Эконометрика

ВВЕДЕНИЕ Эконометрика – одна из базовых дисциплин экономического образования во всем мире наряду с микро- и макроэкономикой. В России эта дисциплина начала развиваться в середине 90-х гг. прошлого столетия. Объясняется это тем, что из трех составляющих эконометрики (экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария) первые две из них очень слабо развивались в нашей стране, т.к. эти дисциплины не были приоритетными. Эконометрика – быстроразвивающаяся отрасль науки, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям. Слово «эконометрика» с греческого языка дословно переводится как «измерение в экономике». Сам термин подчеркивает специфику эконометрики как науки: количественное выражение тех связей и соотношений, которые обоснованы экономической теорией. Сегодня деятельность в любой отрасли экономики (управлении, финансово-кредитной сфере, учете, аудите, маркетинге) требует от специалиста применения современных методов работы. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях и приемах, и без глубоких знаний эконометрики ими пользоваться невозможно. Изучение современной экономической литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку. Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов эконометрики. Основной задачей эконометрики является построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания, анализа и прогноза реальных экономических процессов. Предлагаемый курс лекций написан на базе учебника [1] для экономических специальностей университетов, авторами которого являются С.А. Айвазян и В.С. Мхитарян – академики Международной академии наук. Курс содержит краткий обзор основных разделов этой дисциплины, а также примеры, в которых дается подробное разъяснение основных понятий и операций над ними. 1. Эконометрика и ее место в ряду математико-статистических и экономических дисциплин. История ее развития Эконометрика как самостоятельная наука прошла сложный тернистый путь. Историки утверждают, что первые попытки количественных исследований в экономике были зафиксированы в XVII в. в работах ученых, которые занимались практическими расчетами в области налогообложения, денежного обращения, международной торговли и финансов. Эти расчеты дали толчок поискам законов в экономике. Первым таким законом считается закон, в котором выявлена закономерность спроса на основе соотношений между урожаем зерновых и ценами на зерно. Дальнейшее развитие эконометрика получила в работах К. Пирсона и Ф. Гальтона, где применялась парная корреляция при изучении связей между уровнем бедности и формами помощи бедным в Англии. Быстрая индустриализация производства в Европе и Америке дала сильный толчок развитию эконометрики. Потребовалось решать такие практические задачи, как «эластичность спроса» и «предельная полезность». Требовалось объяснить и оценить фактические кривые спроса и предложения, объяснить формирование равновесных цен в конкретных условиях. В это время ученые-экономисты (А. Маршалл, К. Мангер, С. Джевонс) были привлечены к изучению и анализу макроэкономических проблем на основе временных рядов, таких как, например, валютные курсы и т.п. Затем появились работы итальянского ученого Р. Бенини, в которых он применил метод множественной регрессии для оценки функции спроса. Значительным вкладом в развитие эконометрики явились исследования по цикличности экономики. Была выявлена цикличность инвестиций (7–11 лет), цикличность обновления оборотных средств (3–5 лет), циклы в строительстве (15–20 лет) и т.д. Современное экономическое образование держится на трех «китах»: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике. Существуют различные определения данной дисциплины. Название «эконометрика» было введено в 1926 г. норвежским экономистом и статистом Рагнаром Фришем, буквальный перевод этого термина означает «измерения в экономике». Приведем высказывания крупнейших ученых в области экономики и эконометрики. «Основная задача эконометрики – наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения» (Клейн). «Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов. Эконометрика дополняет теорию, используя реальные данные для проверки и уточнения постулируемых отношений» (Маленво). «Эконометрика позволяет проводить количественный анализ реальных экономических явлений, основываясь на современном развитии теории и наблюдениях, связанных с методами получения выводов» (Самуэльсон). Эконометрика – самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики, математико-статистического инструментария, придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией. Таким образом, суть эконометрики – именно в синтезе экономики, экономической статистики и математики. При этом, говоря об экономической теории в рамках эконометрики, будем интересоваться не просто выявлением объективно существующих экономических законов и связей между экономическими показателями, но и подходами к их формализации, включающими в себя методы спецификации соответствующих моделей с учетом проблемы идентифицируемости. При рассмотрении экономической статистики как составной части эконометрики нас будет интересовать лишь тот аспект этой дисциплины, который непосредственно связан с информационным обеспечением анализируемой эконометрической модели, при этом решается перечень следующих задач: выбор необходимых экономических показателей и обоснование способа их измерений, определения плана статистического обследования и т.д. Под математико-статистическим инструментарием подразумеваются отдельные разделы математической статистики, такие как классическая и обобщенная линейные модели регрессионного анализа; анализ временных рядов; построение и анализ систем одновременных уравнений, дополненные некоторыми специальными сведениями (специальные типы моделей регрессии и временных рядов, подходы к решению проблем спецификации и идентифицируемости моделей и т.д.). Из определения эконометрики следует, что ее происхождение и главное назначение – это экономические и социально-экономические приложения, а именно модельные описания конкретных количественных взаимосвязей, существующих между анализируемыми показателями. Разнообразие спектра решаемых задач с помощью эконометрики можно разбить на три направления: 1) по конечным прикладным целям – прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы; имитация различных возможных сценариев развития анализируемой системы; 2) по уровню иерархии анализируемой экономической системы выделяются: макроуровень (т.е. страны в целом), мезоуровень (регионы, отрасли, корпорации) и микроуровень (предприятие, фирма, семья); 3) по профилю анализируемой экономической системы – т.е. исследование может быть сконцентрировано на проблемах рынка, инвестиционной, финансовой или социальной политики, ценообразования, спроса и предложения и т.д. или на определенном комплексе вышеуказанных проблем. На основании выше сказанного можно предложить следующий рисунок. Эконометрика Методы: регрессионный анализ; анализ временных рядов; системы одновременных уравнений; статистические методы классификации и снижения размерности Приложения: макроуровень (модели национальной экономики, т.е. страны в целом); мезоуровень (модели региональной экономики, отраслей, секторов); микроуровень (модели поведения потребителя, фирм, предприятий, семьи) Экономическая теория (макро- и микроэкономика, математическая статистика) Социально-экономическая статистика (включая информационное обеспечение экономических исследований) Основы теории вероятностей и математической статистики 2. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования 2.1. От простых количественных взаимосвязей между экономическими переменными к эконометрической модели Первая проблема, с которой встречается каждый изучающий экономику, – проблема взаимосвязей между экономическими переменными. Формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция его цены; затраты, связанные с изготовлением какого-либо продукта, предполагаются зависящими от объема производства; потребительские расходы могут быть функцией дохода и т.д. Все это примеры связей между двумя переменными, одна из которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы) играет роль объясняемой переменной или результирующего показателя, а другие понимаются как объясняющие переменные или факторы – аргументы. Однако для большей реалистичности в такие соотношения приходится вводить несколько объясняющих переменных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на результирующий показатель всех неучтенных факторов. Спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары; производственные затраты будут зависеть от объема производства, от его динамики и от цен на основные производственные ресурсы; потребительские расходы можно определять как функцию дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления. При этом участвующая в каждом из этих соотношений случайная составляющая, отражающая влияние на анализируемый результирующий показатель всех неучтенных факторов, обуславливает стохастический характер зависимости, а именно: даже зафиксировав на определенных уровнях значения объясняющих переменных, например цены на товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход, мы не можем ожидать, что тем самым однозначно определяется спрос на этот товар. Иначе говоря, переходя в своих наблюдениях спроса от одного состояния к другому, мы обнаружим изменение (варьирование) величины спроса около некоторого уровня даже при сохранении всех объясняющих переменных неизменными. В прикладной статистике анализируются различные варианты формализации понятия стохастической зависимости между результирующим показателем y и объясняющими переменными х(1), х(2), х(3),…, х(n). Наиболее распространенной формой в эконометрических приложениях представления стохастической зависимости является аддитивная линейная форма, которая и будет главным предметом в наших исследованиях: , (1) где yt – значение результирующей (объясняемой) переменной, измеренной в t-ом временном (или пространственном) измерении; х(1), х(2), х(3),…, х(n) – значения участвующих в соотношении (1) объясняющих переменных, полученные в том же t-м измерении; 0, 1, 2,…, n – некоторые параметры, как правило, неизвестные до проведения статистического анализа; δt – случайная составляющая, характеризующая разницу между модельным и наблюденным значениями, анализируемой результирующей переменной, зафиксированной в t-м измерении. Под модельным значением результирующей переменной ŷt будем понимать ее значение, полученное при условии, что коэффициенты 0, 1, 2,…, n нам известны, т.е. (2) При такой интерпретации модельного значения ŷt случайную составляющую можно интерпретировать как случайную ошибку прогноза y по заданным значениям х(1), х(2), х(3),…, х(n), причем, чтобы исключить систематическую ошибку в оценке yt по ŷt, обычно полагают, что среднее значение случайной составляющей δt при всех значениях t равно 0, т.е. М(δt) = 0 (математическое ожидание). Очевидно, чем больше информации заключено в объясняющих переменных х(1), х(2), х(3),…, х(n) относительно величины y, тем надежнее будет прогноз и тем меньше будет ошибка δt. А что значит малость случайной величины δt? Это означает, что ее значения сосредоточены в малой окрестности нуля, и следовательно, она имеет малую дисперсию, т.е. D (δt) → 0. Следующий этап состоит в группировке отдельных соотношений в модель. Модели должны быть «настолько простыми, насколько возможно, но не проще», сказал Эйнштейн. В большинстве случаев экономические законы выражаются в относительно простой математической форме. Например, функция потребления , где Сt – потребление некоторого пищевого продукта на душу населения в некотором году; Yt – реальный доход на душу населения в этом же году; Pt – индекс цен на этот продукт, скорректированный на общий индекс стоимости жизни; ß0, ß1, ß2 – константы. Это уравнение описывает в среднем поведение потребителя по отношению к покупке данного пищевого продукта в зависимости от относительного уровня цен на продукт и реального душевого дохода. Закон будет определен, как только будут известны ß0, ß1, ß2, полученные из результатов наблюдений. Задача эконометрики – определить (оценить) эти коэффициенты из набора наблюдений, но это не единственная ее задача. Можно решать и другие задачи, такие как введение новых переменных, которые следовало бы включить в уравнение (например, цены на непродовольственные товары и т.д.); исключение из уравнения некоторых переменных; проверка корректности данных, полученных в результате наблюдения. А также: верна ли взятая модель, верна ли экономическая теория, является ли модель полной или неполной или лучше использовать не статистическую модель (например, функция потребления), а динамическую модель и т.д. и т.п. Можно выделить три класса моделей, которые применяются для анализа или прогноза. 1. Модели временных рядов. К этому классу относятся модели тренда: yt = Tt + εt, где Tt – временной тренд заданного параметрического вида (например, линейный Tt = a + ßt (εt – случайная составляющая компонента); сезонности: yt = St + εt, где St – периодическая (сезонная) компонента; εt – случайная составляющая; тренда и сезонности: yt = Tt + St + εt, (аддитивная) или yt = Tt St + εt, (мультипликативная). К моделям временных рядов относятся и более сложные модели которые будут рассмотрены ниже. 2. Регрессионные модели с одним уравнением. К таким моделям зависимая (объясняемая) переменная y представляется в виде функции f(x; ß) = f(x1, x2,…хn, ß1,…, ßm),где x1, x2,…, хn – независимые (объясняющие) переменные, а ß1,… ßm – параметры (константы). Данная функция f(x; ß) может быть линейной или нелинейной. Например: спрос на мороженое можно рассматривать как функцию от времени или от температуры воздуха, или от среднего уровня дохода, или от всех вышеперечисленных переменных; зависимость заработной платы – от возраста, пола, образования, стажа работы и т.д. Область применения таких моделей намного шире, чем модели временных рядов. 3. Системы одновременных уравнений. Эти модели описываются системами уравнений, которые могут состоять из тождеств и регрессионных уравнений, каждое из которых может включать в себя кроме объясняющих переменных и объясняемые переменные из других уравнений. Примером такой системы может служить модель спроса и предложения: (предложение); (спрос); (равновесие), где – предложение товара в момент времени t; – спрос на товар в момент времени t; Pt – цена товара в момент времени t; Yt – доход в момент времени t . Цена товара Pt и спрос на товар == определяются из уравнений модели; εt, δt – случайные составляющие. При моделировании экономических процессов используют два типа данных: • пространственные данные (например, объем производства, количество работников, доход и т.д.), собранные по различным отраслям, предприятиям, фирмам в один и тот же период времени; • временные данные (например, ежеквартальные данные по инфляции, средней заработной плате, национальному доходу и т.д.). Отличительной чертой временных данных является то, что они естественным образом упорядочены по времени, кроме того, бывает, что наблюдение в близкие моменты времени могут быть зависимыми. Всякая математическая модель является лишь упрощенным вариантом формализованного представления реального объекта (явления, процесса). Искусство состоит в том, чтобы построить такую модель, которая с достаточной адекватностью описывала бы все те стороны моделируемой реальности, которые интересуют исследователя. Количество связей зависит от условий, при которых эта модель конструируется, от подробности объяснения, к которой мы стремимся. Например, модель спроса и предложения, которая должна объяснять соотношения между ценой и объемом выпуска, характерные для некоторого определенного рынка. Она содержит три уравнения: 1) уравнение спроса; 2) уравнение предложения; 3) уравнение реакции рынка. В эти уравнения, помимо интересующих нас объема выпуска и цены, будут входить и другие переменные. Например, в уравнение спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения – цена. Такая модель является, неполной или условной. Более реальные модели содержат гораздо больше переменных и уравнений, с их помощью стараются отразить реальное состояние процесса, однако и эти модели считаются условными, поскольку содержат переменные либо не определяемые, либо не объясняемые моделью. Все экономические модели независимо от их характера и процессы, которые они описывают, имеют некоторые общие особенности: 1) они основаны на предположении, что поведение экономических переменных определяется с помощью совместных и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений; 2) принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение реальной действительности, тем ни менее описывает главные характеристики изучаемого объекта; 3) создатель модели полагает, что на основе достигнутого и с ее помощью понимание реальной системы удастся предсказать, а также будущее ее движения и, возможно, управлять ею в целях улучшения экономического благосостояния. Чтобы проиллюстрировать вышесказанное, рассмотрим пример, приближенный к макромодели. Пример. Предположим, что экономист-теоретик сформулировал следующие положения: • потребление есть возрастающая функция от имеющегося в наличии дохода, но возрастающая медленнее, чем рост дохода; • объем инвестиций есть возрастающая функция национального дохода и убывающая функция характеристики государственного регулирования, например нормы процента; • национальный доход есть сумма потребительских, инвестиционных и государственных закупок товаров и услуг. Первая задача – перевести эти положения на математический язык. И тут мы сталкиваемся с многообразием возможных способов удовлетворения сформулированным опытным требованиям теоретика. Во-первых, какие выбрать соотношения между переменными – линейные или нелинейные? Если выбрать нелинейные, то какими они должны быть – полиномами или показательными, или логарифмическими, или какими-либо еще? Даже определив вид зависимости, мы оставляем нерешенной проблему выбора для различных уравнений запаздываний по времени. Будут ли, например, инвестиции текущего периода реагировать только на национальный доход, произведенный в последнем периоде, или же на них скажется динамика нескольких предыдущих периодов? Обычный выход из этих трудностей состоит в выборе при первоначальном анализе наиболее простой из возможных форм этих соотношений. Тогда появляется возможность записать на основе указанных выше положений линейную относительно анализируемых переменных и аддитивную относительно случайных составляющих модель: ; (3) ; (4) , (5) где опытные ограничения выражены неравенствами 0 < a1 < 1; ß1 > 0; ß2 > 0; обозначает потребление; – инвестиции; – национальный доход; – подоходный налог (налог на доходы физических лиц); – норма процента как инструмент государственного регулирования; – государственные закупки товаров и услуг, измеренные в момент времени t . Эти три соотношения вместе с ограничениями образуют математическую модель. Присутствие в уравнениях (3) и (4) остаточных случайных составляющих и обусловлено необходимостью учесть влияние на и ряда неучтенных факторов. Действительно, нереально ожидать, что величина потребления будет однозначно определяться уровнями национального дохода и подоходного налога ; аналогично величина инвестиций зависит, очевидно, не только от достигнутого в предыдущий период уровня национального дохода и от величины нормы процента , но и от ряда неучтенных в уравнении (4) факторов. Полученная модель содержит два уравнения и одно тождество, которые объясняют поведение потребителей и инвесторов, причем в дискретном варианте по времени. Этот пример поясняет общие черты одного из этапов эконометрического моделирования, в процессе которого исследователь математически формализует отдельные положения экономической теории и объединяет их в систему. 2.2. Основные понятия экономического моделирования В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования все участвующие в ней переменные подразделяются на: • экзогенные, т.е. задаваемые как бы «извне», автономно, в определенной степени управляемые (планируемые); • эндогенные, т.е. такие переменные, значение которых формируется в процессе и внутри функционирования анализируемой социально-экономической системы под воздействием экзогенных переменных и, конечно, во взаимодействии друг с другом; в эконометрической модели они являются предметом объяснения; • предопределенные, т.е. выступающие в системе в роли факторов-аргументов или объясняющих переменных. Из данных определений следует, что множество предопределенных переменных формируются из всех экзогенных переменных, которые могут быть привязаны к прошлым, текущим или будущим моментам времени, и так называемых лаговых эндогенных переменных, т.е. таких эндогенных переменных, значения которых входят в уравнения анализируемой эконометрической системы, измеренными в прошлые (по отношению к текущему) моменты времени, а следовательно, являются уже известными, т.е. заданными. В предыдущем примере потребление , инвестиции , национальный доход в текущий момент времени t являются эндогенными переменными; подоходный налог (налог на доходы физических лиц) , норма процента и государственные закупки товаров и услуг – экзогенными переменными, которые вместе с национальным доходом в предшествующий период времени образуют множество предопределенных переменных. Таким образом, можно сказать, что эконометрическая модель служит для объяснения поведения эндогенных переменных в зависимости от значений экзогенных и лаговых эндогенных переменных. При построении и анализе эконометрической модели следует различать ее структурную и приведенную формы (подробное пояснение этих понятий будет дано ниже). 2.3. Основные проблемы эконометрического моделирования Для пояснения сущности эконометрической модели и описания основных, возникающих при ее построении и анализе, проблем удобнее всего разбить весь процесс экономического моделирования на шесть основных этапов. 1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли; 2-й этап (опытный) – предмодельный анализ экономической сущности изучаемого объекта, формирование и формализация опытной информации, т.е. исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих; 3-й этап (параметризация) – собственно моделирование, т.е. выбор общего типа модели, в том числе состава и формы входящих в нее связей; 4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей на различных временных уровнях; 5-й этап (идентификация модели) – статистический анализ модели и в первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели; 6-й этап (вериация модели) – сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных. Следует отметить, что самыми трудоемкими этапами являются последние три. Суть именно эконометрической модели заключается в том, что она, будучи представленной в виде набора математических соотношений, описывает функционирование конкретной экономической системы, а не системы вообще. Поэтому она обязательно «настраивается» на конкретных статистических данных, а значит, предусматривает обязательную реализацию четвертого и пятого этапов моделирования. 2.4. Математико-статистический инструментарий эконометрики Содержание основного математико-статистического инструментария эконометрики в его традиционном понимании определяется следующими четырьмя разделами: • классическая линейная модель множественной регрессии (ЛММР) и классический метод наименьших квадратов (МНК); • обобщенная ЛММР и обобщенный МНК; • модели и методы статистического анализа временных рядов; • анализ систем одновременных эконометрических уравнений. Однако в современном понимании эти разделы должны быть дополнены широким спектром методов многомерного статистического анализа и в первую очередь методами и моделями распознавания социально-экономических образов, их типологизацию и снижение размерности исследуемого факторного пространства. 3. Mодель линейной регрессии 3.1. Введение в регрессионный анализ Регрессивный анализ занимает центральное место во всем математико-статистическом инструментарии эконометрики. Отметим самые основные понятия и определения регрессивного анализа. • Результирующая (зависимая, эндогенная) переменная (или признак) y характеризует результат или эффективность функционирования анализируемой экономической модели (системы). Ее значения формируются в процессе и внутри функционирования системы под воздействием ряда других переменных и факторов, часть из которых поддается регистрации и, в определенной степени, управлению и планированию (эту часть принято называть объясняющими переменными). В регрессионном анализе результирующая переменная выступает в роли функции, значения которой определяются (правда, с некоторой случайной погрешностью) значениями упомянутых выше объясняющих переменных, выступающих в роли аргументов. Поэтому по своей природе результирующая переменная – всегда случайная величина. • Объясняющие (экзогенные) переменные (или признаки) – поддающиеся регистрации, описывающие условия функционирования системы (модели) – в существенной мере определяют процесс формирования значений результирующей переменной, как правило, часть из которых поддается хотя бы частичному управлению и регулированию. Значение ряда объясняющих переменных задается как бы извне анализируемой системы, их принято называть экзогенными переменными. В регрессионном анализе они играют роль аргументов той функции, в качестве которой рассматривается анализируемый результирующий показатель y. По своей природе объясняющие переменные могут быть как случайными, так и не случайными величинами. • Функция регрессии y по X называется зависимость у = f (), если она описывает изменения условного среднего значения результирующей переменной y (при условии, что значения объясняющих переменных X, зафиксированных на уровне ) в зависимости от изменения значений объясняющих переменных. Математически это определение можно записать в виде f () = M (y | X = ), или в целях упрощения и в дальнейшем просто f (х) = M (y | X). (6) Одним из первых примеров исследований такого рода была работа шведских статистиков, пытавшихся по наблюдениям пар признаков (x – отклонение от среднего уровня в росте отца y – отклонение от среднего уровня в росте взрослого сына этого отца) установить и описать стохастическую связь, существующую между x и y. В процессе исследования была подтверждена гипотеза о наличии положительной статистической связи между ростом отца и ростом взрослого сына. Но была замечена и тенденция регрессии (отступления, возврата) в росте сыновей к среднему уровню, а именно: у очень высоких отцов – высокие дети, но не такие высокие, как они сами; и наоборот, у маленьких отцов – маленькие дети, но выше, чем сами их отцы. Функцию, описывающую такую закономерность, назвали функцией регрессии, после чего этот термин стали использовать применительно к любой функции, построенной аналогичными способами. Пусть переменная y – результирующая переменная в регрессионном анализе – выступает в роли функции, а значения – в роли аргумента, тогда уравнение регрессионной связи математически можно записать в виде y(X) = f(X) + ε(X); M(ε(X)) = 0. (7) Присутствие случайной остаточной составляющей ε(X) объясняется тем, что на y действуют еще некоторые неучтенные факторы или включает в себя случайную погрешность в вычисления переменной y. Все это зафиксировано в первом уравнении (7). Второе уравнение (7) непосредственно вытекает из равенства (6). Поскольку усреднение (вычисление математического ожидания) левых и правых частей в формуле (7) в первом уравнении при любом фиксированном значении X дает M(y (X)|X) = M (f (X)) + M (ε (X)) = M (f (X)), т.к. M (ε (X)) = 0 при любом фиксированном X, результирующая f (X) – не является случайной. Спецификация и способ статистического анализа модели типа (7) зависят от конкретизации требований к виду функции f (X), природе объясняющих переменных X и стохастических регрессионных остатков ε(X). Универсальной характеристикой степени тесноты статистической связи, существующей между результирующей переменной y и объясняющими переменными X, является коэффициент детерминации K(y;X). Принимая во внимание, что точность регрессионной модели определяется величиной дисперсии результирующего показателя D(y|X) (она характеризует разброс индивидуальных значений y(X) около значения, лежащего на линии регрессии f(X), при фиксированном X, а усредненная (по всем значениям X) дисперсия определяется формулой Mx [D(y|X)] = [1 – K (y; X)] Dy, можно сделать вывод, что величина коэффициента детерминации K (y; X) (или квадрат множественного коэффициента корреляции при исследовании линейных моделей) является решающей характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели. Все выводы в регрессионном анализе, так же как и в любом статистическом исследовании, строятся на основании имеющихся исходных статистических данных. Итак, пусть мы располагаем результатами регистрации анализируемых объясняющих переменных (x(1), x(2), x(3),…, x(p)) и результирующей y на n статистических объектах. Если i – номер обследуемого объекта, то исходные данные состоят из n строк вида (8) Данные (8) в регрессионном анализе представятся в виде матриц: (9) матрица размера n × ( p +1 ), составленная из наблюденных значений объясняющих переменных, и (10) матрица размера n × 1 (т.е. вектор-столбец высоты n ), составленная из наблюденных значений результирующей переменной. Возможны ситуации, когда данные регистрируются на одном и том же объекте, но в разные периоды времени, а возможна ситуация, когда «отслеживается» каждый из n объектов в течении N тактов времени. Эти выборки можно классифицировать как пространственную (в первом случае), как временную (во втором) и как пространственно-временную (в третьем). В любой из этих ситуаций исходные данные можно представить в форме (9) и (10). Анализ регрессионных зависимостей (7) на базе исходных данных (9) и (10) нацелены на решение следующих задач: 1) для любых заданных значений объясняющих переменных X = (x(1), x(2), x(3),…, x(p))T построить наилучшие в определенном смысле точечные и интервальные (с доверительной вероятностью р) оценки соответственно и ∆ [f(X)]p для неизвестной функции регрессии f(X); 2) для любых заданных значений объясняющих переменных X = (x(1), x(2), x(3),…, x(p))T построить наилучшие в определенном смысле точечный и интервальный (с доверительной вероятностью р) прогнозы соответственно и ∆ [f(X)]p для неизвестной функции регрессии f(X); 3) пусть известно, что искомая функция регрессии принадлежит некоторому параметрическому семейству функций [f(X;)], где T – векторный параметр, все или некоторые из них допускает определенную экономическую интерпретацию. Требуется построить наилучшие в определенном смысле точечные и интервальные оценки для неизвестных значений этих параметров; 4) оценить удельный вес влияния каждой из объясняющих переменных x(1), x(2), x(3),…, x(p) на результирующий показатель f(X) и, в частности, определить, какие из объясняющих переменных можно исключить из модели (7) как практически не влияющие на процесс формирования значений результирующего показателя. Итак, регрессионный анализ, собственно говоря, начинается с выбора параметрического семейства функций, т.е. с задачи 3. Здесь используется тезис, что не следует увлекаться чрезмерной сложностью функции, описывающей поведение функции регрессии. Следуя логике от простого к сложному, обычно начинают анализ с линейной модели, т.к. она проста при решении всех задач. 3.2. Модель парной линейной регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК) Пусть есть набор значений двух переменных xt, yt (t = 1, 2,…, n), которые можно отобразить как пары (xt; yt) – точками плоскости (x; y). Предположим, что нашей задачей является подобрать функцию y = f(X) из параметрического семейства функций f(X;ß), «наилучшим» способом описывающую зависимость Y от X. Подобрать – это означает выбрать наилучшее значение параметра . В качестве параметрического семейства возьмем линейную функцию (11) а параметры a и b выберем так, чтобы сумма квадратов отклонений была бы минимальной, т.е. найдем минимум функционала. , (12) необходимые условия экстремума которого имеют вид или (12’) Опустив индексы суммирования при знаке Σ и раскрыв скобки, получим стандартную форму нормальных линейных уравнений относительно параметров a и b: (13) поделив обе части равенств уравнений на n, получим (14) где . Выразив из первого уравнения системы (14) параметр и подставив его в уравнение (11), будем иметь (15) следовательно, прямая линия регрессии проходит через точку (). Параметр вычислим из второго уравнения системы (14): . (16) Параметр называется угловым коэффициентом прямой линии регрессии уравнения (15) или уравнения (11), причем числитель дроби (16) есть коэффициент ковариации переменных x и y, а знаменатель дроби – дисперсия переменной x относительно ее общей средней . Следует отметить, что при > 0 наблюдается рост переменной y относительно x , а при < 0 – ее уменьшение. Таким образом, уравнение (11), полученное в результате минимизации функционала (12), проходящей через точку где и – выборочные средние значения и . Здесь предполагается, что среди не все числа одинаковы, т.е. дисперсия и формула (16) имеет смысл. Метод, с помощью которого были найдены параметры уравнения (11), носит название метода наименьших квадратов (МНК). Если в системе (14) положить = = 0, тогда = 0; . (16’) Метод наименьших квадратов (МНК) в матричной форме Рассмотрим n-мерное векторное пространство, в котором справедливо евклидово скалярное произведение векторов: где здесь – вектор, лежащий в двумерной гиперплоскости (π), натянутой на векторы i и (i и – векторы неколлинеарны); а и b – числовые коэффициенты (параметры). Поставим задачу: найти такие значения параметров а и b, чтобы вектор имел наименьшую длину, т.е. наилучшим образом аппроксимировать вектор вектором в пространстве (π). Решением задачи, очевидно, будет такой вектор , для которого вектор перпендикулярен [ортогонален плоскости (π)] векторам i и , т.е. необходимо и достаточно выполнение условия ; (12") . Нетрудно заметить, что последние формулы совпадают с формулами (12'). Введем следующие обозначения матриц: где X – матрица размерности . Вектор ортогонален плоскости, (π), если выполняется условие откуда находим коэффициенты матрицы ; но так как векторы i и неколлинеарны, то матрица – невырожденная, т.е. имеет обратную. Таким образом, матрица имеет единственное решение, т.е. параметры a и b определяются однозначно. 3.3. Линейная регрессионная модель с двумя переменными Запишем уравнение зависимого от в виде (17) где – неслучайная (детерминированнная) величина; и – случайные величины; – зависимая переменная (объясняемая); – независимая переменная (объясняющая) или регрессор. Уравнение (17) называется регрессионным уравнением. Возникает вопрос: какова природа ? Возможны две причины случайности : 1) модель (17) является упрощенным вариантом реальной действительности, т.е. возможны другие параметры, от которых зависит ; 2) ошибки измерения переменных. Таким образом, – случайная величина с некоторой функцией распределения, которой соответствует функция распределения случайной величины . Основные гипотезы 1.  – спецификация модели. 2.  – детерминированнная величина; – вектор неколлинеарен вектору 3а.  – не зависит от t. 3b. , при t ≠ s, т.е. некоррелированность ошибок для разных наблюдений. 3c.  т.е. – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией . В этом случае модель (17) называется нормальной линейной регрессионной моделью с двумя переменными. Прокомментируем гипотезы, лежащие в основе линейной регрессионной модели. 1. Спецификация модели отражает наше представление о механизме зависимости от , а также выбор объясняющих переменных . 3а, b. Эти условия в векторной форме имеют вид где – единичная матрица размерности – матрица ковариаций размерности Условие означает, что т.е. при фиксированном среднее ожидаемое значение равно . Условие независимости дисперсии ошибок от номера наблюдения называется гомоскедастичностью, в случае невыполнения этого условия, зависимость дисперсии ошибок от номера наблюдений называется гетероскедастичностью. Условие при t ≠ s указывает на некоррелированность ошибок для разных наблюдений. Это условие часто нарушается в случае, когда данные являются временными рядами (тогда говорят о автокорреляции ошибок). Отметим, что условия 3а, b можно записать в терминах зависимой переменной: Итак, основная задача – оценить все три параметра модели: а, b, . Для оценки параметров а, b «наилучшим» способом, т.е. требуется найти в классе линейных (по ) несмещенных оценок, в смысле имеющих минимальную дисперсию, используется теорема Гаусса-Маркова, которую приводим без доказательства. Теорема Гаусса-Маркова. В предположениях модели 1 – 3а, b, оценки и , полученные по методу наименьших квадратов (МНК) по формулам (16), имеет наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок. Действительно: 1) оценки и , полученные по формулам (16), являются несмещенными оценками истинных значений а и b, т.е. и и ; (18) 2) дисперсия оценок и вычисляется по формулам (19) 3) коэффициент ковариации оценок находит по формуле (20) 4) оценка дисперсии ошибок определяется по формуле (21) которая является несмещенной оценкой дисперсии ошибок . Формулы (19) дают дисперсии оценок и , коэффициентов регрессии в том случае, когда известно. На практике, как правило, дисперсия ошибок неизвестна и оценивается по наблюдениям одновременно с коэффициентами регрессии а и b. В этом случае вместо дисперсии оценок и получаем лишь оценки дисперсий и , заменив на , т.е. по формулам: (22) а оценку коэффициента ковариации – по формуле: (23) Стандартные отклонения оценок коэффициентов регрессии вычисляются на основе формул (22): (24) 3.4. Анализ статистической зависимости коэффициентов линейной регрессии. Сравнение истинных и оцененных зависимостей Пусть выполняется условие нормальной регрессионной модели ~ т.е. – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией , или то же самое: имеет совместное нормальное распределение. Тогда МНК – оценки коэффициентов регрессии и – также имеют совместное нормальное распределение, т.к. они являются линейными функциями от , т.е. ~; ~ (25) Если гипотеза нормальности ошибок не выполняется, то формулы (25) неверны, но при оценки и асимптотически стремятся к нормальному распределению, тогда условие (25) выполняется при . Если – нормально распределенная величина, то случайная величина ~ имеет распределение «хи-квадрат» с (n – 2) степенями свободы, где – дисперсия ошибок. Следует отметить, что и МНК – оценки и – независимы. Действительно, оценка дисперсии ошибок является функцией остатков регрессии (21), для доказательства независимости и ( и ) достаточно доказать независимость и ( и ), т.е. требуется доказать, что и . Из формулы (25) имеем, что ~ тогда ~ из которой вытекает, что случайная величина ~ (26) где имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Аналогично ~ (27) где имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. Статистику (26) можно использовать для проверки гипотезы : против альтернативной гипотезы :. Предположим, что верна гипотеза и зададимся вероятностью γ, например, γ = 95 % – квантилью t-распределения с степенями свободы , т.е. Мы отвергаем гипотезу (и принимаем) на 5 %-ном уровне значимости, если (редкое событие с точки зрения гипотезы ), в противном случае мы не можем отвергнуть (и принимаем ). Разрешив неравенство относительно b, будем иметь т.е. доверительный интервал для b с доверительной вероятностью γ. Наиболее просто выглядит t-статистика при гипотезе : b = 0, а именно: . Это значение и приводится всеми компьютерными пакетами в результатах регрессии. Значение позволяет сделать вывод об отличии от 0 коэффициента регрессии, а следовательно, о наличии связи (влияния) x и y. Малое значение t-статистики соответствует отсутствию статистической связи переменных x и y. Проведем анализ вариации (разброса) зависимой переменной в регрессии вокруг своего среднего значения, т.е. . Разобьем эту вариацию на две части: объясненную регрессионным уравнением и необъясненную, т.е. связанную с ошибками . Пусть – прогноз значения , а разность Тогда . Последнее слагаемое равно нулю, т.к. вектор ортогонален вектору i и вектору (см. формулы МНК в матричной форме). Окончательно получим равенство . (28) Введем обозначения: – общая дисперсия; – необъясненная часть всей дисперсии; – объясненная часть всей дисперсии. Тогда формула (28) примет вид TSS = ESS + RSS (28') или RSS = TSS – ESS, поделив обе части равенства на TSS, получим . (29) Величина называется коэффициентом детерминации, который равен – коэффициенту множественной линейной корреляции, который принимает значение 0 ≤ K≤ 1. Если К = 0, это означает, что регрессия ничего не дает, т.е. не улучшает качество предсказания по сравнению с тривиальным предсказанием. Если К = 1, это означает, что точки наблюдения лежат на регрессионной прямой (все = 0). Следовательно, чем ближе к единице значение К, тем лучше качество подгонки, т.е. уравнение регрессии более точно аппроксимирует значения . Численное значение коэффициента детерминации отражает долю общей вариации результирующего признака y, объясненную изменением функции регрессии f(x). На практике же вычисляют выборочный коэффициент детерминации по формуле (30) где . Пример 3.1. В табл. 1 приведены данные наблюдений. Таблица 1 1 2 3 4 5 1,0 1,3 2,0 2,4 2,8 Необходимо: 1) составить уравнение регрессии, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных. Решение. Так как ; ; Уравнение регрессии , коэффициенты и определим из системы уравнений (14) по формулам (16): Уравнение регрессии имеет вид или , т.е. уравнение прямой, проходящей через точку . Так как = 0,47 > 0, то наблюдается рост y относительно x. Коэффициент ковариации переменных x и y равен Дисперсия Среднее квадратическое отклонение Дисперсия Среднее квадратическое отклонение Коэффициент линейной корреляции т.е. корреляционная зависимость «очень сильная», следовательно, близка к функциональной линейной зависимости; 2) определить параметры и , используя МНК в матричной форме. Решение. Введем матрицы Исходная матрица определяется по формуле Произведем операции над матрицами в порядке их расположения: ; , т.е. матрица невырожденная и имеет обратную ; ; т.е. и Таким образом, результаты вычислений совпадаю; 3) найти оценки параметров a, b и . Решение. Для их определения составим табл. 2. Таблица 2 1 2 3 4 5 1,0 1,3 2,0 2,4 2,8 -2 -1 1 2 -0,9 -0,6 0,1 0,3 0,9 0,96 1,43 1,9 2,37 2,94 0,04 -0,13 0,1 0,03 -0,04 -0,94 -0,47 0,47 0,94 Так как известны а также уравнение прогноза то на основании этих данных вычислим значения следующих величин: ; . 4) найти параметры нормального распределения для статистик и . Решение. Из формул (25) имеем ~ ~= ; 5) найти доверительные интервалы для a и b на основании оценок и при уровне значимости . Решение. Так как вероятность доверия равна по распределению Стьюдента (см. приложения). Из формулы доверительный интервал для b определяется из неравенства или Тогда Аналогично доверительный интервал для параметра a определяется из формулы а доверительный интервал – из неравенства или ; ; ; 6) вычислить коэффициент детерминации. Решение. Проверим справедливость формулы (28), т.е. Из табл. 2 найдем необходимые данные: Справедливо равенство (28') TSS = ESS + RSS. 2,24 = 0,031 + 2,209. Из формулы (29) определим коэффициент детерминации: Следовательно, качество подгонки очень высокое, т.е. выбранное уравнение регрессии очень хорошо аппроксимирует значение , полученное на основе наблюдений, приведенных в табл. 1. 4. Mодель множественной линейной регрессии 4.1. Основные гипотезы. Метод наименьших квадратов Обобщением линейной регрессионной модели с двумя переменными является многомерная регрессионная модель, или модель множественной линейной регрессии. Рассмотрим основные гипотезы этой модели: 1.  (t = 1, 2,…, n) – спецификация модели. 2.  – детерминированные (независимые) переменные. 3а. , – не зависит от t. 3b.  (при t ≠ s) – некоррелированность ошибок для разных наблюдений. 3c. ~ т.е. – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием, равным 0, и дисперсией . В этом случае модель 1 – 3 называется нормальной линейной множественной регрессионной моделью. Гипотезы, лежащие в основе множественной регрессии, удобно записать в матричной форме, которой и будем пользоваться в дальнейшем. Обозначим – матрица – столбец; – вектор коэффициентов размерности ; – вектор ошибок; – матрица объясняющих переменных … размерности . Столбцами матрицы X являются векторы регрессоров размерности , т.е. i = 1, 2,…, n. Тогда условия гипотез 1 – 3 в матричной форме будут иметь вид: 1.  – спецификация модели. 2. X – детерминированная матрица, имеющая максимальный ранг, равный k. 3a, b. , , – единичная матрица. 3c. ~ т.е. – нормально распределенный случайный вектор со средним 0 и матрицей ковариаций Как и в случае регрессионного уравнения с одной переменной, целью метода является выбор вектора оценок , минимизирующего сумму квадратов остатков (т.е. квадрат длины вектора остатков e): – min. Так как Применяя необходимые условия минимума с использованием дифференцирования по вектору получим: откуда, учитывая невырожденность матрицы находим оценку метода наименьших квадратов (МНК): (31) Как видно, эта формула совпадает с аналогичной формулой для одной независимой переменной. Можно показать, что вектор остатков e ортогонален всем векторам – регрессорам. Отметим, что на основании теоремы Гаусса-Маркова, модель с гипотезами 1 – 3 имеет оценку МНК наиболее эффективной (в смысле наименьшей дисперсии) оценкой в классе линейных (по Y) несмещенных оценок. 4.2. Статистические свойства МНК-оценок Оценка дисперсии . Распределение Сначала введем обозначения, которые будут полезны в дальнейшем. Вектор прогнозных значений (32) Вектор остатков регрессий: (33) Следует отметить, что матрицы M и N идемпотентны и симметричны, т.е. выполняются условия: (идемпотентность); (симметричность); . . Поэтому справедливы равенства ; (34) Вычислим математическое ожидание и матрицу ковариаций вектора остатков e: Сумма квадратов остатков является естественным кандидатом на оценку дисперсии ошибок с поправкой на число степеней свободы, т.к. справедливо равенство (35) Из равенства (35) следует, что (36) является несмещенной оценкой дисперсии ошибок , т.е. Из (34) следует, что статистики ~ распределены по закону «хи-квадрат» (Пирсона) с (n – k) степенями свободы: ~ (37) Можно доказать, что оценки и – независимы. 4.3. Показатели качества регрессии Как и в случае регрессионной модели с одной независимой переменной, вариацию можно разбить на две части: объясненную регрессионным уравнением и необъясненную (т.е. связанную с ошибками ), тогда или в матричной форме (38) отсюда вытекает равенство (39) TSS ESS RSS Найдем коэффициент детерминации: (40) Коэффициент детерминации показывает качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям . Если = 0, то регрессия у на х не улучшает качество предсказания по сравнению с тривиальным предсказанием = . Если = 1, что означает точную подгонку, то все точки наблюдения удовлетворяют уравнению регрессии. В какой степени допустимо использовать критерий для выбора между несколькими регрессионными уравнениями? Отметим следующие два замечания: 1)  растет при добавлении каждого нового регрессора; 2)  изменяется даже при простейших преобразованиях зависимой переменной, поэтому сравнивать по значению можно только регрессии с одинаковым числом переменных. Если взять число регрессоров равным числу наблюдений, всегда можно добиться того, что = 1, но это не означает наличия содержательной (действительной) зависимости у от регрессоров. Попыткой устранить эффект, связанный с ростом при возрастании числа регрессоров, является коррекция на число регрессоров, т.е. вычисляется по формуле (41) где В определенной степени использование скорректированного коэффициента детерминации более корректно для сравнения регрессий при изменении числа регрессоров. Что лучше использовать в качестве значений зависимой переменной в момент t: наблюденные значения или прогноз ? Как ни парадоксально, но лучше брать , чем , при этом предполагается, что наблюденные значения удовлетворяют модели 4.4. Проверка статистических гипотез. Доверительные интервалы В 4.2 показано, что: 1. Вектор оценок имеет нормальное распределение со средним и матрицей ковариаций т.е. ~ В качестве оценки дисперсии берется величина 2. Случайная величина ~ распределена по закону «хи-квадрат» с степенями свободы. 3. Оценки и независимы. На основании вышесказанного получаем, что ~ (42) т.е. статистика распределена по закону Стьюдента. Из (42) получаем, что является, например, 95 %-ным доверительным интервалом для истинного значения коэффициента , где – двухсторонняя 95 %-ная– квантиль распределения Стьюдента с степенями свободы. Для тестирования нулевой гипотезы := также применяется статистика (42), а именно: нулевая гипотеза отклоняется на 5 %-ном – уровне значимости, если Проверка гипотез := = …== 0 (т.е. коэффициенты при всех регрессорах равны нулю) проводится с помощью распределения Фишера [F~F(k – 1; n – k)]. Гипотеза отвергается на 5 %-ном уровне значимости, если , где – односторонняя 95 %-ная – квантиль распределения Фишера с (k – 1) и (n – k) степенями свободы. Пример 4.1. В табл. 3 приведены данные наблюдений. Таблица 3 № предприятий Стоимость основных производственных фондов , млн. руб. Уровень затрат на реализацию , % к стоимости реализованной продукции Объем реализованной продукции y, млн. руб. 1 3 4 20 2 3 3 25 3 5 5 20 4 6 8 30 5 8 10 35 Необходимо: 1. Составить уравнение регрессии, используя МНК, и найти числовые характеристики переменных. Решение. Уравнение регрессии ищем в виде уравнения где – матрица-столбец (значения результирующего показателя); – параметры; – матрица объясняющих переменных. Исходная матрица определяется по формуле Произведем последовательно операции над матрицами: Уравнение регрессии имеет вид 2. Найти оценки параметров и . Решение. Вектор оценок и есть Вектор прогнозных значений: Вектор остатков регрессий: Найдем исправленную несмещенную оценку дисперсии: 3. Найти коэффициент детерминации. Решение. где TSS ESS RSS TSS = ESS + RSS; , т.к. близок к единице, то качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям очень хорошее. 4. Оценить статистическую зависимость между переменными. Решение. Вычислим ковариационную матрицу где Найдем соответствующие величины: Итак, ковариационная матрица имеет вид Корреляционная матрица имеет вид где Вычислим коэффициенты корреляции между случайными величинами, которые измеряют степень тесноты линейной статистической связи между случайными величинами: Итак, корреляционная матрица имеет вид Вывод: действительно, между переменными и , а также между и y и и y существует довольно сильная линейная зависимость. 5. Обобщенная линейная модель множественной регрессии (ОЛММР) и обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК) При моделировании многих реальных экономических или социально-экономических процессов можно столкнуться с ситуациями, когда условия классической линейной модели множественной регрессии (КЛММР) не выполняются, т.е. не выполняются условия некоррелированности и гомоскедастичности регрессионных остатков, которые в терминах ковариационной матрицы остатков выражаются соотношением где – единичная матрица размерности С этой точки зрения весьма актуальной является задача расширения КЛММР в направлениях отказа от упомянутых условий. Формальная запись ОЛММР от КЛММР отличается только отказом от требования некоррелированности и гомоскедастичности регрессионных остатков. Пусть – некоторая симметричная, положительно-определенная матрица порядка И пусть ковариационная матрица регрессионных остатков = выражается через соотношением Будем предполагать, что здесь неизвестна, а матрица известна. Тогда ОЛММР описывается системой соотношений и условий: 1.  – спецификация модели. 2. X – детерминированная матрица, имеющая максимальный ранг равный k. 3a. ; . 3b.  Сравнение ОЛММР с КЛММР показывает, что они различаются только видом ковариационной матрицы ошибок . В КЛММР предполагалось, что матрица с точностью до неизвестной положительной константы равна единичной матрице , что обеспечивало некоррелированность и гомоскедастичность остатков , в то время как в ОЛММР допускается, что ковариация (а следовательно дисперсия и корреляция) остатков могут быть произвольными при сохранении условия невырожденности матрицы . Именно в этом суть обобщения модели. Рассмотрим два типа распространенных на практике эконометрических моделей, которые вкладываются в рамки ОЛММР, но не могут быть описаны в рамках КЛММР. 1. Линейная модель регрессии с гетероскедастичными регрессионными остатками. В этом случае ковариационная матрица регрессионных остатков может быть представлена в виде (как один из частных случаев) . (43) Здесь величина неизвестна (оценивается по выборке), а значения считаются известными, для статистического оценивания которых разработаны подходы при определенных формах параметризации. 2. Линейная модель регрессии с автокоррелированными остатками. В случае регистрации исходных данных во времени регрессионные остатки (i = 1, 2, …, n) оказываются взаимозависимыми, т.е. коррелированными, а значит, ковариационная их матрица не может быть диагональной. Естественным допущением относительно природы зависимости остатков является гипотеза, в соответствии с которой эта зависимость ослабевает по мере взаимного удаления друг от друга во времени. Наиболее простой математической формой реализации этого допущения является (44) где – коэффициент корреляции между и ; – коэффициент корреляции между соседними по времени остатками, причем корреляционная связь между и исчезает вовсе при , т.е. при неограниченном удалении и друг от друга во времени. Ковариационная матрица остатков имеет вид (45) Оценки параметров определяются на основании обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК). Оценки по ОМНК определяются соотношениями (46) которые в классе линейных несмещенных оценок параметров модели ОЛММР являются оптимальными в смысле теоремы Гаусса-Маркова. Оценкой параметра является оценка : (47) которая является несмещенной оценкой в ОЛММР. Статистика ~ (48) т.е. распределена по закону Пирсона с степенями свободы. Пример 5.1. Пусть y – издержки; – объем продукции; – основные производственные фонды; – численность работников. Тогда уравнение является моделью издержек производства с соответствующими факторами. Предполагая, что пропорциональна квадрату численности работников , получим в качестве результирующего признака затраты на одного работника , а в качестве факторов – следующие показатели: производительность труда и фондовооруженность труда . Соответственно трансформированная модель примет вид где параметры и численно не совпадают с аналогичными параметрами предыдущей модели. Кроме этого, коэффициенты регрессии меняют экономическое содержание при обобщенном МНК: среднее изменение затрат на работника зависит от производительности труда и фондовооруженности труда. Если предположить, что в модели с первоначальными переменными дисперсия остатков пропорциональна квадрату обмена продукции, т.е. то можно перейти к уравнению регрессии вида в этом уравнении переменные: – затраты на единицу продукции; – фондоемкость продукции; – трудоемкость продукции. 6. Регрессионные модели с переменной структурой В процессе исследования в линейные регрессионные модели включают так называемые фиктивные (бинарные) переменные, как правило, когда хотят исследовать еще влияние качественных признаков. Бинарные (фиктивные) переменные принимают обычно только два значения: 0 – если этот признак отсутствует и 1 – если этот признак присутствует. Способ включения фиктивных переменных в модель зависит от априорной информации относительно влияния качественных признаков на зависимую переменную и от гипотез, которые проверяются с помощью этой модели. Естественно, от введения фиктивных переменных зависит и интерпретация оценки коэффициента при ней. Приведем два примера, поясняющее вышесказанное. Пример 6.1. Пусть – набор объясняющих переменных (независимых), а – размер заработной платы t работника, т.е. первоначальная модель опишется уравнениями (t = 1, 2,…, n). Введем в исследование модели следующий качественный фактор – наличие высшего образования у работника, т.е. введем фиктивную переменную , полагая, что = 1, если у t работника оно есть, и = 0, если у t работника его нет. Рассмотрим новую систему уравнений: (t = 1, 2,…, n). Иными словами, принимая новую модель, считаем, что средняя заработная плата есть при отсутствии высшего образования и – при его наличии. Таким образом, величина интерпретируется (истолковывается) как средство изменения заработной платы при переходе из одной категории (без высшего образования) в другую (с высшим образованием). Тогда, тестируя гипотезу = 0, легко понять, что проверяется предположение о несущественном различии в заработной плате между категориями. Следует понимать, что фиктивная переменная такая же равноправная переменная, что и , только ее фиктивность состоит в том, что она количественным образом описывает качественный признак. Пример 6.2. Пусть – объем потребления в месяц t некоторого продукта и есть основание считать, что потребление его зависит от сезонности, т.е. времени года. Для выявления влияния сезонности введем три фиктивные (бинарные) переменные: , и . Например: = 1, если месяц t является летним; = 0 – в остальных случаях; = 1, если месяц t является зимним; = 0 – в остальных случаях; = 1, если месяц t является весенним; = 0 – в остальных случаях. Четвертую бинарную величину не вводим, т.к. тогда для любого месяца t выполнялось бы тождество +++ = 1, что означало бы линейную зависимость исходных переменных и, как следствие, невозможность получения МНК-оценок. Требуется оценить регрессионную модель: (t = 1, 2,…, 12). Эту ситуацию можно прокомментировать следующим образом: • среднемесячный объем потребления есть – для осенних месяцев; • среднемесячный объем потребления есть +– для летних; • среднемесячный объем потребления есть +– для зимних; • среднемесячный объем потребления есть +– для весенних. Таким образом, оценки (i = 1, 2, 3) показывают средние сезонные отклонения в объеме потребления продукта по отношению к осенним месяцам. Тестируя гипотезу = 0, мы проверяем предложение о несущественном различии потребления продукта между осенним и весенним месяцами. При тестировании гипотезы = это означает, что нет различия между летним и зимним периодами времени и т.д. и т.п. Фиктивные переменные, несмотря на свою внешнюю простоту, являются гибким инструментом при исследованиях влияния качественных признаков. Пример 6.3. Рассмотрим применение фиктивных переменных для функции спроса. Предположим, что по группе лиц мужского и женского пола изучается линейная зависимость потребления кофе от цены, которая имеет вид где y – количество потребляемого кофе; x – его цена. Рассмотрим отдельно уравнения для лиц мужского и женского пола соответственно: и Различия в потреблении кофе проявятся в различии средних и . Вместе с тем сила влияния x на y может быть одинаковой, т.е. . В этом случае возможно построение общего уравнения регрессии с включением в него фактора «пола» в виде фиктивной переменной. Объединяя уравнения и и вводя фиктивные переменные, можно прийти к следующему уравнению: где и – фиктивные переменные, принимающие значения: В общем уравнении регрессии зависимая переменная y рассматривается как функция не только цены x, но и пола . Различия в потреблении кофе лиц женского и мужского пола вызваны различиями свободных членов уравнений регрессий: . Параметр b является общим для всей совокупности лиц, независимо от пола. Применение МНК для оценивания параметров и приводит к вырожденной матрице исходных данных, а следовательно, и к невозможности получения оценок. Выходом из создавшегося положения может стать переход к уравнениям или т.е. уравнение включает только одну фиктивную переменную: или . Предположим, что выбрано уравнение , где Теоретические значения размера потребления кофе для мужчин будут получены из уравнения Для женщин теоретические значения размера потребления кофе получим из уравнения 7. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация Многие важные связи в экономике являются не только линейными, но и нелинейными. Примерами такого рода регрессионных моделей являются модели, связанные с изучением так называемых производственных функций (зависимостей, существующих между объемом произведенной продукции и основными средствами производства – трудом, капиталом и т.п.), функций спроса (зависимостей, существующих между спросом на какой-либо товар или услугу, с одной стороны, и доходами и ценами на этот товар или услугу – с другой). При параметризации регрессионной модели, т.е. выбора параметрического семейства функций в рамках которого производится дальнейший поиск неизвестной функции регрессии является одновременно наиболее важным и наименее формализованным и теоретически обоснованным этапом регрессионного анализа. Если же в результате реализации этого этапа эконометрист пришел к выводу, что модель нелинейна, то он дальше сделает следующие: 1) попытается с помощью преобразований свести модель к линейной, что дальше и будет показано; 2) если этого не удается сделать, то задача решается в полученном виде, но оценки параметров находятся как решение задач оптимизационного типа. Рассмотрим некоторые типы нелинейных моделей, поддающиеся линеаризации. I. Зависимость гиперболического типа 1. Положим, что переменные х и у и регрессионные остатки связаны между собой зависимостью вида (49) Кривая регрессии является гипербола. С помощью преобразования объясняющей переменной эта зависимость приводится к линейной: Соответственно при вычислении МНК-оценок параметров и второй столбец должен быть сформирован из чисел 2. Положим, что переменные х и у и регрессионные остатки связаны между собой зависимостью вида Введя новую переменную получим линейную модель При вычислении МНК-оценок необходимо помнить, что в качестве вектора наблюденных значений зависимой переменной есть вектор 3. Если модель сводится к уравнению то введением новых переменных и уравнение сводится к линейному II. Зависимость показательного типа Достаточно широкий класс экономических показателей характеризуется приблизительно постоянным темпом относительно прироста по времени, т.е. зависимостью вида (50) где y – экономический показатель; x – время. Действительно, если пренебречь, т.е. = 0, то непосредственные расчеты дают следующий результат: а относительный прирост у за единицу времени (т.е. за единицу количества х) определяется выражением (в долях у). Если ввести новую переменную , то уравнение сводится к линейному где III. Зависимость степенного типа Зависимости такого типа широко распространены на практике при решении социально-экономических задач, модель которых сводится к уравнениям вида: (51) Если ввести новые переменные: то уравнение сводится к линейному: IV. Зависимость логарифмического типа Если зависимость между х и у задана в виде (52) то, введя переменную , приходим к линейной модели Пример 7.1. Еще немецкий статист Энгель в середине XIX в. при исследовании семейных расходов заметил закономерность – с ростом дохода доля дохода, расходуемая на продовольствие, уменьшается. Соответственно с увеличением дохода доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, возрастает. Однако это увеличение не беспредельно, ибо на все товары сумма долей не может быть больше единицы или 100 %. Этот процесс хорошо описывается функцией гиперболического вида (кривая Энгеля) или полулогарифмической функции вида (кривая Лизера), где y – доля расходов на непродовольственные товары, x – доходы (или общая сумма расходов). В первом случае, введя подстановку получим уравнение Во втором случае, положив , получим уравнение Применим полулогарифмическую функцию зависимости расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи от дохода семьи по следующим данным, приведенных в табл. 4. Таблица 4 Среднемесячный доход семьи х, (тыс. руб.) 1 2 3 4 5 6 Процент расходов на товары длительного пользования у 10 13,4 15,4 16,5 18,6 19,1 Решение. Оценки параметров a и b могут быть найдены МНК. Система нормальных уравнений имеет вид ; Суммы, необходимые для расчета, составили: Решая систему нормальных уравнений получим а = 9,88; b = 5,13. Тогда уравнение будет иметь вид которая достаточно хорошо описывает исходные данные, что видно из табл. 5 сравнения фактических и теоретических значений у. Таблица 5 9,9 13,4 15,5 17,0 18,1 19,1 Сумма 0,1 0,0 - 0,11 - 0,5 0,5 0,0 0,0 0,01 0,0 0,01 0,25 0,25 0,0 0,52 Для определения тесноты корреляционной связи воспользуемся коэффициентом детерминации: т.к. то Линейный коэффициент корреляции между переменными у и lnx найдем по формуле Отметим, что Пример 7.2. Использование степенной функции связано с тем, что параметр b имеет четкое экономическое толкование, а именно является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на один процент. Действительно, формула коэффициента эластичности имеет вид Для степенной функции ; тогда Параметр экономически не интерпретируется. Для оценки параметров функции применим МНК к линеаризованному уравнению для которого система нормальных уравнений имеет вид Предположим, что решая задачу зависимости спроса от цены, было получено уравнение или Следовательно, с увеличением цен на 1 % спрос снижается в среднем на 1,12 %. В виде степенной функции изучается не только эластичность спроса, но и эластичность предложения. При этом эластичность спроса характеризуется параметром b < 0, а эластичность предложения b > 0. 8. Временные ряды Ряд наблюдений анализируемой случайной величины , произведенных в последовательные моменты времени , называется временным рядом. Будем рассматривать временные ряды с равноотстоящими моментами наблюдений, т.е. где Δ – заданный временной такт (минута, час, сутки, неделя, квартал, год). Временной ряд не следует путать с последовательностью наблюдений , образующих случайную выборку по двум причинам: 1) во-первых, члены временного ряда не являются статистически независимыми; 2) во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными, т.е. при . Это означает, что свойства и правила статистического анализа нельзя использовать для анализа временных рядов. С другой стороны, взаимозависимость членов временного ряда дает возможность построения базы для прогнозирования. Встает вопрос: каковы структура и классификация основных факторов, под воздействием которых формируются значения элементов временного ряда? Выделим четыре типа этих факторов: (A). Долговременные, формирующие общую тенденцию в изменении анализируемого признака . Обычно эта тенденция описывается с помощью той же или иной неслучайной функции (монотонной), которую называют трендом, т.е. (B). Сезонные, формирующие периодически повторяющиеся в определенное время года колебания анализируемого признака . Результат действия сезонных факторов описывается неслучайной функцией – периодической, следовательно, должна содержать тригонометрические функции. (C). Циклические (коньюнктурные), формирующие изменение анализируемого признака, обусловленного действием долговременных циклов экономической, демографической или астрофизической природы. Результат действия циклических факторов обозначается с помощью неслучайной функции . (D). Случайные (нерегулярные), не поддающиеся учету и регистрации. Их воздействие обозначается с помощью случайных величин – остатков или ошибок, т.к. – случайные величины. При формировании значений временного ряда не обязательно, чтобы все четыре вида факторов присутствовали в этом процессе, но участие в них (D) обязательно. Примем в качестве гипотезы для определенности аддитивную структурную схему влияния факторов A, B, C и D на формирование , которая означает правомерность представления членов временного ряда в виде разложения: (t = 1, 2, …, N). (*) где Выводы о том, что есть или нет факторов данного типа в формировании базируются на анализе содержательной сущности задачи. Основные задачи временных рядов: 1. Определить, какие из неслучайных функций и присутствуют в разложении (*), т.е. значение индикаторов (вместо D может быть A или B, или C). 2. Построить «хорошие» оценки для тех неслучайных функций, которые присутствуют в разложении (*). 3. Подобрать модель, адекватно описывающую поведение случайных остатков , и статистически оценить параметры этой модели. Успешное решение задач 1 – 3, обусловленных базисной целью статистического анализа временного ряда, является основой для достижения конечных прикладных целей исследования и, в первую очередь, для получения прогноза новых значений временного ряда. Стационарные временные ряды характеризуются тем, что их среднее значение и дисперсия не зависят от t, причем для которых вычисляются оценки: (53) Автоковариационная функция или , (54) которая зависит только от времени сдвига , но не зависит от t. Значения функции могут быть статистически оценены по имеющимся наблюдениям временного ряда по формуле (55) где = 1, 2, …, N – 1. Очевидно, что при = 0, К (0) = Автокорреляционная функция (56) измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, поэтому ее принято называть коэффициентом автокорреляции. График этой функции называется коррелограммой. Оценка коэффициента автокорреляции определяется по формуле (57) Подобрать модель для конкретного временного ряда { X (t) }, где t = 1, 2, …, N – это значит определить подходящее параметрическое семейство моделей в качестве допустимого множества решений, а затем статистически оценить параметры модели на основе имеющихся наблюдений х(1), х(2), …, х(N). Весь этот процесс называется идентификацией. Вариационный ряд Х(t) называется нестационарным временным рядом, если его случайный остаток , получающийся вычитанием из ряда Х(t) его неслучайной составляющей f(t), представляет собой стационарный временной ряд. Поведение нестационарных однородных временных рядов, в том числе рядов, содержащих сезонную компоненту, в эконометрических прикладных задачах успешно описывается с помощью моделей авторегрессии или их модификаций. Пример 8.1. При наличии во временном ряде тенденции колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Рассмотрим пример расчета коэффициентов автокорреляции уровней для временного ряда на конечное потребление продукта. Пусть условные данные о средних расходах на конечное потребление в условных денежных единицах (у. д. е.) за восемь лет приведены в табл. 6. Таблица 6 T 1 2 3 4 5 6 7 8 Итого 7 8 8 10 11 12 14 16 86 – 7 8 8 10 11 12 14 70 – -3,29 -3,29 -1,29 -0,29 0,71 2,71 4,71 -0,03* – -3 -2 -2 1 2 4 – 9,87 6,58 2,58 0,71 5,42 18,84 44,00 – 10,82 10,82 1,66 0,08 0,50 7,34 22,18 53,40 – 9 4 4 1 4 16 38 * – сумма не равна нулю за счет наличия округления ошибок. Разумно предположить, что расходы на конечное потребление продукта в текущем году зависят от расходов на конечное потребление предыдущих лет. Определим коэффициент корреляции между рядами и и измерим тесноту связи между расходами на конечное потребление продукта текущего и предыдущего годов, которые вычислим по формуле где Величину называют коэффициентом автокорреляции уровней ряда первого порядка, т.к. он измеряет зависимость между соседними уровнями ряда t и (t –1), т.е. при лаге 1. Итак, Тогда Полученное значение говорит об очень тесной зависимости между расходами на конечное потребление текущего и предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции. Аналогично можно определить коэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Например, коэффициент автокорреляции второго порядка определится по формуле где т.е. Тогда Полученные результаты еще раз подтверждают наличие сильной линейной зависимости. Число периодов, по которым расчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, графиком которой является кривая, называемая коррелограммой. 9. Системы линейных одновременных уравнений Системой одновременных уравнений называется набор взаимосвязанных регрессионных моделей, в которых одни и те же переменные могут одновременно играть роль (в различных уравнениях системы) результирующих показателей (объясняемых переменных) и объясняющих переменных. В качестве примера рассмотрим модель спроса и предложения. Пусть располагаем наблюдениями где t = 1, …, n, которые характеризуют динамику среднедушевого дохода , предложение некоторого товара , которое совпадает со спросом на этот товар в условиях равновесия и цены на него . В дальнейшем будем пользоваться не самими наблюдениями, а их отклонениями от своих средних значений, т.е. С учетом вышесказанного получим линейную модель спроса и предложения: – уравнение предложения; (58) – уравнение спроса, (59) где , и с – неизвестные параметры, а и являются взаимно некоррелированными случайными величинами, имеющими нулевые средние и соответственно дисперсии и , не зависящие от t. Предполагается также, что регрессионные остатки и некоррелированы между собой, а также некоррелированы с переменной . Проведем анализ данной модели по схеме: а) основные структурные характеристики системы (число уравнений, число эндогенных и экзогенных переменных, структурная и приведенная формы); б) идентифицируемость уравнений системы; в) статистическое оценивание параметров системы, включая понятие о косвенном и двухшаговым методом наименьших квадратов. Основные структурные характеристики модели Данная модель содержит два уравнения с двумя эндогенными и одной предопределенной (она же экзогенная) переменными. Структурная форма модели описана уравнениями (58) и (59). Решая эти уравнения относительно эндогенных переменных и , получим приведенную форму системы одновременных уравнений: где ; (t = 1, …, n), (60) ; (61) ; (62) На основании выше сказанного, случайные остатки и в приведенной форме также имеют дисперсии не зависящие от t, они не коррелированы между собой и с экзогенной переменной . Идентифицируемость уравнений системы Рассмотрим вопрос о возможности однозначности выражения параметров , и с через параметры и приведенный формы системы уравнений. Поделив одно уравнение на второе, из (61) получим (63) Однако соотношений (61) и (62) не достаточно, чтобы из них однозначно найти параметры и с. Это означает, что первое уравнение структурной формы (58) идентифицируемо, а второе уравнение и вся система в целом – нет. Статистическое оценивание параметров системы Если воспользоваться обычным МНК к каждому уравнению структурной формы модели, то можно показать несостоятельность этих оценок. При переходе к приведенной форме регрессионные остатки в уравнениях (60) удовлетворяют условиям классической модели регрессии. Следовательно, оценки параметров и могут быть получены с помощью обычного метода наименьших квадратов и при этом они будут несмещенными и состоятельными. Поэтому если в структурные уравнения вместо параметров и подставим их оценки и , то получим состоятельные оценки параметров структурной формы. Такой метод оценивания идентифицируемых параметров структурной формы называют косвенным методом наименьших квадратов. В нашем примере идентифицируемым является только первое уравнение, тогда для параметра получим состоятельную оценку косвенного метода наименьших квадратов: (64) где и – обычные МНК-оценки параметров и в уравнениях приведенной формы. Двухшаговый метод наименьших квадратов Второе уравнение системы (59) неидентифицируемо, так как этому препятствует коррелируемость значений объясняющей переменной с регрессивными остатками , поэтому параметры и с нельзя оценить. Чтобы обойти эту трудность, предлагается двухэтапная процедура оценивания параметров. На первом этапе, чтобы избавиться от , в правой части уравнения (59), заменяем ее линейной функцией от х (т.е. аппроксимируем переменную). Аппроксимацию строим с помощью обычного метода наименьших квадратов, на основании которого получаем следующую формулу: (65) где МНК-оценка параметров парной регрессии по x, как известно, определяется формулой (66) Теперь, на втором этапе оценивания, мы можем возвратиться к оцениваемому уравнению (59) и заменить в нем объясняющую переменную ее аппроксимацией (65). В результате вместо уравнения (59) получаем уравнение (67) Используя оценку (68) получим линейное соотношение, связывающее между собой и с: (69) Для нахождения оценок и необходимо снова вернуться к соотношениям приведенной структурной формы: (70) Решая эти уравнения относительно параметров , и с, воспользуемся уже подсчитанными оценками , , и и получим следующие формулы: (71) Описанный метод носит название двухшагового метода наименьших квадратов. Пример 9.1. Структурная форма модели системы одновременных уравнений содержит эндогенные и экзогенные переменные: эндогенные переменные обозначаем через у, их количество равно обычно числу уравнений в системе; экзогенные переменные обозначаем через х – это предопределенные переменные, влияющие на у, но не зависящие от них. Простейшая структурная форма модели имеет вид Для определения структурных коэффициентов модели систему преобразуют в приведенную форму, т.е. в систему, состоящую из линейных функций эндогенных переменных от экзогенных. В нашем примере система приводится к виду где , – случайные ошибки приведенной формы, а коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Теперь для каждого уравнения приведенной формы модели можно применить традиционный МНК и определить -коэффициенты. Для упрощенния расчетов будем работать с отклонениями от средних значений, т.е. и . Тогда для первого уравнения приведенной формы модели, система нормальных уравнений примет вид Аналогично, применяя МНК для второго уравнения приведенной формы модели, получим систему нормальных уравнений: Пусть для построения модели располагаем некоторой информацией по пяти регионам, заданной табл. 7. Таблица 7 Регионы 1 2 5 1 3 2 3 6 2 1 3 4 7 3 2 4 5 8 2 5 5 6 5 4 6 Средние 4,0 6,2 2,4 3,4 Для данного примера приведенная форма модели для первого уравнения примет вид Решая полученную систему, получим первое уравнение приведенной формы модели: Для второго уравнения приведенной формы модели система нормальных уравнений примет вид откуда второе уравнение приведенной формы модели будет Таким образом, приведенная форма модели для данного примера примет вид Перейдем от приведенной формы модели к структурной форме: После соответствующих преобразований модель примет вид Если перейти от переменных в виде отклонений от среднего к исходным переменным х и у, то структурная модель будет иметь вид Оценка значимости модели определяется через F–критерий и для каждого уравнения в отдельности. Описанный выше метод носит название косвенного метода МНК (КМНК). Если система сверхидентифицируема (т.е. число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов), то метод КМНК применить нельзя. В этом случае используется двухшаговый МНК (ДМНК). Основная идея его – на основе приведенной формы модели для уравнения получить теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Применим ДМНК к простейшей сверхидентифицируемой модели: Эта модель может быть получена из предыдущей модели при условии, что На первом шаге найдем приведенную форму модели, т.е. при данных примера 9.1 имеем систему приведенных уравнений На основе второго уравнения можно найти теоретические значения для эндогенной переменной , т.е. : Оценки для эндогенной переменной приведены в табл. 8. Таблица 8 № 1 -1,4 -0,4 0,103 -1,297 -2 2,594 1,682 2 -0,4 -2,4 0,042 -0,358 -1 0,358 0,128 3 0,6 -1,4 -0,035 0,565 0,319 4 -0,4 1,6 0,020 -0,380 1 -0,380 0,144 5 1,6 2,6 -0,130 1,470 2 2,940 2,161 Итого 5,512 4,434 На втором шаге рассмотрим уравнение заменяя фактические значения их оценками , получим . Теперь применим МНК к уравнению т.е. получим , откуда Таким образом, структурное уравнение примет вид В итоге система одновременных уравнений составит Заключение В настоящее время эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей: от больших макроэкономических до малых моделей, предназначенных для решения специфических задач. Важным событием в становлении эконометрики явилось появление компьюторной техники с высоким быстродействием и мощной оперативной памятью, позволяющей использовать готовые компьютерные пакеты программ для решения сложных эконометрических задач. Библиографический список Основная литература 1. Буравлёв А.И. Эконометрика: Учеб. пособие.- М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.-168с. Гриф УМО. (ЭБС IPRbooks) 2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник.- М.: Юнити-Дана, 2010.-328с. Гриф МО, УМЦ. (ЭБС IPRbooks) 3. Тимофеев В.С., Фалдеенков А.В., Щеколдин В.Ю. Эконометрика.-2-е изд., перераб. и доп.-М.: Юрайт, 2013.- (Серия «Бакалавр. Базовый курс»). 4. Эконометрика (/Под ред. Мхитаряна В.С.-М.: Проспект, 2009.-384с. 5. Яковлева А.В.Эконометрика: Учеб. пособие.- М.: Научная книга, 2012. (ЭБС IPRbooks) Дополнительная литература 1. Айвазян С. А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика в задачах и упражне­ниях: учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007 — 270 с. 2. Бородич С. А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие. - Мн.: БГУ, 2006.-354 с. 3. Валландер С.С. Заметки по эконометрике. — СПб.: Европ. ун-т, 2006. —46 с. 4. Гордон В.А, Шмаркова Л.И. Методические указания к выполнению кон­трольной работы № 1 «Однофакторный регрессионно - корреляционный анализ экономической модели». - Орел: ОрелГТУ, 2006. 5. Гордон В.А, Шмаркова Л.И. Методические указания к выполнению кон­трольной работы № 2 «Анализ и прогнозирование временных рядов». - Орел: ОрелГТУ, 2006. 6. Гордон В.А, Шмаркова Л.И. Методические указания по курсу экономет­рика. - Орел: ОрелГТУ, 2006. 7. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические мето­ды в экономике. - М., 2007. 8. Катышев П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А. А. Сборник задач к начально­му курсу эконометрики. - М.: Дело, 2002. - 208 с. 9. Компьютерные технологии анализа данных в эконометрике / Дайитбегов Д.М. - М.: ИНФРА-М, Вузовский учебник, 2008. - 578 с.- (Научная книга) 10. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. - М.: Дело, 2007. - 400 с. 11. Прикладная статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т.-Т.1. Айвазян С. А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная стати­стика. - М: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. - 656 с. 12. Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие / Н.И. Хлод, А.В. Кузнецов, Я.Н. Жихар и др.; Под общ. ред. А.В. Кузнецова.- 2-е изд. - Мн.: БГЭУ, 2005 - 412 с. 13. Эконометрика: Учебник (ГРИФ)/ Колемаев В. А. - М.: ИНФРА-М, 2007. - 160 с.- («Высшее образование») 14. Эконометрика: Учебное пособие.-2-е изд. (ГРИФ)/ Новоков А.И. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 144 с.- (Высшее образование) Приложения Таблица 1 Функция стандартного нормального распределения Z 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 09251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.74220.77340.80230.8289 0.85310.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9294 0.9505 0.9599 0.968 0.9744 0.97980 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8506 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8626 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 Окончание таблицы 1 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9783 0.9830 0.9868 0.98980.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9980 0.9985 0.9989 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 Пример: Пусть z- распределенная по стандартному нормальному закону N (0,1). P (z < 0.31) = 0.6217 (см. четвёртую строку, седьмой столбец в первой части таблицы). Таблица 2. Двусторонние квантили распределения Стьюдента t(n) N\ 0.20 0.40 0.50 0.60 0.80 0.90 0.95 0.98 0.99 1 2 3 4 5 0.325 0.289 0.277 0.271 0.267 0.727 0.617 0.584 0.569 0.559 1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260 0.260 0.259 0.259 0.258 0.258 0.258 0.257 0.257 0.257 0.257 0.257 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.256 0.553 0.549 0.546 0.543 0.542 0.540 0.539 0.538 0.537 0.536 0.535 0.534 0.534 0.533 0.533 0.532 0.532 0.532 0.531 0.531 0.531 0.531 0.530 0.530 0.530 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700 0.697 0.695 0.694 0.692 0.691 0.690 0.689 0.688 0.688 0.687 0.686 0.686 0.685 0.685 0.684 0.684 0.684 0.683 0.683 0.683 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.866 0.865 0.863 0.862 0.861 0.860 0.859 0.858 0.858 0.857 0.856 0.856 0.855 0.855 0.854 0.854 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 Окончание таблицы 2 40 60 100 200  0.255 0.254 0.254 0.254 0.253 0.529 0.527 0.526 0.525 0.524 0.681 0.679 0.677 0.676 0.675 0.851 0.848 0.845 0.843 0.842 1.303 1.296 1.290 1.286 1.282 1.697 1.684 1.671 1.660 1.652 1.645 2.021 2.000 1.984 1.972 1.960 2.423 2.390 2.364 2.345 2.326 2.704 2.660 2.626 2.601 2.576 n - число степеней свободы,  - доверительный уровень. Пример: Пусть t - случайная величина, распределенная по закону Cтьюдента с 5 степенями свободы. T0.95(5) = 2.571, т.е.: Р(-2,571 < t < 2.571) = 0.95 (см. Пятую строку, третий справа столбец в первой части таблицы). Таблица 3. Квантили распределения 2(n) n\ 0.005 0.010 0.025 0.050 0.100 0.900 0.950 0.975 0.990 0.995 1 2 3 4 5 0.000039 0.0100 0.0717 0.207 0.412 0.0016 0.0201 0.115 0.297 0.554 0.00098 0.0506 0.216 0.484 0.831 0.0039 0.1026 0.352 0.711 1.15 0.0158 0.2107 0.584 1.064 1.61 2.17 4.61 6.25 7.78 9.24 3.84 5.99 7.81 9.49 11.07 5.02 7.38 9.35 11.14 12.83 9.21 11.34 13.28 15.09 6.63 7.88 10.60 12.84 14.86 16.75 Окончание таблицы 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 20 24 30 40 60 80 100 120 0.676 0.989 1.34 1.73 2.16 2.60 3.07 3.57 4.07 4.60 5.14 6.26 7.43 9.89 13.79 20.71 35.53 51.17 67.33 83.85 0.872 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 7.01 8.26 10.86 14.95 22.16 37.48 53.54 70.06 86.92 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25 3.82 4.40 5.01 5.63 6.26 6.91 8.23 9.59 12.40 16.79 24.43 40.48 57.15 74.22 91.58 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 9.39 10.85 13.85 18.49 26.51 43.19 60.39 77.93 95.70 2.20 2.83 3.49 4.17 4.87 5.58 6.30 7.04 7.79 8.55 9.31 10.86 12.44 15.66 20.60 29.05 46.46 64.28 82.36 100.62 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 25.99 28.41 33.20 40.26 51.81 74.40 96.58 181.50 140.23 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.58 21.03 22.36 23.68 25.00 26.30 28.87 31.41 36.42 43.77 55.76 79.08 101.88 124.34 146.57 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 21.92 23.34 24.72 26.12 27.49 28.85 31.53 34.17 39.36 46.98 59.34 83.30 106.63 129.56 152.21 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.73 26.22 27.69 29.14 30.58 32.00 34.81 37.57 42.98 50.89 63.69 88.38 112.33 135.81 158.95 18.55 20.28 21.96 23.59 25.19 26.76 28.30 29.82 31.30 32.80 34.27 37.16 40.00 45.56 53.67 66.77 91.95 116.32 140.17 163.64 n - число степеней свободы,  - доверительный уровень. Пример: пусть 2 - случайная величина, распределенная по закону 2 с 5 степенями свободы. 0,95(5) = 11.07, т.е. Р (2 < 11.07) = 0.95 (см.пятая строка, седьмой столбец). Таблица 4 95%-квантили распределения Фишера F(k1,k2) k1\k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 161 18.5 10.13 7.71 6.61 5.99 5.59 5.32 5.12 4.96 4.84 4.75 4.67 4.60 4.54 4.49 4.45 4.41 4.38 4.35 4.32 4.30 4.28 200 19.0 9.55 6.94 5.79 5.14 4.74 4.46 4.26 4.10 3.98 3.89 3.81 3.74 3.68 3.63 3.59 3.55 3.52 3.49 3.47 3.44 3.42 216 19.2 9.28 6.59 5.41 4.76 4.35 4.07 3.86 3.71 3.59 3.49 3.41 3.34 3.29 3.24 3.20 3.16 3.13 3.10 3.07 3.05 3.03 225 19.2 9.12 6.39 5.19 4.53 4.12 3.84 3.63 3.48 3.36 3.26 3.18 3.11 3.06 3.01 2.96 2.93 2.90 2.87 2.84 2.82 2.80 230 19.3 9.01 6.26 5.05 4.39 3.97 3.69 3.48 3.33 3.20 3.11 3.03 2.96 2.90 2.85 2.81 2.77 2.74 2.71 2.68 2.66 2.64 234 19.3 8.94 6.16 4.95 4.28 3.87 3.58 3.37 3.22 3.09 3.00 2.92 2.85 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 2.53 237 19.4 8.89 6.09 4.88 4.21 3.79 3.50 3.29 3.14 3.01 2.91 2.83 2.76 2.71 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 2.44 239 19.4 8.85 6.04 4.82 4.15 3.73 3.44 3.23 3.07 2.95 2.85 2.77 2.70 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.37 241 19.4 8.81 6.00 4.77 4.10 3.68 3.39 3.18 3.02 2.90 2.80 2.71 2.65 2.59 2.54 2.49 2.46 2.42 2.39 2.37 2.34 2.32 242 19.4 8.79 5.96 4.74 4.06 3.64 3.35 3.14 2.98 2.85 2.75 2.67 2.60 2.54 2.49 2.45 2.41 2.38 2.35 2.32 2.30 2.27 Продолжение таблицы 4 24 25 30 40 60 120  4.26 4.24 4.17 4.08 4.00 3.92 3.84 3.40 3.39 3.32 3.23 3.15 3.07 3.00 3.01 2.99 2.92 2.84 2.76 2.68 2.60 2.78 2.76 2.69 2.61 2.53 2.45 2.37 2.62 2.60 2.53 2.45 2.37 2.29 2.21 2.51 2.49 2.42 2.34 2.25 2.18 2.10 2.42 2.40 2.33 2.25 2.17 2.09 2.01 2.36 2.34 2.27 2.18 2.10 2.02 1.94 2.30 2.28 2.21 2.12 2.04 1.96 1.88 2.25 2.24 2.16 2.08 1.99 1.91 1.83 k1\k2 12 15 20 24 30 40 60 120  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 244 19.4 8.74 5.91 4.68 4.00 3.57 3.28 3.07 2.91 2.79 2.69 2.60 2.53 2.48 246 19.4 8.70 5.86 4.62 3.94 3.51 3.22 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 2.46 2.40 248 19.4 8.66 5.80 4.56 3.87 3.44 3.15 2.94 2.77 2.65 2.54 2.46 2.39 2.33 249 19.4 8.64 5.77 4.53 3.84 3.41 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 2.35 2.29 250 19.5 8.62 5.75 4.50 3.81 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 2.31 2.25 251 19.5 8.59 5.72 4.46 3.77 3.34 3.04 2.83 2.66 2.53 2.43 2.34 2.27 2.20 252 19.5 8.57 5.69 4.43 3.74 3.30 3.01 2.79 2.62 2.49 2.38 2.30 2.22 2.16 253 19.5 8.55 5.66 4.40 3.70 3.27 2.97 2.75 2.58 2.45 2.34 2.25 2.18 2.11 254 19.5 8.53 5.63 4.37 3.67 3.23 2.93 2.71 2.54 2.40 2.30 2.21 2.13 2.07 Окончание таблицы 4 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 60 120  2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 2.20 2.18 2.16 2.09 2.00 1.92 1.83 1.75 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.01 1.92 1.84 1.75 1.67 2.28 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 2.05 2.03 2.01 1.93 1.84 1.75 1.66 1.57 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 2.01 1.98 1.96 1.89 1.79 1.70 1.61 1.52 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.96 1.94 1.92 1.84 1.74 1.65 1.55 1.46 2.15 2.10 2.06 2.03 1.99 1.96 1.94 1.91 1.89 1.87 1.79 1.69 1.59 1.50 1.39 2.11 2.06 2.02 1.99 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.74 1.64 1.53 1.43 1.32 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.68 1.58 1.47 1.35 1.22 2.01 1.96 1.92 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.62 1.51 1.39 1.25 1.00 k1 – число степеней свободы числителя, k2 – число степеней свободы знаменателя. Пример. Пусть F - случайная величина, распределенная по закону Фишера F(3,5).F0.95(3,5) = 5.41, т.е.P (F < 5.41) = 0.95 (см. пятая строка, третий столбец). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература: 1. Евсеев, Е. А. Эконометрика : учебное пособие для академического бакалавриата / Е. А. Евсеев, В. М. Буре. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 186 с. – (Серия : Бакалавр. Академический курс). – ISBN 978-5-534-04565-9. – Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/066F04BB-9B56-424C-B19C-F9949BAD3F1B. 2. Кремер, Н.Ш. Эконометрика [Электронный ресурс] : учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко. – 3-е изд. – Электрон. текстовые данные. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2017. – 328 c. – 978-5-238-01720-4. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/71071.html Дополнительная литература: 1. Галочкин, В. Т. Эконометрика: учебник и практикум для прикладного бакалавриата / В. Т. Галочкин. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 288 с. – (Серия : Бакалавр. Прикладной курс). – ISBN 978-5-9916-9201-4. – Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/2D36FC3D-BE24-4581-91CF-892E9199D657. 2. Ивченко, Ю.С. Эконометрика [Электронный ресурс] : курс лекций / Ю.С. Ивченко. – Электрон. текстовые данные. – Саратов: Вузовское образование, 2018. – 121 c. – 978-5-4487-0186-3. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/73609.html 3. Тимофеев, В. С. Эконометрика: учебник для академического бакалавриата / В. С. Тимофеев, А. В. Фаддеенков, В. Ю. Щеколдин. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2017. – 328 с. – (Серия : Бакалавр. Академический курс). – ISBN 978-5-9916-4366-5. – Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/281F75DD-5C45-4BE2-9696-7684ED1DBD61. 4. Эконометрика: учебник для бакалавриата и магистратуры / И. И. Елисеева [и др.] ; под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Издательство Юрайт, 2018. – 449 с. – (Серия : Бакалавр и магистр. Академический курс). – ISBN 978-5-534-00313-0. – Режим доступа : www.biblio-online.ru/book/CAD31DD6-D5BC-4549-B1C1-729B90A8E65B.