Эконометрика; линейная модель множественной регрессии; матричный метод

Институт математики и информационных технологий ИГУ ЭКОНОМЕТРИКА 2020-21 уч.г. Тюрнева Т.Г.,к.ф.-м.н., доцент, кафедра теории вероятностей и дискретной математики Эконометрика Лекция 2 Линейная модель множественной регрессии 3 План презентации 1. 2. Практическая работа по эконометрике «Линейная модель множественной регрессии». Задание Линейная модель множественной регрессии 1. 2. 3. Отбор факторов при построении множественной регрессии Оценка параметров линейного уравнения множественной регрессии МНК Показатели качества множественной регрессии 4. 5. Оценка значимости уравнения в целом и каждого параметра в отдельности Проверка выполнимости предпосылок МНК 4 С чего начать? Постановка задачи. Формулируем цель исследования, определяем набор показателей, взаимосвязи между которыми нас интересуют. Число факторов не менее четырех, два количественных и два качественных. Априорный. Предмодельный анализ содержательной сущности моделируемого явления состоит в формировании и формализации имеющейся априорной информации об этом явлении в виде ряда гипотез и исходных допущений; Информационно-статистический этап – получение данных, анализ их качества. › Число наблюдений не менее 7-10 на каждый оцениваемый параметр! Эконометрика: Учебник / Под ред. И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2005. – 576 с. 5 Эконометрика 1. Модель парной линейной регрессии 2. Модель множественной линейной регрессии 3. Итоговый коллоквиум 4. Итоговая контрольная работа 5. Модель временного ряда ПРАКТИКА Апрель: 20,21 (14-я неделя) 27,28 (15-я неделя) Май: 4,5 11,12 18,19 6. Презентация Лекции Апрель: 16, 23, 30 Май: 7,14,21,28 Июнь: 4 Лекции13-14 Линейная модель множественной регрессии. Лекция 15. Множественная регрессия с фиктивными переменными Лекция 16. Нелинейная регрессия Лекция 17-18. Системы одновременных уравнений Лекция 19-20. Анализ временных рядов 6 Практическая работа по эконометрике «Линейная модель множественной регрессии» задание (1-й вариант) 1. Провести отбор факторов в модель множественной линейной регрессии (использовать метод исключения факторов; анализ матрицы парных коэффициентов корреляции). 2. Построить линейное уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл. 3. Оценить надежность уравнения в целом. 4. Записать уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе; сделайте выводы. 7 Практическая работа по эконометрике «Линейная модель множественной регрессии» задание (2-й вариант) 1. Постановка задачи. Описать зависимую (указать единицы измерения) и независимые переменные: количественные (указать единицы измерения) и качественные. С учетом числа градаций качественной переменной ввести фиктивные переменные. Число наблюдений не менее 7-9 на каждый оцениваемый параметр (число оцениваемых параметров = число переменных+1). 2. Построить и проанализировать матрицу парных и частных коэффициентов корреляции. 3. Записать уравнение множественной линейной регрессии для всех переменных в натуральном и стандартизованном масштабе; сделайте выводы. 4. Оценить значимость коэффициентов регрессии (t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы). 5. Оценить значимость уравнения регрессии – F-критерий. 6. Если в модели есть статистически незначимые коэффициенты, то перейти к п.7, если модель прогнозирования, то перейти к п.9-10. пригодна для 7. Найти наилучшую модель методом последовательного исключения незначимых факторов. 8. Интерпретировать полученные результаты. 9. В случае пригодности линейной модели построить точечный прогноз зависимой переменной. 8 Множественная регрессия характеризует связь между результативным признаком и двумя и более факторными признаками. Множественная регрессия представляет собой модель, где теоретическое (среднее) значение зависимой переменной Y рассматривается как функция нескольких независимых переменных X1, X2,...Xm. Y Отклик, зависимая величина, результативный признак Х1 Х2 Х3 Хm Ф а к т о р ы п р е д и к т о р ы 9 Выбор формы уравнения регрессии Модель множественной регрессии Y = f ( x1 , x 2 , x3 ,... x m ) +  нелинейные Наиболее широко используются линейная и степенная функции ввиду четкой интерпретации параметров. линейные Y = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + bm x m +  Линейная модель множественной регрессии ➢ См. дополнительно [1], пример 3.3, стр. 120. 10 Линейная модель множественной регрессии и оценка ее параметров Y = f ( x1 , x 2 , x3 ,... x m ) +  Модель множественной регрессии Y = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + bm x m +  Линейная модель множественной регрессии y = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + bm x m + e Эмпирическое уравнение регрессии yˆ = a + b1 x1 + b2 x 2 + ... + bm x m Оцененное уравнение регрессии 11 Линейная модель множественной регрессии Y = a0 + b1 x1 + b2 x2 + ... + bm xm +  Условия Гаусса – Маркова Нормальность распределения остатков Классическая нормальная модель множественной регрессии 12 Отбор факторов при построении множественной регрессии – Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. – Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии. Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано, прежде всего, с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям. 1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность (см. лекцию 15). 2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи. – Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям – система нормальных уравнений может повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии. – Если между факторами существует высокая корреляция (взаимосвязь), то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми. 13 Отбор факторов при построении множественной регрессии Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: • на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; • на второй – на основе матрицы показателей корреляции. ✓Считается, что две переменные явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если 𝒓 ≥ 𝟎, 𝟕. ✓Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга. ✓Коэффициенты интеркорреляции (т. е. коэффициенты корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. ➢ См. дополнительно [1], пример 3.2, стр. 113. 14 Оценка параметров линейного уравнения множественной регрессии МНК Матричный метод Скалярный метод Р.М. в стандартизованном масштабе 15 Матричный метод Представим данные наблюдений и параметры модели в матричной форме. Y = [ y1 , y 2 ,..., y n ]' 1 ⋮ 1 ⋯ ⋱ ⋯ - n – мерный вектор – столбец наблюдений зависимой переменной; х1р ⋮ - матрица значений независимых переменных, размерности n  ( p + 1) х𝑛𝑝 B = [ a, b1 , b2 ,..., b p ]' - (p+1) – мерный вектор – столбец параметров уравнения регрессии; Y = XB + e МНК B = ( X ' X ) X 'Y −1 16 Скалярный метод. Система уравнений МНК ei = y i − a 0 − b1 x1 − ... − bm x m n n m i =1 j =1 Q =  ei =  ( y i − ( a 0 +  b j xij )) 2 → min 2 i =1   y = n  a 0 + b1   x1 + b2   x 2 + ... + bm   x m ,  2   y  x1 = a 0   x1 + b1  x1 + b2  x1  x 2 + ... + bm  x m x1 ,  ...... 2  y  x = a x + b x  x + b x  x + ... + b x m 0 m 1 1 m 2 2 m m m  17 Р.М. в стандартизированном масштабе t y =  1  t x 1 +  2  t x 2 + ... +  m  t xm +  ty = y− y y ; t xj = xj − xj x ; j Бета-коэффициенты – стандартизованные коэффициенты регрессии Оценивание - МНК t y = t x j = 0;  ty =  tx = 1 1. β-коэффициенты сравнимы между собой. 2. Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм изменится в среднем результат, если соответствующий фактор xj изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других факторов. 3. В парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии есть линейный коэффициент корреляции:  = rxy 4. Во множественной регрессии зависимость следующая: b j =  j y x j 18 Показатели качества множественной регрессии Показатели качества множественной регрессии: – индекс множественной корреляции; – коэффициент детерминации. – скорректированный коэффициент детерминации. 19 Индекс множественной корреляции Индекс множественной корреляции оценивает тесноту совместного влияния факторов на результативный признак Y. При правильном включении факторов в регрессионную модель величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. R yx1 x 2 ... x m = (y − y  1−  ( y − y) x1 x 2 ... x m )2 2 0  R yx1 x 2 ... x m  1 R yx1 x2 ... xm =   x  ryx j R yx1 x 2 ... x m = j 1− r  r11 ➢ См. дополнительно [1], стр. 136 -145. 20 Коэффициенты частной корреляции первого порядка Коэффициенты частной корреляции первого порядка: ryx1  x2 =  x1  1 − r 2 x1 x2 1− r 2 yx 2 ; ryx 2  x1 =  x 2  ryx j  x1 x2 ... x j −1 x j +1 ... xm = 1 − 1 − r 2 x1 x2 1 − r 2 yx1 1 − R 2 yx1 x2 ... x j ... xm Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается 1 − R 2 yx1 x2 ... x j −1 x j +1 ... xm 21 Коэффициент детерминации Коэффициент детерминации: R 2 yx1 x2 ... xm = 1 − 2 ( y − y )  x1 x 2 ... x m 2 ( y − y )  1. К-т детерминации – неубывающая функция числа объясняющих переменных. 2. Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R2 Скорректированный коэффициент детерминации (y − y ) /( n − m − 1)  = 1−  ( y − y ) /( n − 1) 2 R x1 x 2 ... x m 2 yx1 x 2 ... x m 2 Несмещенная оценка остаточной дисперсии – дисперсии случайных отклонений Несмещенная оценка общей дисперсии – дисперсии отклонений переменной Y от своего среднего При дополнительном включении в регрессию фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором. 22 Скорректированный коэффициент детерминации ෢𝟐 =1 – (1 – R2 ) 𝑹 𝒏−𝟏 𝒏−𝒎−𝟏 ෢2 < 𝑅2 . 1. Очевидно, 𝑅 ෢2 = 𝑅2 , только при 𝑅2 =1. 2. 𝑅 ෢2 может принимать отрицательные значения. 3. 𝑅 4. Скорректированный к-т детерминации увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. 23 Оценка значимости уравнения в целом и каждого параметра в отдельности ➢ Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью Fкритерия Фишера ➢ Оценка значимости коэффициентов регрессии выполняется с помощью t- критерия Стьюдента Статистический вывод о пригодности (значимости) уравнения обычно проверяется в следующей последовательности. 1. Сначала проводится общая проверка методом F-критерия, целью которой является выяснение, объясняют ли включенные в модель факторы значимую долю вариации у, т.е. превалирует ли влияние факторов на изменение функции у над её колебаниями случайного порядка. 2. Если регрессия оказывается значимой, то можно продолжить анализ, используя t-критерий Стьюдента для отдельных коэффициентов регрессии; в этом случае пытаются выяснить, насколько значимым является влияние той или иной переменной х на у при условии, что все другие факторы остаются неизменными. Построение доверительных интервалов и проверки гипотез на адекватность для отдельного коэффициента регрессии основывается на определении стандартной ошибки коэффициентов регрессии. 3. Проверка выполнимости предпосылок МНК. 24 Методы построения уравнения множественной регрессии: метод исключения (отсев факторов из полного его набора); метод включения (дополнительное включение факторов); шаговый регрессионный анализ (исключение ранее введенного фактора). Сущность метода шаговой регрессии заключается в реализации алгоритмов последовательного «включения», «исключения» или «включения-исключения» факторов в уравнение регрессии и последующей проверке их статистической значимости. Алгоритм «включения» заключается в том, что факторы поочередно вводятся в уравнение так называемым «прямым методом». При проверке значимости введенного фактора определяется, на сколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции (R2). Одновременно используется и алгоритм последовательного «исключения», сущность которого заключается в том, что исключаются факторы, ставшие незначимыми по статистическим критериям. 25 Пример № магазина Два количественных фактора Годовой Торговая товарооборот, площадь, млн. руб. тыс.м.кв. Среднее число посетителей в день,тыс.чел. 1 19,76 0,24 8,25 2 38,09 0,31 10,24 3 40,95 0,55 9,31 4 41,08 0,48 11,01 5 56,29 0,78 8,54 6 68,51 0,98 7,51 7 75,01 0,94 12,36 8 89,05 1,21 10,81 9 91,13 1,29 9,89 10 91,26 1,12 13,72 11 99,84 1,29 12,27 12 108,55 1,49 13,92 Анализ зависимости годового товарооборота от размеров торговых площадей Анализ зависимости годового товарооборота от среднего числа посетителей в день Анализ зависимости годового товарооборота от размеров торговых площадей от среднего числа посетителей в день Наилучшей является модель, имеющая значимые параметры и максимальный показатель тесноты связи 26 Матрица парных коэффициентов корреляции Годовой товарооборот, млн.р. Торговая площадь, тыс.м.кв. Годовой товарооборот, млн.р. 1 Торговая площадь,тыс.м.кв. 0,984304 1 Среднее число посетителей в день,тыс.чел. 0,651409 0,542404391 Среднее число посетителей в день,тыс.чел. 1 Матрица межфакторной корреляции 27 Регрессионная статистика Множественный R 0,984304 R-квадрат 0,968855 Нормированный Rквадрат 0,965741 Стандартная ошибка 5,306363 Наблюдения 12 Анализ зависимости годового товарооборота от размеров торговых площадей Дисперсионный анализ Регрессия Остаток Итого Y-пересечение Торговая площадь,тыс.м.кв. df 1 10 11 SS 8759,227 281,5749 9040,801 MS 8759,227 28,15749 F 311,0799 Коэффициен Стандартная ты ошибка t-статистика P-Значение 7,873778 3,752527 2,09826 0,062259 67,88714 3,849032 17,63746 7,31E-09 Значимость F 7,31E-09 Нижние 95% -0,48737 Верхние 95% 16,23493 59,31096 76,46332 28 Регрессионная статистика Множественный R R-квадрат Нормированный Rквадрат 0,651409006 0,424333693 Стандартная ошибка Наблюдения 22,81333993 12 Анализ зависимости годового товарооборота от среднего числа посетителей в день 0,366767063 Дисперсионный анализ Регрессия Остаток Итого Y-пересечение Среднее число посетителей в день,тыс.чел. df 1 10 11 SS 3836,317 5204,485 9040,801 MS 3836,317 520,4485 F 7,371175 Значимость F 0,021746513 Стандартная Коэффициенты ошибка t-статистика P-Значение -26,5117651 35,53471 -0,74608 0,472793 Нижние 95% -105,6880429 Верхние 95% 52,66451 8,899798026 1,595910965 16,20369 3,278021 2,714991 0,021747 29 Регрессионная статистика Множественный R R-квадрат Нормированный Rквадрат 0,994194295 0,988422297 Стандартная ошибка Наблюдения 3,410306484 12 Анализ зависимости годового товарооборота от размеров торговых площадей от среднего числа посетителей в день 0,985849474 Дисперсионный анализ Регрессия Остаток Итого Y-пересечение Торговая площадь,тыс.м.кв. Среднее число посетителей в день,тыс.чел. df 2 9 11 SS 8936,1298 104,67171 9040,8015 MS 4468,065 11,63019 F 384,1781 Значимость F 1,93E-09 Коэффициенты -10,81529683 Стандартная ошибка t-статистика P-Значение 5,3646178 -2,01604 0,074597 Нижние 95% -22,9509 Верхние 95% 1,320321 61,65832405 2,9444759 20,94034 6,05E-09 54,99745 68,3192 2,274838935 0,5832789 3,900088 0,003619 0,955369 3,594309 30 Анализ результатов При дополнительном включении в регрессию фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Множественный R 0,651409006 Множественный R 0,984304 Множественный R 0,994194295 R-квадрат 0,424333693 R-квадрат 0,968855 R-квадрат 0,988422297 0,965741 Нормированный Rквадрат 0,985849474 5,306363 Стандартная ошибка 3,410306484 12 Наблюдения 12 Нормированный Rквадрат 0,366767063 Нормированный Rквадрат Стандартная ошибка 22,81333993 Наблюдения Стандартная ошибка 12 Наблюдения однофакторная двухфакторная Какой модели стоит отдать предпочтение!? 31 Прогнозирование по модели множественной регрессии См. практику 32 Проверка выполнимости предпосылок МНК Для проведения анализа в рамках линейной модели множественной регрессии необходимо выполнение ряда предпосылок МНК. В основном это те же предпосылки, что и для парной регрессии, однако здесь нужно добавить предположения, специфичные для множественной регрессии: Отсутствие мультиколлинеарности: между объясняющими переменными отсутствует строгая линейная зависимость, что играет важную роль в отборе факторов при решении проблемы спецификации модели. Мультиколлинеарность Мультиколлинеарность - это линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющих переменных (х1, х2, … хm). На практике «наличие тесных статистических связей между объясняющими переменными» Совершенная мультиколлинеарность - это линейная взаимосвязь двух или нескольких объясняющих переменных (х1, х2, … хm), в которой объясняющие переменные связаны строгой функциональной зависимостью. 33 Последствия мультиколлинеарности Большие дисперсии (с.о.) оценок • Расширение интервальных оценок • Ухудшение точности Уменьшение t-статистик коэффициентов • Неоправданный вывод о существенности влияния соответствующей объясняющей переменной на зависимую переменную Оценки коэффициентов по МНК и их с. о. очень чувствительны к малейшим изменениям данных • Затрудняется определение вклада каждой из объясняющих переменных • Возможно получение неверного знака у коэффициента регрессии 34 Способы обнаружения мультиколлинеарности Анализ корреляционной матрицы Расчет множественных коэффициентов корреляции (коэффициентов детерминации) для объясняющих переменных Коэффициент детерминации высок, но некоторые из коэффициентов регрессии статистически незначимы Признаки мультиколлинеарности Парная корреляция между малозначимыми объясняющими переменными достаточно высока Высокие частные коэффициенты корреляции 35 Методы устранения мультиколлинеарности Исключение переменной из модели Получение дополнительных данных Изменение спецификации модели Преобразование переменных 36 Пример 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 цена квартиры 13,00 16,50 17,00 15,00 14,20 10,50 23,00 12,00 15,60 12,50 11,30 13,00 21,00 12,00 11,00 11,00 22,50 26,00 18,50 13,20 25,80 17,00 18,00 21,00 14,50 23,00 19,50 14,30 13,30 16,10 общая площадь 37,00 60,00 60,00 53,00 35,00 30,00 43,00 30,00 35,00 32,00 31,00 33,00 53,00 32,00 31,00 36,00 48,00 55,00 48,00 44,00 80,00 60,00 50,00 55,00 43,00 66,00 54,00 45,00 45,00 51,00 жилая площадь 21,50 27,00 30,00 26,20 19,00 17,50 25,50 17,80 18,00 17,00 18,00 19,60 26,00 18,00 17,30 19,00 29,00 35,00 28,00 30,00 51,00 38,00 30,00 32,00 27,00 39,00 29,50 29,00 30,00 30,80 площадь кухни 6,50 22,40 15,00 13,00 9,00 5,60 8,50 5,50 5,30 6,00 5,50 7,00 16,00 6,30 5,50 8,00 8,00 8,00 8,00 6,00 13,00 10,00 8,70 10,00 5,50 12,00 7,00 6,00 05.май 7,90 тип дома 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 0,00 0,00 Данные о продаже квартир Тип дома 1 - кирпичный 0 – другой 38 цена квартиры общая площадь площадь кухни жилая площадь Матрица парных коэффициентов корреляции цена квартиры 1 общая площадь 0,772844712 1 площадь кухни 0,425727046 0,671633963 1 жилая площадь 0,756234201 0,932507555 0,399748274 1 цена квартиры общая площадь две переменные явно коллинеарны, т. е. находятся между собой в линейной зависимости, если 𝒓 ≥ 𝟎, 𝟕 цена квартиры общая площадь площадь кухни тип дома 1 0,772844712 1 площадь кухни 0,425727046 0,671633963 жилая площадь 0,932507555 0,399748274 тип дома жилая площадь 0,756234201 -0,166785778 -0,275013877 1 1 -0,3198065 0,242686779 1 39 цена квартиры 30 y = 0,2817x + 3,4651 R² = 0,5973 25 Цена квартиры 20 15 10 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 общая площадь 40 30 цена квартиры 25 Название оси 20 15 10 y = 0,433x + 4,8909 R² = 0,5719 5 10 20 30 40 50 60 Жилая площадь 41 жилая площадь 60 y = 0,5936x - 0,6826 R² = 0,8696 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 42 Регрессионная статистика Множественный R 0,783199477 R-квадрат 0,613401421 Нормированный Rквадрат 0,568793892 Стандартная ошибка 2,977050042 Наблюдения 30 Анализ модели зависимости цены квартиры от количественных факторов Дисперсионный анализ df Регрессия Остаток Итого 3 26 29 SS MS F Значимость F 365,6202 121,8734 13,75107 1,44E-05 230,4335 8,862827 596,0537 43 Анализ модели зависимости цены квартиры от количественных факторов Стандартная Нижние tPКоэффициенты ошибка статистика Значение 95% Y-пересечение Верхние 95% 3,196480447 2,188336 1,46069 0,156081 -1,30171 7,69467 общая площадь 0,358868332 0,286188 1,253961 0,221014 -0,2294 0,947136 жилая площадь -0,046141576 0,363395 -0,12697 0,899938 -0,79311 0,700828 площадь кухни -0,235226385 0,357911 -0,65722 0,516815 -0,97092 0,50047 Все коэффициенты статистически незначимы 44 Регрессионная статистика Множественный R R-квадрат Нормированный Rквадрат 0,783484326 0,613847689 Стандартная ошибка Наблюдения 3,034254445 30 Анализ модели зависимости цены квартиры от количественных факторов и типа дома 0,552063319 Дисперсионный анализ df Регрессия Остаток Итого Y-пересечение общая площадь жилая площадь площадь кухни тип дома 4 25 29 SS 365,8862 230,1675 596,0537 MS 91,47154 9,2067 Все коэффициенты статистически незначимы F Значимость F 9,9353233 5,92457E-05 Стандарт tная статисти Коэффициенты ошибка ка P-Значение 3,010600959 2,484048 1,211974 0,2368529 0,348251209 0,2983 1,167454 0,2540417 -0,031159199 0,380722 -0,08184 0,9354237 -0,216181543 0,381607 -0,5665 0,5761033 0,205528855 1,209161 0,169976 0,8663967 Нижние 95% -2,105390749 -0,266108653 -0,815270477 -1,002116891 -2,284784099 Верхние 95% 8,126593 0,962611 0,752952 0,569754 2,695842 45 Регрессионная статистика Множественный R 0,768128142 R-квадрат 0,590020842 Нормированный Rквадрат 0,559652015 Стандартная ошибка Наблюдения 3,008442322 30 Дисперсионный анализ Регрессия Остаток Итого Y-пересечение жилая площадь площадь кухни df 2 27 29 SS MS 351,6841 175,842 244,3696 9,050725 596,0537 Стандар тная Коэффициенты ошибка 4,305832277 2,022645 0,399417314 0,076981 0,169960396 0,155539 tстатист ика 2,128812 5,188531 1,092718 Значимос F ть F 19,4285 5,92E-06 PЗначение 0,042542 1,84E-05 0,284172 Нижние Верхние 95% 95% 0,155707 8,455957 0,241466 0,557369 -0,14918 0,4891 46 Регрессионная статистика Множественный R R-квадрат 0,78304642 0,613161695 Нормированный Rквадрат 0,584507006 Стандартная ошибка Наблюдения 2,922304962 30 Дисперсионный анализ Регрессия Остаток Итого df SS MS F Значимость F 2 27 29 365,4773 230,5764 596,0537 182,7386 8,539866 21,39830206 2,7018E-06 Коэффициенты Стандарт tная статисти ошибка ка P-Значение Нижние 95% Верхние 95% Y-пересечение общая площадь 3,266767407 0,323337452 2,078233 0,05889 1,571897 5,490576 0,127621029 8,17728E-06 -0,99741471 0,20250611 7,53094952 0,4441688 площадь кухни -0,196747292 0,186924 -1,05255 0,301875937 -0,58028411 0,18678952 47 Какую модель можно использовать для прогнозирования? 1. 2. 3. 4. 5. 6. Цена квартиры – общая площадь; Цена квартиры – жилая площадь Цена квартиры – общая, жилая, площадь кухни; Цена квартиры – общая, жилая, площадь кухни, тип дома; Цена квартиры – жилая, площадь кухни; Цена квартиры – общая, площадь кухни. - 48