Двухполюсные элементы электронных цепей

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Элементы электронных цепей • Под элементами в теории цепей понимают не реальные устройства, а их идеализированные модели, обладающие определенными свойствами реальных прототипов. • Такими идеализированными элементами являются резистивный, индуктивный и емкостный элементы, а также независимые источники напряжения и тока. • Соединяя между собой идеализированные элементы, мы получим модель, или схему замещения, приближенно отображающую процессы в реальном электронном устройстве. РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • РЕЗИСТИВНЫМ называют идеализированный двухполюсный элемент, для которого связь между напряжением и током можно представить в виде графика, называемого вольтамперной характеристикой. • ЕСЛИ ВОЛЬТ-АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА • РЕЗИСТИВНОГО ЭЛЕМЕНТА - ПРЯМАЯ, • ЕГО НАЗЫВАЮТ ЛИНЕЙНЫМ. •𝑅𝑅 = 𝑈𝑈 𝐼𝐼 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶. • Связь между напряжением и током определяется законом ОМА: • 𝑈𝑈 = 𝑅𝑅 � 𝐼𝐼; • Мощность, поглощаемая резистором, 𝐼𝐼 = 𝐺𝐺 � 𝑈𝑈. 2 𝑈𝑈 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈 � 𝐼𝐼 = 𝑅𝑅 � 𝐼𝐼 = �𝑅𝑅 2 I U РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • ЕСЛИ ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕМЕНТА ЗАВИСЯТ ОТ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ, ЕГО НАЗЫВАЮТ НЕЛИНЕЙНЫМ. • Если характеристика расположена в первом и третьем квадрантах (кривая 1), то элемент является пассивным (мгновенная мощность 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈 � 𝐼𝐼 положительна). Если какой-либо участок ВАХ находится во втором или четвертом квадрантах (кривая 2), то произведение напряжения и тока отрицательно, что соответствует генерированию мощности. Этот элемент является активным. РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Для каждой точки ВАХ(вольт-амперная характеристика) нелинейного резистора можно определить статическое и динамическое сопротивления: • 𝑅𝑅ст = 𝑈𝑈 𝐼𝐼 • 𝑅𝑅диф = - статическое сопротивление ( 𝑅𝑅ст =k/tg(𝛼𝛼) на графике) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑅𝑅диф =k/tg(𝛽𝛽) на графике) РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Вольт-амперные характеристики нелинейных элементов могут иметь немонотонный характер. В этом случае имеется участок характеристики с отрицательным динамическим сопротивлением. • Если ВАХ, является однозначной функцией напряжения, то они называют характеристиками, управляемыми напряжением • Если ВАХ, является однозначной функцией тока, то они называют характеристиками, управляемыми током N-образная ВАХ туннельного диода. ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА • Источник напряжения - двухполюсный элемент, напряжение которого не зависит от тока через него и изменяется по заданному закону. • • УСЛОВНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ Н ВАХ ИСТОЧНИКА НАПРЯЖЕНИЯ • Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю, в противном случае его напряжение будет зависеть от тока через него. Мощность такого источника бесконечна. ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ 𝑟𝑟 → 0 ИСТОЧНИКИ ТОКА • Источник тока - двухполюсный элемент, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах и изменяется в соответствии с заданным законом. • УСЛОВНОЕ ОБОЗНАЧЕНИЕ Н ВАХ ИСТОЧНИКА ТОКА • Внутренняя проводимость идеального источника тока равна нулю, в противном случае ток будет зависеть от напряжения на его зажимах. Внутреннее сопротивление такого источника бесконечно велико. Мощность такого источника также бесконечна. ИСТОЧНИКИ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА 𝑟𝑟 → ∞ и 𝑈𝑈 зависит только от 𝑅𝑅н УПРАВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ • Управляемый источник – четырехполюсный резистивный элемент, состоящий из двух ветвей и двух пар выводов: входной и выходной. • Он обладает следующими свойствами: 1) выходная величина пропорциональна входной; 2) выходная величина не влияет на входную. • Входной и выходной величинами управляемого источника могут быть токи или напряжения. Поэтому различают четыре вида управляемых источников. УПРАВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ 1. Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) • Входной ток этого элемента равен нулю: I1 =0. • Напряжение на выходе ИНУН пропорционально U2 входному напряжению: U2 =K�U1 • K - коэффициент усиления напряжения 2. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) • Выходной ток этого источника пропорционален входному напряжению: I2 = S � 𝑈𝑈1 • Входной ток ИТУН равен нулю: I1 =0. • S - передаточная проводимость или крутизна. I2 УПРАВЛЯЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ 3. Источник тока, управляемый током (ИТУТ) • Входное напряжение этого источника равно нулю: U1 = 0. 𝐼𝐼2 • Выходной ток ИТУТ пропорционален входному: I2 = K�I1 • K - коэффициент усиления тока 4. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) • Напряжение на выходе ИНУТ пропорционально входному току: U2 = K�I1. • управляющий параметр K имеет размерность сопротивления. Примечание: 𝐾𝐾𝐼𝐼1 • Входные зажимы источников, управляемых током, замкнуты накоротко, а входные зажимы источников, управляемых напряжением, разомкнуты. • Для передачи сигнала от выхода к входу источника необходима внешняя цепь, которую называют цепью обратной связи. АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ. ЗАКОНЫ КИРХГОФА • Ветвь - участок цепи с двумя выводами. • Узел - точка соединения двух или более ветвей. • Контур - замкнутый путь, проходящий через ряд ветвей и узлов. 1. ПЕРВЫЙ ЗАКОН КИРХГОФА Алгебраическая сумма токов в ветв, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю: ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐼𝐼𝑘𝑘 =0 Число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно nу -1, где nу - число узлов цепи 2. ВТОРОЙ ЗАКОН КИРХГОФА Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна сумме ЭДС в этом контуре: 𝑚𝑚 𝑛𝑛 𝑘𝑘=1 𝑙𝑙=1 � 𝑈𝑈𝑘𝑘 = � ℰ𝑙𝑙 ЗАКОНЫ КИРХГОФА • Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. • Число таких контуров определяется формулой nb - nу +1, где nb - число ветвей. • Пример 1. Мост Уитстона используется для измерения сопротивлений. В одно плечо моста включается источник напряжения, а в другое - нуль-индикатор D, сопротивление которого можно считать равным нулю. Необходимо определить ток в плече с нуль-индикатором. По первому закону Kирхгофа: Найдем 𝑅𝑅 ЭКВ : 𝑅𝑅 ЭКВ = 𝐼𝐼𝐷𝐷 − 𝐼𝐼 1 + 𝐼𝐼3 = 0. 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 Ток неразветвленной части цепи: 𝑅𝑅3 𝑅𝑅4 . 𝑅𝑅3 +𝑅𝑅4 𝐸𝐸 𝐼𝐼0 = . 𝑅𝑅 ЭКВ + Поскольку резисторы R1 и R2 , R3 и R4 соединены параллельно, токи в них распределяются обратно пропорционально сопротивлениям: 𝐼𝐼 1 = 𝐼𝐼 0 𝑅𝑅2 , 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 𝐼𝐼 3 = 𝐼𝐼 0 𝑅𝑅4 . 𝑅𝑅3 +𝑅𝑅4 ЗАКОНЫ КИРХГОФА Ток нуль-индикатора 𝐼𝐼 𝐷𝐷 = 𝐼𝐼 1 − 𝐼𝐼 3 = 𝐼𝐼 0 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 −𝑅𝑅1 𝑅𝑅4 . (𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 )(𝑅𝑅3 +𝑅𝑅4 ) Обычно R4 - неизвестное сопротивление, а R1 – R3 регулируются до тех пор, пока ток через нуль-индикатор D не станет равным нулю, откуда 𝑅𝑅4 = 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 . 𝑅𝑅1 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ • При последовательном соединении двухполюсников. Напряжение равно сумме напряжений отдельных элементов: 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈1 + 𝑈𝑈2 В соответствии с законом Ома: 𝑈𝑈 = 𝐼𝐼 � 𝑅𝑅1 + 𝐼𝐼 � 𝑅𝑅2 Откуда: 𝑅𝑅экв = 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 Цепь, образованную последовательным соединением элементов, называют делителем напряжения. • Особенностью параллельного соединения двухполюсных элементов является равенство напряжений на их зажимах. Токи в параллельных ветвях делятся обратно пропорционально их сопротивлениям. Параллельную цепь часто называют делителем тока. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 1. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. Вольт-амперные характеристики (ВАХ) нелинейных элементов, если элементы соединены последовательно, при этом токи обоих элементов одинаковы: I1 =I2 =I Общее напряжение равно сумме напряжений: 𝑈𝑈 𝐼𝐼 = 𝑈𝑈1 (𝐼𝐼) + 𝑈𝑈2 (𝐼𝐼) ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЯ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. Резисторы соединены параллельно, напряжения обоих элементов одинаковы: 𝑈𝑈1 𝐼𝐼1 = 𝑈𝑈2 𝐼𝐼2 = 𝑈𝑈 Общий ток равен сумме токов отдельных элементов: 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 СМЕШАННОЕ СОЕДИНЕНИЕ ДВУХПОЛЮСНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Входная характеристика строится в следующей последовательности: a) Сначала необходимо определить ВАХ параллельного участка, образованного элементами 2 и 3. b) После замены параллельно соединенных элементов одним эквивалентным схема со смешанным соединением при водится к рассмотренной ранее схеме последовательного соединения двух нелинейных элементов. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УЧАСТКА ЦЕПИ • Схему с несколькими источниками часто удается преобразовать в одноконтурную схему или в схему с двумя узлами, что значительно упрощает последующий расчет. • Два участка цепи называют эквивалентными, если при замене одного участка на другой токи и напряжения остальной части цепи остаются неизменными. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИСТОЧНИКОВ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА • Условие: Цепь, образованна последовательно соединенными источником напряжения и резистором • Для этой цепи выполняется уравнение 𝑈𝑈 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐸𝐸. 𝑈𝑈 𝐸𝐸 𝑈𝑈 • Выразим из этого уравнения ток: 𝐼𝐼 = − + = − + 𝐽𝐽э 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 Последнему равенству соответствует цепь, образованная параллельным соединением источника тока 𝐽𝐽э = Е/𝑅𝑅 и резистора сопротивлением 𝑅𝑅 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕТВЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА В ЭКВИВАЛЕНТНУЮ ЗВЕЗДУ 𝐼𝐼12 − 𝐼𝐼31 = 𝐼𝐼1 𝐼𝐼23 − 𝐼𝐼12 = 𝐼𝐼2 𝐼𝐼31 − 𝐼𝐼23 = 𝐼𝐼3 𝑅𝑅12 𝐼𝐼12 + 𝑅𝑅23 𝐼𝐼23 + 𝑅𝑅31 𝐼𝐼13 = 0 𝑅𝑅31 𝐼𝐼 𝑅𝑅12 +𝑅𝑅23 +𝑅𝑅31 1 𝐼𝐼12 = Для ветви 23: 𝑅𝑅1 = 𝑅𝑅12 𝑅𝑅31 𝑈𝑈12 =𝑅𝑅12 𝐼𝐼12 𝑈𝑈23 =𝑅𝑅23 𝐼𝐼23 = 𝑅𝑅12 +𝑅𝑅23 +𝑅𝑅31 ; Выразим I12, 𝑈𝑈12 − 𝑅𝑅23 𝐼𝐼 𝑅𝑅12 +𝑅𝑅23 +𝑅𝑅31 2 𝑅𝑅12 𝑅𝑅31 𝑅𝑅12 𝑅𝑅23 = 𝐼𝐼 − 𝐼𝐼 𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23 + 𝑅𝑅31 1 𝑅𝑅12 + 𝑅𝑅23 + 𝑅𝑅31 2 𝑅𝑅12 𝑅𝑅23 𝐼𝐼 𝑅𝑅12 +𝑅𝑅23 +𝑅𝑅31 2 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅31 𝑅𝑅23 − 𝑅𝑅 +𝑅𝑅 +𝑅𝑅 𝐼𝐼3 . 12 23 31 𝑅𝑅12 𝑅𝑅23 𝑅𝑅12 +𝑅𝑅23 +𝑅𝑅31 ; Отсюда следует 𝑅𝑅3 = 𝑅𝑅31 𝑅𝑅23 𝑅𝑅12 +𝑅𝑅23 +𝑅𝑅31 . ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА • Рассмотрим двухполюсник, состоящий из последовательно соединенных источника напряжения и линейного резистора, нагруженный на сопротивление RН ВАХ – нагрузочная прямая Ток в цепи: 𝐼𝐼 = При Rн При Rн 𝐸𝐸𝑟𝑟 . 𝑅𝑅𝑟𝑟 +𝑅𝑅н Напряжение на выходе: 𝐸𝐸 𝑈𝑈н = 𝐸𝐸𝑟𝑟 − 𝑅𝑅𝑟𝑟 𝐼𝐼 0, ток максимален Iкз= 𝑅𝑅𝑟𝑟 (короткое замыкание). 𝑟𝑟 ∞, ток I = 0 (холостой ход), 2 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑈𝑈н Мощность отдаваемая нагрузке 𝑃𝑃н = 𝐼𝐼 𝑅𝑅н = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐸𝐸𝑟𝑟2 𝑅𝑅н , 𝑅𝑅н +𝑅𝑅𝑟𝑟 2 = 𝐸𝐸𝑟𝑟 . 𝑃𝑃н 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝐸𝐸𝑟𝑟2 , 4𝑅𝑅н при 𝑅𝑅Н = 𝑅𝑅𝑟𝑟 . АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ • Операционным усилителем (ОУ) называют усилитель, имеющий большой коэффициент усиления, высокое входное и малое выходное сопротивления. • Операционные усилители выпускают в виде интегральных микросхем. Они содержат большое число элементов (транзисторов и диодов), но по размерам и стоимости близки к отдельным транзисторам. • Типичные параметры интегрального ОУ следующие: Rвx > 100 кОм, Rвыx < 100 Ом. • В линейном режиме коэффициент усиления напряжения ОУ КU = 104-106. • Интегральный операционный усилитель имеет дифференциальный Неинвертирующий вход обозначен знаком «+», а инвертирующий - знаком «-». • Условное обозначение: вход. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЯХ • Зависимость выходного напряжения ОУ от входного Uвых =f(Ud ) называют передаточной характеристикой. Линейная область (Усилитель с большим коэф. усиления. Ud Е2 – на рис. б. а • Дифференциальное напряжение: б Ud = E1 – E2. 1. Если Е1 > Е2 , то Ud > 0, и выходное напряжение компаратора Uвых =Eнас , 2. Если Е1 < Е2 , то Ud < 0 и Uвых = - Eнас . АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ, РАБОТАЮЩИМИ В РЕЖИМЕ НАСЫЩЕНИЯ • Передаточная характеристика компаратора имеет вид. Если E1 < E2 Если E1 > E2 АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ, РАБОТАЮЩИМИ В РЕЖИМЕ НАСЫЩЕНИЯ • Пример. Рассмотрим инвертирующий триггер ШМИТТА на основе ОУ работающего в режиме насыщения (рис. 1.). • Поскольку ОУ охвачен положительной обратной связью, он находится в режиме насыщения. • Схема замещения рассматриваемой цепи изображена на рис. 2. Рис.1. Рис.2. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ, РАБОТАЮЩИМИ В РЕЖИМЕ НАСЫЩЕНИЯ • Напряжение на входе ОУ: 𝑈𝑈𝑑𝑑 = 𝛽𝛽𝐸𝐸нас − 𝑈𝑈вх , где 𝛽𝛽 = 𝑅𝑅1�(𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 ) . • Пусть напряжение на выходе усилителя равно +Eнас . В соответствии с напряжение Ud будет положительным до тех пор, пока Uвх < 𝛽𝛽Eнac. • Если Uвх превышает 𝛽𝛽Eнас , выходное напряжение изменяет свой знак и становится равным - Eнас . При этом напряжение на входе ОУ 𝑈𝑈𝑑𝑑 = −𝛽𝛽𝐸𝐸нас − 𝑈𝑈вх • Напряжение Ud будет оставаться отрицательным до тех пор, пока входное напряжение не уменьшится до величины - 𝛽𝛽Eнас. В этот момент выходное напряжение вновь станет равным+ Eнас . • Передаточная характеристика триггера ШМИТТА изображена на рис. 3. АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ С ОПЕРАЦИОННЫМИ УСИЛИТЕЛЯМИ, РАБОТАЮЩИМИ В РЕЖИМЕ НАСЫЩЕНИЯ Ширина петли передаточной характеристики определяется коэффициентом 𝛽𝛽 = 𝑅𝑅1�(𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 ). Передаточную характеристику можно сместить вправо или влево относительно начала координат, если включить источник напряжения между резистором R1 и заземленным узлом. Рис.3. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Нелинейную передаточную характеристику ОУ использовать для реализации двухполюсников, линейные характеристики. можно эффективно имеющих кусочно- • Такие двухполюсники находят применение при синтезе генераторов сигналов различной формы, мультивибраторов, триггеров и других устройств, в состав которых входят нелинейные резисторы. • Пример. На рис. изображена схема конвертора отрицательного сопротивления. Рассмотрим работу конвертора в двух режимах: линейном и нелинейном. Рис. 4. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Линейный режим. 1. Определим входное сопротивление, для этого включим на входе источник напряжения и рассчитаем входной ток Iвх, входное сопротивление Rвх = E / Iвх. 2. По второму закону Кирхгофа для контура, включающего источник напряжения Е, вход ОУ и резистор R1: −𝑈𝑈𝑑𝑑 + 𝑅𝑅1 𝐼𝐼1 = 𝐸𝐸. 3. Для контура, включающего вход ОУ, резисторы R2 и Rз : 𝑈𝑈𝑑𝑑 + 𝑅𝑅3 𝐼𝐼3 + 𝑅𝑅2 𝐼𝐼2 = 0. 4. Входные токи ОУ равны нулю, Iвх = Iз, I1 = I2, учитывая, кроме того, что Ud = 0, получим 𝑅𝑅1 𝐼𝐼1 = 𝐸𝐸. и 𝑅𝑅3 𝐼𝐼вх + 𝑅𝑅2 𝐼𝐼1 = 0. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Из последних уравнений найдем 𝐼𝐼ВХ = • Следовательно входное сопротивление цепи 𝑅𝑅2 − 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝐸𝐸. 1 3 𝑅𝑅ВХ = 𝑅𝑅1 𝑅𝑅3 − . 𝑅𝑅2 • Когда ОУ работает в линейном режиме, рассматриваемая цепь эквивалентна отрицательному резистору. Ее называют конвертором отрицательного сопротивления (КОС). Вольт-амперная характеристика КОС для линейного режима ОУ представляет прямую, расположенную во втором и четвертом квадрантах (сегмент 1 на рис. 5). Рис. 5. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Нелинейный режим. • Определим, каким будет входное сопротивление конвертора, если ОУ находится в состоянии насыщения. В этом режиме Ud ≠ 0. Эквивалентная схема, учитывающая насыщение ОУ, показана на Рис. 6. • По второму закону Кирхгофа для контура, включающего вход цепи, резистор Rз , источник Eнас : 𝑅𝑅3 𝐼𝐼 = 𝐸𝐸 − 𝐸𝐸нас . Откуда входной ток равен: 𝐼𝐼 = 𝐸𝐸 𝑅𝑅3 𝐸𝐸нас − 𝑅𝑅3 = 𝑈𝑈 𝑅𝑅3 − 𝐸𝐸нас . 𝑅𝑅3 Рис.6. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Последнему уравнению характеристики на рис. 5. соответствует • Найдем диапазон изменения входного справедливо последнее уравнение. сегмент 2 напряжения, вольт-амперной для • Запишем уравнение для контура, включающего вход цепи, вход ОУ, резистор R1: • Учитывая, что −𝑈𝑈𝑑𝑑 + 𝑅𝑅1 𝐼𝐼1 = 𝐸𝐸. 𝑅𝑅1 𝐼𝐼1 = 𝛽𝛽𝐸𝐸нас , где 𝛽𝛽 = 𝑅𝑅1�(𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 ), получим: 𝑈𝑈𝑑𝑑 = 𝛽𝛽𝐸𝐸нас − 𝐸𝐸. • Следовательно, последнее равенство справедливо, если 𝑈𝑈вх < 𝛽𝛽𝐸𝐸нас . которого РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Рассмотрим теперь случай, когда ОУ в состоянии насыщения и дифференциальное напряжение Ud < 0. • Эквивалентная схема показана на рис. 7. • Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, найдем, что 𝐼𝐼 = 𝐸𝐸 𝑅𝑅3 + 𝐸𝐸нас 𝑅𝑅3 = 𝑈𝑈 𝑅𝑅3 + 𝐸𝐸нас • Этому уравнению соответствует сегмент 3 𝑅𝑅3 . вольт-амперной характеристики на рис. 5. Последнее Рис.7. уравнение справедливо, если UВХ > -𝛽𝛽Eнас. Таким образом, конвертор отрицательного сопротивления имеет неоднозначную S-образную ВАХ. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ • Схема, показанная на рис. 4, позволяет реализовать и вольт-амперные характеристики N-образной формы. Для этого достаточно поменять местами инвертирующий и неинвертирующий входы операционного усилителя. • Пример. Построить вольт-амперную характеристику цепи, изображенной на рис. 8. • Схема замещения для режима насыщения ОУ имеет • вид, показанный на рис. 9. Рис.8. • • Для определения ВАХ на входе схемы включен источник напряжения. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ Составим уравнения по законам Кирхгофа: −𝐼𝐼вх + 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 0; 𝑅𝑅2 𝐼𝐼2 = 𝐸𝐸; 𝑅𝑅1 𝐼𝐼1 − 𝑅𝑅2 𝐼𝐼2 = −𝐸𝐸нас . Рис.9. Полярность источника Енас в последнем уравнении зависит от полярности Ud, т. е. от знака входного напряжения. Решив приведенные уравнения, найдем, что входной ток 𝐼𝐼вх = 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 𝐸𝐸 ± 𝐸𝐸нас . 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅 1 2 1 Знак «+» соответствует случаю, когда Е > 0 вольт-амперная характеристика, соответствующая последнему уравнению, изображена на рис.10. Двухполюсники, имеющие такие характеристики, можно использовать для реализации переключательных схем, таких как триггеры или мультивибраторы. РЕАЛИЗАЦИЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ ВАХ С ПОМОЩЬЮ ОУ, РАБОТАЮЩИХ В НЕЛИНЕЙНОМ РЕЖИМЕ Нелинейные резистивные схемы можно использовать для построения разнообразных электронных устройств генераторов синусоидальных сигналов, мультивибраторов и т. п. Рис.10. АНАЛИЗ РАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ Задачу анализа разветвленных цепей можно значительно упростить, если воспользоваться специальными методами, предназначенными для расчета сложных цепей. Одним из таких методов является метод узловых напряжений. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • В методе узловых напряжений независимыми переменными являются напряжения узлов цепи относительно выбранного базисного (опорного) узла. Эти величины называют узловыми напряжениями. • Положительные направления узловых напряжений указывают стрелками от рассматриваемых узлов к базисному. В качестве последнего удобно выбирать заземленный узел или узел, в котором сходится наибольшее число ветвей. Уравнения составляют только на основе первого закона Кирхгофа. • Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то узловые напряжения будут равны потенциалам соответствующих узлов. Поэтому метод называют также методом узловых потенциалов. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Составление уравнений по методу узловых напряжений рассмотрим на примере. • Пример. На рис. 1 изображена цепь, имеющая четыре узла. Примем узел О за базисный. Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узлов, кроме базисного. Рис.1. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Для узлов записываем первый закон Кирхгофа: 1. узел 2. узел 3. узел 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 𝐽𝐽1 ; −𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 + 𝐼𝐼4 = −𝐽𝐽4 ; −𝐼𝐼4 + 𝐼𝐼5 = 𝐽𝐽4 − 𝐽𝐽5 . • Обозначим напряжения узлов V1, V2, VЗ выразим токи ветвей через узловые напряжения и проводимости ветвей: 1. 𝐼𝐼1 = 𝐺𝐺1 𝑉𝑉1 ; 2. 𝐼𝐼2 = 𝐺𝐺2 𝑉𝑉1 − 𝑉𝑉2 ; 3. 𝐼𝐼3 = 𝐺𝐺3 𝑉𝑉2 ; 4. 𝐼𝐼4 = 𝐺𝐺4 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉3 ; 5. 𝐼𝐼5 = 𝐺𝐺5 𝑉𝑉3 . МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Подставим полученные равенства в уравнения для токов. • После простых преобразований получим. 1. 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 𝑉𝑉1 − 𝐺𝐺2 𝑉𝑉2 = 𝐽𝐽1 ; 2. −𝐺𝐺2 𝑉𝑉1 + 𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺4 𝑉𝑉2 − 𝐺𝐺4 𝑉𝑉3 = 𝐽𝐽4 ; 3. −𝐺𝐺4 𝑉𝑉2 + 𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺5 𝑉𝑉3 = 𝐽𝐽4 − 𝐽𝐽5 . • Полученная система уравнений позволяет легко найти искомые узловые напряжения. Ее называют системой узловых уравнений. В общем случае, если цепь имеет nу узлов, нам необходимо составить nу - 1 узловых уравнений. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Узловые уравнения записаны на основе уравнений по первому закону Кирхгофа. Поэтому анализируемая цепь может содержать только независимые источники тока. Если в схеме имеются источники напряжения, они должны быть заменены эквивалентными источниками тока. • Узловые уравнения удобно записывать в матричной форме. В общем виде для цепи, имеющей n + 1 узел, эти уравнения имеют вид или Н [V]-ВЕКТОР УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ. N [G] -НАЗЫВАЮТ МАТРИЦЕЙ УЗЛОВЫХ ПРОВОДИМОСТЕЙ, [J] - ВЕКТОР УЗЛОВЫХ ТОКОВ. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • В нашем случае узловые уравнения в матричной форме имеют вид 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 −𝐺𝐺2 −𝐺𝐺2 𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺4 −𝐺𝐺4 −𝐺𝐺4 𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺5 𝑉𝑉1 𝐽𝐽1 𝑉𝑉2 = −𝐽𝐽4 𝑉𝑉3 𝐽𝐽4 − 𝐽𝐽5 . • Элементы на главной диагонали матрицы узловых проводимостей называют собственными проводимостями узлов. Собственная проводимость i -го узла Gji равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле. • Элементы матрицы [G], расположенные вне главной диагонали, называют взаимными проводимостями (узловые проводимости). Взаимная проводимость между узлами i и j gij равна проводимости ветви, соединяющей эти узлы, взятой со знаком минус. • В пассивной цепи, которая не содержит управляемых источников и идеальных ОУ, gij =gji, и матрица узловых проводимостей симметрична относительно главной диагонали. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Проводимость Gk войдет в элементы матрицы узловых проводимостей, расположенные на пересечении строк и столбцов с номерами i и j. i j • Если независимый источник тока jk включен между узлами m и n, ток этого источника необходимо учесть в векторе узловых токов так, как показано. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Алгоритм формирования узловых уравнений включает следующие шаги. 1. Выбираем базисный узел. 2. Остальным узлам присваиваем номера 1,2, ... , nу -1. 3. Представляем матрицу узловых проводимостей в виде таблицы, имеющей (nу -1) строк и (nу -1) столбцов. 4. Полагаем все элементы матрицы узловых проводимостей и векторы узловых токов равными нулю. Это эквивалентно исключению из схемы всех элементов. 5. Поочередно включаем элементы в схему. Если резистор включен между узлами i и j, его проводимость записываем в элементы матрицы, расположенные на пересечении строк и столбцов с номерами i и j . Если резистор включен между узлом i и базисным, его проводимость записываем в собственную проводимость i-гo узла Gii, если между узлами i и j включен источник тока, его ток записываем в i-ю и j-ю строки вектора узловых токов. 6. Формирование узловых уравнений заканчивается, когда в схему включены все элементы. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ФОРМИРОВАНИЕ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СХЕМ С ИТУН. • Пример. Цепь содержит источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Для того чтобы упростить выкладки, включим управляемый источник в рассмотренную выше схему, как показано • Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа: 1. - узел 2. - узел 3. - узел 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 𝐽𝐽1 ; −𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 + 𝐼𝐼4 +S 𝑈𝑈2 = 0; −𝐼𝐼4 + 𝐼𝐼5 −S 𝑈𝑈2 = −𝐽𝐽5 . ФОРМИРОВАНИЕ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СХЕМ С ИТУН. • Выражая токи через узловые напряжения и проводимости ветвей, получим узловые уравнения. 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 • −𝐺𝐺2 + 𝑆𝑆 −𝑆𝑆 −𝐺𝐺2 𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺3 + 𝐺𝐺4 − 𝑆𝑆 −𝐺𝐺4 + 𝑆𝑆 −𝐺𝐺4 𝐺𝐺4 + 𝐺𝐺5 𝑉𝑉1 𝐽𝐽1 𝑉𝑉2 = 0 . 𝑉𝑉3 −𝐽𝐽5 • Параметр управляемого источника входит в элементы матрицы узловых проводимостей, которые находятся на пересечении строк 2, 3 (k, l) и столбцов 1, 2(i, j). • В общем случае, если ИТУН включен между узлами i, j, k, l так, как показано на рис., его параметр S войдет в матрицу узловых проводимостей следующим образом: ФОРМИРОВАНИЕ УЗЛОВЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СХЕМ С ИТУН. • Заметим, что матрица узловых проводимостей цепи, содержащей управляемые источники, в отличие от матрицы пассивной цепи не будет симметричной. • Рассмотренные свойства матрицы узловых проводимостей используются в алгоритме формирования узловых уравнений, основанном на последовательном переборе ветвей. • Метод узловых напряжений широко используется в программах машинного анализа электронных схем. Это объясняется простотой алгоритма формирования узловых уравнений и хорошей численной обусловленностью матрицы узловых проводимостей. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Рассмотренный метод имеет ряд существенных ограничений. • Во-первых, анализируемая цепь может содержать только резистивные элементы с ненулевым сопротивлением, независимые источники тока и источники тока, управляемые напряжением. Если в схеме имеются независимые источники напряжения или управляемые источники (кроме ИТУН), они должны быть преобразованы в эквивалентные источники тока. Такие элементы называют нерегулярными. • Во-вторых, узловые уравнения позволяют определить в явном виде только потенциалы узлов цепи. Для определения напряжений и токов ветвей необходимы дополнительные уравнения. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • От перечисленных недостатков свободен модифицированный, или расширенный, метод узловых напряжений. Суть этого метода заключается в следующем. 1. Независимыми переменными являются узловые напряжения, а также токи нерегулярных элементов. 2. Система уравнений включает уравнения на основе первого закона Кирхгофа и компонентные уравнения нерегулярных элементов. • Пример. Запишем модифицированные узловые уравнения для цепи, показанной на рис. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Выражая токи регулярных ветвей через проводимости ветвей, получим (𝑉𝑉0 = 0): 1. 2. 3. узловые - узел 𝐺𝐺3 𝑉𝑉1 + 𝐼𝐼𝐸𝐸 = −𝐽𝐽; - узел 𝐺𝐺1 𝑉𝑉2 + 𝐺𝐺2 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉3 = 𝐽𝐽; 𝐼𝐼4 - узел −𝐺𝐺2 𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉3 + 𝐺𝐺4 𝑉𝑉3 − 𝐼𝐼𝐸𝐸 = −𝐽𝐽. Компонентное уравнение ИН: −𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉3 = 𝐸𝐸. 𝐺𝐺3 −1 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 −𝐺𝐺2 −𝐺𝐺2 𝐺𝐺2 + 𝐺𝐺4 1 напряжения −𝐽𝐽 1 𝑉𝑉1 0 𝑉𝑉2 = +𝐽𝐽 −1 𝑉𝑉3 𝐼𝐼𝐸𝐸 𝐸𝐸 и МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Пример. Составим расширенные узловые уравнения для схемы с идеальным операционным усилителем (рис.). • Уравнения по первому закону Кирхгофа для анализируемой цепи: 1. −𝐼𝐼𝐸𝐸 = 0; 2. 𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 = 0; 3. 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼ОУ = 0; • Запишем компонентные уравнения нерегулярных элементов. 4. Источник напряжения: V1 = E . 5. Операционный усилитель: V1 - V2 = 0 . МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Выражая токи ветвей через проводимости и узловые напряжения, запишем расширенные узловые уравнения в матричной форме: • 1 1 −1 0 𝑉𝑉1 𝐺𝐺1 + 𝐺𝐺2 −𝐺𝐺2 0 0 𝑉𝑉2 0 −1 𝑉𝑉3 = 0 −𝐺𝐺2 𝐺𝐺2 0 𝐼𝐼𝐸𝐸 𝐸𝐸 0 𝐼𝐼оу −1 • Каждому нерегулярному элементу в расширенной системе уравнений соответствуют дополнительные строка и столбец. В строке записывают коэффициенты компонентного уравнения, а в столбце - коэффициенты уравнений по первому закону Кирхгофа, учитывающих ток нерегулярного элемента. Для каждого такого элемента дополнительные строка и столбец имеют определенную структуру. Их удобно изображать в виде трафаретов или «штампов». • «Штампы» основных элементов приведены в табл. Они легко могут быть получены на основе компонентных уравнений соответствующих нерегулярных элементов. Обычно число расширенных узловых уравнений значительно превышает число уравнений, составляемых в соответствии с классическим методом узловых напряжений. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ • Однако матрица коэффициентов расширенной системы уравнений содержит большое число нулевых элементов. Матрицы, в которых большинство элементов нулевые, называют разреженными. • Для работы с такими матрицами используют специальные алгоритмы, которые позволяют не производить операций с нулевыми элементами и не хранить их. Это значительно сокращает машинное время, необходимое для решения системы уравнений, и память для хранения матрицы коэффициентов. • Для машинного анализа удобен метод, минимизирующий не число уравнений, а число ненулевыx элементов в матрице коэффициентов. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Элемент Компонентное уравнение Резистор - Источник тока - ИТУН - «Штамп» МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ Элемент Компонентное уравнение Источник напряжений 𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑗𝑗 = 𝐸𝐸 Идеальный ОУ 𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑗𝑗 = 0 ИНУН Коротко-замкнутая ветвь K 𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑗𝑗 − 𝑉𝑉𝑘𝑘 + 𝑉𝑉𝑖𝑖 = 0 𝑉𝑉𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑗𝑗 = 0 «Штамп» ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ). МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ • Реакция линейной цепи при одновременном действии нескольких независимых источников равна сумме реакций, получающиxся при действии каждого источника в отдельности. • Рассмотрим линейную цепь произвольной структуры, имеющую n+1 узел (рис.). Узловые уравнения цепи имеют вид • В соответствии с правилом Крамера напряжение k-гo узла 𝑉𝑉𝑘𝑘 = 𝐷𝐷𝑘𝑘 . 𝐷𝐷 • D - определитель системы, а Dk - определитель, получающийся из определителя D при замене k-гo столбца правой частью системы уравнений. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ). МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ • Принцип наложения применим только к линейным цепям. Он лежит в основе многих эффективных методов анализа линейных цепей, в частности метода наложения. • Метод основан на определении токов или напряжений в одной и той же ветви при поочередном действии независимыx источников и последующем сложении этих токов. • Пример. Рассчитать ток I2 в схеме, показанной на рис. • Используем для расчета метод наложения. Рассмотрим две частных схемы (рис. а, б), в каждой из которых действует только один источник. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ). МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ Резисторы R1 и R2 в схеме на рис.а соединены последовательно. Поэтому ток 𝐼𝐼2′ 𝐸𝐸 = . 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ). МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ • Вторая схема (рис. б) является делителем тока. Следовательно, 𝑅𝑅1 ′′ 𝐼𝐼2 = 𝐽𝐽 . 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 • В соответствии с принципом наложения ток в резисторе R2 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼2′ + 𝐼𝐼2′′ = 𝐸𝐸 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅1 𝐽𝐽 𝑅𝑅 +𝑅𝑅 . 1 2 • Пример. Определить напряжение на выходе цепи, показанной на рис. • Рассмотрим две частных схемы, показанных на рис. а, б. ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ). МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ Схема на рис. а представляет инвертирующий усилитель, напряжение на выходе которого ′ 𝑈𝑈вых =− 𝑅𝑅2 𝐸𝐸 . 𝑅𝑅1 1 Схема на рис. б является неинвертирующим усилителем. Выходное напряжение ′′ 𝑈𝑈вых = 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 ′′ 𝑈𝑈+ 𝑅𝑅1 Напряжение на неинвертирующем входе ОУ: 𝑈𝑈+′′ = 𝑅𝑅4 𝐸𝐸2 . 𝑅𝑅 +𝑅𝑅 Напряжение на выходе схемы на рис. б: 3 4 𝑅𝑅4 (𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 ) ′′ 𝑈𝑈вых = 𝐸𝐸 𝑅𝑅1 (𝑅𝑅3 +𝑅𝑅4 ) 2 ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ (СУПЕРПОЗИЦИИ). МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ • В соответствии с принципом наложения 𝑈𝑈ВЫХ = ′ 𝑈𝑈ВЫХ + ′′ 𝑈𝑈ВЫХ 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 𝑅𝑅4 𝑅𝑅2 = 𝐸𝐸 − 𝐸𝐸 . 𝑅𝑅1 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4 2 𝑅𝑅1 1 • Итак, напряжение на выходе ОУ равно взвешенной разности входных напряжений. Обычно выбирают R1 = R3 , R2 = R4 . при этом выходное напряжение 𝑅𝑅 𝑈𝑈ВЫХ = 2 𝐸𝐸2 − 𝐸𝐸1 . 𝑅𝑅 1 • Полученное выражение показывает, что рассмотренная цепь является дифференциальным (разностным) усилителем. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА • Часто при анализе электрических цепей требуется определить не все токи и напряжения, а ток или напряжение некоторого участка цепи. В этом случае удобно всю цепь, за исключением рассматриваемого участка, заменить простой эквивалентной схемой. Возможность такой замены устанавливает теорема об эквивалентном двухполюснике. Она формулируется следующим образом: • Линейную цепь с двумя внешними зажимами можно представить эквивалентной схемой, состоящей из последовательно соединенных независимого источника напряжения и резистора (рис. а, б). Напряжение источника равно напряжению холостого хода двухполюсника, а сопротивление резистивного элемента равно входному сопротивлению двухполюсника (теорема Тевенина). ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА Доказательство. Рассмотрим линейную цепь, к внешним зажимам которой подключен независимый источник тока (рис. а). ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА • В соответствии с принципом наложения напряжение на внешних зажимах представим в виде суммы двух составляющих: U= U' + U". • Первая составляющая U' обусловлена действием независимых источников в двухполюснике при токе внешнего источника, равном нулю. • Поскольку J = 0, напряжение на внешних зажимах равно напряжению холостого хода: U' =Uхх . • Вторая составляющая U" вызвана действием источника тока, подключенного к внешним зажимам. При этом напряжения и токи независимых источников внутри двухполюсника равны нулю. В этом случае U" = - RвхJ. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА • Подставляя выражения для U′ и U” в формулу для U, получим 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑅𝑅𝑥𝑥𝑥𝑥 𝐽𝐽. • Последнему равенству соответствует эквивалентная схема, показанная на рис. б. • Таким образом, линейный резистивный двухполюсник можно представить эквивалентной схемой, образованной последовательным соединением источника напряжения и резистора. Напряжение источника равно напряжению холостого хода двухполюсника, а сопротивление резистора входному сопротивлению двухполюсника: 𝐸𝐸Г = 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑅𝑅Г = 𝑅𝑅вх . ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА • Ток короткого замыкания эквивалентного двухполюсника на рис. a равен Отношению напряжения источника к сопротивлению резистивного 𝐸𝐸Г элемента: 𝐼𝐼кз = . 𝑅𝑅Г • Поскольку напряжение источника равно напряжению холостого хода, сопротивление резистора (и, следовательно, входное сопротивление цепи) равно отношению напряжения холостого хода к току короткого замыкания: 𝑅𝑅вх = 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 . 𝐼𝐼кз • Эквивалентную схему на рис.б называют эквивалентным генератором напряжения или эквивалентной схемой Тевенина. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА • Аналогичным образом линейный двухполюсник можно представить эквивалентной схемой, состоящей из параллельно соединенных источника тока и резистора (рис.). Такую эквивалентную схему называют эквивалентным генератором тока или схемой Нортона. • Для этого на входе линейного двухполюсника необходимо включить источник напряжения (рис.). При этом ток источника равен току короткого замыкания, а проводимость резистора - входной проводимости двухполюсника. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА Теорема об эквивалентном активном двухполюснике используется в методе расчета, называемом методом эквивалентного генератора. Этот метод удобно использовать тогда, когда требуется рассчитать ток только в одной ветви сложной цепи. Выделим ветвь, в которой требуется найти ток, а остальную часть цепи заменим эквивалентным двухполюсником (рис.а). Ток в схеме на рис.б. 𝐸𝐸Г 𝐼𝐼 = . 𝑅𝑅Г + 𝑅𝑅К ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОМ ДВУХПОЛЮСНИКЕ (ТЕОРЕМА ТЕВЕНИНА И НОРТОНА). МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА • Расчет методом эквивалентного генератора проводится в следующей последовательности (теорема Нортона): 1. Выделяется ветвь, в которой необходимо рассчитать ток, а остальная часть цепи заменяется эквивалентным двухполюсником. 2. Определяются параметры эквивалентного двухполюсника EГ , RГ. 3. Искомый ток рассчитывается по формуле 𝐼𝐼 = 𝐸𝐸Г . 𝑅𝑅Г +𝑅𝑅К • Пример. Мост Уитстона, показанный на рис., Используется для измерения сопротивлений. Для ограничения тока нуль-индикатора последовательно с ним включен резистор R5. Необходимо найти ток в диагональной ветви моста, если R1 =15 ом, R2 =60 ом, R3 =90 ом, R4 = 60 ом, R5 =120 м, E=120 B. • Разомкнем диагональную ветвь, а оставшуюся цепь представим эквивалентной схемой Тевенина (рис.). Тогда задача сводится к расчету тока в элементарной схеме на рис. б. Напряжение холостого хода в схеме на рис. Найдем из уравнения по второму закону Кирхгофа для контура, включающего резисторы R1, R2 и разомкнутую ветвь: 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑅𝑅1 𝐼𝐼1 − 𝑅𝑅2 𝐼𝐼2 . Токи I1 и I2 определим с помощью закона Oма: 𝐸𝐸 120 𝐸𝐸 120 𝐼𝐼1 = = = = 1,6 𝐴𝐴; 𝐼𝐼2 = = 0,8 𝐴𝐴. 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅4 15 + 60 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 60 + 90 напряжение холостого хода 𝑈𝑈𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅4 − 𝑅𝑅2 𝑅𝑅2 +𝑅𝑅3 𝐸𝐸 = 15 60 − 60+90 15+60 120= - 24 B. Входное сопротивление двухполюсника найдем исключив из схемы источник 𝑅𝑅1 𝑅𝑅4 𝑅𝑅3 𝑅𝑅2 15�60 60�90 напряжения: 𝑅𝑅вх = + = 15+60 + 60+90 = 48 Ом. 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅4 𝑅𝑅3 +𝑅𝑅2 • Параметры эквивалентной схемы Тевенина 𝐸𝐸Г = 𝑈𝑈ХХ = −24 В, 𝑅𝑅Г = 𝑅𝑅ВХ = 48 Ом. • Искомый ток 𝐸𝐸Г −24 𝐼𝐼 = = = −0,4 𝐴𝐴. 𝑅𝑅Г + 𝑅𝑅5 48 + 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧИХ ТОЧЕК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Рабочей точкой нелинейного элемента называют значения постоянных напряжения и тока, изображаемых в виде точки на его вольт-амперной характеристике. • Рабочую точку определяют напряжения и тока. при действии постоянных источников • Выделим в анализируемой цепи две подсхемы: линейную Na и нелинейную Nb (рис.). ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧИХ ТОЧЕК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Для выбранныx направлений напряжений и токов справедливы равенства: 𝐼𝐼𝑎𝑎 = 𝐼𝐼𝑏𝑏 = 𝐼𝐼; 𝑈𝑈𝑎𝑎 = 𝑈𝑈𝑏𝑏 = 𝑈𝑈. • Представим линейную часть цепи эквивалентной схемой Тевенина • ВАХ линейной подсхемы представляет прямую, проходящую через точки на осях напряжений и токов, соответствующие режимам холостого хода и короткого замыкания (рис.). Ее называют нагрузочной прямой. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧИХ ТОЧЕК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВАХ линейной схемы Na ВАХ нелинейной схемы Nb Рабочая точка а • Графический метод определения рабочей точки является приближенным и применяется на практике только для цепей простой конфигурации. • Графический метод можно использовать для определения начального приближения, а затем для получения точного решения применить численный метод. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОЧИХ ТОЧЕК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ пример определения • Пример. Рассмотрим рабочей точки нелинейного элемента. Цепь, показанная на рис., имеет параметры: Е = 2 В, R = 25 ом. ВАХ нелинейного элемента: I(U)= 0.04 U2. • Напряжение холостого хода линейного двухполюсника Uхх = 2 В. Ток короткого замыкания Iкз = 0.08 A. Нагрузочная характеристика цепи смещения - прямая, проходящая через точки с координатами (0, 0.08) и (2,0), рис. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫX РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ. МЕТОД НЬЮТОНА - РАФСОНА • Наиболее распространенным методом решения уравнений, описывающих поведение нелинейных резистивных цепей, является метод Ньютона Рафсона. • Метод Ньютона - Рафсона - это итерационный метод решения нелинейных уравнений, записанных в виде f(x) = 0. • Предположим, что xk является приближенным значением корня уравнения f(x) = 0. В окрестности xk функцию f(x) можно разложить в ряд Tейлора: f(xk+h) = f(xk) + hf’(xk) + 0,5h2f’’(xk) + … • Отбросим нелинейные слагаемые. Полагая, что уточненное значение корня xk+1 = xk + h является истинным, найдем значение поправки: h = - f(xk) / f’(xk) ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫX РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ. МЕТОД НЬЮТОНА - РАФСОНА • Решение уравнения начинают с того, что определяют начальное приближение корня x0 . Уточненное значение xk+1, k =1, 2, ... , определяется по формуле хк+1 = хк - f(xk) / f’(xk) • Расчет повторяют до тех пор, пока поправка не станет меньше заданной постоянной 𝜀𝜀: 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥𝑘𝑘 < 𝜀𝜀. • Метод Ньютона - Рафсона имеет быструю сходимость в том случае, если начальное приближение выбрано достаточно близко от истинного решения. Однако если начальное приближение далеко от точного решения, итерации Ньютона - Рафсона могут не сходиться совсем. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫX РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ. МЕТОД НЬЮТОНА - РАФСОНА • Метод Ньютона - Рафсона можно использовать и для решения систем нелинейных уравнений. Обозначим [xk] - вектор переменных на k-m шаге. В этом случае итерационное уравнение примет вид [xk+1] = [xk] – [J(xk )]-1f(xk), • где J(xk ) – якобиан, матрица которого состоит из производных 𝜕𝜕𝑓𝑓𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥𝑗𝑗 . • Объем вычислений при решении многомерной задачи резко возрастает, поскольку на каждом шаге требуется вычислять n2 производных в матрице Якоби. • Пример. Расчет нелинейной резистивной цепи методом Ньютона-Рафсона. Цепь, показанная на рис., имеет следующие параметры: J =80 мА, G =0.04 См. Вольт-амперная характеристика нелинейного резистора описывается выражением I(U) = 0,04U2. Необходимо определить рабочую точку нелинейного элемента. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫX РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ. МЕТОД НЬЮТОНА - РАФСОНА • В соответствии с первым законом Кирхгофа −𝐽𝐽 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 0,04𝑈𝑈 2 = 0. • Итак, нелинейное уравнение имеет вид 𝑓𝑓 𝑈𝑈 = −0,08 + 0,04𝑈𝑈 + 0,04𝑈𝑈 2 = 0. • Производная определяется уравнением f’(U)=0,04+0,08U. • Выберем начальное приближение U0 =0. 𝑓𝑓 𝑈𝑈0 𝑈𝑈0 • Уточненное решение на первом шаге 𝑈𝑈1 = 𝑈𝑈0 − 𝑓𝑓′ 𝑓𝑓 𝑈𝑈1 𝑈𝑈1 • На втором шаге 𝑈𝑈2 = 𝑈𝑈1 − 𝑓𝑓′ =2− 0,16 0,2 = 1,2. 0,08 = 0 + 0,04 = 2. • На третьем и четвертом шагах получим UЗ =1.012, u4 =1. Таким образом, напряжение нелинейного элемента U= 1 В. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ • Теорема Телледжена. Рассмотрим две цепи Na и Nb , имеющие одинаковую конфигурацию. Обозначим [Ua] - вектор напряжений цепи Na и [Ib] - вектор токов цепи Nb. Если для вектора напряжений [Ua] выполняется второй закон Кирхгофа, а для вектора токов [Ib] - первый закон Кирхгофа, то в любой момент времени справедливо равенство � 𝑈𝑈𝑘𝑘𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑘𝑘𝑏𝑏 = 0. (к) • Доказательство. Поскольку цепи имеют одинаковую конфигурацию, число узлов также одинаково. Примем, что число узлов равно n +1. Узел n + 1 выберем в качестве базисного. Для цепи Nb запишем уравнения по первому закону Кирхгофа. 𝑏𝑏 Для узла с номером k такое уравнение имеет вид ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1 ±𝐼𝐼𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 𝑏𝑏 • Здесь 𝐼𝐼𝑘𝑘𝑘𝑘 - ток ветви, соединяющей узлы k и j. Если ветвь между этими 𝑏𝑏 узлами отсутствует, 𝐼𝐼𝑘𝑘𝑘𝑘 = 0. • Умножим каждое из этих уравнений на соответствующее узловое напряжение цепи Na 𝜈𝜈𝑘𝑘𝑎𝑎 и просуммируем эти произведения. Учитывая, что 𝑏𝑏 𝑏𝑏 = - 𝐼𝐼𝑗𝑗𝑗𝑗 , а напряжение ветви, соединяющей узлы k и j , 𝑢𝑢𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝜈𝜈𝑘𝑘 − 𝜈𝜈𝑗𝑗 , 𝐼𝐼𝑘𝑘𝑔𝑔 • получим ∑(к) 𝑈𝑈𝑘𝑘𝑎𝑎 𝐼𝐼𝑘𝑘𝑏𝑏 = 0. ч.т.д. • С помощью теоремы Телледжена можно обосновать и исследовать многие важные свойства линейных и нелинейных цепей. С её помощью можно исследовать возможность возникновения незатухающих колебаний в цепях с различными видами нелинейных элементов. ТЕОРЕМА ТЕЛЛЕДЖЕНА. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ • В случае, когда напряжения и токи относятся к одной цепи, эта формула имеет простой физический смысл: она выражает баланс мощности, поскольку каждое слагаемое представляет мощность, потребляемую k-й ветвью. При этом мощность, потребляемая источниками, как правило, отрицательна. Таким образом, мощность, потребляемая пассивными элементами, равна мощности, отдаваемой источниками. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Поведение цепей содержащих индуктивные и ёмкостные элементы описывается системами дифференциальных уравнений. • Цепи, или системы, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями, называют динамическими. • Порядок уравнения в общем случае равен суммарному числу индуктивных и емкостных элементов. Простейшими являются цепи первого порядка, содержащие один индуктивный или емкостный элемент. ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • Индуктивным называют идеализированный двухполюсный элемент, поведение которого определяется зависимостью между током и потокосцеплением: Ψ = 𝑓𝑓 𝑖𝑖 . • Зависимость называется вебер-амперной характеристикой. • В идеальном индуктивном элементе происходит запасение магнитной энергии, связанное с прохождением тока, потери и запасение электрической энергии отсутствуют. Графическое изображение индуктивного элемента показано на рис. ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • Согласно закону электромагнитной индукции напряжение индуктивного элемента пропорционально скорости изменения потокосцепления: 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑑𝑑Ψ . 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Прототипом линейного индуктивного элемента является катушка, намотанная на тороидальный сердечник из неферромагнитного материала. Потокосцепление такой катушки пропорционально току, и последнюю формулу можно записать в виде 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Напряжение индуктивного элемента зависит не от величины тока, а от скорости его изменения. Если ток постоянный, напряжение на зажимах индуктивного элемента равно нулю. Это эквивалентно короткому замыканию выводов элемента. ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • Другое следствие уравнения заключается в том, что при неизменной индуктивности L ток индуктивного элемента не может изменяться скачком. Иными словами, в любой момент времени t iL(t_) = iL(t+). Таким образом, в момент t индуктивный элемент эквивалентен источнику тока (рис.). • Из уравнения 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 получим, что ток индуктивного элемента равен 1 𝑡𝑡 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = � 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝐿𝐿 −∞ ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • В последнем уравнении предполагается, что iL(- ∞) = 0. Интеграл в формуле можно представить в виде суммы двух слагаемых: 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = 1 0 𝑈𝑈𝐿𝐿 ∫ −∞ 𝐿𝐿 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑡𝑡 𝑈𝑈𝐿𝐿 ∫ 𝐿𝐿 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 = iL(0)+ 1 𝑡𝑡 𝑈𝑈𝐿𝐿 ∫ 𝐿𝐿 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Емкостным называют двухполюсный элемент, поведение которого определяется зависимостью между напряжением UC и зарядом Q. Такая зависимость называется кулонвольтной характеристикой. Графическое изображение емкостного элемента показано на рис. ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • В идеальном емкостном элементе происходит запасение электрической энергии, связанное с прохождением тока, потери и запасение магнитной энергии отсутствуют. • Для линейного емкостного элемента зависимость между и С и Q имеет вид Q = CUC • Коэффициент пропорциональности С называют емкостью. Единицей измерения емкости является фарада (Ф). • Из уравнения следует, что при С = const ток емкостного элемента 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑖𝑖𝐶𝐶 = . = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • Если напряжение постоянно, то ток идеального конденсатора равен нулю. Иными словами, емкостный элемент представляет разрыв цепи при постоянном напряжении на его зажимах. Из 𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 следует также, что напряжение емкостного элемента при С = const не может изменяться скачком, т. е. в момент времени t UC(t_) = UC(t+). • Таким образом, в момент t емкостный элемент эквивалентен источнику напряжения (рис.). • В соответствии с уравнением напряжение емкостного элемента 1 𝑡𝑡 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 = � 𝑖𝑖𝐶𝐶 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝐶𝐶 −∞ ИНДУКТИВНЫЙ И ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТЫ • Интеграл можно представить в виде суммы двух слагаемых: 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 1 0 𝑖𝑖 ∫ 𝐶𝐶 −∞ 𝐶𝐶 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ∫ 𝐶𝐶 0 𝐶𝐶 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 = UC(0)+ 1 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ∫ 𝐶𝐶 0 𝐶𝐶 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Напряжение емкостного элемента в момент времени t зависит от изменения тока iC(t) в предшествующие моменты времени. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ • В электрических цепях могут происходить включения или отключения отдельных ветвей либо внезапные изменения входного воздействия. Такие изменения называют коммутациями. • Считают, что коммутация осуществляется с помощью идеального ключа. Идеальный ключ представляет двухполюсник, сопротивление которого равно нулю, если ключ замкнут, и равно бесконечности, если ключ разомкнут. Время замыкания или размыкания ключа считают бесконечно малым. • В цепях с индуктивными и емкостными элементами переходный процесс мгновенно завершиться не может. Причина заключается в том, что энергия, запасаемая в магнитном поле индуктивного элемента, и энергия, запасаемая в электрическом поле емкостного элемента, не могут изменяться мгновенно. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ • Принято рассматривать коммутацию как начало отсчета времени. Иными словами, полагают, что коммутация происходит в момент времени t = 0. • Поскольку токи индуктивных и напряжения емкостных элементов являются непрерывными функциями времени, то в момент коммутации 𝑖𝑖𝐿𝐿(0_) = 𝑖𝑖𝐿𝐿(0+) справедливы равенства: 𝑈𝑈𝐶𝐶 (0_) = 𝑈𝑈𝐶𝐶 (0+) • Эти равенства называют законами коммутации. Итак, в начальный момент после коммутации токи индуктивных элементов и напряжения емкостных элементов остаются такими же, какими они были перед коммутацией, а затем плавно изменяются. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ • Значения тока индуктивного и напряжения емкостного элементов в момент коммутации (начальный момент времени) называют независимыми начальными условиями. • Если в момент коммутации токи всех индуктивных и напряжения всех емкостных элементов равны нулю, то соответствующие начальные условия называют нулевыми. • При t = 0+ индуктивный элемент можно заменить независимым источником тока рис.а, а емкостный - источником напряжения рис.б. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ • При нулевых начальных условиях емкостный элемент эквивалентен короткому замыканию рис.а, а индуктивный – разрыву рис.б. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Рассмотрим резистивную цепь произвольной конфигурации, содержащую один емкостный элемент рис.а. • Резистивная подсхема, изображенная на рис.а в виде «черного ящика», может содержать резисторы, независимые и управляемые источники, идеальные ОУ. Необходимо определить закон изменения напряжения емкостного элемента UC(t). Зная UC(t), мы можем представить конденсатор в любой момент времени t источником напряжения Е = UC(t) и рассчитать ток в любой ветви полученной резистивной цепи. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Заменим резистивный двухполюсник эквивалентной схемой Тевенина (рис.б). ЭДС эквивалентной схемы Eэ равна напряжению холостого хода резистивного двухполюсника, а сопротивление Rэ - его входному сопротивлению. Для цепи на рис.б справедливо уравнение: 𝑅𝑅э 𝑖𝑖𝐶𝐶 + 𝑈𝑈𝐶𝐶 = 𝐸𝐸э Уравнение можно преобразовать к виду 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 1 1 =− 𝑈𝑈𝐶𝐶 + 𝐸𝐸э . 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑅𝑅э 𝐶𝐶 𝑅𝑅э 𝐶𝐶 • Уравнение, записанное в такой форме, когда в левой части находится только первая производная, называют уравнением: состояния, а UC(t) - переменной состояния. Действительно, значение UC(t) определяет состояние цепи, т. е. токи в ветвях резистивной подсхемы в любой момент времени t . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Обозначим 𝜏𝜏=RЭС. величину 𝜏𝜏 называют постоянной времени. Уравнение примет вид 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 1 = − 𝑈𝑈𝐶𝐶 + 𝐸𝐸э . 𝜏𝜏 𝜏𝜏 • Обозначим начальное напряжение емкостного элемента 𝑈𝑈𝐶𝐶 (0) =U0. Решение 𝑡𝑡 уравнения имеет вид 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 − 𝑈𝑈уст 𝑒𝑒 − ⁄𝜏𝜏 + 𝑈𝑈уст . • Напряжение UC(t) в формуле (4.12) представлено в виде суммы двух слагаемых. Первое слагаемое называют свободной составляющей. Закон изменения свободной составляющей напряжения Uсв(t) определяется тремя величинами: начальным состоянием U0 = Uс(0), установившимся состоянием Uуст и постоянной времени 𝜏𝜏 =RэC . характер переходного процесса определяется знаком постоянной времени. Если 𝜏𝜏 > 0, то свободная составляющая Uсв(t) =(U0 - Uуст )e-t/ 𝜏𝜏 затухает с течением времени. Если постоянная времени 𝜏𝜏 отрицательна, то свободная составляющая неограниченно растет и цепь неустойчива. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Величина постоянной времени определяет скорость изменения свободной составляющей. Предположим, что при t =0 Uсв(0) = 1. Тогда при t = 𝜏𝜏 Ucв(𝜏𝜏)=Uсв(0)e-1 =0.38, а при t = 4𝜏𝜏 Uсв(4𝜏𝜏) =0.02. Таким образом, постоянная времени равна промежутку времени, за который свободная составляющая переходного тока или напряжения изменяется в е = 2.718 раза. • Как следует из уравнения, теоретически стационарный режим в цепи устанавливается спустя бесконечно большое время после коммутации, поскольку свободная составляющая никогда не обращается в нуль. На практике длительность переходного процесса принимают равной (4-5)𝜏𝜏. • Второе слагаемое в формуле выражает установившийся, или принужденный, режим, задаваемый источником. Его называют принужденной составляющей. Принужденная составляющая имеет форму, сходную с формой входного сигнала. Так, если входной сигнал постоянен, то и принужденная составляющая будет постоянной, а уравнение примет вид ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА UС (t)=(𝑈𝑈0 − 𝐸𝐸э )𝑒𝑒 • Уравнение можно записать и в иной форме: 𝑡𝑡 −𝑡𝑡�𝜏𝜏 + 𝐸𝐸э . 𝑡𝑡 UС (t)=𝑈𝑈0 𝑒𝑒 − ⁄𝜏𝜏 + 𝑈𝑈УСТ (1 − 𝑒𝑒 − ⁄𝜏𝜏 ) • Уравнение будет содержать только первое слагаемое, если в цепи отсутствуют независимые источники. По этой причине первое слагаемое в называют реакцией при нулевом входном сигнале (реакцией при нулевом входе). Если начальные условия нулевые (т.е. Uс(0) = U0 = 0), то формула содержит только второе слагаемое, которое называют реакцией при нулевом начальном состоянии. • Таким образом, реакция линейной RС-цепи является суммой реакций при нулевом входном сигнале и при нулевом начальном состоянии. Такое представление реакции справедливо для линейных цепей любого порядка. Это свойство является фундаментальным свойством линейных цепей и систем. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Порядок расчета переходных процессов в RС-цепях первого порядка. Считаем, что переходный процесс вызван замыканием или размыканием идеального ключа в момент t = 0 и нужно определить ток k-й ветви. 1. Анализируем цепь в момент, предшествующий коммутации (т.е. при t =0_), и определяем напряжение емкостного элемента UC(0) (начальные условия). 2. Заменяем емкостный элемент источником напряжения Е =UC(0) (рис. a). Анализируя полученную резистивную схему замещения, находим начальные значения искомых токов и напряжений 𝑖𝑖н (0+), 𝑈𝑈н (0+). 3. Рассчитываем установившиеся значения искомых токов и напряжений, анализируя цепь в момент времени 𝑡𝑡 → ∞ . Если в цепи действуют источники постоянного напряжения и тока, зажимы, к которым подключен емкостный элемент, размыкаем (рис. б), затем анализируем полученную резистивную схему замещения. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 4. Определяем входное сопротивление резистивной цепи со стороны зажимов, к которым подключен емкостный элемент. Рассчитываем постоянную времени цепи по формуле 𝜏𝜏 = 𝑅𝑅вх 𝐶𝐶. 5. Решение записываем в виде. 𝑖𝑖𝑘𝑘 𝑡𝑡 = 𝑖𝑖 0+ − 𝑖𝑖уст 𝑒𝑒 −𝑡𝑡�𝜏𝜏 + 𝑖𝑖уст . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Прuмер. Ключ в цепи на рис. замыкается. Рассчитать ток i1 после коммутации, если R1 =R2 =Rз =100 Ом, С =1мкФ, Е =60 В. Определим независимые начальные условия. Для этого рассчитаем режим в цепи в момент, предшествующий коммутации, т. е. При t =0_. Поскольку в цепи действует источник постоянного напряжения, ёмкостный элемент представим разрывом. Эквивалентная схема для момента t =0_ показана на рис. а. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Найдем, что i1(0_)= 0.2 А, uс(0)= 40 В. Рассчитаем начальное значение тока i1 после коммутации при t =0+. Эквивалентная схема, соответствующая этому моменту времени, изображена на рис. б. Емкостный элемент заменен источником напряжения. Из этой схемы следует, что 𝑖𝑖1 0+ = 𝐸𝐸−𝑈𝑈𝐶𝐶 (0) 𝑅𝑅1 • 𝑖𝑖1уст = 𝐸𝐸 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅2 = 60−40 100 = 60 100+100 = 0,2 𝐴𝐴. • Определим установившееся значение искомого тока. Схема соответствующая установившемуся режиму, показана на рис. в. = 0,3 𝐴𝐴. Определим входное сопротивление схемы относительно зажимов, к которым подключен емкостный элемент (рис. в). исключая источник напряжения, получим замещения, ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 𝑅𝑅ВХ 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 100 � 100 = = = 50 Ом. 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 100 + 100 • Постоянная времени цепи 𝜏𝜏 = RвxС = 50 ·10-6 =0.5 ·10-4 с. • Закон изменения тока 𝑖𝑖1 𝑡𝑡 = 𝑖𝑖1 0+ − 𝑖𝑖1уст 𝑒𝑒 −𝑡𝑡�𝜏𝜏 + 𝑖𝑖1уст = −0,1𝑒𝑒 • График изменения тока i1(t) показан на рис. −2�104 𝑡𝑡 + 0,3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Прuмер. Рассчитать напряжение на выходе схемы, показанной на рис. При включении на входе источника постоянного напряжения. Операционный усилитель идеальный. • Поскольку сначала ключ был разомкнут, Начальные условия в цепи нулевые: uс(0)= 0. Докоммутационный режим рассчитывать не нужно, поэтому перейдем сразу к второму шагу. Схема замещения для момента времени t =0+ изображена на рис.а. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, включающего вход ОУ, емкостный элемент и выход схемы: 𝑈𝑈𝑑𝑑 + 𝑈𝑈вых 0+ = 0. • Полагая в соответствии с правилом виртуального короткого замыкания Ud =0, найдем, что Uвых(0+)=0. • Определим установившееся значение выходного напряжения. Поскольку в цепи действует источник постоянного напряжения, емкостный элемент в установившемся режиме заменим разрывом (рис. б). Полученная схема замещения представляет инвертирующий усилитель, напряжение на выходе которого 𝑈𝑈уст = 𝑈𝑈вых = − 𝑅𝑅2 𝐸𝐸. 𝑅𝑅1 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Рассчитаем входное сопротивление резистивной части цепи относительно зажимов, к которым подключен емкостный элемент. Найдем его как отношение напряжения холостого хода к току короткого замыкания: RBX =Uхх /Iкз . • Анализируя резистивную схему на рис.б, найдем, что Uхх =E⋅R2/R1, а ток короткого замыкания Iкз =Е/R1. Таким образом, RBX =R2. Постоянная времени цепи 𝜏𝜏 = RBXC = R2C. • Итак, напряжение на выходе интегратора изменяется по закону 𝑈𝑈вых 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 𝐸𝐸𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 − 𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 𝐸𝐸. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RС-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • График напряжения Uвых (t) для случая R1 = R2 = 1кOм, С = 0.1 мкФ , Е =1В показан на рис. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Рассмотрим разветвленную резистивную цепь, к внешним зажимам которой подключен индуктивный элемент (рис.а). • Примем, что начальный ток индуктивного элемента Il(0) = I0. Представим резистивный двухполюcник эквивалентной схемой Нортона (рис.б). • Уравнение по первому закону Кирхгофа для этой цепи: −𝐽𝐽э + 𝐺𝐺э 𝑈𝑈𝐿𝐿 + 𝑖𝑖𝐿𝐿 = 0. • Учитывая, что 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 , 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 запишем уравнение состояния: =− 𝑅𝑅э 𝐿𝐿 𝑖𝑖𝐿𝐿 + 𝑅𝑅э 𝐽𝐽 𝐿𝐿 э ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • В данном случае переменной состояния является ток индуктивного элемента il . обозначим 𝜏𝜏= L/ Rэ , тогда уравнение примет вид 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 1 = − 𝑖𝑖𝐿𝐿 + 𝐽𝐽э 𝜏𝜏 𝜏𝜏 • Как и в случае RС-цепи, 𝜏𝜏 называют постоянной времени. Решение уравнения можно представить в следующем виде: 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼0 − 𝑖𝑖уст 𝑒𝑒 −𝑡𝑡�𝜏𝜏 + 𝑖𝑖уст • В равенстве первое слагаемое представляет свободную составляющую переходного тока iL(t), а второе - установившуюся, или принужденную, составляющую. Значение свободной составляющей определяется начальным и установившимся значениями тока индуктивного элемента, а также постоянной времени 𝜏𝜏. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL-ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Формулу (4.17) можно записать в ином виде I𝐿𝐿 (t)=𝐼𝐼0 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 + 𝑖𝑖УСТ (1 − 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 ) • Рассмотрим, как изменяются токи и напряжения в ветвях резистивной подсхемы. Считаем, что требуется определить закон изменения тока k-й ветви ik (t). • В соответствии с принципом наложения его можно представить в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется независимыми источниками, действующими в резистивной подсхеме. Вторая составляющая определяется током индуктивного элемента iL(t). Если в цепи действуют только источники постоянных напряжений и токов, то первая составляющая- постоянная величина, не зависящая от времени. Вторая составляющая зависит от тока индуктивного элемента в моменты t =0 и t → ∞, а также от постоянной времени 𝜏𝜏. поэтому для определения закона изменения тока ik(t) необходимо знать значения этого тока при t =0+, t → ∞ и постоянную времени 𝜏𝜏. как и в RС-цепи, постоянная времени одинакова для всех переходных токов и напряжений. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL−ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Рассмотрим порядок расчета переходных процессов в RL-цепях первого порядка. Считаем, что в цепи действуют источники постоянных напряжений и токов. Переходный процесс вызван замыканием или размыканием идеального ключа в момент t = 0. 1. Анализируем цепь в момент, предшествующий коммутации (при t =0_ ), и определяем ток индуктивного элемента iL(0) =I0. 2. Заменяем индуктивный элемент источником тока iL(0) = I0. Анализируя полученную схему замещения, определим начальные значения искомых напряжений или токов uk(0+), ik(0+). 3. Замыкаем накоротко зажимы, к которым подключен индуктивный элемент. Определяем установившиеся значения интересующих нас токов и напряжений Iуст, Uуст. 4. Определяем входное сопротивление резистивной цепи со стороны зажимов, к которым подключен индуктивный элемент. Рассчитываем постоянную времени цепи по формуле 𝜏𝜏 =L/Rэ или 𝜏𝜏 =LGэ ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL−ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 5. Записываем решение в виде 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑖𝑖(0+ ) − 𝑖𝑖уст 𝑒𝑒 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 + 𝑖𝑖уст . • Пример. Рассчитать ток i1 в цепи на рис. После замыкания ключа. R1 =R2 =Rз =100 Ом, L =1 Гн, Е =60 В. • Поскольку сначала ключ был разомкнут, начальные Условия в цепи нулевые: IL(0) = 0, I1 (0_)= 0. Рассчитаем ток I1 в начальный момент после коммутации. Схема замещения, соответствующая моменту t =0+, показана на рис. а. Поскольку начальные условия нулевые, индуктивный элемент заменен разрывом. Из схемы на рис. а следует, что ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL−ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 𝑖𝑖1 0+ = 𝐸𝐸 60 = 0,3 𝐴𝐴. = 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 100 + 100 • Определим установившееся значение тока i1. Схема замещения, соответствующая моменту времени t → ∞ , показана на рис. б. Установившееся значение тока 𝑖𝑖1уст = 𝐸𝐸 𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑅𝑅1 + 2 3 𝑅𝑅2 +𝑅𝑅3 60 = 100+50 = 0,4 𝐴𝐴. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В RL−ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА • Входное сопротивление цепи относительно зажимов, к которым подключен индуктивный элемент 𝑅𝑅вх 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅3 + = 100 + 50 = 150 Ом. 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 • Таким образом, ток I1 изменяется по закону 𝑖𝑖1 𝑡𝑡 = −0,1𝑒𝑒 −150𝑡𝑡 + 0,4. • Кривая тока i1(t) показана на рис. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ • Интегрирующими называют цепи, напряжение на выходе которых пропорционально интегралу входного напряжения. • Напряжение на выходе дифференцирующей цепи пропорционально производной входного напряжения. • В качестве простейших интегрирующих рис. и дифференцирующих устройств можно использовать последовательную RС-цепь. • Рассмотрим схему, показанную на рис. напряжение на резисторе R равно U1 - U2. Следовательно, ток в цепи 𝑖𝑖 = 𝐶𝐶 𝑈𝑈1 −𝑈𝑈2 . 𝑅𝑅 1 𝑡𝑡 • Выходное напряжение 𝑈𝑈2 (𝑡𝑡) ≈ 𝑅𝑅𝑅𝑅 ∫0 𝑈𝑈1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑈𝑈2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ИНТЕГРИРУЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ • Интегрирование входного сигнала возможно при выполнении условия U2 << U1. для этого постоянную времени интегратора следует выбрать максимально возможной. • Схема инвертирующего интегратора на операционном усилителе показана на рис. а. Напряжение на выходе равно напряжению цепи обратной связи: 1 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 = −𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 = − ∫ 𝑖𝑖𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝐶𝐶 • Учитывая, что в соответствии с правилом виртуального короткого замыкания Ud = 0, получим 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 = − 1 𝑅𝑅𝐶𝐶 ∫ 𝑈𝑈1 𝑑𝑑𝑑𝑑. ИНТЕГРИРУЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ • Недостатком интегратора, показанного на рис. а, является дрейф выходного напряжения, обусловленный неидеальностью операционного усилителя. • Кроме того, последний перейдет в насыщение, когда напряжение емкостного элемента достигнет напряжения насыщения ОУ. Эти нежелательные явления можно ослабить, если параллельно конденсатору подключить резистор R2 с большим сопротивлением (рис.б). • При включении на входе источника постоянного напряжения в схеме на рис.б выходное напряжение изменяется по закону 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅2 −𝑡𝑡⁄𝜏𝜏 (𝑒𝑒 −1)𝐸𝐸. 𝑅𝑅1 ИНТЕГРИРУЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ • где 𝜏𝜏 =R2C - постоянная времени цепи. При t << 𝜏𝜏 закон изменения u2(t) близок к линейному, т.е. cхема выполняет интегрирование входного сигнала. • Простейшая дифференцирующая цепь показана на рис.а. Выходное напряжение, снимаемое с резистора, пропорционально производной от разности входного и выходного напряжений: 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑(𝑈𝑈2 −𝑈𝑈1 ) 𝑈𝑈2 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Дифференцирование входного сигнала возможно при выполнении условия U2 << U1. При этом 𝑈𝑈2 ≈ 𝑑𝑑𝑈𝑈1 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑑𝑑 . ИНТЕГРИРУЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩИЕ ЦЕПИ • Однако практическая реализация такой схемы сопряжена с серьезными трудностями. Из-за неидеальности ОУ на высоких частотах схема работает нестабильно. В связи с этим на высоких частотах дифференцирующие свойства схемы следует ослаблять. Для этого последовательно с конденсатором включают резистор небольшого номинала, а параллельно резистору конденсатор С2 << С1 (рис.). • Отметим, что первые операционные усилители использовались для моделирования операций умножения, суммирования и интегрирования в аналоговых вычислительных машинах, откуда и произошло их название. ПЕРЕХОДНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ • Единичная ступенчатая функция - функция времени, которая изменяется по закону 𝛿𝛿 𝑡𝑡 = � 0, 𝑡𝑡 < 0 . 1, 𝑡𝑡 > 0 • Единичная ступенчатая функция равна нулю при отрицательных значениях аргумента и равна единице при положительных значениях аргумента. • График единичной ступенчатой функции показан на рис. А. • Единичная ступенчатая функция, смещенная на интервал t (рис. Б), определяется выражением 0, 𝑡𝑡 < 𝜏𝜏 • 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 = � . 1, 𝑡𝑡 > 𝜏𝜏 ПЕРЕХОДНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ • Напряжение в форме единичной ступенчатой функции можно получить с помощью схемы, состоящей из источника постоянного напряжения и идеального ключа, замыкающегося в момент t =0 (рис.). • Единичной импульсной функцией называют функцию времени, изменяющуюся по закону 0, 𝛿𝛿0 𝑡𝑡 = � ∞, 𝑡𝑡 ≠ 0 . 𝑡𝑡 = 0 • Функция 𝛿𝛿0 (t) представляет импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой амплитуды. Единичную импульсную функцию принято изображать в виде вертикальной стрелки, расположенной при t = 0 (Рис.). ПЕРЕХОДНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ • В пределе, 𝑑𝑑𝛿𝛿(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝛿𝛿0 𝑡𝑡 обращается в единичную импульсную функцию. Таким образом, единичная импульсная производной от единичной ступенчатой функции. функция равна • Переходной характеристикой h(t) называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной ступенчатой функции. Переходная характеристика определяется при нулевых начальных условиях. Размерность ее равна отношению размерностей входного воздействия и реакции. Если входное воздействие и искомая величина - напряжения, то переходная характеристика - безразмерная величина, численно равная выходному напряжению. Если входное воздействие - напряжение, а реакция - ток, то переходная характеристика имеет размерность проводимости и равна искомому току при включении на входе единичной ступенчатой функции напряжения. ПЕРЕХОДНЫЕ И ИМПУЛЬСНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕПЕЙ • Для определения переходной характеристики необходимо рассчитать переходный процесс в цепи при включении на входе единичного источника напряжения или тока. Начальные условия при этом нулевые. • Импульсной характеристикой h0(t) называют реакцию цепи на входное воздействие в форме единичной импульсной функции. Импульсная характеристика также рассчитывается при нулевых начальных условиях. Так как единичная импульсная функция является производной ступенчатой функции, то в соответствии с принципом наложения импульсная характеристика линейной цепи является производной переходной характеристики: h0(t) = 𝑑𝑑ℎ(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЦЕПИ ПРИ ДЕЙСТВИИ СИГНАЛОВ ПРОИЗВ0ЛЬНОЙ ФОРМЫ • Вычислим реакцию линейной цепи на входное воздействие произвольной формы, если известны импульсная или переходная характеристики. • Предположим, что линейная цепь имеет переходную характеристику h(t). На входе цепи действует напряжение u1(t). График u1(t) показан на рис. • Представим входное напряжение в виде суммы ступенчатых функций, смещенных на интервал ∆𝜏𝜏 (рис.): • 𝑈𝑈1 𝑡𝑡 ≈ 𝑈𝑈1 0 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 ∆𝑈𝑈𝑘𝑘 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑘𝑘∆𝜏𝜏 = = 𝑈𝑈1 0 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑈𝑈1′ 𝑘𝑘∆𝜏𝜏 ∆𝜏𝜏 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑘𝑘∆𝜏𝜏 . • Реакция цепи на действие k-й ступенчатой функции пропорциональна переходной характеристике h(t - k∆𝜏𝜏). Напряжение на выходе U2(t) найдем, используя принцип наложения: ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИИ ЦЕПИ ПРИ ДЕЙСТВИИ СИГНАЛОВ ПРОИЗВ0ЛЬНОЙ ФОРМЫ • 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 ≈ 𝑈𝑈1 0 ℎ 𝑡𝑡 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑈𝑈1′ 𝑘𝑘∆𝜏𝜏 ∆𝜏𝜏 ℎ 𝑡𝑡 − 𝑘𝑘∆𝜏𝜏 . • Очевидно, что более точное решение можно получить, уменьшая интервал ∆𝜏𝜏. устремим ∆𝜏𝜏 к бесконечно малой величине dt. При этом число слагаемых в сумме неограниченно растет, так что k∆𝜏𝜏 = 𝜏𝜏 становится непрерывной переменной. В пределе, заменяя сумму интегралом, получим 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈1 0 ℎ 𝑡𝑡 𝑡𝑡 ′ + ∫0 𝑈𝑈1 𝜏𝜏 ℎ 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Формулу называют интегралом Дюамеля или интегралом наложения. Интеграл называют интегралом свертки или сверткой функций времени. Ниже приведены другие формы 𝑡𝑡 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈1 0 ℎ 𝑡𝑡 + � 𝑈𝑈1′ 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 ℎ 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡 𝑈𝑈2 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈1 0 ℎ 𝑡𝑡 + � 𝑈𝑈1 𝜏𝜏 ℎ0 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑 РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • Большое число электронных устройств, таких как триггеры, мультивибраторы, релаксационные генераторы, помимо линейных двухполюсников содержат нелинейные резисторы. • С достаточной для практики точностью, позволяющей исследовать основные особенности процессов в этих приборах, ВАХ нелинейных резисторов можно представить кусочно-линейными приближениями. • Если резистивный двухполюсник содержит кусочно-линейные резисторы, то его ВАХ будет кусочно-линейной. Такое представление существенно упрощает анализ нелинейных цепей, так как в интервалах между изломами характеристик цепь можно считать линейной. • Для анализа линеаризованной цепи, получаемой в результате кусочно-линейного представления характеристик, можно использовать методы расчета линейных цепей. • Таким образом, анализ нелинейной цепи сводится к расчету переходного процесса в нескольких линейных цепях, соответствующих отдельным сегментам ВАХ. РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • Рассмотрим резистивную цепь NR С кусочно-линейной ВАХ, к внешним зажимам которой подключен линейный емкостный или индуктивный элемент (рис. А, Б соответственно). Как и в случае линейных цепей первого порядка, задача заключается в определении закона изменения напряжения UС(t) или Il(t). Значения этих переменных удобно изображать точкой на ВАХ резистивного двухполюсника. Назовем ее изображающей или рабочей точкой (РТ). • РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • При расчете переходного процесса изменение UC(t) или IL(t) удобно изображать в виде траектории движения рабочей точки по вольт-амперной характеристике резистивного двухполюсника. • Расчет переходного процесса в кусочно-линейной цепи первого порядка выполняется в следующей последовательности. • 1. Находится начальное положение рабочей точки UС(0) или IL(0). • 2. Определяется направление движения рабочей точки по сегменту ВАХ. • 3. Резистивная подсхема заменяется эквивалентной схемой Тевенина или Нортона, соответствующей данному сегменту вольт-амперной характеристики. Рассчитывается переходный процесс в полученной схеме замещения. РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • Шаги 2 и 3 выполняются последовательно для каждого сегмента, по которым перемещается рабочая точка до тех пор, пока она не окажется в точке ВАХ, соответствующей состоянию равновесия, для которой 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 (𝑡𝑡 )/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 или соответственно 𝑑𝑑𝐼𝐼𝐿𝐿 (𝑡𝑡 )/𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0. • Рассмотрим подробнее вопрос определения направления перемещения рабочей точки по сегменту кусочно-линейной ВАХ. • Для RС-цепи на рис.А, с учетом выбранных направлений напряжений и токов 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 𝐼𝐼С 𝐼𝐼 =− = с 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶 • Из формулы следует, что напряжение Uс будет уменьшаться, если ток резистивного двухполюсника положителен. И наоборот, 𝑈𝑈𝐶𝐶 будет расти, если I < 0 . • Для RL-цепи на рис.Б 𝑑𝑑𝐼𝐼 𝑑𝑑𝑡𝑡 =− 𝑑𝑑𝐼𝐼𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 =− 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝐿𝐿 из последнего равенства следует, что ток индуктивного элемента уменьшается, если U > 0, и растет, если U < 0 . РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • Пример. Переходный процесс в кусочно-линейной RС-цепи. Рассмотрим процессы в RС-цепи первого порядка, изображенной на рис. а. Кусочнолинейная ВАХ резистивного двухполюсника изображена на рис. б. Емкость конденсатора С = 0,1 мкФ. РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • Примем, что начальное напряжение емкостного элемента UC(0)=U0 < 0. В начальный момент рабочей точке соответствует точка P1 на вольт-амперной характеристике. В соответствии с ВАХ dUC/dt < 0 , т.е. напряжение на конденсаторе будет убывать до тех пор, пока ток резистивного двухполюсника положителен. Схема замещения, соответствующая сегменту ВАХ Р1 – Р2, показана на рис.а. Напряжение емкостного элемента будет 𝑡𝑡 изменяться по закону 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 𝑒𝑒 − ⁄𝜏𝜏 , где 𝜏𝜏 = 𝑅𝑅Э 𝐶𝐶 = −0,5 · 10−4 с. РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • График напряжения UC(t) показан на рис. (Интервал 0 - t1). • В момент времени t1 рабочая точка перемещается на сегмент Р2-Р3, схема замещения, соответствующая этому сегменту ВАХ, показана на рис. б. • Траектории движения рабочей точки направлены к Р3 (рис. б). Напряжение ёмкостного элемента определим по формуле 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 − 𝐸𝐸Э 𝑒𝑒 = 3𝑒𝑒 (𝑡𝑡−𝑡𝑡1 )� − 𝜏𝜏 − 8. (𝑡𝑡−𝑡𝑡1 )� 𝜏𝜏 − + 𝐸𝐸Э = ВАХ СЗ РАСЧЕТ ПРОЦЕССОВ В ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ • Здесь 𝜏𝜏 =3·10-5 с. Соответствующая кривая UC(t) показана на рис. (Интервал t1 - ∞ ). точка РЗ вольт-амперной характеристики является точкой устойчивого равновесия, поскольку − направлены к P3. 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑖𝑖 = − 𝐶𝐶 = 0 , и траектории РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МУЛЬТИВИБРАТОР • Используем методику расчета переходных процессов, рассмотренную в предыдущем параграфе, для анализа RС-цепи первого порядка, изображенной на рис. а. Вольт-амперная характеристика резистивной подсхемы, обведенной пунктиром, имеет s-образную форму (рис. Б). Сегмент Р1-Р3 соответствует линейному режиму работы операционного усилителя, а сегменты Р2-Р3 и P1-P4 - режиму насыщения. • Предположим, что начальное напряжение емкостного элемента UC(0) =U0 (точка Q0 на линейном участке ВАХ). Для рассматриваемой цепи справедливо уравнение 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑖𝑖𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑖𝑖 = − 𝐶𝐶 . РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МУЛЬТИВИБРАТОР 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 • Поскольку в точке Q0 ток i < 0 , то производная > 0 положительна, а рабочая точка перемещается вправо, в сторону увеличения UC, выходное напряжение Uвых возрастает до тех пор, пока ОУ не перейдет в состояние насыщения (точка P1). Точка P1 не является точкой равновесия, поскольку 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 здесь ≠ 0. В то же время траектории обоих сегментов вольт-амперной характеристики направлены к P1. Такие точки кусочно-линейной ВАХ называют тупиковыми. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МУЛЬТИВИБРАТОР • В момент, когда ОУ переходит в состояние насыщения, дифференциальное напряжение на его входе изменяет полярность. Изменяется и полярность выходного напряжения. При этом ток I(t) быстро изменяется и рабочая точка перемещается в положение Р2. Теперь производная 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐼𝐼 − 𝐶𝐶 отрицательна и РТ перемещается влево, до положения Р3. Точка РЗ также является тупиковой. В этот момент изменяется полярность напряжения на выходе ОУ и происходит быстрое изменение тока I(t). При этом рабочая точка перемещается из положения Р3 в положение Р4. • Теперь производная 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 > 0 и напряжение UC(t) растет до тех пор, пока рабочая точка не окажется в положении Р1. Далее процесс периодически повторяется. Временные диаграммы UC(t), I(t) показаны на рис. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МУЛЬТИВИБРАТОР • В цепи на рис. А происходят периодические несинусоидальные колебания. Такие колебания называют релаксационными. Релаксационные колебания наблюдаются в нелинейных RC- и RL-цепях первого порядка. • При этом вольт-амперная характеристика резистивной подсхемы должна иметь S-образную или N-образную форму, а участок ВАХ с отрицательным дифференциальным сопротивлением должен проходить через начало координат. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. МУЛЬТИВИБРАТОР • Быстрым перемещениям рабочей точки с сегмента P4-P1 на сегмент Р2-Рз вольт-амперной характеристики и обратно соответствуют переключения операционного усилителя из состояния положительного насыщения в отрицательное и обратно. При этом выходное напряжение изменяется от Uнас до +Uнас. Таким образом, напряжение на выходе ОУ представляет последовательность прямоугольных импульсов. • Подобные схемы, служащие для получения прямоугольных импульсов, называют мультивибраторами. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Поведение электронной цепи описывается в общем случае системой дифференциальных уравнений. С помощью подстановок и замены переменных эту систему уравнений можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению n-го порядка. • Как правило, порядок уравнения равен суммарному числу индуктивных и емкостных элементов: n =nL + nС, однако для нелинейной цепи решить дифференциальное уравнение n-го порядка трудно, а часто просто невозможно. Более рационально записывать систему дифференциальных уравнений в нормальной форме (форме Коши). УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Уравнения в форме Коши представляют систему уравнений первого порядка, разрешенных относительно первой производной одной из переменных. • В левой части каждого уравнения записывают производную, а в правойфункции переменных цепи и напряжений и токов независимых источников. Обозначим выбранные переменные х1, х2,···, хn, тогда система уравнений примет вид 𝑑𝑑𝑥𝑥1 = 𝑓𝑓1 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑢𝑢� , 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑥𝑥2 = 𝑓𝑓2 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑢𝑢� , 𝑑𝑑𝑑𝑑 …………………………… 𝑑𝑑𝑥𝑥1 = 𝑓𝑓1 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 , 𝑢𝑢), 𝑑𝑑𝑑𝑑 • В системе уравнений 𝑢𝑢� - вектор напряжений и токов независимых источников. Уравнения называют уравнениями состояния, а переменные х1, х2, ••• , хN - переменными состояния. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Дифференциальные уравнения получили название уравнений состояния потому, что при известных начальных значениях переменных состояния х1(t0), х2(t0), ..., хn(t0) в некоторый момент времени t0 мы можем определить эти переменные и в момент t > t0. Чтобы показать это, зададим малoe приращение времени ∆t =h . Тогда 𝑑𝑑𝑥𝑥1 (𝑡𝑡0 ) , 𝑥𝑥1 𝑡𝑡0 + ℎ ≈ 𝑥𝑥1 (𝑡𝑡0 ) + ℎ 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑥𝑥2 (𝑡𝑡0 ) , 𝑥𝑥2 𝑡𝑡0 + ℎ ≈ 𝑥𝑥2 (𝑡𝑡0 ) + ℎ 𝑑𝑑𝑡𝑡 …………………………………… 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑡𝑡0 + ℎ ≈ 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑡𝑡0 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑡𝑡0 . +ℎ 𝑑𝑑𝑡𝑡 • Далее мы можем определить значения переменных при t = t0+ 2h, t0 + 3h и т. д. • Уравнения позволяют определить состояние цепи в любой момент времени при известных начальных значениях переменных. Если известны значения переменных состояния, то легко могут быть найдены и остальные токи и УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Запишем уравнения состояния последовательной RLС-цепи • В соответствии с вторым законом Кирхгофа 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝑡𝑡 = −𝑅𝑅𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 . • т.к. цепь последовательная 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = 𝑖𝑖𝐶𝐶 𝑡𝑡 . • c учётом 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 , 𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 . Система уравнений приобретает вид 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 = Её можно записать в матричной форме 𝑋𝑋̇ 𝑡𝑡 где 𝐴𝐴 = 𝑅𝑅 − 𝐿𝐿 1 𝐶𝐶 1 − 𝐿𝐿 , 𝐵𝐵 = 1 𝐿𝐿 , 𝑋𝑋(𝑡𝑡) = 𝑅𝑅 − 𝐿𝐿 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝐶𝐶 𝑡𝑡 − 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 𝑈𝑈 𝐿𝐿 𝐶𝐶 = 𝑖𝑖𝐿𝐿 . 𝑡𝑡 + 1 𝑒𝑒 𝐿𝐿 = 𝐴𝐴 𝑋𝑋(𝑡𝑡) + 𝐵𝐵 𝐸𝐸(𝑡𝑡) , 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑈𝑈𝐶𝐶 , 𝐸𝐸(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒(𝑡𝑡) . 𝑡𝑡 , УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Зная состояние цепи [X(t)] и вектор входных воздействий [U(t)], реакцию цепи [Y(t)] (токи и напряжения ветвей) можно найти как линейную комбинацию вектора переменных состояния и вектора входных воздействий: 𝑌𝑌(𝑡𝑡) = 𝐶𝐶 𝑋𝑋(𝑡𝑡) + 𝐷𝐷 𝐸𝐸(𝑡𝑡) . • Матрицы [C] и [D] зависят от конфигурации и параметров цепи. Например, если компонентами вектора [Y(t)] являются напряжения UL и UR , они находятся с помощью уравнений 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝑡𝑡 = −𝑅𝑅𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 (𝑡𝑡) + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 , 𝑈𝑈𝑅𝑅 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 . 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝑡𝑡 • В матричной форме 𝑈𝑈𝑅𝑅 𝑡𝑡 −𝑅𝑅 = 𝑅𝑅 −1 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 1 𝑒𝑒(𝑡𝑡) + . 0 𝑈𝑈𝐶𝐶 (𝑡𝑡) УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ Дифференциальные уравнения электрической представлять в форме уравнений состояния: цепи целесообразно • Во-первых, уравнения состояния можно записать как для линейных, так и для нелинейных цепей. • Во-вторых, не всегда можно получить аналитическое решение нелинейного дифференциального уравнения, а численные методы решения ориентированы на уравнения, записанные в нормальной форме. • В-третьих, матричная форма уравнений состояния не зависит от порядка цепи. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Рассмотрим простой алгоритм формирования уравнения состояния. 1. Анализируем цепь в начальный момент времени (при t =0_) и определяем напряжения емкостных элементов UC (0) и токи индуктивных элементов iL(0). 2. Выделяем в анализируемой цепи индуктивные и емкостные элементы (рис.а). Заменим емкостные элементы источниками напряжения UC (t), а индуктивные - источниками тока iL(t) (рис.б). 3. Для полученной резистивной схемы замещения составляем уравнения на основании законов Кирхгофа, либо с помощью любого другого метода анализа резистивных цепей. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 4. Из полученной системы уравнений путем подстановок и исключения переменных выражаем напряжения индуктивных и токи емкостных элементов как функции переменных состояния - токов индуктивностей и напряжений емкостей, а также напряжений и токов независимых источников: 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑓𝑓1 𝑖𝑖𝐿𝐿 , 𝑈𝑈𝐿𝐿 , 𝐸𝐸 , 𝑖𝑖𝐶𝐶 = 𝑓𝑓2 𝑖𝑖𝐿𝐿 , 𝑈𝑈𝐶𝐶 , 𝐸𝐸 . 5. Делим левую и правую части уравнения для UL на L, а левую и правую части уравнения для iC на C. Учитывая, что UL =L получим уравнения состояния: 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 1 = 𝑓𝑓1 𝑖𝑖𝐿𝐿 , 𝑈𝑈𝐿𝐿 , 𝐸𝐸 ; 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 1 = 𝑓𝑓2 𝑖𝑖𝐿𝐿 , 𝑈𝑈𝐿𝐿 , 𝐸𝐸 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 , iC =С 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 , УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Пример. Составить уравнения состояния для RLС-цепи второго порядка, показанной на рис. • Составим эквивалентную резистивную схему, заменив индуктивный элемент источником тока, а емкостный - источником напряжения (рис.). В этой схеме ток источника тока изменяется по закону iL(t), а эдс источника напряжения - по закону UC(t). УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Для полученной схемы на рис. запишем уравнения по законам Кирхгофа: −𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖𝐶𝐶 + 𝑖𝑖𝐿𝐿 = 0; 𝑅𝑅1 𝑖𝑖1 = 𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 ; 𝑅𝑅2 𝑖𝑖𝐿𝐿 + 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑈𝑈𝐶𝐶 . • Решив эту систему уравнений относительно iC и UL, получим 1 1 𝑖𝑖𝐶𝐶 = − 𝑈𝑈𝐶𝐶 − 𝑖𝑖𝐿𝐿 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 ; 𝑅𝑅 𝑅𝑅1 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑈𝑈𝐶𝐶 − 𝑅𝑅2 𝑖𝑖𝐿𝐿 . • Разделив левую и правую части последних равенств соответственно на С и L, получим уравнения состояния: 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 1 1 1 =− 𝑈𝑈𝐶𝐶 − 𝑖𝑖𝐿𝐿 + 𝑒𝑒 𝑡𝑡 ; 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑅𝑅1 𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑅𝑅1 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 1 𝑅𝑅2 = 𝑈𝑈𝐶𝐶 − 𝑖𝑖𝐿𝐿 . 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝐿𝐿 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • В матричной форме уравнения состояния анализируемой цепи имеют вид 1 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 − 𝑅𝑅1 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 1 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐿𝐿 1 1 − 𝑈𝑈 𝑒𝑒(𝑡𝑡) 𝐶𝐶 𝐶𝐶 + 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑖𝑖𝐿𝐿 − 𝐿𝐿 • Пример. Записать уравнения состояния активной RС-цепи, показанной на рис. Операционный усилитель работает в линейном режиме. • Составим эквивалентную схему, заменив ёмкостные элементы источниками напряжения (рис.). Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа для цепи на рис. УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ для узла, в котором сходятся резисторы R1, R2 , R3 и конденсатор C1, −𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2 − 𝑖𝑖3 + 𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶 = 0. для узла, к которому подключен инвертирующий вход ОУ, 𝑖𝑖3 − 𝑖𝑖𝐶𝐶𝐶 = 0. для контура, включающего источник напряжения e(t), резистор R1 и конденсатор C1, 𝑅𝑅1 𝑖𝑖1 = 𝑒𝑒 𝑡𝑡 − 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 . УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • для контура, образованного резисторами R2, R3 и конденсатором C2, −𝑅𝑅2 𝑖𝑖2 + 𝑅𝑅3 𝑖𝑖3 = −𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 • для контура, включающего резистор rз и вход ОУ: −𝑅𝑅2 𝑖𝑖2 = 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 . • при составлении уравнений предполагалось, что входные токи ОУ и дифференциальное напряжение на входе равны нулю: Ud =0, i_ = 0. • Решив систему уравнений, получим 𝑖𝑖𝐶𝐶1 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅1 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 1 1 =− 𝑈𝑈𝐶𝐶1 + 𝑈𝑈𝐶𝐶2 + 𝑒𝑒, 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 𝑖𝑖𝐶𝐶2 1 = − 𝑈𝑈𝐶𝐶1 . 𝑅𝑅3 УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Разделив первое уравнение на С1 и второе уравнение на С2, получим уравнения состояния анализируемой цепи: 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅1 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 1 1 =− 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 + 𝑈𝑈 + 𝑒𝑒, 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐶𝐶1 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 𝐶𝐶1 𝑅𝑅2 𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶1 𝑅𝑅1 • в матричной форме • 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 +𝑅𝑅1 𝑅𝑅3 +𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 − 𝐶𝐶1 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝑅𝑅3 1 − 𝐶𝐶 𝑅𝑅 2 3 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 1 =− 𝑈𝑈 . 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐶𝐶2 𝑅𝑅3 𝐶𝐶𝐶 1 𝐶𝐶1 𝑅𝑅2 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 + 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 1 𝐶𝐶1 𝑅𝑅1 𝑒𝑒 . УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Рассмотренный алгоритм позволяет формировать уравнения состояния простых цепей вручную. В настоящее время разработаны эффективные алгоритмы формирования уравнений состояния цепей любой сложности на ЭВМ. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА Рассмотрим последовательную RLС-цепь, которая не содержит независимых источников (рис.). Будем считать, что емкостный элемент заряжен до напряжения UC (0) = U0, а начальный ток индуктивного элемента iL (0)= 0. Поскольку независимые источники в цепи отсутствуют, токи и напряжения в такой цепи являются реакцией при нулевом входном сигнале (реакцией при нулевом входе). Исследование реакции при нулевом входе имеет важное значение потому, что: 1. эта составляющая полной реакции цепи определяет характер переходного процесса. 2. по виду реакции при нулевом входе можно судить об устойчивости цепи. Кроме того, результаты, полученные в данном параграфе для линейных цепей, остаются справедливыми и для нелинейных цепей. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Уравнения состояния цепи, показанной на рис.: 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑅𝑅 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐿𝐿 1 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 1 − 𝐿𝐿 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑈𝑈𝐶𝐶 • В общей форме уравнения состояния цепи второго порядка, не имеющей независимых источников, имеют вид 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎21 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎12 𝑥𝑥1 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Известно, что систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка можно свести к одному уравнению второго порядка. Проделаем эту операцию. • Продифференцируем первое уравнение т.к. 𝑑𝑑𝑥𝑥2 𝑑𝑑𝑑𝑑 получим или 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎12 = 𝑎𝑎11 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎21 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎22 𝑥𝑥2 = 𝑎𝑎21 𝑥𝑥1 + 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 = 𝑎𝑎11 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎11 + 𝑎𝑎22 𝑎𝑎22 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑎𝑎12 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑎𝑎12 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑥𝑥1 − 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑥𝑥1 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 𝑥𝑥1 = 0 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • В более компактной форме это уравнение имеет вид 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 2 + 𝜔𝜔 − 2𝛼𝛼 0 𝑥𝑥1 = 0, 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 (𝑎𝑎11 +𝑎𝑎22 ) − постоянная затухания или коэффициент 2 демпфированuя, 𝜔𝜔02 = 𝑎𝑎11 𝑎𝑎22 − 𝑎𝑎21 𝑎𝑎12 - частота собственных где 𝛼𝛼 = Для нашей цепи 𝛼𝛼 = Характеристический 𝑅𝑅 , 𝜔𝜔0 2𝐿𝐿 = 1 . 𝐿𝐿𝐿𝐿 полином, уравнению: 𝑝𝑝2 − 2𝛼𝛼𝑝𝑝 + 𝜔𝜔02 = 0. Его корни 𝑝𝑝1,2 = −𝛼𝛼 ± 𝛼𝛼 2 − соответствующий 𝜔𝜔02 =− 𝑅𝑅 2𝐿𝐿 ± 𝑅𝑅 2 2𝐿𝐿 колебаний цепи. дифференциальному − 1 𝐿𝐿𝐿𝐿 . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Корни характеристического уравнения часто называют собственными частотами цепи. • Решение уравнения имеет вид 𝑥𝑥1 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝑝𝑝1 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 . • Удовлетворим начальные условия 𝑥𝑥1 |𝑡𝑡=0+ = 𝑥𝑥1 0+ 𝑑𝑑𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑡𝑡 |𝑡𝑡=0+ = 𝑑𝑑𝑥𝑥1 (0+ ) или Откуда 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 = 𝑥𝑥1 0+ 𝑝𝑝1 𝐴𝐴1 + 𝑝𝑝2 𝐴𝐴2 = 𝐴𝐴1 = 𝐴𝐴2 = 𝑑𝑑𝑥𝑥1 (0+ ) −𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝1 −𝑝𝑝2 𝑑𝑑𝑥𝑥1 (0+ ) −𝑥𝑥1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝2 −𝑝𝑝1 0+ 𝑝𝑝2 0+ 𝑝𝑝1 𝑑𝑑𝑥𝑥1 (0+ ) 𝑑𝑑𝑑𝑑 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Определим постоянные интегрирования для схемы на рис. Учтем, что напряжение UC(0) =U0 , а начальный ток индуктивного элемента iL(0)= 0. Тогда для напряжения емкостного элемента UC 𝑈𝑈 𝑝𝑝 • 𝐴𝐴1𝑈𝑈 = − 𝑝𝑝 0−𝑝𝑝2 , 1 • Для тока iL 2 𝑈𝑈 𝑝𝑝 𝐴𝐴2𝑈𝑈 = + 𝑝𝑝 0−𝑝𝑝1 . 𝐴𝐴1𝑖𝑖 = 𝐴𝐴2𝑖𝑖 = 1 2 𝑈𝑈0 − 𝐿𝐿(𝑝𝑝 −𝑝𝑝 ). 1 2 Решение уравнения зависит от корней характеристического уравнения. • Случай 1. Корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные ( 𝛼𝛼 > 𝜔𝜔0 > 0). Напряжение UC(t) представим в виде суммы экспонент UC(t) =𝐴𝐴1𝑈𝑈 𝑒𝑒 𝑝𝑝1 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2𝑈𝑈 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 𝑝𝑝1 −𝑝𝑝2 (𝑝𝑝2 𝑒𝑒 𝑝𝑝1𝑡𝑡 − 𝑝𝑝1 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 ) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Ток индуктивного элемента 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑝𝑝1 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 =− 𝑈𝑈0 (𝑒𝑒 𝑝𝑝1𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 𝑝𝑝2𝑡𝑡 ) 𝐿𝐿(𝑝𝑝1 −𝑝𝑝2 ) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Если корни характеристического уравнения вещественные и положительные, то в соответствии с UC(t) и iL(t) представляют сумму двух возрастающих экспонент и при t → ∞ становятся неограниченными. Такая цепь является неустойчивой. • При вещественных корнях характеристического уравнения токи и напряжения изменяются непериодически. Такой переходный процесс называют апериодическим. • Случай 2. Корни характеристического уравнения комплексносопряженные: 𝑝𝑝1,2 = −𝛼𝛼 ± 𝑗𝑗𝛽𝛽 . Здесь j = −1 . В соответствии с решением напряжение емкостного элемента UC(t) 𝑈𝑈0 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝑡𝑡 =− ( 𝑗𝑗𝑗𝛽𝛽 𝛼𝛼 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝛽𝛽𝑡𝑡 − 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝛽𝛽𝑡𝑡 ) ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Комплексное число 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 представим в показательной форме: 𝛼𝛼 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = где 𝜑𝜑 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎(𝛽𝛽/𝛼𝛼) • Решение уравнения примет вид =− 𝑈𝑈0 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼 2 +𝛽𝛽 2 𝛽𝛽 𝛼𝛼 2 + 𝛽𝛽 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 , UC(t) =− sin 𝛽𝛽𝑡𝑡 − 𝜑𝜑 = −𝑈𝑈0 𝑒𝑒 Используем равенство (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 −𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗 2𝑗𝑗 𝑈𝑈0 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛼𝛼 2 +𝛽𝛽 2 −𝛼𝛼𝛼𝛼 ) • Ток индуктивного элемента 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = − 𝑈𝑈0 𝑒𝑒 −𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑗𝑗𝑗𝛽𝛽𝐿𝐿 𝑗𝑗𝑗𝛽𝛽 𝛼𝛼 2 𝛽𝛽 2 (𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑡𝑡−𝜑𝜑 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑡𝑡−𝜑𝜑 ) + 1 sin 𝛽𝛽𝑡𝑡 − 𝜑𝜑 . 𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑡𝑡 )=− 𝑈𝑈0 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝛼𝛼 𝛽𝛽𝐿𝐿 sin 𝛽𝛽𝑡𝑡 . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Если собственные частоты комплексные, в цепи возникают синусоидальные колебания, затухающие (при 𝛼𝛼 < 0) или возрастающие (при 𝛼𝛼 > 0) с течением времени. Такой переходный процесс называют колебательным. • На рис. показаны графики напряжения UC(t) и тока iL(t) для случая, когда вещественная часть корня 𝛼𝛼 < 0 . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • В предельном случае при R = 0 корни характеристического уравнения окажутся на мнимой оси: p1,2 == ±j𝛽𝛽. При этом в цепи наблюдаются незатухающие синусоидальные колебания: 𝜋𝜋 UC(t) = −𝑈𝑈0 sin 𝛽𝛽𝑡𝑡 − = −𝑈𝑈0 c𝑜𝑜𝑜𝑜 𝛽𝛽𝑡𝑡 ; 2 𝑈𝑈0 sin 𝛽𝛽𝑡𝑡 . 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑡𝑡 = − 𝛽𝛽𝛽𝛽 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Пример. На рис. изображена схема rc-генератора гармонических колебаний (генератор Вина - Робинсона). Активным элементом является источник напряжения, управляемый напряжением с коэффициентом усиления К. Сопротивления резисторов и емкости конденсаторов приняты одинаковыми: R1 = R2 = R, С1 = С2 = С . Определить, при каком коэффициенте усилителя в цепи будут наблюдаться незатухающие колебания. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Цепь неустойчива, если ее собственные частоты расположены в правой полуплоскости. Уравнения состояния цепи на имеют вид 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 1 𝐾𝐾 − 1 1 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶2 𝑅𝑅𝑅𝑅 1 − 𝐾𝐾 −1 𝑈𝑈𝐶𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 • Характеристическое уравнение 1 1 𝑝𝑝 + 3 − 𝐾𝐾 𝑝𝑝 + 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑅𝑅 2 • Корни характеристического уравнения 𝑝𝑝1,2 = 1 2 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 0. 𝐾𝐾−3 2 ± 𝐾𝐾−3 2 2 −1 . ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. РЕАКЦИЯ ПРИ НУЛЕВОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ • Из последнего равенства следует, что при К > 3 собственные частоты находятся в правой полуплоскости и цепь неустойчива, т. е. является генератором незатухающих колебаний. • Для получения синусоидальных колебаний постоянной амплитуды необходимо, чтобы коэффициент усиления был равен трем. При этом корни характеристического уравнения расположены на мнимой оси и токи и напряжения цепи имеют синусоидальную форму. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • В линейных цепях периодические незатухающие колебания возникают только под действием периодических источников напряжения и тока. В нелинейных цепях незатухающие колебания могут возникнуть и в отсутствие таких источников. Такие процессы называют автоколебаниями. • Возникновение автоколебаний обусловлено не наличием периодических источников, а характером нелинейности резистивного элемента. • Для того чтобы в нелинейной цепи наблюдались периодические колебания, необходимо выполнение следующих условий. Вольт-амперная характеристика нелинейного резистора должна иметь N- или S-образную форму, а участок с отрицательным дифференциальным сопротивлением должен проходить через начало координат. Амплитуда автоколебаний не зависит от начальных значений напряжений и токов. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Рассмотрим RLС-цепь второго порядка, показанную на рис.а. Вольтамперная характеристика резистивной подсхемы показана на рис.б. • Приближенно ее можно описать кубическим уравнением 1 𝑖𝑖 𝑈𝑈 = 3 𝑈𝑈 3 − 𝑈𝑈. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Уравнения состояния рассматриваемой цепи: 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 1 = 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 1 1 3 = −𝑖𝑖𝐿𝐿 − 𝑈𝑈 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐶𝐶 3 𝐶𝐶 • Для качественного исследования решения системы упростим уравнения, приведя их к безразмерному виду. Для этого введем нормированную переменную 𝜏𝜏 = 𝑡𝑡/ 𝐿𝐿𝐿𝐿 . Учитывая, что 𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 𝐿𝐿𝐿𝐿, запишем уравнения в безразмерной форме: 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐶𝐶 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝐿𝐿 𝐿𝐿 1 3 𝑈𝑈 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 −𝑖𝑖𝐿𝐿 − 𝐶𝐶 3 𝐶𝐶 ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Обозначим 𝜀𝜀 = 𝐿𝐿 𝐶𝐶 система уравнений примет вид 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑈𝑈𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝜀𝜀 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 1 3 = 𝜀𝜀 −𝑖𝑖𝐿𝐿 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 − 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 3 • Случай 1. Малые значения в (𝜀𝜀 < 0.1). Приведем систему уравнений к скалярному дифференциальному уравнению второго порядка. Для этого продифференцируем второе уравнение: 𝑑𝑑 2 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 = 𝜀𝜀 − 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑡𝑡 − 𝑈𝑈𝐶𝐶2 −1 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 . ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Подставим в полученное уравнение первое уравнение системы 𝑑𝑑 2 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝜀𝜀 𝑈𝑈𝐶𝐶2 −1 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑈𝑈𝐶𝐶 = 0. • Уравнение впервые было получено голландским физиком Ван-дер-Полем при исследовании ламповых генераторов синусоидальных колебаний. В специальной литературе его называют уравнением Ван-дер-Поля. • Поскольку параметр 𝜀𝜀 мал, мы можем отбросить в слагаемое 𝜀𝜀 𝑈𝑈𝐶𝐶2 − 1 и рассматривать уравнение 𝑑𝑑 2 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 + 𝑈𝑈𝐶𝐶 = 0. 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Решения системы уравнений при этом имеет вид 𝑈𝑈𝐶𝐶 𝜏𝜏 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝜔𝜔0 𝜏𝜏 + 𝜑𝜑 𝐴𝐴 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔0 𝜏𝜏 + 𝜑𝜑 𝑖𝑖𝐿𝐿 𝜏𝜏 = 𝜀𝜀 𝑈𝑈𝐶𝐶2 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Отбрасывая слагаемое 𝜀𝜀 −1 в уравнении, мы теряем возможность определить величину постоянной интегрирования А. Детальный анализ, учитывающий нелинейное слагаемое, показывает, что при малых значениях 𝜀𝜀 А ≈ 2 . • Таким образом, при малых значениях 𝜀𝜀 форма кривых напряжения UC(t) и тока iL(t) почти синусоидальна. Однако с ростом 𝜀𝜀 влияние нелинейного 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 2 слагаемого 𝜀𝜀 𝑈𝑈𝐶𝐶 − 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 возрастает, и кривые UC(t), iL(t) становится несинусоидальными. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • На рис 1, 2 показаны графики напряжения UC(t), iL(t), а также фазовая траектория рассматриваемой цепи для значения параметра 𝜀𝜀 = 0.1. Замкнутую траекторию на плоскости состояний, изображающую установившиеся колебания, называют предельным циклом. При 𝜀𝜀 <<1 форма предельного цикла близка к эллипсу. • Рис.1. Рис.2. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Случай 2. Значения параметра в велики (𝜀𝜀 > 20). В системе уравнений разделим второе уравнение на первое, получим • 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 = 𝜀𝜀 2 1 3 −𝑖𝑖𝐿𝐿 − 𝑈𝑈𝐶𝐶3 −𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑈𝑈𝐶𝐶 • Поскольку значение 𝜀𝜀 велико, из последнего уравнения следует, что напряжение UC(𝜏𝜏) изменяется значительно быстрее iL(𝜏𝜏). вследствие этого форма кривых UC(𝜏𝜏), iL(𝜏𝜏) несинусоидальна, а траектории на плоскости состояний представляют горизонтальные прямые (за исключением узкой области вдоль ВАХ нелинейного резистора). На рис. 3, 4 показаны графики напряжения UC(𝜏𝜏), тока iL(𝜏𝜏), а также фазовая траектория при значении 𝜀𝜀 = 20. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Рис.3. • Фазовая кривая при этом имеет вид Рис.4. ГЕНЕРИРОВАНИЕ НЕЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЕ ВАН-ДЕР-ПОЛЯ • Таким образом, при больших значениях 𝜀𝜀 (𝜀𝜀 > 20) в цепи наблюдаются релаксационные колебания, а рассматриваемая цепь представляет релаксационный генератор. • Итак, в нелинейных цепях второго порядка могут наблюдаться периодические незатухающие колебания. Амплитуда этих колебаний не зависит от начальных условий. В зависимости от соотношения параметров реактивных элементов их форма может быть почти синусоидальной либо резко несинусоидальной. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Для решения уравнений состояния цепей высокого порядка широко используются численные методы. Рассмотрим простейшие методы интегрирования на примере решения уравнения 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑡𝑡 , 𝑑𝑑𝑡𝑡 • Описывающего поведение цепи первого порядка. Разобъём интересующий нас промежуток времени на малые интервалы (шаги) ∆𝑡𝑡 = ℎ . обозначим хi значения переменной x(t) в дискретные моменты времени kh: xk = x(kh), k=0,1,2,3,…,n. • Начальное значение переменной x0 =х(0). Простейшим методом численного интегрирования уравнений состояния является явный метод Эйлера. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Явная формула Эйлера имеет вид 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘 , 𝑡𝑡𝑘𝑘 ). = 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Геометрическая интерпретация явного метода Эйлера показана на рис. Функция x(t) на интервале tk - tk+1 аппроксимируется прямой, совпадающей с касательной к этой функции в точке tk =kh. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Другим простейшим методом является неявный метод Эйлера. Неявная формула Эйлера имеет вид 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ℎ = 𝑥𝑥𝑘𝑘 + ℎ𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘+1 , 𝑡𝑡𝑘𝑘+1 ). 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Неявным этот метод называют потому, что переменная xk+1 входит в левую часть формулы и неявно, в виде производной правую. 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑘𝑘+1 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘+1 , 𝑡𝑡𝑘𝑘+1 ), - в • Решение с помощью методов численного интегрирования является приближенным. Различают локальную ошибку, получаемую на каждом шаге, и глобальную ошибку, накопленную на заданном интервале времени. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Определим величину локальной ошибки при интегрировании с помощью явного и неявного методов Эйлера. Разложим функцию x(t) в окрестности точки tk в ряд Тейлора: 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + ℎ = 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + ℎ • где 𝑡𝑡 < 𝜏𝜏 < 𝑡𝑡 + ℎ. 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ℎ2 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 , • Явную формулу Эйлера можно рассматривать как разложение x(t) в ряд Тейлора, в котором оставлены только линейные члены. Поэтому локальная ошибка интегрирования равна остаточному члену: • Для неявного метода Эйлера 𝜀𝜀 = 𝜀𝜀 = - ℎ2 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 ℎ2 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥(𝜏𝜏) 2 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Итак, в обоих случаях локальная ошибка пропорциональна квадрату шага интегрирования, но имеет разные знаки. Локальная ошибка, очевидно, тем меньше, чем меньше шаг интегрирования. На рис. показаны графики тока iL(t) в последовательной RLС-цепи второго порядка, рассчитанного с помощью явного и неявного методов Эйлера. Шаг интегрирования выбран равным 0,5 минимальной постоянной времени. • Большую точность можно получить с помощью метода трапеций. Его можно рассматривать как комбинацию явной и неявной формул Эйлера: 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 𝑥𝑥𝑛𝑛 + ℎ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛+1 𝑑𝑑𝑑𝑑 . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Можно показать, что локальная ошибка интегрирования для метода трапеций пропорциональна h3 следовательно, если шаг интегрирования мал, ошибка интегрирования для метода трапеций меньше, чем для методов Эйлера. • Изучим теперь поведение глобальной ошибки при использовании рассмотренных методов. Поскольку локальные ошибки могут принимать различные знаки, глобальная ошибка может бесконечно возрастать либо оставаться конечной. Это зависит от метода интегрирования, величины шага, а также поведения функции x(t). ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Рассмотрим накопление глобальной ошибки на примере решения уравнения 𝑑𝑑𝑥𝑥(𝑡𝑡) = −𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑡𝑡 . 𝑑𝑑𝑡𝑡 • Таким уравнением описывается, например, поведение RС-цепи первого порядка. Точное решение этого уравнения имеет вид x(t) =𝑥𝑥0 𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝑡𝑡 . Таким образом, переменная x(t) стремится к нулю при 𝑡𝑡 → ∞, если цепь устойчива, т. е. 𝜆𝜆 > 0. • В соответствии с формулой Эйлера 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 − ℎ𝜆𝜆𝑥𝑥0 = 𝑥𝑥0 1 − ℎ𝜆𝜆 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥1 − ℎ𝜆𝜆𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 1 − ℎ𝜆𝜆 2 ⋯ 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥0 1 − ℎ𝜆𝜆 𝑛𝑛 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Численная неустойчивость заключается в том, что при большом числе шагов численное решение расходится, т. е. начинает неограниченно расти, хотя истинное решение конечно. • Чтобы решение уравнения устойчивой цепи ( 𝜆𝜆 > 0) было ограниченным, необходимо выполнение условия 1 − ℎ𝜆𝜆 ≤ 1 или . 2 ℎ ≤ = 2𝜏𝜏 𝜆𝜆 • В этом случае решение, получаемое с помощью явной формулы Эйлера, будет устойчивым, т. е. значение функции x(t), вычисленное на n-м шаге при безграничном увеличении n, будет конечным. • Реакцию цепи второго и более высоких порядков можно представить в виде суммы экспонент: x(t) =∑𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝑡𝑡�𝜏𝜏𝑖𝑖 . ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • В этом случае максимальный шаг интегрирования явного метода Эйлера ограничен величиной h < 2𝜏𝜏min, здесь 𝜏𝜏min - минимальная постоянная времени цепи. • Рассмотрим теперь неявный метод Эйлера. Найдем, что на n-м шаге 𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥0 1−ℎ𝜆𝜆 𝑛𝑛 . • Если 𝜆𝜆>0, решение будет устойчивым при любых положительных значениях h. Таким образом, неявный метод Эйлера является абсолютно устойчивым. • Необходимо заметить, что локальная ошибка этого метода пропорциональна квадрату шага интегрирования. Поэтому при больших значениях h неявная формула Эйлера становится нечувствительной к быстро изменяющимся составляющим функции x(t), т. е. «не замечает» такие составляющие. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Методы интегрирования, позволяющие получить ограниченное решение тестового уравнения при любом шаге интегрирования, называют абсолютно устойчивыми. Таким свойством обладают только неявные методы. • Проблема устойчивости особенно важна для тех цепей и систем, реакцию которых можно представить в виде суммы экспонент с постоянными времени, различающимися на несколько порядков. Дифференциальные уравнения, описывающие поведение таких систем, называют жесткими. Составляющие реакции, имеющие минимальные постоянные времени, затухают весьма быстро по сравнению с длительностью переходного процесса, которая пропорциональна максимальной постоянной времени 𝜏𝜏mах. • Из-за ограничений на величину шага интегрирования явные методы редко используются в программах моделирования электронных схем. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Абсолютно устойчивым является метод трапеций. Решение уравнения с помощью метода трапеций на n-м шаге имеет вид •𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑥𝑥(0) 𝜆𝜆 1−ℎ 2 𝜆𝜆 1+ℎ 2 𝑛𝑛 . • Нетрудно убедиться, что при 𝑛𝑛 → ∞ решение хn → (-1n+1) независимо от величины шага. Таким образом, решение остается ограниченным при любой величине h. • Однако если в реакции присутствуют быстро изменяющиеся составляющие, то будут наблюдаться медленно затухающие осцилляции вокруг истинного решения. Это свойство объясняется наличием производной 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑡𝑡 в формуле трапеций. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Методы интегрирования, рассмотренные выше, являются одношаговыми, т.е. для расчета переменных на n+1 шаге необходимо знать переменные только на одном предыдущем шаге. Большую точность можно получить, используя значения переменных на нескольких предыдущих шагах. Методы численного интегрирования, в которых используется информация о нескольких ранее полученных значениях x(t) для вычисления хn+1, называют многошаговыми. Линейная многошаговая формула порядка k имеет вид 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑛𝑛+1−𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛+1−𝑖𝑖 𝑘𝑘 ℎ ∑𝑖𝑖=0 𝑏𝑏𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 . • Если коэффициент b0 = 0, метод является явным. При b0 ≠ 0 формула описывает неявный многошаговый метод. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • Нетрудно показать, что рассмотренные одношаговые методы численного интегрирования являются частными случаями последней формулы. • Например, полагая k = 1, а1 = 1, b0 = 0, b1 = 1, получим явную формулу Эйлера. • При k = 1, а1 = 1, b0 = 1, b1 = 0 имеем неявную формулу Эйлера. • При интегрировании жестких дифференциальных уравнений используют многошаговую формулу дифференцирования назад (ФДН), которая содержит только производную на n + 1 шаге: • 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑎𝑎 𝑥𝑥𝑛𝑛+1−𝑖𝑖 + ℎ𝑏𝑏0 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛+1 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ • ФДН можно получить из общей формулы, полагая b1 = b2 = ... = bk = 0. При k = 1 она совпадает с неявной формулой Эйлера. • При k = 2 формула дифференцирования назад имеет вид 4 1 2 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑛𝑛+1 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 = 3 𝑥𝑥𝑛𝑛 − 3 𝑥𝑥𝑛𝑛+1 + ℎ 3 • В настоящее время разработаны эффективные методы интегрирования дифференциальных уравнений электронных цепей. • Влах, И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем / И. Влах, К. Сингхал. - М.: Радио и связь, 1988. - 560 с. • Каханер, Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш: пер. с англ. - М.: Мир, 2001. - 575 с. ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Уравнения состояния получаются на основе сложных преобразований системы интегродифференциальных уравнений, формируемых на основе законов Кирхгофа. Однако неявные методы интегрирования можно применять и для решения уравнений, не разрешенных относительно переменных состояния. • Использование таких методов позволяет в отдельных точках временной области дифференциальным уравнениям поставить в соответствие систему алгебраических уравнений. Такой переход от решения дифференциальных уравнений, описывающих поведение цепи во временной области, к многократному решению системы линейных алгебраических уравнений соответствует замене реактивных элементов на каждом шаге их дискретными резистивными моделями. ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Алгебраизацию дифференциальных уравнений, описывающих поведение индуктивного и емкостного элементов, рассмотрим на примере неявного метода Эйлера. • Напряжение емкостного элемента на n +1 шаге в соответствии с неявным методом Эйлера 𝑈𝑈𝑛𝑛+1 = 𝑈𝑈𝑛𝑛 + ℎ 𝑑𝑑𝑈𝑈𝑛𝑛+1 𝑑𝑑𝑑𝑑 . • Учитывая, что ток емкостного элемента iC =С в виде ℎ 𝑈𝑈𝑛𝑛+1 = 𝑈𝑈𝑛𝑛 + iC. 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑡𝑡 , равенство перепишем ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Этому алгебраическому уравнению соответствуют резистивные схемы, показанные на рис. a, б. эквивалентные • Ток индуктивного элемента на n + 1 шаге в соответствии с обратной формулой Эйлера ℎ 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 = 𝑖𝑖𝑛𝑛 + 𝐿𝐿 𝑈𝑈𝑛𝑛+1 . ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Этому уравнению соответствуют резистивные эквивалентные схемы, показанные на рис. а, б. • Замена индуктивных и емкостных элементов резистивными моделями значительно упрощает расчет переходных процессов. Анализ цепи во временной области сводится к анализу эквивалентных резистивных схем в дискретные моменты времени. При этом отпадает необходимость формирования уравнений состояния. ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Для расчета резистивных схем замещения можно использовать, например, метод узловых напряжений. • Дискретные резистивные модели индуктивного и емкостного элементов могут быть получены и для многошаговых формул. • Для емкостного элемента уравнение, многошаговой формуле имеет вид соответствующее линейной ℎ 𝑈𝑈𝑛𝑛+1 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + 𝐶𝐶 ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=0 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 . • После перегруппировки слагаемых перепишем его в следующем виде: ℎ ℎ �𝑛𝑛 + ℎ 𝑏𝑏0 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 , 𝑈𝑈𝑛𝑛+1 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + 𝐶𝐶 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + 𝐶𝐶 𝑏𝑏0 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 = 𝑈𝑈 𝐶𝐶 �𝑛𝑛 = ∑𝑘𝑘о=1(𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + ℎ 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 ). где 𝑈𝑈 𝐶𝐶 ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • Уравнению соответствуют резистивные схемы, показанные на рис. а, б. • Нетрудно видеть, что резистивная схема осталась такой же, изменились лишь параметры элементов. Для индуктивного элемента многошаговая формула имеет вид ℎ 𝐿𝐿 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1 𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=0 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 . • После перегруппировки слагаемых получим ℎ �𝑛𝑛 + 𝑏𝑏0 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 . 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 = 𝑈𝑈 𝐿𝐿 �𝑛𝑛 = ∑𝑘𝑘𝑗𝑗=1(𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + ℎ 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 ). где 𝑈𝑈 𝐿𝐿 ДИСКРЕТНЫЕ РЕЗИСТИВНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ИНДУКТИВНЫХ И ЕМКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ • После перегруппировки слагаемых получим 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 ℎ �𝑛𝑛 + 𝑏𝑏0 𝑖𝑖𝑛𝑛+1 . = 𝑈𝑈 𝐿𝐿 ℎ 𝑘𝑘 � где 𝑈𝑈𝑛𝑛 = ∑𝑗𝑗=1(𝑎𝑎𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 + 𝑏𝑏𝑗𝑗 𝑈𝑈𝑛𝑛+1−𝑗𝑗 ). 𝐿𝐿 • Следует особо отметить, что структура дискретных моделей одинакова для различных неявных методов, изменяются лишь значения резисторов и источников. • Дискретные схемы замещения могут быть получены и для явных методов численного интегрирования. Однако они содержат только независимые источники напряжения (для емкостных элементов) и тока (для индуктивных элементов). Резистивные элементы в таких моделях отсутствуют. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В УСТАНОВИВШЕМСЯ СИНУСОИДАЛЬНОМ РЕЖИМЕ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • При передаче информации токи и напряжения представляют непериодические функции времени. Однако расчеты линейных цепей и в этом случае могут быть выполнены с помощью методов, предназначенных для цепей синусоидального тока. Поэтому понимание процессов в цепях синусоидального тока и изучение методов расчета таких цепей имеют исключительно важное значение. • Токи и напряжения, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими. Наименьший промежуток времени, через который значения периодического тока повторяются, называют периодом. Для периодической функции f(t) справедливо равенство • где Т - период f(t). 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑓𝑓(𝑡𝑡 + 𝑇𝑇), СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • Величину, обратную периоду, называют циклической частотой: 1 𝜈𝜈 = . 𝑇𝑇 • Частота равна числу периодов в единицу времени. Она измеряется в герцах (ГЦ). • Простейшей периодической функцией является синусоидальная функция. Мгновенное значение синусоидальной функции времени определяется равенством 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 , здесь 𝐼𝐼𝑚𝑚 - амплитудное значение тока. • Значение аргумента синусоидальной функции называют фазой. Таким образом, аргумент 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 есть фаза синусоидального тока. Фаза измеряется в радианах или градусах. Скорость изменения аргумента 𝜔𝜔 называют угловой частотой. Угловая частота измеряется в радианах в секунду (рад/с). Она равна произведению частоты 𝜈𝜈 на 2𝜋𝜋: 𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋𝜈𝜈. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • Угол 𝜓𝜓 называют начальной фазой. Начальная фаза равна аргументу синусоидальной функции в момент начала отсчета времени. Если выбор начала отсчета времени не имеет принципиального значения, начальную фазу принимают равной нулю. • Следует отметить, что если в линейной цепи действуют синусоидальные источники одинаковой частоты, то все напряжения и токи ветвей являются синусоидами той же частоты. • В электроэнергетических системах России и стран Европы принята стандартная частота переменного тока, равная 50 Гц (период Т = 0,02 с). • В радиотехнике и электронике используют переменные токи частотой от 10 до 1010 Гц. Для генерирования синусоидального напряжения промышленной частоты используют электромашинные генераторы. Источниками более высоких частот служат транзисторные или ламповые генераторы. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • Реакцию цепи на действие входного сигнала можно представить в виде суммы свободной и принужденной составляющих. В дальнейшем будем полагать, что источники синусоидального напряжения были включены при t = -∞, так что к моменту t = 0 в цепи наблюдается установившийся синусоидальный режим. А величине переменного тока судят по его среднему или действующему значению. • Среднее значение периодической функции времени f(t) определяют по формуле 𝐹𝐹ср = Т 𝑓𝑓 ∫ Т 1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • Среднее значение синусоидальной функции за период равно нулю. Поэтому используют понятие среднего значения за половину периода: 𝑇𝑇/2 2 𝐹𝐹ср = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑇𝑇 • Среднее значение синусоидального тока за половину периода 𝐹𝐹СР 𝑇𝑇/2 2 2𝐼𝐼𝑚𝑚 ≈ 0,637𝐼𝐼𝑚𝑚 . = � 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑇𝑇 𝜋𝜋 • Тепловое действие тока, а также сила механического взаимодействия проводников с током пропорциональны квадрату тока. Потому о величине переменного тока судят обычно по его среднеквадратичному или действующему значению. СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • Действующее значение переменного тока i(t) определяется по формуле 𝑇𝑇 1 � 𝑖𝑖(𝑡𝑡) 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 . 𝑇𝑇 𝐼𝐼 = • Действующее значение синусоидального тока 𝐼𝐼 = 𝑇𝑇 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝐼𝐼 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝜔𝜔 ∫ 𝑚𝑚 𝑇𝑇 0 1 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 2 ≈ 0,707𝐼𝐼𝑚𝑚 . • За один период переменного тока в резисторе сопротивлением R выделяется тепловая энергия, определяемая выражением Т 𝑇𝑇 1 � 𝑅𝑅𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 � 𝑖𝑖 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝐼𝐼 2 𝑇𝑇. 𝑇𝑇 2 СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ • Из последней формулы следует, что действующее значение синусоидального тока равно такому постоянному току, при котором в резисторе за период выделяется такое же количество тепла, что и при переменном. • Действующие значения переменных токов и напряжений обозначают прописными буквами. Большинство измерительных приборов определяют действующие значения переменныx токов и напряжений. ДВУХПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ЦЕПЕЙ НА СИНУСОИДАЛЬНОМ ТОКЕ РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Пусть ток резистивного элемента изменяется по синусоидальному закону 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 SIN 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 . • В соответствии с законом ома напряжение резистора 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝐼𝐼𝑚𝑚 SIN 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 . • Напряжение резистивного элемента изменяется синусоидально, причем начальные фазы напряжения и тока одинаковы. • Разность начальных фаз двух синусоид одинаковой частоты называют фазовым сдвигом и обозначают символом 𝜑𝜑 . Фазовый сдвиг между напряжением и током резистивного элемента равен нулю. Говорят, что напряжение и ток резистивного элемента совпадают по фазе. • Амплитуды напряжения и тока резистивного элемента связаны законом ОМА 𝑈𝑈𝑚𝑚 = 𝑅𝑅𝐼𝐼𝑚𝑚 . РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • На рис. изображены резистивного элемента. временные диаграммы тока и напряжения • Мгновенная мощность, поглощаемая резистивным элементом, равна произведению мгновенных напряжения и тока: 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 2 (1 − cos 2𝜔𝜔𝜔𝜔) = 𝑈𝑈𝑈𝑈(1 − cos 2𝜔𝜔𝜔𝜔). 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 2 • Полученное выражение содержит два слагаемых. Первое слагаемое постоянная величина, равная произведению действующих значений напряжения и тока UI. Второе слагаемое - косинусоида удвоенной частоты 𝑈𝑈𝑈𝑈 cos 2𝜔𝜔𝜔𝜔. РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • График мгновенной мощности резистивного элемента показан на рис. • Мгновенная мощность резистивного элемента представляет пульсирующую функцию времени. Так как начальные фазы напряжения и тока резистора совпадают, мгновенная мощность p(t) всегда положительна. Это соответствует определению идеального резистивного элемента. • Среднее значение мгновенной мощности p(t) за период Т называют активной или средней мощностью: 𝑃𝑃 = 1 𝑇𝑇 ∫ 𝑝𝑝 𝑇𝑇 0 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. РЕЗИСТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Активная мощность 𝑃𝑃 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 = 𝑅𝑅𝐼𝐼 2 . • Активная мощность резистивного элемента действующих значений напряжения и тока. равна произведению ИНДУКТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Предположим, что ток индуктивного элемента изменяется синусоидально. Для упрощения выкладок примем начальную фазу тока равной нулю: 𝑖𝑖 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔. • Напряжение индуктивного элемента 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜋𝜋 𝑈𝑈 = 𝐿𝐿 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼𝑚𝑚 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼𝑚𝑚 sin(𝜔𝜔𝜔𝜔 + ) . 𝑑𝑑𝑑𝑑 2 • Ток индуктивного элемента отстает по фазе от приложенного напряжения на угол 𝜋𝜋 2 или на четверть периода, а амплитуда напряжения индуктивного элемента 𝑈𝑈𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼𝑚𝑚 = 𝑥𝑥𝐿𝐿 𝐼𝐼𝑚𝑚 . • Величину хL = 𝜔𝜔𝜔𝜔 , имеющую размерность сопротивления, называют индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление является линейной функцией частоты 𝜔𝜔. ИНДУКТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Временные диаграммы напряжения и тока индуктивного элемента показаны на рис. • Мгновенная мощность индуктивного элемента 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔. 2 • Учитывая, что действующие значения синусоидальных величин 𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 , 𝐼𝐼 2 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 , 2 окончательно получим 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔. ИНДУКТИВНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Мгновенная мощность индуктивного элемента представляет синусоиду, частота которой равна удвоенной частоте приложенного напряжения. Активная мощность, равная среднему значению мгновенной мощности за период, равна нулю: Р = 0. • Энергия, запасаемая в магнитном поле индуктивного элемента в первую четверть периода, во вторую четверть периода возвращается во внешнюю цепь. Это соответствует определению идеального индуктивного элемента, в соответствии с которым в этом элементе происходит только запасание энергии магнитного поля, а потери энергии отсутствуют. ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Предположим, что напряжение емкостного элемента – синусоидальная функция времени 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔. • Ток емкостного элемента 𝑑𝑑𝑈𝑈𝐶𝐶 𝜋𝜋 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑈𝑈𝑚𝑚 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑈𝑈𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝑡𝑡 + . 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐶𝐶 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Ток емкостного элемента опережает напряжение U(t) на угол четверть периода. Амплитуда тока 𝐼𝐼𝑚𝑚 = 𝜔𝜔𝜔𝜔𝑈𝑈𝑚𝑚 = 𝑏𝑏𝐶𝐶 𝑈𝑈𝑚𝑚 . 𝜋𝜋 2 или на • Величину bC, имеющую размерность проводимости, называют емкостной проводимостью. Величина, обратная емкостной проводимости, xC емкостное сопротивление: 𝑥𝑥𝐶𝐶 = 1 𝜔𝜔𝜔𝜔 . ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте приложенного напряжения. • Временные диаграммы напряжения и тока емкостного элемента показаны на рис. • Мгновенная мощность емкостного элемента 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 sin 2𝜔𝜔𝜔𝜔. 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 2 ЕМКОСТНЫЙ ЭЛЕМЕНТ • Как и в индуктивном элементе, мгновенная мощность емкостного элемента представляет синусоиду удвоенной частоты. Активная мощность емкостного элемента равна нулю. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД • Для анализа разветвленных цепей необходим аналитический метод, позволяющий упростить расчет и использовать методы, разработанные для цепей постоянного тока. • Таким методом является метод комплексных амплитуд или символический метод. Он основан на том, что синусоидальная функция известной частоты полностью характеризуется двумя вещественными числами: амплитудой Um и начальной фазой 𝜓𝜓. • Предположим, что напряжение источника в линейной цепи изменяется по закону 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 . • Будем использовать косинусную форму гармонической функции. Это упростит дальнейшие выкладки. Представим 𝑈𝑈 𝑡𝑡 в виде полусуммы двух сопряженных комплексных 1 2 (𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗 𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜓𝜓 чисел: + 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 −𝑗𝑗 𝜔𝜔𝜔𝜔+𝜓𝜓 ). 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓 = 𝑈𝑈 ′ 𝑡𝑡 + 𝑈𝑈𝑈 𝑡𝑡 = МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД • Представление гармонической функции в виде суммы комплексных экспонент удобно потому, что определить реакцию цепи на воздействие в форме экспоненты значительно проще, чем при гармоническом воздействии. • Действительно, дифференцирование комплексной экспоненты равносильно умножению её на 𝑗𝑗𝜔𝜔, а интегрированию 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 соответствует деление на 𝑗𝑗𝜔𝜔 : 𝑑𝑑 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑒𝑒 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 , 𝑑𝑑𝑡𝑡 � 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗. 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑗𝑗𝑗𝑗 • Поэтому поведение цепи при экспоненциальном воздействии описывается не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями. • В соответствии с принципом наложения реакцию цепи представим в виде суммы реакций на действие двух комплексных функций: ′ 1 • 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 2 𝑗𝑗𝜓𝜓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 и 𝑈𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 1 2 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝜓𝜓 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД • Очевидно, что составляющие реакции будут отличаться только знаком аргумента. Поэтому достаточно определить реакцию цепи на действие ′ только одной составляющей: 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 1 2 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜓𝜓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 . • Рассмотрим подробнее комплексную функцию 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜓𝜓 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 . • Величину 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜓𝜓 называют комплексной амплитудой. Модуль 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 равен амплитуде синусоидальной функции, а аргумент - ее начальной фазе. • Второй множитель в формуле - экспонента 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 имеет модуль, равный единице. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД • Комплексную амплитуду удобно представлять графически, в виде вектора на комплексной плоскости (рис.). Длина вектора пропорциональна амплитуде 𝑈𝑈𝑚𝑚 , а угол, образованный вектором и положительной вещественной полуосью, равен начальной фазе 𝜓𝜓. • на • Совокупность векторов, изображающих несколько синусоидальных функций одинаковой частоты, называют векторной диаграммой. • Векторная диаграмма позволяет наглядно судить о соотношениях между амплитудами и начальными фазами гармонических напряжений и токов цепи или ее участка. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД • Комплексная амплитуда не зависит от времени и является функцией частоты, так как ее модуль и аргумент (амплитуда и начальная фаза синусоидальной функции) зависят от частоты приложенного сигнала. Поэтому комплексную амплитуду гармонической функции можно рассматривать как преобразование временной функции в частотную область. • Наряду с комплексной амплитудой при расчете цепей синусоидального тока широко используют другую комплексную величину - комплексное действующее значение: 𝑈𝑈̇ = 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 2 = 𝑈𝑈𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜓𝜓 . • Комплексное действующее значение представляет комплексное число, модуль которого равен действующему значению гармонической функции, а аргумент - ее начальной фазе. Величины напряжением и током цепи. ̇ 𝑈𝑈𝑚𝑚 ̇ 𝑈𝑈 = 2 и ̇ ̇𝐼𝐼 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 2 называют комплексными МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД • Расчет цепи синусоидального тока символическим методом проводится в следующем порядке. На первом этапе гармонические токи и напряжения заменяют комплексными амплитудами и определяют комплексные сопротивления ветвей цепи. Затем составляют систему уравнений для комплексных амплитуд в соответствии с любым методом анализа резистивных цепей. • Решая полученные уравнения, находят комплексные значения искомых токов и напряжений. • При анализе цепей синусоидального тока операции над гармоническими функциями можно заменить операциями над комплексными амплитудами, которые являются символическими изображениями этих функций. Соответствующий метод получил название метода комплексных амплитуд или символического метода. Метод комплексных амплитуд был разработан американскими электротехниками А. Кеннели и Ч. Штейнметцем. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ • Рассмотрим участок цепи, напряжение и ток которого изменяются по гармоническому закону: 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓𝑈𝑈 , • Соответствующие комплексные амплитуды: • Отношение 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜓𝜓𝑈𝑈 , 𝑍𝑍 = 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 ̇ 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 + 𝜓𝜓𝐼𝐼 . ̇ = 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜓𝜓𝐼𝐼 . 𝐼𝐼𝑚𝑚 • Называют комплексным сопротивлением участка цепи. Формула выражает закон Oма в комплексной форме. • Представим комплексное сопротивление в показательной форме: 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 𝑍𝑍 = = 𝑍𝑍𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑 𝐼𝐼 ̇ КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ • Модуль комплексного сопротивления равен (действующих значений) напряжения и тока: 𝑍𝑍 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 отношению амплитуд . • Его называют полным сопротивлением. • Аргумент комплексного сопротивления 𝜑𝜑 = 𝜓𝜓𝑈𝑈 − 𝜓𝜓𝐼𝐼 равен углу сдвига фаз между напряжением и током. Он положителен при отстающем токе (индуктивная нагрузка) и отрицателен при опережающем токе (емкостная нагрузка). • Запишем комплексное сопротивление в алгебраической форме: 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗𝑗𝑗. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ • Вещественную часть комплексного сопротивления R=Z cos𝜑𝜑 называют активным сопротивлением. Мнимую часть комплексного сопротивления Х=Z sin𝜑𝜑 называют реактивным сопротивлением. • Полное сопротивление 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 2 + 𝑋𝑋 2 . • Величину, обратную комплексному сопротивлению называют комплексной проводимостью: ̇ 1 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑌𝑌 = = = 𝑌𝑌𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝜑𝜑 . 𝑍𝑍 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚 • Модуль комплексной проводимости 𝑌𝑌 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 𝑈𝑈𝑚𝑚 - полная проводимость. • В алгебраической форме комплексная проводимость 𝑌𝑌 =G – jB. • G =Ycos𝜑𝜑 называют активной проводимостью. • В =Ysin𝜑𝜑 называют реактивной проводимостью. КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ • Нетрудно установить связь между активными и реактивными составляющими комплексных сопротивления и проводимости: 𝑌𝑌 = 1 𝑍𝑍 = 1 𝑅𝑅+𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑅𝑅 𝑅𝑅 2 +𝑋𝑋 2 − 𝑗𝑗 𝑋𝑋 𝑅𝑅 2 +𝑋𝑋 2 . • Активная и реактивная проводимости равны соответственно: G= • Аналогично R= 𝑅𝑅 𝑅𝑅 2 +𝑋𝑋 2 𝐺𝐺 𝐺𝐺 2 +𝐵𝐵2 , , B= X= 𝑋𝑋 𝑅𝑅 2 +𝑋𝑋 2 𝐵𝐵 𝐺𝐺 2 +𝐵𝐵2 . . КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ • Определим комплексные сопротивления двухполюсных элементов. Соотношения между комплексами напряжения и тока на зажимах резистивного, индуктивного и емкостного элементов следующие: 𝑈𝑈̇ 𝑅𝑅 = 𝑅𝑅𝐼𝐼,̇ 𝑈𝑈̇ 𝐿𝐿 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔𝐼𝐼,̇ • Соответственно комплексные сопротивления 𝑈𝑈̇ 𝑅𝑅 𝑍𝑍𝑅𝑅 = = 𝑅𝑅, ̇𝐼𝐼𝑅𝑅 𝑈𝑈̇ С = 1 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝐼𝐼.̇ 𝑈𝑈̇ 𝐿𝐿 𝑍𝑍𝐿𝐿 = = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 = 𝑗𝑗𝑋𝑋𝐿𝐿 , ̇𝐼𝐼𝐿𝐿 𝑈𝑈̇ 𝐶𝐶 1 𝑗𝑗 =− = −𝑗𝑗𝑋𝑋𝐶𝐶 . 𝑍𝑍𝐶𝐶 = = ̇𝐼𝐼𝐶𝐶 𝑗𝑗𝜔𝜔𝐶𝐶 𝜔𝜔𝜔𝜔 КОМПЛЕКСНЫЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ. ЗАКОН ОМА В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ • Комплексные сопротивления при последовательном или параллельном соединениях элементов находят так же, как и в случае резистивных цепей постоянного тока. Если известно комплексное сопротивление участка цепи, то по заданной амплитуде тока можно найти комплексную амплитуду напряжения. • МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА • Рассмотрим двухполюсную цепь, ток и напряжение которой изменяются синусоидально: 𝑈𝑈 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝜔𝜔, 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑚𝑚 sin 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑 . • Мгновенная мощность равна произведению мгновенных значений напряжения и тока: 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 𝐼𝐼𝑚𝑚 [𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 2 − cos(2𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑)]. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА • Мгновенная мощность, потребляемая двухполюсником, колеблется с удвоенной угловой частотой 2 𝜔𝜔 . В формуле есть две составляющих: постоянная и переменная, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой 2𝜔𝜔. • Графики напряжения, тока и мгновенной мощности для случая cos 𝜑𝜑 = 0.6 показаны на рис. а, б. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА • Если фазовый сдвиг между напряжением и током 𝜑𝜑 ≠ 0, то мгновенная мощность может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Когда мгновенная мощность положительна, энергия поглощается двухполюсником. В промежутки времени, когда мгновенная мощность отрицательна, энергия частично возвращается во внешнюю цепь. • Среднее значение мгновенной мощности за период называют активной или средней мощностью. Поскольку второе слагаемое в является гармонической функцией, его среднее значение равно нулю. Поэтому активная мощность рассматриваемой цепи 𝑇𝑇 1 𝑝𝑝 = � 𝑈𝑈 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑈𝑈𝑈𝑈 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑. 𝑇𝑇 МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА • Множитель cos 𝜑𝜑 называют коэффициентом мощности. Повышение коэффициента мощности представляет важную технико-экономическую задачу. •Чем ближе cos𝜑𝜑 к единице, тем большая активная мощность передается приемнику при заданных значениях напряжения и тока. Промышленные электротехнические установки обладают не только активной, но и реактивной мощностью, которая обусловлена наличием большого числа электродвигателей. •Одним из способов компенсации реактивной мощности и повышения за счет этого cos 𝜑𝜑 является включение конденсаторных батарей в узлах электрической системы. Величину, равную произведению действующих значений напряжения и тока, называют полной мощностью: S = UI МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА • Полная мощность равна амплитуде пульсаций мгновенной мощности. Единицей измерения полной мощности является вольт-ампер (ВА). Коэффициент мощности равен отношению активной мощности p к полной S: cos𝜑𝜑= 𝑝𝑝 𝑆𝑆 . • Активная мощность равна полной только при cos𝜑𝜑 = 1, т. е. при совпадении фаз напряжения и тока. • Полную мощность можно рассматривать как модуль комплексной величины, называемой комплексной мощностью: ̇ ∗ = 𝑆𝑆𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑 = 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝜑𝜑 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑗𝑗. 𝑆𝑆̃ = 𝑈𝑈𝐼𝐼 • Вещественной частью комплексной мощности является активная мощность P. Мнимую часть комплексной мощности называют реактивной мощностью: 𝑄𝑄 = 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА • Единицей измерения реактивной мощности является вольт-ампер реактивный (вар). Реактивная мощность характеризует процессы запасания энергии в цепи. Она численно равна максимальной скорости обмена энергией между двухполюсником и внешней цепью. Реактивная мощность положительна при отстающем токе (т. e. при индуктивной нагрузке, когда 𝜑𝜑 > 0) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка, когда 𝜑𝜑 < 0). Из формулы для 𝑆𝑆̃ и определения полной мощности следует, что 𝑆𝑆 = 𝑃𝑃2 + 𝑄𝑄2 . • С помощью теоремы Телледжена можно показать, что для любой электрической цепи выполняется баланс комплексных мощностей: сумма комплексных мощностей, отдаваемых источниками, равна сумме комплексных мощностей, потребляемых приемниками. Отсюда следует, что равны нулю алгебраические суммы активных и реактивных мощностей цепи. РЕЗОНАНС И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ В РАДИОЭЛЕКТРОНИКЕ • Резонанс - такой режим цепи синусоидального тока, содержащей индуктивные и емкостные элементы, при котором реактивное сопротивление и проводимость равны нулю. При резонансе приложенное напряжение и входной ток совпадают по фазе. Цепи, в которых возникает явление резонанса, называют резонансными цепями или колебательными контурами. • Резонанс напряжений наблюдается в цепях с последовательным соединением ветвей, содержащих L и C элементы. • В цепях с параллельным соединением ветвей, содержащих L и С элементы, может наблюдаться резонанс токов. • В электротехнических установках резонанс часто оказывается опасным и нежелательным явлением, так как может привести к авариям вследствие перегрева элементов электрической цепи или пробоя изоляции при перенапряжениях. В то же время резонансные явления находят широкое применение в радиоэлектронике. Резонансные контуры входят в состав многих радиотехнических устройств. Например, электронные фильтры являются сложными резонансными системами. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Простейшей цепью, в которой наблюдается резонанс напряжений, является последовательный колебательный контур • Комплексное сопротивление такой цепи 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 + 𝑗𝑗 𝜔𝜔𝜔𝜔 − • Реактивное сопротивление 1 𝜔𝜔𝜔𝜔 . 1 𝑋𝑋 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 • Изменяется от - ∞ до ∞ при изменении частоты 𝜔𝜔 от 0 до ∞. На рис. а показаны графики зависимости сопротивлений XL =𝜔𝜔L, ХС = 1 и 𝜔𝜔С X(𝜔𝜔) от частоты. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Каждому значению частоты 𝜔𝜔 соответствует определенное значение комплексного сопротивления 𝑍𝑍 . На комплексной плоскости его можно изобразить с помощью вектора. При изменении от 0 до ∞ конец вектора 𝑍𝑍. Перемещается из точки с координатами {R,-∞} в точку {R,∞}. Годограф вектора Z. Показан на рис. б. Резонанс напряжений наступает, когда реактивное сопротивление обращается в нуль, т. е. 1 = 0. 𝑋𝑋 = 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 • Это происходит при резонансной частоте 𝜔𝜔0 , когда • Отсюда следует, что колебательного контура 𝜔𝜔0 1 𝜔𝜔0 𝐿𝐿 = 𝜔𝜔0 𝐶𝐶 резонансная = 1� 𝐿𝐿𝐿𝐿 . частота последовательного РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Резонанс напряжений характеризуется следующими факторами. Поскольку при резонансе напряжений реактивное сопротивление Х = 0, полное сопротивление цепи принимает минимальное значение 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅2 + 𝑋𝑋 2 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚. • Вследствие этого ток в цепи достигает максимального значения. При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, поэтому коэффициент мощности cos𝜑𝜑= 1. • Сопротивления индуктивного и емкостного элементов в схеме на рис. при резонансе равны: • 𝑋𝑋𝐶𝐶 = 𝑋𝑋𝐿𝐿 = 𝜔𝜔0 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿 𝐶𝐶 . РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Эту величину называют характеристическим сопротивлением контура и обозначают 𝜌𝜌: 𝜌𝜌 = 𝐿𝐿 . 𝐶𝐶 • Напряжение индуктивного элемента при резонансе 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑗𝑗𝜔𝜔0 𝐿𝐿𝐿𝐿. • Учитывая, что при резонансе входное напряжение равно напряжению резистивного элемента, получим 𝜌𝜌 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝑈𝑈вх = 𝑄𝑄𝑈𝑈вх . 𝑅𝑅 • Величину Q= 𝜌𝜌 𝑅𝑅 . Называют добротностью колебательного контура. Она характеризует резонансные свойства контура. Легко показать, что добротность равна отношению напряжения на индуктивном и, следовательно, на емкостном элементах в режиме резонанса к напряжению, приложенному к контуру. Действительно, при резонансе 𝑈𝑈𝐶𝐶 = 𝑈𝑈𝐿𝐿 = 𝜌𝜌I, а входное напряжение 𝑈𝑈 = RI. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Следовательно, 𝑄𝑄 = 𝜌𝜌𝐼𝐼 𝑅𝑅𝐼𝐼 = 𝑈𝑈𝐿𝐿 𝑈𝑈вх = 𝑈𝑈С 𝑈𝑈вх . • Добротность последовательного колебательного контура тем выше, чем меньше активное сопротивление R. В радиотехнике используют колебательные контуры, добротность которых превышает 100. Если такой колебательный контур настроен в резонанс, напряжение индуктивного и емкостного элементов во много раз превышает входное. Это свойство колебательных контуров широко используется в радиоэлектронике для выделения (селекции) сигналов определенной частоты. • Будем считать, что амплитуда питающего напряжения неизменна, а угловая частота 𝜔𝜔 изменяется от 0 до ∞. Рассмотрим, как изменяются при этом ток и напряжения элементов последовательного контура. На постоянном токе, при 𝜔𝜔 = 0, емкостное сопротивление бесконечно велико. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Ток и напряжение индуктивного элемента равны нулю, а напряжение емкостного элемента равно входному. При бесконечно большой частоте индуктивный элемент представляет разрыв, поэтому ток также равен нулю. Напряжение индуктивного элемента равно входному, а емкостный элемент эквивалентен короткому замыканию. Максимального значения ток достигает на резонансной частоте, когда сопротивление последовательного контура минимально: I = U/R. РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ • Зависимости UL, UC, I от частоты 𝜔𝜔 для случая, когда добротность последовательного колебательного контура Q = 2, показаны на рис.а. Такие зависимости называют частотными или резонансными характеристиками. • На рис.б построены частотные характеристики напряжения UR( 𝜔𝜔 ) в последовательном колебательном контуре для различных значений добротности. Они показывают, что резонансные явления в контуре проявляются тем сильнее, чем выше добротность. РЕЗОНАНС ТОКОВ • Простейшей цепью, в которой может наблюдаться резонанс токов, является параллельный колебательный контур (рис.). • Комплексная проводимость контура • Реактивная проводимость контура 1 𝑌𝑌 = 𝐺𝐺 + 𝐽𝐽 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 . 1 𝐵𝐵 = 𝑗𝑗 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 . • Изменяется от - ∞ до +∞ при изменении частоты от 0 до ∞. Частотные 1 характеристики проводимостей bС = 𝜔𝜔𝐶𝐶 , bL = 𝜔𝜔𝐿𝐿 и реактивной проводимости В аналогичны частотным характеристикам сопротивлений ХL, ХС и Х последовательного колебательного контура (рис. a). РЕЗОНАНС ТОКОВ • Резонанс токов наступает, когда реактивная проводимость обращается в нуль: 𝐵𝐵 = 1 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜔𝜔𝜔𝜔 = 0. 1 • Резонансная частота 𝜔𝜔0 = . 𝐿𝐿𝐿𝐿 • На резонансной частоте полная проводимость контура минимальна: 𝑌𝑌 𝜔𝜔0 = 𝐺𝐺. • Соответственно полное сопротивление параллельного колебательного контура 𝑍𝑍 𝜔𝜔0 = 𝑌𝑌 1 𝜔𝜔0 . • На частоте резонанса максимально 𝑌𝑌 𝜔𝜔0 . Следовательно, при резонансе токов ток неразветвленной части цепи имеет наименьшее значение и равен 𝑈𝑈 току резистивного элемента: Iрез = . 𝑅𝑅 РЕЗОНАНС ТОКОВ • При резонансе токи емкостного и индуктивного элементов по модулю равны: 𝐼𝐼𝐶𝐶 = 𝜔𝜔0 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑄𝑄𝑄𝑄. • При резонансе они в Q раз больше, чем ток неразветвленной части цепи. Величину Q = 𝑅𝑅 𝜌𝜌 называют добротностью параллельного колебательного контура. Как и в случае последовательного колебательного контура, характеристическое сопротивление 𝜌𝜌 = 𝐿𝐿 . 𝐶𝐶 • Добротность параллельного колебательного контура тем больше, чем больше сопротивление резистора R, включенного параллельно индуктивному и емкостному элементам. РЕЗОНАНС ТОКОВ • Пример. Определить резонансную частоту и сопротивление параллельного колебательного контура, показанного на рис. Резистор, включенный последовательно с индуктивным элементом, учитывает активное сопротивление реальной индуктивной катушки. • Комплексная проводимость контура 𝑌𝑌 = 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 1 + 𝑅𝑅+𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑅𝑅 𝑅𝑅2 +(𝜔𝜔𝐿𝐿)2 𝐿𝐿−𝜔𝜔2 𝐿𝐿2 𝐶𝐶−𝑅𝑅2 𝐶𝐶 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 . 𝑅𝑅2 +(𝜔𝜔𝜔𝜔)2 • При резонансе реактивная проводимость контура обращается в нуль 𝐵𝐵рез 𝐿𝐿 − 𝜔𝜔2 𝐿𝐿2 𝐶𝐶 − 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 = 𝜔𝜔 = 0. 𝑅𝑅 2 + (𝜔𝜔𝜔𝜔)2 • Из последнего выражения найдем резонансную частоту: 𝜔𝜔рез = 𝐿𝐿 − 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 . 2 𝐿𝐿 𝐶𝐶 РЕЗОНАНС ТОКОВ • Сопротивление контура при резонансе 𝑍𝑍рез = 𝑅𝑅рез 𝑅𝑅 𝐿𝐿 = 2 = . 2 𝑅𝑅 + (𝜔𝜔рез 𝐿𝐿) 𝑅𝑅𝑅𝑅 • Резонансная частота и сопротивление параллельного колебательного контура зависят от активного сопротивления катушки. Более того, чем больше это сопротивление, тем меньше сопротивление контура при резонансе. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ (КОМПЛЕКСНЫЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ) • Сопротивления индуктивных и емкостных элементов являются функциями частоты приложенного напряжения. Поэтому изменение частоты гармонических колебаний входного воздействия приводит к изменению амплитуды и начальной фазы реакции. Частотную зависимость отношений амплитуд реакции и входного воздействия называют амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость разности начальных фаз реакции и входного воздействия от частоты - фазочастотной характеристикой. • Электронные цепи, которые служат для передачи сигналов, имеют обычно две пары внешних зажимов, т. е. являются четырехполюсниками (рис.). • Передающие свойства четырехполюсника характеризуют передаточными функциями. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Комплексной передаточной функцией называют отношение комплексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде входного воздействия. Поскольку входным воздействием и реакцией могут быть ток или напряжение, различают четыре вида передаточных функций. • Функция передачи напряжений равна отношению напряжений на выходе и на входе цепи: 𝐻𝐻𝑈𝑈 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑈𝑈̇ 2 . 𝑈𝑈̇ 1 • Здесь 𝑈𝑈̇ 1 , 𝑈𝑈̇ 2 - комплексные напряжения соответственно на входе и выходе цепи. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Функция передачи тока равна отношению выходного и входного токов: 𝐻𝐻1 𝑗𝑗𝜔𝜔 = • Передаточным сопротивлением напряжения 𝑈𝑈̇ 2 к входному току 𝐼𝐼1̇ : 𝐼𝐼2̇ 𝐼𝐼1̇ называют 𝑍𝑍21 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑈𝑈̇ 2 . ̇𝐼𝐼1 𝑌𝑌21 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝐼𝐼2̇ . 𝑈𝑈̇ 1 отношение выходного • Передаточная проводимость - это отношение выходного тока 𝐼𝐼2̇ напряжению на входе 𝑈𝑈̇ 1 : к КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Особенности передаточных функций. • Во-первых, для однозначного определения передаточной необходимо указать направления токов и напряжений. функции • Во-вторых, следует помнить, что первый индекс соответствует выходу, а второй - входу. • В-третьих, передаточное сопротивление 𝑍𝑍21 𝑗𝑗𝜔𝜔 не является величиной, обратной проводимости 𝑌𝑌21 𝑗𝑗𝜔𝜔 . • Представим комплексную передаточную функцию в показательной форме записи: 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜔𝜔) . КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Модуль комплексной передаточной функции определяет амплитудночастотную характеристику, а аргумент - фазочастотную характеристику. • Запишем комплексную амплитуду входного воздействия в показательной форме 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚1 = 𝑈𝑈𝑚𝑚1 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑1 . • Комплексная амплитуда реакции 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚𝑚 = 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑈𝑈̇ 𝑚𝑚1 = 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗(𝜔𝜔) 𝑈𝑈𝑚𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜑𝜑1 . • Амплитуда реакции равна произведению амплитуды входного воздействия на модуль комплексной передаточной функции: 𝑈𝑈𝑚𝑚2 = 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑈𝑈𝑚𝑚𝑚. • Начальная фаза реакции равна сумме начальной фазы входного воздействия и значения фазочастотной характеристики на частоте 𝜔𝜔: Ψ2 = Ψ1 + 𝜑𝜑 𝜔𝜔 . КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Поскольку 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 - комплексная величина, ее можно изобразить вектором на комплексной плоскости. Длина вектора равна значению АЧХ на частоте 𝜔𝜔 , а угол, который образует вектор с вещественной положительной полуосью - значению ФЧХ. С изменением частоты конец вектора опишет кривую, которую называют годографом комплексной передаточной функции или амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ). Годограф 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 строят при изменении частоты 𝜔𝜔 от 0 до ω → ∞. • Функции цепи можно найти как отношение определителей и алгебраических дополнений матриц коэффициентов системы узловых или контурных уравнений. В качестве примера рассмотрим четыреxполюсную цепь, на входе которой действует источник тока (рис. На следующем слайде). КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Входным является узел 1, а выходным - узел 2. Напряжения входного и • выходного узлов: 𝐷𝐷11 ; 𝑈𝑈̇ 1 = 𝐷𝐷 (−1)1+2 𝐷𝐷12 . 𝑈𝑈̇ 2 = 𝐷𝐷 • Здесь D - главный определитель системы узловых уравнений, 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 - минор, полученный вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Комплексная передаточная функция 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑈𝑈̇ 2 𝑈𝑈̇ 1 = (−1)1+2 𝐷𝐷12 𝐷𝐷 . • В общем случае, если входным является узел номером i, а выходным – узел j, передаточная функция определяется формулой 𝑈𝑈̇𝑗𝑗 (−1)1+2 𝐷𝐷𝑖𝑖𝑖𝑖 . 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = = 𝐷𝐷 𝑈𝑈̇ 𝑖𝑖 • Элементы матрицы контурных или узловых уравнений являются рациональными функциями частоты 𝑗𝑗𝜔𝜔. Поскольку суммы, произведения и разности рациональных функций также рациональные функции, комплексные функции линейных цепей являются дробно-рациональными функциями, т. е. отношением полиномов от 𝑗𝑗𝜔𝜔 . Все коэффициенты в числителе и знаменателе функции цепи - вещественные числа. Порядок функции цепи равен суммарному числу реактивных элементов. КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Пример. Определить комплексную передаточную интегрирующей RС-цепи, показанной на рис. • Комплексная передаточная функция представляет отношение комплексов напряжения на входе и выходе цепи: 𝑈𝑈̇𝑗𝑗 1 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = = . 𝑈𝑈̇ 𝑖𝑖 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 + 1 • Амплитудно-частотная характеристика 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 • Фазочастотная характеристика • = 1 . (𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔)2 +1 𝜑𝜑 𝜔𝜔 = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑗𝑗𝜔𝜔 = −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎. функцию КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • Графики АЧХ и ФЧХ анализируемой цепи показаны на рис. а, б. Амплитудно-частотная характеристика RС-цепи монотонно убывает с ростом частоты и стремится к нулю при 𝜔𝜔 → ∞ . Фазочастотная характеристика также монотонно убывает, изменяясь от 0 при 𝜔𝜔 =0 до − при 𝜔𝜔 → ∞. 𝜋𝜋 2 КОМПЛЕКСНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ • На рис. показан график амплитудно-фазовой характеристики цепи. Годограф 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 представляет кривую, начинающуюся в точке с координатами (1, 0) и заканчивающуюся в точке (0, 0). ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ • В технике связи, теории автоматического регулирования широко используются устройства, у которых значения амплитудно-частотных характеристик изменяются в очень широких пределах. Примером являются резонансные контуры, используемые в радиотехнике, электрические фильтры, усилители и т. д. В таких случаях удобнее оперировать логарифмическими частотными характеристиками (ЛАХ), которые пропорциональны логарифму от соответствующей безразмерной АЧХ. Обычно используют аббревиатуры ЛАХ или ЛАЧХ. ЛАХ принято оценивать в децибелах (дБ): 𝐴𝐴 𝜔𝜔 = 10𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜔𝜔 , • где 𝑙𝑙𝑙𝑙 - логарифм с основанием 10. Переход к логарифмической шкале позволяет существенно «сжать» пределы изменения амплитудно-частотных характеристик. Усилению сигнала в два раза соответствует приращение 𝐴𝐴 𝜔𝜔 на 6 дБ; усилению в 10 раз соответствует значение 𝐴𝐴 𝜔𝜔 , равное 20 дБ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ • Величину 𝐴𝐴 𝜔𝜔 называют логарифмическим усилением или усилением в децибелах. Усилению сигнала соответствуют положительные значения 𝐴𝐴 𝜔𝜔 , ослаблению - отрицательные значения логарифмического усиления. • При исследовании ЛАЧХ в широком диапазоне частот изменение частоты также целесообразно оценивать в логарифмических единицах. • Отношение частот двух гармонических колебаний называют интервалом, а интервал, соответствующий удвоению частоты, - октавой. Например, изменению частоты в четыре раза соответствует интервал в две октавы, а восьмикратному увеличению частоты - в три октавы. Число октав N2 может быть приближенно найдено из формулы 𝜔𝜔2 𝑁𝑁2 ≈ 3,321𝑙𝑙𝑙𝑙 . 𝜔𝜔1 ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ • Интервал, соответствующий изменению частоты в десять раз, называют декадой. Число декад определяется формулой 𝑁𝑁10 𝜔𝜔2 ≈ 𝑙𝑙𝑙𝑙 . 𝜔𝜔1 • Изменению частоты в 10 раз соответствует одна декада, в 100 раз – две декады и т. д. • Использование логарифмического масштаба позволяет рассмотреть изменение частотных характеристик в широком диапазоне на небольшом графике. Кроме того, умножение передаточных функций отдельных звеньев сложной цепи заменяется суммированием ЛАХ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • В электронных цепях, которые служат для передачи информации, напряжения и токи несинусоидальны. Методы расчета синусоидальных режимов для таких цепей неприменимы. При расчетах линейных цепей несинусоидального тока используют разложение периодической функции f(t) в ряд Фурье. Для этого функцию f(t) представляют в виде суммы гармоник кратных частот. Если цепь линейна, то мы можем рассчитать ее для каждой гармоники в отдельности, используя символический метод, а затем просуммировать полученный результат. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • Если периодическая несинусоидальная функция отвечает условиям дирихле, она может быть представлена в виде гармонического ряда Фурье. Ряд Фурье в тригонометрической форме имеет вид 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎0 2 + ∑∞ 𝑛𝑛=1 𝑎𝑎𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 , где 𝜔𝜔1 = 2𝜋𝜋 ,Т Т период функции. • Теорема Дирихле (достаточные условия представления функции в виде суммы её ряда Фурье). Пусть функция f(x ): • 1. Периодическая, с периодом Т=2ℓ; • 2. Кусочно-непрерывная на любом конечном промежутке [x1, x2] и может иметь разрывы только I рода; • 3. Кусочно-монотонная. • Тогда ряд Фурье, составленный для этой функции, сходится к функции f(x) в каждой точке непрерывности и к среднему арифметическому односторонних пределов в точках разрыва первого рода. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • Коэффициенты аn и 𝑏𝑏𝑛𝑛 вычисляются по формулам 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛 = 2 Т⁄2 ∫ 𝑓𝑓 Т −Т⁄2 2 Т⁄2 ∫ 𝑓𝑓 Т −Т⁄2 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. • 𝑎𝑎0 /2 - постоянная составляющая, равная среднему значению функции 𝑓𝑓(𝑥𝑥) за период. • Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называют дискретным частотным спектром. Дискретным его называют потому, что частоты отдельных гармоник отличаются друг от друга на частоту первой гармоники. Совокупность амплитуд гармоник называют амплитудным спектром, а совокупность начальных фаз – фазовым спектром. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • По амплитудному спектру можно судить не только об амплитудах, но и о мощности несинусоидального колебания. Предположим, что ток резистивного элемента сопротивлением 1 Ом изменяется по закону f(t). Мгновенная мощность, выделяемая в резисторе, 2 𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑖𝑖 𝑅𝑅 = 𝑓𝑓 2 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎0 [2 ∞ + ∑𝑛𝑛=1 𝐴𝐴𝑛𝑛 sin(𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + Ψ𝑛𝑛 )]2 . • Активная мощность равна среднему значению мгновенной мощности: 𝑇𝑇 1 𝑝𝑝 = � 𝑓𝑓 2 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑇𝑇 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • Используя терему Парсеваля, получим 𝑎𝑎0 𝑝𝑝 = 2 2 ∞ 𝐴𝐴2𝑛𝑛 +� . 2 𝑛𝑛=0 • В случае если периодическая функция обладает каким-либо видом симметрии, это облегчает разложение в ряд Фурье, поскольку некоторые гармоники могут отсутствовать. Рассмотрим конкретные виды симметрии. • Случай 1. Функция 𝑓𝑓(𝑡𝑡) симметрична относительно оси ординат (рис.): 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(−𝑡𝑡). ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • Такие функции называют четными. Разложение в ряд Фурье четной функции содержит только косинусы: ∞ 𝑎𝑎0 + � 𝑎𝑎𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2 𝑛𝑛=1 . • Так как 𝑓𝑓 𝑥𝑥 четная, а sin(𝑛𝑛𝜔𝜔1t) - нечетная функция аргумента, то интеграл, входящий в формулу равен нулю. Следовательно, коэффициенты 2 Т⁄ 2 −Т⁄2 𝑏𝑏𝑛𝑛 = ∫ Т 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, 𝑛𝑛 = 1, 2, … . ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • Случай 2. Функция 𝑓𝑓(𝑡𝑡) симметрична относительно начала координат (рис.): −𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑓𝑓(−𝑡𝑡). • В этом случае разложение 𝑓𝑓 𝑥𝑥 в ряд Фурье содержит только синусные составляющие: 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎0 2 ∞ + ∑𝑛𝑛=1 𝑏𝑏𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 • Случай 3. Функция 𝑓𝑓 𝑡𝑡 симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов во времени, т.е. 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = - 𝑓𝑓 𝑡𝑡 + разложении функции 𝑓𝑓 𝑡𝑡 в ряд фурье получим 𝑇𝑇 2 . При ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = ∑∞ 𝑛𝑛=1 𝑎𝑎0 2 + ∑∞ 𝑛𝑛=1 𝑎𝑎𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑇𝑇 𝑇𝑇 =− 𝑎𝑎𝑛𝑛 cos 𝑛𝑛𝜔𝜔1 (𝑡𝑡 + ) + 𝑏𝑏𝑛𝑛 sin 𝑛𝑛𝜔𝜔1 (𝑡𝑡 + ) . 2 2 𝑎𝑎0 2 − • Из последнего равенства следует, что четные гармоники, а также ао/2 равны нулю, т. е. аn =bn =0, n =0, 2, 4, .... примером такой функции может служить последовательность прямоугольных импульсов (рис.). Разложение в ряд Фурье такой функции содержит только нечетные гармоники: • 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 4𝑈𝑈 𝜋𝜋 1 1 (sin 𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 3 sin 3𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 5 sin 5𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + ⋯ ). Здесь U - амплитуда прямоугольных импульсов. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. АМПЛИТУДНЫЙ И ФАЗОВЫЙ СПЕКТРЫ ПЕРИОДИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ • Заметим, что при переносе начала отсчета график функции может оказаться симметричным относительно начала координат или относительно оси ординат. Это приведет к изменению начальных фаз гармоник. Однако с помощью переноса начала отсчета изменить состав гармоник нельзя. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Представим функции sin(n𝜔𝜔1t) и cos(n𝜔𝜔1t) известными равенствами: 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 +𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 cos(n𝜔𝜔1 t)= ; 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 −𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 sin(n𝜔𝜔1 t)= . 2𝑗𝑗 подставив последние равенства в соотношение, получим 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑎𝑎0 2 1 + ∑∞ 𝑛𝑛=1 2 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 . • Нетрудно показать, что коэффициент 𝑎𝑎𝑛𝑛 - четная, а 𝑏𝑏𝑛𝑛 - нечетная функция индекса n, т.е. 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑎𝑎−𝑛𝑛 , 𝑏𝑏𝑛𝑛 = - 𝑏𝑏𝑛𝑛 поэтому элемент – 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 можно рассматривать как слагаемое с отрицательным индексом. Изменив нижний предел суммирования в формуле на - ∞, получим ∞ ∞ 𝑛𝑛=−∞ 𝑛𝑛=−∞ 1 1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = � 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑒𝑒 = � 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 . 2 2 КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Здесь 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 - комплексный коэффициент ряда Фурье. Представим 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 в показательной форме: 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 =𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑗𝑗Ψ𝑛𝑛 . Здесь 𝐴𝐴𝑛𝑛 2 = 𝑎𝑎𝑛𝑛2 + 𝑏𝑏𝑛𝑛2 ; ,Ψ𝑛𝑛 = − 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑔𝑔 𝑎𝑎 . 𝑛𝑛 • При n =0 𝑏𝑏0 = 0 и (𝑎𝑎𝑛𝑛 - 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 )/2 = 𝑎𝑎0 /2. • Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме ∞ 1 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = � 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 . 2 𝑛𝑛=−∞ • Формула имеет простую геометрическую интерпретацию. В соответствии с ней каждая гармоника может быть представлена в виде полусуммы двух векторов, вращающихся навстречу друг другу с угловой скоростью 𝑛𝑛𝜔𝜔1 (рис.). Амплитуды этих векторов 𝐴𝐴𝑛𝑛 , а начальные фазы равны Ψ𝑛𝑛 . КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Совокупность комплексных коэффициентов гармоник аn называют комплексным частотным спектром функции 𝑓𝑓 𝑡𝑡 . Амплитуды гармоник 𝐴𝐴𝑛𝑛 образуют амплитудный спектр, а начальные фазы Ψ𝑛𝑛 - фазовый спектр. • Выведем теперь соотношение, определяющее комплексные амплитуды гармоник. В соответствии с формулой для ряда КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎𝑛𝑛 − 𝑗𝑗𝑏𝑏𝑛𝑛 = 𝑇𝑇 2 2 � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)(cos 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑛𝑛𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑇𝑇 −𝑇𝑇 2 • с помощью известных равенств получим 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 𝑇𝑇 2 2 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 − 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 )𝑑𝑑𝑑𝑑. = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)( − 𝑗𝑗 𝑇𝑇 −𝑇𝑇 2 2 2 • Из последнего выражения следует, что комплексный коэффициент ряда Фурье 𝑇𝑇 2 𝑇𝑇 − 2 2 ̇ 𝐴𝐴𝑛𝑛 = ∫ 𝑓𝑓(𝑡𝑡) 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑇𝑇 • Если функция 𝑓𝑓(𝑡𝑡) - вещественная, то из формулы (7.8) следует, что комплексная комплексно-сопряженная, а амплитудный спектр амплитуда 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 = 𝐴𝐴̇ ∗−𝑛𝑛 симметричный. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Пример. Найдем комплексный частотный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов единичной амплитуды (рис.). Длительность импульса равна 𝜏𝜏. • Комплексные коэффициенты гармоник sin 𝑘𝑘𝜔𝜔1 𝜏𝜏�2 2 2𝜏𝜏 𝐴𝐴𝑘𝑘 = � 1 � 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = . 𝜏𝜏 𝜏𝜏 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 𝑘𝑘𝜔𝜔1 �2 𝜏𝜏 2 2 КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Из последней формулы следует, что амплитуды гармоник изменяются по 2𝜋𝜋 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ⁄ закону 𝑥𝑥. учитывая, что 𝜔𝜔1 = 𝑇𝑇 получим 𝐴𝐴̇ 𝑛𝑛 2 𝑘𝑘𝜋𝜋𝜋𝜋 sin . = 𝑘𝑘𝜋𝜋 𝑇𝑇 • Узлы огибающей амплитудного спектра соответствуют тем номерам гармоник, которые обращают функцию sin( 𝑘𝑘𝜋𝜋𝜋𝜋 ) 𝑇𝑇 в нуль. Амплитудный спектр для случая, когда отношение длительности импульса к периоду равно 1/4, показан на рис. На следующем рис. показан фазовый спектр рассматриваемой функции времени. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Узлы огибающей расположены на частотах, соответствующих гармоникам с порядковыми номерами k =4n, n =1, 2, .... аргументы равны нулю в тех интервалах, где синус положителен, либо равны 𝜋𝜋 в интервалах, где синус 𝑇𝑇 отрицателен. Число гармоник в интервале равно 𝜏𝜏 . С увеличением периода линии спектра располагаются гуще. При этом их амплитуды уменьшаются. КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР • Часто при изображении амплитудных спектров откладывают не амплитуды гармоник, а их относительные значения, равные отношению амплитуд соответствующих гармоник к постоянной составляющей или первой гармонике. Это позволяет сохранить масштаб по оси ординат одинаковым при изменении периода Т. СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Функция конечной длительности имеет сплошной спектр. Поскольку при увеличении периода амплитуды гармоник уменьшаются и в пределе обращаются в нуль, для описания сплошного спектра удобнее рассматривать интеграл в формуле: 𝑇𝑇 2 𝑇𝑇 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑛𝑛 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑇𝑇 2 − 2 • При 𝑇𝑇 → ∞ пределы интегрирования в формуле становятся бесконечными, а дискретная частота 𝑛𝑛𝜔𝜔1 - непрерывной: ∞ 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. −∞ • Функцию F( 𝑗𝑗𝜔𝜔 ) называют спектральной функцией или спектральной плотностью. Формула определяет прямое преобразованuе Фурье. СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Прямое преобразование Фурье существует в том случае, если функция f(t) непрерывна в любой точке t и абсолютно интегрируема в бесконечных ∞ пределах, т.е. ∫−∞ f(t) dt < ∞. • С помощью прямого преобразования Фурье мы преобразуем функцию времени f(t) в комплексную функцию частоты 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 . Выразим теперь f(t) через спектральную функцию 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 . ∞ 1 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = � 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑. 2𝜋𝜋 −∞ Выражение называют обратным nреобразованием Фурье или интегралом Фурье. СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Выражение 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 называют спектральной функцией или спектральной плотностью. • Рассмотрим некоторые свойства функций времени и соответствующих спектральных функций. • 1. Преобразование Фурье обладает свойством линейности: ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝑓𝑓𝑘𝑘 (𝑡𝑡) ⇒ ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑎𝑎𝑘𝑘 𝐹𝐹𝑘𝑘 (𝑗𝑗𝜔𝜔) . Здесь ⇒ - знак соответствия. • 2. Дифференцированию функции времени соответствует умножение спектральной плотности на 𝑗𝑗𝜔𝜔, а интегрированию - деление на 𝑗𝑗𝜔𝜔 : 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⟹ 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 , ∫ 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⟹ 1 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑗𝑗𝑗𝑗 . СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • 3. Умножению спектральных функций соответствует свертка функций времени: ∞ 𝐹𝐹1 (𝑗𝑗𝜔𝜔)𝐹𝐹2 (𝑗𝑗𝜔𝜔) ⟹ � 𝑓𝑓1 𝜏𝜏 𝑓𝑓2 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝑑𝑑. −∞ • Поскольку 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 комплексная функция, представим ее в алгебраической форме: ∞ ∞ 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑃𝑃 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −∞ ∞ =� −∞ −∞ ∞ 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝑗𝑗 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔𝜔. −∞ СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Из последнего выражения следует, что вещественная часть спектральной функции четна, а мнимая - нечетна: 𝑃𝑃 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑃𝑃 −𝑗𝑗𝑗𝑗 ; 𝑄𝑄 𝑗𝑗𝑗𝑗 = −𝑄𝑄 −𝑗𝑗𝑗𝑗 . • Учитывая, что 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑃𝑃 𝑗𝑗𝜔𝜔 + j𝑄𝑄 𝑗𝑗𝑗𝑗 преобразования Фурье: 1 ∞ , запишем 1 формулу ∞ обратного 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 2𝜋𝜋 ∫−∞ 𝑃𝑃 + j𝑄𝑄 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝜋𝜋 �∫−∞(𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 )𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∞ 𝑗𝑗 ∫−∞(𝑄𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Мнимая часть последнего выражения ∞ + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃)𝑑𝑑𝑑𝑑�. 1 � 𝑄𝑄𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0, 2𝜋𝜋 −∞ СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Поскольку она является интегралом от нечетных функций. Вещественная часть в правой части формулы для 𝑓𝑓(𝑡𝑡) является четной, поэтому мы можем записать: 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 1 𝜋𝜋 𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄𝑄 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Приведенные выкладки показывают, что вещественная и мнимая части спектральной функции 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 , так же как амплитудный и фазовый спектры, связаны между собой. Если функция времени 𝑓𝑓 𝑡𝑡 четная, т. е. 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑓𝑓 −𝑡𝑡 , то мнимая часть спектральной функции равна нулю: ∞ 𝑄𝑄 𝜔𝜔 = − � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0. −∞ • Спектральная функция четной функции времени является вещественной: ∞ 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑃𝑃 𝜔𝜔 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. −∞ СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ∞ 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑃𝑃 𝜔𝜔 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐. −∞ при этом функция времени ∞ 1 � 𝑃𝑃 𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑. 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 2𝜋𝜋 −∞ • Рассмотрим возможность вычисления энергии апериодических сигналов по их спектральным функциям. Интеграл квадрата функции времени ∞ ∞ 1 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 2𝜋𝜋 −∞ 2 −∞ ∞ � 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑. −∞ СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Поскольку переменные t и 𝜔𝜔 независимы, изменим порядок интегрирования в правой части: ∞ � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 −∞ ∞ ∞ −∞ −∞ ∞ � 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝜔𝜔. −∞ Внутренний интеграл представляет сопряженную спектральную функцию: ∞ 𝐹𝐹 −𝑗𝑗𝜔𝜔 = � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑑𝑑𝑑𝑑. поскольку 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝐹𝐹 −𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 ∞ ∫−∞ 𝑓𝑓 2 2 −∞ , формула примет вид 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∞ ∫ 2𝜋𝜋 −∞ 1 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 2 𝑑𝑑𝜔𝜔. СПЕКТРЫ АПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ • Учитывая, что квадрат модуля 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 последнее равенство в виде ∞ ∫−∞ 𝑓𝑓 2 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 есть четная функция частоты, запишем ∞ ∫ 𝜋𝜋 0 1 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 2 𝑑𝑑𝜔𝜔. • Формулу называют формулой или теоремой Рейли (Релея). Предположим, что в резисторе сопротивлением 1 ом ток изменяется по закону 𝑓𝑓 𝑡𝑡 . Значение интегpала в левой части пропорционально суммарной энергии, выделенной в резисторе за время действия тока. Функция 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 2 характеризует плотность распределения энергии по частоте. Ее называют спектральной плотностью энергии сигнала, изменяющегося по закону 𝑓𝑓 𝑡𝑡 . СПЕКТР ОДИНОЧНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА • Определим спектральную функцию одиночного прямоугольного импульса (рис.а) амплитуда импульса равна U, а длительность 𝜏𝜏. В соответствии с формулой спектральная функция. 𝜏𝜏� 2 𝜏𝜏� 2 −𝜏𝜏�2 −𝜏𝜏�2 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = � 𝑈𝑈𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑈𝑈 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 − 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Поскольку рассматриваемый импульс – четная функция времени, мнимая часть спектральной функции равна нулю. Поэтому 𝜏𝜏� 2 𝜏𝜏� 2 2𝑈𝑈 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 . 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = � 𝑈𝑈𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 2𝑈𝑈 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝜔𝜔 2 −𝜏𝜏�2 СПЕКТР ОДИНОЧНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА • График 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 показан на рис.б. Спектральная функция обращается в нуль на частотах 𝜔𝜔𝑘𝑘 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 , 𝜏𝜏 k =1, 2, 3, .... C уменьшением длительности 𝜏𝜏 импульсов полоса частот между соседними нулями 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 растет. • Определим теперь спектральную плотность единичной импульсной функции 𝛿𝛿𝑜𝑜 (𝑡𝑡). Для этого предположим, что длительность импульса 𝜏𝜏 стремится к нулю, а произведение 𝑈𝑈𝜏𝜏, остается равным единице. Из следует, что спектральная плотность такого импульса 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 2 𝜔𝜔𝜔𝜔 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2 . 𝜔𝜔𝜔𝜔 • При 𝜏𝜏 → 0 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 → 1, т. е. огибающая спектральной плотности превратится в прямую, параллельную оси абсцисс. Это означает, что спектр единичной импульсной функции содержит все гармонические составляющие с частотами от - ∞ до + ∞ , причем амплитуды этих гармоник одинаковы. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Рассмотрим двухполюсник, имеющий комплексное сопротивление 𝑍𝑍(𝑗𝑗𝜔𝜔). К входным зажимам двухполюсника приложено несинусоидальное напряжение u(t), спектральная плотность которого равна 𝑈𝑈(𝑗𝑗𝜔𝜔). В соответствии с законом Ома спектральная плотность тока 𝑈𝑈(𝑗𝑗𝑗𝑗) . 𝐼𝐼 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝑍𝑍(𝑗𝑗𝜔𝜔) • Далее ток как функцию времени мы можем найти с помощью обратного преобразования Фурье: 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 1 ∞ ∫ 𝐼𝐼 2𝜋𝜋 −∞ 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Комплексной передаточной функцией называют отношение комплексной амплитуды выходного напряжения к комплексной амплитуде входного воздействия. Спектральная функция выходного напряжения 𝑈𝑈2 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑈𝑈1 𝑗𝑗𝑗𝑗 . СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝐻𝐻 𝜔𝜔 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝜔𝜔 . • Из последнего равенства следует, что на частоте 𝜔𝜔 модуль выходного напряжения отличается от входного в Н(𝜔𝜔) раз, а начальная фаза выходного напряжения от фазы входного на угол 𝜑𝜑(𝜔𝜔). Расчет цепи спектральным методом выполняется в следующем порядке. • 1. Определяется комплексная функция цепи. • 2. Находится спектр входного воздействия. • 3. Вычисляется спектр реакции. • 4. Определяется обратное преобразование спектра. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Спектральный метод расчета применим и в том случае, если на входе действует периодическая несинусоидальная функция. Спектр такой функции является дискретным. Обозначим комплексные амплитуды гармоник входного напряжения (1) 𝑈𝑈̇ 𝑘𝑘 . Комплексная амплитуда k-й гармоники на выходе 𝑈𝑈̇ 𝑘𝑘(2) = 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 𝑈𝑈̇ 𝑘𝑘1 , здесь 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 - значение комплексной передаточной функции на частоте k-й гармоники. Таким образом, выходное напряжение 𝑢𝑢2 𝑡𝑡 = 1 𝑈𝑈0 2 (1) 𝐻𝐻 0 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝑈𝑈̇ 𝑘𝑘 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔1 sin(𝑘𝑘𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑 𝑘𝑘𝜔𝜔1 ). • Пример. Рассмотрим пример расчета частотным методом. Необходимо определить напряжение на выходе цепи, показанной на рис. Элементы имеют следующие значения: R1 = 14,14 ком, R2 = 4,71 ком, С1 = 0,01мкф, С2 =0,015 мкф. Коэффициент усиления усилителя К = 2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Входной сигнал представляет последовательность прямоугольныx импульсов с периодом Т =3.14 ·10-3 с и единичной амплитудой (рис.). 1 СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Разложение в ряд Фурье периодической функции времени 𝑢𝑢1 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈𝑚𝑚 2 + 2𝑈𝑈𝑚𝑚 𝜋𝜋 1 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + ⋯ = 0,5 + 1 3 1 5 0,637 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠3𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠5𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + ⋯ . 3 • Частота первой гармоники 𝜔𝜔1 = 2𝜋𝜋 𝑇𝑇 5 = 0,2 � 104 рад/с • Передаточная функция рассматриваемой цепи 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = −𝜔𝜔2 +𝑗𝑗𝑗𝑗 𝐾𝐾 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝐶𝐶1 𝐶𝐶2 1 1 1 + + 𝑅𝑅1 𝐶𝐶1 𝑅𝑅2 𝐶𝐶1 𝑅𝑅2 𝐶𝐶2 1−𝐾𝐾 1 + 𝑅𝑅1 𝑅𝑅2 𝐶𝐶1 𝐶𝐶2 . СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Подставив значения элементов, получим 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 2 𝜔𝜔2 +𝑗𝑗𝑗𝑗1,414�104 +108 . • График амплитудно-частотной характеристики показан на рис.a, а на рис.б дана фазочастотная характеристика (значения ФЧХ в радианах). а б СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • Амплитуды гармоник на выходе цепи: 𝐴𝐴0 = 1,0; 𝐴𝐴1 = 1,274; 𝐴𝐴3 = 0,415; 𝐴𝐴5 = 0,182; 𝐴𝐴7 = 0,084; 𝐴𝐴9 = 0,042. • Начальные фазы гармоник (В радианах): 𝜑𝜑1 = −0,284; 𝜑𝜑3 = −0,92; 𝜑𝜑5 = −1,57; 𝜑𝜑7 = −2,026; 𝜑𝜑9 = −2,297. • Напряжение на выходе цепи 𝑢𝑢ВЫХ 𝑡𝑡 = ∑7𝑛𝑛=0 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑛𝑛 𝜔𝜔1 𝑡𝑡 + 𝜑𝜑𝑛𝑛 ) = 1 + 1,274𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜔𝜔 − 0,284) + 0,415𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝜔𝜔𝜔𝜔 − 0,92) + 0,182𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(5𝜔𝜔𝜔𝜔 − 1,57) + 0,084𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(7𝜔𝜔𝜔𝜔 − 2,026) + 0,042𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(9𝜔𝜔𝜔𝜔 − 2,297). • График 𝑢𝑢ВЫХ 𝑡𝑡 показан на рис. Напряжение на выходе цепи имеет пологий фронт, а также заметный выброс (перерегулирование). СПЕКТРАЛЬНЫЙ (ЧАСТОТНЫЙ) МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ • График 𝑢𝑢вых 𝑡𝑡 показан на рис. Напряжение на выходе цепи имеет пологий фронт, а также заметный выброс (перерегулирование). • Реакция линейной цепи на воздействие периодического сигнала заключается в изменении амплитуд и начальных фаз гармоник, составляющих сигнал. При этом спектральный состав сигнала на выходе цепи не изменяется. МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ • Низкочастотные сигналь, содержащие информацию в виде речи или музыки, занимают полосу частот в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц. Колебания такой частоты не могут быть переданы электрическим способом на сколько нибудь значительное расстояние. Для передачи таких сигналов должны быть использованы высокочастотные колебания, способные распространяться на большие расстояния. • Для того чтобы высокочастотное гармоническое колебание несло информацию, один из его параметров (амплитуда, частота или начальная фаза) должен изменяться в соответствии с передаваемым сигналом. Процесс изменения параметров колебания называют модуляцией. Синусоиду, переносящую информацию, называют несущей, а передаваемый сигнал - модулирующим. Обратный процесс - выделение сигнала из модулированной синусоиды называют демодуляцией или детектированием. МОДУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ И ИХ СПЕКТРЫ • В зависимости от того, какой из параметров синусоидального колебания изменяется, различают два вида модуляции - амплитудную и угловую. Угловую модуляцию разделяют на частотную и фазовую. При частотной модуляции амплитуда остается постоянной, а изменяется частота 𝜔𝜔. При фазовой модуляции изменяется начальная фаза 𝜑𝜑. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • Амплитудная модуляция (АМ) является наиболее простым способом включения информации в высокочастотное колебание. При амплитудной модуляции амплитуда синусоидального колебания изменяется во времени: 𝑢𝑢ам 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈М 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 . АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • Модулирующее колебание изменяется по закону 𝑈𝑈М = 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑡𝑡 . • Здесь 𝑒𝑒 𝑡𝑡 - модулирующий сигнал. Постоянную 𝑚𝑚 называют коэффициентом или глубиной модуляции. Она определяет изменение модулирующей функции относительно среднего значения. • Рассмотрим простейший случай однотональной модуляции, когда модулирующий сигнал является синусоидальной функцией частоты 𝜔𝜔М < 𝜔𝜔0 : 𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔М 𝑡𝑡. • В этом случае формула АМ-колебания имеет вид 𝑢𝑢ам 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 𝑡𝑡 1 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝜔𝜔М 𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 , здесь U0 - амплитуда несущего колебания в отсутствие модуляции. • Вид АМ-сигнала зависит от величины коэффициента модуляции m. При m < 1 форма огибающей АМ-колебаний идентична форме модулирующего сигнала. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • На рис. показан АМ-сигнал, имеющий параметры: f0 = 5 кГц, fм =500 Гц, m =0.5. Случай m =1 является предельным, для которого огибающая UАМ(t) совпадает с формой модулирующего сигнала. При m > 1 возникают искажения, называемые перемодуляцией. Такие искажения могут привести к потере или искажению передаваемой информации. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • Рассмотрим спектральный состав АМ-колебания при однотональной модуляции. Используя тригонометрическую формулу произведения синусов, получим: 𝑢𝑢ам 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 𝑡𝑡 (𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 0,5𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔0 - 𝜔𝜔м )𝑡𝑡 + 0,5𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝜔𝜔0 + 𝜔𝜔м 𝑡𝑡). • Из формулы следует, что при однотональной модуляции спектр АМ-сигнала состоит из трех составляющих (рис.). Первая представляет исходное несущее колебание частоты 𝜔𝜔0 . АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • Она не зависит ни от амплитуды, ни от частоты модулирующего колебания. Две других составляющих представляют новые гармонические колебания, возникающие в процессе амплитудной модуляции. Амплитуды этих составляющих одинаковы и пропорциональны коэффициенту модуляции, а частоты равны 𝜔𝜔0 - 𝜔𝜔М и 𝜔𝜔0 + 𝜔𝜔М , их называют соответственно нижней и верхней боковыми составляющими. Ширина спектра АМ-сигнала при однотональной модуляции равна 2𝜔𝜔М . • В общем случае, когда модулирующий сигнал имеет несинусоидальную форму, ширина спектра АМ-сигнала равна удвоенному значению наивысшей частоты в спектре модулирующего сигнала. • Какова средняя мощность АМ-колебаний. Если предположить, что эти колебания представляют напряжение на резисторе, то их мощность пропорциональна квадрату напряжения. АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ 2 • Среднюю мощность найдем по формуле 𝑈𝑈АМ = 0,5𝑈𝑈02 1 + 0,5𝑚𝑚2 . • Мощность несущей не зависит от коэффициента модуляции и пропорциональна 0,5𝑈𝑈02 . Суммарная мощность колебаний на боковых частотах равна 0,25𝑈𝑈02 𝑚𝑚2 . Даже при стопроцентной модуляции (m =1) она составляет только половину мощности исходного несущего колебания. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • При частотной модуляции амплитуда сигнала остается неизменной, а частота изменяется в соответствии с законом изменения модулирующего сигнала. Частотно-модулированный (ЧМ) сигнал имеет более сложный спектр, чем АМ-сигнал. Его нельзя получить простым сдвигом спектра модулирующего колебания на величину несущей частоты 𝜔𝜔0 как при амплитудной модуляции. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • Рассмотрим простейший случай однотональной модуляции, когда модулирующий сигнал - гармоническое колебание. В этом случае ЧМ-сигнал определяется выражением: 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝑈𝑈0 sin 𝜔𝜔0 𝑡𝑡 + 𝜔𝜔Д 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜔𝜔М 𝑡𝑡 . • В последнем выражении 𝜔𝜔0 и 𝜔𝜔М - несущая частота и частота модулирующего сигнала соответственно. Максимальное отклонение частоты ЧМ-сигнала от значения 𝜔𝜔0 равно 𝜔𝜔Д . Эту величину называют девиацией частоты. Отношение девиации 𝜔𝜔Д к частоте модулирующего колебания 𝜔𝜔М называют индексом 𝜔𝜔Д угловой модуляции: 𝑚𝑚 = 𝜔𝜔 . М • Спектр ЧМ-колебания значительно сложнее, чем спектр АМ-сигнала при той же модулирующей функции, и зависит от величины индекса угловой модуляции. Ширина спектра ЧМ-колебания значительно больше, чем в случае амплитудной модуляции. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ • При m << 1 спектр ЧМ-сигнала похож на спектр сигнала при амплитудной модуляции. Однако практический интерес представляет случай, когда m > 1, так как при больших значениях m помехоустойчивость сигнала значительно выше. Можно показать, что спектр ЧМ сигнала с однотональной модуляцией при индексе m > 1 состоит из несущего колебания и двух групп высокочастотных гармоник, расположенных симметрично относительно частоты несущего колебания, с частотами 𝜔𝜔0 - n𝜔𝜔М и 𝜔𝜔0 + n𝜔𝜔М (n- порядковый номер гармоники). При больших индексах модуляции ширина спектра ЧМ-колебания близка к удвоенной величине девиации частоты. • В случае стандартного ЧМ радиовещания максимально допустимая девиация составляет 75 кгц по каждую сторону от средней частоты. Поэтому полоса частот, занимаемая ЧМ-сигналом, равна 150 кгц. Кроме того, для защиты от проникновения сигналов соседних по частоте станций дополнительно отводятся две боковых полосы по 25 кгц. СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ • До сих пор мы рассматривали сигналы как непрерывные функции времени. Такие сигналы, определяемые во все моменты времени, называют аналоговыми. Однако во многих случаях значения сигналов определены только в отдельные (дискретные) моменты времени. Такие сигналы называют дискретными. Значения дискретных сигналов называют отсчетами. Обычно отсчеты берутся через равные промежутки времени, называемые периодом или шагом дискретизации Td. Величину, обратную шагу дискретизации, называют частотой 1 дискретизации: 𝑓𝑓𝑑𝑑 = T . d 2𝜋𝜋 • Соответствующая угловая частота дискретизации 𝜔𝜔𝑑𝑑 = T . d СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ • При обработке сигналов с помощью цифровых устройств отсчеты сигналов представляются с помощью двоичных чисел, имеющих ограниченную разрядность. Такие сигналы, дискретные во времени и квантованные по уровню, называют цифровыми. Примеры аналогового, дискретного и цифрового сигналов показаны на рис. а, б. СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ • Определим спектр дискретного сигнала. Представим отсчеты сигнала в виде взвешенной суммы задержанных единичных импульсов, умноженных на значения отсчетов x(kTd ): 𝑓𝑓𝑑𝑑 𝑡𝑡 = ∑∞ 𝑘𝑘=−∞ 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑇𝑇𝑑𝑑 )𝛿𝛿(𝑡𝑡 − 𝑘𝑘𝑇𝑇𝑑𝑑 ). • Спектр функции 𝛿𝛿(𝑡𝑡) равен единице, а задержке сигнала во времени соответствует умножение спектра на комплексную экспоненту 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝑑𝑑 поэтому спектр −𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝑇𝑇𝑑𝑑 дискретного сигнала 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝑗𝑗𝜔𝜔 = ∑∞ 𝑥𝑥(𝑘𝑘𝑇𝑇 ) 𝑒𝑒 . 𝑑𝑑 𝑘𝑘=−∞ • Формула показывает главное свойство дискретного сигнала: его спектр является 2𝜋𝜋 периодическим с периодом, равным круговой частоте дискретизации 𝜔𝜔𝑑𝑑 = 𝑇𝑇 : 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝑗𝑗𝜔𝜔 ± 𝑗𝑗𝑗𝑗𝜔𝜔𝑑𝑑 = 𝐹𝐹𝑑𝑑 𝑗𝑗𝑗𝑗 . 𝑑𝑑 СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ • Таким образом, спектр дискретного сигнала представляет бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала (рис.). • Расстояние по частоте между соседними копиями равно частоте дискретизации 𝑇𝑇𝑑𝑑 . СПЕКТРЫ ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ • Вид спектра дискретного сигнала характеризует дуальность преобразования Фурье. Аналоговому периодическому сигналу соответствует дискретный спектр, а периодическому спектру соответствует дискретный сигнал. Из последнего уравнения следует, что точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии сигнала не перекрываются. Для этого необходимо, чтобы частота дискретизации превышала верхнюю частоту спектра сигнала 𝜔𝜔в по меньшей мере в два раза: 𝜔𝜔в > 2𝜔𝜔𝑑𝑑 . • Это положение называют теоремой дискретизации или теоремой Котельникова. Частоту, равную половине частоты дискретизации, называют частотой Найквиста: 𝜔𝜔𝑁𝑁 = 𝜔𝜔𝑑𝑑 2 = 𝜋𝜋 𝑇𝑇𝑑𝑑 . • Если условие 𝜔𝜔в > 2𝜔𝜔𝑑𝑑 не выполняется, сдвинутые копии сигнала накладываются друг на друга. Это приведет к искажениям при восстановлении непрерывного сигнала. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • Преобразование Фурье, применимо к функциям времени, абсолютно интегрируемым в бесконечных пределах. Такому требованию не отвечают многие функции, используемые в теории цепей. Например, не являются абсолютно интегрируемыми такие функции, как синусоидальная или единичная ступенчатая. • Один из способов расширения области применимости преобразования заключается в том, что функцию 𝑓𝑓(𝑡𝑡) умножают на другую, в которой произведение этих функций убывает при 𝑡𝑡 → ∞. Таким множителем может служить экспонента 𝑒𝑒 −𝜎𝜎𝜎𝜎 . постоянная 𝜎𝜎 вещественна и положительна. • Необходимо отметить, что произведение 𝑓𝑓(𝑡𝑡) 𝑒𝑒 − 𝜎𝜎𝑡𝑡 не стремится к нулю при 𝑡𝑡 → − ∞. Это вызывает расхождение интеграла с нижним пределом интегрирования, равным −∞ . Чтобы преодолеть это затруднение, перенесем нижний предел интегрирования из (−∞) в 0. Такое отсечение части интервала интегрирования эквивалентно тому, что все функции времени полагаются равными нулю при t < 0. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • Поскольку переходные процессы рассматриваются с момента времени 𝑡𝑡 = 0, такое ограничение не имеет существенного значения. В результате мы получим одностороннее преобразование: 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = ∞ ∫0 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Объединим множитель 𝑒𝑒 −𝜎𝜎𝜎𝜎 , обеспечивающий сходимость интеграла, с ядром преобразования 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 : 𝑒𝑒 −𝜎𝜎𝜎𝜎 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑡𝑡 . • Здесь 𝑝𝑝 = 𝜎𝜎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗. преобразование примет вид 𝐹𝐹 𝑝𝑝 = 𝐿𝐿 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = ∞ ∫0 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑. • С помощью формулы функция времени 𝑓𝑓(𝑡𝑡) преобразуется в функцию комплексной переменной 𝐹𝐹(𝑝𝑝). Функцию 𝑓𝑓(𝑡𝑡) называют оригиналом, а 𝐹𝐹(р) - изображением. В табл. ниже приведены дробно-рациональные изображения некоторых наиболее широко используемых функций времени. • Таблица 8.1 • Таблицы оригиналов и изображений по Лапласу ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА Таблица Таблица оригиналов и изображений по Лапласу • F(T) 𝐹𝐹(𝑝𝑝) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • Поскольку преобразования Лапласа и Фурье тесно связаны, спектральную функцию можно найти, заменив в выражении изображения по Лапласу комплексную переменную р мнимой переменной 𝑗𝑗𝜔𝜔: 𝐹𝐹 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 𝐹𝐹 𝑝𝑝 |𝑝𝑝=𝑗𝑗𝑗𝑗 . СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ • 1. Однозначность. Существует однозначное соответствие между оригиналом и изображением, т. е. Функции 𝑓𝑓(𝑡𝑡) соответствует единственное изображение 𝐹𝐹(𝑝𝑝) и, наоборот, 𝐹𝐹(𝑝𝑝) соответствует только один оригинал 𝑓𝑓(𝑡𝑡). Следовательно, мы можем заменить функции времени изображениями, решить задачу в частотной области, а затем найти оригинал решения. Однозначность гарантирует, что полученный результат является решением исходной задачи. • 2. Линейность. Если 𝑓𝑓1 (𝑡𝑡) и 𝑓𝑓2 (𝑡𝑡) имеют изображения 𝐹𝐹1 (𝑝𝑝) и 𝐹𝐹2 (𝑝𝑝) , а коэффициенты 𝛼𝛼1 и 𝛼𝛼2 - постоянные, не зависящие от времени, то справедливо равенство 𝐿𝐿 𝛼𝛼1 𝑓𝑓1 𝑡𝑡 + 𝛼𝛼2 𝑓𝑓2 (𝑡𝑡) = 𝛼𝛼1 𝐹𝐹1 𝑝𝑝 + 𝛼𝛼2 𝐹𝐹2 (𝑝𝑝). ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • Из свойства линейности следует, что уравнения по законам Кирхгофа могут быть записаны не только для токов и напряжений, но и для их изображений по Лапласу. Свойство линейности упрощает нахождение оригиналов сложных изображений. Функцию времени сложной формы можно представить в виде суммы простых слагаемых, а затем найти оригиналы каждого из них. Оригинал найдем как сумму оригиналов отдельных слагаемых. • 3. Дифференцирование и интегрирование во временной области. Если функция 𝑓𝑓(𝑡𝑡) имеет изображение 𝐹𝐹(𝑝𝑝), то изображение производной 𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡) 𝐿𝐿 = 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝑓𝑓 0− . 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Интегрированию функции времени соответствует деление изображения на р: 1 𝑓𝑓 𝐿𝐿 � 𝑓𝑓 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝐹𝐹 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 −1 (0_) . 𝑝𝑝 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • 4. Изменение масштаба. Если 𝐹𝐹(𝑝𝑝) - изображение функции времени 𝑓𝑓(𝑡𝑡), то изображение функции 𝑓𝑓(𝑡𝑡/а) имеет вид 𝐿𝐿 𝑓𝑓(𝑡𝑡/а) = 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 . • Пример. В соответствии с табл. изображение синусоидальной функции 1 времени частотой 1 рад/с 𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑝𝑝2 +1 . Если частоту увеличить до 100 рад/с (а = 100), то в соответствии с таблицей изображение примет вид 𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠100𝑡𝑡 = 100 . 𝑝𝑝2 +104 Увеличение продолжительности импульса вызывает сжатие его спектральной функции и уменьшение амплитуд гармонических составляющих спектра. Следствием этого является тот факт, что при передаче сигналов в форме последовательности импульсов ширина полосы пропускания должна быть тем больше, чем короче передаваемые импульсы. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • 5. Смещение во временной области. Если 𝐹𝐹(𝑝𝑝) - изображение по Лапласу функции 𝑓𝑓(𝑡𝑡), то изображение 𝐹𝐹(𝑝𝑝), смещенной на интервал 𝜏𝜏, равно 𝐿𝐿 𝑓𝑓(𝑡𝑡 − 𝜏𝜏) = 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝜏𝜏 𝐹𝐹 𝑝𝑝 . • Пример. Определить изображение прямоугольного импульса единичной амплитуды, действующего на интервале времени t1-t2 (рис.). Этот импульс можно представить в виде суммы ступенчатых функций, смещенных во времени: 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡1 1, 𝑡𝑡 ≥ 0 − 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝑡𝑡2 . 𝛿𝛿 𝑡𝑡 = � 0, 𝑡𝑡 < 0 В соответствии с теоремой запаздывания изображение функции 𝑢𝑢 𝑡𝑡 . 𝑈𝑈 𝑝𝑝 = 1 𝑝𝑝 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑡𝑡1 − 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑡𝑡2 . ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • Пример. Определить оригинал функции 1 𝐹𝐹 𝑝𝑝 = 2 1 − 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋 . 𝑝𝑝 + 1 Запишем 𝐹𝐹(𝑝𝑝) в виде разности 𝐹𝐹 𝑝𝑝 = 1 𝑝𝑝2 +1 − 1 𝑝𝑝2 +1 𝑒𝑒 −2𝜋𝜋𝜋𝜋 . Оригинал первого слагаемого - синусоидальная функция 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠. Второму слагаемому соответствует синусоидальная функция, смещенная на интервал 𝜏𝜏 = 2𝜋𝜋 . Таким образом, оригиналом 𝐹𝐹(𝑝𝑝) является функция времени 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 − sin 𝑡𝑡 − 2𝜋𝜋 = � 𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, 0 < 𝑡𝑡 < 2𝜋𝜋 . 0, 𝑡𝑡 > 2𝜋𝜋 • 6. Смещение в частотной области. Если функция времени 𝑓𝑓(𝑡𝑡) имеет изображение по Лапласу 𝐹𝐹(𝑝𝑝) , то смещению комплексной переменной на р0 соответствует умножение оригинала на 𝑒𝑒 −𝑝𝑝0 𝑡𝑡 : 𝐿𝐿 𝑒𝑒 −𝑝𝑝0 𝑡𝑡 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝐹𝐹(𝑝𝑝 + 𝑝𝑝0 ). ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА • ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ. ОПЕРАТОРНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ • Применения преобразования Лапласа состоит в непосредственном составлении уравнений для изображений в операторной схеме замещения. • Рассмотрим операторные схемы учитывающие начальные условия. замещения двухполюсных элементов, • 1. Резистивный элемент. Напряжение и ток на зажимах резистора связаны законом Ома: 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑡𝑡 𝑈𝑈(𝑝𝑝) = ∞ ∫0 𝑢𝑢 𝑡𝑡 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∞ 𝑅𝑅 ∫0 𝑖𝑖(𝑡𝑡) 𝑒𝑒 −𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑=𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑝𝑝 . Переходя к изображениям и учитывая свойство линейности преобразования Лапласа, получим 𝑈𝑈 𝑝𝑝 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑝𝑝 . Операторное сопротивление двухполюсника определяется равенством 𝑍𝑍 𝑝𝑝 = 𝑈𝑈(𝑝𝑝) . 𝐼𝐼(𝑝𝑝) ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ. ОПЕРАТОРНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ • 2. Индуктивный элемент (рис.а). Связь напряжения и тока индуктивного элемента определяется дифференциальным уравнением 𝑑𝑑𝑖𝑖𝐿𝐿 (𝑡𝑡) . 𝑢𝑢𝐿𝐿 𝑡𝑡 = 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑑𝑑 • Учитывая, что дифференцированию функции времени соответствует умножение изображения на р, получим 𝑈𝑈 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝐿𝐿𝐿𝐿 0 . • Здесь iL (0) - начальный ток индуктивного элемента при t = 0. Последнему равенству соответствуют операторные схемы замещения, показанные на рис. Б, и B. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ. ОПЕРАТОРНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ • Независимый источник на рис. Б, B учитывает начальный ток индуктивного элемента. При нулевых начальных условиях, когда iL(0) = 0, операторная схема замещения содержит только двухполюсник с операторным сопротивлением ZL(р) = pL . 3. Емкостный элемент ( на следующем рис. а). Ток и напряжение емкостного 𝑑𝑑𝑢𝑢𝐶𝐶 (𝑡𝑡) элемента 𝑖𝑖𝐶𝐶 𝑡𝑡 = 𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑 . • С учетом формул для производных получим 𝐼𝐼 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 𝐶𝐶𝑢𝑢𝐶𝐶 0 . • Здесь 𝑢𝑢𝐶𝐶 0 - начальное напряжение емкостного элемента в момент t = 0. Последней формуле соответствуют операторные схемы замещения, показанные на рис. б, в. Независимые источники учитывают начальное напряжение конденсатора 𝑢𝑢𝐶𝐶 0 . При нулевых начальных условиях операторная схема замещения емкостного элемента содержит только двухполюсник с операторным сопротивлением 𝑍𝑍С(𝑝𝑝) = 1⁄𝑝𝑝𝑝𝑝 . ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ. ОПЕРАТОРНЫЕ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ Независимые источники напряжения и тока. Если в цепи действует независимый источник e(t) или J(t), в операторной схеме замещения им соответствует источник, ЭДС или ток которого равны изображению напряжения или тока источника в исходной цепи. Источнику постоянного напряжения в • 4. операторной схеме замещения соответствует источник, ЭДС которого равна 𝐸𝐸 . 𝑝𝑝 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Для отыскания оригинала используется интеграл обратного преобразования Лапласа: 1 𝑐𝑐+𝑗𝑗∞ 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 2𝜋𝜋𝜋𝜋 ∫𝑐𝑐−𝑗𝑗∞ 𝐼𝐼 𝑝𝑝 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑. • Для линейных цепей с сосредоточенными параметрами изображения токов и напряжений являются дробно-рациональными функциями комплексной переменной р: 𝐼𝐼 𝑝𝑝 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝) 𝐷𝐷(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝𝑚𝑚 +𝑏𝑏𝑚𝑚−1 𝑝𝑝𝑚𝑚−1 +⋯+𝑏𝑏1 𝑝𝑝+𝑏𝑏0 . 𝑝𝑝𝑛𝑛 +𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑝𝑝𝑛𝑛−1 +⋯+𝑎𝑎1 𝑝𝑝+𝑎𝑎0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Пусть m < n, а знаменатель имеет только простые корни: pl, p2, ..., pn. Корни полинома знаменателя называют полюсами. Дробно-рациональная функция может быть разложена на сумму простых слагаемых: 𝑛𝑛 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝐼𝐼 𝑝𝑝 = + + ⋯+ =� , 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝1 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝2 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝𝑛𝑛 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑘𝑘=1 где 𝐴𝐴𝑘𝑘 - вычет функции 𝐼𝐼(𝑝𝑝) в точке 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑘𝑘 . • Так как каждое слагаемое в формуле 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑐𝑐+𝑗𝑗∞ 1 𝐼𝐼 ∫ 2𝜋𝜋𝜋𝜋 𝑐𝑐−𝑗𝑗∞ 𝑝𝑝 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 является изображением экспоненциальной функции, то очевидно, что оригинал дробнорациональной функции имеет вид 𝑓𝑓 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝑝𝑝1 𝑡𝑡 ↔ 𝐹𝐹 𝑝𝑝 = 𝑛𝑛 𝐴𝐴1 𝑝𝑝−𝑝𝑝1 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝑝𝑝1 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 + ⋯ + 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑡𝑡 = � 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 , 𝑘𝑘=1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Последнее равенство называется формулой разложения. Вычет A𝑘𝑘 можно найти, умножив обе части 𝐼𝐼(𝑝𝑝) на (𝑝𝑝 − 𝑝𝑝𝑘𝑘 ) и полагая 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑘𝑘 · при этом правая часть будет содержать лишь искомый вычет A𝑘𝑘 , так как все остальные слагаемые обратятся в нуль: 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑘𝑘 ) |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 . 𝐷𝐷 𝑝𝑝 𝑁𝑁(𝑝𝑝) | . 𝑝𝑝 𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 • Последняя формула эквивалентна равенству: 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝐷𝐷′ • Если анализируемая цепь содержит источники постоянного напряжения или тока, то изображение имеет полюс в начале координат, т. e. при 𝑝𝑝 = 0. В этом 𝑁𝑁(𝑝𝑝) 1 𝑝𝑝 случае его можно записать в виде 𝐼𝐼(𝑝𝑝) = 𝑝𝑝𝐷𝐷 |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 , где 𝐷𝐷′ 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝐷𝐷1 𝑝𝑝 . • Вычет, соответствующий полюсу в начале координат, вычисляется по формуле 𝑁𝑁(𝑝𝑝) 𝑁𝑁(0) 𝐴𝐴0 = |𝑝𝑝=0 = . ′ 𝐷𝐷1 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝𝐷𝐷1 𝑝𝑝 𝐷𝐷1 0 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Полюсу в начале координат соответствует ступенчатая функция времени 𝐴𝐴0 𝛿𝛿(𝑡𝑡). 1, при 𝑡𝑡 ≥ 0; Здесь 𝛿𝛿 𝑡𝑡 - единичная ступенчатая функция 𝛿𝛿 𝑡𝑡 = � . Теперь 0, при 𝑡𝑡 < 0. формула разложения примет вид 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 • Паре комплексно-сопряженных полюсов соответствуют комплексно-сопряженные вычеты. Если полюсы 𝑝𝑝𝑖𝑖± = 𝛼𝛼𝑖𝑖 ± 𝑗𝑗𝛽𝛽𝑖𝑖 , то вычеты 𝐴𝐴̇ 𝑖𝑖± = 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑒𝑒 ±𝑗𝑗𝜓𝜓𝑖𝑖 , поэтому комплексно-сопряженным полюсам в оригинале соответствует слагаемое 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑝𝑝𝑖𝑖+ 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑗𝑗𝑝𝑝𝑖𝑖− 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑒𝑒 𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑡𝑡+𝜓𝜓𝑖𝑖 + 𝑒𝑒 −𝑗𝑗 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑡𝑡+𝜓𝜓𝑖𝑖 = 2𝐴𝐴𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽𝑖𝑖 𝑡𝑡 + 𝜓𝜓𝑖𝑖 . • Таким образом, если изображение имеет комплексно-сопряженные полюсы, функция времени содержит синусоидальную составляющую, затухающую (при 𝛼𝛼 < 0) или возрастающую (при 𝛼𝛼 > 0) с течением времени. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Вычисление оригинала дробно-рациональной функции по формуле разложения выполняется в следующем порядке: • 1. определяются корни полинома знаменателя pl, p2, ..., pn . • 2. с помощью формул вычисляются вычеты 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑘𝑘 ) |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐷𝐷 𝑝𝑝 • 3. в зависимости от характера полюсов оригинал записывается в виде a. 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 𝑒𝑒 𝑝𝑝1 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 + ⋯ + 𝐴𝐴𝑛𝑛 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑛𝑛𝑡𝑡 = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 , b. 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 , c. 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + 2 ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝛼𝛼𝑘𝑘 𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑡𝑡 + 𝜓𝜓𝑘𝑘 . 𝑁𝑁(𝑝𝑝) | . 𝑝𝑝 𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 или 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝐷𝐷′ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Пример. В цепи, показанной на рис., ключ замыкается в момент времени t = 0. Значения элементов: R1 =5 кОм, R2 =10 кОм, R3 =5 кОм, R4 =5 кОм, С =0.01 мкФ, Е =15 В. Определить закон изменения тока I3(t). • Решение • Эквивалентная схема, соответствующая моменту времени t =0_, показана на рис. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Найдем, что начальное напряжение емкостного элемента 𝑢𝑢𝑐𝑐 = 10 В. • Операторная схема замещения для t > 0 показана на рис. 𝑅𝑅3 +𝑅𝑅4 𝐸𝐸 𝑅𝑅1 +𝑅𝑅3 +𝑅𝑅4 = 5+5 15 5+5+5 = • Изображение тока I3(p) имеет вид • 𝐼𝐼3 𝑝𝑝 = 𝑈𝑈𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑅𝑅3 = 𝑢𝑢𝐶𝐶(0) 𝐸𝐸 + 1 𝑝𝑝𝑅𝑅1 𝑝𝑝( ) 𝑅𝑅2 +1�𝑝𝑝𝑝𝑝 1 1 1 𝑅𝑅3 1 + + 𝑅𝑅1 𝑅𝑅1 +1�𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑅𝑅3 = 1,6�10−3 (𝑝𝑝+0,75�104 ) . 𝑝𝑝(𝑝𝑝+0,8�104 ) • Полюсы I3(р): pl = 0, р2 = - 0.8 ·104 . • Вычеты найдем с помощью формулы 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 1,5 � 10−3 . • 𝐴𝐴2 = 1,6�10−3 (𝑝𝑝+0,75�104 ) |𝑝𝑝=− 0.8 ·104 𝑝𝑝 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑘𝑘 ) |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 : 𝐷𝐷 𝑝𝑝 = 0,1 � 10−3 𝐴𝐴1 = 1,6�10−3 (𝑝𝑝+0,75�104 ) |𝑝𝑝=0 (𝑝𝑝+0,8�104 ) = ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Таким образом, 1,5 � 10−3 0,1 � 10−3 + . 𝐼𝐼3 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 (𝑝𝑝 + 0,8 � 104 ) • Запишем закон изменения тока i3(t) : 𝑖𝑖3 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴1 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + 𝐴𝐴2 𝑒𝑒 𝑝𝑝2 𝑡𝑡 = 1,5 � 10−3 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + 0,1 � 10−3 � 𝑒𝑒 −8000𝑡𝑡 . • Операторный метод можно рассматривать как обобщение метода комплексных амплитуд и спектрального метода на случай произвольных сигналов. • Пример. В цепи, показанной на рис., действует источник постоянного напряжения Е == 10 В. Параметры цепи: R1 = R2 =1 ом, С =0.25 Ф, L =1.33 Гн. • Цепь находится в установившемся режиме. В момент времени t = 0 замыкается ключ, шунтирующий участок цепи с сопротивлением R2. Требуется рассчитать операторным методом закон изменения тока I1(t) при t > 0. • Решение. Определим сначала независимые начальные условия, т. е. ток индуктивного элемента iL(0) и напряжение емкостного элемента uC(0). Эквивалентная схема для момента времени t = 0 изображена на рис. a b • Анализируя схему на рис., найдем, что iL(0) = 5 А, uC(0) = 5 В. • Операторная схема замещения показана на следующем рис. Найдем сначала напряжение Uab (р): • Uab (р)= 𝐸𝐸 +𝐶𝐶𝑈𝑈𝐶𝐶 𝑝𝑝 𝐸𝐸 − 𝑈𝑈𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑝𝑝 𝑅𝑅1 • Подставляя численные значения, имеем • I1 (р)= 𝑝𝑝𝑝𝑝 1 1 𝑝𝑝𝑝𝑝+ + 𝑅𝑅1 𝑝𝑝𝑝𝑝 • Ток • I1 (р)= 𝐿𝐿𝑖𝑖 (0) 0 − 𝐿𝐿 5𝑝𝑝2 +20𝑝𝑝+30 𝑝𝑝(𝑝𝑝2 +4𝑝𝑝+3) a b = 𝑝𝑝 . . 5𝑝𝑝2 +20𝑝𝑝+30 . 𝑝𝑝(𝑝𝑝+1)(𝑝𝑝+3) • Полученное изображение представляет дробно-рациональную функцию от р. Найдем оригинал i1(t). Изображение I1(р) имеет полюсы: • p0 = 0; p1 = - 1; p2 = - 3. 𝑘𝑘 ) • Вычеты в полюсах найдем согласно 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝 |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 : 𝐷𝐷 𝑝𝑝 • 𝐴𝐴0 = • 𝐴𝐴1 = • 𝐴𝐴2 = 5𝑝𝑝2 +20𝑝𝑝+30 | (𝑝𝑝+1)(𝑝𝑝+3) 𝑝𝑝=0 = 10 5𝑝𝑝2 +20𝑝𝑝+30 |𝑝𝑝=−1 𝑝𝑝(𝑝𝑝+3) 5𝑝𝑝2 +20𝑝𝑝+30 |𝑝𝑝=−3 𝑝𝑝(𝑝𝑝+1) • Таким образом, имеем = −7,5 =2,5 10 7,5 2,5 𝐼𝐼1 𝑝𝑝 = − + . 𝑝𝑝 𝑝𝑝 + 1 𝑝𝑝 + 3 • Оригинал тока 𝑖𝑖1 (𝑡𝑡) равен • 𝑖𝑖1 𝑡𝑡 = 10𝛿𝛿(𝑡𝑡) − 7,5𝑒𝑒 −𝑡𝑡 + 2,5𝑒𝑒 −3𝑡𝑡 . • Пример. Определить ток в последовательной RL-цепи (рис.) При включении на входе источника синусоидального напряжения 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝜔𝜔𝑡𝑡. • Решение. Изображение ЭДС источника E(р)= Z(p) =R + pL. Изображение тока в цепи 𝑝𝑝 . 𝑝𝑝2 +𝜔𝜔2 Операторное сопротивление цепи 𝐸𝐸 𝐿𝐿 𝑝𝑝 𝐸𝐸(𝑝𝑝) 𝐼𝐼 𝑝𝑝 = = 𝑍𝑍(𝑝𝑝) (𝑝𝑝2 + 𝜔𝜔 2 )(𝑝𝑝 + 𝑅𝑅 ) 𝐿𝐿 • Полюсы I(P): 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑘𝑘 ) |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐷𝐷 𝑝𝑝 • 𝐴𝐴1 = • 𝐴𝐴1 = • 𝐴𝐴3 = 𝐸𝐸 𝑝𝑝 𝐿𝐿 : 𝑅𝑅 𝐿𝐿 (𝑝𝑝+𝑗𝑗𝜔𝜔)(𝑝𝑝+ ) 𝐴𝐴∗2 = 𝑅𝑅 2 Переходный ток 𝐸𝐸 |𝑝𝑝=𝑗𝑗𝜔𝜔 = 2𝑍𝑍 𝑒𝑒 −𝑗𝑗𝜔𝜔 ; 𝐸𝐸 𝑗𝑗𝜔𝜔 𝑒𝑒 ; 2𝑍𝑍 𝑅𝑅 𝐸𝐸 𝑅𝑅2 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 2 • Здесь 𝑍𝑍 = 𝑅𝑅 𝑝𝑝1,2 = ±𝑗𝑗𝑗𝑗, 𝑝𝑝3 = − 𝐿𝐿 . Вычеты найдем с помощью формулы 𝐴𝐴𝑘𝑘 = = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜑𝜑 𝐸𝐸. 𝑍𝑍 + 𝜔𝜔𝜔𝜔 2, cos𝜑𝜑 = 𝑅𝑅 . 𝑍𝑍 𝑅𝑅 𝐸𝐸 − 𝑡𝑡 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 � 𝑒𝑒 𝐿𝐿 . 𝑍𝑍 • Принужденная составляющая переходного тока изменяется по синусоидальному закону • Свободная составляющая 𝑖𝑖ПР 𝑖𝑖СВ 𝐸𝐸 𝑡𝑡 = cos 𝜔𝜔𝜔𝜔 − 𝜑𝜑 . 𝑍𝑍 𝑅𝑅 𝐸𝐸 − 𝑡𝑡 𝑡𝑡 = cos 𝜑𝜑 𝑒𝑒 𝐿𝐿 . 𝑍𝑍 • Величина свободной составляющей зависит от cos𝜑𝜑, т. e. от отношения активного и полного сопротивлении цепи в установившемся режиме. • Пример. Рассчитать напряжение на выходе цепи (рис. 1.), если на входе действует одиночный прямоугольный импульс длительностью 𝜏𝜏 (рис. 2). • Решение. Представим входное напряжение в виде суммы двух ступенчатых функций, смещенных на интервал 𝜏𝜏 (рис. 3): u1 𝑡𝑡 = 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 . Рис.1. Рис.2. Рис.3. Воспользуемся принципом наложения. Реакцией на действие единичной ступенчатой функции является переходная характеристика. Поэтому напряжение на выходе цепи равно разности переходных характеристик, смещенных на интервал 𝜏𝜏: 𝑢𝑢2 𝑡𝑡 = ℎ 𝑡𝑡 − ℎ 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 . Передаточная функция цепи 𝑅𝑅2 𝑝𝑝 + 103 𝐻𝐻 𝑝𝑝 = �= 0,5 � 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 𝑝𝑝 + 0,5 � 103 • Для того чтобы рассчитать переходную характеристику, определим оригинал изображения: • 1 𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝑝𝑝 = 0,5�(𝑝𝑝+103 ) . 𝑝𝑝(𝑝𝑝+0,5�103 ) • Полюсы изображения: 𝑝𝑝0 = 0, 𝑝𝑝1 = −0,5 � 103 . • Вычеты найдем с помощью формулы 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑘𝑘 ) |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐷𝐷 𝑝𝑝 • Переходная характеристика ℎ 𝑡𝑡 = 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 0,5 � 𝑒𝑒 −1000𝑡𝑡 . : 𝐴𝐴0 =1; 𝐴𝐴1 =-0,5. • Напряжение на выходе цепи 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = ℎ 𝑡𝑡 − ℎ 𝑡𝑡 − 𝜏𝜏 = 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 0,5 � 𝑒𝑒 −1000𝑡𝑡 − 𝛿𝛿 𝑡𝑡 − 0,001 − 0,5 � 𝑒𝑒 −1000 • График выходного напряжения показан на рис. 𝑡𝑡−0,001 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Операторной функцией цепи называют отношение изображения реакции к изображению входного воздействия. • Функции цепи определяют при нулевых начальных условиях, поэтому в операторных схемах замещения индуктивного и емкостного элементов отсутствуют независимые источники. • Таким образом, операторная функция является изображением реакции цепи при нулевых начальных условиях. • Если входное воздействие и реакция принадлежат одной паре зажимов, операторную функцию называют входной. • Операторное входное сопротивление 𝑍𝑍 𝑝𝑝 = • Операторная входная проводимость 𝑌𝑌 𝑝𝑝 = 𝑈𝑈(𝑝𝑝) . 𝐼𝐼(𝑝𝑝) 1 𝑍𝑍(𝑝𝑝) = 𝐼𝐼(𝑝𝑝) . 𝑈𝑈(𝑝𝑝) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗВЕСТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ • Если входное воздействие и реакция принадлежат разным парам зажимов, мы имеем операторные передаточные функции. Как и в случае комплексных передаточных функций, в зависимости от вида переменных различают функции передачи напряжения Hu(р), функции передачи тока HI(p), передаточные сопротивления или проводимости. • Следует подчеркнуть несколько особенностей передаточных функций. • Во-первых, для однозначного определения передаточной функции необходимо указать направления токов и напряжений. • Во-вторых, следует помнить, что первый индекс соответствует выходу, а второй входу. • В-третьих, передаточное сопротивление Z21(р) не является величиной, обратной проводимости Y21(р). • Известно, что реакция линейной цепи является суммой двух составляющих: реакции при нулевом входном сигнале и реакции при нулевом начальном состоянии. Функции цепи определяются при нулевых начальных условиях, они являются изображением реакции при нулевом начальном состоянии. • Функции цепей можно получить из системы уравнений, составленных для операторной схемы замещения. Они представляют отношение определителей и алгебраических дополнений матриц коэффициентов системы уравнений. • Каждый элемент такой матрицы представляет рациональную функцию с вещественными коэффициентами. Поэтому функции цепей являются дробно-рациональными функциями, т. е. отношением многочленов комплексной переменной р. 𝐻𝐻 𝑝𝑝 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝) 𝐷𝐷(𝑝𝑝) = 𝑏𝑏𝑚𝑚 𝑝𝑝𝑚𝑚 +𝑏𝑏𝑚𝑚−1 𝑝𝑝𝑚𝑚−1 +⋯+𝑏𝑏1 𝑝𝑝1 +𝑏𝑏0 . 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑝𝑝𝑛𝑛 +𝑎𝑎𝑛𝑛−1 𝑝𝑝𝑛𝑛−1 +⋯+𝑎𝑎1 𝑝𝑝1 +𝑎𝑎0 • Порядок числителя и знаменателя функции цепи зависит от суммарного числа реактивных элементов. • Операторные функции цепи имеют простую связь с комплексными передаточными функциями. Чтобы получить операторную передаточную функцию H(р), достаточно заменить в формуле комплексной передаточной функции переменную j𝜔𝜔 на р. • Однако в отличие от комплексных передаточных функций, определяющих реакцию цепи в установивmемся режиме на синусоидальное воздействие, операторная функция позволяет рассчитать реакцию цепи на воздействие любой формы. • Пример. Рассчитать импульсную и переходную характеристики фильтра, показанного на рис. Комплексная передаточная функция фильтра определяется формулой 𝐻𝐻 𝑗𝑗𝜔𝜔 = 2�108 . (𝑗𝑗𝜔𝜔)2 +1,414�104 𝑗𝑗𝑗𝑗+108 • Решение. Операторную передаточную функцию H(р) получим из формулы, заменив j𝜔𝜔 на р: 𝐻𝐻(𝑝𝑝) = 2�108 . 𝑝𝑝2 +1,414�104 𝑝𝑝+108 • Как показано выше, импульсная характеристика является оригиналом Н(р). Полюсы передаточной функции р1,2 =-0.707·104 ±j0.707·104. Определим вычеты, пользуясь формулой 𝐴𝐴𝑘𝑘 = 𝑁𝑁(𝑝𝑝)(𝑝𝑝−𝑝𝑝𝑘𝑘 ) |𝑝𝑝=𝑝𝑝𝑘𝑘 𝐷𝐷 𝑝𝑝 : 𝐴𝐴1,2 = 1,414·104e∓𝑗𝑗𝑗𝑗/2 . • В соответствии с 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴0 𝛿𝛿 𝑡𝑡 + ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=1 𝐴𝐴𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑘𝑘 𝑡𝑡 импульсная характеристика 4 • ℎ0 𝑡𝑡 = 2,828 � 104 � 𝑒𝑒 −0,707�10 𝑡𝑡 sin(0,707 � 104 𝑡𝑡). • График импульсной характеристики показан на рис. • Изображение переходной характеристики • 𝐿𝐿 ℎ 𝑡𝑡 = 1 𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝑝𝑝 = 2�108 𝑝𝑝(𝑝𝑝2 +1,414�104 𝑝𝑝+108 ) • Изображение имеет три полюса: 𝑝𝑝0 = 0, 𝑝𝑝1,2 = −0,707 � 104 ± 𝑗𝑗 0,707 � 104 . • Соответствующие вычеты: А0 = 2, А1,2 = 1,414 � e∓𝑗𝑗225 . • Переходная характеристика цепи • ℎ 𝑡𝑡 = 2 + 2,828 � 𝑒𝑒 −0,707�104 𝑡𝑡 cos(0,707 � 104 𝑡𝑡 − 2250 ). • График переходной характеристики показан на рис.