Двумерные линейные системы экономической динамики

Лекция 5. Двумерные линейные системы экономической динамики • Основные понятия двумерного отображения динамических процессов • Линейные однородные системы • Исследования положения равновесия двумерных автономных систем • Линейные неоднородные системы Двумерные динамические системы Двумерные динамические системы также называют динамическими системами на плоскости или динамическими системами с двумя степенями свободы. Под динамической системой на плоскости динамическую систему первого порядка: будем понимать автономную с начальными условиями , . Траекториями системы (интегральными кривыми) будут , . Интегральные кривые динамической системы не пересекаются. Двумерные динамические системы Поведение системы можно представить геометрически на плоскости в прямоугольных декартовых координатах. При таком представлении каждому состоянию динамической системы однозначно соответствует точка на плоскости с координатами х, у и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно, и только одно состояние исследуемой динамической системы. Плоскость называется фазовой плоскостью. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением точки, которую называют фазовой, изображающей или представляющей точкой. Траектория, по которой движется изображающая точка, называется фазовой траекторией; скорость и направление её движения определяются вектором фазовой скорости . Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом системы и отображает совокупность всех возможных сочетаний системы и типы возможных движений в ней. Роль фазового портрета заключается в том, что он однозначно определяет эволюцию (поведение) динамической системы. Двумерные динамические системы На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий: 1. особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы уравнений: 2. изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодическим движениям в системе; 3. сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области, заполненные траекториями разных типов. Положения равновесия двумерных автономных систем Пусть задана линейная автономная система с постоянными коэффициентами: Данная система уравнений является автономной, поскольку правые части уравнений не содержат в явном виде независимой переменной t. В матричной форме система уравнений записывается как: Положения равновесия находятся из решения стационарного уравнения Положения равновесия двумерных автономных систем Стационарное уравнение имеет единственное решение , если матрица A является невырожденной, т.е. при условии . В случае вырожденной матрицы система имеет бесконечное множество точек равновесия. Классификация положений равновесия определяется собственными значениями (характеристическими корнями) , матрицы A. Числа , находятся из решения характеристического уравнения: В матричном виде характеристическое уравнение имеет вид: Положения равновесия двумерных автономных систем Следом матрицы называется число, равное сумме элементов главной диагонали: t Напомним, что определитель матрицы вычисляется по формуле: Характеристическое уравнение матрицы имеет можно записать через определитель и след матрицы: Дискриминант этого квадратного уравнения определяется соотношением: Положения равновесия двумерных автономных систем Сумма характеристических корней (собственных чисел) равна следу матрицы: Произведение характеристических корней равно определителю матрицы: Корни характеристического уравнения не обязательно должны быть различными, причем некоторые из них могут быть комплексными. Положения равновесия двумерных автономных систем Каждому их характеристических корней соответствует собственный вектор (характеристический вектор) , определенный с точностью до постоянного множителя. Характеристический вектор определяется корнями уравнения при подстановке в него значений . Например, характеристическое уравнение для матрицы имеет вид Корни этого уравнения Собственный (характеристический) вектор для определяется из системы: и имеет значение , где - произвольная постоянная. А собственный вектор для корня значение Положения равновесия двумерных автономных систем Введенные выше постоянные часто исключают из рассмотрения, вводя нормализованные векторы преобразованные векторы сохраняющие первоначальное направление, но имеющие единичную длину. Способ нормализации. Пусть имеется произвольный вектор . Тогда его -ая компонента нормализуется следующем преобразованием: . Нормализуем вектор Нормализованный вектор Положения равновесия двумерных автономных систем Решением система уравнений с двумя неизвестными: является система: где - собственные (характеристические) числа матрицы , а постоянные определяются из начальных условий , , в предположении, что : Положения равновесия двумерных автономных систем Формула для собственных значений для системы на плоскости задается выражением: . Если – комплексное число, то Таким образом, бифуркационная кривая, разграничивающая различные режимы устойчивости, представляет собой параболу на плоскости : Положения равновесия автономных систем Устойчивые режимы движения существуют в левом верхнем квадранте бифуркационной диаграммы. Остальные три квадранта соответствуют неустойчивым положениям равновесия. Положения равновесия автономных систем В общем случае, когда матрица является невырожденной, существует 4 различных типа точек равновесия: Точка равновесия Узел Седло Значения , матрицы A , − действительные числа одного знака () , − действительные числа разного знака () Фокус , − комплексные числа; их действительные части равны и отличны от нуля () Центр , − чисто мнимые числа () Положения равновесия автономных систем (узел) Собственные значения матрицы 𝐴 – это действительные числа одного знака (). Узел может быть как асимптотически устойчивым (), так и неустойчивым (). Устойчивый узел Не устойчивый узел Положения равновесия автономных систем (фокус) Собственные значения матрицы – это комплексные числа . Фокус может быть как асимптотически устойчивым (если ), так и неустойчивым (если ). Положения равновесия автономных систем (седло) Собственные значения матрицы 𝐴 – это действительные числа разных знаков, т.е . Седло всегда неустойчиво. Положения равновесия автономных систем (центр) Собственные значения матрицы 𝐴 – это чисто мнимые комплексные числа . Центр является устойчивым по Ляпунову. Положения равновесия трехмерных автономных систем Пусть матрица A невырождена (т.е. и имеет вид: Положения равновесия определяется собственными значениями , , матрицы A и находятся из решения характеристического уравнения. В матричном виде характеристическое уравнение имеет вид: Положения равновесия трехмерных автономных систем Произведение элементов главной диагонали матрицы : Интрилигатор ???? Положения равновесия нелинейных автономных систем Рассмотрим нелинейную динамическую систему: где – нелинейные функции. Положения равновесия нелинейных автономных систем Рассмотрим нелинейную динамическую систему: где – нелинейные функции. Нелинейные системы второго порядка можно анализировать в некоторой окрестности точки равновесия с помощью линейных аппроксимаций функций в этой точке. Так если есть точка равновесия, то после замены функций , их линейными аппроксимациями в окрестности система преобразуется к виду: Положения равновесия нелинейных автономных систем Теперь поведение системы в окрестностях корнями матрицы Якоби (якобиан системы): описывается характеристическими . Таким образом, исходную динамическую систему можно представить в матричновекторной форме здесь – вектор динамических переменных системы, - матрица Якоби. Положения равновесия нелинейных автономных систем Признаки устойчивости нелинейной системы: • Если все собственные значения якобиана имеют отрицательные действительные части, то стационарные точки исходной (нелинейной) системы и линеаризованной являются асимптотически устойчивыми; • Если хотя бы одно собственное значение якобиана имеет положительную действительную часть, то нулевые стационарные точки исходной (нелинейной) системы и линеаризованной являются неустойчивыми. Замечание 1: в критических случаях, когда собственные числа имеют действительную часть, равную нулю, следует использовать другие методы исследования устойчивости. Замечание 2: если стационарная точка характеризуется собственными значениями с ненулевой действительной частью, то такая точка называется грубой. Положения равновесия нелинейных автономных систем Положения равновесия нелинейных автономных систем Введем динамическую переменную – индекс ликвидности. Определим приток денежных средств (), как поступления денежных средств от текущих () и инвестиционных операций (). Отток денежных средств () будет задаваться суммами платежей по текущей и инвестиционной деятельности. Индекс ликвидности компании может быть задан следующим образом: Значение индекса ликвидности компании меньше единицы, свидетельствует о необходимости внешнего финансирования в момент времени . Значение индекса ликвидности больше единицы означает, что компания либо аккумулирует денежные средства на счетах в кредитных учреждениях, либо размещает их на финансовом рынке. Положения равновесия нелинейных автономных систем Вторая динамическая переменная – индекс доходности дисконтированного денежного потока (), который сопоставляет все будущие платежи со всеми ожидаемым поступлениям денежных средств, приведенными к настоящему моменту времени: , (2) где – ставка дисконтирования; – ожидаемые платежи компании в году ; – ожидаемые поступления денежных средств компании в году ; – горизонт времени, для которого осуществляется оценка движения денежных средств. Условие финансовой стабильности . операций экономического субъекта. – ожидаемая доходность от хозяйственных (3) Положения равновесия нелинейных автономных систем Взаимосвязи между значениями индекса доходности дисконтированного потока и значениями индекса ликвидности могут быть представлены через систему: где – скорости взаимной адаптации значений индекса ликвидности и индекса доходности, - коэффициент дисконтирования. Фазовым пространством системы выступает множество , которое является инвариантным, так как любая траектория, начинающаяся в , не может пересечь линии и Положения равновесия нелинейных автономных систем Экономический смысл предложенной системы. Система соответствует отношению «хищник-жертва». Основная особенность модели - если ожидаемая доходность дисконтированного денежного потока ниже процентной ставки, действующей в экономической системе («упитанность особи не растет в соответствии с ожиданиями хищников, позволяющим жертве нагуливать дополнительный вес»), то с лагом экономический субъект начинает испытывать проблемы с привлечением денежных средств со стороны на финансирование своих текущих операций («особь сталкивается с необходимостью спасаться, а потом и постоянно прятаться от хищников, которые норовят оторвать от жертвы кусок мяса, что приводит к полной потере способности к нагулу веса и возможности дальнейшего существования»). Положения равновесия нелинейных автономных систем Экономический смысл предложенной системы. С другой стороны, если экономический субъект обладает избыточной текущей ликвидностью («жертва нагуляв определенный вес сталкивается с ограничениями (физиологическими, биологическими, экологическими) не позволяющими поддерживать достигнутые темпы весового прироста»), то с некоторым лагом происходит сокращение доходности ожидаемого денежного потока, поскольку часть имеющихся ресурсов не размещена в проектах генерирующих будущий доход («хищники начинают рассматривать животное как выморочное»). Положения равновесия нелинейных автономных систем Приведем задачу к каноническому виду: Точки равновесия (стационарные точки) задаются системой: или Система имеет две точки равновесия (стационарные точки): и Положения равновесия нелинейных автономных систем Матрица Якоби для сформулированной задачи имеет вид: так что в окрестностях точек равновесия справедливо соотношение: где - матрица Якоби поставленной задачи; ; . Положения равновесия нелинейных автономных систем Определим якобиан системы для нулевой точки : Собственные (характеристические) числа матрицы Якоби определяются выражением: Из выражения имеем: . Собственные значения действительные и разных знаков. Стационарная точка исходной (нелинейной) системы и линеаризованной является седлом и характеризуется неустойчивостью. Положения равновесия нелинейных автономных систем Поскольку стационарная точка исходной (нелинейной) системы и линеаризованной является седлом, то найдем уравнения сепаратрис. Сепаратриса – кривая (прямая), разделяющая области с разным поведением траекторий системы в пространстве фазовых координат. Седло имеет четыре сепаратрисы, начинающиеся в точке седла — две устойчивых (направленных к седловой точке) и две неустойчивых (исходящих из седловой точки). Часто сепаратриса разделяет области притяжения различных аттракторов. Прямые - сепаратрисы характеризуются уравнениями: Положения равновесия нелинейных автономных систем Уравнения прямых-сепаратрис собственного числа : позволяют сформировать систему условий для . После преобразований получаем: . Что позволяет вывести зависимость: которая при условиях , , выполняется только при Следовательно в рассматриваемой модели ось - сепаратриса. Положения равновесия нелинейных автономных систем Построим систему условий прямых-сепаратрис для собственного числа : . После преобразований получаем: . Что позволяет вывести зависимость: которая при условиях , , выполняется только при Следовательно в рассматриваемой модели ось - сепаратриса. В целом, границы положительного ортанта пространства , в котором рассматриваются траектории изменения состояний системы одновременно являются и сепаратисами седловой точки . Положения равновесия нелинейных автономных систем Определим якобиан системы для нулевой точки : Собственные (характеристические) числа матрицы Якоби определяются выражением: Из выражения имеем: . Стационарная точка линеаризованной системы имеет собственные числа с нулевой действительной частью (критический случай) и для неё необходимо использовать другие методы исследования устойчивости. Возможно данная точка является центром или фокусом. Положение равновесия в точке E - негиперболическое и линейный анализ не позволяет сделать вывод о его устойчивости. Положения равновесия нелинейных автономных систем Исследование на устойчивость при можно провести с помощью функции Ляпунова. Однако это сделать непросто. Воспользуемся уравнением с разделяющимися переменными: Отметим, что для подтверждения наличия центра достаточно, чтобы интегральные кривые (прямые) уравнения (где ) имели ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку (точку равновесия). В частности, ось симметрии существует, если уравнение не меняется при замене на (или на ). Положения равновесия нелинейных автономных систем «Мнемоническое» правило решения уравнения с разделяющимися переменными состоит в том, чтобы рассматривать и левую, и правую части уравнения как дроби и перенести «все члены с в одну сторону, а все члены с в другую»: После этого «приравнивание интегралов» дает искомое соотношение между и в виде равенства: для первообразных или для определенных интегралов. Положения равновесия нелинейных автономных систем Фазовые кривые системы совпадают с интегральными кривыми уравнения с разделяющимися переменными: и фазовыми кривыми уравнения-произведения (в области где отличны от нуля): Положения равновесия нелинейных автономных систем Применяя «мнемоническое правило» сформулируем тождество: , осуществим последовательные преобразования: и проинтегрируем результат. Получаем: . Положения равновесия нелинейных автономных систем Следовательно: что после перестановки определенных слагаемых запишется как: Обозначим: и , тогда справедливо: Положения равновесия нелинейных автономных систем Графики функций и имеют вид «ям». Поэтому и график функции имеет вид ямы (см. рис. ниже). Следовательно, линии уровня функции p + q –– определяется или замкнутыми кривыми или допускают «скатывание» траектории развития системы в точку равновесия . Положения равновесия нелинейных автономных систем Итак, фазовые кривые исследуемой системы являются интегральными кривыми уравнения: решение которого задается функцией Гамильтона (гамильтонианом) (используется другая форма записи ранее выведенного выражения): . Исследуем состояние функции в точке равновесия в ней гамильтониан примет вид: В предположении, что и после соответствующих преобразований получаем: . Положения равновесия нелинейных автономных систем И действительно, , - минимум функции , который достигается в точке , Соотношение Положения равновесия нелинейных автономных систем С другой стороны, числовой эксперимент изучения модели допускает «разворачивание» траектории от точки равновесия «в верх». Подобный факт требует дополнительного исследования характеристик (параметров) системы и аналитического подтверждения полученных выводов (обоснование траекторий развития системы в различных условиях). Положения равновесия нелинейных автономных систем Робастная граница как переход возможных состояний. Система проявляет одни свойства у точки равновесия и другие в окрестностях робастной границы. Положения равновесия нелинейных автономных систем Вернемся к использованию свойств функции Ляпунова. Проверим свойства функции . подобный анализ позволит показать (не показать) замкнутость линий уровня Разложим в окрестностях точки функцию в ряд Тейлора и получаем: Положения равновесия нелинейных автономных систем И