Эконометрика. Тестирование модели CAPM. CAPM - Capital Asset Price Model Модель ценообразования на основной капитал

Эконометрика Лекция 2 Тестирование модели CAPM CAPM - Capital Asset Price Model Модель ценообразования на основной капитал Берндт Э. Практика эконометрики. Гл. 2. с.31-77. Краткие сведение о модели CAPM Показатели доходности и риска ценных бумаг Пусть Pt и Pt-1 – рыночные цены (курс) ценной бумаги (актива) в моменты времени t и t-1, Dt - промежуточные выплаты (дивиденды). Доходность актива Rt определяется выражением Pt + Dt − Pt −1 Rt = Pt −1 (1) Если промежуточных выплат не было: Pt − Pt −1 Rt = Pt −1 (2) Наряду с простой ставкой процентов, характеризующую чистую доходность актива, часто используют эквивалентную ставку непрерывно начисляемых процентов, удобную в аналитических исследованиях: Pt rt = ln Pt −1 (3) Доходность актива за истекший период может быть легко вычислена, но будущая доходность неизвестна. Можно лишь предполагать распределение ожидаемой доходности. Часто предполагается, что ожидаемые прибыли распределены нормально. Тогда закон распределения ожидаемой доходности определяется двумя параметрами: N(µ,σ2) P N(µA,σA2) N(µB,σB2) µA=µB µ Вложение в какую из двух ц.б. более рискованно? Очевидно, что в B. Риск может быть измерен параметром σ - стандартным отклонением. Если обозначить rf – доходность безрискового актива, то можно определить премию за риск j-го актива risk _ premium j = rj − rf (4) Диверсификация и управление риском Суммируем основные результаты теории оптимального портфеля ценных бумаг, следуя модели Марковица. Рассмотрим случай двух ц.б. Формируем портфель, вкладывая w1 в первую ц.б., w2 – во вторую. Доходность портфеля: rp = r1w1 + r2 w2 w1 + w2 = 1 (5) (6) Дисперсия портфеля σ p2 = w12σ 12 + w22σ 22 + 2w1w2σ 12 = = w σ + w σ + 2 w1w2 ρ12σ 1σ 2 2 1 2 1 2 2 2 2 (7) Простые случаи ρ12=1, ρ12=0, ρ12=-1 Пусть имеется n ценных бумаг. Доходность и риск портфеля м.б. вычислены по формулам n rp = ∑ w j rj (8) j =1 n n n σ p2 = ∑ w2j σ 2j + 2∑ ∑ wi w jσ ij j =1 i =1 j =i +1 w1 + w2 + ... + wn = 1 (9) (10) ∂rp Введем понятия предельной прибыли k-го актива ∂wk и предельной дисперсии ∂σ p2 k-го актива ∂wk = rk (11) n = 2∑ wiσ ik = 2σ kp (12) i =1 Принцип оптимальности портфеля ц.б. Если две ц.б. в портфеле имеют одинаковую предельную дисперсию, но разные ожидаемые прибыли, то такой портфель не является оптимальным. В оптимальном портфеле все ц.б. с одинаковой предельной дисперсией должны иметь одинаковые прибыли. Часто используют относительные измерители - бета коэффициенты σ kp betak = 2 σp Предельная дисперсия k-го актива (13) = 2σ p2 betak Если портфель является оптимальным, то все ц.б. с одинаковым значением бета-коэффициента должны иметь одинаковые ожидаемые прибыли (14) Вывод линейной зависимости между риском и прибылью Пусть мы сформировали портфель рисковых ц.б. (ra,σa) Также имеется безрисковый актив с доходностью rf . wa, 1-wa – суммы вложенные в портфель и безрисковый актив. Ожидаемая доходность и дисперсия rp = (1 − wa )rf + wa ra σ = w σ ⇔ σ p = waσ a 2 p 2 a 2 a (15) (16) Перегруппировав получим линейную зависимость между прибылью и риском rp ra  ra − rf rp = rf +   σa  σ p  (17) a rf σa σp Какой же портфель рисковых активов является оптимальным? В модели Марковица все инвесторы должны выбирать один и тот же портфель рисковых активов. При этом оптимальный портфель совпадает с рыночным портфелем M. rp Граница эффективных портфелей M b rf a σp Эконометрическая модель Преобразуем формулу (17)  rm − r f rj = rf +   σm  σ j ⇔  σj rj − rf = (rm − rf ) σm (18) Добавив свободный член и случайную ошибку получим эконометрическую модель (19) rj − rf = a j + β j (rm − rf ) + ε j (19) Статистическая проверка адекватности моделей Модель CAPM описывает равновесное состояние финансового рынка. При эмпирической проверке адекватности CAPM регрессионные модели следует определять таким образом, чтобы учитывать возможность неравновесного состояния финансового рынка. Кроме того, необходимо конкретизировать ряд понятий: -интервал наблюдения данных; -доходность рыночного портфеля; -безрисковая ставка; -могут ли считаться параметры модели неизменными. Обычно при проведении эмпирических исследований адекватности CAPM делают следующие допущения: 1. Интервал наблюдений равен одному месяцу. 2. В качестве характеристики доходности рыночного портфеля rmt используется некоторый фондовый индекс, характеризующий состояние анализируемого рынка. 3. В качестве безрисковой ставки rft используют изменяющиеся во времени фондовые индексы краткосрочных долговых обязательств (облигаций). 4. Период, в течении которого структура CAPM полагается неизменной, равен 5 годам Заметим, что предположение о постоянстве параметров α и β, как показывают некоторые исследования, является слишком строгим. rj − rf = a j + β j (rm − rf ) + ε j Альтернативой являются модели со случайными коэффициентами (random coefficient model). В этом случае предполагают, что коэффициенты модели изменяются во времени, в соответствии с некоторым вероятностям законом. Тестирование стандартной CAPM В этом случае для j-ой ценной бумаги приходим к модели простой линейной регрессии: r jt − r ft = a j + β j (rmt − r ft ) + ε jt , t = 1,2,..., T (20) Будем предполагать, что параметры αj и βj остаются постоянными на анализируемом интервале времени. Гипотеза об адекватности CAPM эквивалентна предположению, что коэффициенты «альфа» равны нулю, т.е. Í  Í :α = 0 1 :α ≠ 0 (CAPM адекватна) (CAPM неадекватна) (21) Проверку гипотезы (21) можно осуществить, используя t – критерий. Однако, проверка CAPM для каждой из ценных бумаг, не доказывает, что она верна для всех бумаг в совокупности. CAPM в общем виде представляет систему из N регрессионных уравнений r jt − r ft = a j + β j (rmt − r ft ) + ε jt , j = 1,2..N , t = 1,2,..., T Обозначим yjt=rjt-rft – премия за риск j-го актива; zmt=rmt-rft – премия за риск рыночного портфеля. y jt = a j + β j z mt + ε jt , j = 1,2..N , t = 1,2,..., T (22) Введем обозначения  β1   ε 1t   a1   y1t           β2   a2   ε 2t   y 2t  Yt =  , ξ t =  , α =  , β =    ... ... ... ...         β  ε  a  y   N  Nt   N  Nt  и запишем (22) в векторном виде Yt = a + β z mt + ξ t , t = 1,2,..., T (23) где α и β – векторы образованные из коэффициентов «альфа» и «бета» активов Будем предполагать, что вектора случайных ошибок ξt подчиняются многомерному нормальному закону с нулевым средним и матрицей ковариаций Ω, являются взаимно некоррелированными, не коррелируют с включенным в модель фактором. M (ξ t ) = 0 M (ξ t , ξ t ) = Ω, M (ξ t , ξτ ) = 0, t ≠ τ M (ξ t , z t ) = 0, Для нахождения оценок параметров модели (23) может использоваться метод максимального правдоподобия. Для проверки гипотезы, что все компоненты вектора a равны 0, используется тест Вальда  µ) M2 J = T 1 + ) 2  ϕM −1  )T )  α Ωα  Если гипотеза H0 верна, то статистика J имеет Fраспределение со степянями свободы N, T-N-1 Двухэтапная процедура тестирования CAPM На практике для проверки адекватности CAPM активно используется подход в основе которого лежит двухэтапная процедура. 1. На первом этапе используется исходная модель (20). Вычисляют оценки параметров αj и βj. Находят среднее значение премии за риск для каждого из активов. ) y j = γ 0 + γ 1 β j + η j , j = 1,2,..., N (30) Двухэтапная процедура тестирования CAPM На практике для проверки адекватности CAPM активно используется подход в основе которого лежит двухэтапная процедура. 1. На первом этапе используется исходная модель (20). Вычисляют оценки параметров αj и βj. Находят среднее значение премии за риск для каждого из активов. 1 y j = r j − r f = ∑ (r jt − r ft ) T 2. Строят регрессию вида ) y j = γ 0 + γ 1 β j + η j , j = 1,2,..., N (30) Т.к. для j-го актива ожидаемая премия за риск пропорциональна с коэффициентом βj премии за риск рыночного портфеля, т.н. верно равенство r j − r f ≈ β j (rm − r f ) то, если рынок находился в состоянии равновесия, должно выполняться соотношение γ 0 = 0, γ 1 = rm − r f На этом основании проверка адекватности CAPM, т.е. предположения о равновесном состоянии рынка, сводится к проверке гипотез A. B. H 0 : γ 0 = 0  H 1 : γ 0 ≠ 0  H 0 : γ 1 = rm − r f   H 1 : γ 1 ≠ rm − r f Если на втором этапе нулевые гипотезы в случая A и B принимаются, то CAPM считается адекватной. Если хотя бы одна из гипотез отклоняется, CAPM не может быть признана адекватной. Отклонение нулевой гипотезы A свидетельствует о том, что на рынке присутствуют недооцененные активы. Отклонение нулевой гипотезы B о том, что премия за риск на рынке в целом отличается от ожидаемой в соответствии с CAPM. Это приводит к необходимости использования на втором этапе более сложных моделей. Например, ) )2 y j = γ 0 + γ 1 β j + γ 2 β j + γ 3σ) 2 j + η j , j = 1,2,..., N Нулевые гипотезы о параметрах модели формулируются следующим образом A. H0 : γ 0 = 0 B. H 0 : γ 1 = rm − rf C. H0 : γ 2 = 0 D. H0 : γ 3 = 0 (31) Модель (31) позволяет выявит дополнительные типы нарушений CAPM. 1. Нелинейность рыночной линии ценной бумаги, если нарушается гипотеза C (γ2≠0) 2. Отсутствие полной диверсификации собственного компонента риска, если отвергается нулевая гипотеза в случае D (γ3≠0)