Экономические задачи,решаемые методами дифференциального исчисления. Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции

Лекция 9. Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления. Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции Дифференциальное экономического анализа исчисление – широко математический аппарат. применяемый Базовой для задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель y нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя x (например, задача на максимум прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) приращение функции y на приращение аргумента x должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое приращение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент x, можно изменить величину в y нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием = экстремума функции является равенство нулю ее производной. В экономике часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, исчисления. Многие (минимизируемую) использующей задачи функцию, включают но и методы не дифференциального только ограничения максимизируемую (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительного выбора). Это – задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление. Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике – совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции = – это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных). В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. 2 Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления – нахождения производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов. Так, например, если задана производственная функция: где = ,…, ,…, – объем затрачиваемого i-го ресурса , = 1, … , , y – максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая ресурсы соответственно в объемах ,…, ,…, , то предельный эффект от использования i-го ресурса определяется следующим образом: ,…, = + ∆ ,…, − ∆ ,…, ,…, . равна дополнительному объему выпуска, который Здесь величина получается в результате затраты дополнительной единицы ∆ i-го ресурса при неизменных объемах остальных ресурсов. Показатель предельного эффекта в оптимизационных моделях применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а также для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимальный показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов. Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения по общему расходу денежных средств на используемые в 3 производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных производительностей ресурсов и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств. В задаче потребительского выбора отношение предельных полезностей благ должно быть равно отношению их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы. Широко используется в экономическом анализе понятие дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая и величина y есть функция двух аргументов , то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции y. Предельная норма замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть , = . Если мы хотим сохранить значение функции y неизменным, то это означает, что приращение y, а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю. Иным словами, 0 = предельная норма замены − = = ∙ + ∙ . Отсюда , т.е. равняется отношению частных производных функции y по первому и второму факторам. Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения 4 их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление – это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п. Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления, который мы сейчас рассмотрим более подробно. Анализ взаимосвязей экономических показателей Анализируя взаимосвязи экономических показателей, мы должны последовательно ответить на четыре вопроса. Какие факторы определяют интересующий нас экономический показатель? Каков знак этой зависимости? Какова степень этой зависимости? Каково числовое (функциональное) выражение соответствующей зависимости? Рассмотрим возможные ответы на эти вопросы на примере простейшей экономической зависимости – функции спроса. От чего зависит (от каких факторов)? В ответ на этот вопрос надо перечислить все факторы, определяющие исследуемый экономический показатель. В частности, величина спроса ! на какой-либо товар определяется ценой этого товара p, доходом потребителей I, ценами на другие товары (дополняющие (C) или заменяющие (S) данный товар), ожидаемыми ценами и ожидаемым доходом. Сокращенно это можно записать так: 5 ! = , ", #, $ , % , & , "& , … . Как зависит (положительно или отрицательно)? В ответ на этот вопрос надо определить характер взаимосвязи. Исследуемый показатель связан с каким-либо фактором положительно, если его значение возрастает при увеличении фактора, и отрицательно, если его значение уменьшается при увеличении фактора. В частности, величина спроса ! на какой-либо товар уменьшается при увеличении его цены p, увеличивается (для нормальных товаров) или уменьшается (для некачественных товаров) при увеличении дохода потребителей I, уменьшается при увеличении цен на дополняющие товары и увеличивается при увеличении цен на заменяющие данный товар товары, увеличивается при ожидании повышения цен или доходов. Сокращенно это можно записать так: ! = ) ± + + ± ( , ,$ , ,% , ,& , "(& " ,# '( , ( + ) , … -. Какова степень зависимости? Для ответа на этот вопрос надо определить, насколько чувствителен исследуемый экономический показатель к изменению определяющих его факторов. Другими словами, какова степень его изменения при заданном абсолютном или относительном изменении факторов. ∆ =∈, ∆ ! =? или ∆" =∈, ∆ ! =? Имеются два подхода к анализу чувствительности зависимости Приростной подход ∆ ⟹ ∆ . = . Прирост фактора ⟹ прирост исследуемого показателя (изменение x) ⟹ (изменение y) Мера "абсолютной" чувствительности – скорость изменения функции (средняя (отношение изменений) или предельная (производная)): ∆ ∆ → lim ≡ ∆ →8 ∆ ∆ Темповый подход %∆ ⟹ %∆ . ≡ . Темп прироста фактора ⟹ темп прироста исследуемого показателя 6 (процентное изменение x) ⟹ (процентное изменение y) Напомним, что процентное изменение какой-либо переменной – это отношение изменения этой переменной к первоначальному ее значению: %∆ = ∆ = − . Например, если цена буханки хлеба увеличилась с 200 до 300 рублей, то процентное изменение цены: 300 − 200 = 50%. 200 Мера "относительной" чувствительности – эластичность функции %∆ = (средняя (отношение процентных изменений) или производной)): %∆ ∆ / %∆ → lim ≡ lim ≡ %∆ →8 %∆ ∆ →8 ∆ / %∆ ∙ ≡ предельная ∙ ( ≈ . Каково функциональное выражение зависимости? Для ответа на этот вопрос надо указать конкретное функциональное выражение исследуемой зависимости (в виде формулы, графика или таблицы). Эту зависимость можно получить либо из теоретической модели или из эконометрического (эмпирического) исследования. Например, функция спроса на какой-либо товар может определяться следующим выражением: ! = 8 −@∙ −A∙ или изображаться прямой линией на графике. $ +B∙ % Другим не менее важным направлением дифференциального исчисления является его применение к принятию оптимальных решений. Принятие оптимальных решений Пусть, например, монополист, зная (из маркетинговых исследований) функцию спроса на свой товар, решает, сколько ему производить и по какой цене продавать свой товар. 7 Если он установит достаточно высокую цену, то потребители за определенный период купят у него не слишком много товара. Если он будет производить больше, то ему придется понизить цену, чтобы распродать все выпускаемое им количество за определенный период времени. При этом выручка увеличится за счет увеличения объема продаж (выигрыш) и одновременно уменьшится за счет уменьшения цены (потери). Результат будет зависеть от того, что окажется большим: выигрыш или потери. Как же все-таки монополист может определить зависимость выручки (или прибыли, если учитывать издержки выпуска) от объема выпуска C ∙ D = ∙ −E =D −E = и определить, при каком объеме выпуска прибыль будет максимальна. Из фундаментальных разделов теории математического анализа известно, что задача определения максимума функции решается с помощью понятия производной. Для этого надо знать ответы на два вопроса: 1. Как находить производные произвольных функций? 2. Как применять производные к исследованию функций? Ответы на эти вопросы будут подробно освещены в следующей лекции. Для ответа на первый вопрос мы рассмотрим определение и геометрический смысл производной, формулы для нахождения производных нескольких простейших (элементарных) функций и правила дифференцирования, позволяющие находить производные от любых комбинаций элементарных функций. Для ответа на второй вопрос мы рассмотрим связь знака и величины производной с возрастанием, убыванием функций и определим необходимые и достаточные условия экстремума (максимума или минимума) функций. Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции 8 Приращение величины, аргумента, функции. Пусть величина z меняется от значения F (начальное значение) до значения F значение). Тогда величина ∆F величины z. Приращение F F Fкон возрастающей (конечное Fнач называется приращением величины Fкон L Fнач будет положительно: ∆F L 0, а приращение убывающей величины Fнач L Fкон будет отрицательно: ∆F M 0 . Если величина z не изменилась Fнач приращение будет равно нулю: ∆F Пусть дана функция 0. и два значения аргумента соответствуют два значения функции ∆ Fкон , то ее и называется приращением аргумента, а ∆ и . Им . Разность ∆ – приращением функции. , ∈ NO; QR . Возьмем произвольную точку Рассмотрим функцию 8 ∈ NO; QR . Для любого аргумента x в точке 8 8 8 8 называется приращением и обозначается ∆ . Таким образом, ∆ ∆ . Разность и обозначается ∆ ∈ NO; QR разность 8 8 называется приращением функции (или ∆ , или ∆ 8, в точке . Геометрическая интерпретация этих величин показана на рис. 1. 9 Следовательно, ∆ = 8 − 8 = 8 +∆ В этих терминах можно сказать, что функция − 8 непрерывна в точке тогда и только тогда, когда приращение функции в точке если приращение аргумента стремится к нулю. . 8 8 стремится к нулю, Скорость изменения функции на интервале (средняя скорость). Если рассмотреть две разных, но монотонно возрастающих функции (например, y1 = √ и y2 = T ), то можно отметить по их графикам, что значения каждой из них меняется при изменении аргумента на величину ∆ = − 8. Из графиков видно, что вторая функция меняется (возрастает) сильнее, чем первая, на интервале 8; . Для сравнения величин изменения различных функций при одинаковом изменении аргумента вводится понятие скорости (быстроты) изменения функции на интервале изменения функции, 8; (средней скорости), определяемой как отношение вызванного изменением соответствующему изменению аргумента. Скорость изменения функции на интервале 8; = ее аргумента, к Изменение функции Изменение аргумента Обозначая скорость буквой v, запишем это соотношение в виде: de 8; ∆ = ∆ ∆ 8 = +∆ ∆ − 8 = − − 8 8 . Из этого соотношения вытекает, что если при равных изменениях аргумента f∆ =∆ g одна из функций меняется сильнее f∆ >∆ g, то и скорость изменения второй функции на рассматриваемом интервале будет больше, чем первой hd 2 > d 1 i. Геометрический смысл скорости изменения функции на интервале 8; (средней скорости) заключается в том, что она численно равна тангенсу угла наклона отрезка, соединяющего две точки графика функции, соответствующих 10 значениям аргумента 8 и x. Недостаток такого определения скорости состоит в том, что эта скорость зависит не только от точки 8, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины изменения аргумента, т.е. от величины интервала ∆ , на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие скорости изменения функции в точке (мгновенной скорости). Скорость изменения функции в точке (мгновенная скорость). 8 Для определения скорости изменения функции в точке точки x и 8, сближают устремляя интервал ∆ к нулю. Изменение непрерывной функции при этом будет также стремиться к нулю. При этом отношение стремящегося к нулю изменения функции к стремящемуся к нулю изменению аргумента дает 8 скорость изменения функции в точке (мгновенной скорости), точнее, на 8 бесконечно малом интервале относительно точки de 8 = lim ∆ →8 ∆ ∆ 8 +∆ = lim ∆ →8 ∆ − Именно эту скорость изменения функции производной функции в точке 8. 8 = lim → j в точке 8 − − 8 8 . и называют Геометрический смысл скорости изменения функции в точке 8 (мгновенной скорости) в том, что она численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке 8. Это непосредственно следует из ее определения, поскольку при сближении точек 8 и x точки пересечения графика функции прямой линией также сближаются и сливаются в одной точке, в которой линия и касается графика функции. 11