Экономико-математическая модель оптимизации структуры посевных площадей.

Экономико-математическая модель оптимизации структуры посевных площадей. Оптимальная структура посевных площадей обеспечивает специализацию растениеводства, которая позволяет получать максимальное количество требуемых видов сельскохозяйственной продукции при наименьших затратах труда и средств. При этом учитывается государственный заказ на продажу продукции и договорные поставки, плодородие почв, рельеф местности, агротехнические и севооборотные требования, экономическая эффективность отдельных сельскохозяйственных культур. Постановку данной задачи можно сформулировать следующим образом. Исходя из производственных ресурсов (земельных, трудовых и т. д.) определить оптимальную структуру посевных площадей, которая обеспечивала бы выполнение договорные поставки всех видов сельскохозяйственной продукции и внутрихозяйственные потребности при максимальном экономическом эффекте. В качестве критерия оптимальности могут быть приняты: максимум производства валовой и товарной продукции в денежном выражении; максимум производства отдельных видов растениеводческой продукции; максимум чистого дохода и др. Для разработки экономико-математической модели данной задачи необходимо провести экономическую оценку сельскохозяйственных культур и севооборотов, технологию их возделывания и подготовить следующую информацию: ­ размер площади пашни, естественных сенокосов, пастбищ, возможности их улучшения; ­ перечень сельскохозяйственных культур, возделываемых и данной зоне, их урожайность, выход валовой продукции в денежном выражении, чистого дохода с 1 га посева; ­ наличие производственных ресурсов в хозяйстве и нормы их затрат на 1 га посева; ­ заказ на продажу продукции государству; ­ объем договорных поставок по видам продукции; ­ потребности животноводства в кормах по видам; ­ агротехнические требования и возможные пределы насыщения севооборотов отдельными сельскохозяйственными культурами или группами культур. Математическая модель данной задачи запишется следующим образом. Найти максимум функции N Zmax =  c j x j  x N1 j1 где xj - посевная площадь j-й сельскохозяйственной культуры; сj - товарная продукция в денежном выражении или себестоимость продукции для внутреннего потребления, получаемая с 1 га посева j-й сельскохозяйственной культуры; хN+1 - сумма производственных затрат. На этом разработка экономико-математической модели заканчивается. Экономикоматематическая модель приведена в табл. 4. Затем она решается на ПК по соответствующей программе. Результаты решения получаются в виде значений неизвестных. Рассмотрим эту задачу на примере СПК «Серебряный бор». За СПК закреплено 9014 га земли, в том числе 7842 га сельскохозяйственных угодий, из них 6505 га пашни, 100 га улучшенных сенокосов, 1183 га пастбищ и 54 га сада. Из 1183 га естественных пастбищ 525 га выделяется для скота работников, а 658 га — для общественного животноводства. В хозяйстве возделывается большинство сельскохозяйственных культур, характерных для Центрально-Черноземной зоны. Сельскохозяйственные культуры размещаются в севооборотах по лучшим предшественникам, озимые — по зернобобовым, однолетним травам и кукурузе на зеленый корм. Наличие различных по срокам уборки 1 предшественников позволяет лучше использовать технику при подготовке полей и посеве, выбирать в зависимости от условий года рациональные способы и сроки подготовки почвы и посева. Озимые в свою очередь являются хорошими предшественниками для сахарной свеклы, кормовых корнеплодов, кукурузы, подсолнечника, по которым затем размещаются яровые зерновые и кормовые культуры. Животноводство представлено молочно-мясным скотоводством. Руководство СПК заключило договора на поставку продукции растениеводства: зерна всего —60500 ц (в том числе пшеницы — 37500 ц, ячменя—12400, гороха —4100, проса — 6500 ц), сахарной свеклы—117600, подсолнечника—10500 ц. Для удовлетворения потребностей животноводства необходимо произвести следующее количество кормов: концентратов— 18400 ц, в том числе овса —5500 ц, ячменя 8500 ц, грубых кормов 24580 ц, в том числе сена 9055 ц, силоса 78290 ц, кормовых корнеплодов — 27208, зеленого корма всего—148730, в том числе в мае—18572, в 1-й половине июня— 19668, во 2-й половине июня 20919, в июле —39371, в августе — 33465 и в сентябре—16735 ц. При подготовке информации для определения оптимальной структуры посевных площадей необходимо обоснование урожайности сельскохозяйственных культур. При этом учитывается достигнутый уровень урожайности за ряд лет, опыт передовых хозяйств, научно-исследовательских учреждений, возможности в совершенствовании технологии производства, замена менее урожайных сортов более урожайными, повышение доз вносимых удобрений и т. д. Таблица 1. Входная информация по растениеводству Наименование сельскохо- Урожай- Затраты труда на 1 га, чел.-дней Затраты материальзяйственной культуры жайно-денежных всего в напряженный ность, средств, руб./ц период ц/га Озимые 32 2,02 1,0 240,9 Яровая пшеница 30 1,55 1,0 241,9 Ячмень 32 1,55 1,0 145,0 Овес 30 1,55 1,0 180,0 Гречиха 15 1,55 1,0 193,0 Просо 18 1,51 1,0 125,0 Горох 28 1,60 1,0 352,3 Сахарная свекла 280 20,0 10,0 80,0 Подсолнечник 20 1,36 1,0 140,6 Кукуруза на силос 216 3,6 2,2 78,4 Кукуруза на зерно 25 2,9 2,5 140,0 Кукуруза на зеленый корм 200 3,3 2,1 30,6 Озимые на зеленый корм 160 2,0 0,5 51,0 на сено 33 0,9 0,1 34,0 на зеленый корм 140 1,8 0,1 29,0 33 0,9 0,1 47,2 Однолетние травы: Многолетние травы: на сено 2 на зеленый корм 150 1,8 0,1 26,8 Картофель 150 47 2,4 270,0 Кормовые корнеплоды 350 20,0 10,0 78,5 Естественные сенокосы 25,7 0,9 0,1 11,0 Естественные пастбища 33 0,4 0,1 0,4 Урожайность сельскохозяйственных культур и затраты материально-денежных средств на 1 га посева определены на основе разработки технологических карт (табл. 1). При подготовке входной информации для данной модели необходимо также провести распределение основной и побочной продукции, получаемой с 1 га посева сельскохозяйственных культур, на различные цели: на семена, продажу государству, на корм скоту и т. д. Продукция с гектара сельскохозяйственных культур в СПК «Серебряный бор» распределена следующим образом (табл. 2). Условия по структуре посевных площадей можно выразить или введением нескольких вариантов схем севооборотов, или наложением на отдельные культуры или группы культур ограничений «сверху» и «снизу» в зависимости от агротехнических требований. При моделировании целесообразно применять второй способ, так как он требует меньшего числа ограничений и обеспечивает большую свободу в выборе решений. Исходя из народнохозяйственных задач по увеличению производства зерна, в конкретных природных и экономических условий и рациональной системы земледелия в большинстве хозяйств Центрально-Черноземной зоны удельный вес зерновых в структуре пашни колеблется от 50 до 60 %. Уменьшение удельного веса зерновых ниже 50% ведет к резкому сокращению производства зерна в целом, и особенно товарного. Повышение удельного веса зерновых свыше 60% связано с трудностями в размещении их по хорошим предшественникам. Эти пределы посевов зерновых и должны быть введены в экономико-математическую модель по данной зоне. В условиях Центрально-Черноземной зоны среди зерновых озимые характеризуются более высокой эффективностью производства. Удельный вес их в структуре посевных площадей колеблется от 20 до 30 % Они, как правило, занимают 2 поля в 7—8польных севооборотах и 3 поля в 9-10-польных. Наличие озимых в посевах менее 20% сопровождается снижением урожайности всей группы зерновых культур; верхний предел насыщения ими севооборотов определяется наличием предшественников для их размещения. В связи с этим наряду с нижним и верхним пределами насыщения севооборотов озимыми в экономико-математическую модель по определению оптимальной структуры посевных площадей необходимо отдельным ограничением вводить обеспеченность озимых предшественниками. Яровая пшеница в условиях Центрально-Черноземной зоны является страховой культурой на случай гибели озимых. Исходя из урожайности и норм высева площади ее посева должны составлять не менее 10% площади посева озимых, что моделируется в виде самостоятельного неравенства. Подсолнечник по агротехническим условиям можно возвращать на одно и то же поле только через 8 лет. Следовательно, посевы подсолнечника не могут превышать 12% площади пашни. Свекловичные культуры по условиям агротехники могут быть возвращены на одно и то же поле через 4 года, т. е. верхний предел насыщения севооборотов сахарной свеклы с агротехнической точки зрения можно довести до 25%. Однако, как показывает опыт передовых высокомеханизированных хозяйств, в связи с большим насыщением севооборотов техническими культурами и большой трудоемкостью сахарной свеклы, верхний предел насыщения ею севооборотов в условиях Центрально-Черноземной зоны в настоящий период не превышает 15%. 3 Таблица 2. Распределение продукции сельскохозяйственных культур, полученной с 1 га посева Сельскохозяйствен- Производство проОтхоСемена со На корм скоту, ц Товарная продукция ные культуры дукции, ц ды, ц страховым фондом, ц основной побочной основной побочной в натуральном вы- в денежном выпродукции продукции ражении, ц ражении, руб./ц 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Озимые на продовольственные цели 32 32 0,8 3,0 0,8 32 28,2 350 Озимые в обмен на 32 32 3,0 29,0 32 фураж Яровая пшеница на продовольственные цели 30 24 0,8 2,5 0,8 24 26,7 290 Яровая пшеница в обмен на фураж 30 24 2,5 27,5 24 Ячмень на товарные цели 32 16 0,8 3,5 0,8 16 27,7 200 Ячмень на фуражные цели 32 18 3,5 28,5 16 Овес на фуражные 30 30 2.5 27,5 30 цели Просо на продовольственные цели 18 20 0,7 0,3 0,7 20 17,0 200 Горох на товарные цели 28 21 0,7 3.5 0,7 21 23,8 600 Горох на фуражные цели 28 21 3,5 24,5 21 Гречиха на продо15 0,4 1,2 13,4 650 вольственные цели Кукуруза на фуражное зерно Сахарная свекла фабричная 35 - 0,9 0,3 34,7 - - - 280 - - - - - 280 120 4 1 Подсолнечник на товарные цели Картофель на внутрихозяйственные нужды Кормовые корнеплоды на корм скоту Кукуруза на силос Кукуруза на зеленый корм Однолетние травы на сено Однолетние травы на зеленый корм Многолетние травы на сено Многолетние травы на зеленый корм Озимые на зеленый корм Естественные пастбища Естественные сенокосы 2 3 4 5 6 7 8 9 20 40 0,5 0,2 0,5 40 19,3 500 150 - 10 30 - - - - 350 - - - 350 - - - 216 - - - 216 - - - 200 - - - 200 - - - 33 - - - 33 - - - 140 - - - 140 - - - 33 - - - 33 - - - 150 - - - 150 - - - 160 - - - 160 - - - 33 - - - 33 - - - 25,7 - - - 25,7 - - - 5 Все эти севооборотные требования являются общими для большинства хозяйств Центрально-Черноземной зоны почти всех производственных типов. В данной задаче за основные неизвестные приняты площади посева сельскохозяйственных культур по их целевому назначению. Например, зерновые — на продовольственные и фуражные цели, травы — на сено и зеленый корм разного срока сева, кукуруза — на зерно, силос и зеленый корм и т. д. В качестве вспомогательной неизвестной принята общая сумма производственных затрат, необходимых для возделывания всех сельскохозяйственных культур в хозяйстве. Таблица 3. Обозначение переменных. Переменная х1 х2 х3 х4 х5 Содержание озимая пшеница товарная озимая пшеница фуражная яровая пшеница товарная яровая пшеница фуражная Переменная х11 х12 х13 х14 х15 х6 ячмень товарный ячмень фуражный х7 овес х17 х16 х8 просо х18 х9 горох товарный х19 х10 горох фуражный х20 Содержание гречиха сахарная свекла подсолнечник картофель кормовые корнеплоды кукуруза на зерно кукуруза на силос кукуруза на зеленый корм 1-ого срока сева кукуруза на зеленый корм 2-ого срока сева однолетние травы на сено Переменная х27 Содержание однолетние травы на зеленый корм 2ого срока однолетние травы на зеленый корм 1ого срока многолетние травы на сено многолетние травы на зеленый корм озимые на зеленый корм естественные пастбища естественные сенокосы х28 производственные затраты х21 х22 х23 х24 х25 х26 На переменные наложено 37 ограничений. 1. По пашне х1 + х2+х3+ ...+х25≤6505. Технико-экономическими коэффициентами при переменных являются единицы, которые характеризуют затраты земельных ресурсов (пашни) на 1 га возделывания каждой сельскохозяйственной культуры. 2. По площади естественных сенокосов имеет вид: х27=100. 3. По естественным пастбищам: х26=658. 4. По общей сумме производственных затрат на возделывание сельскохозяйственных культур в хозяйстве, которая определяется по значению х28. Технико-экономическими коэффициентами по неизвестным, обозначающим площади посева сельскохозяйственных культур, записываются производственные затраты на 1 га возделывания каждой культуры: 7708,8х1+7708,8х2+ 7257х3 +...+ 282,7х27 = х28 или 6 7708,8х1+7708,8х2+ 7257х3 +...+ 282,7х27 - х28 = 0 В строках 5 - 17 отражены агротехнические условия, характеризующие минимальные и максимальные пределы посевов отдельных культур или их групп в структуре посевных площадей. 5. Зерновые в структуре посевных площадей составят не менее 50%: х1 + х2 + х3+ х4+ х5+ х6+ х7+ х8+ х9+ х10+ х11+ х16 ≥ 3253 6. Площадь зерновых не превысит 60% площади пашни. х1 + х2 + х3+ х4+ х5+ х6+ х7+ х8+ х9+ х10+ х11+ х16 ≤ 3903 7. Площадь озимых будет не менее 20%: х1 + х2 ≥ 1300 8. Площадь озимых будет не более 30% площади пашни: х1 + х2 ≤ 1952 9. Площадь яровой пшеницы не должна составлять менее 10% площади озимой: 0,1х1 + 0,1х2 ≤ х3 + х4 или 0,1х1 + 0,1х2 - х3 - х4 ≤ 0 10. Обеспеченность озимых хорошими предшественниками: х1 + х2 ≤ х9 + х10 +0,5х17 + х18 + х20 + х21 + х22 + 0,5х23 + 0,5х24 + х25 или х1 + х2 - х9 - х10 -0,5х17 - х18 - х20 - х21 - х22 - 0,5х23 - 0,5х24 - х25 ≤ 0 По х17, х23 и х24 проставляется коэффициент 0,5. Это связано с тем, что в условиях Центрально-Черноземной зоны озимые высевают по кукурузе на силос (x17), убираемой только в ранние сроки. В данном хозяйстве в эти сроки убирается около половины площадей, поэтому и коэффициент принят равным 0,5. Многолетние травы в СПК «Серебряный бор» используются, как правило, 2 года, поэтому ежегодно можно размещать озимые только на 50% площади многолетних трав. Отсюда коэффициенты по переменным х 23 и х24 будут также равны 0,5 . 11. Для обеспечения рационов животных концентратами с высокобелковым содержанием, а также озимых хорошими предшественниками в хозяйстве предусмотрена площадь зернобобовых не менее 10% площади пашни. Это требование записано по строке 11: х9 +х10 ≥ 650 12. Площадь проса в условиях данного хозяйства не может превышать 5% площади пашни: х8 ≤ 325 13. То же условие по кукурузе на зерно. х16 ≤ 325 14. Площадь гречихи в СПК постоянна в течение ряда лет. х11 = 60, 15-16. Площади сахарной свеклы и подсолнечника в условиях хозяйства не могут превышать 10% площади пашни: сахарной свеклы — из-за недостаточной обеспеченности рабочей силой, подсолнечника — по агротехническим требованиям: сахарная свекла х12 ≤650 подсолнечник х13 ≤ 650 17. Площадь картофеля, используемого на внутрихозяйственные нужды неизменна х14 = 18. В строках 18 - 24 отражены ограничения, гарантирующие выполнение договорных поставок зерна - всего, в том числе по видам, сахарной свеклы и подсолнечника. Техникоэкономическими коэффициентами в этих ограничениях по зерновым и подсолнечнику взята товарная часть продукции, получаемой с 1 га, т. е. урожайность за вычетом отходов и семян со страховым фондом. В правой части записываются плановые объемы продажи продукции по видам. 18. План продажи зерна 28,2х1 + 26,7х3 + 27,7х6 +29х8 + 23,8х9 +13,4х11 ≥ 60500 В этом ограничение коэффициентами при переменных является урожайность товар7 ной культуры, взятая из тал. 2. 19. Продажа пшеницы 28,2х1 + 26,7х3 ≥ 37500 20. Ячмень 27,7х5 ≥ 12400 21. Горох 23,8х9 ≥ 4100 22. Просо 29х8 ≥ 6500 23. Сахарная свекла 280х12 ≥ 117600 24. Подсолнечник 19,3х13 ≥ 10500 В строках 25 - 37 записаны условия, обеспечивающие животноводство кормами собственного производства. Из них строки 32 - 37 отведены моделированию зеленого конвейера. По зерновым культурам на товарные цели на корм скоту планируется использовать только отходы и побочную продукцию, а на фуражные цели — всю основную продукцию, получаемую с 1 га, за вычетом семян, а также побочную продукцию, по кормовым культурам - выход кормов с 1 га. В правой части записывается годовая потребность животноводства в кормах. Выход зеленой массы с 1 га естественных пастбищ распределен по месяцам по соответствующим коэффициентам для данной зоны. 25. Производство концентратов 0,8х1 + 29х2 + 0,8х3+ 27,5х4+ 0,8х5+ 28,5х6+ 27,5х7+ 0,7х8+ 0,7х9+ 24,5х10 ≥ 18400 Коэффициентами в этом ограничении является расход продукции на корм скоту с 1 га посева, взятый из табл. 2. 26. В том числе овса 27,5х7 ≥ 5500 27. Ячменя 28,х6 ≥ 8500 28. Производство соломы (коэффициенты взяты из табл. 2, как побочная продукция): 32х1 + 32х2 + 24х3+ 24х4+ 16х5+ 16х6+ 30х7+ 30х8+ 21х9+ 21х10 40х13 ≥ 15525 29. Производство сена 33х20 + 33х23 + 25,7х27 ≥ 9055 30. Производство силоса 216х17 ≥ 78290 31. Производство кормовых корнеплодов 350х15 ≥ 27208 32. Производство зеленого корма в мае 160х25 + 8,2х26 ≥ 18572 33. Производство зеленого корма в 1-й половине июня 150х24 + 5,6х26 ≥ 19668 34. Производство зеленого корма во 2-й половине июня 140х21 + 6х26 ≥ 20919 35. Производство зеленого корма в июле 140х22 + 6,6х26 ≥ 39371 36. Производство зеленого корма в августе 200х18 + 150х24 + 3,3х26 ≥ 33465 37. Производство зеленого корма в сентябре 200х19 + 3,3х26 ≥ 16735 В качестве критерия оптимальности принят максимум суммы чистого дохода, получаемого от отрасли растениеводства как разность между товарной продукцией в денежном вы8 ражении без повторного счета и производственными затратами. Поэтому коэффициентами целевой функции по переменным, выражающим площади посева сельскохозяйственных культур на товарные цели, является стоимость продукции, получаемой с 1 га за вычетом семян. Затем вычитаем затраты на производство. Продукцию растениеводства для внутреннего потребления будем учитывать по себестоимости, так как она также является результатом труда в отрасли и затраты по ее производству в последствии возвращаются в виде продукции животноводства. Zmax = 9870х1 + 7708,8х2 + 7743х3 + 7257х4+ 5540х5+ 4640х6+ 5400х7+ 3400х8+ 14280х9 + 9864х10 + 8710х11 + 33600х12 + 9650х13 + 40500х14 + 27475х15 + 3500х16 + 16934х17 + 6120х18 + 6120х19 + 1122х20 + 4060х21 + 4060х22 + 1558х23 + 4020х24 + 8160х25 + 13,2х26 + 282,7х27 –х28 → max Анализ результатов решения Задача по оптимизации структуры посевных площадей в СПК «Серебряный бор» решена на ПК в Microsoft Excel. Неизвестные, обозначающие посевные площади сельскохозяйственных культур, получили следующие значения (табл. 7.6). Анализ полученной при решении структуры посевных площадей свидетельствует о выполнении всех условий, поставленных В' задаче. Использование земельных ресурсов не вышло за пределы их наличия. Соблюдены все агротехнические требования. Зерновые в структуре посевных площадей составили 59%, в том числе озимых—25%. Площадь яровой пшеницы равна 10% площади озимых, зернобобовых—10% площади пашни. Посевы проса равны 3,4% общей площади посева, т. е. не превысили 5% площади пашни. Площадь посева гречихи сохранилась на уровне последних лет — 60 га. Озимые полностью обеспечиваются хорошими предшественниками. Технические культуры в структуре посевов занимают 2.0%, в том числе сахарной свеклы — 10%, что обусловлено организационно-экономическими требованиями (недостаточная обеспеченность трудовыми ресурсами), и подсолнечника—10%, что связано с верхним пределом насыщения севооборотов этой культурой, продиктованным агротехническими требованиями. Площадь картофеля определена внутрихозяйственными потребностями. На долю кормовых культур приходится 20,7% площади посева, в том числе на долю кукурузы — 7,9%, однолетних трав — 8,7 и многолетних трав— 1,6%. Такая структура посевных площадей соответствует зерно-свекловично-масличному направлению полеводства и обеспечивает высокий уровень производства зерна, технических культур и кормов для животноводства. Так, в расчете на 1 га пашни производство зерна по оптимальному плану составляет 18,2 ц, в том числе товарного— 13,6 ц, сахарной свеклы — 28, подсолнечника — 2, кормов— 15,1 ц кормовых единиц, что позволяет не только выполнить, но и перевыполнить заказ на продажу государству продуктов растениеводства (табл. 4), а также полностью покрыть потребности животноводства кормами собственного производства (табл. 5). Таблица 4 - Выполнение заказа на продажу продукции растениеводства государству, тыс. ц Продажа по опти- Процент перевыВид продукции Государственный заказ мальному решению полнения Зерно 60,5 88,7 146,6 В том числе: пшеница 37,5 50,3 134, 1 ячмень 12,4 17,2 138,7 9 горох просо гречиха Сахарная свекла Подсолнечник 4,1 6,5 0,8 117,6 10,5 13,9 6,5 0,8 182,0 12,5 339,0 100,0 100,0 154,8 119,0 Таблица 5 - Потребность в кормах и их производство по оптимальному решению, тыс. ц 13 нд корма Концентраты Грубые В том числе сено Зилос Кормовые корнеплоды Зеленый корм — всего в том числе: в мае в июне в июле в августе в сентябре Потребность 18,4 24,6 9,1 78,3 27,2 148,8 Производство 19,0 106,1 9,1 78,3 27,2 152,3 Излишек +, недостаток — +0,6 +81,5 — — — +3,5 18,6 40,6 39,4 33,5 16,7 18,6 41,7 41,8 33,5 16,7 — + 1,1 + 2,4 — — В процессе решения определились также производственные затраты, которые составили 803,1 тыс. руб. и общая сумма чистого дохода — 654,9 тыс. руб. Любая другая структура посевных площадей при выполнении всех условий, поставленных в данной задаче, будет вести к уменьшению общей суммы чистого дохода в растениеводстве. 10