,9918 0,9851 0,9984 0,9918 0,9994 0,9946 0,9997 0,9961 0,9998 0,9970 0,9999 0,9976 0,9999 0,9981 0,9999 0,9984 1,0000 0,9986 1,0000 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0000 0,0001 0,0040 0,0237 0,0672 0,1315 0,2078 0,2879 0,3660 0,4388 0,5047 0,5633 0,6149 0,6601 0,6994 0,7336 0,7633 0,7892 0,8117 0,8314 0,8487 0,8638 0,8771 0,8888 0,8992 0,9084 0,9166 0,9238 0,9303 0,9361 0,9575 0,9706 0,9789 0,9845 0,9910 0,9944 0,9963 0,9974 0,9982 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0125 0,0462 0,1062 0,1861 0,2758 0,3664 0,4521 0,5298 0,5983 0,6575 0,7082 0,7512 0,7876 0,8182 0,8441 0,8659 0,8844 0,9000 0,9132 0,9245 0,9341 0,9423 0,9494 0,9554 0,9607 0,9652 0,9691 0,9824 0,9894 0,9934 0,9957 0,9980 0,9990 0,9994 0,9997 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0052 0,0274 0,0785 0,1586 0,2576 0,3632 0,4653 0,5578 0,6382 0,7059 0,7620 0,8077 0,8446 0,8744 0,8982 0,9174 0,9327 0,9451 0,9550 0,9630 0,9694 0,9747 0,9790 0,9825 0,9853 0,9877 0,9896 0,9954 0,9978 0,9989 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0026 0,0178 0,0611 0,1386 0,2428 0,3589 0,4734 0,5773 0,6663 0,7397 0,7984 0,8447 0,8806 0,9082 0,9294 0,9456 0,9580 0,9675 0,9747 0,9803 0,9846 0,9879 0,9904 0,9924 0,9939 0,9952 0,9961 0,9986 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0014 0,0124 0,0494 0,1236 0,2306 0,3547 0,4792 0,5922 0,6879 0,7650 0,8251 0,8708 0,9050 0,9303 0,9489 0,9625 0,9724 0,9797 0,9850 0,9888 0,9917 0,9938 0,9953 0,9965 0,9973 0,9980 0,9984 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0009 0,0091 0,0412 0,1120 0,2205 0,3508 0,4835 0,6041 0,7050 0,7849 0,8455 0,8902 0,9226 0,9456 0,9618 0,9732 0,9812 0,9868 0,9906 0,9934 0,9953 0,9966 0,9976 0,9983 0,9987 0,9991 0,9993 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0055 0,0306 0,0952 0,2046 0,3441 0,4898 0,6222 0,7311 0,8143 0,8747 0,9168 0,9454 0,9645 0,9770 0,9851 0,9904 0,9938 0,9960 0,9974 0,9983 0,9989 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0037 0,0242 0,0837 0,1928 0,3386 0,4942 0,6356 0,7501 0,8351 0,8944 0,9339 0,9593 0,9752 0,9850 0,9910 0,9946 0,9968 0,9980 0,9988 0,9993 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0021 0,0171 0,0691 0,1764 0,3303 0,5000 0,6544 0,7762 0,8626 0,9191 0,9539 0,9744 0,9861 0,9925 0,9960 0,9979 0,9989 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0012 0,0121 0,0571 0,1613 0,3220 0,5052 0,6719 0,8000 0,8864 0,9390 0,9688 0,9846 0,9926 0,9965 0,9984 0,9993 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0087 0,0472 0,1475 0,3138 0,5099 0,6886 0,8219 0,9070 0,9550 0,9795 0,9912 0,9963 0,9985 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 116 Приложение 7.10 Функция распределения для F-распределения (распределения Фишера) для числа степеней свободы ν1 = 100 F 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,5 4 4,5 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Число степеней свободы ν2 1 0,0000 0,0021 0,0276 0,0709 0,1170 0,1604 0,1997 0,2348 0,2662 0,2944 0,3197 0,3427 0,3635 0,3826 0,4000 0,4162 0,4311 0,4449 0,4578 0,4699 0,4811 0,4918 0,5017 0,5112 0,5201 0,5285 0,5366 0,5442 0,5514 0,5584 0,5650 0,5942 0,6182 0,6384 0,6557 0,6840 0,7063 0,7244 0,7396 0,7525 0,8235 0,8555 0,8747 0,8878 0,8975 0,9051 0,9112 0,9163 0,9205 3 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0028 0,0004 0,0225 0,0079 0,0638 0,0354 0,1188 0,0851 0,1790 0,1496 0,2389 0,2205 0,2958 0,2917 0,3483 0,3594 0,3962 0,4218 0,4395 0,4784 0,4786 0,5290 0,5139 0,5741 0,5457 0,6141 0,5745 0,6496 0,6005 0,6810 0,6241 0,7089 0,6456 0,7338 0,6652 0,7559 0,6831 0,7756 0,6996 0,7932 0,7147 0,8091 0,7286 0,8233 0,7414 0,8362 0,7533 0,8478 0,7643 0,8583 0,7745 0,8679 0,7841 0,8765 0,7930 0,8845 0,8013 0,8917 0,8356 0,9199 0,8612 0,9389 0,8808 0,9522 0,8962 0,9618 0,9186 0,9743 0,9340 0,9817 0,9451 0,9865 0,9534 0,9897 0,9598 0,9919 0,9851 0,9984 0,9918 0,9994 0,9946 0,9997 0,9961 0,9998 0,9971 0,9999 0,9977 0,9999 0,9981 0,9999 0,9984 1,0000 0,9986 1,0000 7 10 15 20 25 30 40 50 0,0000 0,0000 0,0001 0,0031 0,0208 0,0624 0,1258 0,2022 0,2831 0,3621 0,4359 0,5027 0,5622 0,6144 0,6600 0,6997 0,7342 0,7641 0,7901 0,8128 0,8325 0,8498 0,8649 0,8782 0,8899 0,9003 0,9094 0,9176 0,9248 0,9312 0,9370 0,9582 0,9711 0,9793 0,9848 0,9912 0,9945 0,9964 0,9975 0,9982 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0009 0,0101 0,0410 0,0991 0,1787 0,2693 0,3614 0,4488 0,5280 0,5977 0,6579 0,7092 0,7527 0,7893 0,8202 0,8461 0,8680 0,8864 0,9019 0,9150 0,9262 0,9357 0,9438 0,9508 0,9567 0,9618 0,9663 0,9701 0,9831 0,9899 0,9937 0,9959 0,9981 0,9990 0,9995 0,9997 0,9998 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0036 0,0223 0,0700 0,1487 0,2487 0,3566 0,4614 0,5565 0,6388 0,7080 0,7649 0,8110 0,8481 0,8778 0,9015 0,9204 0,9355 0,9475 0,9572 0,9649 0,9712 0,9762 0,9803 0,9836 0,9863 0,9886 0,9904 0,9958 0,9980 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0015 0,0133 0,0520 0,1268 0,2316 0,3508 0,4692 0,5767 0,6684 0,7435 0,8031 0,8496 0,8854 0,9127 0,9334 0,9491 0,9610 0,9700 0,9769 0,9821 0,9861 0,9891 0,9914 0,9933 0,9947 0,9958 0,9966 0,9988 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0085 0,0400 0,1103 0,2174 0,3452 0,4747 0,5923 0,6914 0,7705 0,8313 0,8771 0,9108 0,9354 0,9532 0,9661 0,9754 0,9820 0,9868 0,9903 0,9929 0,9947 0,9961 0,9970 0,9978 0,9983 0,9987 0,9997 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0057 0,0318 0,0974 0,2054 0,3400 0,4789 0,6051 0,7100 0,7919 0,8531 0,8975 0,9289 0,9509 0,9662 0,9767 0,9839 0,9888 0,9922 0,9946 0,9962 0,9973 0,9981 0,9986 0,9990 0,9993 0,9995 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0029 0,0215 0,0789 0,1865 0,3309 0,4849 0,6249 0,7387 0,8240 0,8843 0,9253 0,9524 0,9699 0,9810 0,9881 0,9925 0,9953 0,9970 0,9981 0,9988 0,9992 0,9995 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0017 0,0156 0,0663 0,1722 0,3234 0,4891 0,6400 0,7601 0,8470 0,9055 0,9431 0,9663 0,9803 0,9886 0,9934 0,9962 0,9978 0,9987 0,9993 0,9996 0,9997 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 70 100 150 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0007 0,0095 0,0506 0,1520 0,3117 0,4948 0,6616 0,7901 0,8776 0,9320 0,9636 0,9810 0,9903 0,9951 0,9976 0,9988 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0056 0,0380 0,1331 0,2997 0,5000 0,6827 0,8182 0,9043 0,9530 0,9781 0,9902 0,9957 0,9982 0,9992 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0033 0,0281 0,1156 0,2872 0,5049 0,7036 0,8448 0,9274 0,9691 0,9878 0,9955 0,9984 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 117 Приложение 8.1 Квантили распределения Фишера (F-распределения) для доверительной вероятности Р=0.8 и параметров распределения  и 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 30 30 40 60 120 9,47 3,56 2,68 2,35 2,18 2,07 2,00 1,95 1,91 1,88 1,86 1,84 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,70 1,68 1,66 12,0 4,00 2,89 2,47 2,26 2,13 2,04 1,98 1,93 1,90 1,87 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,68 1,65 1,63 13,0 6 4,16 2,94 2,48 2,25 2,11 2,02 1,95 1,90 1,86 1,83 1,80 1,78 1,76 1,75 1,74 1,72 1,71 1,70 1,70 1,69 1,68 1,68 1,67 1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,64 1,62 1,60 1,57 13,6 4 4,24 2,96 2,48 2,24 2,09 1,99 1,92 1,87 1,83 1,80 1,77 1,75 1,73 1,71 1,70 1,68 1,67 1,66 1,65 1,65 1,64 1,63 1,63 1,62 1,62 1,61 1,61 1,60 1,60 1,57 1,55 1,52 14,0 1 4,28 2,97 2,48 2,23 2,08 1,97 1,90 1,85 1,80 1,77 1,74 1,72 1,70 1,68 1,67 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,61 1,60 1,59 1,59 1,58 1,58 1,57 1,57 1,57 1,54 1,51 1,48 14,2 6 4,32 2,97 2,47 2,22 2,06 1,96 1,88 1,83 1,78 1,75 1,72 1,69 1,67 1,66 1,64 1,63 1,62 1,61 1,60 1,59 1,58 1,57 1,57 1,56 1,56 1,55 1,55 1,54 1,54 1,51 1,48 1,45 14,4 4 4,34 2,97 2,47 2,21 2,05 1,94 1,87 1,81 1,77 1,73 1,70 1,68 1,65 1,64 1,62 1,61 1,60 1,58 1,58 1,57 1,56 1,55 1,55 1,54 1,53 1,53 1,52 1,52 1,52 1,49 1,46 1,43 14,5 8 4,36 2,98 2,47 2,20 2,04 1,93 1,86 1,80 1,75 1,72 1,69 1,66 1,64 1,62 1,61 1,59 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,53 1,53 1,52 1,52 1,51 1,51 1,50 1,50 1,47 1,44 1,41 14,6 8 4,37 2,98 2,46 2,20 2,03 1,93 1,85 1,79 1,74 1,70 1,67 1,65 1,63 1,61 1,59 1,58 1,56 1,55 1,54 1,53 1,53 1,52 1,51 1,51 1,50 1,49 1,49 1,49 1,48 1,45 1,42 1,39 14,7 7 4,38 2,98 2,46 2,19 2,03 1,92 1,84 1,78 1,73 1,69 1,66 1,64 1,62 1,60 1,58 1,57 1,55 1,54 1,53 1,52 1,51 1,51 1,50 1,49 1,49 1,48 1,48 1,47 1,47 1,44 1,41 1,37 14,9 4,40 2,98 2,46 2,18 2,02 1,91 1,83 1,76 1,72 1,68 1,65 1,62 1,60 1,58 1,56 1,55 1,53 1,52 1,51 1,50 1,49 1,49 1,48 1,47 1,47 1,46 1,46 1,45 1,45 1,41 1,38 1,35 15,0 4 4,42 2,98 2,45 2,18 2,01 1,89 1,81 1,75 1,70 1,66 1,63 1,60 1,58 1,56 1,54 1,53 1,51 1,50 1,49 1,48 1,47 1,46 1,46 1,45 1,44 1,44 1,43 1,43 1,42 1,39 1,35 1,32 15,3 1 4,45 2,98 2,44 2,16 1,98 1,86 1,78 1,71 1,66 1,62 1,59 1,56 1,53 1,51 1,49 1,48 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,40 1,39 1,39 1,38 1,37 1,37 1,36 1,33 1,29 1,25 15,3 1 4,45 2,98 2,44 2,16 1,98 1,86 1,78 1,71 1,66 1,62 1,59 1,56 1,53 1,51 1,49 1,48 1,46 1,45 1,44 1,43 1,42 1,41 1,40 1,39 1,39 1,38 1,37 1,37 1,36 1,33 1,29 1,25 15,3 7 4,46 2,98 2,44 2,15 1,98 1,86 1,77 1,70 1,65 1,61 1,58 1,55 1,52 1,50 1,48 1,46 1,45 1,44 1,42 1,41 1,40 1,39 1,39 1,38 1,37 1,36 1,36 1,35 1,35 1,31 1,27 1,23 15,4 4 4,46 2,98 2,43 2,15 1,97 1,85 1,76 1,69 1,64 1,60 1,56 1,53 1,51 1,49 1,47 1,45 1,43 1,42 1,41 1,40 1,39 1,38 1,37 1,36 1,35 1,35 1,34 1,33 1,33 1,29 1,24 1,20 15,5 1 4,47 2,98 2,43 2,14 1,96 1,84 1,75 1,68 1,63 1,59 1,55 1,52 1,49 1,47 1,45 1,43 1,42 1,40 1,39 1,38 1,37 1,36 1,35 1,34 1,33 1,33 1,32 1,31 1,31 1,26 1,22 1,17 118 Приложение 8.2 Квантили распределения Фишера (F-распределения) для доверительной вероятности Р=0.9 и параметров распределения  и 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 30 30 40 60 120 39,8 6 8,53 5,54 4,54 4,06 3,78 3,59 3,46 3,36 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,97 2,96 2,95 2,94 2,93 2,92 2,91 2,90 2,89 2,89 2,88 2,84 2,79 2,75 49,5 9,00 5,46 4,32 3,78 3,46 3,26 3,11 3,01 2,92 2,86 2,81 2,76 2,73 2,70 2,67 2,64 2,62 2,61 2,59 2,57 2,56 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,50 2,50 2,49 2,44 2,39 2,35 53,5 9 9,16 5,39 4,19 3,62 3,29 3,07 2,92 2,81 2,73 2,66 2,61 2,56 2,52 2,49 2,46 2,44 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,33 2,32 2,31 2,30 2,29 2,28 2,28 2,23 2,18 2,13 55,8 3 9,24 5,34 4,11 3,52 3,18 2,96 2,81 2,69 2,61 2,54 2,48 2,43 2,39 2,36 2,33 2,31 2,29 2,27 2,25 2,23 2,22 2,21 2,19 2,18 2,17 2,17 2,16 2,15 2,14 2,09 2,04 1,99 57,2 4 9,29 5,31 4,05 3,45 3,11 2,88 2,73 2,61 2,52 2,45 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,22 2,20 2,18 2,16 2,14 2,13 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,06 2,06 2,05 2,00 1,95 1,90 58,2 9,33 5,28 4,01 3,40 3,05 2,83 2,67 2,55 2,46 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,08 2,06 2,05 2,04 2,02 2,01 2,00 2,00 1,99 1,98 1,93 1,87 1,82 58,9 1 9,35 5,27 3,98 3,37 3,01 2,78 2,62 2,51 2,41 2,34 2,28 2,23 2,19 2,16 2,13 2,10 2,08 2,06 2,04 2,02 2,01 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,93 1,87 1,82 1,77 59,4 4 9,37 5,25 3,95 3,34 2,98 2,75 2,59 2,47 2,38 2,30 2,24 2,20 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00 1,98 1,97 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,83 1,77 1,72 59,8 6 9,38 5,24 3,94 3,32 2,96 2,72 2,56 2,44 2,35 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,03 2,00 1,98 1,96 1,95 1,93 1,92 1,91 1,89 1,88 1,87 1,87 1,86 1,85 1,79 1,74 1,68 60,1 9 9,39 5,23 3,92 3,30 2,94 2,70 2,54 2,42 2,32 2,25 2,19 2,14 2,10 2,06 2,03 2,00 1,98 1,96 1,94 1,92 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,76 1,71 1,65 60,7 1 9,41 5,22 3,90 3,27 2,90 2,67 2,50 2,38 2,28 2,21 2,15 2,10 2,05 2,02 1,99 1,96 1,93 1,91 1,89 1,87 1,86 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,71 1,66 1,60 61,2 2 9,42 5,20 3,87 3,24 2,87 2,63 2,46 2,34 2,24 2,17 2,10 2,05 2,01 1,97 1,94 1,91 1,89 1,86 1,84 1,83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,66 1,60 1,55 62,2 6 9,46 5,17 3,82 3,17 2,80 2,56 2,38 2,25 2,16 2,08 2,01 1,96 1,91 1,87 1,84 1,81 1,78 1,76 1,74 1,72 1,70 1,69 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,54 1,48 1,41 62,2 6 9,46 5,17 3,82 3,17 2,80 2,56 2,38 2,25 2,16 2,08 2,01 1,96 1,91 1,87 1,84 1,81 1,78 1,76 1,74 1,72 1,70 1,69 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,54 1,48 1,41 62,5 3 9,47 5,16 3,80 3,16 2,78 2,54 2,36 2,23 2,13 2,05 1,99 1,93 1,89 1,85 1,81 1,78 1,75 1,73 1,71 1,69 1,67 1,66 1,64 1,63 1,61 1,60 1,59 1,58 1,57 1,51 1,44 1,37 62,7 9 9,47 5,15 3,79 3,14 2,76 2,51 2,34 2,21 2,11 2,03 1,96 1,90 1,86 1,82 1,78 1,75 1,72 1,70 1,68 1,66 1,64 1,62 1,61 1,59 1,58 1,57 1,56 1,55 1,54 1,47 1,40 1,32 63,0 6 9,48 5,14 3,78 3,12 2,74 2,49 2,32 2,18 2,08 2,00 1,93 1,88 1,83 1,79 1,75 1,72 1,69 1,67 1,64 1,62 1,60 1,59 1,57 1,56 1,54 1,53 1,52 1,51 1,50 1,42 1,35 1,26 119 Приложение 8.3 Квантили распределения Фишера (F-распределения) для доверительной вероятности Р=0.95 и параметров распределения  и 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1 1 161, 45 18,5 1 10,1 3 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,28 4,26 4,24 4,23 4,21 4,20 4,18 4,17 4,08 4,00 3,92 2 3 4 5 199, 215, 224, 230, 50 19,1 71 19,2 58 19,3 16 19,0 0 9,28 6 9,12 5 9,01 9,55 6,94 6,59 6,39 6,26 5,79 5,41 5,19 5,05 5,14 4,76 4,53 4,39 4,74 4,35 4,12 3,97 4,46 4,07 3,84 3,69 4,26 3,86 3,63 3,48 4,10 3,71 3,48 3,33 3,98 3,59 3,36 3,20 3,89 3,49 3,26 3,11 3,81 3,41 3,18 3,03 3,74 3,34 3,11 2,96 3,68 3,29 3,06 2,90 3,63 3,24 3,01 2,85 3,59 3,20 2,96 2,81 3,55 3,16 2,93 2,77 3,52 3,13 2,90 2,74 3,49 3,10 2,87 2,71 3,47 3,07 2,84 2,68 3,44 3,05 2,82 2,66 3,42 3,03 2,80 2,64 3,40 3,01 2,78 2,62 3,39 2,99 2,76 2,60 3,37 2,98 2,74 2,59 3,35 2,96 2,73 2,57 3,34 2,95 2,71 2,56 3,33 2,93 2,70 2,55 3,32 2,92 2,69 2,53 3,23 2,84 2,61 2,45 3,15 2,76 2,53 2,37 3,07 2,68 2,45 2,29 6 7 8 9 233, 236, 238, 240, 99 19,3 77 19,3 88 19,3 54 19,3 3 8,89 5 8,85 7 8,81 8 8,94 6,16 6,09 6,04 6,00 4,95 4,88 4,82 4,77 4,28 4,21 4,15 4,10 3,87 3,79 3,73 3,68 3,58 3,50 3,44 3,39 3,37 3,29 3,23 3,18 3,22 3,14 3,07 3,02 3,09 3,01 2,95 2,90 3,00 2,91 2,85 2,80 2,92 2,83 2,77 2,71 2,85 2,76 2,70 2,65 2,79 2,71 2,64 2,59 2,74 2,66 2,59 2,54 2,70 2,61 2,55 2,49 2,66 2,58 2,51 2,46 2,63 2,54 2,48 2,42 2,60 2,51 2,45 2,39 2,57 2,49 2,42 2,37 2,55 2,46 2,40 2,34 2,53 2,44 2,37 2,32 2,51 2,42 2,36 2,30 2,49 2,40 2,34 2,28 2,47 2,39 2,32 2,27 2,46 2,37 2,31 2,25 2,45 2,36 2,29 2,24 2,43 2,35 2,28 2,22 2,42 2,33 2,27 2,21 2,34 2,25 2,18 2,12 2,25 2,17 2,10 2,04 2,18 2,09 2,02 1,96 10 12 15 30 241, 243, 245, 250, 88 19,4 91 19,4 95 19,4 10 19,4 0 8,74 1 8,70 3 8,62 6 8,79 5,96 5,91 5,86 5,75 4,74 4,68 4,62 4,50 4,06 4,00 3,94 3,81 3,64 3,57 3,51 3,38 3,35 3,28 3,22 3,08 3,14 3,07 3,01 2,86 2,98 2,91 2,85 2,70 2,85 2,79 2,72 2,57 2,75 2,69 2,62 2,47 2,67 2,60 2,53 2,38 2,60 2,53 2,46 2,31 2,54 2,48 2,40 2,25 2,49 2,42 2,35 2,19 2,45 2,38 2,31 2,15 2,41 2,34 2,27 2,11 2,38 2,31 2,23 2,07 2,35 2,28 2,20 2,04 2,32 2,25 2,18 2,01 2,30 2,23 2,15 1,98 2,27 2,20 2,13 1,96 2,25 2,18 2,11 1,94 2,24 2,16 2,09 1,92 2,22 2,15 2,07 1,90 2,20 2,13 2,06 1,88 2,19 2,12 2,04 1,87 2,18 2,10 2,03 1,85 2,16 2,09 2,01 1,84 2,08 2,00 1,92 1,74 1,99 1,92 1,84 1,65 1,91 1,83 1,75 1,55 30 40 60 120 250, 251, 252, 253, 10 19,4 14 19,4 20 19,4 25 19,4 6 8,59 7 8,57 8 8,55 9 8,62 5,75 5,72 5,69 5,66 4,50 4,46 4,43 4,40 3,81 3,77 3,74 3,70 3,38 3,34 3,30 3,27 3,08 3,04 3,01 2,97 2,86 2,83 2,79 2,75 2,70 2,66 2,62 2,58 2,57 2,53 2,49 2,45 2,47 2,43 2,38 2,34 2,38 2,34 2,30 2,25 2,31 2,27 2,22 2,18 2,25 2,20 2,16 2,11 2,19 2,15 2,11 2,06 2,15 2,10 2,06 2,01 2,11 2,06 2,02 1,97 2,07 2,03 1,98 1,93 2,04 1,99 1,95 1,90 2,01 1,96 1,92 1,87 1,98 1,94 1,89 1,84 1,96 1,91 1,86 1,81 1,94 1,89 1,84 1,79 1,92 1,87 1,82 1,77 1,90 1,85 1,80 1,75 1,88 1,84 1,79 1,73 1,87 1,82 1,77 1,71 1,85 1,81 1,75 1,70 1,84 1,79 1,74 1,68 1,74 1,69 1,64 1,58 1,65 1,59 1,53 1,47 1,55 1,50 1,43 1,35 120 Приложение 8.4 Квантили распределения Фишера (F-распределения) для доверительной вероятности Р=0.975 и параметров распределения  и 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 30 30 40 647, 79 38,5 1 17,4 4 12,2 2 10,0 1 8,81 799, 50 39,0 16,0 4 10,6 5 8,43 864, 16 39,1 7 15,4 4 9,98 899, 58 39,2 5 15,1 9,60 921, 85 39,3 14,8 8 9,36 937, 11 39,3 3 14,7 3 9,20 948, 22 39,3 6 14,6 2 9,07 956, 66 39,3 7 14,5 4 8,98 963, 28 39,3 9 14,4 7 8,90 968, 63 39,4 14,4 2 8,84 976, 71 39,4 1 14,3 4 8,75 984, 87 39,4 3 14,2 5 8,66 1001 ,41 39,4 6 14,0 8 8,46 1001 ,41 39,4 6 14,0 8 8,46 1005 ,60 39,4 7 14,0 4 8,41 1009 ,80 39,4 8 13,9 9 8,36 1014 ,02 39,4 9 13,9 5 8,31 7,76 6,60 5,89 5,42 5,08 4,83 4,63 4,47 4,35 4,24 4,15 4,08 4,01 3,95 3,90 3,86 3,82 3,78 3,75 3,72 3,69 3,67 3,65 3,63 3,61 3,59 3,46 3,34 3,23 7,39 6,23 5,52 5,05 4,72 4,47 4,28 4,12 4,00 3,89 3,80 3,73 3,66 3,61 3,56 3,51 3,48 3,44 3,41 3,38 3,35 3,33 3,31 3,29 3,27 3,25 3,13 3,01 2,89 7,15 5,99 5,29 4,82 4,48 4,24 4,04 3,89 3,77 3,66 3,58 3,50 3,44 3,38 3,33 3,29 3,25 3,22 3,18 3,15 3,13 3,10 3,08 3,06 3,04 3,03 2,90 2,79 2,67 6,98 5,82 5,12 4,65 4,32 4,07 3,88 3,73 3,60 3,50 3,41 3,34 3,28 3,22 3,17 3,13 3,09 3,05 3,02 2,99 2,97 2,94 2,92 2,90 2,88 2,87 2,74 2,63 2,52 6,85 5,70 4,99 4,53 4,20 3,95 3,76 3,61 3,48 3,38 3,29 3,22 3,16 3,10 3,05 3,01 2,97 2,93 2,90 2,87 2,85 2,82 2,80 2,78 2,76 2,75 2,62 2,51 2,39 6,76 5,60 4,90 4,43 4,10 3,85 3,66 3,51 3,39 3,29 3,20 3,12 3,06 3,01 2,96 2,91 2,87 2,84 2,81 2,78 2,75 2,73 2,71 2,69 2,67 2,65 2,53 2,41 2,30 6,68 5,52 4,82 4,36 4,03 3,78 3,59 3,44 3,31 3,21 3,12 3,05 2,98 2,93 2,88 2,84 2,80 2,76 2,73 2,70 2,68 2,65 2,63 2,61 2,59 2,57 2,45 2,33 2,22 6,62 5,46 4,76 4,30 3,96 3,72 3,53 3,37 3,25 3,15 3,06 2,99 2,92 2,87 2,82 2,77 2,73 2,70 2,67 2,64 2,61 2,59 2,57 2,55 2,53 2,51 2,39 2,27 2,16 6,52 5,37 4,67 4,20 3,87 3,62 3,43 3,28 3,15 3,05 2,96 2,89 2,82 2,77 2,72 2,68 2,64 2,60 2,57 2,54 2,51 2,49 2,47 2,45 2,43 2,41 2,29 2,17 2,05 6,43 5,27 4,57 4,10 3,77 3,52 3,33 3,18 3,05 2,95 2,86 2,79 2,72 2,67 2,62 2,57 2,53 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,36 2,34 2,32 2,31 2,18 2,06 1,94 6,23 5,07 4,36 3,89 3,56 3,31 3,12 2,96 2,84 2,73 2,64 2,57 2,50 2,44 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,21 2,18 2,16 2,13 2,11 2,09 2,07 1,94 1,82 1,69 6,23 5,07 4,36 3,89 3,56 3,31 3,12 2,96 2,84 2,73 2,64 2,57 2,50 2,44 2,39 2,35 2,31 2,27 2,24 2,21 2,18 2,16 2,13 2,11 2,09 2,07 1,94 1,82 1,69 6,18 5,01 4,31 3,84 3,51 3,26 3,06 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,44 2,38 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 2,05 2,03 2,01 1,88 1,74 1,61 6,12 4,96 4,25 3,78 3,45 3,20 3,00 2,85 2,72 2,61 2,52 2,45 2,38 2,32 2,27 2,22 2,18 2,14 2,11 2,08 2,05 2,03 2,00 1,98 1,96 1,94 1,80 1,67 1,53 6,07 4,90 4,20 3,73 3,39 3,14 2,94 2,79 2,66 2,55 2,46 2,38 2,32 2,26 2,20 2,16 2,11 2,08 2,04 2,01 1,98 1,95 1,93 1,91 1,89 1,87 1,72 1,58 1,43 8,07 7,57 7,21 6,94 6,72 6,55 6,41 6,30 6,20 6,12 6,04 5,98 5,92 5,87 5,83 5,79 5,75 5,72 5,69 5,66 5,63 5,61 5,59 5,57 5,42 5,29 5,15 7,26 6,54 6,06 5,71 5,46 5,26 5,10 4,97 4,86 4,77 4,69 4,62 4,56 4,51 4,46 4,42 4,38 4,35 4,32 4,29 4,27 4,24 4,22 4,20 4,18 4,05 3,93 3,80 60 120 Приложение 8.5 121 Квантили распределения Фишера (F-распределения) для доверительной вероятности Р=0.99 и параметров распределения  и 2 2 1 1 1 4052 ,18 2 98,5 3 34,1 2 4 21,2 5 16,2 6 6 13,7 5 7 12,2 5 8 11,2 6 9 10,5 6 10 10,0 4 11 9,65 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,29 8,18 8,10 8,02 7,95 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 7,64 7,60 7,56 7,31 7,08 6,85 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 30 30 40 4999 ,50 99,0 30,8 2 18,0 13,2 7 10,9 2 9,55 5403 ,35 99,1 7 29,4 6 16,6 9 12,0 6 9,78 5624 ,58 99,2 5 28,7 1 15,9 8 11,3 9 9,15 5763 ,65 99,3 28,2 4 15,5 2 10,9 7 8,75 5858 ,99 99,3 3 27,9 1 15,2 1 10,6 7 8,47 5928 ,36 99,3 6 27,6 7 14,9 8 10,4 6 8,26 5981 ,07 99,3 7 27,4 9 14,8 10,2 9 8,10 6022 ,47 99,3 9 27,3 5 14,6 6 10,1 6 7,98 6055 ,85 99,4 27,2 3 14,5 5 10,0 5 7,87 6106 ,32 99,4 2 27,0 5 14,3 7 9,89 6157 ,28 99,4 3 26,8 7 14,2 9,72 6260 ,65 99,4 7 26,5 13,8 4 9,38 6260 ,65 99,4 7 26,5 13,8 4 9,38 6286 ,78 99,4 7 26,4 1 13,7 5 9,29 6313 ,03 99,4 8 26,3 2 13,6 5 9,20 6339 ,39 99,4 9 26,2 2 13,5 6 9,11 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,18 5,09 5,01 4,94 4,87 4,82 4,76 4,72 4,68 4,64 4,60 4,57 4,54 4,51 4,31 4,13 3,95 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,21 5,04 4,89 4,77 4,67 4,58 4,50 4,43 4,37 4,31 4,26 4,22 4,18 4,14 4,11 4,07 4,04 4,02 3,83 3,65 3,48 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 4,25 4,17 4,10 4,04 3,99 3,94 3,90 3,85 3,82 3,78 3,75 3,73 3,70 3,51 3,34 3,17 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 4,01 3,94 3,87 3,81 3,76 3,71 3,67 3,63 3,59 3,56 3,53 3,50 3,47 3,29 3,12 2,96 6,99 6,18 5,61 5,20 4,89 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 2,95 2,79 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,56 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 3,23 3,20 3,17 2,99 2,82 2,66 6,72 5,91 5,35 4,94 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,46 3,40 3,35 3,30 3,26 3,22 3,18 3,15 3,12 3,09 3,07 2,89 2,72 2,56 6,62 5,81 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,21 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,63 2,47 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,46 3,37 3,30 3,23 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,66 2,50 2,34 7,56 6,31 5,52 4,96 4,56 4,25 4,01 3,82 3,66 3,52 3,41 3,31 3,23 3,15 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,81 2,78 2,75 2,73 2,70 2,52 2,35 2,19 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,03 1,86 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,03 1,86 7,14 5,91 5,12 4,57 4,17 3,86 3,62 3,43 3,27 3,13 3,02 2,92 2,84 2,76 2,69 2,64 2,58 2,54 2,49 2,45 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,11 1,94 1,76 7,06 5,82 5,03 4,48 4,08 3,78 3,54 3,34 3,18 3,05 2,93 2,83 2,75 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,40 2,36 2,33 2,29 2,26 2,23 2,21 2,02 1,84 1,66 6,97 5,74 4,95 4,40 4,00 3,69 3,45 3,25 3,09 2,96 2,84 2,75 2,66 2,58 2,52 2,46 2,40 2,35 2,31 2,27 2,23 2,20 2,17 2,14 2,11 1,92 1,73 1,53 8,65 8,02 7,56 7,21 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 6,01 5,93 5,85 5,78 5,72 5,66 5,61 5,57 5,53 5,49 5,45 5,42 5,39 5,18 4,98 4,79 60 120 Приложение 8.6 122 Квантили распределения Фишера (F-распределения) для доверительной вероятности Р=0.995 и параметров распределения  и 2 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 30 30 40 60 120 198, 50 55,5 5 31,3 3 22,7 8 18,6 3 16,2 4 14,6 9 13,6 1 12,8 3 12,2 3 11,7 5 11,3 7 11,0 6 10,8 10,5 8 10,3 8 10,2 2 10,0 7 9,94 199, 00 49,8 26,2 8 18,3 1 14,5 4 12,4 11,0 4 10,1 1 9,43 199, 17 47,4 7 24,2 6 16,5 3 12,9 2 10,8 8 9,60 199, 25 46,1 9 23,1 5 15,5 6 12,0 3 10,0 5 8,81 199, 30 45,3 9 22,4 6 14,9 4 11,4 6 9,52 199, 33 44,8 4 21,9 7 14,5 1 11,0 7 9,16 199, 36 44,4 3 21,6 2 14,2 10,7 9 8,89 199, 37 44,1 3 21,3 5 13,9 6 10,5 7 8,68 199, 39 43,8 8 21,1 4 13,7 7 10,3 9 8,51 199, 40 43,6 9 20,9 7 13,6 2 10,2 5 8,38 199, 42 43,3 9 20,7 13,3 8 10,0 3 8,18 199, 43 43,0 8 20,4 4 13,1 5 9,81 199, 47 42,4 7 19,8 9 12,6 6 9,36 199, 47 42,4 7 19,8 9 12,6 6 9,36 199, 47 42,3 1 19,7 5 12,5 3 9,24 199, 48 42,1 5 19,6 1 12,4 9,12 199, 49 41,9 9 19,4 7 12,2 7 9,00 8,72 8,08 7,60 7,23 6,93 6,68 6,48 6,30 6,16 6,03 5,92 5,82 5,73 5,65 5,58 5,52 5,46 5,41 5,36 5,32 5,28 5,24 4,98 4,73 4,50 7,96 7,34 6,88 6,52 6,23 6,00 5,80 5,64 5,50 5,37 5,27 5,17 5,09 5,02 4,95 4,89 4,84 4,79 4,74 4,70 4,66 4,62 4,37 4,14 3,92 8,30 7,47 6,87 6,42 6,07 5,79 5,56 5,37 5,21 5,07 4,96 4,85 4,76 4,68 4,61 4,54 4,49 4,43 4,38 4,34 4,30 4,26 4,23 3,99 3,76 3,55 7,95 7,13 6,54 6,10 5,76 5,48 5,26 5,07 4,91 4,78 4,66 4,56 4,47 4,39 4,32 4,26 4,20 4,15 4,10 4,06 4,02 3,98 3,95 3,71 3,49 3,28 7,69 6,88 6,30 5,86 5,52 5,25 5,03 4,85 4,69 4,56 4,44 4,34 4,26 4,18 4,11 4,05 3,99 3,94 3,89 3,85 3,81 3,77 3,74 3,51 3,29 3,09 7,50 6,69 6,12 5,68 5,35 5,08 4,86 4,67 4,52 4,39 4,28 4,18 4,09 4,01 3,94 3,88 3,83 3,78 3,73 3,69 3,65 3,61 3,58 3,35 3,13 2,93 7,34 6,54 5,97 5,54 5,20 4,94 4,72 4,54 4,38 4,25 4,14 4,04 3,96 3,88 3,81 3,75 3,69 3,64 3,60 3,56 3,52 3,48 3,45 3,22 3,01 2,81 7,21 6,42 5,85 5,42 5,09 4,82 4,60 4,42 4,27 4,14 4,03 3,93 3,85 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,49 3,45 3,41 3,38 3,34 3,12 2,90 2,71 7,01 6,23 5,66 5,24 4,91 4,64 4,43 4,25 4,10 3,97 3,86 3,76 3,68 3,60 3,54 3,47 3,42 3,37 3,33 3,28 3,25 3,21 3,18 2,95 2,74 2,54 7,97 6,81 6,03 5,47 5,05 4,72 4,46 4,25 4,07 3,92 3,79 3,68 3,59 3,50 3,43 3,36 3,30 3,25 3,20 3,15 3,11 3,07 3,04 3,01 2,78 2,57 2,37 7,53 6,40 5,62 5,07 4,65 4,33 4,07 3,86 3,69 3,54 3,41 3,30 3,21 3,12 3,05 2,98 2,92 2,87 2,82 2,77 2,73 2,69 2,66 2,63 2,40 2,19 1,98 7,53 6,40 5,62 5,07 4,65 4,33 4,07 3,86 3,69 3,54 3,41 3,30 3,21 3,12 3,05 2,98 2,92 2,87 2,82 2,77 2,73 2,69 2,66 2,63 2,40 2,19 1,98 7,42 6,29 5,52 4,97 4,55 4,23 3,97 3,76 3,58 3,44 3,31 3,20 3,11 3,02 2,95 2,88 2,82 2,77 2,72 2,67 2,63 2,59 2,56 2,52 2,30 2,08 1,87 7,31 6,18 5,41 4,86 4,45 4,12 3,87 3,66 3,48 3,33 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,77 2,71 2,66 2,61 2,56 2,52 2,48 2,45 2,42 2,18 1,96 1,75 7,19 6,06 5,30 4,75 4,34 4,01 3,76 3,55 3,37 3,22 3,10 2,99 2,89 2,81 2,73 2,66 2,60 2,55 2,50 2,45 2,41 2,37 2,33 2,30 2,06 1,83 1,61 9,83 9,73 9,63 9,55 9,48 9,41 9,34 9,28 9,23 9,18 8,83 8,49 8,18 8,91 8,51 8,19 7,92 7,70 7,51 7,35 7,21 7,09 6,99 6,89 6,81 6,73 6,66 6,60 6,54 6,49 6,44 6,40 6,35 6,07 5,79 5,54 Приложение 9 123 Критические значения критериев t и u для проверки гипотез о принадлежности выборочных значения генеральной совокупности N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 100 250 500  1.50 1.70 1.84 1.94 2.02 2.09 2.15 2.20 2.24 2.28 2.32 2.35 2.38 2.41 2.43 2.46 2.48 2.50 2.52 2.54 2.56 2.57 2.59 2.70 2.79 2.86 3.08 3.34 3.53 t  1.74 1.94 2.08 2.18 2.27 2.33 2.39 2.44 2.48 2.52 2.56 2.59 2.62 2.64 2.67 2.69 2.71 2.73 2.75 2.77 2.78 2.80 2.82 2.93 3.02 3.08 3.29 3.53 3.70  2.22 2.43 2.57 2.68 2.76 2.83 2.88 2.93 2.97 3.01 3.04 3.07 3.10 3.12 3.15 3.17 3.19 3.21 3.22 3.24 3.26 3.27 3.28 3.40 2.48 3.54 3.72 3.95 4.11  1.15 1.42 1.60 1.73 1.83 1.91 1.98 2.03 2.09 2.13 2.17 2.21 2.25 2.28 2.31 2.34 2.36 2.38 2.41 2.43 2.45 2.47 2.49 u  1.15 1.46 1.67 1.82 1.94 2.03 2.11 2.18 2.23 2.29 2.33 2.37 2.41 2.44 2.48 2.50 2.53 2.53 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66  1.15 1.49 1.75 1.94 2.10 2.22 2.32 2.41 2.48 2.55 2.61 2.66 2.70 2.75 2.78 2.82 2.85 2.88 2.91 2.94 2.96 2.99 3.01 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. ГОСТ 15895-77. Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1989. 2. ГОСТ 24026-80. Исследовательские испытания. Планирование эксперимента. Термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1980. 3. ГОСТ Р 50779.10-2000. Статистические методы. Вероятность и основы статистики. Термины и определения. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2001. 4. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. – 2-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 816 с. 5. ГОСТ Р 50779.11-2000. Статистические методы. Статистическое управление качеством. Термины и определения. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2001. 6. ГОСТ Р 50779.21-2004. Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2004. 7. Вульфович Б.А. Оценивание параметров малой выборки. – Деп. во ВНЕИЭРХ 20.10.91, № 1180-рх9. 8. Большев Л.Р., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1965. 9. ГОСТ 15895-77. Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения. - М.: Изд-во стандартов, 1989. 10. Степнов М Н. Статистические методы обработки результатов механических испытаний: справочник / М. Н. Степнов, А. В. Шаврин. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Машиностроение, 2005. - 400 с. 11. Ивченко Г. И. Задачи с решениями по математической статистике: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по специальности 073000 "Прикладная математика" / Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев, А. В. Чистяков. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва: Дрофа, 2007. - 318, с. 12. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям "Математика" и "Математи- 125 ка. Прикладная математика" / М. Б. Лагутин. - Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. - 472 с. 13. Грахов В. Б. Математическая статистика в примерах и задачах: учеб. пособие / В. Б. Грахов ; науч. ред. В. В. Чупин ; Урал. гос. техн. ун-т им. первого Президента России Б. Н. Ельцина. - Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2009. - 126 с. 14. Рогов В. А. Методика и практика технических экспериментов: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подгот. бакалавров и магистров "Технология, оборудование и автоматизация машиностроит. пр-в" и по направлению подгот. дипломир. специалистов "Конструктор.-технол. обеспечение машиностроит. пр-в" / В. А. Рогов, Г. Г. Позняк. - М.: Академия, 2005. - 288 с. 15. Яковлев В. П. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / В. П. Яковлев. - Москва: Дашков и К°, 2008. - 181 с. 16. Соколов Г. А. Математическая статистика: учебник для студентов, обучающихся по направлению экономики и экон. специальностям / Г. А. Соколов, И. М. Гладких ; Рос. экон. акад. им. Г. В. Плеханова. - Изд. 2-е, испр. - Москва: Экзамен, 2007. - 431 с. 17. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для студентов вузов, обучающихся по экон. специальностям / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва: ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 18. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика: Учеб. для техникумов. - М.: Высш. шк., 1998. 19. Красовский Г.И., Филаретов Г.Физическ Планирование эксперимента. - М.: Изд-во БГУ, 1982. 20. Протодьяконов М.М. Тедер Р.И. Методика рационального планирования эксперимента. - М.: Наука, 1970. 21. Новик Ф.С., Арсов Я.П. Оптимизация процессов технологии металлов методами планирования эксперимента. - М.: Машиностроение, София: Техника, 1980. 126 22. Бордюк В.П Статистические методы в инженерных исследованиях (лабораторный практикум) : Учетное пособие / Бордюк В.П., Вощинин А.П., Иванов А.З. и др. Под ред. Г.К. Круга. – М. Высш. школа, 1983. 23. Адлер Ю.П. Марков Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. – М.: Наука, 1976. 24. Налимов В.В. Теория эксперимента. - М.: Наука, 1971. 25. Иванова В.М. Математическая статистика: Учебник / Иванова В.М., Калинина В.Н., Нешумова Л.А. и др. - М.: Высш. школа, 1981. 26. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. – М.: Высш. школа, 1982. 27. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984. 28. Закс Л. Статистическое оценивание. Пер. с нем. В.Н. Выригана. Под ред. Ю.П. Адлера, В.Г. Грановского. – М.: Статистика, 1976. 29. Коуден Д. Статистические метода контроля качества. Пер. с англ. О.В. Бруханской, Ф.С. Соловейчика, К.Н.Трофимова, Под. ред. Б.Р. Левина – М.: Физматгиз, 1961. 30. Голикова Т.И., Панченко Л.А. Фридман М.З. Каталог планов второго порядка. М.: Из-во МГУ, 1974, т.1 388 с.; т.2 384 с. 31. Хайкин Б.Е. Аппроксимация эмпирических зависимостей в условиях ОМД. - Свердловск: УПИ, 1984. 32. Хайкин Б.Е. Построение и анализ статистических распределений технологических параметров. - Свердловск: УПИ, 1984. 33. Паршаков С.И. Организация эксперимента. Методические указания. Свердловск: УПИ, 1987. 34. Бондин А.Р., Паршаков С.И. Множественный регрессионный анализ результатов пассивного эксперимента с использованием ЭВМ (программа REGRE). Методические указания. - Свердловск: УПИ, 1990. 127 35. Хайкин Б.Е. Построение аппроксимационных математических моделей в условиях обработки металлов давлением: Учебное пособие. - Свердловск: УПИ, 1991. 101 с. 36. Михайленко А.М. Обработка опытных данных. Статистические гипотезы и выводы / А.М. Михайленко, А.Р.Бондин. – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУУПИ, 2003. 90 с. 37. Михайленко А.М. Обработка одномерных опытных данных: методические указания к выполнению домашнего задания по курсам «Экспериментальная механика» и «Организация эксперимента» / А.М. Михайленко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2007. 64 с. 38. Смирнов В.К. Уширение металла при прокатке: методическое руководство к лабораторным работам и практическим занятиям по курсам «Теория обработки металлов давлением» и «Экспериментальная механика» / В.К. Смирнов, В.И. Степаненко, А.М. Михайленко. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУУПИ, 2007. 21 с.