Эффективность информационных технологий

Эффективность информационных технологий Лекция 3. Экономическая эффективность информационных технологий. Схемы начисления процентов 1. Простые проценты. Каждый год начисляется r% от первоначальной суммы S0. Сумма вклада через n лет (n – целое число): где Sn - сумма через n лет, S0 - первоначальная сумма, r - годовая процентная ставка (при расчетах следует подставлять значение, выраженное не в процентах, а в долях единицы, т.е. если ставка 12%, то в качестве r в формулу следует подставить 0,12). Сумма St через t лет (t – неотрицательное действительное число): 2. Сложные проценты. Каждый год начисляется r% от уже имеющейся суммы. Сумма Sn через n лет (n – целое число): Сумма St через t лет (t – неотрицательное действительное число): где [t] – целая часть числа t, {t} – дробная часть числа t. 3. Сложные проценты с капитализацией m раз за период. Каждый период длительностью 1/m лет начисляется (r/m)% от уже имеющейся суммы. Сумма Sn через n лет: При одинаковых r сумма, получаемая по схеме простых процентов меньше, чем по схеме сложных процентов. В схемах сложных процентов итоговая сумма тем больше, чем больше m. Сумма St через t лет (t – неотрицательное действительное число): Вышеприведенная формула на практике почти всегда используется лишь когда произведение m*t – целое число. Второй множитель в этом случае равен 1: 4. Непрерывная процентная ставка. При говорят о непрерывном начислении процентов. Сумма Sn через n лет (n - целое число): Сумма St через t лет (t - неотрицательное действительное число): Эффективная процентная ставка – это годовая процентная ставка в схеме сложных процентов (с капитализацией 1 раз за год, т.е. в схеме 2), которая обеспечила бы ту же самую наращенную сумму Sn. Эффективную процентную ставку можно определить из уравнения: , откуда получаем: Пример 1. Начальная сумма равна 100000 руб. Определить наращенную сумму через 4 года при начислении процентов по номинальной ставке 10% годовых для 4-х случаев: 1) простые проценты; 2) сложные проценты, начисляются в конце года; 3) сложные проценты, начисляются поквартально; 4) непрерывные проценты. Рассчитать эффективные процентные ставки для этих 4-х случаев. Решение. Суммы через 4 года: 1) Простые проценты: S4 = 100000*(1+4*0,1) = 140 000 руб. 2) Сложные проценты: S4 = 100000*(1+0,1)4 = 146 410 3) Сложные проценты с поквартальным начислением (m=4 раза в год): S4=100000*(1 + 0,1/4)4*4 = 148 450,6 руб. 4) Непрерывные проценты: S4=100000*e4*0,1 = 149 182,5 руб. Эффективные процентные ставки: 1) Простые проценты: rэф =(100000*(1+4*0,1)/100000)1/4 – 1 = (1+4*0,1)1/4 – 1 = 8,77% 2) Сложные проценты: rэф = ((1+0,1)4)1/4 - 1 = 0,1 = 10% (для схемы сложных процентов эффективная и номинальная ставки совпадают). 3) Сложные проценты с поквартальным начислением (m=4 раза в год): rэф =((1 + 0,1/4)4*4)1/4 – 1 = 10,38%. 4) Непрерывные проценты: rэф = (e4*0,1)1/4 – 1 = 10,52%. Дисконтирование и наращение Денежный поток – это последовательность платежей во времени. Платежи могут быть положительными (поступление денежные средства) и отрицательными (отток денежных средств). Последовательность платежей будем обозначать как C0, C1, C2, …, Cn. Теория временной стоимости денег – предположение о том, что деньги, полученные в будущем, являются менее ценными, чем деньги, полученные сейчас. При работе с денежными суммами, получаемыми и затрачиваемыми в разных периодах времени, предварительно приводят их к какому-либо одному периоду. Время, лет 1 2 ... n ... ... ... ... ... ... ... ... ... Примечание: В таблице подразумевалось начисление процентов по схеме сложных процентов. Ничто не мешает использовать любую другу схему, например, непрерывные проценты. Тогда коэффициенты наращения будут выглядеть как ert, а коэффициенты дисконтирования будут выглядеть как e-rt. На практике при анализе долгосрочных инвестиций (реальные инвестиции в производство, строительство и т.д.) основной является схема сложных процентов. Когда же речь идет о краткосрочных финансовых инвестициях, схему сложных процентов применять затруднительно и вместо нее используют схему непрерывных процентов или схему простых процентов. Методы анализа денежных потоков: 1) Дисконтирование. Приведение денежных потоков к текущему (t=0) моменту времени. Дисконтирование выполняется путем умножения будущих платежей на коэффициент дисконтирования: i-м коэффициентом дисконтирования называется следующая величина: PV (Present Value) – текущая стоимость потока платежей. 2) Наращение. Приведение денежных потоков к моменту в будущем. Наращение выполняется путем умножения платежей на коэффициент наращения: i-м коэффициентом наращения называется следующая величина: FV (Future Value) – будущая стоимость потока платежей. В качестве ставки дисконтирования r можно использовать процентную ставку безрискового актива (доходность государственных облигаций, процент по банковским депозитам и т.д.). Иной подход заключается в использовании ставки альтернативной или требуемой доходности. Пример 2. Внедрение информационных технологий позволит получить дополнительный чистый денежный поток. Данные для первых четырех лет приведены в таблице: Период (год) 1 2 3 4 Платеж Ci 10 000 15 000 20 000 25 000 Ставка дисконтирования r=25%. Найти текущую и будущую стоимость потока платежей. Решение. Текущая стоимость: Будущая стоимость: На практике часто встречаются ситуации, когда невозможно указать период, в который будет совершен последний платеж. Примеры таких потоков: поток прибыли, приносимой компанией (компания существует в течение неопределенного срока, нельзя точно сказать, когда она прекратит свое существование); поток дивидендов, получаемых акционером (акция существует, пока существует корпорация-эмитент). Для определения текущей стоимости денежного потока (т.е. стоимости акции, предприятия или проекта) используют ту или иную модель бесконечного денежного потока. Основные модели бесконечных денежных потоков: 1) Модель постоянного платежа. Величина платежей постоянна и равна C: 2) Модель постоянного роста (Модель Гордона). Платежи возрастают с постоянным темпом роста g (g 0 - проект эффективен, если NPV < 0 - проект неэффективен. В том случае, когда инвестиции запланированы не только в начальный момент времени, но и в некоторые последующие, формула приобретает вид: ​ 2) Индекс рентабельности (Profitability Index) ​ Рассчитывается по формуле: PI = PV/I0, или подробно: ​ Если PI > 1 - проект эффективен, если PI<1 - проект неэффективен. ​ ​ В том случае, когда инвестиции запланированы не только в начальный момент времени, но и в некоторые последующие, формула приобретает вид: Пример 8. Чистый денежный поток проекта представлен в таблице ниже: I0 C1 C2 C3 C4 100 20 30 40 50 Ставка дисконтирования равна 10%. Найти NPV и PI проекта. Решение. Год t 1 2 3 4 C - 20 30 40 50 C/(1+r)t - 18,18 24,79 30,05 34,15 I 100 - - - NPV = (18,18 + 24,79 + 30,05 + 34,15) – 100 = 107,18 – 100 = 7,18. NPV > 0, следовательно, проект эффективен. PI = 107,18/100 = 1,0718. PI > 0, следовательно, проект эффективен. Примечание: инвестиции являются эффективными или неэффективными не «вообще», а лишь в связи с той или иной ставкой дисконтирования r. Из убыточности всегда следует неэффективность, однако и прибыльный инвестиционный проект может быть неэффективным, поскольку могут существовать более выгодные альтернативы. ​ 3) Внутренняя норма доходности IRR (internal rate of return) и MIRR ​ IRR – это такая ставка r, при которой значение NPV равно 0. Для этого находится действительный неотрицательный корень уравнения: ​ ​ или, подробно: ​ Проект считается эффективным, если IRR превышает ставку дисконтирования (заданную заранее). Чем выше значение показателя, тем выше эффективность проекта. Следует иметь ввиду, что получить точное решение указанного выше уравнения может быть затруднительно (как известно, не существует формул, выражающих корни уравнения степени 5 и выше через его коэффициенты). Поэтому на практике следует пользоваться численными методами, например, методом половинного деления. Пример 9. Чистый денежный поток проекта представлен в таблице ниже: I0 C1 C2 C3 C4 100 20 30 40 50 Найти IRR проекта. Решение. r NPV(r) Знак NPV r NPV(r) Знак NPV 10% 7,18 + 13,75% -2,19 - 20% -15,24 - 13,125% -0,72 - 15% -5,04 - 12,8125% 0,03 + 12,5% 0,79 + 12,96875% -0,34 - Итак, корень лежит в интервале (12,8125%, 12,96875%). Если взять: IRR =(12,8125+12,96875)/2 = 12,89063%, то ошибка не превысит (12,96875-12,8125)/2=0,078%, что вполне допустимо. Если этой точности недостаточно, можно продолжить процедуру, разделив интервал (12,8125%, 12,96875%) пополам и т.д. В Excel можно использовать надстройку «Поиск решения»: Целевой функцией является NPV. Требуется, изменяя значение ячейки со ставкой дисконтирования, получить значение NPV=0. Нажав «Найти решение» получим IRR в ячейке со ставкой дисконтирования. В нашем случае: IRR = 12,8257 %. 3.1) Модифицированная внутренняя норма доходности. Если инвестиции делаются не только в начальный момент, но и в некоторые последующие, то возможны ситуации, когда уравнение имеет несколько неотрицательных действительных корней. Поэтому в таких случаях показатель IRR модифицируют: вместо него находят MIRR (modified internal rate of return). Для этого инвестиции дисконтируют не по переменной ставке r, а по некоторой фиксированной ставке rf (например, по безрисковой), после чего находят (теперь единственный!) действительный неотрицательный корень уравнения: ​ 4) Срок окупаемости для дисконтируемых денежных потоков инвестиции (Discounted Payback Period - DPP) ​ Общая формула расчета показателя DРР имеет вид: ​ DРР (целых лет) = min n, при котором ​ Число месяцев определяется по формуле: ​ Если DPP < ∞, то проект эффективен. В общем случае, когда инвестиции делаются в различные моменты времени, DPP не рассчитывается.