Экономико-математические модели.Моделирование производственной сферы

М.В.Облаухова Экономико-математические модели конспект лекций (модуль 3) Тема 3. Моделирование производственной сферы 3 3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия 3 3.2. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами. 6 3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат 13 Вопросы для повторения 15 Литература 16 Тема 3. Моделирование производственной сферы 3.1. Моделирование производственной сферы: основные понятия Производственные возможности национальной экономики в любой момент времени определяются двумя группами факторов: а) технологическими условиями производства, которые выражаются зависимостями между затратами различных ресурсов (воспроизводимых и невоспроизводимых) и выпуском продукции; б) объемами и качеством наличных ресурсов. Рассмотрим более подробно элементы, свойства и математическое описание ресурсно-технологических возможностей национальной экономики. Пусть: X = (xi) обозначает вектор затрат ресурсов, i  М, М = {1, ..., m}; Y = (уj) — вектор объемов производства, j  N, N = {1, ..., n}. Воспроизводимые средства производства одновременно являются и продуктами, и ресурсами. Поэтому все виды ресурсов можно разбить на два подмножества: M1 — воспроизводимые ресурсы (они же продукты), i1  М1, M1 N; M2 — невоспроизводимые ресурсы, i2  М2. При этом объемы невоспроизводимых ресурсов в каждый данный момент ограничены: Х2 ≤ R . Среди различных пар векторов (X, У) рассматриваются технологически допустимые пары, которые называются технологиями (или технологическими процессами). Технологическая допустимость означает возможность получить из затрачиваемых (используемых) ингредиентов вектора X вектор продукции Y. Совокупность всевозможных допустимых технологий (X,Y) образует технологическое множество национальной экономики Z. Нас интересуют наиболее экономные преобразования ресурсов в продукты. Пусть (X1, Y1), (X2, Y2) — две допустимые технологии и (X1, Y1)  (X2, Y2). Технология (X1, Y1) называется более эффективной, чем (X2, Y2), если выполняется соотношение: X1, ≤ Х2, Y1 ≥ Y2, т.е. по первой технологии затраты не больше, а выпуски не меньше, причем хотя бы по одному ингредиенту затрат или выпуска имеет место строгое неравенство. Технология (X*, Y*) называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует другой допустимой технологии, более эффективной, чем (X*, Y*). Множество всех эффективных технологий обозначим Z*. Множество производственных возможностей национальной экономики может быть представлено в виде: (3.1) При ограниченных невоспроизводимых ресурсах за определенный промежуток времени может быть произведено ограниченное количество продукции. Очевидно, что выбор эффективных вариантов производства продукции и использования ресурсов будет осуществляться на множестве Z*. Технологическое множество Z и его подмножество эффективных технологий Z* можно описать в виде многозначного отображения F(X) – общей производственной функции национальной экономики, характеризующей максимально возможные объемы производства продуктов при определенных затратах ресурсов. F (X, Y, A) = 0 Эти объемы производства являются максимальными в том смысле, что при заданных затратах ресурсов нельзя увеличить производство ни одного продукта, не уменьшив при этом производство хотя бы одного другого продукта. Таким образом, общая производственная функция – это своеобразная математическая модель сферы производства, обладающая внутренними экстремальными свойствами. По данным о «входе» X она позволяет определить эффективный «выход» Y. Национальная экономика представляется здесь как «единая фабрика», у проходной которой регистрируется все, что на нее поступает (X), и все, что из нее выпускается (Y). В общем смысле, общая производственная функция является функциональной моделью объекта с непосредственно не наблюдаемыми оптимизационными способностями. Это - своего рода «оптимизирующий черный ящик». Построение и анализ общей производственной функции национальной экономики представляют исключительно трудную задачу. Поэтому в прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции. Производственная функция yj = fj(Xj), Xj = (x1j, ..., xmj) (3.2) характеризует максимально возможный объем выпуска продукта j в зависимости от использования разнообразных ресурсов. Каждой точке X0j соответствует единственный максимальный выпуск y0j. Очевидно, что функция (3.2) описывает однопродуктовые технологии, но не применима для характеристики комплексных технологических процессов, выпускающих одновременно несколько видов продукции. Различаются два основных типа производственных функций: производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами и производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами. Наряду с производственными функциями в исследованиях производственных возможностей национальной экономики широко применяются функции производственных затрат. Функция xi = φi (Y) (3.3) называется функцией производственных затрат ресурса i от объемов выпуска разнообразных продуктов. В экономическом анализе часто применяются функции затрат на производство одного продукта: xij= φij (yj) (3.4) В некоторых случаях функции производственных затрат могут интерпретироваться как функции, обратные производственным функциям с взаимодополняемыми ресурсами. Производственные функции и функции производственных затрат применяются в анализе производственных процессов на различных уровнях национальной экономики. Хотя при этом могут использоваться однотипные математические описания, содержательный смысл и способы построения производственных функций (функций производственных затрат) в этих случаях существенно различаются. На микроэкономическом уровне рассматриваемые математические модели являются описаниями конкретных (элементарных) технологий и выводятся из соответствующих технологических (инженерных) данных. Производственные функции (функции производственных затрат) сложных объектов (предприятий, отраслей, регионов, народного хозяйства в целом) являются математическими моделями, характеризующими абстрактные технологии, т.е. обобщенные зависимости между затратами ресурсов и выпусками продукции. Прямой переход от моделей конкретных технологий к модели абстрактной технологии трудно осуществим из-за различий «языков» моделирования простых и сложных производственных объектов. В тех сравнительно редких случаях, когда объекты микро- и макроуровней описываются сходными математическими моделями, производственные функции (функции производственных затрат) сложных объектов могут строиться путем агрегирования соответствующих функций более простых объектов. Так, например, если объекты разного уровня описываются линейными балансовыми моделями с производственными функциями в виде производственных способов, то параметры производственных способов объектов более высокого уровня рассчитываются путем агрегирования производственных способов объектов нижнего уровня. Как правило, построение обобщенной производственной функции (функции производственных затрат) представляет собой довольно сложную задачу моделирования абстрактной технологии. Здесь используются два основных подхода: оптимизационный и статистический. Эти подходы соответствуют двум основным типам моделей экономических объектов — структурным и функциональным. Суть оптимизационного подхода состоит в том, что производственная функция (или функция производственных затрат) получается путем обобщения решений оптимизационной модели, в которой максимизируется объем производства конечного продукта при меняющихся условиях. Свойства построенной таким способом производственной функции определяются исходной оптимизационной моделью. Статистический подход к построению обобщенных функций основан на обработке наблюдений о различных соотношениях затрат ресурсов и выпусков продукции. В математическом отношении он опирается на теорию корреляционного и регрессионного анализа. Процесс построения функции включает отбор существенных факторов, выбор вида функции (математической модели), статистическую оценку ее параметров, проверку статистической надежности. Найденная зависимость между затратами («входами») и выпусками («выходами») является функциональной моделью («черным ящиком») соответствующего производственного объекта. При моделировании на макроуровне производственные функции и функции затрат применяются двояким образом: как самостоятельные математические модели производственных объектов, и как элементы более сложных моделей национальной экономики. 3.2. Производственные функции с взаимозаменяемыми ресурсами. Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции уj= fj(Xj) означает, что один и тот же объем выпуска продукции может быть получен при разных комбинациях ресурсов, отличающихся тем, что затраты одних ресурсов больше, а других — меньше. Ниже мы будем опускать индекс j, если речь идет о функциях производства одного продукта. Сформулируем некоторые свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами: а) если X = 0, то у = 0; б) если ХА ≥ ХB, то f(XA) ≥ f(XB), причем если ХА > ХB, то f(XA) > f (ХB), из этого, в частности, следует, что в) у >0 при X>0. Если у = 0 при положительных затратах некоторых ресурсов, но при xs = 0, то это означает, что ресурс s абсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.) Производственные функции могут задаваться не только в аналитической форме, но и в виде таблиц. Множество точек, удовлетворяющих уравнению постоянного выпуска f(X) = q, называется изоквантой. На рис. 3.1 изображено семейство изоквант — кривых в пространстве двух ресурсов; эти изокванты соответствуют объемам выпуска продукции q1, q2, q3. В общем случае изокванты — это поверхности в пространстве ресурсов. Поскольку X > 0, то все изокванты находятся в неотрицательном ортанте. Рисунок 3.1. Изокванты производственной функции и изоклинали Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант: • они никогда не пересекаются друг с другом; • большему выпуску продукции соответствует более удаленная от начала координат изокванта; • если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не имеют общих точек с осями координат. Далее будут обсуждаться свойства изоквант, соответствующих определенным классам производственных функций. Для характеристики эффективности производственных ресурсов применяются два основных показателя: средняя эффективность ресурса (3.5) предельная эффективность ресурса (3.6) Величина vi(X) показывает предельный прирост выпуска продукта при увеличении затрат ресурса i на "малую единицу". Из свойств производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами следует, что vi ≥ 0. Как правило же, vi > 0. При этом особенно важен характер изменения эффективности дополнительных количеств используемого ресурса. Если < 0, это означает, что предельная эффективность ресурса падает. Такая ситуация вполне объяснима. Например, если в производстве какого-либо продукта увеличивать затраты труда, сохраняя неизменными объемы других ресурсов, то предельная производительность труда будет снижаться из-за уменьшения вооруженности единицы труда средствами производства. Важно понимать, что уменьшение предельной эффективности ресурсов типично только в условиях экономической статики, т.е. при неизменном научно-техническом уровне и неизменном качестве используемых ресурсов. Условие в экономической литературе часто называют законом убывающей предельной эффективности ресурсов. Иначе изменяется средняя и предельная эффективность определенного (i-го) ресурса при увеличении затрат других ресурсов. Как правило, выполняются соотношения: (3.7) (3.8) Это объясняется тем, что увеличение затрат труда k улучшает условия применения ресурса i. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от условий приложения труда. В частности, производительность труда увеличивается при росте фондовооруженности. Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат нескольких ресурсов выражается полным дифференциалом . Условия эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точке Х° = (x0i) выводятся из формулы (3.9) В частности, предельная норма эквивалентной заменяемости каких-либо двух ресурсов h и l определяется формулой: (3.10) Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль изокванты. Поэтому изокванту называют также кривой замещения. Если затраты ресурса k увеличиваются, то для сохранения объема производства на прежнем уровне затраты ресурса l, как правило, можно уменьшить. Отсюда следует такое свойство изоквант: это убывающие функции по отношению к каждой оси (т.е. они имеют отрицательный наклон). В пространстве двух ресурсов норма эквивалентной заменяемости — это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рис. 3.1 нормы эквивалентной заменяемости второго ресурса по отношению к первому в точках A1, В1 C1 равны тангенсам углов γА, γB, γС Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены одинаковы, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рис. 3.1 изоклиналь I соединяет точки В1, В2, В3, а изоклиналь II — точки С1 С2, С3. Анализ закономерностей изменения предельных норм эквивалентной замены позволяет еще более конкретизировать форму изоквант. При увеличении использования ресурса l его предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают все меньшее количество ресурса k. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости двух ресурсов постоянно уменьшается. Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты являются графиками вогнутых функций (одной переменной относительно другой). Если эта особенность предельных норм эквивалентной заменяемости распространяется на множество всех т ресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами: множества {X: f(X)≥ Q} выпуклы и изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат или параллельные им. Для характеристики влияния каждого ресурса на рост производства, помимо показателей средней и предельной эффективности, используется также понятие эластичности выпуска от затрат различных ресурсов. Коэффициент эластичности δi показывает предельное отношение относительного прироста производства к относительному приросту затрат i-го ресурса: (3.11) В общем случае коэффициент эластичности — это непрерывная функция от X0. В экономических расчетах часто используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X0, а для некоторых интервалов изменения компонент вектора X0. Такие коэффициенты соответствуют формуле: (3.12) В теории производственных функций применяется также понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности замены ресурсов характеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсов k и l к относительному изменению предельной нормы эквивалентной заменяемости этих ресурсов. Или, иными словами, показывает процентное изменение соотношения затрат ресурсов при изменении предельной нормы их замещения на 1%: (3.13) Чем выше эластичность замены ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности (σkl = + ∞) не существует никаких границ для взаимозаменяемости ресурсов. Наоборот, при нулевой эластичности (σkl = 0) возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы взаимодополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определенном комплекте. Рисунок 3.2. Эластичность взаимозаменяемости ресурсов На рис. 3.2 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности замены двух ресурсов в интервале 0 ≤ σ ≤ ∞. Прямоугольная ломаная ABC является изоквантой при (σ = 0). Сокращение одного ресурса нельзя компенсировать сколько угодно большим увеличением другого ресурса. Три изокванты имеют положительные эластичности σ1, σ2, σ3. При этом более выпуклые к началу координат изокванты соответствуют меньшим коэффициентам эластичности: σ1 < σ2 < σ3 (7з- Наконец, прямая АС представляет собой изокванту с бесконечной эластичностью замены ресурсов. Она имеет формулу a1х1 + a2х2=q, где а1 и а2— положительные числа. Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте не меняется: Рассмотренные эластичности выпуска по ресурсам и эластичности взаимозамены ресурсов наряду с показателями общей эффективности ресурсов ("отдачи на масштаб") являются основными характеристиками абстрактной технологии. При построении производственных функций важным этапом является выбор математической зависимости от количества параметров, включаемых в аппроксимирующую функцию. На первый взгляд при заданном составе ресурсов производственная функция тем "лучше", чем больше она включает параметров. Однако на самом деле это не так. С увеличением числа оцениваемых параметров сильно возрастает число необходимых наблюдений, обеспечивающих точность и надежность статистических оценок (число наблюдений должно быть как минимум в 5—6 раз больше числа параметров). Усложняется и экономическая интерпретация свойств функции. Здесь мы сталкиваемся с типичным противоречием метода моделирования, когда стремление к возможно более полному и точному воспроизведению объекта-оригинала препятствует использованию главных преимуществ этого метода познания. Поэтому в теоретических и прикладных исследованиях (особенно на макроуровне) отдают, как правило, предпочтение производственным функциям с небольшим числом параметров, удобным для вычислений и интерпретации. I. Однородные производственные функции. Функция у = f(X) называется однородной n-й степени, если выполняется следующее соотношение: (3.14) Это означает, что при увеличении затрат всех ресурсов в λ раз объем производства возрастает в λn раз. Показатель степени однородности n характеризует изменение эффективности производства с увеличением производственных затрат ("отдача на масштаб"). Теоретически возможны три случая: 1) эффективность остается постоянной (n = 1); 2) эффективность снижается (n < 1); 3) эффективность возрастает (n > 1). В условиях неизменного научно-технического уровня указанные ситуации имеют место в различных отраслях народного хозяйства. Степень однородности n равна сумме коэффициентов эластичности выпуска по затрачиваемым ресурсам. Следовательно, для однородной производственной функции первой степени сумма коэффициентов эластичности равна единице. Из этого в свою очередь следует, что если все коэффициенты эластичности неотрицательны (δi ≥ 0), то ни один из них не может быть больше единицы (δi ≤ 1). II. Степенная (мультипликативная) производственная функция. Широкое распространение в экономических исследованиях имеет функция вида (3.15) Она обладает рядом достоинств: включает небольшое число имеющих явный экономический смысл параметров, имеет производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивает эмпирические данные, весьма удобна для оценки параметров (в частности, благодаря тому, что является линейной относительно логарифмов: ). Эта функция включает только безусловно необходимые ресурсы: если какой-либо xs = 0, то у = 0. Параметр а интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов (он приводит также в соответствие размерности затрачиваемых ресурсов и производимой продукции). В макроэкономических исследованиях чаще всего применяется функция (3.15), характеризующая зависимость производства национального дохода (конечного общественного продукта) от объемов использования двух основных производственных факторов — рабочей силы (L) и производственных фондов (К): (3.16) Функцию (3.16) впервые построили и применили в экономическом анализе американские исследователи К. Кобб и П. Дуглас. Впоследствии она стала называться функцией Кобба — Дугласа. Характеристики использования ресурсов, выводимые из функции Кобба—Дугласа, имеют сравнительно простую аналитическую форму: • средние эффективности ресурсов: , ; • предельные эффективности ресурсов: , . Коэффициенты эластичности характеризуют влияние увеличения затрат (использования) труда и производственных фондов на рост производства. Принято называть производственный процесс т р у д оинтенсивным, если aL > ак, и фондоинтенсивным, если aK>aL. Частным случаем (3.16) является функция первой степени, для которой aL + ак = 1. Ее можно записать в виде (3.17) Функцию Кобба — Дугласа удобно использовать для анализа зависимости производительности труда (y/L) от его фондовооруженности (K/L). При условии aL + ак = 1 из (3.17) следует (3.18) III. Функция с постоянной эластичностью замены ресурсов. Рассматриваемая производственная функция (функция ПЭЗ) имеет общий вид (3.19) Она является однородной функцией степени n и получается решением дифференциального уравнения при σ = const, где σ определяется формулой (3.15). В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов σkl равны между собой: σkl = σ, при этом или . Если ρ > 0, то 0 < σ < 1; если же -1 < ρ < 0, то σ > 1. Функция ПЭЗ в общем случае имеет неединичную эластичность замены. При σ = 1 (или ρ → 0) функция ПЭЗ преобразуется в степенную производственную функцию. Это означает, что рассматривавшиеся выше степенные производственные функции (в том числе макроэкономическая функция Кобба—Дугласа) являются предельным случаем функции ПЭЗ. При ρ → —1 (σ → +∞) эластичность замещения стремится к бесконечной и форма изоквант приближается к линейной. При ρ → +∞ (σ →0) эластичность замещения стремится к нулевой и форма изоквант приближается к прямоугольной. В макроэкономическом анализе чаще всего применяется двухфакторная функция ПЭЗ (ее называют также функцией Солoу): (3.20) 3.3. Производственные функции с взаимодополняемыми ресурсами и функции производственных затрат Наблюдаемые изменения в структуре используемых ресурсов часто объясняются не столько замещением ресурсов в рамках одной и той же технологии производства, сколько изменением самих технологий или сочетанием различных жестких технологий. В предельном случае (при нулевой эластичности замены ресурсов) мы получаем производственную функцию с взаимодополняемыми ресурсами. Производственная функция с взаимодополняемыми ресурсами может быть выражена следующим образом: (3.21) где fs(xs) - объем производства, который может быть получен при использовании s-ro ресурса в количестве xs при условии, что другие ресурсы имеются в достаточном количестве. Максимальный объем производства определяется узким местом, т.е. количеством такого ресурса, который обеспечивает наименьший объем производства. Изокванты функции (3.21) в пространстве двух ресурсов представляют собой прямые углы (рис. 3.3). Их расположение определяется тем, при каких минимальных затратах ресурсов достигаются определенные объемы производства. Кривые ОА1А2А3 характеризуют минимальные затраты ресурсов, обеспечивающие различные объемы производства. Все точки изоквант, не лежащие на этих кривых, являются неэффективными комбинациями затрачиваемых ресурсов при любых разумных критериях эффективности. a) б) Рис. 3.3. Изокванты взаимодополняемых ресурсов: а) постоянные соотношения затрат; б) изменяющиеся соотношения затрат От функций (3.21) можем перейти к семейству обратных функций, характеризующих зависимости затрат от объемов производства, т.е. к функциям производственных затрат: xs =φs(y), (sM) (3.22) φs(y) — это минимальное количество ресурса s, которое нужно затратить для выпуска продукта в количестве у. Для анализа функций производственных затрат введем новые понятия: qs — средние затраты s-ro ресурса; hs — предельные затраты s-ro ресурса: • cредние затраты рассчитываются по формуле qs = xs/y; • предельные затраты hs характеризуют прирост затрат ресурса s при увеличении выпуска продукции на "малую единицу": hs = dxs/dy. В дальнейшем изложении индекс ресурса опускается; это позволяет интерпретировать получаемые результаты как относящиеся не только к определенному ресурсу, но и к совокупным производственным затратам (например, в ценностном выражении). Соотношения между средними и предельными затратами зависят от свойств функции х = φ(y). I. Наиболее простой функцией затрат является линейная однородная, характеризующая производственные процессы с постоянной эффективностью затрат: x = ay; a > 0 (3.23) Средние и предельные затраты функции (3.23) постоянны и равны между собой: g=h=a. II. Линейная неоднородная функция включает две части затрат - пропорционально зависящие от объема производства и не зависящие от объема производства: x = ay +b (3.24) где а > 0 и b > 0. Средние затраты g = a + b/y являются убывающей нелинейной функцией (гиперболой), асимптотически приближающейся к постоянным предельным затратам h = а. III. Нелинейная функция возрастающей эффективности затрат отражает положительный экономический эффект концентрации производства: (3.25) Средние и предельные затраты - убывающие функции, причем предельные затраты всегда ниже средних. Одним из простейших примеров функции (3.25) является х = ауа при 0 < а < 1. IV. Нелинейная функция падающей эффективности затрат характерна для отраслей, деятельность которых тесно связана с использованием природных ресурсов: (3.26) Для увеличения добычи минерального сырья, например, часто приходится переходить к эксплуатации месторождений, шахт, рудников с более сложными горно-геологическими условиями или с более бедным содержанием полезных компонентов. Поэтому средние и предельные затраты увеличиваются, причем предельные затраты выше средних. Примером может служить функция х = ауа при а > 1. V. Функции немонотонной эффективности затрат отражают часто встречающиеся в хозяйственной практике такие зависимости между затратами и выпуском продукции, которые объединяют признаки рассмотренных выше функций. Довольно типична такая ситуация: при увеличении производства эффективность затрат вначале возрастает (положительный эффект концентрации производства), но по достижении некоторого уровня производства эффективность начинает снижаться (из-за сложности управления, ухудшения условий производства, роста транспортных затрат и т.д.). Вопросы для повторения 1. Выделите основные обозначения, определения и зависимости, используемые для описания технологической сферы национального хозяйства. 2. Что такое эффективная технология? 3. Что такое производственная функция? Какова ее взаимосвязь с производственными возможностями экономики? 4. Дайте общую характеристику производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами. Приведите примеры технологий, которые могут моделироваться с их помощью. 5. Что такое изокванты? Изоклинали? 6. Назовите основные характеристики технологии, которые можно получить из анализа производственной функции. Каков их экономический смысл? 7. Что такое однородная производственная функция? Каковы ее свойства? Что такое степень однородности? 8. Что такое степенная производственная функция? Каковы ее свойства? Может ли степенная производственная функция быть однородной? Каков экономический смысл параметров данной функции? 9. Что такое функция постоянной эластичности замены (ПЭЗ)? Каковы ее свойства? Может ли функция ПЭЗ быть степенной? Однородной? 10. Дайте общую характеристику производственных функций с взаимодополняемыми ресурсами. Приведите примеры технологий, которые могут моделироваться с их помощью. 11. Что такое функция производственных затрат? Что она характеризует? Для чего применяется? 12. Какова взаимосвязь функций производственных затрат с производственными функциями? 13. Как с помощью функций производственных затрат можно провести анализ используемой технологии? 14. Какие типовые функции производственных затрат вам известны? Литература 1. Аллен Р. Математическая экономия. – М., 1997. 2. Багриновский К., Матюшок В. Экономико-математические методы и модели. - М., 1999. 3. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. - СПб, 2007. 4. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. – М., 1989, гл. 1,2 5. Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи. - М., 1993. 6. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. Математические методы в экономике. - М., 1999. 7. Ильченко А.Н. Экономико-математические методы. - М., 2006 8. Колемаев В.А. Математическая экономика. - М., 2005. 9. Экономико-математические методы и прикладные модели/ под ред. Федосеева В.В. - М., 1997 10. Экономико-математическое моделирование. / Под ред. Дрогобыцкого И.Н. - М., 2003.