Два аспекта понятия моделирования

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 1. Два аспекта понятия моделирования. Моделирование в данном курсе понимается в двух аспектах: 1. Моделирование как процесс создания моделей. 2. Моделирование как процесс исследования свойств систем с использованием моделей. Модели́рование — исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя. В силу многозначности понятия «модель» в науке и технике не существует единой классификации видов моделирования: классификацию можно проводить по характеру моделей, по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования (в технике, физических науках, кибернетике и т. д.). В настоящее время по технологии моделирования и области применения выделяют такие основные виды моделирования: Информационное моделирование Компьютерное моделирование Математическое моделирование Биологическое моделирование Математическое моделирование социально-исторических процессов Математико-картографическое моделирование Молекулярное моделирование Цифровое моделирование Логическое моделирование Педагогическое моделирование Психологическое моделирование Статистическое моделирование Структурное моделирование Физическое моделирование Экономико-математическое моделирование Имитационное моделирование Эволюционное моделирование Графическое и геометрическое моделирование Натурное моделирование Метамоделирование и др. Процесс моделирования включает три элемента: субъект (исследователь), объект исследования, модель, определяющую (отражающую) отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Первый этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отображает (воспроизводит, имитирует) какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимой и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестаёт быть моделью), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала. Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от исследования других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определённых сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации. На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о её «поведении». Конечным результатом этого этапа является множество (совокупность) знаний о модели. На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал — формирование множества знаний. Одновременно происходит переход с «языка» модели на «язык» оригинала. Процесс переноса знаний проводится по определённым правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учётом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Четвёртый этап — практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. Моделирование — циклический процесс. Это означает, что за первым четырёхэтапным циклом может последовать второй, третий и т. д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта или ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. Сейчас трудно указать область человеческой деятельности, где не применялось бы моделирование. Разработаны, например, модели производства автомобилей, выращивания пшеницы, функционирования отдельных органов человека, жизнедеятельности Азовского моря, последствий атомной войны. В перспективе для каждой системы могут быть созданы свои модели, перед реализацией каждого технического или организационного проекта должно проводиться моделирование. Главный вопрос моделирования Всякому оригиналу может соответствовать несколько моделей в зависимости от … Может ли модель отражать ВСЕ свойства оригинала? С общих позиций математическое моделирование можно рассматривать как метод по- знания реального мира. Под математическим моделированием в технике понимают адекватную замену исследуемого технического устройства или процесса соответствующей математической моделью и ее последующее изучение известными методами. Математическое моделирование как научное направление сформировалось в 70-х годах XX века. Его становление и развитие обусловлено появлением электронно-вычислительных машин (ЭВМ), используемых при изучении математической модели (ММ). Отметим, что определенные предпосылки к широкому применению математического моделирования и вычислительного эксперимента в технике были созданы благодаря разработке методов аналогового моделирования. Основу большинства этих методов составляло использо- вание электрических моделей-аналогов для исследования процессов в механических, тепловых и гидравлических системах. Это приводит к тому, что одна и та же ММ используется в различ- ных предметных областях и возникает “родство” между различными отраслями знаний, приво- дящее к ускорению их совместного развития. В настоящее время можно утверждать, что вычислительный эксперимент наряду с физи- ческим и натурными экспериментами является основным способом исследования и получения новых знаний в различных областях естествознания. Следует ожидать, что роль математического моделирования в дальнейшем будет возрас- тать, хотя оно не заменит физический или натурный эксперимент, так как опыт всегда останет- ся основой исследования. Активное использование математического моделирования в различ- ных областях человеческой деятельности обусловлено многими причинами, основными среди которых являются следующие: • усложнение исследований, для которых необходимо использовать сложные эксперимен- тальные установки или модельные объекты; • большие финансовые, энергетические и другие затраты на обслуживание экспериментов; • необходимость решения экологических, социальных и других сопутствующих исследо- ванию проблем; • невозможность проведения физического или натурного эксперимента в ряде областей исследования. Свойства математических моделей Использование модели будет эффективным, если она обладает определенными свойствами. Рассмотрим основные из этих свойств. Полнота ММ позволяет в достаточной мере отразить именно те характеристики и особенности ТО, которые представляют интерес с точки зрения поставленной цели математического моделирования. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели. Так, ММ резистора может быть представлена в виде хорошо известной формулы U = I R закона Ома, где U иI — падение электрического напряжения на резисторе и сила тока соответственно;R — сопротивление резистора. Такая модель обладает свойством полноты лишь с точки зрения установления связи между падением электрического напряженияU на резисторе, его сопротивлениемR и протекающим через него током силойI, но не дает никакой информации о размерах, массе, стоимости и других характеристиках резистора, по отношению к которым она не является полной. Точность ММ обеспечивает приемлемое совпадение значений выходных параметров ТО и значений этих параметров, найденных с использованием ММ. Адекватность ММ. В общем случае под этим свойством понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны при проведении математического моделирования. Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же ТО. В технике под адекватностью ММ обычно понимают способность описывать характеристики ТО, которые важны при проведении исследования, с относительной погрешностью не более заданного значения δ. Экономичность ММ оценивают затратами на ресурсы, необходимые для изучения ММ, например, это свойство ММ не требовать при проведении вычислительного эксперимента больших затрат машинного времени и памяти. Очевидно, что требования экономичности, высокой точности и достаточно широкой области адекватности ММ противоречивы и на практике могут быть удовлетворены лишь на основе разумного компромисса. Свойство экономичности ММ часто связывают с ее простотой. Робастность ММ (от английского слова robust — крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных и способность не допускать их чрезмерного влияния на результаты вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности ММ могут быть необходимость вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину при количественном анализе ММ, а также использование функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту ММ приводит к снижению ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точностью или входящих в приближенные соотношения. Продуктивность ММ связана с возможностью использовать достаточно достоверные исходные данные. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании ММ. В противном случае ММ будет непродуктивной, и ее применение теряет смысл. Этому не всегда уделяется достаточное внимание, что существенно снижает прикладную значимость многих исследований. Некоторые исходные величины или зависимости иногда невозможно установить с требуемой точностью, например, при неконтролируемых измерениях свойств материала в результате старения или износа, при рассмотрении атмосферных явлений и т.п. В этом случае возникает необходимость в использовании случайных величин или случайных функций. Если необходимые характеристики случайных величин или случайных функций не поддаются определению, то следует разработать другую ММ, может быть менее точную, но и менее требовательную к точности исходных данных. Наглядность ММ — желательное свойство, под которым понимают ясный содержательный смысл компонент ММ. Это желаемое, но необязательное свойство. Тем не менее, использование ММ и ее последующие модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно расширяет возможности качественного анализа модели и облегчает контроль правильности результатов вычислительного эксперимента. Для большинства случаев абстрактная модель системы произвольной природы может быть представлена с помощью схемы (рис. 2.1), Система не существует сама по себе, а выделяется из окружающей среды по како-му-либо системообразующему признаку, в качестве которого чаще всего выступает цель системы. Взаимодействие системы с внешней средой осу-ществляется через вход и выход системы (множество входных и выходных параметров). Рис. 2.1 Модель произвольного объекта Под входными параметрами системы понимается комплекс парамет-ров внешней среды (в том числе выходные параметры систем, внешних по отношению к рассматриваемой, например, систем управления), оказыва-ющих значительное влияние на состояние и значение выходных параметров рассматриваемой си-стемы и поддающихся учету и анализу средствами, имеющимися в распо-ряжении исследователя. Выходные параметры – это комплекс параметров системы, оказыва-ющих непосредственное влияние на состояние внешней среды и значимых с точки зрения цели исследования. Система может находиться в различных состояниях. Состояние любой системы в определенный момент времени можно с определенной точностью охарактеризовать совокупностью значений параметров состояния q. Таким образом, система характеризуется тремя группами переменных: 1) входными переменными, которые генерируются системами, внешними относительно исследуемой ; 2) выходными переменными, определяющие воздействие исследуемой системы на окружающую среду ; 3) параметрами состояния (внутренними параметрами), характеризующими динамическое поведение исследуемой системы . При исследовании большинства систем все три группы введенных величин предполагаются функциями времени. При создании ТО значения выходных параметров или диапазоны их возможного изменения оговаривают в техническом задании на разработку ТО, тогда как внешние параметры характеризуют условия его функционирования. В сравнительно простом случае математическая модель ТО может представлять собой соотношение: ;    ;   ;   ,   (2.1) где f – векторная функция векторного аргумента.  Модель в виде соотношения (2.1) позволяет легко вычислять выходные параметры по задаваемым значениям внешних и внутренних параметров, т.е. решать так называемую прямую задачу. В инженерной практике решение прямой задачи часто называют поверочным расчетом. При создании ТО возникает необходимость решать более сложную так называемую обратную задачу: по обусловленным техническим заданием на проектирование ТО значениям внешних и выходных параметров находить его внутренние параметры. В инженерной практике решению обратной задачи соответствует проектировочный расчет, часто имеющий целью оптимизацию внутренних параметров по некоторому критерию оптимальности. Однако при построении ММ ТО функция f в соотношении (2.1) обычно заранее не известна и ее предстоит установить. Это наиболее сложная так называемая задача идентификации ММ. Задача идентификации может быть решена путем математической обработки информации о ряде таких состояний ТО, для каждого из которых известны (например, измерены экспериментально) значения выходных, внутренних и внешних параметров. Один из таких способов связан с применением регрессионного анализа. Если информация о внутренних параметрах отсутствует или же внутреннее устройство ТО слишком сложно, то ММ такого ТО строят по принципу черного ящика: устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами путем исследования реакции ТО на внешние воздействия. Теоретический путь построения ММ состоит в установлении связи между у, x и g Одной из распространенных задач научно-исследовательского характера является задача исследования вектора выходных параметров Y=(y1,y2,…,yn) некоторого объекта, на вход которого подается вектор входных воздействий X=(x1,x2,…,xn). Исследование может осуществляться с целью поиска экстремумов функции выходных параметров. Математической моделью объекта является система уравнений: . Входные переменные xj, j= называют факторами, а функции fj(…) - функциями отклика. Фактором называется измеряемая переменная величина, подаваемая на вход объекта и принимающая в некоторый момент времени определенное значение. Каждый фактор будет задан, если вместе с его названием указана область определения. Под областью определения понимается множество значений Xj, которые может принимать i-й фактор. Факторы определяют как сам объект, так и его состояние. Поэтому к факторам предъявляют такие требования, как управляемость и однозначность. Управлять фактором - значит установить нужное значение и поддерживать его постоянным в течение опыта или изменять по заданной программе. Планировать эксперимент можно только тогда, когда уровни факторов подчиняются воле экспериментатора. В планировании эксперимента могут участвовать сложные факторы или совокупность факторов, к которым предъявляются требования совместимости и отсутствия линейной корреляции. При этом выбранное множество факторов должно быть полным, а точность фиксации факторов - высокая. Экспериментатор ставит опыты с целью идентификации параметров модели. Каждый из факторов xj может принимать в u-м опыте, проводимом экспериментатором, одно из возможных (задаваемых) значений , называемых условиями. Значения факторов задаются в виде дискретных уровней. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний черного ящика zj. Если перебрать все наборы состояний, то получим полное множество Z состояний объекта Оценка числа состояний объекта соответствует числу уровней факторов P, возведенных в степень числа факторов K. Очевидно, что даже такая простая система с p=4 и k=4 требует 256 опытов для оценки 256 состояний. Очевидно желание сократить число экспериментов с объектом, т.к. каждый эксперимент стоит денег и времени. Задача определения требуемого числа опытов решается методами планирования экспериментов. Планирование эксперимента - это процедура выбора числа условий протекания опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенным являются: - стремление к минимизации общего числа опытов; - одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам - алгоритмам; - использование математического аппарата, формализующего действия эксперимента; - выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов. Задачи, для решения которых может использоваться планирование эксперимента чрезвычайно разнообразны, а там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его проведении - планирование эксперимента. В задачах планирования эксперимента нашли применение линейные модели наблюдений. Выбор модели - процесс творческий и итеративный. Выбрать модель - значит выбрать вид некоторой аналитической функции в виде определенного уравнения. На рис.6.1 показана графическая интерпретация модели (называемой функцией отклика) в виде поверхности в трехмерном пространстве. На горизонтальной плоскости определена область изменения факторов x1 и x2. Каждому состоянию объекта соответствует точка y на поверхности, которой, в свою очередь, соответствуют точка на горизонтальной плоскости, определяемая факторами x1 и x2. Под экспериментом будем понимать совокупность операций совершаемых над объектом исследования с целью получения информации о его свойствах. Эксперимент, в котором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения, называется активным экспериментом. Если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а лишь регистрирует их, то это пассивный эксперимент. Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача построения математической модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать и при анализе процессов и при проектировании объектов. Можно получить хорошо аппроксимирующую математическую модель, если целенаправленно применяется активный эксперимент. Другой задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации влияющих независимых переменных, при которой выбранный показатель оптимальности принимает экстремальное значение. Опыт – это отдельная экспериментальная часть. План эксперимента – совокупность данных определяющих число, условия и порядок проведения опытов. Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления. В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами. Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности. Пусть интересующее нас свойство (Y) объекта зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, …, Хn) и мы хотим выяснить характер этой зависимости - Y=F(Х1, Х2, …, Хn), о которой мы имеем лишь общее представление. Величина Y – называется “отклик”, а сама зависимость Y=F(Х1,Х2, …, Хn) – “функция отклика”. Отклик должен быть определен количественно. Однако могут встречаться и качественные признаки Y. В этом случае возможно применение рангового подхода. Пример рангового подхода - оценка на экзамене, когда одним числом оценивается сложный комплекс полученных сведений о знаниях студента. Независимые переменные Х1, Х2, …, Хn – иначе факторы, также должны иметь количественную оценку. Если используются качественные факторы, то каждому их уровню должно быть присвоено какое-либо число. Важно выбирать в качестве факторов лишь независимые переменные, т.е. только те которые можно изменять, не затрагивая другие факторы. Факторы должны быть однозначными. Для построения эффективной математической модели целесообразно провести предварительный анализ значимости факторов (степени влияния на функцию), их ранжирование и исключить малозначащие факторы. Диапазоны изменения факторов задают область определения Y. Если принять, что каждому фактору соответствует координатная ось, то полученное пространство называется факторным пространством. При n=2 область определения Y представляется собой прямоугольник, при n=3 – куб, при n >3 - гиперкуб. При выборе диапазонов изменения факторов нужно учитывать их совместимость, т.е. контролировать, чтобы в этих диапазонах любые сочетания факторов были бы реализуемы в опытах и не приводили бы к абсурду. Для каждого из факторов указывают граничные значения , i=1,... n. Регрессионный анализ функции отклика предназначен для получения ее математической модели в виде уравнения регрессии , где В1, …, Вm – некоторые коэффициенты; е – погрешность. Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют: планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению; планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами; планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные); планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования; планирование при изучении динамических процессов и т.д. Инициатором применения планирования эксперимента является Рональд А. Фишер, другой автор известных первых работ – Френк Йетс. Далее идеи планирования эксперимента формировались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей стране - в трудах Г.К. Круга, Е.В. Маркова и др. В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов, например: StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и др. Представление результатов экспериментов При использовании методов планирования эксперимента необходимо найти ответы на 4 вопроса: Какие сочетания факторов и сколько таких сочетаний необходимо взять для определения функции отклика? Как найти коэффициенты В0, В1, …, Bm? Как оценить точность представления функции отклика? Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений Y? Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …, Хn называется поверхностью отклика (рис. 1). Рис. 1. Поверхность отклика Если исследуется влияние на Y лишь одного фактора Х1, то нахождение функции отклика - достаточно простая задача. Задавшись несколькими значениями этого фактора, в результате опытов получаем соответствующие значения Y и график Y =F(X) (рис. 2). Рис. 2. Построение функции отклика одной переменной по опытным данным По его виду можно подобрать математическое выражение функции отклика. Если мы не уверены, что опыты хорошо воспроизводятся, то обычно опыты повторяют несколько раз и получают зависимость с учетом разброса опытных данных. Если факторов два, то необходимо провести опыты при разных соотношениях этих факторов. Полученную функцию отклика в 3х-мерном пространстве (рис. 1) можно анализировать, проводя ряд сечений с фиксированными значениями одного из факторов (рис. 3). Вычлененные графики сечений можно аппроксимировать совокупностью математических выражений. Рис. 3. Сечения поверхности отклика при фиксированных откликах (а) и переменных (б,в). При трех и более факторах задача становится практически неразрешимой. Если и будут найдены решения, то использовать совокупность выражений достаточно трудно, а часто и не реально. Например, пусть необходимо исследовать влияние U, f и Rr на Мп и P2 асинхронного двигателя (АД) (рис. 4). Рис. 4. Исследование влияния U, f и Rr на Мп и P2 АД Если в диапазоне изменения каждого фактора взять хотя бы по пять точек то для того чтобы выполнить опыты при всех возможных сочетаниях значений факторов (их три) необходимо выполнить 53=125 опытов и сформировать по 52=25 кривых для каждой из двух функций отклика. Если мы хотим хотя бы продублировать опыты чтобы снизить погрешность, то число опытов пропорционально возрастает, поэтому произвольное выполнение опытов при числе факторов более двух и использование их результатов - практически нереально. Лекция 2. Разложение функции отклика в степенной ряд, кодирование факторов Если заранее не известно аналитическое выражение функции отклика, то можно рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например в степенной ряд в виде полинома Y=В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn-1ХnХn-1 + В11Х12 + … + ВnnXn2 +…. Разложение в степенной ряд функции возможно в том случае, если сама функция является непрерывной и гладкой. На практике обычно ограничиваются числом членов степенного ряда и аппроксимируют функцию полиномом некоторой степени. Факторы могут иметь разные размерности (А, В, Вт, об/мин) и резко отличаться количественно. В теории планирования эксперимента используют кодирование факторов. Рис. 5. Пространство кодированных факторов Эта операция заключается в выборе нового масштаба для кодированных факторов (рис. 5), причем такого, чтобы минимальное значение кодированных факторов соответствовало “-1”, а максимальное значение “+1”, а также в переносе начала координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, …, Хnср Текущее значение кодированного фактора , где Хi – именованное (абсолютное) значение фактора; xi – кодированное значение фактора; Xicp -Ximin =Ximax-Xicp - интервал варьирования фактора. Граница совместимости факторов указана на рис. 5 в виде кривой линии. Если фактор изменяется дискретно, например он является качественным, то каждому уровню этого кодированного фактора присваиваются числа в диапазоне от +1 до –1. Так при двух уровнях это +1 и –1, при трех уровнях +1, 0, -1 и т.д. Функция отклика может быть выражена через кодированные факторы Y=f(x1,…, хn) и записана в полиномиальном виде Y=b0+b1х1+b2х2+…+bnхn+b12х1х2+…+bnn-1хn-1хn+b11х12+ …+bnnхn2+…. Очевидно, что , но Y=F(X1,…, Xi,…, Xn) = f(x1,… xi,…, хn). Для полинома, записанного в кодированных факторах, степень влияния факторов или их сочетаний на функцию отклика определяется величиной их коэффициента bi.  Стратегия применения планов заключается в принципе постепенного планирования – постепенного усложнения модели. Начинают с простейшей модели, находятся для нее коэффициенты, определяется ее точность. Если точность не удовлетворяет, то планирование и модель постепенно усложняются. Существует несколько правил составления матрицы Правило 1  при ортогональном планировании сумма элементов любого столбца матрицы Х, кроме первого столбца должно быть равна нулю. Это правило используется при построении плана эксперимента, то есть при определении каким образом нужно менять значения факторов в опытах. Правило 2 В каждом последующем столбце частота чередования знака уменьшается вдвое по сравнению с предыдущим столбцом Планы полного факторного эксперимента 2n (планы ПФЭ 2n) Планы ПФЭ 2n являются простейшими планами первого порядка. Основание 2 означает, что принято два уровня варьирования, на которых фиксируются факторы. n – число факторов. Для плана ПФЭ 22 число факторов равно двум (n=2) и число уровней фиксирования факторов также 2. Значения кодированных факторов выбираются в виде +1 и –1. Полное число возможных сочетаний значений n факторов (число опытов, а значит и число строк плана) N=2*2=4. Составляется план, в котором число столбцов факторов и их сочетаний равняется числу членов уравнения. Так для уравнения План ПФЭ 22 для этого уравнения представляется в следующем виде В первый столбец (i=0) во все четыре ячейки заносятся +1. Во второй столбец (i=1) заносятся единицы с чередующими знаками (начинаем с -1). В этом случае сумма элемента столбца равняется нулю. Третий столбец заполняем единицами с чередующимися через 2 элемента знаками. Сумма элементов также равняется нулю. Геометрическое отображение плана ПФЭ 22 с указанием номеров точек плана в факторном пространстве представлено на рис. 7. Точки плана располагаются в вершинах квадрата. . . При этом ранее определенные коэффициенты остаются без изменений. Определим коэффициент при дополнительном члене полинома . Полином имеет вид . По нему рассчитываем предсказанные значения отклика в точках плана (столбец ). Поверхность, построенная по полученному полиному, проходит точно через четыре точки плана ( =0), по которым определены коэффициенты. Однако в других точках области определения функции, например в центре плана (точка 5 в плане, х1=0, х2=0), предсказанные и действительные значения, могут не совпадать ( =3). Лекция 5. Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ) При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести (n > 6), число опытов планов ПФЭ 2n (N = 2n) становится чрезмерным. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) – части полного факторного эксперимента. Так, например, если требуется определить лишь коэффициенты при самих факторах , то план ПФЭ 2n дает избыточную информацию. Так при , в этом случае требуется определить коэффициентов, тогда как по плану ПФЭ необходимо провести N = 26 =64 опыта. Хотя эта избыточная информация не является бесполезной, она позволяет более точно определить коэффициенты, но все же часто используют планы ДФЭ 2n-k , где k – показатель дробности плана ПФЭ. При k = 1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, поэтому такие планы называют полуреплика плана ПФЭ. Так при k=1 для плана ДФЭ 26-1 N =26-1 = 32, при k=2 для плана ДФЭ 26-2 N =26-2 = 16 и такой план называют четвертьрепликой, при k=3 для плана ДФЭ 26-3 N =26-3 = 8. При выборе дробности плана k необходимо учитывать, что число опытов должно быть больше числа членов уравнения. В рассматриваемом случае величина k должна быть такой, что бы удовлетворялось условие . План ДФЭ строится, как и для плана ПФЭ, но с меньшим числом факторов. Оставшиеся факторы варьируются не произвольно, а так чтобы сохранялась ортогональность плана. Это обеспечивается, если оставшиеся факторы варьируются по выбранному генерирующему соотношению, например как произведение каких-либо факторов из первой группы. Но это приводит к тому, что в матрице Х будут существовать одинаковые столбцы. Следовательно, мы не сможем найти в чистом виде все коэффициенты неполного квадратичного полинома, а лишь определим совместную величину коэффициентов для одинаковых столбцов. Рассмотрим построение плана ДФЭ 23-1 . Здесь n = 3, к =1, N=23-1=4. Первые два фактора варьируем как и ранее для плана ПФЭ 22, а для третьего фактора выбираем генерирующее соотношение в виде . Для неполного квадратичного полинома количество столбцов плана составляет восемь. План является ортогональным, но в нем оказались четыре пары одинаковых столбцов. Поэтому можно определить только четыре коэффициента, отражающие совместные влияния двух одинаковых столбцов . Суммарные значения коэффициентов ; ; определяются аналогично. Это следствие того, что мы пытаемся определить полное количество коэффициентов – 8 по недостаточному числу опытов - 4. Однако, если заранее известно, что некоторые из членов уравнения равны нулю (пренебрежимо малы) или имеется априорная информация о величинах некоторых коэффициентов, то полученные коэффициенты могут быть вычленены. Так если , то . Если можно допустить, что коэффициенты из их смешанной оценки сопоставимы, то для рассмотренного плана . Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 в факторном пространстве (для трех факторов - трехмерное пространство) представлено на рис. 10. План ПФЭ 23 представлен кубом с восемью узлами (точками плана), а возможные планы ДФЭ 23-1 – проекциями этого куба на три плоскости. То есть из восьми узлов выбираются четыре (рис. 10, а). Из куба можно также выбрать четыре точки из восьми, не лежащие в одной плоскости, и сформировать план ДФЭ 23-1 (рис. 10, б). Рис. 10. Графическое изображение планов ПФЭ 23 и ДФЭ 23-1 в факторном пространстве Планы ДФЭ, как и планы ПФЭ, являются рототабельными. Планы ДФЭ могут быть как насыщенными так и ненасыщенными. Достоинство планов ДФЭ заключается и в том, что если построенный на его основе неполный полином не удовлетворяет требованиям по точности, то план ДФЭ легко достраиваются до плана ПФЭ, без потери информации прежних опытах, с формированием более точного полинома. Пример построения плана ДФЭ. Построить план ДФЭ 24-1 и определить полином Число факторов – 4. Нужно найти 8 коэффициентов полинома. Выбираем 8 из 16 опытов плана ПФЭ 24 таким образом, чтобы были определены независимые коэффициенты при самих факторах, смешанные коэффициенты при парных сочетаниях факторов и в пренебрежении тройными и четверным сочетаниями факторов и при этом сохранялась ортогональность плана. Такой выбор позволяет сформировать план ДФЭ 24-1 как и план ПФЭ 23 , но с х4=х1х2х3 . План ДФЭ 24-1 представляется в виде Значения коэффициентов полинома составляют: . ; ; ; Если принять, что , , , то полином имеет вид . Значения полинома в точках плана приведены в последнем столбце плана ДФЭ 24-1. В нашем случае точность его достаточно высокая. Лекция 6. Насыщенные планы первого порядка Насыщенным планом первого порядка – называется план, содержащий n+1 точку (опыт). Например, при n = 4, N=n + 1 = 5. То есть полином формируется в виде . Таким образом, насыщенный план – это предельно минимальный случай плана ДФЭ. Такие планы называются симплекс-планы. Для симплекс-плана при n = 1 N = 2 его геометрическое изображение представлено на рис. 11, а; при n=2, N=3 – на рис. 11, б; при n=3, N=4 – на рис. 11, в. Симплекс-планы обычно используются на стадии предварительного исследования. Рис. 11. Симплекс-план для n=1, N=2 (а); n=2, N=3 (б); n=3, N=4 (в) Симплекс-план не всегда является ортогональным. Симплекс-план называется правильным, если расстояние между двумя любыми точками плана одинаковое. Симплекс-план называется центрированным, если , для i=1, 2, …, n . Применимость планов ПФЭ и пути повышения точности полиномов. По каким же признакам можно судить о допустимости использования неполного квадратичного полинома, построенного на основе планов ПФЭ 2n? Такие полиномы дают поверхность отклика, которая проходит точно через все экспериментальные точки, по которым определяются коэффициенты. Так как точки планов ПФЭ располагаются на границах диапазонов варьирования факторов, то это означает, что поверхность отклика проходит через граничные точки. В любом сечении поверхности отклика, полученной по такому полиному, плоскостью при фиксированных всех факторах кроме одного и параллельной оси Y получается след в виде прямой линии. Рис. 7. Геометрическое отображение плана ПФЭ 22 в факторном пространстве Элементы столбцов соответствующих произведениям факторов получаются путем перемножения элементов предыдущих столбцов. Такое правило позволяет гарантировать, что мы не пропустили ни одного возможного сочетания факторов в опытах и в то же время не будет повторений одинаковых сочетаний. Последние два столбца факторов, соответствующие квадратам факторов, состоят только из +1. Столбцы, обведенные утолщенной рамкой, образуют план эксперимента. Столбец х1х2, не обведенный утолщенной рамкой, при проведении опытов носит вспомогательный характер. Особенности плана ПФЭ 22: 1. Различных столбцов в таблице получилось лишь четыре. Столбцы, соответствующие квадратам факторов неотличимы от столбца х0 - это общий результат для плана ПФЭ 2n. Это не позволяет определить отдельно коэффициенты при квадратах факторов. Поэтому планы ПФЭ 2n называют планами первого порядка. Для определения коэффициентов при квадратах факторов используют планы второго порядка. В дальнейшем в планах ПФЭ 2n столбцы квадратов факторов изображаться не будут. 2. Число различных столбцов равняется числу различных сочетаний факторов, то есть числу строк плана - числу опытов N. Это тоже общий результат для этих планов, то есть с помощью планов ПФЭ 2n можно определить все коэффициенты линейного полинома со всеми возможными сочетаниями факторов, включая коэффициенты b12…n , отражающие максимальное взаимодействие факторов вида х1х2…хn. 3. В плане ПФЭ 22 сумма квадратов элементов любого столбца , Поэтому для планов ПФЭ 2n . Таким образом, с помощью планов ПФЭ 2n можно определить свободный член уравнения b0, коэффициентов bi, коэффициентов при различных взаимодействиях двух факторов bij , коэффициентов тройных взаимодействий факторов bijk , ….., коэффициент b12…n. максимального взаимодействия факторов. Общее число определяемых коэффициентов . План ПФЭ 2n может являться насыщенным, при выборе числа членов уравнения m+1=N, ненасыщенным, при выборе числа членов уравнения и соответственно числа столбцов плана m+1 2 в ОЦКП оказывается меньшее количество точек, чем в плане ПФЭ 3n . Число точек в плане n 2 3 4 5 6 ОЦКП 9 15 25 43 77 ПФЭ 32 9 27 81 243 729 Графическое представление ОЦКП для n=3 приведено на рис. 13. Рис. 13. ОЦКП при n=3 Для ортогонального плана необходимо, чтобы выполнялось соотношение . Так как , то для столбцов j=1, 2,…., m+1 должно выполняться условие . Это означает необходимость выполнения требования, чтобы сумма элементов любого столбца (кроме j=0), включая столбцы, соответствующие квадратам фактора, должна быть равна нулю. Это возможно, если члены столбцов, соответствующих квадратам факторов, преобразованы, иначе сумма квадратов факторов не может быть равна нулю. Преобразование элементов этих столбцов осуществляется в виде , где а – величина, зависящая от числа факторов. Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов . Откуда . В общем случае ортогональный центрально-композиционный план при трех (n) факторов имеет следующий вид В ОЦКП каждый фактор фиксируется, в общем случае, на пяти уровнях (- , -1, 0, 1, + ). Для определения неизвестных “а” и “ ” нужно сформировать и решить систему из двух уравнений. Одно из них для “а” мы записали раннее. Другое уравнение получим из условия ортогональности для столбцов и . После простейших преобразований с учетом того, что – общее число опытов в плане, получаем соотношение . Соотношение для а при j=1, 2 или 3 может быть записано как (см. план) . Подставив его в последнее уравнение получаем , откуда константа преобразования а . Тогда и плечо звездных точек . Например, для ОЦКП при числе факторов n=3 имеем следующие параметры плана , , . Сам план принимает вид Очевидно, что план является ортогональным. В отличие от планов ПФЭ для ОЦКП сумма квадратов факторов разных столбцов не является одинаковой. По результатам опытов плана формируется полином . Коэффициенты полинома определяется как . Можно преобразовать полином к виду , где . Значения параметров ОЦКП при числе факторов n При n =2 ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 23. Звездные точки ОЦКП в этом случае лежат на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2n всегда лежат на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара). План ОЦКП не является насыщенным. Так, например, для n = 3 полином имеет одиннадцать членов со своими коэффициентами, но для их определения используются пятнадцать опытов. Пример плана ОЦКП для n = 2. Параметры плана N0=4, N=9, = 1, а = 2/3, 1-а=1/3, -а=-2/3, .Использован рассмотренный ранее план ПФЭ 22 с добавленными опытами 5-9. Коэффициенты полинома составляют ; ; ; ; ; . Полином принимает вид (Ранее по плану ПФЭ 22 был сформирован полином Рассчитанные значения по полиному приведены в плане. Также приведены величины , подтверждающие достаточно высокую точность полинома. Так в центральной точке плана, в отличие от случая применения плана ПФЭ 22, расхождений нет. Лекция 8. Рототабельные планы Рототабельные планы – это планы, у которых точки плана располагаются на окружностях (сферах, гиперсферах). У рототабельного плана первого порядка точки плана располагаются на одной окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом R , где V=1,…, N - номер точки плана, i =1,…, n – номер фактора. В таком случае точность оценивания функции отклика по любому направлению факторного пространства (для всех точек плана) одинаковая. Рототабельный план может быть симметричным, когда точки плана располагаются симметрично друг друга. Рассмотренный ранее план ПФЭ 2n – рототабельный симметричный план первого порядка. У рототабельных планов второго порядка точки плана располагаются на двух концентрических гиперсферах с радиусами R1 и R2 . В таких планах , для V =1,…, N0 и , для W=1,…, n0, где V и W – текущие номера точек плана в двух подмножествах опытов N0 и n0 из их общего количества N, относящихся к двум разным концентрическим сферам. Одна из сфер может быть вырожденной, когда R2=0. Рассмотренный ранее ортогональный центрально-композиционный план второго порядка (ОЦКП) не является рототабельным планом, так как его точки лежат на трех концентрических окружностях (сферах, гиперсферах). При n=2 это очевидно из рис. 14. “Звездные” точки плана и точки плана ПФЭ 2n лежат на разных окружностях. Рис. 14. Расположение точек ОЦКП на трех окружностях Рототабельный план может быть ортогональным, если выполняется условие , где , , , - номера столбцов плана. Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план Рототабельный ортогональный центрально-композиционный план (РОЦКП) строится аналогично рассмотренному ранее ОЦКП. К использованному в качестве ядра плану ПФЭ 2n добавляются “звездные” точки - по две на каждый фактор и несколько точек в центре плана. “Звездные” точки должны располагаться на поверхности гиперсферы с радиусом R, на которой лежат и точки плана ПФЭ 2n, то есть величина плеча “звездных” точек должна равняться радиусу R. Это может быть обеспечено, при выполнении условия ортогональности, только при соответствующем выборе числа наблюдений в центральной (нулевой) точке плана n0. Для РОЦКП n0 зависит от числа факторов n. Напомним, что в ОЦКП n0 = 1 для любого числа n. Радиус сферы, на которой лежат точки плана ПФЭ 2n при двух уровнях варьирования факторов с диапазоном 1 составляет (рис. 15) Рис. 15. Радиус окружности (сферы), на которой лежат точки плана ПФЭ 2n при диапазоне варьирования факторов от –1 до +1: а) - n=1, ; б) - n=2, ; в) - n=3, . Таким образом, при построении РОЦКП с ядром из плана ПФЭ 2n плечо “звездных” точек определяется числом факторов . Раннее при определении параметров ортогонального композиционного плана второго порядка с ядром из плана ПФЭ 2n было получено , где - число точек плана ПФЭ, - полное число точек композиционного плана второго порядка, - константа преобразования элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов. В этом случае для РОЦКП число наблюдений в центре плана . Если n0 не целое, то при практическом построении плана его округляют до целого, но свойство ортогональности плана нарушается. Параметры РОЦКП в зависимости от числа факторов В [1] без вывода для РОЦКП рекомендуется принимать . Тогда . Параметры РОЦКП по [1] Пример рототабельного ортогонального центрально-композиционного плана для n = 2. Параметры плана: Нет необходимости проводить восемь раз (точки с 9 по 16) опыты в центре плана. Достаточно провести этот опыт один раз и записать результат во все восемь строк. Строки сокращать нельзя, так как нарушается свойство ортогональности, и коэффициенты полинома будут определены неверно. Коэффициенты квадратичного полинома рассчитаются, как и ранее. Использован рассмотренный ранее план ПФЭ 22 с добавленными опытами 5-16. , , , , ₽ , Полином принимает вид . Рассчитанные значения функции и расхождения с опытными данными представлены в предпоследнем и последнем столбцах плана. Ранее для ОЦКП, при несколько отличающейся поверхности функции, был получен близкий полином в виде . Для n=2 число членов квадратичного полинома составляет шесть. В ОЦКП и РОЦКП необходимо провести девять отличающихся опытов при пяти уровнях варьирования факторов. Поэтому ОЦКП и РОЦКП - ненасыщенные планы. Такое число экспериментальных точек может быть использовано для построения, например, кубичных полиномов. Лекция 9. Планы второго порядка с единичной областью планирования Так как ОЦКП и РОЦКП - композиционные планы, то при естественной области планирования “звездные” точки могут выходить за пределы единичного гиперкуба и единичного гипершара. Для вписывания плана в область единичного гипершара необходимо изменить значение факторов путем умножения их на коэффициент . Так при , . Значение факторов в ОЦКП и РОЦКП при переходе от естественной области планирования к единичному гипершару, при n = 2. Могут использоваться рототабельные планы с точками плана в вершинах других, кроме квадрата (куба, суперкуба), правильных многогранников, вписанных в область единичного круга (шара, гипершара). В рототабельном плане на основе N0-угольника присутствуют N0 отличающихся точек на окружности, с радиусом R1=1, и n0 совпадающих точек в центре плана, с радиусом R2=0. При n=2 для квадратичного полинома при шести его членах число отличающихся точек плана должно быть не менее шести. В планах на основе пятиугольника (шестиугольника или семиугольника) присутствуют 6 (7 или 8) отличающихся точек, что меньше чем в ОЦКП и РОЦКП, у которых 9 отличающихся точек. При соответствующем выборе многоугольника можно сформировать насыщенный рототабельный план второго порядка. Значения факторов в точках плана определяются типом многоугольника. Рототабельный план на основе правильного многоугольника при n=2. Константа преобразования элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов, для всех подобных планов составляет . Смотри, например, для столбцы i= 1 или 2 приведенного плана. Соотношение может быть определено из уравнения выполнения условия ортогональности столбцов и . После несложных преобразований оно сводится к требованию , что выполняется при условии в таких планах и следовательно N0=n0=0,5N . Таким образом число точек в центре плана для всех подобных планов равно числу точек на поверхности единичного гипершара и определяется типом использованного многогранника. Константа преобразования для всех подобных планов составляет а=0,25. Например, в рототабельном плане при n=2 на основе правильного шестиугольника присутствуют 7 отличающихся точек: N0=6 точек на единичной окружности и n0=6 совпадающих точек в центре плана (рис. 16). Рис. 16. Рототабельный план при n =2 на основе правильного шестиугольника Здесь при построении плана первый фактор варьируется на пяти уровнях, а второй – на трех уровнях. Рототабельный план при n=2 на основе шестиугольника Существуют рототабельные планы, где оба радиуса не нулевые. При этом количество точек на каждой поверхности и отношение радиусов связаны. Числа точек окружностей рототабельного плана и отношение их радиусов Пример такого плана при n=2, N0=8, n0=6, R2 / R1=0,25 Рис. 17. Рототабельный план с двумя невырожденными окружностями. ₽